-
DODATAK UDŽBENIKU ZA 7. RAZRED
DEVETOGODIŠNJE ŠKOLE SUSTAVA KATOLIČKIH
ŠKOLA ZA EUROPU
Izrada: Dalila Ljevo
Lektorisala: Ivana Mostarac
Tehnička obrada: Edin Tabak
-
Sadržaj CIJELI BROJEVI
.............................................................................................................................4
Svojstva zbrajanja cijelih brojeva
.................................................................................................4
RACIONALNI BROJEVI
...............................................................................................................7
Decimalni zapis racionalnog broja
...............................................................................................7
Svojstva zbrajanja racionalnih brojeva
.......................................................................................11
Svojstva množenja racionalnih brojeva
.....................................................................................15
KUT I TROKUT
............................................................................................................................19
Ponavljanje pojma kuta. Jednakost kutova
.................................................................................19
Podudarnost trokuta. Četvrti poučak o sukladnosti trokuta.
.......................................................26
Primjena pravila sukladnosti kod pravokutnog i jednakokrakog
trokuta ...................................27
Centar opisane i upisane kružnice trokuta
..................................................................................30
Težište i ortocentar trokuta
.........................................................................................................33
Značajne točke trokuta
.............................................................................................................37
Središnji i obodni kut kruga
.......................................................................................................39
Uzajamni položaj pravca i kružnice. Konstrukcija tangente
kružnice. ......................................44
Uzajamni položaj dvije kružnice
................................................................................................47
ČETVEROKUT
.............................................................................................................................51
Konstrukcije paralelograma
........................................................................................................51
Konstrukcija trapeza
...................................................................................................................58
Deltoid. Svojstva deltoida.
.........................................................................................................63
Konstrukcija
deltoida..................................................................................................................67
Opseg trokuta i četverokuta
........................................................................................................70
POVRŠINA ČETVEROKUTA
......................................................................................................77
Površina četverokuta s okomitim dijagonalama
.........................................................................77
Površina proizvoljnog konveksnog četverokuta
.........................................................................79
-
Svojstva zbrajanja cijelih brojeva
4
CIJELI BROJEVI
Svojstva zbrajanja cijelih brojeva
Svojstva zbrajanja u skupu N0 vrijede i u skupu Z.
Provjerimo.
Pr. 1. Zbrojimo −2 i +1; 101 i −20.
−2 + 1 = −1
101 + (−20) = 81
Pribrojnici i zbroj su cijeli brojevi.
Vrijedi svojstvo ZATVORENOSTI skupa Z u odnosu na zbrajanje.
Za svaka dva cijela broja 𝑎 𝑖 𝑏 vrijedi:
𝒂 + 𝒃 ∈ 𝒁
Pr. 2. Provjerit ćemo vrijedi li svojstvo komutativnosti.
−7 + (−21) = −(7 + 21) = −28
Zamijenimo mjesta pribrojnicima.
−21 + (−7) = −(21 + 7) = −28
Zbroj dva cijela broja se ne mijenja ako pribrojnicima
zamijenimo mjesta. Vrijedi
svojstvo KOMUTATIVNOSTI za zbrajanje u skupu Z.
Za svaka dva cijela broja 𝑎 𝑖 𝑏 vrijedi jednakost:
𝒂 + 𝒃 = 𝒃 + 𝒂.
Pr. 3. Izračunat ćemo zbroj 8 + (−10) + (−3) grupirajući
pribrojnike.
(8 + (−10)) + (−3) = −2 + (−3) = −5
8 + (−10 + (−3)) = 8 + (−13) = −5
Zbroj tri ili više cijelih brojeva se ne mijenja ako pribrojnike
grupiramo tako da dva ili
više pribrojnika zamijenimo njihovim zbrojem. Vrijedi svojstvo
ASOCIJATIVNOSTI
za zbrajanje u skupu Z.
Za bilo koje cijele brojeve 𝑎, 𝑏, 𝑐 vrijedi jednakost: (𝒂 + 𝒃) +
𝒄 = 𝒂 + (𝒃 + 𝒄)
-
Svojstva zbrajanja cijelih brojeva
5
Pr. 4. Zbrojimo −3 i 0, te 0 i −3.
−3 + 0 = 0 + (−3) = −3
Za operaciju zbrajanje u skupu Z, broj 0 je NEUTRALNI
ELEMENT.
Za svaki broj 𝑎 vrijedi: 𝒂 + 𝟎 = 𝟎 + 𝒂 = 𝒂
Pr. 5. Već smo naučili da je zbroj dva suprotna broja jednak
nuli.
15 + (−15) = 0
−15 + 15 = 0
Za svaki cijeli broj 𝑎 vrijedi: 𝒂 + (−𝒂) = −𝒂 + 𝒂 = 𝟎
Za svako 𝑎 ∈ 𝑍, postoji −𝑎 ∈ 𝑍, tako da je 𝒂 + (−𝒂) = 𝟎.
Pr. 6. Primjenjujući svojstva komutativnosti i asocijativnosti,
odredit ćemo vrijednost
zbroja:
a) −17 + 5 + 9 + 17 =
−17 + 5 + 17 + 9 = (𝑘𝑜𝑚𝑢𝑡𝑎𝑡𝑖𝑣𝑛𝑜𝑠𝑡)
−17 + 17 + 5 + 9 = (𝑘𝑜𝑚𝑢𝑡𝑎𝑡𝑖𝑣𝑛𝑜𝑠𝑡)
(−17 + 17) + 5 + 9 = (𝑎𝑠𝑜𝑐𝑖𝑗𝑎𝑡𝑖𝑣𝑛𝑜𝑠𝑡)
0 + 5 + 9 = (𝑧𝑏𝑟𝑜𝑗 𝑠𝑢𝑝𝑟𝑜𝑡𝑛𝑖ℎ 𝑏𝑟𝑜𝑗𝑒𝑣𝑎)
= 14
𝑏) 3 + (−2) + (+5) + (−1) =
3 + (+5) + (−2) + (−1) = (𝑘𝑜𝑚𝑢𝑡𝑎𝑡𝑖𝑣𝑛𝑜𝑠𝑡)
(3 + 5) + (−2 + (−1)) =
(𝑎𝑠𝑜𝑐𝑖𝑗𝑎𝑡𝑖𝑣𝑛𝑜𝑠𝑡, 𝑔𝑟𝑢𝑝𝑖𝑟𝑎𝑚𝑜 𝑝𝑜𝑧𝑖𝑡𝑖𝑣𝑛𝑒 𝑝𝑟𝑖𝑏𝑟𝑜𝑗𝑛𝑖𝑘𝑒 𝑠𝑎
𝑝𝑜𝑧𝑖𝑡𝑖𝑣𝑛𝑖𝑚
𝑎 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑛𝑒 𝑠𝑎 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑛𝑖𝑚)
8 + (−3) = 5
-
Svojstva zbrajanja cijelih brojeva
6
Zadaci za vježbu:
1. Ne izvodeći zbrajanje, umjesto zvjezdice (*) staviti
odgovarajući broj, tako da
bude točna jednakost.
a) −9 + (−6) = −6 +∗
b) ∗ +(−3) = −3 + 13
c) 5 + (−31) =∗ +5
d) −301 + (−503) = −503 +∗
2. Bez izračunavanja odrediti nepoznati broj.
a) 7 + (−10 + 9) = (7 + 𝑥) + 9
b) (𝑥 + (−13)) + 19 = 28 + ((−13) + 19)
3. Provjeriti je li (𝑎 + 𝑏) + 𝑐 = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐) ako je:
a) 𝑎 = −10, 𝑏 = 4, 𝑐 = 6
b) 𝑎 = 17, 𝑏 = −2, 𝑐 = 13
c) 𝑎 = 7, 𝑏 = 3, 𝑐 = −9
d) 𝑎 = −15, 𝑏 = 8, 𝑐 = −5
4. Izračunati zbroj svih cijelih brojeva koji se nalaze između
−6 i 8.
5. Koristeći svojstva zbrajanja, izračunati vrijednost
izraza:
a) 24 + (−19) + (−24) =
b) −61 + 17 + 61 + (−17) =
c) −71 + 39 + 11 + (−29) =
d) 33 + 15 + 28 + (−33) + (−15) =
e) −156 + 188 + (−78) + 156 =
f) 15 + (−11) + 25 + (−38) + (−9) + 39 + (−21) =
-
Decimalni zapis racionalnog broja
7
RACIONALNI BROJEVI
Decimalni zapis racionalnog broja
Ponovimo prvo decimalni zapis razlomka.
Pr. 1. Napisati u decimalnom zapisu razlomke:
a) 34
1000= 0,034 (decimalni broj ima 3 decimale, jer dekadska
jedinica u nazivniku
ima 3 nule)
b) 523
100= 5,23 (decimalni broj ima 2 decimale, jer dekadska jedinica
ima dvije nule)
c) 3
2=
3∙5
2∙5=
15
10= 1,5 (proširivanjem prevedemo u decimalni razlomak, a
zatim
izrazimo u decimalnom zapisu)
d) 34
20=
34:2
20:2=
17
10= 1,7 (skraćivanjem prevedemo u decimalni razlomak, a
zatim
izrazimo u decimalnom zapisu).
Pr. 2. Date razlomke ćemo dijeljenjem prevesti u decimalni zapis
i zaokružiti ih na dvije
decimale.
a) 5
7= 5: 7 = 0,71428571 … ≈ 0,71
50
10
30
20
60
40
50
10
.
.
b) 5
16= 5: 16 = 0,3125 ≈ 0,31
50
20
40
80
0
-
Decimalni zapis racionalnog broja
8
Pr. 3. Prevesti decimalni zapis razlomka s konačnim brojem
decimala na oblik razlomka:
a) 0,32 = 32
100=
8
25
b) 1,123 = 1123
1000
c) 0,520 = 520
1000=
52
100=
13
25
d) 3,35 = 335
100=
67
50
Pr. 4. Zapisat ćemo racionalne brojeve u obliku decimalnog
zapisa. Koristit ćemo poznati
postupak i voditi računa o predznaku pri dijeljenju brojnika
nazivnikom.
a) −3
10= −0,3
b) −27
100= −0,27
c) 1589
1000= 1,589
d) 232
−100= −2,32
e) 216
50=
216∙2
50∙2=
432
100= 4,32
f) −7
2= −
7∙5
2∙5= −
32
10= −3,2
g) −3
8= −
3∙125
8∙125= −
375
1000= −0,375.
Svaki racionalan broj može se može predstaviti decimalnim
zapisom pomoću
decimalnog zapisa razlomka.
-
Decimalni zapis racionalnog broja
9
Pr. 5. Prikazat ćemo u decimalnom zapisu racionalne brojeve i
zaokružiti na dvije
decimale.
a) −9
16= −9: 16 = −0,5625 ≈ −0,56
b) −3
11= −3: 11 = −0,272727 … ≈ −0,27
Pr. 6. Napisat ćemo u obliku 𝑎
𝑏 (𝑎𝜖𝑍, 𝑏𝜖𝑁) racionalne brojeve:
−0,09; −2,0077; 1.13; −0,15.
−0,09 = −9
100 (Za brojnik uzmemo dati racionalni broj bez zareza, a za
nazivnik
dekadsku jedinicu sa onoliko nula koliko ima decimala dani
racionalni broj. Vodimo
računa o predznaku).
−2,0077 = −20077
10000
1,13 =113
100
−0,15 = −15
100= −
3
20.
0, 6̇3̇
Pr. 7. Može li se svaki decimalni periodični broj predstaviti u
obliku racionalnog broja?
𝑥 = 0,6363 … ./∙ 100
100𝑥 = 63,6363 …
100𝑥 = 63 + 𝑥
100𝑥 − 𝑥 = 63
99𝑥 = 63
𝑥 =63
99=
7
11
Razlomak je nesvodiv ako brojnik i nazivnik nemaju zajedničkih
djelitelja različitih od
+1 i -1. Jedini prosti faktori u nazivniku nesvodivog razlomka
čiji je decimalni zapis
konačan su 2 ili 5. Među prostim faktorima nazivnika u
nesvodivom razlomku čiji je
decimalni zapis beskonačan periodični, imamo i faktore različite
od 2 i 5.
-
Decimalni zapis racionalnog broja
10
Pr. 8. Periodični decimalni broj napisat ćemo u obliku
razlomka.
−5, 7̇ = −(5 + 0,7777 … )
Neka je 𝑥 = 0,7777 …/∙ 10
10𝑥 = 7 + 0,7777 …
10𝑥 = 7 + 𝑥
9𝑥 = 7
𝑥 =7
9
Imamo: −5,7 = − (5 +7
9) = −5
7
9= −
52
9
Zadaci za vježbu:
1. Prevesti racionalne brojeve u decimalni zapis:
a) −37
10 ; 2
3
10 ; −
17
10000 ;
432
100
b) −12
25 ;
137
50; −
1
250 ; 5
3
20
c) −6
15 ; −
17
4 ; 12
3
20 ; −6
8
20
2. Brojeve: −5
6,
59
3, −
3
14,
11
28 napisati u decimalnom zapisu i zaokružiti na dvije
decimale.
