Druga Parcijala - Modeliranje i Simulacija II

7/15/2019 Druga Parcijala - Modeliranje i Simulacija II

http://slidepdf.com/reader/full/druga-parcijala-modeliranje-i-simulacija-ii 1/12

www.samelx.blogger.ba

MODELIRANJE I SIMULACIJA II- druga parcijala

1-Osnovni algoritmi uslovne optimizacije ?

Svaki upravljački zadatak u kome je funkcija cilja Q(x) ili skup ograničenja Ldefinisan nelinearnim jednačinama ili nejednačinama, predstavlja zadataknelinearnog programiranja. Optimalno rješenje nelinearnog optimizacionogproblema izračunava se nekom od raspoloživih metoda, koja jenajadekvatnija za nalaženje konkretnog rješenja.Za razliku od zadataka linearnog programiranja, zadaci nelinearnogprogramiranjase ne mogu rješavati primjenom nekog univerzalnog metoda. Postoji višemetoda optimizacije pomoću kojih se mogu rješavati neki zadaci nelinearnogprogramiranja. Svi ti metodi su specijalizovani za različite tipove zadatakanelinearnog programiranja, koji se formalno razlikuju po obliku

matematičkog modela, tj. po obliku i dimenzijama funkcije cilja i skupaograničenja.

Kod optimizacije sa ograničenjima mogu se posmatrati samo dopustiva

rešenja (ona koja zadovoljavaju sva ograničenja).

Osnovni algoritmi:

Metod Lagranževih množilaca (multiplikatora)

Metod penalty (kaznene) funkcije

Metod barijere

2-Metoda Lagranževih množilaca ?

Vrlo se često koristi pri rješavanju onih optimizacionih zadataka kod kojihmatematski model optimizacije sadrži i određen broj jednačina ograničenja.Osnovno obilježje ove metode sastoji se u tome što se, sa uvođenjem skupa

1



neodređenih množitelja i , i 1,2,..,m , prevodi matematski model optimizacijesa ograničenjima tipa jednačina ili nejednačina u model bez ograničenja.

3-Metoda kazenih funkcija ?

Metoda kaznenih funkcija predstavlja odgovarajuću grupu algoritama zarješavanje optimizacionih problema. Suština metoda kaznenih funkcija jesteda se opšti zadatak uslovnog nelinearnog programiranja svede na bezuslovniproblem ili na niz bezuslovnih problema.

4-Uslovna optimizacija sa ograničenjima tipa nejednakosti, KTK usloviPrevođenje nejednakosti u jednakost uvođenjem dopunske (dopunjujuće)nepoznate

Formiranje proširene funkcije kriterija (ciljna funkcija)

Sistem od ukupno: n + m + m = n + 2m jednačina

5- KKT uslov (Karush-Kuhn-Tucker)

sistem od n + m jednačina

6- Genetički algoritam, princip, shema ?

Stohastički algoritam, strategija po ugledu na prosec prirodne selekcije(evolucija)

Za složene modele za koje ne postoje specijalizovani, klasični algoritmi.

2



Ne garantuje pronalaženje globalnog ekstrema

Puno računanja sa puno tačaka, spora konvergencija

Potrebno više puta pokrenuti proceduru sa različitim inicijalnimvrijednostima da bi se pronašao globalni ekstrem

Algoritam:

7-Parcijalne diferencijalne jednačine: ODJ – funkcija jedne nezavisno promjenjive y=y(x)

PDE – funkcija više nezavisno promjenjivih z=f(x,y), u(x,y,z,t)=0 U jednačinama figurišu parcijani izvodi, funkcija i argumenti (prostorni ilivremenski) Domena: pravilnog ili kompleksnog oblika

3



8-Jednačine matematičke fizike: karakteristike i oblasti primjene Eliptične jednačine – teorija elastičnosti (IBVP), ravnoteža, stacionarniprocesi

- Nezavisne od vremena

- Sistem je dostigao stacionarno stanje

- Laplace-ova jednačina

- Poisson-ova jednačina

Hiperboličke jednačine – talasni procesi, dinamika - Time-dependent – zavisne od vremena

- Konzervativnost (energija sistema je sačuvana svo vrijeme)

- Ne teži ka stabilnom stacionarnom stanju

- Talasna jednačina: wave equation

- Problem inicijalnih i graničnih vrijednosti ?

- Diskontinuiteti / veliki gradijenti se održavaju u vremenu

4



Paraboličke jednačine –procesi difuzije, nestacionarni prijenos toplote - Zavisne od vremena, opisuju nestacionarne procese

- Disipativni procesi, disipacija energije sistema u vremenu

- Približavaju se (teže) stacionarnom stanju

- Prenos toplote (heat equation), difuzije

9-NUMERIČKE METODE za PDJOsnovne numeričke metode: CDM, FEM, BEM, FVM, Meshless Method,

hibridne i ostale ...

