Elektrostatika 23

POTENCIJAL ELEKTROSTATIKOG POLJA

Potencijal je druga kvantitativna karakteristika elektrinog polja.

Potencijal se definie preko rada koji izvri elektrina sila

pri premetanju probnog naelektrisanja u elektrinom polju.

Potencijal je skalarna veliina, pa je ovaj nain opisivanja

polja matematiki jednostavniji od opisivanja uz pomo vektora E

.

Vektor E je lako odrediti ako je poznat potencijal u

svim takama polja.

Elektrostatika 24

Zamislimo da se u nekom elektrinom polju probno naelektrisanje Q premeta iz jedne take (na primer M) u drugu taku (N), po proizvoljnoj putanji, kao na slici.

Da bi se izraunao taj rad, putanja se izdeli na veoma

kratke segmente koji se mogu smatrati pravoliniskim i du kojih je sila priblino konstantna.

Rad elektrine sile pri premetanju probnog naelektrisanja du jednog takvog segmenta lj jednak je:

jjjjjj lFlFA cos1

U takama du putanje na probno naelektrisanje deluju elektrine sile, razliitog pravca i intenziteta. Te sile e pri premetanju naelektrisanja izvriti neki rad.

1F

M

NE

jF

Elektrostatika 25

Ukupan rad jednak je zbiru radova du svih segmenata putanje:

n

jjjj

n

jjjNdoMod lFlFA

111 cos

Ako su delii putanje veoma mali, ldl, gornja suma prelazi u integral. Kako je:

EQF

to je ukupan rad jednak:

ldEQAN

MNdoMod

Linijski integral vektora E

ldE

Elektrostatika 26ZAKON O DRANJU ENERGIJE U ELEKTROSTATIKOM POLJU

Rad elektrinih sila, kada se probno naelektrisanje premeta

du zatvorene putanje u elektrostatikom polju, jednak je nuli. To proizilazi iz zakona o odranju energije.

MmNnM

MnNmM ldEQA 0

Kako je Q0, sledi da je:

.0 C

ldE

Gornji izraz iskazuje vanu osobinu vektora jaine elektrinog polja koja proistie iz zakona o odranju energije) a ita se ovako: LINIJSKI INTEGRAL VEKTORA E DU ZATVORENE KONTURE JEDNAK JE NULI.

N

M

E

m n

Elektrostatika 27

Du jednih delova zatvorene putanje rad elektrinih sila je pozitivna brojka; na tim delovima putanje elektrine sile vre rad i premetaju probno naelektrisanje. Du drugih delova zatvorene putanje rad elektrinih sila je negativan, to znai da neke strane sile moraju delovati nasuprot elektrinim silama da bi se probno naelektrisanje premestilo du tih delova putanje. Ukupan zbir pozitivnih i negativnih radova pri premetanju probnog naelektrisanja du zatvorene putanje jednak je nuli. Kada taj zbir ne bi bio jednak nuli, to bi znailo da se energija sistema (koji ine polje i probno naelektrisanje) poveala samo radom unutranjih sila sistema, to je u suprotnosti sa zakonom o odranju energije.

1 1 0 dl

1dl 1

2dl

2

M

N

2 2 0 d l

m n

Elektrostatika 28

Rad pri premetanju probnog naelektrisanja iz jedne take polja u drugu, ne zavisi od oblika putanje.

Izraz za rad AM m N n M se moe napisati i ovako:

0N M

M m N n M M preko m N preko n

Q E dl Q E dl Q E dl

odakle sledi:

,0 NnprekoM

N

mprekoM

ldEQldEQ

, NnprekoM

M

mprekoM

ldEQldEQ

.NdonprekoModNdomprekoMod AA

Poto su putanje m i n sasvim proizvoljno izabrane, sledi da rad pri premetanju probnog naelektrisanja iz jedne take polja u drugu, ne zavisi od oblika putanje, ve samo od poloaja njenih krajnjih taaka u polju. Odnosno,

NM

PUTANJEOBLIKAODZAVISINEldE

Elektrostatika 29DEFINICIJA POTENCIJALA, IZBOR REFERENTNE TAKE,

RAZLIKA POTENCIJALA, NAPON. Na osnovu prethodnog, potencijal se definie na sledei nain. Odabere se neka fiksna taka u polju, R, koja se naziva

referentna taka ili taka referentnog potencijala. Probno optereenje Q, koje se nalazi u nekoj

posmatranoj taki u polju, naprimer P, raspolae u odnosu na taku R potencijalnom energijom, WP.

