Elektrostatika 1.pdf

PREDAVANJE 1 (PROF. D. KANDIĆ, MAŠINSKI FAKULTET-BEOGRAD) 1

ELEKTROSTATIKA

1. Kratak istorijski uvod

Prva ljudska saznanja o elektricitetu potiču jošiz antičkog doba, kada je oko 600. godine prenaše ere grčki filosof Tales iz Mileta opisao pojavu da ćilibar, tj. žuti jantar (tvrda, okamenjenasmola) koji su grčki trgovci kupovali od nomadskih plemena sa obale Baltičkog mora i koji je nastarogrčkom jeziku nazvan "" =onaj (kamen) koji privlačiima interesantnu osobinu dakada se protare vunenom tkaninom privlači lake deliće materije (slamu, suvo lišće, komadiće lane-og platna, itd.). Teofrast, najistaknutiji Aristotelov učenik, piše istoriju filosofije prirode i pominje"kamen" (mineral) "linkurion", koji navodno ima jošveću moćprivlačenja od ćilibara. Nije poznatokoji je to mineral Teofrast imao u vidu, ali savremeni minerolozi pretpostavljaju da je rečo topazu,cirkonu, ili turmalinu. Mnogo docnije, usvojeno je da sâma rečelektricitet označava prisustvo naro-čitog fizičkog agensa na telima koji izaziva određeni skup pojava, među koje spada i pomenuto pri-vlačenje lakih tela. Za svako telo kod koga se može zapaziti prisustvo takvog agensa kaže se da jenaelektrisano. Inače, samu reč"elektricitet" (koja u slobodnom prevodu znači "naćilibarisavanje") unauku je oko 1600. godine uveo engleski naučnik i hirurg na dvoru engleske kraljice Elizabete I,Viljem Džilbert William Gilbert (1540-1603), koji je pored električnih, daleko više izučavao mag-netske pojave i prvi je opisao prirodan Zemljin magnetizam u svom delu "De magnete magnetisquecorporibus ... ".

Osim ćilibara, trenjem se mogu naelektrisati joši staklo, porculan, tvrda guma, razne vrstesmola, itd. Istorijski gledano, najstariji način naelektrisavanja ili elektrizovanja tela je putem trenja,koje predstavlja samo vid elektrizovanja dodirom, a jedina uloga trenja je realizacija prisnog meha-ničkog kontakta između tela koja se elektrizuju.

Tela se mogu naelektrisati i pomoću elektrostatičke indukcije ili influencije (=uticaj, upliv, de-lovanje), koja se primenjuje za elektrizovanje metala.

Na osnovu eksperimentalnih zapažanja vezanih za elektrizovanje tela putem trenja, Džilbert jeuočio da se, u suštini, mogu razlikovati dve grupe materijala: (a) elektrici (ćilibar, svila, staklo, itd.) koji se trenjem mogu naelektrisati i (b) neelektrici (metali) kod kojih trenjem to nije mogućepostići. Skoro čitav jedan vek kasnije, francuski istraživačdi Fe du Fay (1698-1739)pokazao jeda razlika između ovih grupa materijala ne počiva na njihovoj različitoj sposobnosti da se naelektri-šu, većna različitoj sposobnosti zadržavanja naelektrisanja na mestu pojave. Danas se materijali uelektričnom pogledu dele prema sposobnosti provođenja elektriciteta u sledeće tri grupe:

Provodnici, u koje spadaju metali kao provodnici prve i elektrolitički rastvori kiselina, baza isoli (tj. elektroliti) kao provodnici druge vrste

PoluprovodniciDielektrici, ili izolatori

Mada idealni provodnici i izolatori ne postoje, ipak, u savremenoj tehničkoj praksi usvojenoje da se izolatorima smatraju svi materijali sa električnom provodnošću 10151020 puta manjom odelektrične provodnosti dobrih metalnih provodnika.

Posmatranjem uzajamnog mehaničkog dejstva naelektrisnih tela, ustanovljeno je postojanjeprivlačnih (atrakcionih) i odbojnih (repulzionih) sila. To je i navelo di Fea da pretpostavi postojanjedve vrste naelektrisanja: "staklastog" koje po savremenoj konvenciji označavanja naelektrisanjaodgovara pozitivnom naelektrisanju staklene šipke protrljane svilenom tkaninom i "smolastog" kojeprema istoj konvenciji odgovara negativnom naelektrisanju ebonitne šipke protrljane krznom, ili vu-nenom tkaninom.


Nasuprot di Feovoj dualističkoj hipotezi o prirodi elektriciteta (postojanje dve različite vrstenaelektrisanja), američki eksperimentator Benžemin Frenklin Benjamin Franklin (1706-1790),postavio je unitarističku hipotezu po kojoj u prirodi postoji samo jedna vrsta elektriciteta prisutnado izvesne mere na svim, pa čak i na nenaelektrisanim telima (za koja se kaže da su u električnoneutralnom stanju). Višak naelektrisanja na telu preko normalnog pretpostavljenog iznosa Frenklinje označavao sa "+", a manjak sa "-", što prema di Fe-ovoj konvenciji odgovara staklastoj, odnosnosmolastoj vrsti naelektrisanja, respektivno.

Ipak, kod obe pomenute hipoteze zajedničko je bilo to što je elektricitet smatran impondera-bilnim, kontinualnim nestišljivim fluidom. Međutim, savremena nauka o elektricitetu eksperimen-talno je utvrdila da elektricitet ima diskretnu, a ne kontinualnu strukturu i da se u prirodi javlja uelementarnim (nedeljivim) pozitivnim i negativnim iznosima (kvantima) kao i njihovim celobroj-nim umnošcima (videti u udžbeniku: Milikenov ogled-član 1.1.2 i Zakoni elektrolize-član 1.1.3).Takođe, utvrđeno je i da se pod određenim uslovima elektricitet u kretanju makroskopski ponašakao nekakav nestišljivi fluid.

Telo neutralno u električnom pogledu, ima podjednak broj protona i elektrona. Nejonizovaniatomi ponašaju se posmatrano iz tačaka izvan atoma kao električno neutralni sistemi; jezgro atomaima približno oblik sfere radijusa 210-1510-14 m, zavisno od vrste atoma. Poluprečnici elektronakoji se kreću oko jezgra reda su veličine oko 510-15 m, dok je poluprečnik atoma znato veći i iz-nosi oko 10-10 m=1 Å. Dakle, između atomskog jezgra i elektronskog omotača postoji ogroman"prazan" prostor koji se zove vakuum. Za telo sa manjkom elektrona kaže se da je pozitivno, a zatelo sa viškom elektrona da je negativno naelektrisano.

