ELEMENTOS FINITOS CON DISCONTINUIDADES …‰TODOS NUMÉRICOS EN INGENIERÍA V J.M. Goicolea, C. Mota Soares, M. Pastor y G. Bugeda (Eds.) ©SEMNI, Espana 2002 ELEMENTOS FINITOS CON

MÉTODOS NUMÉRICOS EN INGENIERÍA VJ.M. Goicolea, C. Mota Soares, M. Pastor y G. Bugeda (Eds.)

©SEMNI, Espana 2002

ELEMENTOS FINITOS CON DISCONTINUIDADES INTERNAS.ESTUDIO DEL BLOQUEO DE TENSIONES Y DE SUS POSIBLES

SOLUCIONES

J. Oliver�, A.E. Huespe, E. Samaniego, y E.W.V. Chaves

� E.T.S. Enginyers de Camins, Canals i Ports,Technical University of Catalonia

Campus Nord UPC, Mòdul C1, Gran Capitán s/nCP.: 08034 Barcelona, Spaine-mail: [email protected]

Palabras clave: Elementos finitos, discontinuidades internas, discontinuidades fuertes,elementos mixtos, deformación mejoradas supuestas.

Resumen. Este trabajo aborda el estudio de algunos elementos finitos con discontinuidadesinternas y explora la posibilidad de obtener un elemento finito simétrico estáticamente consis-tente que disminuya el efecto de bloqueo de tensiones. Con este objetivo, se aplican técnicasbasadas en principios variacionales mixtos y en el método de las deformaciones mejoradassupuestas al elemento simétrico de cuatro nodos básico. Se presentan, además, simulacionesnuméricas que ponen de manifiesto las posibilidades que ofrecen las técnicas empleadas.

/ J. Oliver, A.E. Huespe, E. Samaniego, y E.W.V. Chaves .

1 MOTIVACIÓN

El estudio de los llamados elementos finitos con discontinuidades internas ha despertado graninterés en los últimos anos. Su capacidad de introducir discontinuidades en el campo de despla-zamientos dentro del dominio de un elemento (por tanto, con indepencia de la orientación de suslados) los hace especialmente atractivos para la simulación de la localización de deformaciones[5].

Existen varias familias de estos elementos. Un estudio bastante detallado de su comporta-miento puede encontrarse en [2]. En dicho artículo se les clasifica en tres grupos:

1. Elementos simétricos estáticamente consistentes. La continuidad del vector de tensiones através de la discontinuidad se introduce de modo que se mantega la consistencia variacionalde la formulación, obteniéndose como resultado una formulación simétrica. Sin embargo,esta forma de introducir la cinemática con discontinuidades en el campo de desplazamien-tos no asegura la posibilidad de movimientos de sólido rígido entre las dos partes en quequeda dividido el elemento1. Una descripción de esta formulación se puede encontrar en[3].

2. Elementos simétricos cinemáticamente consistentes. La cinemática introducida garantizala posibilidad de que las partes en que se ha dividido el elemento tengan movimientos desólido rígido. Por otra parte, la condición de continuidad del vector de tensiones no quedaasegurada a nivel elemental. Un elemento triangular basado en esta formulación puedeencontrase en [4].

3. Elementos no simétricos estática y cinemáticamente consistentes. Tanto la continuidad delvector de tensiones como la posibilidad de movimientos de sólido rígido de las partes enque queda dividido el elemento se garantizan con este elemento. Sin embargo, la primerase introduce en forma fuerte, lo cual conduce a una formulación no simétrica. Estas sonlas formulaciones usadas en [5] y [1].

La última familia de elementos es la que, según la experiencia de los autores, proporciona losresultados más robustos y confiables. La familia 2) tiene un comportamiento robusto también,pero con convergencia más lenta con respecto al refinamiento de la malla. Por su parte, lafamilia 1) tiene como gran inconveniente adolecer de efectos de bloqueo de tensiones.

A pesar de este inconveniente, la consistencia variacional de la formulación 1) y, lo quees más importante, el hecho de que los elementos de esta familia pueden ser, en principio,utilizados sin la necesidad de un algoritmo de trazado de la discontinuidad (que es fundamentalpara las otras dos familias, constituyendo su principal inconveniente) le confieren un atractivoespecial.

Por esta razón, este trabajo se dedica a explorar y desarrollar nuevos tipos de elementoscon discontinuidades internas pertenecientes a la familia 1). No obstante, y dado que el yamencionado efecto de bloqueo de tensiones produce que la formulación básica sea inviable, seexploran algunos tratamientos específicos para afrontar este problema. Con este propósito, se

1Como se verá más adelante, esto derivará en un comportamiento con bloqueo de tensiones.

2


han escogido algunas técnicas basadas en principios variacionales mixtos y en el método de lasdeformaciones mejoradas, para su aplicación sobre el elemento básico.

