TECHNICK UNIVERZITA V LIBERCI

Fakulta mechatroniky a mezioborovch inenrskchstudi

PECHODOV DJ PI ZAPNUTTRANSFORMTORU

ZPSOBY OMEZOVN ZAPNACHO PROUDU

2003 MIROSLAV NOVK

Pechodov dj pi zapnuttransformtoru

Zpsoby omezovn zapnacho proudu

Disertan prce v oboru Technick kybernetika

Ing. Miroslav Novk

Technick univerzita v Liberci

Fakulta mechatroniky

jen 2003

Tma disertan prce: Pechodov dj pi zapnut transformtoruZpsoby omezovn zapnacho proudu

Disertant: Ing. Miroslav NovkStudijn program: 2612V Elektrotechnika a informatika

Studijn obor: 2612V045 Technick kybernetikaPracovit: Katedra elektrotechniky a elektromechanickch systm

Fakulta mechatroniky a mezioborovch inenrskch studiTechnick Univerzita v Liberci

kolitel: Doc. Ing. Ale Richter, CSc.

Sazba provedena autorem v systmu LATEX 2c Ing. Miroslav Novk, 2003

Anotace

Pechodov dj pi zapnut transformtoruZpsoby omezovn zapnacho proudu

Ing. Miroslav Novk

Prbh zapnacho proudu transformtoru je odezvou na saturaci magnetickhoobvodu jdra, zpsobenou pechodovm jevem vznikajcm po pipojen transfor-mtoru k sti, kdy dochz k pechodu mezi remanentnm magnetickm tokema magnetickm induknm tokem v ustlenm stavu. Transformtor ztrc svojiimpedanci a odebr ze st mnohonsobn vt magnetizan proud.

Pro ovovn metod pouvanch k omezovn zapnacho proudu byl vytvoennelinern matematick model transformtoru zahrnujc hysterezi jeho jdra.

Pomoc virtulnch experiment byly prozkoumny vechny v literatue do-stupn metody omezovn zapnacho proudu. V disertan prci je uvedeno po-rovnn jednotlivch metod, doporuen k vbru vhodn metody pro konkrtnaplikace a jsou zde uvedeny postupy nvrhu parametr soustek i prav trans-formtoru u jednotlivch metod.

Hlavnm pnosem disertan prce je zdokonalen zen obvodu mkkho roz-bhu transformtoru. Pipnn probh v nkolika periodch postupnm zmeno-vnm hlu sepnut triaku v rmci plperiod sovho napt. Algoritmus je navrentak, aby bhem procesu pipnn nemohlo dojt k saturaci jdra transformtoru.Spolehlivou funkci v rozlinch provoznch stavech pomhaj zajistit navren ko-rekce okamik spnn.

Nov navren postup umouje dvakrt rychlej rozbh transformtoru v po-rovnn s doposud v praxi pouvanm postupem. Tento nov princip byl pouit kekonstrukci prototypu obvodu mkkho rozbhu transformtoru. Funkce prototypubyla prakticky ovena pomoc transformtoru s vraznm zapnacm proudemzatenm rznmi ztemi.

V prci prezentovan princip zen obvodu mkkho rozbhu pro transform-tory je pipravovn k zahjen patentovho zen a pedpokld se jeho prmyslovvroba.

Klov slova: zapnac proud, transformtor, model hystereze, obvodmkkho rozbhu

III

Annotation

Transient Phenomenon During Transformer EnergizingMethods of Inrush Current Suppression

Miroslav Novk, MSc.

Inrush current is in response to saturation of the transformer magnetic circuitcaused by transient phenomenon that occurs after transformer energization. Re-manenet magnetic flux changes gradually to magnetic flux in steady state duringenergization. This is why the transformer significantly reduces its impedance andtakes multiply higher magnetizing current from power grid.

Nonlinear mathematical model of transformer including hysteresis loop of mag-netic core was designed to analyze all methods used for reducing of inrush current.

Virtual experiments with this mathematical model were used for explorationof all methods mentioned in literature. Methods for inrush current reducing wascompared and recommendation of the best choosing in particular situations wasgiven. The thesis contains principles how to design parameters of every methods.

Control method of transformer soft-start was improved in this thesis. Instantof triak turn on gradually decrease during energization which lasts few periods ofsupply voltage. Algorithm of triak switching is designed to prevent transformercore saturation. Additional corrections of switch on instants help to keep reliablefunction in various operating modes.

Newly designed procedure of transformer connecting is two times quicker thencurrent practically used principles. A prototype of transformer soft-start based onnew method was developed. Behaviors of the prototype were practically tested ontransformer with strong inrush current. The prototype was tested with differenttypes of transformer loads.

Presented principle and prototype design is prepared to start patent procedureand its industrial production is assumed.

Key Words: inrush current, transformer, hysteresis model, soft-start

IV

Obsah

Anotace III

Annotation IV

Obsah V

Pedmluva IX

Seznam pouitch symbol XI

Seznam zkratek a znaek XV

1 vod 171.1 Souasn stav problematiky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.2 Cle disertan prce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.3 lenn prce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2 Pechodov jev pi pipnn transformtoru 232.1 Pipnn idelnho transformtoru . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.2 Teoretick velikost zapnacho proudu . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.3 Odeznvn pechodovho jevu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.4 Podmnky podporujc intenzivn zapnac proud . . . . . . . . . . . 302.5 Vliv zaten transformtoru na zapnac proud . . . . . . . . . . . . 302.6 Silov inky zapnacho proudu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.7 Monosti omezen proudu pi pechodovm jevu . . . . . . . . . . . 32

3 Matematick model transformtoru 333.1 Matematick model transformtoru s uzavenm jdrem . . . . . . 343.2 Magnetizan proces feromagnetika . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.3 Matematick popis magnetizan kivky . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.3.1 Srovnn pouvanch model hystereze . . . . . . . . . . . . 393.4 Jiles-Athertonv model hystereze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.4.1 Weissova teorie molekulrnho pole . . . . . . . . . . . . . . 423.4.2 Bezeztrtov magnetizace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.4.3 Energie ztracen pi nevratnch posunech domnovch stn 453.4.4 Zmny magnetizace vyvolan nevratnmi posuny domno-

vch stn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.4.5 Zmny magnetizace vyvolan vratnmi posuny domnovch

stn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.5 Magnetick obvod relnho transformtoru a jeho modelovn . . . 48

3.5.1 Vzduchov mezera magnetickho obvodu . . . . . . . . . . . 483.5.2 Lokln pesycen jdra u skldanch magnetickch obvod . 493.5.3 Rozptylov pole pi pesycen jdra . . . . . . . . . . . . . . 503.5.4 Povrchov jev a viv proudy . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.5.5 Anizotropie magnetickch materil . . . . . . . . . . . . . . 563.5.6 Stedn dlka silory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.5.7 Zvislost magnetickch vlastnost na teplot, mechanickm

napt a dalch vlivech . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

V

OBSAH

3.6 Implementace numerickho modelu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.6.1 Implementace modelu transformtoru . . . . . . . . . . . . . 593.6.2 Nastaven a rychlost een numerickho modelu . . . . . . . 64

3.7 Urovn parametr modelu transformtoru . . . . . . . . . . . . . 653.7.1 Parametry uveden ve vrobn dokumentaci . . . . . . . . . 653.7.2 Parametry nhradnho obvodu vinut . . . . . . . . . . . . . 663.7.3 Parametry modelu hystereze . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713.7.4 Kivka bezeztrtov magnetizace . . . . . . . . . . . . . . . 743.7.5 Parametry modelu vzduchov mezery . . . . . . . . . . . . . 763.7.6 Parametry modelu vivch proud . . . . . . . . . . . . . . 76

3.8 Zpesnn parametr matematickho modelu . . . . . . . . . . . . . 773.8.1 Implementace identifikanho procesu . . . . . . . . . . . . . 793.8.2 Hodnotic funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

3.9 Verifikace modelu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

4 Metody omezovn zapnacho proudu 874.1 Nvrh jisticch obvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 874.2 Snen pracovn indukce stroje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 904.3 Snen remanentn indukce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

4.3.1 Pouit materilu s men remanentn indukc . . . . . . . . 934.3.2 Definovan mezera v magnetickm obvodu . . . . . . . . . . 944.3.3 Virtuln vzduchov mezera . . . . . . . . . . . . . . . . . . 954.3.4 Demagnetovn paraleln pipojenm kondenztorem . . . . 95

4.4 Zven impedance primrnho obvodu . . . . . . . . . . . . . . . . 984.4.1 Zvten innho odporu a rozptylov reaktance vinut . . . 994.4.2 Pipnut vinut v jinm poad . . . . . . . . . . . . . . . . . 1004.4.3 Stupov spout . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1004.4.4 NTC termistor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

4.5 Pipnut v optimln fzi napjecho napt . . . . . . . . . . . . . . 1044.5.1 Polovodiov rel SSR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1064.5.2 Obvod mkkho rozbhu s unipolrnm zenm spnacho

prvku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1064.5.3 Obvod mkkho rozbhu s bipolrnm zenm spnacho prvku112

4.6 Porovnn metod pro omezen proudu pi pechodovm jevu . . . . 116

5 Obvod mkkho rozbhu s vylepenm bipolrnm zenm 1195.1 Nvrh optimln metody zen spnacho prvku . . . . . . . . . . . 119

5.1.1 Souasn plynul rozbh zte transformtoru . . . . . . . 1215.1.2 Souasn rozbh nkolika transformtor . . . . . . . . . . . 1215.1.3 Ochrana proti mikrovpadkm napjec st . . . . . . . . . 1225.1.4 Ochrany proti peten transformtoru . . . . . . . . . . . . 123

5.2 Nvrh obvodovho een . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1235.2.1 Napjec zdroj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1245.2.2 Spnac prvek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1265.2.3 Mikrokontroler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1275.2.4 Men napt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

5.3 Programov vybaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1295.4 Zkouky prototypu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1355.5 Porovnn se souasnm stavem techniky . . . . . . . . . . . . . . . 144

VI

OBSAH

6 Pnosy disertan prce 147

7 Zvr 149

8 Literatura 151

Plohy 159

Seznam ploh 161

A Specifikace mench transformtor 163

B Vpis S-funkce modelu transformtoru 165

C Skripty pro vyhodnocovn mench a simulovanch dat 169C.1 Skripty pro vpoety elektrickch veliin . . . . . . . . . . . . . . . 169C.2 Skripty pro zpracovn mench a simulovanch datovch soubor 170C.3 Nkter asto pouvan datov soubory . . . . . . . . . . . . . . . 173

D Men odporu vinut 175D.1 Pouit pstroje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175D.2 Postup men . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176D.3 Zpracovn men . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176D.4 Chyby men . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177D.5 Zmen a vypoten hodnoty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

E Men kapacit a svod mezi vinutmi 183E.1 Pouit pstroje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183E.2 Postup men . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183E.3 Zmen a vypoten hodnoty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

F Men transformtoru nakrtko 185F.1 Pouit pstroje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185F.2 Postup men . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186F.3 Zpracovn men . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186F.4 Chyby men . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188F.5 Zmen a vypoten hodnoty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

G Men transformtoru naprzdno a pi zaten 195G.1 Pouit pstroje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195G.2 Postup men . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196G.3 Zpracovn men . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197G.4 Chyby men . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198G.5 Zmen a vypoten hodnoty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

H Men pechodovho jevu transformtoru 203H.1 Pouit pstroje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204H.2 Postup men . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205H.3 Zpracovn men . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205H.4 Chyby men . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

VII

OBSAH

H.5 Zmen a vypoten hodnoty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

I Men transformtoru s obvodem mkkho rozbhu 215I.1 Pouit pstroje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216I.2 Postup men . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216I.3 Zpracovn men . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217I.4 Chyby men . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217I.5 Zmen a vypoten hodnoty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

J Ppravek pro spnn zte v definovanm hlu napt st 221J.1 Program mikrokontroleru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

K Ethernetov multifunkn jednotka EMU2 227K.1 Hardware . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228K.2 Software . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

L Prototyp obvodu mkkho rozbhu 247L.1 Popis obvodu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247L.2 Osazovn a oiven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250L.3 Mechanick konstrukce pstroje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

M Obsah CD-ROM 255

VIII

Pedmluva

Tato disertan prce je vsledkem sti mho doktorskho studia na katedeelektrotechniky a elektromechanickch systm Fakulty mechatroniky a mezi-oborovch inenrskch studi Technick univerzity v Liberci, kter jsem nastoupilv roce 1999 po absolvovn magisterskho studia na strojn fakult. Pvodn zam-en mho studia bylo spojeno s problematikou diagnostiky malch asynchronnchmotor digitlnmi signlovmi procesory. Vzkum v tto oblasti byl vznamnpodporovn firmou Analog Device. Bhem tto doby jsem vyvinul hardware dia-gnostickho systmu EMU1 postavenho na bzi procesoru ADSP 21061. V po-ped mho zjmu bylo men a vpoty vkonovch parametr z obvodovchveliin motoru napjenho frekvennm mniem. Pestoe tato disertan prcem odlin tma, vyuv vsledk m pedchoz prce na diagnostickm systmu.Uplatnn naly pedevm zkuenosti s menm obvodovch veliin. Navren di-agnostick systm poslouil jako pedloha pro svho nsledovnka EMU2, kterbyl u vyvinut pro speciln men na transformtorech, na jeho vvoji se podlelkolega Ing. Jan Vclavk.

