Elementarna Teorija Brojeva 1

Glava 1

Skupovi i funkcije

1.1 Skupovi

Kao pocetni stav o matematici napominjemo dvije bitne stvari. Prvo, vaznoje za svaku prosjecno obrazovanu osobu da zna sta je matematika. Drugo,nije moguce znati nesto o matematici, bez bavljenja matematikom. Sa prvimstavom ce se sloziti mnogi, a sa drugim se mnogi nece sloziti. Svjedoci smoda se na mnogim fakultetima trazi da kursevi matematike budu kratki ijasni, bez upustanja u detalje. Smatra se da bi studenti mogli nauciti os-novne ideje i metode matematike, a da ne uce samu matematiku, te dabi upustanje u detalje pokvarilo koncept ,,sirokog obrazovanja. Takvoobrazovanje, na zalost onih koji zastupaju takve ideje, u matematici nijemoguce. Matematika je velika i teska oblast. Ona podrazumijeva strogmetod razmisljanja, kratku i jasno formu izrazavanja i veliku raznolikostnovih koncepta i pogleda, znacajno razlicitih od svakodnevnice. Da bi sedao odgovor na pitanja ,,Sta je matematika neophodno je nauciti nesto izlogike, jezika i filozofije matematike. To ne moze biti ucinjeno u nekolikozabavnih lekcija. Jedino je moguc aktivan kontakt sa sadrzajem matematike.

Matematika je logicka nauka i kako takva mora insistirati na matematickim dokazima. Razumijevanje dokaza je put u razumijevanje matematike. Iztoga proizilaze i poteskoce sa kojima se mozemo suociti. Cilj ovog kursa daje da slusaoce upozna sa nekim stvarnim ljepotama koje nudi matematika,uz minimum poteskoca.

Matematika pociva na konceptu pojma broja, pa je osnovna svrha ovogkursa pokusaj da se objasni sta su to brojevi. Provjeravanje detalja u kon-strukciji nekih vrsta brojeva moze biti zamorno, pa se mi necemo upustatiu sve pojedinosti tih konstrukcija. Sa druge strane, krajnji proizvodi, a

1

2 GLAVA 1. SKUPOVI I FUNKCIJE

to su sistemi prirodnih, cijelih, racionalnih, realnih i kompleksnih brojeva,predstavljaju osnovu matematike i njihovo pravilno razumijevanje je, dakle,osnova za bilo kakvo bavljenje matematikom. Odgovor na pitanje ,,sta suto brojevi karakterise matematiku kao u sustini apstraktnu nauku. Ta jeapstraktnost u biti ove nauke, pa se i zbog toga mogu pojaviti problemi urazumijevanju.

Postoji, u sustini, pet brojnih sistema: prirodni brojevi, cijeli brojevi,racionalni brojevi, realni i kompleksni brojevi. O njima ce ovdje biti gov-oreno sa aspekta osnovnih algebarskih struktura, a to su: grupe, prsteni ipolja. Te strukture, u stvari, predstavljaju uopstenje brojeva. Istaknimoodmah i vazan pojam varijable. Ako bi se samo jedan dogadaj morao zvatipocetkom savremene matematike onda bi to mogao biti moment uvodenjapojma varijable u matematiku. Smatra se da je to izum francuskog mate-maticara Vieta-a. Varijable omogucuju da se komplikovane osobine moguizraziti na jednostavan nacin.

Jos jedan od problema koji otezavaju razumijevanje matematike je jezikkojim se ona sluzi. Onaj ko uci matematiku susrece se sa novim konceptima,njihovim imenima i mnogobrojnim skracenicama i simbolima.

Matematicke cinjenice se uglavnom izricu preko iskaza. Iskaz je smislenarecenica koja je ili tacna (istinita) ili netacna (lazna).

Iskazi se obicno oznacavaju malim latinicnim slovima p, q, r, . . .. Ako jeiskaz p tacan onda to zapisujemo sa Ako je iskaz p tacan pisacemo (p) = >,a ako je netacan (p) = . Pored toga, znaci > i oznacavace nam bilokoji tacan, odnosno netacan iskaz.

Iskazi sa kojima cemo se mi susretati su matematicke tvrdnje, koje su,izuzev nekih kontraprimjera, kojima se nemamo namjeru baviti, ili tacne ilinetacne, tako da je prethodna definicija iskaza dovoljno opsta i prihvatljiva.

Bogatstvo pojmova u matematici se pojavljuje zbog mogucnosti da se,po strogim pravilima, od osnovnih pojmova prave slozeniji. Od dva iskazap i q moguce je formirati nove iskaze vezujuci ih na sljedeci nacin:

i, ili, ako . . . onda, ako i samo ako.

Iskaz p i q pisemo u obliku pq i nazivamo ga konjunkcijom. Konjunkcijap q je tacna ako su oba iskaza tacna, dok je u svim ostalim slucajevimanetacna. Iskaz p ili q koji oznacavamo sa p q naziva se disjunkcija,kojaje netacna ako su oba iskaza p i q lazni, dok je u svim ostalim slucajevimatacna.

