3. ELEMENTARNA TEORIJA BROJEVA 3.1. djeljivost 653 657 660

3. ELEMENTARNA TEORIJA BROJEVA

3.1. djeljivost

651. Dokaži da je produkt tri uzastopnabroja, od kojih je srednji kub prirodnogbroja, djeljiv s 504.

652. Ako su a , b cijeli brojevi, dokažida je broj ab(a2 − b2)(a2 + b2) djeljiv s30.

653∗. Dokaži da je za sve cijele m , brojmn(m60 − n60) djeljiv s 56786730.

654. Dokaži da je za proizvoljni priro-dan broj n broj n5 − 5n3 + 4n djeljiv sa120.

655. Dokaži da niti za jedan n brojn2 + 3n+ 5 nije djeljiv sa 121.

656. Postoji li prirodan broj n za kojegje n2 + n+ 1 djeljiv sa 1955?

657∗. Dokaži da je n3 + 3n2 − n − 3 zasvaki neparni broj n djeljiv s 48.

658. Dokaži da je izraz n+ 3n3 + 7n7 +9n9 djeljiv s 10 (n ∈ N).

659. Dokaži da je broj kn+4−kn djeljivsa 120, za svaki prirodan broj k i za svakiprirodan broj n > 2.

660∗. Dokaži da je izraz a2 + ab+ b2 , a ,b ∈ N , djeljiv s 9 ako i samo ako su a ib djeljivi s 3.

� � �

661. Dokaži da je broj 255 + 1 djeljiv s11.

662. Dokaži da je broj 3105+4105 djeljivs 13, a nije djeljiv s 11.

663. Dokaži da je broj 2143 − 2 djeljivs 341.

664. Dokaži da je broj 2147 − 1 djeljivs 343.

665∗. Dokaži da je broj 53103 + 10353

djeljiv sa 78.

666∗. Dokaži da je broj 2015 − 1 djeljivs 11 · 31 · 61.

667. Dokaži da je broj 22225555 +55552222 djeljiv sa 7.

668. Dokaži da je broj 271958−108878+101528 djeljiv s 26460.

669. Odredi najveću potenciju broja1979 s kojom je djeljiv broj

197819791980+ 198019791978

.

� � �

670∗. a) Nađi sve prirodne brojeve n zakoje je 2n − 1 djeljiv sa 7.b) Dokaži da 2n + 1 nije djeljiv sa 7 nitiza jedan prirodan broj n .

671∗. Dokaži da je 226n+2+3 djeljiv s 19

za n � 0.

672. Odredi sve prirodne brojeve n zakoje je 2n + 1 djeljiv s 3. Obrazložiodgovor!

3. ELEMENTARNA TEORIJA BROJEVA 53

3.1. DJELJIVOST

673. Nađi sve prirodne brojeve n zakoje je n · 2n + 1 djeljiv s 3.

674. Dokaži da je 36n−26n djeljiv s 35,za svaki prirodan broj n .

675. Dokaži da je za svaki prirodanbroj n bar jedan od brojeva 33n + 23n i33n − 23n djeljiv s 35.

676. Dokaži da je 24n

+ 5 djeljiv s 21,za svaki prirodan broj n .

677. Ako je n prirodan broj, dokaži daje 132n − 1 djeljiv sa 168.

678∗. Odredi najmanji prirodan broj nza kojeg je 2n + 3n djeljiv sa 625.

679. Za koje prirodne brojeve n je broj20n + 16n − 3n − 1 djeljiv s 323?

680. Dokaži da je 42n − 32n + 7 djeljivs 84, za svaki prirodan broj n .

681∗. Dokaži da je 33n+3 − 26n − 27djeljiv sa 169 za svaki n ∈ N .

682. Ako je n prirodan broj, dokaži daje 2n+2 + 32n+1 djeljiv sa 7.

683. Dokaži da je za svaki prirodan brojn broj 72n+1 +2 ·132n+1 +172n+1 djeljivs 50.

684. Dokaži da je za proizvoljni pri-rodan broj n broj 52n+1 + 3n+2 · 2n−1

djeljiv s 19.

685∗. Odredi najmanji prirodan broj mtakav da je 82n +m · 69n djeljiv s 1963za sve neparne prirodne brojeve n .

686. Dokaži da je za neparni broj nbroj 46n + 296 · 13n djeljiv s 1947.

687∗. Za koje prirodne brojeve n je5n + n5 djeljiv s 13? Koji je najmanjitakav n?

688. Dokaži da je za svaki n ∈ Ntočno jedan od brojeva 22n+1−2n+1+1 ,22n+1 + 2n+1 + 1 djeljiv s 5.

689. Dokaži da je broj 1110n − 1 djeljivs 10n+1 .

690∗. Dokaži da je 23n

+1 djeljiv s 3n+1 ,ali nije s 3n+2 .

691. Ako je broj 2n − 1 djeljiv s n ,dokaži da je i 22n−1 − 2 djeljiv s 2n − 1.

692. Dokaži da je 4m−4n djeljiv s 3k+1

onda i samo onda ako je m− n djeljiv s3k .

693. Dokaži da niti za koji prirodanbroj m broj 1978m − 1 nije djeljiv s1000m − 1.

694∗. Neka je n � 3 prirodan broj.Dokaži da je nnnn − nnn

djeljiv s 1989.

� � �

695. Ako je k neparan, dokaži da2n+2 | k2n − 1 .

696∗. Pokaži da 2n − 1 nije djeljiv s n ,niti za jedan prirodan broj n .

697∗. Dokaži da je 2n! − 1 djeljiv s n , zasvaki neparan prirodan broj n .

698∗. Neka je n neparan prirodan broj.Dokaži da je barem jedan od brojeva21 − 1, 22 − 1, . . . , 2n−1 − 1 djeljiv s n .

699∗. Dokaži da postoji beskonačno mno-go prirodnih brojeva n takvih da je 2n+1djeljiv s n . Odredi sve takve proste bro-jeve.

700. Dokaži da postoji beskonačno mno-go prirodnih brojeva n za koje n | 2n+2.

701. Dokaži da za svaki prirodan broja > 1 postoji beskonačno mnogo prirod-nih brojeva n za koje n | an + 1.

702∗. Dokaži da za svaki prirodan broja veći od 2 postoji beskonačno mnogoprirodnih brojeva n takvih da je brojan − 1 djeljiv s n . Da li je tvrdnjaistinita i za n = 2?

54 3. ELEMENTARNA TEORIJA BROJEVA

3.1. DJELJIVOST

703. Dokaži da za svaki prirodan broja postoji složeni broj n koji dijeli brojan−a .

� � �

704. Ako su p i q prosti brojevi, pričemu je q = p + 2, dokaži da je pq + qp

djeljiv s p+ q .

705. Neka su a, b, m, n prirodnibrojevi, pri čemu su a i b relativnoprosti i a > b . Dokaži da an + bn dijeliam + bm ako i samo ako n dijeli m .

706. Dokaži da je abp−apb djeljiv sa 6pako su a , b prirodni brojevi, a p prostbroj veći od 3.

707. Dani su prirodni brojevi a , b , n .Ako je za svaki k ∈ N broj kn−a djeljivs k − b , dokaži da je a = bn .

708. Poznato je da je an − bn djeljiv san (a , b , n su prirodni brojevi, a = b).Dokaži da je an − bn djeljiv i s n(a− b).

709. Ako je zbroj a+b dvaju cijelihbrojeva djeljiv neparnim brojem n ,dokaži da je an+bn djeljiv sa n2 . Dali je ova tvrdnja točna i za parni broj n?

710. Prirodni brojevi m , n , k imajusvojstvo da je mn djeljiv sa nm , a brojnk djeljiv sa kn . Dokaži da je mk djeljivsa km .

711. Dokaži da je broj koji se sastoji od3n jednakih znamenaka djeljiv s 3n .

� � �

712. Dva peteroznamenkasta broja dajujednake ostatke pri dijeljenju s 11.Dokaži da napisani jedan iza drugog,daju deseteroznamenkasti broj koji jedjeljiv s 11.

713. Dani su brojevi 1, 12, 123, . . . ,1234567890, 12345678901, . . . Svaki brojdobiva se od prethodnog tako da muse dopiše sljedeća znamenka, pri čemuposlije 0 dolazi 1, poslije 1 dolazi 2,. . . ,poslije 9 dolazi 0, itd. Dokaži da je barjedan od tih brojeva djeljiv s 1981.

714∗. Ako je neki član niza 1, 31, 331,3331,. . .djeljiv s 541, dokaži da je ondjeljiv i s 19.

715. Neka su a, b i c prirodni brojevi ia2 + b2 = c2 . Dokaži da je abc djeljiv s30.

716. Nađi jedan par prirodnih brojevaa, b za koje vrijedia) produkt ab(a+ b) nije djeljiv sa 7,b) broj (a+ b)7 − a7 − b7 djeljiv je sa 77 .Obrazloži odgovor!

717∗. Dokaži da za svaki prirodan brojn postoji niz od n ili više uzastopnihbrojeva od kojih je svaki djeljiv kvadra-tom nekog prirodnog broja različitog odjedinice.

� � �

718∗. Neka su k i n prirodni brojevi.Odredi sve cijele brojeve x takve dabude n|x , n+1|x+1 , . . . , n+k|x+k .

719. Odredi prirodan broj n za kojegje n2 + 1 djeljiv s n+ 1.

720. Odredi prirodan broj n tako dan4 + 1 bude djeljiv s n+ 1.

721. Dokaži da je za svaki prirodan brojn broj nn −n2 +n− 1 djeljiv s (n− 1)2 .

722∗. Neka su a, b prirodni brojevi i nprirodan broj koji nije djeljiv s 3. Dokažida je broj (a+b)2n + a2n + b2n djeljiv sa2 + ab+ b2 .

723. Neka je n proizvoljan prirodanbroj. Dokaži da broj

n∑k=0

(2n+ 12k + 1

)23k

nije djeljiv s 5.


3.1. DJELJIVOST

� � �

724. Dokaži da je zbroj kubova nuzastopnih članova aritmetičkog nizadjeljiv zbrojem tih članova.

725. Dokaži da je 3(15 + 25 + . . .+ n5)djeljiv s 13 + 23 + . . .+ n3 .

726. Dokaži da je zbroj1k + 2k + . . .+ nk ,

gdje je n prirodan, a k neparan broj,djeljiv s 1 + 2 + . . .+ n .

