ECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO .ecuaciones de grado dos, o de segundo grado, se llaman también ecuaciones

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  • 7. 1

    UNIDAD 7

    ECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO

    Objetivo general.

    Al terminar esta Unidad resolvers ejercicios y problemas que

    involucren la solucin de ecuaciones de primer grado y de segundo

    grado

    Objetivos especficos:

    1. Recordars a qu se llama: ecuacin idntica o identidad; ecuacin condicional

    o ecuacin; variable o incgnita, y constante.

    2. Recordars a qu se llama: solucin o raz de una ecuacin; conjunto de

    soluciones de una ecuacin; ecuaciones equivalentes; ecuaciones de primer

    grado y ecuaciones de segundo grado.

    3. Recordars las propiedades de las igualdades para las cuatro operaciones bsicas

    y las utilizars para resolver una ecuacin, transformndola en ecuaciones

    equivalentes.

    4. Resolvers ecuaciones de primer grado.

    5. Resolvers ecuaciones de segundo grado por el mtodo de factorizacin.

    6. Identificars el discriminante de una ecuacin de segundo grado y resolvers

    ecuaciones de segundo grado mediante la frmula general.

  • 7. 2

    Objetivo 1. Recordars a qu se llama ecuacin condicional o ecuacin;

    variable o incgnita; constante, y ecuacin idntica o identidad.

    Se llama ecuacin a una proposicin algebraica que establece la igualdad entre dos expresiones a

    las que se llama miembros de la ecuacin. En una ecuacin hay una o ms cantidades desconocidas

    llamadas variables o incgnitas y nmeros llamados constantes.

    Una ecuacin que se satisface para todos los valores de las variables para los que estn definidos

    ambos miembros de la ecuacin, se llama ecuacin idntica o identidad. En una identidad es comn

    sustituir el signo = por el smbolo que se lee idntico a.

    Ejemplos:

    1.) 222 2 bababa

    Como se puede observar, la igualdad es cierta para cualquier valor de a, b R

    puesto que el segundo miembro es el desarrollo del cuadrado del binomio del

    primer miembro.

    2.) 1

    111

    2

    xx

    xx

    ; x 1

    La divisin algebraica de la fraccin del primer miembro da como resultado un

    cociente de 1x y un residuo de 1:

    21

    1x

    x x

    xx 2 ___________

    x 1 x _________

    + 1

    Por ello, la ecuacin propuesta es una identidad para todos los valores de x, excepto

    para 1x , debido a que este valor produce un cero en el denominador de los dos

  • 7. 3

    miembros de la ecuacin. En estos casos se dice que cada miembro de la ecuacin

    es indefinido para 1x .

    Una ecuacin condicional, o simplemente una ecuacin, es una igualdad que resulta verdadera

    solamente para alguno o algunos valores de las variables.

    Ejemplos:

    1.) 232 xx

    En este caso la igualdad se cumple nicamente cuando 5x . Cualquier otro valor de la variable x hace que la proposicin sea falsa.

    2.) 10 yx

    Esta igualdad es verdadera para un nmero infinito de pares de valores de x y de y,

    pero no para cualquier par de valores. Por ejemplo, se cumple para 5,5 yx ;

    para 10,0 yx ; para 4,14 yx , etctera; pero no se cumple para

    4,5 yx ; 12,0 yx ; 3,14 yx etctera.

    3.) 0232 xx

    Esta proposicin es verdadera tanto cuando 2x como cuando 1x .

    Objetivo 2. Recordars a qu se llama solucin o raz de una ecuacin,

    conjunto de soluciones de una ecuacin, ecuaciones equivalentes, ecuaciones de

    primer grado y ecuaciones de segundo grado.

    Si una ecuacin se convierte en identidad para algunos valores de las variables, se dice que la

    ecuacin se satisface para dichos valores. Los valores de las variables que satisfacen a la ecuacin

    se llaman solucin o raz de la ecuacin, y cuando hay ms de una solucin, a la totalidad de ellas

    se le llama conjunto de soluciones.

  • 7. 4

    Resolver una ecuacin significa encontrar su conjunto de soluciones.

    Ejemplos:

    En los siguientes ejemplos, donde x , se encuentra el conjunto de soluciones y se indica el nmero de elementos de dicho conjunto.

