Predikatska logika - III deo

Jelena Ignjatović

Logika i teorija skupova

Logika i teorija skupova

Termi i formule

Matematički izrazi i formule

Matematičke izraze i formule gradimo od raznorodnih elemenata.

Osnovni elementi matematičkih izraza i formula su:

Konstante su oznake za pojedinačne objekte.

To mogu biti znaci nekih polaznih simbola, kao što je broj 0 ili 1, elementi ⊤,⊥ i sl.

Promenljive su zajednička imena za objekte iste vrste.

Označavamo ih simbolima x, y, . . . ,X,Y, . . . (mala i velika slova, ponekad sa indeksima).

Osim konstanti i promenljivih, razlikujemo i znake kojima označavamo razne operacijei ti znaci se nazivaju funkcijski znaci.

Arnost funkcijskog znaka

Operacije iste vrste na različitim skupovima označavaju se istim funkcijskim simbolom,pri čemu je veoma važno da se odredenim funkcijskim znakom uvek označavaju op-eracije iste dužine (arnosti).

Svakom funkcijskom znaku unapred zadajemo njegovu arnost ili dužinu i tim simbolomoznačavamo samo operacije te dužine.

Na primer, znak + se obično koristi za označavanje binarnih operacija (operacija dužine2), tj. + se koristi kao binarni funkcijski znak.

Logika i teorija skupova

Termi i formule

Term

Koristeći konstante, promenljive i funkcijske znake, i poštujući izvesna unapred zadatapravila, možemo formirati izraze koje nazivamo termi.

Na primer, term je izraz

x2 + y2 − 5.

Šta je šta u ovom termu?

Šta su konstante? Konstanta je 5.

Šta su promenljive? Promenljive su x i y. Koji se operacijski znaci javljaju u ovom termu?

+ - binarni operacijski znak

− - binarni operacijski znak

y2 - unarni operacijski znak

Napomena

Term predstavlja formalni izraz koji nema realno značenje sve dok mu ne damo nekukonkretnu interpretaciju.

To činimo tako što uzmemo neki konkretan skup A sa konkretnim operacijama na njemu.

Logika i teorija skupova

Termi i formule

Primer

A – skup celih brojeva.

Znake konstanti interpretiramo kao neke fiksirane elemente iz A. (konstantu 5 bi smointerpretirali kao broj 5).

Promenljive interpretiramo kao proizvoljne elemente skupa A, tako bi x i y mogli dabudu bilo koji celi brojevi.

Funkcijske znake interpretiramo kao konkretne operacije na A odredene arnosti.

+može biti sabiranje a − oduzimanje celih brojeva, a y2 može da bude unarna operacija”na kvadrat”.

Dakle, u termu x2 + y2 − 5 smo svim elementima dali konkretnu interpretaciju, čime tajterm zapravo odreduje još jednu binarnu operaciju na Z.

Ako promenljive x i y uzmu neke konkretne vrednosti, recimo 2 i 3, tada term dobijavrednost 22 + 32 − 5, što je jednako 8, a to znači da se pri pomenutoj operaciji par (2, 3)slika u broj 8.

Logika i teorija skupova

Termi i formule

Suma sumarum

Term može postati nešto konkretno samo ako konstante i promenljive koje se javljajuu njemu postanu neki konkretni elementi nekog skupa A, a operacijski znaci u njemupostanu neke konkretne operacije (naravno, odgovarajuće dužine) na skupu A.

U tom slučaju term može da postane samo jedan konkretan element iz skupa A.

Iz svega zaključujemo da su termi takvi izrazi za koje nema smisla govoriti o tome da lisu istiniti ili ne, kako god ih interpretirali.

U svakoj interpretaciji oni mogu da postanu samo izvesne vrednosti iz nekog skupa.

Primedba

Postoje, kao što smo videli, izrazi za koje u datoj interpretaciji možemo da govorimo otome da li su istiniti ili ne.

Na primer, izraz x2 + y2 − 5 > 0, u nekim interpretacijama jeste, a u nekim nije istinit, alise u svakoj interpretaciji može govoriti o njegovoj istinitosti ili neistinitosti.

