Elektromagnetski model za izračun raspodjele struje zemljospoja

S V E U Č I L I Š T E U S P L I T U FAKULTET ELEKTROTEHNIKE, STROJARSTVA I BRODOGRADNJE

Zdenko Balaž

ELEKTROMAGNETSKI MODEL ZA IZRAČUN

RASPODJELE STRUJE ZEMLJOSPOJA

DOKTORSKA DISERTACIJA

Split, 2014.

S V E U Č I L I Š T E U S P L I T U FAKULTET ELEKTROTEHNIKE, STROJARSTVA I BRODOGRADNJE

Zdenko Balaž

Elektromagnetski model za izračun raspodjele

struje zemljospoja

DOKTORSKA DISERTACIJA

Split, 2014.

ii

Doktorska disertacija izrađena je na Zavodu za elektroenergetiku,

Fakulteta elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje u Splitu.

Znanstveno područje: Tehničke znanosti

Znanstveno polje: Elektrotehnika

Znanstvena grana: Elektroenergetika

Mentor: prof. dr. sc. Slavko Vujević

Ukupan broj numeriranih stranica: 195

Ukupan broj slika: 105

Ukupan broj tablica: 42

Ukupan broj jednadžbi: 213

Ukupan broj korištenih bibliografskih jedinica: 78

iii

Povjerenstvo za ocjenu doktorske disertacije:

Prof. dr. sc. Rino Lucić, FESB Split - predsjednik

Prof. dr. sc. Slavko Vujević, FESB Split - mentor

Prof. dr. sc. Sead Berberović, FER Zagreb - član

Izv. prof. dr. sc. Petar Sarajčev, FESB - Split - član

Doc. dr. sc. Ivica Jurić-Grgić - član

Povjerenstvo za obranu doktorske disertacije:

Prof. dr. sc. Rino Lucić, FESB Split - predsjednik

Prof. dr. sc. Slavko Vujević, FESB Split - mentor

Prof. dr. sc. Sead Berberović, FER Zagreb - član

Izv. prof. dr. sc. Petar Sarajčev, FESB - Split - član

Doc. dr. sc. Ivica Jurić-Grgić - član

Disertacija obranjena dana: ____.____. ____.

iv

ELEKTROMAGNETSKI MODEL ZA IZRAČUN RASPODJELE

STRUJE ZEMLJOSPOJA

SAŽETAK

U ovom je doktorskom radu opisan izvorno razvijeni elektromagnetski model za izračun

raspodjele struje zemljospoja u elektroenergetskim postrojenjima, koji je utemeljen na

primjeni tehnike konačnih elemenata na integralnu formulaciju problema. Sastavnice

elektromagnetskog modela mogu se nalaziti u homogenom tlu ili pak u zraku. Gušenje i

fazno zakretanje elektromagnetskog vala približno se uzima u račun korištenjem prigušno-

faznog faktora. Razvijeni elektromagnetski model može uzeti u račun cjelovitu

elektromagnetsku spregu između sastavnica elektromagnetskog modela. Sve međusobno

elektromagnetski spregnute sastavnice elektromagnetskog modela tvore jedan konačni

element. Sastavnice elektromagnetskog modela su: uzemljivač razmatrane

transformatorske stanice, uzemljivači susjednih transformatorskih stanica, energetski

transformatori, metalni stupovi i uzemljivači stupova nadzemnih elektroenergetskih

vodova, zaštitna užad i fazni vodiči nadzemnih elektroenergetskih vodova, metalni ekrani i

fazni vodiči podzemnih energetskih kabela, uzemljivački vodiči položeni iznad podzemnih

kabelskih vodova i ostali vodljivi dijelovi. Na temelju poznatih struja zemljospoja u

susjednim transformatorskim stanicama, iz kojih se napaja transformatorska stanica

pogođena zemljospojem, u svakoj od susjednih transformatorskih stanica formira se jedan

ili više nadomjesnih trofaznih naponskih izvora. Na taj se način u račun uzimaju tokovi

snaga u elektroenergetskom sustavu. Pojedini dio elektroenergetskog sustava može se

nadomjestiti pomoću impedancije, koja tvori zasebni konačni element. Na temelju

razvijene teorijske podloge, razvijen je i računalni program EMFCD, koji je prvenstveno

namijenjen za izračun raspodjele struje zemljospoja. Međutim, ovaj računalni program

može poslužiti i za naprednu analizu strujnih i naponskih prilika na nadzemnim i

kabelskim elektroenergetskim vodovima.

KLJUČNE RIJEČI

Raspodjela struje zemljospoja, elektroenergetska postrojenja, elektromagnetski model,

elektromagnetska sprega, tehnika konačnih elemenata

v

AN ELECTROMAGNETIC MODEL FOR COMPUTATION OF

GROUND FAULT CURRENT DISTRIBUTION

SUMMARY

In this doctoral thesis, an electromagnetic model for computation of ground fault current

distribution in electric power substations is developed. Electromagnetic model is based on

applying the finite element technique to an integral equation formulation in the frequency

domain. Electromagnetic model components can be located in homogeneous soil or in air.

Attenuation and phase shift of electromagnetic wave is approximately taken into account

using attenuation - phase shift factor. The electromagnetic model can take into account

complete electromagnetic coupling between its components. All electromagnetically

coupled electromagnetic model components constitute a single finite element. The

electromagnetic model components are: grounding grid of observed substation; grounding

grids of adjacent substations; power transformers; metal towers and tower grounding grids

of overhead power lines; shield wires and phase conductors of overhead power lines; metal

screens and phase conductor of underground power cables; grounding wires laid over

underground power cable lines and other conductive parts. Using known ground fault

currents of adjacent substations, from which power substation hit by ground fault is

supplied, in each of the adjacent substations one or more equivalent three-phase voltage

sources are formed. In such a way the power flow in electric power system is taken into

account. A single part of electric power system can be modeled by equivalent impedance,

which constitutes a separate finite element. Based on developed theoretical background,

software package EMFCD is developed, which is primarily designed for computation of

ground fault current distribution. However, this software package can also be used for

advanced analysis of current and voltage conditions on overhead power lines and

underground power cables.

KEYWORDS

Ground fault current distribution, electric power substations, electromagnetic model,

electromagnetic coupling, finite element technique

vi

Najiskrenije zahvaljujem mentoru

prof. dr. sc. Slavku Vujeviću na

svestranoj podršci i pomoći tijekom

mojeg doktorskog studija, suradnji

na znanstvenim projektima i

podršci tijekom izrade ove

disertacije.

vii

SADRŽAJ

1. UVOD .................................................................................................................................... 1

2. SASTAVNICE ELEKTROMAGNETSKOG MODELA ZA IZRAČUN

RASPODJELE STRUJE ZEMLJOSPOJA ...................................................................... 4

3. JEDNADŽBE POTENCIJALA HARMONIJSKOG ELEKTROMAGNETSKOG MODELA ............................................................................................................................. 6

4. APROKSIMACIJA STRUJA I POTENCIJALA CILINDRIČNIH

SEGMENATA VODIČA ................................................................................................... 8

5. ZNAČAJKE DVOSLOJNOG MODELA SREDSTVA................................................. 11

6. APROKSIMACIJA RASPODJELE POTENCIJALA U DVOSLOJNOM

SREDSTVU ........................................................................................................................ 12

6.1. Skalarni električni potencijal cilindričnog segmenta vodiča................................. 12

6.1.1. Cilindrični segment vodiča u tlu..................................................................... 14

6.1.2. Cilindrični segment vodiča u zraku ............................................................... 16

6.2. Skalarni električni potencijal ekvipotencijalne metalne ploče.............................. 19

6.3. Vektorski magnetski potencijal cilindričnog segmenta vodiča ............................. 22

6.3.1. Cilindrični segment vodiča u tlu..................................................................... 24

6.3.2. Cilindrični segment vodiča u zraku ............................................................... 25

7. VLASTITE I MEĐUSOBNE IMPEDANCIJE SASTAVNICA

ELEKTROMAGNETSKOG MODELA ........................................................................ 27

7.1. Poprečne impedancije cilindričnih segmenata golih vodiča.................................. 27

7.1.1. Poprečne impedancije segmenata u neograničenom sredstvu..................... 28

7.1.2. Poprečne impedancije segmenata u dvoslojnom sredstvu ........................... 32

7.1.3. Poprečne impedancije segmenata snopa golih nadzemnih vodiča .............. 38

7.2. Uzdužne impedancije cilindričnih segmenata golih vodiča................................... 40

7.2.1. Uzdužne impedancije segmenata u neograničenom sredstvu...................... 40

7.2.2. Uzdužne impedancije segmenata u dvoslojnom sredstvu ............................ 47

7.2.3. Uzdužne impedancije segmenata snopa golih nadzemnih vodiča ............... 49

viii

7.3. Poprečne impedancije kružnih metalnih ploča ...................................................... 50

7.3.1. Poprečne impedancije ploča u neograničenom sredstvu.............................. 50

7.3.2. Poprečne impedancije ploča u dvoslojnom sredstvu .................................... 54

7.4. Međusobna poprečna impedancija metalne ploče i pravocrtnog segmenta vodiča.......................................................................................................................... 58

7.4.1. Međusobna impedancija metalne ploče i segmenta vodiča u

neograničenom sredstvu.................................................................................. 58

7.4.2. Međusobna impedancija metalne ploče i segmenta vodiča u homogenom

tlu....................................................................................................................... 59

7.5. Poprečne impedancije segmenata vodiča jednožilnih kabela ............................... 62

7.5.1. Vlastita poprečna impedancija segmenta vodiča jednožilnog kabela u

homogenom neograničenom sredstvu............................................................ 64

7.5.2. Međusobna poprečna impedancija segmenta vodiča jednožilnog kabela

u homogenom neograničenom sredstvu......................................................... 65

7.6. Uzdužne impedancije segmenata vodiča jednožilnih kabela................................. 66

7.6.1. Vlastita uzdužna impedancija segmenta vodiča jednožilnog kabela .......... 66

7.6.2. Međusobna uzdužna impedancija segmenta vodiča jednožilnog kabela.... 68

7.7. Poprečne i uzdužne impedancije segmenata vodiča trožilnih kabela................... 68

8. SUSTAVI JEDNADŽBI ELEKTROMAGNETSKOG MODELA ............................... 76

8.1. Lokalni sustav jednadžbi konduktivno i kapacitivno spregnutih sastavnica ...... 76

8.2. Lokalni sustav jednadžbi induktivno spregnutih sastavnica ................................ 77

8.3. Lokalni sustav jednadžbi dvonamotnog jednofaznog transformatora ................ 79

8.4. Lokalni sustav jednadžbi tronamotnog jednofaznog transformatora ................. 83

8.5. Lokalni sustav jednadžbi dvonamotnog trofaznog transformatora..................... 88

8.6. Lokalni sustav jednadžbi tronamotnog trofaznog transformatora ...................... 92

8.7. Lokalni sustav jednadžbi nadomjesne impedancije............................................... 96

8.8. Lokalni sustav jednadžbi trofaznog simetričnog naponskog izvora .................... 97

8.9. Lokalni sustav jednadžbi nadomjesnog trofaznog simetričnog trošila ................ 99

8.10. Nepotpuni i potpuni globalni sustav jednadžbi .................................................... 101

ix

9. IZRAČUN RASPODJELE STRUJE ZEMLJOSPOJA ............................................ 103

10. RAČUNALNI PROGRAM EMFCD.......................................................................... 107

10.1. Opis računalnog programa .................................................................................... 107

10.1.1. Učitavanje i ispis ulaznih podataka ........................................................... 108

10.1.2. Formiranje nepotpunih lokalnih sustava jednadžbi

elektromagnetski spregnutih sastavnica i njihovo asembliranje ............ 109

10.1.3. Formiranje nepotpunih lokalnih sustava jednadžbi ostalih sastavnica elektromagnetskog modela i njihovo asembliranje .............. 109

10.1.4. Zadavanje narinutih globalnih struja i referentnih (nultih)

potencijala globalnih čvorova .................................................................... 110

10.1.5. Rješavanje globalnog sustava jednadžbi................................................... 110

10.1.6. Izračun uzdužnih i poprečnih struja elektromagnetski

spregnutih sastavnica.................................................................................. 110

10.1.7. Izračun struja koje ulaze u čvorove ostalih sastavnica

elektromagnetskog modela ......................................................................... 111

10.1.8. Izračun potencijala u odabranim točkama na površini tla ..................... 111

10.1.9. Ispis izlaznih podataka................................................................................ 111

10.2. Područje primjene računalnog programa ............................................................ 112

11. PRIMJER IZRAČUNA ................................................................................................ 113

11.1. TS 110/35/10 (20) kV Drniš – 110 kV naponska razina ....................................... 113

11.2. TS 110/35/10 (20) kV Drniš – 35 kV naponska razina ......................................... 115

11.3. TS 110/35/10 (20) kV Drniš – 10 (20) kV naponska razina ................................. 115

11.4. Nadomjesne impedancije dugih nadzemnih vodova ............................................ 116

11.5. Elektromagnetski model - ulazni podaci............................................................... 118

11.6. Elektromagnetski model - izlazni rezultati ........................................................... 136

11.7. Usporedba rezultata izračuna ................................................................................ 143

12. ZAKLJUČAK ................................................................................................................. 151

LITERATURA ..................................................................................................................... 153

ŽIVOTOPIS

BIOGRAPHY

x

POPIS TABLICA

Tablica 7.1. Koordinate Gaussovih integracijskih točaka i pripadne težinske funkcije .......... 54

Tablica 8.1. Matrica veze lokalnih čvorova trofaznog transformatora spoja Yy0 i lokalnih

čvorova njemu pripadnih triju jednofaznih transformatora ............................... 90

Tablica 8.2. Matrica veze lokalnih čvorova trofaznog transformatora spoja Yd5 i lokalnih


Tablica 8.3. Matrica veze lokalnih čvorova trofaznog transformatora spoja Dy5 i lokalnih


Tablica 8.4. Matrica veze lokalnih čvorova trofaznog transformatora spoja Yy0d5 i

lokalnih čvorova njemu pripadnih triju jednofaznih transformatora ................. 93

Tablica 8.5. Matrica veze lokalnih čvorova trofaznog transformatora spoja Yd5y0 i


Tablica 8.6. Matrica veze lokalnih čvorova trofaznog transformatora spoja Yd5d5 i


Tablica 11.1. Nadomjesne impedancije dugih pasivnih nadzemnih elektroenergetskih

vodova ............................................................................................................... 117

Tablica 11.2. Osnovni ulazni podaci ..................................................................................... 120

Tablica 11.3. Ulazni podaci za nadomjesne uzemljivače transformatorskih stanica ........... 121

Tablica 11.4. Ulazni podaci za nadomjesne uzemljivače stupova 10 (20) kV nadzemnog

voda .................................................................................................................. 121

Tablica 11.5. Koordinate nadomjesnih uzemljivača dvosustavnih stupova 110 kV

nadzemnog voda počevši od TS 110/35/10 (20) kV Drniš ............................. 122

Tablica 11.6. Duljine raspona dvosustavnog dijela 110 kV nadzemnog voda počevši od TS

110/35/10 (20) kV Drniš ................................................................................. 122

Tablica 11.7. Koordinate nadomjesnih uzemljivača jednosustavnih stupova 110 kV

nadzemnog voda gledano od TS 110/35/10 (20) kV Drniš prema TS 110/35

kV Knin............................................................................................................ 123


nadzemnog voda gledano od TS 110/35/10 (20) kV Drniš prema TS

220/110/30 kV Bilice....................................................................................... 124

xi

Tablica 11.9. Duljine raspona jednosustavnog dijela 110 kV nadzemnog voda gledano od

TS 110/35/10 (20) kV Drniš prema TS 110/35 kV Knin.................................. 125

Tablica 11.10. Duljine raspona jednosustavnog dijela 110 kV nadzemnog voda gledano od

TS 110/35/10 (20) kV Drniš prema TS 220/110/30 kV Bilice........................ 126

Tablica 11.11. Koordinate segmenata bakrenih uzemljivačkih užadi................................... 127

Tablica 11.12. Osnovni ulazni podaci za 35 kV jednožilne kabele ....................................... 128

Tablica 11.13. Osnovni ulazni podaci za 10 (20) kV jednožilne kabele................................ 128

Tablica 11.14. Koordinate segmenata 35 kV jednožilnih kabela.......................................... 129

Tablica 11.15. Koordinate segmenata 10 (20) kV jednožilnih kabela - 1. dio...................... 130

Tablica 11.16. Koordinate segmenata 10 (20) kV jednožilnih kabela - 2. dio...................... 131

Tablica 11.17. Ulazni podaci za dvoslojne fazne vodiče Al/Fe 240/40 mm2......................... 132

Tablica 11.18. Ulazni podaci za dvoslojne OPGW vodiče AA/ACS 92/43 mm2 ................... 132

Tablica 11.19. Ulazni podaci za nadomjesne jednočvorne impedancije .............................. 133

Tablica 11.20. Parametri nadomjesnog trofaznog simetričnog naponskog izvora

priključenog na 110 kV sabirnice TS 220/110/30 kV Bilice i uzemljenog u

dalekoj točki nultog potencijala .................................................................... 135


priključenog na 110 kV sabirnice TS 220/110/30 kV Bilice i uzemljenog na

uzemljivač TS 220/110/30 kV Bilice .............................................................. 135


priključenog na 110 kV sabirnice TS 110/35 kV Knin i uzemljenog u

dalekoj točki nultog potencijala..................................................................... 135

Tablica 11.23. Osnovni izlazni podaci u ovisnosti o tom na kojoj se fazi dogodio

zemljospoj ...................................................................................................... 136

Tablica 11.24. Raspodjela struje zemljospoja po sastavnicama elektromagnetskog modela137

Tablica 11.25. Potencijali i struje uzemljivača transformatorskih stanica i 10 (20) kV

stupova........................................................................................................... 137

Tablica 11.26. Izlazni podaci za nadomjesni trofazni simetrični naponski izvor priključen

na 110 kV sabirnice TS 220/110/30 kV Bilice i uzemljen u dalekoj točki

nultog potencijala .......................................................................................... 142

xii


na 110 kV sabirnice TS 220/110/30 kV Bilice i uzemljen na uzemljivač TS

220/110/30 kV Bilice ..................................................................................... 142


na 110 kV sabirnice TS 110/35 kV Knin i uzemljen u dalekoj točki nultog

potencijala ..................................................................................................... 142

Tablica 11.29. Najvažniji izlazni podaci izračunati korištenjem triju računalnih programa144

Tablica 11.30. Usporedba raspodjela struje zemljospoja po sastavnicama izračunatih

korištenjem računalnih programa EMFCD i FCD....................................... 145

Tablica 11.31. Usporedba potencijala uzemljivača izračunatih korištenjem računalnih

programa EMFCD i FCD ............................................................................. 146

Tablica 11.32. Usporedba jakosti struja koje uzemljivači odvode u tlo izračunatih

korištenjem računalnih programa EMFCD i FCD ....................................... 147


korištenjem računalnih programa EMFCD i FCD-WC ............................... 148


programa EMFCD i FCD-WC...................................................................... 149


korištenjem računalnih programa EMFCD i FCD-WC................................ 150

xiii

POPIS SLIKA

Slika 4.1. Cilindrični ks-ti segment vodiča tankožičane aproksimacije koji se koristi u

matematičkom modelu............................................................................................... 8

Slika 4.2. Aproksimacija uzdužne i poprečne struje ks-tog segmenta vodiča .......................... 9

Slika 4.3. Uzdužne i poprečne struje ks-tog segmenta i pripadni lokalni čvorovi ................... 9

Slika 5.1. Dvoslojni model sredstva ....................................................................................... 11

Slika 6.1. Cilindrični segmenta vodiča u homogenom neograničenom sredstvu .................. 13

Slika 6.2. Cilindrični segmenta vodiča u homogenom tlu ..................................................... 14

Slika 6.3. Cilindrični segment vodiča i njegova kvazistatička slika koji doprinose

raspodjeli potencijala u tlu ..................................................................................... 15

Slika 6.4. Kvazistatička slika cilindričnog segmenta vodiča koji uzrokuju potencijal u

zraku........................................................................................................................ 16

Slika 6.5. Cilindrični segmenta vodiča u zraku ..................................................................... 17

Slika 6.6. Cilindrični segment vodiča i njegova kvazistatička slika koji doprinose

raspodjeli potencijala u zraku................................................................................. 18

Slika 6.7. Kvazistatička slika cilindričnog segmenta vodiča koji uzrokuju potencijal u tlu .... 18

Slika 6.8. Ekvipotencijalna kružna metalna ploča u homogenom neograničenom sredstvu.... 19

Slika 6.9. Kružna metalna ploča ukopana u homogeno tlo paralelno površini tla .................. 21

Slika 6.10. Kružna metalna ploča i njena kvazistatička slika koji doprinose raspodjeli

potencijala u zraku.................................................................................................. 21

Slika 6.11. Kvazistatička slika kružne metalne ploče koja uzrokuju potencijal u zraku .......... 22

Slika 6.12. Cilindrični segment vodiča, njegova uzdužna struja i njegov jedinični vektor

smjera...................................................................................................................... 23

Slika 6.13. Cilindrični segmenta vodiča u homogenom tlu ..................................................... 24

Slika 6.14. Izračun raspodjele vektorskog magnetskog potencijala u zraku uslijed uzdužne

struje ks-tog segmenta koji se nalazi u tlu .............................................................. 25

Slika 6.15. Cilindrični segmenta vodiča u zraku ..................................................................... 25

Slika 6.16. Izračun raspodjele vektorskog magnetskog potencijala u tlu uslijed uzdužne

struje ks-tog segmenta koji se nalazi u zraku.......................................................... 26

xiv

Slika 7.1. Cilindrični segmenta vodiča u homogenom neograničenom sredstvu .................. 28

Slika 7.2. Dva jednaka međusobno paralelna cilindrična segmenta vodiča u homogenom

neograničenom sredstvu ......................................................................................... 29

Slika 7.3. Dva međusobno paralelna cilindrična segmenta vodiča u homogenom

neograničenom sredstvu – opći slučaj paralelnosti................................................ 29

Slika 7.4. Dva neparalelna cilindrična segmenta vodiča u homogenom neograničenom

sredstvu .................................................................................................................... 31

Slika 7.5. Cilindrični segment vodiča u homogenom tlu dvoslojnog sredstva i njegova

refleksijska slika....................................................................................................... 33

Slika 7.6. Cilindrični segment vodiča u zraku dvoslojnog sredstva i njegova refleksijska

slika .......................................................................................................................... 34

Slika 7.7. Dva cilindrična segmenta vodiča u tlu dvoslojnog sredstva i refleksijska slika is-

tog segmenta ............................................................................................................ 35

Slika 7.8. Dva cilindrična segmenta vodiča u zraku dvoslojnog sredstva i refleksijska slika

is-tog segmenta ........................................................................................................ 36

Slika 7.9. Dva cilindrična segmenta vodiča u dvoslojnom sredstvu: ks-ti segment u tlu a is-

ti segment u zraka .................................................................................................... 37

Slika 7.10. Dva cilindrična segmenta vodiča u dvoslojnom sredstvu: ks-ti segment u zraku a

is-ti segment u tlu .................................................................................................... 38

Slika 7.11. Dva vodiča u snopu ................................................................................................. 38

Slika 7.12. Tri simetrično raspoređena vodiča u snopu............................................................ 38

Slika 7.13. Četiri simetrično raspoređena vodiča u snopu ....................................................... 39

Slika 7.14. Cilindrični segmenta vodiča i njegov jedinični vektor smjera u homogenom

neograničenom sredstvu .......................................................................................... 40

Slika 7.15. Poprečni presjek punog cilindričnog vodiča........................................................... 41

Slika 7.16. Poprečni presjek šupljeg cilindričnog vodiča ........................................................ 41

Slika 7.17. Poprečni presjek punog dvoslojnog cilindričnog vodiča ..................................... 41

Slika 7.18. Poprečni presjek šupljeg dvoslojnog cilindričnog vodiča.................................... 41

Slika 7.19. Poprečni presjek pravokutnog vodiča ................................................................... 42

xv



Slika 7.21. Dva različita međusobno paralelna cilindrična segmenta vodiča u homogenom


Slika 7.22. Dva neparalelna cilindrična segmenta vodiča u homogenom neograničenom

sredstvu................................................................................................................... 46

Slika 7.23. Dva cilindrična segmenta vodiča u tlu dvoslojnog sredstva ................................. 47

Slika 7.24. Dva cilindrična segmenta vodiča u zraku dvoslojnog sredstva ............................ 48

Slika 7.25. Dva cilindrična segmenta vodiča u dvoslojnom sredstvu: ks-ti segment u zraku

a is-ti segment u tlu ................................................................................................ 48

Slika 7.26. Dva cilindrična segmenta vodiča u dvoslojnom sredstvu: ks-ti segment u tlu a

is-ti segment u zraku .............................................................................................. 49

Slika 7.27. Ekvipotencijalna kružna metalna ploča u homogenom neograničenom sredstvu

kompleksne provodnosti κ ...................................................................................... 50

Slika 7.28. Dvije paralelne kružne metalne ploče u homogenom neograničenom sredstvu ..... 51

Slika 7.29. Podjela p-te ploče za potrebe 2D numeričko-analitičke integracije...................... 52

Slika 7.30. Horizontalna udaljenost integracijske točke p-te ploče od središta q-te ploče...... 53

Slika 7.31. Ekvipotencijalna kružna metalna ploča ukopana u tlo dvoslojnog sredstva.......... 54

Slika 7.32. Ekvipotencijalna kružna metalna ploča ukopana u tlo dvoslojnog sredstva i

njezina kvazistatička refleksijska slika ................................................................... 55

Slika 7.33. Kružne metalne ploče ukopane u homogenom tlu ................................................ 56

Slika 7.34. Odslikavanje q-te kružne metalne ploče ukopane u homogenom tlu.................... 57

Slika 7.35. Cilindrični segment vodiča i ekvipotencijalna kružna metalna ploča u

homogenom neograničenom sredstvu..................................................................... 58


homogenom tlu dvoslojnog sredstva...................................................................... 60

Slika 7.37. Cilindrični segment vodiča, ekvipotencijalna kružna metalna ploča i njena

refleksijska slika s obzirom na površinu tla........................................................... 60

Slika 7.38. Cilindrični segment vodiča u zraku i ekvipotencijalna kružna metalna ploča u

homogenom tlu dvoslojnog sredstva...................................................................... 61

xvi

Slika 7.39. Jednožilni kabel XHE 49 ...................................................................................... 62

Slika 7.40. Jednožilni kabel XHEh 91 ..................................................................................... 63

Slika 7.41. Poprečni presjek jednožilnog kabela u homogenom neograničenom

sredstvu kad je prvi sloj šuplji vodič .................................................................. 64


sredstvu kad je prvi sloj puni vodič .................................................................. 65


sredstvu kad je prvi sloj šuplji vodič .................................................................. 67


sredstvu kad je prvi sloj puni vodič .................................................................... 67

Slika 7.45. Trožilni kabel s vanjskim olovnim plaštem............................................................. 69

Slika 7.46. Trožilni kabel s jednim zajedničkim metalnim ekranom ........................................ 69

Slika 7.47. Trožilni kabel XHE49 s metalnim ekranima oko faznih vodiča i zajedničkom

metalnom armaturom.............................................................................................. 70

Slika 7.48. Trožilni kabel s vanjskim olovnim plaštem nadomješten faznim vodičem u

središtu kabela (oznake slojeva kao na Slici 7.45) ................................................. 71

Slika 7.49. Trožilni kabel s vanjskim olovnim plaštem nadomješten faznim vodičem u

središtu kabela čiji je polumjer jednak razmaku između središta dvaju faznih

vodiča (oznake slojeva kao na Slici 7.45) ............................................................... 72

Slika 7.50. Trožilni kabel s metalnim ekranom oko svakog faznog vodiča nadomješten

jednim faznim vodičem sa svojim ekranom u središtu kabela(oznake slojeva kao

na Slici 7.47) ........................................................................................................... 73

Slika 7.51. Trožilni kabel s metalnim ekranom oko svakog faznog vodiča nadomješten

faznim vodičem u središtu kabela čiji je polumjer jednak razmaku središta

dvaju faznih vodiča (oznake slojeva kao na Slici 7.47) ......................................... 73

Slika 7.52. Trožilni kabel s olovnim ekranom oko svakog faznog vodiča, zajedničkim

olovnim ekranom i armaturom koja se uzemljuje ................................................... 75

Slika 8.1. Namotaji dvonamotnog jednofaznog transformatora .............................................. 79

Slika 8.2. Nadomjesna shema dvonamotnog jednofaznog transformatora .............................. 80

Slika 8.3. Potencijali i struje lokalnih čvorova dvonamotnog jednofaznog transformatora.... 82

Slika 8.4. Namotaji tronamotnog jednofaznog transformatora................................................ 83

xvii

Slika 8.5. Nadomjesna shema tronamotnog jednofaznog transformatora ............................... 84

Slika 8.6. Potencijali i struje lokalnih čvorova tronamotnog jednofaznog transformatora..... 87

Slika 8.7. Spoj transformatora Yy0 i njegov nadomjesni element s lokalnim čvorovima......... 90

Slika 8.8. Spoj transformatora Yd5 i njegov nadomjesni element s lokalnim čvorovima ........ 90

Slika 8.9. Spoj transformatora Dy5 i njegov nadomjesni element s lokalnim čvorovima........ 91

Slika 8.10. Spoj transformatora Yy0d5 i njegov nadomjesni element s lokalnim čvorovima... 93

Slika 8.11. Spoj transformatora Yd5y0 i njegov nadomjesni element s lokalnim čvorovima... 94

Slika 8.12. Spoj transformatora Yd5d5 i njegov nadomjesni element s lokalnim čvorovima .. 95

Slika 8.13. Nadomjesna impedancija spojena između svoja dva lokalna čvora ...................... 96

Slika 8.14. Nadomjesna impedancija spojena između lokalnog čvora i daleke zemlje............ 97

Slika 8.15. Trofazni simetrični četveročvorni naponski izvor u elektromagnetskom modelu .. 97

Slika 8.16. Trofazni simetrični tročvorni naponski izvor u elektromagnetskom modelu ......... 98

Slika 8.17. Nadomjesno trofazno simetrično tročvorno trošilo................................................ 99

Slika 8.18. Nadomjesno trofazno simetrično četveročvorno trošilo....................................... 100

Slika 10.1. Dijagram toka računalnog programa EMFCD za izračun raspodjele struje

zemljospoja............................................................................................................ 107

Slika 11.1. Jednopolna shema DV 110 kV Bilice - Drniš - Knin............................................ 113

Slika 11.2. Trasa DV 110 kV Bilice - Drniš - Knin ............................................................... 114

Slika 11.3. Transformatorske stanice 35/10(20) kV napajane iz TS 110/35/10(20)kV

Drniš...................................................................................................................... 115

Slika 11.4. Načelni prikaz sastavnica elektromagnetskog modela TS 110/35/10(20)kV

Drniš za proračun raspodjele struje zemljospoja ................................................. 119

Slika 11.5. Prikaz međusobnog položaja jednožilnih kabela kabelske trojke u trolistu........ 119

Slika 11.6. Skica dvosustavnog i jednosustavnog stupa 110kV nadzemnog voda................ 133

Slika 11.7. Raspodjela efektivne vrijednosti potencijala duž zaštitnog užeta 110 kV

nadzemnog voda Drniš - Knin ............................................................................. 138

Slika 11.8. Raspodjela efektivne vrijednosti potencijala duž faznih vodiča 110 kV

nadzemnog voda Drniš - Knin............................................................................. 138

xviii

Slika 11.9. Raspodjela efektivne vrijednosti potencijala duž zaštitnog užeta 110 kV

nadzemnog voda Drniš - Bilice........................................................................... 139

Slika 11.10. Raspodjela efektivne vrijednosti potencijala duž faznih vodiča 110 kV

nadzemnog voda Drniš - Bilice........................................................................... 139

Slika 11.11. Raspodjela efektivne vrijednosti jakosti uzdužne struje duž faznih vodiča 110

kV nadzemnog voda Drniš - Knin....................................................................... 140

Slika 11.12. Raspodjela efektivne vrijednosti jakosti struje koju u tlo odvode uzemljivači

stupova 110 kV nadzemnog voda Drniš - Knin .................................................. 140

Slika 11.13. Raspodjela efektivne vrijednosti jakosti uzdužne struje duž faznih vodiča

110 kV nadzemnog voda Drniš - Bilice .............................................................. 141


stupova 110 kV nadzemnog voda Drniš - Bilice................................................. 141

xix

POPIS OZNAKA

a stranica pravokutnog vodiča duž koordinatne osi x (Giacolettov izraz za

jediničnu unutarnju impedanciju); polumjer kružne metalne ploče

pa polumjer p-te kružne metalne ploče ukopane u tlo

qa polumjer q-te kružne metalne ploče ukopane u tlo

aks komponenta jediničnog vektora ks-tog segmenta duž koordinatne osi x

A(a,r,z) izraz za izračun skalarnog električnog potencijala kružne metalne ploče

Ar

fazor vektorskog magnetskog potencijala

p

ic,isA koeficijenti matrice poprečne veze sastavnica – lokalni čvor

u

ic,isA koeficijenti matrice uzdužne veze sastavnica – lokalni čvor

[ ]pA matrica poprečne veze između sastavnica konačnog elementa i njihovih

lokalnih čvorova

[ ]uA matrica uzdužne veze između induktivno spregnutih sastavnica konačnog

elementa i njihovih lokalnih čvorova

[ ]TuA transponirana matrica uzdužne veze između induktivno spregnutih

sastavnica konačnog elementa i njihovih lokalnih čvorova

b stranica pravokutnog vodiča duž koordinatne osi y (Giacolettov izraz za

jediničnu unutarnju impedanciju)

ib veličina potrebna za formiranje matrice [ ]M kod numeričkog modela

točkastog izvora harmonijske struje u horizontalno složenom

višeslojnom sredstvu

bks komponenta jediničnog vektora ks-tog segmenta duž koordinatne osi y

Br

fazor vektora magnetske indukcije

iB&r

fazor vektora magnetske indukcije u i-tom sloju višeslojnog sredstva

xx

iziyix B,B,B x, y i z komponenta ukupnog vektora magnetske indukcije u i-tom sloju

višeslojnog sredstva, respektivno

ks

iz

ks

iy

ks

ix B,B,B x, y i z komponenta vektora magnetske indukcije od ks-tog segmenta,

respektivno

Bi efektivna vrijednost ukupne magnetske indukcije u i-tom sloju višeslojnog

sredstva

cks komponenta jediničnog vektora ks-tog segmenta duž koordinatne osi z

kC funkcija u izrazu za izračun međusobnih impedancija cilindričnih

segmenata vodiča u homogenom neograničenom sredstvu (k=1, 2,…,4)

ksC centar u osi ks-tog segmenta

isC centar u osi is-tog segmenta

pC centar (središte) p-te ploče s globalnim koordinatama

qC centar (središte) q-te ploče

d duljina između središta dva jednaka cilindrična paralelna segmenta vodiča u

homogenom i neograničenom sredstvu

duljina između središta bilo koja dva fazna vodiča u trožilnom kabelu

D razmak između paralelnih ravnina u kojima leže segmenti za primjer

izračuna međusobne poprečne impedancije dva neparalelna cilindrična

segmenta

e baza prirodnog logaritma

jkE element matrice [ ]E u j-tom retku i k-tom stupcu

Er

fazor vektora jakosti električnog polja

[ ]E matrica u sustavima jednadžbi za određivanje nepoznatih koeficijenata

15...,,2,1k,ikk

=βα &&

[ ]p

E pseudoinverzna matrica matrice [ ]E

f frekvencija izmjenične struje, Hz

f prigušno-fazni faktor općenito u aproksimaciji raspodjele potencijala

xxi

if element vektora desne strane sustava jednadžbi za određivanje nepoznatih

jezgra-funkcija

ksf prigušno-fazni faktor koji aproksimira prigušenje potencijala i zakretanje

njegove faze kod proračuna poprečnih impedancija segmenata golih vodiča

u homogenom neograničenom i dvoslojnom sredstvu

is,ksf prigušno-fazni faktor između ks-tog i is-tog segmenta u postupku proračuna

vlastitih i međusobnih (uzdužnih i poprečnih) impedancija segmenata u

homogenom neograničenom i dvoslojnom sredstvu

p,ksf prigušno-fazni faktor između ks-tog segmenta i p-te ploče u postupku

proračuna međusobne impedancije ploče i segmenta

q,pf prigušno-fazni faktor između p-te i q-te kružne metalne ploče u postupku

proračuna međusobne impedancije ploča

i

ksF (u,v) funkcija definirana u lokalnom koordinatnom sustavu segmenta, a

predstavlja analitičko rješenje integrala koji se pojavljuje u izrazima za

skalarni električni potencijal i vektorski magnetski potencijal. Uvedena je

kod proračuna električnog i magnetskog polja u homogenom

neograničenom i dvoslojnom sredstvu.

i

ksF funkcija pridružena slici segmenta, a predstavlja analitičko rješenje

integrala koji se pojavljuje u izrazima za skalarni električni potencijal i

vektorski magnetski potencijal. Uvedena je kod proračuna električnog i

magnetskog polja u homogenom neograničenom i dvoslojnom sredstvu.

