Funciones y Ecuaciones Exponenciales y Logarítmicas

0.1 Funciones y Ecuaciones Exponenciales y Logarítmicas

1. La expresión exponencial 7x + 7x�1 = 8x es igual a:

a) x = 2 b) x = 1 c) x = 0 d) x = - 1

7x + 7x�1 = 8x ! 7x + 7x7�1 = 8x

! 7x(1 + 7�1) = 8x

! 7x(1 + 17 ) = 8

x

! 7x( 7+17 ) = 8x

! 7x( 87 ) = 8x

! 87 =

8x

7x

! 87 = (

87 )x

! 1 = x Porque la función exponencial es biunívoca.

2. Sea el sistema de ecuaciones: �ax + ay = 4ax � ay = 2

Si en el sistema anterior, a = 3, entonces x+ y es igual a:

a) 0 b) - 1 c) 2 d) 1

Si a = 3 entonces �3x + 3y = 43x � 3y = 2

Eliminando 3x nos resulta�3x + 3y = 4

�3x + 3y = �2

2 (3y) = 2

3y = 1

log 3y = log 1

y log 3 = log 1

y =log 1

log 3y = 0

1

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Elaborado por: José A. Siles R y Jolman E. LópezGrupo Matagalpino de matemáticas: Los Karamasov

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Elaborado por: José A. Siles R y Jolman E. LópezGrupo Matagalpino de matemáticas: Los KaramasovElaborado por: José A. Siles R y Jolman E. LópezGrupo Matagalpino de matemáticas: Los Karamasov

Sustituyendo y en una de las ecuaciones originales tenemos

3x � 3y = 2

3x � 30 = 2

3x � 1 = 2

3x = 2 + 1

3x = 3

x = 1

Luego hacemos la suma x+ y = 1 + 0 = 1

3. En la ecuación exponencial

2x+2 + 2x+3 + 2x+4 + 2x+5 + 2x+6 = 31

la solución es:

a) 12 b) 13 c) �2 d) 15

2x+2 + 2x+3 + 2x+4 + 2x+5 + 2x+6 = 31

2x22 + 2x23 + 2x24 + 2x25 + 2x26 = 31

2x(22 + 23 + 24 + 25 + 26) = 31

2x(4 + 8 + 16 + 32 + 64) = 31

2x (124) = 31

2x =31

124

log 2x = log1

4

x log 2 = log1

4

x =log 14log 2

x = �2

2



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4. Si en la expresión 2x = P , entonces 4�1 es igual a:

a) 2p b) p�2 c) p�4 d) 4p

2x = P�1 ! 2 = P

Porque la función exponencial es biunívoca, lo que implica que para números

reales x1 y x2:

1) Si x1 6= x2, entonces ax1 6= ax2

2) Si ax1 = ax2 , entonces x1 = x2

�4�1

�= (2)

�2= P�2

5. El valor de x en la expresión

y =10x � 10�x

2

está dado por:

a) log(y2 + 1) b) 10py2 + 1 c) log(y +

py2 + 1) d) sen2(y

py2)

y =10x � 10�x

2

2y = 10x � 1

10x

2y =10x10x � 1

10x

(2y) 10x = (10x)2 � 1(10x)2 � 10x2y � 1 = 0 (�)

Haciendo la sustitución u = 10x en � se tiene:

u2 � 2yu� 1 = 0

Resolviendo utilizando la fórmula cuadrática haciendo: a = 1; b = �2y; c =�1

3



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u1;2 =�(b)�

pb2 � 4ac

2a

u1;2 =�(�2y)�

p(�2y)2 � 4(1)(�1)2(1)

u1;2 =2y �

p4y2 + 4

2

u1;2 =2y �

p4y2 + 4

2

u1;2 =2y �

p4(y2 + 1)

2

u1;2 =2y � 2

py2 + 1

2

u1;2 =2(y �

py2 + 1)

2

u1;2 = y �py2 + 1

Sustituyendo u = 10x en la última ecuación, se tiene:

10x = y �py2 + 1

log 10x = log(y �py2 + 1)

x log 10 = log(y �py2 + 1)

x = log(y �py2 + 1)