Problematikou modelovn transformtor jsem se zaal detailn zabvat te-prve od bezna 2001 v rmci tmsnho studijnho pobytu na Centre de Physiquedes Plasmas et Applications de Toulouse ve Francii. Tam Ing. Jan Vclavk s mojpomoc vyvinul pseudolinern matematick model tfzovho transformtoru provzkum vzjemnho ovlivovn osvtlovac soustavy s vysokotlakmi rtuovmivbojkami a napjec st. Vlastnosti magnetickho obvodu transformtoru bylymodelovny pouze saturan kivkou.

S praktickmi dsledky zapnacho proudu transformtoru jsem se poprv se-tkal v listopadu 2001, kdy jsme provdli orientan men zapnacho proudu vefirm SVED Liberec, s. r. o. Zadnm bylo objasnit vznik zapnacho proudu, ur-it kter parametry transformtoru ho ovlivuj a navrhnout een, kter umonbezproblmov provoz a jitn transformtor od vkonu 1 kVA. Firma SVEDLiberec, s. r. o. zrove poskytla vzorky transformtor pro vzkum. Podkovnza tma pat speciln Ing. Aleovi Svrovskmu.

Pi studiu tohoto problmu jsem zhy zjistil, e problematika zapnacch proudtransformtor trp adu vrobc a uivatel. Standardn obecn znm een,jako je zaazen stupovho spoute do primrnho obvodu, asto nevyhovujnronm poadavkm dnen doby. Zkoumn zapnacho proudu byla zrovedobr pleitost k vylepen matematickho modelu transformtoru zavedenmhystereze magnetickho obvodu.

Je mou milou povinnost na tomto mst podkovat lidem, bez kterch by tatoprce nevznikla. A ji pispli konkrtn pomoc, radou a nebo morln podporou.

Tato prce vznikla pod trplivm vedenm Doc. Ing. Alee Richtera, CSc.,ktermu vdm za mnoh rady konzultace a pedevm materiln a organizanzajitn nezbytnho pracovnho zzem.

Dleitou lohu pi zrodu tto prce hrl mj kolega Ing. Jan Vclavk, kterje autorem DRAM kontrolru a nkterch dalch st systmu EMU2. Dk mupat za trefnou pomoc pichzejc vdy v pravou chvli a za to, e m po nkolikaletech spolen strvench v jedn kanceli jet sn.

Odbornm poradcem v otzkch magnetismu mn byl Prof. RNDr. Ing. Milo-slav Koek, CSc. Cenm si nejenom odbornch pipomnek, ale i zpsobu jakmmi je pedval. Jeho odpovdi otzkou jsem zprvu nedokzal dostaten ocenit.

IX

PEDMLUVA

Opomenout nemohu ani cel kolektiv na katedry elektrotechniky. PedevmIng. Karla Wernera, CSc. za jeho zdrav nzory. Sekretku Annu Engovou zavnen du do zmatk naeho kadodennho ivota. Docentce Ing. Ev Konen,CSc. za pidlovn tch nejlepch blok. Profesoru Ing. Jaroslavu Noskovi, CSc.za bezchybn zajitn nejen mch zahraninch pobyt.

Zmnku jist zaslou kolektiv mch koleg doktorand a naich ptel, ktese celou dobu starali, a vm e se jet njak ptek budou starat, o perfektnnladu na pracoviti, pi volejbale a pi obdech. Dky pat Janule, e, Paa-sovi, Berymu, Johnymu, Pecovi, Honzovi, Marfymu, Martinovi, Jirkovi, Luboovi,Liborkovi, Jindrovi, Mikymu, Povi a mnohm dalm.

Zapomenout bych neml ani na studenty magisterskho programu, kter jsemvedl bhem een diplomovch prac a ronkovch projekt, a kte pispli k vy-een nkterch dlch problm.

Speciln podkovn pat Berymu a Honzovi za svatou trplivost pi vucenaich oveek z textiln fakulty a ovekm dky za trplivost s nmi.

Vzpomenu-li na rozpait zatky mho doktorskho studia, je teba zmnitIng. Kariho. Kdyby m tenkrt nevysvtlil co studium obn, tak tko ci, jestliby tato disertan prce spatila svtlo svta.

Velmi vdn jsem korektorm Bobovi a Honzovi za odstrann chyb z textudisertan prce.

Na zvr bych rd zmnil lidiky, kte se starali o moji dobrou nladu a duevnzdrav. Dkuji pedevm Martinovi prost za to, e je. Dle Drakovi, Dropovi,Zdendovi a Radimovi za bezva akce a za tolerovn m patn dochzky v dob,kdy jsem dopisoval disertan prci. Maruce, Jirkovi, Apaovi, Honzovi, Vlovi,Ferovi, Lovi a dalm njemnk za pohodiku. Jurkovi, Bobovi, Rawovi, To-mikovi, Martinovi za jejich as. Roman a Peanovi za bydlenko. Karolnce zaroztomilost. Konen mamince a tatnkovi za to, e mi dali ivot a vytrvale mpodporovali bhem celho mho studia.

V Liberci v jnu 2003

X

Seznam pouitch symbol

a Am1 konstanta strmosti kivky bezeztrtov magnetizaceB T vektor magnetick indukceB T magnetick indukceBa T magnetick indukce v mezee mezi jdrem a vinutm

transformtoruBm T amplituda magnetick indukce v jde transformtoru

pi jmenovitch podmnkchBmax T amplituda magnetick indukceBo T poten remanentn magnetick indukceBr T remanentn magnetick indukceBs T magnetick indukce saturaceC konstantaC pamov kivka v Preisachov rovinC F kapacitac konstanta pomru vratnch a nevratnch posun do-

mnovch stnCp JK1 tepeln kapacita termistorud m tlouka plech jdraE Vm1 intenzita elektrickho polef Hz kmitoetH Am1 vektor intenzity magnetickho molekulrnho poleH Am1 intenzita magnetickho poleh krok iteranho vpotu nebo vpotu diskrtnch a-

sovch okamicchHa Am1 intenzita magnetickho pole v mezee mezi jdrem a

primrn cvkouHc Am1 intenzita magnetickho pole v jde transformtoruHc Am1 koercitivn slaHe Am1 intenzita molekulrnho magnetickho poleHg Am1 intenzita magnetickho pole ve vzduchov mezee pe-

ruujc jdro transformtoruHmax Am1 amplituda intenzity magnetickho poleHmol Am1 vektor intenzity magnetickho poleI A vektor proud jednotlivmi vinutmi transformtoruI A fzor prouduI A elektrick proudi A okamit hodnota prouduI0 A fzor magnetizanho prouduI0 A magnetizan proud, proud naprzdnoIk A proud nakrtkoImax A maximln hodnota elektrickho proudu pi pechodo-

vm djiIn A jmenovit proudIprim A proud primrnho vinut transformtoruIsec A proud sekundrnho vinut transformtoru

XI

SEZNAM POUITCH SYMBOL

it A stejnosmrn sloka proudu zpsoben pechodovmdjem

Itmax A maximln hodnota zapnacho prouduJ Am2 proudov hustotaJ T polarizace magnetikaJ hodnotc funkcej imaginrn jednotka j =

1J0 Am2 proudov hustota na povrchu vodieJan T polarizace bezeztrtovho magnetikaJavg Am2 stedn hodnota proudov hustotyJsat T polarizace magnetika pi saturaciK citlivost funkce na zmnu parametruk konstantak konstanta mrn koercitivn slek konstanta relativn citlivosti funkce na zmnu parame-

trukB JK1 Boltzmannova konstanta kB = 1, 381 1023 J/Kkta koeficient penosu energie mimo jdro transformtorul m integran drhaL H opertor penosu transformtoruL H induknostl m dlka, stedn dlka siloryl0 m prmrn dlka silory selenoidulc m stedn dlka silory jdra transformtorulg m ekvivalentn dlka vzduchov mezery peruujc jdro

transformtorulc m stedn dlka silory jdra transformtoruLm H hlavn induknost transformtorulm m fiktivn stedn dlka silory jdraL H rozptylov induknostM Am1 vektor magnetizaceM Am1 magnetizaceM metko pepotu na celoselnou aritmetikum g hmotnostm Am2 magnetick momentMan Am1 bezeztrtov magnetizaceMirr Am1 magnetizace vyvolan nevratnmi posuny domnovch

stnMrev Am1 magnetizace vyvolan vratnmi posuny domnovch

stnMs Am1 vektor maximln magnetizace materilu pi jeho satu-

raciMs Am1 maximln magnetizace materilu pi jeho saturaciMtot Am1 celkov magnetizaceMv Am1 poten magnetizaceMsigma H vzjemn induknostN poet zvit vinutN poet menN poet vzork v menm asovm intervalu

XII

SEZNAM POUITCH SYMBOL

n poet pekek v jednotkovm objemu materilup pevod transformtoruP W inn vkonP WbA1zvit1 magnetick vodivostP0 W pkon naprzdnope W mrn ztrty vivmi proudyph W mrn hysterezn ztrtyPk W pkon nakrtkoPn W jmenovit pkonQ var jalov vkonR elektrick odpor, resistanceR H1 magnetick odpor, reluktancer m polomr vodieRfe rezistor nahrazujc ztrty v elezeR elektrick odpor s korekc vlivu povrchovho jevuS m2 normlov plochaS m2 plocha, prez jdraS VA zdnliv vkonSa m2 plocha prezu mezi jdrem a primrnm vinutmSc m2 plocha prezu jdra transformtoruT s periodat s astv s doba vybaven jistieU V vektor napt na jednotlivch vinutch transformtoruU V fzor naptU V efektivn hodnota elektrickho naptu V okamit hodnota naptu veliina vstupujc do systmuU0 V napt naprzdnoui V indukovan naptUk V napt nakrtkoUm A magnetick naptunet V okamit hodnota napt napjec stUnet V efektivn hodnota napt napjec stUprim V svorkov napt primrnho vinut transformtoruUsec V svorkov napt sekundrnho vinut transformtoruw Preisachova mraWC W maximln energie akumulovan v kondenztoruWext W energie dodan vnjm zdrojemWL W maximln energie akumulovan v induknostiWloss W energie na kryt ztrt v materiluWmag W energie potebn ke zmn magnetizaceX reaktancex m dlkax vnitn stav systmuXm reaktance hlavn induknosti transformtoruX rozptylov reaktancey vstup systmuyM vstup matematickho modelu systmu

XIII

SEZNAM POUITCH SYMBOL

Z fzor impedanceZ impedance mez peklopen relovho opertoru do stavu 1 konstanta molekulrnho pole mez peklopen relovho opertoru do stavu -1 znamnko smru pohybu po magnetizan smyce m hloubka vnikuX oznaen relativn chyby veliiny X W vkon vyzen povrchemX oznaen absolutn chyby veliiny Xpi W m H1 0pi je prmrn energie potebn na pekonn jedn

pekky v materilu 1, (%) innost magnetick susceptibilitav poten magnetick susceptibilita koen charakteristick rovnice koeficient magnetostrikce Hm1 permeabilitad diferenciln permeabilitaB Am2 Bohrv magnetron B = 9, 274 1024Am2r relativn permeabilita0 Hm1 permeabilita vakua Wb amplituda magnetickho induknho toku Wb okamit hodnota magnetickho induknho toku(2) Wb okamit hodnota magnetickho induknho toku me-

nho z napt indukovanho v sekundrnm vinuta Wb magnetick indukn tok primrnho vinut prochzejc

vzduchovou mezerou mezi jdrem a vinutme Wb magnetick indukn tok prochzejc cvkou primr-

nho vinut transformtorum Wb amplituda magnetizanho magnetickho induknho

toku transformtorumax Wb teoretick velikost amplitudy magnetickho induknho

toku pi pechodovm jevuo Wb poten magnetick indukn tokr Wb remanentn magnetick indukn toks Wb magnetick indukn tok primrnho vinut prochzejc

jdrem transformtoru rad fzov posun rad hel, fzov posun m mrn odpor K, (C) teplota s asov konstanta rad s1 hlov kmitoet

XIV

Seznam zkratek a znaekA amprmetrAD analogov-slicovARP protokol rozliovn internetovch adresC kondenztorCD-ROM nepepisovateln kompaktn diskCo kobaltCu mD diodaDAG jednotka genertoru adresDRAM dynamick pamDSP digitln signlov procesorEEPROM elektricky peprogramovateln pevn pamEMU Ethernetov multifunkn jednotkaF tavn pojistkaFe elezoICMP protokol dicch zprv internetovho protokoluIO integrovan obvodIN vstup micho systmu EMU2IP internetov protokolJH svorkovniceJP propojkaK relLAN lokln potaov sMIPS milin instrukc za sekunduMFOPS milin operac v plovouc dov rce za sekunduMKP metoda konench prvkMn manganNi niklNTC termistor s negativnm teplotnm koeficientemODE obyejn diferenciln rovnicePC osobn potaPDM modulace hustotou pulsPGA programovateln hradlov polePR Hallv kompenzan snma prouduPWM pulsn kov modulaceQ tranzistor, triakR rezistorRCF soubory s popisem standard potaovch stRE relRV varistorSIMM pamov modulSSR polovodiov relSW spnaT transformtorTP propojen kroucenm vodiemTr triak

XV

SEZNAM ZKRATEK A ZNAEK

Ty tyristorU integrovan obvodUDP internetov protokol uivatelskch datagramV voltmetrY krystalov rezontor

XVI

1 vod

Prvn impuls ke vzniku tto prce vzeel z problm pi konstrukci novhotypu bezpenostnho oddlovacho transformtoru ve firm SVED Liberec. Vvojbyl zahjen jako odezva na harmonizaci eskch norem s normami Evropsk unie,konkrtn s pijetm normy SN EN 61558-2-15 Bezpenost vkonovch transfor-mtor, napjecch zdroj a podobn zvltn poadavky pro oddlovac ochranntransformtory pro napjen v mstnostech pro lebn ely z roku 2001 [5]. Pije-tm tto normy dolo k tm dvojnsobnmu zpsnn poadovan velikosti naptnakrtko Uk a proudu naprzdno I0 se zachovnm omezen velikosti zapnachoproudu.