Implikacijom nazivamo iskaz: ,,ako p onda q i oznacavamo ga sa p q.Implikacija je netacna na ako je iskaz p tacan, a iskaz q netacan, dok je uostalim slucajevima tacna. Ako je implikacija istinita, onda kazemo da iz

1.1. SKUPOVI 3

iskaza p slijedi iskaz q. Isto tako se kaze da je uslov p dovoljan za uslov qili da je uslov q potreban za uslov p. U tom slucaju, naime, ako je iskaz pistinit zakljucujemo da je iskaz q, takode, istinit. Fraza ,,ako . . . onda se umatematici uvijek upotrebljava u gornjem smislu, mada to moze, donekle,odudarati od njene svakodnevne upotrebe.

Implikacija p q, isto tako, znaci da jedino nije moguce iz istinitostiiskaza p izvesti neistinitost iskaza q (tj. istina me moze implicirati laz), doksu svi ostali slucajevi moguci.

Ako je implikacija p q istinita, onda se kaze: Iskaz p je dovoljan uslovza iskaz q (tj. iskaz q je istinit ako je p istinit). Takode se kaze: Iskaz q jepotreban uslov za p .

Iskaz p ako i samo ako q pisemo u obliku p q ili p q i nazivamoekvivalencijom. Ekvivalencija je istinita ako su p i q ili oba istinita ili obalazna, dok je u ostalim slucajevima lazna.

Ukoliko je ekvivalencija p q tacna, onda se kaze da je p potreban idovoljan uslov za q.

Ekvivalencija iskaza p i q je odredena kao konjunkcija

(p q) (q p).

Ispitati potrebnost i dovoljnost iskaza p za iskaz q u sljedecim primjerima

1. p: Broj se zavrsava cifrom 5.q: Broj je djeljiv sa 5.

2. p: Broj je djeljiv sa 3q: Zbir cifara broja je djeljiv sa tri.

3. p: Za duzine a, b, c stranica trougla vrijedi: c2 = a2 + b2.q: Trougao je pravougli.

Negacija iskaza p je iskaz p koji je tacan kada je p netacan, a netacankada je p tacan.

Lako se provjerava da operacije , i nad iskazima p, q, r, . . . zadovo-


ljavaju sljedece uslove:

p p p, p p pp q q p, p q q p

(p q) r p (q r), (p q) r p (q r)p (q r) (p q) (p r)p (q r) (p q) (p r)

p , p pp > p, p > >p p , p p >

p (p q) pp (p q) p.

(1.1)

Logickim zakonom ili tautologijom nazivamo iskaz sastavljen od iskazap, q, r, . . . i veza , , , , koji je uvijek tacan, bez obzira na tacnostili netacnost iskaza p, q, r, . . . od kojih je formiran. Navescemo neke od naj-znacajnijih tautologija:

[(p q) (q r)] (p r), zakon silogizma,p p, zakon iskljucenja treceg;p p, zakon dvojne negacije;(p q) (p q),(p q) (p q)

}De Morganovi zakoni;

(p (q q)) p, svodenje na apsurd;(p q) (q p), zakon kontrapozicije;p (p) , kontradikcija;(p q) (p q).

Navedene tautologije predstavljaju principe po kojima se formiraju do-kazi. Ilustrovacemo to sa nekoliko primjera.

Teorema 1.1 Postoji beskonacno mnogo prostih brojeva.

Dokaz. Dokaz provodimo kontradikcijom. Pretposatvimo suprotno, da sup1, p2, . . . pn svi prosti brojevi. Posmatrajmo broj N = p1 pn + 1. Naosnovu cinjenice da svaki cio broj veci od 1 mora biti djeljiv nekin prostimbrojem, zakljucujemo da postoji i takav da pi|N, a odatale slijedi da pi|1,sto je kontradikcija cinjenici da je pi prost broj.

Teorema 1.2 Broj2 nije racionalan.

1.1. SKUPOVI 5

Dokaz. I ovaj se dokaz provodi kontradikcijom. Pretpostavimo da vrijedi

2 =

p

q.

Pri tome mozemo pretpostaviti da su p i q relativno prosti prirodni brojevi.Zakljucujemo da je p2 = 2q2. Odavde zakljucujemo da je p2 paran broj.Medutim, p2 je paran samo ako je i sam p paran, pa zakljucujemo da jep = 2p. Sada dobijamo da je q2 = 2p2, pa na isti nacin zakljucujemo daje i q paran. To znaci da su i p i q djeljivi sa dva sto je u kontradikciji sapretpostavkom da su p i q relativno prosti.

Teorema 1.3 Da bi broj p bio prost potrebno je i dovoljno da za svaki ciobroj n ili p dijeli n ili je p relativno prost sa n.

Dokaz.Dokazimo da je uslov potreban. Pretpostavimo da je p prost broj yj. da

je djeljiv samo sa jedan i sa samim sobom (i veci od 1.) To znaci da se pne moze netrivijalno faktorisati. Neka je n bilo koji cio broj. Brojevi 1 i pmogu biti jedini pozitivni brojevi koji dijele i p i n. U drugom slucaju p|n, aako p ne dijeli n onda samo 1 dijeli i jedan i drugi broj, pa su p i n relativnorosti.