To je zato što ovaj izraz, pored napred navedenih elemenata, sadrži i relacijski znak >,koji mu daje ovu osobinu.

Pitanje

Kako gradimo matematičke izraze koji imaju osobinu da se može govoriti o njihovojistinitosti ili neistinitosti u odredenim interpretacijama?

Logika i teorija skupova

Termi i formule

Načini

Postoji tri načina:

Prvi način - upotrebom relacijskih znaka;

Drugi način - upotrebom logičkih veznika;

Trći način - upotrebom kvantifikatora.

Formalne definicije

Da bi smo formalno i precizno definisali pojmove terma i formule u predikatskoj logici,najpre moramo precizno da definišemo jezik, tj. skup simbola od kojih polazimo priizgradnji terma i formula.

Polazni simboli su:

pomoćni znaci: zagrade ( i ), zarez ,

logički veznici: ¬, ∧, ∨,⇒,⇔,

kvantifikatori: ∀, ∃

promenljive: x1, x2 , x3, . . .

znaci konstanti: a1 , a2, a3, . . .

funkcijski znaci: f 11

, f 12

, . . . , f 21

, . . . , fj

i, . . .

relacijski znaci: R11, R1

2, . . . , R2

1, . . . , R

j

i, . . .

Logika i teorija skupova

Termi i formule

Objašnjenje

U funkcijskom znaku fj

i, odnosno relacijskom znaku R

j

i, gornji indeks označava arnost

(dužinu, broj argumenata) tog znaka, a donji služi za razlikovanje znakova iste dužine,kada radimo sa više takvih znakova.

Primer

U strogom zasnivanju strukture prirodnih brojeva, sa operacijama sabiranja i množenjai uobičajenom relacijom poretka, imamo sledeće:

Simbol konstante je samo broj 1,

Operacijski znaci su f 21

i f 22

, i označavaju se redom sa + (plus) i · (puta),

Relacijski znaci su R21

i R22, a njihove uobičajene oznake su redom = i 6.

Dakle, ovde uzimamo da je jedina konstanta 1, dok ostale prirodne brojeve dobijamo nasledeći način:

2def= 1 + 1, 3

def= 2 + 1, 4

def= 3 + 1, . . .

U manje formalnom (ali češćem) izlaganju, konstantom se smatra oznaka svakogprirodnog broja. Isto važi i za druge strukture brojeva, pa ćemo to prihvatiti.

Logika i teorija skupova

Termi i formule

Definicija terma

(i) Promenljive i znaci konstanti su termi.

(ii) Ako je fnm funkcijski znak, a t1, . . . , tn su termi, onda je term i izraz fnm(t1, . . . , tn).

(iii) Termi su oni i samo oni izrazi koji se mogu formirati konačnim brojem primenapravila (i) i (ii).

Primeri terma

f11(x1), f

31(x1 , x2 , f

11(x2)), f

22(x1 , f

21(x2, a1))

Na primer, term f22(x1, f

21(x2 , a1)) može da se beleži sa x(y + 1).

Atomične formule

Kada se termi povežu odgovarajućim relacijskim znakom, dobijaju se najjednostavnijeformule koje nazivamo atomarnim formulama ili atomičnim formulama.

Logika i teorija skupova

Termi i formule

Primeri:

(a) Atomične formule su, na primer

R31(f11(x2), x1 , f

21(x2, x3)), R

22(a1, f

11(x2)), R

11(f

31(x1, x1, x2)).

U jeziku teorije skupova jedna atomična formula je X ⊆ Y ∪ Z, a u strukturi prirodnihbrojeva je to na primer x 6 y + z.

Prema dogovorima o označavanju, obe ove formule su uobičajeni zapisi, u odgo-varajućem jeziku, jedne iste formule – R2

1(x1 , f

21(x2, x3))

(b) U jeziku algebarskih struktura obično postoji relacijski znak dužine 2, koji se označavasa = i interpretira se kao jednakost.