Na prvnch prototypech se ukzalo, e uveden protichdn poadavky jsoupi standardnm nvrhu obtn splniteln. Problmy zpsoboval vrazn zapnacproud nkolikansobn pevyujc povolen hodnoty. Oividnm projevem pro-blmu bylo vybavovn nadproudov spout i znan pedimenzovanho jistiev primrnm obvodu transformtoru.

V prvn fzi se nepovedlo nalzt uspokojiv een k omezen zapnacho proudu.Podrobnj analza odkryla zvan rozpory v normou pedepsanch paramet-rech, kter jsou na hranici fyziklnch monost. Spolu s tlakem trhu na nzkoucenu stroje vytvej velmi nepzniv podmnky zvyujc amplitudu zapnachoproudu.

Takzvan zapnac proud1 je odezvou na saturaci magnetickho obvodu jdratransformtoru. Ta je zpsobena rozdlem magnetickho induknho toku v oka-miku pipnut transformtoru a magnetickho induknho toku , kter by pro-chzel jdrem v danm okamiku v ustlenm provoznm stavu.

u(t)

t

U

-U -F

F

2 +F Frf(t)

t i(t)

i(t)

f(t)

t

mag.tokvustlenmstavu

tokpipechod.jevu

ustlenmagnetizanproud zapnacproud

2

2

Obrzek 1.1: Ilustrace vzniku zapnacho proudu podle Lena a kol., 2001 [61]

Obdobou toho pechodovho jevu je situace, kdy dojde ke krtkodobmu v-padku napjen transformtoru. Opt zde me dojt ke vzniku nadproud vyvo-lanch stejnm pechodovm jevem. Nejhor situace pitom nastane pi vpadkunapt trvajcm piblin polovinu periody.

1V anglick literatue je oznaovan termnem inrush current.

17

1 VOD

Hlubok saturace magnetickho obvodu znamen vraznou ztrtu diferencilnpermeability d a pokles induknosti Lm. Proud protkajc primrnm vinutm jepak omezen v podstat pouze odporem a rozptylovou induknost vinut. Veli-kost zapnacho proudu je pmm dsledkem pouit vysoce kvalitn konstrukce amaterilu magnetickho obvodu, v ppad transformtor SVED Liberec magne-ticky orientovanch transformtorovch plech UI nebo EI. Magnetizan smykaje velice strm s maximln diferenciln permeabilitou max(d) du 100 000 as ostrm pechodem do saturace. Pi pesycen klesne diferenciln permeabilitad a na velikost jednotek. Nabzejc se een, pout mn kvalitnho materilu,je nevhodn s ohledem na dodren malho proudu naprzdno I0.

Pestoe se pechodov jev vyvolvajc zapnac proud projevuje u vech trans-formtor, bezpenostn oddlovac transformtory pat dky na n kladenm po-adavkm, a z toho plynouc konstrukce, do skupiny stroj, kde se nedouc nad-proudy objevuj v obzvlt velk me. Tato problematika zce souvis s parametrytransformtoru a obvodu, ve kterm pracuje. Zapnac proud tedy roste s kvalitoumagnetickho obvodu a se sniovnm impedance primrnho vinut a napjechozdroje. Z tohoto pohledu nejproblematitj jsou vt sov toroidn transform-tory. Naopak pote se zapnacm proudem jsou minimln, dky velkmu odporuvinut, u malch transformtork a vlivem vraznho odporu pvodnho vedenu distribunch transformtor v energetice.

V problematickch ppadech je nutn omezovat zapnac proud pdavnmobvodem zapojenm ped primrn vinut. Rovn uveden norma [5] vslovnpipout, e soust transformtor tohoto typu mohou bt elektronick obvody.V podstat je zde podsouvno een k omezen zapnacho proudu pomoc vesta-vnho obvodu mkkho startu transformtoru.

1.1 Souasn stav problematiky

Problematika zapnacch proud je pomrn dobe publikovan a znm pede-vm mezi odbornky, kte se zabvaj transformtory trpcmi tmto problmem.Napklad vtina vrobc toroidnch transformtor pouv nebo doporuujesvm zkaznkm nkterou z metod k potlaen zapnacch proud, protoe jinakby byly jejich vrobky prakticky nepouiteln.

Souasn rove jednotlivch een byla provovna z dostupnch odbornchpublikac, lnk v asopisech, pspvk z konferenc, vzkumnch zprv, pru-ek, katalog komern vyrbnch produkt a konzultacemi se zasvcenmi od-bornky. Otzky podstaty vzniku a een pechodovho jevu je mono rozdlit nankolik okruh. Zkladem je analytick rozbor pechodovho jevu. Dalm bodemje monost vyetovn velikosti zapnacho proudu, een asto matematickmimodely. Posledn skupinu tvo metody k potlaen nedoucch nadproud po za-pnut stroje. Nsledujc text zhruba shrnuje informace z nejdleitjch pramenpodle uvedench okruh.

V prci Petrova, 1980 [11], str. 249 je analyticky odvozen prbh magnetickhoinduknho toku pi pechodovm dji. Chyb zde zobecnn vsledku, velikostzapnacho proudu je zde urena pouze graficky a nejsou zde ani naznaena prak-tick opaten k omezen zapnacho proudu.

Karsai, 1987 [9] na str. 52 rovn logicky sprvn popisuje vznik pechodovhojevu po pipnut transformtoru k sti. Vysvtlen je podno pouze slovn bez ma-tematickho dkazu. Zvry a jejich interpretace je vak pesn, pesto zde opt

18

1.1 Souasn stav problematiky

chyb zobecnn vsledku. Zato je zde uveden analytick odhad maximln velikostizapnacho proudu vychzejc z mylenky, e tento proud je omezen induknostrozptylovho pole primrnho vinut transformtoru. Zmnny jsou i metody potla-en zapnacho proudu pipnnm pes odpor stupovm spoutem2 a zvltnmylenka pouiteln u distribunch transformtor v energetice, postaven nazmn poad pipnn vinut podle velikosti prmru vinut.

Faktor, 1999 [7] na str. 119 uvd tak odvozen vzniku pechodovho jevu.Opt zde chyb obecn zvr shrnujc podmnky vzniku zapnacho proudu. Fak-tor tak uvd piblin odhad velikosti maxima magnetizanho proudu zaloenna stejn mylence jako v pedchozm ppad [9]. Poznmka o rychlosti odezn-vn zapnacho proudu je bez vysvtlen bagatelizovna. Nejsou zde uvedeny mo-nosti potlaen pechodovho jevu, naopak pozornost je vnovna zpsobm jitntransformtor s ohledem na pechodov jev.

Ve skriptech Uhle, 1997 [17] na str. 118 je pechodov jev pi zapnn, zejmve snaze o alespo strun piblen, zjednoduen natolik, e vyen tvrzen jsounesprvn. Tvrd se zde, e nejvt proudov nraz nastv po pipojen trans-formtoru pi prchodu napt nulou.

Navc se v uvedench i dalch publikacch a na vjimky nezohleduj vlast-nosti modernch transformtor dnes dosahovan dky pouvn modernch mate-ril a konstrukc. Zejmna dnes ji neodmysliteln magneticky orientovan ocelinebo amorfn oceli v kombinaci s tvary magnetickch obvod pizpsobenmi protyto materily. A se ji jedn o navjen toroidy, skldan jdra s hlem styku45 nebo zcela nov typy magnetickch obvod firmy AEM Cores Pty. Ltd. [1].

Vyetovn velikosti a prbhu zapnacho proudu zjednoduenmi analytic-kmi metodami je velmi nepesn. Podstatn pravdivj vsledky je mono zskatmodelovnm transformtoru nebo experimentlnm menm jako v prci Lenaa kol., 2001 [61]. Vtina prac pouvajcch matematick modely je zaloena naprimitivn aproximaci saturace lomenou kivkou, napklad Miri a kol, 2001 [63]nebo Yacamini, Bronzeado, 1994 [77]. V lnku Calmoma a Daphelerup-Petersena,1996 [56] je pedstaven komplexn pstup vyetovn zapnacho proudu zahrnu-jc model hystereze jdra transformtoru. V obou pedchozch ppadech modelyobsahuj pouze jednoduch linern popis rozptylovch pol.

Matematick modely magnetickch materil maj za sebou dlouho cestou v-voje. Dnes je k dispozici nkolik kvalitnch a propracovanch model. Pro modelo-vn masivnch feromagnetik, co je ppad magnetickho obvodu transformtoru,je vhodn a asto pouvan Preisachv model [39], [47] a Jiles-Athertonv mo-del [36]. Podrobn se k historickmu vvoji vrac kapitola 3.3. Zmnn dva dnespouvan modely hystereze jsou pak porovnny v podkapitole 3.3.1.

Poslednm okruhem otzek jsou metody k potlaen vzniku pechodovch jev.Volba pouit metody zpravidla vyplv z dlouhodobch zkuenost konkrtnhovrobce transformtor. asto jsou pouvny metody neinn nebo nevhodnpro dan provozn podmnky transformtoru. To je dno nezvykle velkm mno-stvm povr a nepesnost kolujcm mezi odbornou veejnost a tak v literatue.Hlavnm nedostatkem je absence porovnn jednotlivch metod a jejich smyslu-pln rozdlen podle mechanismu jakm omezuj zapnac proud. Opomjeno jetak negativn ovlivnn parametr transformtoru.

2Anglicky zvanm step-start.

19

1 VOD

Mezi nejastji pouvan postupy pat mysln zvyovn odporu vinut asriov azen NTC termistor do obvodu primrnho vinut. K tomuto elu sevyrb speciln typy termistor vhodn k potlaovn zapnacch proud, nap-klad firmou Thomson CSF [69].

Pro vt vkony se pouv pipnn pes odpor stupovm spoutem. Po-uvny jsou vtinou standardn asov rel se zpodnm ptahem a vkonovrezistory.

V nronjch podmnkch a hlavn pi nrocch na plynulost nebo rychlostrozbhu se do primrnho obvodu transformtoru instaluje speciln obvod mk-kho rozbhu3. Konvenn obvody mkkho rozbhu primrn vyvinut pro rozbhasynchronnch motor spolehliv odstran zapnac proud. asto ovem neumo-uj nastavit velmi krtk asy rozbhu. Stejn pi jejich jednoduchm zpsobuzen nen mon extrmn krtk asy pout, protoe by zapnac proud nemuselbt pln odstrann. Navc pro aplikaci s transformtory jsou tyto pstroje astopli drah.

Nejpokroilej metodou potlaen zapnacho proudu transformtoru jsou ob-vody mkkho rozbhu s pedmagnetizac jdra. Komern jsou dostupn pstrojeTSE6 italsk firmy Carlo Gavazzi [76] a nmeck TSRL firmy FSM ElektronikGmbH [75]. Oba vrobky pouvaj stejnou techniku pipnn. Jdro transform-toru je krtkmi impulsy jedn polarity postupn zmagnetovno a k mezi nasy-cen. Tm pipnac proces kon a dky znm poloze na magnetizan smyce jemono transformtor pipnout k sti bez vzniku zapnacho proudu.

Obas je mono narazit na dal vce i mn vhodn postupy. Za zmnku stojlnek uveejnn v prestinm asopise IEEE Magnetic Transaction Molcrettem akol., 1998 [64], ve kterm autoi popisuj originln metodu zaloenou na demagne-tovn jdra vytvoenm virtuln vzduchov mezery. Mezera je vytvoena loklnmpesycenm jdra stejnosmrnm proudem pivedenm do specilnho vinut. Po-stup je pro praktickou realizaci v podstat nepouiteln. Nezbytn konstruknzsahy do magnetickho obvodu degraduj ostatn parametry transformtoru avrazn ho prodra. Zapnac proud je omezen pouze sten, take problmzstv v podstat nevyeen.