Fizička veličina koja opisuje stepen, odnosno meru naelektrisanosti nekog tela, zove se količi-na elektriciteta, količina naelektrisanja, ili električno opterećenje. Količina elektriciteta je skalarna,algebarska veličina, čija numerička vrednost govori, ili o višku, ili o manjku elektrona na nekom te-lu i označava se sa Q kada je vremenski konstantna, a sa q ako je vremenski promenljiva. Jedinicaza količinu elektriciteta nosi naziv Kulon Cpo francuskom istraživaču Kulonu Charles August deCoulomb (1736-1806), koji je otkrio zakon uzajamnog mehaničkog dejstva naelektrisanih kvazi-punktualnih tela. Danas je poznato da je svaka pozitivna (negativna) količina elektriciteta celobro-jan umnožak jedne određene pozitivne (negativne) elementarne količine elektriciteta, koja se zovepozitivan (negativan) električni kvant. Moduli pozitivnih i negativnih električnih kvantova jednakisu modulu naelektrisanja elektrona tj. e, a sâmo naelektrisanje elektrona je e -1,60210-19 [C].

2. Određivanje električnih kvantova iz zakona elektrolize

Sve do pojave elektronske teorije krajem XIX veka u fizici je preovladavalo shvatanje daelektričnu struju obrazuje kretanje kontinualnog nestišljivog fluida. Iako takvo vrlo uprošćeno shva-tanje nije pružalo dublji uvid u samu suštinu strujnih pojava, ono nije ni smetalo otkrivanju mnogihkvantitativnih odnosa između električne struje i propratnih pojava, kao što su: magnetsko polje,toplotni (Džulov) efekat i elektroliza. Kvantitativni zakoni elektrolize koje je otkrio Faradej navelisu Helmholca da jošjoš1881. godine ukaže na diskretnu prirodu strukture elektriciteta i pretpostavipostojanje "atoma elektriciteta", odnosno nedeljivih, elementarnih električnih opterećenja. Pojavuelektrolize otkrio je 1808. godine Dejvi [Humphry Davy (1778-1829)], a njene osnovne zakone kojisu odigrali važnu ulogu u otkriću diskretne strukture elektriciteta, Majkl Faradej Michael Faraday(1791-1867)1833. godine. Sada ćemo pokazati kako se električni kvanti mogu odrediti iz Farade-jevih zakona elektrolize. Na sl. 1a je prikazan elektrohemijski voltametar sa vodenim rastvoromsrebro-nitrata (AgNO3). Voltametar je uređaj za elektrolizu u obliku staklene, ili porculanske posu-de, najčešće sa vodenim rastvorom neke kiseline, baze, ili soli (elektrolit). U voltametar su uronjenedve pločaste, ili štapićaste metalne ili grafitne elektrode A (anoda) i K (katoda).


`

A K A K S

E

R

I

VoltametarVoltametar

AgNO3+H O2

AgNO3+H O2

(a)

Ag Ag Ag Ag

(b)

Sl. 1

U voltametru na sl. 1a odvija se proces elektrolitičke disocijacije srebro-nitrata, koji je rever-zibilnog karaktera i odvija se po zakonu:

AgNO3 V Ag+ + NO3 .̄

Pretpostavimo da se zatvaranjem prekidača S voltametar uključi u električno kolo zajedno saotpornikom R i izvorom konstantne elektromotorne sile E (sl. 1b). U rastvoru srebro-nitrata izmeđuelektroda uspostavi se električno polje, koje ima ponderomotorno dejstvo na pozitivne jone srebra(katjoni) i negativne jone kiselinskog ostatka (anjoni). Pod njegovim dejstvom, katjoni se kreću pre-ma katodi, a anjoni prema anodi, obrazujući tako u rastvoru dvokomponentnu, jonsku, kondukcionujednosmernu struju. Struja otpornika R i žičanih vodova koji povezuju elemente kola je elektronska,kondukciona jednosmerna struja. U ovom slučaju se u rastvoru odvija ireverzibilan proces elektro-lize po zakonu:

AgNO3 Ag+ + NO3 .̄

Električna neutralizacija jona srebra na katodi dovodi do taloženja srebra na njoj i povećanjamase katode, a na anodi nastupa sekundarna hemijska reakcija električno neutralisanog kiselinskogostatka NO3 (inače, hemijski vrlo reaktivnog) sa srebrom, tako da se formira srebro-nitrat rastvorljivu vodi. Krajnji rezultat elektrolize u ovom slučaju je aktivni transport srebra sa anode koja se "ota-pa", prema katodi koja "deblja", pri čemu koncentracija srebro-nitrata u rastvoru ostaje stalna. Ot-pornik R je vezan u kolo radi kontrole i/ili ograničenja intenziteta struje I kola.

Na sl. 2 prikazana je aparatura za proveru Faradejevih zakona elektrolize. Procesi koji se od-vijaju u prvom voltametru pri postojanju stalne jednosmerne struje I u kolu nakon zatvaranja preki-dača S opisani su prethodno.

S

E

R

IA A AK K K

Voltametar 1 Voltametar 2 Voltametar 3

AgNO3+H O2

CuSO4+H O2

HCl+

H O2

Ag Ag Cu Cu Pt Pt

Sl. 2


U drugom voltametru na sl. 2 sa bakarnim elektrodama, pri stalnoj jednosmernoj struji u kolu,odvijaju se sledeći procesi:

(1) Elektrolitička disocijacija bakar-sulfata po zakonu,

CuSO4 Cu++ + SO4 ˉ̄.

(2) Joni bakra odlaze na katodu, a joni radikala SO4‾ ‾ na anodu. Nakon neutralizacije jona na odgo-

varajućim elektrodama prema izrazima,

Cu++ + 2e Cu i SO4 ˉ̄ - 2e SO4,

elektroliza molekula bakar-sulfata je završena.