Atomična formula t1 = t2, gde su t1 i t2 termi naziva se identitet ili algebarski zakon.

Identiteti su, na primer, x+y = y+x i x(y+z) = xy+xz (za brojeve), kao i A∪ (B∩A) = A(za skupove) i sl.

Predikatske formule - drugi pristup

(i) Svaka atomična formula je predikatska formula.

(ii) Ako su F i G predikatske formule, a x je promenljiva, onda su i sledeći izrazipredikatske formule:

Logika i teorija skupova

Predikatske formul

Predikatske formule - drugi pristup

(ii)¬F , (F ∧G ), (F ∨ G ), (F ⇒ G ), (F ⇔ G ),

((∀x)F ), ((∃x)F ).

(iii) Prediktske formule su oni i samo oni izrazi koji se mogu formirati konačnimbrojem primena pravila (i) i (ii).

Domen interpretacije

Termi i formule dobijaju konkretan smisao tek kada se interpretiraju u nekojmatematičkoj strukturi.

Svaka interpretacija formule ili grupe formula vezuje se za neku operacijsko-relacijskustrukturu.

Pod tim pojmom podrazumevamo neki neprazan skup, označimo ga sa D, koji nazi-vamo domen interpretacije, zajedno sa nekim sistemom relacija i operacija raznih dužinadefinisanih na njemu.

Te relacije i operacije neophodne su za interpretaciju relacijskih i funkcijskih simbola kojise javljaju u tim formulama, dok se konstante interpretiraju kao neki fiksirani elementidomena D.

Promenljive koje se javljaju u tim formulama će uzimati vrednosti u skupu D.

Logika i teorija skupova

Interpretacija

Interpretacija

Sada se interpretacija formule ili skupa formula definiše kao uredeni par D = (D, φ),gde je D domen interpretacije, a φ je pridruživanje izvršeno na sledeći način:

Uoče se svi znaci konstanti, funkcijski i relacijski simboli koji učestvuju u izgradnji tihformula, i onda

(a) svakom znaku konstanti se pridruži neki fiksirani element iz D (interpretacijakonstanti);

(b) svakom funkcijskom simbolu dužine n se pridruži neka n-arna operacija na D, tj.funkcija iz Dn u D (interpretacija funkcijskih simbola);

(c) svakom relacijskom znaku dužine n se pridruži neka n-arna relacija na D,odnosno podskup iz Dn (interpretacija relacijskih simbola).

Kada se formula interpretira, onda ona postaje rečenica kojom se nešto tvrdi o elemetimadomena interpretacije.

Primer

Neka su date formule

R21(f2

1(x1 , x2), a2)

(∃x2)R22(f

21(x1, x2), a2)

(∀x1)(R21(x1, a1)⇒ (∃x2)(R

21(f2

1(x1, x2), a1)))

i neka je domen interpretacije skup realnih brojeva R.Logika i teorija skupova

Interpretacija

Primer

Konstantama a1 i a2 pridružimo redom brojeve 0 i 1,

funkcijskom simbolu f21

dužine 2 operaciju množenja, a relacijskim simbolima R21

i R22

dužine 2 redom relaciju manje,

Interpretacija

Napomena

Uočimo da se ovde oznake polaznih simbola poklapaju sa oznakama matematičkih ob-jekata iz domena, skupa R:

konstantnim simbolima 0 i 1 odgovaraju u interpretaciji brojevi 0 i 1;

funkcijskom simbolu označenom tačkom odgovara isto označena operacija množenja;

relacijskim simbolima < i = pridružuju se relacije manje i jednako, koje se označavajuna isti način.

Zato se najčešće rečenica koja u interpretaciji odgovara ovako zapisanoj formuli identi-fikuje sa samom formulom.

Formula u interpretaciji može biti tačna ili netačna rečenica.

To zavisi od vrednosti koje njeni termi imaju u toj interpretaciji. A vrednosti terma se”izračunavaju” pomoću elemenata koji zamenjuju promenljive.