Uslov je dovoljan. Pretpostavimo da p ima osobinu da ili dijeli ili jerelativno prost sa svakim cijelim brojem n. Pretpostavimo da p nije prost.To znaci da postoji cio broj q, (1 < q < p) koji dijeli p. Kako je q < p ondap ne moze dijeliti q, pa su onda p i q relativno prosti, a to je nemoguce, jerq|p.

Izlozicemo sada osnovne pojmove teorije skupova. Iz tih pojmova jeizgradena cjelokupna matematika.

Skupse uzima za osnovni pojam, tj. pojam koji se ne definise.Osnovni pojmovi su element skupa i pripadnost elementa a skupu A

sto se oznacava sa a A. Smatracemo da nam je skup poznat ako mozemoodrediti sve njegove elemente. Ako a nije element skupa A, to pisemo a 6 A.

Zadati skup znaci tacno znati od kojih se elemenata taj skup sastoji inista vise. ne pretpostavlja se, dakle, da medu elementima skupa postojebilo kakve veze, osim naravno, da pripadaju

Dva skupa A i B smatramo jednakim i pisemo A = B, ako oni imaju isteelemente. Ovdje nam se prvi put pojavljuje znak jednakosti. Taj se znakupotrebljava i u nekim drugim kentekstima. Uopste se izraz a = b nazivajednakost. To mozemo shvatiti kao iska koji je tacan ako je a zaista istosto i b, a netacan ako tonije slucaj. Ako a i b zavise od istog skupa x i ako


je a = b za svaki element tog skupa, onda se prethodna jednakost nazivaidentitet na skupu X.

Skup koji nema elemenata oznacavamo sa i nazivamo prazanim sku-pom. Cesto se oko pojma praznog skupa moze stvoriti zabuna. Prije svegase to tica pitanja: Postoji li prazan skup? U matematici je to potpuno jasno,kao i sve drugo.

Aksioma o praznom skupu. Postoji skup koji nema elemenata.Za matematicare, dakle, prazan skup postoji. A onda se moze dokazati

da je on jedinstven i da je podskup svakog skupa.Ako je A skup tada se sa P(A) oznacava skup svih podskupova od A i

naziva partitivnim skupom od A.U matematici se cesto koriste rijeci svaki, neki i postoji. U sljedecoj

definiciji preciziracemo upotrebu tih rijeci.

Definicija 1.1 Ako svi elementi skupa A imaju neku osobinu P onda se tozapisuje na sljedeci nacin:

(a A),P(a).

Ako samo neki od elemenata iz A imaju osobinu P, ili, preciznije, ako postojibar jedan element skupa A koji ima tu osobinu onda se to zapisuje ovakoa:

(a A),P(a).

Simbol se naziva univerzalni, a egzistencijalni kvantifikator.

Osnivac savremene teorije skupova, pa i savremene matematike, bio je nje-mac ki matematicar Georg Kantor.

Primjedba 1.1 (Raselov paradoks.) U pocetku razvoja savremene teo-rije skupova pojavio se cuveni Raselov paradoks, sto je impliciralo neka pre-ciziranja u Kantorovoj teoriji. Naime, u toj teoriji se skup mogao formiratitako da se sastoji od elemenata koji imajaju neku osobinu P tj. da je a,P(a)skup, pri cemu je P bilo koja osobina. Rasel je smislio jednu apsurdnu os-obinu. Posmatrao je skupove A za koje je A A ili A 6 A, pa je posmatraoskup X sastavljen od skupova A za koje je A 6 A. Za skup X imamo:

Ako X X onda X nema osobinu P pa onda, po definiciji X, vrijediX X, sto je apsurd.

Ako, pak, X 6 X onda X ima osobinu P, pa, opet po definiciji X vrijediX X, sto je opet apsurd.

1.1. SKUPOVI 7

U prethodnim razmatranjima apsurdna je osobina A A. Kako nijedanskup nema tu osobinu onda bi skupu X pripadali svi skupovi, te bi to bioskup svih skupova, a onda bi mora sadrzavati i samog sebe, sto, vidjeli smo,dovodi do paradoksa.

Korekcija u Kantorovoj teoriji skupova je ucinjena u smislu da se skupovine mogu formirati sa toliko slobode koliku je davao Kantor i, specijalno, daskup svih skupova nije skup. takvim je objektima onda dato ime familija.Dakle, pojam familije je siri od pojma skupa.

Definicija 1.2 Za skup B kazemo da je podskup skupa A i pisemo B Aako je svaki element skupa B i element skupa A.

Definicija 1.3 Ako su A i B skupovi tada se skup AB = {x : x Ax B} naziva unijom skupova A i B.

Unija se moze definisati i za proizvoljnu familiju skupova (Ai)iI sa

iIAi = {a : i I, a Ai}.

Definicija 1.4 Ako su A i B skupovi tada se skup AB = {x : x Ax B} naziva unijom skupova A i B.

I presjek se moze definisati i za proizvoljnu familiju skupova (Ai)iI sa

iIAi = {a : i I, a Ai}.

