3. TEORIJA BROJEVA

3.1 Uvod

Aritmetika (ra�cunstvo) je grana matematike koja sebavi brojevima.

Danas je �ce�ci naziv za aritmetiku teorija brojeva.

Teorija brojeva (klasi �cna) se bavi ponajprije prirod-nim brojevima, te cijelim i racionalnim brojevima.

Algebarska teorija brojeva se bavi algebarskim bro-jevima, ali i apstraktnim matemati�ckim strukturama(ispreplitanje s algebrom).

� prvi aritmeti�cki problemi zapisani su u starom Ba-bilonu i Egiptu 2-3 tisuce godina prije Krista;

� va�no:

N otkrice iracionalnih brojeva, te osnovnih svojstvadjeljivosti prirodnih brojeva (starogr�cka matematika- prva znanja sadr�ana u Euklidovim Elementima);

N otkrice dekadskog zapisa i nule (Indijci);

N znanja sintetizirana u europskoj srednjovjekovnoj inovovjekovnoj matematici;

� kraljica matematike (gotovo svi veliki matemati�cari suse bavili aritmetikom).

Neki najpoznatiji rije�eni i nerije�ni problemi teorijebrojeva:

� Goldbachova slutnja: svaki se paran broj 2n; 2n � 4,mo�e izraziti kao suma dva prim broja p i q, tj.

p + q = 2n:

Tvrdnja je jo� ne dokazana. (Nagrada 1.000.000 $)

� 10. Hilbertov problem (1900): Postoji li algoritam zanala�enje rje�enja Diofantske jednad�be1?Negativan odgovor dao je Matija�evi�c 1970.

1 Diofant (gr�c.���o'���o& ; vjerojatno u 3. stoljecu Aleksandriji) veliki starogr�ckimatemati�car.

Diofantska jednad�ba - algebarska jednad�ba s dvjema ili vi�e nepoznanica scjelobrojnim koe�cijentima, kojoj se tra�e cjelobrojna ili racionalna rje�enja.Ime je dobila po Diofantu koji je prvi sustavno prou�cavao takve jednad�be.

N Pellova jednad�ba2: Najpoznatija Diofantska jed-nad�ba oblika

x2 � dy2 = 1;

gdje je d prirodan broj koji nije kvadrat. Sva pozi-tivna (cijela) rje�enja (xn; yn) ove jednad�be danasu sa

xn +pdyn =

�x0 +

pdy0

�n;

gdje je (x0; y0) prvo (�najmanje�) rje�enje u prirod-nim brojevima3.

N Fermatov zadnji (veliki) teorem: Jednad�ba

xn + yn = zn;

gdje sux; y; z; n cijeli brojevi, nema rje�enje zan > 2:

Teorem je kona�cno dokazao Andrew Wiles 1995.

2 Ime jednad�bi je pogre�no dao Euler 1730. po engleskom matemati�caru JohnuPellu.

3 Rje�enje je navodno znao i Fermat (1657.), ali pripisuje se Wallisu i Brounckleru,iako je 500 godina prije rije�io Bhaskara (12 st.). Postojanje najmanjeg rje�enja jestrogo dokazao Lagrange 1769.

N Catalanova slutnja (1843): Jedina rje�enjajednad�be

xu � yv = 1;

u prirodnim brojevima x, y, u, v su 32 � 23 = 1:Slutnju je kona�cno dokazao Mih�ailescu 2003.4

� Teorem (Roth)5 Za realan algebarski broj � nejed-nad�ba ������ pq

���� < 1

q2+";

gdje je " > 0; ima kona�cno mnogo rje�enja.

4 Mih�ailescu je dokazao da jednad�baxp � yq = 1;

nema rje�enja u ne-nul cijelim brojevima i prim brojevima p i q:Ovo zajedno s rezultatima Lesbegua (1850) i Ko Chaoa (1865) dokazuje slutnju.

5 Njema�cki matemati�car Klaus Roth je za ovaj rezultat 1958. dobio Fieldsovumedalju.

3.2 Cijeli brojevi. Djeljivost.

Skup cijelih brojeva je skup

Z = f:::;�2;�1; 0; 1; 2; :::g :

De�nicija Neka su a i b cijeli brojevi. Ka�emo da adijeli b ako je a 6= 0 i postoji k 2 Z tako da je b = ak.Pi�emo a jb i �citamo "a dijeli b". Broj a nazivamodjelitelj broja b; a broj b vi�ekratnik broja a.