727∗. Dokaži tvdnju:10 | a1 + . . .+ a1988

=⇒ 10 | a51 + . . .+ a5

1988 , ai ∈ N .

� � �

728∗. Odredi sve prirodne brojeve ndjeljive svim prirodnim brojevima kojinisu veći od

√n .

729. Nađi sve prirodne brojeve n zakoje √n� dijeli n .

730∗. Neka je p prost broj veći od 2.Dokaži da je broj⌊

(2 +√

5)p⌋− 2p+1

djeljiv sa p . (x� je najveći cijeli broj,koji nije veći od x .)

731. Postoji li takav broj h da niti zajedan prirodan broj n broj h · 1969n�nije djeljiv s h · 1969n−1�?732∗. Neka je k proizvoljan prirodanbroj. Dokaži da postoji necjelobrojnirealni broj x > 1 takav da k dijeli

⌊xn⌋

za svaki prirodan broj n .

733. Nađi broj n koji je djeljiv sa 2 i9, a ima 26 djelitelja (uključujući 1 i n).

734∗. Dokaži: ako je n+1 djeljiv s 24,tada je i suma svih prirodnih djeliteljabroja n (uključujući 1 i n) djeljiva s 24(n je prirodan broj).

735. Neka je f(n) ∈ N najmanji brojza kojeg je suma

∑f(n)k=1 k djeljiva s n .

Dokaži da je jednakost f(n) = 2n − 1ispunjena ako i samo ako je n = 2m , zaneki m ∈ N .

736. Neka su m i n prirodni brojevi.Ako je za neke nenegativne cijele brojevek1, k2, . . . , kn broj 2k1 + 2k2 + . . . + 2kn

djeljiv s 2m−1, dokaži da je tada n � m .

737. Odredi prirodne brojeve n za kojeje 1n + 2n + . . .+ (n−1)n djeljiv s n .

738. Dokaži da niti za jedan prirodanbroj n zbroj

11987 + 21987 + . . .+ n1987

nije djeljiv s n+ 2.

739. Neka je n prirodan, a k prostbroj. Dokaži da niti jedan od brojevaCk

n , k = 0, 1, . . . , n nije djeljiv sa p , akoi samo ako je n oblika n = psm − 1 zaneki s ∈ Z+ , m ∈ N , m < p .

� � �

740. a , b i p su proizvoljni prirodnibrojevi. Dokaži da se mogu pronaći takvirelativno prosti brojevi k i l da je brojak + bl djeljiv sa p .

741. Dana su tri cijela broja k , m , ntakva da je (k,m) = 1. Dokaži da semože naći cijeli broj x da broj mx + nbude djeljiv sa k .

742∗. Dokaži da se za svaki prosti broj pmogu naći cijeli brojevi x , y takvi da jex2 + y2 + 1 djeljiv s p .

743. Ako je aj = n! + j , onda za svakin � 2 i svaki k (1 � k � n) postoji barjedan prost broj p takav da p dijeli ak

i za svaki j = k (1 � j � n) p ne dijeliaj . Dokaži!


3.2. PRIM FAKTORI I FAKTORIJELI

744. Neka su a i m prirodni brojevi ix cijeli broj, takav da m dijeli a2x− a .Dokaži da postoji cijeli broj y , takav, dam dijeli brojeve a2y − a i a2y − y .

745. Neka su a, b, c cijeli brojevi i mprirodan broj. Ako je an + bn + c ≡ 0(mod m) za svaki n ∈ N , dokaži da jeb2 ≡ 0( mod m). Da li mora biti b ≡ 0(mod m)?

746. Ako je p neparan prost broj i acijeli broj koji nije djeljiv sa p , onda jejedan i samo jedan od brojeva

A = a1+2+3+...+(p−1) + 1 ,

B = a1+2+3+...+(p−1) − 1djeljiv sa p .

747. Neka su a, a1, a2, . . . , am cijeli bro-jevi, a n prirodan broj. Dokaži

1) broj a(a2n − 1) je djeljiv sa 6;2) zbroj S = a1 +a2 + . . .+am djeljiv

je sa 6 ako i samo ako je zbrojS′ = a2n+1

1 + a2n+12 + . . .+ a2n+1

m djeljivsa 6.

748. Neka su p i q prirodni brojevitakvi da jep

q= 1− 1

2+

13− 1

4+ . . .− 1

1318+

11319

.

Dokaži da je broj p djeljiv brojem 1979.

3.2. prim faktori i faktorijeli

749. Odredi najveću potenciju broja 2koja dijeli (2n)! .

750. Dokaži da je najveća potencijaprostog broja p kojim je djeljiv brojn! jednaka⌊

n

p

⌋+⌊n

p2

⌋+ . . .+

⌊n

pm

⌋+ . . . .

751. Dokaži da broj n! nije djeljiv s 2n .

752. Ako za prirodne brojeve n , x , yvrijedi xn = y! , dokaži da je tada n = 1ili x = 1.

753. Dokaži da ni za jedan prirodanbroj n , n! nije djeljiv sa pn , gdje je pprost broj.

754∗. Da li postoji takav cijeli broj p daje broj 2p−n · n! cijeli, za svaki prirodanbroj n ?

755. Dokaži da je (n!)(n−1)! djeljiteljbroja (n!)! .

756. Dokaži da je(2m)! (2n)!

m! n! (m+ n)!cijeli

broj.

757∗. Neka je I =(m+ n− 1)!

m!n!. Odredi

nuždan i dovoljan uvjet da I bude cijelibroj.

758∗. Dokaži da je(5n)!

40n · n!prirodan broj, za svaki prirodan broj n .

759∗. Označimo s xn(p) kratnost pros-tog broja p u rastavu broja n! na prostefaktore. Dokaži da jexn(p)n

<1

p− 1; lim

n→∞xn(p)n

=1

p− 1

� � �

760. Dokaži da p dijelip−3∑j=1

j · j! ako isamo ako je p prost.

761∗. Ako je p prost broj, dokaži da(np

)pri dijeljenju sa p daje ostatak⌊n

p

⌋.

762. Dokaži da je p > 1 prost broj akoi samo ako je za svaki prirodan broj k ,

1 � k � p−1 broj(pk

)djeljiv sa p .


3.2. PRIM FAKTORI I FAKTORIJELI

763. Dokaži da su za neparan n > 1brojevi n i n+2 prosti ako i samo ako(n − 1)! nije djeljiv sa n niti sa n+2.

764∗. Dokaži da za prost broj p > 5jednakost (p−1)! + 1 = pm nije mogućaniti za jedan prirodan broj m .

� � �

765. Ako je n prirodan broj, dokaži dan(n+1) nije nikad potencija prirodnogbroja.

766. Odredi sve prirodne brojeve n zakoje (n− 1)! nije djeljiv sa n2 .

767∗. Ako je p prost broj, dokaži da je

broj N =(2p)!(p!)2

− 2 djeljiv sa p2 .

768. Neka su k, m, n prirodni brojevii m+k+1 prost broj veći od n+1. Ozna-čimo Cs = s(s+1). Dokaži da je produkt(Cm+1−Ck)(Cm+2−Ck) · · · (Cm+n−Ck)djeljiv sa C1C2 · · ·Cn .

769. Neka je m zadani prirodan broj.a) Dokaži da je broj Cm

2m djeljiv sam+ 1.

b) Nađi najmanji prirodan broj k

takav da jek

n+m+ 1Cn+m

2n prirodan

broj, za svaki n � m .

770. Nađi broj dvojki u rastavu broja(n+1)(n+2) · · · 2n na proste faktore.

771. Neka je

A =1 · 3 · 5 · · · (2n−1)

2 · 4 · 6 · · · 2n , n ∈ N

Dokaži da su u nizu A, 2A, . . . , 2kA, . . .počevši od nekog svi brojevi cijeli.

� � �

772. Koristeći Čebiševljev teorem (iz-među brojeva n i 2n , n > 3, nalaze sebarem dva prosta broja) dokaži da se urastavu broja n! na proste faktore mogunaći najmanje dva različita prosta brojačija je kratnost 1.

773∗. Dokaži da je za svaki prosti broj pbrojnik m u (skraćenom) razlomku

m

n= 1 +

12

+13

+ . . .+1

p− 1djeljiv sa p .

774. Neka je P (n) problem: “Nađi nuzastopnih prirodnih brojeva takvih danajveći od njih dijeli najmanji zajedničkivišekratnik ostalih n−1 brojeva”. Dokažida za n > 2 postoji samo jedan n za kojiP (n) ima samo jedno rješenje.

775. Dano je 10 prirodnih brojeva:a1 < a2 < . . . < a10 . Dokaži da nji-hov najmanji zajednički višekratnik nijemanji od 10a1 .

776. Neka su m , n prirodni brojevi,m � n . Dokaži da u skupu od nuzastopnih prirodnih brojeva postoje dvačiji je produkt djeljiv sa m · n .

777∗. Odredi s kojom je najvećom poten-

cijom broja 2 djeljiv broj⌊(1 +

√3)n

⌋.

778∗. Označimo sa f(n) najveći prim-faktor broja n ∈ N . Da li postojibeskonačno mnogo prirodnih brojevan za koje vrijedi f(n) < f(n + 1) <f(n + 2)?

779∗. Označimo sa g(n) broj prim-faktora broja n ∈ N . Dokaži da postojibeskonačno mnogo prirodnih brojeva nza koje vrijedi g(n) < g(n+1) < g(n+2).


3.3. PROSTI I SLOŽENI BROJEVI

3.3. prosti i složeni brojevi

780. Dokaži da je broj koji u dekadskomzapisu ima 91 znamenku, pri čemu su sveznamenke jedinice, složen.

781. Ako je n > 1 prirodan, dokažida n4 + 4 nije prost. Dokaži da postojibeskonačno mnogo prirodnih brojeva atakvih da n4 + a nije prost niti za jedanprirodan broj n > 1.