Definicija 1.5 Skup A \ B = {x : x A (x B) nazivamo razlikomskupova A i B. Ako je jos i B A onda A \ B nazivamo komplementomskupa B u skupu A i oznacavamo sa A.

Za dva skupa A i B kazemo da su disjunktni, ako A B = .

Definicija 1.6 Neka je Ai A, (i I) neka familija podskupova skupa A.Tada za tu familiju kazemo da cini particiju skupa A ako je

A = iIAi, Ai Aj = , (i 6= j).

Uobicajeno je da se elementi Ai particije nazivaju blokovima.Za skupove A,B,C, . . . , koji su podskupovi nekog (univerzalnog) skupa

X lako se provjerava da operacije sa skupovima zadovoljavaju uslove iz 1.1s tim da se simbol zamijeni simbolom , simbol sa , komplementomskupa, > sa X. sa i jednakoscu skupova.


A A = A,A A = AA B = B A,A B = B A

(A B) C = A (B C), (A B) C = A (B C)A (B C) = (A B) (A C)A (B C) = (A B) (A C)

A = , A = AA X = A, A X = XA A = , A A = X

A (A B) = AA (A B) = A.

(1.2)

1.2 Relacije i funkcije

Elementi dva skupa, na neki nacin, mogu biti vezani jedni sa drugima. Teveze dovode do jednog od fundamentalnih pojmova u matematici, a to jepojam funkcije.

Definicija 1.7 Skup {{a}, {a, b}} se naziva uredenim parom i oznacava sesa (a, b). Element a se naziva prvom, a b drugom komponentom uredenogpara.

Uredeni par je, dakle, dvoclani skup sa dodatnom osobinom

(a, b) = (c, d) a = c, b = d.Zaista, jednakost {{a}, {a, b}} = {{c}, {c, d}} vrijedi jedino u slucaju da jea = c i b = d.

Za date skupove A i B sa AB oznacavamoAB = {(a, b)|a A, b B}

i nazivamo ili direktnim proizvodom skupova A i B. Analogno se mozedefinisati Dekartov proizvod A1 A2 An od n skupova. Taj seskup sastoji od urede nih n-torki (a1, a2, . . . , an), pri cemu je ai Ai, (i =1, 2, . . . , n).

Neprazne podskupove direktnog proizvoda skupova A i B nazivacemorelacijama. Ako je R A B, tada (a, b) R pisemo u obliku aRb ikazemo da je a u relaciji R sa b.

Ako je A = B onda se kaze da je relacija zadata na skupu A.Dvije vrste relacija su posebno bitne. To su relacija poretka i relacija

ekvivalencije.

1.2. RELACIJE I FUNKCIJE 9

Definicija 1.8 Ako je R neka relacija na nepraznom skupu A, onda se onanaziva:

1) refleksivnom, ako je aRa, za svako a A;2) simetricnom, ako je aRb slijedi bRa;3) antisimetricnom, ako iz aRb i bRa slijedi a = b;4) tranzitivnom, ako iz aRb i bRc slijedi aRc.

Definicija 1.9 Relacija koja je refleksivna, antisimetricna i tranzitivna jerelacija poretka. Za skup na kom je definisana neka relacija poretka kazseda je ureden (parcijalno ureden).

Definicija 1.10 Ako je R relacija poretka na skupu A i ako za svako a, b A vrijedi aRB ili bRa, onda se kaze da je skup A totalno ili linearno uredenrelacijom R.

Najvazniji primjer relacije uredenja je u skupovima prirodnih, cijelih ,racionalnih i realnih brojeva. Zbog toga je praksa da se uopste relacijeporetka oznacavaju sa .Definicija 1.11 Za element a A uredenog skupa kazemo da je najmanjielement tog skupa, ako ne postoji a A takav da je a a, a 6= a. Totalnoureden skup u kome svaki neprazni podskup ima najmanji element naziva sedobro uredenim skupom.

Najvazniji primjer dobro uredenog skupa je skup prirodnih brojeva.

Definicija 1.12 Relacije koje su zadane na nekom nepraznom skupu nazi-vamo relacijama ekvivalencije, ako su refleksivne simetricne i tranzitivne.

Jedan od uobicajenih simbola koji se koriste za oznacavanje relacija ekviva-lencije je .Definicija 1.13 Ako je relacija ekvivalencije na A onda se za svako a A podskup

[a] = {b A|a b}naziva klasom ekvivalencije elementa a.

Sljedeca teorema daje tijesnu vezu izmedu relacija ekvivalencije na nekomskupu i particijam tog skupa.


Teorema 1.4 (Teorema o klasama ekvivalencije) Skup klasa ekvival-encije na skupu A cini particiju tog skupa. Obrnuto, Ako je {Ai}iI nekaparticija skupa A, tada na tom skupu postoji relacija ekvivalencije za kojusu skupovi Ai, (i I) klase ekvivalencije.Dokaz. Dokazimo prvo sljedecu tvrdnju:Vrijedi [a] = [b] ako i samo ako a b.

Zaista, neko je a b i x [a]. Zbog simetricnosti relacije vrijedi b a,a onda zbog tranzitivnosti vrijedi b x, tj. x [b]. Tako smo dokazali da[a] [b]. Na isti se nacin dokazuje i obrnuta inkluzija.