1.2 Cle disertan prce

Zapnac proud vyvolan pechodovm jevem je nutn podrobit detailn ana-lze. Je teba zjistit jak vznik a urit, jak ho kter parametry ovlivuj. Ji v ttoppravn fzi bude vhodn prozkoumat monosti omezovn zapnacho proudu.

Matematick modelovn relnch systm pat dnes ji k standardnm p-stupm usnadujcm a hlavn urychlujcm analzu a vyhledvn een rznchproblm. Model umouje velmi rychl a levn testovn rozlinch hypotz. Ob-rovskou vhodou je monost automatickho vyhledvn optimlnch een. V p-pad tto prce to me bt nejen nastavovn parametr samotnho modelu, alehlavn hledn optimlnch nastaven obvod potlaujcch zapnac proud.

Jako nstroj pro vyetovn pechodovch jev bude tedy nutn sestavit odpo-vdajc matematick model transformtoru, pizpsoben svmi vlastnostmi k e-en tto problematiky. Z pohledu pechodovch dj pat mezi nejpodstatnjz nich nelinearita dan magnetizan kivkou materilu jdra transformtoru a

3Anglicky soft-starter.

20

1.3 lenn prce

remanentn magnetizace. Zejm bude nutno zohlednit dal fyzikln jevy a kon-strukn uspodn relnch transformtor.

Dleitou st bude vytvoen metodiky experimentlnho zjiovn parame-tr matematickho modelu. Vbr metod by ml preferovat jednoduch postupyzaloen na nedestruktivnch zkoukch hotovch transformtor. Vsledn modela jeho nastaven je samozejm nutno porovnat s relnm transformtorem, a to vesledovanch podmnkch pi pechodovm jevu. Experiment bude nezastupitelntak ve fzi testovn obvod k potlaen zapnacho proudu.

Hlavnm vytyenm clem je vytvoen ucelenho pehledu metod potlaen za-pnacho proudu. Dleitm aspektem bude posouzen innosti jednotlivch p-stup, jejich vzjemn porovnn a konen jejich kategorizace podle mechanismujakm omezuj zapnac proud. Porovnn metod je poteba provst dsledn.Vhodnm pstupem me bt posouzen obvodu nebo metody potlaen zap-nacho proudu a transformtoru spolen, jako by lo o jeden celek. Parametry byi v tomto ppad mly splovat meze dan normami.

Detailnm przkumem by mly projt vechny znm metody. Clem je hlednjejich optimlnho nasazen a nastaven, ppadn objeven neprobdanch mezer.V ppad spchu navrhnout een a propracovat ho k realizaci prototypu.

Praktick men a realizovan obvody budou testovny s bezpenostnmi od-dlovacmi transformtory s jdry UI. Cel prce by vak mla bt koncipovnaobecn, aby postupy a zskan vsledky byly snadno penositeln na dal typytransformtor.

Konkrtn budou pouity oddlovac transformtory RJV 1,6 a RJV 6,3 se jme-novitmi vkony 1,6 kVA a 5 kVA s parametry uvedenmi v ploze A.

1.3 lenn prce

Pedloen problm a jeho komplexn een je velmi obtn popsat liner-nm sledem logicky navazujcch mylenek, bez poteby opakovat nkter sti.Disertan prce proto obsahuje mnostv odkaz na ji zmnn sti, ale tak nakapitoly jet neuveden.

Prce zan kapitolou 2 vnovanou pechodovmu jevu, kter vznik po pi-pojovn transformtoru k napjec sti. Je zde proveden teoretick rozbor pro-blematiky vzniku zapnacho proudu. Pro plnost je uvedena monost piblinhoanalytickho vpotu maximln velikosti zapnacho proudu. Zmnny jsou takmetody vyetovn rychlosti odeznvn pechodovho jevu. Popis pechodovhojevu kon rozborem monost omezen zapnacho proudu.

V dal kapitole 3 je podrobn uvedena metodika sestaven matematickhopopisu transformtoru pizpsobenho k vyetovn pechodovch jev a prcis hluboce saturovanm jdrem. Strun je zde zmnna problematika magnetovnferomagnetik a jsou zde porovnny pouvan matematick modely hystereze fero-magnetik. Vztahy popisujc hysterezn kivku podle vybranho Jiles-Athertonovamodelu jsou znovu s nktermi modifikacemi odvozeny. Rozebrna je implemen-tace numerickho een matematickho modelu v prosted MATLAB. Poslednfz je testovn matematickho modelu porovnnm s experimentln zjitnmihodnotami zapnacch proud zjitnch menm popsanm v ploze H.

Nezbytnou soust matematickho modelu je popis metodiky zjiovn jehoparametr. Pouvny jsou konstanty zskan jak z technick dokumentace trans-formtoru, tak z relativn jednoduchch men na hotovm transformtoru. Je

21

1 VOD

zde prezentovna tak metoda identifikace parametr obtn i nepesn zjisti-telnch. Zznamy z konkrtnch men na vyetovanch vzorcch transformtorjsou uvedeny v plohch D, E, F, G a H.

V kapitole 4 jsou detailn popsny a porovnny znm metody pouvan k po-tlaovn zapnacho proudu. Jednotliv metody jsou zkoumny pomoc matema-tickho modelu a nkter vsledky jsou prakticky experimentln ovovny. D-raz je kladen na sprvn pouit jednotlivch metod podmnn kvalitnm nvrhemhodnot a parametr jejich komponent. Jednotliv pstupy jsou zhodnoceny vetndoporuen, za kterch podmnek a v kterch ppadech jsou vhodn.

Kapitola 5 uvd nvrh a konstrukci obvodu mkkho rozbhu pro transfor-mtory. Klovou st je prezentace nov metody zen spnacho prvku, kterumonila vrazn zkrtit dobu rozbhu. Nvrh je proveden a po stadium realizaceprototypu vetn pslun technick dokumentace vrobku. Funknost zkonstru-ovanho zazen je ovena experimentem.

Dosaen vsledky a konkrtn pnosy k problematice zapnacho proudu trans-formtor jsou shrnuty v sti 6.

Plohy disertan prce jsou svzny zvl a jejich soust je CD-ROM svytvoenmi programy.

22

2 Pechodov jev pi pipnn transformtoru

Pechodovm jevem rozumme dj probhajc mezi dvma ustlenmi stavysledovanho obvodu. V naem ppad jde o pechodov dj pi pipnn obvoduk napjen. Na potku pechodovho dje jsou tedy obvodov veliiny nulov apo jeho odeznn odpovdaj hodnotm v ustlenm stavu obvodu.

Pechodov jev pi pipnn napjen vznamn postihuje adu obvod. Nej-vraznj projevy pozorujeme pi pipnn kondenztor, usmrova s filtra-nmi kondenztory, dle pak pi pipnn induknost s uzavenm magnetickmobvodem, jako jsou transformtory. Do tto problematiky meme tak zahrnoutrozbh motor, zmnu odporu rovky pi zapnut a zapalovn vbojek.

Pi tomto typu pechodovch jev dochz ke zmn fyziklnch vlastnost n-kterch st obvodu a dochz zpravidla k vraznmu krtkodobmu nrstuproudu. Piem proud pi pechodovm jevu me, podle parametr obvodu,doshnout a stonsobk proudu v ustlenm stavu.

Hlavnm problmem obvod s vraznm pechodovm jevem je jejich jitn.Vrazn pikov proud zpsobuje vybaven jisti nebo pojistek chrncch danobvod. Vysok hodnoty pikovch proud zkracuj ivotnost soustek obvodu amohou dokonce zpsobit svaen kontakt styka a rel.

2.1 Pipnn idelnho transformtoru

Pi vkladu vzniku pechodovho dje bude uvaovn jednofzov transform-tor s jednoduchm magnetickm obvodem. Pouit matematick vyjden odpo-vd transformtorm s toroidnmi, UI, C a podobnmi jdry. Sloitj magnetickobvody je mono bu nahradit ekvivalentnm zjednoduenm magnetickm obvo-dem popsanm efektivnmi hodnotami magnetickch veliin, nebo je nutno eittento obvod s ohledem na jeho tvar a uvaovat rozdln magnetick tok v jehojednotlivch stech. To je ppad plovch transformtor EI a vcefzovchtransformtor.

Intenzita magnetickho pole v jde transformtoru je dna Maxwellovou rov-nic pro kvazistacionrn pole,

C

Hdl =C

Htdl =k

Ik, (2.1)

kde integran drhu C tvo magnetick obvod a intenzita magnetickho pole budetenou k integran drze Hdl. V ppad transformtoru budou proudy budcmagnetick pole funkc asu Ik = Ik(t) stejn jako intenzita magnetickho poleH = H(t).

Magnetick obvod meme rozdlit na jednotliv sti, ve kterch budou stejngeometrick a magnetick vlastnosti jdra. Tyto seky budeme uvaovat jako ho-mogenn a integrl

Htdl pak meme nahradit soutem pes jednotliv sti

magnetickho obvodu, kter bude popisovat jeho heterogenn strukturu. V p-pad poteby je mon tmto zpsobem do vpotu zahrnout i vzduchovou mezeruv magnetickm obvodu.

Magnetick pole transformtoru je tvoeno cvkou, u kter jsou jednotliv zvityprotkny stejn velkm proudem. Pravou stranu rovnice (2.1) je proto vhodnnahradit soutem pspvk jednotlivch cvek

k Ik =

K NKIK , kde NK je

23

2 PECHODOV JEV PI PIPNN TRANSFORMTORU

poet zvit cvky a IK je proud protkajc cvkou. Rovnici (2.1) meme tedypepsat na

j

Hj(t)lj =K

NKIK(t). (2.2)

Magnetick tok je dn indukovanm elektromotorickm naptm podle Fara-dayova zkona

ui = ddt. (2.3)

Magnetick tok lze tak definovat pomoc vztahu

=S

BdS =S

BndS, (2.4)

kde Bn je sloka B kolm k ploe BdS. Magnetick tok i magnetick indukceje v transformtoru asov promnn = (t) a B = B(t). Za pedpokladu, emagnetick pole je homogenn bude tok

(t) = SB(t). (2.5)

V popisu transformtoru je vhodn vzthnout indukn zkon (2.3) na celoucvku s potem zvit N . Indukovan napt v cvce transformtoru pak s uvede-nmi zjednoduenmi bude

ui(t) = NSdB(t)dt

. (2.6)

Relace mezi intenzitou magnetickho pole H a magnetickou indukc B je v ide-lnm linernm materilu dna permeabilitou respektive relativn permeabilitour

B = H = 0rH. (2.7)

V relnm nelinernm magnetiku bude magnetick indukce nelinern funkcintenzity magnetickho pole B = f(H). Nelinearity odrej tvar hystereznsmyky pi magnetovn feromagnetika. Magnetizace je funkc pedevm inten-zity pole a sama sebe, dle pak teploty, asu, mechanickho napt a dalch veliinM(H,M, , t, . . . ).

Rovnocenm je popis magnetickou polarizac J

B(t) = 0 (H(t) + M(H,M, , t, . . . )) = 0H(t) + J(H,J, , t, . . . ). (2.8)

Rovnice (2.2), (2.6) a (2.8) tvo apart pro vyetovn prbh elektrickchveliin U a I transformtoru v zvislosti na ase.

Pi vyetovn pechodovho jevu vznikajcho pi pipnn transformtoruk napjec sti zavedeme pedpoklad, e distribun s je dostaten tvrd zdrojharmonickho napt s prbhem

u(t) = Um sin(t + ), (2.9)

kde vyjaduje okamik pipnut transformtoru k sti.Napt st je svorkovm naptm vinut u, kter lze s uvaovnm parametr

vinut pevst Kirchhofovm zkonem na elektromotorick napt ui

ui1(t) = u(t)R1i1(t) + L1 di1(t)dt

. (2.10)

24

2.1 Pipnn idelnho transformtoru

Odpor primrnho vinut transformtoru R1, jeho rozptylovou induknost L1 anelinearitu magnetickho obvodu prozatm nebudeme uvaovat.