(3) Neutralisani joni bakra talože se na katodi, a hemijski vrlo aktivni neutralizovani joni radikalakoji ne mogu da opstanu u slobodnom stanju, stupaju u hemijsku reakciju sa anodom po zakonuSO4+Cu CuSO4 stvarajući bakar-sulfat. Koncentracija bakar-sulfata u rastvoru ostaje stalna, aproces elektrolize, uključujući i sekundarnu reakciju, svodi se na aktivan transport bakra sa anodena katodu. U stvari, bakar sa anode prvo prelazi u elektrolit u obliku bakar-sulfata, a zatim se izelektrolita izdvaja na katodi. Ovaj proces primenjuje se u proizvodnji i elektrolitičkom prečišćava-nju bakra.

Ako bi se umesto anode od bakra upotrebila hemijski vrlo postojana anoda od platine, ili gra-fita, neutralizovani radikali SO4 stupili bi u hemijsku reakciju sa rastvaračem (vodom) i dobila bi sesledeća reakcija,

2SO4 + 2H2O 2H2SO4 + O2,

te bi krajnji produkti elektrolize i sekundarne reakcije u ovom slučaju bili drugačiji nego prethodno.U trećem voltametru na sl. 2 elektroliza se odvija po sledećem zakonu,

HCl H+ + Cl ,̄

pa se na katodi neutrališu vodonikovi, a na anodi joni hlora. Platinske elektrode su postojane i nestupaju u hemijsku reakciju sa neutralizovanim jonima rastvora.

Na osnovu rezultata i zapažanja do kojih je došao kroz brojne eksperimente sa elektrolizom,Faradej je 1833. godine ustanovio sledeća dva zakona:

Prvi Faradejev zakon elektrolize: Masa supstancije m koja se pri elektrolizi izdvoji na ne-koj elektrodi srazmerna je količini elektriciteta Qkoja protekne kroz rastvor, tj., m=KQ, gde je Kkg/Celektrohemijski ekvivalent izdvojene supstancije, čija veličina jedino zavisi od vrste izdvoje-ne supstancije, a ne i od jačine struje rastvora, temperature, pritiska, oblika i uzajamnog položajaelektroda.

Ako u elektrolitu postoji stalna jednosmerna struja intenziteta I, tada kroz rastvor za vreme tprotekne količina elektriciteta Q=It, pa se prvi Faradejev zakon može napisati u obliku m=KIt.

Za supstanciju molarne mase A kg/moli valentnog broja v, veličina A/v kg/molzove sehemijski ekvivalent te supstancije.

Drugi Faradejev zakon elektrolize: Elektrohemijski ekvivalent supstancije srazmeran je nje-nom hemijskom ekvivalentu A/v, odnosno, K=A/(Fv), gde je F=96 497 C/mol eksperimentalnoodređena Faradejeva konstanta.


Iz Faradejevih zakona sledi m=AQ/(Fv), tj. da je masa supstancije izdvojene na elektrodidirektno srazmerna količini elektriciteta Qprotekloj kroz rastvor i njenom hemijskom ekvivalentuA/v. Na osnovu toga, drugom Faradejev zakonu može se dati sledeći alternativan oblik:

Drugi Faradejev zakon elektrolize (alternativan oblik): Mase supstancija m1, m2, ..., mn,koje se izdvoje na elektrodama voltametara sa jednakim proteklim količinama elektriciteta, direktnosu proporcionalne hemijskim ekvivalentima supstancija,

m1 : m2 : ... : mn=A1/v1 : A2/v2 : ... : An/vn.

Sada ćemo pokazati kako se iz Faradejevih zakona elektrolize mogu odrediti električni kvanti.Pretpostavimo da se u procesu elektrolize u kolu na sl. 2 (prekidačS-zatvoren) prema nekoj uočenojelektrodi kreću joni supstancije i-te vrste, mase mi, naelektrisanja Qi i broja valencija vi. Ako se po-sle izvesnog vremena na toj elektrodi neutrališe n jona posmatrane supstancije, tada je kroz rastvorprotekla količina elektriciteta, Q=nQi, dok je masa izdvojene supstancije,

m=nmi=(mi/Qi)Q=(miNA)/(QiNA)Q,

gde je NA=6,02251023 mol-1-Avogadrov broj. Kako je molarna masa supstancije i-te vrste jednakaAi=NAmi, tada je m=(AiQ)/(QiNA). Međutim, pošto je prema Faradejevim zakonima m=AiQ/(Fvi),to se kombinovanjem prethodne dve relacije dobija QiNA=Fvi, odnosno Qi=(F/NA)vi. Pošto je brojvalencija vi uvek prirodan, to se iz poslednje relacije zaključuje da je naelektrisanje Qi jona bilokoje vrste u bilo kojem rastvoru uvek celobrojan umnožak elementarne količine elektriciteta |e|==F/NA 1,60210-19 C. Time je dokazano, ne samo postojanje dve vrste elementarnih naelektri-sanja (tj. kvantova), nego je približno određena i njihova veličina.

3. Naelektrisavanje (elektrizacija, elektrizovanje) tela

Sva tela se mogu nealektrisati na jedan od sledeća dva načina:

Dodirom Elektrostatičkom indukcijom (ili influencijom).

Elektrizovanje tela trenjem predstavlja vid elektrizovanja dodirom, pri čemu mehanički kontakt(trenje) služi jedino za realizaciju prisnijeg kontakta između tela koja se elektrizuju i time olakšavaprelaz elektrona sa jednog tela na drugo. Trenjem se elektrizuju dielektrična tela, a elektrostatičkomindukcijom metali. Prema usvojenoj konvenciji, za naelektrisano telo sa manjkom elektrona kaže seda je naelektrisano pozitivno, a za telo sa njihovim viškom da je naelektrisano negativno.

Elektrizovanje metala putem elektrostatičke indukcije odvija se bez kontakta između nekogprethodno većnaelektrisanog tela i neutralnog metalnog tela koje želimo da naelektrišemo. Taj videlektrizovanja počiva na konceptu elektostatičkog polja koje postoji u prostoru sa naelektrisanjima ikoje razdvaja naelektrisanja u atomima i molekulima i metala i dielektrika, produkujući indukovananaelektrisanja tj. indukovana opterećenja. Međutim, kada se idealni dielektrik nalazi u stranomelektričnom polju umerenog intenziteta, indukovana naelektrisanja obe vrste ostaju zarobljena unu-tar atoma i molekula pod dejstvom snažnih atomskih i molekularnih sila, pa se zato ta naelektrisanjazovu joši vezana, a nastala elastična, mehanička deformacija atoma i molekula zove se polarizacijadielektrika. Pri polarizaciji od neutralnih atoma i nepolarizovanih molekula nastaju električni dipoli.Ti dipoli su u vakuumu, karakterišu ih odgovarajući električni momenti i oni slabe primarno polje.Međutim, kod supstancija koje većimaju polarizovane molekule, strano polje izaziva njihovu do-datnu polarizaciju i povećanje većpostojećih električnih momenata.