Valuacija u datoj interpretaciji D = (D, φ)

Niz

v = (c1 , c2, c3, . . . )

elemenata iz D zove se valuacija domena D.

Kao i u iskaznoj logici, svrha valuacije je da pridruži odredene vrednosti promenljivamakoje se javljaju u formuli, tako da promenljivoj xi treba da bude pridružena vrednost ci,gde je i ∈N.

Logika i teorija skupova

Interpretacija

Valuacija u datoj interpretaciji D = (D, φ)

Valuacija je preslikavanje koje skup svih promenljivih {x1 , x2 , . . . , xn, . . . } slika u domeninterpretacije D, tako da proizvoljnoj promenljivoj xi dodeljuje vrednost v(xi) = ci ∈ D.

Budući da u konačnom skupu formula učestvuje konačno mnogo promenljivih x1, . . . , xn ,valuacija može biti i konačan niz, uredena n-torka v = (c1, . . . , cn) elemenata iz D.

Vrednost terma t u valuaciji v, u oznaci tv,

(i) Ako je t promenljiva xi, onda je tv = ci.

(ii) Ako je t simbol konstante ai, onda je tv element koji je u datoj interpretacijidodeljen simbolu ai (interpretacija tog znaka konstante).

(iii) Ako je t = f(t1, . . . , tn), gde je f operacijski znak dužine n, a t1, . . . , tn su termi,onda je

tv = fD((t1)v, . . . , (tn)v),

gde je fD operacija na skupu D kojom je interpretiran funkcijski simbol f.

Logika i teorija skupova

Interpretacija

Primeri:

a) Neka je dat term f(a, g(x, y)) i interpretacija D = (R, φ), gde jeR skup realnih brojeva,

φ =

(

a f g5 + ·

)

.

Jasno, u ovoj interpretaciji ovaj term postaje 5 + x · y.

Neka je data i valuacija v = (2, 3). Tada vrednost gornjeg terma za ovu valuaciju iznosi5 + 2 · 3, dakle broj 11.

b) Term x2+3y3−5 u uobičajenoj interpretaciji u skupuR, za valuaciju (1, 2) ima vrednost12 + 3 · 23 − 5 = 20.

Tačnost formule u valuaciji v iz domena interpretacije.

(1) Neka je F = R(t1, . . . , tn) atomična formula i neka je ρ n-arna relacija koja u datojinterpretaciji odgovara relacijskom simbolu R.

Tada je formula F tačna u valuaciju v ako i samo ako su vrednosti terma t1, . . . , tn zavaluaciju v, tim redom, u relaciji ρ, tj. važi

ρ((t1)v, . . . , (tn)v) ili ((t1)v, . . . , (tn)v) ∈ ρ.

(2) ¬F je tačna u valuaciji v ako i samo ako F nije tačna u v.

Logika i teorija skupova

Interpretacija

Tačnost formule u valuaciji v iz domena interpretacije.

(3) F ∧G je tačna u valuaciji v ako i samo ako su i F i G tačne u v.

(4) F ∨G je tačna u valuaciji v ako i samo ako je F ili G tačna u v.

(5) F ⇒ G je tačna u valuaciji v ako i samo ako važi: ako je F tačna u v onda je i Gtačna u v.

(6) F ⇔ G je tačna u valuaciji v ako i samo ako važi: F je tačna u v ako i samo ako jeG tačna u v.

(7) (∀xi)F je tačna u valuaciji v ako i samo ako je F tačna u svakoj valuaciji koja se odv razlikuje najviše u i-toj komponenti.

Ovo znači da je formula F tačna u svakoj valuaciji v′ koja je dobijena iz valuacije vzamenom i-te komponente ci bilo kojim elementom domena D.

Drugim rečima, formula F treba da ostane tačna za bilo koje dodeljivanje vrednostipromenljivoj xi iz domena D.

(8) (∃xi)F je tačna u valuaciji v ako i samo ako postoji valuacija koja se od v razlikujenajviše u i-toj komponenti i za koju je formula F tačna.