Propozicija 1 Relacija "biti djelitelj" ima sljedeca svo-jstva:

� re�eksivnost: za svaki cijeli broj a 6= 0 vrijedi a ja ;

� antisimetri�cnost: za svaka dva cijela broja a i b iza jb i b ja slijedi a = �b: Ako su a; b 2 N; onda slijedia = b;

� tranzitivnost: ako a jb i b jc onda a jc :

Primjer Ako su a; b; c 2 Z; onda iz a jb i a jc slijedia j(nb +mc) za bilo koja dva cijela broja m i n:

De�nicija Ako su a; b; d 2 Z takvi da je d ja i d jb ;onda d nazivamo zajedni�ciki djelitelj od a i b:

Ako je barem jedan od brojeva a i b razli�cit od 0,onda postoji i najveci zajedni�cki djelitelj kojeg nazi-vamo najveca zajedni�cka mjera (Nzm) od a i b iozna�cavamo saM(a; b) ili Nzm(a; b):

Ako su brojevi a i b razli�citi od 0, onda naj-manji prirodan broj �ciji su a i b djelitelji nazivamonajmanji zajedni�cki vi�ekratnik (nzv) od a i b i oz-na�cavamo sa v(a; b) ili nzv(a; b):

Primjer:� Nzm(a; b) > 0;

� Nzm(a; 0) = a; za sve a 2 N;

� Nzm(a; b) = Nzm(b; a) = Nzm(jaj ; jbj)nzv(a; b) = nzv(b; a) = nzv(jaj ; jbj)

� Ako su a; b 2 N onda je

Nzm(a; b) � min fa; bg � max fa; bg � nzv(a; b);

� Ako je a 2 N i b 2 Z onda

a jb =) Nzm(a; b) = a:

Napomena: Na sli�can na�cin mo�emo de�nirati, zabilo koji kona�can skup cijelih brojeva a1; a2; :::; an;Nzm(a1; a2; :::; an) i nzv(a1; a2; :::; an):

Propozicija 2 Neka su a1; a2; :::; ar i b1; b2; :::; bs cijelibrojevi i neka je

a1 + a2 + ::: + ar = b1 + b2 + ::: + bs:

Ako su svi gornji brojevi djeljivi s d 2 N osim jednogonda je i taj broj djeljiv s d.

Teorem 1 (o dijeljenju) Neka su dani a 2 Z i b 2 Nonda postoje jedinstveni cijeli brojevi q i r; 0 � r < b;takvi da je

a = bq + r:

Broj q se naziva kvocijent pri dijeljenju a i b, a rostatak .

Neka je m 2 N, Ozna�cimomZ = fkm j k 2 Zg

skup svih vi�ekratnika od m.

Propozicija 3 Neprazan podskup S skupa cijelihbrojeva koji je zatvoren s obzirom na operacijuoduzimanja (tj. iz a; b 2 S slijedi a� b 2 S) jednak jeili f0g ili mZ za neki m 2 N.

3.3 Euklidov algoritam

Propozicija 4 Neka su a; b; q; r 2 Z i a = bq + r:Onda je svaki zajedni�cki djelitelj od a i b ujednoi zajedni�cki djelitelj od b i r. Posebno vrijediNzm(a; b) = Nzm(b; r):

Teorem 2 (Euklidov algoritam za nala�enje Nzm)Neka su dani a 2 Z i b 2 N: Pretpostavimo da je uza-stopnom primjenom Teorema1 dobiven niz jednakosti

a = bq1 + r1; 0 < r1 < b

b = r1q2 + r2; 0 < r2 < r1

r1 = r2q3 + r3; 0 < r3 < r2 (*)...

rk�2 = rk�1qk + rk; 0 < rk < rk�1

rk�1 = rkqk+1:

Tada je Nzm(a; b) = rk; tj. Nzm(a; b) jednako jeposljednjem ostatku razli�citom od 0: Nadalje, postojebrojevi s; t 2 Z takvi da je

Nzm(a; b) = rk = sa + tb; (**)

tj. rk se mo�e izraziti kao linearna kombinacija od a i b.

