2013

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01/01/2013

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

AARON FERNANDO

ESPINO GARCIA

1°A PROCESOS

INDUSTRIALES.

INDICE

1. Introducción histórica ecuación de segundo grado

.........................................................................................................pag

1

2. Explicación de obtención de la formula general

.........................................................................................................pag

2,3

3. Problema ecuación de segundo grado ............................................pag

4. Ejemplos (5) de ecuación de segundo grado ...................................pag

5. Ejemplos del libro (5) .......................................................................pag

INTRODUCCION HISTORICA

Las primeras apariciones en textos antiguos de “ecuaciones” datan del 1800

al 1600 a.C. en Mesopotamia, y traen algunos métodos para resolver

ecuaciones lineales, aunque claro, la notación y forma de resolución de

antaño dista una infinidad de la que nosotros poseemos actualmente. Habrían

de pasar unos cuantos años, hasta el 1650 a. C. , que es la fecha de la que

data el Papiro de Rindh, escrito en Egipto. En este texto casi puramente

matemático se muestra un método de resolución general de ecuaciones de

primer grado. La humanidad acaba

de dar un paso, el primero, para dar

la solución general de una ecuación

para cualquier grado. Este papiro

muestra además que los egipcios

podía resolver cierto tipo de

ecuaciones de segundo grado,

aunque aun desconocían un método

general de resolución, que será el

siguiente paso de nuestra historia.

Pasarían nada menos que 1500 años, hasta que un griego, Diofanto de

Alejandría, diera con la fórmula que resuelve casi todas las ecuaciones de

segundo grado, la fórmula que ya conocemos. El segundo paso estaba

logrado, se habían resuelto “todas” las ecuaciones de primer y segundo

grado. Y en este momento de nuestra historia surge una pregunta, ¿Se

podrán resolver todas las ecuaciones para cualquier grado? Pero vamos a

intentar ir por pasos, después del segundo grado, viene el tercer grado.

Pero de nuevo habrían de pasar muchos años, otros 1700 aproximadamente,

hasta que un matemático Italiano llamado Niccolo Fontana (Tartaglia para los

amigos). Este matemático demostró dos cosas:

1. Dada una ecuación de tercer grado, x3 + bx2 + cx + d = 0, haciendo el cambio de variable, x = t – b/3, se reduce a una ecuación del tipo x3 + px = q. En la que ha desaparecido el término de segundo grado.

2. Encontró y demostró la fórmula general para la resolución de ecuaciones del tipo x3 + px = q

De este modo y con estas dos aportaciones, Tartaglia, 1700 años después de

la demostración del método general para la resolución de ecuaciones de

segundo grado, había dado el siguiente paso en la resolución de las

ecuaciones de grado arbitrario. La humanidad ya sabía resolver una ecuación

cualquiera hasta tercer grado.

Pero poco duró el entusiasmo, pues en 1824 enunciaría y demostraría un

Teorema que le haría pasar a la historia de las Matemáticas. Este teorema

dice que no existe fórmula general para la resolución de ecuaciones de grado

mayor o = 5. Hay que aclarar que el teorema no afirma que las ecuaciones

polinómicas de grado quinto o superior no tengan soluciones o que no puedan

ser resueltas, el teorema afirma que la solución de una ecuación de grado

cinco o superior no puede siempre ser expresada comenzando por los

coeficientes y usando solo finitamente las operaciones

de suma, multiplicación, y toma de radicales.

Después de casi 4000 años, el problema había sido resuelto, aunque ni

mucho menos de la manera en la que se deseaba al inicio, no se encontró la

fórmula deseada.

OBTENCION DE LA FORMULA GRL Demostración de la obtención de la Formula General, mediante la Formula de Baskara . Baskara encontró esta Formula mediante la construcción de un Trinomio Cuadrado Perfecto (tercer caso de Factorización), y aplicando algunos trucos.

➊ Llevo la Ecuación a la Forma:

ax² + bx + c = 0

➋ Luego se multiplica todo por 4a (la igualdad se mantiene):

4a²x² + 4abx + 4ac = 0

➌ Ahora de suma y se resta b², de esta manera no se altera la Ecuación:

4a²x² + 4abx + b² - b² + 4ac = 0

➍ Ahora observando los primeros 3 términos, se trata de un Trinomio Cuadrado Perfecto,

así que factorizando se obtiene: (2ax + b)² - b² + 4ac = 0

➎ Ahora despejamos (x):

(2ax + b)² = b² - 4ac ⇔ 2ax + b = √b² - 4ac

➏ Como la Raíz arroja 2 Resultados, uno positivo y uno negativo queda asi:

2ax + b = ± √b² - 4ac ⇔ - b ± √b² - 4ac x₁, ₂= -------------------------

2a

Fórmula de Baskara. Fórmula de Baskara. ¿Por qué es tan importante la fórmula de Baskara? Vamos a verlo, en primer lugar hay que llevar la ecuación a la forma:

Luego se multiplica todo por 4a.

Ahora sumamos y restamos b^2, de esta manera no cambia nada tampoco:

Ahora observemos los primeros 3 términos, se trata de un trinomio cuadrado perfecto, así que factorizando se obtiene:

Y ahora es fácil despejar X:

Pero como vimos antes una raíz arroja 2 resultados, uno positivo y uno negativo

así que queda:

Esta última es la famosa fórmula que nos da las soluciones para X.

PROBLEMA 3 ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

-El problema de razonamiento numero 3 donde nos manda a una ecuación de segundo grado

EJEMPLOS DE ECUACION DE SEGUNDO GRADDO

PROBLEMA 1

PROBLEMA 2

PROBLEMA 3

PROBLEMA 4

PROBLEMA 5

PROBLEMAS DEL LIBRO

ECUACIONES ALGEBRAICAS