Pojava kada bez ikakvog mehaničkog kontakta sa drugim naelektrisanim telima, u metalima idielektricima dolazi do razdvajanja pozitivnih i negativnih opterećenja pod uticajem stranogelektričnog polja, a bez obzira na njihovu prethodnu električnu neutralnost, zove se elektro-statička indukcija, ili influencija (=uticaj, upliv, delovanje).

Principi raspodele opterećenja na metalnim telima: Kod metalnih tela (provodnika) u stanjuelektrostatičke ravnoteže, naelektrisanja se uvek raspoređuju na površima tih tela u skladu sasledeća četiri principa:

U unutrašnjosti tela ne postoji elektrostatičko polje Ne postoji tangencijalna komponenta tog polja na površima tela Naelektrisanja se na površima raspoređuju tako da je energija rezultantnog elektrostatičkog

polja minimalna (Tomsonova teorema) Kada se u sistem naelektrisanih metalnih tela unese strano neutralno metalno telo i/ili, metal-

no telo na nultom potencijalu, energija elektrostatičkog sistema se smanjuje.

4. Zakon o konzervaciji elektriciteta

Prema klasičnoj formulaciji zakona o konzervaciji (održanju, očuvanju) elektriciteta ukupanbroj pozitivnih i negativnih električnih kvantova u prirodi je nepromenljiv. U današnje vreme ta jeformulacija odbačena, pošto je eksperimentalno ustanovljeno da se iz g-fotona velike energije možegenerisati par elektron-pozitron. Mase elektrona i pozitrona su jednake, a naelektrisanje pozitrona je|e|. Pozitron ne ulazi u postojani sastav materije jer ima kratko vreme života, reda veličine 100 ns.Zato se danas zakonu o konzervaciji elektriciteta daje sledeća tačna formulacija:

Zakon o konzervaciji elektriciteta: Algebarska suma pozitivnih i negativnih naelektrisanja uprirodi je nepromenljiva. Elektricitet u prirodi nije moguće trajno niti stvoriti, a ni uništiti,većse on jedino može razdvajati u okviru tela i premeštati sa jednog tela na drugo.

5. Elektrostatičko polje u vakuumu

Elektrostatika je oblast elektrotehnike koja proučava elektrostatička polja tačkastih (punktual-nih) naelektrisanja i naelektrisanih tela i površi, koji miruju u odnosu na posmatrača i čije se stanjenaelektrisanosti ne menja u toku vremena. Elektrostatičko polje predstavlja poseban vid složenogkompleksa električnih i magnetskih pojava obuhvaćenog pod pojmom elektromagnetsko polje.

Elektrostatičko polje je konzervativno fizičko polje (kao i gravitaciono), što znači da je radsila polja pri punom obilasku probnog punktualnog naelektrisanja po bilo kojoj zatvorenoj putanji(konturi) ravan nuli. Ovo je direktna posledica zakona o održanju rada, odnosno energije, primenje-nog na izolovan elektrostatički sistem u stanju ravnoteže, koji ne može menjati svoju ukupnu ener-giju. Elektrostatičko polje je bezvrtložnog karaktera kao i druga konzervativna polja, što pruža mo-gućnost za njegovu karakterizaciju pomoću jednoznačne skalarne funkcije - električnog potencijala.Potencijal je relativna algebarska fizička veličina, za razliku od električnog napona (napon je razli-ka potencijala), koji je apsolutna algebarska fizička veličina. Jedinica za električni potencijal i na-pon je ista: Volt V. Pored toga što je bezvrtložno, elektrostatičko polje je i izvorno, jer ima svojeizvore i ponore izvori su tamo gde su pozitivna,a ponori tamo gde su negativna naelektrisanja.Na sl. 3a prikazan je spektar (=slika) elektrostatičkog polja sa jednim izvorom (ili ponorom). Jasnosu uočljive radijalne linije koje obrazuju spektar polja i koje se zovu linije elektrostatičkog polja.Na sl. 3b prikazan je spektar bezvrtložnog polja sa dva izvora (ili dva ponora). Donji izvor je oči-gledno "jači" od gornjeg, jer dominantno utiče na izgled rezultantnog spektra. Ova slika odgovaraspektru elektrostatičkog polja koje stvaraju dva istorodna nejednaka naelektrisanja.


(a) (b)Sl. 3

Za razliku od elektrostatičkog, magnetsko polje nije ni izvorno ni konzervativno, većvrtlož-no. Zbog toga su linije njegovog spektra konture one nemaju ni početak ni kraj (zatvaraju sesame u sebe). Na sl. 4a prikazan je spektar bezizvornog vrtložnog polja sa jednim vrtlogom, a na sl.4b spektar bezizvornog vrtložnog polja sa dva vrtloženja u suprotnim smerovima.

(a) (b)Sl. 4

Postoji velika sličnost između elektrostatičkog polja naelektrisanja i naelektrisanih tela i povr-ši u dielektriku i stacionarnog (vremenski konstantnog) električnog polja u provodnoj sredini, kojepostoji uporedo sa stacionarnim strujnim poljem kondukcionih električnih struja. Svi zakoni kojivaže u elektrostatičkom, važiće i u delovima stacionarnog električnog polja u kojima ne deluju elek-trični izvori (generatori) neophodni za održavanje stacionarne raspodele naelektrisanja i potencijala.U delovima električnih kola i mreža sa električnim izvorima, pored elektrostatičkih, deluju i siledrugačijeg porekla, pa zato tamo i nije moguće direktno primeniti zakone elektrostatike. Električniizvori moraju stalno da ulažu energiju u održavanje stacionarnog električnog i strujnog polja, poštobi u suprotnom zbog provodnosti sredine došlo do spontane neutralizacije (razelektrizacije) sistema.Međutim, kod elektrostatičkog polja, energija električnih izvora neophodna je samo za uspostavlja-nje tog polja. Uprkos razlici između elektrostatičkog i stacionarnog električnog polja, u elektroteh-nici se danas često oba ova polja jedinstveno zovu električnim poljem.