3. Napisati u obliku nesvodivog razlomka:
a) 4,25 b) −1,2 c) −2,24 d) −0,00025 e) 4,125 f) −0,095
4. Prevesti racionalne brojeve u decimalni zapis:
a) −17
4 𝑏) − 3
7
9 𝑐) −
1
250
5. Koji od datih racionalnih brojeva imaju decimalni zapis s
konačnim brojem
decimala? Takve racionalne brojeve prevesti u decimalni
zapis.
a) 3
6 𝑏) −
3
4 𝑐) −
171
80 𝑑) 1
5
15 𝑒) −
173
250 𝑓) −
53
60 𝑔)
95
48 ℎ) −
275
160
-
Svojstva zbrajanja racionalnih brojeva
11
Svojstva zbrajanja racionalnih brojeva
Ponovimo svojstva zbrajanja cijelih brojeva:
Primjenjujući svojstva zbrajanja cijelih brojeva lakše je
izvoditi računske operacije.
Pokazat ćemo na primjerima da svojstva zbrajanja vrijede i u
skupu Q.
Za svako 𝒂, 𝒃𝝐𝒁: 𝒂 + 𝒃𝝐𝒁
Za svako 𝒂, 𝒃𝝐𝒁: 𝒂 + 𝒃 = 𝒃 + 𝒂
Za svako 𝒂, 𝒃, 𝒄𝝐𝒁: 𝒂 + (𝒃 + 𝒄) =
(𝒂 + 𝒃) + 𝒄
Za svako 𝒂𝝐𝒁: 𝒂 + 𝟎 = 𝟎 + 𝒂 = 𝒂
Za svako 𝒂𝝐𝒁: 𝒂 + (−𝒂) = (−𝒂) + 𝒂 =
𝟎
Znamo i pravilo zagrade:
+(𝒂 + 𝒃) = 𝒂 + 𝒃
−(𝒂 + 𝒃) = −𝒂 − 𝒃
−(−𝒂) = 𝒂
U izrazima s više pozitivnih i negativnih pribrojnika,
primjenjujući svojstva
komutativnosti i asocijativnosti, možemo zbrojiti najprije sve
pozitivne, zatim sve
negativne pribrojke i na kraju zbrojiti dva dobivena pribrojka
(jedan pozitivan,
jedan negativan).
-
Svojstva zbrajanja racionalnih brojeva
12
Pr. 1. Izračunajmo na dva načina:
a) −1
2+
3
4+ (−1
1
2) =
−1
2+ (−1
1
2) +
3
4= Komutativnost
(−1
2+ (−1
1
2)) +
3
4= Asocijativnost
− (1
2+ 1
1
2) +
3
4=
−2 +3
4= −
8
4+
3
4=
−𝟓
𝟒 ; ili
−1
2+
3
4+ (−1
1
2) =
(−1
2+
3
4) + (−1
1
2) = Asocijativnost
(−2
4+
3
4) + (−1
1
2) =
1
4+ (−
3
2) =
1+(−6)
4=
−𝟓
𝟒
b) 12,1 + (−5,9) + (−0,1) = 12,1 + (−5,9 + (−0,1))=
Asocijativnost
12,1 + (−6) = 𝟔, 𝟏;
ili
12,1 + (−5,9) + (−0,1) =
12,1 + (−0,1) + (−5,9) = Komutativnost
(12,1 + (−0,1)) + (−5,9) = Asocijativnost
12 + (−5,9) = 𝟔, 𝟏
-
Svojstva zbrajanja racionalnih brojeva
13
Pokazali smo da u skupu Q vrijede svojstva komutativnosti,
asocijativnosti i svojstvo
zatvorenosti za zbrajanje racionalnih brojeva.
Pr. 2. Izračunajmo:
a) −21
5+ 0 = −2
1
5 Svojstvo nule (nula je neutralan element u skupu Q).
b) 4,25 + (−4,25) = 4,25 − 4,25 = 0 Svojstvo suprotnog broja
(zbroj dva suprotna racionalna broja jednak je nuli).
Pr. 3. Izračunajmo koristeći svojstva zbrajanja racionalnih
brojeva.
31
3− 2
1
2+ 2 + 2
2
3− 2 − 3
1
2=
(31
3+ 2
2
3) + ((−2
1
2) + (−3
1
2)) + (2 + (−2))=
6 + (−6) + 0 = 0
Zadaci za vježbu:
1. Tablicu precrtati u bilježnicu i popuniti je:
𝑎 𝑏 𝑐 𝑎 + 𝑏 (𝑎 + 𝑏) + 𝑐 𝑏 + 𝑐 𝑎 + (𝑏 + 𝑐) 3
5
2,4 1,5
−1,2 −4 −
1
4
−5,75 1
4
−3,25
−1
8
−0,005 2,3
−3,8 −0,2 3
4
2. Koristeći se svojstvom komutativnosti i asocijativnosti,
pogodnim grupiranjem
olakšati postupak računanja:
a) 21
4− 2
1
8+ 3
1
4−
5
8=
b) −2,893 + 4,73 − 8,107 − 1,73 =
-
Svojstva zbrajanja racionalnih brojeva
14
c) 1
2+ (−2
1
5) + (−1
1
2) +
3
5=
d) 22
3+ 1,5 + (−4
11
15) + 3,5 =
3. Primjenjujući osnovna svojstva zbrajanja racionalnih brojeva,
dopuniti jednakosti
tako da budu točne:
a) 10
7+ ______ = 0
b) −9
16+ (−1
3
5) = −
8
5+_____
c) 9
8−
2
3= ______ +
9
8
d) 2 − ______ = −32
5+ 2
e) −11
9+ (−3
4
5+
2
3) = −3
4
5− ______ +
2
3
4. Izračunati:
a) −7
8+
2
7+
7
8=
b) 51
2+ 81,8 + 4
1
2=
c) −137,453 + (−72) + 137,453 =
d) −2
15+ (−
3
8) + (−
13
15) =
e) 242
3+ (30,82 + 2
1
3) =
5. Osloboditi se zagrada i izračunati primjenom komutativnosti i
asocijativnosti:
a) −2515
23− (−10 + 2
8
23) =
b) (122
3+ 20) − (20,32 − 2
1
3) =
-
Svojstva množenja racionalnih brojeva
15
Svojstva množenja racionalnih brojeva
Množenje u skupu Q zadržava svojstva koja smo ranije upoznali, u
skupovima N, Q+ i Z,
podskupovima skupa Q.
Pr. 1. Pomnožimo racionalne brojeve:
a) 3
4∙ (−
7
11) = −
3∙7
4∙11= −
21
44, uočavamo:
3
4, −
7
11∈ 𝑄 𝑖 −
21
44∈ 𝑄
b) −1,5 ∙ (−0,5) = 0,75, uočavamo: −1,5; −0,5 ∈ 𝑄 𝑖 0,75 ∈ 𝑄
Produkt dva racionalna broja je racionalan broj. Operacija
množenje je
ZATVORENA u skupu Q. Za svaka dva racionalna broja 𝒂
𝒃 i
𝒄
𝒅 vrijedi:
𝒂
𝒃∙
𝒄
𝒅∈ 𝑸.
Pr. 2. Provjerimo točnost jednakosti:
−25
8∙
4
3=
4
3∙ (−2
5
8).
Izračunamo lijevu stranu jednakosti −25
8∙
4
3= −
21
8∙
4
3= −
7
2= −3
1
2.
Izračunamo desnu stranu jednakosti 4
3∙ (−2
5
8) =
4
3∙ (
−21
8) = −
7
2= −3
1
2.
Jednakost je točna, pa zaključujemo da se produkt ne mijenja ako
faktorima
zamijenimo mjesta.
Operacija množenje je komutativna u skupu Q.
Za svaka dva racionalna broja 𝒂
𝒃 𝒊
𝒄
𝒅 vrijedi:
𝒂
𝒃∙
𝒄
𝒅=
𝒄
𝒅∙
𝒂
𝒃
Pr. 3. Izračunajmo produkt 7
9∙ (−
3
5) ∙
5
3 na dva načina:
7
9∙ (−
3
5) ∙
5
3=
7
9∙ (−
3
5∙
5
3) =
7
9∙ (−1) = −
7
9 ili
7
9∙ (−
3
5) ∙
5
3= (
7
9∙ (−
3
5)) ∙
5
3= −
7∙3
9∙5∙
5
3= −
7
9
-
Svojstva množenja racionalnih brojeva
16
Uočavamo: Produkt više racionalnih brojeva se ne mijenja ako dva
(ili više) faktora
zamijenimo njihovim produktima.
Operacija množenja je asocijativna u skupu Q, tj. za svaka tri
racionalna broja 𝒂
𝒃,
𝒄
𝒅,
𝒆
𝒇 vrijedi:
𝒂
𝒃∙ (
𝒄
𝒅∙
𝒆
𝒇) = (
𝒂
𝒃∙
𝒄
𝒅) ∙
𝒆
𝒇
Pr. 4. Izračunat ćemo na dva načina:
3
10∙ (−
2
5+ 0,4) =
3
10∙ (−
2
5+
4
10) =
3
10∙ (−
2
5+
2
5) =
3
10∙ 0 = 0
Ili
3
10∙ (−
2
5) +
3
10∙
4
10= −
6
50+
6
50= 0
Zbroj racionalnih brojeva možemo pomnožiti racionalnim brojem
tako da
pomnožimo svaki pribrojnik racionalnim brojem posebno, a zatim
djelomične
produkte zbrojimo.
Vrijedi svojstvo distributivnosti množenja prema zbrajanju
racionalnih brojeva.
Za svaka tri racionalna broja 𝒂
𝒃,
𝒄
𝒅 𝒊
𝒆
𝒇 vrijedi (
𝒂
𝒃+
𝒄
𝒅) ∙
𝒆
𝒇=
𝒂
𝒃∙
𝒆
𝒇+
𝒄
𝒅∙
𝒆
𝒇
Vrijedi svojstvo distributivnosti množenja i prema oduzimanju
racionalnih brojeva.
Za svaka tri racionalna broja 𝒂
𝒃,
𝒄
𝒅 𝒊
𝒆
𝒇 vrijedi (
𝒂
𝒃−
𝒄
𝒅) ∙
𝒆
𝒇=
𝒂
𝒃∙
𝒆
𝒇−
𝒄
𝒅∙
𝒆
𝒇
Pr. 5. Koristimo svojstvo distributivnosti:
−53
17∙ 4
1
3+ 2
14
17∙ (−4
1
3) =
−53
17∙ 4
1
3− 2
14
17∙ 4
1
3=
(−53
17− 2
14
17) ∙ 4
1
3=
−8 ∙13
3= −
104
3= −34
2
3
-
Svojstva množenja racionalnih brojeva
17
Pr. 6. Izračunati:
a) −4
15∙ 1 = −
4
15
b) 1 ∙ 3,15 = 3,15.
Broj 1 je neutralan za operaciju množenja u skupu Q.
Za svaki racionalan broj 𝒂
𝒃 vrijedi
𝒂
𝒃∙ 𝟏 = 𝟏 ∙
𝒂
𝒃=
𝒂
𝒃
Pr. 7. Izračunati:
a) 5∙1
5=
5
5= 1
b) −4 ∙ (−1
4) =
4
4= 1
c) −7
8∙ (−
8
7) =
56
56= 1
Dva racionalna broja su uzajamno recipročna ako je njihov
produkt jednak 1.
Za svaki racionalan broj 𝒂
𝒃, osim broja 0, postoji samo jedan njemu recipročan
racionalan broj 𝒃
𝒂, takav da vrijedi:
𝒂
𝒃∙
𝒃
𝒂= 𝟏.
Pr. 8. Izračunajmo:
a) 1
2∙ (−1) = −
1
2
b) −1 ∙ (−5
6) =
5
6
c) −1 ∙ 1,2 = −1,2
Produkt racionalnog broja i broja -1 je racionalan broj suprotan
danom
racionalnom broju.
Za svaki racionalan broj 𝒂
𝒃 vrijedi:
𝒂
𝒃∙ (−𝟏) = −
𝒂
𝒃.
Pr. 9.
a) −3,7 ∙ 0 = 0
b) 0 ∙4
9= 0
c) 0 ∙ 0 = 0
d) −13
5∙ (−5) ∙ 0 ∙ 1,8 ∙ (−
3
10) = 0
-
Svojstva množenja racionalnih brojeva
18
Ako je bar jedan od faktora jednak nuli, tada je produkt jednak
nuli. Za svaki
racionalan broj 𝒂
𝒃 vrijedi
𝒂
𝒃∙ 𝟎 = 𝟎 ∙
𝒂
𝒃= 𝟎.