Numeričke metode za PDJ mehanike kontinuuma omogućavaju (simulacija): Modeliranje široke skale procesa u domeni proizvoljnog oblika, sa složenimkonstitutivnim relacijama, nelinearne promjene parametara

Dinamičke (tranzijentne) analize koje obuhvataju promjene svih veličina uvremenu

Efektivnu vizualizaciju (animaciju)10-METOD KONAČNIH RAZLIKA (FINITE DIFFERENCE METHOD - FDM,CDM)

11-Osnovni algoritamski koraci FDM metoda: Parcijalni izvodi u sistemu diferencijalnih jednačina koji opisuje procesdeformacije domene se zamjenjuju konačnim razlikama. Domena (radni prostor) se diskretizira mrežom čvornih tačaka u kojima se

5



računaju čvorni pomaci, temperature, brzine kao primarna rješenja polazećiod poznatih vrijednosti na konturi (BC) Uz poznate BC, od sistema PDJ formira se sistem LAJ koji se rješava pomoćulinearnog solvera. Mogućnost analize statičkih i dinamičkih problema (eksplicitna integracija,

uslovna stabilnost) Izvedene varijable se dobijaju u post-procesorskom postupku

Osnovni nedostatak: problem opisa domene nepravilnog oblika

12-MKE (metoda konačnih elemenata) je savremena numerička metodaza rješavanje PDJ. Suština metode je u aproksimaciji funkcije rješenjadiskretnim skupom funkcija (polinoma) i diskretizaciji domene konačnimskupom konačnih elemenata.

Tri osnovna koncepta na kome se definiše savremena MK:

Raleigh-Ritz-ov varijacijski princip

Galerkin-ov princip težinskog reziduala

Princip minimuma kvadratne greške (Laest square principle)

13-Oblasti primjena MKE: Analizi čvrstoće, napona, deformacija

Analizi strujnih procesa u mehanici fluida

Simuliranje obradnih procesa

Problemi prenosa toplote, distribucije temperature

Elektromagnetika

Dinamika konstrukcija i mašina

Akustika

Mehanika tla i stijena (geomehanika)

Multi-fizičke simulacije

14-Prednosti u odnosu na ostale numeričke metode: Složena geometrija, proizvoljni oblik domene

Složeni granični uslovi (opterećenja i oslonci)

Složene (nelinearne) konstitutivne relacije

Kombinovanje različitih elemenata i materijala

Visoka tačnost

6



15-Aproksimacija funkcije rješenja ODJNeka je data funkcija y = f(x). Pretpostavimo da je iz nekog razloga datu

funkciju potrebno aproksimirati drugom njoj približnom funkcijom na datom

intervalu Ω=(a,b). Zamjensku funkciju prikažimo kao linearnu kombinaciju

nekoliko (n) funkcija:

pri čemu su ci nepoznati koeficijenti a φi(x) proizvoljno uzete (poznate),

linearno nezavisne funkcije.

16-Metod minimuma kvadrata greške: veličina greške uslijed

aproksimacije data je funkcijom greške

Kao osnova optimizacije postavlja se uslov da se odrede koeficijenti ci

i=1,2..n, na takav način da ukupna greška na intervalu (a,b) bude minimalnomoguća. Budući da funkcija greške može mijenjati znak na intervalu, prostasuma (integral na intervalu) može imati malu vrijednost ili čak vrijednost „0“i u slučajevima kada na čitavom intervalu imamo velike vrijednosti greške.Stoga se za mjeru veličine greške usvaja integral kvadrata funkcije greške i

traže se koeficijenti ci i=1,2..n, takvi da osiguravaju minimalnu vrijednostprethodnog integrala. Posljednja jednakost nakon integracije daje sistem od„n“ jednačina iz kojeg se može odrediti „n“ nepoznatih koeficijenata ci.

17-Reyleigh-Ritz RR metod za rješavanje ODJ: Odredi funkcional F čija ekstremizacija pomoću Euler-ove jednačine dajeoriginalnu ODJ Pretpostavi funkciju y(x) (rješenje) u formi:

7



Zamijeni aproksimativno rješenje u funkcional i formiraj sistem jednačina Riješi prethodni sistem algebarskih jednačina po ci, i=1,2..n

18-MKE modeliranjeOsnovni oblici elemenata: Kontinuum –elementi Strukturni elementi

Automatski mesh-genaratori: Regularna mreža Neregularna mreža

Opšta shema modeliranja:

8



19-Osnovni koraci linearne MKE analize: Izbor elementa, Diskretizacija domene Formiranje matrica elemenata Formiranje (sastavljenje, slaganje) sistemskih matrica

Uvođenje BC Rješavanje sistema L J – SOLVER Postprocesiranje rezultata Analiza rezultata

20-Vodeći komercijalni FEM programi:Abaqus, Adina (K.J. Bathe, MIT), Algor, ALTAIR HyperMESH, Ansys, Cosmos(SolidWorks), FEMAP, FEAP, IDEAS, LS-Dyna, Lusas, Marc, Nastran (NASA),PATRAN (pre i post processor), SAP

21-Načini prenosa toplote:

Kondukcija, provođenje toplote u solidu – čvstom tijelu

Konvekcija: prirodna, prisilna, zadaje se za spoljne površine, čvrsto tijelo

ograničeno fluidom

Radijacija

22-MKE numerička procedura: Formulisanje problema (jednačine) u integralnom obliku (strong-weak form) Parcijalna integracija (1D) ili korištenje Gaussove teoreme (2D i 3D) Aproksimacija temperaturnog polja diskretnim funkcijama Numerička integracija po pojedinačnim elementima (diskretizacija domene)zaizračunavanje elementne matrice toplotne vodljivosti i vektora toplotnogfluksa. Slaganje globalne (sistemske) matrice toplotne vodljivosti Primjena graničnih uslova (zadata temperature ili fluksevi ) Rješenje globalnog sistema L J – SOLVER – primarno rješenje, KT=F Izračunavanje toplotnog fluksa (post-procesiranje) – izvedena rješenja

23-DINAMIČKA ANALIZA pomoću MKE

Osnovni cilj: Analiza ponašanja konstrukcije (komponente, mašine, sistema)izložene dejstvu dinamičkog (vremenski promjenjivog) opterećenja.

Statičko opterećenje konstantan intenzitet tokom vremena bez pojave inercijalnih sila

9



male i/ili spore promjene intenziteta i zanemarljivo male inercijalne sile promjene intenziteta i/ili inercijalne sile koje ne ugrožavaju nosivost,stabilnost iupotrebljivost elementa ili konstrukcije

Dinamičko opterećenje velike i/ili brze promjene intenziteta velike inercijalne sile periodično promjenljiva opterećenja(harmonijska i neharmonijska) udarna opterećenja (velika brzina nanošenja i kraće ili duže trajanje) aperiodična opterećenja (složena frekventna karakteristika)

Rješenje statičkog problema – samo jedna konfiguracija (deformisani položaj)Rješenje dinamičkog problema – funkcija promjene položaja u vremenu zasve tačke

Izvori dinamičkog opterećenja: Vibracije u radnom ciklusu, impulsi, udari, eksplozije,zemljotresi

Vrste dinamičkog opterećenja: stohastičko (slučajno) determinističko (poznato) periodično, ne-periodično kontinualno, tranzijentno

Stohastičko dinamičko opterećenje: zemljotres, vjetar, saobraćaj, transport,talasi ...

24-OSCILACIJESlobodne oscilacije:

Prigušene oscilacije

10



Prisilne oscilacije – REZONANCA

25-Komercijalni FEM programi za dinamičku analizu:Abaqus, Adina (K.J. Bathe, MIT), Algor, Ansys, Cosmos (SolidWorks), FEMAP,IDEAS, LS-Dyna, Lusas, Marc , Nastran (NASA)26-VRSTE DINAMIČKE ANALIZE Modalna (analiza sopstvenih frekvencija i modalnih oblika, linearna, bezprigušenja) Harmonijska analiza (stacionarni odziv na harmoničku pobudu. Vrši se zaniz frekvencija i prikazuje u obliku grafa pomak-frekvencija. ) Tranzijentna analiza (analizira odziv konstrukcije na poznatu vremenskupromjenueksternog opterećenja: explicitna integracija CDM, implicitna integracija

Newmark). Slučajni odziv (stohastički princip, odziv na slučajnu dinamičku pobudu, npr.zemljotres)

27-Prednosti MKE u dinamici visoka tačnost određivanja EV efikasno numeričko modeliranje, mogućnost modeliranja kompleksnih oblika konstrukcije

11



modeliranje složenih materijala i opterećenja

28-Greške u primjeni MKE u dinamici greške uslijed vremenske i prostorne diskretizacije greške aproksimacije uslijed diskretnih interpolacijskih f-ja

greška primjene koncentrisane mase u odnosu na konzistentnu greške implementacije u softveru

29-Osnovni koraci dinamičke MKE analize: definisanje (modeliranje) domene Izbor elementa, unos materijalnih k-ka Diskretizacija domene Izbor tipa dinamičke analize Formiranje matrica elemenata (Me, Ce, Ke) Formiranje (sastavljenje, slaganje) sistemskih matrica M, C, K

Uvođenje BC Izbor izlaznih veličina Rješavanje sistema L J – SOLVER Postprocesiranje rezultata Analiza rezultata

30-Osnovni solveri: CDM, Newmark ODNOS EKSPLICITNE iIMPLICITNE METODE: Vrijeme potrebno za analizu kod eksplicitne analize raste linearno sapovećanjem broja DOF. Kod implicitne analize porast vremena sapovećanjem DOF je izrazitiji. Stoga je eksplicitna analiza pogodnija za

probleme sa većim brojem DOF. Eksplicitni metod je efikasniji kod sudarnih/udarnih aplikacija tj. Kodkontaktnih problema kao i kod problema propagacije talasa. Implicitna metoda je stabilnija i efikasnija u analizama pri umjerenom brojuDOF i umjerenim brzinama promjene opterećenja.

12

Documents

Druga Parcijala - Modeliranje i Simulacija II