Obrnuto, ako je [a] = [b] tada je a [b], tj. a b.Primjetimo sad da zbog refleksivnosti za svako a A vrijedi a [a], sto

pokazuje da nijedna klasa nije prazna i da se svaki element skupa A nalaziu nekoj klasi. Da bi klase cinile particiju skupa A treba jos dokazati da sudvije razlicite klase medusobno disjunktne. Zaista, ako su klase elemenataa i b medusobno razlicite, to po vec dokazanom znaci da je a 6 b. Ako jec [a] [b] onda je a c, b c, pa je, zbog tranzitivnosti, i a b, a tonije tacno. Zakljucujemo da su klase [a] i [b] disjunktne.

Definicija 1.14 Funkcijom ili preslikavanjem f iz skupa A u skup B nazi-vamo relaciju f A B, u kojoj nema uredenih parova cije su prve koor-dinate jednake, a druge razlicite i oznacavamo je sa

f : A B.Ako (a, b) f onda pisemo b = f(a) i a nazivamo originalom, a b slikom.

Zahtjev iz definicije funkcije znaci da svaki original ima jedinstvenu sliku.Skup

D(f) = {x A : (y B) y = f(x)},naziva se domenom ili definicionim podrucjem funkcije f .

Kada budemo pisali f : A B podrazumijevacemo da je D(f) = A.Slikom ili kodomenom funkcije f naziva se skup

S(f) = {y B : x A takav da je y = f(x)}.Prethodna definicija precizira pojam funkcije pod kojom se (,,intuitiv-

no) podrazumijeva pridruzivanje elementima domena jedinstvenih eleme-nata slike.

Definicija 1.15 Za funkcije f i g kazemo da su jednake ako je D(f) = D(g)i f(a) = g(a), za svaki a D(f).

1.2. RELACIJE I FUNKCIJE 11

Definicija 1.16 Funkciju f : A B nazivamo konstantnom funkcijom akoje f(a1) = f(a2), za sve a1, a2 A.Definicija 1.17 Funkciju iA : A A nazivamo identitetom na A ako jeiA(a) = a, za svaki a A.

Umjesto iA moze se pisati samo i, ukoliko to ne moze dovesti do zabune.

Definicija 1.18 Ako f : X Y i Y1 f(X) tada se skup f1(Y1) = {x X : f(x) Y1} naziva pra-slikom ili originalom skupa Y1.Teorema 1.5 Ako je f : X Y, tada je {f1(y) : y S(f)} particijaskupa X.

Dokaz. Ocigledno.

Definicija 1.19 Neka su f : A B i g : B C funkcije za koje vrijediS(f) D(g). Tada se funkcija kompozicija g f : A C tih funkcijadefinise sa (g f)(a) = g(f(a)).Kompozicija funkcija ima sljedecu vaznu osobinu asocijativnosti.

Teorema 1.6 Neka su f : A B, g : B C, h : C D, za koje jeS(f) D(g), S(g) D(h). Tada je

h (g f) = (h g) f.Dokaz. Za svako a A vrijedi:

[h (g f)](a) = h[(g f)(a)] = h(g(f(a))i

[(h g) f ](a) = [h g](f(a)) = h(g(f(a))).Teorema 1.7 Ako je f : A B funkcija, tada vrijedi

iA f = f iB = f.Dokaz. Ocigledno.

Definicija 1.20 Za funkciju f : A B kazemo da je injektivna ili 1 1ako su slike razlicitih elementata razlicite, tj. ako

f(a1) = f(a2) a1 = a2.Reci cemo da je f sirjektcija ili ,,na ako je S(f) = B. Funkcija se

naziva bijektivnom, ako je i injektivna i sirjektivna.


Sljedeca teorema daje jednu od karakterizacija injektivnih i sirjektivnihfunkcija.

Teorema 1.8 a) Funkcija f : X Y je injektivna ako i samo ako pos-toji funkcija g1 : S(f) X za koju je g1 f = iX .

b) Funkcija f : X Y je sirjekcija ako i samo ako postoji funkcijag2 : Y X za koju je f g2 = iY .

c) Funkcija f : X Y je bijekcija ako i samo ako postoji funkcije g :Y X za koju je g f = iX , f g = iY .

Dokaz. a) Prvo cemo dokazati da je uslov dovoljan (dio ,,ako u formulacijiteoreme). Pretpostavimo da postoji funkcija g1 sa navedenom osobinom.Ako su x1, x2 X takvi da vrijedi f(x1) = f(x2), tada je g(f(x1)) =g(f(x2)), sto znaci da je (g1 f)(x1) = (g1 f)(x2), pa kako je g1 f = iXslijedi x1 = x2.

