Lekcijas saturs

Elektrostatika

2008. g. 5. maija

Elektrostatika

Lekcijas saturs

Elektrostatika

Lekcijas saturs

Kopš seniem laikiem ir zinams, ka ar zıda vaivilnas dranu berzets stikls, dzintars un daži citimateriali elektrizejas – iegust speju pievilkt sıkuspriekšmetus, piemeram, papıra gabalinus, matusutt.Terminu ” elektrıba” (” electricity”), kas celies nodzintara nosaukuma ”elektron” grieku valoda,pirmais 16. gadsimta saka lietot anglu karalienesgalma arsts V. Gilberts.

Elektrostatika

Lekcijas saturs

Elektrıba un magnetisms ka zinatne saka veidotiestikai 18. gadsimta.Fizikas atklajumi elektrıba un magnetisma irelektrotehnikas, elektroenergetikas, radiotehnikasun elektronikas pamats, tie dod iespeju izmantotjaunus elektromagnetiskos materialus, pilnveidotelektriskas energijas ieguvi un izmantošanu, butiskiuzlabot elektrosakarus un attıstıt informatiku. Šısnozares joprojam strauji attıstas.

Elektrostatika

Lekcijas saturs

Elektrostatika

Elektrostatika ir fizikas dala, kas apluko elektriskoladinu un ladinu sistemu, t. i., arı elektriski ladetumakrokermenu mijiedarbıbu un ıpašıbas, ja ladiniir nekustıgi izraudzıtaja inercialaja atskaitessistema.

Elektrostatika

Lekcijas saturs

Elektriska ladina ıpašıbas.Elementarladinš

Elektriskais ladinš ir dažu elementardalinufundamentala ıpašıba. Elektriskie ladini irelektromagnetiska lauka avots. Ar laukastarpniecıbu notiek ladinu mijiedarbıba.Elektriskais ladinš nosaka elektromagnetiskomijiedarbıbu intensitati, lıdzıgi tam, ka masanosaka gravitacijas mijiedarbıbu intensitati. Visaselektromagnetiskas paradıbas ir elektrisko ladinueksistences, kustıbas un mijiedarbıbas izpausme.

Elektrostatika

Lekcijas saturs

Elektrisko ıpašıbu kvantitatıvai raksturošanai lietofizikalu lielumu, ko arı sauc par elektrisko ladinu.Ar terminu elektriskais ladinš apzıme gan dalinuıpašıbu, gan arı fizikalu lielumu šıs ıpašıbaskvantitatıvai raksturošanai.1881. gada vacu fizikis un fiziologs H. Helmholcsizteica hipotezi, kura elektriskas paradıbasizskaidroja ar elektriski ladetu elementardalinupastavešanu.Šı hipoteze apstiprinajas, kad atklaja elektronu(1897. gada, anglu fizikis Dž. Tomsons) unprotonu (1919. gada, anglu fizikis E. Rezerfords).

Elektrostatika

Lekcijas saturs

Visu ladeto elementardalinu ladinš skaitliskivienads ar elektrona ladinu, un to sauc parelektrisko elementarladinu.Elementarladinš ir vismazakais no zinamajiemelektriskajiem ladiniem, un to pienemts apzımet arburtu e.Vielas atomi sastav no protoniem (ar ladinu +e),neitroniem (elementardalinam bez ladina) unelektroniem (ar ladinu −e).

Elektrostatika

Lekcijas saturs

Parasti kermenos protonu skaits Np ir vienads arelektronu skaitu Ne, pie tam protoni un elektronisadalıti ta, ka jebkura fizikala punkta, t. i.,elementari maza kermena tilpuma (kas tomer navmazs salıdzinajuma ar atomu vai molekulutilpumu) to skaits ir vienads. Tadu kermeni saucpar elektroneitralu.

Elektrostatika

Lekcijas saturs

Kermenis, kura vienas zımes kopejais elektriskaisladinš ir lielaks neka pretejas zımes kopejaiselektriskais ladinš, ir elektriski ladets kermenis.No kermena atomiem visvieglak ir atrautelektronus un parnest tos uz citu kermeni (šoparadıbu sauc par elektrizaciju), tadel pozitıviladetam kermenim ir elektronu iztrukums, betnegatıvi ladetam – elektronu parpalikums.Ar pretejas zımes ladiniem elektrizeti kermenisavstarpeji pievelkas, bet vienadi elektrizeti –atgružas.