Primjer Odredite d = Nzm(252; 198) i prika�ite d kaolinearnu kombinaciju brojeva 252 i 198:

Napomena

� U Euklidovom algoritmu smo pretpostavili da jeb > 0 �to nije bitno ograni�cenje jer je Nzm(a; b) =Nzm(jaj ; jbj);

� ako su a; b 2 N i a < b; onda u prvom koraku imamoa = b � 0 + a; pa a i b zamijene mjesta.

� Primijetimo da jejab

k= q1;

�b

r1

�= q2;

�r1r2

�= q3 :::;

gdje je bxc najveci cijeli dio od x; tj. bxc = q gdje jeq najveci cijeli broj � x:

� Brojevi s; t 2 Z u (**) nisu jednozna�cno odredeni,jer je npr.

Nzm(a; b) = sa + tb = (s + b) a + (t� a) b;

Posljedica 1 Neka su a; b 2 Z i d 2 N takvi da d ja id jb : Onda d jNzm(a; b) :

Teorem 3 Ako je barem jedan od brojeva a, b 2 Z ra-zli�cit od 0; onda je

Nzm(a; b) = min fsa + tb js; t 2 Z i sa + tb > 0g :

De�nicija Ka�emo da su cijeli brojevi a i b relativno prosti ,ako je Nzm(a; b) = 1:

Propozicija 5 Neka su a; b; c 2 Z takvi da su a i b rel-ativno prosti i b jac ; onda b jc :

Propozicija 6 Neka su a; b 2 Z i c 2 N. Tada vrijedi:

i) Nzm(ca; cb) = cNzm(a; b);

ii) ako c ja i c jb ; onda je Nzm(ac ;bc) =

1cNzm(a; b):

Posebno, ako je d = Nzm(a; b); onda su ad i

bd

relativno prosti.

Primjena gornjih rezultata:

Jednad�bu oblika

ax + by = c; (1)

gdje su a; b; c zadani cijeli brojevi kojoj tra�imo cjelo-brojna rje�enja x i y nazivamo Diofantska jednad�baprvog stupnja s dvije varijable.

Propozicija 7 Neka su a; b; c 2 Z zadani cijeli brojevi.Diofantska jednad�ba (1) ima rje�enje onda i samoonda ako Nzm(a; b) jc :

3.4 Prosti brojevi. Osnovni teorem aritmetike.

Nadalje cemo promatrati samo skup prirodnih brojevaN. Djelitelje nekog broja a 2 N gledat cemo samo uskupu N:

De�nicija

� Svaki prirodan broj a > 1 ima uvijek dva djelitelja 1 ia i njih nazivamo trivijalni djelitelji .

� Za prirodan broj p > 1 ka�emo da je prost broj (iliprim broj) ako ima samo trivijalne djelitelje.

� Prirodan broj a > 1 koji nije prost nazivamoslo�en broj .

Primjer Prvi prosti brojevi su: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,23, 29, 31, 37, ...

Ako �elimo naci sve proste projeve � a; koristimojednostavni postupak kojeg nazivamo Eratostenovosito:

� Ispi�emo, po redu, sve prirodne brojeve od 1 do a;� Kri�amo 1;� Zaokru�imo 2 (prost) i kri�amo sve vi�ekratnike od2;

� Prvi preostali 3 (prost) zaokru�imo i kri�amo svevi�ekratnike od 3 (koji nisu vec prekri�eni);

� Prvi preostali 5 (prost) zaokru�imo i kri�amo svevi�ekratnike od 5 (koji nisu vec prekri�eni);

� ....� Algoritam zavr�ava u kona�cno koraka, a zaokru�enibrojevi su prosti.

Primjer Nadimo sve proste brojeve � 60 pomocu Er-atostenovog sita.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 32 33 34 35 36 37 38 39 4041 42 43 44 45 46 47 48 49 5051 52 53 54 55 56 57 58 59 60

Djelitelje od a 2 N nazivamo jo� i faktorima., a prikaza = bc gdje su b; c 2 N faktorizacija prirodnog brojaa: Ako je djelitelj od b prost broj, nazivat cemo gaprostim djeliteljem (ili prostim faktorom) od a:

Cilj nam je dokazati Osnovni teorem aritmetike.