g redni broj integracijske točke za Gaussovu numeričku integraciju

ig razlika između

if i dvostruke vrijednosti

iG

iG element vektora desne strane sustava jednadžbi za određivanje nepoznatih

jezgra-funkcija

Gg težinski faktor za g-tu integracijsku točku Gaussove numeričke integracije

ih debljina i-tog sloja n-slojnog modela

jH težinska funkcija Gaussove integracijske točke

Hr

fazor vektora jakosti magnetskog polja, redni broj sloja izolacije u

kabelu i redni broj integracije

is redni broj is-ti segment

r

is refleksijska slika is-tog segmenta

I fazor jakosti struje koju okrugla metalna ploča ispušta u okolno tlo

dvoslojnog sredstva ili homogeno neograničeno sredstvo

xxii

ksI jakost struje koja ulazi u ks-ti čvor skupa nepovezanih segmenata

uc

KksI uzdužna struja krajnjeg čvora Kks ks-tog segmenta

uc

PksI uzdužna struja početnog čvora Pks ks-tog segmenta

pc

KksI poprečna struja krajnjeg čvora Kks ks-tog segmenta

pc

PksI poprečna struja početnog čvora Pks ks-tog segmenta

c

KksI ukupna struja krajnjeg čvora Kks ks-tog segmenta

c

PksI ukupna struja početnog čvora Pks ks-tog segmenta

u

ksI uzdužna struja ks-tog segmenta

p

ksI poprečna struja ks-tog segmenta

ksnsI + jakost struje koja ulazi u (ns+ks)-ti čvor skupa nepovezanih

segmenata

p

isI jakost poprečne struje is-tog segmenta

p

ksI jakost poprečne struje ks-tog segmenta

pc

ksI jakost poprečne struje koja ulazi u početni čvor ks-tog segmenta

pc

ksnsI + jakost poprečne struje koja ulazi u krajnji čvor ks-tog segmenta

u

isI jakost uzdužne struje is-tog segmenta

u

ksI jakost uzdužne struje ks-tog segmenta

uc

ksI jakost uzdužne struje koja ulazi u početni čvor ks-tog segmenta

uc

ksnsI + jakost uzdužne struje koja ulazi u krajnji čvor ks-tog segmenta

GiI i-ta komponenta vektora GI&

f1I fazor struje višenaponske strane transformatora

f2I fazor struje srednjenaponske strane transformatora

f3I fazor struje niženaponske strane transformatora

f2I′ fazor struje srednjenaponske strane transformatora reduciran na

višenaponsku stranu

f3I′ fazor struje niženaponske strane transformatora reduciran na višenaponsku

stranu

dI vektor doprinosa zadanih strujnih izvora uslijed induktivne sprege faznih

vodiča i drugih sastavnica razmatranog konačnog elementa

xxiii

dgI globalni vektor doprinosa zadanih naponskih i strujnih izvora nepotpunog

globalnog sustava

ngI vektor struja narinutih u globalne čvorove

cI vektor struja koje ulaze u lokalne čvorove trofaznog simetričnog trošila

cI vektor struja lokalnih čvorova trofaznog dvonamotnog transformatora

vektor struja koje ulaze u lokalne čvorove trofaznog dvonamotnog ili

tronamotnog transformatora, vektor struja koje ulaze u lokalne čvorove

nadomjesne impedancije, vektor struja koje ulaze u lokalne čvorove

trofaznog simetričnog naponskog izvora, vektor struja koje ulaze u lokalne

čvorove trofaznog simetričnog trošila

fI vektor poznatih uzdužnih struja faznih vodiča kojima teku struje

zemljospoja

fcI vektor struja lokalnih čvorova transformatora

pI vektor poprečnih struja konduktivno i kapacitivno spregnute sastavnice

konačnog elementa

pcI vektor poprečnih struja lokalnih čvorova konačnog elementa kojeg tvore

konduktivno i kapacitivno spregnute sastavnice konačnog elementa

uI vektor uzdužnih struja induktivno spregnutih sastavnica konačnog elementa

ucI vektor uzdužnih struja lokalnih čvorova konačnog elementa kojeg tvore

međusobno induktivno spregnute sastavnice konačnog elementa j redni broj

imaginarna jedinica

10 J,J kompleksna Besselova funkcija prve vrste nultog, odnosno prvog reda

Jr

fazor vektora gustoće ukupne struje

sJ

r

fazor vektora gustoće ukupne struje vanjskih (nezavisnih) izvora

k redna abecedna oznaka

kf k-ti segment faznog vodiča jednožilnog kabela

ks oznaka, k-ti segment

r

ks refleksijska slika k-tog segmenta

0tk faktor kvazistatičke transmisije u zraku

1tk faktor kvazistatičke transmisije u sredstvu provodnosti 1κ

xxiv

0rk faktor kvazistatičke refleksije u zraku

1rk faktor kvazistatičke refleksije u sredstvu provodnosti 1κ

K krajnja točka segmenta vodiča

Kks krajnja točka ks-tog segmenta

l duljina cilindričnog segmenta vodiča

ksl duljina ks-tog cilindričnog segmenta gledana duž geometrijske osi

segmenta, duljina ks-tog segmenta faznog vodiča ili ekrana kabela

isl duljina is-tog cilindričnog segmenta gledana duž geometrijske osi

segmenta

kfl duljina k-tog cilindričnog segmenta faznog vodiča kabela

kel duljina k-tog cilindričnog segmenta ekrana kabela

m ukupni broj slojeva izolacije preko metalnog ekrana u jednožilnom kabelu

M oznaka za središte, središnju točku (npr. segmenta)

jksM srednja točka j-te slike ks-tog segmenta

[ ]M matrica u sustavu jednadžbi iz kojeg se određuju nepoznate

jezgra-funkcije

n ukupni broj slojeva izolacije iznad ekrana u jednožilnom kabelu

Ns ukupni broj segmenata

Nsi ukupni broj izoliranih segmenata

nN Neumannove funkcije prve vrste n-tog reda

p oznaka za p-tu ploču

rp oznaka za refleksijsku sliku p-te ploče

tp oznaka za transmisijsku sliku p-te ploče

12p prijenosni omjer dvonamotnog jednofaznog transformatora

2,1p prijenosni omjer između višenaponske i srednjenaponske strane

tronamotnog jednofaznog transformatora

3,1p prijenosni omjer između višenaponske i niženaponske strane tronamotnog

jednofaznog transformatora

P početna točka segmenta

xxv

Pks početna točka ks-tog segmenta

)(P d,ksl funkcija za izračun vlastite poprečne impedancije cilindričnog segmenta

vodiča u homogenom neograničenom sredstvu

q oznaka za q-tu ploču; oznaka za kvazistatički

r koordinatna os cilindričnog koordinatnog sustava; radijalna

koordinata točke u cilindričnom koordinatnom sustavu

jr koordinatna j-te Gaussove integracijske koordinatne točke u cilindričnom

koordinatnom sustavu

0r polumjer punog vodiča; polumjer segmenta vodiča

cr udaljenost između središta ukopanih metalnih ploča

e

ir unutarnji polumjer i-tog sloja oko metalnog ekrana jednožilnog kabela

e

1ir+

vanjski polumjer i-tog sloja oko metalnog ekrana jednožilnog kabela

f

ir unutarnji polumjer i-tog sloja između faznog vodiča i ekrana jednožilnog

kabela

jr lokalna koordinata j-te Gaussove integracijske točke u cilindričnom

koordinatnom sustavu ploče (r, z)

e

1nr + vanjski polumjer jednožilnog kabela

e

1r vanjski polumjer metalnog ekrana jednožilnog kabela

f

1r vanjski polumjer faznog vodiča jednožilnog kabela

f

1mr + unutarnji polumjer metalnog ekrana jednožilnog kabela

ks,isr međusobna udaljenost između točaka na osima segmenata

ur unutarnji polumjer cilindričnog vodiča

vr vanjski polumjer cilindričnog vodiča

R udaljenost između izvora i točke promatranja

RC udaljenost između središnjih točaka is-tog i ks-tog segmenta kod proračuna

prigušno-faznog faktora

RC-0 udaljenost duž spojnice središta ks-tog i is-tog segmenta kad se segmenti

nalaze u tlu i zraku (dio udaljenosti u zraku do spoja s tlom)

RC-1 udaljenost duž spojnice središta ks-tog i is-tog segmenta kad se segmenti

nalaze u zraku i tlu (dio udaljenosti u tlu do spoja sa zrakom)

α

gkR , β

gk

R udaljenost između g-te integracijske točke ks-tog segmenta i točke

promatranja, kod proračuna jakosti električnog polja

s skraćenica za segment, indeks za naziv

xxvi

fnS nazivna snaga jedne faze trofaznog dvonamotnog transformatora

(zamišljenog jednofaznog transformatora)

2,1fnS manja snaga od nazivnih snaga višenaponskog i srednjenaponskog namota

jednofaznog dvonamotnog transformatora

3,1fnS manja snaga od nazivnih snaga višenaponskog i niženaponskog namota


3,2fnS manja snaga od nazivnih snaga srednjenaponskog i niženaponskog namota


nS nazivna snaga trofaznog transformatora

,s is0

r

jedinični vektor tangencijalan na površinu is-tog segmenta

ks0sr

jedinični vektor tangencijalan na površinu ks-tog segmenta

t udaljenost od ordinate v lokalnog koordinatnog sustava do točke izvora;

vrijeme

T točka promatranja u lokalnom i globalnom koordinatnom sustavu

u apscisna os lokalnog koordinatnog sustava, lokalna koordinata Gaussove

integracijske točke lokalna koordinata točke promatranja T, nezavisna

varijabla

ks

gu lokalna koordinata Gaussove integracijske točke za ks-ti segment

ku postotni napon kratkog spoja transformatora

nU linijski nazivi napon opskrbnog namota transformatora

fn1U efektivna vrijednost nazivnog napona višenaponske strane transformatora

fn2U efektivna vrijednost nazivnog napona SN strane transformatora

fn3U efektivna vrijednost nazivnog napona niženaponske strane transformatora

f1U fazor napona višenaponske strane transformatora

f2U fazor napona srednjenaponske strane transformatora

f3U fazor napona niženaponske strane transformatora

f2U′ fazor napona srednjenaponske strane transformatora reduciran na


f3U′ fazor napona niženaponske strane transformatora reduciran na višenaponsku

stranu

n1U nazivni linijski napona višenaponskog namota trofaznog dvonamotnog

transformatora

n2U nazivni linijski napona niženaponskog namota trofaznog dvonamotnog

transformatora

xxvii

fn3U efektivna vrijednost nazivnog napona niženaponske strane transformatora

U vektor uzdužnih napona segmenata

nfU matrični zapis faznih napona transformatora

v ordinatna os lokalnog koordinatnog sustava

lokalna koordinata točke promatranja T

V partikularno rješenje homogene Helmholtzove diferencijalne jednadžbe u

cilindričnom koordinatnom sustavu uz 0r =

V volumen homogenog izotropnog neograničenog sredstva u rješenju

jednadžbe skalarnog električnog potencijala

kj w,w j-ti, odnosno, k-ti nepromjenjivi parametar, 25...,,2,1k,j = kod numeričkog

proračuna raspodjele potencijala točkastog izvora harmonijske struje u


W partikularno rješenje homogene Helmholtzove diferencijalne jednadžbe u

cilindričnom koordinatnom sustavu uz 0r =

jW funkcija analitičke integracije kod izračuna međusobne impedancije kružnih

metalnih ploča u homogenom neograničenom sredstvu

x koordinatna os pravokutnog koordinatnog sustava; globalna koordinata

točke; globalna koordinata točke promatranja T

xm globalna koordinata srednje točke M općenitog segmenta

ks

gx globalna koordinata Gaussove integracijske točke za ks-ti segment

ks

Kx globalna koordinata krajnje točke ks-tog segmenta, odnosno krajnje točke

slike ks-tog segmenta Kks

ks

Mx globalna koordinata srednje točke ks-tog segmenta, odnosno srednje točke

slike ks-tog segmenta Mks

ks

Px globalna koordinata početne točke ks-tog segmenta, odnosno početne točke

slike ks-tog segmenta Pks

y koordinatna os pravokutnog koordinatnog sustava; globalna koordinata

točke; globalna koordinata točke promatranja T

ym globalna koordinata srednje točke M općenitog segmenta

ks

gy globalna koordinata Gaussove integracijske točke za ks-ti segment

ks

Ky globalna koordinata krajnje točke ks-tog segmenta, odnosno krajnje točke


ks

My globalna koordinata srednje točke ks-tog segmenta, odnosno srednje točke


xxviii

ks

Py globalna koordinata početne točke ks-tog segmenta, odnosno početne točke


[ ]GY matrica admitancija globalnog sustava

[ ]pY matrica vlastitih i međusobnih poprečnih admitancija lokalnih čvorova

međusobno konduktivno i kapacitivno spregnutih sastavnica konačnog

elementa

[ ]uY matrica vlastitih i međusobnih uzdužnih admitancija lokalnih čvorova

međusobno induktivno spregnutih sastavnica konačnog elementa

z koordinatna os pravokutnog koordinatnog sustava

globalna koordinata točke

globalna koordinata točke promatranja T

koordinatna os cilindričnog koordinatnog sustava

aksijalna koordinata točke u cilindričnom koordinatnom sustavu

cz vertikalna udaljenost između središta dviju paralelnih ploča u homogenom

neograničenom sredstvu

jz lokalna koordinata j-te Gaussove integracijske točke u cilindričnom

koordinatnom sustavu ploče (r,z)

pz koordinatna os p-te ploče pravokutnog koordinatnog sustava za slučaj

ukopanih ploča u homogenom neograničenom sredstvu

qz koordinatna os q-te ploče pravokutnog koordinatnog sustava za slučaj

ukopanih ploča u homogenom neograničenom sredstvu

ks

gz globalna koordinata g-te Gaussove integracijske točke za ks-ti segment

ks

Kz globalna koordinata krajnje točke ks-tog segmenta, odnosno krajnje točke


is

Mz globalna koordinata srednje točke is-tog segmenta

ks

Mz globalna koordinata srednje točke ks-tog segmenta, odnosno srednje točke


ks

M jz globalna koordinata srednje točke j-te slike ks-tog segmenta

jksM

ks

Pz globalna koordinata početne točke ks-tog segmenta, odnosno početne točke


1

ksZ jedinična unutarnja impedancija ks-tog segmenta

p

ks,ksZ vlastita poprečna impedancija ks-tog segmenta u homogenom i


xxix

p

ks,isZ međusobna poprečna impedancija između is-tog i ks-tog segmenta u


p

ks,ks

qZ kvazistatička vlastita poprečna impedancija ks-tog segmenta u homogenom

i neograničenom sredstvu

p

ks,is

qZ kvazistatička međusobna poprečna impedancija između is-tog i ks-tog

segmenta u homogenom i neograničenom sredstvu

u

ks,ksZ vlastita uzdužna impedancija ks-tog segmenta u homogenom i


u

ks,isZ međusobna uzdužna impedancija između is-tog i ks-tog segmenta u


p

j,ks ks

Z međusobna poprečna impedancija između ks-tog segmenta i j-te slike ks-tog

segmenta

p

j,ks

q

ks

Z međusobna kvazistatička impedancija između ks-tog segmenta i njegove

j-te slike

p

is,ksZ međusobna poprečna impedancija između ks-tog segmenta (koji se nalazi u

zraku ili tlu dvoslojnog sredstva) i is-tog segmenta (koji se nalazi u zraku

ili tlu dvoslojnog sredstva)

p

is,ks

qntZ međusobna kvazistatička poprečna impedancija ks-tog segmenta i

transmisijske slike is-tog segmenta u homogenom neograničenom sredstvu

p

is,ks

qnZ međusobna kvazistatička poprečna impedancija ks-tog i is-tog segmenta u

homogenom neograničenom sredstvu

p

is,ks

nZ međusobna poprečna impedancija ks-tog i is-tog segmenta u homogenom


p

ks,ks

nZ vlastita poprečna impedancija ks-tog cilindričnog segmenta u homogenom


p

ks,ks

qnZ vlastita kvazistatička poprečna impedancija ks-tog cilindričnog segmenta u

homogenom neograničenom sredstvu kompleksne provodnosti zraka 0κ

p

ks,ks

qnr

Z međusobna kvazistatička poprečna impedancija ks-tog cilindričnog

segmenta i njegove refleksijske slike u homogenom neograničenom

sredstvu kompleksne provodnosti tla 1κ

1

ksZ unutarnja impedancija po jedinici duljine segmenta u homogenom

neograničenom sredstvu (puni, pravokutni ili cilindrični vodič)

u

ks,ksZ vlastita uzdužna impedancija ks-tog segmenta koji se nalazi u tlu ili zraku

dvoslojnog sredstva

xxx

u

is,ksZ međusobna uzdužna impedancija ks-tog i is-tog cilindričnog segmenta u

dvoslojnom sredstvu

u

ks,ks

nZ vlastita uzdužna impedancija ks-tog cilindričnog segmenta u homogenom


u

is,ks

nZ međusobna uzdužna impedancija ks-tog i is-tog cilindričnog segmenta u


u

is,ks

qnZ kvazistatička međusobna uzdužna impedancija ks-tog i is-tog cilindričnog

segmenta u homogenom neograničenom sredstvu

mZ poprečna impedancija transformatora

p

p,p

nZ vlastita poprečna impedancija p-te ekvipotencijalne kružne metalne ploče u


p

p,p

qnZ kvazistatička vlastita poprečna impedancija p-te ekvipotencijalne kružne

metalne ploče u homogenom neograničenom sredstvu

p

q,p

nZ međusobna poprečna impedancija p-te i q-te ekvipotencijalne kružne

metalne ploče u homogenom neograničenom sredstvu

p

q,p

qnZ kvazistatička međusobna poprečna impedancija p-te i q-te ekvipotencijalne

kružne metalne ploče u homogenom neograničenom sredstvu

p

p,p

qn

rZ kvazistatička međusobna poprečna impedancija p-te ekvipotencijalne

kružne metalne ploče i njene refleksijske slike u homogenom


p

q,p

qn

rZ kvazistatička međusobna poprečna impedancija p-te ekvipotencijalne

kružne metalne ploče i refleksijske slike q-te metalne ploče u homogenom


p

p,ksZ međusobna poprečna impedancija p-te ekvipotencijalne kružne metalne

ploče i ks-tog cilindričnog segmenta vodiča u homogenom tlu dvoslojnog

sredstva

p

p,ks

nZ međusobna poprečna impedancija p-te ekvipotencijalne kružne metalne

ploče i ks-tog cilindričnog segmenta vodiča u homogenom neograničenom

sredstvu

u

kf,kf

nZ vlastita uzdužna impedancija k-tog segmenta faznog vodiča jednožilnog

kabela u homogenom neograničenom sredstvu

p

kf,kf

nZ vlastita poprečna impedancija k-tog segmenta faznog vodiča jednožilnog


u

ke,ke

nZ vlastita uzdužna impedancija k-tog segmenta metalnog ekrana jednožilnog


xxxi

e1

keZ jedinična unutarnja impedancija segmenta ekrana jednožilnog kabela u


p

ke,ke

nZ vlastita poprečna impedancija k-tog segmenta metalnog ekrana jednožilnog


u

kf,kf

qnZ kvazistatička vlastita uzdužna impedancija k-tog segmenta faznog vodiča

jednožilnog kabela u homogenom neograničenom sredstvu

p

kf,kf

qnZ kvazistatička vlastita poprečna impedancija k-tog segmenta faznog vodiča


u

ks,kf

qnZ kvazistatička međusobna uzdužna impedancija k-tog segmenta faznog

vodiča i ks-tog segmenta ekrana jednožilnog kabela u homogenom


u

ke,ke

qnZ kvazistatička vlastita uzdužna impedancija k-tog segmenta metalnog ekrana


p

p,ks

qnZ kvazistatička međusobna poprečna impedancija ks-tog cilindričnog

segmenta vodiča i p-te ekvipotencijalne kružne metalne ploče i u homogenom


p

p,ks

qnr

Z kvazistatička međusobna poprečna impedancija ks-tog cilindričnog

segmenta vodiča i refleksijske slike p-te ekvipotencijalne kružne metalne

ploče i u homogenom neograničenom sredstvu

pks,ks

qnZ vlastita kvazistatička poprečna impedancija ks-tog cilindričnog segmenta

vodiča u homogenom neograničenom sredstvu

p

ks,ks

qnr


segmenta vodiča i njegove refleksijske slike u homogenom


p

is,ks

qnt


segmenta vodiča i njegove transmisijske slike u homogenom


1Z impedancija višenaponskog namota transformatora

'

2Z impedancija srednjenaponskog namota transformatora reducirana na


'

3Z impedancija niženaponskog namota transformatora reducirana na


12Z impedancija kratkog spoja transformatora reducirana na višenaponsku

stranu

xxxii

[ ]pZ matrica vlastitih i međusobnih poprečnih impedancija konduktivno i

kapacitivno spregnutih sastavnica konačnog elementa

[ ]VpZ matrica poprečnih impedancija segmenata vodiča uzemljivača u slučaju

višeslojnog sredstva

[ ]fsZ matrica međusobnih uzdužnih impedancija između faznih vodiča i drugih

induktivno spregnutih sastavnica razmatranog konačnog elementa

[ ]uZ matrica vlastitih i međusobnih uzdužnih impedancija induktivno spregnutih

sastavnica konačnog elementa

[ ]VuZ matrica uzdužnih impedancija segmenata vodiča uzemljivača u slučaju


kα nepoznati k-ti koeficijent kod numeričkog proračuna raspodjele potencijala

točkastog izvora harmonijske struje u višeslojnom sredstvu

ks

kα nepoznati k-ti koeficijent za ks-ti segment

ks

k

is

kgg

, αα nepoznati k-ti koeficijent za g-tu Gaussovu integracijsku točku za is-ti,

odnosno ks-ti segment

α vektor nepoznatih koeficijenata 15...,,2,1k,k

=α kod numeričkog



kβ nepoznati k-ti koeficijent kod numeričkog proračuna raspodjele potencijala


ks

kβ nepoznati k-ti koeficijent za ks-ti segment

ks

k

is

kgg

, ββ nepoznati k-ti koeficijent za g-tu Gaussovu integracijsku točku za is-ti,

odnosno ks-ti segment

β vektor nepoznatih koeficijenata 15...,,2,1k,k

=β kod numeričkog



γ valna konstanta sredstva

0γ valna konstanta zraka u dvoslojnom sredstvu

1γ valna konstanta tla u dvoslojnom sredstvu

ksis ,ΓΓ krivulja integracije koja se nalazi u osi is-tog odnosno ks-tog segmenta,

'

ks

'

is ,ΓΓ krivulja integracije koja se nalazi na površini is-tog odnosno ks-tog

segmenta

δ Diracova delta-funkcija

Δ Laplaceov diferencijalni operator

xxxiii

∇ Hamiltonov operator

ε permitivnost sredstva

0ε permitivnost vakuuma

rε relativna permitivnost sredstva

riε relativna permitivnost i-tog sloja horizontalno složenog modela višeslojnog

sredstva

η udaljenost promatrane točke na osi segmenta od ishodišta u paralelnoj

ravnini

pη početna točka ks-tog promatranog cilindričnog segmenta u paralelnoj

ravnini za slučaj izračuna međusobnih impedancija dva neparalelna

cilindrična segmenta

kη konačna točka ks-tog promatranog cilindričnog segmenta u paralelnoj



ϑ promjenjivi parametar kod numeričkog proračuna raspodjele potencijala


ksϑ promjenjivi parametar za ks-ti segment

ks

gϑ promjenjivi parametar za g-tu Gaussovu integracijsku točku za ks-ti

segment

iΘ nepoznata jezgra-funkcija i-tog sloja kod numeričkog proračuna raspodjele

potencijala točkastog izvora harmonijske struje u višeslojnom sredstvu

Θ vektor izračunatih vrijednosti jezgra-funkcije i

Θ u 25 uzorkovanih točaka

kod numeričkog proračuna raspodjele potencijala točkastog izvora harmonijske

struje u višeslojnom sredstvu

κ kompleksna provodnost sredstva

0κ kompleksna provodnost zraka

1κ kompleksna provodnost tla u dvoslojnom sredstvu

λ varijabla integracije u izrazu za opće rješenje Helmholtzove diferencijalne

jednadžbe

jλ recipročna vrijednost veličine ju

µ permeabilnost sredstva

0µ permeabilnost vakuuma

rvµ relativna permeabilnost vodiča (segmenta)

vµ permeabilnost vodiča (segmenta)

xxxiv

iν veličina potrebna za formiranje sustava jednadžbi iz kojeg se određuju

nepoznate jezgra-funkcije kod numeričkog proračuna raspodjele potencijala


π Ludolfov broj

ρ specifični električni otpor tla

iρ specifični električni otpor i-tog sloja horizontalno složenog modela


σ specifična električna vodljivost sredstva

iσ specifična električna vodljivost i-tog sloja

vσ specifična električna vodljivost vodiča (segmenta)

ϕ fazor skalarnog električnog potencijala; skalarni električni potencijal točke

promatranja u homogenom i neograničenom sredstvu prouzročen

točkastim izvorom harmonijske struje; opće rješenje Helmholtzove

diferencijalne jednadžbe

hϕ homogeno rješenje Helmholtzove diferencijalne jednadžbe

iϕ funkcija raspodjele potencijala za i-ti sloj horizontalno složenog modela


ks

iϕ doprinos ks-tog segmenta potencijalu razmatranog i-tog sloja horizontalno

složenog modela višeslojnog sredstva

pϕ partikularno rješenje Helmholtzove diferencijalne jednadžbe

φ koordinatna os cilindričnog koordinatnog sustava

Φ linearna aproksimacija raspodjele potencijala ϕ po površini segmenta

iΦ nepoznata jezgra-funkcija i-tog sloja horizontalno složenog modela

višeslojnog sredstva kod numeričkog proračuna raspodjele potencijala

točkastog izvora harmonijske struje

ksΦ potencijal ks-tog lokalnog čvora

isNs+Φ potencijal (Ns+ks)-tog lokalnog čvora

Φ vektor potencijala lokalnih čvorova konačnog elementa kojeg tvore sve

međusobno konduktivno i kapacitivno spregnute sastavnice

elektromagnetskog modela

fΦ vektor potencijala lokalnih čvorova transformatora

gΦ vektor potencijala globalnih čvorova cjelokupnog sustava

χ promjenjivi parametar kod numeričkog proračuna raspodjele potencijala


xxxv

ksχ promjenjivi parametar za ks-ti segment

ks

gχ promjenjivi parametar za g-tu Gaussovu integracijsku točku za ks-ti

segment

iΧ nepoznata jezgra-funkcija i-tog sloja horizontalno složenog modela

višeslojnog sredstva kod numeričkog proračuna raspodjele potencijala

točkastog izvora harmonijske struje

Θ vektor izračunatih vrijednosti jezgra-funkcije i

Χ u 25 uzorkovanih točaka

kod numeričkog proračuna raspodjele potencijala točkastog izvora

harmonijske struje u višeslojnom sredstvu

iΨ dio općeg rješenja Helmholtzove diferencijalne jednadžbe; nepoznata

jezgra-funkcija i-tog sloja horizontalno složenog modela višeslojnog

sredstva kod numeričkog proračuna raspodjele potencijala točkastog izvora

harmonijske struje

iΨ jezgra-funkcija pridružena i-tom sloju višeslojnog modela

ω kružna frekvencija

pξ početna točka is-tog promatranog cilindričnog segmenta u paralelnoj ravnini

za slučaj izračuna međusobnih impedancija dva neparalelna cilindrična

segmenta

kξ konačna točka is-tog promatranog cilindričnog segmenta u paralelnoj



1

1. UVOD

U slučaju zemljospoja u elektroenergetskim postrojenjima ili u njihovoj blizini, potrebno je

izračunati raspodjelu struje zemljospoja po svim pasivnim metalnim dijelovima koji su

povezani na uzemljivač tog postrojenja. Na taj način procjenjuje se struja koju uzemljivač

postrojenja odvodi u tlo tijekom zemljospoja, a koja je mjerodavna za dimenzioniranje

uzemljivača.

Za točniji izračun raspodjele struje zemljospoja potrebno je uzeti u račun mnoštvo

utjecajnih čimbenika jer u raspodjeli struje zemljospoja sudjeluju: uzemljivač razmatrane

transformatorske stanice, uzemljivači susjednih transformatorskih stanica, transformatori,

metalni stupovi i uzemljivači stupova nadzemnih elektroenergetskih vodova, zaštitna užad

nadzemnih elektroenergetskih vodova, ekrani elektroenergetskih kabela, goli vodiči položeni

iznad kabelskih vodova i ostali vodljivi dijelovi. S obzirom na složenost problema, nije

prikladno računati raspodjelu struje zemljospoja korištenjem programskih paketa

namijenjenih za numeričko modeliranje sustava mrežastih uzemljivača [1]. Međutim, mnogi

su autori pribjegli drastičnom pojednostavljenju ovog problema zanemarujući vrlo važne

utjecajne čimbenike. Analitički izrazi za izračun raspodjele struje zemljospoja duž nadzemnog

voda dani su u radovima [2-5], a analitički izrazi za izračun raspodjele struje zemljospoja duž

kabelskog voda dani su u radu [6]. Nešto naprednije metode za izračun raspodjele struje

zemljospoja problem svode na rješavanje električnih mreža [7-15]. U radu [2] u potpunosti je

zanemarena elektromagnetska sprega između vodljivih dijelova koji sudjeluju u raspodjeli

struje zemljospoja. Metode razvijene u radovima [3-5] i [8-15] uzimaju u račun samo

induktivnu spregu između faznih vodiča i zaštitne užadi za pojedini raspon nadzemnog voda.

U radovima [6-7] induktivno su spregnuti fazni vodiči i ekrani pojedinog kabelskog voda.

Međutim, nijedna od ovih metoda ne uzima u račun konduktivnu spregu između uzemljivača

transformatorskih stanica, uzemljivača stupova nadzemnih vodova i svih ostalih vodljivih

dijelova koji su u izravnom kontaktu s tlom. Kapacitivna sprega je, također, u potpunosti

zanemarena.

U normi IEEE Std. 80-2000 [16], preporuča se da se raspodjela struje zemljospoja vrlo

grubo procijeni korištenjem grafova prikazanih u radu [17], a ti grafovi su dobiveni

numeričkim izračunom po metodi razvijenoj u radu [10].

U normativnom dokumentu HRN HD 637 S1 [18], na koji ukazuje Pravilnik o tehničkim

zahtjevima za elektroenergetska postrojenja nazivnih izmjeničnih napona iznad 1 kV (NN

105/10.), raspodjela struje zemljospoja računa se približno korištenjem jednostavnih

analitičkih izraza, koji daju vrlo grubu procjenu struje koju odvodi uzemljivač

elektroenergetskog postrojenja. Isto vrijedi i za direktivu ITU-T 270-9 [19]. Normativni

2

dokument HRN HD 637 S1 još je uvijek na snazi u Republici Hrvatskoj, ali su 2012. godine

objavljene i dvije norme HRN EN 61936-1 i HRN EN 50522 koje su zamjena za HRN HD

637 S1.

U širom svijeta korištenom programskom paketu CDEGS [20], raspodjela struje

zemljospoja računa se pomoću modula SPLITS [21-22]. Teorijska podloga programskog

modula SPLITS nastala je nadogradnjom metode razvijene u radu [9] tako što je omogućeno

da budu uzeti u račun svi fazni vodiči i pasivni vodiči (zaštitna užad i/ili ekrani kabela)

pojedine dionice elektroenergetskog voda te da ti vodiči budu međusobno kapacitivno i

induktivno spregnuti. Međutim, ni u programskom modulu SPLITS ne uzima se u račun vrlo

važna konduktivna sprega između uzemljivača transformatorskih stanica, uzemljivača stupova

nadzemnih vodova i svih ostalih vodljivih dijelova koji su u izravnom kontaktu s tlom.

U radu [23], razvijena je metoda kod koje se uzima u račun konduktivna sprega između

uzemljivača transformatorske stanice i uzemljivača stupova nadzemnih vodova tako što se ti

uzemljivači nadomještaju kružnim metalnim pločama na površini homogenog tla. Kod ove

metode koriste se redukcijski faktori nadzemnih vodova te se na taj način približno uzima u

račun i induktivna sprega između faznih vodiča i zaštitnog užeta za pojedini raspon

nadzemnog voda, uz pretpostavku da su vodovi homogeni, tj. da su svi rasponi nadzemnih

vodova iste duljine te da su otpori svih uzemljivača stupova nadzemnih vodova međusobno

jednaki. Kod ove metode trostruka nulta struja po fazi nadzemnog voda jest ulazni podatak

dobiven proračunom kratkog spoja [24].

U radu [25], razvijen je numerički model za izračun raspodjele struje zemljospoja kod

kojeg se uzemljivači transformatorskih stanica i uzemljivači stupova nadzemnih vodova

predstavljaju svojim impedancijama. U račun je uzeta i induktivna sprega između faznih

vodiča i zaštitnih užadi pojedinog raspona nadzemnog voda. Osim toga, moguće je uzeti u

račun i induktivnu spregu faznih vodiča i zaštitnih užadi dionica paralelno vođenih nadzemnih

vodova. Induktivna se sprega računa korištenjem Carsonovih formula [26-27]. I kod ove

metode trostruka nulta struja po fazi nadzemnog voda jest ulazni podatak dobiven

proračunom kratkog spoja kao i u radu [24].

Nedvojbeno postoji potreba za točnijim modeliranjem raspodjele struje zemljospoja jer svi

dosad razvijeni analitički i numerički modeli nisu uzeli u račun sve utjecajne čimbenike na

zadovoljavajući način. Svi dosad razvijeni modeli nisu uzeli u račun cjelovitu

elektromagnetsku spregu između vodiča koji sudjeluju u raspodjeli struje zemljospoja. Pod

cjelovitom elektromagnetskom spregom podrazumijeva se konduktivna, kapacitivna i

induktivna sprega. Osim toga, u nekim slučajevima potrebno je uzeti u račun i impedancije i

vrstu spoja transformatora koji utječu na raspodjelu struje zemljospoja.

3

Ako se primijeni tehnika konačnih elemenata, moguće je razviti numerički model koji će

udovoljiti svim prethodno postavljenim zahtjevima. Budući da će takav model uzimati u

račun cjelovitu elektromagnetsku spregu između vodiča, takav se numerički model može

nazvati elektromagnetskim modelom za izračun raspodjele struje zemljospoja.

Za razvoj elektromagnetskog modela za izračun raspodjele struje zemljospoja, utemeljenog

na primjeni tehnike konačnih elemenata, prvo važno polazište jest numerički model razvijen u

radu [25], koji je zasnovan na metodi potencijala čvorova. Drugo važno polazište su mnoge

teorijske i numeričke spoznaje stečene tijekom izrade doktorske disertacije [28], koja je

izrađena pod mentorstvom mentora ove disertacije. Treće i najvažnije polazište jest hibridni

model za izračun raspodjele struje zemljospoja opisan u radu [29], koji je zasnovan na

primjeni tehnike konačnih elemenata, a može se opisati kao kombinacija elektromagnetskog

modela i modela prijenosnog voda.

4

2. SASTAVNICE ELEKTROMAGNETSKOG MODELA ZA

IZRAČUN RASPODJELE STRUJE ZEMLJOSPOJA

Sastavnice elektromagnetskog modela za izračun raspodjele struje zemljospoja mogu biti:

• Uzemljivač središnje transformatorske stanice u kojoj se dogodio zemljospoj ili u čijoj

se blizini dogodio zemljospoj,

• Uzemljivači susjednih transformatorskih stanica,

• Uzemljivači stupova nadzemnih vodova,

• Segmenti zaštitnih užadi nadzemnih vodova,

• Segmenti faznih vodiča nadzemnih vodova,

• Segmenti metalnih ekrana energetskih kabela,

• Segmenti faznih vodiča energetskih kabela,

• Segmenti vanjskih metalnih plašteva i armatura energetskih kabela,

• Segmenti golih vodiča ukopanih iznad kabelskih vodova (uzemljivačke užadi),

• Segmenti golih vodiča ukopanih između uzemljivača stupova nadzemnih vodova,

• Stupovi nadzemnih vodova,

• Transformatori,

• Naponski izvori,

• Strujni izvori,

• Nadomjesne impedancije povezane na uzemljivače transformatorskih stanica,

• Induktivno spregnuti fazni vodiči nadzemnih vodova sa zadanim strujama,

• Induktivno spregnuti fazni vodiči kabelskih vodova sa zadanim strujama.

Praktično je u elektromagnetskom modelu uzeti u obzir samo one fazne vodiče koji

napajaju mjesto zemljospoja. Sastavnice koje su međusobno kapacitivno i konduktivno

spregute tvore zasebni konačni element. Slično, sastavnice koje su međusobno induktivno

spregnute, također, tvore zasebni konačni element.

Osnovne značajke elektromagnetskog modela razvijenog u ovoj disertaciji su:

• Uzemljivači transformatorskih stanica i stupova dalekovoda mogu se nadomjestiti

ekvipotencijalnim metalnim pločama na površini homogenog tla,

5

• Pojedini uzemljivač može se, po potrebi, modelirati detaljno, tj. kao skup vodiča

ukopanih u tlo,

• Svi ili samo izabrani vodljivi dijelovi u tlu i zraku mogu biti međusobno

elektromagnetski spregnuti,

• Moguće je za pojedine dijelove sustava isključiti neku od sastavnica cjelovite

elektromagnetske sprege,

• Fazni vodiči nadzemnih i kabelskih vodova uključeni su u elektromagnetski model,

• Dio sustava moguće je nadomjestiti impedancijom utvrđenom mjerenjem ili pak

posebnim proračunom,

• U elektromagnetski model mogu se uključiti i transformatori, uz uvažavanje vrste

spoja transformatora,

• U račun se mogu uzeti struje jednopolnog kratkog spoja izračunate u literaturi [24], a

na temelju njih se mreža povezana na pojedinu razmatranu transformatorsku stanicu

može nadomjestiti trofaznim simetričnim naponskim izvorima,

• Svi vodovi koji nisu izravno uzeti u račun, a istog su naponskog nivoa kao i

razmatrani vod i spojeni su na iste sabirnice, na temelju struje jednopolnog kratkog

spoja izračunate u literaturi [24], mogu se nadomjestiti trofaznim simetričnim

naponskim izvorom uzemljenim u dalekoj točki,

• Svi vodovi koji nisu izravno uzeti u račun, a nisu istog naponskog nivoa kao i

razmatrani vod te su spojeni na sabirnice razmatranog voda preko transformatora

kojem je uzemljena neutralna točka, na temelju struje jednopolnog kratkog spoja

izračunate u literaturi [24], nadomještaju se trofaznim simetričnim naponskim izvorom

uzemljenim u razmatranoj transformatorskoj stanici,

• Uzima se da elektromotorne sile nadomjesnih trofaznih simetričnih naponskih izvora

imaju efektivnu vrijednost za 10 % veću od nazivnog faznog napona razmatranog

voda, a na temelju poznate struje jednopolnog kratkog spoja, u slučaju nastanka

zemljospoja, lako se izračuna unutarnja impedancija pojedine faze nadomjesnog

trofaznog simetričnog naponskog izvora.

6

3. JEDNADŽBE POTENCIJALA HARMONIJSKOG

ELEKTROMAGNETSKOG MODELA

Maxwellove diferencijalne jednadžbe za izmjenično harmonijski promjenjivo

elektromagnetsko polje u nepokretnom vodljivom sredstvu mogu se napisati u sljedećem

obliku:

sJEJH

rrrr

+⋅κ==×∇ (3.1)

BjEvv

⋅ω⋅−=×∇ (3.2)

0B =∇v

(3.3)

gdje je:

Jv

- fazor vektora gustoće ukupne struje,

s

Jv

- fazor vektora gustoće ukupne struje vanjskih (nezavisnih) izvora,

κ - kompleksna provodnost (specifična električna vodljivost) sredstva,

ω - kružna frekvencija,

Hv

- fazor vektora jakosti magnetskog polja,

Ev

- fazor vektora jakosti električnog polja,

Bv

- fazor vektora magnetske indukcije,

∇ - Hamiltonov operator,

j - imaginarna jedinica.

Neka su moduli fazora efektivne vrijednosti pripadnih veličina. Kružna je frekvencija

opisana izrazom:

f2 ⋅π⋅=ω (3.4)

gdje je f frekvencija.

Neka je sredstvo linearno i izotropno. Kompleksna provodnost takvog sredstva opisana je

izrazom:

ε⋅ω⋅+σ=κ j (3.5)

gdje je σ vodljivost sredstva, a ε dielektričnost sredstva. Vrijedi da je dielektričnost

sredstva:

r0

ε⋅ε=ε (3.6)

gdje je 1210854,8

0

−

⋅=ε F/m dielektričnost zraka, dok je εr relativna dielektričnost sredstva.

7

Iz Maxwellovih jednadžbi (3.1) – (3.3), lako se dobiju sljedeće Helmholtzove nehomogene

diferencijalne jednadžbe potencijala [28], [30]:

κ

∇=ϕ⋅γ−ϕ∆ s2

Jv

(3.7)

s

2JAA

0

vvv

⋅µ−=⋅γ−∆ (3.8)

gdje je:

A

r

- fazor vektorskog magnetskog potencijala,

ϕ - fazor skalarnog električnog potencijala,

γ - valna konstanta sredstva,

Δ - Laplaceov diferencijalni operator.

7104

0

−

⋅π⋅=µ H/m – permeabilnost razmatranog sredstva (zraka ili tla).

Valna konstanta razmatranog sredstva opisana je sljedećim izrazom:

κµ⋅ω⋅=γ ⋅

0j (3.9)

U linearnom homogenom izotropnom neograničenom sredstvu volumena V, rješenje

jednadžbe skalarnog električnog potencijala (3.7) glasi:

dVR

eJ

4

1R

V

s⋅⋅∇⋅

κ⋅π⋅−=ϕ

⋅γ−

∫v

(3.10)

dok rješenje jednadžbe vektorskog magnetskog potencijala (3.8) glasi:

dVR

eJ

4A

R

V

s

0⋅⋅⋅

π⋅

µ=

⋅γ−

∫vv

(3.11)

gdje je R udaljenost između točke izvora i točke promatranja.

Jednadžba (3.10) jest partikularno rješenje Helmholtzove jednadžbe (3.7), a jednadžba

(3.11) partikularno rješenje Helmholtzove jednadžbe (3.8).