Dokazimo sada daje uslov potreban (dio i samo ako u formulaciji teo-reme). Sada cemo pretpostaviti da je funkcija f injekcija. Uzmimo proizvolj-no y S(f) i definisimo g1(y) = f1(y). Kako je, zbog injektivnosti funkcijef skup f1(y) jednoclan, to je funkcija g1 korektno definisana. Ociglednovrijedi g1(y) = x, ako i samo ako je f(x) = y, tj. g1 f = idX .

b) Neka postoji funkcija g2 sa navedenom osobinom. Tada, za svakoy Y vrijedi y = f(g2(y)), pa je f sirjekcija. Obrnuto, neka je f sirjekcija iy Y. U ovom slucaju ne mozemo funkciju g2 : Y X definisati sa g2(y) =f1(y), jer skup f1(y) nije jednoclan. U ovon slucaju cemo iz svakog skupaf1(y) izabrati tacno jedanog predstavnika i definisati g2 : Y X tako daje g2(y) = x, pri cemu je x predstavnik skupa f1(y). Funkcija g2 ociglednozadovoljava trazeni uslov.

c) Na osnovu a) i b) tvrdnja da je f bijekcija je ekvivalentna postojanjufunkcija g1 : Y X i g2 : Y X takvih da je g1 f = iX , f g2 = iY .Kako je, u ovom slucaju, f1(y) jednoclan skup to vrijedi g1 = g2.

U razmatranjima prethodne teoreme mi smo dosli do vaznog pojma in-verzne funkcije. Ako je, naime, f injektivna funkcija tada je f : D(f) S(f) bijekcija. I funkcija g : S(f) D(f) je, takode bijekcija.

Definicija 1.21 Ako je f injekcija, tada se funkcija g naziva se inverznomfunkcijom od f i oznacava sa f1.

Definicija 1.22 Bijektivne funkcije f : X X nazivaju se permutacijamaskupa X. Permutacija skupa X oznacavacemo sa A(X).

1.3. KARDINALNI BROJEVI 13

Iz prethodnih razmatranja lako se dobija sljedeca teorema.

Teorema 1.9 Ako je X neprazan skup tada vrijedi:

a) f, g A(X) f g A(X).

b) f, g, h A(X) (f g) h = f (g h).

c) f A(X) i f = f i = f.

d) Za f A(X) postoji g A(X) takav da je f g = g f = i.

1.3 Kardinalni brojevi

Definicija 1.23 Ako za skupove A i B postoji bijekcija f : A B onda sekaze da je skup A ekvipotentan skupu B, i pisemo A B.

Nasa rijec za ekvipotentnost mogla bi biti ,,jednakobrojnost.

Teorema 1.10 Ekvipotentnost je relacija ekvivalencije.

Dokaz. Ovdje se pretpostavlja da su svi posmatrani skupovi podskupovinekog univerzalnog skupa X. Za svaki skup A identicno preslikavanje iA :A A je bijekcija, sto znaci da je relacija ekvipotentnosti refleksivna. Akoje f : A B bijekcija tada je i f1 : B A takode bijekcija, pa jeekvipotentnost simetricna operacija. Na kraju, ako su f : A B, g : B C bijekcije tada je g f : A C takode bijekcija, a to znaci da je relacijaekvipotentnosti i tranzitivna.

Definicija 1.24 Klasa ekvivalencije skupa A u odnosu na relaciju ekvipo-tentnosti nazivamo kardinalnim brojem skupa A. Taj cemo broj oznacavatisa #A.

Primijetimo da za definiciju pojma kardinalnog broja nismo koristili nikakveosobine brojeva. To znaci da pojam kardinalnog broja skupa mozemo uzetikao polazni pojam u izgradnji ostalih vrsta brojeva. Pomocu kardinalnihbrojeva se skupovi mogu podijeliti u dvije grupe: konacne i beskonacne.Ovdje se, dakle, prvi put susrecemo sa pojmom beskonacnog skupa.

Definicija 1.25 Skup A nazivamo beskonacnim ako je ekvipotentan nekomsvom pravom podskupu. Skupove koji nisu beskonacni nazivamo konacnim.


Prirodno se postavlja pitanje: Postoje li beskonacni skupovi? I tu, stose matematike tice, nemamo nikakve dileme. Pitanje je rijeseno aksiomomo postojanju beskonacnog skupa. Objasnicemo tu definiciju podrobnije.Vidjeli smo, iz aksiome o praznom skupu, da postoji skup . Skup {} imajedan element, i prema tome {} 6= . Sada postoji skup {, {}}, koji serazlikuje od oba prethodna skupa. Aksioma o beskonacnom skupu nam kazeda se ovaj proces moze produziti neograniceno.Aksioma beskonacnosti: Postoji skup oblika

N = {, {}, {, {}}, {, {}, {, {}}, . . .}.

Sada je lako vidjeti da je preslikavanje

{}, {} {, {}}, {, {}} {, {}, {, {}}, . . . .}

bijekcija gornjeg skupa na pravi podskup

{{}, {, {}}, {, {}, {, {}}, . . . , }

pa je taj skup beskonacan. Sa druge strane skup {a} je konacan, jer onnema pravih podskupova, pa ne mozni postojati bijekcija tog skupa na pravipodskup.

Kardinalni broj skupaN iz aksiome beskonacnosti jednak je kardinalnombroju skupa N prirodnih brojeva jer je preslikavanje:

{} {, {}} 1 2 3

bijektivno.

Definicija 1.26 Kardinalni broj skupa prirodnih brojeva oznacava se sa 0,a skupovi ciji je to kardinalni broj nazivaju se prebrojivim.