6. Si f(x) = ex+e�x

2 entoces f(ln 2) es:

a) 0 b) 5 c) 54 d) 34

f(x) =ex + e�x

2

f(ln 2) =eln 2 + e� ln 2

2

f(ln 2) =2 + 1

2

2

4



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por propiedad: eln x = x

f(ln 2) =52

2

f(ln 2) =5

4

7. El valor de x en la ecuación:

a(3x+1)(2x�2) = a2x2+5a4x

2+4

a) x = 2 b) x = 2 c) x = � 114 d) x = 1

a(3x+1)(2x�2) = a2x2+5a4x

2+4

a6x2�4x�2 = a6x

2+9

6x2 � 4x� 2 = 6x2 + 9

ya que las bases son iguales

6x2 � 4x� 2 = 6x2 + 9

�4x� 2 = 9

�4x = 11

x = �114

8. Si 33 � 25 = 4 � 6m, entonces m2 es:

a) 3 b) 9 c) �3 d) 6

33 � 25 = 4� 6m33 � 2522

= 6m

33 � 23 = (3x2)m

(3� 2)3 = (3� 2)m

como las bases son iguales, entonces: 3 = m; de donde 9 = m2

5



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9. La respuesta al resolver la ecuación 4x+1 + 2x+3 = 320 es:

a) x = �2 b) x = �3 c) x = 3 d) x = 2

4x+1 + 2x+3 = 320

(22)x+1 + 2x23 = 320

22x22 + 2x8 = 320

4(2x)2 + 8(2x) = 320

Haciendo u = 2x, sustituimos en la última ecuación:

4(2x)2 + 8(2x) = 320! 4u2 + 8u� 320 = 0resolviendo usando la forma cuadrática con: a = 4; b = 8; c = �320

u1;2 =�8�

p64� 4(4)(�320)2(4)

=�8�

p64 + 5120

8

=�8�

p5184

8

=�8� 728

Así,

u1 =�8 + 728

=64

8= 8 ^ u2 =

�8� 728

=�808

= �10

Tomando del valor positivo:

2x = 8

log 2x = log 8

x log 2 = log 8

x =log 8

log 2x = 3

6



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10. La solución de la ecuación 5x + 5x+2 + 5x+4 = 651 es:

a) x = 1 b) x = 2 c) x = 0 d) x = �1

5x + 5x+2 + 5x+4 = 651

5x + 5x52 + 5x54 = 651

5x + 25(5x) + 625(5x) = 651

5x(1 + 25 + 625) = 651

5x(651) = 651

5x =651

6515x = 1

Aplicando logaritmo:

5x = 1

log 5x = log 1

x log 5 = log 1

x =log 1

log 5x = 0

11. La solución de 84x�8 � 9 = �8 es:

a) x = 2 b) x = 3 c) x = 1 d) x = �2

84x�8 � 9 = �884x�8 = �8 + 984x�8 = 1

Aplicando logaritmo:

84x�8 = 1

log 84x�8 = log 1

(4x� 8) log 8 = log 1

4x� 8 =log 1

log 84x� 8 = 0

7



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4x = 8

x =8

4x = 2

12. Una expresión equivalente a

1

2(3 loga x� 5 loga y � 30 loga z)

es igual a:

a) loga3x

5y+30z b) logax3

y5+30z c) loga3x

y5+30z d) logaq

x3

y5z30

1

2(3 loga x� 5 loga y � 30 loga z) ! 1

2(loga x

3 � loga y5 � loga z30)

1

2(loga

x3

y5� loga z30) ! 1

2(loga

x3

y5z30)

loga(x3

y5z30)12 ! loga

sx3

y5z30

13. Sea la expresión lnq

abe2 y conociendo los valores de

ln a = 0:6 y ln b = 2:4

entonces la solución es:

a) e b) 1e c) e2 d)pe

lnq

abe2 ! ln (ab)

12

e ! ln(ab)12�ln e! 1

2 (ln a+ln b)�ln e!12 (0:6+2:4)�1!