Polaznu tačku u proučavanju elektrostatičkih polja u vakuumu predstavlja Kulonov zakon kojije eksperimentalno otkriven još1785. godine. Kulon je pomoću torzione vage određivao sile uza-jamnog dejstva veoma udaljenih metalnih sfera u visokom vakuumu, naelektrisanih količinamaelektriciteta Q1 i Q2 menjajući naelektrisanja sfera i rastojanje r između njih, koje je uvek biloznatno veće od poluprečnika sfera. Zbog toga je sfere bilo moguće smatrati kvazipunktualnim telimai tretirati ih kao punktualna (ili tačkasta) naelektrisanja. Na sl. 5 prikazana su dva naelektrisana tela,ne obavezno sfernog oblika, dimenzija znatno manjih od rastojanja između njihovih težišta. I tada jeta tela moguće smatrati kvazipunktualnim i predstaviti ih punktualnim naelektrisanjima Q1 i Q2.


R1R2

r

r >> max( R1, R )2

Q1

Q2

r

1 2

21

Kvazipunktualna naelektrisana tela 1 i 2u vakuumu i njihova predstava pomo}upunktualnih naelektrisanja 1 i 2

Q1

Q2

0 ( )vakuum

Sl. 5

U vezi sile F uzajamnog dejstva punktualnih naelektrisanja Q1 i Q2 (sl. 5) Kulon je došao dosledećih zaključaka:

Sila F je privlačnog (odbojnog) karaktera kada su naelektrisanja raznorodna (istorodna). Njen intenzitet F=Fdirektno je srazmeran proizvodu modula naelektrisanja, a obrnuto

kvadratu njihovog rastojanja:

1 22

Q QF k

r

,

gde fizička "konstanta" k za vakuum (a vrlo približno i za vazduh) u MKSA sistemu jedinica imavrednost k=k0=9109 Nm2/C2. Eksperimentalno je dokazano da k jako zavisi od fizičkih osobinasredine u kojoj se procesi odvijaju, što nagoveštava važnost sredine u elektromagnetskim procesimauopšte. Kod racionalizovanog načina pisanja jednačina "konstanta" k se piše u obliku k=1/(4),gde jedielektrična propustljivost sredine, ili permitivnost dielektrika. Međutim, poneko naziva idielektričnom konstantom sredine, što nije adekvatan naziv s obzirom da se kod mnogih dielektrikanelinearno menja sa intenzitetom električnog polja i radnom frekvencijom. Permitivnost vakuuma(a približno i vazduha kao dielektrika) iznosi 0 10-9/(36) C2/(Nm2), odnosno 0 10-9/(36)F/m, gde je [F]Farad jedinica za električnu kapacitivnost. Bezdimenziona veličina r=/0 zovese relativna permitivnost dielektrika. Na osnovu najtačnijih rezultata merenja brzine svetlosti uvakuumu c0 za permitivnost vakuuma se dobija 0 = 8,85410-12 F/m.

Neka je vektor položaja drugog punktualnog naelektrisanja u odnosu na prvo r12=r, a prvog uodnosu na drugo r21=r (sl. 5). Takođe, neka je i r=rSa F12 označimo elektrostatičku ili Kulono-vu silu koja deluje na punktualno naelektrisanje Q2, a sa F21 elektrostatičku silu koja deluje na Q1.Kulonov zakon se u vektorskom obliku može formulisati na sledeći način:

Kulonov zakon: Ako se punktualna naelektrisanja Q1 i Q2 nalaze u vakuumu i ako je vektorpoložaja drugog naelektrisanja u odnosu na prvo r12=r, a prvog u odnosu na drugo r21= r,tada se sile mehaničkog dejstva F12 elektrostatičkog polja na drugo i F21 na prvo naelektrisa-nje mogu predstaviti sledećim relacijama:

1 2 1 212 12 21 21 12 213 3

0 04 4Q Q Q Q, , , r

r r

F r F r F F r0 .

U vezi Kulonovog zakona mogu se dati sledeće napomene:

(a) U elektrostatici važi zakon akcije i reakcije, kako u mikroskopskom pogledu između dvapunktualna naelektrisanja, tako i u makroskopskom između dva naelektrisana tela, površi, itd.

(b) Kada se naelektrisana tela nalaze u homogenom dielektriku permitivnosti 0r, pokazuje seda je intenzitet Kulonovih sila r puta manji nego kada se ista tela nalaze u vakuumu. Kulonovzakon se tada piše u sledećem obliku:


1 2 1 212 12 21 21 12 213 34 4

Q Q Q Q, , , rr r

F r F r F F r0 .

Elektrostatičke sile su više redova veličine manjeg intenziteta od elektromagnetskih i koristese kod indikatorske i analogne merne instrumentacije (npr. u sistemima za horizontalan ivertikalni otklon elektronskog mlaza kod katodnog osciloskopa).

(c) Kulonova sila deluje u pravcu određenom položajem punktualnih naelektrisanja, a njen smerje odbojan ako su naelektrisanja istorodna, a privlačan kada su raznorodna.

6. Elektrostatičko polje

Elektrostatičko, odnosno električno polje naročito je fizičko stanje u prostoru u kome se nala-ze naelektrisanja. Njegova osnovna manifestacija je mehaničko dejstvo (elektrostatička, ili Kulono-va sila) na uneto probno punktualno naelektrisanje Q u obliku male naelektrisane kuglice, što semože iskoristiti za karakterizaciju tog polja preko vektora jačine električnog polja E:

Vektor jačine elektrostatičkog, odnosno električnog polja E jednoznačna je funkcija koordi-nata tačaka u prostoru definisana količnikom vektora mehaničke, tj. elektrostatičke (Kulono-ve) sile F koja deluje na uneto (probno) punktualno naelektrisanje Q (Q 0) i samog na-elektrisanja:

Q

FE .

Veličina E=Ezove se intenzitet ili jačina elektrostatičkog, odnosno električnog polja. Jedinica zaintenzitet polja je ili N/C, ili V/m, gde je V-Volt jedinica za električni potencijal i napon.

Posmatrajmo sada usamljeno punktualno naelektrisanje Q u vakuumu. Ako se u neku tačkunjegovog polja određenu vektorom položaja r u odnosu na to naelektrisanje unese probno punktu-alno naelektrisanje Q, na Q će delovati Kulonova (mehanička) sila:

|,4 3

0

rrF r

rQQ .

Tada su vektor jačine električnog polja E naelektrisanja Q i njegov intenzitet E, određeni izrazima:

rErFE rr

QE

rQ

Q,

4,

4 20

30

.