Primjer 1.1 1. Dokazati da je skup cijelih brojeva prebrojiv.

2. Dokazati da je skup racionalnih brojeva prebrojiv.

3. Dokazati da sup realnih brojeva nije prebrojiv.

Rjesenje. 1. Preslikavanje n 2n, n 2n 1 je bijekcija skupa Z naskup N.

1.3. KARDINALNI BROJEVI 15

2. Dokazati da je neki skup prebrojiv znaci da se elementi tog skupamogu poredati u niz oblika a1, a2, . . . . Pokazimo kako se u takav niz moguporedati racionalni brojevi. Prvo cemo pozitivne racionalne brojeve smjestitina jednu pravougaonu semu.

1 2 3 n 12

22

32 n2

13

23

33 n3

......

... ... 1n

2n

3n nn

.

Jasno je da se svaki pozitivan racionalan broj pojavljuje bar jednom u ovojsemi. Sada ih pocnemo redati u niz pocev od gornjeg lijevog ugla. Dakle,prvi element u nizu je 1. Sljedeci clanovi se uzimaju sa dijagonale ispodjedinice od desnog do lijevog kraja, a da se pri tome izostavljaju vec uzetielementi. Prema tome, sljedeci elementi u nizu su 2 i 12 , a zatim prelazimona sljedecu dijagonalu. Sljedeci elementi niza su 13 , pa izostavljamo

22 , pa 3,

itd. Na taj nacin cemo sve pozitivne racionalne brojeve smjestiti u niz

1, 2,12,13, 3, 4,

32,23,14, . . . ,

sto znaci da je skup pozitivnih, pa i skup svih, racionalnih brojeva prebrojiv.3. Mi cemo dokazati da skup realnih brojeva iz intervala (0, 1) nije pre-

brojiv, tj. da se elementi tog skupa ni na koji nacin ne mogu poredati u niz.Znamo da se realni brojevi iz datog intervala mogu predstaviti beskonacnimdecimalnim brojevima. Mali problem je sto takva reprezentacija nije jed-noznacna. Naime, brojevi koji se zavrsavaju nulama imaju dvije reprez-entacije. Tako na primjer 12 mozbiti predstavljena sa 0.500000..... ali i sa0.4999999......

Da bi postigli jednoznacnost ovakvih reprezentacija mi cemo pretposta-viti da se broj ne zavrsava nulama, tj. od dvije moguce reprezentacije biramodrugu.

Pretpostavimo sada suprotno, da se realni brojevi iz intervala (0, 1)mogu, na neki nacin, poredati u niz. Napisimo clanove tog niza u ver-tikalnom poretku.

0.a11a12 a1n 0.a21a22 a2n

...0.an1an2 ann

...

.


Pri tome su aij cifre, tj. elementi skupa {0, 1, . . . , 9}. Posmatrajmo realanbroj b = 0.b1b2 . . . bn . . . iz intervala (0, 1), koji je formiran na sljedeci nacin:cifra b1 je izabrana tako da je b1 6= a11. Cifra b2 je izabrana tako da jeb2 6= a22, itd. cifra bn je izabrana tako da je bn 6= ann, za svaki n. Jasno jeda se ovaj broj razlikuje od svih brojeva koji se nalaze u prethodnom nizu,sto je nemoguce. Time je tvrdnja dokazana.

Moze se dokazati da je skup realnih brojeva iz intevala (0, 1) ekvipotentanskupu svih realnih brojeva.

Definicija 1.27 kardinalni broj skupa realnih brojeva se oznacava sa c inaziva se kontinuum.

Kardinalni brojevi se mogu porediti

Definicija 1.28 Kazemo da je #A #B ako postoji injektivno preslika-vanja f : A B.U smislu ove definicije vrijedi i prethodnog vrijedi

0 < c.Dakle, 0 i c su dva razlicita beskonacna kardinalna broja. Pitanje da lipostoji kardinalni broj 1 za koji je

0 < 1 < cje bilo jedna od najznacajnijih hipoteza u matematici. To je cuvana kontin-uum hipoteza. Ispostavilo se da se postojanje takvog kardinalnog broja nemoze ni dokazati ni opovrgnuti.

Sljedeci rezultat, koji je netrivijalan, daje jednu od najvaznijih osobinakardinalnih brojeva.

Teorema 1.11 (Kantor-Bernstajnova teorema) Vrijedi

#A #B, #B #A #A = #B.Pogledajmo kako se, pomocu ove teoreme, moze jednostavno dokazati

da je skup racionalnih brojeva prebrojiv. Naime n n1 je injekcija N u Q+.Obrnuto, kako se svaki pozitivan racionalan broj r moze napisati u oblikur = pq pri cemu su p i q relativno prosti, to je, na osnovu osnovnog stavaaritmetike preslikavanje r 2p3q injekcija skupa Q+ u N, pa je #Q = 0na osnovu Kantor-Bernstajnove teoreme.

Kardinalni broj konacnog skupa {a1, a2, . . . , an} jednak je n i to je, dakle,broj elemenata tog skupa.