Zadaci za vježbanje:
1. Provjeri jesu li točne jednakosti:
a) −2
3∙
1
2=
1
2∙ (−
2
3)
b) (2,5 ∙ (−11
4)) ∙ 0,8 = 2,5 ∙ (−1
1
4∙ 8)
c) (22
5− 4) ∙
5
12=
12
5∙
5
12− 4 ∙
5
12
2. Primjenom svojstva komutativnosti, asocijativnosti i
distributivnosti, izračunati:
a) 3
7∙ (−4) ∙ 1
5
9=
b) −8,24 ∙ (−10) ∙ (−0,1) =
c) −11
4∙ 6 ∙
4
15=
d) −99
100∙
3
8∙ (−
16
77) =
e) 8
13∙ (−
4
9) ∙
39
40∙ (−
27
20) =
f) −0,25 ∙2
5+
3
5∙ (−0,25) =
3. Izračunati na dva načina:
a) (−1
2+
3
4) ∙ 10 =
b) (−0,1 + 0,2) ∙ (−0,3) =
c) 11
2∙ (
2
3− 1) =
4. Koristeći svojstva množenja u skupu Q, usmeno izračunaj
produkt:
a) −2 ∙ 0,85 ∙ (−0,5) =
b) 9
4∙ (−1
1
3) ∙ (−
4
9) =
c) 0,01 ∙ (−6,6) ∙ 100 =
5. Pojednostavi izraz: −5
8𝑎 +
3
4𝑎 + 1
1
8𝑎, pa izračunaj njegovu brojevnu vrijednost
ako je 𝑎 = −4
5.
-
Ponavljanje pojma kuta. Jednakost kutova
19
KUT I TROKUT
Ponavljanje pojma kuta. Jednakost kutova
Sjetimo se pojmova koje smo naučili u šestom razredu. Nacrtajmo
dva polupravca Ox i
Oy koje imaju zajedničku točku O, a ne pripradaju istom pravcu.
One uvijek određuju
dva kuta od kojih je jedan konveksan (ispupčen), (na sl.1.kut
𝛼), a drugi nekonveksan
(konkavan, udubljen), (na sl.1 kut β).
Slika 1.
Kut je dio ravnine ograničen dvama polupravcima sa zajedničkom
početnom točkom,
uključujući i te polupravce koji su kraci kuta, a zajednička
početna točka je vrh ili tjeme
kuta.
Dva polupravca sa zajedničkom točkom dijele ravninu na dva
dijela; jedan dio je
unutrašnja oblast, a drugi vanjska oblast kuta. Kraci kuta ne
pripadaju ni unutrašnjoj ni
vanjskoj oblasti kuta.
Kut smo definirali kao uniju dva polupravca sa zajedničkom
točkom i jedne od oblasti
određene tim polupravcima. Kut je veličina koja se može
uspoređivati. Kutovi mogu biti
jednaki ili nejednaki. Uspoređivali smo kutove po veličini i
konstruirali jednake kutove
koristeći svojstva o odnosu centralnih kutova i pripadnih tetiva
i lukova.
-
Ponavljanje pojma kuta. Jednakost kutova
20
Slika 2.
Nacrtajmo kružnice k (O,r) i k1 (S,r) jednakih polumjera (slika
2.). Kutovi α i β su
jednaki, jer je 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ , (𝐴�̂� = 𝐶�̂�). Kut γ je
jednak kutovima α i β, jer je 𝐸𝐹̅̅ ̅̅ = 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ =
𝐶𝐷̅̅ ̅̅ . Ako bismo zarotirali kut α oko točke O, dok se ne
poklopi kraj OA sa krakom OC,
poklopili bi se i kraci OB i OD, tetive 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ i 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ i
lukovi 𝐴�̂� i 𝐶�̂� i oblasti kutova α i β.
Pomjeranjem bismo mogli dovesti do potpunog poklapanja i kutove
γ i α, kao i kutove γ i
β.
Pr. 1. Konstruirat ćemo kut jednak zadanom kutu (kažemo da kut
prenosimo u ravninu
papira na drugo mjesto).
Slika 3.
Sjetimo se kako smo vršili konstrukcije. Neka je zadan ∢𝑎𝑂𝑏
(slika 3.)
1. Izaberemo točku u ravnini (O1), gdje će biti vrh novoga kuta
i povučemo
polupravac O1a1.
-
Ponavljanje pojma kuta. Jednakost kutova
21
2. Opišemo luk l sa centrom u točki O i luk l1 sa centrom u
točki O1 istim otvorom
šestara (lukovi su dijelovi kružnica istih polumjera). Presjek
luka l i krakova kuta
∢𝑎𝑂𝑏 su točke A i B ( Oa∩ 𝑙 = {𝐴}, 𝑂𝑏 ∩ 𝑙 = {𝐵}). Dobili smo
tetivu 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ .
3. Uzmemo u otvor šestara dužinu tetive 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ i iz točke A1 (
𝑙1 ∩ 𝑂1𝑎1 = {𝐴1}),
odredimo točku B1 na luku l1, tj. odredimo tetivu 𝐴1𝐵1̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅
= 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , odnosno luk
𝐴1𝐵1̂ = 𝐴�̂�.
4. Povučemo polupravac O1B1 i dobijemo kut ∢𝐴1𝑂1𝐵1, tj. ∢𝑎1𝑂1𝑏1
= ∢𝑎𝑂𝑏.
Kutove koji nisu međusobno jednaki uspoređujemo koristeći
svojstvo o odnosu
centralnih kutova i pripadnih tetiva i kružnih lukova.
Pr.2. Usporedimo kutove ∢𝑎𝑂𝑏 i ∢𝑐𝑂𝑑 (slika 4.)
Prenesemo zadane kutove tako da im se poklope tjeme i po jedan
krak. Manji je onaj kut
čiji drugi krak leži u unutrašnjoj oblasti drugog (većeg)
kuta.
Slika 4. ∢𝑎𝑂𝑏 > ∢𝑐𝑂𝑑
Upoznali smo i neke relacije između dva kuta.
Većem centralnom kutu odgovara veća tetiva i veći kružni
luk.
-
Ponavljanje pojma kuta. Jednakost kutova
22
Slika 5. Susjedni kutovi ∢𝑎𝑂𝑏 i ∢𝑏𝑂𝑐.
Prisjetimo se:
Susjedni kutovi su dva kuta sa zajedničkim tjemenom i
zajedničkim krakom čije su
unutrašnje oblasti sa raznih strana zajedničkog kraka (slika
5.)
Usporedni kutovi su dva susjedna kuta čiji je zbroj ispruženi
kut.
Slika 6. Usporedni kutovi ∢𝑥𝑂𝑦 i ∢𝑦𝑂𝑧
Unakrsni kutovi su dva nesusjedna konveksna kuta koja su
određena dvama pravcima
koji se sijeku (imaju zajedničko tjeme, njihovi kraci pripadaju,
po jedan, svakoj od ovih
pravaca). Unakrsni kutovi su jednaki. Na slici 7. unakrsni
kutovi su α i β, α=β i drugi par
unakrsnih kutova δ i γ, γ=δ.
-
Ponavljanje pojma kuta. Jednakost kutova
23
Slika 7. Unakrsni kutovi α = β i γ = δ
Komplementi su dva kuta ako je njihov zbroj jednak pravom kutu,
tj. ako je njihov zbroj
900.
Suplementi su dva kuta ako je njihov zbroj jednak ispruženom
kutu, tj. ako je njihov
zbroj 1800.
Upoznali smo i sve vrste kutova. Prisjetimo se:
Nula kut je kut kod kojeg se kraci poklapaju, a oblast kuta je
nulti dio ravnine (slika 8.).
Slika 8.
Oštar (šiljasti) kut je konveksan kut manji od pravog kuta
(slika 9.).
Slika 9.
-
Ponavljanje pojma kuta. Jednakost kutova
24
Pravi kut je kut jednak svom usporednom kutu (slika 10.). Svi
pravi kutovi su jednaki.
Slika 10. Pravi kutovi ∢𝑥𝑂𝑦 i ∢𝑦𝑂𝑧
Tupi kut je konveksan kut veći od pravog a manji od ispruženog
kuta (slika 11.).
Slika 11. Tupi kut ∢𝑥𝑂𝑦
Ispruženi kut je kut čiji kraci pripadaju istom pravcu i ne
poklapaju se. Oblast
ispruženog kuta je poluravnina. Svi ispruženi kutovi su jednaki
(slika 12.).
Slika 12. Ispruženi kut ∢𝑥𝑂𝑦
Nekonveksni (konkavni) kut je kut koji je veći od ispruženog, a
manji od punog kuta
(slika 13.).
-
Ponavljanje pojma kuta. Jednakost kutova
25
Slika 13. Nekonveksni kut ∢𝑥𝑂𝑦
Puni kut je kut čiji se kraci poklapaju, a oblast kuta je cijela
ravan (slika 14.).
Slika 14. Puni kut ∢𝑥𝑂𝑦
U šestom razredu smo naučili grafički zbrajati i oduzimati
kutove, naučili smo da je kut
veličina koja se može mjeriti i računati mjernim brojevima za
kutove. Ponovite i ta
pravila kako biste uspješno riješili zadatke za vježbu.
Zadaci za vježbu:
1. Nacrtati dva jednaka centralna kuta kružnice. Grafički
zbrojiti te kutove.
2. Nacrtati dva oštra (šiljasta) kuta, pa ih usporediti po
veličini. Grafički oduzeti
manji od većeg kuta.
3. Nacrtati dva jednaka usporedna kuta.
4. Nacrtati kut α i točku M van oblasti ovog kuta, a zatim
konstruirati kut β s
tjemenom u točki M tako da je jednak kutu α. Na osnovu kojeg
svojstva
centralnih kutova tvrdimo da su kutovi α i β jednaki?
5. Nacrtati tupi kut α, a zatim njegov unakrsni kut β.
Usporediti kutove α i β.
-
Podudarnost trokuta. Četvrti poučak o sukladnosti trokuta.
26
Podudarnost trokuta. Četvrti poučak o sukladnosti trokuta.
Četvrti poučak o sukladnosti trokuta
Dva trokuta su sukladna ako su dvije stranice i kut nasuprot
veće od njih jednog trokuta,
jednaki s odgovarajućim elementima drugog trokuta.
Ovo skraćeno pravilo označavamo sa SSK (stranica – stranica –
kut).
Slika 15.
Pokažimo da vrijedi ovo pravilo:
Neka je u ∆𝐴𝐵𝐶: b
-
Primjena pravila sukladnosti kod pravokutnog i jednakokrakog
trokuta
27
Primjena pravila sukladnosti kod pravokutnog i jednakokrakog
trokuta
Neke posebne vrste trokuta, kao što su pravokutni i jednakokraki
trokut, ne zahtijevaju
utvrđivanje jednakosti tri odgovarajuća elementa za dokazivanje
sukladnosti. Broj
potrebnih elemenata za dokazivanje sukladnosti smanjuje se na
dva.
Pr. 1. Dva pravokutna trokuta su sukladna ako imaju jednake
katete. Dokažimo ovu
tvrdnju.
Na slici su nacrtani pravokutni trokuti ∆𝐴𝐵𝐶 i ∆𝐴1𝐵1𝐶1, kod
kojih su pravi kutovi u
tjemenima C i C1 i 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ = 𝐵1𝐶1̅̅ ̅̅ ̅̅ , 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ = 𝐴1𝐶1̅̅ ̅̅
̅̅ .
𝑎 = 𝑎1𝑏 = 𝑏1
∢𝐶 = ∢𝐶1
} 𝑆𝐾𝑆⇒
∆𝐴𝐵𝐶 ≅ ∆𝐴1𝐵1𝐶1
Pr. 2. Dokažimo da su dva pravokutna trokuta sukladna ako imaju
jednake hipotenuze i
po jednu katetu.
Trokuti ∆𝐴𝐵𝐶 i ∆𝐴1𝐵1𝐶1 imaju prave kutove u tjemenima C i C1 i
neka je 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 𝐴1𝐵1̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ i
𝐵𝐶̅̅ ̅̅ = 𝐵1𝐶1̅̅ ̅̅ ̅̅ .
𝑐 = 𝑐1𝑎 = 𝑎1
∢𝐶 = ∢𝐶1} 𝑆𝑆𝐾
⇒ ∆𝐴𝐵𝐶 ≅ ∆𝐴1𝐵1𝐶1
-
Primjena pravila sukladnosti kod pravokutnog i jednakokrakog
trokuta
28
Pr. 3. Dokazati da su dva jednakokračna trokuta sukladna ako
imaju jednake osnovice i
jednake kutove nasuprot osnovice.
Trokuti ∆𝐴𝐵𝐶 i ∆𝐴1𝐵1𝐶1 su jednakokračni i 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 𝐴1𝐵1̅̅ ̅̅ ̅̅
̅ i γ = γ1.