Dosazenm prbhu indukovanho napt s uvedenm zjednoduenm do Fara-dayova induknho zkona zskme po integraci

UmN

sin(t + )dt = (t) (2.11)

UmN

cos(t + ) + k = (t). (2.12)Poten podmnka v ase t = 0 je dan remanentnm magnetickm tokem (0) =r

UmN

cos() + k = r

k =UmN

cos() r. (2.13)Vsledn magnetick tok po zapnut transformtoru m potom prbh

(t) =UmN

[cos(t + ) cos()] + r, (2.14)

respektive

(t) =UmN

[sin(t + +

pi

2) cos()

]+ r. (2.15)

Pi pechodovm dji tedy existuje stejnosmrn sloka magnetickho toku z-visl na okamiku pipojen transformtoru k sti a na remanentnm magnetic-km toku r. Na n je teprve superponovn magnetick tok v ustlenm stavu

(t) =UmN

sin(t + +

pi

2

)= m sin

(t + +

pi

2

), (2.16)

kde hodnota m pedstavuje amplitudu magnetickho toku v ustlenm stavu.Vyetenm extrm funkce (2.15) zjistme, e nejvhodnj je pipojit trans-

formtor v okamikum cos r = 0, (2.17)

kdy nevznikne dn pechodov jev.Pro nulov remanentn tok r = 0 je to, kdy napt st prochz maximem

= pi2 . Maximln tok pak potee jdrem v ase t =pi2 a jeho amplituda odpovd

amplitud v ustlenm stavu max = m. Co ilustruje obrzek 2.1.Naopak maximln indukn tok potee jdrem v ppad, kdy vraz

m cos r bude mt maximln hodnotumax(m cos r). (2.18)

Tento stav nastane napklad v situaci, kdy je transformtor pipojen k sti piprchodu napt nulou = 0 s uvaovnm maximlnho zpornho potenhotoku r. Potom v ase t = pi po pipojen k sti doshne magnetick tok teoretickyhodnoty

max = 2m + r. (2.19)

Skuten velikost magnetickho toku bude ovem vrazn men vlivem ko-nen velikosti impedance primrnho obvodu.

25

2 PECHODOV JEV PI PIPNN TRANSFORMTORU

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05400

200

0

200

400

t [s]

U [V

], k*

[Wb]

max

u

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05400

200

0

200

400

t [s]

U [V

], k*

[Wb]

max

u

r

Obrzek 2.1: Prbh induknho toku (t) podle (2.15) po pipojen transform-toru a) v nejvhodnj okamik splujc podmnku (2.17) b) v nejhorm ppadpodle podmnky (2.18)

2.2 Teoretick velikost zapnacho proudu

Velikost zapnacho proudu vznamn ovlivuje impedance primrnho vinut.V jednoduchm piblen budeme uvaovat pouze odpor vinut. Pomry v jedno-duchm sriovm RL tvoenm odporem vinut a hlavn induknost transform-toru pak popisuje rovnice

R1i + L1di

dt=

2U0 sin(t + ), (2.20)

kde hel je okamik pipnut transformtoru k napjen. Pro jednoduchost bu-deme uvaovat odpor R a induknost L jako konstantn. Poten podmnka lohyje i(0) = 0.

Obecn een rovnice (2.20) pedpokldejme ve tvaru

iO = Ket, (2.21)

kde koen charakteristick rovnice je = R1/L1, kterou meme vyjdit asovoukonstantou

= 1. (2.22)

Partikulrn een zskme z podmnek v ustlenm stavu obvodu v tR1I0 + jL0I0 =

2U0e

j, (2.23)

26

2.2 Teoretick velikost zapnacho proudu

take

I0 =

2U0ej

R1 + jL1=

2U0Z

ej(). (2.24)

Kde impedance Z a bude

Z =R21 + 2L

21; = arctan

L1R1

. (2.25)

Pepsnm rovnice (2.24) z fzorovho vyjden do asovho zskme partikulrneen ve tvaru

iP =

2U0Z

sin(t + ). (2.26)

0 0.05 0.1 0.15 0.2-10

-5

0

5

10

15

20

t[s]

i 1[A

]

y=

j= p/2-y

j

Obrzek 2.2: Prbh proudu pi pechodovm jevu ve zjednoduenm nhradnmobvodu podle (2.29), R1 = 0, 34 , L1 = 0, 105H, u =

2 230 sin(t + )

Cel een je tedy

i = iO + iP = Ke t +

2U0Z

sin(t + ). (2.27)

Integran konstantu K vypoteme z poten podmnky

0 = K +

2U0Z

sin( ). (2.28)

Proud pi pechodovm dji tohoto zjednoduenho obvodu tedy bude

i =

2U0Z

[sin(t + ) e t sin( )

]. (2.29)

Rozborem extrm funkce (2.29) zjistme, e pechodov dj nenastane v p-pad = a bude nejvt pi = pi/2 . Pro uveden ppady jsou prbhyproudu uvedeny na obrzku 2.2.

27

2 PECHODOV JEV PI PIPNN TRANSFORMTORU

Je zejm, e skuten transformtor nem konstantn induknost L, ktervrazn kles pi pesycen jdra. Tuto metodu proto nelze jednodue pout proodhad maxima zapnacho proudu. Pro tento ppad je nutno uveden jednoduchpiblen upravit zavedenm funkce L1 = L1(i). V tom ppad by byl obvodpopsn diferenciln rovnic obdobnou (2.20), ovem s nekonstantnmi koeficienty.

Prakticky pouiteln metoda k piblinmu uren maximln velikosti pikyzapnacho proudu je uvedena v knize Karsaie a kol., 1987 [9] nebo v prezentaciHopkinsona, 2001 [60].

vaha vychz z mylenky, e magnetick tok primrn cvky 1 mus neustleodpovdat indukovanmu napt. Pitom st tohoto celkovho magnetickho toku1 tee jdrem transformtoru c a st a tee mezerou mezi vnjm obvodemjdra a primrnm vinutm.

1 = c + a. (2.30)

V minul podkapitole bylo odvozeno, e teoretick maximln tok je

max(1) = 2m + r. (2.31)

Vlivem pechodovho jevu po zapnut dojde k pesycen jdra. Magnetick tokjdrem je v tom ppad omezen indukc nasycen materilu jdra Bs a prezemjdra Sc

c = BsSc. (2.32)

st magnetickho toku jdra je vytlaena vn jdra do mezery mezi jdrem aprimrn cvkou. Magnetick tok v tto mezee a je

a = BaSa. (2.33)

Plocha mezery mezi vinutm a jdrem Sa je urena prmrnm prezem vinutDwind a vnjm prmrem jdra Dc podle obrzku 2.3.

la

Dwind

Dc

Dc

Dwind

la

Obrzek 2.3: Geometrie jdra a vinut pro odhad velikosti maxima zapnachoproudu podle Karsaie a kol., 1987 [9]

28

2.2 Teoretick velikost zapnacho proudu

Dosazenm maximln teoretick hodnoty magnetickho toku (2.31) do rovnice(2.30) urme tok v mezee mezi primrnm vinutm a jdrem

a = 1 c = 2BmScm +

BrScr

BsScc . (2.34)

Tomu odpovd magnetick indukce

Ba =ScSa

(2Bm + Br Bs). (2.35)

Magnetick indukci v mezee mezi jdrem a primrn cvkou odpovd intenzitamagnetickho pole

Ha =10Ba. (2.36)

Maximum piky zapnacho proudu se ur obdobn jako u vzduchovho sole-noidu

Imax =Hal0N

=Bal00N

, (2.37)

kde l0 je dlka jeho induknch ar ve vzduchu. Dosazenm (2.35) zskme vztahpro vpoet maxima zapnacho proudu

Imax =10

Scl0SaN

(2Bm + Br Bs). (2.38)

Vsledn hodnoty pro sledovan vzorky transformtor jsou uvedeny v tabulce2.1.

Tabulka 2.1: Teoretick velikosti maxim zapnacho proudu podle (2.38)

Parametr RJV 1,6 RJV 6,3Prez jdra Sc [m2] 1,86e-3 5,3e-3Prez mezery mezi vinutm a jdrem Sa [m2] 2,5e-3 5,4e-3Vka vinut l0 [m] 0,13 0,178Poet zvit primr. vinut N1 320 217Amplituda pracovn indukce Bm [T ] 1,55 1,5Maximln remanentn indukce Br [T ] 0,95 0,95Indukce nasycen Bs [T ] 1,98 1,98Maximln pika zapnacho proudu Imax [A] 498 1260

Dal metoda vpotu prbhu zapnacho proudu je uvedena v lnku JesuseRica a kol., 2001 [71]. Jde o vyetovn zapnacho proudu simulac ve frekvennoblasti. Nelinern chovn jdra autoi popisuj polynomem, pitom zanedbvajvliv hystereze a vivch proud. Toto vyjden problmu ve frekvenn oblastisdruuje dohromady vliv remanentnho magnetickho toku a stejnosmrn slokymagnetickho toku vyvolan okamikem pipnut transformtoru k sti, proto nentento postup vhodn pro vyetovn zapnacho proudu v zvislosti na stavu jdraped pipnutm a podmnkch pi pipnut k sti.

29

2 PECHODOV JEV PI PIPNN TRANSFORMTORU

2.3 Odeznvn pechodovho jevu

Pechodov dj odeznv bhem nkolika destek a stovek period vlivem ztrtv eleze a na impedanci primrnho vinut.

Jednoduch piblen rychlosti odeznvn pechodovho jevu je dno lenem

it =

2U0 sin( )R21 + 2L

21

eR1L1

t (2.39)

z rovnice (2.29). Vsledek bude opt ovlivnn neuvaovnm saturace induknostiL.

Lepch vsledk je mono doshnout eenm sady rovnic (2.4), (2.2), (2.8) a(2.15) doplnn o rozptylovou induknost a odpor vinut

(t) =Um

(cos(t + ) cos()) + r + R1

i1(t)dt L1i1(t). (2.40)

Tento systm rovnic popisuje transformtor s uvaovnm relnch vlastnost vi-nut a nelinearit magnetovn jeho jdra. Vhodnm nstrojem pro vpoet je nu-merick een uvedench rovnic. Popis konstrukce komplexnho matematickhopopisu transformtoru je een v kapitole 3.

2.4 Podmnky podporujc intenzivn zapnac proud

Jak bylo strun zmnno v vodu, tak ne vechny typy transformtor trpnenosn velkm zapnacm proudem. Dominantn vznam m impedance primr-nho obvodu a jej pomr k impedanci transformtoru pracujcho ve jmenovitchpodmnkch. Do impedance primrnho obvodu je teba zahrnout nejen parametryvlastnho transformtoru, jak je uvedeno v (2.10), ale tak impedanci napjechozdroje, pvod a dalch vloench obvod.

Samotn pechodov dj je pak uren konstrukc magnetickho obvodu trans-formtoru. Nzorn je to prezentovno rovnic (2.38). Jde pedevm o rezervu mezipracovn indukc, na kterou je transformtor navren a indukc saturace pouithomaterilu jdra. Vc je trochu komplikovanj, protoe zle pedevm na tvarumagnetizan smyky ped vlastn saturac. Z tohoto pohledu jsou nevhodn mo-dern a stle vce pouvan materily, kter maj velice strmou hysterezn smykus rychlm pechodem do saturace. Tlak na pouvn tchto materil je dn po-adavkem na velmi mal ztrty v magnetickm obvodu.

2.5 Vliv zaten transformtoru na zapnac proud

V nkterch pramenech, jako napklad v lnku Steurera a Frhlicha, 2002[73], je zmnno, e nejvt amplituda zapnacho proudu je u nezatench trans-formtor. Pokusme se proto zamyslet nad vlivem zaten na velikost zapnachoproudu.

Sekundrn proud se pit v transformanm pomru k magnetizanmuproudu, take souet tchto proud protk primrnm vinutm. Pro pesnost jemono do vahy zaadit ztrty v sekundrnm vinut. Zapnac proud je zpsobensaturac jdra transformtoru. Magnetizace jdra transformtoru je pmo zvislna elektromotorickm napt, kter vytv primrn vinut. Toto elektromotorick

30

2.6 Silov inky zapnacho proudu

napt odpovd napt zdroje a bytku na impedanci primrnho obvodu. Odbrze sekundrnho vinut se pit k proudu tekoucmu primrnm vinutm a takzvyuje bytek napt na impedancch primrnho obvodu. Tm dochz k poklesuindukovanho napt, magnetizace a k zmenen zapnacho proudu.

Mra zmenen zapnacho proudu je z tohoto dvodu dna pedevm velikostimpedance primrnho obvodu. U malch transformtor s vraznm innm od-porem vinut dojde pi zaten sekundrnho vinut k pozorovatelnmu zmenenzapnacho proudu. Ovem u transformtor s velmi malou impedanc nakrtkopipojovanch k napjec sti s malou impedanc je zmenen zapnacho prouduzpsoben odbrem ze sekundrnho vinut zanedbateln. Pkladem jsou nap-klad bezpenostn oddlovac transformtory.

2.6 Silov inky zapnacho proudu

Na vodi v magnetickm poli protkan proudem, co je samozejm ppadvinut transformtoru, psob Lorentzova sla. Jej velikost vztaen na elementrndlku vodie dl je

dF = IdlB. (2.41)Za normlnch provoznch podmnek nedosahuje elektromagnetick sla psobcna vinut vznamnch velikost.

Z Lorenzova vztahu vyplv, e pro vinut jsou nebezpen provozn stavytransformtoru, pi kterch protk vinutm velk proud. Z tohoto pohleduje dobe prostudovn inek zkratovch proud, kterm se zabvaj praktickyvechny monografie vnovan transformtorm.

Daleko mn jsou diskutovny ppady poruchy transformtoru vznikl elektro-magnetickou silou vyvolanou zapnacm proudem. V knize Eugeniusze Jezierskho,1973 [8] na str. 523 je dokonce uvedeno, e tyto sly nejsou pro transformtor ne-bezpen. Naopak lnek Michaela Steurera a Klause Frhlicha, 2002 [73] se pmozabv urenm velikosti elektromagnetickch sil psobcch na vinut pi prchodumaximlnho zapnacho proudu. Vsledky autor dokazuj, e axiln sla nam-hajc vinut vlivem zapnacho proudu je srovnateln a v nkterch ppadech ivt ne sla vznikajc pi prchodu zkratovho proudu.