8

4. APROKSIMACIJA STRUJA I POTENCIJALA

CILINDRIČNIH SEGMENATA VODIČA

U matematičkom modelu koriste se cilindrični segmenti vodiča (Slika 4.1), za koje vrijede

sljedeće pretpostavke:

• Duljina segmenta vodiča ( l ) je mnogo veća od njegovog polumjera (0r ),

• Vanjski polumjer vodiča je mnogo manji od valne duljine,

• Pojedini segment može biti šupalj ili pun,

• Struja unutar segmenta ima samo uzdužnu komponentu,

• Uzdužna struja je koncentrirana u osi segmenta i teče od početne točke segmenta

prema krajnjoj točki segmenta ,

• Segment sa svog plašta jednoliko ispušta poprečnu struju u okolno sredstvo,

• Kod izračuna raspodjele potencijala oko segmenta vodiča, segment iz svoje osi

jednoliko ispušta poprečnu struju,

• Potencijal je konstantan po poprečnom presjeku segmenta vodiča,

• Uzdužni potencijal (potencijal kod uzdužnog sustava jednadžbi) linearno se

mijenja duž osi vodiča,

• Poprečni potencijal segmenta (potencijal segmenta kod poprečnog sustava

jednadžbi) aproksimira se po metodi srednjeg potencijala [28], [31-32].

Dakle, u ovom se radu vodiči koji sudjeluju u raspodjeli struje zemljospoja aproksimiraju

skupom cilindričnih segmenata. Segmenti imaju svoju početnu i krajnju točku, a za sve

segmente vodiča vrijedi tankožičana aproksimacija.

Slika 4.1. Cilindrični ks-ti segment vodiča tankožičane aproksimacije koji se koristi u

matematičkom modelu

9

Iz pretpostavke da segment jednoliko ispušta poprečnu struju u okolno sredstvo (Slika 4.2),

slijedi da se uzdužna struja mijenja linearno duž osi segmenta, a ta uzdužna struja je po

pretpostavci konstantna duž osi segmenta. Logičan zaključak je da se linearno promjenjiva

uzdužna struja aproksimira svojom srednjom vrijednošću [28], [33].

Slika 4.2. Aproksimacija uzdužne i poprečne struje ks-tog segmenta vodiča

Iz pretpostavke da je uzdužna struja segmenta aproksimirana srednjom vrijednošću

linearno promjenjive uzdužne struje, slijedi da segment u čvorovima (lokalni čvorovi

segmenta; P-početna i K-krajnja točka segmenta) predaje točno 1/2 poprečne struje koja se

jednoliko ispušta u okolno sredstvo. Drugim riječima, poprečna struja segmenta koja se

ispušta duž plašta segmenta dijeli se na dva jednaka dijela koji se smještaju u lokalne čvorove

segmenta.

U daljnjem razmatranju, za potrebe tehnike konačnih elemenata, sustav uzdužnih struja

može se odvojiti od sustava poprečnih struja kao što je to prikazano na Slici 4.3. Drugim

riječima, Slika 4.3. grafički ilustrira princip prelaska sa uzdužne i poprečne struje ks-tog

segmenta na uzdužne i poprečne struje dvaju lokalnih čvorova ks-tog segmenta.

Slika 4.3. Uzdužne i poprečne struje ks-tog segmenta i njegovi pripadni lokalni čvorovi

10

Struje prikazane na Slikama 4.2 i 4.3 imaju sljedeće značenje:

• u

ksI - uzdužna struja ks-tog segmenta,

• pksI - poprečna struja ks-tog segmenta,

• uc

PksI - uzdužna struja početnog čvora Pks ks-tog segmenta,

• uc

KksI - uzdužna struja krajnjeg čvora Kks ks-tog segmenta,

• pcPksI - poprečna struja početnog čvora Pks ks-tog segmenta,

• pcKksI - poprečna struja krajnjeg čvora Kks ks-tog segmenta,

• c

PksI - ukupna struja početnog čvora Pks ks-tog segmenta,

• c

KksI - ukupna struja krajnjeg čvora Kks ks-tog segmenta.

U skladu s oznakama i prikazanom orijentacijom struja na Slici 4.3, za uzdužne i poprečne

struje lokalnih čvorova ks-tog segmenta vrijede sljedeći izrazi:

u

ks

uc

Pks II = (4.1)

u

ks

uc

Kks II −= (4.2)

pks

pcKks

pcPks

I2

1II ⋅== (4.3)

pcPks

ucPks

cPks III += (4.4)

pcKks

ucKks

cKks III += (4.5)

11

5. ZNAČAJKE DVOSLOJNOG MODELA SREDSTVA

U ovom se radu koristi dvoslojni model sredstva (Slika (5.1). Ustvari, neograničeni prostor

se dijeli na dva linearna homogena izotropna poluprostora, od kojih jedan ispunjava zrak, dok

drugi ispunjava homogeno tlo.

Slika 5.1. Dvoslojni model sredstva

Značajke sredstva (zraka i tla) su provodnost, dielektričnost i permeabilnost. Može se uzeti

da je provodnost zraka jednaka nuli. Otpornost tla (recipročna vrijednost provodnosti tla)

poprima vrijednosti od nekoliko Ωm do nekoliko tisuća Ωm. Iznos provodnosti za jednu vrstu

tla se znatno mijenja s vlažnošću zbog ovisnosti o rastvorljivosti prisutnih soli. Što je vlažnost

tla veća, otpornost je manja i obratno. Na iznos provodnosti tla utječe temperatura. Kad

temperatura padne značajno ispod nule, tlo se ledi do nekih dubina, pri čemu se provodnost

naglo smanjuje, odnosno otpornost tla poprima visoke vrijednosti.

Redovito se uzima da su dielektričnost i permeabilnost zraka jednake kao i u slučaju

vakuuma. Dielektričnost tla ovisi o vrsti tla i količini prisutne vlage. Ona se povećava s

prisutnošću vlage u tlu. Dielektričnost tla varira u daleko manjem rasponu no provodnost tla.

Može se uzeti da je magnetska permeabilnost tla jednaka magnetskoj permeabilnosti zraka,

odnosno da je njihova relativna magnetska permeabilnost 1r=µ .

12

6. APROKSIMACIJA RASPODJELE POTENCIJALA U

DVOSLOJNOM SREDSTVU

6.1. Skalarni električni potencijal cilindričnog segmenta vodiča

Segment cilindričnog vodiča u tlu može biti segment golog vodiča ili pak segment

izoliranog vodiča, a takav vodič može biti: vodič mrežastog uzemljivača središnje

transformatorske stanice koji se aproksimira mrežom cilindričnih vodiča, goli vodič ukopan

iznad kabelskih vodova, goli vodič ukopan između uzemljivača stupova nadzemnih vodova,

metalni ekran energetskog kabela, fazni vodič energetskog kabela te vanjski metalni plašt

energetskog kabela. Cilindrični segment vodiča u zraku, u pravilu, nema dodatne izolacije, a

takav vodič može biti: zaštitno uže nadzemnog voda, fazni vodič nadzemnog voda ili vodič

kojim se modelira stup nadzemnog voda.

Prema prethodno prezentiranoj teoriji, u linearnom homogenom izotropnom

neograničenom sredstvu, rješenje Helmholtzove jednadžbe skalarnog električnog potencijala

(3.7) opisano je izrazom (3.10). Za cilindrični ks-ti segment vodiča (Slika 6.1), podvrgnut

tankožičanoj aproksimaciji vrijedi da je:

ksks

pks

ksks

uks

s dI

dI

dVJ ll

ll

v⋅−=⋅

∂

∂=⋅∇ (6.1)

gdje je:

p

ksI - poprečna struja ks-tog segmenta,

u


ks

l - duljina ks-tog segmenta.

Nakon što se izraz (6.1) uvrsti u izraz (3.10) dobije se da je raspodjela potencijala oko

ks-tog segmenta u linearnom homogenom izotropnom neograničenom sredstvu opisana

izrazom:

∫Γ

⋅γ−

⋅⋅⋅κ⋅π⋅

=ϕ

ks

ks

R

ks

pks

dR

eI

4

1l

l (6.2)

gdje je R udaljenost između točke izvora na osi segmenta i točke promatranja. Krivulja

integracije ks

Γ poklapa se s osi promatranog ks-tog segmenta. Valna konstanta sredstva γ

opisana je izrazom (3.9).

13

Izraz (6.2) aproksimira se tako da je raspodjela potencijala oko ks-tog segmenta u

linearnom homogenom izotropnom neograničenom sredstvu opisana izrazom:

∫Γ

⋅γ−⋅⋅⋅

κ⋅π⋅⋅=ϕ

ks

Cks

ksks

pksR

dR

1I

4

1e l

l (6.3)

gdje je RCks udaljenost između središnje točke segmenta i točke promatranja. Izraz (6.3) lako

se može prevesti u novi oblik:

ksks

pks

ks FI

4

1f ⋅⋅

κ⋅π⋅⋅=ϕ

l (6.4)

gdje je:

CksR

ks ef⋅γ−

= (6.5)

prigušno-fazni faktor koji aproksimira prigušenje potencijala i zakretanje njegove faze, dok

je:

−+

−+

++

++

== ∫Γ

2u

2uv

2u

2uv

lnR

dF

ks2

ks2

ks2

ks2

ksks

ks ll

ll

l (6.6)

pri čemu su (u, v) lokalne koordinate točke promatranja T(x, y, z), u lokalnom cilindričnom

koordinatnom sustavu ks-tog segmenta (Slika 6.1).

Slika 6.1. Cilindrični segment vodiča u homogenom neograničenom sredstvu

14

6.1.1. Cilindrični segment vodiča u tlu

Neka se cilindrični segment vodiča nalazi u tlu dvoslojnog sredstva (Slika 6.2). U tom

slučaju treba definirati izraze za raspodjelu potencijala kojeg stvara poprečna struja

razmatranog ks-tog segmenta u tlu i u zraku. Koristi se metoda odslikavanja tako da se

odslika kvazistatički izvor struje u odnosu na površinu tla, a gušenje i fazno zakretanje

potencijala aproksimira se korištenjem tzv. prigušno-faznog faktora [28], [33-34]. Zasebno se

razmatraju raspodjela potencijala u tlu i raspodjela potencijala u zraku.

Slika 6.2. Cilindrični segment vodiča u homogenom tlu

Raspodjeli potencijala u tlu doprinose poprečna struja razmatranog segmenta i poprečna

struja kvazistatičke slike tog segmenta (Slika 6.3) pa izraz koji opisuje raspodjelu potencijala

u tlu glasi:

( )iks1rks

ks

pks

1ks FkF

I

4

1f ⋅+⋅⋅

κ⋅π⋅⋅=ϕ

l (6.7)

gdje je u ovom slučaju prigušno-fazni faktor opisan izrazom:

11

R

ks 0

Cks1 j;ef κµ⋅ω⋅=γ= ⋅

⋅γ− (6.8)

15

dok je faktor kvazistatičke refleksije opisan izrazom:

01

01

1rkκ+κ

κ−κ

= (6.9)

Veličina Fks navedena u izrazu (6.7) opisana je izrazom (6.6), dok je istovrsna veličina iksF

koja je pridružena slici ks-tog segmenta opisana izrazom:

∫Γ

=

iks

i

ksi

ks

R

dF

l (6.10)

gdje je iR udaljenost između točke izvora na osi slike segmenta i točke promatranja.

Sukladno tome, krivulja integracije i

ksΓ nalazi se u osi slike promatranog ks-tog segmenta.

Slika 6.3. Cilindrični segment vodiča i njegova kvazistatička slika koji doprinose raspodjeli

potencijala u tlu

Raspodjelu potencijala u zraku uzrokuje poprečna struja kvazistatičke slike razmatranog

segmenta, koja se preklapa sa stvarnim segmentom (Slika 6.4), pa izraz koji opisuje

raspodjelu potencijala u zraku glasi:

ks1tks

pks

ks FkI

4

1f

0

⋅⋅⋅κ⋅π⋅

⋅=ϕl

(6.11)

16


0000

0Cks01Cks1 j;j;ef 11

RR

ks κµ⋅ω⋅=γκµ⋅ω⋅=γ= ⋅⋅

−−⋅γ−⋅γ−

(6.12)

dok je faktor kvazistatičke transmisije opisan izrazom:

01

01r1t

2k1k

κ+κ

κ⋅=−= (6.13)

Veličina Fks navedena u izrazu (6.10) opisana je izrazom (6.6) jer se, u ovom slučaju, slika

segmenta preklapa sa stvarnim segmentom pa se preklapaju i krivulje integracije.

Slika 6.4. Kvazistatička slika cilindričnog segmenta vodiča koja uzrokuje potencijal u zraku

6.1.2. Cilindrični segment vodiča u zraku

Neka se segment vodiča nalazi u zraku dvoslojnog sredstva (Slika 6.5). Segment vodiča u

zrak ispušta poprečnu struju koja je jednaka pomačnoj struji jer je u zraku provodna struja

jednaka nuli. U tom slučaju treba definirati izraze za raspodjelu potencijala kojeg stvara

poprečna struja razmatranog ks-tog segmenta u zraku i u tlu. Koristi se metoda odslikavanja

tako da se odslika kvazistatički izvor struje u odnosu na površinu tla, a gušenje i fazno

zakretanje potencijala aproksimira se korištenjem tzv. prigušno-faznog faktora [28], [33-34].

Zasebno se razmatraju raspodjela potencijala u zraku i raspodjela potencijala u tlu.

17

Slika 6.5. Cilindrični segment vodiča u zraku

Raspodjeli potencijala u zraku doprinose poprečna struja razmatranog segmenta i poprečna

struja kvazistatičke slike tog segmenta (Slika 6.6) pa izraz koji opisuje raspodjelu potencijala

u tlu glasi:

( )iksrks

ks

pks

ks FkFI

4

1f

0

0

⋅+⋅⋅κ⋅π⋅

⋅=ϕl

(6.14)


000

Cks0 j;efR

ks κµ⋅ω⋅=γ= ⋅

⋅γ− (6.15)

dok je faktor kvazistatičke refleksije opisan izrazom:

0

0

0

1

11rr kk

κ+κ

κ−κ=−= (6.16)

U izrazu (6.14), veličina Fks opisana je izrazom (6.6), dok je istovrsna veličina iksF koja je

pridružena slici ks-tog segmenta opisana izrazom (6.10).

18

Slika 6.6. Cilindrični segment vodiča i njegova kvazistatička slika koji doprinose raspodjeli

potencijala u zraku

Slika 6.7. Kvazistatička slika cilindričnog segmenta vodiča koja uzrokuje potencijal u tlu

Raspodjelu potencijala u tlu uzrokuje poprečna struja kvazistatičke slike razmatranog

segmenta (Slika 6.7), koja se preklapa sa stvarnim segmentom, pa izraz koji opisuje

raspodjelu potencijala u tlu glasi:

kstks

pks

ks FkI

4

1f

0

1

⋅⋅⋅κ⋅π⋅

⋅=ϕl

(6.17)

19

gdje je u ovom slučaju prigušno-fazni faktor ksf opisan izrazom (6.12), dok je faktor

kvazistatičke transmisije opisan izrazom:

01

10r0t

2k1k

κ+κ

κ⋅=−= (6.18)

6.2. Skalarni električni potencijal ekvipotencijalne metalne ploče

Skalarni električni potencijal ekvipotencijalne metalne ploče u homogenom

neograničenom linearnom izotropnom sredstvu (Slika 6.8) opisan je izrazom [35]:

( )

( ) ajzajzr

ajzajzrn

a8j

If

22

22

⋅−+⋅−+

⋅++⋅++⋅

κ⋅⋅π⋅⋅⋅=ϕ l (6.19)

gdje je I fazor jakosti struje koju ploča ispušta u okolno sredstvo, a je polumjer ploče, κ je

kompleksna provodnost sredstva, dok su r i z koordinate cilindričnog koordinatnog sustava.

Izvorni izraz za kvazistatičku raspodjelu potencijala naveden u literaturi [35] nadopunjen je

prigušno-faznim faktorom koji se u ovom slučaju može aproksimirati izrazom:

C

22Rzr

eef⋅γ−+⋅γ−

== (6.20)

gdje je RC udaljenost između centra metalne ploče i točke promatranja.


20

Izraz (6.19) može se preinačiti u jednostavniji oblik:

|z|

tana4

If

atan

a4

If 11 β

⋅κ⋅⋅π⋅

⋅=α

⋅κ⋅⋅π⋅

⋅=ϕ −− (6.21)

gdje je:

( )2

za4AAz,r,a

222⋅⋅++

=α=α (6.22)

( )2

za4AAz,r,a

222 ⋅⋅++−=β=β (6.23)

222azrA −+= (6.24)

U posebnom slučaju za r = 0 raspodjela potencijala duž osi z opisana je izrazom:

( )|z|

atan

a4

Ifz 1−

⋅κ⋅⋅π⋅

⋅=ϕ=ϕ (6.25)

dok je u slučaju z = 0, r ≥ a raspodjela potencijala duž osi r opisana izrazom:

r

asin

a4

If

ar

atan

a4

If)r( 1

22

1 −−

⋅κ⋅⋅π⋅

⋅=

−

⋅κ⋅⋅π⋅

⋅=ϕ=ϕ (6.26)

Neka je metalna ploča ukopana u homogeno tlo paralelno površini tla na dubinu h (Slika

6.9) . U ovom slučaju, izrazi za raspodjelu potencijala u tlu i u zraku mogu se dobiti pomoću

metode odslikavanja.

21

Slika 6.9. Kružna metalna ploča ukopana u homogeno tlo paralelno površini tla

Za metalnu ploču ukopanu u homogeno tlo, raspodjeli potencijala u tlu doprinose struja

koju ploča ispušta u tlo i struja kvazistatičke slike ploče (Slika 6.10) pa izraz koji opisuje

raspodjelu potencijala u tlu glasi:

( ) ( )

+α⋅+

−α⋅

κ⋅⋅π⋅⋅=ϕ −−

hz,r,a

atank

hz,r,a

atan

a4

If

1

1r

1

1

(6.27)

gdje je koeficijent kvazistatičke refleksije 1rk opisan izrazom (6.9), a prigušno-fazni faktor

,f u ovom slučaju, opisan je izrazom:

( )

C

22Rhzr

eef⋅γ−−+⋅γ−

== (6.28)

Slika 6.10. Kružna metalna ploča i njena kvazistatička slika koje doprinose

raspodjeli potencijala u tlu

22

Raspodjelu potencijala u zraku uzrokuje struja kvazistatičke slike razmatrane metalne

ploče, koja se preklapa sa stvarnom pločom (Slika 6.11), pa izraz koji opisuje raspodjelu

potencijala u zraku glasi:

( )hz,r,a

atank

a4

If

1

1t

0−α

⋅⋅⋅κ⋅⋅π⋅

⋅=ϕ− (6.29)

gdje je faktor kvazistatičke transmisije 1tk opisan izrazom (6.13), dok je, u ovom slučaju,

prigušno-fazni faktor opisan izrazom:

0000

0C01C1 j;j;ef 11

RRκµ⋅ω⋅=γκµ⋅ω⋅=γ= ⋅⋅

−−⋅γ−⋅γ−

(6.30)

Slika 6.11. Kvazistatička slika kružne metalne ploče koja uzrokuje potencijal u zraku

Prema dosad uvedenim pretpostavka, metalne ploče koje nadomještaju uzemljivače

transformatorskih stanica jesu ekvipotencijalne, a to znači da one nemaju uzdužne

komponente struje. To znači da ekvipotencijalne metalne ploče ne stvaraju vektorski

magnetski potencijal, već samo skalarni električni potencijal. Drugim riječima, nadomjesne

metalne ploče nisu induktivno spregnute s ostalim sastavnicama elektromagnetskog modela.

6.3. Vektorski magnetski potencijal cilindričnog segmenta vodiča

Prema prethodno prezentiranoj teoriji, u linearnom homogenom izotropnom

neograničenom sredstvu, rješenje Helmholtzove jednadžbe vektorskog magnetskog

potencijala (3.8) opisano je izrazom (3.11). Za cilindrični ks-ti segment vodiča podvrgnut

tankožičanoj aproksimaciji vrijedi da je:

23

ksksukss 0

sdIdVJr

lv

⋅⋅=⋅ (6.31)

gdje je:

u


ks

l - duljina ks-tog segmenta,

ks0sr

- jedinični vektor smjera ks-tog segmenta (Slika 6.12).

Slika 6.12. Cilindrični segment vodiča, njegova uzdužna struja i njegov jedinični vektor

smjera

Prema Slici 6.12, uzdužna struja u

ksI segmenta i jedinični vektor smjera ks0

sr

segmenta

usmjereni su od početne točke segmenta Pks prema krajnjoj točki segmenta Kks. Neka to

vrijedi za sve segmente.

Uvrštenjem (6.31) u (3.11), dobije se da je raspodjela vektorskog magnetskog potencijala

uslijed uzdužne struje ks-tog segmenta u neograničenom linearnom homogenom izotropnom

sredstvu permeabilnosti 0

µ opisana izrazom:

∫Γ

⋅γ−

⋅⋅π⋅

⋅µ⋅=

ks

0

0 ks

Ru

ksks d

R

e

4

IsA lrv

(6.32)

gdje je R udaljenost između točke izvora na osi segmenta i točke promatranja. Krivulja

integracije ks

Γ nalazi se u osi promatranog ks-tog segmenta (Slika 6.12). Valna konstanta

sredstva γ opisana je izrazom (3.9).

Izraz (6.32) aproksimira se tako da je raspodjela vektorskog magnetskog potencijala oko

ks-tog segmenta u linearnom homogenom izotropnom neograničenom sredstvu opisana

izrazom:

24

∫Γ

⋅γ−⋅⋅

π⋅

µ⋅⋅=

⋅

ks

0Cks

0 ks

uksR

ks dR

1

4

IesA l

rv (6.33)

gdje je RCks udaljenost između središnje točke segmenta i točke promatranja.

6.3.1. Cilindrični segment vodiča u tlu

Neka se cilindrični segment vodiča nalazi u tlu dvoslojnog sredstva (Slika 6.13). U tom

slučaju treba definirati izraze za raspodjelu vektorskog magnetskog potencijala kojeg stvara

uzdužna struja razmatranog ks-tog segmenta u tlu i u zraku. Uzima se da u ovom slučaju

nema kvazistatičkog odslikavanja jer je permeabilnost tla jednaka permeabilnosti zraka.

Utjecaj heterogenosti cjelokupnog sredstva uzima se pomoću prigušno-faznog faktora na isti

način kao i u slučaju izračuna skalarnog električnog potencijala. Zasebno se razmatraju

raspodjela vektorskog magnetskog potencijala u tlu i raspodjela vektorskog magnetskog

potencijala u zraku.

Slika 6.13. Cilindrični segment vodiča u homogenom tlu

Raspodjela vektorskog magnetskog potencijala uslijed uzdužne struje razmatranog ks-tog

segmenta i u zraku i u tlu formalno je opisana istim izrazom:

ks

u

ksksks F

4

IfsA

0

0⋅

π⋅

µ⋅⋅=

⋅r

v

(6.34)

25

gdje je veličina ksF opisana izrazom (6.6), dok je prigušno-fazni faktor ksf u slučaju kad se

raspodjela vektorskog magnetskog potencijala računa u tlu opisan izrazom (6.5), a kad se

raspodjela vektorskog magnetskog potencijala računa u zraku (Slika 6.14) izrazom (6.12).

Slika 6.14. Izračun raspodjele vektorskog magnetskog potencijala u zraku uslijed

uzdužne struje ks-tog segmenta koji se nalazi u tlu

6.3.2. Cilindrični segment vodiča u zraku

Neka se cilindrični segment vodiča nalazi u zraku dvoslojnog sredstva (Slika 6.15). Kroz

segment vodiča u zraku protječe uzdužna struja koja stvara vektorski magnetski potencijal u

zraku i u tlu. I u ovom se slučaju razmatraju raspodjela vektorskog magnetskog potencijala u

zraku i u tlu.

Slika 6.15. Cilindrični segment vodiča u zraku

26

Raspodjela vektorskog magnetskog potencijala uslijed uzdužne struje razmatranog ks-tog

segmenta i u zraku i u tlu formalno je opisana istim izrazom (6.34), gdje je prigušno-fazni

faktor u slučaju kad se raspodjela vektorskog magnetskog potencijala računa u zraku opisan

izrazom (6.15), a kad se raspodjela vektorskog magnetskog potencijala računa u tlu (Slika

6.16), prigušno-fazni faktor opisan je izrazom (6.12).

Slika 6.16. Izračun raspodjele vektorskog magnetskog potencijala u tlu uslijed

uzdužne struje ks-tog segmenta koji se nalazi u zraku

27

7. VLASTITE I MEĐUSOBNE IMPEDANCIJE SASTAVNICA

ELEKTROMAGNETSKOG MODELA

Modeliranje tehnikom konačnih elemenata i to Galjerkin-Bubnovovom metodom,

primjenjuje se na integralnu formulaciju problema u frekvencijskoj domeni. Prema tehnici

konačnih elemenata, svaki se vodič dijeli na cilindrične segmente konačne duljine, a

uzemljivači transformatorskih stanica i stupova nadzemnih vodova mogu se nadomjestiti

ekvipotencijalnom kružnom metalnom pločom. Vlastite i međusobne impedancije segmenata

vodiča i nadomjesnih kružnih metalnih ploča računaju se po Galjerkin-Bubnovovoj metodi,

koja se u slučaju vlastitih i međusobnih impedancija cilindričnih segmenata vodiča svodi na

metodu srednjeg potencijala, koja je poseban slučaj Galjerkin-Bubnovove metode. Sukladno

tome, uvedena je i aproksimacija struje segmenta, odnosno definirane su uzdužne i poprečne

struje segmenata, uz korištenje tankožičane aproksimacije. Ekvipotencijalne metalne ploče

imaju, upravo zbog svoje ekvipotencijalnosti, samo poprečnu komponentu struje koju

ispuštaju u okolno tlo.

U slučaju izračuna vlastitih i međusobnih impedancija segmenata cilindričnih vodiča,

važno je uzeti u obzir da vodiči mogu biti u izravnom kontaktu s tlom (goli vodiči), ili su pak

od tla odvojeni s jednim ili više izolacijskih slojeva, gdje neki od unutarnjih slojeva može biti

vodljiv. Razvijeni elektromagnetski model omogućuje da vodiči i u zraku mogu imati jedan ili

više izolacijskih slojeva, ali su, u pravilu, razmatrani vodiči u zraku goli.

Goli puni vodič može biti i pravokutnog poprečnog presjeka kao što je npr. pocinčana

čelična traka. Segmenti takvih vodiča mogu se nadomjestiti cilindričnim segmentima po

kriteriju istog opsega [36-37].

7.1. Poprečne impedancije cilindričnih segmenata golih vodiča

Cilindrični segment golog vodiča u tlu može biti: vodič mrežastog uzemljivača središnje

transformatorske stanice ako se njen mrežasti uzemljivač aproksimira mrežom cilindričnih

vodiča umjesto nadomjesnom kružnom metalnom pločom, vodič ukopan iznad kabelskih

vodova, vodič ukopan između uzemljivača stupova nadzemnih vodova, vanjski metalni plašt

energetskog kabela kao i bilo koji goli puni ili šuplji vodič ukopan u tlo koji je povezan na

uzemljivački sustav središnje transformatorske stanice. Cilindrični segment vodiča u zraku, u

pravilu, nema dodatne izolacije, a takav vodič može biti: zaštitno uže nadzemnog voda, fazni

vodič nadzemnog voda ili pak vodič kojim se modelira stup nadzemnog voda.

28

7.1.1. Poprečne impedancije segmenata u neograničenom sredstvu

Vlastita poprečna impedancija cilindričnog segmenta vodiča u homogenom

neograničenom sredstvu opisana je izrazom [28]:

( )0r,P

2

1ZZ ks2

ks

pks,ks

qnpks,ks

nl

l

⋅

⋅κ⋅π⋅

== (7.1)

gdje je:

v v v

vln)v,(P 22

22

++−++

⋅= lll

ll (7.2)

Slika 7.1. Cilindrični segment vodiča u homogenom neograničenom sredstvu

U posebnom slučaju paralelnosti dvaju segmenata iste duljine (Slika 7.2), njihova

međusobna impedancija u homogenom neograničenom sredstvu opisana je sljedećim

izrazom:

( ) pks,is

nks2

ks

is,ksp

is,ksqn

is,ksp

is,ksn

Zd,P2

1fZfZ ≡⋅

⋅κ⋅π⋅

⋅=⋅= l

l

(7.3)

gdje je, u ovom slučaju, prigušno-fazni faktor ks-tog i is-tog segmenta opisan izrazom:

κµ⋅ω⋅=γ= ⋅

⋅γ−

0j;ef d

is,ks (7.4)

U izrazu (7.3), član ( )d,P ksl opisan je izrazom (7.2), dok je:

29

( ) pks,is

qnks2

ks

pis,ks

qnZd,P

2

1Z ≡⋅

⋅κ⋅π⋅

= l

l

(7.5)

kvazistatička međusobna poprečna impedancija dvaju paralelnih cilindričnih segmenata

vodiča u homogenom neograničenom sredstvu.



Opći slučaj paralelnosti dvaju cilindričnih segmenata vodiča u homogenom neograničenom

sredstvu prikazan je na Slici 7.3. Neka se is-ti segment promatra u lokalnom koordinatnom

sustavu (u, v) ks-tog segmenta. U tom sustavu krajnje točke is-tog segmenta su: T1(u1, vis) i

T2(u2, vis).

Slika 7.3. Dva međusobno paralelna cilindrična segmenta vodiča u homogenom

neograničenom sredstvu - opći slučaj paralelnosti

30

Izraz za međusobnu poprečnu impedanciju paralelnih cilindričnih segmenata vodiča u

homogenom neograničenom sredstvu (Slika 7.3) glasi [38]:

( ) pks,is

n4321

ksisis,ks

pis,ks

qnis,ks

pis,ks

nZCCCC

4

1fZfZ ≡−−+⋅

⋅⋅κ⋅π⋅

⋅=⋅=

ll (7.6)

gdje je:

2

is

2

kk

2

is

2

kkk vwwvwlnwC +−

++⋅= (7.7)

2uw

ks21

l+= (7.8)

2uw

ks12

l−= (7.9)

2uw

ks13

l+= (7.10)

2uw

ks24

l−= (7.11)

dok je, u ovom slučaju, prigušno-fazni faktor:

κµ⋅ω⋅=γ= ⋅

⋅γ−

0

C j;efR

is,ks (7.12)

gdje je, RC udaljenost između središnjih točaka is-tog i ks-tog segmenta.

Prema (7.6), kvazistatička međusobna poprečna impedancija dvaju cilindričnih segmenata

vodiča u homogenom neograničenom sredstvu, u općem slučaju paralelnosti (Slika 7.3), glasi:

( ) pks,is

qn4321

ksis

pis,ks

qnZCCCC

4

1Z ≡−−+⋅

⋅⋅κ⋅π⋅

=

ll (7.13)

Ako su dva cilindrična segmenta vodiča neparalelna (međusobno kosa ili okomita), onda

uvijek postoji jedan i samo jedan par međusobno paralelnih ravnina u kojima ti segmenti leže

(Slika 7.4). U posebnom slučaju, te dvije ravnine se mogu preklopiti pa tada neparalelni

segmenti leže u istoj ravnini.

31

Slika 7.4. Dva neparalelna cilindrična segmenta vodiča u homogenom


Međusobna poprečna impedancija neparalelnih cilindričnih segmenata vodiča u

homogenom neograničenom sredstvu kompleksne provodnosti κ (Slika 7.4), definirana po

metodi srednjeg potencijala, opisana je izrazom [38]:

pks,is

n

ks,isksisis,ks

pis,ks

qnis,ks

pis,ks

nZ

r

dd

4

1fZfZ

K

P

K

P

≡η⋅ξ

⋅⋅κ⋅π⋅⋅=⋅= ∫∫

η

η

ξ

ξll

(7.14)

gdje, prema Slici 7.4, vrijedi da je međusobna udaljenost između točaka na osima segmenata:

α⋅η⋅ξ⋅−+η+ξ= cos2Dr222

ks,is (7.15)

dok je D razmak između međusobno paralelnih ravnina u kojima leže segmenti, α kut između

pravaca na kojima leže segmenti, ξ udaljenost promatrane točke na osi is-tog segmenta od

ishodišta 1O , η udaljenost promatrane točke na osi ks-tog segmenta od ishodišta 2O .

Nakon provedene dvostruke integracije naznačene u izrazu (7.14), može se dobiti sljedeći

izraz poznat pod imenom Cejtlinova formula [38]:

( ) ( ) ( ) ( )[ ]pkkpkkppksis

is,ks

pis,ks

qnis,ks

pis,ks

n

,A,A,A,A4

1f

ZfZ

ηξ−ηξ−ηξ+ηξ⋅⋅⋅κ⋅π⋅

⋅=

⋅=

ll

(7.16)

32

gdje je:

( ) ( )

α⋅

+η+ξ⋅

α⋅

+

+α⋅η−ξ⋅η++α⋅ξ−η⋅ξ=ηξ

2tg

D

rtgarc

sin

D2

rcoslnrcosln),(A

ks,is

ks,isks,is

(7.17)

dok je prigušno-fazni faktor is,ksf opisan izrazom (7.12).

Prema (7.16), kvazistatička međusobna poprečna impedancija dvaju cilindričnih

neparalelnih segmenata vodiča u homogenom neograničenom sredstvu (Slika 7.4), glasi:

( ) ( ) ( ) ( )[ ]pkkpkkppksis

pis,ks

qn,A,A,A,A

4

1Z ηξ−ηξ−ηξ+ηξ⋅

⋅⋅κ⋅π⋅=

ll (7.18)

7.1.2. Poprečne impedancije segmenata u dvoslojnom sredstvu

Ako se cilindrični segment vodiča nalazi u homogenom tlu dvoslojnog sredstva i primijeni

se metoda kvazistatičkog odslikavanja (Slika 7.5), onda je vlastita poprečna impedancija

segmenta opisana sljedećim izrazom:

p

ks,ks

qn1r

pks,ks

qnpks,ks r

ZkZZ ⋅+= (7.19)

gdje je:

p

ks,ksqnZ - vlastita kvazistatička impedancija ks-tog cilindričnog segmenta u

homogenom neograničenom sredstvu kompleksne provodnosti tla 1κ ,

p

ks,ks

qnr

Z - međusobna kvazistatička impedancija ks-tog segmenta i njegove

refleksijske slike u homogenom neograničenom sredstvu kompleksne

provodnosti tla 1κ ,

1rk - faktor kvazistatičke refleksije opisan izrazom (6.9).

33

Slika 7.5. Cilindrični segment vodiča u homogenom tlu dvoslojnog sredstva

i njegova refleksijska slika

Ako se cilindrični segment vodiča nalazi u zraku dvoslojnog sredstva i primijeni se metoda

kvazistatičkog odslikavanja (Slika 7.6), onda je vlastita poprečna impedancija segmenta

opisana sljedećim izrazom:

p

ks,ks

qn0r

pks,ks

qnpks,ks r

ZkZZ ⋅+= (7.20)

gdje je:

p

ks,ksqnZ - vlastita kvazistatička impedancija ks-tog cilindričnog segmenta u

homogenom neograničenom sredstvu kompleksne provodnosti zraka 0κ ,

p

ks,ks

qnr

Z - međusobna kvazistatička impedancija ks-tog segmenta i njegove


provodnosti zraka 0κ ,


34

Slika 7.6. Cilindrični segment vodiča u zraku dvoslojnog sredstva

i njegova refleksijska slika

Ako se dva segmenta nalaze u tlu dvoslojnog sredstva i primijeni se metoda kvazistatičkog

odslikavanja (Slika 7.7), onda je njihova međusobna impedancija opisana izrazom:

pks,is

p

is,ks

qn1r

pis,ks

qnis,ks

pis,ks Z ZkZfZ

r≡

⋅+⋅= (7.21)

gdje je:

p

is,ksqnZ - međusobna kvazistatička impedancija ks-tog i is-tog segmenta u

homogenom neograničenom sredstvu kompleksne provodnosti tla 1κ ,

p

is,ks

qnr

Z - međusobna kvazistatička impedancija ks-tog segmenta i refleksijske

slike is-tog u homogenom neograničenom sredstvu kompleksne

provodnosti tla 1κ ,


Prigušno-fazni faktor is,ksf naveden u izrazu (7.21) opisan je izrazom:

11R

is,ks 0

C1 j;ef κµ⋅ω⋅=γ= ⋅

⋅γ− (7.22)

gdje je RC udaljenost između središta ks-tog i is-tog segmenta.

35

Slika 7.7. Dva cilindrična segmenta vodiča u tlu dvoslojnog sredstva

i refleksijska slika is-tog segmenta

Ako se dva segmenta nalaze u zraku dvoslojnog sredstva i primijeni se metoda

kvazistatičkog odslikavanja (Slika 7.8), onda je njihova međusobna impedancija opisana

izrazom:

pks,is

p

is,ks

qn0r

pis,ks

qnis,ks

pis,ks Z ZkZfZ

r≡

⋅+⋅= (7.23)

gdje je:

p

is,ksqnZ - međusobna kvazistatička impedancija ks-tog i is-tog segmenta u

homogenom neograničenom sredstvu kompleksne provodnosti zraka 0κ ,

p

is,ks

qnr

Z - međusobna kvazistatička impedancija ks-tog segmenta i refleksijske

slike is-tog u homogenom neograničenom sredstvu kompleksne

provodnosti zraka 0κ ,



00R

is,ks 0


⋅γ− (7.24)

gdje je RC udaljenost između središta ks-tog i is-tog segmenta koji se nalaze u zraku (Slika

7.8).

36

Slika 7.8. Dva cilindrična segmenta vodiča u zraku dvoslojnog sredstva

i refleksijska slika is-tog segmenta

Ako se ks-ti cilindrični segment nalazi u tlu, a is-ti cilindrični segment u zraku dvoslojnog

sredstva i primijeni se metoda kvazistatičkog odslikavanja (Slika 7.9), onda je njihova

međusobna impedancija opisana izrazom:

pks,is

p

is,ks

qn0tis,ks

pis,ks Z ZkfZ

t≡⋅⋅= (7.25)

gdje je:

p

is,ks

qnt

Z - međusobna kvazistatička impedancija ks-tog segmenta i transmisijske

slike is-tog segmenta u homogenom neograničenom sredstvu

kompleksne provodnosti tla 1κ ,

0tk - faktor kvazistatičke transmisije opisan izrazom (6.18).


1100RR

is,ks 00

1C10C0 j;j;ef κµ⋅ω⋅=γκµ⋅ω⋅=γ= ⋅⋅

−−⋅γ−⋅γ−

(7.26)

gdje su udaljenosti RC-0 i RC-1 duž spojnice središta ks-tog i is-tog segmenata definirane na

Slici 7.9.

37

Ako se ks-ti cilindrični segment nalazi u zraku, a is-ti cilindrični segment u tlu dvoslojnog

sredstva i primijeni se metoda kvazistatičkog odslikavanja (Slika 7.10), onda je njihova

međusobna impedancija opisana izrazom:

pks,is

p

is,ks

qn1tis,ks

pis,ks Z ZkfZ

t≡⋅⋅= (7.27)

gdje je:

p

is,ks

qnt

Z - međusobna kvazistatička impedancija ks-tog segmenta i transmisijske

slike is-tog segmenta u homogenom neograničenom sredstvu

kompleksne provodnosti zraka 0κ ,

1tk - faktor kvazistatičke transmisije opisan izrazom (6.13).

Prigušno-fazni faktor is,ksf naveden u izrazu (7.27) opisan je izrazom (7.26), gdje su

udaljenosti RC-0 i RC-1 duž spojnice središta ks-tog i is-tog segmenata definirane Slikom 7.10.