WP je brojno jednaka radu, A, koji su u stanju da izvre

sile elektrostatikog polja pri premetanju probnog naelektrisanja iz take P u taku R:

RP

P ldEQAW

Potencijal take P, koji emo obeleavati sa V, definie se

kao kolinik WP i probnog naelektrisanja Q,

R

P

PP ldEQ

WV

Poto je taka R unapred izabrana i fiksirana, potencijal

posmatrane take P zavisi samo od njenog poloaja u polju, odnosno, funkcija je samo njenih koordinata:

Elektrostatika 30

RP

ldEzyxVzyxP

),,(),,(

Potencijal referentne take jednak je nuli.

.0 RR

R ldEV

Referentna taka se moe proizvoljno izabrati, ali se obino bira u zavisnosti od problema koji se reava.

Razlika potencijala dveju taaka u elektrostatikom polju ne

zavisi od poloaja referentne take.

R R R B B

A BA B A R A

V V E dl E dl E dl E dl E dl

B

A

R

a

b

E

Elektrostatika 31

BA

BA ldEVV

Integral u prethodnom izrazu se naziva elektrini napon, ili obino napon izmeu taaka A i B. Napon se oznaava slovom U.

AB

B

A

UldE U elektrostatikom polju potencijalna razlika i napon su

identini. Videemo da to nije sluaj u vremenski promenljivim elektrinim poljima.

Napon je veliina koja ne zavisi od poloaja referentne take i u elektrotehnici se koristi ee od potencijala.

Napon i potencijal su fizike veliine iste prirode i imaju istu jedinicu volt, V=Nm/C.

Najnii napon koji se moe meriti je reda veliine nV, ali se sreu naponi reda veliine nekoliko stotina kV.

Promenom poloaja referentne take funkcija potencijala se promeni za konstantu. Moe se pokazati da je ta konstanta jednaka potencijalnoj razlici izmeu stare i nove referentne take.

Elektrostatika 32

POTENCIJAL TAKASTOG NAELEKTRISANJA

Potencijal proizvoljne take u polju takastog naelektrisanja se izraunava po definiciji, na osnovu izraza za vektor jaine elektrinog polja.

Putanja za izraunavanje linijskog integrala se bira prema

obliku polja, uvek tako da je najlake izraunati integral.

R

M

rr

rr

radijusaduz

R

M

delukruznompo

M

MM drrEldEldEV )(0

'

'

RM

r

rM rr

QrdrQV

R

M

1144 0

20

Poto je M proizvoljna taka moe se pisati r umesto rM i V(r) umesto VM. Najjednostavniji oblik funkcija potencijala takastog naelektrisanja dobija ako se referentna taka usvoji u beskonanosti (rR ).

RM

M ldEV

0204

)( rr

QrE M

M

R

r)(rE

ld

Q0

Elektrostatika 33

IZRAUNAVANJE FUNKCIJE POTENCIJALA TANKE NITI

RrrQrV 11

4)(

0 rQrV

04)(

Q

0r

)(rE

002

)( rr

QrE

Vektor jaine elektrinog polja tanke, ravnomerno naelektrisane, niti u ravni upravnoj na nit.

Elektrostatika 34

POTENCIJAL PROIZVOLJNE RASPODELE

R A

A

rdld r

r

kld E

rA

Putanja du koje se izraunava linijski integral vektora E

tanke niti.

Elektrostatika 35

POTENCIJAL PROIZVOLJNE RASPODELE NAELEKTRISANJA (princip superpozicije za potencijal)

Za potencijal, kao i za vektor jaine polja, vai princip

superpozicije. Potencijal take u polju n takastih naelektrisanja (Q1, Q2, ... Qi, ...Qn) jednak je zbiru potencijala pojedinanih naelektrisanja:

n

i i

i

rQV

1 04

gde je ri rastojanje take od i-tog naelektrisanja. Potencijal take u polju povrinski (zapreminski)

naelektrisanog tela, u odnosu na referentnu taku u beskonanosti.

S dS

r M

S r

dSrV04

)(

U sluaju zapreminske raspodele, na gornjem crteu i u jednaini treba dS zameniti sa dV, sa , S sa V.

Elektrostatika 36

EKVIPOTENCIJALNE POVRI

Povri ije su sve take na istom potencijalu nazivaju se ekvipotencijalne povri.