Sla psobc na vodi vinut pi prchodu zapnacho proudu je urena zap-nacm proudem a magnetickou indukc v mst vinut, tedy rozptylovm magne-tickm polem transformtoru. Pitom je nutn si uvdomit, e zapnac proud jesrovnateln se zkratovm proudem a pi prchodu velkho zapnacho proudu jejdro transformtoru saturovno. Rozptylov magnetick tok je tedy vrazn vtne v bnm provoznm reimu a ne pi prchodu zkratovho proudu.

Psoben maximln sly bhem pechodovho jevu po zapnut trv jednotkymilisekund a periodicky se opakuje se zmenujc se amplitudou, dokud pechodovdj neodezn. Naproti tomu zkratovm proud psob na vinut destky milisekund,ne dojde k vybaven ochran transformtoru. Zapnn je pi bnm provozu vt-iny transformtor daleko astj ne psoben zkratovch proud.

Jak uvd zmnn lnek [73], tak vinut nejsou vtinou pokozena okamitmsilovm inkem zapnacho proudu, jak je tomu u zkratovho proudu. K pokozenizolanho systmu dochz postupn bhem provozu vlivem vibrac zpsobenchelektromagnetickmi silami pi prchodu zapnacho proudu.

31

2 PECHODOV JEV PI PIPNN TRANSFORMTORU

2.7 Monosti omezen proudu pi pechodovm jevu

Z uvedenho rozboru vzniku pechodovho dje pmo vyplvaj mon zpsobypotlaen vraznch zapnacch proud. V podstat jsou mon pouze ti zkladnmonosti. Pipnut ve vhodn fzi napjecho napt, snen pracovn indukce,na kterou je transformtor navren, a odstrann remanentn indukce. Vechnypouvan praktick i teoretick metody vyuvaj zmnnch pstup nebo jejichkombinac.

Mylenka pipnut transformtoru ve vhodn fzi napjecho napt vychzz podmnky pro nulovou stejnosmrnou sloku magnetickho toku (2.17). Tatometoda je z fyziklnho pohledu ideln. Parametry transformtoru jsou zcelazachovny. Pechodov jev trv nulovou dobu, transformtor okamit pracujev ustlench podmnkch, a proto zapnac proud odpovd proudu v ustlenmstavu. Pm vyuit tto metody je bohuel technicky velmi nron a prakticky sepouv zdka. Vznam m tento pstup u metod odvozench, jak bude uvedenov kapitole 4.

Snen pracovn indukce transformtoru neovlivuje podmnku vzniku zapna-cho proudu, ale inn zvyuje rezervu mezi maximlnm tokem max a saturacjdra s a tak omezuje velikost zapnacho proudu. Od pracovnho magnetickhotoku je odvozena jak stejnosmrn sloka magnetickho toku vznikajc pi pecho-dovm jevu, tak i remanentn tok r. Snen pracovn indukce se tedy promtne dovech len rovnice (2.19). Kad snen pracovnho toku m proto za nsledekpiblin trojnsobn zvten rezervy ped saturac. Zmenen maxima zapna-cho proudu jde odhadnout ze zjednoduenho odhadu maxima zapnacho proudu(2.38).

Snen pracovn indukce se provede zvtenm prezu jdra a zvenm potzvit vinut. Zrove se zvtuje impedance vinut, kter dle sniuje velikostzapnacho proudu. Tyto pravy ovem zpsob nrst ztrt naprzdno i nakrtko,zvten a prodraen celho transformtoru.

Zvten impedance primrnho obvodu neomezuje pmo rozvoj pechodovhojevu. Impedance brn nrstu zapnacho proudu tak, e sniuje elektromotoricknapt a tm pracovn indukci. Impedance primrnho vinut tak urychluje ode-znvn stejnosmrn sloky magnetickho toku. Zvten impedance vinut vakpmo odpovd zven napt nakrtko. V praxi se pouv bu trval zvenimpedance primrnho obvodu, nebo jej zven pouze po dobu rozbhu.

Odstrann remanentn indukce psob obdobn jako snen pracovn indukce.Vytv rezervu mezi maximlnm tokem a saturac jdra. Teoreticky je zapnacproud podle (2.38) snen o necelou tetinu, jak potvrzuje experimentem Molcrettea kol., 1998 [64]. Pi praktickm nasazen se mohou dle objevit problmy s dosa-enm plnho odstrann remanence a se samovolnm optovnm zmagnetovnmjdra vlivem slabch okolnch pol.

32

3 Matematick model transformtoru

Jednm z efektivnch nstroj poznn a prostedkem pro zkoumn relnhosystmu je matematick model jako souhrn matematickch vztah popisujcchfyzikln systm. Zkladnm poadavkem na model je, aby co nejvrnji popisovalobjektivn realitu pi minimln sloitosti matematickho popisu. Nalezen pija-telnho kompromisu mezi tmito protichdnmi poadavky je asto velice obtna vtinou se poda a po nkolika pokusech po zaveden ady pedpoklad a zjed-noduen. een vyaduje praktick a teoretick zkuenosti, vyuvn ovenchstandardnch model a tmovou prci pi een rozshlejch projekt.

Sestavovn modelu se skld s tchto etap:

Analza a formulace lohy.

Konstrukce matematickho modelu.

Identifikace parametr modelu.

een matematickho modelu.

Verifikace modelu.

Interpretace vsledk.

Transformtor jako elektrick stroj tvo pouze jeden prvek v elektrickm ob-vodu. Vyetovno je psoben okolnch prvk obvodu na transformtor a takzptn vliv transformtoru na zkouman obvod. Pedmtem zjmu jsou pede-vm svorkov napt a proudy tekouc jednotlivmi vinutmi stroje. V nkterchspecilnch ppadech je mon zohledovat tak vlivy teploty, okolnho magnetic-kho pole a dal vlivy.

Od matematickho modelu transformtoru je poadovno, aby vypotal zeznmch prbh nkterch tchto veliin k nim pslun zvisl veliiny tak, abycel systm pln uril chovn transformtoru v obvodu a umonil een obvodujako celku. Je tedy nutn zajistit sluitelnost modelu transformtoru s matema-tickm modelem ecm cel zkouman obvod.

Zde popsan model je vyjden jako zvislost proud vinutmi na svorkovchnaptch transformtoru

I = LU (3.1)

pomoc opertoru transformtoru L. Tento typ vyjden byl zvolen s ohledem natyp zkoumanch obvod. V ppad provozovn transformtor pro distribuci apenos energie se vtinou uvauje sov napt jako nezvisl vstupn veliina proeen obvod. To je vhodn tak pro vyetovn obvod mkkho rozbhu, protoety jsou umstny bezprostedn na vstupu transformtoru a d jeho svorkovnapt. Primrn proud se pot ur z modelu transformtoru. Chovn zte jenutno popsat jej admitanc, tj. zvislost napt na proudu.

Pi pechodovch jevech se dostv transformtor do siln nelinernch ob-last jeho pevodn charakteristiky, kter je hlavn odrazem magnetovn materilumagnetickho obvodu. Pi tchto jevech a tak pi nespojitm zen transformtoruzvis vznamn chovn transformtoru na poten podmnce dan zbytkovmmagnetickm tokem.

33

3 MATEMATICK MODEL TRANSFORMTORU

Z toho logicky plynou hlavn poadavky na matematick model transformtoru,a to dodren tvaru efektivn magnetizan kivky a velikosti remanentn indukce veshod s relnm strojem. Odeznvn zapnacho proudu zpsobuj ztrty trans-formtoru, take doplujcm poadavkem na model je jejich dostaten vrnnapodoben.

3.1 Matematick model transformtoru s uzavenm j-drem

Pedmtem zjmu tto prce je zkoumn pechodovch jev u transformtorpracujcch pi normln frekvenci napjec st 50 Hz. Od matematickho modeluse proto poaduje dostaten pesnost pi bnch provoznch podmnkch, tj. odchodu naprzdno do jmenovitho zaten, tak prv pi pechodovm jevu kdedochz k vraznmu pesycen magnetickho obvodu. Hlavn draz je pi tomkladen na penos energi v elektrickm obvodu s transformtorem.

Lm

L (H)s1

Rfe

R2L 2s (H)

p

P(H)

u1 u2

i1 i2

M (H)s12

R1

Obrzek 3.1: Nhradn obvod transformtoru

Pi sestavovn ne popsanho modelu nebylo clem vytvoit dokonal mo-del transformtoru postihujc vechny nuance jeho chovn pi velmi odlinchpouitch a provoznch stavech. Model popisuje transformtor bnm zpsobemzaloenm na nhradnm obvodu s prvky se soustednmi parametry uvedenmna obrzku 3.1. Z dvodu zachovn velikost obvodovch veliin na sekundrnstran byla pouita reprezentace s blokem pevodu transformtoru p oproti p-stupu pepotn velikost prvk nhradnho obvodu sekundrnho vinut R2 aL2 na primrn stranu.

Reprezentace prvky se soustednmi parametry je vyhovujc pro zkoumnenergetickch tok za bnch provoznch podmnek nzkofrekvennch transfor-mtor urench pro penos vkonu. Naopak model nen vhodn pro popis vysoko-frekvennch transformtor nebo prchodu pepovch rz transformtorem apodobnch problematik. V tchto ppadech nelze zanedbat vliv kapacitnch vazebmezi jednotlivmi stmi transformtoru.

Kapacity mezi vinutmi u zkoumanch vkonovch ad transformtor jsou,jak je uvedeno v ploze E, v du jednotek nanofarad. Take jimi penesen v-kon je v setinch var nebo desetinch var v ppad pechodovho jevu. V p-pad modelovn obvod mkkho startu pouvajcch spnn primrnho naptse kapacitn vazby uplatn ponkud vce vzhledem k obsahu vysokch frekvencu strmch hran pi sepnut napt.

34

3.1 Matematick model transformtoru s uzavenm jdrem

f

2

f

s2

f

f

f

1

f

s1

i2i1 f

s12

Obrzek 3.2: Schma rozloen magnetickch tok v jdrovm transformtoru

Vlastn penos energie jednofzovm transformtorem je popsn magnetickmtokem podle obrzku 3.2 a navazuje na prci Zocholla a kol. [20]. bytky naptna vinutch jsou do modelu zahrnuty v souladu s obrzkem 3.1.

Svorkov napt primrnho vinut u1 odpovd podle Kirchhofova zkonabytku na odporu vinut R1, bytku na rozptylov induknosti vinut L1 a induko-vanmu napt ui1. Indukovan napt uruje podle indukho zkona celkov tokvinutm. Ten je dn soutem vzjemnho toku mezi vinutmi a rozptylovho tokuvinut 1. Vzjemn tok mezi vinutmi tvo dv sloky spolen tok tekoucjdrem a st tekouc mimo jdro 12, kter je v modelu oznaena vzjemnouinduknost M12. Rovnice svorkovho napt primrnho vinut m pak tvar

u1(t) = R1i1(t) + L1(H)di1dt

+ M12(H)di2dt

+ N1d

dt. (3.2)

Obdobn je vytvoena rovnice pro svorkov napt sekundrnho vinut

u2(t) = R2i2(t) + L2(H)di2dt

+ M21(H)di1dt

+ N2d

dt. (3.3)

Magnetick tok jdra transformtoru je tvoen proudy obou vinut

d

dt= P

(B,H,

dH

dt

).N1

di1dt

+ P

(B,H,

dH

dt

).N2

di2dt

. (3.4)

Rozptylov induknost L je urena z rozptylovho magnetickho toku p-slunho vinut

Li = Nididii

. (3.5)

Pi pesycen jdra dochz ke zmnm v rozloen magnetickho toku. Rozptylova vzjemn induknosti pak nejsou konstantn Li = Li(H) a Mij = Mij(H).

Funkce P(B,H, dH

dt

)je magnetick vodivost jdra transformtoru s jednotkou

[Wb.A1.zvit1] dan vrazem

35

3 MATEMATICK MODEL TRANSFORMTORU

P

(B,H,

dH

dt

)=(B,H, dH

dt

).S

l, (3.6)

kter zahrnuje popis nelinernho chovn magnetickho obvodu transformtoru.Rovnice (3.2), (3.3) a (3.4) meme pepsat do maticovho tvaru u1(t)R1i1(t)u2(t)R2i2(t)

0

= L1 M12 N1M21 L2 N2P.N1 P.N2 1

di1dtdi2dtddt

. (3.7)Kde prvn matici na prav stran rovnosti nazveme matic koeficient LLL, kteruruje penos transformtoru.