Elektrostatika

Lekcijas saturs

Vienas zımes ladinu parsvaru q jebkura kermenıvai kermena dala var izteikt ar elementarladinu e:

q = N · e,

kur N = Np −Ne ir vesels skaitlis.Ladina q mazaka izmaina ∆qmin = ±e, tadel saka,ka kermena elektriskais ladinš ir diskrets jebkvantets lielums.Bet, ta ka ladina vismazaka porcija (ladina kvants)e ir loti maza, tad ladina izmainas, kuras irieklauts liels ladinu e skaits, var tikt uzskatıtas parnepartrauktam.

Elektrostatika

Lekcijas saturs

Elektriska ladina nezudamıbas likums

Pieredze rada, ka berzes procesa kermenielektrizejas un vienmer iegust vienada modula, betpreteju zımju ladinus. Tadel elektriski izoletaisistemai, t. i., sistemai, caur kuras robežvirsmuelektriskie ladini netiek parnesti, ir speka šadsapgalvojums: elektriski izoleta sistema elektriskoladinu algebriska summa ir nemainıga:

q = const.

Tas ir elektriska ladina nezudamıbas likums.

Elektrostatika

Lekcijas saturs

Elektriska ladina vienıbaElektriska ladina (elektrıbas daudzuma) SI vienıbair kulons (1 C). To define, izmantojot sakarıbustarp nemainıgas stravas stiprumu I un ladinu q,kas izplust caur vadıtaja škersgriezumu laika sprıdıt:

q = It.

Vienu kulonu liels ir tads elektriskais ladinš, kasizplust caur vadıtaja škersgriezumu viena sekunde,ja stravas stiprums ir viens ampers:

1 C = 1 A · s.Precızos merıjumos noskaidrots, ka elementarladinš

e = (1.6021892± 0.00000046) · 10−19 C.Elektrostatika

Lekcijas saturs

Elektrisko ladinu mijiedarbıba. Kulonalikums

Elektrisko ladinu sauc par punktveida ladinu, ja tanesejs ir kermenis, kura linearie izmeri ir mazisalıdzinajuma ar attalumu no ladeta kermena lıdzpunktam, kura tiek aplukota ladina iedarbıba.1785. gada franču fizikis Š. Kulons eksperimentali(izmantojot paša izgudrotos verpes svarus)konstateja, ka vakuuma divi nekustıgi vienadzımjupunktveida ladini atgružas, bet preteju zımju ladinipievelkas ar speku, kas ir tieši proporcionals ladinureizinajumam, bet apgriezti proporcionals tosavstarpeja attaluma kvadratam, pie tam šis speksdarbojas pa taisni, kas savieno abus ladinus(Kulona likums).

Elektrostatika

Lekcijas saturs

Kulona formula:

F =1

4πε0

q1q2

r2 ,

kur ε0 – proporcionalitates koeficients, ko sauc parelektrisko konstanti.

ε0 = 8.85 · 10−12 C2/(N ·m2).

Vektoriala forma Kulona likumam ir sekojošspieraksts:

~F =1

4πε0

q1q2

r3 ~r.

Elektrostatika

Lekcijas saturs

Divu ladinu mijiedarbıbas speks nemainas, ja totuvuma novieto citus ladinus, tadel speku, ar kaduuz punktveida ladinu q0 darbojas punktveidaladinu sistema q1, q2, ..., qN , var izteikt šadi:

~F =∑

i

~Fi,

kur ~Fi - speks, ar kadu uz ladinu q0 darbojasladinš qi, kad nav parejo ladinu. Tas ir elektriskasmijiedarbıbas speku superpozıcijas princips.

Elektrostatika

Lekcijas saturs

Elektriskais lauks.