2 EL PROBLEMA DE VALORES DE CONTORNO

Considérese el cuerpo de la figura 1-a, el cual presenta una discontinuidad en el campo dedesplazamientos (incrementales) [[ _u]](x;t) a través de una superficie material S que lo divide en+ y �, tales que + [ � = nS2. Los campos de deplazamientos y de derformacionesincrementales resultantes, _u(x; t), _"(x; t) 3, se pueden expresar de la siguiente manera [7]:

_u(x; t) =:

�u(x; t) +MS [[ _u]](x; t);

[[ _u]] = _ujx2@+\S � _ujx2@�\S ;:

�u = _u� en @

u

_"(x; t) = rS

_u(x; t) =:

�"|{z}regular

(acotado)

+ ÆS ([[ _u]] n)S| {z }

singular(no acotado)

(1)

MS(x) = HS(x)� '(x) ; '(x)2H1() =

�1 8x 2 +n

h

08x 2 �nh

(2)

donde [[ _u]] denota el salto en desplazamientos incrementales, @u es la parte del contorno exte-

rior de (cuya normal que apunta hacia el exterior es �) en que los desplazamiento se prescribenal valor u�(x; t), HS es la función de salto de Heaviside situada en S (HS(x) = 1 8x 2 +

y HS(x) = 0 8x 2 �), MS es una función de salto unidad, cuyo soporte es el dominio h;

que contiene a S (véase la figura 1-(b)), y que se construye como se indica en (2), y ÆS es lafunción (generalizada) delta de Dirac ubicada en S que se obtiene de derivar MS(x):

El problema cuasiestático de valores de contorno se puede describir, en forma incremental,2Notación: AnB denota el resultado de sustraer el dominio B del dominio A:3Las expresiones que describen esta cinemática se conocen con el nombre de cinemática de discontinuidades

fuertes [7].

3


(a)

(b)

Figura 1. a) Sólido con discontinuidad en el campo desplazamientos; b) construcción de la funciónM S(x).

como el siguiente problema de tres campos, u� "� �:

ENCONTRAR :

8<:

_u(x; t)

_"(x; t)

_�(x; t)

que satisfagan:

r � _� � _b = 0 en nS (equilibrio interno) (a)

_"�rS

_u = 0 en (compatibilidad cinemática) (b)

_� � _�(") = 0 en (compatibilidad constitutiva) (c)

_� � � = _text en @

� (equilibrio externo) (d)

_�+ � n� _�� n| {z }def

= [[ _�]]nS � n

= 0 en S (continuidad externa de tracciones) (e)

_�+ � n� _�S � n| {z }def

= [[ _�]]S � n

= 0 en S (continuidad interna de tracciones) (f)

(3)

donde �(x; t) denota las tensiones, b(x; t) son las fuerzas másicas específicas y �(") denota laecuación constitutiva que, dado un estado de deformación representado por "; proporciona comosalida el estado tensional; @

� es la parte del contorno externo de en el que las tracciones se

prescriben al valor text. Las ecuaciones (3)-(e) y (3)-(f) establecen la continuidad del vector detracciones T = � � n a través de la línea de discontinuidad S.

4


3 APROXIMACIÓN NO SIMÉTRICA (PETROV-GALERKIN)

La ecuación (3) se puede escribir en forma débil como se indica a continuación. Teniendo encuenta el campo de desplazamientos incrementales (1), se consideran los siguientes espaciosfuncionales de desplazamientos incrementales, Vu, y de desplazamientos incrementales virtua-les cinemáticamente admisibles, �V0

u:

Vudef

� f�(x) = �� +MS � ; � 2 [H1()]ndim ; � 2 L2(S)g

�V0u

def

��0(x) 2 [H1()]ndim ; ��0j

@u= 0

(4)

donde ndim denota el número de dimensiones del problema, H1() es el espacio de funcionesdefinidas en con primeras derivadas de cuadrado integrable y L2(S) el espacio de funcionesde cuadrado integrable definidas en S4.

A la luz de la notación establecida, la forma débil del problema se puede escribir como:

PROBLEMA NO SIMÉTRICO CONTINUO

ENCONTRAR:_u =

:

�u+MS [[ _u]]:

; _u 2 Vu_" = rS

_u =:

�"+ Æs([[ _u]]n)

S

(5)

TALES QUE:

Æ�u( _�; �) =

ZnS

_�(rS

_u) : rS

� d�

ZnS

_b � � d +

Z@�

_t � � d�| {z }Gext

= 0 8� 2 �V0u

(6)

Tras algunas operaciones estándar se puede establecer que la forma fuerte de (6) es:

Æ�u(u; �) = 0 )

r � _�� _b = 0 en nS_� � � = _t

ext en @�

[[ _�]]nS � n = 0 en S

(7)

y queda, por tanto, por imponer la condición (3)-(f) del problema de contorno (3). Esta con-dición será impuesta en el problema de elementos finitos en forma fuerte. En resumen, elproblema. (3) se escribe en forma equivalente como:

Æ�u( _�(

:

�u; [[ _u]]); �) = 0 8� 2 �V0u

(forma variacional/débil)[[ _�S]] � n = 0 en S (forma fuerte)

(8)

4Grosso modo, H1(�) contiene funciones continuas definidas en (�) con derivadas discontinuas y L 2(�) contienefunciones discontinuas acotadas definidas en (�):

5


3.1 Discretización por elementos finitos (elemento no simétrico estándar: U4n)

Considérese el dominio material discretizado en una malla de elementos finitos de cuatronodos5 que contiene n

elemelementos cruzados por la discontinuidad S (véase la figura 2-(a))

con sus respectivos nnode

nodos . Supóngase que se cuenta con un algoritmo de trazado de ladiscontinuidad [5], el cual determina el subconjuntoJ de los nJ elementos que son atravesadospor S en un instante de tiempo dado t :

J := fe j e\ S 6= ;g = fe

i;::::; e

m;::::e

p; :::g (9)