782. Ako je jedan od brojeva 2n−1,2n+1 (n > 2) prost, tada je drugi složen.Dokaži!

783. Neka su m , n prirodni brojevi.Dokaži:

a) Ako je m > 1 i ako je mn +1 prostbroj, tada je n potencija broja 2.

b) Ako je n > 1 i ako je mn − 1 prostbroj, tada je m = 2 i n je prost broj.

784∗. Ako je za neki prirodan n broj1 + 2n + 4n prost, dokaži da je n = 3k ,za neki k ∈ N .

785. Nađi sve proste brojeve oblikann + 1, n ∈ N koji nisu veći od 1019 .

786. Nađi sve proste brojeve p za kojeje broj 2p + p2 također prost broj.

787. Dokaži da je za svaki prirodan nbroj 19 · 8n + 17 složen.

788. Dokaži da je među brojevima2k · √2� beskonačno mnogo složenih.

789. Pokaži da niz {2n−1} sadrži pro-izvoljno dug podniz uzastopnih članovakoji se sastoji od složenih brojeva.

790. Dokaži da postoji beskonačno mno-go složenih brojeva oblika 10n + 3.

791. Dokaži da za svaki prosti broj ppostoji beskonačno mnogo brojeva oblika2n − n (n ∈ N) koji su djeljivi sa p .

792. Ako su p , q prosti brojevi, i 2p−1djeljiv sa q , dokaži da je p < q .

793. Dokaži da postoji broj k ∈ N ,takav da je za svaki n ∈ N broj k · 2n +1složen.

� � �

794. Dokaži da ne postoje prirodnibrojevi a , b , c takvi da je ap2 + bp+ cprost, za svaki prost broj p .

795. a) p , p+10, p+14 su prostibrojevi. Odredi p .

b) Hoće li i broj 4p+1 biti prost akosu to p i 2p+1?

c) p , 4p2+1, 6p2+1 su prosti brojevi.Odredi p .

d) p i 8p−1 su prosti brojevi. Dokažida je 8p+1 složen.

e) p i 8p2+1 su prosti brojevi. Dokažida je 8p2−1 prost.

796. Dan je prirodan broj n , n � 2.Dokaži da ako je broj k2 + k + n prostza svaki cijeli broj k koji zadovoljava

0 � k �√n

3, tada je kk + k + n

prost za svaki cijeli broj k takav daje 0 � k � n− 2.

797. Dokaži da postoji beskonačno mno-go prostih brojeva oblika 4n+ 3.

798. Dokaži da za svaki prirodan nmožemo pronaći prirodan broj k takavda broj nk+1 bude složen.

799∗. Neka su a , b , x0 prirodni brojevii xn = axn−1 + b , n � 1. Dokaži da jebar jedan od brojeva xn složen.

800. Dokaži da je tvrdnja: “Od svakogse broja može promjenom jedne znamen-ke dobiti prost broj”, netočna.

801∗. Označimo sa Sn zbroj prvih nprostih brojeva. Dokaži da se međubrojevima Sn i Sn+1 nalazi potpunkvadrat.


3.4. RELATIVNO PROSTI BROJEVI

802. Prirodni brojevi a , b i c imajusvojstva da su brojevi p = bc + a ,q = ab + c i r = ca + b prosti. Dokaži dasu dva od brojeva p , q , r jednaka međusobom.

803. Broj p je prost. Dano je p + 1različitih prirodnih brojeva. Dokaži da semeđu njima može pronaći par brojeva xi y takvih da kvocijent većeg od njih inajveće zajedničke mjere nije manji odp+ 1.

804. Tri prosta broja čine aritmetičkiniz s razlikom koja nije djeljiva sa 6.Dokaži da je najmanji od njih jednak 3.

805. Ako 15 prostih brojeva čini arit-metički niz, dokaži da je razlika tog nizaveća od 30000.

� � �

806. Odredi skup od pet različitihprirodnih brojeva u kojemu su svakadva broja relativno prosta, a proizvoljnihnekoliko brojeva daje u zbroju složenibroj.

807. Nađi sve prirodne brojeve n ma-nje od 10 000 000 koji imaju sljedećesvojstvo: ‘Ako je m relativno prost san i manji je od njega, tada je m prostbroj.’

808. Nazvat ćemo prirodan broj apso-lutno prostim, ukoliko je on prost broji ukoliko pri svakoj permutaciji njegovihznamenaka ponovo dobivamo prost broj.Dokaži da se u zapisu apsolutno prostogbroja ne može pojaviti više od tri različiteznamenke.

809∗. Neka je S skup prirodnih brojevamanjih od danog prostog broja p , alitakav da ako a i b pripadaju skupuS , onda njemu pripadaju i ostaci kojinastaju dijeljenjem brojeva ab , a2 , b2 ,sa p . Ako skup S nema manje od dvabroja, dokaži da je zbroj svih brojeva izS djeljiv sa p .

810. Dokaži da je cijeli broj r > 2složen ako i samo ako je ispunjena barjedna od sljedeće dvije tvrdnje:

(a) za neki s = 2, 3, . . . je r = 2s ,(b) za neke u, v = 3, 4, . . . (u � v ) je

r = u(2v − u+ 1)/2.

811. Broj a dobiven je tako što subrojevi od 1 do 101 napisani jedan dodrugog. Dokaži da je a složen broj. Dali je a kvadrat prirodnog broja?

812. Dokaži da su svi brojevi oblika10001, 100010001, 1000100010001 , . . .složeni.

813∗. Neka su P1(x), P2(x),. . . , Pn(x)nekonstantni polinomi s pozitivnim cje-lobrojnim koeficijentima. Pokaži da pos-toji k ∈ N takav da su svi brojevi P1(k),P2(k),. . . , Pn(k) složeni.

3.4. relativno prosti brojevi

814. Ako su a i b relativno prostibrojevi, dokaži da su tada a + b i abtakođer relativno prosti. Vrijedi li obrat?

815. Dokaži da su dva prirodna broja —čije su sve znamenke jedinice — relativnoprosta ako i samo ako su brojevi njihovihznamenaka relativno prosti.

816. Prirodni brojevi a i b su relativnoprosti. Dokaži da je najveća zajedničkamjera brojeva a + b i a2 + b2 jednaka 1ili 2.

817∗. Dokaži da među brojevima an =n(n+1)

2ima beskonačno mnogo takvih

da su svaka dva relativno prosta.


3.5. BROJEVI U BROJNIM SUSTAVIMA

818∗. Niz cijelih brojeva {an} definiranje sa

an+1 = a2n − an + 1, a1 = 2.

Dokaži da su njegovi članovi relativnoprosti brojevi.

819∗. Neka su a0, a1, . . . , a8 cijeli brojeviza koje jean+1 = a2

n − an + 5, n = 0, 1, . . . , 7.Dokaži da među ovim brojevima baremdva nisu relativno prosta.

820. Dokaži da su 2p − 1 i 2q + 1relativno prosti ako i samo ako su pi q relativno prosti. Dokaži općenitije davrijedi

(ap − 1 , aq − 1) = a(p,q) − 1.

821∗. Dokaži da su bilo koja dva broja izniza 22 +1, 222

+1, . . . , 22n

+1 relativnoprosta.

822. Dokaži da niz {2n−3} , n =2, 3, . . . sadrži beskonačno mnogo članovakoji su međusobno prosti.

823. Dokaži da je (n , 22n

+ 1) = 1, zasvaki n > 1.

824. Dokaži da se razlomak21n+ 414n+ 3

ne

može skratiti ni za koji prirodan n .

825∗. Neka je n prirodan broj. Dokažida je najveća zajednička mjera brojevan2 + 1 i (n + 1)2 + 1 ili 1 ili 5, i dokažida je jednaka 5 ako i samo ako je n ≡ 2(mod 5).

826. Nađi barem jedan broj n takav dasvaki od brojeva n , n + 1, . . . , n + 20ima s brojem 30 030 = 2 · 3 · 5 · 7 · 11 · 13zajednički djelitelj, veći od jedinice.

827. Nađi najveću zajedničku mjerubrojeva 1 + 2 + 22 + 23 + . . . + 25n−1 ,n = 1, 2, . . . .

828. Odredi sve prirodne brojeve ntakve da je svaki složeni broj k , kojije relativno prost sa n i manji od njega,kvadrat cijelog broja.

829∗. Neka su p i q prosti brojevi, brojq3 − 1 djeljiv je s p , a broj p− 1 djeljivs q . Dokaži da je p = 1 + q + q2 .

830∗. Dokaži da je za sve prirodnebrojeve n � k najveća zajednička mjerabrojeva Ck

n , Ckn+1 ,. . . , Ck

n+k jednaka 1.

831. Neka je f(x) = x2 − x+ 1. Dokažida su za svaki prirodan broj m bro-jevi m , f(m), f(f(m)),. . .međusobnorelativno prosti.

832. Dokaži da se među deset uzastop-nih prirodnih brojeva uvijek nalazi baremjedan, a najviše četiri broja koji nisu dje-ljivi ni s jednim od brojeva 2, 3, 5, 7.

833. Dokaži da se među 9 uzastopnihbrojeva može naći broj relativno prost sostalima.

834∗. Dokaži da se među 16 uzastopnihbrojeva može naći broj relativno prost sostalima.

835. Dokaži da se za proizvoljna tribroja manja od 1 000 000 može pronaćibroj, manji od 100, koji je relativno prostsa svakim od njih.

3.5. brojevi ubrojnim sustavima

836∗. Neka je n proizvoljan prirodanbroj. Dokaži da postoji broj napisanu dekadskom sustavu pomoću jedinica inula i koji je djeljiv sa n . Ako je pakbroj n relativno prost s 10, tada postojibroj sastavljen samo od jedinica, koji jetakođer djeljiv sa n .

837. Dokaži da za svaki prirodan broj npostoji broj oblika 11 · · · 1100 · · · 00 kojije djeljiv sa n .



838∗. Dokaži da postoje brojevi djeljivis 51985 koji ne sadrže u svom zapisu nitijednu nulu.

839∗. Dokaži da se za svaki prirodan brojn može naći broj koji je u dekadskomsustavu zapisan samo pomoću znamenki1 i 2 i koji je djeljiv s 2n .