Jeliko svorkov napt na vinutch jsou v naem ppad vstupnmi veliinamimodelu transformtoru a proudy a magnetick tok se sname urit, pepemerovnici (3.7) do tvaru di1dtdi2

dtddt

= L1 M12 N1M21 L2 N2P.N1 P.N2 1

1 u1(t)R1i1(t)u2(t)R2i2(t)0

. (3.8)3.2 Magnetizan proces feromagnetika

Pro vyjden nelinearit v modelu transformtoru je nejpodstatnj vlastnostchovn jeho magnetickho obvodu pi magnetovn, zvislost hodnoty magnetickpolarizace M , nebo magnetick indukce B, na intenzit vnjho magnetickho poleM(H) ppadn B(H). Tato zvislost se oznauje jako magnetizan kivka. Teoriemagnetizan kivky je zaloen na existenci domnov struktury feromagnetickchmateril. Hypotzu o jejich existenci poprv vyslovil roku 1907 Pierre Weiss.

Stavba atom feromagnetickch ltek je stejn jako u paramagnetickch. Ne-vykompenzovan magnetick momenty spin vytvej stl magnetick momentatomu. Ve feromagnetickch ltkch se magnetick momenty sousednch atomuspodvaj dky vmnnm silm paraleln a vznikaj tak oblasti spontnnzmagnetovan a do nasycen. Magnetick moment tchto oblast je asi 1015 vtne magnetick moment samotnch atom. Tyto oblasti se nazvaj Weissovy do-mny a jejich velikost je dna rovnovhou mezi magnetostatickou energi a energidomnovch stn. Smr magnetizace sousednch domn se na jejich hranici nemnskokem, ale spojit, co poprv prokzal 1932 Felix Bloch. Tlouka tto stny z-vis na rovnovze mezi energi vmnnch sil a energii krystalografick magnetickanizotropie a pohybuje se od 108m do 106m.

Bez ptomnosti vnjho magnetickho pole jsou domny uspodny statis-ticky nhodn 1 tak, aby se minimalizovala energie rozptylovho pole tchto spon-tnn zmagnetovanch domn. Take navenek se materil jev jako nezmagneto-van.

Pi zvyovn vnjho magnetickho pole dochz k postupnmu posouvn do-mnovch stn. Domny, jejich vektor spontnn magnetizace alespo piblinodpovd smru vnjho pole, se roziuj na kor domn orientovanch nev-hodn. Domnov stny mus pi posunech pekonvat rzn defekty materilu2,

1U anizotropnch materil pevldaj orientace tchto domn v tzv. smru snadnho magne-tovn.

2Rzn poruchy krystalov mky, hranice zrn atp.

36

3.2 Magnetizan proces feromagnetika

Obrzek 3.3: Vliv domnov struktury na tvar magnetizan kivky pro rznmaterily a konfigurace magnetickho obvodu. Na schematickch ezech magnetikaje znzornna domnov struktura s vektory polarizace jednotlivch domn.

na nich se zastavuj, ne se energie dodvan vnjm magnetickm polem nevy-rovn energii potebn k pekonn tto poruchy. Pot dojde k prudkmu posunudomnov stny do nov rovnovn polohy ped dal pekku. Tento posuvdomnov stny se nazv Brakhausenovm skokem a jeho rychlost je omezena v-ivmi proudy. Posuny domnovch stn v rozsahu ne dojde k Brakhausenovmskokm jsou vratn. Naopak dsledkem pekonvn pekek pi posunech dom-novch stn je nevratnost tchto posuv, nespojitost zmn magnetizace, rozenmagnetizan kivky a ztrty energie.

Pi vych intenzitch vnjho magnetickho pole dochz k oten vektoruspontnn magnetizace domny do smru vnjho pole. Toto sten je energeticky

37

3 MATEMATICK MODEL TRANSFORMTORU

nronj ne posuny domnovch stn, proto pi magnetovn materilu nejprvepevldaj posuny domnovch stn a a v dal fzi magnetovn, kdy u dom-nov stny vymiz 3, se uplatuj procesy sten vektoru spontnn magnetizace.Procesy sten vektoru spontnn magnetizace mohou bt obdobn jako posunydomnovch stn vratn a nevratn.

Siln magnetick pole ovlivuje vlastn paraleln uspodn atom tvocchmagnetickou domnu a pi silnch polch dochz k zlepovn paraleln orientace,m se zv spontnn magnetizace nad jej termodynamicky rovnovnou hod-notu. Tento jev se nazv paraproces.

3.3 Matematick popis magnetizan kivky

Pro popis magnetizan kivky byla od potku 19. stolet vyvinuta ada mate-matickch model. Dnes se, podle Jilese, 1991 [36], pouvaj ji jen nkter z nich,a to Preisachv model uveden napklad Sjstrmem, 2001 [38], nebo Nakma-hachalasintem a kol., 2002 [37]. Dle pak Stoner-Wohlfarthv model pouitelnpouze pro jednodomnov stice, kter nalezl uplatnn pi popisu magnetizacezznamovch mdi a vet uzavr Jiles-Athertonv model publikovan napkladJilesem, 1991 [36], pouvan napklad Venkataramanem, 1999 [41].

Preisachv model hystereze je fenomenologick model, vytvoen jako obecnnstroj pro popis pojmu hystereze v roce 1938 F. Preisachem. Z tohoto zkladnhomodelu bylo odvozeno nkolik dalch variant, ale zkladn princip zstal nezm-nn. Popis hysterezn kivky je vytvoen pomoc superpozice relovch opertor,takzvanou Preisachovu rovinou R uvedenou na obrzku 3.4, Preisachovou mrouw a tzv. pamovou funkc C. Pamov funkce je kivka tvoc hranici v rovinR a uruje stav relovch opertor. Opertory pod hranin funkc jsou ve stavu1 ostatn ve stavu -1 jako na obrzku 3.5a.

Obrzek 3.4: Obecn relov opertor a Preisachova rovina R s Preisachovou mrouw(, ) podle Xiaoba a kol., 2001 [47].

Mra w je pak vhovou funkc, kter uruje vliv jednotlivch opertor nahodnotu vstupn veliiny. Vstup y(t) v zvislosti na vstupu u(t) uruje integrl

y(t) =

3.3 Matematick popis magnetizan kivky

Vstupn veliina y(t) je tedy plocha pod kivkou C na obrzku 3.5 vynsobenvhovou funkc w(, ).

b

a

a = b

w(a,b)

+1

-1

b

a

a = b

w(a,b)

+1

-1u+

b

a

a = b

w(a,b)

+1

-1

u-C0

C0C0

C+ C-

a) b) c)

Obrzek 3.5: a) Preisachova rovina R s pamovou kivkou C. b) Zmna tvarupamov kivky C pi nrstu vstupn veliiny. c) Zmna tvaru pi jejm poklesupodle Xiaoba a kol., 2001 [47].

Pamov kivka je vytvena prbhem vstupn veliiny u, co je v ppadferomagnetick hystereze intenzita magnetickho pole H. Pi nrstu intenzityz hodnoty H0 na H+ jsou vechny sti pamov kivky lec pod hodnotou H+,ve smyslu osy , zveny na hodnotu odpovdajc H+, jak ukazuje obrzek 3.5b.Naopak pi sniovn intenzity z vchozho stavu H0 na H jsou vechny stikivky lec vpravo od hodnoty H na ose odstranny jako na obrzku 3.5c.Vstupem je funkce, kter si pamatuje pedchoz stav a podle vlastnost funkce wvytv hysterezn smyky rznho tvaru.

Naproti tomu Jiles-Athertonv model hystereze je zaloen na fyziklnm po-pisu pochod pi magnetizaci a pemagnetizaci feromagnetickho materilu. Vy-chz z energetick bilance pi magnetovn feromagnetika. Zjednoduen lze ci,e energie dodan vnjm budicm polem Wext, co je zrove plocha magneti-zan smyky, odpovd energii potebn na pemagnetovn Wmag a energii ztrtWloss

Wext = Wmag + Wloss. (3.10)

Energie na pemagnetizaci je ponkud nestandardn veliina vyjadujc uloenenergie zmagnetovnm materilu a vyjaduje se jednoduchou funkn zvislostMan(H), kter odpovd saturan kivce. Ztrty jsou zpsobeny zejmna pohybemdomnovch stn relnm materilem obsahujcm poruchy krystalov mky.

Model hystereze je vyjden diferenciln rovnic

dMtotdH

= (1 c) Man Mirrk (Man Mirr) + c

MandH

, (3.11)

kde c je konstanta urujc poten magnetizaci a tm tvar panensk magnetizankivky, je Waissova konstanta molekulrnho pole, k je pmo mrn koercitivnsle.

3.3.1 Srovnn pouvanch model hystereze

Pro objektivn vbr konkrtnho modelu je dobr pedem srovnat jejich vlast-nosti, jako je souhlas chovn s relnm feromagnetikem, sloitost implementace,obtnost nastaven parametr modelu a rychlost vpotu.

39

3 MATEMATICK MODEL TRANSFORMTORU

Jiles-Athertonv model je diferenciln rovnic vyjadujc zmnu magnetizaceM v zvislosti na jej aktuln hodnot a intenzit magnetickho pole H. To vedepi kadm dotazu na hodnotu r na een diferenciln rovnice, co komplikujecel model, nebo model transformtoru je sm o sob diferenciln rovnic. Taktodefinovan model je bu extrmn vpoetn nron, nebo je nutn zavst zjed-noduen pro zrychlen numerickho een.

Preisachv model je v porovnn s Jiles-Athertonovm modelem o nco snazna realizaci. Nen popisovn diferencily, ale integrlem souinu funkc pes plochu,co pi numerickm zpracovn vede na ven souet. Hodnota r je vyjdenajako pomrn zmna plochy pi zvyovn nebo sniovn budic funkce. Nejvtobt tohoto modelu je realizace hranice plochy Preisachovy mry w(, ), kter jeurovna zlomovmi body vytvenmi prbhem intenzity H(t). Tch me btv nejhorm ppad nekonen mnoho. To zpsobuje problmy s nvrhem velikostivektoru pamov funkce a znamen vysok nroky na pamov prostor. Proto seasto zavd granularity plochy R tak, aby se stanovily nejmen mon intervalymezi jednotlivmi zlomy, a tm se urila maximln velikost pamovch vektor.

Jiles-Athertonv model je fyziklnm modelem a tedy sm o sob velice dobereprezentuje chovn feromagnetickch materil. Nejvraznjmi negativnmivlastnostmi je statinost modelu a obtnost dosaen naprosto shodnho tvaruhysterezn smyky s relnm materilem. Pesto je model pomrn vrn a docelapesn reprodukuje i vlastnosti jako bytek remanentn magnetizace s asem.

Preisachv model je schopen pesn popsat tvar hysterezn smyky, ovempouze pro urit rozsah intenzit pole H dan velikost Preisachovy roviny. Tvarminoritnch smyek je dobr v ppad, e je pouita dostaten jemn granularitaPreisachovy roviny R. Model je opt statick. Chovn magnetizace popisuje tentomodel skuten bez asovch zvislost, co znemouje pokles remanentn mag-netizace s asem. Podle typu implementace model um simulovat Brakhausenvum. Velkou vhodou je, e lze vytvoit takzvan inverzn Preisachv opertor.Ten umouje vypotat z dan hodnoty magnetick indukce B hodnotu inten-zity magnetickho pole H potebnou pro vytvoen zadan indukce. To je uitennapklad pro zen magnetostriknch aktutor a je pouito v prci Smitha, 1998[39].

Pokud m bt model dostaten vrn, je teba jej naplnit sprvnmi infor-macemi. Parametry Jiles-Athertonova modelu jsou konstanty c, , k a funkceMan(H). Konstanta c je urena smrnicemi kivky prvotn magnetizace a kivkybezeztrtov magnetizace Man(H), je materilov vlastnost, k je pmo zvislna hodnot koercitivn sly Hc. Funkci bezeztrtov magnetizace Man(H) je monzmit na relnm magnetickm obvodu. Nastaven modelu je mon s pouitmbn dostupnch prostedk, jako je autotransformtor, osciloskop apod.

Vlastnosti Preisachova modelu jsou pln popsny rovinou R a funkc w. Tase vtinou nahrazuje jej diskrtn formou. Rovina R se pot vypln vhovmikoeficienty diskrtn nhrada funkce w. Zskn jednotlivch vhovch koeficientje obtn, nebo vyaduje zen vkonov zdroj schopn dodvat do induknzte pilovit i trojhelnkov signl o amplitud a destky ampr v zvislostina velikosti zkoumanho vzorku materilu. Zrove je teba dostaten pesnmit hodnotu magnetick indukce B, napklad integrac indukovanho napt,co vyaduje ostaten velkou rychlost zmny budicho napt. Tm rostou nrokyna zen zdroj, je nutn vy napt a jeho vy vkon.