Tapat ka telpa ap katru dalinu, kurai ir masa,eksiste gravitacijas speku lauks, telpa ap jebkuruelektriski ladetu dalinu pastav ar to saistıtaiselektromagnetiskais lauks. Ar ta starpniecıbunotiek mijiedarbıba starp ladetam dalinam.Elektrisko speku lauku, kas eksiste ap nekustıgiemelektriski ladetiem kermeniem, sauc parelektrostatisko lauku. Tas ir elektromagnetiskalauka specials gadıjums. Uz elektriskaja laukanovietotu ladinu darbojas noteikts speks.

Elektrostatika

Lekcijas saturs

Elektriska lauka intensitatePienemsim, ka ladina q radıta lauka kada punktaatrodas mazs pozitıvs ladinš q0 – meginajumaladinš. Uz to iedarbojas speks F0. Attiecıba F0/q0ir speks, kas iedarbojas uz pozitıvo vienıbas ladinu;šı attiecıba nav atkarıga no ladina q0 skaitliskasvertıbas un tadel raksturo elektrisko lauku.Vektorialo lielumu

~E =~F0

q0

sauc par elektriska lauka intensitati. Tas virzienssakrıt ar speka ~F0 darbıbas virzienu.

Elektrostatika

Lekcijas saturs

Elektriska lauka intensitate ir vienada ar speku, arkadu lauks darbojas uz dotaja punkta novietotapozitıva ladina vienıbu un versta šı speka virziena.Elektriska lauka intensitates mervienıba SIsistema ir 1 N/C.Punktveida ladina qlektriska lauka intensitati Ejebkura attaluma r no ladina q var noteikt,izmantojot ta definıciju un Kulona likumu:

E =1

4πε0

q

r2 .

Punktveida ladinu sistemas radıta elektriska laukaintensitate jebkura lauka punkta ir vienada ar tolauka intensitašu vektorialo summu, kuras radakatrs punktveida ladinš atseviški, kad citu ladinunav tuvuma:

~E =∑

i

~Ei.

Tas ir superpozıcijas princips elektriska laukaintensitatei.

Elektrostatika

Lekcijas saturs

Loti uzskatami elektrisko lauku var attelot arintensitates (speka) lınijam.Par elektriska lauka intensitates (speka) lınijusauc lıniju, kuras ikviena punkta pieskare sakrıt arlauka intensitates vektoru.Intensitates lınijai ar bultu ir uzdots virziens, kasversts intensitates vektora virziena. Laukaintensitates lıniju sakuma punkts ir pozitıvs ladinš,bet beigu punkts – negatıvs ladinš.

Elektrostatika

Lekcijas saturs

Intensitates vektora plusmaCits elektrisko lauku raksturojošs lielums irelektriska lauka intensitates vektora plusma ΦE,kas ir analogs lielums lıniju skaitam, kas iet caurvirsmu ar laukumu S, bet var mainıtiesnepartraukti. Visvienkaršakaja gadıjuma, kad(1) lauka intensitate E virsmas S visas vietas irvienada;(2) visas virsmas vietas vienads ir arı virsmasnormales ~n un lauka ~E virziena veidotais lenkis α.elektriska lauka intensitates vektora plusmu ΦE.var izteikt šadi:

ΦE = ES cos α.Elektrostatika

Lekcijas saturs

Gadıjuma, ja abi minetie nosacıjumi nav izpildıti,ΦE var aprekinat tikai ar matematiskas analızes –integrešanas – palıdzıbu. Vispirms izsakaelektriska lauka intensitates vektora elementaruplusmu caur laukuma elementu dS:

dΦE = ~E~ndS.

Elektriska lauka intensitates vektora plusma caurvirsmu S ir elementaro plusmu dΦE algebriskasumma, kuru var noteikt integrejot:

ΦE =

∫S

~E~ndS.

Intensitates vektora plusmas SI vienıba ir 1 V ·m.Elektrostatika

Lekcijas saturs

Ostrogradska-Gausa teoremaElektriska lauka intensitates vektora plusma caurjebkuru noslegtu virsmu, kas aptver elektriskosladinus, ir vienada ar aptverto ladinu algebriskusummu, kas dalıta ar ε0.Šo apgalvojumu sauc par Ostrogradska-Gausateoremu.To var pierakstıt šadi:∮

S

~E~ndS =QV

ε0,

kur∮

S~E~ndS = ΦE - plusma, kas iet caur noslegtu

virsmu S, bet QV – virsmas S norobežotajatilpuma esošais ladinš.