Zadovoljivost formule

Da je formula F tačna u valuaciji v zapisuje se kraće

D |=v F ,

a kaže se da valuacija v zadovoljava formulu F .

Logika i teorija skupova

Interpretacija

Primer

a) Za formule R(y, f(x, a)) i (∃y)R(x, y) data je interpretacija D = (N, φ), gde je N skupprirodnih brojeva, a

φ =

(

a f R1 + >

)

.

Valuacija (1, 3) zadovoljava prvu formulu jer je tačna rečenica 3 je veće od 1 + 1, ali nezadovoljava drugu: nije tačno da postoji prirodan broj b takav da je 1 > b.

Sa druge strane, u valuaciji (2, 3) nije tačna prva, a tačna je druga formula i sl.

b) Posmatrajmo formulu (∀x)(x ·y = y) u interpretaciji čiji je domen skupZ celih brojeva,a operacijski i relacijski znaci imaju uobičajena značenja.

Formula je tačna u svakoj valuaciji oblika (b, 0), gde je b proizvoljan realan broj.

c) Ako je domen interpretacije skup R, a osnovni simboli se interpretiraju uobičajeno,onda formulu (∀x)(x , 0⇒ (∃y)(x · y = 1)) zadovoljava svaka valuacija.

Formula F za datu valuaciju v postaje tačan ili netačan iskaz nakon što se njene slobodnepromenljive zamene odgovarajućim komponentama u valuaciji.

Označimo taj iskaz sa Fv.

Očito, formula F je tačna u valuaciji v ako i samo ako je iskaz Fv tačan.

Logika i teorija skupova

Interpretacija

Tačnost formule u interpretaciji D = (D, φ)

Formula F je tačna u interpretaciji D ako je tačna u svakoj valuaciji iz D.

Formula je zatvorena ako u njoj nema slobodnih promenljivih.

Zatvorena formula u svakoj interpretaciji jeste tačna ili netačna rečenica, dakle iskaz,bez obzira na valuaciju.

Ako je formula F tačna u interpretaciji D , onda kažemo da je D model formule F . Tooznačavamo sa

D |=F .

Analogna definicija važi za neki skup formula S :

Ako je svaka formula iz S tačna u interpretaciji D , onda je D model skupa S , u oznaci

D |=S .

Primer

Formula (∃x)(x < y), uz uobičajeno tumačenje simbola, je tačna u strukturi (Z,

Interpretacija

Teorema

Formula F je tačna u interpretaciji D ako i samo ako je u toj interpretaciji tačna formula(∀xi)F .

Dokaz.

D |= F ako i samo ako je D |=v F za svaku valuaciju v iz D , uključujući i svakuvaluaciju koja se od v razlikuje najviše u i-toj komponenti, a ovo važi ako i samo akoD |= (∀xi)F .

Zatvorenje formule F

(∀xik ) . . . (∀xi1 )F ,

gde su xi1 , . . . , xik , redom po pojavljivanju, sve slobodne promenljive iz F .

Posledica

Formula je tačna u nekoj interpretaciji ako i samo ako je njeno zatvorenje tačno u tojinterpretaciji.

Logika i teorija skupova

Valjane formule

Zadovoljiva formula

Formula F je zadovoljiva ako postoji interpretacija i valuacija u njoj u kojoj je formulaF tačna.

Valjana formula

Formula F je valjana ili opšte-važeća ako je tačna u svakoj interpretaciji.

To ćemo označiti sa |=F .

Teorema

Formula F je valjana ako i samo ako ¬F nije zadovoljiva.

Formula F je zadovoljiva ako i samo ako ¬F nije valjana.

Primer

Valjane su sve formule oblika

(∀xi)F ⇒ (∃xi)F .

Zaista, ako neka valuacija v u proizvoljnog interpretaciji zadovoljava formulu (∀xi)F ,onda je formula F tačna za sve valuacije koje se od v razlikuju najviše na i-tom mestu.

Jasno je da onda u tom domenu postoji element b tako da je za odgovarajuću valuaciju(dobijenu iz v uvrštavanjem elementa b na i-to mesto) formula F tačna.

