Ecuaciones logarítmicas y exponenciales

Ejercicios

Leyes de exponentes

10 a )0( a

nn

aa

1

)0( a

nnn baab

n

nn

ba

ba

nmnm aaa mnnm aa )(

nmn

m

aaa

Radicales

nn aa1

)0( aaaaa n nnn

nmmnn m aaa

nnn baab

n

n

n

b

aba

mnm n aa

)0( b

Ecuaciones exponenciales

Ecuación exponencial es aquella en donde la incógnita se encuentra como exponente.

Ejemplo: 82 x

Para resolver una ecuación exponencial (determinar el (los) valor(es) de la incógnita para los cuales la igualdad se cumple) se hace uso de las leyes de exponentes o bien de las propiedades de logaritmos.Veamos cómo resolver la ecuación del ejemplo usando leyes de exponentes:

3

22

823

x

x

x Factorizamos el 8 y lo expresamos con exponente y como las bases son iguales podemos igualar los exponentes, de esta forma determinamos el valor de “x” que hace que la igualdad se verifique.

Ejemplos

4

44

41

4

2561

4

4

4

x

x

x

x

Resolver:

2

11

11

55

51

5

2.05

11

1

1

x

x

x

x

x

x

5151

15

14

41

22

)2(2

42

41

221

21

x

x

x

xx

xx

xx

xx

xx

38

83

353

533

33

33

333

533

532

532

x

x

x

x

x

xx

xx

Nota: Siempre debes verificar tus resultados ya que puedes obtener soluciones extrañas que no cumplen con la igualdad.

Tarea: Resuelve las siguientes ecuaciones en tu libreta.

156255 x 3437 2 x

7293 1 x

32

12

21 x

3222 1 xx

Logaritmos

El logaritmo de un número es igual al exponente al que tiene que estar elevada la base del logaritmo para obtener dicho número.

abcaLog cb

aeba b ln

El logaritmo base “b” de “a” es igual a “c”

El logaritmo natural de “a” es igual a “b”

Existe dos tipos de logaritmos:

Logaritmo vulgar (base 10, decimal o común)

Logaritmo natural (neperiano):

Definición de logaritmo

3

4

81

1log

81

127

27

34

Reescribe las siguientes cantidades en forma logarítmica y verifica el resultado con la calculadora:

25125 32

32

25log

25125

125

32

Ahora en tu libreta:

32

18 35

2

3

27

831

Propiedades de logaritmos

xnx bn

b log)(log

yxyx

bbb logloglog

yxxy bbb loglog)(log

bx

xb loglog

log

Cuando en el argumento del logaritmo se tienen dos cantidades multiplicándose entre sí:

Cuando en el argumento del logaritmo se tienen dos cantidades dividiéndose entre sí:

Cuando en el argumento del logaritmo se una cantidad elevada a un exponente:

Cambio de base: De base “b” a base 10

Nota: Estas mismas propiedades aplican para logaritmos naturales.

De las propiedades anteriores podemos deducir las siguientes:

ENa

EN

b

b

b

b

b

/)(log

/0log

01log

1log

Practiquemos las propiedades de los logaritmos

5

43

4

)2()5(

log

zyx

Expresa los siguientes logaritmos como una suma de logaritmos:

)2log(415

)5log(5log20

)2log()43)(5()5log(5log)4)(5(

)2log(5)5log(5log5

)2()5(

log5

434

43

4

zyx

zyx

zyx

zyx

36

43 2

)3(

)42(ln

zw

yx

zwyx

zwyx

zwyx

ln33ln3ln6)42ln(4ln3

2

3ln3ln6)42ln(4ln

)3ln(ln)42ln(ln32

3643 2

Ahora a la inversa:

3log2log yx

Expresa con un solo logaritmo:

1ln2

13lnln2 xxx

3)log(

3loglog2

2

xy

yx

21

2

212

)1(

3ln

)1ln(3lnln

x

x

xxx

x

Tarea: Practica en tu libreta:

Expresa los siguientes logaritmos como una suma de logaritmos:

xx

xxxx 4323

2

43198log

4

3 2

4

70ln

x

x

exx

Expresa con un solo logaritmo:

3ln21ln52ln xxx

xxxxxx lnlnlnloglog81110log 222

2

Ecuaciones exponenciales

Ahora veamos cómo se resuelven las ecuaciones exponenciales utilizando las propiedades de los logaritmos:

82 x

32ln2ln3

2ln32ln

2ln2ln 3

x

x

x

x

4

4log256log

256log04log

256log1log4log2561

log4log

2561

4

x

x

x

x

x

x

383ln83ln3

)3(ln8)3ln3(

3ln3ln5)3ln23(ln

3ln53ln33ln23ln

3ln53ln)32(3ln

3ln53ln3ln

)3ln()33ln(

333

32

532

532

x

x

x

x

xx

xx

xx

xx

xx

Ecuaciones logarítmicas

Una ecuación logarítmica es una ecuación en la que la incógnita se encuentra dentro del argumento del logaritmo o bien como base del logaritmo.Ejemplo: 24log x 265log3 x

Para resolver las ecuaciones logarítmicas tenemos que hacer uso de la definición de logaritmos así como de sus propiedades. Resolviendo los ejemplos:

965

365

265log2

3

x

x

x

3515

155

695

x

x

x

x

2

4

4

24log2

x

x

x

x

Más ejemplos resueltos:

41

123

312

58210

28510

)4(2510

24

510

2ln4

510ln

2ln4ln510ln

x

x

x

xx

xx

xxx

x

xx

xx

21

2412

2

5

55

55

1224

1225

2512

512

212

log

2log12log

2log12log

x

x

x

xx

xxx

x

xx

xx

xx

Nota: Siempre debes verificar tus resultados ya que puedes obtener soluciones extrañas que no cumplen con la igualdad.

Inténtalo tú solo:

24log3 x

2log23log2log xxx

26log xx

1log31log 22 xx