Kako je α + β = 1800 – γ = 1800 – γ1 = α1 + β1 i α = β i α1 =
β1, jer su trokuti
jednakokračni, to je α = α1 i β = β1.
𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 𝐴1𝐵1̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅
𝛼 = 𝛼1𝛽 = 𝛽1
} 𝐾𝑆𝐾⇒
∆𝐴𝐵𝐶 ≅ ∆𝐴1𝐵1𝐶1
Pr. 4. Dokazati da su dva jednakokračna trokuta sukladna ako
imaju jednake osnovice i
po jedan krak.
Trokuti ∆𝐴𝐵𝐶 i ∆𝐴1𝐵1𝐶1 su jednakokračni, pa je 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ = 𝐶𝐵̅̅ ̅̅
𝑖 𝐴1𝐶1̅̅ ̅̅ ̅̅ = 𝐵1𝐶1̅̅ ̅̅ ̅̅ . Prema uvjetu
𝐴𝐶̅̅ ̅̅ = 𝐴1𝐶1̅̅ ̅̅ ̅̅ to je 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ = 𝐵1𝐶1̅̅ ̅̅ ̅̅ .
𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 𝐴1𝐵1̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅
𝐴𝐶̅̅ ̅̅ = 𝐴1𝐶1̅̅ ̅̅ ̅̅
𝐵𝐶̅̅ ̅̅ = 𝐵1𝐶1̅̅ ̅̅ ̅̅} 𝑆𝑆𝑆
⇒ ∆𝐴𝐵𝐶 ≅ ∆𝐴1𝐵1𝐶1
-
Primjena pravila sukladnosti kod pravokutnog i jednakokrakog
trokuta
29
Pr. 5. Ako je ∆𝐴𝐵𝐶 jednakokračni trokut, dokazati da dužina koja
spaja vrh C s točkom
D na osnovi je okomita na osnovicu AB, polovi osnovicu.
Promatramo trokute ∆𝐴𝐷𝐶 i ∆𝐵𝐷𝐶.
Kako je 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ = 𝐵𝐶̅̅ ̅̅
𝐶𝐷̅̅ ̅̅ = 𝐶𝐷̅̅ ̅̅
∢𝐴𝐷𝐶 = ∡𝐵𝐷𝐶
} 𝑆𝑆𝐾⇒
∆𝐴𝐷𝐶 ≅ ∆𝐵𝐷𝐶
Iz ∆𝐴𝐷𝐶 ≅ ∆𝐵𝐷𝐶 ⇒ 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ = 𝐵𝐷̅̅ ̅̅ , tj. točka D polovi osnovicu
AB.
Zadaci za vježbu:
1. Dokazati da su dva pravokutna trokuta sukladna ako imaju
jednake hipotenuze i
po jedan oštri (šiljasti) kut.
2. Dokazati da su dva jednakokračna trokuta sukladna ako imaju
jednake kutove
nasuprot osnovice i krak.
3. Nacrtati pravokutni trokut koji je jednakokračan. Koliki su
njegovi kutovi? Koliko
je elemenata potrebno za dokazivanje sukladnosti dva
jednakokračna pravokutna
trokuta? Navesti primjer!
4. Dokazati da je simetrala kuta nasuprot osnovice
jednakokračnog trokuta ujedno i
simetrala njegove osnovice.
5. Dva jednakokračna trokuta su sukladna ako imaju jednake
osnovice i kut na
osnovici. Dokazati.
-
Centar opisane i upisane kružnice trokuta
30
Centar opisane i upisane kružnice trokuta
Oko bilo kojeg trokuta može se opisati kružnica, i to samo
jedna. Kružnica kojoj
pripadaju sva tri tjemena naziva se opisana kružnica
trokuta.
Kružnica je određena centrom i poluprečnikom. Centar opisane
kružnice trokuta je točka
koja je jednako udaljena od tjemena trokuta A, B i C. Odredit
ćemo tu točku koristeći
osnovno svojstvo simetrale dužine (svaka simetrala dužine
jednako je udaljena od krajeva
dužine).
Promatrajmo trokut ∆ABC sa slike 17.
Slika 17.
Prvo konstruiramo simetrale dužina AB, BC i AC. Simetrale se
sijeku u točki O.
Točka O je jednako udaljena od točaka A i B jer pripada
simetrali sAB (𝑂𝐴̅̅ ̅̅ = 𝑂𝐵̅̅ ̅̅ )
Točka O je jednako udaljena i od točaka B i C jer pripada
simetrali sBC (𝑂𝐵̅̅ ̅̅ = 𝑂𝐶̅̅ ̅̅ )
Točka O je jednako udaljena i od točaka A i C jer pripada
simetrali sAC (𝑂𝐴̅̅ ̅̅ = 𝑂𝐶̅̅ ̅̅ )
Dakle, 𝑂𝐴̅̅ ̅̅ = 𝑂𝐵̅̅ ̅̅ = 𝑂𝐶̅̅ ̅̅ zaključujemo da je centar
opisane kružnice oko trokuta ∆ABC.
Sve tri simetrale stranica trokuta sijeku se u jednoj točki.
Točka u kojoj se sijeku
simetrale stranica je centar opisane kružnice oko trokuta.
-
Centar opisane i upisane kružnice trokuta
31
Možemo primijetiti da za određivanje centra kružnice ne moramo
konstruirati sve tri
simetrale. Dovoljna je simetrala dviju stranica.
Pr. 1. Opisat ćemo kružnicu oko tupokutog trokuta ∆ABC.
Konstruiramo simetrale stranica. Presjek simetrala je centar
opisane kružnice oko trokuta
∆ABC.
Centar opisane kružnice se nalazi izvan trokuta ako je trokut
tupokutni, a ako je
trokut oštrokutni, centar opisane kružnice se nalazi unutar
trokuta.
Pr. 2. Opisat ćemo kružnicu oko pravokutnog trokuta:
Vidimo da je centar opisane kružnice oko pravokutnog trokuta
središte hipotenuze.
-
Centar opisane i upisane kružnice trokuta
32
U svaki trokut može se upisati kružnica, i to samo jedna.
Kružnica koja dodiruje svaku
stranicu trokuta naziva se UPISANA KRUŽNICA TROKUTA.
Centar upisane kružnice u trokut je točka u kojoj se sijeku sve
tri simetrale
unutarnjih kutova.
Pr. 3. Odredit ćemo centar upisane kružnice u trokut ∆ABC sa
slike.
Zadaci za vježbu:
1. Konstruirati trokut stranica 5,5 cm, 6 cm i 6,5 cm i opisati
mu kružnicu.
2. Opisati i upisati kružnicu pravokutnom trokutu čije su katete
6 cm i 5 cm.
3. Oko jednakostraničnog trokuta stranice 4 cm opisati kružnicu
i u ovaj trokut
upisati kružnicu.
4. Konstruirati trokut sa stranicama a = 6 cm, b = 5 cm, c = 8
cm, pa mu upisati
kružnicu.
5. Konstruirati jednakokračni trokut ako je duljina osnovice 8
cm i kut koji obrazuju
kraci 1350, pa mu opisati kružnicu.
Polumjer kružnice opisane oko pravokutnog trokuta jednak je
polovini hipotenuze.
-
Težište i ortocentar trokuta
33
Težište i ortocentar trokuta
Dužina čiji su krajevi tjeme trokuta i sredina suprotne strane
nazivamo težišna dužina ili
težišnica (medijana). Svakom trokutu mogu se konstruirati 3
težišnice.
Pr. 1. Konstruirajmo težišnice trokuta ∆ABC sa slike.
Srednja linija trokuta
Konstuiramo pravac p usporedan stranici AB trokuta ABC, tako da
točka B1 (središte
stranice AC) pripada pravcu p (slika 18.).
Uočavamo da pravcu p pripada i točka A1 (središte stranice BC).
Dakle, dužine A1B1 i
AB su usporedne (AB∥A1B1).
Dužinu A1B1 nazivamo srednja linija trokuta ABC.
.
Slika 18.
Uočavamo, sve tri težišnice trokuta sijeku se u jednoj točki. Ta
točka naziva se
težište TEŽIŠTE TROKUTA. Težište dijeli svaku težišnicu u omjeru
2:1.
-
Težište i ortocentar trokuta
34
Konstruirajmo i pravac q usporedan stranici BC trokuta ABC,
također kroz točku B (slika
19.). Pravcu q pripada točka C1, koja je središte stranice AB,
tako da je 𝐴𝐶1̅̅ ̅̅ ̅ = 𝐶1𝐵̅̅ ̅̅ ̅.
Trokuti ∆𝐴𝐵1𝐶1 i ∆𝐴1𝐵1𝐶 su sukladni prema pravilu KSK.
Iz ∆𝐴𝐵1𝐶1 ≅ ∆𝐴1𝐵1𝐶 slijedi 𝐴1𝐵1̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ = 𝐴𝐶1̅̅ ̅̅ ̅ =1
2𝐴𝐵̅̅ ̅̅ .
Slika 19.
Dakle, srednja linija trokuta A1B1 je usporedna stranici trokuta
AB i jednaka je polovini
njene dužine. Na isti način se pokaže da je B1C1∥BC i 𝐵1𝐶1̅̅ ̅̅
̅̅ =1
2𝐵𝐶̅̅ ̅̅ ; A1C1∥AC i
𝐴1𝐶1̅̅ ̅̅ ̅̅ =1
2𝐴𝐶̅̅ ̅̅ (slika 20.).
Slika 20.
Srednja linija trokuta je usporedna stranici trokuta koju ne
presijeca i jednaka je
njenoj polovini.
-
Težište i ortocentar trokuta
35
Pr. 2. Konstruirat ćemo visine trokuta. Najprije konstruiramo
okomicu (normalu) iz
jednog tjemena na suprotnu stranicu. Visina trokuta je dužina
čije su krajnje točke tjeme
trokuta i presjek normale sa suprotnom stranicom ili produžetkom
te stranice (slika 21.).
Slika 21.
Svakoj stranici trokuta odgovara po jedna visina. Pravci kojima
pripadaju visine trokuta
sijeku se u jednoj točki. Tu točku nazivamo ORTOCENTAR
TROKUTA.
Pr. 3. Konstruirat ćemo ortocentar i težište pravokutnog
trokuta.
Težište smo dobili kao presjek dvaju težišnica tb i tc.
Ortocentar pravokutnog trokuta se nalazi u tjemenu C jer su
katete istovremeno i visine.
Pr. 4. Odredit ćemo ortocentar i težište jednakokračnog trokuta
∆ABC.
Težište i ortocentar u jednakokračnom trokutu pripadaju
simetrali osnove.
-
Težište i ortocentar trokuta
36
Pr. 5. Odredimo ortocentar i težište tupokutnog trokuta.
Analiza: Kod tupokutnog trokuta zapažamo da dvije visine „ne
padaju“ na stranice
trokuta, nego na njihova produženja. Sva tri produženja visina
(pravci kojima pripadaju
visine), sijeku se u jednoj točki – označena slovom H
(ortocentar).
Zadaci za vježbu:
1. Odrediti ortocentar i težište nejednakostraničnog oštrokutnog
trokuta.
2. Odrediti ortocentar i težište jednakostraničnog trokuta.
3. Konstruirati trokut sa stranicama: a=5 cm, b=6 cm i c=7cm, pa
mu odrediti
ortocentar i težište.
4. Konstruirati jednakokračni trokut čija je osnovica 5 cm i
visina koja odgovara toj
osnovici je 7 cm, pa mu odrediti ortocentar i težište.
5. Visina koja odgovara hipotenuzi pravokutnog trokuta ABC
dijeli pravi kut na
dijelove od 280 i 620. Odrediti oštre kutove tog trokuta.
-
Značajne točke trokuta
37
Značajne točke trokuta
Značajne točke trokuta su:
1. Centar opisane kružnice – presjek simetrala stranica
trokuta
2. Centar upisane kružnice – presjek simetrala kutova
trokuta
3. Težište trokuta – presjek težišnih dužina (težišnica)
trokuta
4. Ortocentar – presjek pravaca određenih visinama trokuta.
U općem slučaju radi se o četiri različite točke trokuta.
Za neke trokute značajne točke se mogu poklapati.
Pr. 1. Konstruirat ćemo značajne točke jednakokračnom
trokutu.
Uočavamo da pravac koji sadrži visinu koja odgovara osnovici
sadrži i težišnicu, koja
odgovara osnovici i istovremeno predstavlja simetralu osnovice i
simetralu kuta nasuprot
osnovice.
Sve četiri značajne točke jednakokračnog trokuta pripadaju tom
pravcu.
-
Značajne točke trokuta
38
Pr. 2. Konstruirat ćemo jednakostraničan trokut stranice i
njegove značajne točke.
Uočavamo da se kod jednakostraničnog trokuta poklapaju simetrale
stranica, simetrale
kutova, visine i težišnice, pa mu se poklapaju i sve četiri
značajne točke.