Nekoliko pomocnih tvrdnji:

Lema 1 Neka je prirodan broj a > 1 i neka je p naj-manji djelitelj od a koji je veci od 1: Tada je p prost.

Lema 2 Neka je a 2 N. Za svaki prost broj p je iliNzm(p; a) = 1 ili p ja :

Propozicija 8 Ako je p prost broj i p jab ; onda p ja ilip jb :

Posljedica 2 Ako je p prost broj i p ja1a2:::an ; ondapostoji barem jedan ai takav da p jai :

Teorem 4 (Osnovni teorem aritmetike) Faktor-izacija svakog prirodanog broja a > 1 na prostefaktore je jedinstvena do na poredak prostih faktora.( Ili za svaki prirodan broja a > 1 postoji jedinstvenrastav

a = p�11 � p�22 � ::: � p

�kk ;

gdje su p1 < p2 < ::: < pk svi razli�citi prosti faktori oda: Broj �i 2 N nazivamo kratno�cu prostog broja pi:)

Posljedica 3 Ukupan broj razli�citih djelitelja prirodnogbroja a = p�11 � p

�22 � ::: � p

�kk rastavljenog na proste fak-

tore je

� (a) = (�1 + 1) (�2 + 1) ::: (�n + 1)

Teorem 5 (Euklid) Skup svih prostih brojeva jebeskona�can.

Propozicija 9 Neka su a; b 2 N tada vrijedi

nzv(a; b) =ab

Nzm(a; b)

Napomena:

� Za a; b 2 Z i a; b 6= 0 imamo

nzv(a; b) =jabj

Nzm(a; b);

� Tvrdnja Propozicije 8 ne vrijedi za vi�e od dva broja;

� Dokaz prethodne propozicije daje nam jo� jedanna�cin tra�enja Nzm(a; b): Medutim ovaj na�cin jepuno slo�eniji nego Euklidov algoritam.

Propozicija 10 Neka su a; b; c 2 N: Ako a jc i b jconda nzv(a; b) jc : Posebno, ako su a i b relativnoprosti onda ab jc :

Propozicija 11 Neka su a1; a2; :::; ak 2 Z i baremjedan je razli�cit od 0: De�nirajmo niz

d2 = Nzm(a1; a2); d3 = Nzm(d2; a3); :::

dn = Nzm(dn�1; an):

Tada je Nzm(a1; a2; :::; an) = dn:

Neka su a1; a2; :::; ak 2 Z i svi razli�citi od 0: De�nira-jmo niz

m2 = Nzm(a1; a2); m3 = Nzm(m2; a3); :::

mn = Nzm(mn�1; an):

Tada je nzv(a1; a2; :::; an) = mn:

3.5 Kongruencije

De�nicija Ako prirodan broj n dijeli razliku a�b, ondaka�emo da je a kongruentno b modulo n i pi�emoa � b(modn): U protivnom, ka�emo da a nije kongru-entno b modulo n i pi�emo a 6= b(modn):

Propozicija 12 Relacija �biti kongruentan modulo n�je relacija ekvivalencije na skupu Z:

Propozicija 13 Neka su a; b; c; d cijeli brojevi:

i) Ako je a � b(modn) i c � d(modn); onda jea� c � b� d(modn) i ac � bd(modn);

ii) Ako je a � b(modn), d 2 N i d jn ; onda jea � b(mod d);

iii) Ako je a � b(modn); onda je ac � bc(modnc)za svaki c 2 N:

Posljedica 4 Neka su a; b; k; l cijeli brojevi i neka jea � b(modn), onda vrijedi:

i) a� nk � b� nl (modn);

ii) ak � bk(modn);

iii) Ako je am � bm(modn) za svaki m 2 N:

Propozicija 14 Neka su a; b; c 2 Z tada vrijedi:ca � cb(modn) ako i samo ako a � b(mod n

Nzm(c;n)):

Specijalno, ako je ca � cb(modn) i Nzm (c; n) = 1;onda je a � b(modn):

