Distribuciones de Poisson y de Gauss Para El Dacaimineto Radioactivo

7/31/2019 Distribuciones de Poisson y de Gauss Para El Dacaimineto Radioactivo

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Laboratorio de Fsica Experimental

Prof.: Oscar Baltuano

DISTRIBUCIN DE POISSON Y DE GAUSS

PARA LA DESINTEGRACIN RADIOACTIVA

MARTN JOSEMARA VUELTA ROJAS

Facultad de Ciencias Fsicas

Universidad Nacional Mayor de San Marcos

Resumen

El objetivo de este experimento es demostrar que el

nmero de pulsos contados durante intervalos de

tiempo idnticos por un tubo contador ubicado a una

distancia fija de un emisor de radiacin de larga vida se

corresponden con la distribucin de Poisson. As mis-

mo mostraremos que la distribucin de Gauss es tam-

bin adecuada, bajo ciertas condiciones, para aproxi-mar la distribucin del pulso medido a travs de un

emisor de radiacin de larga duracin y un tubo conta-

dor. En particular analizaremos el comportamiento es-

tadstico de la desintegracin radioactiva del Co-60 y

del Na-22.


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Laboratorio de fsica experimental 3

DISTRIBUCIN DE POISSON Y DE GAUSS PARA LA DESINTEGRACIN RADIOACTIVAMARTN JOSEMARA VUELTA ROJAS

1. INTRODUCCINEl decaimiento radiactivo es un proceso aleatorio: cualquier medida basada

en la observacin de la radiacin emitida en una desintegracin radioactiva

est sujeta en algn grado a la fluctuacin estadstica.

Estas fluctuaciones inherentes representan una fuente inevitable de incerti-

dumbre en todas las medidas nucleares y a menudo pueden ser fuentes pre-

dominantes de imprecisin o error. El trmino estadstica de conteo incluye

el marco de referencia del anlisis estadstico requerido para procesar los re-

sultados de experimentos de conteo nuclear y hacer predicciones acerca las

precisiones esperadas de cantidades derivadas de estas medidas.

El valor de la estadstica de conteo cae en dos categoras generales. La prime-

ra es para verificar el funcionamiento normal de un equipo de conteo nuclear.

Aqu un conjunto de medidas es registrado bajo condiciones en el cual todos

los aspectos del experimento son mantenidos como una constante tanto co-

mo es posible. Debido a la influencia de fluctuaciones estadsticas, estas me-

didas no sern las mismas sino que nos mostrarn un grado de variacin in-

terna. La cantidad de esta fluctuacin puede ser cuantificada y comparada

con predicciones de modelos estadsticos. Si la cantidad de fluctuacin obser-

vada no es consistente con predicciones uno puede concluir que alguna

anormalidad existe en el sistema de contaje. La segunda aplicacin es gene-

ralmente ms valiosa y trata con la situacin en la cual tenemos solamente

una medida. Podemos usar la estadstica de conteo para predecir su incerti-

dumbre inherente y as estimar una precisin que podra estar asociada con

una sola medida.

2. DISTRIBUCIONES ESTADSTICAS2.1.Experimento aleatorio, variable aleatoria y probabilidad

Un experimento se denomina experimento aleatorio si bajo el mismo con-

junto aparente de condiciones iniciales, puede presentar resultados diferen-tes, es decir, no se puede predecir el resultado exacto de cada experiencia


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4 Laboratorio de fsica experimental


particular. Este resultado que se busca medir suele ser, en general, de natura-

leza cuantitativa en tal caso la variable estadstica caracterizada por este re-

sultado recibe el nombre de variable aleatoria. Segn esto podemos definir

una variable aleatoria de la siguiente forma:

Una variable aleatoria es una variable estadista cuantitativa pertene-ciente al espacio muestral de un experimento aleatorio.

