Funciones y ecuaciones

exponenciales y logarítmicasAmanda Lucia Medrano Gutiérrez

Ángel Jiménez Camargo

Función Exponencial

Funciones Exponenciales

Tiene la forma f(x)= 𝑎𝑥

a > 0

a ≠ 1

La ”x” o variableindependiente seencuentra en el exponente

donde

f(x)= 1𝑥 es una función constante

que forma una línea recta

horizontal, ya que cualquier valor

que tome en ”x” , dará y =1, por lo

que no es exponencial.

Forma gráfica de una función exponencial.

La gráfica de una función

exponencial de la forma básica

f(x)= 𝑎𝑥 tiene esta forma

La gráfica pasa por el

punto (0,1)

La recta y=0 o eje x

forma una asíntota

horizontalYa que ”b” o su ordenada al

origen es 1 porque al evaluar

f(0)=𝑎0, dará como resultado 1.

¿Creciente o decreciente?

Si a<1 entonces

la gráfica será

decreciente

Si a>1 entonces

la gráfica será

creciente

Dominio y Rango

Dominio: Todos

los números reales

Rango: (o,∞)

¿Cómo calcular a?

• Hasta ahora hemos hablado que una función exponencial tiene la forma f(x)= 𝑎𝑥 ,

pero ¿Cómo se calcula a?

• ”a” es el factor de cambio

• Si se tienen los siguientes datos

• a= Al segundo valor de y / el primer valor de y

• a= 4/1=4

• a= 16/4=4 Por lo que a=4

• Se debe repetir esta acción cuantos valores en y existan y ”a” siempre debe tener el

mismo resultado.

x (variable

independiente)

0 1 2

y (variable

dependiente)

1 4 16

Por lo que la

funciones seria

f(x)= 4𝑥 ,

cambiando a por el

valor resultante

¿Qué pasa cuando x no

incrementa en una unidad?

• Como podemos ver en el ejemplo anterior los valores en

”x” incrementan uno en uno.

• ¿Qué pasa cuando tiene otro incremento como en el

siguiente ejemplo?

X 0 1 2

y 1 4 16

X 0 4 8

y 1 4 16

• Para obtener el incremento de x vamos a restarle

al segundo el primer valor:

• Incremento= 4-0 = 4

• Incremento = 8-4= 4 En ambos casos tiene que

darnos el mismo resultado en este caso 4.

• Por lo que nuestra función quedaría: f(x)= 4 𝑥 4

• En donde ya habíamos obtenido a y ahora

dividimos ”x” entre el incremento.

¿Cómo obtener b?

• En los ejemplos anteriores nos han dado el valor de b, ya que nosindican cuando x=0, y =1. ¿Cómo obtener b?

• Tenemos los siguientes datos:

• Para obtener b vamos a despejarla, la función tiene la forma f(x)=b𝑎𝑥

• Primero sustituimos los valores que conocemos en este caso a, f(x)=b4𝑥

• Ahora tomamos un par de valores es decir, un valor en x y surespectivo valor en y y los sustituimos en nuestra función, 4=b41

X 1 2

y 4 16

• Ahora despejamos b

• b= 4/41

• Realizamos operaciones

• b= 1 Obtenemos el valor de b y ahora lo sustituimos en lafunción.

• f(x)= 1*4𝑥

• Esto nos da la función que ya habíamos encontradoanteriormente.

• f(x)=4𝑥 Ya que todo número multiplicado por uno da elmismo número

¿Cómo obtener b?

Deformaciones

• Hasta el momento hemos utilizado la forma básica de una

función exponencial, pero existen ciertas deformaciones

que se le pueden hacer a la función, primero las que se

hacen con respecto al eje ”x”

Desplazamiento hacia la izquierda y derecha

La función f(x)= 𝑎𝑥+3

tiene un desplazamiento

de 3 unidades hacia la

izquierda, en donde la

función original es la

línea negra

El desplazamiento es hacia la izquierda

cuando el número que se le aumenta a x es

positivo por ejemplo f(x)=𝑎𝑥+3 y es hacia

la derecha cuando el número que se le

aumenta a x es negativo por ejemplo

f(x)=𝑎𝑥−3

Desplazamientos verticales

El desplazamiento es hacia arriba cuando el

numero que se le aumenta a toda la función

es positivo por ejemplo f(x)=𝑎𝑥 + 3y el desplazamiento es hacia abajo cuando el

número que se le aumenta a toda la función

es negativo por ejemplo f(x)= 𝑎𝑥 − 3

La función fue

desplazada tres

unidades hacia

arriba.

Reflexiones

Las reflexiones son con respecto al

eje x cuando toda la función es

negativa como se muestra en la

imagen.

Reflexiones

Las reflexiones son con

respecto al eje y cuando la x

es negativa, es decir, -x

Compresiones

• Una gráfica se comprime en y cuando el factor es menor

que la unidad por ejemplo f(x)=1

2(𝑎𝑥), este factor debe

afectar a toda la función, ya que cuando solo afecta a x,

entonces la gráfica se elonga, por ejemplo f(x)= 𝑎1

2𝑥

,

cunado el factor es mayor que la unidad y afecta a x la

grafica se comprime.

Función logarítmica

Definición

• Una función logarítmica se define como la inversa de una

exponencial.

• Por lo que la función logarítmica base (a) de (x) será la

misma base (a) elevada al exponente (x).

• Esta función tiene la característica de no poder tomar

valores menores o igual a “0”.

Leyes de los logaritmos

• Los logaritmos siguen una serie de leyes, considerando

que X y Y son números positivos.

• Si la base es mayor a 1 continuará creciente en todo su

dominio.

• Si la base es mayor a 0 pero menor a 1 continuará

decreciente en todo su dominio.

• Su dominio serán todos los números reales positivos.

• Su imagen serán todos los números reales.

• Es una función continua.

• Debe pasar por el punto (1,0) y (a,1).

No existen logaritmos de bases negativas y no existen logaritmos de

números negativos ni de “0

Existe un logaritmo base (e) mayormente conocido como

logaritmo natural (ln).

Reglas de los logaritmos

• Además las siguientes reglas siempre se cumplen:

Análisis de una función

logarítmica

Su dominio estarádefinido por todoslos númerosmayores a “x”

La intersección en“y” se encuentraevaluando lafunción en “0”.

La intersección en“x” se encuentraigualando lafunción a “0”.

Si el coeficiente dentrodel logaritmo es mayor a1 se sufrirá unaelongación en el eje x

Si el coeficiente dentrodel logaritmo es mayor a0 y menor a 1 se sufriráuna compresión en el ejex

Cualquier númerosumado o restado dentrodel logaritmo, significaráun desplazamiento en eleje x

Si el coeficiente fuera dellogaritmo es mayor a 1se sufrirá una elongaciónen el eje y.

Si el coeficiente fuera dellogaritmo es mayor a 0 ymenor a 1 se sufrirá unacompresión en el eje y.

Cualquier númerosumado o restado fueradel logaritmo, significaráun desplazamiento en eleje y.

Graficar función

• Para graficar una función logarítmica será necesario

realizar el análisis y obtener al menos las intersecciones

con el eje “y” y “x” de la función.

• La gráfica forzosamente deberá pasar por el punto (1,0) y

(a, 1). (considerando “a” como la base del logaritmo).