840. Dokaži da postoji prirodan brojn takav da u dekadskom zapisu brojan · 21000 nema niti jedne nule.

841. Dokaži da postoji broj djeljiv sa 7koji se piše samo pomoću jedinica i nula,pri čemu ima 1961 jedinicu i 21961 nulu,a posljednja znamenka je jedinica.

842∗. Dokaži da za svaki prirodan broj npostoji potencija broja 2 u čijem zapisuima više od n uzastopnih nula.

843. Dokaži da postoje: a) jedan; b) be-skonačno mnogo prirodnih brojeva n ,takvih da se broj 2n završava znamenka-ma broja n .

844. Dokaži da postoji broj k takav dabroj k! počinje znamenkama 1966.

845∗. Dokaži da brojevi oblika 2n , zarazličite vrijednosti od n , mogu poči-njati proizvoljnom, unaprijed zadanom,kombinacijom znamenki.

846. Pokaži da za svaki prirodan brojm postoji prirodan broj n , n > m ,takav da se decimalni prikaz broja 5n

dobiva dodavanjem nekih znamenakaslijeva decimalnom prikazu broja 5m .

� � �

847. Postoji li prirodan broj djeljivs 11 · · · 11 (m jedinica) čiji je zbrojznamenaka manji od m?

848. Dokaži da zbroj znamenaka brojaN nije veći od peterostrukog zbrojaznamenaka broja 55 ·N .

849∗. Prirodni brojevi a i b u dekadskomzapisu imaju n znamenaka. Neka jeprvih m znamenaka tih brojeva jednako,računajući s lijeva na desno, pri čemu jen/2 < m < n . Dokaži da je tada

n√a− n√

b < 1/n .

850∗. Dokaži da brojevi 1974n i 1974n +2n imaju za svaki prirodan broj n jed-nak broj znamenaka u svom dekadskomprikazu.

851∗. Dokaži da zbroj znamenaka broja2n (u dekadskom sustavu) može biti povolji velik, za dovoljno veliki n .

852. Dokaži da postoji prirodan broj n ,veći od 1000, takav da je zbroj znamenakabroja 2n veći od zbroja znamenaka broja2n+1 .

853. Nađi sve prirodne brojeve n i ktakve da nn ima k znamenaka, a kk iman znamenaka.

854. Za koje prirodne brojeve n je zbrojznamenki broja n! jednak 9?

855. Dokaži da za svaki prirodan brojk postoji beskonačno mnogo prirodnihbrojeva t koji nemaju nula u dekadskomprikazu i takvih, da t i kt imaju jednakzbroj znamenaka.

856. Označimo sa S(n) zbroj svihznamenaka prirodnog broja n .

a) Postoji li prirodan broj n , takav daje n+ S(n) = 1980?

b) Dokaži da se barem jedan od dvauzastopna prirodna broja može prikazatiu obliku n+ S(n) za neki treći prirodanbroj n .

857. Označimo broj znamenaka u brojuA s k(A). Dokaži da je broj k(51090701)−k(21090701) djeljiv s 2.

858. Neka je A zbroj znamenki broja44444444 , B zbroj znamenki broja A .Nađi zbroj znamenki broja B . (Svi bro-jevi su zapisani u dekadskom sustavu.)



� � �

859. Postoje li tri znamenke različiteod nule pomoću kojih možemo zapisatikvadrate beskonačnog broja različitihcijelih brojeva?

860. Dan je 999-eroznamenkasti broj.Poznato je da ako izdvojimo proizvolj-nih 50 uzastopnih znamenaka, tada jedobiveni broj djeljiv s 250 . (Taj broj mo-že započinjati nulama, ili pak biti cijelijednak nuli.) Dokaži da je početni brojdjeljiv s 2100 .

861. Zadan je prirodan broj n > 1970.Promotrimo ostatke pri dijeljenju broja2n s 2, 3, 4, . . . , n . Dokaži da je zbrojsvih ostataka veći od 2n .

862. Ako je prirodan broj k djeljiv s10 101 010 101, dokaži da njegov dekadskizapis ima barem 6 znamenaka različitihod nule.

863. Broj y dobiven je od broja xnekom permutacijom njegovih znamenki.Poznato je da vrijedi x + y = 100 · · · 00(200 nula). Dokaži da je x djeljiv s 50.

864. Binarni zapis prirodnog broja ndjeljivog sa 17 sadrži točno tri znamenke1. Dokaži:

a) Taj zapis sadrži najmanje 6 zname-naka 0.

b) Ako on sadrži točno 7 nula, tada jen paran.

865∗. Neka je m neki 17-eroznamenkastibroj i n njegov obrnuti broj (broj sasuprotnim poretkom znamenaka). Dokažida je u dekadskom zapisu broja m + nbar jedna znamenka parna.

866. Neka su m i n prirodni broje-vi, takvi, da je n > m � 1. Posljednjetri znamenke broja 1978m jednake su,redom, posljednjim trima znamenkamabroja 1978n (u dekadskom zapisu). Od-redi m i n tako da m+n ima najmanjumoguću vrijednost.

867. 2n–teroznamenkasti broj naziva-mo ‘osobitim’ ako je on potpuni kvadrat,a brojevi napisani pomoću prvih njegovihn znamenaka i posljednjih n znamena-ka su također potpuni kvadrati (pri tomdrugi broj može počinjati nulom, ali nemože biti cijeli jednak nuli, dok prvi brojne može počinjati s nulom).

a) Nađi sve dvoznamenkaste i četve-roznamenkaste osobite brojeve.

b) Postoje li šesteroznamenkasti oso-biti brojevi? (Dokaži da ih nema, ili paknađi primjer takvog broja.)

c) Dokaži da postoji barem jedan 30-teroznamenkasti osobiti broj.

d) Dokaži da postoji ne više od 10osobitih 100-znamenkastih brojeva

e) dokaži da postoji barem jedan 30-znamenkasti osobiti broj.

868. Neka su a, b i n prirodni brojeviveći od 1. Brojevi a i b su bazedvaju brojnih sustava. Brojevi An i Bn

imaju jednaki prikaz xnxn−1 · x1x0 usustavima s bazama a i b , pri čemuje xn = 0, xn−1 = 0. Brojeve kojedobivamo precrtavanjem prve znamenkexn označit ćemo s An odnosno Bn .

Dokaži da je a > b ako i samo ako jeAn−1

An<Bn−1

Bn.

869. Dan je broj 2k , pri čemu je kprirodan broj veći od 3. Dokaži da sepermutacijom znamenaka ovog broja nemože dobiti broj oblika 2n , gdje je nprirodan broj veći od k .

870. Prirodni brojevi k imaju sljedećesvojstvo: ako je n djeljiv sa k , tada je ibroj zapisan istim znamenkama kao i n ,ali u suprotnom poretku, također djeljivsa k . Dokaži da je k djelitelj broja 99.

871. Broj A zapisuje se u dekadskomsustavu pomoću 66 trojki, a broj Bpomoću 666 šestica. Od kakvih seznamenaka sastoji broj A ·B ?


3.6. PRIKAZ BROJEVA

872. Prirodan broj k ima u dekadskomzapisu n znamenaka. Taj se broj zao-kružuje na točnost do desetki tako dase posljednja znamenka zamijeni nulom,a znamenka desetica uveća za jedan akoje posljednja znamenka bila veća od 4.Dobiveni broj se na isti način zaokružina točnost do stotica itd. Poslije n − 1koraka dobiti ćemo broj k̃ . Dokaži davrijedi k̃ < 18k/13.

� � �

873∗. U bazi 2 dan je broj 111 · · · 111 (njedinica). Nađi, također u bazi 2, njegovkvadrat.

874. Razlomak101010101110010011

napisan jeu proizvoljnoj bazi. Dokaži da mu sevrijednost neće promijeniti ako srednjuznamenku 1 zamijenimo bilo kojimneparnim slogom znamenki 1, tj.

101010101110010011

=1010111010111001110011

=10101111101011100111110011

= · · ·

875. Odredi četveroznamenkasti broj ubazi 10 koji je jednak broju s obrnutimporetkom znamenaka, ali u bazi 7.

876. Za koji brojni sustav vrijedi jed-nakost 12! − 11! − 10! = 1002 + 102 ?

877∗. Za svaki prirodan broj n odredinajmanji prirodan broj koji zbrojen s 2n

daje potpuni kvadrat.

878. Funkcija f : N → N zadana jeformulom

f(m) = m+ √m� .Dokaži da tada za svaki m ∈ Npostojik ∈ N tako da je

fk(m) = f(f(. . . (f︸︷︷︸k

(m)) . . .)

potpun kvadrat.

879. Odredi sve cijele brojeve x takoda x2 + 3x+ 24 bude potpuni kvadrat.

880. Dokaži da zbroj jednakih parnihpotencija triju uzastopnih prirodnih bro-jeva ne može biti parna potencija prirod-nog broja.

881∗. Dokaži da zbroj jednakih parnihpotencija devet uzastopnih prirodnihbrojeva ne može biti potencija prirodnogbroja (s eksponentom većim od 1).

882. Neka je Pn produkt prvih nprostih brojeva. Dokaži da niti jedanod brojeva Pn − 1, Pn + 1 nije potpunikvadrat.

3.6. prikaz brojeva

883. Dokaži da niti jedan broj oblika 2n

(n prirodan) nije jednak zbroju dvaju iliviše uzastopnih brojeva.

884. Dokaži da je svaki broj, koji nijepotencija broja 2, jednak zbroju dva iliviše uzastopnih prirodnih brojeva.

885∗. Dokaži da se bilo koja potencijaprirodnog broja n može prikazati uobliku zbroja n uzastopnih neparnihbrojeva.

886∗. Dokaži da se niti jedan prostbroj oblika 22n

+ 1 ne može prikazatikao razlika petih potencija dva prirodnabroja.

887. Dokaži da se svaki prirodan brojkoji nije veći od n! može prikazati uobliku zbroja od najviše n pribrojnikameđu kojima nema jednakih i svaki jedjeljitelj broja n! .

888. Postoji li prirodan broj z koji sena dva različita načina može prikazati uobliku z = x! + y! ?


3.6. PRIKAZ BROJEVA

889∗. Neka je n prirodan i d djeliteljbroja 2n2 . Dokaži da broj n2 + d nijenikad potpun kvadrat.

