Distribuciones de Poisson y de Gauss Para El Dacaimineto Radioactivo

7/31/2019 Distribuciones de Poisson y de Gauss Para El Dacaimineto Radioactivo

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Laboratorio de Física Experimental

Prof.: Oscar Baltuano

DISTRIBUCIÓN DE POISSON Y DE GAUSS

PARA LA DESINTEGRACIÓN RADIOACTIVA

MARTÍN JOSEMARÍA VUELTA ROJAS

Facultad de Ciencias Físicas

Universidad Nacional Mayor de San Marcos

Resumen

El objetivo de este experimento es demostrar que el

número de pulsos contados durante intervalos de

tiempo idénticos por un tubo contador ubicado a una

distancia fija de un emisor de radiación de larga vida se

corresponden con la distribución de Poisson. Así mis-

mo mostraremos que la distribución de Gauss es tam-

bién adecuada, bajo ciertas condiciones, para aproxi-mar la distribución del pulso medido a través de un

emisor de radiación de larga duración y un tubo conta-

dor. En particular analizaremos el comportamiento es-

tadístico de la desintegración radioactiva del Co-60 y

del Na-22.





Laboratorio de física experimental 3

DISTRIBUCIÓN DE POISSON Y DE GAUSS PARA LA DESINTEGRACIÓN RADIOACTIVA MARTÍN JOSEMARÍA VUELTA ROJAS

1. INTRODUCCIÓN

El decaimiento radiactivo es un proceso aleatorio: cualquier medida basada

en la observación de la radiación emitida en una desintegración radioactiva

está sujeta en algún grado a la fluctuación estadística.

Estas fluctuaciones inherentes representan una fuente inevitable de incerti-

dumbre en todas las medidas nucleares y a menudo pueden ser fuentes pre-

dominantes de imprecisión o error. El término estadística de conteo incluye

el marco de referencia del análisis estadístico requerido para procesar los re-

sultados de experimentos de conteo nuclear y hacer predicciones acerca las

precisiones esperadas de cantidades derivadas de estas medidas.

El valor de la estadística de conteo cae en dos categorías generales. La prime-

ra es para verificar el funcionamiento normal de un equipo de conteo nuclear.

Aquí un conjunto de medidas es registrado bajo condiciones en el cual todos

los aspectos del experimento son mantenidos como una constante tanto co-

mo es posible. Debido a la influencia de fluctuaciones estadísticas, estas me-

didas no serán las mismas sino que nos mostrarán un grado de variación in-

terna. La cantidad de esta fluctuación puede ser cuantificada y comparada

con predicciones de modelos estadísticos. Si la cantidad de fluctuación obser-

vada no es consistente con predicciones uno puede concluir que alguna

anormalidad existe en el sistema de contaje. La segunda aplicación es gene-

ralmente más valiosa y trata con la situación en la cual tenemos solamente

una medida. Podemos usar la estadística de conteo para predecir su incerti-

dumbre inherente y así estimar una precisión que podría estar asociada con

una sola medida.

2. DISTRIBUCIONES ESTADÍSTICAS

2.1. Experimento aleatorio, variable aleatoria y probabilidad

Un experimento se denomina experimento aleatorio si bajo el mismo con-

junto aparente de condiciones iniciales, puede presentar resultados diferen-tes, es decir, no se puede predecir el resultado exacto de cada experiencia



4 Laboratorio de física experimental


particular. Este resultado que se busca medir suele ser, en general, de natura-

leza cuantitativa en tal caso la variable estadística caracterizada por este re-

sultado recibe el nombre de variable aleatoria. Según esto podemos definir

una variable aleatoria de la siguiente forma:

Una variable aleatoria es una variable estadista cuantitativa pertene-

ciente al espacio muestral de un experimento aleatorio.

Evidentemente no podemos identificar con a los elementos del espacio

muestral, ni con el numero asociado a dicho elemento. De hecho se entiende

como una función que a cada elemento le hace corresponder un nú-

mero () . La variable aleatoria es pues, una función que atribuye

a cada evento elemental de un número que no es aleatorio ni imprevisible

sino fijo y predeterminado. Lo que es aleatorio es el experimento sobre cuyo

espacio muestral se define la variable aleatoria.

Figura 1. Variable Aleatoria.

Entendido así podemos decir que el dominio de la variable aleatoria es el

espacio muestral y algún conjunto . Dependiendo de las caracterís-

ticas de podemos catalogar la variable aleatoria como una variable

aleatoria discreta si el conjunto es finito o infinito numerable o como

una variable aleatoria continua si infinito no numerable; en este último

caso constituye un intervalo de la recta real.

En general las variables aleatorias discretas representan de datos que pro-

vienen del conteo de cierto número de elementos, mientras que las variables

aleatorias continuas provienen de mediciones (longitud, tiempo, peso, etc).

Consideremos el caso de una variable aleatoria discreta. Si realizamos el ex-





perimento aleatorio una cantidad determinada de veces, digamos , tendre-

mos entonces que el valor () ha aparecido en los resultados veces

dentro del conjunto de resultados. El cociente ⁄ recibe el nombre de

frecuencia relativa

de

, si realizamos el experimento tantas veces que

, entonces tenderá a un valor fijo que denominaremos probabilidad

de y lo denotaremos por [ ]. A partir del método que se ha emplea-

do para obtener el concepto de probabilidad son inmediatas las siguientes

propiedades

1. [ ] 2. ∑ [ ]

3. [ ]

Si tomamos los pares ordenados ( [ ]) y los graficamos en el plano

cartesiano tendremos una distribución de probabilidades sobre el plano. La

curva que contiene a los puntos ( [ ]) puede ser modelado mediante

una función () siendo esta de forma tal que () [ ], a dicha

función se le denomina función o distribución de probabilidad . En términos

de esta función podemos expresar las propiedades de la probabilidad de la

siguiente forma

1. () 2. ∑ () 3. ()

A partir de la función de probabilidad podemos definir la el valor esperado

(o esperanza matemática) para una variable aleatoria como el valor

límite que toma la mediana cuando . Matemáticamente expresamos es-ta definición como ∑ () . De igual forma son parámetros de gran

utilidad en el análisis estadístico la varianza que se define como el valor

esperado de ( ), es decir ∑ ( )() . No es difícil

demostrar que puede calcularse mediante la formula

∑ () . Y la desviación estándar definida como la raíz

cuadrada de la varianza, esto es .

La extensión de estos conceptos hacia variables aleatorias continuas se hace





a partir de la consideración de que la probabilidad de un valor puntual de la

variable es nula y solo es posible calcular la probabilidad de que esta caiga

en in intervalo , así se define la función de densidad de distribución

de probabilidad

()como aquella que cumple los siguientes requisitos

1. () 2. ∫ ()

3. [ ] ∫ ()

A partir de estas condiciones no es difícil demostrar que [ ] satisface los

denominados axiomas de probabilidad. A partir lo dicho podemos expresar el

valor esperado, la varianza y la desviación estándar como

()

( )()

́

2.2. Distribuciones de probabilidad

Tanto la función de distribución como la función densidad de distribución

caracterizan el comportamiento de la variable aleatoria determinando

los parámetros estadísticos para su descripción. La elección de tales funcio-

nes no es arbitraria sino que depende mucho de las características del expe-

rimento aleatorio realizado lo cual hace que para ser candidatas a modelar el

comportamiento de una determinada variable aleatoria deben cumplir con

una serie de supuestos que permiten elegirlas de tal forma que cumplan su

papel de la mejor forma posible. En principio cualquier función que cumpla

tales requisitos puede ser tomada como o , sin embargo solo algunas son

importantes por su aplicabilidad a diversos experimentos aleatorios.

2.3. Proceso y distribución de Poisson

Una de las distribuciones de probabilidad de variable discreta más importan-

tes es la distribución de Poisson. Esta distribución modela la probabilidad

asociada a una variable mediante la función





()

y representamos esta relación mediante (). El significado del paráme-

tro queda claro a partir de las características del experimento aleatorio delcual se toma , básicamente este experimento se reduce a un conteo dentro

de un intervalo finito de cualquier magnitud continua (tiempo, longitud, vo-

lumen, etc.) considerando que cada uno de los valores de es independiente

de los otros. En estas circunstancias el parámetro se identifica con la espe-

ranza matemática de , es decir . No una tarea complicada demostrar

se cumple la igualdad .

Los experimentos aleatorios que cumplen con estas condiciones suelen de-nominarse procesos de Poisson.

Dada la naturaleza hipotética de en el sentido de que nunca podremos rea-

lizar un experimento un número infinito de veces, para conjuntos grandes de

datos podemos tomar sin mas ̅ y considerar aun la igualdad .

Figura 2. El eje horizontal es la variable . La función solamente está definida en valores ente-

ros de . Las líneas que conectan los puntos son solo guías para el ojo y no indican continuidad.

2.4. Distribución de Gauss

Para la descripción estadística de una variable aleatoria continua es común

el empleo de la distribución Gaussiana o distribución Normal con paráme-

tros y . Esta distribución modela la distribución de probabilidad mediante







común la afirmación que la aproximación a la distribución normal es para va-

lores de . La aplicación del teorema a una variable aleatoria discreta

induce un error cometido pro aproximar su probabilidad mediante una fun-

ción de densidad de probabilidad así el error cometido se denomina error

por continuidad , este error se corrige mediante el factor de corrección por

continuidad empleado al momento de calcular la probabilidad de un

valor puntual mediante la aproximación [ ] [ ].

Haciendo el uso del teorema del límite central podemos aproximar la distri-

bución de Poisson con la condición adicional .

3. DECAIMIENTO RADIOACTIVO Y ESTADÍSTICA

3.1. El decaimiento radioactivo

En general, los núcleos de los distintos elementos no son estables. Emiten es-

pontáneamente partículas cargadas y radiación electromagnética. Este fenó-

meno se conoce como radiactividad natural, y fue descubierto accidental-

mente en 1896 por Henri Becquerel.

Los núcleos excitados vuelven a su estado basal mediante tres tipos de de-

caimiento: consiste en la emisión de una partícula o átomos de helio do-

blemente ionizados; consiste en la emisión de partículas , electrones o po-

sitrones; y , cuando el retorno al estado basal se lleva a cabo mediante la

emisión de radiación electromagnética.

3.2. Naturaleza estadística y distribución de PoissonTal como se indicó en la introducción, el decaimiento radiactivo es un proce-

so aleatorio: cualquier medida basada en la observación de la radiación emiti-

da en una desintegración radioactiva está sujeta en algún grado a la fluctua-

ción estadística. Las hipótesis con las cuales se trabaja para el estudio de las

desintegraciones radiactivas, cuya validez está corroborada por la experien-

cia, son

a. Dado un intervalo temporal, todos los átomos de una muestra tienen la





misma probabilidad de desintegrarse en dicho intervalo.

b. La desintegración de un átomo es un evento independiente de la desin-

tegración de los demás átomos de la muestra.

c. La probabilidad de desintegración de un átomo en un dado intervalo

temporal permanece constante para todo intervalo temporal de la mis-

ma duración.

Si tenemos en cuenta estas consideraciones y realizamos un experimento en

el cual la variable aleatoria tome el valor del número de átomos que se desin-

tegran en un intervalo de tiempo , vemos que naturalmente el experimento

corresponde a un proceso de Poisson por lo cual el conteo de las emisiones se

puede aproximar mediante una distribución de Poisson.

El objetivo del experimento esta en corroborar estas hipótesis y mostrar que

la distribución de Poisson es en efecto la correspondiente al decaimiento ra-

dioactivo.

La elección y definición de los parámetros estadísticos a tener en cuenta se

darán a conocer en el diseño experimental siendo que ya se ha adelantado el

valor de la variable a medir.

4. DISEÑO EXPERIMENTAL

Conecte la Unidad Básica Cobra3 a la computadora del puerto COM1, COM2 o

al puerto USB (el uso de USB a RS232 Convertidor 14.602,10). Iniciar el pro-

grama de medida y seleccione Cobra3 Radioactivity Gauge.

Comenzar a grabar la medición utilizando los parámetros tiempo (medido en

segundos ), la duración del intervalo durante el cual se realizará la cuenta y

los impulsos que corresponden al número de átomos desintegrados detecta-

dos.

El primer paso es ajustar la distancia entre la fuente radiactiva y el tubo con-

tador, así como el cómputo del tiempo de tal manera que un pulso promedio

de un valor estimado de resultados. El siguiente experimento preliminar de-

be llevarse a cabo para esta finalidad.

Coloque la fuente radiactiva de unos 5 cm de distancia de la abertura





de admisión del tubo contador.

Compruebe el valor medido. Si es necesario, cambiar la distancia entre

la fuente radiactiva y el tubo contador con el fin de obtener el número

deseado de la cuenta. Para dar a las bajas tasas de pulso, será ayudar aponer una hoja de papel entre la fuente y el tubo contador.

Luego de una serie de medidas (tamaño de la muestra 1000) se lleva a cabo el

experimento con la ayuda de los equipo experimental y los ajustes del expe-

rimento preliminar.

Repita la medición con mayor número de cuentas (reducir la brecha, si es ne-

cesario, aumentar el periodo de cálculo), por ejemplo, para un promedio de

pulsos de 5, 10 y 20 por contar intervalo.

Las muestras radioactivas para este experimento fueron una de y

otra de .

Figura 4. Equipo experimental Cobra3 para el estudio estadístico del decaimiento radioactivo.

5. RESULTADOS

5.1. Experimento 1.

El primer experimento a realizar tendrá como fuente de emisiones radioacti-

vas al con las siguientes especificaciones

Intervalo de tiempo :





Tiempo de medición :

Promedio esperado :

Haciendo la identificación del experimento con un proceso de Poisson tene-

mos que el intervalo unitario en este caso de tiempo) es y el parámetro

es el número de cuentas esperadas en cada intervalo, Luego de realizar el conteo del número de repeticiones de la cantidad de de-

tecciones por intervalo tenemos la Tabla 1.

# Cuentas (X) Frecuencia Absoluta ()1 2303

2 2392

3 1208

4 446

5 122

6 26

7 6

8 1Tabla 1: Conteo del número de cuentas obtenidas.

Frecuencias absolutas de intervalos con X cuentas.

Considerando que el conteo total de emisiones es 6504, tabulamos las fre-cuencias relativas de cada cuenta. Este resultado se muestra en la Tabla 2.

# Cuentas (X) Frecuencia relativa ( )1 0.354090

2 0.367774

3 0.185732

4 0.068573

5 0.018758

6 0.003998

7 0.000923

8 0.000154

Tabla 2: Conteo del número de cuentas obtenidas.

Frecuencias relativas de intervalos con X cuentas.

Las tablas Tabla 1 y Tabla 2, y los gráficos de frecuencias muestran una dis-

tribución claramente asimétrica de los conteos realizados.

La aproximación de la distribución de Poisson la hacemos mediante el uso dela función





()

con y también con ̅, donde ̅ representa la media expe-

rimental ∑ que en este caso es 2.046587 (con 6 decimales como se tra-bajó con ). Se presenta entonces la Tabla 3.

# Cuentas XFrecuencia

Relativa ( )

Distribuciónde Poisson (

)

Distribuciónde Poisson (

)

1 0.354090 0.270671 0.264368

2 0.367774 0.270671 0.270526

3 0.185732 0.180447 0.184552

4 0.068573 0.090224 0.0944255 0.018758 0.036089 0.038650

6 0.003998 0.012030 0.013183

7 0.000923 0.003437 0.003854

8 0.000154 0.000859 0.000986Tabla 3: Comparación de los valores de y los valores de la distribución de Poisson para y

A partir de esta última tabla obtenemos un gráfico comparativo de y

.

Gráfica 1: Diagrama de barras de frecuencias absolutas.

23032392

1208

446

12226 6 1

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

1 2 3 4 5 6 7 8

F r e c u e n c i a a b s o l u t a

d e i n t e r v a l o s c o n X c u e n t a s

Numero de cuentas X





Gráfica 2. Diagrama de barras de frecuencias relativas.

Gráfica 3: Distribución de frecuencias relativas (Frecuencia Relativa) y distribuciones dePoisson con (Media) y (Lambda).

0.3540900.367774

0.185732

0.068573

0.018758

0.0039980.0009230.0001540.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

1 2 3 4 5 6 7 8

F r e c u e n c i a r e l a t i v a d e i n t e r v a l o s c

o n X c u e n t a s

Numero de cuentas X

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

F r e c u e n d

i a R e l a t i v v a y P r o b a b i l i d a d

d e P o

i s s o n

Numero de Cuentas por intervalo de tiempo

Frecuencia Relativa Media Lambda





5.2. Experimento 2.

El segundo experimento tuvo como muestra también al con las si-

guientes especificaciones



Promedio esperado :

Identificamos la longitud el intervalo unitario con y . La Tabla 4

muestra la las frecuencias absolutas y relativas de las cuentas encontradas en

cada intervalo.

# Cuentas XFrecuencia

Absoluta ()FrecuenciaRelativa ()

1 4 0.0036934

2 33 0.0304709

3 79 0.0729455

4 137 0.1265005

5 165 0.1523546

6 183 0.1689751

7 173 0.15974158 114 0.1052632

9 99 0.0914127

10 53 0.0489381

11 23 0.0212373

12 12 0.0110803

13 6 0.0055402

14 2 0.0018467Tabla 4: Conteo del número de cuentas obtenidas.

Frecuencias absolutas y relativas de intervalos con X cuentas.

La Gráfica 4 y la Gráfica 5 correspondientes a esta tabla muestran cierta for-

ma acampanada pero asimétrica.

Nuevamente hacemos la aproximación de la distribución de Poisson esta ves

considerando con y también con ̅, que en este caso es

6.3019391 (con 6 decimales como se trabajó con ). Se presenta entonces la

Tabla 4 que compara los valores de frecuencias relativas

y distribuciones

de Poisson con (Media) y (Lambda).





# CuentasX

FrecuenciaRelativa ( )

Distribuciónde Poisson ( )

Distribución

de Poisson ( )

1 0.0036934 0.0115499 0.0148725

2 0.0304709 0.0363933 0.0446175

3 0.0729455 0.0764494 0.08923514 0.1265005 0.1204448 0.1338526

5 0.1523546 0.1518072 0.1606231

6 0.1689751 0.1594466 0.1606231

7 0.1597415 0.1435461 0.1376770

8 0.1052632 0.1130774 0.1032577

9 0.0914127 0.0791785 0.0688385

10 0.0489381 0.0498978 0.0413031

11 0.0212373 0.0285866 0.0225290

12 0.0110803 0.0150126 0.011264513 0.0055402 0.0072776 0.0051990

14 0.0018467 0.0032759 0.0022281Tabla 5: Comparación de los valores de y los valores de la distribución de Poisson para y


.


0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

F r e c u e n c i a a b s

o l u t a d e i n t e r v a l o s c o n X

c u e n t a s







Gráfica 6: Distribución de frecuencias relativas (Frecuencia Relativa) y distribuciones dePoisson con (Media) y (Lambda).

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0.14

0.16

0.18

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

F r e c u e n c i a R e l a t i v a


0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

F r e c u e n c i a s R e l a t i v i a s y P t o b a b i l i d a d

d e P o i s s o n


Frecuencia Relativa Media Lambda





5.3. Experimento 3.

Para tercer experimento con se tuvieron en cuenta las siguientes

consideraciones



Promedio esperado : 50

Identificamos la longitud el intervalo unitario con y . La Tabla 6muestra las frecuencias absolutas y relativas de las cuentas encontradas encada intervalo.

# Cuentas

X

Frecuencia

Absoluta (F)

Frecuencia

Relativa (f)37 1 0.002053

38 2 0.004107

39 2 0.004107

40 2 0.004107

41 3 0.006160

42 6 0.012320

43 7 0.014374

44 10 0.020534

45 11 0.02258746 7 0.014374

47 20 0.041068

48 12 0.024641

49 17 0.034908

50 22 0.045175

51 31 0.063655

52 22 0.045175

53 31 0.063655

54 25 0.051335

55 24 0.049281

56 20 0.041068

57 26 0.053388

58 17 0.034908

59 19 0.039014

60 28 0.057495

61 30 0.061602

62 10 0.020534Continúa en la página siguiente





Continuación de la página anterior

# CuentasX

FrecuenciaAbsoluta (F)

FrecuenciaRelativa (f)

63 9 0.018480

64 20 0.04106865 8 0.016427

66 8 0.016427

67 9 0.018480

68 6 0.012320

69 6 0.012320

70 5 0.010267

71 1 0.002053

72 6 0.012320

73 2 0.00410776 1 0.002053

78 1 0.002053

Tabla 6: Conteo del número de cuentas obtenidas.

Frecuencias absolutas y relativas de intervalos con X cuentas.

Las gráficas 7 y 8 muestran, en cierta medida, una simetría lo cual hace re-

cordar a la simetría característica de una distribución estadística de tipo

gaussiana.

Nuevamente hacemos la aproximación de la distribución de Poisson esta ves

considerando con y también con ̅, que en este caso es

55.447639 (con 6 decimales como se trabajó con ). Se presenta entonces la

Tabla 7 que compara los valores de frecuencias relativas y distribuciones

de Poisson con ̅(Media) y (Lambda).

# Cuentas

X

Frecuencia

Relativa ( )

Distribución

de Poisson ( )

Distribución

de Poisson ( )37 0.002053 0.002015 0.010196

38 0.004107 0.002941 0.013416

39 0.004107 0.004181 0.017200

40 0.004107 0.005795 0.021500

41 0.006160 0.007837 0.026219

42 0.012320 0.010347 0.031213

43 0.014374 0.013342 0.036294

44 0.020534 0.016813 0.041244

Continúa en la página siguiente






# CuentasX


Distribución

de Poisson ( )


45 0.022587 0.020717 0.045826

46 0.014374 0.024972 0.04981147 0.041068 0.029460 0.052991

48 0.024641 0.034031 0.055199

49 0.034908 0.038509 0.056325

50 0.045175 0.042705 0.056325

51 0.063655 0.046429 0.055221

52 0.045175 0.049507 0.053097

53 0.063655 0.051793 0.050091

54 0.051335 0.053182 0.046381

55 0.049281 0.053615 0.042164

56 0.041068 0.053086 0.037647

57 0.053388 0.051640 0.033023

58 0.034908 0.049368 0.028468

59 0.039014 0.046395 0.024126

60 0.057495 0.042875 0.020105

61 0.061602 0.038972 0.016479

62 0.020534 0.034854 0.013290

63 0.018480 0.030676 0.010547

64 0.041068 0.026576 0.008240

65 0.016427 0.022671 0.006339

66 0.016427 0.019046 0.004802

67 0.018480 0.015762 0.003584

68 0.012320 0.012852 0.002635

69 0.012320 0.010328 0.001909

70 0.010267 0.008181 0.001364

71 0.002053 0.006389 0.000960

72 0.012320 0.004920 0.00066773 0.004107 0.003737 0.000457

76 0.002053 0.001510 0.000135

78 0.002053 0.000773 0.000056

Tabla 7: Comparación de los valores de y los valores de la distribución de Poisson para y


.







0

5

10

15

20

25

30

35

37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 61 63 65 67 69 71 73 78

F r e c u e n c i a A b s o l u t a


0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 61 63 65 67 69 71 73 78

F r e c u e

n c i a R e l a t i v a






Gráfica 9: Distribución de frecuencias relativas (Frecuencia Relativa) y distribuciones de

Poisson con

(Media) y

(Lambda).

Es interesante notar que en este caso el valor esperado de la media difiere

del promedio de los datos ̅ mucho más de lo que difería en los casos ante-

riores y que un ajuste de Poisson que toma ̅ se ajusta mejor a los datos

que que era lo que se esperaba. Por otro lado la curva originada por el

ajuste con ̅ es de forma acampanada y muy simétrica comparada con

las otras curvas de Poisson de los experimentos anteriores.

Para apreciar esto se elaboró una tabla similar a la Tabla 7 para una posible

distribución de Gauss obteniéndose:

# CuentasX


Distribución

de Poisson ( )


37 0.002053 0.002292 0.011290

38 0.004107 0.003201 0.014248

39 0.004107 0.004388 0.017649

40 0.004107 0.005905 0.021459

41 0.006160 0.007837 0.026219Continua en la siguiente pagina

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

30 40 50 60 70 80

F r e c u e n c i a R e l a t i v a y P r o b a b i l i d a d

d e P i o s s o n


Frecuencia Relativa Lambda Media






# CuentasX




42 0.012320 0.010346 0.031213

43 0.014373 0.013342 0.03629444 0.020533 0.016813 0.041243

45 0.022587 0.020716 0.04582646 0.014374 0.023716 0.046900

47 0.041068 0.028014 0.050058

48 0.024641 0.032481 0.052442

49 0.034908 0.036966 0.053927

50 0.045175 0.041294 0.054432

51 0.063655 0.045278 0.053927

52 0.045175 0.048731 0.052442

53 0.063655 0.051480 0.050058

54 0.051335 0.053380 0.046900

55 0.049281 0.054330 0.043131

56 0.041068 0.054277 0.038934

57 0.053388 0.053224 0.034496

58 0.034908 0.051229 0.030001

59 0.039014 0.048399 0.025611

60 0.057495 0.044883 0.021459

61 0.061602 0.040854 0.017649

62 0.020534 0.036500 0.014248

63 0.018480 0.032010 0.011290

64 0.041068 0.027554 0.008781

65 0.016427 0.023281 0.006704

66 0.016427 0.019307 0.005023

67 0.018480 0.015717 0.003695

68 0.012320 0.012558 0.002668

69 0.012320 0.009849 0.00189070 0.010267 0.007582 0.001315

71 0.002053 0.005729 0.000898

72 0.012320 0.004249 0.000602

73 0.004107 0.003093 0.000396

76 0.002053 0.001067 0.000101

78 0.002053 0.000478 0.000037

Tabla 8: Comparación de los valores de y los valores de la distribución de Gauss para y

Comparando esta última tabla con la obtenida anteriormente para la distri-bución de Poisson notamos que los valores de las probabilidades ( y





) no varían de forma significativa en el aspecto comparativo de los datos.

Nuestra observación no falla y se pone aún más en evidencia comparando el

grafico correspondiente a esta última tabla, Gráfica 10, con la Gráfica 9.


Poisson con (Media) y (Lambda).

La en la comparación de ambas se aprecia una notable proximidad.

5.4. Experimento 4.

Para este cuarto experimento tomamos como muestra emisora , yrealizamos dos ajustes de las frecuencias relativas: para una distribución de

tipo Gauss y otra de tipo Poisson buscando una comparación similar al caso

anterior. Esta vez emplearemos como parámetro el valor de la media de los

conteos ̅.



Promedio : 44.576042

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

30 40 50 60 70 80

F r e c u e n c i a R e l a t i v

a y P r o b a b i l i d a d

d e P o i s s o n


Frecuencia Relativa Lambda Media





Identificamos la longitud el intervalo unitario con y . La tabla 9

muestra la las frecuencias absolutas y relativas de las cuentas encontradas en

cada intervalo.

# Cuentas X Frecuencia Relativa ( ) Distribuciónde Poisson

Distribuciónde Gauss

27 0.001042 0.001348 0.001584

28 0.002083 0.002146 0.002373

29 0.004167 0.003298 0.003473

30 0.004167 0.004901 0.004963

31 0.004167 0.007047 0.006925

32 0.008333 0.009816 0.009439

33 0.020833 0.013260 0.012563

34 0.013542 0.017384 0.01633035 0.016667 0.022141 0.020730

36 0.026042 0.027415 0.025700

37 0.034375 0.033029 0.031115

38 0.034375 0.038744 0.036791

39 0.046875 0.044284 0.042483

40 0.051042 0.049350 0.047909

41 0.063542 0.053654 0.052763

42 0.051042 0.056945 0.056749

43 0.066667 0.059032 0.05960944 0.076042 0.059805 0.061147

45 0.047917 0.059242 0.061257

46 0.050000 0.057408 0.059931

47 0.054167 0.054447 0.057263

48 0.063542 0.050563 0.053432

49 0.038542 0.045998 0.048691

50 0.038542 0.041008 0.043333

51 0.039583 0.035843 0.037662

52 0.033333 0.030726 0.031967

53 0.019792 0.025842 0.026498

54 0.015625 0.021332 0.021451

55 0.020833 0.017289 0.016959

56 0.014583 0.013762 0.013094

57 0.007292 0.010762 0.009873

58 0.007292 0.008272 0.007270

59 0.004167 0.006249 0.005229

60 0.008333 0.004643 0.003672Continua en la siguiente pagina






# Cuentas X Frecuencia Relativa ( ) Distribuciónde Poisson

Distribuciónde Gauss

61 0.006250 0.003393 0.002519

62 0.002083 0.002439 0.00168763 0.001042 0.001726 0.001104

64 0.001042 0.001202 0.000705

65 0.001042 0.000824 0.000440Tabla 9: Comparación de los valores de y los valores de la distribución de Gauss y Poisson

Comparando los valores de la tabla encontramos que las variaciones entre

una y otra distribución están comprendidas entre 0.002869 y 0.0000618 lo

cual indica valores relativamente próximos, idénticos hasta con 2 cifras de-

cimales, lo cual puede ser una buena aproximación. La grafica comparativa de

cada una de las distribuciones y la frecuencia relativa se presenta a continua-

ción.


Gauss y Poisson.

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

20 30 40 50 60 70

F r e c u e n c i a R e l a t i v a


Gauss Poisson Frecuencia Relativa



DISTRIBUCIÓN DE POISSON Y DE GAUSS PARA LA DESINTEGRACIÓN RADIOACTIVA

MARTÍN JOSEMARÍA VUELTA ROJAS

6. CONCLUSIONES

Cualitativamente el experimento se realizó de manera sencilla en el sentido de que

se las lecturas de los decaimientos radioactivos se obtiene con pocos instrumentos,

lo cual minimiza los errores experimentales predominando básicamente los de

cálculo.

Además los objetivos del experimento fueron cumplidos pues so obtuvieron las

aproximaciones estadísticas esperadas demostrando el carácter aleatorio de las

emisiones radioactivas.

Al hacer las gráficas de estas aproximaciones estadísticas apreciamos que la dis-

tribución de Poisson modela de manera satisfactoria la emisión radioactiva. Y no

solo eso, sino que, además en los experimentos 3 y 4, vimos que se da la aproxima-

ción de la distribución de Poisson a la distribución de Gauss lo cual por teoría es

perfectamente sustentado por el teorema del límite central que se presentó en el

marco teórico.

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Distribuciones de Poisson y de Gauss Para El Dacaimineto Radioactivo