Napomena: Propozicije 13 i 14, te Posljedica 2govore nam koje su operacije s kongruencijamadozvoljene a koje ne:

� Dozvoljeno je: zbrajati, oduzimati, mno�iti (potenci-rati);

� Nije dozvoljeno: opcenito dijeliti (osim ako je djeliteljc relativno prost s n);

� Primijetimo da za svaki y 2 Z postoji to�cno jedanxj 2 f0; 1; :::; n� 1g takav da je y � xj(modn):

3.6 Möbiusova funkcija i formula inverzije

De�nicija Möbiusova funkcija � : N! R je funkcijakoja prirodnom broju n; s rastavom na proste faktoren = p�11 � p

�22 � ::: � p

�kk , pridru�uje vrijednost

� (n) =

�(�1)k ; ako je �1 = ::: = �k = 1

0; ina�ce.

Jo� de�niramo � (1) = 1:

Propozicija 15 Za svaki prirodan broj n > 1 vrijediPdjn� (d) = 0;

(zbraja se po pozitivnim djeliteljima d).

Teorem 6 (teorem inverzije) Ako su zadane dvijefunkcije f; g : N! R i ako za svaki n 2 N vrijedi

f (n) =Pdjng (d)

onda je

g(n) =Pdjn� (d) f

�nd

�i obratno.

3.7 Eulerova funkcija

De�nicija Neka je ' (n) broj svih prirodnih brojeva< n za koje vrijedi da su relativno prosti sa n. De�ni-ramo ' (1) = 1: Na taj na�cin je de�nirana funkcija' : N! N koju nazivamo Eulerova funkcija.

Dakle, ' (n) je broj brojeva u nizu 1; 2; :::; n koji su rel-ativno prosti sa n:

Za Eulerovu funkciju vrijedi:

�Pdjn' (d) = n (Gaussova formula).

� Za Nzm (a; n) = 1 vrijedi a'(n) � 1 (modn)(Eulerova kongruencija).

� Za p prost vrijedi ' (p) = p� 1;

� Ako je p prost i p - a onda je ap�1 � 1 (mod p) iap � a (mod p) (Mali Fermatov teorem).

Teorem 7 Za svaki prirodan broj n > 1 vrijedi

' (n) = nYpjn

p�prost

�1� 1

p

�;

tj. ako je n = p�11 � p�22 � ::: � p

�kk (rastav na proste fak-

tore) onda je

' (n) = n

�1� 1

p1

��1� 1

p2

�:::

�1� 1

pk

�:

Posljedica 5 Eulerova funkcija ima svojstvo multip-likativnosti, tj.

' (mn) = ' (m) � ' (n)

za sve relativno proste m;n.

4. BINARNE RELACIJE

4.1 Relacije. Relacije ekvivalencije.

De�nicija Binarna relacija na skupu X je bilo kojineprazan podskup � � X � X: Ka�emo da je xu relaciji � s y (ili x i y su u relaciji �) ako je (x; y) 2 �:Pi�emo x�y:

Napomena:

� binarna relacija - odnos izmedu dva elementa(va�no koji je prvi a koji drugi);

� x i y su neusporedivi (po �) ako nije x�y ni y�x:

De�nicija Za binarnu relaciju � na skupu X ka�emoda je:

i) re�eksivna ako vrijedi (8x 2 X) x�x;ii) simetri�cna ako vrijedi (8x; y 2 X) (x�y =) y�x) ;

iii) antisimetri�cna ako vrijedi

(8x; y 2 X) (x�y ^ y�x =) x = y) ;

iv) tranzitivna ako vrijedi

(8x; y; z 2 X) (x�y ^ y�z =) x�z) :

Napomena: Za binarnu relaciju � na skupu Xka�emo da je funkcija ako za svaki x 2 X postojito�cno jedan y 2 X tako da je x�y; tj.

(8x 2 X) (x�y1 ^ x�y2 =) y1 = y2)

Oznaka: f : X ! X; y = f (x):Obratno, svaka funkcija f : X ! X odreduje relaciju�: De�niramo

x�y () y = f (x):

De�nicija Za binarnu relaciju � na skupu Xka�emo da je relacija ekvivalencije ako je re�ek-sivna, simetri�cna i tranzitivna.