1.4. ZADACI 17

Primjer 1.2 Dokazati da za skup A sa n elemenata vrijedi #P(A) = 2n.Rjesenje. Neka je A = {a1, a2, . . . , an}. Svaki podskup skupa A mozemopredstaviti nizom duzine n, koji je sastavljen od nula i jedinica, na sljedecinacin: Posmatrajmo bilo koji podskup B od A. Ako a1 pripada B stavimona prvo mjesto niza 1, a ako ne pripada stavimo 0. To ponovimo za a2, paza a3 itd. na kraju na posljednje mjesto stavimo 1 ili 0 prema tome da li anpripada B ili ne pripada. Tako je broj podskupova jednak broju binarnihnizova duzine n, a taj je broj jasno jednak 2n.

Kardinal 0 je najmanji beskonacan kardinalan broj. To slijedi iz sljedeceteoreme.

Teorema 1.12 Svaki beskonacan skup sadrzi prebrojih podskup.

Dokaz. Dokaz se naizgled cini jednostavnim. Neka je naime A beskonacanskup. Uzmimo proizvoljan element iz a1 A. Posmatrajmo skup A1 =A \ {a1}. Taj skup nije prazan, jer bi inace skup A bio konacan. Izaberimoproizvoljan element a2 iz A1 i formirajmo skup A2 = A \ {a1, a2}. Ni tajskup nije prazan pa u njemu mozemo izabrati element a3 itd. Na taj nacindobijamo prebrojiv podskup a1, a2, . . . uA. Jedino je pitanje: Moze li se ovimpostupkom formirati jedan beskonacan skup {a1, a2, . . . , an, . . .}.Odgovor je,naravno, da moze, a to slijedi iz najkontraverznije aksiome teorije skupova,a to je tzv. aksioma izbora, ali se mi u te detalje necemo upustati.

1.4 Zadaci

Matematicka logika. Skupovi. Relacije.Funkcije. Apstraktna algebra

1. Dokazati sljedece tautologijea)(p q) (q p)b) (p q) (p q)c) (p (p q)) qd) (p q) ((p q) (q p)).

2. Dokazati skupovne jednakostia) (A B) = A B


b) A (B C) = (A B) (A C)Prikazati Venovim dijagramima.

3. Dokazati skupovnu jednakost

A (B C) = (AB) (A C).

4. Dati su skupovi A = {x N| 2 < x 5}, B = {x Q|x = m+12 ,m Z}C = {x Z|x2 8}. Odrediti :a)(A B) Cb) |A C|c) C (univerzalan skup je skup R)d) C Ae) Odrediti P(A).

5. U parlamentu od 84 poslanika, 27 govori engleski dok 12 govori njemacki.Ako medu njima postoje dvojica koja govore i engleski i njemacki, ko-liko poslanika ne govori nijedan strani jezik?

6. U razredu od 40 ucenika 22 igraju fudbal, 19 igra kosarku a 13 tenis.Sestoro igra tenis i kosarku a ne i fudbal, dok 7 igra samo tenis ifudbal. Nadalje, 10 ucenika ne igra tenis a igra oba druga sporta. Akose 9 ucenika ne bavi nikojim sportom, koliko ucenika se bavi sa sva trisporta? Koliko ucenika se bavi tacno jednim sportom?

7. Ispitati osobine sljedecih relacija:a) Relacija slicnosti nad skupom trouglova u ravnib) a b a| b , a, b Nc) Relacija paralelnosti medu pravama u prostoru. Opisati klase ekvi-valencije!d) Relacija u skupovimae) a b 6| a b, a, b Z. Odrediti klase ekvivalencije!f) a b 3| a2 b2, a, b Z. Odrediti klase ekvivalencije!

8. Pokazati da je R2 R2, (x, y)(a, b) x2 + y2 = a2 + b2 relacijaekvivalencije te odrediti njene klase.

9. Ispitati koje od sljedecih relacija su ujedno i funkcije te za njih odreditiskup vrijednosti i osobine (1 1,na)a) R R, xy x2 + y2 = 5b) R2 R, (x, y)z z = x2 + y2

1.4. ZADACI 19

c) Z Z+, xy y = x2 + 1d) R R, xy x2 + y2 = 5

10. Ispitati osobine (1 1,na) sljedecih funkcijaa) f : R R, f(x) = 2x3 + 1b) f : Q+ Q+, f(x) = x2c) f : R Z+ {1, 0}, f : x 7 b|x|c 1

11. Za zadate g, f odrediti g f i f g te njihove domenea) f =

x 1, g = x3 + 9

b) f = x2 1, g = x+ 1x12. Uporediti kardinalnost sljedecih skupova

a) N2 i N3b) [2,5] i [-3,17]c) [3,4] i (7,12]d) (pi/2, pi/2) i R

13. Pokazati da je struktura ({f1, f2, f3, f4, f5, f6}, ) grupa gdje je

f1(x) = x, f2(x) =1

1 x, f3(x) =x 1x

, f4(x) =1x, f5(x) =

x

x 1 , f6(x) = 1x

14. Ispitati algebarske strukture (Z5,+5) i (Z5 \ {0}, 5).

Documents

Elementarna Teorija Brojeva 1