Para cada elemento deJ , el algoritmo de trazado 6 proporciona además la posición de la interfazde discontinuidad elemental S

e(véase la figura 2-(b)), de longitud l

e; que define los dominios

+e

y �

ey los nodos i+ 2 fi+1 ; ::; i

+

n

+e

g y i� 2 fi�1 ; ::; i�

n

�

e

g. Se considera, entonces, la siguiente

interpolación del campo de desplazamientos incrementales _u(e) en el interior de un elemento

dado e [5]:_u(e)(x; t) = �i=4

i=1 N(e)

i(x) _d

i(t)| {z }

:

�u(e)

+M(e)

S(x) [[ _u]]

e(t)| {z }

:

~u(e)

(10)

donde:

�u(e)

es el campo de desplazamientos incrementales estándar C0, interpolado por las fun-ciones de forma fN (e)

1 ; N(e)

2 ; N(e)

3 ; N(e)

4 g del elemento cuadrilátero isoparámetrico bilineal [10],

parametrizado por las velocidades nodales di(t) en el nodo i. El término

:

~u(e)

, en la ecuación(10), captura la parte discontinua del campo de desplazamientos incrementales (1) en funcióndel salto en desplazamientos incrementales [[ _u]]

e

y Me

S(x) es la versión discreta de la función

de salto unitario dada en la ecuación (2) y que se define de la siguiente forma:

M(e)

S(x) =

8><>:

0 8 e 62 J

H(e)

S(x)� '(e)

('(e) = �n

+e

i+=1

Ni+)

)8 e 2 J

(11)

donde H(e)

Ses la función de salto. La figura 2-(c) grafica la función M(e)

Sy pone de relieve su

soporte elemental.A partir de las ecuaciones (10) y (11), el campo incremental de deformaciones se puede

escribir:

_"(e) = rS

_u(e) = �i=4

i=1 (rN(e)

i _d

i)S � (r'(e) [[ _u]]

e

)S + ÆS([[ _u]]e

n)S (12)

Nótese que la ecuación (12) reproduce la cinemática de discontinuidades fuertes (1). A finde evitar posibles dificultades numéricas provenientes de su manejo, la delta de Dirac ÆS será

5De ahora en adelante, solamente se considerarán problemas bidimensionales6Este algoritmo de trazado es un ingrediente crucial en las formulaciones no simétricas y constituye su principal

inconveniente.

6


� � ��

Figura 2. Discretización en 2-D usando elementos cuadriláteros: a) conjunto J de elementos intersecados porla discontinuidad b) discontinuidad elemental Se; c) función MS ; d) delta de Dirac regularizada; e) puntos queintervienen en la integración numérica.

reemplazada por una función regularizada ÆeS

definida en el dominio de un elemento e por:

Æ(e)

S= �

(e)

S

1

k(13)

donde �(e)

Ses una función de colocación cuyo soporte es el dominio S k

e; ilustrado en la figura

2-(b) y definido en función del parámetro de regularización k :

�(e)

S(x) = 1 8 x 2 Sk

e

�(e)

S(x) = 0 8 x =2 Sk

e

(14)

A la vista de las ecuaciones (13) y (14) la forma regularizada del campo incremental dedeformación es:

_"(e) = rS

_u(e) = �i=4

i=1 (rN(e)

i _d

i)S � (r'(e) [[ _u]]

e

)S + �(e)

S

1

k(n [[ _u]]

e

)S (15)

A fin de integrar los términos discontinuos que surgen del segundo término del miembroderecho de la ecuación (15), además de los puntos de integración estándar del cuadrilátero bili-neal (PG1 a PG4 en la figura 2-(e)), se incorpora al elemento un punto de integración adicional(SSP en la figura 2-(d)) situado en el centro del elemento y cuya área asociada es (véase la

7


figura 2-(d)) :measure(Sk

e) = kl

e(16)

El parámetro de regularización k tiene un valor arbitrariamente pequeno (tan pequeno como lopermita la precisión del ordenador).

En este contexto, la continuidad interna del vector de tracciones en las ecuaciones(3)-(f) y(8) puede ser impuesta a nivel elemental en forma promediada:

_�+ � n = ( _�� n) = _�S � n!1

e

Ze

_� � n d| {z }valor medio sobre nS

=1

le

ZSe

_� � n d| {z }valor medio sobre S

) (17)

)

Ze

(�(e)

S

1

k�

le

e

)n � _� d = 0 8 e 2 J (18)

Considerando la discretización en elementos finitos que se acaba de describir, y utilizando pro-cedimientos clásicos, la versión discreta del problema de valores de contorno (8) se puedeescribir de la siguiente manera:

PROBLEMA NO SIMÉTRICO DISCRETO

DADOS:

Vh

u

def

�n�h(x) = �i=nnode

i=1 Ni(x) �

i+ �

e2J M(e)

S(x)�

e

o�Vh

0

u

def

�n�h

0

(x) = �i=nnode

i=1 Ni(x) �0

i; �0

ij@u

= 0

o (19)

ENCONTRAR:

_uh = �i=nnode

i=1 Ni

_di+ �

e2J M(e)

S(x) [[ _u]]

e

; _uh 2 Vh

u

_"h = rS

_uh = �i=nnode

i=1 (rNi _d

i)S + �

e2J

�[�

(e)

S

1

k

n�r'(e)][[ _u]]e

�S (20)

TALES QUE:

Æ�u( _�; �h) =

Pe=nelem

e=1

RerS�h : _�("h)d �G

ext= 0 8�h 2 �Vh

0

u

[[ _�]]S� n = 0 !