    1.) xx2326

    21

    Se prueba para diferentes valores de x si se encuentra(n) alguno(s) para los que la

    igualdad se cumple, por ejemplo, para 2x :

    223262

    21

    ; 3261

    Para 3x :

    323263

    21

    ; 2926

    23

    Para 4x :

    423264

    21

    ; 6262

    Puesto que la ecuacin se satisface para 4x , y slo para este valor, la solucin o raz

    es nica y el conjunto de soluciones de la ecuacin es 4

    2.) 0164 x Nuevamente al hacer la sustitucin directa para diferentes valores de x de entre los

    nmeros enteros, se obtiene que la ecuacin se satisface para 2x y para 2x . Por lo tanto, su conjunto de soluciones tiene dos elementos: {2, 2}

    3.) 092 x

    Para esta ecuacin no existe nmero real alguno que la satisfaga ya que tanto 3x

    como 3x hacen que el primer miembro sea igual a 18 y no a cero. En este caso no

    existe solucin en por lo que el conjunto solucin es vaco:

  • 7. 5

    4.) 48422 22 xxx Se observa que la ecuacin propuesta es una identidad porque el segundo miembro es

    el desarrollo del binomio cuadrado del primer miembro: el cuadrado del primero menos

    el doble producto del primero por el segundo ms el cuadrado del segundo. Recordando

    el contenido del objetivo 1, se cumple para todo valor de x en el conjunto de los

    nmeros reales por lo tanto, su conjunto solucin es { x x } y su nmero de

    elementos es

    5.) 042 x

    Como en el ejemplo 2.) esta ecuacin tiene dos races: x = 2 y x = 2, de modo que su

    conjunto de soluciones tiene dos elementos: {2, 2}.

    En los ejemplos 2 y 5 el conjunto de soluciones de la ecuacin que se analiz en cada uno es el

    mismo: {2, 2}. Se dice que dos ecuaciones son equivalentes si tienen el mismo conjunto de

    soluciones.

    Al igual que un polinomio, el grado de una ecuacin con una variable, es el mayor exponente al

    que se encuentra elevada la incgnita en alguno de los miembros de la ecuacin.

    Ejemplos:

    1.) El grado de la ecuacin

    xx239125

    es 1, puesto que en los dos miembros de la ecuacin el mayor exponente al que se

    encuentra elevada la variable x es 1

    2.) La ecuacin

    712953 32 yyy

    es de grado 3 porque es la mayor potencia a la que aparece elevada la variable y en

    el segundo miembro.

  • 7. 6

    3.) Para determinar el grado de la ecuacin 32223 9136 xxx Se analiza la expresin y al recordar que al elevar un exponente a otra potencia los

    exponentes se multiplican, entonces, en el primer trmino la variable 623 xx y en los otros trminos: 422 93 xx y 33 xx . Por lo tanto, el grado de la ecuacin es 6.

    Las ecuaciones de grado uno, o de primer grado, se llaman tambin ecuaciones lineales; las

    ecuaciones de grado dos, o de segundo grado, se llaman tambin ecuaciones cuadrticas.

    Ejemplos:

    1.) Las siguientes expresiones son ejemplos de una ecuacin de primer grado o lineal: a) 1572 x

    La variable tiene exponente 1 en el nico trmino en que aparece.

    b) zz 94113 La variable z aparece en los miembros de la ecuacin, pero en ambos su

    exponente es 1 y por los productos indicados no puede variar.

    c) 211

    2 xx

    Como en el ejemplo anterior, x tiene exponente 1 en los trminos en que

    aparece y no puede modificarse por las operaciones involucradas.

    d) 354 y

    ; y 0

    Al multiplicar ambos miembros de la ecuacin por la variable y, se obtiene la

    ecuacin equivalente:

    yy 354

    que es una ecuacin de primer grado.

  • 7. 7

    e) 06362

    aa

    .

    Aunque a primera vista la ecuacin parece de segundo grado, el numerador es

    una diferencia de cuadrados cuya factorizacin se simplifica con el

    denominador como:

    66

    666362

    a

    aaa

    aa

    por lo que la ecuacin

    06362

    aa

    es equivalente a la ecuacin

    06 a que es de grado uno.

    2.) Las siguientes expresiones corresponden a ecuaciones de segundo grado o cuadrticas

    a) 2

    13119 2 xxx

    El primer miembro tiene a la variable elevada a la segunda potencia y no existe

    otro trmino con el que pudiera eliminarse.

    b) 21273 xxx El producto de los binomios en el primer miembro de la ecuacin da como

    resultado un trmino en 2x , por lo tanto la ecuacin es de segundo grado o cuadrtica.

    c) 2422 210 xxx Cuando se eleva al cuadrado el binomio del primer miembro se tiene

    422 xx , sin embargo en el segundo miembro aparece tambin 4x con el mismo signo, por lo que al transponerse se cancelan y el mayor exponente de x

    es 2, tanto en el primero como en el segundo miembro.

    d) 19 xx

    x; x 0

  • 7. 8

    Al multiplicar los dos miembros de la ecuacin por la variable x se obtiene la

    ecuacin equivalente:

    19 xxx que es una ecuacin cuadrtica por el producto que aparece en el segundo

    miembro.

    Objetivo 3. Recordars las propiedades de las igualdades para