Evidentemente no podemos identificar con a los elementos del espaciomuestral, ni con el numero asociado a dicho elemento. De hecho se entiende

como una funcin que a cada elemento le hace corresponder un n-mero () . La variable aleatoria es pues, unafuncin que atribuyea cada evento elemental de un nmero que no es aleatorio ni imprevisiblesino fijo y predeterminado. Lo que es aleatorio es el experimento sobre cuyo

espacio muestral se define la variable aleatoria.

Figura 1. Variable Aleatoria.

Entendido as podemos decir que el dominio de la variable aleatoria es elespacio muestral y algn conjunto . Dependiendo de las caracters-ticas de podemos catalogar la variable aleatoria como una variablealeatoria discreta si el conjunto es finito o infinito numerable o comouna variable aleatoria continua si infinito no numerable; en este ltimocaso constituye un intervalo de la recta real.En general las variables aleatorias discretas representan de datos que pro-

vienen del conteo de cierto nmero de elementos, mientras que las variables

aleatorias continuas provienen de mediciones (longitud, tiempo, peso, etc).

Consideremos el caso de una variable aleatoria discreta. Si realizamos el ex-


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perimento aleatorio una cantidad determinada de veces, digamos , tendre-mos entonces que el valor () ha aparecido en los resultados vecesdentro del conjunto de resultados. El cociente recibe el nombre defrecuencia relativa

de

, si realizamos el experimento tantas veces que

, entonces tender a un valor fijo que denominaremosprobabilidaddey lo denotaremos por [ ]. A partir del mtodo que se ha emplea-do para obtener el concepto de probabilidad son inmediatas las siguientes

propiedades

1. [ ] 2. [ ] 3. [ ]

Si tomamos los pares ordenados ( [ ]) y los graficamos en el planocartesiano tendremos una distribucin de probabilidades sobre el plano. La

curva que contiene a los puntos ( [ ]) puede ser modelado medianteuna funcin () siendo esta de forma tal que () [ ], a dichafuncin se le denominafuncin o distribucin de probabilidad. En trminos

de esta funcin podemos expresar las propiedades de la probabilidad de la

siguiente forma

1. () 2. () 3. ()

A partir de la funcin de probabilidad podemos definir la el valor esperado

(o esperanza matemtica) para una variable aleatoria como el valorlmite que toma la mediana cuando . Matemticamente expresamos es-ta definicin como () . De igual forma son parmetros de granutilidad en el anlisis estadstico la varianza que se define como el valoresperado de ( ), es decir ( )() . No es difcildemostrar que puede calcularse mediante la formula () . Y la desviacin estndar definida como la razcuadrada de la varianza, esto es .La extensin de estos conceptos hacia variables aleatorias continuas se hace


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a partir de la consideracin de que la probabilidad de un valor puntual de la

variable es nula y solo es posible calcular la probabilidad de que esta caigaen in intervalo , as se define la funcin de densidad de distribucinde probabilidad

()como aquella que cumple los siguientes requisitos

1. () 2. () 3. [ ] ()

A partir de estas condiciones no es difcil demostrar que [ ] satisface losdenominados axiomas de probabilidad. A partir lo dicho podemos expresar el

valor esperado, la varianza y la desviacin estndar como

() ( )()

2.2.Distribuciones de probabilidadTanto la funcin de distribucin como la funcin densidad de distribucin caracterizan el comportamiento de la variable aleatoria determinandolos parmetros estadsticos para su descripcin. La eleccin de tales funcio-

nes no es arbitraria sino que depende mucho de las caractersticas del expe-

rimento aleatorio realizado lo cual hace que para ser candidatas a modelar el

comportamiento de una determinada variable aleatoria deben cumplir con

una serie de supuestos que permiten elegirlas de tal forma que cumplan su

papel de la mejor forma posible. En principio cualquier funcin que cumpla

tales requisitos puede ser tomada como o , sin embargo solo algunas sonimportantes por su aplicabilidad a diversos experimentos aleatorios.