890. Dokaži da postoji beskonačno mno-go prirodnih brojeva n takvih da jen2 = x2 + p , gdje je p prost a x cijelibroj.

891. Dokaži da se svaki broj 2n , n � 3,može prikazati u obliku 2n = 7x2 + y2 ,gdje su x i y neparni brojevi. (Eulerovzadatak.)

892∗. Dokaži da postoji beskonačno mno-go vrijednosti n ∈ N za koje se svaki odbrojeva n, n+1, n+2 može prikazati uobliku sume kvadrata dva cijela broja.

893. Dokaži da se svaki prirodan brojmože na jedinstveni način prikazati uobliku 1

2 [(x+y)2 + 3x + y] gdje su x, ynenegativni cijeli brojevi.

894. Neka su a, b, c pozitivni cijelibrojevi od kojih su bilo koja dva relativnoprosta. Dokaži da je 2abc− ab− bc− canajveći cijeli broj koji se ne možeprikazati u obliku xbc + yca + zab , scijelim nenegativnim brojevima x, y, z .

895. Dokaži da postoji beskonačno mno-go trojki uzastopnih prirodnih brojeva odkojih je svaki zbroj dva potpuna kvadra-ta. Primjer: 72 = 62 + 62 , 73 = 82 + 32 ,74 = 72 + 52 .

� � �

896∗. Dokaži da 2p + 3p nije potencijaprirodnog broja niti za jedan prost brojp .

897∗. Odredi sve prirodne brojeve m , nza koje je 2m + 3n potpun kvadrat.

898. Dokaži da postoji beskonačno mno-go prirodnih brojeva koji se ne mogu pri-kazati u obliku p+ n2k ni za koje prostep i prirodne n i k .

899. Zadan je rastući niz prirodnihbrojeva

a1, a2, . . . , an, . . . (1)za koji vrijedi

1 +n−1∑i=1

ai � an , n = 1, 2, . . . (2)

Dokaži da se svaki prirodan broj N možeprikazati kao suma nekoliko različitihčlanova niza (1). Dokaži da je tajprikaz jednoznačan samo u slučaju kadau relacijama (2) vrijedi znak jednakostiza svaki n . Odredi u tom slučaju niz (2).

900. Dokaži da za svaki prirodan brojn postoji prirodan broj m i brojeviC1, . . . , Cm ∈ {−1, 1} , takvi da vrijedinejednakostn = C1 · 12 + C2 · 22 + . . .+ Cm ·m2.

901. Dokaži da se svaki prirodan brojdade na jedinstven način prikazati u

obliku∞∑

n=1

an · n! , 0 � an � n .

902∗. Prikaži broj 1/2 kao zbroj recip-ročnih vrijednosti konačno mnogo kvad-rata prirodnih brojeva, u uzlaznom nizu.

903∗. Dokaži da se svaki pravi razlo-mak može prikazati kao konačna sumarecipročnih vrijednosti različitih cijelihbrojeva.

904∗. Postoji li takav broj n da sesvaki racionalni broj između 0 i 1 možeprikazati u obliku zbroja n brojevarecipročnih prirodnim?

905∗. Ako jea

bpravi razlomak, dokaži

da se dade prikazati u oblikua

b=

1q1

+1q1q2

+ . . .+1

q1q2 · · · qngdje su q1 � q2 � · · · � qn prirodnibrojevi.


3.7. DIOFANTSKE JEDNADŽBE

906. Dokaži da se svaki racionalni brojmanji od 1 dade na jedinstven načinprikazati u obliku

∞∑n=1

an

(n+1)!, 0 � an � n.

� � �

907. Dokaži da je za svaki prirodan n ,broj (

√2 − 1)n oblika

√m −√

m− 1,gdje je m prirodan broj.

908∗. Ako su m i n prirodni brojevi većiod 1, pokaži da postoje prirodni brojeviN1, N2, . . . , Nm−1 takvi da je

√m = 1 +

m−1∑j=1

(√Nj −

√Nj−1

)1/n

909∗. Dokaži da za sve prirodne brojevem, n postoji prirodan broj k takav davrijedi

(√m+

√m− 1)n =

√k +

√k − 1.

910. Neka su m i n prirodni brojevi,ne manji od 2. Dokaži da postoji broj ktakav da je(

n+√n2 − 42

)m

=k +

√k2 − 42

.

911∗. Ako brojevi m, k, n ∈ N zadovo-ljavaju relaciju

1 +m+ n√

3 = (2 +√

3)2k−1 ,

dokaži da je m kvadrat cijelog broja.

912∗. Brojevi n = 33, 34, . . . , 73 zado-voljavaju sljedeću tvrdnju: ‘Broj n sedade prikazati u obliku zbroja nekolikobrojeva, čija je suma recipročnih vri-jednosti jednaka 1.’ Dokaži da tada tosvojstvo imaju svi prirodni brojevi većiod 32.

913. Kazat ćemo da broj N imasvojstvo P (k) ako se on dade prikazatikao produkt k uzastopnih prirodnihbrojeva, većih od 1.

a) Nađi k za kojeg neki broj Nposjeduje svojstva P (k) i P (k + 2).

b) Dokaži da ne postoji broj koji biimao svojstva P (2) i P (4).

914. Skup T0 sastoji se od svih brojevaoblika (2k)! gdje je k = 0, 1, 2, . . . .Za svaku vrijednost p = 1, 2, . . . , 1987skup Tp dobivamo kao skup svih onihbrojeva koji se mogu prikazati u oblikuzbroja nekoliko različitih brojeva iz Tp−1 .Dokaži da barem jedan prirodan broj nepripada skupu T1987 .

3.7. diofantske jednadžbe

915. Riješi u prirodnim brojevima:2m − 3n = 1.

916∗. Odredi cjelobrojna rješenja jed-nadžbe 3x − 2y = 1.

917. Riješi u prirodnim brojevima:2x − 1 = y2.

918. Riješi u prirodnim brojevima:2x + 1 = y2.

919∗. Riješi u prirodnim brojevima:2x = 3y + 5.

920. Dokaži da jednadžba xm = 2n−1nema rješenja u skupu prirodnih brojeva,ako je n > 1 i m > 1.

921. Odredi sve trojke (x, y, z) cijelihbrojeva za koje vrijedi

xy − 2z = 1.

922. Riješi u cijelim brojevima4x + 4y + 4z = u2.

923. Dokaži da za proizvoljni prosti brojp > 5 jednadžba x4 + 4x = p nemarješenja u cijelim brojevima.



924. Odredi sva rješenja jednadžbe nx+ny = nz u prirodnim brojevima.

925. Dokaži da jednadžba mnm

= nmn

(n = m) nema rješenja u prirodnimbrojevima.

926. Odredi sva pozitivna racionalnarješenja jednadžbe xy = yx .

927. Dokaži da jednadžba(2x)2x − 1 = yz+1

nema rješenja u prirodnim brojevima.

928∗. Riješi u cijelim brojevima

x2(x2 + y) = yz+1.

929. U skupu prirodnih brojeva riješijednadžbu x5−x = (6 − x)1−x .

930. Riješi u prirodnim brojevimax2y + (x+1)2y = (x+2)2y.

931. Odredi pozitivna racionalna rješe-nja jednadžbe xx+y = (x+ y)y .

932. Dokaži da ne postoje međusobnorazličiti brojevi x , y , z , t za koje bivrijedilo xx + yy = zz + tt .

933. Riješi u prirodnim brojevima sus-tav

x+ y = zt,

z + t = xy.

934. Za dani prirodan broj n nađiprirodne brojeve x , y tako da vrijedi

xx+y = yn , yx+y = x2nyn .

� � �

935. Riješi u cijelim brojevimay3 − x3 = 91.

936. Dokaži da jednadžba x3+y3+z3 =19692 nema cjelobrojnih rješenja.

937. Za koje prirodne brojeve k jed-nadžba x2 + y2 = kxy ima rješenje uprirodnim brojevima?

938. Riješi u cijelim brojevimax2 + y2 + z2 = 2xyz.

939. Za koje k ∈ N jednadžba x2 +y2 + z2 = kxyz ima rješenje u prirodnimbrojevima?


x2 + y2 + z2 + u2 = 2xyzu.

941∗. Nađi sve nenegativne cijele brojevex, y, z, n tako da vrijedi

x3 + y3 + z3 = nx2y2z2.

942. Riješi u cijelim brojevimax2 + y2 = 3z2.

943. Riješi u cijelim brojevimax2 + y2 + z2 = x2y2.

944. Dokaži da jednadžba x2 + 5 = y3

nema rješenja u cijelim brojevima.

945. Riješi u skupu cijelih brojevajednadžbu x2 + xy + y2 = x2y2 .

946∗. Dokaži da jednadžba

2x2 − 5y2 = 7nema rješenja u skupu prirodnih brojeva.

947∗. Dokaži da jednadžba 19x2+2 = y2

nema rješenja u skupu cijelih brojeva.

948. Ima li jednadžba x2 + y3 = z4

rješenje u prostim brojevima x , y , z?


x3 = 2y3 + 4z3.

950. Da li je broj rješenja jednadžbex2 + y3 = z2 konačan ili beskonačan?

951. Riješi u cijelim brojevima(x+ 2)4 − x4 = y3.



952. Riješi u cijelim brojevimax6 + 3x3 + 1 = y4.

953. Riješi u cijelim brojevima:xy + 3x− 5y = −3.

954. Riješi u cijelim brojevimax2 + x = y4 + y3 + y2 + y.

955∗. Riješi u prirodnim brojevimaxy + yz + zx− xyz = 2.

956. Nađi sve parove cijelih brojeva(x, y) koji zadovoljavaju jednadžbu

y4 − x(x+1)(x+2)(x+3) = 1 .

957. Riješi u cijelim brojevimax(x+ 1)(x + 7)(x+ 8) = y2 .

958. Nađi sve trojke cijelih brojeva(a, b, c) koje zadovoljavaju jednakost

3(a− 3)2 + 6b2 + 2c2 + 3b2c2 = 33 .

959. Riješi u cijelim brojevima jednadž-bu

19x2 − 84y2 = 1984.

960∗. Riješi u prirodnim brojevima jed-nadžbu a2 + b2 + 3c2 = (a+b+c)2 .