Elektrostatika

Lekcijas saturs

Lauka intensitates aprekinašanadažadiem ladetiem kermeniem

Vienmerıgi ladetas bezgalıgas plateselektriskais lauks Pienemsim, ka lauku radaelektriskais ladinš, kas vienmerıgi sadalıts(σ = const) pa plakanu neierobežota izmeravirsmu S. Lauka intensitates vektori ~E irperpendikulari plaknei S.Lai noskaidrotu sakarıbu starp E un σ, apskatısimslegtu cilindrisku virsmu, kuras veidules irperpendikularas, bet pamati paraleli plaknei S.

Elektrostatika

Lekcijas saturs

Saskana ar definıciju plusma ΦE = E · 2∆S, betizmantojot Gausa teoremu, var rakstıt, kaΦE = σ∆S/ε0.Salıdzinot abas izteiksmes, iegust

E =σ

2ε0.

Elektrostatika

Lekcijas saturs

Elektrostatika

Lekcijas saturs

Vienmerıgi ladetas sferiskas virsmaselektriskais lauksJa elektriskais ladinš q ir vienmerıgi sadalıts(σ = const) pa sferisku virsmu, kuras radiuss ir Rtad

Arpus sferas (r > R)

E =q

4πε0r2 .

Tas rada, ka vienmerıgi ladetas sferas lauksarpus šıs sferas ir tads pats, kadu radapunktveida ladinš q sferas centra.Sferas iekšpuse (r′ < R).Vienmerıgi ladetas sferas iekšpuse elektriskalauka nav - E = 0, jo tur nav elektrisko ladina.

Elektrostatika

Lekcijas saturs

Elektrostatika

Lekcijas saturs

Elektriska lauka speku darbs,parvietojot ladinus

Uz ladinu, kas atrodas elektrostatiskaja lauka,jebkura lauka punkta darbojas zinams speks, un,ladinu parvietojot, lauka speki padara darbu.Vispirms noskaidrosim, ka var izteikt šo darbu, japunktveida ladinš q0 tiek parvietots no punkta 1uz punktu 2 viena punktveida ladina q lauka , pietam uzskatısim, ka ladina q0 kustıba ir bezgalıgilena, un ladinu mijiedarbıbas spekus ta neietekme.

Elektrostatika

Lekcijas saturs

Ladinam pieliktais speks ~F , ladinu parvietojot pard~l veic elementaru darbu

dA = ~Fd~l = Fdl cos α =qq0

4πε0r2dl cos α,

kur α - lenkis starp ~F un d~l. Lielums|d~l| cos α = dr ir radiusvektora ~r modula izmaina,tadel

dA =qq0

4πε0r2dr.

Elektrostatika

Lekcijas saturs

Pilnais darbs:

A =

∫ r2

r1

dA =

∫ r2

r1

qq0

4πε0r2dr =qq0

4πε0(1

r1− 1

r2).

Elektrostatiska lauka speku darbs, ko tie veic, jalauka tiek parvietots ladinš, atkarıgs no ladiniem,kuri rada lauku, no parvietojama ladina q0, ka arıno ta sakuma un beigu stavokla. Darbs navatkarıgs no ladina q0 trajektorijas formas starpsakuma un beigu punktiem, tadel elektrostatiskalauka speki ir konservatıvi speki, unelektrostatiskais lauks ir potencials lauks.

Elektrostatika

Lekcijas saturs

Elektrostatika

Lekcijas saturs

Lauka intensitates vektora cirkulacijaNoslegta kontura L elektrostatiska lauka darbs

AL =

∮L

dA =

∮L

q ~Ed~L = 0.

Ja pa noslegtu konturu parvieto vienu vienıbu lielupozitıvu ladinu, tad formulu šo var parrakstıt citaveida ∮

L

~Ed~L = 0.