12 (3)� 1!

! 3�22 ! 1

2

8



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14. El log(a+ b)2 � log(a+ b) es igual a:

a) log 2 b) log(a+ b) c) log a+ log b d) log a+ 3 log b

log(a+ b)2 � log(a+ b) = 2 log(a+ b)� log(a+ b)= log(a+ b):

15. Siendo logm = 13 (log x+ log y � log z) entonces m es igual a:

a) 13 (xy � z) b) 13xyz c) 3

pxyz d) x+ y � z

logm =1

3(log x+ log y � log z)

logm =1

3(log(xy)� log z)

logm =1

3(log

xy

z)

logm = log(xy

z)13

logm = log 3

rxy

z

m = 3

rxy

z

16. El resultado de realizar logb x� logb y2 + logb xy2 es igual a:

a) x2 logb y b) x logb y2 c) logb x

2 d) x logb y

logb x� logb y2 + logb xy2 ! logbx

y2+ logb xy

2 ! logbx

y2xy2 ! logb x

2

9



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17. Al resolver log(9x� 5) = log(x� 1) + 1 el valor de x es:

a) x = 2 b) x = 4 c) x = 1 d) x = 5

log(9x� 5)� log(x� 1) = 1

log(9x� 5x� 1 ) = 1

9x� 5x� 1 = 10

ya que loga x = y $ x = ay

log1010 = 1$ 10 = 101

9x� 5 = 10x� 109x� 10x = �10 + 5

�x = �5x = 5

18. El valor de 13log13(8+5) es:

a) 26 b) (13)2 c) 13 d) (13)13

Propiedad: blogb x = x

13log13(8+5) = 13log13(13)

= 13

19. El valor de e1+ln 5 es:

a) 5e b) 1e c) e1 d) ln 5

Propiedad de logarítmos naturales: eln x = x

e1+ln 5 = e � eln 5

= e � 5= 5e

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20. Al simpli�car la expresión

log5 16

log5 4

se obtiene:

a) 5 b) 2 c) 4 d) log 4

Se tiene

log5 16 = x! 16 = 5y ^ log5 4 = y ! 4 = 5y(�)

Entonces:

log5 16 = x! log5 42 = x

2 log5 4 = x! log5 4 =x

2x

2= y por(�)

x = 2y

Así:log5 16

log5 4=x

y=2y

y= 2

21. La ecuaciónlog(3� x2) = log 2 + log x

tiene por solución:

a) x = 1 b) x = 2 c) x = �3 d) x1 = �2

log(3� x2) = log 2 + log x

log(3� x2) = log 2x

3� x2 = 2x

x2 + 2x� 3 = 0

(x+ 3)(x� 1) = 0! x+ 3 = 0 _ x� 1 = 0x = �3; x = 1

Tomamos el valor positivo.

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22. En la expresión(log x)2 = 35� 2 log x

el valor de x es:

a) x = 105 b) x = 107 c) x1 = 10�5 d) x = 10�7

(log x)2 = 35� 2 log x(log x)2 + 2 log x� 35 = 0

Haciendo

u = log x! u2 + 2u� 35 = 0(u+ 7)(u� 5) = 0

u+ 7 = 0 _ u� 5 = 0

u = �7; u = 5

Tomado u = 5! log x = 5! 105 = x ya que log x = y $ 10y = x

23. Si se aplica logarítmo a la ecuación

2x+1 � 5x = 9

el resultado es:

a) log( 92 ) b) log(29 ) c) log(23 ) d) log( 53 )

(2x+1 � 5x) = 9

2x � 2� 5x = 9

2x � 2� 5x = 9

2x � 5x =9

2

(2� 5)x =9

2

10x =9

2

log 10x = log9

2

x log 10 = log9

2

x = log9

2

12



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24. Al despejar "t" en L =Mat=N � P;obtenemos:

a) t = N logaL+PM b) t = N loga

M+PL c) t = N loga

L+MP d)

t = loga(L�MM )