961. Postoje li cijeli brojevi m , n zakoje je m2 = n2 + 1985 ?

962. Dokaži da za svaki n ∈ N jed-nadžba x2

1 + . . . + x2n = y2 ima rješenja

u prirodnim brojevima.

963. Riješi u cijelim brojevimax4

1 + x42 + . . .+ x4

14 = 1599.

964∗. Ako jednadžba ax2 + bxy + cy2 =z2 (a , b , c cjelobrojni) ima cjelobrojnarješenja različita od nule, pokaži da tadaona ima beskonačan skup međusobnoneproporcionalnih cjelobrojnih rješenja.

965. Nađi cjelobrojna rješenja jednadž-be p(x+ y) = xy , gdje je p zadani prostbroj.

966. Dokaži da jednadžba x2+x+1 =py ima rješenje u skupu prirodnih brojevaza beskonačno mnogo prostih brojeva p .

967. Nađi sva cjelobrojna rješenja sus-tava jednadžbi

x+ y + z = 3 ,

x3 + y3 + z3 = 3 .

968. Dana je jednadžba x4−3xy2+y3 =n . Ako je n takav pozitivan cijeli broj dadana jednadžba ima cjelobrojno rješenje(x, y), dokaži da ona tada ima bar tritakva rješenja.

Dokaži da za n = 2891 ta jednadžbanema nijedno cjelobrojno rješenje.

� � �

969. Dokaži da jednadžbax! + y! = 10z + 9

nema rješenja u skupu prirodnih brojeva.

970. Riješi u prirodnim brojeviman! + 1 = m2.

971∗. Riješi u prirodnim brojevimax! + y! + z! = u!.

972. Riješi u prirodnim brojevima1! + 2! + . . .+ n! = m2.

973. Riješi jednadžbu1! + 2! + . . .+ x! = yz,

gdje su x , y i z prirodni brojevi i z > 1.

974. Dokaži da jednadžba (p−1)!+1 =pn nema rješenja u prirodnim brojevimap i n , ako je p > 5.

975. Riješi u prirodnim brojevima(y + 1)x − 1 = y!.



� � �

976∗. Riješi u prirodnim brojevima x ,

y , z , jednadžbu(xn

)+(yn

)=(zn

)gdje je n zadani prirodni broj.

977∗. Riješi u prirodnim brojevima(x+ 1y

)=(y + 1x

).

978. Odredi sve prirodne brojeve n ,takve, da za svaki k = 1, 2, . . . , n−1vrijedi

2Ckn = Ck−1

n + Ck+1n .

� � �

979. Riješi u prirodnim brojevima√x+

√x+ . . .+

√x︸︷︷︸

y korijena

= z.

980∗. Nađi sve prirodne brojeve a , b , c

za koje je

√a+

b

c= a

√b

c.

981. Nađi cjelobrojna rješenja√x− 1

5+

√y − 1

5=

√5 .

982. Riješi u skupu realnih brojevajednadžbu

x =

√x− 1

x+

√1 − 1

x.

983. Neka je p prost broj p > 2. Da lipostoje prirodni brojevi x i y takvi daje

√x+

√y =

√2p?

984. Koliko cjelobrojnih rješenja imajednadžba

√x+

√y =

√1980?

� � �

985. Riješi u cijelim brojevima1x

+1y

=114.

986. Riješi u cijelim brojevima1x

+1y

=1z.

987. Dokaži da za neparni prirodanbroj n jednadžba 1/x + 1/y = 4/n imarješenje u prirodnim brojevima ako isamo ako vrijedi n = m(4k − 1) za nekeprirodne brojeve m i k .

988∗. Neka je p prost broj veći od 2.Dokaži da se 2/p može na jedinstvennačin prikazati u obliku 2/p = 1/x+ 1/y ,gdje su x i y različiti prirodni brojevi.

989∗. Neka su m , n relativno prosti,0 < m/n < 1. Odredi kada se broj m/nmože prikazati u obliku 1/x + 1/y zaneke cjelobrojne x i y .

990. Nađi sva rješenja u prirodnimbrojevima x � y � z � t jednadžbe

1x

+1y

+1z

+1t

= 1.

991. Riješi u prirodnim brojevima jed-nadžbu 1/x + 2/y + 3/z = 1.

992. Odredi broj parova cijelih, među-sobno različitih brojeva x , y za koje je1/n = 1/x + 1/y , gdje je n proizvoljanprirodan broj.

993. Nađi sve trojke (x, y, z) prirodnihbrojeva takvih, da je x � y � z i da je1/x + 1/y + 1/z cijeli broj.

994. Dokaži da za svaki prirodan njednadžba 1/x1

+ . . . + 1/xn= 1 ima

konačan broj rješenja u prirodnim bro-jevima. Dokaži da za n > 2 ona imarješenje x1, . . . , xn u rastućim prirodnimbrojevima. Ako Pn označava broj tihrješenja, dokaži da vrijedi Pn+1 > Pn zan = 3, 4, . . .



995. Odredi sva rješenja jednadžbe1x2

+1y2

=1z2,

gdje su x , y , z relativno prosti prirodnibrojevi.

996. Riješi u skupu prirodnih brojevajednadžbu

1x2

+1y2

+1z2

+1t2

= 1.

997. Odredi sve prirodne brojeve n zakoje jednadžba

1x2

1

+1x2

2

+ . . .+1x2

n

= 1

ima rješenje u prirodnim brojevima.

998. Dokaži da za svaki prirodan brojm , za dovoljno veliki n jednadžba

1xm

1

+1xm

2

+ . . .+1xm

n

= 1

ima najmanje jedno rješenje u prirodnimbrojevima.

� � �

999. Dokaži da jednadžba xn +yn = zn

nema rješenja u prirodnim brojevima,ako je z > 0, 0 < x < n , 0 < y < n ,n ∈ N .

1000. Dokaži da jednadžba xn + yn =zn nema rješenja u prirodnim brojevima,ako je x2 − 1 � 2y i n � 3.

1001∗. Pretpostavimo da je xn + yn =zn , gdje je n prirodan a x , y , zpozitivni realni brojevi. Dokaži da jetada 5(xy)n < 2z2n .

1002∗. Dokaži da jednadžba xn + yn =zn nema rješenja u skupu prirodnihbrojeva ako je n > 2 i z < n

√2/( n

√2−1).

1003. Dokaži da za fiksne prirodnebrojeve x , y , z , jednadžba xn +yn = zn

ima najviše jedno rješenje u skupuprirodnih brojeva.

1004. Dokaži da za neparni n jednadž-ba xn +yn = zn ne može imati cjelobroj-nih rješenja, ako je x+y prost broj.

� � �

1005. Neka je n prirodan broj. Označi-mo s pk broj nenegativnih cijelih rješenjajednadžbe kx+ (k+ 1)y = n− k+ 1. Iz-računaj p1 + p2 + . . .+ pn+1 .

1006∗. a) Služeći se binomnom formu-lom, iz jednakosti 3n = (1 + 2)n dokažida za svaki prirodan broj n veći od 1vrijedi nejednakost

n√n+ 1 �

√3 .

b) Pokaži da su parovi (4, 2) i (2, 4)jedina rješenja jednadžbe xy = yx uskupu prirodnih brojeva, uz uvjet da jex = y .

1007. Dokaži da za svaki prirodan brojn jednadžba(√

5 − 12

)n

· x+(√

5 − 12

)n+1

· y = 1

ima točno jedno cjelobrojno rješenje.

1008. Riješi u prirodnim brojevimajednadžbu

1 − 1

2 +1

3 + .. . +1n

=1

x1 +1

x2 + .. . +1xn

.

1009. Dokaži da jednadžba x1 + x2 +. . .+xn = x1x2 · · ·xn ima najmanje jednorješenje u prirodnim brojevima.

1010∗. Nazovimo ‘Pitagorinom trojkom’trojku prirodnih brojeva (x, y, z) takvuda je x � y � z , x2 + y2 = z2 . Dokažida se za svaki prirodan broj n broj 2n+1

pojavljuje u točno n Pitagorinih trojki.


3.8. NIZOVI I REDOVI

1011. Za svaki n ∈ N označimo s an

broj rješenja jednadžbe n2 + x2 = y2 uprirodnim brojevima, većim od n .

a) Dokaži da za svaki M nejednakostan > M vrijedi barem za jednu vrijednostn ∈ N .

b) Da li vrijedi limn→∞ an = ∞?

3.8. nizovi i redovi

1012. Dokaži da je svaki četvrti broj uFibonaccijevom nizu 1, 1, 2, 3, 5, . . . ,djeljiv s 3.

1013. Zadan je niz {Fn} Fibonaccijevihbrojeva 1, 1, 2, 3, 5,. . . . Dokaži da jeF5n djeljiv s 5 za svaki n .

1014. U Fibonaccijevom nizu 1, 2, 3,5, 8,. . . izabrano je 8 uzastopnih brojeva.Dokaži da njihov zbroj nije član niza.

1015. Zadan je Fibonaccijev niz 0, 1,1, 2, 3, 5, 8,. . . . Da li se među100 000 001 njegovih prvih članova možepronaći broj koji se završava s četiri nule?

1016. Dokaži da članovi Fibonaccijevogniza {un} zadovoljavaju relacije:

1)Fn−1 = FkFn−k + Fk−1Fn−k−1,

2)F2n−1 = F 2n + F 2

n−1,

3)F3n = F 3n + F 3

n+1 − F 3n−1,

4)F 4n − Fn−2Fn−1Fn+1Fn+2 = 1,

5)Fn+1Fn+2 − FnFn+3 = (−1)n,6)FnFn+1 − Fn−2Fn−1 = F2n−1,

1017. Dokaži da se članovi Fibonaccije-vog niza mogu izraziti formulom:

Fn =1√5

[(1 +

√5

2

)n

−(

1 −√5

2

)n].

1018. Dokaži da se svaki prirodanbroj može prikazati kao suma nekolikorazličitih članova Fibonaccijevog niza 1,1, 2, 3, 5, 8,. . . .

1019. Dokaži da Fibonaccijev niz (defi-niran s F1 = F2 = 1, Fn+2 = Fn+1 +Fn ,n = 1, 2, . . .) sadrži beskonačan rastućipodniz takav da su svaka njegova dvačlana relativno prosta.

