Neizrazita logika u prometu i transportu - Skupovimafpz.fpz.hr/~goldh/FL/USS2001-1-Fuzzy skupovi.pdf · Neizrazita logika - Skupovi 1-2 Pojam skupa Skup je cjelina općenito sastavljena

Neizrazita logika - Skupovi 1-1

Neizrazita logika u prometui transportu

Hrvoje Gold, Fakultet prometnih znanosti, Zagreb

1. Neizraziti skupovi


Pojam skupa

Skup je cjelina općenito sastavljena od nekih za tu cjelinu osnovnih dijelova, koji se zovu članovi, elementi skupa.

Između skupa i njegovih članova postoji određeni odnos pripadnosti, članstva, elemenata skupu.

a ∈ Xb ∉ X


Izraziti skupovi

Univerzalni skup X:

X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

Podskupovi univerzalnog skupa:

A = { 2, 4, 6, 8, 10 } a ∈ X →→→→ A ⊂⊂⊂⊂ X

B = { -3, 0, 3 } b ∉ X → B ⊄ X


Nabrajanjem članova

Univerzalni skup X: Članovi dru�tvaSkup A: �enski članovi dru�tvaSkup B: Članovi studenti

X = {Ana, Ivan, Jana, Matija, Vesna, Luka}A = { Ana, Jana, Vesna }B = { Ivan, Matija, Vesna }

Zadavanje skupa s malim brojemčlanova


A = { 1, 2, 3, ... , 98, 99, 100 }

A = { x 1 ≤ x ≤ 100 i x je cijeli broj }

Navođenjem zajedničkog svojstva članova

Zadavanje skupa s velikim brojemčlanova


Osnovne operacije sa skupovima (1)

Unija skupova A i B:A ∪ B = { x x ∈ A ili x ∈ B }

A B

X


Presjek skupova A i B:A ∩ B = { x x ∈ A i x ∈ B }

A B

X



Komplement skupa A:¬ A = { x x ∉ A }

A

X

¬ A



X = { Ana, Ivan, Jana, Matija, Vesna, Luka }A = { Ana, Jana, Vesna }B = { Ivan, Matija, Vesna }

A ∪ B = { Ana, Ivan, Jana, Matija, Vesna }A ∩ B = { Vesna }

¬A = { Ivan, Matija, Luka }¬B = { Ana, Jana, Vesna }

Primjeri operacija sa skupovima


Zakon idempotentnosti:A ∪ A = AA ∩ A = A

Zakon zamjene:A ∪ B = B ∪ AA ∩ B = B ∩ A

Zakon pridru�ivanja:A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ CA ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C

Svojstva operacija sa skupovima (1)


Zakon distribucije:A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

Zakon involutivnosti:A = ¬ ¬ A

De Morgan-ovi zakoni:¬ (A ∪ B) = ¬A ∩ ¬ B¬ (A ∩ B) = ¬A ∪ ¬ B

Svojstva operacija sa skupovima (2)


∉∈

=XxXx

xA 01

)(χ

Element x pripada ili ne pripada skupu A

Stupanj pripadnosti elementaizrazitom skupu

Binarna vrijednost karakteristične funkcije


Mala Srednja Velika

170 180

1

0

Visina Mala Srednja Velika168 cm 1 0 0171 cm 0 1 0179 cm 0 1 0

Visina [cm]

χ

179168 171

Funkcija pripadnosti izrazitom skupu

x1 = 168 cmx2 = 171 cmx3 = 179 cm


Funkcija pripadnosti neizrazitom skupu

Mala Srednja Velika

170 180

1

0

Visina Mala Srednja Velika168 cm 0.8 0.3 0.0171 cm 0.4 0.7 0.0179 cm 0.0 0.7 0.4

µ

Visina [cm]

179

168

1710.8

0.3

x1 = relativno malax2 = ni�a srednjax3 = vi�a srednja


Neizraziti (fuzzy, n-) skupovi

[ ]1,0:)( →AxAµ

Stupanj pripadnosti elementa x neizrazitom skupu A je zadan realnom vrijedno�ću između 0 i 1.

Izričaju stupnja pripadnosti odgovara funkcija članstva neizrazitog skupa.