Re(�

(e)

S

1

k

� le

e)n � _� d = 0 8 e 2 J

(21)

La estructura de las ecuaciones (21) corresponde al procedimiento de residuos ponderadosde Petrov-Galerkin [10] del problema de valores de contorno (3).

4 APROXIMACIÓN SIMÉTRICA BASADA EN DEFORMACIONES MEJORADASSUPUESTAS

El método de las deformaciones mejoradas supuestas, que puede ser considerado como un casoparticular de los métodos de deformaciones supuestas o métodos mixtos [8], proporciona unaforma distinta de enfocar la existencia de discontinuidades en desplazamientos. En las secciones

8


que vienen a continuación, la formulación correspondiente se presenta siguiendo las pautasdadas en [9].

4.1 Campos supuestos de tensiones y deformaciones

Considérese que los campos de desplazamientos u(x; t); de deformaciones mejoradas ~"(x; t) yde tensiones �(x; t) pertenecen a los siguientes espacios funcionales:

Vudef

� f�(x) 2 [H1()]2g

V0u

def

��0(x) 2 [H1()]2 ; �0j

@u= 0

V~"

def

� f~�(x) = �� + ÆS(� n)S ;

��ij2 L2() ; �

i2 L2(S)R

~� : � d = 0 8� 2 V

�

V�

def

� f�(x) ; �ij2L2( ) g

(22)

en los cuales se establece la siguiente condición de ortogonalidad de V~" con respecto a V�

:Z

~� : � d = 0 8 ~� 2 V~" 8 � 2 V�

(23)

que está motivada por la satisfacción del test de la parcela [9].El problema variacional del método de las deformaciones mejoradas se puede escribir de la

siguiente manera [9]:

PROBLEMA CONTINUO DE DEFORMACIONES MEJORADAS SUPUESTAS

ENCONTRAR:_u(x;t) ; _u 2 Vu (a)

_"(x; t) = rS

_u +:

~"|{z}mejora

:

~" =:

�"+ Æs(_� n)

S

9>=>; ;

:

~" 2 V~" (b)

_�(x; t) ; _� 2 V�

(c)

(24)

TALES QUE

Æ�u( _�; �) =

RnS

_�(") : rS� d�Gext

= 0 8� 2 V0u

(a)

Æ�~"(~"; �) =R

:

~" : � d = 0 8� 2 V�

(b)

Æ��( _�; _�; ~�) =

R

�_� � _�

�: ~� d = 0 8~� 2 V~" (c)

(25)

Mediante algunas operaciones estándar en (25)-(a)-(b) se puede demostrar que la correspon-diente forma fuerte es:

9


i)

Æ�u( _�; �) = 0)

r � _�(")� _b = 0 en nS_� � � = _t en @

�

[[ _�]]nS

� n = 0 en S

(26)

ii)Æ�~"(~"; �) = 0 )

R

:

~" : � d = 0 ):

~" = 0 en (27)

en sentido distribucional 7 y, considerando la ecuación (24)-(b):

_" = rS

_u+:

~"|{z}= 0

= rS

_u) _"�rS

_u = 0 en (28)

Por último, la ecuación (25)-(c) se puede escribir de la siguiente forma:

iii) R

�_� � _�

�: ~� d =

Z

:

� : ~� d| {z }=0

�R_� : ~� d = 0

(29)

)R_�(") : ~� d = 0 (30)

Es evidente que las ecuaciones (25)-(a) y (25)-(b) son la forma débil de (3)-(a) a (3)-(e). Poreste motivo, ~� en la ecuación (30) tiene que ser escogida de manera que imponga (3)-(f).

5 DISCRETIZACIÓN POR ELEMENTOS FINITOS. ELEMENTO ESTÁNDAR CONTENSIÓN CONSTANTE Y DEFORMACIONES SUPUESTAS: S4N.

Dada una discretización en elementos finitos mediante elementos cuadriláteros bilineales (véasefigura 2-(a)), se considera la versión discreta de los espacios presentados en (22):

Vh

u

def

��h(x) = �i=nnode

i=1 Ni(x) �

i

Vh

0

u

def


i=1 Ni(x) �

i; �

ij@u

= 0

Vh

~"�n~�h(x) = �e=nelem

e=1 (�(e)

S

1

k

� le

e)�

e(x)(�

e n)S

o; �

e(x) =

�1 para x 2

e

0 en caso contrario

Vh

�

def

� f�h(x) = �e=nelem

e=1 �e(x) �

e

(31)Se puede apreciar inmediatamente que la expresión que se ha adoptado para ~�h en (31)

7Dado que:

~" =:

�"+Æs(_� n)S

es una distribución, la expresión:

~" = 0 debe entenderse en sentido distribucional

10


cumple la condición de ortogonalidad, expresada en la ecuación(23), dado que:R~�h : �hd = �e=nelem

e=1

Re(�

(e)

S

1

k

� le

e) (�

e n)S : �

ed =

�e=nelem

e=1

Ze

(�(e)

S

1

k�

le

e

) d| {z }(le�le)=0

(�e n)S : �

e= 0 (32)

Se tiene, entonces, que la versión discreta del problema expresado en las ecuaciones (24) y(25) tiene la siguiente forma:

PROBLEMA DISCRETO DE DEFORMACIONES SUPUESTAS

ENCONTRAR:

_uh(x;t) = �i=nnode

i=1 Ni

_di; _u

h 2 Vh

u

_"h(x; t) = rS

uh + �e=nelem

e=1 (�(e)