Linije električnog polja, ili linije sile, predstavljaju zamišljene orijentisane linije sa osobinomda tangenta u svakoj njihovoj tački ima pravac vektora jačine električnog polja u toj tački.Skup linija polja obrazuje sliku, ili spektar polja. Linije polja izviru iz pozitivnih, a uviru unegativna naelektrisanja i one se ne mogu presecati, pošto je vektor jačine električnog poljajednoznačna funkcija koordinata tačaka u prostoru.

Na sl. 6a i 6b prikazan je spektar električnog polja usamljenog punktualnog naelektrisanja Qu vakuumu, u slučaju kada je Q > 0 i kada je Q < 0. U oba slučaja, sa slike jasno se vidi da polje imaradijalan karakter i da njegove linije "izviru" iz pozitivnog, a "uviru" u negativno naelektrisanje.


EE

r r

(a) (b)

Q 0 Q0

Sl. 6

Posmatrajmo sada sistem od n punktualnih naelektrisanja Qi ( n,i 1 ) u vakuumu koji pred-stavlja fizički linearnu sredinu. Vektor jačine električnog polja u tački određenoj vektorom položajari, u odnosu na punktualno naelektrisanje Qi ( n,i 1 ), određuje se vektorskom superpozicijom poljakoja u toj tački stvaraju pojedina punktualna naelektrisanja:

),1(,4

1

1iii3

i

i

0

nirrQn

i

rrE .

Vektor jačine električnog polja usamljene površi u vakuumu naelektrisane sa površinskom gu-stinom naelektrisanja dQ/dS (sl. 7a) u tački X određenoj vektorom položaja r u odnosu na po-jedine tačke površi, dobija se vektorskom integracijom polja elementarnih naelektrisanja dQ=dS:

30

1 d4 S

S , rr

E r r .

0

r r

SV

(a) (b)

X X

dS

dV

Sl. 7

Vektor jačine električnog polja usamljenog domena V u vakuumu naelektrisanog sa zapremin-skom gustinom naelektrisanja =dQ/dV(sl. 7b) u tački X određenoj vektorom položaja r u odno-su na tačke domena, dobija se vektorskom integracijom polja elementarnih naelektrisanja dQ=dV:

E r r z14 0

3dV

rr

V

, .


Električno polje kao fizičko vektorsko polje može se okarakterisati jednoznačnom vektorskomfunkcijom E=E(x, y, z)=Exi + Eyj + Ezk, gde su i, j i k jedinični vektori (ortovi), a Ex, Ey i Ezkomponente vektora E u pravcu ortogonalnih osa x, y i z, respektivno, koje obrazuju ortogonalnikoordinatni sistem desne orijentacije. Neka je dl=dxi+dyj+dzk vektorski element orijentisane lini-je polja u bilo kojoj njenoj tački. Na osnovu definicije linije polja sledi da element dl i vektor poljaE u posmatranoj tački moraju biti kolinearni. Iz uslova te kolinearnosti sledi sistem diferencijalnihjednačina linija polja, čijom se integracijom određuje spektar električnog polja:

0)(,ddd

zyxzyx

EEEE

zE

yE

x.

Spektar električnog polja pruža informaciju, ne samo o pravcu i smeru vektora E, veći o in-tenzitetu (jačini) polja. Intenzitet električnog polja u bilo kojoj tački srazmeran je gustini linija, tj.broju linija polja po jedinici površine, koje prolaze kroz vrlo malu površupravnu na liniju polja utoj tački. Spektar polja može se na grub način eksperimentalno snimiti pomoću elektreta.

7. Potencijal električnog polja i napon

Elektrostatičko polje je konzervativno fizičko polje. Njegova energija u stanju elektrostatičkeravnoteže je stalna i može se menjati samo pri uspostavljanju ili iščezavanju polja, ili unošenjemnaelektrisanja, naelektrisanih površi i tela, kao i električno neutralnih metala i dielektrika. Energijapolja menja se i promenom uzajamnog položaja prethodno navedenih objekata.

Sada ćemo na elektrostatički sistem u stanju ravnoteže primeniti zakon o održanju energije.Rad A Kulonovih sila F pri jednom obrtu unetog probnog punktualnog naelektrisanja Q 0, poproizvoljno odabranoj konturi C u polju, jednak je cirkulaciji sile F po toj konturi:

A QC C

z zF l E ld d ( Q F E ).

Pretpostavljajući, bilo da je A > 0, bilo da je A < 0, dolazi se do apsurdnog zaključka da sistem ustanju elektrostatičke ravnoteže mora promeniti svoju energiju (videti tekst u udžbeniku !). Odatlese zaključuje da mora biti A=0. Kako je Q 0, to sledi da cirkulacija vektora E po bilo kojoj kon-turi C mora biti ravna nuli i da je u svakoj tački elektrostatičkog polja rot E=0:

E l E l E S E LNM

OQP z z zd ( ): d d

Stoksova teorema

Orijentacije konture i povrsivezane su po pravilu desne zavojnice

(*)

(**)C C S

C SC S

0

, rot rot 0

Za cirkulaciju (*) kaže se da izražava konzervativnu prirodu elektrostatičkog polja,a za relaciju (**)da iskazuje njegov bezvrtložan karakter. Relacija (*), takođe, važi i u onim delovima stacionarnogelektričnog polja unutar provodnika sa stacionarnim kondukcionim strujama, gde vladaju isključivoKulonove sile (dakle, izvan električnih generatora). Kao što je većpomenuto, sve veličine i zakonivezani za elektrostatičko polje mogu se primenjivati i kod stacionarnog električnog polja, uz jedinoograničenje da konture integracije (kao što je npr. C) ne prolaze kroz električne izvore (generatore).

Posmatrajmo sada neku proizvoljno odabranu, orijentisanu konturu C u električnom polju nakoju se oslanja orijentisana površS proizvoljnog oblika (sl. 8a). Orijentacija vektorskih elemenatapovrši dS, kao i samog vektora površi S (S=dS), vezani su po pravilu desne zavojnice sa usvojenomorijentacijom konture C. Na istoj slici sa dl označen je orijentisani element konture C.