Logika i teorija skupova

Valjane formule

Primer

To znači da je za valuaciju v tačna formula (∃xi)F .

Dakle, v zadovoljava gornju formulu. Kako to važi za proizvoljnu valuaciju proizvoljneinterpretacije, ova formula je valjana.

Napomena

Kao i tautologije, valjane formule opisuju isključivo pravila logičkog zaključivanja. Zarazliku od formula koje su tačne samo u nekim interpretacijama, valjane formule daklene govore ništa o pojedinim osobinama modela.

Izvod iskazne formule

Izvod iskazne formule A je predikatska formula dobijena iz A zamenom svih iskaznihslova predikatskim formulama, pri čemu se isto slovo zamenjuje istom formulom.

Teorema

Izvod tautologije je valjana formula.

Logika i teorija skupova

Valjane formule

Dokaz.

Neka je A(p1, . . . ,pn) tautologija i neka je F predikatska formula dobijena iz A za-menom nevedenih slova redom formulama F1, . . . ,Fn.

Neka je data interpretacija D formule F i neka je v jedna valuacija.

Za tu valuaciju, formule F1 , . . . ,Fn su prema napred uvedenoj oznaci redom iskazi(F1)v, . . . , (Fn)v, čije istinitosne vrednosti obrazuju n-torku simbola 1, 0, pa kada sepridruže slovima p1, . . . ,pn, odreduju jednu interpretaciju iskazne formule A.

Budući da je A tautologija, ona je tačna u svakoj, pa dakle i u ovoj interpretaciji.

Prema tačkama (1) - (6) definicije zadovoljivosti formule, iskaz Fv je tačan, tj. valuacijav zadovoljava formulu F .

Ovo važi za ma koju valuaciju proizvoljne interpretacije formule F , pa je ona valjana.

Primer

Formula oblika (∀x)F ⇒ (¬(∃x)G ⇒ (∀x)F ) je valjana, jer je izvod tautologije

p⇒ (q⇒ p).

F ⇔ G , F ⇒ G

Formule F i G su logički ekvivalentne ako je F ⇔ G valjana formula, a F logičkiimplicira G odnosno G je logička posledica formule F , ako je formula F ⇒ G valjana.

Logika i teorija skupova

Valjane formule

Teorema

Ako su F i G proizvoljne predikatske formule, onda su formule sa narednog spiskavaljane.

(a) (∀x)F ⇒ (∃x)F

(b) (∀x)(∀y)F ⇔ (∀y)(∀x)F

(c) (∃x)(∃y)F ⇔ (∃y)(∃x)F

(d) (∃x)(∀y)F ⇒ (∀y)(∃x)F

(e) (∃x)¬F ⇔ ¬(∀x)F

(f) (∀x)¬F ⇔ ¬(∃x)F

(g) (∀x)(F ∧ G )⇔ (∀x)F ∧ (∀x)G

(h) (∃x)(F ∧ G )⇒ (∃x)F ∧ (∃x)G

(i) (∀x)F ∨ (∀x)G ⇒ (∀x)(F ∨G )

(j) (∃x)(F ∨ G )⇔ (∃x)F ∨ (∃x)G

(k) (∀x)(F ⇒ G )⇒ ((∀x)F ⇒ (∀x)G )

(l) (∃x)(F ⇒ G )⇔ ((∀x)F ⇒ (∃x)G )

(m) (∀x)(F ⇔ G )⇒ ((∀x)F ⇔ (∀x)G ).

Logika i teorija skupova

Valjane formule

Dokaz.

Poći ćemo od proizvoljne interpretacije D i proizvoljne valuacije v domena D i dokazatida je cela formula tačna za tu valuaciju, pa kako su interpretacija i valuacija proizvoljni,sledi da je formula valjana. Svuda pretpostavljamo da je x i-ta, a y j-ta promenljiva.

(a) Napred dokazano.