Naučili smo da je težište dijeli svaku težišnicu na dva dijela,
u razmjeru 2:1. Na osnovu
toga zaključujemo da je kod jednakostraničnog trokuta polumjer
opisane kružnice jednak 2
3ℎ (
2
3 njegove visine), a polumjer upisane kružnice iznosi
1
3ℎ.
Zadaci za vježbu:
1. Nacrtati proizvoljan oštrokutni, tupokutni i pravokutni
trokut, pa svakom upisati i
opisati kružnicu. Pripada li u svakom slučaju centar upisane
kružnice unutarnjoj
oblasti trokuta?
2. Koje tvrdnje nisu točne?
a) Težište pravokutnog trokuta pripada hipotenuzi.
b) Ortocentar je presjek visina trokuta.
c) Kod svakog trokuta centar opisane kružnice i težište
pripadaju unutarnjoj
oblasti trokuta.
3. Dopuniti:
a) Presjek simetrala stranica trokuta je centar __________
kružnice _________.
b) Centar opisane kružnice pravokutnog trokuta je u središtu
_____________.
c) Centar opisane kružnice i centar upisane kružnice se kod
____________
trokuta poklapaju.
d) Sve 4 značajne točke trokuta se kod __________ trokuta nalaze
na istom
pravcu.
4. Konstruirati jednakokračni pravokutni trokut ako je promjer
(prečnik) opisane
kružnice 6 cm.
5. Konstruirati jednakostranični trokut ABC ako je polumjer
opisane kružnice 2 cm.
-
Središnji i obodni kut kruga
39
Središnji i obodni kut kruga
Središnji kut kruga je kut čije je tjeme u centru kruga, a kraci
pripadaju ravnini kruga-
sijeku kružnicu. Na slici 22. to je kut α.
Obodni kut kruga je kut čije tjeme ne pripada kružnici (granici
kruga), a kraci sijeku
kružnicu (kut β na slici 22.).
Kraci središnjeg kuta sadrže po jedan polumjer, a kraci obodnog
kuta sadrže po jednu
tetivu kruga.
Slika 22.
Razmotrit ćemo odnos središnjeg i obodnog kuta nad istim kružnim
lukom (slika 23.). To
su kutovi nad lukom AB; središnji kut α = ∢𝐴𝑂𝐵 i obodni kut β
=∢𝐴𝑆𝐵.
Slika 23.
-
Središnji i obodni kut kruga
40
Razlikovat ćemo tri slučaja, ovisno od centra kruga u odnosu na
obodni kut:
1. Centar kruga pripada kraku obodnog kuta (slika 24.)
Slika 24.
Nad lukom AB je središnji kut α i obodni kut β.
Kut α je vanjski kut jednakokračnog ∆𝐵𝑆𝑂 ( 𝐵𝑂̅̅ ̅̅ = 𝑆𝑂̅̅̅̅ =
𝑟), pa je α = 2β (vanjski kut
trokuta jednak je zbroju dva nesusjedna unutrašnja kuta).
2. Centar kruga je u oblasti obodnog kuta (slika 25.).
Slika 25.
Na slici je središnji kut α = 𝛼1 + 𝛼2, a obodni kut β = 𝛽1 +
𝛽2.
Kut 𝛼1 je vanjski kut jednakokračnog trokuta ∆𝐴𝑂𝑆 (𝐴𝑂̅̅ ̅̅ =
𝑆𝑂̅̅̅̅ = r), pa je 𝛼1 = 2𝛽1.
Kut 𝛼2 je vanjski kut jednakokračnog trokuta ∆𝐵𝑆𝑂 (𝐵𝑂̅̅ ̅̅ =
𝑆𝑂̅̅̅̅ = r), pa je 𝛼2 = 2𝛽2.
Središnji kut
𝛼 = 𝛼1 + 𝛼2 = 2𝛽1 + 2𝛽2 = 2(𝛽1 + 𝛽2) = 2𝛽
-
Središnji i obodni kut kruga
41
3. Centar kruga je van oblasti obodnog kuta (slika 26.).
Slika 26.
Na slici je kut α središnji kut nad lukom 𝐴�̂�, β je obodni kut
nad istim lukom, γ je obodni
kut nad lukom 𝐵�̂� i δ je obodni kut nad lukom 𝐵�̂�.
𝛿 = 2𝛾 (na osnovu slučaja 1.)
𝛼 + 𝛿 = 2(𝛽 + 𝛾) (na osnovu slučaja 1., ∢𝐴𝑂𝐶 = 2 ∙ ∢𝐴𝑆𝑂)
𝛼 + 2𝛾 = 2𝛽 + 2𝛾 (uvrstimo δ = 2γ)
α = 2β (nakon oduzimanja 2γ na obje strane jednakosti).
Dokazali smo tvrdnju o odnosu središnjeg i obodnog kuta nad
istim lukom:
Nad lukom se nalazi samo jedan središnji kut α i bezbroj obodnih
kutova 𝛽1, 𝛽2, 𝛽3, 𝛽4, …
α = 2β1 = 2β2 = 2β3 = 2β4 .... ,
pa imamo: β1 = β2 = β3 = β4 = ...
Središnji kut kruga je dva puta veći od obodnog kuta nad istim
lukom.
Svi obodni kutovi nad istim lukom su jednaki.
-
Središnji i obodni kut kruga
42
Pr. 1. Nacrtajmo središnji i obodni kut nad promjerom
(prečnikom) kruga.
Kako je α = 2β i α = 1800, slijedi da je
β = 1800:2=900.
I ∢𝐶𝐷𝐴 je pravi kut. Možemo konstruirati bezbroj obodnih kutova
nad promjerom kruga
i svi će biti pravi kutovi.
Zaključujemo:
Zadaci za vježbu:
1. Koliki su kutovi β i 𝛾 na slici?
2. Nacrtati kružnicu i obodni kut od 900.
Svi obodni kutovi nad promjerom su pravi kutovi.
-
Središnji i obodni kut kruga
43
3. Nacrtati kružnicu i središnji kut α = 900 nad lukom 𝐴�̂�.
Koliki je obodni kut nad istim lukom?
4. Odrediti veličinu središnjeg kuta koji odgovara tetivi AB,
čija je duljina jednaka:
a) promjeru b) polumjeru zadanog kruga.
5. Koliko stupnjeva ima obodni kut nad kružnim lukom čija je
duljina jednaka 1
2
duljine kružnice?
-
Uzajamni položaj pravca i kružnice. Konstrukcija tangente
kružnice.
44
Uzajamni položaj pravca i kružnice. Konstrukcija tangente
kružnice.
Pravac i kružnica se mogu naći u tri uzajamna položaja u jednoj
ravnini. Razmotrimo ta
tri položaja za pravac p i kružnicu k (O,r).
1. Pravac p je van kružnice k (slika 27.).
Slika 27.
Pravac p nema zajedničkih točaka s kružnicom k, tj.njihov
presjek je prazan skup
(k∩p={∅}. U ovom slučaju je udaljenost d pravca p od centra
kružnice O veća od
polumjera r, tj. d>r.
(Napomena: Pod udaljenošću d pravca p od točke O podrazumijeva
se duljina dužine čije
su krajnje točke točka O i točka presjeka normale (okomice)
„spuštene“ iz točke O na
pravac p, na slici d=𝑂𝐴̅̅ ̅̅ ).
2. Pravac p ima jednu zajedničku točku s kružnicom k (slika
28.).
Slika 28.
-
Uzajamni položaj pravca i kružnice. Konstrukcija tangente
kružnice.
45
Presjek pravca p i kružnice k je točka A (k∩p={A}). Kažemo da
pravac dodiruje kružnicu
i nazivamo je tangenta kružnice.
Udaljenost pravca od centra kružnice je jednaka polumjeru d = r.
Kako je d ⊥ p, to je i r ⊥
p, tj. polumjer je normalan (okomit) na tangentu u točki A.
Točku A nazivamo diralište
tangente s kružnicom.
4. Pravac ima dvije zajedničke točke s kružnicom (slika 29.)
Slika 29.
Presjek pravca p i kružnice k su točke M i N (k∩p={M,N}). Kažemo
da pravac siječe
kružnicu i nazivamo je sječica (sekanta) kružnice. Udaljenost
pravca od centra kružnice
je manja od polumjera d
-
Uzajamni položaj pravca i kružnice. Konstrukcija tangente
kružnice.
46
Pr. 2. Konstruiramo tangentu t iz date točke A izvan kružnice,
na datu kružnicu k (O, r).
Prvo konstruiramo kružnicu k1 promjera 𝑂𝐴̅̅ ̅̅ , k1 (O1,𝑂𝐴
2).
Kružnice k i k1 se sijeku u točkama M i N, k∩k1 = {M,N}. Točke M
i N su dirališta
tangente i date kružnice. Imamo dva rješenja: tangentu t1 (A,M)
i tangentu t2 (A,N).
Uočavamo:
∢𝐴𝑀𝑂 = 900 jer je obodni kut nad promjerom AO kružnice k1, pa je
t1(A,M) ⊥OM, a to
znači da je t1 zaista tangenta kružnice k. Na isti način
zaključujamo da je t2⊥ ON.
Zadaci za vježbu:
1. Na kružnici k (O, 35mm) izabrati točke A i B i konstruirati
tangente na
kružnicu u točkama A i B.
2. Data je kružnica k (O, 3cm) i točka M van kružnice. Iz točke
M konstruirati
tangentu na točku M.
3. Konstruirati kružnicu k (O, 2, 5 cm) i pravac p, čije je
rastojanje od centra
kružnice O jednako:
a) 35 mm b) 25 mm c) 15 mm d) 0 mm
-
Uzajamni položaj dvije kružnice
47
Uzajamni položaj dvije kružnice
Razmotrit ćemo u kojem se međusobnom položaju mogu naći dvije
kružnice.
1. Kružnice k1 (O1, r) i k2 (O2, r) nemaju zajedničkih točaka i
jedna je izvan
druge (slika 30.).
Slika 30.
Rastojanje između centara O1 i O2 kružnice k1 i k2 (centralno
rastojanje kružnica) je veće
od zbroja poluprečnika kružnica, pa kružnice nemaju zajedničkih
točaka, tj.
O1O2 = d > r1 + r2, k1 ∩ k2 = {∅}
2. Kružnice k1 i k2 se dodiruju spolja (slika 31.).
Slika 31.
Kružnice koje se dodiruju spolja imaju centralno rastojanje
jednako zbroju polumjera, tj.
d = r1 + r2, k1 ∩ k2 = {A}
-
Uzajamni položaj dvije kružnice
48
3. Kružnice k1 i k2 se sijeku (slika 32.).
Slika 32.
Centralno rastojanje kružnica koje se sijeku je manje od zbroja
polumjera, a veće od
njihove razlike, tj.
r1 − r2 < 𝑑 < r1 + r2, k1 ∩ k2 = {A, B}
4. Kružnice k1 i k2 se dodiruju iznutra (slika 33.)
Slika 33.
Centralno rastojanje ovih kružnica je jednako razlici njihovih
polumjera, tj.
d = r1 − r2 , k1 ∩ k2 = {A}.
-
Uzajamni položaj dvije kružnice
49
5. Kružnice k1 i k2 nemaju zajedničkih točaka i kružnica k2 je u
kružnici k1 (slika 34.).
Slika 34.
Centralno rastojanje ovih kružnica je manje od razlike njihovih
polumjera, tj.
d < r1 − r2 , k1 ∩ k2 = {∅}.
6. Kružnice k1 i k2 imaju zajednički centar, a različite
polumjere (slika 35.).
Slika 35.
Centri O1 i O2 se poklapaju, tj.
O1≡O2, pa je centralno rastojanje d=0.
Kružnice koje imaju zajednički centar, a različite polumjere
nazivamo karakteristične
kružnice.
Zadaci za vježbu:
1. Kakav je uzajamni položaj dviju kružnica ako su im polumjeri
3 cm i 4 cm, a
centralno rastojanje je:
a) 9 cm b) 7 cm c) 6 cm d) 1 cm?
-
Uzajamni položaj dvije kružnice
50
2. Date su kružnice 𝑘1(O1, 35 mm) i 𝑘2(O2, 2,5 cm). Konstruirati
te kružnice u položaju:
a) da se dodiruju spolja b) da se dodiruju iznutra
Koliko iznosi centralno rastojanje u položaju kružnica pod a), a
koliko pod b)?
3. Imaju li kružnice 𝑘1(O1, 3 cm) i 𝑘2(O2, 2 cm) kod kojih je
centralno rastojanje
𝑂1𝑂2̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅=4 cm zajedničkih točaka?
4. Konstruirati tangentu u točki dodira kružnica 𝑘1(O1, 3 cm) i
𝑘2(O2, 2 cm). Kružnice se dodiruju spolja.
-
Konstrukcije paralelograma
51
ČETVEROKUT
Konstrukcije paralelograma
Konstrukcija paralelograma, kao i konstrukcija trokuta,
podrazumijeva crtanje pomoću
ravnala i šestara, na osnovu datih elemenata.
Koliko je elemenata potrebno za konstrukciju paralelograma?
Sjetimo se da je trokut određen sa svoja tri osnovna elementa,
od kojih najmanje jedan
mora biti stranica. Ovisno od svojstava trokuta taj broj je
manji, pa je npr. jednakokračni
trokut određen s dva elementa, kao i pravokutni, a
jednakostranični s jednim elementom.
Četverokut se jednom dijagonalom podijeli na dva trokuta, pa je
on određen s pet
elemenata (nije šest, jer je dijagonala zajednička stranica za
oba trokuta).
Pr. 1. Konstruirajmo četverokut ABCD ako je zadano:
α = 750, 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 4 𝑐𝑚, 𝐷𝐴̅̅ ̅̅ = 3,5 𝑐𝑚, 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ = 5,5 𝑐𝑚,
𝐶𝐷̅̅ ̅̅ = 6,5 𝑐𝑚.
Analiza:
Nacrtamo skicu (slika 36.) i date elemente (slika 37.) u pravoj
veličini.
Slika 36. Slika 37.
Konstrukcija:
Na osnovu skice na kojoj su označeni dati elementi izvodimo
konstrukciju:
1. 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 4 𝑐𝑚
2. ∢𝐴 = 𝛼 = 750
3. 𝐷𝐴̅̅ ̅̅ = 3,5 𝑐𝑚
-
Konstrukcije paralelograma
52
4. Opišemo kružnicu sa centrom u točki B i polumjerom 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ =
5,5 𝑐𝑚,
𝑘1(𝐵, 5,5 𝑐𝑚) 5. Opišemo kružnicu 𝑘2(𝐷, 6,5 𝑐𝑚).
6. 𝑘1 ∩ 𝑘2 = {𝐶}
ABCD je traženi četverokut (slika 38.)
Slika 38.
Dokaz i diskusija:
Dobiveni četverokut zadovoljava date uvjete, tj. zadani elementi
su istovremeno i
elementi dobivenog četverokuta. Zadatak ima jedno, dva ili
nijedno rješenje, ovisno od
toga sijeku li se kružnice 𝑘1 i 𝑘2 u jednoj ili dvije točke ili
je 𝑘1 ∩ 𝑘2 = ∅.
Ovisno od osobina četverokuta, broj elemenata koji su potrebni
za konstrukciju
četverokuta se smanjuje. Tako je paralelogram određen s tri
elementa, jer je jednom
dijagonalom podijeljen na dva sukladna trokuta. Za konstrukciju
nekih posebnih vrsta
paralelograma nisu potrebna dva elementa. Romb i pravokutnik su
na osnovu njihovih
osobina određeni s dva elementa, a kvadrat s jednim. U svim
slučajevima, bar jedan
element mora biti duljina.
-
Konstrukcije paralelograma
53
Pr.2. Konstruirati paralelogram ako je dato:
𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 𝑎 = 4,5 𝑐𝑚, 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ = 𝑏 = 3 𝑐𝑚 𝑖 ∢𝐴 = 𝛼 = 600.
Analiza:
Crtamo skicu i uočavamo u kakvom su odnosu elementi koji su dati
(slika 39.).
Slika 39.
Konstruiramo najprije ∆ABD, na osnovu stava SKS. Tjeme C
dobijemo tako što
konstruiramo kružnicu 𝑘1(𝐷, 𝑎) i kružnicu 𝑘2(𝐵, 𝑏), 𝑘1 ∩ 𝑘2 =
{𝐶}.
Konstrukcija:
Konstrukcija je izvedena na slici 40.
Slika 40.
Dokaz i diskusija:
Zadani elementi su i elementi dobivenog paralelograma. Zadatak
ima jedno, dva ili
nijedno rješenje, ovisno o tome sijeku li se kružnice 𝑘1 i 𝑘2 u
jednoj ili dvije točke ili je
𝑘1 ∩ 𝑘2={∅}.
-
Konstrukcije paralelograma
54
Pr. 3. Konstruirajmo pravokutnik čija je dijagonala duljine 8 cm
i kut između dijagonala
450.
Na skici (slika 41.) se vidi da prvo treba konstruirati ∆𝐴𝐷𝑂
pomoću stranica 𝐴𝑂̅̅ ̅̅ i 𝐷𝑂̅̅ ̅̅ , jer
znamo da su njihove duljine polovine dijagonala i kuta između
njih (pravilo SKS).
Dalje, nije teško odrediti ostala dva tjemena pravokutnika B i
C.
Slika 41.
Konstrukcija:
Na polupravac Ax prenesemo dužinu 𝐴𝑂̅̅ ̅̅ = 4 𝑐𝑚. U točki O
prenesemo kut od 450. Na
krak Oy kuta od 450 prenesemo dužinu 𝑂𝐷̅̅ ̅̅ = 4 𝑐𝑚.
Od točke O na polupravcu Ox prenesemo dužinu 𝑂𝐶̅̅ ̅̅ = 4 𝑐𝑚 i na
pravcu (O, D) s druge
strane točke D prenesemo dužinu 𝑂𝐵̅̅ ̅̅ = 4 𝑐𝑚. Na kraju spojimo
dužinama točke A, B, C
i D. Konstrukcija je izvedena na slici 42.
Slika 42.
Zadatak se mogao riješiti i na drugi način. Izračunaju se kutovi
∢𝐵𝐴𝐶 = 22030′ i
∢𝐵𝐶𝐴 = 67030′, pa se na osnovu pravila KSK konstruira ∆𝐴𝐵𝐶.
-
Konstrukcije paralelograma
55
Pr. 4. Konstruirajmo romb ako je duljiina njegove stranice 𝑎 = 4
𝑐𝑚, a duljina visine
ℎ = 3 𝑐𝑚.
Analiza:
Na slici 43. nacrtana je skica traženog romba. Visina romba je
dužina 𝐷𝐸̅̅ ̅̅ = ℎ.
Slika 43.
Uočavamo da konstrukcijom pravokutnog trokuta ∆𝐴𝐷𝐸 pomoću
hipotenuze 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ = 4 𝑐𝑚
i katete 𝐷𝐸̅̅ ̅̅ = 3 𝑐𝑚 određujemo kut datog romba. Dalje se
mogu jednostavno odrediti
tjemena B i C.
Konstrukcija:
U točki E na pravcu p prenesemo kut od 900.
Na krak Ex pravog kuta prenesemo dužinu 𝐸𝐷̅̅ ̅̅ = ℎ = 3 𝑐𝑚.
Iz točke D opišemo luk polumjera 𝑎 = 4 𝑐𝑚. Presjek luka i pravca
je tjeme A. Na pravac
p (A, E) iz točke A prenesemo dužinu 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 4 𝑐𝑚. Iz točaka B
i D opišemo lukove
polumjera 4 cm, njihov presjek je tjeme C.
Spajanjem točaka A, B, C i D dobijemo traženi romb.
Konstrukcija je izvedena na slici 44.
Slika 44.
-
Konstrukcije paralelograma
56
Pr. 5. Konstruirajmo kvadrat čija je dijagonala 5 cm.
Analiza:
Skica je prikazana na slici 45.
Dijagonale kvadrata su jednake, uzajamno okomite i polove se, pa
na osnovu toga slijedi
konstrukcija.
Slika 45.
Konstrukcija:
Na polupravcu Ax prenesemo dužinu 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ = 5 𝑐𝑚. Zatim
konstruiramo simetralu te
dužine 𝑠𝐴𝐶 i u presječnoj točki O simetrale i dužine AC s obje
strane točke O, prenesemo
po simetrali dužinu 𝑂𝐵̅̅ ̅̅ = 𝑂𝐷̅̅ ̅̅ = 𝑂𝐴̅̅ ̅̅ = 𝑂𝐶̅̅ ̅̅ . Time
smo odredili tjemena B i D. Spojimo
sve četiri točke dužinama i dobili smo traženi kvadrat ABCD.
Konstrukcija je izvedena
na slici 46.
Slika 46.
Dokaz i diskusija:
Dokaz slijedi iz konstrukcije, a zadatak ima jedinstveno
rješenje.
-
Konstrukcije paralelograma
57
Zadaci za vježbu:
1. Konstruiramo paralelogram ABCD ako je zadano:
a) 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 6 𝑐𝑚, 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ = 4 𝑐𝑚, ∢𝐵=1050
b) 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 6 𝑐𝑚, 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ = 4 𝑐𝑚 i dijagonala 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ = 8
𝑐𝑚
c) 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ = 8 𝑐𝑚, 𝐵𝐷̅̅ ̅̅ = 6 𝑐𝑚 i kut između dijagonala
750
d) 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 7 𝑐𝑚, ∢𝐴 = 600, ℎ𝑎 = 3 𝑐𝑚.
2. Konstruirati pravokutnik ako je (𝑎 i b su dužine stranica, d
– dijagonala)
a) 𝑎 = 5 𝑐𝑚, 𝑏 = 2,5 𝑐𝑚
b) 𝑎 = 5 𝑐𝑚, 𝑑 = 6 𝑐𝑚
c) 𝑑 = 7 𝑐𝑚 i kut između dijagonale i duže stranice 300
d) 𝑑 = 6 𝑐𝑚 i dijagonale se sijeku pod kutom od 600.
3. Konstruirati romb ako je zadano:
a) 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 6 𝑐𝑚, = 6 𝑐𝑚, 𝛼 = 600
b) 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 5 𝑐𝑚, dijagonala 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ = 8 𝑐𝑚 c) jedna dijagonala
dužine 3 cm jednaka stranici
d) duža dijagonala 𝑑1 = 5 𝑐𝑚 i tupi kut ∢𝐵 = 1350.
4. Konstruirati kvadrat ako je dato:
a) stranica 𝑎 = 4,5 𝑐𝑚
b) dijagonala 𝑑 = 6 𝑐𝑚
c) polumjer upisane kružnice 𝑟𝑢 = 2 𝑐𝑚
d) polumjer opisane kružnice 𝑟𝑜 = 2,5 𝑐𝑚
5. Ako je polumjer upisane kružnice romba 𝑟 = 1,5 𝑐𝑚, a dužina
stranice 𝑎 = 4 𝑐𝑚, konstruirati taj romb.
-
Konstrukcija trapeza
58
Konstrukcija trapeza
Za konstrukciju trapeza dovoljna su četiri elementa, kažemo da
je trapez određen sa četiri
elementa.
Pr. 1. Konstruirat ćemo trapez ABCD ako je poznato: 𝑎 = 8 𝑐𝑚, 𝑑
= 3,5 𝑐𝑚, 𝑏 = 5 𝑐𝑚 i
α = 450.
Prema skici (slika 47.) uočavamo da treba najprije konstruirati
∆𝐴𝐷𝐸 (prema pravilu
SSK), a zatim paralelogram BCDE.
Slika 47.
Konstrukcija:
Na kraku Ay kuta ∢𝑥𝐴𝑦 = 𝛼 = 450 prenesemo dužinu 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 𝑑 =
3,5 𝑐𝑚. Lukom
𝑙1(D,b) presiječemo krak Ax kuta i tu je točka E. Od tjemena A
na krak Ax prenesemo
duž 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 𝑎 = 8 𝑐𝑚. U presjeku lukova 𝑙2(B,b) i 𝑙3(D,𝐸𝐵̅̅ ̅̅
) je četvrto tjeme C trapeza
ABCD. Konstrukcija je izvedena na slici 48.
Slika 48.
Za konstrukciju jednakokračnog trapeza potrebna su tri elementa,
s obzirom na njegova
svojstva.
-
Konstrukcija trapeza
59
Pr. 2. Konstruirajmo jednakokračni trapez ako je zadano 𝑎 = 6
𝑐𝑚, 𝑏 = 4 𝑐𝑚 i α = 750.
Skica je data na slici 49.
Slika 49.
Sa skice uočavamo da najprije treba konstruirati trokut ∆𝐴𝐵𝐷
(prema pravilu SKS).
Četvrto tjeme, točku C, dobivamo konstrukcijom paralele osnovici
AB iz tjemena D. Tu
paralelu presiječemo lukom 𝑙(𝐵, 𝑏).
Slika 50.
Konstrukcija je izvedena na slici 50.
Zadatak se može riješiti i na drugi način, s obzirom da je u
jednakokračnom trapezu
∢𝐴 = ∢𝐵 i 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ = 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ = 𝑏, ne mora se konstruirati ∆𝐴𝐵𝐷.
Uradite sami ovu konstrukciju.
-
Konstrukcija trapeza
60
Pr. 3. Konstruirat ćemo jednakokračni trapez ako su dati
elementi:
krak 𝑏 = 4,5 𝑐𝑚, kraća osnovica 𝑐 = 2,5 𝑐𝑚 i visina ℎ = 3
𝑐𝑚.
Na skici (slika 51.) uočavamo da je potrebno najprije
konstruirati pravokutni ∆𝐴𝐷𝐸
pomoću hipotenuze (kraka b) i katete (visine ℎ). Pravilo
SSK.
.
Slika 51.
Zatim, produžimo AE preko E, a iz točke D konstruiramo
polupravac Dx∥AE. Na
polupravac Dx prenesemo kraću osnovicu c i dobijemo tjeme C. Iz
tjemena c opišemo luk
𝑙(𝐶, 𝑏) i njegov presjek s produžetkom AE je četverto tjeme B
traženog jednakokračnog
trapeza ABCD. Konstrukcija je izvedena na slici 52.
Slika 52.
-
Konstrukcija trapeza
61
Pr. 4. Konstruirajmo pravokutni trapez ABCD ako je 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 𝑎 =
5 𝑐𝑚, 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ = 𝑑 = 3,6 𝑐𝑚
i ∢𝐴𝐵𝐶 = 𝛽 = 600.
Slika 53.
Sa skice (slika 53.) uočavamo redoslijed koraka konstrukcije.
Konstruiramo najprije pravi
kut u tjemenu A, ∢𝐵𝐴𝐷 = 900. Na krak Ax pravog kuta prenesemo
dužinu 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 𝑎 =
5 𝑐𝑚, a na krak Ay dužinu 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ = 𝑑 = 3,6 𝑐𝑚.
Prenesemo kut ∢𝐴𝐵𝐶 = 𝛽 = 600 u tjemenu B.
Konstruiramo pravac p∥ 𝐴𝐵 tako da D∈p. Presjek pravca p i kraka
kuta 𝛽 je četvrto tjeme
C traženog pravokutnog trapeza ABCD. Konstrukcija je izvedena na
slici 54.
Slika 54.
Zadaci za vježbu:
1. Konstruirati trapez ako je dato (𝑎 i c su osnovice, b i d su
kraci, ℎ je visina):
a) 𝑎 = 7,5 𝑐𝑚, 𝑏 = 5 𝑐𝑚, 𝑐 = 4 𝑐𝑚, 𝑑 = 6 𝑐𝑚.
b) 𝑎 = 5 𝑐𝑚, 𝑐 = 2 𝑐𝑚, 𝛼 = 450, 𝛽 = 750
c) 𝑎 = 6 𝑐𝑚, 𝑏 = 4 𝑐𝑚, 𝛼 = 750, ℎ = 3 𝑐𝑚
2. Konstruirati trapez ABCD ako mu je osnovica 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 6 𝑐𝑚,
dijagonala 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ =
7 𝑐𝑚, a kutovi α = 600 i β = 750.
-
Konstrukcija trapeza
62
3. Konstruirati jednakokračni trapez ako je dato:
a) osnovice 𝑎 = 8 𝑐𝑚 i 𝑐 = 4 𝑐𝑚 i krak 𝑏 = 5 𝑐𝑚
b) osnovica 𝑐 = 4 𝑐𝑚, krak b = 3cm i kut γ = 1200
c) osnovica 𝑎 = 7 𝑐𝑚, dijagonala d = 6cm i visina ℎ = 3 𝑐𝑚.
4. Konstruirati jednakokračni trapez čija je osnovica 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ =
6 𝑐𝑚, dijagonala 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ =
4 𝑐𝑚 i kut između dijagonale AC i osnovice AB je 300. Opisati
kružnicu oko trapeza.
5. Konstruirati pravokutni trapez (𝑎 i c su osnovice, b i d su
kraci, ℎ je visina):
a) 𝑎 = 6 𝑐𝑚, 𝑐 = 5 𝑐𝑚, ℎ = 4 𝑐𝑚
b) 𝑏 = 4,3 𝑐𝑚, 𝑑 = 3 𝑐𝑚, 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ = 4,2 𝑐𝑚
c) 𝑐 = 2 𝑐𝑚, 𝐵𝐷̅̅ ̅̅ ̅ = 5 𝑐𝑚, 𝛽 = 600.
-
Deltoid. Svojstva deltoida.
63
Deltoid. Svojstva deltoida.
U grupu četverokuta koji nemaju nijedan par paralelnih stranica
spada deltoid.
Deltoid je trapezoid koji ima dva para jednakih susjednih
stranica (slika 55.).
Slika 55.
Dijagonala AC polovi dijagonalu BD i okomita je na nju (jer je
AC simetrala dužine BD).
Dijagonala BD dijeli deltoid na dva jednakokračna nesukladna
trokuta ∆𝐴𝐵𝐷 i ∆𝐵𝐶𝐷.
Stranice 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ i 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ su jednake, odnosno jednake su
stranice 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ i 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ , jer su stranice
jednakokračnog trokuta. Dakle, deltoid ima dva para jednakih
stranica 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ = 𝑎
i 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ = 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ = 𝑏.
Kutovi čiji su kraci nejednake stranice deltoida su jednaki, tj.
∢𝐴𝐵𝐶 = ∢𝐴𝐷𝐶, jer
predstavljaju zbroj kutova na osnovici jednakokračnih
trokuta,
(∢𝐴𝐵𝐷 = ∢𝐴𝐷𝐵, ∢𝐶𝐵𝐷 = ∢𝐶𝐷𝐵, ∢𝐴𝐵𝐷 + ∢𝐶𝐵𝐷 = ∢𝐴𝐵𝐶, ∢𝐴𝐷𝐵 + ∢𝐶𝐷𝐵 =
∢𝐴𝐷𝐶)
Slijedi: ∢𝐴𝐵𝐶 = ∢𝐴𝐷𝐶, tj. β = δ.
Dijagonala AC pripada simetrali dužine BD (dijagonale BD
deltoida), pa pripada i osi
simetrije deltoida.
U deltoid se može upisati kružnica. Centar upisane kružnice je
točka presjeka simetrala
unutarnjih kutova deltoida (slika 56.).
-
Deltoid. Svojstva deltoida.
64
Slika 56.
Točka S u kojoj se sijeku simetrale kutova deltoida jednako je
udaljena od svih stranica
deltoida, pa je točka S centar upisane kružnice deltoida. (Točka
S pripada simetralama
kutova pa je jednako udaljena od krakova kutova, tj. od stranice
deltoida, jer stranice
pripadaju kracima kutova.) Četverokut u koji se može upisati
kružnica naziva se
tangentni četverokut.
Deltoid je određen s tri njegova neovisna elementa.
Pr. 1. Izračunati ostale unutarnje kutove deltoida ako su mu
suprotni kutovi 800 i 300.
Na slici 57. nacrtan je deltoid ABCD i obilježeni su njegovi
unutarnji kutovi.
Slika 57.
Kako je β = δ i zbroj kutova u četverokutu 3600, imamo
800 + β + 300 + β = 3600
-
Deltoid. Svojstva deltoida.
65
2β + 1100 = 3600
2β = 2500
Β = 1250
Kutovi deltoida β i δ su jednaki pa je i kut δ = 1250.
Primijetimo:
Na slikama 55 – 57 prikazani su deltoidi kod kojih je 𝐴𝐶̅̅ ̅̅
> 𝐵𝐷̅̅ ̅̅ .
Deltoid može imati i jednake dijagonale.
Na slici 58. je deltoid kod kojeg je 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ = 𝐵𝐷̅̅ ̅̅ .
Slika 58.
-
Deltoid. Svojstva deltoida.
66
Na slici 59. prikazan je deltoid kod kojeg je 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ < 𝐵𝐷̅̅
̅̅ .
Slika 59.
Zadaci za vježbu:
1. Koliko najviše šiljastih kutova može imati deltoid, a koliko
tupih kutova?
2. Dopuniti rečenice tako da budu točne:
a) Dijagonale deltoida su međusobno __________________.
b) Nejednake stranice obrazuju ________________ kutove.
c) Deltoid ima dva para _______________ susjednih stranica, a
zajednička
tjemena tih stranica su ______________.
3. Odrediti ostale kutove deltoida ABCD ( 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ i
𝐶𝐵̅̅ ̅̅ = 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ ), ako su: a) kutovi između jednakih stranica 630
i 790.
b) ∢𝐵𝐴𝐷 = 84035′, ∢𝐴𝐵𝐶 = 1260.
4. Izračunati kutove deltoida ABCD ako je ∢𝐵 = 1100, a dvije
jednake stranice obrazuju kut od 800.
5. Ako su suprotni kutovi deltoida 650 i 1240, izračunati druga
dva kuta deltoida i
sve vanjske kutove.
-
Konstrukcija deltoida
67
Konstrukcija deltoida
Za konstrukciju deltoida u općem slučaju, dovoljno je znati tri
elementa, s obzirom na to
da je deltoid sastavljen od dva sukladna trokuta.
Uvjeti sadržani u definiciji deltoida (četverokut s okomitim
dijagonalama, a jedna od njih
polovi drugu), uzrokovali su smanjivanje broja potrebnih
elemenata za konstrukciju
deltoida na tri (u odnosu na proizvoljan četverokut koji je
određen s pet neovisnih
elemenata).
Pr. 1. Konstruirat ćemo deltoid čije su nejednake stranice 𝐴𝐵̅̅
̅̅ = 4,5 𝑐𝑚 i 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ = 2,5 𝑐𝑚, a
kut koji grade ove stranice je 1050.
Analiza:
Sa skice (slika 60.) uočavamo da se pomoću datih stranica 𝐴𝐵̅̅
̅̅ = 𝑎 = 4,5 𝑐𝑚 i 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ = 𝑏 =
2,5 𝑐𝑚 i kuta između njih β = 1050 najprije konstruira ∆𝐴𝐵𝐶,
prema pravilu SKS. Zatim
se odredi točka D kao presjek lukova 𝑙1(A,a) i 𝑙2(C,b).
Slika 60.
Konstrukcija je izvedena na slici 61.
Slika 61.
-
Konstrukcija deltoida
68
Pr. 2. Konstruirat ćemo deltoid ABCD ako je dato 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 3,5
𝑐𝑚, 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ = 7 𝑐𝑚 i ∢𝐵𝐴𝐷 =
600.
Analizom skice uočavamo da zadatak možemo riješiti na dva načina
(slika 62.).
Slika 62.
I. U ∆𝐴𝐵𝐶 znamo dvije stranice 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ i 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ i kut između
njih ∢𝐵𝐴𝐶 = 𝛼
2, pa ga
možemo konstruirati (prema pravilu SKS). ∆𝐴𝐷𝐶 ≅ ∆𝐴𝐵𝐶 jednostavno
je odrediti četvrto tjeme traženog deltoida.
II. U deltoidu 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ = 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ moguće je konstruirati ∆𝐴𝐵𝐷
(prema pravilu SKS, jer su
poznate dvije stranice 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ 𝑖 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ = 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 𝑎
i kut između njih ∢𝐵𝐴𝐶 = 𝛼).
Točka C pripada simetrali datog kuta α i 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ je dato, pa je
jednostavno odrediti četvrto tjeme C traženog deltoida.
Dati elementi u pravoj veličini prikazani su na slici 63.
Slika 63.
Konstrukcija je prema analizi I. izvedena na slici 64., a prema
analizi II. na slici 65.
-
Konstrukcija deltoida
69
Slika 64. Slika 65.
Zadaci za vježbu:
1. Konstruirati deltoid ako su njegove stranice 𝑎 = 4 𝑐𝑚, 𝑏 = 3
𝑐𝑚, a jedna dijagonala 5 cm.
2. Konstruirati deltoid ako su dužine dijagonala 𝐵𝐷̅̅ ̅̅ = 3 𝑐𝑚,
𝐴𝐶̅̅ ̅̅ = 6 𝑐𝑚, a duljina
jedne stranice 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 2 𝑐𝑚.
3. Upisati kružnicu u deltoid kod koga su nejednake stranice 5
cm i 3 cm, a njima
zahvaćen kut 1050.
4. Konstruirati deltoid ABCD ako je data stranica 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 𝐴𝐷̅̅
̅̅ = 4 𝑐𝑚 i dva kuta
∢𝐵 = 𝛽 = 1050 i ∢𝐴 = 𝛼 = 600.
5. Konstruirati deltoid ABCD ako je data dijagonala i dva
kuta:
a) 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ = 4 𝑐𝑚, ∢𝐴 = 1350, ∢𝐶 = 900
b) 𝐵𝐷̅̅ ̅̅ = 5,5 𝑐𝑚, ∢𝐵 = ∢𝐷 = 1200, ∢𝐴 = 900.
-
Opseg trokuta i četverokuta
70
Opseg trokuta i četverokuta
Na slici 66. nacrtan je trokut ∆𝐴𝐵𝐶, obilježene su mu stranice
a, b i c i prikazan je
grafički zbroj duljina njegovih stranica. To je dužina 𝑀𝑁̅̅ ̅̅
̅.
Slika 66.
Dakle, dužina čija je duljina jednaka zbroju svih stranica
trokuta je opseg trokuta. Ako
opseg trokuta označimo sa O možemo zapisati obrazac za
izračunavanje opsega trokuta,
čije su stranice a, b i c.
O = a + b + c.
Pr. 1. Izmjeriti duljine stranica trokuta ABC na slici 66. i
izračunati opseg pomoću
obrasca O = a + b + c. Provjeriti je li duljina dužine 𝑀𝑁̅̅ ̅̅ ̅
(grafički zbroj duljina
stranica trokuta) jednaka opsegu trokuta.
U primjeru 1., trokut ∆𝐴𝐵𝐶 je nejednakostranični pa je O = a + b
+ c. Za pojedine vrste
trokuta mogu se napisati obrasci za izračunavanje opsega, npr.
za opseg jednakokračnog
trokuta je O = a + b + b, tj. O = a + 2b ako je osnovica a, a
kraci b; za opseg
jednakostraničnog trokuta obrazac je O = a + a + a, tj. O =
3a.
Pr. 2. Koliki je opseg četverokuta na slici 67.?
Slika 67.
-
Opseg trokuta i četverokuta
71
Krenemo li iz točke A točki B „obilaziti“ četverokutnu liniju,
stići ćemo ponovno u
točku A, a opisat ćemo opseg četverokuta.
O = 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ + 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ + 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ + 𝐷𝐴̅̅ ̅̅ , tj. O = a + b + c +
d.
Mjerenjem dobijemo duljine stranica i izračunavamo opseg datog
četverokuta. Uradi to!
Dakle, opseg četverokuta je zbroj duljina stranica
četverokuta.
Za pojedine vrste četverokuta, možemo napisati obrasce za
izračunavanje njihovog
opsega, npr. za paralelogram je O = 2a + 2b = 2(a + b), za
kvadrat i romb: O = 4a; za
trapez O = a + b + c + d, itd.
Opseg se izražava u mjernim jednicama za duljinu.
Pr. 3. Stranice pravokutnika su 3 cm i 7 cm. Izračunajmo:
a) opseg tog pravokutnika
b) stranicu kvadrata čiji je opseg jednak opsegu danog
pravokutnika.
Rješenje:
a) O = 2(a + b) (pravokutnik je paralelogram)
O = 2(3 + 7)
O = 2 ∙ 10 = 20 cm
b) opseg kvadrata je O = 4a, pa imamo 20 = 4∙a ; a = 20 : 4 = 5
cm.
Pr. 4. Opseg jednakokračnog trokuta je 19 cm, a duljina kraka je
5 cm. Izračunajmo
duljinu osnovice.
Poznato je O = 19 cm i b = 5 cm, pa prema obrascu za opseg
jednakokračnog trokuta
O = a + 2b, imamo
19 = a + 2∙5, tj. 19 = a + 10,
a = 19 – 10 = 9 cm
Zadaci za vježbu:
1. Opseg trokuta je 99 mm. Stranica a je dva puta veća od
stranice b, a stranica c je
za 1 mm manja od stranice b. Kolike su stranice trokuta?
2. Duljine dviju stranica jednakokračnog trokuta su 40 cm i 26
cm. Izračunati opseg
ovog trokuta.
-
Opseg trokuta i četverokuta
72
3. Opseg jednakokračnog trokuta je 40 cm, a duljina jedne
njegove stranice je dva
puta dulja od duljine druge. Izračunati duljine stranica tog
trokuta.
4. Opseg romba je 48 cm. Kolika je stranica romba?
5. Opseg paralelograma je 52 cm, a jedna stranica je tri puta
manja od druge.
Izračunati duljine stranica.
-
Opseg trokuta i četverokuta
73
Mjerenje površina
Mnogokut se sastoji od mnogokutne linije i oblasti (dijela
ravnine) koja je tom linijom
određena. Taj dio ravnine naziva se površ. Mjera površi je
površina (kao što je mjera
dužine duljina).
Mjerenje geometrijskih veličina (dužina, kut, površ, ...)
podrazumijeva mjerenje veličina
iste vrste, koje se mogu uspoređivati među sobom (dužine s
duljinama, kut s kutovima,
površi s površima) i koje se mogu zbrajati.
Pod površinom površi nekog mnogokuta podrazumijeva se negativan
broj, pri čemu
vrijede svojstva:
1. Sukladni mnogokuti imaju jednake površine;
2. Ako je mnogokut sastavljen od mnogokuta koji nemaju drugih
zajedničkih točaka,
osim točaka jedne stranice (ne preklapaju se), onda je njegova
površina jednaka
zbroju površina tih mnogokuta;
3. Postoji mnogokut čija je površina jednaka 1.
Naučili ste iz fizike da je mjerenje date površine ustvari
uspoređivanje te površine s
jedinicom površine i da je jedinica površine površina kvadrata
čija je stranica jedinica
duljine.
Pr. 1. Na kvadratnoj mreži su nacrtane figure (slika 68.).
Slika 68.
Da se potpuno pokrije površ figure A potrebno je 12 kvadrata,
što znači da je njena
površina 12 puta veća od površine jednog kvadrata kojeg smo
izabrali za jedinicu mjere
(jediničnog kvadrata). Figura B ima 14 puta veću površinu od
jediničnog kvadrata, tj.
njena površina je 14 puta J; površina figure C je 4J, a figure D
9J.
-
Opseg trokuta i četverokuta
74
Površina neke figure je broj koji određuje koliko je jedinica
mjere (kvadrata površine J)
potrebno da se ta figura potpuno prekrije. Vidjeli smo da je za
prekrivanje figure A
potrebno 12 kvadrata, pa njenu površinu izražavamo:
12∙J, gdje je 12 – mjerni broj, J – jedinica mjere, a 12∙J je
površina figure A.
Postupak mjerenja površine figura koji smo proveli nije pogodan,
pa se za izračunavanje
površina određenih ravnih figura koriste odgovarajući obrasci
(formule). U formulama su
promjenjive veličine duljine stranica ili duljine nekih drugih
elemenata.
Oznaka površine je veliko slovo P, a mjerna jedinica (osnovna) 1
m2. 1 m2 je površina
kvadrata stranice dužine 1 m. Manje jedinice su 1 dm2, 1 cm2, 1
mm2, a veća mjerna
jedinica je 1 km2.
Odnos manjih i većih jedinica prema osnovnoj mjernoj jedinici za
površinu i njihov
međusobni odnos naučili ste iz fizike. Zato znate da je:
1 m2 = (10∙10) dm2 = 100 dm2
1 m2 = (100∙100) cm2 = 10 000 cm2
1 m2 = (1000 ∙ 1000) mm2 = 1 000 000 mm2
1 m2 = (0,001∙0,001) km2 = 0,000001 km2
1 dm2 = 100 cm2 = 10 000 mm2
1 cm2 = 100 mm2
1 km2 = 1 000 000 m2.
U upotrebi je mjerna jedinica površine 1 a = 100 m2 i 1 ha = 10
000 m2.
Ar i hektar se najčešće upotrebljavaju za mjerenje površine
zemljišta.
Za dvije površi koje imaju jednake površine kažemo da su
jednake. Sukladne površi
imaju jednake površine. Površi mogu imati različit oblik, a
jednaku površinu, slika 69.
Slika 69.
-
Opseg trokuta i četverokuta
75
Pr. 2. Nacrtat ćemo proizvoljan paralelogram ABCD pa ga
„pretvoriti“ u trokut jednake
površine i zajedničke visine (slika 70.).
Slika 70.
Kroz središte M, stranice BC paralelograma ABCD povučemo pravac
p (D, M).
Produžimo stranicu AB paralelograma preko tjemena B do presjeka
E sa pravcem p.
Dobili smo ∆𝐴𝐷𝐸 jednake površine s paralelogramom ABCD i jednake
visine DN = h.
Zadaci za vježbu:
1. Dopuniti prazna mjesta:
a) 1 m2 = _____ dm2 = _____ cm2 = _____ mm2
b) 2,4 m2 = _____ dm2 = _____ cm2 = _____ mm2
c) 600 dm2 = _____ m2 = _____ cm2 = _____ mm2
d) 2a = _____ m2 = _____ dm2
e) 5 km2 = _____ ha = _____a = _____ m2
2. Na kvadratnoj mreži (slika 71.) nacrtati tri različite
geometrijske figure površine 8
jedinica mjere.
Slika 71.
3. Nacrtati paralelogram ABCD pa ga „pretvoriti“ u trokut
jednake površine i
zajedničke
a) stranice AB
b) stranice BC
4. Trapez visine h „pretvoriti“ u trokut visine h, jednakih
površina.
-
Opseg trokuta i četverokuta
76
5. Nacrtati proizvoljan trokut i „pretvoriti“ u:
a) paralelogram
b) trapez,
jednake površine s nacrtanim trokutom i zajedničkom visinom s
tim trokutom.
-
Površina četverokuta s okomitim dijagonalama
77
POVRŠINA ČETVEROKUTA
Površina četverokuta s okomitim dijagonalama
Naučili smo da neki četverokuti imaju uzajamno okomite
dijagonale. To su kvadrat, romb
i deltoid. Pokazat ćemo kako se može izračunati površina
četverokuta s okomitim
dijagonalama. Promatrajmo sliku 72.
Slika 72.
Četverokut ABCD ima uzajamno okomite dijagonale 𝑑1 i 𝑑2 (𝑑1 ⊥
𝑑2). Konstruirani su
pravci usporedni dijagonalama, tako da sadrže po jedno tjeme
četverokuta. Dobiven je
pravokutnik MNKL. Uočavamo da se pravokutnik sastoji od 8
trokuta i to su po dva
sukladna trokuta.
Površina pravokutnika je, dakle, dva puta veća od površine
četverokuta ABCD, pa
površinu četverokuta dobijemo tako što površinu pravokutnika
prepolovimo, tj. P = 𝒅𝟏∙𝒅𝟐
𝟐.
Površina četverokuta čije su dijagonale uzajamno okomite jednaka
je polovini produkta
duljina njegovih dijagonala. Površinu kvadrata, romba i deltoida
možemo izračunavati i
pomoću ovog obrasca.
Pr. 1. Izračunajmo visinu romba stranice 5 cm i dijagonala 𝑑1 =
8 𝑐𝑚, 𝑑2 = 6 𝑐𝑚.
Izračunajmo površinu romba pomoću obrasca za izračunavanje
površine četverokuta s
okomitim dijagonalama.
P = 𝑑1∙𝑑2
2 =
8∙6
2 = 24 cm2.
Pošto je romb i paralelogram, vrijedi i formula P = 𝑎ℎ𝑎 za
površinu romba.
-
Površina četverokuta s okomitim dijagonalama
78
Dalje znamo: 24 = 5∙ℎ𝑎, tj. ℎ𝑎 = 24: 5 = 4,8 𝑐𝑚. Visina romba je
4,8 cm.
Pr. 2. Kvadrat i romb imaju jednake površine. Ako je dijagonala
kvadrata 12 cm, a jedna
dijagonala romba 16 cm, odrediti duljinu druge dijagonale
romba.
Najprije izračunavamo površinu kvadrata:
P = 𝑑∙𝑑
2=
12∙12
2= 72 𝑐𝑚2.
Kako je prema uvjetu zadatka, površina kvadrata ujedno i
površina romba, imamo:
72 = 16∙𝑑2
2, tj. 72 = 8∙𝑑2, odakle je 𝑑2 = 72: 8 = 9 cm.
-
Površina proizvoljnog konveksnog četverokuta
79
Površina proizvoljnog konveksnog četverokuta
Potrebno je znati kako se može izračunati površina četverokuta
koji nije ni paralelogram
ni trapez, niti su mu dijagonale uzajamno okomite. Kako se svaki
konveksan četverokut
jednom dijagonalom može podijeliti na dva trokuta, ta će
površina četverokuta biti
jednaka zbroju površina ta dva trokuta, slika 73.
Slika 73.
Pr.3. Izračunajmo površinu četverokuta ABCD sa slike 74.
Slika 74.
P = 5∙2
2+
5∙3
2= 5 + 7,5
P = 12,5 cm2
Zadaci za vježbu:
1. Izračunati površinu četverokuta čije su dijagonale međusobno
okomite:
a) 𝑑1 = 15,4 𝑐𝑚, 𝑑2 = 7,7 𝑐𝑚
b) 𝑑1 = 11
3 𝑐𝑚, 𝑑2 = 4𝑑1
2. Površina deltoida je 30 cm2, a duljina jedne dijagonale je 𝑑1
= 8 𝑐𝑚. Izračunati duljinu druge dijagonale.
-
Površina proizvoljnog konveksnog četverokuta
80
3. Izračunati površinu romba kod kojeg je jedna dijagonala tri
puta dulja od druge, a
zbroj dijagonala je 20 cm.
4. Izračunati površinu kvadrata ako je duljina polumjera opisane
kružnice 5 cm.
5. Stranica romba je 6 cm, a šiljasti kut je 300 i jedna
dijagonala je 4,5 cm. Izračunati
duljinu druge dijagonale romba.