S

1

k�

le

e

)�e(x)(_�

e n)S| {z }

:

~"h

(mejora)

:

~"h

2 Vh

~"

_�h(x;t) = �e=nelem

e=1 �e(x)

:

�e

_�h2Vh

�

(33)

TALES QUE:i)

Æ�u( _�; �h) = 0 )

e=nelemXe=1

Ze

rS

�h : _�("

h

)d �Gext

= 0 8�h 2 V0u

(34)

ii)Æ�~"(~"

h; �h) = 0 ) (se cumple trivialmente, véase la ecuación (32) (35)

iii)

Æ��( _�h; _�; ~�h) = 0 )

( Pe=nelem

e=1

Re

_� : ~�h d =

=P

e=nelem

e=1

hRe(�

(e)

S

1

k

� le

e) _� � n d

i� �

e= 0 8�

e

(36)

)

Ze

(�(e)

S

1

k�

le

e

) _� � n d = 0 e 2 f1:::nelem

g (37)

Obsérvese que la ecuación (37) puede escribirse como:Re(�

(e)

S

1

kle� 1

e) _� � n d = 0)

1

e

Ze

_� d| {z } �n_�e (promedio en e)

=1

le

Zle

_� dS| {z } �n_�Se

(promedio en Se)

) _�e� n = _�Se � n| {z }

� continuidad de tracción(en valores medios)

(38)

lo que pone de manifiesto que dicha ecuación (37) impone la continuidad interna de tracciones� � n dentro de cada elemento.

11


En resumen, las ecuaciones que gobiernan el problema discreto simétrico se pueden escribircomo:

Æ�u( _�; �h) = 0

Æ��( _�h; _�; ~�h) = 0

)

e=nelemSe=1

RerS�h : _�(")d �G

ext= 0 8�h 2 V0

uRe(�

(e)

S

1

k

� le

e) � n � _� d = 0 e 2 f1:::n

elemg

(39)

_"(e) = rS

_u(e) + (�

(e)

S

1

k

� le

e)( _�

e n)

S (40)

6 EXPERIMENTO NUMÉRICO. BLOQUEO DE TENSIONES.

A fin de evaluar el comportamiento de los elementos descritos en las secciones 3 y 5 se haconsiderado el test numérico que se describe en la figura 3-(a). La placa rectangular (modelizadaen deformación plana) tiene fijo uno de sus lados y se estira uniformemente por el otro. Elcomportamiento del material se describe mediante el modelo de dano isótropo descrito en [6],en el que se considera ablandamiento lineal. El análisis teórico arroja como resultado un líneade discontinuidad vertical que cruza la placa de arriba abajo. El salto en desplazamientos esuniforme y presenta una sola componente de la normal en coordenadas locales (modo I).

Dado que el problema es homogéneo antes de que exista bifurcación y, por tanto, el estadotensional es constante en la placa, la posición de la discontinuidad se fija artificialmente.

Para la simulación se utiliza una malla no estructurada, tal como se puede ver en la figura3-(a), usando los siguientes elementos finitos:

• Elemento no simétrico estándar de cuatro nodos U4n. Este es el elemento no simétricoestática y cinemáticamente consistente de tipo Petrov-Galerkin descrito en la sección 3.

• Elemento simétrico estándar de cuatro nodos S4n. Este es el elemento simétrico estáti-camente consistente basado en el método de las deformaciones mejoradas descrito en lasección 5.

En la figura 3-(b) se pueden observar las curvas tensión-desplazamiento, �xx� Æ; obtenidas

para ambos elementos. Se puede constatar claramente que el elemento U4n proporciona, comocabía esperar, la solución exacta. La zona poscrítica se describe mediante una rama lineal deablandamiento que se prolonga hasta la total relajación de tensiones.

Por otra parte, el elemento S4n exhibe una rama de endurecimiento que va más allá de latensión límite, provocando que la curva tensión-desplazamiento alcance niveles incompatiblescon la física del problema.

La causa de este bloqueo se explica, a grandes rasgos, mediante los siguientes razonamientos:

1. La cinemática de discontinuidades fuertes descrita en (1) descompone las defomaciones(incrementales) en una parte regular (acotada) que se desarrolla en nS y una singular (no

12


0

2

6

10

14

0 0.5 1.5 2.5

� [MPa]

� [10 m]

Damage Model (linear softening)

E= 30000.MPa

= 0.�

Gf= 0.100 Nw/mm

u= 10. MPa�

Non-symmetricU4n

Symmetric (S4n)

-4

xx

(b)

1.[m]

0.5

[m]

(a)

Load

�

A

x

y

Figura 3. Placa homogénea: a) datos geométricos y malla de elementos finitos; b) curvas de tensión � xx - despla-zamiento Æ en el punto A.

acotada) que se desarrolla en S.

_" = rS

_u =:

�"|{z}_"nS

regular (acotada)

+ ÆS ([[ _u]] n)S| {z }

singular (no acotada)

(41)

2. Se puede demostrar que, después del inicio de la discontinuidad fuerte, toda la componenteinelástica de las deformaciones (incrementales) corresponde a la parte singular, mientrasque las deformaciones regulares (acotadas) son incrementalmente elásticas8, esto es:

_"nS =:

�" = C�1 : _�| {z }

deformación elástica

) _� = C : _"nS (42)

donde C denota el tensor constitutivo elástico de cuarto orden.