L = Mat=N � PL+ P = Mat=N

L+ P

M= at=N

loga(L+ P

M) =

t

N

prop: loga x = y $ ay = x

N loga(L+ P

M) = t

25. La forma logarítmica de la expresión

e2t = 3� x

es:

a) log(3�x) = 2t b) ln (3�x)2 = t c) 2 log(3�x) = t d) ln(3�x) =2t

e2t = 3� xln e2t = ln(3� x)2t = ln(3� x)

t =ln(3� x)

2aclaración t =

ln(3� x)2

6= t = ln 3� x2

La respuesta correcta es d)

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26. El conjunto solución de la ecuación

3(3x) + 9(3�x) = 28

es:

a) f�1; 2g b) f�1; 0g c) f0; 1g d) f2g

3(3x) + 9(3�x) = 28

3(3x) +9

3x= 28

Hacemos u = 3x

Entonces:

3u+9

u= 28

3u2 + 9

u= 28

3u2 + 9 = 28u

3u2 � 28u+ 9 = 0

u1;2 =�(�28)�

p(�28)2 � 4(3)(9)2(3)

=28�

p784� 1086

=28�

p676

6

=28� 266

u1 =28 + 26

6^ u2 =

28� 266

=54

6=2

6

= 9 =1

3

3x = 9 3x =1

3

14



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log 3x = log 9 log 3x = log1

3

x log 3 = log 9 x log 3 = log1

3

x =log 3

log 9= 2 x =

log 13log 3

= �1

Sol = f�1; 2g

27. Al simpli�car la expresión

(ex + e�x)(ex + e�x)� (ex � e�x)(ex � e�x)(ex + e�x)2

se obtiene:

a) ex�e�xex+e�x b) (e

x+e�x)2

4 c) ex+e�x

ex�e�x d) 4(ex+e�x)2

(ex + e�x)(ex + e�x)� (ex � e�x)(ex � e�x)(ex + e�x)2

=(ex)2 + 2(ex)(e�x) + (e�x)2 �

�(ex)2 � 2(ex)(e�x) + (e�x)2

�(ex + e�x)2

=(ex)2 + 2(ex)(e�x) + (e�x)2 � (ex)2 + 2(ex)(e�x)� (e�x)2

(ex + e�x)2

=2(ex)(e�x) + 2(ex)(e�x)

(ex + e�x)2

=4

(ex + e�x)2

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28. Al resolver la ecuación

log(x3) = (log x)3

se obtiene que el conjunto solución es:

a)n1; 10

p3o

b)�

3p10

c)n332

od)�103

log(x3) = (log x)3 ! (log x)3 � 3 log x = 0

Haciendo u = log x

u3 � 3u = 0

u(u2 � 3) = 0

u = 0 _ u2 � 3 = 0

log x = 0 u2 = 3! u = �p3! log x = �

p3

x = 100 x = 10�p3

x = 1 x = 10p3 _ x = 10�

p3

Sol =n1; 10

p3o

29. Qué valor de x veri�ca que

log(x2 � 9)log(x+ 3)

= 1

a) f4g b) f3g c) f�3g d) f�4g

log(x2 � 9)log(x+ 3)

= 1

log(x2 � 9) = log(x+ 3)

x2 � 9 = x+ 3

x2 � x� 12 = 0

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(x� 4)(x+ 3) = 0! x� 4 = 0 _ x+ 3 = 0

x = 4; x = �3

Tomamos entonces x = 4

30. Al expresar "x" en términos de "y" en la expresión

y =ex + e�x

ex � e�x

obtenemos:

a) 12ey+1y�1 b) ln

qy+1y�1 c) ln(y�1)e1�y d) y+1y�1

y =ex + e�x

ex � e�x

y =ex + 1

ex

ex � 1e�x

y =e2x+1ex

e2x�1ex

y =e2x + 1

e2x � 1ye2x � y = e2x + 1

ye2x � e2x = y + 1

e2x(y � 1) = y + 1

e2x =y + 1

y � 1

ln e2x = ln(y + 1

y � 1)

2x = ln(y + 1

y � 1)

x =1

2ln(y + 1

y � 1)

x = ln

r(y + 1

y � 1)

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