Slika 7.9. Dva cilindrična segmenta vodiča u dvoslojnom sredstvu: ks-ti

segment u tlu a is-ti segment u zraku

38

Slika 7.10. Dva cilindrična segmenta vodiča u dvoslojnom sredstvu: ks-ti segment

u zraku i is-ti segment u tlu

7.1.3. Poprečne impedancije segmenata snopa golih nadzemnih vodiča

Kod visokonaponskih nadzemnih vodova svaka pojedina faza može imati dva ili više

cilindričnih vodiča u snopu. U računalnom programu EMRAST, razvijenom u ovoj disertaciji,

moguće je uzeti u račun dva vodiča u snopu (Slika 7.11), tri simetrično raspoređena vodiča u

snopu (Slika 7.12) i četiri simetrično raspoređena vodiča u snopu (Slika 7.13).

Slika 7.11. Dva vodiča u snopu

Slika 7.12. Tri simetrično raspoređena vodiča u snopu

39

Slika 7.13. Četiri simetrično raspoređena vodiča u snopu

Međusobne poprečne impedancije snopa vodiča i ostalih sastavnica elektromagnetskog

modela računaju se tako da se segment snopa vodiča nadomjesti segmentom jednog

nadomjesnog vodiča u središtu snopa. Vlastita poprečna impedancija ks-tog segmenta snopa

vodiča računa se prema sljedećem izrazu:

n

ZVZV

Z

n

2i

pi

p

pks,ks

111 ∑=

+

= (7.28)

gdje je:

n - ukupan broj vodiča u segmentu snopa vodiča,

p11

ZV - vlastita poprečna impedancija segmenta vodiča broj 1 u ks-tom segmentu snopa

vodiča,

pi1ZV - međusobna poprečna impedancija segmenta vodiča broj 1 i segmenta i-tog vodiča

u ks-tom segmentu snopa vodiča.

40

7.2. Uzdužne impedancije cilindričnih segmenata golih vodiča

Uzdužne impedancije cilindričnih segmenata golih vodiča računaju se na sličan način kao i

poprečne impedancije cilindričnih segmenata golih vodiča. Razlika je u tome što u ovom

slučaju treba uzeti u račun i usmjerenje segmenta i unutarnju impedanciju segmenta kao što je

prikazano na Slici 7.14.

Slika 7.14. Cilindrični segment vodiča i njegov jedinični vektor smjera u homogenom


7.2.1. Uzdužne impedancije segmenata u neograničenom sredstvu

Neka je vlastita uzdužna impedancija cilindričnog segmenta vodiča u homogenom i

neograničenom sredstvu jednaka vlastitoj uzdužnoj kvazistatičkoj impedancija cilindričnog

segmenta vodiča u homogenom i neograničenom sredstvu dobivenoj po Galjerkin-

Bubnovovoj metodi [28]:

( )0

0 r,P2

jZZZ ksks1ks

uks,ks

qnuks,ks

nll ⋅

π⋅

µ⋅ω⋅+⋅== (7.29)

gdje je 1

ksZ unutarnja impedancija po jedinici duljine segmenta, dok je )r,(P0ksl opisano

izrazom (7.2).

Jedinična unutarnja impedancija segmenta ovisi o tome je li segment dio punog

cilindričnog vodiča (Slika 7.15), dio šupljeg cilindričnog vodiča (Slika 7.16), dio punog

dvoslojnog cilindričnog vodiča (Slika 7.17), dio šupljeg dvoslojnog cilindričnog vodiča (Slika

7.18) ili pak dio pravokutnog vodiča (Slika 7.19).

41

Slika 7.15. Poprečni presjek punog cilindričnog vodiča

Slika 7.16. Poprečni presjek šupljeg cilindričnog vodiča

Slika 7.17. Poprečni presjek punog dvoslojnog cilindričnog vodiča

Slika 7.18. Poprečni presjek šupljeg dvoslojnog cilindričnog vodiča

42

Slika 7.19. Poprečni presjek pravokutnog vodiča

Jedinična unutarnja impedancija punog cilindričnog vodiča (Slika 7.15) opisana je

sljedećim izrazom [39-40]:

( )

( )1

10

1 rkJ

rkJ

r2

1kZ

1v

1

ks

⋅

⋅

⋅

⋅π⋅

⋅

σ

= ; 4

j

vv ef2k

π

⋅−

⋅σ⋅µ⋅⋅π⋅= (7.30)

gdje je 1r polumjer vodiča, σv provodnost vodiča, µv permeabilnost vodiča, f frekvencija

struje, ( )10rkJ ⋅ Besselova funkcija prve vrste nultog reda, dok je ( )

1rkJ1 ⋅ Besselova funkcija

prve vrste prvog reda. Besselova funkcija prve vrste n-tog reda, za ,Nn∈ opisana je izrazom

[41-42]:

( )( )∑

∞

=

⋅+

+⋅

⋅

⋅−=⋅0m

m2n

m

n!mn!m

2

rk

)1(rkJ (7.31)

Jedinična unutarnja impedancija šupljeg cilindričnog vodiča (Slika 7.16) opisana je

izrazom [39-40]:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )0110

10000

1 rkNrkJrkNrkJ

rkJrkNrkNrkJ

r2

1kZ

1111

111

v

1

ks

⋅⋅⋅−⋅⋅⋅

⋅⋅⋅−⋅⋅⋅

⋅

⋅π⋅

⋅

σ

= (7.32)

gdje je ( )10rkN ⋅ Neumannova funkcija nultog reda, dok je ( )

1rkN1 ⋅ Neumannova funkcija

prvog reda. Neumannova funkcija n-tog reda, poznata i kao Besselova funkcija druge vrste

n-tog reda, za ,Nn∈ opisana je izrazom [41-42]:

43

( ) ( )

( )( )

( )m2n1n

0m

m

1t

m2n

0m

m

nn

2

rk

!m

!1mn1

nt

1

t

1

2

rk

!mn!m

11

1

rkJ0,577215662

rkln

2rkN

⋅+−−

=

=

⋅+∞

=

⋅⋅

−−⋅

π−

++⋅

⋅⋅

+⋅−⋅

π−

⋅⋅

+

⋅⋅

π=⋅

∑

∑∑ (7.33)

Jedinična unutarnja impedancija dvoslojnog punog cilindričnog vodiča (Slika 7.17) i

dvoslojnog šupljeg cilindričnog vodiča (Slika 7.18) opisana je izrazom [43]:

( ) ( )( ) ( )221

220

2

21

ks

rkNBrkJA

rkNBrkJA

r2

1kZ

122

022

2 ⋅⋅+⋅⋅

⋅⋅+⋅⋅⋅

⋅π⋅

⋅

σ

= (7.34)

gdje je za puni dvoslojni cilindrični vodič:

( ) ( ) ( ) ( )120111121110rkNrkJ

krkNrkJ

kA

2

2

1

1⋅⋅⋅⋅

σ

−⋅⋅⋅⋅

σ

= (7.35)

( ) ( ) ( ) ( )121110111120rkJrkJ

krkJrkJ

kB

1

1

2

2⋅⋅⋅⋅

σ

−⋅⋅⋅⋅

σ

= (7.36)

dok je za šuplji dvoslojni cilindrični vodič:

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )121011110110011

120011111111011

rkNk

rkNrkJrkNrkJ

rkNk

rkNrkJrkNrkJA

1

1

2

2

⋅⋅

σ

⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−

⋅⋅

σ

⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅=

(7.37)

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )121011110110011

120011111111011

rkJk

rkNrkJrkNrkJ

rkJk

rkNrkJrkNrkJB

1

1

2

2

⋅⋅σ⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅+

⋅⋅σ⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−=

(7.38)

44

Jedinična unutarnja impedancija pravokutnog ks-tog vodiča (Slika 7.19) opisana je

izrazom [44-45]:

( )

1

1m

2v

21

ksv

)v(th

u

)u(th

1m2

1

ba32Z

−

∞

=

+⋅

−⋅⋅⋅σ⋅

π= ∑ (7.39)

gdje je:

( ) 2

22

a2

1m2bu γ+

⋅

⋅π⋅−⋅

⋅= (7. 40)

( ) 2

22

b2

1m2av γ+

⋅

⋅π⋅−⋅

⋅= (7.41)

4j

vv ef2

π

⋅

⋅σ⋅µ⋅⋅π⋅=γ (7.42)

pri čemu su a i b poluduljine stranica pravokutnika, σv provodnost vodiča, µv permeabilnost

vodiča, f frekvencija struje, dok je γ valna konstanta vodiča.

U posebnom slučaju paralelnosti dvaju jednakih segmenata (Slika 7.20), međusobna

uzdužna impedancija segmenata opisana je izrazom:

( ) ( )d,P2

jssfZfZ ksksisis,ks

uis,ks

qnis,ks

uis,ks

n 0

00l

rr⋅

π⋅

µ⋅ω⋅⋅⋅⋅=⋅= (7.43)

gdje je is,ksf prigušno-fazni faktor opisan izrazom (7.4), dok je kvazistatička međusobna

impedancija ks-tog i is-tog cilindričnog segmenta vodiča u homogenom i neograničenom

sredstvu opisana izrazom:

( ) ( )d,P2

jssZ ksksis

uis,ks

qn 0

00l

rr⋅

π⋅

µ⋅ω⋅⋅⋅= (7.44)

pri čemu je ( )d,P ksl opisan izrazom (7.2).

45

Slika 7.20. Dva jednaka međusobno paralelna cilindrična segmenta vodiča

u homogenom neograničenom sredstvu

U općem slučaju paralelnosti dvaju segmenata vodiča (Slika 7.21), is-ti se segment

promatra u lokalnom koordinatnom sustavu (u, v) ks-tog segmenta, gdje su krajnje točke

is-tog segmenta T1(u1, vis) i T2(u2, vis). U ovom slučaju, međusobna uzdužna impedancija

ks-tog i is-tog segmenta vodiča u homogenom neograničenom sredstvu opisana je izrazom.

( ) ( )4321ksisis,ksu

is,ksqn

is,ksu

is,ks CCCC4

jssfZfZ 0

00−−+⋅

π⋅

µ⋅ω⋅⋅⋅⋅=⋅=

rr

(7.45)

gdje su Ck ; k = 1, 2, 3, 4 opisani izrazima (7.7) – (7.11), dok je prigušno-fazni faktor is,ksf

opisan izrazom (7.12).

Slika 7.21. Dva različita međusobno paralelna cilindrična segmenta vodiča u homogenom


Prema (7.45), kvazistatička uzdužna impedancija dvaju različitih cilindričnih segmenata

vodiča u homogenom neograničenom sredstvu u općem slučaju paralelnosti opisana je

izrazom:

46

( ) ( )4321ksisu

is,ksqn CCCC

4

jssZ 0

00−−+⋅

π⋅

µ⋅ω⋅⋅⋅=

rr

(7.46)

Za slučaj dvaju neparalelnih cilindričnih segmenata vodiča (Slika 7.22), uzdužna

impedancija u homogenom neograničenom sredstvu opisana je izrazom:

( ) uks,is

ks,isksisis,ks

uis,ks

qnis,ks

uis,ks Z

r

dd

4

jssfZfZ

K

P

K

P

0

00≡

η⋅ξ⋅

π⋅

µ⋅ω⋅⋅⋅⋅=⋅= ∫∫

η

η

ξ

ξ

rr

(7.47)

gdje je značenje oznaka isto kao i u slučaju međusobne poprečne impedancije neparalelnih

segmenata opisane izrazom (7.14).

Slika 7.22. Dva neparalelna cilindrična segmenta vodiča u homogenom i


Slijedi da je međusobna uzdužna impedancija dvaju neparalelnih segmenta vodiča u

homogenom i neograničenom sredstvu:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]pkkpkkppksisis,ks

uis,ks

qnis,ks

uis,ks

,A,A,A,A4

jssf

ZfZ

0

00ηξ−ηξ−ηξ+ηξ⋅

π⋅

µ⋅ω⋅⋅⋅⋅=

⋅=

rr (7.48)

47

gdje je A(ξ,η) opisano izrazom (7.17), dok je prigušno-fazni faktor is,ksf opisan izrazom

(7.12).

Prema (7.48), kvazistatička međusobna uzdužna impedancija dvaju neparalelnih

cilindričnih segmenta vodiča u homogenom i neograničenom sredstvu opisana je izrazom:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]pkkpkkppksisu

is,ksqn ,A,A,A,A

4

jssZ 0

00ηξ−ηξ−ηξ+ηξ⋅

π⋅

µ⋅ω⋅⋅⋅=

rr

(7.49)

7.2.2. Uzdužne impedancije segmenata u dvoslojnom sredstvu

Uz prethodno uvedene aproksimacije, vlastita uzdužna impedancija cilindričnog segmenta

vodiča u dvoslojnom sredstvu kad je segment u tlu ili u zraku opisana je izrazom:

uks,ks

qnuks,ks ZZ = (7.50)

gdje je uks,ks

qn Z kvazistatička uzdužna impedancija u neograničenom sredstvu.

Ako se dva segmenta nalaze u dvoslojnom sredstvu, onda je njihova međusobna

impedancija opisana izrazom:

uks,is

uis,ks

qnis,ks

uis,ks Z ZfZ ≡⋅= (7.51)

Ako su oba segmenta u tlu (Slika 7.23), onda je prigušno-fazni faktor opisan izrazom:

11R

is,ks 0


⋅γ− (7.52)

gdje je RC udaljenost između središta ks-tog i is-tog segmenata definirana Slikom 7.23.

Slika 7.23. Dva cilindrična segmenta vodiča u tlu dvoslojnog sredstva

48

Ako su oba segmenta u zraku (Slika 7.24), onda je prigušno-fazni faktor opisan izrazom:

00R

is,ks 0


⋅γ− (7. 53)

Slika 7.24. Dva cilindrična segmenta vodiča u zraku dvoslojnog sredstava

Ako su segmenti u različitim sredstvima (Slika 7.25 i 7.26), onda je prigušno-fazni faktor

opisan izrazom:

1100RR

is,ks 00

1C10C0 j;j;ef κµ⋅ω⋅=γκµ⋅ω⋅=γ= ⋅⋅

−−⋅γ−⋅γ−

(7.54)

gdje su RC-0 i RC-1 udaljenosti od središta segmenata do površine tla duž spojnice između

središta segmenata.


u zraku a is-ti segment u tlu

49


u tlu a is-ti segment u zraku

7.2.3. Uzdužne impedancije segmenata snopa golih nadzemnih vodiča

Kod visokonaponskih nadzemnih vodova svaka pojedina faza može imati dva ili više

cilindričnih vodiča u snopu. U računalnom programu moguće je uzeti u račun dva vodiča u

snopu (Slika 7.11), tri simetrično raspoređena vodiča u snopu (Slika 7.12) i četiri simetrično

raspoređena vodiča u snopu (Slika 7.13)

Međusobne uzdužne impedancije snopa vodiča i ostalih sastavnica elektromagnetskog

modela računaju se tako da se segment snopa vodiča nadomjesti segmentom jednog vodiča u

središtu snopa. Vlastita uzdužna impedancija ks-tog segmenta snopa vodiča računa se prema

sljedećem izrazu:

n

ZVZV

Z

n

2i

ui

u

uks,ks

111 ∑=

+

= (7.55)

gdje je:

n - ukupan broj vodiča u segmentu snopa vodiča,

u

11ZV - vlastita uzdužna impedancija segmenta vodiča broj 1 u ks-tom segmentu snopa

vodiča,

u

i1ZV - međusobna uzdužna impedancija segmenta vodiča broj 1 i segmenta i-tog vodiča,

koji pripadaju razmatranom ks-tom segmentu snopa vodiča.

50

7.3. Poprečne impedancije kružnih metalnih ploča

7.3.1. Poprečne impedancije ploča u neograničenom sredstvu

Vlastita poprečna impedancija p-te ekvipotencijalne kružne metalne ploče, polumjera pa u

homogenom neograničenom sredstvu kompleksne provodnosti κ (Slika 7.27) opisana je

izrazom [46]:

κ⋅⋅

==

p

p

p,p

qnp

p,p

n

a8

1ZZ (7.56)


kompleksne provodnosti κ

Gustoća struje koju ploča s obje strane ispušta u okolno homogeno i neograničeno sredstvo

opisana je izrazom [46]:

IN

raa2

IJ

22

⋅=

−⋅⋅π⋅

= (7.57)

gdje je, prema nazivlju metode konačnih elemenata za ploču postavljenu u cilindrični

koordinatni sustav:

22raa2

1N

−⋅⋅π⋅

= (7.58)

oblikovna funkcija.

51

Neka su dvije kružne međusobno paralelne metalne ploče p i q, različitih polumjera pa i

,aq smještene u homogenom i neograničenom sredstvu kompleksne provodnosti κ , čiji su

centri horizontalno udaljeni za RC i vertikalno udaljeni za c

z (Slika 7.28).

Slika 7.28. Dvije paralelne kružne metalne ploče u homogenom neograničenom sredstvu

Lako se dobije da je međusobna impedancija ploča u homogenom neograničenom sredstvu

po Galjerkin-Bubnovovoj metodi opisana izrazom [47]:

pp,q

n

S

cqq,ppq,p

qnq,p

pq,p

n ZdS),z,r,a(PNfZfZ

p

≡⋅κ⋅⋅=⋅= ∫∫ (7.59)

gdje je:

( )( )z,a,ra

tana4

1,z,r,aP

1

α

⋅

κ⋅⋅π⋅

=κ− (7.60)

dok je veličina α opisana izrazom (6.22), N izrazom (7.50), a prigušno-fazni faktor opisuje

izraz:

C

2

c

2

c Rγzrγ

qp, eef⋅−+⋅−

== (7.61)

gdje je RC udaljenost između središta razmatranih ploča.

52

Za potrebe 2D numeričko-analitičke integracije po površini p-te ploče površine Sp

naznačene u izrazu (7.59), polovica p-te ploče podijeljena je na 25 dijelova u polarnom

koordinatnom sustavu (ρ, ϑ), a svakom od tih dijelova pridružena je po jedna integracijska

točka tako da duž osiju ρ i ϑ ima po 5 integracijskih točaka. Dakle, integracijske točke su

( )ji , ϑρ i = 1, 2, ..., 5; j = 1, 2, ..., 5 (Slika 7.29).

Slika 7.29. Podjela p-te ploče za potrebe 2D numeričko-analitičke integracije

Vrijedi da je:

ii

ua ⋅=ρ (7.62)

jj u⋅π=ϑ (7.63)

gdje su ui i uj , i = 1, 2, ..., 5; j = 1, 2, ..., 5 koordinate Gaussovih integracijskih točaka u

lokalnom 1D koordinatnom sustavu prikazane u Tablici 7.1.

Horizontalna udaljenost pojedine integracijske točke ( )ji , ϑρ ploče p od središta ploče q

(Slika 7.30) opisana je izrazom:

jci2c

2iij cosr2rr ϑ⋅⋅ρ⋅−+ρ= (7.64)

gdje je rc horizontalna udaljenost središta ploča.

53

Slika 7.30. Horizontalna udaljenost integracijske točke p-te ploče od središta q-te ploče

Korištenjem numeričko-analitičke integracije, izraz (7.59) poprima oblik [47]:

pp,q

n5

1i

5

1j

ijcijqq,ppq,p

qnq,p

pq,p

n ZWH),z,r,a(PfZfZ ≡⋅⋅κ⋅=⋅= ∑ ∑= =

(7.65)

gdje je ),z,r,a(P cijq κ opisan izrazom (7.60), dok je:

2

p

ei

2

p

sii

a1

a1d2NW

ei

si

ρ−−

ρ−=ρ⋅ρ⋅π⋅⋅= ∫

ρ

ρ

(7.66)

gdje su granice integrala:

k

i

1kpei Ha

=

∑⋅=ρ (7.67)

ipeisi Ha ⋅−ρ=ρ (7.68)

Analitičkom integracijom izraza (7.66) dobije se sljedeći izraz:

ρ

−−ρ

−=

p

ei

2

p

si

2

ia

1

a

1W (7.69)

U Tablici 7.1 dane su koordinate Gaussovih integracijskih točaka ju i njima pripadne

težinske funkcije jH za j =1, 2, …, 5 za lokalni 1D koordinatni sustav.

54

Tablica 7.1. Koordinate Gaussovih integracijskih točaka

i njima pripadne težinske funkcije

j ju jH

1

7

1025

6

1

2

1⋅+⋅−

1800

7013322 ⋅−

2

7

1025

6

1

2

1⋅−⋅−

1800

7013322 ⋅+

3

2

1

225

64

4

7

1025

6

1

2

1⋅−⋅+

1800

7013322 ⋅+

5

7

1025

6

1

2

1⋅+⋅+

1800

7013322 ⋅−

Prema izrazu (7.65), kvazistatička međusobna impedancija kružnih metalnih ploča u

homogenom i neograničenom sredstvu opisana je izrazom:

pp,q

qn5

1i

5

1j

ijcijqpq,p

qnZWH),z,r,a(PZ ≡⋅⋅κ=∑ ∑

= =

(7.70)

7.3.2. Poprečne impedancije ploča u dvoslojnom sredstvu

Neka je p-ta ekvipotencijalna kružna metalna ploča polumjera ap ukopana u tlo na dubini

hp (Slika 7.31).

Slika 7.31. Ekvipotencijalna kružna metalna ploča ukopana u tlo dvoslojnog sredstva

55

Ako se primijeni metoda kvazistatičkog odslikavanja (Slika 7.32), vlastita poprečna

impedancija p-te ploče koja se nalazi u tlu dvoslojnog sredstva opisana je izrazom:

p

p,p

qn1r

pp,p

qnpp,p r

ZkZZ ⋅+= (7.71)

gdje je:

p

p,p

qnZ - kvazistatička vlastita poprečna impedancija p-te ploče u homogenom

neograničenom sredstvu kompleksne provodnosti tla 1

κ opisana izrazom

(7.56),

p

p,p

qnr

Z - kvazistatička međusobna poprečna impedancija p-te ploče i njene


provodnosti tla 1κ opisana izrazom (7.70),


Slika 7.32. Ekvipotencijalna kružna metalna ploča ukopana u tlo dvoslojnog sredstva i

njezina kvazistatička refleksijska slika

Međutim, u ovom slučaju, zbog simetričnog položaja slike ploče u odnosu na ploču, vrijedi

jednostavniji izraz od izraza (7.59) za međusobnu kvazistatičku poprečnu impedanciju ploče i

njene refleksijske slike [47]:

∑=

⋅κ⋅=

5

1j

jpjpp,p

qn W),h2,r,a(PZ r (7.72)

56

gdje je:

aur jj ⋅= (7.73)

∫ −−−=⋅⋅⋅⋅=

a

ejr2

1a

sjr2

1

r

r

drrπ2NW

ej

sj

j (7.74)

k

j

1kej Har

=

∑⋅= (7.75)

jejsj Harr ⋅−= (7.76)

I u ovom slučaju, koordinate Gaussovih integracijskih točaka ju i njima pripadne težinske

funkcije jH navedene su u Tablici 7.1.

Neka su dvije metalne ploče ukopane u homogeno tlo te neka su ploče paralelne u

odnosu na površinu tla (Slika 7.33). Neka je pC centar (središte) ploče p, a qC centar

(središte) ploče q:

( )pppp z,y,xC = (7.77)

( )qqqq z,y,xC = (7.78)

Slika 7.33. Kružne metalne ploče ukopane u homogenom tlu

57

Međusobna impedancija ploča u homogenom tlu lako se dobije iz izraza za međusobnu

impedanciju dviju ploča u homogenom i neograničenom sredstvu, uz korištenje metode

odslikavanja (Slika 7.34).

Slika 7.34. Odslikavanje q-te kružne metalne ploče ukopane u homogenom tlu

Konačni izraz za međusobnu impedanciju ploča u homogenom tlu glasi:

( )r

q,p

qn1rq,p

qnq,pq,p

nZkZfZ ⋅+⋅= (7.79)

gdje je:

q,p

qnZ - kvazistatička međusobna impedancija kružnih metalnih ploča u homogenom i

neograničenom sredstvu opisana izrazom (7.70),

r

q,p

qnZ - kvazistatička međusobna impedancija p-te kružne metalne ploče i

refleksijske slike q-te metalne ploče u homogenom i neograničenom sredstvu

opisana izrazom (7.72),


Prigušno-fazni faktor opisan je izrazom

c1 Rq,p ef

⋅γ−= (7.80)

gdje je:

( ) ( ) ( )2qp2

qp2

qp2c

2cc hhyyxxzrR −+−+−=+= (7.81)

međusobna udaljenost između središta ploča.

58

7.4. Međusobna poprečna impedancija metalne ploče i pravocrtnog

segmenta vodiča

7.4.1. Međusobna impedancija ploče i segmenta vodiča u neograničenom sredstvu

Neka se ks-ti cilindrični segment vodiča i p-ta ekvipotencijalna kružna metalna ploča

polumjera ap nalaze u homogenom i neograničenom sredstvu (Slika 7.35). Njihova

međusobna poprečna impedancija opisana je izrazom:

( ) j

n

1j

jjpp,ksp

p,ksqn

p,ksp

p,ksn

H,z,r,aPfZfZ ⋅κ⋅=⋅= ∑=

(7.82)

gdje su ( )jj z,r lokalne koordinate j-te Gaussove integracijske točke u cilindričnom

koordinatnom sustavu ploče (r, z) prema Slici 7.29, dok je jH težinski faktor j-te

integracijske točke dan u Tablici 7.1.

Slika 7.35. Cilindrični segment vodiča i ekvipotencijalna kružna metalna ploča u homogenom


Lokalne koordinate ( )jj z,r Gaussovih integracijskih točaka mogu se izračunati iz

globalnih koordinata Cp(xp, yp, zp) središta p-te metalne ploče i globalnih koordinata

Gaussovih integracijskih točaka koje su opisane izrazima:

( ) ksKjksPjj xuxu1x−−

⋅+⋅−= (7.83)

( ) ksKjksPjj yuyu1y−−

⋅+⋅−= (7.84)

( ) ksKjksPjj zuzu1z−−

⋅+⋅−= (7.85)

59

gdje je P(xP, yP, zP) početna točka ks-tog segmenta, K(xK, yK, zK) konačna točka ks-tog

segmenta, dok su uj lokalne koordinate Gaussovih integracijskih točaka dane u Tablici 7.1.

Prema izrazu (7.82), kvazistatička međusobna impedancija ks-tog cilindričnog segmenta

vodiča i p-te ekvipotencijalne kružne metalne ploče opisana je izrazom:

( ) j

n

1j

jjpp

p,ksqn

H,z,r,aPZ ⋅κ⋅= ∑=

(7.86)

7.4.2. Međusobna impedancija ploče i segmenta vodiča u homogenom tlu

Ako se ks-ti cilindrični segment vodiča i p-ta ekvipotencijalna kružna metalna ploča nalaze

u homogenom tlu dvoslojnog sredstva (Slika 7.36) i ako se primijeni metoda kvazistatičkog

odslikavanja (Slika 7.37), njihova međusobna impedancija opisana je izrazom:

( ⋅+⋅= p

p,ks

qn1r

pp,ks

qnp,ks

pp,ks r

ZkZfZ (7.87)

gdje je:

p

pks,

qnZ - kvazistatička međusobna impedancija ks-tog cilindričnog segmenta vodiča i

p-te ekvipotencijalne kružne metalne ploče opisana izrazom (7.86),

p

pks,

qnr

Z - kvazistatička međusobna impedancija ks-tog cilindričnog vodiča i

refleksijske slike p-te metalne ploče u homogenom i neograničenom sredstvu

Prigušno-fazni faktor opisan je izrazom

c1 Rp,ks ef

⋅γ−= (7.88)

gdje je RC međusobna udaljenost između središta p-te ploče i središta ks-tog segmenta, dok je

1rk faktor kvazistatičke refleksije opisan izrazom (6.9).

60


homogenom tlu dvoslojnog sredstva

Slika 7.37. Cilindrični segment vodiča, ekvipotencijalna kružna metalna ploča i njena

refleksijska slika s obzirom na površinu tla

Ako se ks-ti cilindrični segment vodiča nalazi u zraku, a p-ta ekvipotencijalna kružna

metalna ploča u homogenom tlu dvoslojnog sredstva i ako se primijeni metoda kvazistatičkog

odslikavanja (Slika 7.38), njihova međusobna impedancija opisana je izrazom:

p

p,ks

qn1tp,ks

pp,ks t

ZkfZ ⋅⋅= (7.89)

61

gdje je:

p

pks,

qnt

Z - kvazistatička međusobna impedancija ks-tog cilindričnog vodiča i

transmisijske slike p-te metalne ploče u homogenom i neograničenom

sredstvu, opisana izrazom (7.86) za 0κ

1tk - faktor kvazistatičke transmisije opisan izrazom (6.13),

p,ksf - prigušno-fazni faktor.

U izrazu (7.89) prigušno-fazni faktor opisan je izrazom:

0C01C1 RRp,ks ef −−

⋅γ−⋅γ−= (7.90)

Slika 7.38. Cilindrični segment vodiča u zraku i ekvipotencijalna kružna metalna ploča u

homogenom tlu dvoslojnog sredstva

62

7.5. Poprečne impedancije segmenata vodiča jednožilnih kabela

Na Slici 7.39 prikazani su svi slojevi jednožilnog visokonaponskog kabela vrste XHE 49

koji ima vanjski izolacijski plašt.

Slika 7.39. Jednožilni kabel XHE 49

Dijelovi kabela prikazanog na Slici 7.39 su:

1 - Vodič koji može biti zbijeno aluminijsko ili bakreno uže,

2 - Ekran vodiča od poluvodljivog sloja na vodiču,

3 - Izolacija od umreženog polietilena (XLPE),

4 - Ekran izolacije od ekstrudiranog poluvodljivog sloja na izolaciji,

5 - Unutarnji separator od poluvodljivih bubrivih traka,

6 - Metalni ekran od bakrene žice s kontraspiralom od bakrene trake,

7 - Vanjski separator od poluvodljivih bubrivih traka,

8 - Laminirani plašt od aluminijske ili bakrene trake s kopolimerom,

9 - Vanjski plašt od membranske polietilenske (HDPE) zaštite.

Osim izolacijskih i poluvodljivih slojeva, jednožilni kabel, u općem slučaju, može imati

jedan ili više metalnih ekrana (Slika 7.40), jedan fazni vodič te jedan ili više slojeva metalne

armature [48]. Za analizu i razvoj elektromagnetskog modela u prvom koraku uzima se da je

jednožilni kabel goli vodič koji ima polumjer jednak vanjskom polumjeru kabela. U drugom

se koraku uzima da samo poprečna struja metalnog ekrana i poprečna struja faznog vodiča

teče od ekrana ili faznog vodiča prema rubu kabela, tj. da se poprečne struje drugih segmenata

vodiča, koji ne pripadaju razmatranom segmentu kabela, ne mogu probiti do metalnih ekrana i

faznog vodiča razmatranog segmenta kabela.

63

Slika 7.40. Jednožilni kabel XHEh 91


1 - Vodič koji može biti zbijeno aluminijsko ili bakreno uže,



4 - Ekran izolacije od ekstrudiranog poluvodljivog sloja na izolaciji,

5 - Metalni ekran od bakrene žice s kontraspiralom od bakrene trake obložen

vodonepropusnim slojem,

6 - Plašt od poluvodljivog polietilena (PE),

7 - Dodatna električna zaštita od pokositrene bakrene žice u dva sloja.

U razvijenom elektromagnetskom modelu, raspodjela skalarnog električnog potencijala

uslijed poprečnih struja vodiča segmenta jednožilnih kabela računa se na isti način kao i za

segmente golih vodiča (podpoglavlje 6.1). Pritom raspodjeli potencijala u okolnom sredstvu

doprinose poprečne struje svih vodiča razmatranog segmenta jednožilnog kabela.

Što se tiče vlastitih i međusobnih impedancija, izolacijski, poluvodljivi i vodljivi slojevi

jednožilnog kabela utječu samo na izračun vlastitih i međusobnih poprečnih impedancija

vodiča razmatranog segmenta jednožilnog kabela. Osim toga, kvazistatičke slike segmenata

vodiča jednožilnih kabela na isti način doprinose vlastitim i međusobnim poprečnim

impedancijama kao da se radi o kvazistatičkim slikama golih vodiča. To vrijedi i za

međusobne poprečne impedancije segmenata vodiča koji pripadaju različitim segmentima

jednožilnih kabela, tj. njih u elektromagnetskom modelu razmatramo kao da se radi o golim

vodičima u homogenom neograničenom sredstvu pa se njihove međusobne impedancije

računaju prema izrazima (7.6) – (7.18)

Važno je napomenuti da su u elektromagnetski model za izračun raspodjele struje

zemljospoja uključeni samo fazni vodiči zračnih vodova i kabela kojima teče dio struje

zemljospoja, odnosno fazni vodiči čije struje napajaju mjesto kvara.

64

7.5.1. Vlastita poprečna impedancija segmenta vodiča jednožilnog kabela u


Neka se za segment jednožilnog kabela razmatra ukupno n izolacijskih, poluvodljivih ili

vodljivih slojeva te neka se segment kabela nalazi u homogenom neograničenom sredstvu

kompleksne provodnosti κ (Slike 7.41 i 7.42). U općem slučaju, razmatrani segment

jednožilnog kabela može imati jedan fazni vodič i proizvoljan broj metalnih ekrana i metalnih

armatura. Ako se u elektromagnetskom modelu razmatra i fazni vodič segmenta jednožilnog

kabela, onda je fazni vodič prvi sloj razmatranog dijela segmenta jednožilnog kabela, koji se

numerički modelira kao puni ili pak kao šuplji vodič. Ako se u elektromagnetskom modelu ne

razmatra fazni vodič segmenta jednožilnog kabela, onda je unutarnji metalni ekran prvi sloj

razmatranog dijela segmenta jednožilnog kabela (Slika 7.41). U posebnom slučaju, kad se

razmatra fazni vodič i kad se segment faznog vodiča numerički modelira kao puni cilindrični

vodič, unutarnji polumjer razmatranog dijela segmenta jednožilnog kabela r0 = 0 (Slika 7.42).

U slučaju kad se za razmatrani fazni vodič segment faznog vodiča numerički modelira kao

šuplji cilindrični vodič, unutarnji polumjer razmatranog dijela segmenta jednožilnog kabela

r0 > 0 i vrijedi Slika 7.41.

Slika 7.41. Poprečni presjek jednožilnog kabela u homogenom neograničenom sredstvu

kad je prvi sloj šuplji vodič

65

Slika 7.42. Poprečni presjek jednožilnog kabela u homogenom neograničenom sredstvu

kad je prvi sloj puni vodič

Vlastita poprečna impedancija kv-tog vodiča segmenta jednožilnog kabela može se opisati

izrazom izvorno dobivenim korištenjem metode srednjeg potencijala [31-32], [49]:

( ) ( ) ( )

∑+=

−

⋅κ⋅π⋅

−

+

⋅κ⋅π⋅

==

n

1ikvi2kvi

ikv1ikv

2kv

nkvpkv,kv

qnpkv,kv

n

2

r,Pr,P

2

r,PZZ

l

ll

l

l

(7.91)

gdje je ( )v,P l opisan izrazom (7.2), dok je ikv redni broj sloja razmatranog dijela segmenta

jednožilnog kabela koji pripada kv-tom vodiču.

7.5.2. Međusobna poprečna impedancija segmenta vodiča jednožilnog kabela u


Međusobna poprečna impedancija kd-tog i kg-tog vodiča (kd < kg) razmatranog segmenta

jednožilnog kabela u homogenom neograničenom sredstvu (Slike 7.43 i 7.44) opisana je

izrazom:

pkd,kg

qnpkg,kg

npkg,kd

qnpkg,kd

nZZZZ ≡== (7.92)

Dakle, međusobna poprečna impedancija kd-tog segmenta donjeg vodiča i kg-tog

segmenta gornjeg vodiča, koji pripadaju istom segmentu jednožilnog kabela u homogenom

neograničenom sredstvu, jednaka je vlastitoj poprečnoj impedanciji gornjeg segmenta vodiča

u homogenom neograničenom sredstvu.

66

7.6. Uzdužne impedancije segmenata vodiča jednožilnih kabela

Kao i kod izračuna poprečnih impedancija segmenata jednožilnih kabela, u prvom koraku

uzima se da je jednožilni kabel goli vodič koji ima polumjer jednak vanjskom polumjeru

kabela. U razvijenom elektromagnetskom modelu, raspodjela vektorskog magnetskog

potencijala uslijed uzdužnih struja segmenata jednožilnih kabela računa se na isti način kao i

za segmente golih vodiča (podpoglavlje 6.3). Pritom raspodjeli vektorskog magnetskog

potencijala u okolnom sredstvu doprinose uzdužne struje svih vodiča razmatranog segmenta

jednožilnog kabela.

Što se tiče vlastitih i međusobnih impedancija, permeabilnosti izolacijskih, poluvodljivih i

vodljivih slojeva razmatranog dijela segmenta jednožilnog kabela utječu samo na izračun

vlastitih i međusobnih impedancije segmenata vodiča koji pripadaju istom segmentu

jednožilnog kabela. To znači da uzdužne struje segmenata metalnih ekrana i faznih vodiča

koji pripadaju različitim segmentima jednožilnih kabela na isti način doprinose vlastitim i

međusobnim uzdužnim impedancijama kao da se radi o golim vodičima u homogenom

neograničenom sredstvu.

7.6.1. Vlastita uzdužna impedancija segmenata vodiča jednožilnih kabela

Neka se za segment jednožilnog kabela razmatra ukupno n izolacijskih, poluvodljivih ili

vodljivih slojeva različitih permeablinosti te neka se segment kabela nalazi u homogenom

neograničenom sredstvu permeabilnosti µ0 (Slike 7.43 i 7.44). U općem slučaju, razmatrani

segment jednožilnog kabela može imati jedan fazni vodič i proizvoljan broj metalnih ekrana i

metalnih armatura. Ako se u elektromagnetskom modelu razmatra i fazni vodič segmenta

jednožilnog kabela, onda je fazni vodič prvi sloj razmatranog dijela segmenta jednožilnog

kabela, koji se numerički modelira kao puni ili pak kao šuplji vodič. Ako se u

elektromagnetskom modelu ne razmatra fazni vodič segmenta jednožilnog kabela, onda je

unutarnji metalni ekran prvi sloj razmatranog dijela segmenta jednožilnog kabela (Slika 7.43).

U posebnom slučaju, kad se razmatra fazni vodič i kad se segment faznog vodiča numerički

modelira kao puni cilindrični vodič, unutarnji polumjer razmatranog dijela segmenta

jednožilnog kabela r0 = 0 (Slika 7.44). U slučaju kad se razmatra fazni vodič i kad se segment

faznog vodiča numerički modelira kao šuplji cilindrični vodič, unutarnji polumjer

razmatranog dijela segmenta jednožilnog kabela r0 > 0 i vrijedi Slika 7.43.

67


sredstvu kad je prvi sloj šuplji vodič


sredstvu kad je prvi sloj puni vodič

Vlastita uzdužna impedancija kv-tog segmenta vodiča razmatranog segmenta jednožilnog

kabela može se opisati izrazom izvorno dobivenim korištenjem metode srednjeg potencijala:

68

( ) ( ) ( )

∑+=

−

π⋅

−⋅µ⋅ω⋅+

π⋅µ⋅ω⋅+

⋅==

⋅

n

1ikvi

ikv1ikvi

nkv

kv1kv

ukv,kv

qnukv,kv

n

2

r,Pr,Pj

2

r,Pj

ZZZ

0

lll

l

(7.93)

gdje je ( )v,P l opisan izrazom (7.2), dok je ikv redni broj sloja razmatranog dijela segmenta

jednožilnog kabela koji pripada kv-tom vodiču, a jedinična unutarnja impedancija segmenta

kv-tog vodiča 1kvZ opisana je izrazom (7.31).

7.6.2. Međusobna uzdužna impedancija segmenata vodiča jednožilnih kabela

Međusobna uzdužna impedancija kd-tog i kg-tog vodiča (kd < kg) razmatranog segmenta

jednožilnog kabela u homogenom neograničenom sredstvu (Slike 7.43 i 7.44) opisana je

izrazom:

ukd,kg

qnkg

1kg

ukg,kg

nukg,kd

qnukg,kd

nZZZZZ ≡⋅−== l (7.94)

Dakle, međusobna uzdužna impedancija segmenata vodiča, koji pripadaju istom segmentu

jednožilnog kabela, u homogenom neograničenom sredstvu jednaka je vlastitoj uzdužnoj

vanjskoj impedanciji gornjeg segmenta vodiča u homogenom neograničenom sredstvu.