2.3.Proceso y distribucin de PoissonUna de las distribuciones de probabilidad de variable discreta ms importan-

tes es la distribucin de Poisson. Esta distribucin modela la probabilidad

asociada a una variable mediante la funcin


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()

y representamos esta relacin mediante(). El significado del parme-tro queda claro a partir de las caractersticas del experimento aleatorio delcual se toma, bsicamente este experimento se reduce a un conteo dentrode un intervalo finito de cualquier magnitud continua (tiempo, longitud, vo-

lumen, etc.) considerando que cada uno de los valores de es independientede los otros. En estas circunstancias el parmetro se identifica con la espe-ranza matemtica de, es decir . No una tarea complicada demostrarse cumple la igualdad .Los experimentos aleatorios que cumplen con estas condiciones suelen de-nominarseprocesos de Poisson.

Dada la naturaleza hipottica de en el sentido de que nunca podremos rea-lizar un experimento un nmero infinito de veces, para conjuntos grandes de

datos podemos tomar sin mas y considerar aun la igualdad .

Figura 2. El eje horizontal es la variable . La funcin solamente est definida en valores ente-

ros de . Las lneas que conectan los puntos son solo guas para el ojo y no indican continuidad.

2.4.Distribucin de GaussPara la descripcin estadstica de una variable aleatoria continua es comnel empleo de la distribucin Gaussiana o distribucin Normalcon parme-

tros y . Esta distribucin modela la distribucin de probabilidad mediante


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comn la afirmacin que la aproximacin a la distribucin normal es para va-

lores de . La aplicacin del teorema a una variable aleatoria discretainduce un error cometido pro aproximar su probabilidad mediante una fun-

cin de densidad de probabilidad as el error cometido se denomina error

por continuidad, este error se corrige mediante el factor de correccin por

continuidad empleado al momento de calcular la probabilidad de unvalor puntual mediante la aproximacin [ ] [ ].Haciendo el uso del teorema del lmite central podemos aproximar la distri-

bucin de Poisson con la condicin adicional .

3. DECAIMIENTO RADIOACTIVO Y ESTADSTICA3.1.El decaimiento radioactivo

En general, los ncleos de los distintos elementos no son estables. Emiten es-

pontneamente partculas cargadas y radiacin electromagntica. Este fen-

meno se conoce como radiactividad natural, y fue descubierto accidental-

mente en 1896 por Henri Becquerel.

Los ncleos excitados vuelven a su estado basal mediante tres tipos de de-

caimiento: consiste en la emisin de una partcula o tomos de helio do-blemente ionizados; consiste en la emisin de partculas , electrones o po-sitrones; y , cuando el retorno al estado basal se lleva a cabo mediante laemisin de radiacin electromagntica.

3.2.Naturaleza estadstica y distribucin de PoissonTal como se indic en la introduccin, el decaimiento radiactivo es un proce-

so aleatorio: cualquier medida basada en la observacin de la radiacin emiti-

da en una desintegracin radioactiva est sujeta en algn grado a la fluctua-

cin estadstica. Las hiptesis con las cuales se trabaja para el estudio de las

desintegraciones radiactivas, cuya validez est corroborada por la experien-

cia, son

a. Dado un intervalo temporal, todos los tomos de una muestra tienen la


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misma probabilidad de desintegrarse en dicho intervalo.

b. La desintegracin de un tomo es un evento independiente de la desin-tegracin de los dems tomos de la muestra.

c. La probabilidad de desintegracin de un tomo en un dado intervalotemporal permanece constante para todo intervalo temporal de la mis-

ma duracin.

Si tenemos en cuenta estas consideraciones y realizamos un experimento en

el cual la variable aleatoria tome el valor del nmero de tomos que se desin-

tegran en un intervalo de tiempo , vemos que naturalmente el experimentocorresponde a un proceso de Poisson por lo cual el conteo de las emisiones se

puede aproximar mediante una distribucin de Poisson.