ISTINA

STUPNJEVI CELSIUSA

LA�

VRUČI MOTOR

Funkcija istinitosti

Uglavnomneistinito

Uglavnomistinito

Općenitoistinito


Zavisnost neizrazitog skupa o okolnostima

60 Brzina [km/h]

1

070 80 90 100 120

Brzo(Cesta )

Brzo(Autoput )

Japanka Japanac Hrvat

160 170 Visina [cm]

1

0180

µ

µ


Označavanje n-skupova (Zadeh)

Univerzalni skup X je prekidan skup:

∑=

=

+++=n

iiiA

nnAAA

xx

xxxxxxA

1

2211

/)(

/)(/)(/)(

µ

µµµ L

∫=X

iiA xxA )/(µ

Univerzalni skup X je neprekidan skup:


Najče�ći oblici funkcije članstva

� Trokutna funkcija

� Trapezna funkcija

� Eksponencijalna funkcija


Trokutna funkcija članstva (1)

-2

1

0

0 2

A

x

Aµ

xxxxA ∫∫

−+

+=

−

2

0

0

2 22

22

Neprekidni skup


Trokutna funkcija članstva (2)

-2

1

0

0 2

A

x

AµPrekidni skup

0.5

X = { -2, -1, 0, 1, 2 }A = 0.5/-1 + 1.0/0 + 0.5/1


Trapezna funcija članstva

-4

1

0

0 4

B

x

Bµ

0.5

-2 2

xxxxxB ∫∫∫

−++

+=

−

−

4

2

2

2

2

4 241

24

X = { -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 }

B = 0.5/-3 + 1/-2 + 1/-1 + 1/0 + 1/1 +1/2 + 0.5/3


Eksponencijalna funkcija članstva

1

0

DDµ

X = { 0, 2, 4, 6, 8, 10 }

B = 0.11/2 + 0.607/4 + 0.607/6 + 0.11/8

µD(0) = µD(10) = 3.73 x 10-6 ≈ 0

∫ −−=X

x xeD2)5(5.0

4 8 x2 6


Ostali oblici funkcije članstva

INTENZITET PROMETA

STAROST

NESIGURNOST U VO�NJI

DOBA DANA


Normalni neizraziti skup

1

0

E

x

Eµ1)(max =

∈xA

Xxµ

1

0

F

x

Fµ


Konveksni neizraziti skup

1

0

K

x

Kµ

x1 x2 x3

1

0

N

x

Nµ

x1 x2 x3

Konveksni Nekonveksni

[ ]( ))(),(min

,,,

21

2121xx

xxxXxXx

AAA µµµ ≥∈∈∀∈∀


Kardinalnost neizrazitog skupa

∑∈

=Xx

A xA )(µ

XA

A =

Apsolutna

Relativna

1

1

0

3

A

x

Aµ

0.7

2 4

0.2

{ }

32.06/9.19.12.00.17.04/2.03/0.12/7.0

5,4,3,2,1,0

===++=

++==

AAAx

50


Unija neizrazitih skupova (1)

{ })(),(max)(

)()()()()()(

)()(

)()()(

xxx

xxxxxx

xx

xxx

BABA

BAB

BAABA

BABA

µµµ

µµµµµµ

µµ

µµµ

=

<≥

=∨

∨=

∪

∪


Unija neizrazitih skupova (2)

{ })(),(max)( xxx BABA µµµ =∪

1

0

A

x

µ

B1

0

A

x

χB


{ })(),(min)(

)()()()()()(

)()(

)()()(

xxx

xxxxxx

xx

xxx

BABA

BAB

BAABA

BABA

µµµ

µµµµµµ

µµ

µµµ

=

>≤

=∧

∧=

∩

∩

Presjek neizrazitih skupova (1)


Presjek neizrazitih skupova (2)

1

0

A

x

µ

B1

0

A

x

χB

{ })(),(min)( xxx BABA µµµ =∩


)(1)( xx AA µµ −=¬

Komplement neizrazitog skupa

1

0A

x

Aµ

¬A1

0

A

x

χ

0.5

¬A


Za neizrazite skupove općenito ne vrijede:

Zakon isključenja trećega:A ∪ ¬ A ≠ X

Zakon protuslovlja:A ∩ ¬ A ≠ ∅

Svojstva operacija sa n-skupovima


Zakon isključenja trećega

1

0

A ¬A1

0

A ∪ ¬ A = X

1

0

A ¬A

0

A ∪ ¬ A ≠ X

IZRAZITI SKUPOVI

NEIZRAZITI SKUPOVI


Zakon protuslovlja

1

0

A ¬A1

0

A ∩ ¬ A = ∅

1

0

A ¬A

0

A ∩ ¬ A ≠ ∅

IZRAZITI SKUPOVI

NEIZRAZITI SKUPOVI


Jednakost neizrazitih skupova

A = B ⇔ µA(x) = µB(x), ∀ x ∈ X

1

0

A

B

A = B

x

µ


Podskup neizrazitog skupa

A ⊂ B ⇔ µA(x) ≤ µB(x), ∀ x ∈ X

1

0

A

B

A ⊂ B

Skup B obuhvaća, sadr�i skup A

x

µ


αααα (λλλλ) prerezi

Aα = { x | µA(x) > α } , α ∈ [ 0, 1]

Aα = { x | µA(x) ≥ α } , α ∈ [ 0, 1]

Jaki α prerez (skup α razine):

Slabi α prerez:

1

0

A

Aα

α

µA


Načelo ra�članjivanja

Funkcija pripadnosti µA(x) neizrazitog skupa se primejnom α prereza ra�članjuje na beskonačni broj funkcija pripadnosti pravokutnog oblika

α ∧ χ Aα (x) ili α ∧ χ Aα(x)

χAα (x) je karakteristična funkcija skupa Aα


Načelo zdru�ivanja

µA(x) = max[ α ∧ χ Aα (x)] ili max[ α ∧ χ Aα (x)]α ∈ [0, 1) α ∈ (0, 1]

Zdru�ivanjem funkcija pripadnosti pravokutnog oblika i primjenom operacije utvrđivanja najveće vrijednosti (max) slijedi početni neizraziti skup A.

χAα (x) je karakteristična funkcija skupa Aα


1

0

A

Aα1

α3

µA

Načela ra�članjivanja i zdru�ivanja

α2

α1

Aα2

Aα3


Pojam načela pro�irenja (1)

y = 3x + 2

Izraziti skupovi

x = 4

y = 3 ⋅ 4 + 2 = 14

Neizraziti skupovi

x = �oko 4�

y = 3 ⋅ �oko 4� + 2 = �oko 12� + 2 = �oko 14�


y = 3x + 2

2 4 6µ

x

x

yy

20

14

8

�oko 4"

�oko 14�

µ

Pojam načela pro�irenja (2)


Preslikavanje izrazitih skupova

f : X → Y

A ⊂ X f (A) = { y | y = f (x), x ∈ A}

f -1 : Y → X

B ⊂ Y f -1 (B) = { x | f (x) = y, y ∈ B}


Načelo pro�irenja

Preslikavanje neizrazitih skupova

=

≠=

−

−

=

0)(0

0)()(sup)(

1

1

)()(yf

yfxy xfy

AAf

µµ

f : X → X )()()( xy AAf µµ =

f : X → Y

sup je najni�a gornja granica


Primjer primjene načela pro�irenja (1)

y = 3x + 2

3 * �oko 4� + 2 = �oko 12� + 2 = �oko 14�

A = 0.5/3 + 1.0/4 + 0.5/5

x1 = 3, x2= 4, x3 = 5

yi = 3xi + 2, i = 1, 2, 3


"14"17/5.014/0.111/5.0

)253/(5.0)243/(0.1)233/(5.0

)23/()(

/)()(

3

1

3

1)(

oko

xx

yyAf

iiiA

iiiAf

=++=

+⋅++⋅++⋅=

+=

=

∑

∑

=

=

µ

µ

Primjer primjene načela pro�irenja (2)


Kartezijev produkt neizrazitih skupova

Neka je x1 ∈ X1, x2 ∈ X2, ..., xn ∈ Xn. Kartezijev produkt izrazitih skupova X1,..., Xn je skup svih (x1,..., xn) i označava se X1 × ... × Xn.