Drugim riječima, međusobna uzdužna impedancija segmenata vodiča, koji pripadaju istom

segmentu jednožilnog kabela, u homogenom neograničenom sredstvu jednaka je vlastitoj

uzdužnoj impedanciji gornjeg segmenta vodiča u homogenom neograničenom sredstvu

umanjenoj za unutarnju impedanciju tog gornjeg segmenta vodiča.

7.7. Poprečne i uzdužne impedancije segmenata vodiča trožilnih kabela

Trožilni kabeli mogu imati različite izvedbe s obzirom na metalni ekran koji sudjeluje u

raspodjeli struje zemljospoja. Najčešće su izvedbe trožilnih kabela:

• Kabel s vanjskim olovnim plaštom koji je ujedno i jedini metalni ekran (Slika 7.45),

• Kabel sa zajedničkim metalnim ekranima (Slika 7.46),

• Kabel s metalnim ekranima oko svakog od tri fazna vodiča (Slika 7.47), i

zajedničkim metalnim ekranima ili zajedničkim metalnim armaturama.

69

Slika 7.45. Trožilni kabel s vanjskim olovnim plaštom


1 - Vodič od bakrenog ili aluminijskog zbijenog užeta,

2 - Slojevi izolacije oko vodiča,

3 - Izolacija s unutarnjom ispunom,

4 - Izolacija prvog sloja,

5 - Slojevi završne izolacije,

6 - Olvni plašt koji je i jedini metalni ekran,

Slika 7.46. Trožilni kabel s jednim zajedničkim metalnim ekranom

70


1 - Vodič od bakrenog ili aluminijskog zbijenog užeta,

2 - Slojevi izolacije oko vodiča,

3 - Izolacija s unutarnjom ispunom,

4 - Izolacija prvog sloja,

5 - Slojevi završne izolacije,

6 - Zajednički metalni ekran,

7 - Slojevi izolacije iza ekrana,

8 - Vanjski plašt izolacije.

Slika 7.47. Trožilni kabel XHE49 s metalnim ekranima oko faznih vodiča i zajedničkom

metalnom armaturom


1 - Vodič od zbijenog bakrenog užeta,



4 - Ekran izolacije od poluvodljivog sloja na vodiču,

5 - Električna zaštita / ekran od bakrene trake, uzdužno i poprečno vodonepropusne,

6 - Unutarnji plašt od polietilenske (PE-HD) izolacije,

7 - Armatura od čelične okrugle žice, vodonepropusne izvedbe,

8 - Vanjski plašt od polietilenske (PE-HD) izolacije.

71

Vlastite i međusobne poprečne i uzdužne impedancije segmenata vodiča trožilnog kabela s

vanjskim olovnim plaštom koji je ujedno i jedini metalni ekran računaju se tako da se:

• Vanjski metalni plašt razmatra kao goli šuplji vodič,

• Kod izračuna vlastite impedancije pojedinog segmenta faznog vodiča i međusobne

impedancije faznog vodiča i vanjskog metalnog plašta istog segmenta kabela koriste

jednadžbe izvedene za jednožilni kabel, tj. razmatrani fazni vodič i njegova vlastita

izolacija smještaju se u središte kabela (Slika 7.48),

• Kod izračuna međusobne impedancije segmenata dvaju faznih vodiča istog segmenta

kabela ta se impedancija računa kao vlastita vanjska impedancija segmenta faznog

vodiča jednožilnog kabela kojemu je polumjer jednak razmaku između središta faznih

vodiča d, a oko njega se nalaze cilindrični slojevi sa značajkama slojeva trožilnog

kabela (Slika 7.49).


jednim zajedničkim metalnim ekranom računaju se po istom pravilu kao i vlastite i

međusobne poprečne i uzdužne impedancije segmenata vodiča trožilnog kabela s vanjskim

olovnim plaštom. Razlika je jedino u tome što zajednički metalni ekran nije goli vodič.

Slika 7.48. Trožilni kabel s vanjskim olovnim plaštom nadomješten faznim vodičem u središtu

kabela (oznake slojeva kao na Slici 7.45)

72

Slika 7.49. Trožilni kabel s vanjskim olovnim plaštom nadomješten faznim vodičem u središtu

kabela čiji je polumjer jednak razmaku između središta dvaju faznih vodiča

(oznake slojeva kao na Slici 7.45)


metalnim ekranima oko svakog od tri fazna vodiča računaju se tako da:

• Kod izračuna vlastite impedancije segmenta pojedinog metalnog ekrana, vlastite

impedancije pojedinog faznog vodiča i međusobne impedancije faznog vodiča i njemu

pripadnog metalnog ekrana koriste jednadžbe izvedene za jednožilni kabel, a

razmatrani fazni vodič, njegov metalni ekran i njegova vlastita izolacija smještaju se u

središte kabela (Slika 7.50),

• Kod izračuna međusobne impedancije segmenata dvaju faznih vodiča koji pripadaju

istom segmentu kabela ta se impedancija računa kao vlastita vanjska impedancija

segmenta faznog vodiča jednožilnog kabela kojemu je polumjer jednak razmaku

između središta faznih vodiča d, a oko njega se nalaze cilindrični slojevi sa

značajkama zajedničkih slojeva faznih vodiča trožilnog kabela (Slika 7.51),

• Međusobne impedancije jednog faznog vodiča i metalnog ekrana drugog faznog

vodiča jednake su međusobnoj impedanciji dvaju faznih vodiča,

• Međusobne impedancije dvaju metalnih ekrana jednake su međusobnim

impedancijama dvaju faznih vodiča.

73

Slika 7.50. Trožilni kabel s metalnim ekranom oko svakog faznog vodiča nadomješten jednim

faznim vodičem sa svojim ekranom u središtu kabela (oznake slojeva kao na Slici 7.47)

Slika 7.51. Trožilni kabel s metalnim ekranom oko svakog faznog vodiča nadomješten faznim

vodičem u središtu kabela čiji je polumjer jednak razmaku središta dvaju faznih vodiča

(oznake slojeva kao na Slici 7.47)

74

U posebnom slučaju kad trožilni kabel ima metalne ekrane oko svakog od tri fazna vodiča

koji ne napajaju mjesto zemljospoja, fazni vodiči se mogu zanemariti pa se tada, radi

simetrije, sva tri metalna ekrana mogu nadomjestiti jednim metalnim ekranom, a vlastite

impedancije nadomjesnog ke-tog segmenta metalnog ekrana opisane su izrazima:

3

Z2ZZZ

ptmedj

nptvl

np

ke,keqnp

ke,ken

⋅+

== (7.95)

3

Z2ZZZ

utmedj

nutvl

nu

ke,keqnu

ke,ken ⋅+

== (7.96)

gdje je:

−

ptvl

nZ vlastita poprečna impedancija segmenta metalnog ekrana trožilnog kabela,

−

ptmedj

nZ međusobna poprečna impedancija dvaju metalnih ekrana istog segmenta

trožilnog kabela,

−

utvl

nZ vlastita uzdužna impedancija segmenta metalnog ekrana trožilnog kabela,

−

utmedj

nZ međusobna uzdužna impedancija dvaju metalnih ekrana istog segmenta

trožilnog kabela.

U praksi se može pojaviti i slučaj podmorskog trožilnog kabel s jednim ili više olovnih

ekrana i vanjskom metalnom armaturom koja se uzemljuje na oba kraja i praktično je u

izravnom električnom kontaktu s morem jer je oko nje morem natopljena mehanička zaštita,

koja se u elektromagnetskom modelu zanemaruje. Pritom je moguće i da svaki od faznih

vodiča ima svoj dodatni olovni ekran (Slika 7.52). Vlastite i međusobne poprečne i uzdužne

impedancije ovakvih trožilnih kabela s dva ili više zajednička metalna ekrana i eventualno s

dodatnim metalnim ekranima faznih vodiča računaju se po istim pravilima kao i vlastite i

međusobne poprečne i uzdužne impedancije trožilnog kabela s vanjskim olovnim plaštom,

odnosno kao vlastite i međusobne poprečne i uzdužne impedancije jednožilnog kabela s dva

metalna ekrana. Dakle, ista logika vrijedi bez obzira na ukupan broj i razmještaj metalnih

ekrana, gdje se pod metalnim ekranom podrazumijeva i svaka na oba kraja uzemljena

armatura. To znači da se metalna armatura uzemljena na oba kraja, u elektromagnetskom

modelu, razmatra kao da je i ona metalni ekran uzemljen na oba kraja.

75

Slika 7.52. Trožilni kabel s olovnim ekranom oko svakog faznog vodiča, zajedničkim olovnim

ekranom i armaturom koja se uzemljuje

76

8. SUSTAVI JEDNADŽBI ELEKTROMAGNETSKOG MODELA

8.1. Lokalni sustav jednadžbi konduktivno i kapacitivno spregnutih sastavnica

U elektromagnetskom su modelu konduktivno i kapacitivno spregnuti cilindrični segmenti

vodiča i nadomjesne metalne ploče. Cilindrični segmenti vodiča mogu pripadati golim

vodičima u tlu ili zraku te izoliranim vodičima (kabelima) ukopanim u tlo. Za dvoslojno

sredstvo, kojeg tvore zrak i homogeno tlo, potpuni lokalni sustav jednadžbi za poprečne struje

lokalnih čvorova međusobno konduktivno i kapacitivno spregnutih sastavnica konačnog

elementa glasi [28]:

[ ] pcpIY =Φ⋅ (8.1)

[ ] [ ] [ ] [ ]p1pTpp AZAY ⋅⋅=

−

(8.2)

gdje je:

[ ]pY - matrica vlastitih i međusobnih poprečnih admitancija lokalnih čvorova međusobno

konduktivno i kapacitivno spregnutih sastavnica konačnog elementa,

Φ - vektor potencijala lokalnih čvorova konačnog elementa kojeg tvore sve međusobno

konduktivno i kapacitivno spregnute sastavnice elektromagnetskog modela,

pcI - vektor poprečnih struja lokalnih čvorova konačnog elementa kojeg tvore

konduktivno i kapacitivno spregnute sastavnice konačnog elementa,

[ ]pZ - matrica vlastitih i međusobnih poprečnih impedancija konduktivno i kapacitivno

spregnutih sastavnica konačnog elementa,

[ ]pA - matrica poprečne veze između sastavnica konačnog elementa i njihovih lokalnih

čvorova.

Neka je ukupan broj međusobno konduktivno i kapacitivno spregnutih sastavnica

konačnog elementa nps te neka su označene prirodnim brojevima od 1 do nps. Neka je

ukupan broj lokalnih čvorova konačnog elementa kojeg tvore konduktivno i kapacitivno

spregnute sastavnice konačnog elementa npc te neka su označeni prirodnim brojevima od 1

do npc. Koeficijenti matrice poprečne veze, sastavnica – lokalni čvor, opisani su sljedećim

izrazom:

77

=

inace 0

cvorti-icpripadakojemsegmentsastavnicata-isjeako2

1

cvorti-icpripadakojojlocapsastavnicata-isjeako1

Apic,is (8.3)

Prema tehnici konačnih elemenata [50], iz potpunog lokalnog sustava jednadžbi (8.1)

slijedi nepotpuni lokalni sustav jednadžbi za poprečne struje lokalnih čvorova konduktivno i

kapacitivno spregnutih sastavnica konačnog elementa koji glasi:

[ ] 0Yp

=Φ⋅ (8.4)

8.2. Lokalni sustav jednadžbi induktivno spregnutih sastavnica

U elektromagnetskom su modelu induktivno spregnuti samo cilindrični segmenti vodiča

koji mogu pripadati golim vodičima u tlu ili zraku te izoliranim vodičima (kabelima)

ukopanim u tlo. Za dvoslojno sredstvo, kojeg tvore zrak i homogeno tlo, potpuni lokalni

sustav jednadžbi za uzdužne struje lokalnih čvorova međusobno induktivno spregnutih

sastavnica konačnog elementa glasi [25]:

[ ] ucu

IY =Φ⋅ (8.5)

[ ] [ ] [ ] [ ]u1uTuuAZAY ⋅⋅=

−

(8.6)

gdje je:

[ ]uY - matrica vlastitih i međusobnih uzdužnih admitancija lokalnih čvorova međusobno

induktivno spregnutih sastavnica konačnog elementa,

Φ - vektor potencijala lokalnih čvorova konačnog elementa kojeg tvore međusobno

induktivno spregnute sastavnice konačnog elementa,

ucI - vektor uzdužnih struja lokalnih čvorova konačnog elementa kojeg tvore

međusobno induktivno spregnute sastavnice elektromagnetskog modela,

[ ]uZ - matrica vlastitih i međusobnih uzdužnih impedancija induktivno spregnutih

sastavnica konačnog elementa,

[ ]uA - matrica uzdužne veze između induktivno spregnutih sastavnica konačnog elementa

i njihovih lokalnih čvorova.

78

Neka je ukupan broj međusobno induktivno spregnutih sastavnica konačnog elementa nus

te neka su označene prirodnim brojevima od 1 do nus. Neka je ukupan broj lokalnih čvorova

konačnog elementa kojeg tvore međusobno induktivno spregnute sastavnice nuc te neka su

označeni prirodnim brojevima od 1 do nuc. Koeficijenti matrice uzdužne veze, sastavnica –

lokalni čvor, opisani su sljedećim izrazom:

−−

−

=

inace 0

sastavniceteiscvorkrajnjicvorti-cijeako1

sastavniceteiscvorpocetnicvorti-cijeako1

Auic,is (8.7)

Prema tehnici konačnih elemenata, iz potpunog lokalnog sustava jednadžbi (8.5) slijedi

nepotpuni lokalni sustav jednadžbi za uzdužne struje lokalnih čvorova induktivno spregnutih

sastavnica konačnog elementa koji glasi:

[ ] 0Yu

=Φ⋅ (8.8)

Nepotpuni lokalni sustav jednadžbi (8.8) i potpuni lokalni sustav jednadžbi (8.5) vrijede za

elektromagnetski model u kojem su fazni vodiči kojima teku struje zemljospoja i

transformatori sastavnice modela. Međutim, ako postoji potreba da se u izračunu koriste

drugim algoritmom izračunate struje zemljospoja koje teku faznim vodičima ili samo nulta

komponenta tih struja, onda nepotpuni lokalni sustav jednadžbi glasi:

[ ] [ ] [ ] [ ] dfsf1

uT

uuIIZZAY =⋅⋅⋅=Φ⋅

−

(8.9)

gdje je:

[ ]uY - matrica vlastitih i međusobnih uzdužnih admitancija lokalnih čvorova međusobno

induktivno spregnutih sastavnica konačnog elementa bez pripadnih faznih vodiča,

Φ - vektor potencijala lokalnih čvorova konačnog elementa kojeg tvore induktivno

spregnute sastavnice bez pripadnih faznih vodiča,


sastavnica konačnog elementa bez pripadnih faznih vodiča,


i njihovih lokalnih čvorova bez pripadnih faznih vodiča,

79

[ ]sfZ - matrica međusobnih uzdužnih impedancija između faznih vodiča i drugih

induktivno spregnutih sastavnica razmatranog konačnog elementa,

fI - vektor poznatih uzdužnih struja faznih vodiča kojima teku struje zemljospoja,

dI - vektor doprinosa zadanih strujnih izvora uslijed induktivne sprege faznih vodiča i

drugih sastavnica razmatranog konačnog elementa.

Ako se u izračun raspodjele struje zemljospoja ulazi s poznatim strujama zemljospoja,

možemo reći da imamo zadane nezavisne strujne izvore. U tom slučaju, nema potrebe u

elektromagnetski model uključivati transformatore. Induktivna sprega između faznih vodiča

kojima teku struje zemljospoja i cilindričnih segmenata vodiča ostalih sastavnica konačnog

elementa uzima se u račun korištenjem jednadžbi (8.9). Konduktivna i kapacitivna sprega

između faznih vodiča kojima teku struje zemljospoja i cilindričnih segmenata vodiča ostalih

sastavnica konačnog elementa se zanemaruje.

8.3. Lokalni sustav jednadžbi dvonamotnog jednofaznog transformatora

Jednofazni se dvonamotni transformator (Slika 8.1) može prikazati pomoću nadomjesne

sheme (Slika 8.2), gdje je 1Z impedancija višenaponske strane transformatora, 2Z′

impedancijama niženaponske strane transformatora reducirana na višenaponsku stranu, dok je

mZ poprečna impedancija transformatora. Nadalje je f1U fazor napona višenaponske strane

transformatora, f2U fazor napona niženaponske strane transformatora, f2U′ fazor napona

niženaponske strane transformatora reduciran na višenaponsku stranu, f1I fazor struje

višenaponske strane transformatora, f2I fazor struje niženaponske strane transformatora, dok

je f2I′ fazor struje niženaponske strane transformatora reduciran na višenaponsku stranu.

Slika 8.1. Namoti dvonamotnog jednofaznog transformatora

80

Slika 8.2. Nadomjesna shema dvonamotnog jednofaznog transformatora

Iz nadomjesne sheme prikazane na Slici 8.2, pomoću metode napona čvorova lako se

dobije sustav linearnih jednadžbi za tri naznačena čvora. Nakon eliminacije jednadžbe

unutarnjeg čvora 3, dobije se sljedeći sustav linearnih jednadžbi [51]:

=

⋅

−⋅

⋅−

⋅−

−⋅

⋅'

f2

f1

'

f2

f1

'

2

'

2

'

21

'

2111

I

I

U

U

Z

1B

Z

1

ZZ

1

ZZ

1

Z

1B

Z

1

B

1 (8.10)

gdje je:

m

'

21 Z

1

Z

1

Z

1B ++= (8.11)

dok je prijenosni omjer transformatora:

fn2

fn1

2

12,1

U

U

N

Np ≈= (8.12)

gdje je N1 ukupan broj zavoja višenaponskog namota transformatora, N2 ukupan broj zavoja

niženaponskog namota transformatora, fn1

U efektivna vrijednost nazivnog napona

višenaponske strane transformatora, a fn2

U efektivna vrijednost nazivnog napona

niženaponske strane transformatora. Niženaponske veličine reducirane na višenaponsku

stranu transformatora opisane su izrazima:

2f2,12f UpU ⋅=′ (8.13)

81

2,1

2f2f

p

II =′ (8.14)

222,12 ZpZ ⋅=′ (8.15)

Nakon uvrštenja izraza (8.12) – (8.14) u izraz (8.9), dobije se sustav jednadžbi koji u

matričnom zapisu glasi:

[ ]

=

⋅f2

f1

f2

f1n

I

I

U

UY (8.16)

gdje je matrica admitancija namota transformatora [51]:

[ ]

−

′⋅−

⋅−

−⋅

⋅=

=

'

2

'

2

2

2,1

21

2,1

'

21

2,1

11

n

22

n

21

n

12

n

11n

Z

1B

Z

p

ZZ

p

ZZ

p

Z

1B

Z

1

B

1

YY

YYY (8.17)

Ako se uzme da je impedancija poprečne grane beskonačna ( )∞→m

Z , onda slijedi da je:

[ ]

−

−⋅=

=

2

2,12,1

2,1

12n

22

n

21

n

12

n

11n

pp

p1

Z

1

YY

YYY (8.18)

gdje je:

2112 ZZZ ′+= (8.19)

impedancija kratkog spoja reducirana na višenaponsku stranu transformatora. Ako je zadan

postotni naponi kratkog spoja uk dvonamotnog jednofaznog transformatora, onda se

impedancija kratkog spoja aproksimira pomoću izraza:

100S

UujZ

fn

2

fn1k12

⋅

⋅

⋅= (8.20)

gdje je Sfn nazivna snaga dvonamotnog jednofaznog transformatora. Ako je poznat faktor

snage kratkog spoja, onda se iz njega može izračunati i kut impedancije kratkog spoja. Lako

se vidi da je izraz (8.20) utemeljen na pretpostavci da je faktor snage kratkog spoja jednak

nuli.

82

Da bi se dobio potpuni lokalni sustav jednadžbi jednofaznog dvonamotnog transformatora,

napone i struje namota transformatora treba zamijeniti s potencijalima i strujama lokalnih

čvorova transformatora (Slika 8.3), gdje lokalni čvorovi 1 i 2 pripadaju višenaponskom

namotu, a lokalni čvorovi 3 i 4 niženaponskom namotu transformatora.

Slika 8.3. Potencijali i struje lokalnih čvorova dvonamotnog jednofaznog transformatora

Korištenjem matrice veze namot - lokalni čvor, iz sustava jednadžbi (8.10) lako se dobije

potpuni lokalni sustav jednadžbi dvonamotnog jednofaznog transformatora koji glasi [51]:

=

Φ

Φ

Φ

Φ

⋅

−−

−−

−−

−−

fc

4

fc

3

fc

2

fc

1

f

4

f

3

f

2

f

1

n

22

n

22

n

21

n

21

n

22

n

22

n

21

n

21

n

12

n

12

n

11

n

11

n

12

n

12

n

11

n

11

I

I

I

I

YYYY

YYYY

YYYY

YYYY

(8.21)

ili kraće pisano:

[ ] fcffIY =Φ⋅ (8. 22)

gdje je [ ]fY matrica admitancija lokalnih čvorova transformatora, fΦ vektor potencijala

lokalnih čvorova transformatora, a fcI vektor struja lokalnih čvorova transformatora.


nepotpuni lokalni sustav jednadžbi dvonamotnog jednofaznog transformatora opisan

matričnom jednadžbom:

[ ] 0Y ff =Φ⋅ (8. 23)

83

8.4. Lokalni sustav jednadžbi tronamotnog jednofaznog transformatora

Jednofazni se tronamotni transformator (Slika 8.4) može prikazati pomoću nadomjesne

sheme (Slika 8.5), gdje je 1Z impedancija višenaponske strane transformatora, 2Z′

impedancijama srednjenaponske strane transformatora reducirana na višenaponsku stranu, 3Z′

impedancijama niženaponske strane transformatora reducirana na višenaponsku stranu dok je

mZ poprečna impedancija transformatora. Nadalje je

f1U fazor napona višenaponske strane

transformatora, f2U fazor napona srednjenaponske strane transformatora, f3U fazor napona

niženaponske strane transformatora, f2U′ fazor napona srednjenaponske strane transformatora

reduciran na višenaponsku stranu, 3f

U′ fazor napona niženaponske strane transformatora

reduciran na višenaponsku stranu, f1

I fazor struje višenaponske strane transformatora, f2

I

fazor struje srednjenaponske strane transformatora, f3

I fazor struje niženaponske strane

transformatora, f2

I′ fazor struje srednjenaponske strane transformatora reduciran na

višenaponsku stranu, dok je 3fI′ fazor struje niženaponske strane transformatora reduciran na

višenaponsku stranu.

Slika 8.4. Namoti tronamotnog jednofaznog transformatora

84

Slika 8.5. Nadomjesna shema tronamotnog jednofaznog transformatora

Iz nadomjesne sheme prikazane na Slici 8.5, pomoću metode napona čvorova lako se

dobije sustav linearnih jednadžbi za četiri naznačena čvora. Nakon eliminacije jednadžbe

unutarnjeg čvora 4, dobije se sljedeći sustav linearnih jednadžbi:

′

′=

′

′⋅

′−⋅

′′⋅′−

′⋅−

′⋅′−

′−⋅

′⋅−

′⋅−

′⋅−

−⋅

⋅

3f

2f

1f

3f

2f

1f

333231

3222

'

21

312111

I

I

I

U

U

U

Z

1C

Z

1

ZZ

1

ZZ

1

ZZ

1

Z

1C

Z

1

ZZ

1

ZZ

1

ZZ

1

Z

1C

Z

1

C

1 (8.24)

gdje je:

m

'

3

'

21 Z

1

Z

1

Z

1

Z

1C +++= (8.25)

dok je prijenosni omjer transformatora 2,1

p opisan izrazom (8.12), a prijenosni omjer

transformatora 3,1

p sljedećim izrazom:

fn3

fn1

3

13,1

U

U

N

Np ≈= (8.26)

85

gdje je N1 ukupan broj zavoja višenaponskog namota transformatora, N3 ukupan broj zavoja

niženaponskog namota transformatora, fn1U efektivna vrijednost nazivnog napona

višenaponske strane transformatora, a 3fnU efektivna vrijednost nazivnog napona

niženaponske strane transformatora.

Srednjenaponske veličine reducirane na višenaponsku stranu transformatora opisane su

izrazima (8.12) - (8.14). Niženaponske veličine reducirane na višenaponsku stranu

transformatora opisane su izrazima:

3f1,33f UpU ⋅=′ (8.27)

1,3

3f3f

p

II =′ (8.28)

321,33 ZpZ ⋅=′ (8.29)

Nakon uvrštenja izraza (8.12) – (8.14) i izraza (8.26) – (8.28) u izraz (8.24), dobije se

sustav jednadžbi koji u matričnom zapisu glasi:

[ ]

=

⋅=

⋅

'

3f

'

2f

1f

'

3f

'

2f

1f

n

'

3f

'

2f

1f

n

33

n

32

n

31

n

23

n

22

n

21

n

13

n

12

n

11

I

I

I

U

U

U

Y

U

U

U

YYY

YYY

YYY

(8.30)

gdje je matrica admitancija namota transformatora:

[ ]

−⋅

⋅

⋅−

⋅−

⋅

⋅−

−⋅

⋅−

⋅−

⋅−

−⋅

⋅=

'3

'3

23,1

'3

'2

3,12,1

'31

3,1

'3

'2

3,12,1

'2

'2

22,1

'21

2,1

'31

3,1

'21

2,1

11

n

Z

1C

Z

p

ZZ

pp

ZZ

p

ZZ

pp

Z

1C

Z

p

ZZ

p

ZZ

p

ZZ

p

Z

1C

Z

1

C

1Y (8.31)

86

Ako se uzme da je impedancija poprečne grane beskonačna ( )∞→m

Z , onda slijedi da je:

'

3

'

21 Z

1

Z

1

Z

1C ++= (8.32)

Ako su zadani postotni naponi kratkog spoja uk12, uk13 i uk23 tronamotnog jednofaznog

transformatora, onda se pripadne reaktancije računaju iz izraza:

100S

UuX

2,1fn

2fn112k

12⋅

⋅

= (8. 33)

100S

UuX

3,1fn

2fn113k

13⋅

⋅

= (8.34)

100S

UuX

3,2fn

2fn123k

23⋅

⋅

= (8.35)

gdje je Sfn1,2 manja snaga od nazivnih snaga višenaponskog i srednjenaponskog namota, Sfn1,3

manja od nazivnih snaga višenaponskog i niženaponskog namota, a Sfn2,3 manja od nazivnih

snaga srednjenaponskog i niženaponskog namota tronamotnog jednofaznog transformatora.

Impedancije pojedinog namota, uz pretpostavku da su faktori snage kratkog spoja jednaki

nuli, opisane su izrazima:

( )2313121 XXX2

jZ −+⋅= (8.36)

( )231312

'

2 XXX2

jZ +−⋅= (8.37)

( )231312

'

3 XXX2

jZ ++−⋅= (8.38)

Da bi se dobio potpuni lokalni sustav jednadžbi jednofaznog tronamotnog

transformatora, napone i struje namota transformatora treba zamijeniti s potencijalima i

strujama lokalnih čvorova transformatora (Slika 8.6), gdje lokalni čvorovi 1 i 2 pripadaju

višenaponskom namotu, lokalni čvorovi 3 i 4 srednjenaponskom namotu transformatora, a

lokalni čvorovi 5 i 6 niženaponskom namotu transformatora.

87

Slika 8.6. Potencijali i struje lokalnih čvorova tronamotnog jednofaznog transformatora

Korištenjem matrice veze namot - lokalni čvor, iz sustava jednadžbi (8.30) lako se dobije

potpuni lokalni sustav jednadžbi tronamotnog jednofaznog transformatora koji glasi:

=

Φ

Φ

Φ

Φ

Φ

Φ

⋅

−−−

−−−

−−−

−−−

−−−

−−−

fc

6

fc

5

fc

4

fc

3

fc

2

fc

1

f

6

f

5

f

4

f

3

f

2

f

1

n

33

n

33

n

32

n

32

n

31

n

31

n

33

n

33

n

32

n

32

n

31

n

31

n

23

n

23

n

22

n

22

n

21

n

21

n

23

n

23

n

22

n

22

n

21

n

21

n

13

n

13

n

12

n

12

n

11

n

11

n

13

n

13

n

12

n

12

n

11

n

11

I

I

I

I

I

I

YYYYYY

YYYYYY

YYYYYY

YYYYYY

YYYYYY

YYYYYY

(8.39)

ili kraće pisano:

[ ] fcffIY =Φ⋅ (8.40)

gdje je [ ]fY matrica admitancija lokalnih čvorova transformatora, fΦ vektor potencijala

lokalnih čvorova transformatora, a fcI vektor struja lokalnih čvorova transformatora.

88


nepotpuni lokalni sustav jednadžbi tronamotnog jednofaznog transformatora opisan

matričnom jednadžbom:

[ ] 0Y ff =Φ⋅ (8.41)

8.5. Lokalni sustav jednadžbi dvonamotnog trofaznog transformatora

Trofazni se dvonamotni transformator u fizikalnom smislu može prikazati kao tri

dvonamotna jednofazna transformatora, gdje jednofazni transformator tvore jednofazni

namoti na istom stupu trofazne jezgre. U američkoj izvedbi trofazni transformator tvore tri

zasebna jednofazna transformatora, što daje formalno isti numerički model transformatora. U

oba slučaja, nepotpuni lokalni sustav jednadžbi trofaznog transformatora dobije se

asembliranjem nepotpunih lokalnih sustava jednadžbi (8.22) triju dvonamotnih jednofaznih

transformatora. Nepotpuni lokalni sustav jednadžbi trofaznog dvonamotnog transformatora

glasi:

[ ] 0Y tr =Φ⋅ (8.42)

gdje je [ ]trY matrica admitancija lokalnih čvorova trofaznog dvonamotnog transformatora,

Φ vektor potencijala lokalnih čvorova trofaznog dvonamotnog transformatora. Potpuni

lokalni sustav jednadžbi trofaznog dvonamotnog transformatora glasi:

[ ] ctrIY =Φ⋅ (8.43)

gdje je c

I vektor struja lokalnih čvorova trofaznog dvonamotnog transformatora. Naravno,

sve struje lokalnih čvorova trofaznog dvonamotnog transformatora ulaze u čvorove.

Pritom vrijedi da je:

3

SS nfn = (8.44)

gdje je Sfn nazivna snaga jedne faze trofaznog dvonamotnog transformatora (zamišljenog

jednofaznog transformatora), a Sn nazivna snaga trofaznog transformatora.

Na natpisnoj pločici trofaznog dvonamotnog transformator dani su nazivni linijski naponi

višenaponskog i niženaponskog namota: U1n i U2n. Prijenosni omjer pripadnih jednofaznih

89

transformatora opisan izrazom (8.11) može se izraziti pomoću nazivnih napona trofaznog

transformatora u ovisnosti o vrsti spoja transformatora:

DdiYyspojzaU

U

U

U

N

Np

n2

n1

fn2

fn1

2

12,1 =≈= (8.45)

YdspojzaU3

U

U

U

N

Np

n2

n1

fn2

fn1

2

12,1

⋅

=≈= (8.46)

DyspojzaU

U3

U

U

N

Np

n2

n1

fn2

fn1

2

12,1

⋅

=≈= (8.47)

Najčešće korištene vrste spoja trofaznih dvonamotnih mrežnih, distribucijskih i

generatorskih transformatora su: Yy0, Yd5, Dy5. Ako se uzme u obzir i način uzemljenja

neutralne točke transformatora, onda ove vrste spoja mogu biti: YNyn0, YNy0, Yyn0, Yy0,

Dyn5, Dy5, YNd5 i Yd5. Međutim, nepotpuni lokalni sustav jednadžbi dvonamotnog

trofaznog transformatora ne ovisi o načinu uzemljenja neutralne točke transformatora.

• Transformator spoja Yy0 i njegov nadomjesni element sa svojim lokalnim čvorovima

prikazani su na Slici 8.7.

• Matrica veze lokalnih čvorova trofaznog transformatora spoja Yy0 i lokalnih čvorova

njemu pripadnih triju jednofaznih transformatora prikazuje Tablica 8.1.

• Transformator spoja Yd5 i njegov nadomjesni element sa svojim lokalnim čvorovima


• Matrica veze lokalnih čvorova trofaznog transformatora spoja Yd0 i lokalnih čvorova


• Transformator spoja Dy5 i njegov nadomjesni element sa svojim lokalnim čvorovima


• Matrica veze lokalnih čvorova trofaznog transformatora spoja Dy5 i lokalnih čvorova


90

Slika 8.7. Spoj transformatora Yy0 i njegov nadomjesni element sa svojim lokalnim čvorovima

Tablica 8.1. Matrica veze lokalnih čvorova trofaznog transformatora spoja Yy0 i lokalnih

čvorova njemu pripadnih triju jednofaznih transformatora

Slika 8.8. Spoj transformatora Yd5 i njegov nadomjesni element

sa svojim lokalnim čvorovima

Namot Višenaponski Niženaponski

Faza Lokalni

čvor 1

Lokalni

čvor 2

Lokalni

čvor 3

Lokalni

čvor 4

1 1 4 5 8

2 2 4 6 8

3 3 4 7 8

91

Tablica 8.2. Matrica veze lokalnih čvorova trofaznog transformatora spoja Yd5 i lokalnih


1 1 4 7 5

2 2 4 5 6

3 3 4 6 7

Slika 8.9. Spoj transformatora Dy5 i njegov nadomjesni element


Tablica 8.3. Matrica veze lokalnih čvorova trofaznog transformatora spoja Dy5 i lokalnih


1 1 2 7 4

2 2 3 7 5

3 3 1 7 6


Faza Lokalni

čvor 1

Lokalni

čvor 2

Lokalni

čvor 3

Lokalni

čvor 4


Faza Lokalni

čvor 1

Lokalni

čvor 2

Lokalni

čvor 3

Lokalni

čvor 4

92

8.6. Lokalni sustav jednadžbi tronamotnog trofaznog transformatora

Trofazni se tronamotni transformator u fizikalnom smislu može prikazati kao tri

tronamotna jednofazna transformatora, gdje jednofazni transformator tvore jednofazni namoti

na istom stupu trofazne jezgre. Nepotpuni lokalni sustav jednadžbi trofaznog transformatora

dobije se asembliranjem nepotpunih lokalnih sustava triju pripadnih jednofaznih tronamotnih

transformatora opisanih matričnom jednadžbom (8.40). Nepotpuni i potpuni lokalni sustavi

jednadžbi tronamotnog trofaznog transformatora formalno imaju isti oblik kao i u slučaju

trofaznog dvonamotnog transformatora, tj. opisani su izrazima (8.2) i (8.3). Pritom vrijedi da

je:

3

SS;

3

SS;

3

SS

3,2n3,2fn

3,1n3,1fn

2,1n2,1fn === (8.48)

gdje je 2,1nS manja snaga od nazivnih snaga višenaponskog i srednjenaponskog namota

trofaznog tronamotnog transformatora, 3,1nS manja od nazivnih snaga višenaponskog i

niženaponskog namota trofaznog tronamotnog transformatora, a 3,2nS manja od nazivnih

snaga srednjenaponskog i niženaponskog namota trofaznog tronamotnog transformatora.

Na natpisnoj pločici trofaznog tronamotnog transformator dani su nazivni linijski naponi

višenaponskog, srednjenaponskog i niženaponskog namota: U1n, U2n i U3n. Prijenosni omjer

p1,2 pripadnog jednofaznog transformatora opisan je izrazima (8.5) – (8.7) u ovisnosti o vrsti

spoja trofaznog transformatora, dok se prijenosni omjer p1,3 opisan izrazom (8.6) može

izraziti pomoću nazivnih linijskih napona trofaznog transformatora u ovisnosti o vrsti spoja

transformatora slično kao i prijenosni omjer p1,2.

Najčešće korištene vrste spoja trofaznih tronamotnih mrežnih, distribucijskih i

generatorskih transformatora su: Yy0d5, Yd5y0, Yd5d5. Nepotpuni lokalni sustav jednadžbi

tronamotnog trofaznog transformatora ne ovisi o načinu uzemljenja neutralne točke

transformatora.

• Transformator spoja Yy0d5 i njegov nadomjesni element sa svojim lokalnim

čvorovima prikazani su na Slici 8.10.

• Matrica veze lokalnih čvorova trofaznog transformatora spoja Yy0d5 i lokalnih

čvorova njemu pripadnih triju jednofaznih transformatora prikazuje Tablica 8.4.

• Transformator spoja Yd5y0 i njegov nadomjesni element sa svojim lokalnim


93

• Matrica veze lokalnih čvorova trofaznog transformatora spoja Yd5y0 i lokalnih


• Transformator spoja Yd5d5 i njegov nadomjesni element sa svojim lokalnim


• Matrica veze lokalnih čvorova trofaznog transformatora spoja Yd5d5 i lokalnih


Slika 8.10. Spoj transformatora Yy0d5 i njegov nadomjesni element


Tablica 8.4. Matrica veze lokalnih čvorova trofaznog transformatora spoja Yy0d5 i lokalnih


Namot Višenaponski Srednjenaponski Niženaponski

Faza Lokalni

čvor 1

Lokalni

čvor 2

Lokalni

čvor 3

Lokalni

čvor 4

Lokalni

čvor 5

Lokalni

čvor 6

1 1 4 5 8 11 9

2 2 4 6 8 9 10

3 3 4 7 8 10 11

94

Slika 8.11. Spoj transformatora Yd5y0 i njegov nadomjesni element


Tablica 8.5. Matrica veze lokalnih čvorova trofaznog transformatora spoja Yd5y0 i lokalnih



Faza Lokalni

čvor 1

Lokalni

čvor 2

Lokalni

čvor 3

Lokalni

čvor 4

Lokalni

čvor 5

Lokalni

čvor 6

1 1 4 7 5 8 11

2 2 4 5 6 9 11

3 3 4 6 7 10 11

95

Slika 8.12. Spoj transformatora Yd5d5 i njegov nadomjesni element


Tablica 8.6. Matrica veze lokalnih čvorova trofaznog transformatora spoja Yd5d5 i lokalnih



Faza Lokalni

čvor 1

Lokalni

čvor 2

Lokalni

čvor 3

Lokalni

čvor 4

Lokalni

čvor 5

Lokalni

čvor 6

1 1 4 7 5 10 8

2 2 4 5 6 8 9

3 3 4 6 7 9 10

Važno je napomenuti da prethodno opisani modeli dvonamotnih i tronamotnih trofaznih

transformatora ne uzimaju u račun sva elektromagnetska zbivanja u trostupnoj i peterostupnoj

jezgri trofaznih transformatora u slučaju nastanka zemljospoja. Drugim riječima, prethodno

opisani modeli dvonamotnih i tronamotnih trofaznih transformatora puno bolje uvažavaju

elektromagnetska zbivanja u jezgri transformatora u slučajevima kada trofazne transformatore

tvore tri jednofazna transformatora.