El objetivo del experimento esta en corroborar estas hiptesis y mostrar que

la distribucin de Poisson es en efecto la correspondiente al decaimiento ra-

dioactivo.

La eleccin y definicin de los parmetros estadsticos a tener en cuenta se

darn a conocer en el diseo experimental siendo que ya se ha adelantado el

valor de la variable a medir.

4. DISEO EXPERIMENTALConecte la Unidad Bsica Cobra3 a la computadora del puerto COM1, COM2 o

al puerto USB (el uso de USB a RS232 Convertidor 14.602,10). Iniciar el pro-

grama de medida y seleccione Cobra3 Radioactivity Gauge.

Comenzar a grabar la medicin utilizando los parmetros tiempo (medido en

segundos ), la duracin del intervalo durante el cual se realizar la cuenta ylos impulsos que corresponden al nmero de tomos desintegrados detecta-

dos.

El primer paso es ajustar la distancia entre la fuente radiactiva y el tubo con-

tador, as como el cmputo del tiempo de tal manera que un pulso promedio

de un valor estimado de resultados. El siguiente experimento preliminar de-

be llevarse a cabo para esta finalidad.

Coloque la fuente radiactiva de unos 5 cm de distancia de la abertura


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de admisin del tubo contador.

Compruebe el valor medido. Si es necesario, cambiar la distancia entrela fuente radiactiva y el tubo contador con el fin de obtener el nmero

deseado de la cuenta. Para dar a las bajas tasas de pulso, ser ayudar aponer una hoja de papel entre la fuente y el tubo contador.

Luego de una serie de medidas (tamao de la muestra 1000) se lleva a cabo el

experimento con la ayuda de los equipo experimental y los ajustes del expe-

rimento preliminar.

Repita la medicin con mayor nmero de cuentas (reducir la brecha, si es ne-

cesario, aumentar el periodo de clculo), por ejemplo, para un promedio de

pulsos de 5, 10 y 20 por contar intervalo.

Las muestras radioactivas para este experimento fueron una de yotra de .

Figura 4. Equipo experimental Cobra3 para el estudio estadstico del decaimiento radioactivo.

5. RESULTADOS5.1.Experimento 1.

El primer experimento a realizar tendr como fuente de emisiones radioacti-

vas al con las siguientes especificacionesIntervalo de tiempo :


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Tiempo de medicin : Promedio esperado :

Haciendo la identificacin del experimento con un proceso de Poisson tene-

mos que el intervalo unitario en este caso de tiempo) es y el parmetro es el nmero de cuentas esperadas en cada intervalo, Luego de realizar el conteo del nmero de repeticiones de la cantidad de de-

tecciones por intervalo tenemos la Tabla 1.

# Cuentas (X) Frecuencia Absoluta ()1 2303

2 2392

3 1208

4 446

5 122

6 26

7 6

8 1Tabla 1: Conteo del nmero de cuentas obtenidas.

Frecuencias absolutas de intervalos con X cuentas.

Considerando que el conteo total de emisiones es 6504, tabulamos las fre-cuencias relativas de cada cuenta. Este resultado se muestra en la Tabla 2.

# Cuentas (X) Frecuencia relativa ()1 0.354090

2 0.367774

3 0.185732

4 0.068573

5 0.018758

6 0.003998

7 0.000923

8 0.000154

Tabla 2: Conteo del nmero de cuentas obtenidas.

Frecuencias relativas de intervalos con X cuentas.

Las tablas Tabla 1 y Tabla 2, y los grficos de frecuencias muestran una dis-

tribucin claramente asimtrica de los conteos realizados.

La aproximacin de la distribucin de Poisson la hacemos mediante el uso dela funcin


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()

con y tambin con , donde representa la media expe-rimental que en este caso es 2.046587 (con 6 decimales como se tra-baj con). Se presenta entonces la Tabla 3.

# Cuentas XFrecuencia

Relativa ()Distribucin

de Poisson ( )

Distribucinde Poisson (

)1 0.354090 0.270671 0.264368

2 0.367774 0.270671 0.270526

3 0.185732 0.180447 0.184552

4 0.068573 0.090224 0.0944255 0.018758 0.036089 0.038650

6 0.003998 0.012030 0.013183

7 0.000923 0.003437 0.003854

8 0.000154 0.000859 0.000986Tabla 3: Comparacin de los valores de y los valores de la distribucin de Poisson para y

A partir de esta ltima tabla obtenemos un grfico comparativo de y.

Grfica 1: Diagrama de barras de frecuencias absolutas.

23032392

1208

446

12226 6 1

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

1 2 3 4 5 6 7 8

Frecuenciaabsoluta

deintervalosconXcuentas

Numero de cuentas X


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Grfica 2. Diagrama de barras de frecuencias relativas.

Grfica 3: Distribucin de frecuencias relativas(Frecuencia Relativa) y distribuciones dePoisson con (Media) y (Lambda).

0.3540900.367774

0.185732

0.068573

0.018758

0.0039980.0009230.0001540.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

1 2 3 4 5 6 7 8

Frecuenciarelativadeintervalosc

onXcuentas

Numero de cuentas X

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Frecuend

iaRelativvayProbabilidad

dePo

isson

Numero de Cuentas por intervalo de tiempo

Frecuencia Relativa Media Lambda


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5.2.Experimento 2. El segundo experimento tuvo como muestra tambin al con las si-guientes especificaciones

Intervalo de tiempo : Tiempo de medicin : Promedio esperado :

Identificamos la longitud el intervalo unitario con y . La Tabla 4muestra la las frecuencias absolutas y relativas de las cuentas encontradas en

cada intervalo.

# Cuentas XFrecuencia

Absoluta ()FrecuenciaRelativa ()

1 4 0.0036934

2 33 0.0304709

3 79 0.0729455

4 137 0.1265005

5 165 0.1523546

6 183 0.1689751

7 173 0.15974158 114 0.1052632

9 99 0.0914127

10 53 0.0489381

11 23 0.0212373

12 12 0.0110803

13 6 0.0055402

14 2 0.0018467Tabla 4: Conteo del nmero de cuentas obtenidas.

Frecuencias absolutas y relativas de intervalos con X cuentas.

La Grfica 4 y la Grfica 5correspondientes a esta tabla muestran cierta for-

ma acampanada pero asimtrica.

Nuevamente hacemos la aproximacin de la distribucin de Poisson esta ves

considerando con y tambin con , que en este caso es6.3019391 (con 6 decimales como se trabaj con). Se presenta entonces laTabla 4 que compara los valores de frecuencias relativas

y distribuciones

de Poisson con (Media) y (Lambda).


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# CuentasX

FrecuenciaRelativa ()

Distribucinde Poisson ( )

Distribucin

de Poisson ( )1 0.0036934 0.0115499 0.0148725

2 0.0304709 0.0363933 0.0446175

3 0.0729455 0.0764494 0.08923514 0.1265005 0.1204448 0.1338526

5 0.1523546 0.1518072 0.1606231

6 0.1689751 0.1594466 0.1606231

7 0.1597415 0.1435461 0.1376770

8 0.1052632 0.1130774 0.1032577

9 0.0914127 0.0791785 0.0688385

10 0.0489381 0.0498978 0.0413031

11 0.0212373 0.0285866 0.0225290

12 0.0110803 0.0150126 0.011264513 0.0055402 0.0072776 0.0051990

14 0.0018467 0.0032759 0.0022281Tabla 5: Comparacin de los valores de y los valores de la distribucin de Poisson para y



0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Frecuenciaabs

olutadeintervalosconX

cuentas



17/27





0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0.14

0.16

0.18

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

FrecuenciaRelativa


0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

FrecuenciasRelativiasyPtobabilidad

dePoisson


Frecuencia Relativa Media Lambda


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5.3.Experimento 3. Para tercer experimento con se tuvieron en cuenta las siguientesconsideraciones

Intervalo de tiempo : Tiempo de medicin : Promedio esperado : 50

Identificamos la longitud el intervalo unitario con y . La Tabla 6muestra las frecuencias absolutas y relativas de las cuentas encontradas encada intervalo.

# Cuentas

X

Frecuencia

Absoluta (F)

Frecuencia

Relativa (f)37 1 0.002053

38 2 0.004107

39 2 0.004107

40 2 0.004107

41 3 0.006160

42 6 0.012320

43 7 0.014374

44 10 0.020534

45 11 0.02258746 7 0.014374

47 20 0.041068

48 12 0.024641

49 17 0.034908

50 22 0.045175

51 31 0.063655

52 22 0.045175

53 31 0.063655

54 25 0.051335

55 24 0.049281

56 20 0.041068

57 26 0.053388

58 17 0.034908

59 19 0.039014

60 28 0.057495

61 30 0.061602

62 10 0.020534Contina en la pgina siguiente


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Continuacin de la pgina anterior

# CuentasX

FrecuenciaAbsoluta (F)

FrecuenciaRelativa (f)

63 9 0.018480

64 20 0.04106865 8 0.016427

66 8 0.016427

67 9 0.018480

68 6 0.012320

69 6 0.012320

70 5 0.010267

71 1 0.002053

72 6 0.012320

73 2 0.00410776 1 0.002053

78 1 0.002053

Tabla 6: Conteo del nmero de cuentas obtenidas.

Frecuencias absolutas y relativas de intervalos con X cuentas.

Las grficas 7 y 8 muestran, en cierta medida, una simetra lo cual hace re-

cordar a la simetra caracterstica de una distribucin estadstica de tipo

gaussiana.

Nuevamente hacemos la aproximacin de la distribucin de Poisson esta ves

considerando con y tambin con , que en este caso es55.447639 (con 6 decimales como se trabaj con). Se presenta entonces laTabla 7 que compara los valores de frecuencias relativas y distribucionesde Poisson con (Media) y (Lambda).

# Cuentas

X

Frecuencia

Relativa ()Distribucin

de Poisson ( )Distribucin

de Poisson ( )37 0.002053 0.002015 0.01019638 0.004107 0.002941 0.013416

39 0.004107 0.004181 0.017200

40 0.004107 0.005795 0.021500

41 0.006160 0.007837 0.026219

42 0.012320 0.010347 0.031213

43 0.014374 0.013342 0.036294

44 0.020534 0.016813 0.041244

Contina en la pgina siguiente


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# CuentasX


Distribucin


de Poisson ( )45 0.022587 0.020717 0.045826

46 0.014374 0.024972 0.04981147 0.041068 0.029460 0.052991

48 0.024641 0.034031 0.055199

49 0.034908 0.038509 0.056325

50 0.045175 0.042705 0.056325

51 0.063655 0.046429 0.055221

52 0.045175 0.049507 0.053097

53 0.063655 0.051793 0.050091

54 0.051335 0.053182 0.046381

55 0.049281 0.053615 0.042164

56 0.041068 0.053086 0.037647

57 0.053388 0.051640 0.033023

58 0.034908 0.049368 0.028468

59 0.039014 0.046395 0.024126

60 0.057495 0.042875 0.020105

61 0.061602 0.038972 0.016479

62 0.020534 0.034854 0.013290

63 0.018480 0.030676 0.010547

64 0.041068 0.026576 0.008240

65 0.016427 0.022671 0.006339

66 0.016427 0.019046 0.004802

67 0.018480 0.015762 0.003584

68 0.012320 0.012852 0.002635

69 0.012320 0.010328 0.001909

70 0.010267 0.008181 0.001364

71 0.002053 0.006389 0.000960

72 0.012320 0.004920 0.00066773 0.004107 0.003737 0.000457

76 0.002053 0.001510 0.000135

78 0.002053 0.000773 0.000056

Tabla 7: Comparacin de los valores de y los valores de la distribucin de Poisson para y



21/27





0

5

10

15

20

25

30

35

37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 61 63 65 67 69 71 73 78

FrecuenciaAbsoluta


0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 61 63 65 67 69 71 73 78

Frecue

nciaRelativa



22/27



Grfica 9: Distribucin de frecuencias relativas(Frecuencia Relativa) y distribuciones dePoisson con

(Media) y

(Lambda).

Es interesante notar que en este caso el valor esperado de la media difieredel promedio de los datos mucho ms de lo que difera en los casos ante-riores y que un ajuste de Poisson que toma se ajusta mejor a los datosque que era lo que se esperaba. Por otro lado la curva originada por elajuste con es de forma acampanada y muy simtrica comparada conlas otras curvas de Poisson de los experimentos anteriores.

Para apreciar esto se elabor una tabla similar a la Tabla 7 para una posible

distribucin de Gauss obtenindose:

# CuentasX


Distribucin


de Poisson ( )37 0.002053 0.002292 0.011290

38 0.004107 0.003201 0.014248

39 0.004107 0.004388 0.017649

40 0.004107 0.005905 0.021459

41 0.006160 0.007837 0.026219Continua en la siguiente pagina

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

30 40 50 60 70 80

FrecuenciaRelativayProbabilidad

dePiosson


Frecuencia Relativa Lambda Media


23/27




# CuentasX




42 0.012320 0.010346 0.031213

43 0.014373 0.013342 0.03629444 0.020533 0.016813 0.041243

45 0.022587 0.020716 0.04582646 0.014374 0.023716 0.046900

47 0.041068 0.028014 0.050058

48 0.024641 0.032481 0.052442

49 0.034908 0.036966 0.053927

50 0.045175 0.041294 0.054432

51 0.063655 0.045278 0.053927

52 0.045175 0.048731 0.052442

53 0.063655 0.051480 0.050058

54 0.051335 0.053380 0.046900

55 0.049281 0.054330 0.043131

56 0.041068 0.054277 0.038934

57 0.053388 0.053224 0.034496

58 0.034908 0.051229 0.030001

59 0.039014 0.048399 0.025611

60 0.057495 0.044883 0.021459

61 0.061602 0.040854 0.017649

62 0.020534 0.036500 0.014248

63 0.018480 0.032010 0.011290

64 0.041068 0.027554 0.008781

65 0.016427 0.023281 0.006704

66 0.016427 0.019307 0.005023

67 0.018480 0.015717 0.003695

68 0.012320 0.012558 0.002668

69 0.012320 0.009849 0.00189070 0.010267 0.007582 0.001315

71 0.002053 0.005729 0.000898

72 0.012320 0.004249 0.000602

73 0.004107 0.003093 0.000396

76 0.002053 0.001067 0.000101

78 0.002053 0.000478 0.000037

Tabla 8: Comparacin de los valores de y los valores de la distribucin de Gauss para y

Comparando esta ltima tabla con la obtenida anteriormente para la distri-bucin de Poisson notamos que los valores de las probabilidades ( y


24/27



) no varan de forma significativa en el aspecto comparativo de los datos.Nuestra observacin no falla y se pone an ms en evidencia comparando el

grafico correspondiente a esta ltima tabla, Grfica 10, con la Grfica 9.


La en la comparacin de ambas se aprecia una notable proximidad.

5.4.Experimento 4. Para este cuarto experimento tomamos como muestra emisora , yrealizamos dos ajustes de las frecuencias relativas: para una distribucin detipo Gauss y otra de tipo Poisson buscando una comparacin similar al caso

anterior. Esta vez emplearemos como parmetro el valor de la media de losconteos.

Intervalo de tiempo : Tiempo de medicin : Promedio : 44.576042

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

30 40 50 60 70 80

FrecuenciaRelativ

ayProbabilidad

dePoisson


Frecuencia Relativa Lambda Media


25/27



Identificamos la longitud el intervalo unitario con y . La tabla 9muestra la las frecuencias absolutas y relativas de las cuentas encontradas en

cada intervalo.

# Cuentas X Frecuencia Relativa () Distribucinde Poisson Distribucinde Gauss27 0.001042 0.001348 0.001584

28 0.002083 0.002146 0.002373

29 0.004167 0.003298 0.003473

30 0.004167 0.004901 0.004963

31 0.004167 0.007047 0.006925

32 0.008333 0.009816 0.009439

33 0.020833 0.013260 0.012563

34 0.013542 0.017384 0.01633035 0.016667 0.022141 0.020730

36 0.026042 0.027415 0.025700

37 0.034375 0.033029 0.031115

38 0.034375 0.038744 0.036791

39 0.046875 0.044284 0.042483

40 0.051042 0.049350 0.047909

41 0.063542 0.053654 0.052763

42 0.051042 0.056945 0.056749

43 0.066667 0.059032 0.05960944 0.076042 0.059805 0.061147

45 0.047917 0.059242 0.061257

46 0.050000 0.057408 0.059931

47 0.054167 0.054447 0.057263

48 0.063542 0.050563 0.053432

49 0.038542 0.045998 0.048691

50 0.038542 0.041008 0.043333

51 0.039583 0.035843 0.037662

52 0.033333 0.030726 0.031967

53 0.019792 0.025842 0.026498

54 0.015625 0.021332 0.021451

55 0.020833 0.017289 0.016959

56 0.014583 0.013762 0.013094

57 0.007292 0.010762 0.009873

58 0.007292 0.008272 0.007270

59 0.004167 0.006249 0.005229

60 0.008333 0.004643 0.003672Continua en la siguiente pagina


26/27




# Cuentas X Frecuencia Relativa () Distribucinde Poisson Distribucinde Gauss61 0.006250 0.003393 0.002519

62 0.002083 0.002439 0.00168763 0.001042 0.001726 0.001104

64 0.001042 0.001202 0.000705

65 0.001042 0.000824 0.000440Tabla 9: Comparacin de los valores de y los valores de la distribucin de Gauss y Poisson

Comparando los valores de la tabla encontramos que las variaciones entre

una y otra distribucin estn comprendidas entre 0.002869 y 0.0000618 lo

cual indica valores relativamente prximos, idnticos hasta con 2 cifras de-

cimales, lo cual puede ser una buena aproximacin. La grafica comparativa de

cada una de las distribuciones y la frecuencia relativa se presenta a continua-

cin.

Grfica 11: Distribucin de frecuencias relativas(Frecuencia Relativa) y distribuciones deGauss y Poisson.

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

20 30 40 50 60 70

FrecuenciaRelativa


Gauss Poisson Frecuencia Relativa


27/27

DISTRIBUCIN DE POISSON Y DE GAUSS PARA LA DESINTEGRACIN RADIOACTIVA

MARTN JOSEMARA VUELTA ROJAS

6. CONCLUSIONESCualitativamente el experimento se realiz de manera sencilla en el sentido de que

se las lecturas de los decaimientos radioactivos se obtiene con pocos instrumentos,

lo cual minimiza los errores experimentales predominando bsicamente los de

clculo.

Adems los objetivos del experimento fueron cumplidos pues so obtuvieron las

aproximaciones estadsticas esperadas demostrando el carcter aleatorio de las

emisiones radioactivas.

Al hacer las grficas de estas aproximaciones estadsticas apreciamos que la dis-

tribucin de Poisson modela de manera satisfactoria la emisin radioactiva. Y no

solo eso, sino que, adems en los experimentos 3 y 4, vimos que se da la aproxima-

cin de la distribucin de Poisson a la distribucin de Gauss lo cual por teora es

perfectamente sustentado por el teorema del lmite central que se present en el

marco terico.

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