3. De la ecuación (42) se puede ver que, ya que las componentes de C (que vienen determi-nadas por los valores, generalmente, elevados de las propiedades elásticas) tienen valoresmuy altos, los valores de _"nS tienen que ser muy pequenos, de modo que _� se mantengaen un rango de valores físicamente aceptables. Dicho de otra manera, si los valores de_"nS son inusitadamente altos, lo serán también los valores de _�, con la consecuente apa-rición de efectos de bloqueo. En el caso de la curva de la figura 3-b, cabría esperar que lasdeformaciones regulares fueran prácticamente cero9.

_� ' 0) _"nS = C�1 : _� ' 0 (43)

Considérese ahora el campo de deformaciones modelizado por el elemento S4n (véase la8Aunque es intuitivo, este no es un resultado trivial. Probarlo requiere recurrir al llamado análisis de disconti-

nuidades fuertes ([6]).9En este punto el elemento debería ser capaz de producir movimientos de sólido rígido entre las dos partes en

las que queda dividido por la discontinuidad.

13


ecuación (33)) y el grado polinómico de sus componentes:

_"(e)

nS= rS

_u(e)| {z }

lineal

�le

e

( _�e n)

S

| {z }(mejorado) constante

(44)

Es inmediato ver que, excepto para casos muy particulares en los cuales el términorS

_u(e)

se hace constante dentro del elemento, los términos no se pueden cancelar entre sí. Enconsecuencia, la ecuación (43) no será satisfecha y aparecerá el efecto de bloqueo de ten-siones.

Estos razonamientos, además de explicar las causas del bloqueo del elemento S4n, sugierendos posibles soluciones:

a) Disminuir el grado polinómico de rS

_u(e) a cero (constante).

b) Incrementar el grado polinómico del término de mejora a uno (polinomio lineal).La estrategia a) se sigue en el caso de los elementos mixtos de la sección 7 mientras que la

estrategia b) conduce a la estrategia de mejoramiento de deformaciones presentada en la sección9.

7 APROXIMACIÓN MIXTA

7.1 Campos supuestos de deformaciones y tensiones

Considérense los siguientes espacios funcionales:

Vudef

� f�(x) 2 [H1()]2g (a)

V0u

def

��0(x) 2 [H1()]2 ; �0j

@u= 0

(b)

V"

def

� f�(x) = �� + ÆS(� n)S ; ��ij2 L2() ; �

i2 L2(S)g (c)

V�

def

�n�(x) ; �

ij2 L2( ) ; [[� ]]

nS� n = [[� ]]

S� n = 0

o(d)

(45)

El problema variacional de tres campos (u� "� �) puede escribirse como:

PROBLEMA CONTINUO MIXTO

ENCONTRAR:_u(x; t) _u 2 Vu_"(x; t) =

:

�"+ Æs(_� n)S

:

" 2 V"

_�(x;t) _� 2 V�

(46)

TALES QUE

Æ�u( _�; �) =

RnS

_� : rS� d�Gext

= 0 8� 2 V0u

Æ�"( _u; _"; �) =

R

�_"�rS

_u�: � d = 0 8� 2 V

�

Æ��( _�; _�; �) =

R

�_� � _�

�: � d = 0 8� 2 V

"

(47)

14


Tras el procedimiento estándar las expresiones (47) conducen a la siguiente forma fuerte:

i)

Æ�u( _�; �) = 0)

r � _� � _b = 0 en nS

_� � � = _t en @�

[[ _�]]nS

� n = 0 en S

(48)

ii)Æ�

"( _u; _"; �) =0 )

R

�_"�rS

_u�: � d = 0 ) _" = rS

_u en (49)

iii)

Æ��( _�; _�; �) = 0 )

R

�_� � _�

�: � d) _� = _� en (50)

Por tanto, las ecuaciones (3)-(a) a (3)-(e) del problema de valores de contorno originalse cumplen en forma débil mediante las ecuaciones variacionales (47) mientras que laecuación (3)-(f) se cumple debido a la particular elección del espacio V

�en la ecuación

(45)-(d).

8 DISCRETIZACIÓN POR ELEMENTOS FINITOS. ELEMENTO MIXTO ENTENSIÓN/DEFORMACIÓN CONSTANTE: M4N

Para la discretización con elementos de cuatro nodos presentada en la figura 2-(a) se considerala siguiente versión discreta de los espacios de la ecuación (45):

Vh

u

def


i=1 Ni(x) �

i

(a)

V0u

def

��h(x) =�i=nnode

i=1 Ni(x) �

i

; �ij@u

= 0

(b)

Vh

"

def

� f�h(x) =�e=nelem

e=1 �e(x)(��

e+ �

(e)

S

1

k

(�e n)S)g; �

e(x) =

8<:

1 para x 2 e

0 en casocontrario

(c)

Vh

�

def

� f�h(x) =�e=nelem

e=1 �e(x) �

eg (d)

(51)y el correspondiente problema discreto:

PROBLEMA DISCRETO MIXTO

ENCONTRAR:

_uh = �i=nnode

i=1 Ni

_di; _u

h2Vh

u(a)

_"h = �e=nelem

e=1 (�e(x)_�"

e+ �

(e)

S

1

k

�e(x)(_�

e n)S)

:

"h

2V"

(b)

_�h=�e=nelem

e=1 �e(x)

:

�e

_�h2V�

(c)

(52)

15


TALES QUE:

Æ�u( _�; �h)=

R_�h : rS�h d�G

ext= 0 8�h2Vh

0

u(a)