96

8.7. Lokalni sustav jednadžbi nadomjesne impedancije

Dio sustava, u elektromagnetskom modelu, može biti opisan pomoću nadomjesne

impedancije povezane između dva globalna čvora mreže kojima su pridružena dva lokalna

čvora nadomjesne impedancije (Slika 8.13). Takva impedancija može nadomjestiti npr.

impedanciju spojenu između neutralne točke transformatora i uzemljivača transformatorske

stanice ili pak metalni stup nadzemnog voda. Nepotpuni lokalni sustav jednadžbi takve

nadomjesne impedancije glasi:

[ ] 0

Z

1

Z

1

Z

1

Z

1

Y

2

1

=

Φ

Φ⋅

−

−

=Φ⋅ (8.49)

Slika 8.13. Nadomjesna impedancija spojena između svoja dva lokalna čvora

Dio sustava, u elektromagnetskom modelu, može biti opisan pomoću nadomjesne

impedancije povezane između globalnog čvora mreže i referentnog potencijala u

beskonačnosti (daleke zemlje). Takvoj impedanciji pridružen je samo jedan lokalni čvor

(Slika 8.14). Takva impedancija može nadomjestiti npr. vodljive dijelove povezane na

uzemljivač susjedne transformatorske stanice čija elektromagnetska sprega sa sastavnicama

elektromagnetskog modela nije uzeta u račun. Nepotpuni lokalni sustav jednadžbi takve

nadomjesne impedancije glasi:

[ ] 0Z

1Y =Φ⋅

=Φ⋅ (8.50)

97

Slika 8.14. Nadomjesna impedancija spojena između lokalnog čvora i daleke zemlje

Zemljospoj će se u elektromagnetskom modelu ostvariti pomoću dvočvorne impedancije koja

je jednaka prijelaznom otporu na mjestu zemljospoja. Naravno, zemljospoj može biti

istovremeno i na dva ili više mjesta.

8.8. Lokalni sustavi jednadžbi trofaznog simetričnog naponskog izvora

Dio elektroenergetskog sustava, u elektromagnetskom modelu, može se nadomjestiti

trofaznim četveročvornim simetričnim naponskim izvorom (Slika 8.15).

Slika 8.15. Nadomjesni trofazni simetrični četveročvorni naponski izvor

Nepotpuni lokalni sustav jednadžbi četveročvornog naponskog izvora prikazanog na Slici

8.15 opisan je matričnom jednadžbom:

98

[ ] d

3

2

1

4

3

2

1

I

0

Z

E

Z

E

Z

E

Z

3

Z

1

Z

1

Z

1

Z

1

Z

100

Z

10

Z

10

Z

100

Z

1

Y =

=

Φ

Φ

Φ

Φ

⋅

−−−

−

−

−

=Φ⋅ (8.51)

gdje je dI vektor doprinosa zadanih naponskih izvora.

Može se javiti potreba da se dio elektroenergetskog sustava, u elektromagnetskom modelu,

nadomjesti trofaznim tročvornim simetričnim naponskim izvorom (Slika 8.16).

Slika 8.16. Nadomjesni trofazni simetrični tročvorni naponski izvor

Nepotpuni lokalni sustav jednadžbi tročvornog naponskog izvora prikazanog na Slici 8.16

opisan je matričnom jednadžbom:

[ ] d

3

2

1

3

2

1

I

Z

E

Z

E

Z

E

Z3

2

Z3

1

Z3

1

Z3

1

Z3

2

Z3

1

Z3

1

Z3

1

Z3

2

Y =

=

Φ

Φ

Φ

⋅

⋅⋅−

⋅−

⋅−

⋅⋅−

⋅−

⋅−

⋅

=Φ⋅ (8.52)

Za simetrične trofazne izvore može se uzeti da je:

99

oo

11 120j13

120j-12

jjn1 eEE;eEE;eEe

3

UcE

⋅⋅ϕ⋅ϕ⋅⋅=⋅=⋅=⋅

⋅

= (8.53)

gdje je Un linijski nazivni napon mreže, dok je c naponski faktor [24]. U pravilu se uzima da

je naponski faktor c = 1,1.

Unutarnja impedancija tročvornih i četvoročvornih naponskih izvora Z računa se

korištenjem sljedećeg izraza:

1k1k

n

I

E

I3

UcZ

′′=

′′⋅

⋅= (8. 54)

gdje je 1kI ′′ doprinos dijela elektroenergetskog sustava ukupnoj struji zemljospoja u

transformatorskoj stanici na koju se naponski izvor priključuje, a koji je izračunat u literaturi

[24]. Dakle, taj dio elektroenergetskog sustava se nadomješta trofaznim simetričnim

naponskim izvorom.

8.9. Lokalni sustavi jednadžbi nadomjesnog trofaznog simetričnog trošila

Transformatori središnje transformatorske stanice, a po potrebi i transformatori susjednih

transformatorskih stanica koji ne napajanju mjesto zemljospoja, u elektromagnetskom

modelu, mogu se opteretiti nadomjesnim trofaznim tročvornim simetričnim trošilom (Slika

8.17).

Slika 8.17. Nadomjesno trofazno simetrično tročvorno trošilo

Nepotpuni lokalni sustav jednadžbi nadomjesnog trofaznog tročvornog simetričnog trošila

prikazanog na Slici 8.17 opisan je matričnom jednadžbom:

100

[ ] 0

Z3

2

Z3

1

Z3

1

Z3

1

Z3

2

Z3

1

Z3

1

Z3

1

Z3

2

Y

3

2

1

=

Φ

Φ

Φ

⋅

−−

−−

−−

=Φ⋅ (8.55)

Transformatori središnje transformatorske stanice, a po potrebi i transformatori susjednih

transformatorskih stanica koji ne napajanju mjesto zemljospoja, u elektromagnetskom

modelu, mogu se opteretiti i nadomjesnim trofaznim četveročvornim simetričnim trošilom

čija se impedancija računa iz podataka trošila (Slika 8.18).

Slika 8.18. Nadomjesno trofazno simetrično četveročvorno trošilo

Nepotpuni lokalni sustav jednadžbi nadomjesnog trofaznog četveročvornog simetričnog

trošila prikazanog na Slici 8.18 opisan je matričnom jednadžbom:

[ ] 0

Z

3

Z

1

Z

1

Z

1

Z

1

Z

100

Z

10

Z

10

Z

100

Z

1

4

3

2

1

=

Φ

Φ

Φ

Φ

⋅

−−−

−

−

−

=Φ⋅Υ (8.56)

101

8.10. Nepotpuni i potpuni globalni sustav jednadžbi

Elektromagnetski model za izračun raspodjele struje zemljospoja tvori više konačnih

elemenata. Konačni elementi mogu biti:

• Konduktivno i kapacitivno spregnute sastavnice elektromagnetskog modela,

• Induktivno spregnute sastavnice elektromagnetskog modela,

• Trofazni transformatori,

• Nadomjesne impedancije,

• Trofazni tročvorni i četveročvorni simetrični naponski izvori,

• Nadomjesna trofazna tročvorna trošila.

Prije zadavanja ulaznih podataka, definira se koje su sastavnice međusobno spregnute

konduktivno i kapacitivno, a koje induktivno. Moguće je imati jedan ili više skupova

međusobno spregnutih sastavnica. O tom ovisi i ukupan broj konačnih elemenata. Sve

međusobno spregnute sastavnice pripadaju istom konačnom elementu. Naravno, sa stanovišta

točnosti proračuna, najbolje je uzeti da sve konduktivno i kapacitivno spregnute sastavnice

elektromagnetskog modela pripadaju samo jednom konačnom elementu te da sve induktivno

spregnute sastavnice elektromagnetskog modela pripadaju drugom konačnom elementu.

U tehnici konačnih elemenata, u globalnom su sustavu konačni elementi povezani u

čvorovima koji se zovu globalni čvorovi. Dakle, globalni čvorovi su čvorovi skupa

međusobno povezanih konačnih elemenata, a lokalni čvorovi su čvorovi konačnih elemenata.

Vezu između globalnih čvorova i lokalnih čvorova konačnih elemenata definira matrica

veze između globalnih čvorova i lokalnih čvorova. Nepotpuni globalni sustav jednadžbi

dobiva se asembliranjem (pribrajanjem) nepotpunih lokalnih sustava jednadžbi svih konačnih

elemenata. Nepotpuni globalni sustav jednadžbi glasi:

[ ] dgggIY =Φ⋅ (8.57)

gdje je:

[ ]gY - matrica admitancija globalnih čvorova cjelokupnog sustava,

gΦ - vektor potencijala globalnih čvorova cjelokupnog sustava,

dgI - globalni vektor doprinosa zadanih naponskih i strujnih izvora.

102

Ako su za jedan ili više globalnih čvora zadane u njih izvana narinute struje, odnosno

nezavisni strujni izvori, onda se globalni sustav jednadžbi upotpunjuje uključivanjem tih

narinutih struja u nepotpuni globalni sustav jednadžbi (8.57) tako da potpuni globalni sustav

jednadžbi glasi:

[ ] ngdgggIIY +=Φ⋅ (8.58)

gdje je ngI vektor struja narinutih u globalne čvorove.

Osim struja narinutih u globalne čvorove, mogu biti propisani i potencijali nekih globalnih

čvorova. Budući da je u razvijenom elektromagnetskom modelu potencijal daleke zemlje

jednak nuli, onda se mora propisati samo potencijal jednog od čvorova na svakom

nadomjesnom trofaznom trošilu spojenom na namot transformatora koji nije izravno povezan

na središnju transformatorsku stanicu. Najlakše je uzeti da su propisani potencijali jednaki

nuli. Tek kad se u sustav jednadžbi (8.57), prema pravilima tehnike konačnih elemenata [29],

[50] uključe i propisani potencijali globalnih čvorova, dobije se preinačeni potpuni globalni

sustav jednadžbi čija su rješenja potencijali globalnih čvorova. Iz potencijala globalnih

čvorova, lako je korištenjem matrica veze između lokalnih i globalnih čvorova pojedinog

konačnog elementa izračunati fazore potencijala lokalnih čvorova.

103

9. IZRAČUN RASPODJELE STRUJE ZEMLJOSPOJA

Nakon što su rješenjem potpunog globalnog sustava jednadžbi izračunati potencijali svih

globalnih čvorova, korištenjem matrice veze, lako se mogu odrediti potencijali lokalnih

čvorova pojedinog konačnog elementa. Idući korak jest izračun raspodjele struja zemljospoja

iz lokalnih sustava jednadžbi konačnih elemenata što uključuje izračun:

• Poprečnih struja konduktivno i kapacitivno spregnutih sastavnica razmatranog

konačnog elemenata,

• Uzdužnih struja induktivno spregnutih sastavnica razmatranog konačnog elemenata,

• Struja koje ulaze u lokalne čvorove trofaznog transformatora,

• Struje koje ulaze u lokalne čvorove nadomjesnih impedancija,

• Struje koje ulaze u lokalne čvorove trofaznog simetričnog naponskog izvora,

• Struje koje ulaze u lokalne čvorove trofaznog trošila.

Struja mjerodavna za dimenzioniranje uzemljivača središnje transformatorske stanice jest

poprečna struja nadomjesne kružne ploče uzemljivača središnje transformatorske stanice. Ako

se uzemljivač središnje transformatorske stanice modelira detaljno, tj. ako se aproksimira

skupom cilindričnih segmenata vodiča, onda je struja mjerodavna za dimenzioniranje

uzemljivača središnje transformatorske stanice ukupna poprečna struja svih cilindričnih

segmenata vodiča tog uzemljivača.

Sustav jednadžbi za izračun poprečnih struja konduktivno i kapacitivno spregnutih

sastavnica razmatranog konačnog elemenata slijedi iz potpunog lokalnog sustava jednadžbi

(8.1) i (8.2) i glasi:

[ ] [ ] Φ⋅⋅=− p1pp

AZI (9.1)

gdje je:

pI - vektor poprečnih struja konduktivno i kapacitivno spregnutih sastavnica konačnog

elementa,

Φ - vektor potencijala lokalnih čvorova konačnog elementa kojeg tvore konduktivno i

kapacitivno spregnute sastavnice,

[ ]pZ - matrica vlastitih i međusobnih poprečnih impedancija konduktivno i kapacitivno

spregnutih sastavnica konačnog elementa,

104

[ ]pA - matrica poprečne veze između sastavnica konačnog elementa i njihovih lokalnih

čvorova opisana izrazom (8.3).

Sustav jednadžbi za izračun uzdužnih struja induktivno spregnutih sastavnica razmatranog

konačnog elemenata, bez nezavisnih strujnih izvora, slijedi iz potpunog lokalnog sustava

jednadžbi (8.5) i (8.6) i glasi:

[ ] [ ] Φ⋅⋅=− u1uu

AZI (9.2)

gdje je:

uI - vektor uzdužnih struja induktivno spregnutih sastavnica konačnog elementa,


spregnute sastavnice,


sastavnica konačnog elementa,

[ ]uA - matrica uzdužne veze između sastavnica konačnog elementa i njihovih lokalnih

čvorova opisana izrazom (8.7).

Sustav jednadžbi za izračun uzdužnih struja induktivno spregnutih sastavnica razmatranog

konačnog elemenata, koji uključuje nezavisne strujne izvore, sukladno nepotpunom lokalnom

sustavu jednadžbi (8.9) glasi:

[ ] [ ] [ ] ( )fsfu1uuIZAZI ⋅−Φ⋅⋅=

−

(9.3)

gdje je:


spregnute sastavnice bez pripadnih faznih vodiča,


sastavnica konačnog elementa bez pripadnih faznih vodiča,


i njihovih lokalnih čvorova bez pripadnih faznih vodiča,

[ ]sfZ - matrica međusobnih uzdužnih impedancija između faznih vodiča i drugih

induktivno spregnutih sastavnica razmatranog konačnog elementa,

105

fI - vektor poznatih uzdužnih struja faznih vodiča kojima teku struje zemljospoja.

Sustav jednadžbi za izračun struja koje ulaze u lokalne čvorove trofaznog dvonamotnog ili

tronamotnog transformatora, sukladno matričnoj jednadžbi (8.42) glasi:

[ ] Φ⋅=trc

YI (9.4)

gdje je:

c

I - vektor struja koje ulaze u lokalne čvorove trofaznog transformatora,

[ ]trY - matrica admitancija lokalnih čvorova trofaznog transformatora,

Φ - vektor potencijala lokalnih čvorova trofaznog transformatora.

Matrična jednadžba za izračun struja koje ulaze u lokalne čvorove dvočvorne ili

jednočvorne nadomjesne impedancije, sukladno matričnim jednadžbama (8.49) i (8.50) glasi:

[ ] Φ⋅= YIc (9.5)

gdje je:

cI - vektor struja koje ulaze u lokalne čvorove nadomjesne impedancije,

[ ]Y - matrica admitancija lokalnih čvorova nadomjesne impedancije,

Φ - vektor potencijala lokalnih čvorova nadomjesne impedancije.

Sustav jednadžbi za izračun struja koje ulaze u lokalne čvorove trofaznog simetričnog

četveročvornog ili tročvornog naponskog izvora, sukladno matričnim jednadžbama (8.51) i

(8.52) glasi:

[ ] dcIYI −Φ⋅= (9.6)

gdje je:

cI - vektor struja koje ulaze u lokalne čvorove trofaznog simetričnog naponskog

izvora,

[ ]Y - matrica admitancija lokalnih čvorova trofaznog simetričnog naponskog izvora,

106

Φ - vektor potencijala lokalnih čvorova trofaznog simetričnog naponskog izvora,

dI - vektor doprinosa zadanih naponskih izvora.

Sustav jednadžbi za izračun struja koje ulaze u lokalne čvorove trofaznog tročvornog

simetričnog trošila, sukladno matričnoj jednadžbi (8.55) glasi:

[ ] Φ⋅= YIc (9.7)

gdje je:

cI - vektor struja koje ulaze u lokalne čvorove trofaznog simetričnog trošila,

[ ]Y - matrica admitancija lokalnih čvorova trofaznog simetričnog trošila,

Φ - vektor potencijala lokalnih čvorova trofaznog simetričnog trošila.

107

10. RAČUNALNI PROGRAM EMFCD

10.1. Opis računalnog programa

Slika 10.1. Dijagram toka računalnog programa EMFCD za izračun raspodjele struje zemljospoja

108

Na temelju izvorno razvijenog elektromagnetskog modela opisanog u disertaciji razvijen je

fortranski računalni program EMFCD za izračun raspodjele struje zemljospoja. Dijagram toka

programa prikazan je na Slici 10.1, a svaka od stavki je u nastavku ovog poglavlja ukratko opisana.

10.1.1. Učitavanje i ispis ulaznih podataka

Kao što je uobičajeno, na početka računalnog programa učitavaju se i ispisuju ulazni podaci, a

to su u ovom slučaju:

• Osnovni ulazni podaci: ukupan broj jednadžbi globalnog sustava, otpornost tla, relativna

dielektričnost tla, frekvencija napona i struje;

• Ulazni podaci za nadomjesne metalne ploče ukopane u tlo;

• Ulazni podaci za segmente ukopanih cilindričnih vodiča;

• Ulazni podaci za segmente ukopanih pravokutnih vodiča;

• Ulazni podaci za segmente ukopanih šupljih cilindričnih vodiča;

• Ulazni podaci za segmente jednožilnih kabela;

• Ulazni podaci za segmente trožilnih kabela vrste 1 - aktivni fazni vodiči, postoje samo

zajednički metalni ekrani;

• Ulazni podaci za segmente trožilnih kabela vrste 2 - aktivni fazni vodiči, postoje vlastiti

metalni ekrani faznih vodiča, a mogu postojati i zajednički metalni ekrani;

• Ulazni podaci za segmente trožilnih kabela vrste 3 - pasivni fazni vodiči, postoje vlastiti

metalni ekrani faznih vodiča koji su matematički združeni, a mogu postojati i zajednički

metalni ekrani;

• Ulazni podaci za segmente induktivno spregnutih jednožilnih i trožilnih kabela;

• Ulazni podaci za segmente nadzemnih cilindričnih vodiča;

• Ulazni podaci za segmente induktivno spregnutih nadzemnih faznih vodiča;

• Ulazni podaci za dvočvorne impedancije;

• Ulazni podaci za jednočvorne nadomjesne impedancije;

• Ulazni podaci za trofazne četveročvorne naponske izvore;

• Ulazni podaci za trofazna simetrična tročvorna i četveročvorna trošila;

• Ulazni podaci za trofazne dvonamotne transformatore;

• Ulazni podaci za trofazne tronamotne transformatore;

109

• Ulazni podaci za globalne čvorove u kojima su zadani nulti potencijali;

• Ulazni podaci za struje narinute u globalnim čvorovima;

• Ulazni podaci za točke na površini tla u kojima se računa potencijal.

10.1.2. Formiranje nepotpunih lokalnih sustava jednadžbi elektromagnetski

spregnutih sastavnica i njihovo asembliranje

Na temelju teorijske podloge opisane u ovom radu računalni program EMFCD izvršava sljedeće

radnje:

• Izračun vlastitih i međusobnih impedancija svih poprečno (konduktivno i kapacitivno)

spregnutih sastavnica elektromagnetskog modela;

• Izračun vlastitih i međusobnih impedancija svih uzdužno (induktivno) spregnutih sastavnica

elektromagnetskog modela;

• Invertiranje matrice poprečnih impedancija poprečno spregnutih sastavnica


• Invertiranje matrice uzdužnih impedancija uzdužno spregnutih sastavnica


• Formiranje matrice admitancija lokalnih čvorova elektromagnetski spregnutih sastavnica i

njeno asembliranje u nepotpuni globalni sustav jednadžbi;

• Formiranje vektora desne strane nepotpunog lokalnog sustava jednadžbi elektromagnetski

spregnutih sastavnica i njegovo asembliranje u nepotpuni globalni sustav jednadžbi.

10.1.3. Formiranje nepotpunih lokalnih sustava jednadžbi ostalih sastavnica

elektromagnetskog modela i njihovo asembliranje

Na temelju teorijske podloge opisane u ovom radu računalni program EMFCD formira i

asemblira nepotpune lokalne sustave jednadžbi za:

• Dvočvorne impedancije;

• Jednočvorne nadomjesne impedancije;

• Trofazne četveročvorne naponske izvore;

• Trofazna simetrična tročvorna i četveročvorna trošila;

• Trofazne dvonamotne transformatore;

• Trofazne tronamotne transformatore.

110

Nakon asembliranja ovih nepotpunih lokalnih sustava jednadžbi u nepotpuni globalni sustav

jednadžbi, završen je postupak formiranja nepotpunog globalnog sustava jednadžbi.

10.1.4. Zadavanje narinutih globalnih struja i referentnih (nultih)

potencijala globalnih čvorova

Nepotpuni globalni sustav jednadžbi se upotpunjava tako da se u globalni sustav jednadžbi

uključe:

• Struje narinute u globalne čvorove;

• Nulti potencijali globalnih čvorova.

Time je u potpunosti formiran potpuni globalni sustav jednadžbi, odnosno kraće rečeno formiran

je globalni sustav jednadžbi.

10.1.5. Rješavanje globalnog sustava jednadžbi

Globalni se sustav linearnih jednadžbi rješava korištenjem fortranskih podprograma iz biblioteke

LAPACK - Linear Algebra PACKage koji su razvijeni za izračun inverzne kompleksne matrice i za

rješavanje kompleksnog sustava linearnih jednadžbi. Ovaj vrlo učinkoviti algoritam zasnovan je na

LU faktorizaciji kompleksne matrice s parcijalnim pivotiranjem. Rješenjem globalnog sustava

jednadžbi dobiju se skalarni električni potencijali svih globalnih čvorova.

10.1.6. Izračun uzdužnih i poprečnih struja elektromagnetski spregnutih sastavnica

Na temelju teorijske podloge opisane u ovom radu računalni program EMFCD izvršava sljedeće

radnje:

• Izračun skalarnih električnih potencijala lokalnih čvorova poprečno spregnutih sastavnica


• Izračun poprečnih struja poprečno spregnutih sastavnica elektromagnetskog modela;

• Izračun skalarnih električnih potencijala lokalnih čvorova uzdužno spregnutih sastavnica


• Izračun uzdužnih struja uzdužno spregnutih sastavnica elektromagnetskog modela.

111

10.1.7. Izračun struja koje ulaze u čvorove ostalih sastavnica elektromagnetskog modela

Na temelju teorijske podloge opisane u ovom radu računalni program EMFCD računa struje koje

ulaze u lokalne čvorove sljedećih sastavnica elektromagnetskog modela:

• Dvočvornih impedancija;

• Jednočvornih nadomjesnih impedancija;

• Trofaznih četveročvornih naponskih izvora;

• Trofaznih simetričnih tročvornih i četveročvornih trošila;

• Trofaznih dvonamotnih transformatora;

• Trofaznih tronamotnih transformatora.

10.1.8. Izračun potencijala u odabranim točkama na površini tla

Ako postoji potreba, mogu se izračunati skalarni električni potencijali u odabranim točkama na

površini tla.

10.1.9. Ispis izlaznih podataka

Na kraju računalnog programa EMFCD ispisuju se izlazni podaci za:

• Nadomjesne metalne ploče ukopane u tlo;

• Segmente ukopanih cilindričnih vodiča;

• Segmente ukopanih pravokutnih vodiča;

• Segmente ukopanih šupljih cilindričnih vodiča;

• Segmente jednožilnih kabela;

• Segmente trožilnih kabela vrste 1 - aktivni fazni vodiči, postoje samo zajednički metalni

ekrani;

• Segmente trožilnih kabela vrste 2 - aktivni fazni vodiči, postoje vlastiti metalni ekrani faznih

vodiča, a mogu postojati i zajednički metalni ekrani;

• Segmente trožilnih kabela vrste 3 - pasivni fazni vodiči, postoje vlastiti metalni ekrani

faznih vodiča koji su matematički združeni, a mogu postojati i zajednički metalni ekrani;

• Segmente nadzemnih cilindričnih vodiča;

112

• Dvočvorne impedancije;

• Jednočvorne nadomjesne impedancije;

• Trofazne četveročvorne naponske izvore;

• Trofazna simetrična tročvorna i četveročvorna trošila;

• Trofazne dvonamotne transformatore;

• Trofazne tronamotne transformatore;

• Skalarne električne potencijale u odabranim točkama na površini tla.

10.2. Područje primjene računalnog programa

Razvijeni računalni program prvenstveno je namijenjen za izračun raspodjele struje zemljospoja.

Međutim, ovaj računalni program može poslužiti i za napredni analizu strujnih i naponskih prilika

na nadzemnim i kabelskim elektroenergetskim vodovima. Tako je tijekom izrade ove doktorske

disertacije razvijeni računalni program korišten i za rješavanje elektroenergetske problematike

povezane s gradnjom hrvatskih autocesta [52-59].

Razvijeni računalni program korišten je i u opširnoj studiji za izradu pravila i mjera sigurnosti

prilikom rada na elektroenergetskim vodovima za naručitelja HEP, Operator prijenosnog sustava

d.o.o., Prijenosno područje Split [60]. U dvadeset sedam poglavlja studije, obrađen je 231 primjer

pogonskih stanja, kvarova i radova na 35 kV, 110 kV i 220 kV vodovima, i to na nadzemnim

vodovima, kabelskim vodovima i podmorskim kabelima. Posebno je analiziran utjecaj konduktivne

sprege.

Osim toga, obradom i razvrstavanjem dobivenih rezultata kreirane su vlastite baze znanja i baze

podataka korištene za razvoj ekspertnih sustava [61], prema obradama srodnih ekspertnih sustava

[62].

113

11. PRIMJER IZRAČUNA

Izračun raspodjele struje zemljospoja proveden je za transformatorsku stanicu TS

110/35/10 (20) kV Drniš, koja je puštena u rad 29. kolovoza 2000. godine u povodu 105.

obljetnice Hrvatske elektroprivrede. Izgradnja tog objekta imala je za cilj poboljšanje

kvalitete i stabilnosti opskrbe električnom energijom svih gospodarskih i drugih subjekata

Distribucijskog područja Elektre Šibenik [63]. Izgradnjom postrojenja naponske razine 35 kV

zamijenjena je dotrajala i nepouzdana TS 35/10 kV Kalun, a uključenjem TS 110/35/10 (20)

kV Drniš u 110 kV naponsku mrežu širem je području osigurano kvalitetnije

elektroenergetsko napajanje [64].

11.1. TS 110/35/10 (20) kV Drniš - 110 kV naponska razina

Transformatorska stanica TS 110/35/10 (20) kV Drniš uključena je u 110 kV mrežu preko

jednosustavnog T nadzemnog voda DV 110 kV Bilice – Drniš – Knin, koji je nastao

presjecanjem jednosustavnog nadzemnog voda DV 110 kV Bilice – Knin. Drugim riječima,

sada postoje dva nadzemna voda DV 110 kV Bilice – Drniš, oznake D 106, i DV 110 kV

Drniš – Knin, oznake D 178 (Slika 11.1). Trase ovih vodova prikazane su na Slici 11.2.

Slika 11.1. Jednopolna shema DV 110 kV Bilice – Drniš – Knin

Uvod u TS 110/35/10 (20) kV Drniš izveden je po načelu ulaz-izlaz korištenjem

dvosustavnih stupova. Ukupna duljina nadzemnog voda D106 Bilice – Drniš iznosi 32,010

km, a nadzemnog voda D178 Drniš – Knin 25,253 km. Stupovi nadzemnog voda Bilice –

Knin su čelično-rešetkasti jednosustavni, oblika glave stupa jela, a uvod 2x110 kV u TS

110/35/10 (20) kV Drniš je izveden dvosustavnim čelično-rešetkastim stupovima, oblika

glave bačva [65 - 67].

114

Slika 11.2. Trasa DV 110 kV Bilice – Drniš – Knin

Dvosustavni dio nadzemnog voda – uvod 2x110 kV u TS 110/35/10 (20) kV Drniš ima

ukupno 25 dvosustavnih stupova, od kojih je 19 nosnih stupova i 6 zateznih stupova.

Nakon 25 zajedničkih dvosustavnih stupova trasa nadzemnog voda odvaja se prema TS

110/35 kV Knin i TS 220/110/30 kV Bilice. Na jednosustavnom dijelu nadzemnog voda

prema TS 110/35 kV Knin ima ukupno 60 jednosustavnih stupova tipa jela, od kojih je 51

nosni stup i 9 zateznih stupova. Na jednosustavnom dijelu nadzemnog voda prema TS

220/110/30 kV Bilice ima ukupno 82 jednosustavnih stupova tipa jela. Izolatorski lanci su

stakleni kapasti izolatori tipa U 120 BS. Uzemljenje stupova je izvedeno uzemljivačem u

obliku prstena od pocinčane čelične trake 25×4 mm. Fazni vodiči su Al/Fe užad nazivnog

presjeka 240/40 mm2, dok su zaštitna užad s optičkim nitima od aluminijske legure tipa

AA/ACS OPGW nazivnog presjeka 92/43 mm2.

115

11.2. TS 110/35/10 (20) kV Drniš - 35 kV naponska razina

Transformatorska stanica TS 110/35/10 (20) kV Drniš, na naponskoj razini 35 kV,

projektirana je i opremljena sa sedam polja, H1-H7 [68-70]. Srednjenaponsko 35 kV

napajanje mreže ostvareno je preko dva odvoda prstenaste konfiguracije i s jednim linijskim

odvodom. Transformator 110/35 kV, snage 16 MVA, spoja Yy0d5, priključen je na polje H5,

a s polja H2, H6 i H7 napajaju se transformatorske stanica 35/10 (20) kV: TS Unešić, TS

Oklaj i TS Kosovo (Slika 11.3). Polje H1 je rezervno polje. Izlazi iz transformatorske stanice

kabelskim vodom, vrste XHE 49-A, 185/25 mm2, duljine 900 m prelaze u 35 kV nadzemne

vodove. Na polje H3 spojen je transformator 35/10 (20) kV, snage 8 MVA, spoja Dyn5.

Transformator je spojen preko polja J9 na 10 (20) kV sabirnice.

Slika 11.3. Transformatorske stanice TS 35/10 (20) kV napajane iz

TS 110/35/10 (20) kV Drniš

11.3. TS 110/35/10(20)kV Drniš - 10 (20) kV naponska razina

Transformatorska stanica TS 110/35/10 (20) kV Drniš na 10 (20) kV sabirnicama ima dvije

sekcije s 24 polja, J1-J17 i J18-J24, iz kojih se napaja razgranata distribucijska mreža grada

Drniša i okolnih mjesta s ukupno 175 distribucijskih transformatorskih stanica [71-73].

Transformator 110/10 (20) kV, snage 20 MVA, spoja Yy0d5, priključen je na polje J18. Svih

jedanaest 10 (20) kV izlaza, odvoda za distribucijske trafosformatorske stanice izvedeno je

kabelski. Svi kabeli su jednožilni vrste XHE 49-A, 150/25 mm2.

116

Srednjenaponska su 10 (20) kV polja kabelski izlazi iz TS 110/35/10 (20) kV Drniš prema

distribucijskim transformatorskim stanicama TS 10 (20)/0,4 kV:

• Miljevci,

• Girk – Kalun,

• Pakovo Selo,

• TOF,

• Pazar,

• Fenčevina,

• Varoš – Badanj,

• Kričke – Kljaci,

• Trbounje – Razvođe,

• Farma,

• RS Promina.

Osim toga, jedna rezervna kabelska trojka duga 900 m položena je između TS

110/35/10 (20) kV Drniš i bivše TS 35/10 kV Kalun. Ekrani te kabelske trojke, koji su

uzemljeni na oba kraja, također, su uzeti u račun. Zbog relativno kratke duljine, 10 (20) kV

kabelski izvodi Miljevci i TOF nisu uzeti u račun.

11.4. Nadomjesne impedancije dugih nadzemnih vodova

Pasivni nadzemni vodovi mogu se detaljno modelirati, a ako se radi o dugim nadzemnim

vodovima, onda se takvi nadzemni vodovi ili njihov dio mogu modelirati nadomjesnom

impedancijom opisanom sljedećim izrazom [74]:

4

1

Z

R

2

1

RZ

r

s

s

e

++

= (11.1)

gdje je RS otpor uzemljivača stupa nadzemnog voda, a rZ impedancija nadomjesnog raspona

zaštitnog užeta nadzemnog voda s povratnim putem kroz zemlju.

Jedinična impedancija zaštitnog užeta nadzemnog voda s povratnim putem kroz zemlju,

opisana je sljedećim izrazom:

µ+

ρ⋅

π⋅µ⋅ω

⋅+µ⋅ω

+=4fr

658ln

2j

8RZ r001

u

1 (11.2)

117

gdje je:

f = 50 Hz − frekvencija struje i napona,

ω = 2⋅π⋅f − kružna frekvencija,

0

µ = 4⋅π⋅ 710

−

− permeabilnost tla,

r

µ = 30 − relativna permeabilnost vodiča,

ρ = 800 Ωm − otpornost (specifični električni otpor) tla,

r − vanjski polumjer vodiča,

j − imaginarna jedinica,

1

uR − jedinični uzdužni otpor vodiča.

Impedancija nadomjesnog raspona zaštitnog užeta nadzemnog voda računa se prema izrazu:

r1r ZZ l⋅= (11.3)

gdje je r

l srednja duljina raspona nadzemnog voda.

Koristeći izraze (11.1) do (11.3), lako se mogu izračunati nadomjesne impedancije triju

pasivnih 35 kV nadzemnih vodova (Drniš − Unešić, Drniš − Kosovo i Drniš − Oklaj) i

pasivnog 10 (20) kV nadzemnog voda Drniš − RS Promina. Izračunate nadomjesne

impedancije dugih pasivnih nadzemnih elektroenergetskih vodova dane su u Tablici 11.1.

Tablica 11.1. Nadomjesne impedancije dugih pasivnih nadzemnih elektroenergetskih vodova

Nadzemni vod s

R

[Ω] r

l [m]

rZ

[Ω] e

Z

[Ω]

Drniš − Unešić 35 207 0,913873536+j⋅0,175083 5,2623627 ∠ 4,98276o

Drniš − Kosovo 35 215 0,94919232+j⋅0,18184948 5,3547891 ∠ 4,974396o

Drniš − Oklaj 35 285 1,25823168+j⋅0,2410563 6,0887760 ∠ 4,907112o

Drniš − RS Promina 40 89 0,55491037+j⋅0,0762522 4,4622192 ∠ 3,681219

Zaštitno uže 35 kV nadzemnih vodova je od čelika poprečnog presjeka 35 mm2, a zaštitno

uže 10 (20) kV nadzemnog voda Drniš − RS Promina od čelika poprečnog presjeka 25 mm2.

118

U izračunu je uzeto da vanjski polumjer vodiča za Če 35 mm2 iznosi 3,75 mm, dok je

jedinični uzdužni otpor vodiča 4,3655⋅10-3 Ω/m. Za Če 25 mm2 uzeto je da vanjski polumjer

vodiča iznosi 3,15 mm, dok je jedinični uzdužni otpor vodiča 6,1856⋅10-3 Ω/m.

11.5. Elektromagnetskog model - ulazni podaci

Sastavnice elektromagnetskog modela za izračun raspodjele struje zemljospoja TS

110/35/10 (20) kV Drniš su (Slika 11.4):

• Uzemljivači 110 kV transformatorskih stanica,

• Uzemljivači 10 (20) kV transformatorskih stanica i 10 (20) kV stupova,

• Fazni vodiči, zaštitna užad, stupovi i uzemljivači stupova 110 kV nadzemnih vodova,

• Ekrani 35 kV jednožilnih kabela,

• Ekrani 10 kV jednožilnih kabela,

• Uzemljivačka užad iznad kabelskih vodova,

• Nadomjesne impedancije 35 kV nadzemnih vodova,

• Nadomjesna impedancija 10 (20) kV nadzemnog voda,

• Nadomjesna impedancija dijela 10 (20) kV kabelske mreže grada Drniša.

U elektromagnetskom modelu uzemljivači trafostanica i stupova modeliraju se kružnim

metalnim pločama ukopanim na dubini od 0,8 m, paralelno u odnosu na površinu tla.

Jednožilni kabeli se dijele na segmente. Fazni vodiči i zaštitna užad nadzemnih vodova

modeliraju se segmentima nadzemnih cilindričnih vodiča.

Uzemljivačka bakrena užad položena iznad kabelskih vodova modeliraju se segmentima

ukopanih cilindričnih vodiča. U zajedničkom rovu položeno je jedno uzemljivačko uže i jedan

ili više 10 (20) kV i/ili 35 kV kabelskih vodova (Slika 11.4). Kabelske trojke su položene u

trolistu (Slika 11.5). Elektromagnetski se model kompletira dvočvornim impedancijama,

nadomjesnim jednočvornim impedancijama te trofaznim naponskim izvorima i zadanim

nultim potencijalima globalnih čvorova.

119

Slika 11.4. Načelni prikaz sastavnica elektromagnetskog modela TS 110/35/10 (20) kV Drniš

za izračun raspodjele struje zemljospoja

2r

r r h

Slika 11.5. Prikaz međusobnog položaja jednožilnih kabela kabelske trojke u trolistu

120

Osnovni ulazni podaci računalnog programa EMFCD, opisanog u prethodnom poglavlju,

dani su u Tablici 11.2, odakle slijedi da je u izračunu uzeto da je otpornost (specifični

električni otpor) tla 800 Ωm te da je relativna dielektričnost tla 9.

Tablica 11.2. Osnovni ulazni podaci

Ukupan broj globalnih čvorova 868

Frekvencija struje i napona [Hz] 50

Otpornost tla [Ωm] 800

Relativna dielektričnost tla 9

Ukupan broj uzemljivača 175

Ukupan broj uzemljivača 110 kV transformatorskih stanica 3

Ukupan broj uzemljivača stupova 110 kV voda 167

Ukupan broj uzemljivača dvosustavnih 110 kV stupova 25

Ukupan broj uzemljivača jednosustavnih 110 kV stupova 142

Ukupan broj uzemljivača TS 10 (20) / 0,4 kV 2

Ukupan broj uzemljivača stupova 10 (20) kV voda 2

Ukupan broj segmenata Cu uzemljivačkog užeta 36

Ukupan broj segmenata jednožilnih kabela 114

Ukupan broj segmenata 35 kV jednožilnih kabela 27

Ukupan broj segmenata 10 (20) kV jednožilnih kabela 87

Ukupan broj tipova nadzemnih vodiča 2

Ukupan broj segmenata nadzemnih vodiča 751

Ukupan broj segmenata faznih vodiča 582

Ukupan broj segmenata zaštitnih užadi 169

Ukupan broj dvočvornih impedancija 4

Ukupan broj nadomjesnih jednočvornih impedancija 7

Ukupan broj trofaznih naponskih izvora 3

Ukupan broj čvorova sa zadinim nultim potencijalom 2

121

Ulazni podaci za nadomjesne uzemljivače transformatorskih stanica dani su u Tablici 11.3.

Uzemljivači TS 220/110/30 kV Bilice, TS 110/35/10 (20) kV Drniš i TS 110/35 kV Knin

modelirani su kružnim metalnim pločama polumjera 80 m ukopanim na dubini od 0,8 m.

Uzemljivači dviju u račun izravno uzetih TS 10 (20)/0,4 kV modelirani su kružnim metalnim

pločama polumjera 8 m ukopanim na dubini od 0,8 m. Ishodište koordinatnog sustava (x, y, z)

nalazi se na površini tla iznad središta nadomjesnog uzemljivača TS 110/35/10 (20) kV Drniš.

Tablica 11.3. Ulazni podaci za nadomjesne uzemljivače transformatorskih stanica

Naziv transformatorske stanice Globalni

čvor

x

[m]

y

[m]

Polumjer

[m]

TS 110/35/10 (20) kV Drniš 7 0 0 80

TS 110/35 kV Knin 426 20.017,355 7.539,659 80

TS 220/110/30 kV Bilice 758 -21.319,791 7.726,335 80

Bivša TS 35/10 kV Kalun 829 -330 -858,27 80

TS 10 (20)/0,4 kV Pazar 830 -685 -1.818,1 8

TS 10 (20)/0,4 kV Trbounje - Razvođe 837 718 292 8

Uzemljivači dvaju u račun uzetih stupova 10 (20) kV nadzemnih vodova modelirani su

kružnim metalnim pločama polumjera 2,5 m ukopanim na dubini od 0,8 m (Tablica 11.4).