1020. Neka je {Fn} Fibonaccijev niz:

F1 = F2 = 1 , Fn+2 = Fn+1+Fn , n � 1 .

Označimo s fn posljednju znamenku udekadskom zapisu broja Fn . Da li postoji

limn→∞

f1 + f2 + . . .+ fn

n?

� � �

1021∗. Neka je x0 = a , x1 = b ixn+1 = 2xn − 9xn−1 , n > 1. Odredinužne i dovoljne uvjete na a i b prikojima postoji član danog niza koji jedjeljiv sa 7.

1022. Niz a0, a1, . . . , an, . . . definiranje na način a0 = a1 = 1, an+1 =an−1an + 1, n � 1. Dokaži da broj a1964

nije djeljiv sa 4.

1023∗. U nizu {an} , a1 = 1, a2 = 1,svaki je sljedeći član zbroj kvadrata dvajuprethodnih. Da li je a1978 djeljiv sa 7?

1024. Niz prirodnih brojeva {xn} defi-niran je na način:

x1 = 2 , xn+1 =⌊ 3

2xn

⌋, n = 1, 2, . . .

Dokaži da u nizu {xn} ima beskonačnomnogo neparnih i beskonačno mnogoparnih brojeva. (x� je najveći cijelibroj koji nije veći od x .)

1025. Niz prirodnih brojeva {xn} defi-niran je na način x1 = 2, x2 = 3, . . . ,xn+1 = 1,5xn� . Dokaži da niz {yn} ,gdje je yn = (−1)xn , nije periodičan.



� � �

1026∗. Ako je y1 =√x , y2 =

√x+ y1 ,

. . . , yn =√x+ yn−1 , . . .dokaži da je

lim yn cjelobrojan ako i samo ako jex oblika n(n−1), n = 2, 3, . . . U tomslučaju izračunaj limes.

1027. Niz realnih brojeva zadan je nanačina1 = 1 , an+1 = 2an +

√3a2

n + 1 , n ∈ NDokaži da su svi članovi tog niza cjelo-brojni.

1028. Dan je niz {xn} čiji članovizadovoljavaju relaciju

xn+1 =x2

n + a

xn−1, n = 1, 2, . . .

Ako su x0 , x1 ix2

0 + x21 + a

x0x1cijeli

brojevi, dokaži da su tada svi članoviniza cijeli brojevi.

1029∗. Neka je Fn n–ti član niza defini-ranog sa

Fn := −Fn−1 − 2Fn−2,

F1 = 1, F2 = −1

Dokaži da je 2n+1−7F 2n potpun kvadrat.

1030. Nađi sve parove an, an+1 uzas-topnih članova niza a1, a2, . . . definiranogsa an = 2n + 49, tako da vrijedi

an = p · q , an+1 = r · sgdje su p, q, r, s prosti brojevi za kojeje p < q , r < s , q − p = s− r .

1031. Prva četiri člana jednog niza su1, 9, 8, 1. Svaki naredni član nizajednak je posljednjoj znamenki zbrojaprethodna četiri člana.

a) Da li se u nizu pojavljuje četvorka1, 2, 3, 4?

b) Da li se u nizu nekad pojavi početnačetvorka?

� � �

1032. Neka je a1 = 1, a2 = 3, ian+2 = (n+ 3)an+1 − (n+ 2)an

za svaki prirodan broj n � 1. Nađi svevrijednosti n za koje je an djeljiv s 11.

1033. Označimo s P (n) umnožak svihznamenki prirodnog broja n . Moželi niz {nk} , zadan formulom nk+1 =nk + P (nk) i svojim prvim članom n1 ,biti neograničen?

1034∗. Dokaži da je niz sastavljen od po-sljednjih znamenki broja nn periodičan.

1035. U nizu brojeva {an} svaki slje-deći je dobiven tako da se prethodnomdopisala s desna neka znamenka, različi-ta od 9. a1 je neki deseteroznamenkastibroj. Dokaži da su u tom nizu barem dvasložena broja.

1036. Dan je geometrijski niz čiji jekvocijent cijeli broj, različit od 0 ili −1.Dokaži da zbroj proizvoljnih dvaju ili višečlanova niza nije jednak nikojem članutog niza.

1037. Nađi sve nizove prirodnih brojeva{an} za koje vrijedi

a) an � n√n za svaki n ;

b) za sve različite m i n broj am − an

je djeljiv sa m− n .

1038. a) Postoji li niz {an} prirodnihbrojeva sa sljedećim svojstvom: niti jedančlan niza nije jednak sumi nekoliko drugihi an � n10 za svaki n?

b) Isto pitanje, ako je an � n√n za

svaki n .

1039. U nizovima {an} i {bn} svaki ječlan, počevši od trećeg, jednak zbroju dvaprethodna, pri čemu je a1 = 1, a2 = 2,b1 = 2, i b2 = 1. Koliko postoji brojevakoji su članovi i jednog i drugog niza?



1040. Dan je aritmetički niz čiji sučlanovi prirodni brojevi. Poznato je da seu tom nizu pojavljuje član koji je potpunkvadrat. Dokaži da niz sadrži beskonačnomnogo takvih članova.

1041. Dokaži da u nizu kvadrata prirod-nih brojeva ne postoji beskonačan podnizkoji čini aritmetički niz.

1042. Zadan je proizvoljan niz a1, . . . ,a2k+1 sastavljen od cijelih brojeva. Iznjega je formiran novi niz

12 (a1 + a2) , 1

2(a2 + a3) , . . . ,12(a2k + a2k+1) , 1

2(a2k+1 + a1)Iz ovako dobivenog niza na isti način jeformiran novi niz itd. Dokaži da su svibrojevi koji se pri tom dobiju cijeli akoi samo ako su svi brojevi početnog nizajednaki.

� � �

1043∗. Neka su a1, . . . , an proizvoljniprirodni brojevi manji od 1000 i takvi daje najmanji zajednički višekratnik bilokoja dva među njima veći od 1000.Dokaži da je zbroj recipročnih vrijednostibrojeva a1, . . . , an manji od 2.

1044∗. Ako harmonijskom redu

1 +12

+ . . .+1n

+ . . .

izbacimo članove koji sadrže znamenku3, pokaži da on postaje konvergentan.

1045∗. Promatrajmo sve prirodne broje-ve u kojima se ne javlja znamenka 9.Dokaži da zbroj recipročnih vrijednostitih brojeva nije veći od 28.

1046∗. Neka su a1, a2, . . . , an različiticijeli brojevi od kojih nijedan nije djeljivprostim brojem većim od 3. Dokaži daje

1a1

+1a2

+ . . .+1an

< 3 .

1047∗. Zadan je niz prirodnih brojevan1 < n2 < . . . takav da za j >i decimalna reprezentacija od nj nepočinje s decimalnom reprezentacijom odni . Dokaži da je∑

j

1nj

< 1 +12

+13

+ . . .+19

1048. Neka su p, q, r prosti brojevi i Sskup svih prirodnih brojeva koji nemajudrugih prostih faktora osim p, q i r .Izračunaj zbroj

∑n∈S

1/n .

1049∗. Niz r1, r2, . . . formiran je pozakonu:

r1 = 1, . . . , rn+1 =12

(rn +

2rn

)Prikažimo rk u obliku razlomka p/q kojise ne može skratiti. Dokaži da su za svakik � 2 ispunjene nejednakosti

0 <p

q−√

2 <1

2√

2 q2

1050. Dokaži da se u svakom aritme-tičkom nizu sastavljenom od prirodnihbrojeva nalazi broj u čijem se dekadskomprikazu nalazi znamenka 9.

1051. Zadan je prirodan broj a . Nekaje a0 = a . Ako je an = c0 + 10c1 +. . . + 10kck (ci ∈ N , 0 � ci < 10,i = 0, 1, . . . , k ), neka je an+1 = 2c0 +c1+10c2+. . .+10k−1ck . Koji se brojevi u nizua0, a1, . . . , an, . . . pojavljuju beskonačnomnogo puta?

1052. Odredi niz {an} koji zadovoljavauvjet1 +

∑d|n

(−1)n/d · ad = 0 , n = 1, 2, 3, . . .

(Sumira se po svim pozitivnim djelitelji-ma broja n , uključujući 1 i n .)

1053. Zadan je strogo rastući niz a1 ,a2 , a3 , . . . prirodnih brojeva, takoda je a1 = 1, a2 = 2 i da za svemeđusobno proste brojeve m i n vrijediam · an = amn . Dokaži da za svakiprirodan broj n vrijedi an = n .


3.9. FUNKCIJE BROJEVA

� � �

1054. Neka je α1, a2, a3, . . . strogo ras-tući niz prirodnih brojeva. Dokaži dapostoji beskonačno mnogo članova am

tog niza koji se mogu predstaviti u obli-ku

am = x ap + y aq ,gdje su x , y prirodni brojevi i p = q .

1055. S prirodnim brojem k načini sesljedeći postupak: Broj k se prikažekao produkt svojih prostih faktora: k =p1p2 · · · pn i potom se izračuna zbrojp1+p2+. . .+pn +1. S dobivenim brojemse ponovi isti postupak itd. Dokaži da jedobiveni niz, počevši od jednog trenutka,periodičan.

1056. Zadan je polinom P (x) s cjelo-brojnim koeficijentima. Označimo s anzbroj znamenaka broja P (n) u dekads-kom sustavu. Dokaži da postoji broj kojise u nizu {an} pojavljuje beskonačnomnogo puta.

1057. Zadan je polinom P (x) s cjelob-rojnim koeficijentima. Za svaki prirodanbroj n vrijednost P (n) je veća od n .Promotrimo niz x1 = 1, x2 = P (x1),. . . , xn = P (xn−1), . . . . Poznato je daza svaki prirodan broj N postoji članniza koji je djeljiv sa N . Dokaži da tadavrijedi P (x) = x+ 1.

3.9. funkcije brojeva

Označimoϕ(n) = broj svih brojeva manjih od n

koji su relativno prosti sa n .τ (n) = broj svih djelitelja broja n ,

uključujući 1 i n .σ(n) = zbroj svih djelitelja broja n ,

uključujući 1 i n .