4.2 Particija skupa. Razredi (klase) ekvivalencije.

De�nicija Ka�emo da obitelj podskupova fAigi2I odX �cini particiju (rastav) skupa X ako vrijedi:

i) X =Si2IAi, tj. obitelj skupova fAigi2I je pokriva�c od

X ;

ii) Ai \ Aj za sve i; j 2 I; i 6= j; tj. skupovi iz fAigi2Isu medusobno disjunktni.

�Cesto se particijom skupa X smatramo prikaz

X =Si2IAi =

Li2IAi

kao disjunktne unije podskupova.

De�nicija Neka je � relacija ekvivalencije na skupuX: Razred (klasa) ekvivalencije [x] elementa x 2 X jeskup svih elemenata izX koji su u relaciji � s x: Dakle,

[x] = fy 2 X : x�yg � X:

Napomena:

� x 2 [x] jer je x�x;

� Element y 2 [x] se naziva reprezentant razreda(klase) [x] :

Teorem 1 Neka je � relacija ekvivalencije na skupuX: Onda za sve x; y 2 X vrijedi ili [x] = [y] ili[x]\ [y] = ;: Pritom je x�y ako i samo ako je [x] = [y] :

Uo�cimo: Ako je � relacija ekvivalencije na skupu X;onda je obitelj svih klasa ekvivalencije [x] particija odX; tj.

X =Sx2X

[x] =Lx2X

[x]

Teorem 2 Neka je fAigi2I particija skupa X: De�ni-rajmo relaciju � na skupu X tako da je x�y onda isamo onda ako je y element istog skupa iz particijekao i x. Onda je � relacija ekvivalencije � na skupuX; a klase ekvivalencije se podudaraju sa Ai:

De�nicija Neka je � relacija ekvivalencije na skupuX; onda skup svih klasa ekvivalencije nazivamokvocijentni skup s obzirom na relaciju � i ozna�cavamo

X=� = f[x]gx2X :

Dakle, kvocijentni skup je particija od X s obzirom narelaciju �.

Propozicija 1 Kvocijentni skup na skupu svih ci-jelih brojeva po relaciji "biti kongruentan modulo n"(� (modn)) jednak je

Z=� = f[0] ; [1] ; :::; [n� 1]g

(n��clani skup).

Taj skup se naziva kvocijentni skup ostataka modulon, ili skup ostataka pri dijeljenju s n: Razredi ekviva-lencije su:

[0] = fqn : q 2 Zg = nZ[1] = fqn + 1 : q 2 Zg = nZ+1

...[n� 1] = fqn + (n� 1) : q 2 Zg = nZ+ (n�1) :

Neka je � relacija ekvivalencije na skupu X i H bilokoji skup. Ako je f : X ! H neka funkcija, pitanje jeje li funkcija

f : X=�! H; f ([x]) = f (x)

dobro de�nirana?

Odgovor: Da bi f bila dobro de�nirana mora biti

f (x) = f (y) za x�y;

tj. f mora biti na svakom razredu ekvivalencijekonstantna. Tada f ne ovisi o izboru reprezentanta izrazreda ekvivalencije [x].

4.3 Relacija poretka

De�nicija Za binarnu relaciju � na skupu X ka�emoda je relacija parcijalnog (djelomo�cnog) poretka akoje re�eksivna, antisimetri�cna i tranzitivna.

Napomena:

� Jedina binarna relacija � na skupu X koja jeistodobno i relacija ekvivalencije i relacija par-cijalnog poretka (simetri�cna i antisimetri�cna) jerelacija jednakosti " = ";

� Skup X na kojem je zadana relacija parcijalnogporetka, oznaka �; krace ozna�cavamo (X;�) ika�emo da je X parcijalno poredan skup;

� Ako je (X;�) parcijalno poredan skup, ondade�niramo, za x; y 2 X; x < y ako je x � y i x 6= y:Tada (X;<) nije parcijalno poredan skup ( relacija< nije ni re�eksivna ni antisimetri�cna).

De�nicija Neka je (X;�) parcijalno poredan skup iS � X:

� Ka�emo da je m 2 X (M 2 X) donja (gornja)meda skupa S ako je

(8s 2 S) (m � s) ( (8s 2 S) (s �M) )

� Za skup S ka�emo da je omeden odozdol (odoz-gor ) ako ima barem jednu donju (gornju) medu.