LielumuCE =

∮L

~Ed~L

sauc par elektriska lauka intensitates vektoracirkulaciju. Elektrostatika

Lekcijas saturs

Redzams, ka

CE =AL

q,

t. i., elektriska lauka intensitates vektoracirkulacija pa noslegtu konturu ir vienada ardarbu, ko padara elektriska lauka speki, parvietojotpa šo konturu vienu vienıbu lielu pozitıvu ladinu.Lauka cirkulacija noder lauka rakstura noteikšanai:ja vektoriala lauka cirkulacija C = 0, tad lauks irpotencials (bezvirpulains), bet, ja C 6= 0, tad lauksir virpulains (solenoidals).Elektrostatiskais lauks ir potencials lauks, un tajaCE = 0.

Elektrostatika

Lekcijas saturs

Elektrostatiska lauka potencialsKonservatıvu speku darbs, ko tie veic, ja kadskermenis parvietojas šo speku lauka, ir vienads arkermena potencialas energijas samazinajumu. Tasnozıme, ka meginajuma ladina q0 parnešanas darbsA ir vienads ar ta potencialas energijassamazinajumu kada cita punktveida ladina vailadinu sistemas elektriskaja lauka:

A = Ep1 − Ep2.

Ladina q0 potenciala energija ladina q radıtajalauka ir šada:

Ep =qq0

4πε0r+ const.

Pienemot, ka ladina q0 potenciala energija Ep = 0,ja tas atrodas bezgalıgi talu no ladina q, varuzskatıt, ka formula const = 0, tadel

Ep =qq0

4πε0r.

Elektrostatika

Lekcijas saturs

Attiecıbu Ep/q0 var izmantot lauka energetiskoıpašıbu raksturošanai katra lauka punkta (attiecıbair atkarıga tikai no ladina q un no apskatamapunkta izveles). Lielumu

ϕ =Ep

q0

sauc par elektrostatiska lauka potencialu.Elektrostatiska lauka potencials katra punkta irskaitliski vienads ar potencialo energiju, kada iršaja punkta novietotam vienu vienıbu lielampozitıvam punktveida ladinam.SI sistema elektrostatiska lauka potencials kadapunkta ir vienu vienıbu liels tad, ja šaja punktanovietota vienu kulonu (1 C) liela ladinapotenciala energija ir viens džouls (1 J). Šaduvienıbu sauc par voltu (1 V ): 1 V = 1 J/1 C.

Elektrostatika

Lekcijas saturs

Elektriska lauka intensitates unpotenciala savstarpeja saistıba

Elektrisko lauku raksturo divi fizikali lielumi:intensitate (raksturo lauka speku) un potencials(raksturo lauka energiju). Noskaidrosim, kada ir tosavstarpeja saistıba.Pienemsim, ka punktveida ladinš q parvietojas xass virziena no punkta 1 (ar koordinati x1 unpotencialu ϕ1) uz punktu 2 (ar koordinati x2 unpotencialu ϕ2). Pie tam, parvietojuma lielumsdx = x2˘x1 ir loti mazs.

Elektrostatika

Lekcijas saturs

Darbu dA, ko padara lauka speki, var izteiktdivejadi:

dA = ~F~l = q ~Ed~l = qExdx

undA = q(ϕ1 − ϕ2) = −qdϕ.

No šım izteiksmem izriet, ka

Ex = −dϕ

dx.

Pec analogijas varam pierakstıt : Ey = −dϕdy un

Ez = −dϕdz , un elektriska lauka intensitates vektors

~E = −(dϕ

dx~i +

dϕ

dy~j +

dϕ

dz~k) = −

−−→gradϕ.

Elektrostatika

Lekcijas saturs

Elektrostatika

Lekcijas saturs

Mınusa zıme rada, ka lauka intensitates vektorsversts potenciala samazinašanas virziena,turpretim potenciala gradients versts potencialapalielinašanas virziena.Lai grafiski paradıtu elektrostatiska laukapotenciala sadalıjumu, izmanto ekvipotencialasvirsmas. Virsmu, kuras visos punktos potencials irvienads, sauc par ekvipotencialu virsmu.Elektriska lauka speki versti perpendikulariekvipotencialam virsmam, t. i., lauka intensitates(speka) lınijas ir perpendikularas (ortogonalas)ekvipotencialajam virsmam.

Elektrostatika