1058. Pokaži da je 6 jedini savršenibroj čiji su faktori različiti prosti brojevi.(Broj je savršen ako je jednak zbroju svihsvojih djelitelja, uključujući i jedinicu.)

1059. Dokaži da je posljednja znamenkasvakog parnog savršenog broja uvijek 6ili 8.

1060∗. Dokaži da kvadrat cijelog brojanije savršen broj.

1061. Ako neki broj ima neparan brojdjelitelja (uključujući 1 i sam broj), ondaje on potpuni kvadrat. Dokaži!

1062. Nađi sve prirodne brojeve jedna-ke kvadratu broja svih svojih djelitelja.

1063. Dokaži da je kvocijent zbroja svihpozitivnih djelitelja nekog cijelog brojan > 1 s brojem tih djelitelja veći od

√n .

1064. Dokaži da je zbroj svih djeliteljaprirodnog broja n > 2 manji od n

√n .

1065. Dokaži da broj djelitelja broja nne prelazi 2

√n .

1066. Nađi sve brojeve N za koje jeN = τ (N) · p , gdje je p prost broj.

1067∗. Odredi sve prirodne brojeve ni proste brojeve p za koje vrijediϕ(n) = n/p .

1068. Dokaži da je n prost broj ako isamo ako vrijedi ϕ(n) + σ(n) = n τ (n).

1069. Ako je n > 2 prirodan, dokaži davrijedi ϕ(n) τ (n) > n .

1070. Dokaži da je 2 σ(n) = n τ (n) akoi samo ako je n=6.

1071. Neka je ϕk(n) := ϕ(ϕk−1(n)) iϕ0(n) = ϕ(n). Dokaži da za bilo kojik postoji prirodan broj n0 takav da jeϕk(n) > 1 za svaki n > n0 .

1072. Odredi sve prirodne brojeve n is za koje vrijedi nϕ(s) = s .


3.10. RAZNI ZADACI

3.10. razni zadaci

1073. Dokaži da postoji samo konačanbroj prirodnih brojeva n koji su djeljivisa svakim brojem m , za kojeg vrijedi1 < m < 4

√n� .

1074. Neka su a i b pozitivni cijelibrojevi. Pri dijeljenju a2 + b2 s a + bdobiva se kvocijent q i ostatak r . Nađisve parove (a, b) za koje je q2+r = 1977.

1075∗. Broj 2/1 + 22/2 + . . . + 2n

/nprikazan je u obliku neskrativog razlomkapn/qn .

(a) Dokaži da je pn paran broj(b) Dokaži da je za n � 3 broj pn

djeljiv s 8.(c) Dokaži da za svaki k možemo

pronaći takav n da su brojevi pn , pn+1 ,pn+2 ,. . .djeljivi s 2k .

1076. Dokaži da se za svaki prirodanbroj n broj tg2n 15◦ + ctg2n 15◦ moženapisati kao zbroj kvadrata tri uzastopnaprirodna broja.

1077∗. Neka je p neparan prost broj.Zadano je p− 1 cijelih brojeva, koji nisudjeljivi s p . Ako se nekim od tih brojevapromijeni predznak, dokaži da se možedobiti p− 1 brojeva čiji je zbroj djeljiv sp .

1078. Korijeni jednadžbe x2 + ax+ b+1 = 0 su prirodni brojevi. Dokaži da jea2 + b2 složen broj.

1079. Dokaži da zbroj svih brojevaoblika 1/mn , gdje su m i n prirodnibrojevi, 1 � m < n � 1986, nije cijelibroj.

1080. Neka su a, b, c, d neparni cijelibrojevi za koje vrijede sljedeći uvjeti

(1) 0 < a < b < c < d ,(2) ad = bc ,(3) a + d = 2k , b + c = 2m za neke

prirodne brojeve k i m .Dokaži da je a = 1.

1081. Dano je 17 prirodnih brojeva:a1, a2, . . . , a17 . Poznato je da vrijediaa21 = aa3

2 = . . . = aa117 . Dokaži da je

tada a1 = a2 = . . . = a17 .

1082. Dokaži da za bilo kakav izborpredznaka + ili − u sumi

1 ± 12± 1

3± . . .± 1

11± 1

12nikad ne možemo dobiti 0.

1083. Realni brojevi a1, a2, . . . , an za-dovoljavaju uvjete 0 � a1 � a2 � 2a1 ,a2 � a3 � 2a2 , a3 � a4 � 2a3 ,. . . ,an−1 � an � 2an−1 . Dokaži da u sumiS = ±a1 ± a2 ± . . .± an možemo izabratipredznake tako da vrijedi 0 � S � a1 .

1084. Neka je S podskup skupa realnihbrojeva takav da vrijede sljedeći uvjeti:

a) Z ⊂ S ,b)

√2 +

√3 ∈ S ,

c) x, y ∈ S =⇒ x+ y ∈ S, xy ∈ S .

Dokaži da je1√

2 +√

3∈ S .

1085∗. Neki skup cijelih brojeva sadržii pozitivne i negativne brojeve, te imasvojstvo da s elementima a i b sadržitakođer i a+b i 2a . Dokaži da tajskup sadrži i razlike bilo koja dva svojaelementa.

1086. Ako su x1 i x2 rješenja jednadž-be x2 + px − 1 = 0, gdje je p neparanbroj, dokaži da su za svaki prirodan brojn brojevi xn

1 + xn2 i xn+1

1 + xn+12 cijeli i

međusobno prosti.

1087∗. Označimo s d(a) zbroj znamena-ka broja a . Odaberimo niz svih prirodnihbrojeva za koje je d(a) djeljiv sa 7, tj.a1 = 7, a2 = 16, a3 = 25 , . . . Nađimaxn(an+1 − an).


3.10. RAZNI ZADACI

1088∗. Svi prirodni brojevi podijeljenisu u dvije grupe. Dokaži da se barem ujednoj grupi nalaze tri broja od kojih jesrednji aritmetička sredina preostala dva.

1089. Za zadani prirodan broj k > 1označimo s Q(n), n ∈ N najmanjizajednički višekratnik brojeva n , n+1,. . . , n+k . Dokaži da postoji beskonačnomnogo vrijednosti n ∈ N za koje jeispunjeno Q(n) > Q(n+ 1).

1090∗. Odredi sve prirodne brojeve n zakoje postoji permutacija (a1, a2, . . . , an)brojeva 0, 1, . . . , n−1, takva da svi broje-vi a1 , a1a2 , a1a2a3 ,. . . , a1a2 · · · an dajurazličite ostatke pri dijeljenju s n .

1091. Za skup A ⊂ N kažemo da je“dobar” ako za neki prirodan broj njednadžba x − y = n ima beskonačnomnogo rješenja (x, y), gdje je x ∈ A iy ∈ A .

Ako je N = A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ A1988 ,dokaži da je barem jedan od skupovaA1, A2, . . . , A1988 dobar.

1092. Neka je pn n–ti prosti broj(p1 = 2, p2 = 3, p3 = 5,. . . ) i nekaje π(n) broj prostih brojeva koji nisuveći od n . Ako je

A = {n+ pn : n ∈ N} ,B = {n+ π(n) + 1 : n ∈ N} .

Dokaži da je tada A∩B = ∅ , A∪B = N .

1093. Za neki podskup A prirodnihbrojeva, označimo s A+A skup brojevaoblika n + m, n, m ∈ A . Dokaži dase za svaki podskup B skupa prirodnihbrojeva može naći takav A ⊂ N da je iliA+A ⊂ B ili (A+A) ∩B = ∅ .

1094. Neka S1 označava niz prirod-nih brojeva 1, 2, 3, . . . Definirajmo nizSn+1 (n � 1) pomoću niza Sn , po-većavajući za 1 one članove niza ko-ji su djeljivi s n . (Tako, na prim-jer, S2 je niz 2, 3, 4, 5, 6, . . . , a S3 niz3, 3, 5, 5, 7, 7, . . .). Dokaži da je u nizu Sn

točno n− 1 prvih članova jednako n akoi samo ako je n prost broj.

1095. Dani su skupovi cijelih brojevaA = {a1, . . . , an} , B = {b1, . . . , bn} sasvojstvom: postoje elementi x ∈ A iy ∈ B tako da je x ≡ y (mod 2n). Dokažida postoje neprazni podskupovi A′ ⊂ A ,B′ ⊂ B takvi da je zbroj elemenata iz A′i elemenata iz B′ djeljiv s 2n .

1096. Neka su A1, A2, . . . , A1066 pod-skupovi konačnog skupa M takvi da je|Ai| > 1

2 |M | za 1 � i � 1066. Dokažida postoje elementi x1, x2, . . . , x10 izM takvi da svaki Ai sadrži bar jedanod elemenata x1, x2, . . . , x10 (ovdje |S|označava broj elemenata skupa S ).

1097. Neka je M = {1, 2, . . . , n} . Sva-kom elementu iz skupa M pridružimopodskup Mi ⊆M tako da vrijedi

(1) i ∈Mj =⇒ j ∈Mi

(2) (∀ i, j ∈M)(i = j, |Mi| = |Mj | =⇒Mi ∩Mj = ∅)

Dokaži da postoji k ∈ M takav da je|Mk| = 1.

1098. Neka je P ⊂ N takav da vrijedesljedeća dva uvjeta:(1) a ∈ P , b ∈ P =⇒ a+ b ∈ P ,(2) (∀ q ∈ N, q>1)(∃ c ∈ P )(c ≡ 0 (mod q))Dokaži da je N \ P konačan skup.

1099. Odredi skup S s najmanjim bro-jem elemenata koji zadovoljavaju sljedećasvojstva:

a)S ⊂ {0, 1, 2, 3, . . .} ;b)1981 ∈ S ;c) ako je x, y, z ∈ S tada i ostatak pri

dijeljenju broja x+ y+ z s 1982 takođerpripada S .

1100. Neka su d1, d2, . . . , dk djeljiteljiprirodnog broja n i neka je 1 = d1 <d2 < . . . < dk = n . Nađi sve brojeve nza koje je k � 4 i vrijedi

d21 + d2

2 + d23 + d2

4 = n.


Documents

3. ELEMENTARNA TEORIJA BROJEVA 3.1. djeljivost 653 657 660