(d) Formula (∃x)(∀y)F je tačna za valuaciju v ako i samo ako u domenu postoji b takoda je formula (∀y)F tačna za valuaciju v′ dobijenu iz v zamenom i-te komponente sa b.

A (∀y)F je tačna za v′ ako je F tačna za svaku valuaciju koja se od v′ razlikuje nanajviše j-tom mestu.

Element b figuriše na i-tom mestu svake od tih valuacija, pa je formula (∃x)F tačna zasvaku valuaciju koja se od v razlikuje na j-tom mestu.

Dakle, formula (∀y)(∃x)F tačna je za valuaciju v.

(f) Formula (∀x)¬F je tačna za valuaciju v ako i samo ako je ¬F tačna za sve valuacijekoje se od v razlikuju na najviše i-tom mestu, što je ekvivalentno sa tim da formula Fnije tačna ni za jednu od tih valuacija.

Poslednje važi ako i samo ako ne postoji element koji bi mogao stajati na i-tom mestuvaluacije v tako da formula F bude tačna, odnosno ako i samo ako je ¬(∃x)F tačna zavaluaciju v.

Logika i teorija skupova

Zamena promenljive termom

Dokaz.

(h) Ako je formula (∃x)(F ∧ G ) tačna za valuaciju v, onda postoji element b u domenutako da je formula F ∧G tačna za valuaciju v′ dobijenu iz v zamenom i-te komponentesa b.

Sledi da su za v′ tačne formule F i G , pa su za valuaciju v tačne i formule (∃x)F i(∃x)G , odnosno za istu valuaciju tačna je i njihova konjunkcija.

Da se pokaže kako obrnute implikacije u formulama (a), (d), (h), (i), (k) i (m) ne važe,dovoljno je naći kontra primer.

U slučaju (d), to je, na primer, formula

(∀y)(∃x)(y 6 x)⇒ (∃x)(∀y)(y 6 x)

koja nije tačna na skupu N (ili R, svejedno): tačno je da od svakog prirodnog brojapostoji veći, ali ne i da postoji najveći prirodan broj. Formula dakle nije valjana.

Zamena promenljive termom

Zamenimo sva slobodna pojavljivanja promenljive x u formuli F (x) termom t. Dobijenuformulu označimo sa F (t).

Oznaka F (x) treba samo da istakne slobodno pojavljivanje promenljive x u formuli F .

Takvo pojavljivanje uopšte ne mora da postoji (i tada se F (t) poklapa sa F (x)).

Logika i teorija skupova

Zamena promenljive termom

Zamena promenljive termom

Pitamo se da li je gornja zamena ispravna, odnosno da li je valjana formula

(∀x)F (x)⇒F (t)?

Bez dodatnih uslova nije, što se vidi iz sledećeg primera.

Primer

Zamena gornjeg tipa izvršena je u formuli

(∀x) (∃y)α(x, y)︸ ︷︷ ︸

F (x)

⇒ (∃y)α(f(y), y)︸ ︷︷ ︸

F (t), za t=f(y)

.

Kada se oznake prilagode jeziku prirodnih brojeva tako da α bude

Zamena promenljive termom

Nezavisnost terma od promenljive

Term t je nezavisan od promenljive x u formuli F , ako nijedno slobodno pojavljivanjepromenljive x u F ne leži u oblasti dejstva kvantifikatora (∀xi) ili (∃xi), gde je xi nekapromenljiva iz t.

Kaže se još i da je term t slobodan za promenljivu x u F (x).

Primer

a) Promenljiva x je kao term nezavisna od y u formuli α(x, y), ali nije nezavisna od y u¬(∃x)α(x, y).

b) Promenljiva x je nezavisna od y u svakoj formuli.

c) Term f(x, y) nezavisan je od y u (∀x)α(x, z)⇒ β(y), gde su α i β relacijski znaci dužineredom 2 i 1.

Isti term nije nezavisan od y u formuli (∃x)(β(x) ∨ α(y, z)).

Pretpostavimo da su x1, . . . , xn promenljive terma t koji je nezavisan od x u formuli F (x).