Tablica 11.4. Ulazni podaci za nadomjesne uzemljivače stupova 10 (20) kV nadzemnog voda

Prvi stup 10 (20) kV zračnog voda

prema

Globalni

čvor

x

[m]

y

[m]

Polumjer

[m]

TS 10 (20)/0,4 kV Fenčevina 767 245,535 -125 2,5

TS 10 (20)/0,4 kV Farma 768 848,6 -121,779 2,5

Uzemljivači 110 kV stupova modelirani su kružnim metalnim pločama polumjera 10 m

ukopanim na dubini od 0,8 m. Koordinate nadomjesnih uzemljivača dvosustavnih stupova

110 kV nadzemnog voda dane su Tablici 11.5, a koordinate jednosustavnih stupova 110 kV

nadzemnog voda dane su Tablicama 11.7 i 11.8. Duljine raspona dvosustavnog dijela 110 kV

122

nadzemnog voda dane su u Tablici 11.6, a duljine raspona jednosustavnih dijelova 110 kV

nadzemnog voda dane su u Tablici 11.9 i 11.10.

Tablica 11.5. Koordinate nadomjesnih uzemljivača dvosustavnih stupova 110 kV nadzemnog

voda počevši od TS 110/35/10 (20) kV Drniš

Redni

broj

x

[m]

y

[m]

Redni

broj

x

[m]

y

[m]

1 34,89 95,85 14 1.397,49 3.839,58

2 102,26 280,97 15 1.521,65 4.180,69

3 204,87 562,88 16 1.645,80 4.521,80

4 310,90 854,18 17 1.759,69 4.834,72

5 431,63 1.185,89 18 1.873,59 5.147,64

6 559,89 1.538,28 19 1.992,61 5.474,65

7 645,73 1.774,14 20 2.111,63 5.801,66

8 748,34 2.056,05 21 2.230,66 6.128,68

9 850,95 2.337,95 22 2.349,68 6.455,69

10 937,82 2.576,64 23 2.468,70 6.782,70

11 1.040,42 2.858,55 24 2.587,72 7.109,72

12 1.159,45 3.185,56 25 2.688,62 7.386,92

13 1.278,47 3.512,57

Tablica 11.6. Duljine raspona dvosustavnog dijela 110 kV nadzemnog voda

počevši od TS 110/35/10 (20) kV Drniš

Raspon broj

Duljina raspona

[m]

Raspon broj

Duljina raspona

[m]

Raspon broj

Duljina raspona

[m]

Raspon broj

Duljina raspona

[m]

1 102 8 300 15 363 22 348

2 197 9 300 16 363 23 348

3 300 10 254 17 333 24 348

4 310 11 310 18 333 25 295

5 353 12 300 19 348

6 375 13 348 20 348

7 251 14 348 21 348

123


nadzemnog voda gledano od TS 110/35/10 (20) kV Drniš prema TS 110/35 kV Knin

Redni

broj

x

[m]

y

[m]

Redni

broj

x

[m]

y

[m]

1 2.841,36 7.539,66 31 11.210.35 7.539,66

2 3.086,36 7.539,66 32 11.524.35 7.539,66

3 3.366,36 7.539,66 33 11.835.35 7.539,66

4 3.636,36 7.539,66 34 12.129.35 7.539,66

5 3.925,36 7.539,66 35 12.450.35 7.539,66

6 4.211,35 7.539,66 36 12.776.35 7.539,66

7 4.502,35 7.539,66 37 13.113.35 7.539,66

8 4.796,35 7.539,66 38 13.423.35 7.539,66

9 5.080,35 7.539,66 39 13.653.35 7.539,66

10 5.398,35 7.539,66 40 13.985.35 7.539,66

11 5.709,35 7.539,66 41 14.298.35 7.539,66

12 6.014,35 7.539,66 42 14.627.35 7.539,66

13 6.317,35 7.539,66 43 14.958.35 7.539,66

14 6.569,35 7.539,66 44 15.297.35 7.539,66

15 6.796,35 7.539,66 45 15.602.35 7.539,66

16 7.055,35 7.539,66 46 15.895.35 7.539,66

17 7.317,35 7.539,66 47 16.207.35 7.539,66

18 7.623,35 7.539,66 48 16.545.35 7.539,66

19 7.876,35 7.539,66 49 16.866.35 7.539,66

20 8.145,35 7.539,66 50 17.173.35 7.539,66

21 8.429,35 7.539,66 51 17.492.35 7.539,66

22 8.744,35 7.539,66 52 17.795.35 7.539,66

23 8.935,35 7.539,66 53 18.103.35 7.539,66

24 9.222,35 7.539,66 54 18.402.35 7.539,66

25 9.481,35 7.539,66 55 18.652.35 7.539,66

26 9.681,35 7.539,66 56 18.943.35 7.539,66

27 9.983,35 7.539,66 57 19.176.35 7.539,66

28 10.295,35 7.539,66 58 19.451.35 7.539,66

29 10.597,35 7.539,66 59 19.714.35 7.539,66

30 10.910,35 7.539,66 60 19.917.35 7.539,66

124


nadzemnog voda gledano od TS 110/35/10 (20) kV Drniš prema TS 220/110/30 kV Bilice

Redni

broj

x

[m]

y

[m]

Redni

broj

x

[m]

y

[m]

1 2.550,03 7.525,52 42 -10.153,79 7.726,34

2 2.349,21 7.726,34 43 -10.462,79 7.726,34

3 2.068,21 7.726,34 44 -10.725,79 7.726.34

4 1.783,21 7.726.34 45 -11.138,79 7.726.34

5 1.496,21 7.726.34 46 -11.416,79 7.726,34

6 1.218,21 7.726,34 47 -11.707,79 7.726,34

7 934,21 7.726,34 48 -11.956,79 7.726,34

8 657,21 7.726,34 49 -12.264,79 7.726.34

9 367,21 7.726.34 50 -12.558,79 7.726.34

10 95,21 7.726.34 51 -12.853,79 7.726,34

11 -201,79 7.726,34 52 -13.129,79 7.726,34

12 -490,79 7.726,34 53 -13.429,79 7.726,34

13 -752,79 7.726,34 54 -13.719,79 7.726.34

14 -1.062,79 7.726.34 55 -14.020,79 7.726.34

15 -1.386,79 7.726.34 56 -14.319,79 7.726,34

16 -1.716,79 7.726,34 57 -14.622,79 7.726,34

17 -2.032,79 7.726,34 58 -14.918,79 7.726,34

18 -2.370,79 7.726,34 59 -15.238,79 7.726.34

19 -2.704,79 7.726.34 60 -15.528,79 7.726.34

20 -3.049,79 7.726.34 61 -15.810,79 7.726,34

21 -3.385,79 7.726,34 62 -16.085,79 7.726,34

22 -3.703,79 7.726,34 63 -16.402,79 7.726,34

23 -3.952,79 7.726,34 64 -16.687,79 7.726.34

24 -4.249,79 7.726.34 65 -16.962,79 7.726.34

25 -4.545,79 7.726.34 66 -17.214,79 7.726,34

26 -4.861,79 7.726,34 67 -17.476,79 7.726,34

27 -5.150,79 7.726,34 68 -17.651,79 7.726,34

28 -5.460,79 7.726,34 69 -17.883,79 7.726.34

29 -6.018,79 7.726.34 70 -17.968,79 7.726.34

30 -6.476,79 7.726.34 71 -18.281,79 7.726,34

31 -6.733,79 7.726,34 72 -18.578,79 7.726,34

32 -7.043,79 7.726,34 73 -18.863,79 7.726,34

33 -7.374,79 7.726,34 74 -19.120,79 7.726.34

34 -7.652,79 7.726.34 75 -19.378,79 7.726.34

35 -7.998,79 7.726.34 76 -19.644,79 7.726,34

36 -8.295,79 7.726,34 77 -19.938,79 7.726,34

37 -8.587,79 7.726,34 78 -20.094,79 7.726,34

38 -8.870,79 7.726,34 79 -20.294,79 7.726.34

39 -9.165,79 7.726.34 80 -20.626,79 7.726.34

40 -9.481,79 7.726.34 81 -20.927,79 7.726,34

41 -9.814,79 7.726,34 82 -21.199,79 7.726,34

125

Tablica 11.9. Duljine raspona jednosustavnog dijela 110 kV nadzemnog voda gledano od TS

110/35/10 (20) kV Drniš prema TS 110/35 kV Knin

Raspon broj

Duljina raspona

[m]

Raspon broj

Duljina raspona

[m]

Raspon broj

Duljina raspona

[m]

Raspon broj

Duljina raspona

[m]

1 216 17 262 33 311 49 321

2 245 18 306 34 294 50 307

3 280 19 253 35 321 51 319

4 270 20 269 36 326 52 303

5 289 21 284 37 337 53 308

6 286 22 315 38 310 54 299

7 291 23 191 39 230 55 250

8 294 24 287 40 332 56 291

9 284 25 259 41 313 57 233

10 318 26 200 42 329 58 275

11 311 27 302 43 331 59 263

12 305 28 312 44 339 60 203

13 303 29 302 45 305 61 100

14 252 30 313 46 293

15 227 31 300 47 312

16 259 32 314 48 338

Koordinate segmenata ukupanih uzemljivačkih užadi dane su u Tablici 11.11.

Uzemljivačka bakrena užad ukopanana su u tlo na dubini od 0,7 m; površina poprečnog

presjeka im je 50 mm², a vanjski im je polumjer 4 mm. Uzemljivačka bakrena užad položena

su iznad svih 10 (20) kV i 35 kV kabelskih vodova (Slika 11.5). U zajedničkom rovu

položeno je samo jedno uzemljivačko uže. Kabelske trojke su položene u trolistu (Slika 11.5).

Razmak između susjednih kabelskih trojki, položenih u zajednički rov, iznosi 0,2 m.

126

Tablica 11.10. Duljine raspona jednosustavnog dijela 110 kV nadzemnog voda gledano od TS

110/35/10 (20) kV Drniš prema TS 220/110/30 kV Bilice

Raspon broj

Duljina raspona

[m]

Raspon broj

Duljina raspona

[m]

Raspon broj

Duljina raspona

[m]

Raspon broj

Duljina raspona

broj

1 196 22 318 43 309 64 285

2 284 23 249 44 263 65 275

3 281 24 297 45 413 66 252

4 285 25 296 46 278 67 262

5 287 26 316 47 291 68 175

6 278 27 289 48 249 69 232

7 284 28 310 49 308 70 85

8 277 29 558 50 294 71 313

9 290 30 458 51 295 72 297

10 272 31 257 52 276 73 285

11 297 32 310 53 300 74 257

12 289 33 331 54 290 75 258

13 262 34 278 55 301 76 266

14 310 35 346 56 299 77 294

15 324 36 297 57 303 78 156

16 330 37 292 58 296 79 200

17 316 38 283 59 320 80 332

18 338 39 295 60 290 81 301

19 334 40 316 61 282 82 272

20 345 41 333 62 275 83 120

21 336 42 339 63 317

127

Tablica 11.11. Koordinate segmenata bakrenih uzemljivačkih užadi

Početna točka Konačna točka Segment

broj x [m] y [m] x [m] y [m]

Duljina

[m]

1 80,10 -27,00 63,00 -74,00 50

2 63,00 -74,00 45,90 -121,00 50

3 45,53 -122,10 145,53 -122,10 100

4 145,53 -122,10 245,53 -122,10 100

5 246,00 -121,90 346,00 -121,90 100

6 346,00 -121,90 446,00 -121,90 100

7 446,00 -121,90 546,00 -121,90 100

8 546,00 -121,90 646,00 -121,90 100

9 646,00 -121,90 746,00 -121,90 100

10 746,00 -121,90 846,00 -121,90 100

11 45,30 -121,00 11,15 -214,94 100

12 11,15 -214,94 11,15 -334,94 120

13 11,15 -334,94 -30,52 -422,16 96,67

14 -30,52 -422,16 -72,20 -509,38 96,67

15 -72,20 -509,38 -113,88 -596,61 96,67

16 -113,88 -596,61 -155,55 -683,83 96,67

17 -155,55 -683,83 -197,22 -771,05 96,67

18 -197,22 -771,05 -238,90 -858,27 96,67

19 -241,06 -858,27 -285,44 -953,44 105

20 -285,44 -953,44 -329,83 -1.048,62 105

21 -329,83 -1.48,62 -374,21 -1.143,79 105

22 -374,21 -1.143,79 -418,60 -1.238,96 105

23 -418,60 -1.238,96 -462,98 -1.334,13 105

24 -462,98 -1.334,13 -507,36 -1.429,31 105

25 -507,36 -1.429,31 -551,75 -1.524,48 105

26 -551,75 -1.524,48 -596,13 -1.619,65 105

27 -596,13 -1.619,65 -640,52 -1.714,83 105

28 -640,52 -1.714,83 -684,90 -1.810,00 105

29 80,40 0,00 151,15 70,75 100

30 151,15 70,75 221,90 141,50 100

31 221,90 141,50 292,65 212,25 100

32 292,65 212,25 363,40 283,00 100

33 363,60 283,40 452,00 195,00 125

34 452,00 195,00 540,60 106,40 125

35 540,60 106,40 629,02 194,98 125

36 629,02 194,8 717,45 283,55 125

128

Osnovni ulazni podaci za 35 kV jednožilne kabele dani su u Tablici 11.12, a osnovni

ulazni podaci za 10 (20) kV jednožilne kabele dani su u Tablici 11.13.

Tablica 11.12. Osnovni ulazni podaci za 35 kV jednožilne kabele

Značajka Bakreni ekran Vanjska izolacija

Unutarnji polumjer [mm] 19,8 20

Vanjski polumjer [m] 20 24,5

Provodnost [S/m] 51⋅106

6,7⋅10-12

Relativna permeabilnost 1 1

Relativna dielektričnost 0 2,4

Tablica 11.13. Osnovni ulazni podaci za 10 (20) kV jednožilne kabele

Značajka Bakreni ekran Vanjska izolacija

Unutarnji polumjer [mm] 15,75 16

Vanjski polumjer [m] 16 20,5

Provodnost [S/m] 51⋅106

6,7⋅10-12


Relativna dielektričnost 0 2,4

Koordinate segmenata 35 kV jednožilnih kabela dane su u Tablici 11.14, a koordinate

segmenata 10 (20) kV jednožilnih kabele dane su u Tablicama 11.15 i 11.16.

129

Tablica 11.14. Koordinate segmenata 35 kV jednožilnih kabela



Dubina

[m]

1 79,449 -27,000 11,049 -214,940 0,875

2 79,395 -27,000 10,995 -214,940 0,875

3 79,422 -27,000 11,022 -214,940 0,831

4 79,149 -27,000 10,749 -214,940 0,875

5 79,095 -27,000 10,695 -214,940 0,875

6 79,122 -27,000 10,722 -214,940 0,831

7 76,995 -27,000 8,595 -214,940 0,875

8 76,941 -27,000 8,541 -214,940 0,875

9 76,968 -27,000 8,568 -214,940 0,831

10 11,049 -214,940 11,049 -334,940 0,875

11 10,999 -214,940 10,999 -334,940 0,875

12 11,024 -214,940 11,024 -334,940 0,831

13 10,749 -214,940 10,749 -334,940 0,875

14 10,699 -214,940 10.699 -334,940 0,875

15 10,724 -214,940 10,724 -334,940 0,831

16 8,595 -214,940 8,595 -334,940 0,875

17 8,545 -214,940 8,545 -334,940 0,875

18 8,570 -214,940 8,570 -334,940 0,831

19 11,049 -334,940 -239,000 -858,270 0,875

20 10,993 -334,940 -239,056 -858,270 0,875

21 11,021 -334,940 -239,028 -858,270 0,831

22 10,749 -334,940 -239,300 -858,270 0,875

23 10,693 -334,940 -239,356 -858,270 0,875

24 10,721 -334,940 -239,328 -858,270 0,831

25 8,595 -334,940 -241,454 -858,270 0,875

26 8,539 -334,940 -241,510 -858,270 0,875

27 8,567 -334,940 -241,482 -858,270 0,831

130

Tablica 11.15. Koordinate segmenata 10 (20) kV jednožilnih kabela - 1. dio



Dubina

[m]

1 80,000 -27,000 45,798 -120,969 0,879

2 79,954 -27,000 45,752 -120,969 0,879

3 79,977 -27,000 45,775 -120,969 0,842

4 79,737 -27,000 45,535 -120,969 0,879

5 79,691 -27,000 45,489 -120,969 0,879

6 79,714 -27,000 45,512 -120,969 0,842

7 45,535 -122,000 245,535 -122,000 0,879

8 45,535 -122,042 245,535 -122,042 0,879

9 45,535 -122,021 245,535 -122,021 0,842

10 46,000 -121,737 846,000 -121,737 0,879

11 46,000 -121,779 846,000 -121,779 0,879

12 46,000 -121,758 846,000 -121,758 0,842

13 78,861 -27,000 10,461 -214,940 0,879

14 78,815 -27,000 10,413 -214,940 0,879

15 78,838 -27,000 10,438 -214,940 0,842

16 78,598 -27,000 10,198 -214,940 0,879

17 78,552 -27,000 10,152 -214,940 0,879

18 78,575 -27,000 10,175 -214,940 0,842

19 78,335 -27,000 9,935 -214,940 0,879

20 78,289 -27,000 9,889 -214,940 0,879

21 78,312 -27,000 9,912 -214,940 0,842

22 78,072 -27,000 9,672 -214,940 0,879

23 78,026 -27,000 9,626 -214,940 0,879

24 78,049 -27,000 9,649 -214,940 0,842

25 77,809 -27,000 9,409 -214,940 0,879

26 77,763 -27,000 9,363 -214,940 0,879

27 77,786 -27,000 9,386 -214,940 0,842

28 77,546 -27,000 9,146 -214,940 0,879

29 77,500 -27,000 9,100 -214,940 0,879

30 77,523 -27,000 9,123 -214,940 0,842

31 77,283 -27,000 8,883 -214,940 0,879

32 77,237 -27,000 8,837 -214,940 0,879

33 77,260 -27,000 8,860 -214,940 0,842

34 10,461 -214,940 10,461 -334,940 0,879

35 10,419 -214,940 10,419 -334,940 0,879

36 10,440 -214,940 10,440 -334,940 0,842

37 10,198 -214,940 10,198 -334,940 0,879

38 10,156 -214,940 10,156 -334,940 0,879

39 10,177 -214,940 10,177 -334,940 0,842

40 9,935 -214,940 9,935 -334,940 0,879

41 9,893 -214,940 9,893 -334,940 0,879

42 9,914 -214,940 9,914 -334,940 0,842

43 9,672 -214,940 9,672 -334,940 0,879

44 9,630 -214,940 9,630 -334,940 0,879

45 9,651 -214,940 9,651 -334,940 0,842

131

Tablica 11.16. Koordinate segmenata 10 (20) kV jednožilnih kabela - 2. dio



Dubina

[m]

46 9,409 -214,940 9,409 -334,940 0,879

47 9,367 -214,940 9,367 -334,940 0,879

48 9,388 -214,940 9,388 -334,940 0,842

49 9,146 -214,940 9,146 -334,940 0,879

50 9,104 -214,940 9,104 -334,940 0,879

51 9,125 -214,940 9,125 -334,940 0,842

52 8,883 -214,940 8,883 -334,940 0,879

53 8,841 -214,940 8,841 -334,940 0,879

54 8,862 -214,940 8,862 -334,940 0,842

55 10,461 -334,940 -239,588 -858,270 0,879

56 10,413 -334,940 -239,636 -858,270 0,879

57 10,437 -334,940 -239,612 -858,270 0,842

58 10,198 -334,940 -239,851 -858,270 0,879

59 10,150 -334,940 -239,899 -858,270 0,879

60 10,174 -334,940 -239,875 -858,270 0,842

61 9,935 -334,940 -240,114 -858,270 0,879

62 9,887 -334,940 -240,162 -858,270 0,879

63 9,911 -334,940 -240,138 -858,270 0,842

64 9,672 -334,940 -240,377 -858,270 0,879

65 9,624 -334,940 -240,425 -858,270 0,879

66 9,648 -334,940 -240,401 -858,270 0,842

67 9,409 -334,940 -240,640 -858,270 0,879

68 9,361 -334,940 -240,688 -858,270 0,879

69 9,385 -334,940 -240,664 -858,270 0,842

70 9,146 -334,940 -240,903 -858,270 0,879

71 9,098 -334,940 -240,951 -858,270 0,879

72 9,122 -334,940 -240,927 -858,270 0,842

73 8,883 -334,940 -241,166 -858,270 0,879

74 8,835 -334,940 -241,214 -858,270 0,879

75 8,859 -334,940 -241,190 -858,270 0,842

76 -241,166 -858,270 -685,000 -1810,000 0,879

77 -241,214 -858,270 -685,048 -1810,000 0,879

78 -241,190 -858,270 -685,024 -1810,000 0,842

79 80,500 0,000 363,500 283,000 0,879

80 80,560 0,000 363,560 283,000 0,879

81 80,530 0,000 363,530 283,000 0,842

82 363,600 283,560 540,600 106,560 0,879

83 363,600 283,500 540,600 106,500 0,879

84 363,600 283,530 540,600 106,530 0,842

85 540,600 106,560 717,550 283,552 0,879

86 540,600 106,500 717,610 283,552 0,879

87 540,600 106,530 717,580 283,552 0,842

132

Fazni vodiči 110 kV nadzemnog vodu su Al/Fe užad nazivnog poprečnog presjeka 240/40

mm2, dok su zaštitna užad s optičkim nitima od aluminijske legure tipa AA/ACS OPGW

nazivnog poprečnog presjeka 92/43 mm2. Ulazni podaci za fazne vodiče dani su u Tablici

11.17, a ulazni podaci za vodiče zaštitnog užeta s optičkim nitima dani su u Tablici 11.18.

Tablica 11.17. Ulazni podaci za dvoslojne fazne vodiče Al/Fe 240/40 mm2

Značajka Prvi sloj Drugi sloj

Unutarnji polumjer [mm] 5,475 6,52

Vanjski polumjer [m] 6,52 10,95

Provodnost [MS/m] 5,874

31,06


Tablica 11.18. Ulazni podaci za dvoslojne OPGW vodiče AA/ACS 92/43 mm2

Značajka Prvi sloj Drugi sloj

Unutarnji polumjer [mm] 4,586 5,892

Vanjski polumjer [m] 5,892 8

Provodnost [MS/m] 5,874

31,06


Koordinate segmenata faznih vodiča i zaštitnog užeta 110 kV nadzemnog voda određene

su podacima danim u Tablicama 11.5 do 11.10 te skicom 110 kV dvosustavnog stupa i 110

kV jednosustavnog stupa (Slika 11.6). Radi jednostavnosti, uzeto je da su svi 110 kV

dvosustavni stupovi međusobno jednaki te da su, također, svi 110 kV jednosustavni stupovi

međusobno jednaki.

Na uzemljivače transformatorskih stanica paralelno su spojene nadomjesne jednočvorne

impedancije (drugi čvor je na nultom potencijalu), koje na približan način uzimaju u račun

neke od vodljivih dijelova povezanih na pojedini uzemljivač. Ti vodljivi dijelovi sudjeluju u

raspodjeli struje zemljospoja. Ulazni podaci za nadomjesne jednočvorne impedancije dani su

u Tablici 11.19.

133

Slika 11.6. Skica dvosustavnog i jednosustavnog stupa 110 kV nadzemnog voda

Tablica 11.19. Ulazni podaci za nadomjesne jednočvorne impedancije

Impedancija nadomješta

Uzemljivač na koji je spojena impedancija

Globalni čvor

Impedancija [Ω]

Vodljive dijelove povezane na

TS 110/35 kV Knin

Uzemljivač TS 110/35 kV Knin

426 0,625 ∠ 0o


TS 220/110/30 kV Bilice

Uzemljivač TS 220/110/30 kV Bilice

758 0,625 ∠ 0o


TS 10 (20)/0,4 kV Pazar

TS 10 (20)/0,4 kV Pazar

830 0,2 ∠ 0

o

Zračni vod 35 kV Drniš - Unešić

Uzemljivač bivše TS 35/10 kV Kalun

829 5,2623627 ∠ 4,98276o

Zračni vod 35 kV Drniš - Oklaj


829 5,3547891 ∠ 4,974396o

Zračni vod 35 kV Drniš - Kosovo


829 6,0887760 ∠ 4,907112o

Zračni vod 10 (20) kV Drniš - RS Promina


829 4,4622192 ∠ 3,681219o

134

U elektromagnetskom modelu, dvočvorne impedancije Ωµ== 10RZ koriste se za

povezivanje dvaju globalnih čvorova. U ovom se primjeru izračuna koriste ukupno četiri

dvočvorne impedancije. Tri impedancije povezuju istoimene 110 kV fazne vodiče dvaju

trofaznih sustava u TS 110/35/10 (20) kV Drniš. Četvrta dvočvorna impedancija služi za

izazivanje zemljospoja u TS 110/35/10 (20) kV Drniš. Ona povezuje globalni čvor jedne od

faza 110 kV voda i globalni čvor uzemljivača TS 110/35/10 (20) kV Drniš.

U slučajevima jednopolnog kratkog spoja u račun su uzete struje jednopolnog kratkog

spoja za nazivnu 2015. godinu izračunate u literaturi [24]. U slučaju jednopolnog kratkog

spoja na 110 kV sabirnicama TS 220/110/30 kV Bilice svi nadzemni vodovi 110 kV, izuzev

razmatranog jednosustavnog T nadzemnog voda DV 110 kV Bilice − Drniš − Knin, daju svoj

doprinos struji zemljospoja ,kA916,74147,4Io

d1k −∠=′′ a transformatori TR 220/110 kV

daju svoj doprinos struji zemljospoja .kA1,83332,13Io

tr1k −∠=′′ Slijedi da je vlastita

unutarnja impedancija pojedine faze nadomjesnog trofaznog simetričnog izvora priključenog

na 110 kV sabirnice TS 220/110/30 kV Bilice i uzemljenog u dalekoj točki

,916,74846,16Zo

d Ω∠= dok je vlastita unutarnja impedancija pojedine faze nadomjesnog

trofaznog simetričnog izvora priključenog na 110 kV sabirnice TS 220/110/30 kV Bilice i

uzemljenog na uzemljivač TS 220/110/30 kV Bilice .1,8324,5Zo

trΩ∠=

Prema literaturi [24] za nazivnu 2015. godinu, u slučaju jednopolnog kratkog spoja na 110

kV sabirnicama TS 110/35 kV Knin svi nadzemni vodovi 110 kV, izuzev jednosustavnog T

nadzemnog voda DV 110 kV Bilice − Drniš − Knin, daju svoj doprinos struji zemljospoja u

iznosu od .kA546,81676,4Io

d1k −∠=′′ Slijedi da je vlastita unutarnja impedancija pojedine

faze nadomjesnog trofaznog simetričnog izvora priključenog na 110 kV sabirnice TS 110/35

kV Knin i uzemljenog u dalekoj točki .546,81676,4Zo

d Ω∠=

U slučajevima jednopolnog kratkog spoja, u samoj TS 110/35/10 (20) kV Drniš nema

nadomjesnih izvora jer se TS 110/35/10 (20) kV Drniš napaja samo preko razmatranog

jednosustavnog T nadzemnog voda DV 110 kV Bilice - Drniš - Knin. Dakle, u izračunu se

koriste ukupno tri nadomjesna trofazna simetrična naponska izvora, od kojih su dva

priključena na 110 kV sabirnice TS 220/110/30 kV Bilice, a treći na 110 kV sabirnice TS

110/35 kV Knin (Tablice 11.20 do 11.22).

135

Tablica 11.20. Parametri nadomjesnog trofaznog simetričnog naponskog izvora priključenog

na 110 kV sabirnice TS 220/110/30 kV Bilice i uzemljenog u dalekoj točki nultog potencijala

Faza Parametar

L1 L2 L3 Zvjezdište

Fazna EMS [kV] 69,859 o

0∠ 69,859 o

120−∠ 69,859 o

120∠

Globalni čvor 755 756 757 759

Vlastita impedancija [Ω] o916,74846,16dZ ∠=


na 110 kV sabirnice TS 220/110/30 kV Bilice i uzemljenog

na uzemljivač TS 220/110/30 kV Bilice

Faza Parametar



0∠ 69,859 o

120−∠ 69,859 o

120∠


Vlastita impedancija [Ω] o1,8324,5trZ ∠=


na 110 kV sabirnice TS 110/35 kV Knin i uzemljenog u dalekoj točki nultog potencijala

Faza Parametar



0∠ 69,859 o

120−∠ 69,859 o

120∠


Vlastita impedancija [Ω] o

d 546,81676,4Z ∠=

136

11.6. Elektromagnetskog model - izlazni rezultati

Korištenjem računalnog programa EMFCD izračunata je raspodjela struje zemljospoja koji

se dogodio na 110 kV sabirnicama TS 110/35/10 (20) kV Drniš. U Tablici 11.23 prikazani su

osnovni izlazni podaci u ovisnosti o tom na kojoj se fazi dogodio zemljospoj. Najveći

potencijal uzemljivača TS 110/35/10 (20) kV Drniš i najveća jakost struje koju odvodi

uzemljivača TS 110/35/10 (20) kV Drniš dobiveni su u slučaju kad se zemljospoj dogodio na

donjoj fazi L3, koja je najudaljenija od zaštitnog užeta 110 kV nadzemnog voda. Stoga, sa

stanovišta povećane sigurnosti, treba uzeti kao mjerodavan zemljospoj na donjoj fazi L3, a

preostala dva slučaja zemljospoja na fazama L1 i L2 nema potrebe detaljnije razmatrati.

Tablica 11.23. Osnovni izlazni podaci u ovisnosti o tom na kojoj se fazi dogodio zemljospoj

Zemljospoj na Gornjoj fazi L1 Srednjoj fazi L2 Donjoj fazi L3

Struja zemljospoja

[A] 4.596,839 ∠ -74,178

o

4.509,459 ∠ 164,893o

4.414,224 ∠ 44,218o

Potencijal

uzemljivača

TS Drniš [V]

1.229,258 ∠ -55,270o

1.268,397∠ 185,843o

1.273,358 ∠ 65,933o

Struja koju odvodi

uzemljivač

TS Drniš [A]

359,690 ∠ -50,688o

371,108 ∠ 190,414o

372,477 ∠ 70,499o

Struja koju odvodi

zaštitno uže 110 kV

voda [A]

2.572,421 ∠ -60,658o

2.383,676∠ 177,900o

2.260,209 ∠ 56,938o

Raspodjela struje zemljospoja po sastavnicama elektromagnetskog modela kad se

zemljospoj dogodio na donjoj fazi L3 u TS 110/35/10 (20) kV Drniš dana je u Tablici 11.24.

Potencijali i struje uzemljivača razmatranih transformatorskih stanica i uzemljivača dvaju

razmatranih 10 (20) kV stupova na prijelazu 10 (20) kV kabelskih vodova u nadzemne

vodove dani su u Tablici 11.25.

137

Tablica 11.24. Raspodjela struje zemljospoja po sastavnicama elektromagnetskog modela

Tablica 11.25. Potencijali i struje uzemljivača transformatorskih stanica i 10 (20) kV stupova

Uzemljivač Globalni

čvor

Potencijal

[V]

Struja

[A]

TS Drniš 110/35/10 (20) kV 7 1.273,358 ∠ 65,933o

372,477 ∠ 70,499o

TS 110/35 kV Knin 426 400,064 ∠ 67,970o

152,100 ∠ 68,631o

TS 220/110/30 kV Bilice 758 365,278 ∠ -152,051o

141,352 ∠ -150,951o

Bivša TS 35/10 kV Kalun 829 684,121 ∠ 36,829o

200,116 ∠ 37,428o

TS 10 (20)/0,4 kV Pazar 830 173,032 ∠ -34,651o

4,778 ∠ -56,534o

TS 10 (20)/0,4 kV

Trbounje – Razvođe 837 1.366,735 ∠ 66,281

o

41,705 ∠ 70,555o

10 kV stup prema TS 10

(20)/0,4 kV Fenčevina 767 1.211,593 ∠ 62,371

o

6,040 ∠ 67,580o


(20)/0,4 kV Farma 768 1.231,007 ∠ 61,281

o

12,349 ∠ 64,920o

Sastavnica Jakost struje

[A]

Uzemljivač TS 110/35/10(20) kV Drniš 372,477 ∠ 70,499o

Zaštitno uže 2.260,209 ∠ 56,938o

Uzemljivačka užad 559,056 ∠ 58,423o

Ekrani 35 kV kabela 522,482 ∠ 8,963o

Ekrani 10 kV kabela 1.034,835 ∠ 15,433o

Struja zemljospoja [A] 4.414,224 ∠ 44,218o

138

Raspodjela efektivne vrijednosti potencijala duž zaštitnog užeta 110 kV nadzemnog voda

Drniš - Knin prikazana je na Slici 11.7, dok je na Slici 11.8 prikazana raspodjela efektivne

vrijednosti potencijala duž faznih vodiča 110 kV nadzemnog voda Drniš - Knin, gledano od

TS 110/35/10 (20) kV Drniš. Prema Slici 11.8, potencijal dviju zdravih faza najveći je na

sabirnicama TS 110/35/10 (20) kV Drniš, na kojima se dogodio zemljospoj.

Slika 11.7. Raspodjela efektivne vrijednosti potencijala duž zaštitnog užeta

110 kV nadzemnog voda Drniš - Knin

Slika 11.8. Raspodjela efektivne vrijednosti potencijala duž faznih vodiča


139

Raspodjela efektivne vrijednosti potencijala duž zaštitnog užeta 110 kV nadzemnog voda

Drniš - Bilice prikazana je na Slici 11.9, dok je na Slici 11.10 prikazana raspodjela efektivne

vrijednosti potencijala duž faznih vodiča 110 kV nadzemnog voda Drniš - Bilice, gledano od

TS 110/35/10(20) kV Drniš. Prema Slici 11.10, potencijal dviju zdravih faza najveći je na

sabirnicama TS 110/35/10 (20) kV Drniš, na kojima se dogodio zemljospoj.

Slika 11.9. Raspodjela efektivne vrijednosti potencijala duž zaštitnog užeta

110 kV nadzemnog voda Drniš - Bilice

Slika 11.10. Raspodjela efektivne vrijednosti potencijala duž faznih vodiča


140

Raspodjela efektivne vrijednosti jakosti uzdužne struje duž faznih vodiča 110 kV

nadzemnog voda Drniš - Knin prikazana je na Slici 11.11, dok je na Slici 11.12 prikazana

raspodjela efektivne vrijednosti jakosti struje koju u tlo odvode uzemljivači stupova 110 kV

nadzemnog voda Drniš - Knin, gledano od TS 110/35/10 (20) kV Drniš.




stupova 110 kV nadzemnog voda Drniš - Knin

141

Raspodjela efektivne vrijednosti jakosti uzdužne struje duž faznih vodiča 110 kV

nadzemnog voda Drniš - Bilice prikazana je na Slici 11.13, dok je na Slici 11.14 prikazana

raspodjela efektivne vrijednosti jakosti struje koju u tlo odvode uzemljivači stupova 110 kV

nadzemnog voda Drniš - Bilice, gledano od TS 110/35/10 (20) kV Drniš.




stupova 110 kV nadzemnog voda Drniš - Bilice

142

Izlazni podaci za dva nadomjesna trofazna simetrična naponska izvora priključena na

sabirnice TS 220/110/30 kV Bilice dani su u Tablicama 11. 26 i 11.27, dok su u Tablici 11.28

dani izlazni podaci za nadomjesni trofazni simetrični naponski izvor priključen na sabirnice

TS 220/110/30 kV Knin.

Tablica 11.26. Izlazni podaci za nadomjesni trofazni simetrični naponski izvor priključen na

110 kV sabirnice TS 220/110/30 kV Bilice i uzemljen u dalekoj točki nultog potencijala

Faza Veličina

L1 L2 L3

Potencijal na sabirnici [kV] 69,337 ∠ 0,187o

69,974∠ -120,464o

59,936 ∠ 119,172o

Izlazna fazna struja [A] 33,784 ∠ -98,324o

34,322 ∠ -93,717o

591,645∠ 50,071o

Izlazna struja zvjezdišta [A] 536,526 ∠ -133,988o


110 kV sabirnice TS 220/110/30 kV Bilice i uzemljen na uzemljivač TS 220/110/30 kV Bilice

Faza Veličina

L1 L2 L3

Potencijal na sabirnici [kV] 69,337 ∠ 0,187o

69,974∠ -120,464o

59,936 ∠ 119,172o

Izlazna fazna struja [A] 84,852 ∠ -146,424o

80,585 ∠ -140,957o

1.911,865∠ 43,961o

Izlazna struja zvjezdišta [A] 1.748,255 ∠ -135,311o


110 kV sabirnice TS 110/35 kV Knin i uzemljen u dalekoj točki nultog potencijala

Faza Veličina

L1 L2 L3

Potencijal na sabirnici [kV] 71,057 ∠ -1,063o

70,474∠ -118,772o

41,472 ∠ 117,075o

Izlazna fazna struja [A] 118,637 ∠ 50,421o

108,743 ∠ 46,828o

1.908,817∠ 42,71o

Izlazna struja zvjezdišta [A] 2.134,975 ∠ 136,653o

143

11.7. Usporedba rezultata izračuna

Rezultati izračuna dobiveni korištenjem u ovom radu razvijenog računalnog programa

EMFCD, čija je teorijska podloga izvorno razvijeni elektromagnetski model za izračun

raspodjele struje zemljospoja, uspoređeni su s rezultatima dobivenim korištenjem računalnog

programa FCD opisanog u radu [29]. Teorijska podloga računalnog programa FCD jest

hibridni model za izračun raspodjele struje zemljospoja, također, utemeljen na primjeni

tehnike konačnih elemenata, koji je, ustvari, kombinacija elektromagnetskog modela i modela

prijenosnih vodova. Rezultati izračuna dobiveni korištenjem računalnog programa EMFCD

uspoređeni su i s rezultatima dobivenim korištenjem računalnog programa FCD-WC.

Računalni program FCD-WC zasnovan je na modelu prijenosnih vodova, a nastao je

preinakom računalnog programa FCD.

Za razliku od elektromagnetskog modela u kojem je uzeta u račun cjelovita

elektromagnetska sprega između sastavnica modela, u hibridnom modelu:

• Zanemarena je kapacitivna sprega između svih sastavnica modela,

• Konduktivno su spregnuti svi uzemljivači modelirani kružnom metalnom pločom

smještenom na površini tla i poprečna komponenta svih segmenta uzemljivačkih

užadi ukopanih iznad kabelskih vodova,

• Induktivno su spregnuti samo segmenti aktivnih faznih vodiča i segmenti zaštitnih

užad pojedine dionice nadzemnog voda s uračunatim povratnim putem kroz zemlju,

što se, po potrebi, može proširiti i na dionice dvaju ili više paralelnih nadzemnih

vodova,

• Induktivno su spregnuti samo segmenti aktivnih faznih vodiča, segmenti metalnih

ekrana kabela i uzdužna komponenta uzemljivačkih užadi pojedine dionice paralelnih

kabelskih vodova,

• Struja zemljospoja i struje aktivnih faznih vodiča poznate su i mogu se preuzeti iz

literature [24].

Za razliku od hibridnog modela, u modelu prijenosnog voda zanemarena je konduktivna

sprega između uzemljivača modeliranih kružnim metalnim pločama smještenih na površini tla

i poprečnih komponenata svih segmenta uzemljivačkih užadi ukopanih iznad kabelskih

vodova.

144

Najvažniji izlazni podaci izračunati korištenjem triju računalnih programa prikazani su u

Tablici 11.29, gdje je struja zemljospoja navedena za računalne programe FCD i FCD-WC

ručno izračunata na temelju podataka preuzetih iz literature [24] za nazivnu 2015. godinu, uz

uvažavanje činjenice da se razmatra zemljospoj koji je nastao na donjoj fazi L3.