40

3.4 Jiles-Athertonv model hystereze

Tabulka 3.1: Porovnn vlastnost Preisachova a Jiles-Athertonova modelu hyste-reze

Kritrium Preisach Jiles-AthertonTvar magnetizanch smyek dobr dobrTvar minoritnch smyek dobr prmrnRozsah intenzity mag. pole H omezen neomezenPokles remanentn indukce s asem nelze dobeBrakhausenv um prmrn nelzeeen inverzn lohy H(B) lze iteranm procesemSloitost implementace prmrn prmrnZskvn parametr modelu obtn snadnRychlost vpotu velk prmrnPamov nroky velk mal

Rychlost vpotu modelu je dleit v on-line aplikacch nebo pokud jsou pro-vdny opakovan simulace, napklad pi optimalizaci parametr obvodu vyu-vajcho tento model. V ostatnch ppadech je rychlost obvykle mn vznamnmkritriem. Jak bylo zmnno ve, Jiles-Athertonv model vyaduje nalezen e-en implicitn zadan diferenciln rovnice, zatmco Preisachv model je pouzevenm soutem pes nepli rozshlou matici obvykle 1010 prvk. Tomu takodpovdaj vsledky, kdy je v zvislosti na implementaci Preisachv model dvakrta tikrt rychlej ne Jiles-Athertonv.

Pi zkoumn pechodovch jev, kdy se transformtor dostv do siln pesy-cenho stavu, je nutn simulovat magnetizaci pi extrmnch hodnotch intenzitymagnetickho pole H. V Preisachov modelu je ovem rozsah intenzit omezen apoadavek na postihnut velkho rozsahu intenzit znamen pouit velk Preisa-chovy roviny R, extrmn pamov nroky a znan zpomalen vpotu.

Jiles-Athertonv model umouje simulovat pokles remanentn indukce po od-pojen napjen. Tento reim vyuvaj nkter obvody mkkho rozbhu pouvank potlaen projev pechodovho jevu.

Z uvedench dvod vyplv, e pi een pechodovho jevu transformtorua obvod pouvanch k jeho potlaen je vhodnj pouit Jiles-Athertonovamodelu hystereze.

3.4 Jiles-Athertonv model hystereze

Tento model navrhli v roce 1983 D. Jiles a D. Atherton pro modelovn vnjchprojev hystereze u feromagnetickch materil. Jejich clem bylo napodobit B-Hmagnetizan kivku, pozorovatelnou u feromagnetickch ty a toroid.

Tento matematick model je zaloen na principu P. Durhema, kter poprvpopsal hysterezi diferencilnmi rovnicemi. Vytvoil tak fenomenologick model,jeho vstup mn svoji charakteristiku pouze pi zmn smru vstupn veliiny.Funkce popisujc chovn systmu f1 a f2 Durhemova modelu jsou voleny podleznamnka asov derivace vstupu u(t) :

dy

dt= f(y(t), u(t),

du

dt) =

{f1(y(t), u(t)), dudt 0f2(y(t), u(t)), dudt 0

. (3.12)

41

3 MATEMATICK MODEL TRANSFORMTORU

Tato konstrukce popisuje chovn uvnit hranice uzavrajc plochu hystereznsmyky. Vstupn veliina zvis na sv pedchoz hodnot a na smru zmnyvstupn veliiny. Z toho vyplv, e model pracuje s lokln pamt a pi pokusuo nvrat vstupn veliiny k pvodn hodnot se nedostaneme do vchozho bodujako na obrzku 3.6.

-150 -100 -50 0 50 100 150-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

H[A/m]

B[

T]

Obrzek 3.6: Model hystereze s lokln pamt. V kadm bod me pokraovatpo dvou rznch kivkch v zvislosti na derivaci intenzity magnetickho pole podle Sjstrma, 2001 [38] str. 35

Jiles a Atherton pepracovali Durhemv model na zklad pozorovn posuvdomnovch stn feromagnetickch materil. Jejich teorie vychz z energetickbilance pi magnetovn feromagnetika. Proces magnetovn je pitom rozdlen nabezeztrtovou st magnetizace a na ztrty. V modelu figuruj leny odpovdajcnevratnm i vratnm posunm domnovch stn a sten vektoru magnetizace.Je zde uvaovna tak Weissova teorie molekulrnho pole. Odvozen je prove-deno v souladu s pslunmi fyziklnmi zkony, ale je zde provedena cel adazjednoduen a nahrazen.

3.4.1 Weissova teorie molekulrnho pole

V popisu magnetizace je pouita Weissova teorie molekulrnho pole popsannapklad ternberkem, 1979 [31] str. 87, Hajkem a kol., 1982 [25] str. 41, neboVenkataramanem a Krishnaprasadem, 1998 [42], a dalmi.

Na kad nositel magnetickho momentu psob krom vnjho magnetickhomomentu tak pole molekulrn 4 Hmol mrn magnetizaci M feromagnetika.

Hmol = M, (3.13)

kde > 0 je parametr molekulrnho pole5 nezvisl na teplot.

4Nkdy t nazvno Weissovo pole.5V nkter literatue je oznaovn symbolem W .

42

3.4 Jiles-Athertonv model hystereze

Celkov intenzita magnetickho pole feromagnetika He je potom

He = H + M. (3.14)

3.4.2 Bezeztrtov magnetizace

Bezeztrtov magnetizace6 je idealizovan magnetizan proces magnetika bezdefekt v krystalov mce, kter zpsobuj ztrty. Prbh kivky bezeztrtovmagnetizace feromagnetika Man(H) je logickm dsledkem proces posun dom-novch stn a sten vektor spontnn magnetizace domn do smru vnjhopole. Jsou-li oba tyto procesy u konce, magnetikum neme dle zvyovat svojipolarizaci a mluvme o nasycen. Tvar kivky je siln zvisl na typu magnetickhomaterilu a podmnkch pi magnetovn, hlavn na teplot a mechanickm naptv magnetiku.

Obrzek 3.7: Kivka bezeztrtov magnetizace podle Jilese, 1991 [36]. Na jej v-sledn podob se podlej jak posuny domnovch stn, tak sten vektor mag-netizace domn do smru vnjho pole.

Metodika men bezeztrtov magnetizace s konkrtnmi vsledky pro menna transformtorech bude popsna v kapitole 3.7.4.

Pi vytven matematickho modelu hystereze aproximujeme prbh bezeztr-tov magnetizace Man(He) funkc, kter mus bt rostouc, monotnn, prochzejcnulou a jej hodnoty v nekonenech odpovdajc magnetizaci nasycen Ms

f(0) = 0, limHe

(He) = Ms, limHe

(He) = Ms. (3.15)

Pro zjednoduen zpisu aproximan funkce je pouito podmnek limz(z) = 1,limz(z) = 1 a pevodnho vztahu

6Anglicky anhysteretic magnetization.

43

3 MATEMATICK MODEL TRANSFORMTORU

Man = Ms.f(z), (3.16)

kde z = z(He) je funkc efektivn intenzity magnetickho pole.ada autor jako Venkataraman, 1999 [41], Caltun a Apetrei, 2000 [33], Xiaobo

a Baras, 2002 [46], Dapino a kol., 1998 [34] a dal pouvaj ve svch modelech jakoaproximan funkci Man Langevinovu funkci f(z) = L(z), teoreticky odvozenouz Curieho zkona pro paramagnetick materily

f(z) = L(z) = cosh z 1z, (3.17)

kde pro paramagnetick materily plat

z =mHek

=Hea. (3.18)

Parametr a je zvisl na teplot vzorku, a to tak, e s rostouc teplotou kles sklonmagnetizan kivky.

Pi aplikaci Langevinovy funkce (3.17) u feromagnetik dochz k ad omezen.Projevy zmny teploty neodpovdaj chovn relnch feromagnetik, nedochz kesnen magnetizace nasycen. Pesto je tato funkce pouvna pi aproximaci cho-vn izotropnch feromagnetik. Konstanta a pak zejm nem pvodn fyziklnsmysl.

Tvar kivky bezeztrtov magnetizace dan Langevienovm vztahem neaproxi-muje dostaten pesn reln feromagnetika. Langevienova funkce je odvozena proparamagnetick materily, u kterch se pedpokld rovnomrn hlov rozloenmagnetickch moment jednotlivch atom, jak je uvedeno napklad v dle Ven-kataramana, 1999 [41]. Magnetick uspodn vtiny feromagnetik je oproti tomudno krystalovou mkou a jejmi krystalografickmi smry snadnho magneto-vn. Rovn postup magnetovn je u feromagnetik sloitj ne u paramagnetik.ada autor proto pouv jin aproximan funkce.

Visintin, 1994 [45] uvd Brillouinovu funkci

f(z) =j + 1j

cosh

(j + 1

1z

) 1j

cosh

(1jz

), (3.19)

kde j je celoseln materilov konstanta a konstanta a v promnn z m odlinvznam. pravou tto rovnice pro nikl s j = 1 dostaneme rovnici

f(z) = tgh(z) (3.20)

nebo dosazenm j obdrme Langevinovu funkci (3.17).Virtanen, 1998 [44] a dal autoi pouvaj bez bliho odvozen, mimo uve-

dench funkc, tak funkcif(z) =

z

|z|+ 1 . (3.21)V ppad modelovn anizotropn orientovan transformtorov oceli me bt

vhodn pout dal funkce vyhovujc podmnkm (3.15). Pslun koeficientyaproximanch funkc se zskaj identifikac na zklad zmen zvislosti Man(H).Vhodn jsou zejmna sloen funkce se dvma a vce koeficienty, kter dovolujpopsat oddlen zakiven magnetizan smyky zpsoben posuny domnovchstn od zakiven zpsobenho stenm vektoru magnetizace do smru vnjhomagnetickho pole. V ppad nedostaten pesnosti aproximace je mono kivkubezeztrtov magnetizace Man(H) implementovat interpolac z tabulky zmenchhodnot.

44

3.4 Jiles-Athertonv model hystereze

3.4.3 Energie ztracen pi nevratnch posunech domnovch stn

Omezme-li se pouze na ppady domnovch stn spojujcch dv domnys opanou orientac spontnn magnetizace, tj. na 180 domnov stny, pak ener-gii pouitou na pekonn pekky v materilu bhem posunu domnov stnyo ploe S o vzdlenost dx meme podle Jilese, 1991 [36] str. 166 vyjdit jako

dWloss = 0npiSdx, (3.22)

kde n je poet pekek v jednotkovm objemu materilu a 0pi je prmrnenergie potebn k pekonn jedn pekky. Pekkou pitom rozumme poruchykrystalov mky, hranice zrn, apod.

M

M

dx

SM M'dM

ss

Obrzek 3.8: Vliv posunu domnov stny na celkovou magnetizaci vzorku

Pi posunu o dx dojde v objemu Sdx ke zmn magnetizace do opanho smru.Celkov magnetizace materilu se tedy zmn o

dM = 2MsSdx. (3.23)

Zmna magnetizace m smr spontnn magnetizace, take meme pst

dWloss =0npidM

2Ms. (3.24)

Pro dal postup je vhodn zjednoduit vraz zavedenm konstanty

k =npi2Ms

. (3.25)

Energie ztracen pi nevratnch posunech domnovch stn je potom

dWloss = 0kdM. (3.26)

3.4.4 Zmny magnetizace vyvolan nevratnmi posuny domnovchstn

Nsledujc odvozen je provedeno pro periodick obhy po magnetizan kivcev rovin HM, tedy pro ustlen stav. Magnetizan kivka je v dalm odvozenintegran cestou kivkovch integrl. Hornm indexem budeme znait celkovouenergii pi jednom obhu magnetizan smyky.

45

3 MATEMATICK MODEL TRANSFORMTORU

Zmna intenzity magnetickho pole H vyvolv odpovdajc zmnu magneti-zace v magnetiku. Prce vykonan externm zdrojem Wext magnetujcm vzorekje rovna zmn magnetostatick energie materilu Wmag a ztrtm pi magneti-zanm procesu Wloss

Wext = Wmag + Wloss. (3.27)

Prce vykonan externm zdrojem pi magnetizaci jednotkovho objemu pi jed-nom obhu magnetizan smyky odpovd ploe magnetizan smyky

Wext =

HdB. (3.28)

A protoe hodnota kivkovch integrl0H dH a

0M dM je rovna nule

a magnetick indukce ve feromagnetiku B zvis na intenzit magnetickho poleH a na magnetizaci M

B = 0(H + M), (3.29)

meme pstWext =

H dB

=0H dH +

0H dM

=0H dM

= 0M dH.(3.30)

Nyn vyjdme energii ztrt vyvolanch nevratnmi posuny domnovch stn(3.26) bhem jednoho obhu magnetizan smyky v jednotkovm objemu

Wloss = 0 k

dM, (3.31)

kde je pro pechod na kivkov integrl 2. druhu pouito funkce

= signdH

dt, (3.32)

kter k, e ztrtov energie m neustle kladn znamnko pi pohybu po mag-netizan smyce vpravo i zpt.

Magnetizan energie Wmag odpovd energii magnetizace po bezeztrtovkivce Wloss = 0, kde funkce pro bezeztrtovou magnetizaci Man(H) je odvozenav kapitole 3.4.2. Po integraci pes jej drhu bude podle oekvn energie Wmag,ale tak plocha hysterezn smyky

H dB nebo 0

H dM rovna nule

Wmag = Wext = 0

Man(H) dH = 0. (3.33)

Nyn znme vechny leny (3.27) a meme do n dosadit (3.30), (3.31) a (3.33).

Wmag = Wext Wloss