Neka je X1 × ... × Xn Kartezijev produkt X1, ..., Xn, a A1, ..., An su neizraziti skupovi od X1, ..., Xn. Kartezijev produkt neizrazitih skupova A1, ..., An glasi

),/())(,),(min( 11211 1 nXX nAAn xxxxAAA

n nLLL

L∫ ××=× µµ


Načelo pro�irenja na prostoruKartezijevog produkta

Neka je f preslikavanje iz X1 × ... × Xn u Y koje zadovoljava y = f(x1, ..., xn). Pro�irenjem funkcije f : X1 × ... × Xn → Y slijedi relacija između Kartezijevog produkta A1 × ... × Anneizrazitih skupova A1, ..., An iz X i neizrazitog skupa B = f(A1 × ... × An) na Y tako da je

=

≠=

−

−

××∈

0)(0

0)()(,),(min(sup)(

1

11

),(1

1

1

yf

yfxxy

nAnA

XXxx

B n

n

µµµ

L

LL

f -1(y) označava inverznu sliku od y


Neizraziti i ravni neizraziti brojevi

Neizraziti broj je neizraziti skup A na skupu realnih brojeva ℜ koji zadovoljava sljedeće uvjete� A je konveksan skup� postoji samo jedan x0 sa svojstvom µA(x0) = 1� µA je neprekidna u određenom intervalu

Ravni neizraziti broj je neizraziti broj A koji zadovoljava sljedeće dodatne uvjete

(m1, m2) ∈ R m1 < m2µA(x) = 1 ∀ x ∈ [m1, m2]


Neizraziti i ravni neizraziti brojevi

1

0

AµA B D E

m1 m2

C

A, B, D - Neizraziti brojeviE - Ravni neizraziti brojC - Nije neizraziti broj


Aritmetika neizrazitih brojeva (1)

Pro�irenjem binarne operacije na neizrazite brojeve A i B univerzalnog skupa X

µAΘB(z) = sup [µA(x) ∧ µ B(y)]

↓

[ ] )θ/()()( yxyxBA XX BA∫ × ∧=Θ µµ

x, y, z ∈ X

xθy



Zbrajanje: [ ])()(sup)( yxz BAyxz

BA µµµ ∧=+=

+

Oduzimanje:

Mno�enje:

Dijeljenje:

[ ])()(sup)( yxz BAyxz

BA µµµ ∧=−=

−


BA µµµ ∧=⋅=

⋅


BA µµµ ∧=÷=

÷


Ako α-prerez neizrazitog skupa tvori zatvoreni interval granica p i q, operacije sa neizrazitim brojevima se izvode na intervalima

[a, b] Θ [c, d] ={ z | z = x Θ y, x ∈ [a, b] , y ∈ [c, d]}

[a, b] + [c, d] = [a + c, b + d]

[a, b] - [c, d] = [a - d, b - c]



Ako je a, b, c, d > 0

[a, b] ⋅ [c, d] = [a ⋅ c, b ⋅ d]

[a, b] ÷ [c, d] = [a ÷ d, b ÷ c]

�Oduzimanje i dijeljenje nisu suprotne operacije od zbrajanja odnosno mno�enja.

�Rezultat oduzimanja dva ista broja nije 0, većneizraziti broj �oko 0�.



Aritmetika neizrazitih brojeva Primjeri

Zbrajanje: [3, 5] + [4, 8] = [7, 13]

Oduzimanje: [3, 5] - [4, 8] = [-5, 1]

Mno�enje: [3, 5] ⋅ [4, 8] = [12, 40]

Dijeljenje: [3, 5] ÷ [4, 8] = [0.375, 1.25]


Primjer zbrajanja neizrazitih brojeva

2

1

0

6 10

oko 5

x4 80

oko 2 oko 3

Zbrajanje: �oko 2� + �oko 3�

µx


Primjer oduzimanja n-brojeva (1)

2

1

0

6 10

oko 5

x4 80

oko 2 oko 3

Oduzimanje: �oko 5� - �oko 3�

-2-4

oko 5 - 3

µx


Primjer oduzimanja n-brojeva (2)

2

1

0

6 10

oko 3

x4 80

Oduzimanje: �oko 3� - �oko 3�

-2-4

oko 0µx


Documents

Neizrazita logika u prometu i transportu - Skupovimafpz.fpz.hr/~goldh/FL/USS2001-1-Fuzzy skupovi.pdf · Neizrazita logika - Skupovi 1-2 Pojam skupa Skup je cjelina općenito sastavljena