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Saber Total O Conhecimento não tem limites
Prof.Euripedes Borges [email protected]
Dízimas periódicas
I... Definição
Aos numerais decimais em que há repetição periódica e infinita de um ou mais algarismos, dá-se o nome de numerais decimais periódicos ou dízimas periódicas. Numa dízima periódica, o algarismo ou algarismos que se repetem infinitamente, constituem o período dessa dízima.
0 , 2 2 2 ...
2 é o período pois é o número que repete
indefinidamente.
0 , 8 3 3 3 ...
3 é o período pois é o número que repete
indefinidamente.
II... Classificação
01... Dízima Periódica Simples (DPS)
São as dízimas cujo período apresenta-se logo após a vírgula.
Exemplos:
02... Dízima Periódica Composta (DPC)
São dízimas em que, entre o período e a vírgula existe uma parte não periódica.
Observações: Consideramos parte não periódica de uma dízima o termo situado entre vírgulas e o período. Excluímos da parte não periódica o número antes da vírgula que é a parte inteira.
0,555...
Período: 5
2,333...
Período: 3
0,2323...
Período: 23
1,123123...
Período: 123
0,0222...
Período: 2 Parte não periódica: 0
1,15444...
Período: 4 Parte não periódica: 15
0,1232323...
Período: 23 Parte não periódica: 1
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Esta é uma D.P.S., pois o período inicia logo após a vírgula.
Esta é uma D.P.S., pois o período inicia logo após a vírgula.
Esta é uma D.P.C., pois o período inicia após um número após a vírgula.
Esta é uma D.P.C., pois o período inicia após um número após a vírgula.
III... Representação
Podemos representar uma dízima periódica das seguintes maneiras: Observe que há uma barra sobre o período.
IV... Geratriz de uma Dízima Periódica
Existe uma fração X, tal que X pertence ao conjunto dos Números Racionais, que dá origem a uma dízima periódica. Denominamos esta fração de fração geratriz da dízima periódica. Usamos os seguintes passos para determinar a geratriz de uma dízima: Primeiro Passo: Todo processo deverá ser realizado sobre uma Dízima Periódica Simples. Caso você esteja tentando achar a fração geratriz de uma Dízima Periódica Composta, primeiramente transforme a em Dízima Periódica Simples multiplicando a parte não periódica por 10n onde n representa a quantidade de números da parte não periódica. Vamos exercitar esse primeiro passo:
ÄÄÄÄ Determinando a Geratriz de uma Dízima Periódica Simples A geratriz de uma dízima simples é uma fração que tem para numerador o período e para denominador tantos noves quantos forem os algarismos do período. NUMERADOR = PERÍODO DENOMINADOR = Se o período tem N algarismos, colocamos N números 9.
Exemplos:
0,444...
) dígito um temsó período o pois ( 9 r Denominado) período ( 4 Numerador
==
____23,1...232323,1 =
__4,0...444,0 =
__43,0...3444,0 =
...232323,1=x
__412,3...12444,3 =
94
_____231,0..0,1232323. 5,0...555,0 ==
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0,2323...
) dígitos dois temperíodo o pois ( 99 r Denominado) período ( 23 Numerador
==
ÄÄÄÄ Técnica algébrica para determinar a Geratriz de uma Dízima Simples Primeiro Caso tttt 0,111...
Chame a dizima de x (por exemplo):
x = 0,111... (I)
Multiplique por 10, (número referente a quantidade do período), ambos os membros da equação: 10x = 1,111... (II)
Agora subtraia (I) de (II):
Segundo Caso
tttt 0,1212...
Chame a dizima de x (por exemplo):
x = 0,1212... (I)
Agora multiplique por 100, (número referente a quantidade do período), ambos os membros da equação: 100x = 12,1212... (II)
Agora subtraia (I) de (II):
9923
334
:99:12...1212,0
3
3==
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ÄÄÄÄ Determinando a Geratriz de uma Dízima Periódica Composta A geratriz de uma dízima composta é uma fração da forma , onde: Exemplos:
ÄÄÄÄ Técnica algébrica para determinar a Geratriz de uma Dízima Composta Primeiro Caso tttt 0,2111... Para determinar a fração geratriz de uma D.P.C., inicialmente devemos transforma-la em uma Dízima Periódica Simples, procedendo da seguinte forma:
Chame a dizima de x (por exemplo):
x = 0,2111...
Multiplique por 10, (número referente a quantidade de dígitos da parte não periódica), ambos os membros da equação:
10x = 2,111...
A dízima que antes era COMPOSTA, agora é SIMPLES.
A forma de calculo é a mesma da Dízima Periódica Simples.
n é a parte não periódica seguida do período, menos a parte não periódica. d tantos noves quantos forem os algarismos do período seguidos de tantos zeros quantos forem os algarismos da parte não periódica.
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Chame a dizima de x (por exemplo):
10x = 2,111... (I)
Multiplique por 10, (número referente a quantidade do período), ambos os membros da equação: 100x = 21,111... (II)
Agora subtraia (I) de (II):
Exercícios Exercício Resolvido Ache a fração geratriz de 1,2010101...
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Determine as frações geratrizes das seguintes Dízimas Periódicas: 01... 0,030303... 02... 0,044444... 03... 2,020202... 04... 7,007007... 05... 0,080808...
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EXERCÍCIOS DE VESTIBULAR 01... (PUC-Campinas) Resolva a expressão: 02... (UNIFESP) Resolva a expressão : 03... (Fuvest) Resolva a expressão:
2,11
2,0...1333,0 ¸
189
32
54,31,444...x ...555,1
2,1 x ...777,0
¸
¸+
( )( )
21
...333,1
...666,0
...333,0
...666,0úû
ùêë
é
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04... (UESPI 05... (PUC) Resolva a expressão: 06... (CEFET) Resolva a expressão: 07... (CEFET) Resolva a expressão :
08... (Esc.Aeron.) Resolva a expressão: 2,5 + 0,08484... ÷ 0,4242...
,,,111,0...777,1
...333,052.53,0 +÷øö
çèæ-+
2,0.7
101059
310...333,04 +¸+
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09... (Esc.de Sarg.) Resolva a expressão: 10...) (Fuvest) Resolva a expressão :
...222,0431...272727,0
-
+
ïþ
ïýü
ïî
ïíì
-+úû
ùêë
é¸÷
øö
çèæ-- ...333,01001,0
212
31 5
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11... (Unesp) Resolva a expressão: 12...) (UFRJ) Resolva a expressão:
( )...1313,0
3,03,03,0x2,022,3 2 +
--
316...2666,1
43x...333,0 ¸-
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13...) (UFRS) Resolva a expressão:
14...) (UFPI) Resolva a expressão: 15...) (UFPR) Resolva a expressão:
( ) 160x...28333,0
...333,1145,42213
-
¸+¸
...333,067¸
101
52
31
21
...888,0-
++
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16...) (UEC) Resolva a expressão:
17...) (UFPR) Resolva a expressão:
...121212,0
...060606,043
+
...333.0215
++
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Respostas 01...) 4/5
02...) 1203/1300 03...)
05...) 4
06...) -41/30 07...) 35
08...) 27/10
09...) 30/187
10...) 347/12 11...) 17,03 12...) 1/20
13...) 36,425
14...) 7/2 15...) 11/3 16...) 5/4
17...) 38/7
3 6