� Ka�emo da je m� 2 X (M � 2 X); ako postoji,in�num (suprenum) skupa S; i ozna�cavamo inf S(supS) ako vrijedi:

� m� = inf S (M � = supS) je donja (gornja) medaod S;

� za svaku donju (gornju) medu m (M ) vrijedim � inf S (supS �M ).

� Ako vrijedi da je inf S 2 S (supS 2 S) onda inf S(supS) nazivamo minimum (maksimum) skupa S;i ozna�cavamo minS (maxS).

De�nicija Neka je (X;�) parcijalno poredan skup.Za (X;�) ka�emo da je totalno poredan skup ako zasve x; y 2 X vrijedi x � y ili y � x; tj. svaka dva ele-menta su usporediva.

De�nicija Neka je (X;�) totalno poredan skup. Za(X;�) ka�emo da je dobro poredan skup ili lanac,akosvaki njegov neprazan podskup ima minimalni ele-ment.

De�nicija Neka su (X1;�1) i (X2;�2) dva parci-jalno poredana skupa. Kartezijev produkt parcijalnoporedanih skupova de�niramo kao (X1 �X2; �) :Pritom za (a1; a2), (b1; b2) 2 X1 � X2; de�niramo(a1; a2) � (b1; b2) ako je a1 �1 b1 i a2 �2 b2:

Napomena:

� Sli�cno se de�nira za Kartezijev produkt vi�e parci-jalno poredanih skupova;

� Neka su (X1;�1) i (X2;�2) dva totalno poredanaskupa, (X1 �X2; �) ne mora biti totalno poredan.

De�nicija Neka su (X1;�1) i (X2;�2) dva parcijalnoporedana skupa. Na Kartezijevom produktu X1 �X2de�niramo tzv. relaciju leksikografskog poredaka�L : Pritom za (a1; a2), (b1; b2) 2 X1 � X2; de�ni-ramo (a1; a2) �L (b1; b2) ako je ispunjen jedan od dvasljedeca uvjeta:

� a1 <1 b1 (a2; b2 bilo kakvi);

� a1 = b1 i a2 <2 b2:(X1 �X2; �L) je parcijalno poredan skup.

Napomena:

� Sli�cno se de�nira za Kartezijev produkt vi�e parci-jalno poredanih skupova;

� Neka su (X1;�1) i (X2;�2) dva totalno poredanaskupa, tada je (X1 �X2; �L) totalno poredan.

4.4 Hasseov dijagam relacije poretka

Neka je X kona�can skup i � relacija na X: Tadarelaciju � mo�emo predo�citi dijagramom kojeg nazi-vamo usmjereni graf.

� Svaki element skupa reprezentira (ozna�cena) to�ckakoju nazivamo �cvor ili vrh.

� Ako je a�b, tada dva �cvora ozna�cena s a i bpove�emo strelicom od a do b. Tu strelicu nazivamousmjereni brid . Ako je a�b i b�a onda imamo dvausmjerena brida izmedu a i b, pa, zbog jednos-tavnosti, a i b povezujemo jednom dvostranomstrelicom.

� Ako je a�a usmjereni brid izmedu a i a se nazivapetlja.

Neka je X kona�can skup i � ( � ) relacija parcijalnogporetka na X: Tada relaciju � mo�emo predo�citijednostavnijom (zornijom) vrstom dijagrama kojegnazivamo Hasseov dijagam.

� Svaki element skupa reprezentira (ozna�cena) to�ckakoju nazivamo �cvor ili vrh.

� Ispu�tamo petlje, jer je relacija re�eksivna.

� Ako je a < b i izmedu njih ne postoji niti jedanc 2 X; tj. iz a � c � b slijedi a = c ili b = c; onda�cvor koji pripada b satavljamo iznad �cvora koji pri-pada a i spajamo ih crtom (a ne strelicom od a do b).

� Usmjereni brid koji je impliciran tranzitivno�cu necrtamo.