Æ�"( _uh; _"

h; �h)=R

�_"h �rS

_uh

�: � h d = 0 8�h2Vh

�(b)

Æ��( _�h; _�

h

; �h) =R

�_�h� _�

h

�: �h d = 0 8�h2Vh

"(c)

(53)

Si se inserta _"h de la ecuación (52)-(b) en la ecuación (53)-(b) se obtiene:

Æ�"( _uh

; _"h) = 0 )

e=nelemXe=1

Ze

�_"h �rS

_uh

�: �

ed = (54)

=

e=nelemXe=1

�e

:

�"e+ l

e( _�

e n)

S

�

Ze

rS

_uh

d

�: �

e= 0 8�

e)

)

�e

:

�"e+ l

e( _�

e n)

S

�

Ze

rS

_uh

d

�= 0 e 2 f1:::n

elemg )

despejando:

�"ey sustituyendo en la ecuación (54) y, luego, sustituyendo en

:

�"h

en la ecuación(52)-(b):

:

�"e=

1

e

Ze

rS

_uh

d�le

e

( _�e n)

S

e 2 f1:::nelem

g ) (55)

:

�"h

=

e=nelemXe=1

�e(x)� 1

e

Ze

rS

_uh

d| {z }def

= rS _u(e)

� (le

e

� �(e)

S

1

k)( _�

e n)

S

�

donde rS _u(e)

denota el valor medio de rS

_uh(x) dentro del elemento e: En resumen:

Æ�"( _uh

; _"h : �h) =0 ! _"h =

Pe=nelem

e=1�e(x)[rS _u

(e)+ (�

(e)

S

1

k

� le

e)( _�

e n)

S

] (56)

Ahora bien, a partir de la ecuación (53)-(c) y del desarrollo de �h(x) en la ecuación (51)-(c)se obtiene:

Æ��( _�h

; _�; �h

) = 0 )

e=nelemXe=1

Ze

�_�e� _�

�: �h d = (57)

=

e=nelemXe=1

Ze

�_�e� _�

�: (��

e+�

(e)

S

1

k(�

e n)S) d =

=

e=nelemXe=1

��e_�e�

Ze

_� d

�: ��

e+

�le_�e� n�

ZSe

_� � ndS

��

e

�= 0

8��e

8�e

16


)

he_�e�Re

_� di= 0h

le_�e� n�

RSe

_�dS � ni9=; e 2 f1:::n

elemg (58)

Despejando, entonces, _�e

en la ecuación (58):

_�e= 1

e

Re

_� d = _�e(a)

_�e� n = 1

le

RSe

_� dS � n = _�S � n (b)(59)

donde _�e= 1

e

Re

_� d y _�S = 1

le

RS e

_� dS son, respectivamente, los valores medios de_�("(x)) in

eand S

e: A partir de la ecuación (59), es trivial obtener

_�e� n = _�S � n (60)

que es la expresión de la continuidad interna del vector de tensiones (3)-(f) en función de losvalores medios de _�. La ecuación (59)-(b) puede, entonces, escribirse en un formato másconveniente:

1

le

ZSe

_� dS � n�1

e

Ze

_� d � n =

Ze

(�(e)

S

1

k�

le

e

) _� � n d = 0 (61)

En resumen, a partir de las ecuaciones (57) y (61) se llega a:

Æ��( _�h

; _�; �h

) = 0 !Re(�

(e)

S

1

k

� le

e) _� � n d = 0 8e 2 f1:::n

elemg (62)

Por último, después de algunas operaciones algebraicas estándar en la ecuación(53)-(a), y te-niendo en cuenta (59), se llega a:

Æ�u( _�h; �h) = 0!

e=nelem[e=1

Ze

:

�e: rS

�h

d�Gext

=

=

e=nelem[e=1

Ze

_�e: rS

�h

d�Gext

=

=

e=nelem[e=1

_�e:

Ze

rS

�h

d| {z }=

erS� (e)

�Gext

= (63)

=

e=nelem[e=1

e

_�e| {z }Re

_�d

: rS�(e) �G

ext= 0)

17


)e=nelemS

e=1

RerS�h : _�("h)d �G

ext= 0 8�h 2 V0

u (64)

9 MEJORA DE DEFORMACIONES: ELEMENTO E4N

La estrategia estudiada a continuación se basa en dotar de nuevos términos a la componen-te de deformaciones mejoradas(

:

~" en la ecuación (24)) del elemento simétrico S4n. Se debensatisfacer dos condiciones:

i) La condición de ortogonalidad (23) :

Z

:

~": �d=0 8:

~" 2 V~" 8� 2V�

(65)

ii) Incluir términos de orden uno que contribuyan a disminuir el efecto de bloqueo de tensiones.

Teniendo presentes estas condiciones, se propone el siguiente campo de deformaciones demejora:

:

~"h

(e)

= (�(e)

S

1

k�

le

e

)(_�en)

S

| {z }:

~"(e)

1

+1

Js _S

e+

1

Jt _T

e| {z }:

~"(e)

2

(66)

donde s y t denotan las coordenadas isoparamétricas del cuadrilátero estándar de cuatro nodosy J es el jacobiano de la transformación isoparamétrica que relaciona las diferenciales de áreaen los espacios regular e isoparamétrico de la siguiente manera:

d = J ds dt (67)

En la ecuación (66),:

~"(e)

1 es la deformación mejorada básica, que ya está presente en el ele-

mento S4n, y:

~"(e)

2 un término de mejora adicional del campo de deformaciones que proporcio-na el polinomio lineal requerido en las deformaciones del núcleo del elemento. Los valoresn_Se

o= [ _S

xx; _S

yy; _S

xy]Te

yn_Te

o= [ _T

xx; _T

yy; _T

xy]Te

son factores de intensidad de dichas

deformaciones que constituyen seis grados de libertad adicionales para el elemento. De la ex-presión (66) queda claro que la condición de ortogonalidad (65) se satisface para el campo(constante elemento a elemento) de tensiones (51), dado que:

18


0

2

6

10

14

0 0.5 1.5 2.5

� [MPa]

� [10 m]-4

xx

Symmetric (S4n)

Symmetric(mixed M4nenhanced E4n)

Non-symmetric(U4n)

Figura 4. Placa homogénea: tensión �xx vs. desplazamiento Æ para diferentes elementos.

Ze

:

~"(e)

1 : �ed =

Ze

(�(e)

S

1

k�

le

e

)(_�en)

S

: �ed =

=

Ze

(�(e)

S

1

k�

le

e

)d| {z }le� l

e= 0

(_�en)

S

: �e= 0 (68)

Ze

:

~"(e)

2 : �ed =

Ze

1

J(s _S

e+ t _T

e) : �

ed = (69)

=

Z +1

�1

Z +1

�1

s dsdt| {z }= 0

_Se: �

e+

Z +1

�1

Z +1

�1

t dsdt| {z }= 0

_Te: �

e= 0

10 SIMULACIONES NUMÉRICAS

10.1 Placa homogénea

El ejemplo básico de la sección 6 y la figura 3 se analiza ahora para los elementos M4N y E4N.Los resultados, de nuevo en términos de las curvas �

xx� Æ , se presentan en la figura 4 junto

con los obtenidos para el elemento S4n y el resultado exacto (U4n).Se puede observar el drástico efecto en la reducción del bloqueo de tensiones obtenido con

los nuevos elementos, lo cual prueba la efectividad de las estrategias adoptadas. Por lo demás,se puede observar que los resultados obtenidos con el elemento M4n (estrategia mixta) y elelemento E4n (estrategia con modos de mejora de adicionales) se parecen bastante, lo quedemuestra que el razonamiento hecho en la sección 6 es, en esencia, correcto.

19


11 CONCLUSIONES

En este trabajo se ha explorado la posibilidad de utilizar elementos simétricos con discontinui-dades internas estáticamente consistentes para simular discontinuidades fuertes. Se ha demos-trado, mediante ejemplos, que el uso de elementos basados en técnicas mixtas (M4n) y en elempleo de mejoramiento adicional de las deformaciones supuestas (E4n) ayuda a disminuir demanera sustancial el bloqueo de tensiones que se observa en el elemento original S4n.

Mediante la utilización de estas técnicas se pretende, esencialmente, 1) recuperar la capaci-dad del elemento no simétrico U4n de reproducir los movimientos de sólido rígido de las partesen que queda dividido después de ser atravesado por la línea de discontinuidad y 2) conservarel carácter simétrico y la consistencia variacional del elemento S4n.

Un aspecto importante que no ha sido abordado aún es la estabilidad de los elementos pro-puestos en este trabajo. Se sabe, por ejemplo, que el elemento de cuatro nodos con integraciónreducida (este es el caso del elemento M4n) produce los llamados modos hourglass [10]. Ade-

más, los modos de mejora:

~"(e)

2 de la ecuación (66), considerados para el elemento E4n, no cum-plen la condición (V~" \ V" = f0g) [9]. No obstante, hay un aspecto crucial en la manera en quelos elementos propuestos en este trabajo son implementados que hace que su comportamiento,en lo referente a estabilidad, sea muy diferente del de los elementos clásicos. En este trabajo,las formulaciones de los elementos se han realizado en el contexto de un problema de valoresde contorno en forma incremental. Esto permite considerar el problema como un conjunto deproblemas incrementales que se suceden a lo largo del tiempo, cada uno de los cuales tiene supropia formulación de elementos finitos. La implementación se ha hecho de tal manera que lasmodificaciones en el elemento básico S4n, que conducen a la obtención de los elementos M4n yE4n, afecten solamente a la banda de elementos que captura la discontinuidad después de quedichos elementos hayan sido cruzados por la discontinuidad. Los elementos que se encuentranfuera de la banda conservan el comportamiento del elemento original. Esto implica que el de-sarrollo y propagación de modos espurios están muy restringidos. Esto redunda, además, en elhecho de que el costo computacional asociado a la presencia de nuevos grados de libertad seamuy bajo.

Sin embargo, y a pesar de que en las simulaciones realizadas no se han producido inestabili-dades numéricas, los autores son conscientes de que esto no puede generalizarse a cualquier tipoo tamano de problema y de la necesidad de realizar estudios de estabilidad en trabajos futuros.

AGRADECIMIENTOS

Este trabajo ha sido realizado en el contexto de los Proyectos de Investigación MAT2000-0436 y MAT-2001-3863-C03-03 financiados por el Ministerio Espanol de Ciencia y Tecnología.Los autores quieren agradecer este apoyo.

REFERENCIAS

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20


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Oxford, UK, 2000.

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Documents

ELEMENTOS FINITOS CON DISCONTINUIDADES …‰TODOS NUMÉRICOS EN INGENIERÍA V J.M. Goicolea, C. Mota Soares, M. Pastor y G. Bugeda (Eds.) ©SEMNI, Espana 2002 ELEMENTOS FINITOS CON