Za polje E mogu se definisati njegov elementarni fluks (=protok) dkroz elementarnu orijen-tisanu površdS predstavljenu vektorom dS i ukupni fluks kroz orijentisanu površS (sl. 8a):


d d cos ( d ) , d , (=) V m

dS

d ,

Elementarni fluks polja kroz površ SUkupan fluks polja

kroz površS

E S E S E S E S

E

C

+

S

E

V

S

C

+

A

B

b

a

E

(a) (c)

(b)

S

SdS

dl

dV

dS

dl

Sl. 8

Za domen V u električnom polju E, koji je ograničen zatvorenom površi S i orijentisan premaspoljašnosti domena (sl. 8b), može se definisati izlazni fluks polja E kroz površS:

z E SdS

.

Iz teoreme Gaus-Ostrogradskog i integralnog oblika Gausovog zakona za domen sa prostor-no raspodeljenim naelektrisanjima zapreminske (tj. lokalne) gustine dobija se implikacija:

E S E E S E z z z zd div d

-

: d d div

(razmatra se u PREDAVANJU 2)

,S V S V

V

Teorema Gaus Ostrogradskog

S V

Gausov zakon

1

0 0

koja predstavlja lokalni (ili diferencijalni) oblik Gausovog zakona i važi u svakoj tački polja.Odatle se zaključuje da su tačke gde se nalaze pozitivna naelektrisanja (> 0) izvori (linija)polja i tamo je div E > 0, dok su tačke gde su negativna naelektrisanja (< 0) ponori (linija)polja i tamo je div E < 0. Izvori i ponori polja predstavljaju tačke prekida linija polja. Među-tim, tamo gde nema naelektrisanja (=0) linije polja su neprekidne i tamo je div E=0.

Zbog konzervativnog karaktera električnog polja, cirkulacija vektora E po bilo kojoj orijenti-sanoj konturi C na kojoj su proizvoljno odabrane četiri tačke A, a, B i b (sl. 8c) uvek je jednaka nuli:

E l E l E l E l E l E l z z z z z zd d d d d dC AaB BbA AaB BbA AbB

0 .

Pošto prema poslednjoj relaciji linijski integral vektora E od tačke A do tačke B, ne zavisi od puta-nje integracije, to daje mogućnost za karakterizaciju električnog polja pomoću relativne, algebarskefizičke veličine V(x, y, z), koja se zove elektrostatički, ili električni potencijal. Električni potencijalV(x, y, z) jednoznačna je i neprekidna funkcija koordinata tačaka u električnom polju koja to poljekarakteriše zajedno sa vektorom E. Jedinica za električni potencijal je V-Volt. Potencijal se uvekračuna u odnosu na odabranu referentnu tačku R, koja se zove i tačka nultog potencijala. Sa praktič-nog stanovišta, određivanje raspodele potencijala kao čisto skalarne veličine, znatno je lakše nego


određivanje raspodele jačine polja E kao vektorske veličine. Kao što ćemo videti, vektor jačine po-lja E može se jednoznačno odrediti preko relacije E= -grad V(x, y, z). Inverzni problem, određivanjeraspodele potencijala u slučaju kada je poznata raspodela polja E, nema jednoznačno rešenje štoneposredno sledi iz sâme definicije potencijala koju sada navodimo:

Električni potencijal bilo koje tačke X u električnom polju E je relativna, algebarska, fizičkaveličina, definisana na sledeći način:

R

X

V lE dX (po bilo kojoj putanji integracije).

Referentna tačka sistema R, ili tačka nultog potencijala, može se izabrati proizvoljno, ali sepri njenom izboru, ipak, rukovodimo prirodom rešavanog problema. U velikom broju slučajeva kojise sreću u praksi moguće je usvojiti da je referentna tačka u beskonačnosti (tj. R ), tako da je:

X

V lE dX (po bilo kojoj putanji integracije).

Û Potencijal tačke u električnom polju je relativna fizička veličina, jer zavisi od izbora referent-ne tačke R. U to se lako uveravamo na sledeći način. Neka je VX potencijal tačke X u odnosuna referentnu tačku R, a VX

* potencijal tačke X u odnosu na neku drugu referentnu tačku R*.Koristeći prethodnu definiciju moguće je za bilo koju izabranu putanju integracije napisati:

.ddddd***

X*

X constVVR

R

X

R

R

X

R

X

R

X

lElElElElE

Električni napon UAB između tačaka A i B u polju definiše se kao razlika potencijala tih tača-ka. Napon je apsolutna, algebarska, fizička veličina i njegova jedinica je kao za potencijal [V]-Volt:

AB A B AB BAd d d d dR R R B B

A B A R A

U V V , U U E l E l E l E l E l .

Putanja integracije u prethodnoj relaciji je proizvoljna pod uslovom da u stacionarnom električ-nom polju ne prolazi kroz električne izvore. Jedinica za jačinu polja E je N/C, ali i V/m.

Prema usvojenoj konvenciji o označavanju napona koristi se strelica i veliko slovo "U" ako jenapon konstantan, a vremenski promenljivi naponi označavaju se strelicom i malim slovom "u" (sl.9a). Slovima "U" i "u" često se dodaje i donji desni indeks od dva alfanumerička znaka koji obrazu-ju uređeni par (sl. 9b i c). Strelica za napon stoji kod one tačke koja je označena prvim indeksom. Usvakom od slučajeva na sl. 9 napon je prema definiciji jednak razlici potencijala tačke kod vrhastrelice i tačke na suprotnoj strani.

A B a 1

32 C 4

UABU1a

u32 uC4

X Y

32

U

u

(a) (b) (c)

Sl. 9


Ako se punktualno naelektrisanje Q nalazi u tački X električnog polja sa potencijalom VX, ta-da na njega deluje Kulonova sila F=QE, pa je:

R

X

R

X

QQV lFlE ddX (po bilo kojoj putanji integracije).

Dakle, potencijal tačke X numerički je jednak radu Kulonovih sila izvršenom pri premeštanjujediničnog punktualnog naelektrisanja Q=+1 Ciz tačke X, u referentnu tačku R sistema. Kada jeVXQ > 0 sile polja vrše rad na račun elektrostatičke energije sistema koja se smanjuje. Kada jeVXQ < 0, rad pri navedenom premeštanju naelektrisanja vrše spoljašnje sile FS protiv elektrosta-tičkih (FS= -F) i njihov rad se pretvara u pozitivan priraštaj elektrostatičke energije sistema.