U računalnim programima FCD i FCD-WC, osim struje zemljospoja, u ulazne podatke

spadaju i nulte komponente struja koje teku aktivnim faznim vodičima. Prema [24], od

TS 220/110/30 kV Bilice prema TS 110/35/10 (20) kV Drniš svakim od triju faznih vodiča

teče nulta komponenta struje ,A3,4467,751Io

0 ∠= dok od TS 110/35 kV Knin prema TS

110/35/10 (20) kV Drniš svakim od triju faznih vodiča teče nulta komponenta struje

.A2,42729Io

0 ∠= Naravno, i kod ručnog izračuna nultih komponenti struja uvažena je

činjenica da se razmatra zemljospoj koji je nastao na donjoj fazi L3.

Tablica 11.29. Najvažniji izlazni podaci izračunati korištenjem triju računalnih programa

Zemljospoj na EMFCD

Elektromagnetski model

FCD Hibridni model

FCD-WC Model

prijenosnog voda

Struja zemljospoja [A] 4.414,224∠ 44,218o

4.441,264∠ 43,266o

4.441,264∠ 43,266o

Potencijal uzemljivača

TS Drniš [V] 1.273,358∠ 65,933

o

1.282,702∠ 67,501o

990,258∠ 62,960o

Struja koju odvodi

uzemljivač TS Drniš [A] 372,477∠ 70,499

o

351,022 ∠ 71,110o 396,103∠ 62,960

o

Struja koju odvodi zaštitno

uže 110 kV voda [A] 2.260,209∠ 56,938

o

2.187,400∠ 54,497o 2.166,045∠ 54,409

o

U Tablicama 11.30 do 11.32 uspoređeni su rezultati izračunati korištenjem računalnih

programa EMFCD i FCD, dok su u Tablicama 11.33 do 11.35 uspoređeni rezultati izračunati

korištenjem računalnih programa EMFCD i FCD-WC. Postotne greška za efektivne

vrijednosti potencijala i jakosti struje izračunate su uz pretpostavku da su rezultati dobiveni

računalnim programom EMFCD točni.

145

U Tablici 11.30 uspoređene su raspodjele struje zemljospoja po sastavnicama izračunate

korištenjem računalnih programa EMFCD i FCD, odakle je vidljivo relativno dobro slaganje

dobivenih rezultata.


korištenjem računalnih programa EMFCD i FCD

Jakost struje [A]

Sastavnica Elektromagnetski model - EMFCD

Hibridni model - FCD

Greška

[%]

Uzemljivač TS 110/35/10 (20) kV Drniš 372,477 ∠ 70,499

o

351,022 ∠ 71,110o -5,760

Zaštitno uže 2.260,209 ∠ 56,938o

2.187,400 ∠ 54,497o -3,221


493,958 ∠ 53,630o -11,644


531,716 ∠ 19,746o 1,767


1.114,343 ∠ 18,509o

7,683

Struja zemljospoja 4.414,224 ∠ 44,218o

4.441,264 ∠ 43,266o

0,613

U Tablici 11.31 uspoređeni su potencijali uzemljivača izračunati korištenjem računalnih

programa EMFCD i FCD, odakle je vidljivo relativno dobro slaganje dobivenih rezultata.

Međutim, treba uočiti da je potencijal uzemljivača TS 10 (20)/0,4 kV Trbounje – Razvođe

dobiven računalnim programom EMFCD veći od potencijala uzemljivača TS 110/35/10 (20)

kV Drniš, za razliku od potencijala istog uzemljivača dobivenih računalnim programom FCD.

Ovakav rezultat je fizikalno opravdan i prvenstveno je posljedica induktivne sprege vodiča

110 kV nadzemnog voda i vodiča kabelskog voda između TS 110/35/10 (20) kV Drniš i TS

10 (20)/0,4 kV Trbounje – Razvođe. Ta induktivna sprega uzeta je u račun u računalnom

programu EMFCD utemeljenom na elektromagnetskom modelu, a zanemarena je u

računalnim programima FCD i FCD-WC, koji su utemeljeni na hibridnom modelu i modelu

prijenosnog voda, respektivno.

146


programa EMFCD i FCD

Potencijal [V]

Uzemljivač Elektromagnetski model - EMFCD


Greška

[%]

TS Drniš 110/35/10 (20) kV 1.273,358 ∠ 65,933o

1.282,702 ∠ 67,501o

0,734

TS 110/35 kV Knin 400,064 ∠ 67,970o

399,427 ∠ 64,420o -0,159

TS 220/110/30 kV Bilice 365,278 ∠ -152,051o

411,275 ∠ 66,811o 12,592

Bivša TS 35/10 kV Kalun 684,121 ∠ 36,829o

688,973∠ 41,379o 0,709

TS 10 (20)/0,4 kV Pazar 173,032 ∠ -34,651o

163,860 ∠ -19,456o -5,301

TS 10 (20)/0,4 kV

Trbounje – Razvođe 1.366,735 ∠ 66,281

o

1.242,405 ∠ 62,075o -9,097


(20)/0,4 kV Fenčevina 1.211,593 ∠ 62,371

o

1.198,038 ∠ 63,264o -1,119


(20)/0,4 kV Farma 1.231,007 ∠ 61,281

o

1.187,116 ∠ 61,015o

-3,565

U Tablici 11.32 uspoređene su jakosti struja koje uzemljivači odvode u tlo izračunate

korištenjem računalnih programa EMFCD i FCD, odakle je vidljivo relativno dobro slaganje

izračunatih efektivnih vrijednosti jakosti struje. Međutim, treba uočiti da je struja koju u tlo

odvodi uzemljivač TS 220/110/30 kV Bilice dobivena računalnim programom EMFCD

gotovo protufazna istovrsnoj struji dobivenoj računalnim programom FCD. Ovakav rezultat je

fizikalno opravdan i posljedica je toga što je u računalnom programu EMFCD, za razliku od

računalnog programa FCD, uzet u račun nadomjesni trofazni simetrični izvor koji je spojen na

110 kV sabirnice TS 220/110/30 kV Bilice i uzemljen u TS 220/110/30 kV Bilice. U Tablici

11.27 navedena je struja koju zvjezdište tog nadomjesnog izvora predaje uzemljivaču TS

220/110/30 kV Bilice, a upravo ta struja dominantno utječe na fazni kut struje koju

uzemljivač TS 220/110/30 kV Bilice odvodi u tlo.

147


korištenjem računalnih programa EMFCD i FCD

Jakost struje [A]



Greška

[%]

TS Drniš 110/35/10 (20) kV 372,477 ∠ 70,499o

351,022 ∠ 71,110o

-5,760

TS 110/35 kV Knin 152,100 ∠ 68,631o

145,206 ∠ 65,554o

-4,533

TS 220/110/30 kV Bilice 141,352 ∠ -150,951o

150,668 ∠ 67,945o

6,591


175,018 ∠ 34,920o

-12,542

TS 10 (20)/0,4 kV Pazar 4,778 ∠ -56,534o

7,760 ∠ -80,181o

62,411

TS 10 (20)/0,4 kV

Trbounje – Razvođe 41,705 ∠ 70,555

o

30,462 ∠ 62,574o

-26,958


(20)/0,4 kV Fenčevina 6,040 ∠ 67,580

o

3,865 ∠ 64,135o

-36,010


(20)/0,4 kV Farma 12,349 ∠ 64,920

o

8,651 ∠ 60,986o

-29,946

U Tablici 11.33 uspoređene su raspodjele struje zemljospoja po sastavnicama izračunate

korištenjem računalnih programa EMFCD i FCD-WC, odakle je vidljivo relativno dobro

slaganje dobivenih rezultata.

148


korištenjem računalnih programa EMFCD i FCD-WC

Jakost struje [A]

Sastavnica Elektromagnetski model - EMFCD

Model prijenosnog voda - FCD-WC

Greška

[%]

Uzemljivač TS 110/35/10(20) kV Drniš 372,477 ∠ 70,499

o

396,103 ∠ 62,960o

6,343

Zaštitno uže 2.260,209 ∠ 56,938o

2.166,045 ∠ 54,409o -4,166


619,594 ∠ 50,155o 10,829


439,565 ∠ 16,022o -15,870


1.029,136 ∠ 18,863o

-0,551

Struja zemljospoja 4.414,224 ∠ 44,218o

4.441,264∠ 43,266o

0,613

U Tablici 11.34 uspoređeni su potencijali uzemljivača izračunati korištenjem računalnih

programa EMFCD i FCD-WC, odakle je vidljivo nešto lošije slaganje rezultata no u slučaju

usporedbe istovrsnih rezultata izračunatih korištenjem računalnih programa EMFCD i FCD.

Ovakav rezultat je očekivan jer je računalni program EMFCD utemeljen na

elektromagnetskom modelu, računalni program FCD je utemeljen na hibridnom modelu, a

računalni program FCD-WC na modelu prijenosnog voda.

149


programa EMFCD i FCD-WC

Potencijal [V]


Model prijenosnog voda - FCD-WC

Greška

[%]

TS Drniš 110/35/10 (20) kV 1.273,358 ∠ 65,933o

990,258∠ 62,960o

-22,233

TS 110/35 kV Knin 400,064 ∠ 67,970o

381,282∠ 65,065o -4,695

TS 220/110/30 kV Bilice 365,278 ∠ -152,051o

394,923 ∠ 67,554o 8,116


514,252∠ 32,400o -24,830

TS 10 (20)/0,4 kV Pazar 173,032 ∠ -34,651o

121,913∠ -31,118o -29,543

TS 10 (20)/0,4 kV

Trbounje – Razvođe 1.366,735 ∠ 66,281

o

938,476 ∠ 54,642o -31,334


(20)/0,4 kV Fenčevina 1.211,593 ∠ 62,371

o

912,084 ∠ 57,003o -24,720


(20)/0,4 kV Farma 1.231,007 ∠ 61,281

o

900,417 ∠ 53,882o

-26,855

U Tablici 11.35 uspoređene su jakosti struja koje uzemljivači odvode u tlo izračunate

korištenjem računalnih programa EMFCD i FCD-WC, odakle je vidljivo relativno dobro

slaganje izračunatih efektivnih vrijednosti jakosti struje. Međutim, i u ovom slučaju treba

uočiti da je struja koju u tlo odvodi uzemljivač TS 220/110/30 kV Bilice dobivena računalnim

programom EMFCD gotovo protufazna istovrsnoj struji dobivenoj računalnim programom

FCD-WC. Fizikalna opravdanost ovakvog rezultat prethodno je objašnjena.

Usporedba rezultata izračunatih korištenjem triju računalnih programa, potvrđena je

fizikalnost rezultata dobivenih korištenjem u ovom radu razvijenog računalnog programa

EMFCD, koji je utemeljen na izvorno razvijenom elektromagnetskom modelu za izračun

raspodjele struje zemljospoja.

150


korištenjem računalnih programa EMFCD i FCD-WC

Jakost struje [A]

Uzemljivač Elektromagnetski

model Model prijenosnog voda - FCD-WC

Greška

[%]

TS Drniš 110/35/10 (20) kV 372,477 ∠ 70,499o

396,103 ∠ 62,960o

6,343

TS 110/35 kV Knin 152,100 ∠ 68,631o

152,513 ∠ 65,065o

0,272

TS 220/110/30 kV Bilice 141,352 ∠ -150,951o

157,969 ∠ 67,554o 11,756


205,701 ∠ 32,400o

2,791

TS 10 (20)/0,4 kV Pazar 4,778 ∠ -56,534o

4,877 ∠ -31,118o

2,072

TS 10 (20)/0,4 kV

Trbounje – Razvođe 41,705 ∠ 70,555

o

37,539 ∠ 54,642o

-9,989


(20)/0,4 kV Fenčevina 6,040 ∠ 67,580

o

11,401 ∠ 57,003o

88,758


(20)/0,4 kV Farma 12,349 ∠ 64,920

o

11,255 ∠ 53,882o

-8,859

151

12. ZAKLJUČAK

U ovom je doktorskom radu opisan izvorno razvijeni elektromagnetski model za izračun

raspodjele struje zemljospoja u elektroenergetskim postrojenjima, koji je utemeljen na

primjeni tehnike konačnih elemenata na integralnu formulaciju problema. Sastavnice

elektromagnetskog modela mogu se nalaziti u homogenom tlu ili pak u zraku. Gušenje i fazno

zakretanje elektromagnetskog vala približno se uzima u račun korištenjem prigušno-faznog

faktora.

U razvijenom elektromagnetskom modelu sve međusobno elektromagnetski spregnute

sastavnice tvore jedan jedini konačni element. Svaki se vodič dijeli na cilindrične segmente

konačne duljine, dok se, radi jednostavnosti, uzemljivači transformatorskih stanica i stupova

nadzemnih vodova mogu nadomjestiti ekvipotencijalnim kružnim metalnim pločama.

Vlastite i međusobne impedancije segmenata vodiča i nadomjesnih kružnih metalnih ploča

računaju se po Galjerkin-Bubnovovoj metodi, koja se u slučaju vlastitih i međusobnih

impedancija cilindričnih segmenata vodiča svodi na metodu srednjeg potencijala. Fazni vodiči

ukopanih kabelskih i nadzemnih vodova, zaštitna užad nadzemnih vodova kao i uzemljivačka

užad i trake aproksimirani su pravocrtnim tankožičanim cilindričnim segmentima. Cilindrični

segmenti aktivnih i pasivnih vodiča imaju konstantnu uzdužnu struju i konstantnu linijsku

gustoću poprečne struje, koje su matematički smještene duž osi vodiča.

U razvijenom elektromagnetskom modelu, raspodjela skalarnog električnog potencijala

uslijed poprečnih struja vodiča segmenta jednožilnih kabela računa se na isti način kao i za

segmente golih vodiča, samo pritom raspodjeli potencijala u okolnom sredstvu doprinose

poprečne struje svih vodiča razmatranog segmenta jednožilnog kabela. Što se tiče vlastitih i

međusobnih impedancija, izolacijski, poluvodljivi i vodljivi slojevi jednožilnog kabela utječu

samo na izračun vlastitih i međusobnih poprečnih impedancija vodiča razmatranog segmenta

jednožilnog kabela. Osim toga, kvazistatičke slike segmenata vodiča jednožilnih kabela na isti

način doprinose vlastitim i međusobnim poprečnim impedancijama kao da se radi o

kvazistatičkim slikama golih vodiča. To vrijedi i za međusobne poprečne impedancije

segmenata vodiča koji pripadaju različitim segmentima jednožilnih kabela, tj. njih u

elektromagnetskom modelu razmatramo kao da se radi o golim vodičima u homogenom

neograničenom sredstvu.

152

Posebna je pozornost posvećena modeliranju trofaznih transformatora. Svaki od tih

transformatora tvori zasebni konačni element, a za najčešće korištene vrste spoja

transformatora razvijeni su lokalni sustavi jednadžbi. Međutim, ako se u izračun raspodjele

struje zemljospoja ulazi s poznatim strujama zemljospoja, onda to znači da su zadani

nezavisni strujni izvori pa u tom slučaju transformatore nije potrebno uključivati u

elektromagnetski model.

Ako su poznate struje zemljospoja u susjednim transformatorskim stanicama iz kojih se

napaja transformatorska stanica pogođena zemljospojem, onda je dobro na temelju tih struja u

svakoj od susjednih trafostanica formirati jedan ili više nadomjesnih trofaznih naponskih

izvora. Na taj se način u račun uzimaju tokovi snaga u elektroenergetskom sustavu, što bitno

utječe na točnost cjelokupnog izračuna.

Pojedini dio elektroenergetskog sustava može se nadomjestiti pomoću impedancije, koja

tvori zasebni konačni element. Tako se i pasivni nadzemni vod ili njegov dio može

nadomjestiti impedancijom, a izračun nadomjesne impedancije olakšan je kad se radi o

dugom nadzemnom vodu.

Korištenjem tehnike konačnih elemenata formira se globalni sustav jednadžbi, gdje su

nepoznanice potencijali globalnih čvorova. Nakon što se riješi globalni sustav jednadžbi, lako

se mogu izračunati potencijali lokalnih čvorova pojedinog konačnog elementa. Potom se,

korištenjem lokalnih sustava jednadžbi pojedinog konačnog elementa, može izračunati

raspodjela struja zemljospoja po sastavnicama elektromagnetskog modela.

Na temelju razvijene teorijske podloge, razvijen je i računalni program EMFCD, koji je

prvenstveno namijenjen za izračun raspodjele struje zemljospoja. Međutim, ovaj računalni

program može poslužiti i za naprednu analizu strujnih i naponskih prilika na nadzemnim i

kabelskim elektroenergetskim vodovima. Stoga je bilo važno uzeti u račun i kapacitivnu

spregu između sastavnica elektromagnetskog modela.

Točnost računalnog programa EMFCD provjerena je usporedbom rezultata numeričkog

izračuna s rezultatima dobivenim korištenjem dvaju prethodno razvijenih računalnih

programa za izračun raspodjele struje zemljospoja: računalnog programa FCD utemeljenog na

hibridnom modelu (kombinaciji elektromagnetskog modela i modela prijenosnog voda) i

računalnog programa FCD-WC utemeljenog na modelu prijenosnog voda [29].

153

Izvorno razvijeni elektromagnetski model za izračun raspodjele struje zemljospoja

predstavlja teorijsko i numeričko unaprjeđenje jer, za razliku od postojećih numeričkih i

analitičkih modela iste namjene, ovaj model može uzeti u račun cjelovitu elektromagnetsku

spregu između svih vodljivih dijelova koji sudjeluju u raspodjeli struje zemljospoja.

Korištenjem razvijenog elektromagnetskog modela moguće je mnogo točnije izračunati struju

mjerodavnu za dimenzioniranje uzemljivača elektroenergetskih postrojenja i značajki

elektroenergetskih vodova priključenih na to postrojenje. To omogućuje uštede tijekom

projektiranja i izvedbe uzemljivačkih sustava elektroenergetskih postrojenja, zaštitnih užadi i

uzemljivača stupova nadzemnih vodova te kabelskih vodova i uzemljivačkih vodiča

položenih iznad kabelskih vodova.

154

LITERATURA

[1] Sarajčev, P.; Vujević, S., "Grounding Grid Analysis: Historical Background and

Classification of Methods", International Review of Electrical Engineering (IREE), Vol.

4, No. 4, pp. 670-683, 2009.

[2] Endrenyi, J., "Analysis of Transmission Tower Potentials During Ground Faults", IEEE

Transactions on Power Apparatus and Systems, Vol. 86, No. 10, pp. 1274-1283, 1967.

[3] Verma, R.; Mukhedkar, D., "Ground Fault Current Distribution in Sub-Station, Towers

and Ground Wire", IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems, Vol. PAS-98,

No. 3, pp. 724-730, 1979.

[4] Thapar, B.; Madan, S. K., "Current for Design of Grounding System", IEEE


[5] Popović, Lj. M., "Practical Method for Evaluating Ground Fault Current Distribution in

Station, Towers and Ground Wire", IEEE Transactions on Power Delivery, Vol. 13, No.

1, pp. 123-128, 1998.

[6] Viel, E.; Griffiths, H., "Fault Current Distribution in HV Cable Systems", IEEE

Proceedings – Generation Transmission and Distribution, Vol. 147, No. 4, pp. 231-238,

2000.

[7] Guven, A. N.; Sebo, S. A., "Analysis of Ground Fault Current Distribution along

Underground Cables", IEEE Transactions on Power Delivery, Vol. PWRD-1, No. 4, pp.

9-18, 1986.

[8] Sebo, S. A., "Zero-Sequence Current Distribution along Transmission Lines", IEEE


[9] Dawalibi, F., "Ground Fault Current Distribution between Soil and Neutral Conductors",

IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems, Vol. 99, No. 2, pp. 452-461, 1980.

[10] Meliopoulos, A. P.; Papalexopoulos, A.; Webb, R. P., "Current Division in Substation

Grounding System", Proceedings of the 1982 Protective Relaying Conference, Georgia

Institute of Technology, Atlanta, 1982.

[11] Meliopoulos, A. P.; Webb, R. P.; Joy, E. B.; Patel, S., "Computation of Maximum Earth

Current in Substation Switchyards", IEEE Transactions on Power Apparatus and

Syst.,Vol. 102, No. 9, pp. 3131-3139, 1983.

155

[12] Gooi, H. B.; Sebo, S. A., "Distribution of Ground Fault Currents along Transmission

Lines – An Improved Algorithm", IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems,

Vol. 104, No. 3, pp. 663-670, 1985.

[13] Weitzenfeld, G., "Power System Ground Fault Current Distribution Using the

Double-Sided Elimination Method", IEEE Transactions on Power Systems, Vol. 1, No.

1, pp. 17-25, 1986.

[14] Buccheri, P. L.; and Mangione, S., "Analysis of Ground Fault Current Distribution along

Nonuniform Multi-Section Lines", Electric Power Systems Research, Vol. 78, No. 9, pp.

1610-1618, 2008.

[15] Ramezani, N.; Shahrtash, S. M., "A Complete Procedure to Determine Earth Fault

Current Distribution and Split Factor for Grounding Grid Design of HV Substations",

Iranian Journal of Science & Technology, Transaction B, Engineering, Vol. 32, No. B3,

pp. 205-221, 2008.

[16] IEEE Std 80-2000, "IEEE Guide for Safety in AC Substation Grounding", 2000.

[17] Garrett, D. L.; Myers, J. G.; Patel, S. G., "Determination of Maximum Substation

Grounding System Fault Current Using Graphical Analysis", IEEE Transactions on

Power Delivery, Vol. 2, No. 3, pp. 725-732, 1987.

[18] HRN HD 637 S1: 2002 (hr), "Električna postrojenja nazivnih izmjeničnih napona iznad

1 kV" (HD 637 S1: 1999.)

[19] ITU-T 270-9, "Directives Concerning the Protection of Telecommunication Lines

Against Harmful Effects From Electric Power and Electrified Railway Lines. Volume V:

Inducing Currents and Voltages in Power Transmission and Distribution Systems",

1999.

[20] CDEGS - "Introducing the CDEGS Software Package: Integrated Software for Power

System Grounding/Earthing, Electromagnetic Fields and Electromagnetic Interference",

http://www.sestech.com/Products/SoftPackages/CDEGS.htm

[21] SPLITS - "Fault Current Distribution and EMI Analysis", http://www.sestech.com/

Products/ SoftModule/Splits.htm

[22] "How to ... Engineering Guide - Large Suburban Substation Grounding System

Analysis: Measurements & Computer Modeling", Safe Engineering Services &

Technologies ltd., Montreal, 2004.

156

[23] Nahman, J. M., "Proximity Effects on the Ground Fault Current Distribution Within the

Earthing System Formed by a Substation and the Associated Transmission Lines", IEEE

Proceedings – Generation Transmission and Distribution, Vol. 135, No. 6, pp. 497-502,

1988.

[24] Institut za elektroprivredu i energetiku, d.o.o. Zagreb, Proračun kratkog spoja u

prijenosnoj mreži Hrvatske za nazivnu 2020. godinu, Naručitelj Hrvatska

elektroprivreda – Operator prijenosnog sustava d.o.o. Zagreb, Zagreb, 2010.

[25] Sarajčev, I., "Nov matematički model proračuna strujnog stanja u sustavima

uzemljenja", Elektrotehnika ELTHB2, Vol. 35 , No. 5-6, pp. 261-266, 1992.

[26] Carson, J. R., "Wave Propagation in Overhead Wires with Ground Return", Bell System

Technical Journal, Vol.5, pp. 539-544, 1926.

[27] Dommel, H. W., "Electromagnetic Transients Program - Reference Manual (EMTP

Theory Book)", Bonneville Power Administration, Portland, 1986.

[28] Sarajčev, P., "Elektromagnetski model sustava vodiča u višeslojnom sredstvu",

Doktorska disertacija, Sveučilište u Splitu, FESB, Split, 2008.

[29] Vujević, S.; Balaž, Z.; Modrić, T.; Sarajčev, P., "Hibrid model for Analysis of Ground

Fault Current Distribution", International Review of Electrical Engineering (IREE),

Vol. 7, No. 2, pp. 4035-4045, 2012.

[30] Moore, J.; Pizer, R. (Editors), "Moment Methods in Electromagnetics - Techniques and

Applications", John Wiley & Sons, New York, 1984.

[31] Vujević, S., "Numerički proračun električnog polja uzemljivača u kraškom tlu",

Magistarski rad, Sveučilište u Zagrebu, ETF, Zagreb, 1987.

[32] Vujević, S., "Kombinirani postupak proračuna uzemljivača u krševitom tlu", Doktorska

disertacija, Sveučilište u Splitu, FESB, Split, 1994.

[33] Sarajčev, P.; Vujević, S.; Lovrić, D., "Time-Harmonic Current Distribution on

Conductor Grid in Horizontally Stratified Multilayer Medium", Progress in

Electromagnetics Research B (PIER B), Vol. 31, pp. 67-87, 2011.

[34] Vujević, S.; Sarajčev, P.; Lovrić, D., "Time-Harmonic Analysis of Grounding System in

Horizontally Stratified Multilayer Medium", Electric Power Systems Research, Vol. 83,

No. 1, pp. 28-34, 2012.

157

[35] Koch, W., "Erdungen in Wechelstromanlagen über 1 kV", Springer-Verlag, Berlin,

1961.

[36] Kurtović, M.; Vujević, S., "Earthing Grid Parameters with Conductor Surrounded by an

Additional Substance", IEE Proceedings Generation, Transmission and Distribution,

Vol. 147, No. 1, pp. 57-61, 2000.

[37] Vujević, S.; Kurtović, M., "Utjecaj dodatnog materijala u kanalu na parametre

uzemljivača", Četvrto savjetovanje HK CIGRE, pp. 151-160, Cavtat, 1999.

[38] Nojman, L. R.; Kalantarov, P. L., "Teoriski osnovi elektrotehnike", Knjiga 3, Teorija

elektromagnetskog polja, Naučna knjiga, Beograd, 1952.

[39] Vujević, S.; Boras, V.; Sarajčev, P., "A Novel Algorithm for Internal Impedance

Computation of Solid and Tabular Cylindrical Conductors", International Review of

Electrical Engineering (IREE), Vol. 4, No. 6, pp. 1418-1425, 2009.

[40] Lovrić, D.; Boras, V.; Vujević, S. "Accuracy of Approximate Formulas for Internal

Impedance of Tubular Cylindrical Conductors for Large Parameters". Progress in

Electromagnetics Research M (PIER M). Vol. 16, pp. 177-184, 2011.

[41] Spiegel, M. R.; Liu, J., "Mathematical Handbook of Formulas and Tables – Second

Edition", Schaum’s Outlines Series, McGraw-Hill, New York, 1999.

[42] Abramowitz, M.; Stegun, I. A. (Editors), "Handbook of Mathematical Functions with

Formulas, Graphs, and Mathematical Tables", Applied Mathematical Series 55, National

Bureau of Standards, 1964.

[43] Vujević, S.; Modrić, T.; Vukić, B., "Internal Impedance of Two-Layer Cylindrical

Conductors", International Review of Electrical Engineering (IREE), Vol. 9 (2014) , No.

1, pp. 235-243, 2014.

[44] Boras, V.; Vujević, S.; Lovrić, D., "A Hybrid Algorithm for Computation of

Rectangular Conductor Internal Impedance", Tehnicki Vjesnik-Technical Gazette, Vol.

19 , No. 2, pp. 341-346, 2012.

[45] Giaccoleto, L. J., "Frequency and Time-Domain Analysis of Skin Effects", IEEE

Transactions on Magnetics, Vol. 32, No. 1, pp. 220-229, 1996.

158

[46] Vujević, S.; Balaž, Z.; Lovrić, D., "Ground impedance of Cylindrical Metal Plate Buried

in Homogeneous Earth", Proceedings of the Joint Third International Workshop on

Nonlinear Dynamics and Synchronization (INDS'11) and Sixteenth International

Symposium on Theoretical Electrical Engineering (ISTET'11), University of Klagenfurt,

Austria, pp. 1-7, 2011.

[47] Vujević, S.; Lovrić, D; Balaž, Z., "Self and Mutual Ground Impedances of Cylindrical

Metal Plates Buried in Homogeneous Earth", International Journal of Numerical

Modelling: Electronic Networks, Devices and Fields, doi: 10.1002/jnm.1982, 2014.

[48] Sarajčev, I., "Gubici snage kabelskog prenosa", Doktorska disertacija, Sveučilište u

Zagrebu, ETF, Zavod za elektrotehniku i električna mjerenja, Zagreb, 1985.

[49] Lovrić, D., "Tranzijentni elektromagnetski model uzemljivačkog sustava u horizontalno

složenom višeslojnom sredstvu", Doktorska disertacija, Sveučilište u Splitu, FESB,

Split, 2013.

[50] Jović, V., "Uvod u inženjersko i numeričko modeliranje", Aquarius engineering, Split,

1993.

[51] Vujević, S.; Lovrić, D.; Balaž, Z.; Gaurina, S., "Time-Harmonic Modelling of

Two-Winding Transformers Using the Finite Element Technique", International Review

on Modelling and Simulations (IREMOS) , Vol. 6, No. 6 (Part B), pp. 1922-1927, 2013.

[52] Balaž, Z., "Numeričko modeliranje elektromagnetskih pojava u sustavima autocesta",

Kvalifikacijski doktorski ispit, Sveučilište u Splitu, FESB, Poslijediplomski doktorski

studij Elektrotehnike i informacijske tehnologije, Split, 2010.

[53] Vujević, S.; Sarajčev, I.; Lucić, R., "Priručnik pogonske dokumentacije, planova i rokova

pregleda i održavanja elektroenergetskih postrojenja HAC-a", Dokumentacija br.: 01-

143/3-89-2004, Sveučilište u Splitu, FESB, Split, 2004.

[54] Sarajčev, I.; Vujević, S.; Lucić, R., "Program ispitivanja prijelaznih stanja u 35 kV

postrojenju TS 35/20 (10) kV Obrovac", Sveučilište u Splitu, FESB, Split, 2004.

[55] Gazivoda, S.; Rožanković, S.; Nujić, I., "Mjerenje sklopnih prenapona u TS 35/20 (10)

kV Obrovac", Končar - Zagreb, VN laboratorij, Zagreb, 2005.

[56] Balaž, Z.; Sarajčev, I.; Vujević, S.; Lucić, R., "Utjecaj električnih mreža Hrvatskih

autocesta na distribucijske mreže", Zbornik radova 16. međunarodnog simpozija EIS

2008, Elektrotehničko društvo Zagreb, pp. (S-5) 7-12, 2008.

159

[57] Balaž, Z.; Vujević, S.; Lucić, R., "Problemi u elektroenergetskom napajanju Tunela

Sveti Rok", Zbornik radova Prvog savjetovanja Hrvatskog ogranka Međunarodne

elektrodistribucijske konferencije - CIRED, Šibenik, pp. (SO1-17) 1-10, 2008.

[58] Balaž, Z., "Tehno-ekonomski aspekti pouzdanog napajanja električnom energijom

objekata hrvatskih autocesta", Elaborat, HAC, Sektor za projektiranje i razvoj, Zagreb,

2009.

[59] Vujević, S.; Lucić, R.; Tadin, F., "Elektromagnetski utjecaj i elektromagnetska

kompatibilnost u objektima Hrvatskih autocesta – utjecaj TS 400/220/110 kV Konjsko

na instalacije i objekte autoceste Zagreb – Splir, dionica Prgomet – Dugopolje, u Tunelu

Konjsko i njegovoj okolini", Sveučilište u Splitu, FESB, Split 2004.

[60] Vujević, S.; Lucić, R.; Jurić-Grgić, I.; Lovrić, D.; Modrić, T.; Balaž Z., "Izrada pravila i

mjera sigurnosti za osiguranje mjesta rada na elektroenergetskim vodovima", Naručitelj

studije HEP Operator prijenosnog sustava d.o.o., Prijenosno područje Split, Sveučilište u

Splitu, FESB, Split, 2013.

[61] Balaž, Z.; Vujević, S.; Lucić, R.; Bernardić, A., "Razvoj ekspertnog sustava za

optimizaciju elektroenergetskog sustava Hrvatskih autocesta", Zbornik 18. međunarodnog

simpozija EIS 2009, , Elektrotehničko društvo Zagreb, pp. (S-10) 16- 20, Šibenik, 2009.

[62] Ibrahim, A. I., "An Intelligent Support System for the Analysis of Power System

Transients", Disertation, The University of British Columbia, Vancouver, 2000.

[63] HEP ODS d.o.o.,Operator distribucijskog sustava: Godišnje izvješće, Kerschoffset

d.o.o., Zagreb, 2010.

[64] HOPS, Prijenosno područje Split: Osnovna shema elektroenergetskih objekata

Dalmacije, Služba za upravljanje područnom mrežom, Odjel za pogon, analizu i

poslovne informacije, Split, 2014.

[65] Dalekovod – Projekt d.o.o. Zagreb, DV 110 kV Drniš – Knin, Projekt izvedenog stanja,

Knjiga E1 – Elektrotehnički projekt, Naručitelj Hrvatska elektroprivreda – operator

prijenosnog sustava d.o.o. Zagreb, Zagreb, 2008.

[66] Dalekovod – Projekt d.o.o. Zagreb, DV 110 kV Drniš – Knin, Projekt izvedenog stanja,

Knjiga G1 – Građevinski projekt, Naručitelj Hrvatska elektroprivreda – Operator

prijenosnog sustava d.o.o. Zagreb, Zagreb, 2008.

160

[67] Dalekovod d.d. Zagreb, DV 110 kV Bilice – Knin, Uvod u TS Drniš, Glavni projekt

rekonstrukcije, Knjiga E1 i E2, Naručitelj Hrvatska elektroprivreda – Prijenos d.o.o.

Zagreb, Zagreb, 2004.

[68] Dalekovod Zagreb, OOUR Projektni biro, Tehnička dokumentacija - Projekt dalekovoda

35 kV Drniš - Unešić, Knjiga I, Uvod u TS Drniš, Glavni projekt rekonstrukcije, Knjiga

E1 i E2, Naručitelj Elektrodalmacija Split, OOUR Elektrozagora Drniš, Zagreb, 1977.

[69] Svjetlost Split, Glavni projekt, Dalekovod DV 35 kV Kalun - Kosovo, Naručitelj Elektra

Šibenik, Split, 1969.

[70] Dalekovod Zagreb, Glavni projekt DV 30 kV HE Manojlovac – Drniš - I. dio, Naručitelj

Elektroprenos Split, Zagreb, 1961.

[71] Eting d.o.o Split, TS 110 / 35 / 20 (10) kV Drniš - II. etapa izgradnje, Dopuna

postrojenja 35 kV i 20 (10) kV, Glavni elektrotehnički projekt, Knjiga E.1, Naručitelj

Hrvatska elektroprivreda – Prijenos d.o.o. Zagreb, Split, 2003.

[72] Eting d.o.o Split, TS 110 / 35/20 (10) kV Drniš - II. etapa izgradnje, Električne

instalacije, uzemljenja, gromobranska zaštita, vanjsko osvjetljenje i vatrodojava, Glavni

elektrotehnički projekt, Knjiga E.4, Naručitelj Hrvatska elektroprivreda – Prijenos d.o.o.

Zagreb, Split, 2003.

[73] HEP ODS d.o.o., DP Elektra Šibenik, Jednopolna shema mreže 10 kV, Jednopolna

shema postrojenja 35 kV i 10 (20) kV, TS 110/35/ 20 (10) kV TS Drniš, Šibenik, 2009.

[74] Nahman, J., "Uzemljenja neutralne tačke distribucijskih mreža", Naučna knjiga,

Beograd, 1980.

ŽIVOTOPIS

Rođen sam 20. svibnja 1957. godine u Vinkovcima, gdje sam završio osnovnu i srednju

tehničku školu. Nakon toga sam se 1976. godine upisao na sveučilišni dodiplomski studij

Elektrotehnike na Fakultetu elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje Sveučilišta u Splitu,

gdje sam diplomirao 2. veljače 1983. godine na Odjelu za elektroenergetiku.

U veljači 1983. godine zaposlio sam se u Končarovom institutu u Zagrebu, na Zavodu

za energetsku elektroniku, u Odjelu za istosmjerna napajanja velikih snaga. Prvo kao

inženjer razvoja, a potom kao inženjer istraživanja i razvoja aktivno sam sudjelovao u

znanstveno-istraživačkim projektima za potrebe Končara, Elektrotehničkog fakulteta

Sveučilišta u Zagrebu i u dugoročnim projektima i fundamentalnim istraživanjima SIZ-a

znanosti Republike Hrvatske. Tijekom zaposlenja u Končarovom institutu obavljao sam i

poslove predavača u Obrazovnom centru Nikola Tesla Zagreb, na V. obrazovnom stupnju

iz predmeta Elektromotorni pogoni.

Sredinom 1988. godine zaposlio sam se u Sektoru za elektroenergetiku i razvoj Zračne

luke Zagreb. Godine 1997. zaposlio sam se u svojoj novoosnovanoj tvrtki Aeroing, koja se

bavila projektiranjem, izvođenjem i puštanjem u pogon specijalističkih sustavu svjetlosne

signalizacije i elektroenergetskog napajanja u funkciji sigurnosti zračne plovidbe. Od 2001.

godine do danas zaposlenik sam Hrvatskih autocesta d.o.o. Zagreb, gdje sam uključen u

projekte izgradnje prateće elektroenergetske infrastrukture uz gradnju hrvatskih autocesta.

Osim toga, trenutačno sam honorarni predavač na Tehničkom veleučilištu u Zagrebu.

Na poslijediplomski doktorski studij Elektrotehnike i informacijske tehnologije

Fakulteta elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje Sveučilišta u Splitu upisao sam se

2008. godine. Od 1. studenog 2008. godine do 31. prosinca 2013. godine bio sam aktivni

istraživač na znanstvenom projektu Ministarstva znanosti, obrazovanja i sporta Republike

Hrvatske naziva Razvoj naprednih algoritama za modeliranje elektromagnetskih pojava.

Dosad sam objavio tri znanstvena rada u znanstvenim časopisima kategorije A, jedan

znanstveni rad u znanstvenom časopisu kategorije B, dva znanstvena rada kategorije D u

zbornicima radova s međunarodnih znanstvenih skupova te deset stručnih radova u

zbornicima radova stručnih skupova.

BIOGRAPHY

I was born on May 20, 1957 in Vinkovci, where I finished both elementary school and

technical high school. After that, in the year 1976, I enrolled in the graduate study

programme of Electrical Engineering, at the University of Split, Faculty of Electrical

Engineering, Mechanical Engineering and Naval Architecture, where I graduated on

February 2, 1983 at the Department of Electric Power Engineering.

In February 1983 I was employed in the Končar institute in Zagreb, at the Department

for power electronics, in the Section for DC large power supply. First, as a development

engineer and then as a research and development engineer, I actively participated in

scientific research projects of Končar, Faculty of Electrical Engineering of the University

of Zagreb and in long-term projects and fundamental researches of SIZ of Science of the

Republic of Croatia. During my employment in the Končar institute I was also a teacher at

the Education center Nikola Tesla Zagreb on the V. educational degree (subject Electric

drives).

During the year 1988 I was employed in the Sector for Electric Power Engineering and

Development of Zagreb Airport. In the year 1997 I started my own company Aeroing,

which dealt with designing, implementing and commissioning of specialist systems of light

signalization and electric supply in the function of air traffic safety. From the year 2001

until now I am employed in the Croatian Motorways ltd. Zagreb, where I am involved in

building the accompanying infrastructure for the Croatian motorways. Besides that, I am

currently a part-time lecturer at the Polytechnic of Zagreb.

In October 2008, I enrolled in the PhD study in Electrical Engineering and Information

Technology at the University of Split, Faculty of Electrical Engineering, Mechanical

Engineering and Naval Architecture. From November 1, 2008 to December 31, 2013, I

was an active researcher on the scientific project of the Ministry of Science, Education and

Sports of the Republic of Croatia entitled Development of advanced algorithms for

modeling electromagnetic phenomena.

Until now, I have published three scientific papers in scientific journals with impact

factor, one scientific paper in scientific journals without impact factor, two scientific

papers in the proceedings of international conferences as well as ten professional papers in

proceedings of professional conferences.

Documents

Elektromagnetski model za izračun raspodjele struje zemljospoja