Ako se t uvrsti umesto x u F (x), onda su sva pojavljivanja promenljivih x1, . . . , xn uF (t), kojih nema u F (x), slobodna.

Zaista, ta pojavljivanja su posledica zamene t umesto x, a t je nezavisan od x.

To znači da nijedno novo pojavljivanje bilo koje od ovih promenljivih nije u oblastidejstva kvantifikatora koji se na tu promenljivu odnosi.

Logika i teorija skupova

Zamena promenljive termom

Lema

Neka je term t nezavisan od x u formuli F (x). Neka je data interpretacija te formule ijedna valuacija.

Ako se vrednost terma t poklapa sa vrednošću promenljive x, onda je formula F (x)tačna ako i samo ako je F (t) tačna.

Dokaz.

Setimo se da istinitost formule za datu valuaciju zavisi samo od vrednosti koje sepridružuju slobodnim promenljivima formule.

Obzirom da, prema gornjem, sve promenljive terma t imaju slobodna pojavljivanja uF (t), vrednost koju term t dobija u toj formuli za valuaciju v je tv.

Kako je po pretpostavi tv = xv, sledi da v zadovoljava F (x) ako i samo ako zadovoljavaF (t), što je i trebalo dokazati.

Teorema

Ako je term t nezavisan od promenljive x u formuli F (x), onda jeste valjana formula

(∀x)F (x)⇒F (t).

Logika i teorija skupova

Zamena promenljive termom

Dokaz.

Ako gornja formula nije valjana, onda postoji interpretacija i u njoj valuacija v koja zado-voljava formulu (∀x)F (x), a ne zadovoljava F (t).

Tada svaka valuacija koja se od v razlikuje najviše na mestu promenljive x zadovoljavaformulu F (x). To se odnosi i na valuaciju koja na mestu promenljive x ima vrednostterma t za valuaciju v.

Prema datoj Lemi je i F (t) tačna za valuaciju v, što je suprotno gornjoj pretpostavci dav ne zadovoljava tu formulu.

Formula (∀x)F (x)⇒F (t) je dakle valjana. Budući da je svaki konstantan simbol c neza-visan od bilo koje promenljive u formuli, neposredno iz gornjeg tvrdenja zaključujemoda je valjana i formula

(∀x)F (x)⇒F (c).

Neka je term t nezavisan od promenljive x u formuli F (x). On je očito nezavisan od x iu ¬F (x). Tada je valjana formula (∀x)¬F (x)⇒ ¬F (t).

Na osnovu zakona kontrapozicije i valjanih formula (e) i (f) iz navedene Teoreme, valjanaje i formula

F (t)⇒ (∃x)F (x).

Odavde sledi da je valjana i formula

F (c)⇒ (∃x)F (x),

gde je c proizvoljan simbol konstante.

Logika i teorija skupova

Zamena promenljive termom

Primer

a) Za formulu F (x) uzmimo da je

(∃y)((α(x, y) ∧ α(z,y)),

a za term t uzmimo f(x, z), gde su α i f redom relacijski i operacijski simbol dužine 2.

Term t je nezavisan od z, pa je formula

(∀x)(∃y)(α(x, y) ∧ α(z,y))⇒ (∃y)(α(x,y) ∧ α(f(x, z), y))

valjana.

Na primer, ova formula se može formulisati na jeziku brojeva, zamenjujući α bilo kojombinarnom relacijom za brojeve (=,6, i sl.), a f bilo kojom binarnom operacijom (+, ·i sl.). Slično se može učiniti i na jeziku teorije skupova, ili nekom trećem. Dobijenarečenica biće, razume se, uvek tačna. b) U formuli

f(c) = d⇒ (∃x)(f(x) = d)

c i d su simboli konstanti a f unarni operacijski simbol.

Ako se binarni relacijski simbol = prihvati kao jednakost, onda ova formula, koja jeprema napred dokazanom valjana, iskazuje opšte pravilo: ako postoji konstanta kojazadovoljava datu jednakost, onda je odgovarajuća jednačina rešiva.

Logika i teorija skupova