Međutim, kada spoljašnje sile FS premeštaju punktualno naelektrisanje Q iz referentne tačkeR u tačku X sistema, rad koji one pri tome izvrše je:

QVQR

X

X

R

R

X

X

R

Xdddd lElFlFlFS ,

pa je potencijal tačke X numerički, takođe, jednak i radu spoljašnjih sila pri premeštanju jediničnog,punktualnog naelektrisanja Q=+1 Ciz referentne tačke sistema R, u tačku X. Ako je VXQ > 0spoljašnje sile su te koje vrše rad uz priraštaj elektrostatičke energije sistema. U suprotnom kada jeVXQ < 0, Kulonove sile su te koje vrše rad, a ne spoljašnje, i to na račun energije sistema.

Na osnovu prethodnog sledi:

B

A

B

A

QVVQUQ lFlE dd)( BAAB ,

V

(a)(c)

(b)

S

X

R

E

rX

r

rR

Xr

X

r

Usamljeno punktualno naelektrisanje

Q

Putanjaintegracije

dV

dl

dS

dV

dS

Sl. 10

Potencijal tačke X u električnom polju usamljenog punktualnog naelektrisanja Q u vakuumu(sl. 10a) može se odrediti na osnovu definicije potencijala:

R

X

X 3 2 20 0 0 0 X R

d cos ( d ) d 1 1d d ( )

4 4 4 4

rR R R

X X X r

Q Q l , Q r QV

r r r r r

r lE l r l

,

lrrr ddRRXX lirrr .


Ako se u prethodnoj relaciji usvoji referentna tačka u beskonačnosti, tj. rR, tada se dobijaVX=Q/(40rX). Prema principu superpozicije za vakuum kao fizički linearnu sredinu, a uz uslov daR , odmah slede relacije za potencijal tačke X u električnom polju u vakuumu koje potiče od:

(a) usamljene površi S sa površinskomgustinom naelektrisanja

V SrS

Xd z1

4 0 ,

(b) usamljenog domena V sa zapreminskomgustinom naelektrisanja :

dXV V

rV

z14 0

.

Ako elektrostatički sistem u vakuumu obrazuje k punktualnih naelektrisanja Qi ( k,i 1 ), m na-elektrisanih površi Sj okarakterisanih površinskom gustinom elektriciteta j ( m,j 1 ) i n naelektri-sanih domena Vp okarakterisanih zapreminskom gustinom elektriciteta p ( n,p 1 ), tada je potenci-jal rezultantnog elektrostatičkog polja u tački X određen relacijom:

VQr

Sr

VrSj

m

Vp

n

i

k

Xi

i

j j

j

p p

p=

d d

j p

F

HGIKJz z

14 0 1 11

.

Geometrijsko mesto tačaka istog potencijala u električnom polju zove se ekvipotencijalna po-vrš. Linije električnog polja upravne su na ekvipotencijalne površi u tačkama u kojima ih prosecaju,pošto bi u suprotnom egzistirale tangencijalne komponente polja Et 0 u tim tačkama, pa bi na istojekvipotencijalnoj površi postojale dve vrlo bliske tačke sa različitim potencijalima, što bi bilo u su-protnosti sa samom definicijom ekvipotencijalne površi.

Posmatrajmo dve vrlo bliske ekvipotencijalne površi 1 i 2 u električnom polju (sl. 11), čiji supotencijali V i V+dV, respektivno. Na slici su crtkastim linijama ucrtane linije elektrostatičkog poljai tačke A i B koje pripadaju istoj liniji polja, a različitim ekvipotencijalnim površima.

Linije elektri~nog poljaEkvipotencijalna povr{ 1

Ekvipotencijalna povr{ 2

E

A

B

V

V Vd

dl

Sl. 11

Pošto je E=E(x, y, z)=Exi + Eyj +Ezk, dl=dxi + dyj +dzk, VA=V i VB=V+dV, tada je:

UAB=VA-VB= zzVy

yVx

xVVzEyExE dddddddd zyx

lE

x y z , tj.V V V

E , E , Ex y z

( )

V V VV x, y,z

x y z

E i j k grad .

Û Vektor elektrostatičkog polja E u svakoj tački ima pravac i smer u kome potencijal polja naj-brže opada. Potencijal V(x, y, z), kao funkcija x, y i z, ne može imati tačke prekida prve vrste.


8. Primeri test zadataka

1. Zadatak: Dva jednaka nepokretna punktu-alna naelektrisanja Q1 nalaze se u tačkama A iB u vakuumu (sl. 12). U tački C pušteno je daiz mirovanja krene pokretno punktualno na-elektrisanje Q2 mase m. Odrediti njegovu tra-jektoriju i brzinu u beskonačnosti. Usvojiti daje potencijal beskonačno udaljenih tačaka ra-van nuli.Podaci: Q1=4Q2=0.6 [nC], m=9 [gr], a=10[cm], b=20 [cm] i 0 10-9/36[F/m].

x

y

0

0

( 0)B a,(- 0)A a, ( 0)C b,

1Q 1Q 2Q

Sl. 12

2. Zadatak: Usamljena metalna sfera nalazise u vakuumu i naelektrisana je količinomelektriciteta Q1 (sl. 13). U tački A(a, 0) pušte-no je da iz mirovanja krene punktualno na-elektrisanje Q2 mase m. Odrediti njegovu br-zinu u tački B(b, 0). Usvojiti da je potencijalbeskonačno udaljenih tačaka ravan nuli.Podaci: Q1=1.8 [nC], Q2=0.5 [nC], m=1.8 [g],a=36 [cm] i b=1 [m].

R1Q

2,m Q xv

9

0

10 F36 m

O

y

( , 0)A a ( , 0)B b

<< <R a b

R

Sl. 13

3. Zadatak: Vrlo tanak i usamljen prstenpoluprečnika R nalazi se u vakuumu i ravno-merno je naelektrisan količinom elektricitetaQ1 (sl. 14). Iz veoma udaljene tačke X na x-osi(praktično na nultom potencijalu), pušteno jeda iz mirovanja krene punktualno naelektrisa-nje Q2 mase m. Odrediti njegovu brzinu priprolasku kroz centar prstena O. Usvojiti da jepotencijal tačaka u beskonačnosti ravan nuli.Podaci: Q1=0.2 [nC], Q2= -0.1 [nC], m=1.8[g] i R=20 [cm].

1Q

2Q x osa

Rv

O

9

0

10 F36 m

X

Sl. 14

Napomena: videti i primere 2 i 3 na str. 33-34 u udžbeniku.

Documents

Elektrostatika 1.pdf