U polju takastog naelektrisanja ekvipotencijalne povri su

sferne povri sa centrom u takastom naelektrisanju. Vektor jaine polja upravan je na ekvipotencijalne povri.

..2

, povekvipotencnaEldE

deo ekvipotencjalne povri

.M N

ld

E

M i Ndve bliske take na evipotencijalnoj povri

0 NMNM VVVV

ldEdlEU

ldEU

MN

MN

,cos

0

Elektrostatika 37

EKVIPOTENCIJALNE LINIJE I NJIHOVO CRTANJE

Ekvipotencijalne linije su krive koje nastaju u preseku ekvipotencijalnih povri sa nekom ravni (na primer ravni crtea, table...).

Ekvipotencijalne linije slue za slikovito opisivanje polja. Upravne su na linije polja.

Kada se crtaju tako da je potencijalna razlika izmeu dve susedne ekvipotencijalnih linije ista na celom crteu, gustina linija govori o intenzitetu polja.

Ekvipotencijalne linije takastog naelektrisanja Potencijal opada u smeru linija vektor jaine polja.

V24V

3V V

E

Elektrostatika 38

IZRAUNAVANJE VEKTORA JAINE POLJA PREKO POTENCIJALA

Moe se pokazati da se vektor jaine polja, relativno,

jednaostavno izraunava ako je poznat potencijal u svim takama polja (funkcija potencijala).

Posmatrajmo dve bliske take u polju: M i N. Neka je

dVVVaVV MNM

Razlika potencijala take M i N je:

dVVV NM

),cos( ldEdlEldEVV NM

lEldEE ),cos(

N

E

ld

lE

M

Elektrostatika 39

.lE je projekcija vektora na pravac l

dldVE l

Na osnovu gore iskazanog sledi da ako je poznata funkcija

potencijala, V(x,y,z), vektor jaine polja je jednak:

zyx iz

ViyVi

xVE

funkcijeizvodniparcijaljexV

Pracijalni izvodi se izraunavaju po istim pravilima kao i obini izvodi, pri emu se ostale promenljive smatraju konstantnim.

Kada se potencijal menja samo po jednoj koordinati (primer:

na osi diska) znai da vektor jaine polja ima samo jednu komponenetu.

Elektrostatika 40

POTENCIJAL POLJA DIPOLA

Elektrinim dipolom se naziva sistem od dva jednaka takasta naelektrisanja suprotnog znaka, Q i - Q, koja se nalaze na malom rastojanju d.

Elektrini dipol se koristi za modelovanje ponaanja izolatora (dielektrika) u elektrostatikom polju.

Potencijal u taki M, koja je na velikom rastojanju od dipola,

jednak je:

210

114 rr

QV M

r

Q

+Q

d

r1

r2

M

z

r2-r1=dcos

0r

Elektrostatika 41

POTENCIJAL POLJA DIPOLA (NASTAVAK)

221

12

21

cos11r

drrrr

rr

Posle smene dobija se funkcija potencijala dipola u polarnom

koordinatnom sistemu:

204

cosr

QdVM

Potencijal dipola ne zavisi od Q i d pojedinano nego od

njihovog proizvoda Qd.

Za odreivanje potencijala potrebno je znati i orjentaciju dipola, koja se definie vektorom d

.

Prizvod Q i d definiu vektor koji se naziva momenat dipola a oznaava se simbolom .p

cos0 drddQp

Potencijal proizvoljne take u elektrinom polju dipola

20

0

4 rrpV

Elektrostatika 42

VEKTOR JAINE POLJA DIPOLA

Izraunavanjem izvoda funkcije potencijala u polarnom koordinatnom sistemu,

,4

cos),( 20r

prV

mogu se odrediti komponente vektora jaine polja dipola u dva ortogonalna pravca (i time odrediti vektor jaine polja u proizvoljnoj taki u polju dipola).

Radijalna komponenta polja ima vrednost:

302

cosr

pdrdVE r

Tangencijalna komponenta polja ima vrednost:

204

sinr

prddVE

drd

dr rE

E E

Elektrostatika 43

DIPOL U STRANOM ELEKTRINOM POLJU

Dipol u homogenom elektrinom polju. Na dipol u homogenom polju deluje spreg sila koji tei da

postavi momenat dipola paralelno linijama polja i usmeri ga u smeru polja.

Dipol u nehomogenom elektrinom polju.

Kada se dipol nae u nehomogenom elektrinom polju, sile tee da ga uvuku u oblast polja veeg intenziteta.

F

F

Q-

Q+

pE

+Q -Q F

F