De�nicija Ka�emo da je parcijalno poredan skup(X;�1) izomorfan parcijalno poredanom skupu(Y;�2) ako postoji bijekcija f : X ! Y koja �cuvaporedak, tj. tako da vrijedi

(8x; y 2 X) (x �1 y =) f (x) �2 f (y))

4.5 Mre�e

De�nicija Parcijalno poredan skup (X;�) naziva semre�a ako za svaki par elemenata a, b 2 X pos-toji sup fa; bg i inf fa; bg : Na taj na�cin mo�emo uvestidvije binarne operacije u parcijalno poredan skup X :

a + b = sup fa; bg ; a � b = inf fa; bg

Napomena: Ovo zana�ci da u mre�i svaki dvo�clanpodskup ima in�num (suprenum), a to zna�ci i svakikona�can podskup.

De�nicija Parcijalno poredan skup (X;�) naziva sepotpuna mre�a ako za svaki njegov podskup (kon-a�can ili beskona�can) ima in�num i suprenum. Svakapotpuna mre�a onda ima infX; koji nazivamo nula isupX koji nazivamo jedinica.

Teorem 3 Za operacije + i � na mre�i (X;�) vrijedesvojstva:

1. komutativnost: a + b = b + a; a � b = b � a;

2. asocijativnost:(a + b) + c = a + (b + c) ;

(a � b) � c = a � (b � c) ;

3. apsortivnost ili svojstvo upijanja:a � (a + c) = a; a + (a � c) = a

4. komutativnost: a + b = b + a; a � b = b � a;

5. idempotentnost zbrajanja i mno�enja:a + a = a; a � a = a;

6. a + 0 = a; a � 1 = a;

Napomena: distributivnost opcenito ne vrijedi.

De�nicija Za mre�u (X;�) ka�emo da je distributivnamre�a ako u njoj vrijedi zakon distribucije, tj. za svakia, b 2 X vrijedi a (b + c) = ab + ac:

De�nicija Za element �a u mre�i (X;�) ka�emo da jekomplement elementa a ako je a+ �a = 1; a � �a = 0:Ako svaki element ima komplement ka�emo da je(X;�) komplementarna mre�a.

Napomena: U distributivnoj mre�i komplementiranjeje jednozna�cno (dokaz -sami).

Napomena: Ovo zna�ci da je distributivna i kom-plementarna potpuna mre�a X Booleova algebra(X;+; �; ; 0; 1). Vrijedi i obrat.

4.5 Skupovni prikaz kona�cnih Booleovih algebri

De�nicija Neka je (B;+; �; ; 0; 1) Booleova algebra.Za a; b 2 B ka�emo da je a � b ako je ab = a:

Propozicija 2 Neka su a; b; c; d bilo koji elementiBooleove algebre B: Relacija � ima sljedeca svo-jstva:

i) (B;�) je parcijalno poredan skup;

ii) a � b onda i samo onda ako je a + b = b;

iii) ako je a � b i c � d onda je ac � bd;

iv) ab = inf fa; bg ; a + b = sup fa; bg ;

v) a � b onda i samo onda ako je �b � �a:

De�nicija Element a 6= 0 u Booleovoj algebri Bnaziva se atom Booleove algebre ako iz x � a slijedix = 0 ili x = a:

Napomena: Svaka kona�cna Booleova algebra imaneprazan skup atoma.

Lema 1 Neka je B kona�cna Booleova algebra. Zasvaki x 6= 0 u B postoji atom a takav da je a � x:Lema 2 Ako je atom a atom takav da je a � x; ondaje a � �x; i obratno.

Teorem 4 Neka je (B;+; �; ; 0; 1) kona�cna Booleovaalgebra i A pripadni skup svih atoma. Onda jeBooleova algebra B izomorfna s algebrom skupova2A:

Korolar 1 Svaka kona�cna Booleova algebra ima 2nelemenata, pri �cemu je n broj atoma od B. Svakedvije kona�cne Booleove algebre s istim brojem ele-menata medusobno su izomorfne.

Teorem 5 (Stone) Svaka beskona�cna Booleovaalgebra B je izomorfna nekoj podalgebri algebreskupova 2X za neki skup X: Preciznije, postoji nekiskup X i podskup B0 partitivnog skupa 2X takav da je(B0,[;\; ) algebra koja je izomorfna sa B: