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 Laboratorio de Física E xperimental  Prof.: Oscar Baltuano DISTRIBUCIÓN DE POISSON Y DE GAUSS PARA LA DESINTEGRACIÓN RADIOACTIVA MARTÍN JOSEMARÍA VUELTA ROJAS  Facultad de Ciencias Físicas Universidad Nacional Mayor de San Marcos  Resumen El objetivo de este experimento es demostrar que el número de pulsos contados durante intervalos de tiempo idénticos por un tubo contador ubicado a una distancia fija de un emisor de radiación de larga vida se corresponden con la distribución de Poisson. Así mis- mo mostraremos que la distribución de Gauss es tam- bién adecuada, bajo ciertas condiciones, para aproxi- mar la distribución del pulso medido a través de un emisor de radiación de larga duración y un tubo conta- dor. En particular analizaremos el comportamiento es- tadístico de la desintegración radioactiva del Co-60 y del Na-22.

Distribuciones de Poisson y de Gauss Para El Dacaimineto Radioactivo

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    Laboratorio de Fsica Experimental

    Prof.: Oscar Baltuano

    DISTRIBUCIN DE POISSON Y DE GAUSS

    PARA LA DESINTEGRACIN RADIOACTIVA

    MARTN JOSEMARA VUELTA ROJAS

    Facultad de Ciencias Fsicas

    Universidad Nacional Mayor de San Marcos

    Resumen

    El objetivo de este experimento es demostrar que el

    nmero de pulsos contados durante intervalos de

    tiempo idnticos por un tubo contador ubicado a una

    distancia fija de un emisor de radiacin de larga vida se

    corresponden con la distribucin de Poisson. As mis-

    mo mostraremos que la distribucin de Gauss es tam-

    bin adecuada, bajo ciertas condiciones, para aproxi-mar la distribucin del pulso medido a travs de un

    emisor de radiacin de larga duracin y un tubo conta-

    dor. En particular analizaremos el comportamiento es-

    tadstico de la desintegracin radioactiva del Co-60 y

    del Na-22.

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    1. INTRODUCCINEl decaimiento radiactivo es un proceso aleatorio: cualquier medida basada

    en la observacin de la radiacin emitida en una desintegracin radioactiva

    est sujeta en algn grado a la fluctuacin estadstica.

    Estas fluctuaciones inherentes representan una fuente inevitable de incerti-

    dumbre en todas las medidas nucleares y a menudo pueden ser fuentes pre-

    dominantes de imprecisin o error. El trmino estadstica de conteo incluye

    el marco de referencia del anlisis estadstico requerido para procesar los re-

    sultados de experimentos de conteo nuclear y hacer predicciones acerca las

    precisiones esperadas de cantidades derivadas de estas medidas.

    El valor de la estadstica de conteo cae en dos categoras generales. La prime-

    ra es para verificar el funcionamiento normal de un equipo de conteo nuclear.

    Aqu un conjunto de medidas es registrado bajo condiciones en el cual todos

    los aspectos del experimento son mantenidos como una constante tanto co-

    mo es posible. Debido a la influencia de fluctuaciones estadsticas, estas me-

    didas no sern las mismas sino que nos mostrarn un grado de variacin in-

    terna. La cantidad de esta fluctuacin puede ser cuantificada y comparada

    con predicciones de modelos estadsticos. Si la cantidad de fluctuacin obser-

    vada no es consistente con predicciones uno puede concluir que alguna

    anormalidad existe en el sistema de contaje. La segunda aplicacin es gene-

    ralmente ms valiosa y trata con la situacin en la cual tenemos solamente

    una medida. Podemos usar la estadstica de conteo para predecir su incerti-

    dumbre inherente y as estimar una precisin que podra estar asociada con

    una sola medida.

    2. DISTRIBUCIONES ESTADSTICAS2.1.Experimento aleatorio, variable aleatoria y probabilidad

    Un experimento se denomina experimento aleatorio si bajo el mismo con-

    junto aparente de condiciones iniciales, puede presentar resultados diferen-tes, es decir, no se puede predecir el resultado exacto de cada experiencia

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    particular. Este resultado que se busca medir suele ser, en general, de natura-

    leza cuantitativa en tal caso la variable estadstica caracterizada por este re-

    sultado recibe el nombre de variable aleatoria. Segn esto podemos definir

    una variable aleatoria de la siguiente forma:

    Una variable aleatoria es una variable estadista cuantitativa pertene-ciente al espacio muestral de un experimento aleatorio.

    Evidentemente no podemos identificar con a los elementos del espaciomuestral, ni con el numero asociado a dicho elemento. De hecho se entiende

    como una funcin que a cada elemento le hace corresponder un n-mero () . La variable aleatoria es pues, unafuncin que atribuyea cada evento elemental de un nmero que no es aleatorio ni imprevisiblesino fijo y predeterminado. Lo que es aleatorio es el experimento sobre cuyo

    espacio muestral se define la variable aleatoria.

    Figura 1. Variable Aleatoria.

    Entendido as podemos decir que el dominio de la variable aleatoria es elespacio muestral y algn conjunto . Dependiendo de las caracters-ticas de podemos catalogar la variable aleatoria como una variablealeatoria discreta si el conjunto es finito o infinito numerable o comouna variable aleatoria continua si infinito no numerable; en este ltimocaso constituye un intervalo de la recta real.En general las variables aleatorias discretas representan de datos que pro-

    vienen del conteo de cierto nmero de elementos, mientras que las variables

    aleatorias continuas provienen de mediciones (longitud, tiempo, peso, etc).

    Consideremos el caso de una variable aleatoria discreta. Si realizamos el ex-

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    perimento aleatorio una cantidad determinada de veces, digamos , tendre-mos entonces que el valor () ha aparecido en los resultados vecesdentro del conjunto de resultados. El cociente recibe el nombre defrecuencia relativa

    de

    , si realizamos el experimento tantas veces que

    , entonces tender a un valor fijo que denominaremosprobabilidaddey lo denotaremos por [ ]. A partir del mtodo que se ha emplea-do para obtener el concepto de probabilidad son inmediatas las siguientes

    propiedades

    1. [ ] 2. [ ] 3. [ ]

    Si tomamos los pares ordenados ( [ ]) y los graficamos en el planocartesiano tendremos una distribucin de probabilidades sobre el plano. La

    curva que contiene a los puntos ( [ ]) puede ser modelado medianteuna funcin () siendo esta de forma tal que () [ ], a dichafuncin se le denominafuncin o distribucin de probabilidad. En trminos

    de esta funcin podemos expresar las propiedades de la probabilidad de la

    siguiente forma

    1. () 2. () 3. ()

    A partir de la funcin de probabilidad podemos definir la el valor esperado

    (o esperanza matemtica) para una variable aleatoria como el valorlmite que toma la mediana cuando . Matemticamente expresamos es-ta definicin como () . De igual forma son parmetros de granutilidad en el anlisis estadstico la varianza que se define como el valoresperado de ( ), es decir ( )() . No es difcildemostrar que puede calcularse mediante la formula () . Y la desviacin estndar definida como la razcuadrada de la varianza, esto es .La extensin de estos conceptos hacia variables aleatorias continuas se hace

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    a partir de la consideracin de que la probabilidad de un valor puntual de la

    variable es nula y solo es posible calcular la probabilidad de que esta caigaen in intervalo , as se define la funcin de densidad de distribucinde probabilidad

    ()como aquella que cumple los siguientes requisitos

    1. () 2. () 3. [ ] ()

    A partir de estas condiciones no es difcil demostrar que [ ] satisface losdenominados axiomas de probabilidad. A partir lo dicho podemos expresar el

    valor esperado, la varianza y la desviacin estndar como

    () ( )()

    2.2.Distribuciones de probabilidadTanto la funcin de distribucin como la funcin densidad de distribucin caracterizan el comportamiento de la variable aleatoria determinandolos parmetros estadsticos para su descripcin. La eleccin de tales funcio-

    nes no es arbitraria sino que depende mucho de las caractersticas del expe-

    rimento aleatorio realizado lo cual hace que para ser candidatas a modelar el

    comportamiento de una determinada variable aleatoria deben cumplir con

    una serie de supuestos que permiten elegirlas de tal forma que cumplan su

    papel de la mejor forma posible. En principio cualquier funcin que cumpla

    tales requisitos puede ser tomada como o , sin embargo solo algunas sonimportantes por su aplicabilidad a diversos experimentos aleatorios.

    2.3.Proceso y distribucin de PoissonUna de las distribuciones de probabilidad de variable discreta ms importan-

    tes es la distribucin de Poisson. Esta distribucin modela la probabilidad

    asociada a una variable mediante la funcin

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    ()

    y representamos esta relacin mediante(). El significado del parme-tro queda claro a partir de las caractersticas del experimento aleatorio delcual se toma, bsicamente este experimento se reduce a un conteo dentrode un intervalo finito de cualquier magnitud continua (tiempo, longitud, vo-

    lumen, etc.) considerando que cada uno de los valores de es independientede los otros. En estas circunstancias el parmetro se identifica con la espe-ranza matemtica de, es decir . No una tarea complicada demostrarse cumple la igualdad .Los experimentos aleatorios que cumplen con estas condiciones suelen de-nominarseprocesos de Poisson.

    Dada la naturaleza hipottica de en el sentido de que nunca podremos rea-lizar un experimento un nmero infinito de veces, para conjuntos grandes de

    datos podemos tomar sin mas y considerar aun la igualdad .

    Figura 2. El eje horizontal es la variable . La funcin solamente est definida en valores ente-

    ros de . Las lneas que conectan los puntos son solo guas para el ojo y no indican continuidad.

    2.4.Distribucin de GaussPara la descripcin estadstica de una variable aleatoria continua es comnel empleo de la distribucin Gaussiana o distribucin Normalcon parme-

    tros y . Esta distribucin modela la distribucin de probabilidad mediante

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    comn la afirmacin que la aproximacin a la distribucin normal es para va-

    lores de . La aplicacin del teorema a una variable aleatoria discretainduce un error cometido pro aproximar su probabilidad mediante una fun-

    cin de densidad de probabilidad as el error cometido se denomina error

    por continuidad, este error se corrige mediante el factor de correccin por

    continuidad empleado al momento de calcular la probabilidad de unvalor puntual mediante la aproximacin [ ] [ ].Haciendo el uso del teorema del lmite central podemos aproximar la distri-

    bucin de Poisson con la condicin adicional .

    3. DECAIMIENTO RADIOACTIVO Y ESTADSTICA3.1.El decaimiento radioactivo

    En general, los ncleos de los distintos elementos no son estables. Emiten es-

    pontneamente partculas cargadas y radiacin electromagntica. Este fen-

    meno se conoce como radiactividad natural, y fue descubierto accidental-

    mente en 1896 por Henri Becquerel.

    Los ncleos excitados vuelven a su estado basal mediante tres tipos de de-

    caimiento: consiste en la emisin de una partcula o tomos de helio do-blemente ionizados; consiste en la emisin de partculas , electrones o po-sitrones; y , cuando el retorno al estado basal se lleva a cabo mediante laemisin de radiacin electromagntica.

    3.2.Naturaleza estadstica y distribucin de PoissonTal como se indic en la introduccin, el decaimiento radiactivo es un proce-

    so aleatorio: cualquier medida basada en la observacin de la radiacin emiti-

    da en una desintegracin radioactiva est sujeta en algn grado a la fluctua-

    cin estadstica. Las hiptesis con las cuales se trabaja para el estudio de las

    desintegraciones radiactivas, cuya validez est corroborada por la experien-

    cia, son

    a. Dado un intervalo temporal, todos los tomos de una muestra tienen la

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    misma probabilidad de desintegrarse en dicho intervalo.

    b. La desintegracin de un tomo es un evento independiente de la desin-tegracin de los dems tomos de la muestra.

    c. La probabilidad de desintegracin de un tomo en un dado intervalotemporal permanece constante para todo intervalo temporal de la mis-

    ma duracin.

    Si tenemos en cuenta estas consideraciones y realizamos un experimento en

    el cual la variable aleatoria tome el valor del nmero de tomos que se desin-

    tegran en un intervalo de tiempo , vemos que naturalmente el experimentocorresponde a un proceso de Poisson por lo cual el conteo de las emisiones se

    puede aproximar mediante una distribucin de Poisson.

    El objetivo del experimento esta en corroborar estas hiptesis y mostrar que

    la distribucin de Poisson es en efecto la correspondiente al decaimiento ra-

    dioactivo.

    La eleccin y definicin de los parmetros estadsticos a tener en cuenta se

    darn a conocer en el diseo experimental siendo que ya se ha adelantado el

    valor de la variable a medir.

    4. DISEO EXPERIMENTALConecte la Unidad Bsica Cobra3 a la computadora del puerto COM1, COM2 o

    al puerto USB (el uso de USB a RS232 Convertidor 14.602,10). Iniciar el pro-

    grama de medida y seleccione Cobra3 Radioactivity Gauge.

    Comenzar a grabar la medicin utilizando los parmetros tiempo (medido en

    segundos ), la duracin del intervalo durante el cual se realizar la cuenta ylos impulsos que corresponden al nmero de tomos desintegrados detecta-

    dos.

    El primer paso es ajustar la distancia entre la fuente radiactiva y el tubo con-

    tador, as como el cmputo del tiempo de tal manera que un pulso promedio

    de un valor estimado de resultados. El siguiente experimento preliminar de-

    be llevarse a cabo para esta finalidad.

    Coloque la fuente radiactiva de unos 5 cm de distancia de la abertura

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    de admisin del tubo contador.

    Compruebe el valor medido. Si es necesario, cambiar la distancia entrela fuente radiactiva y el tubo contador con el fin de obtener el nmero

    deseado de la cuenta. Para dar a las bajas tasas de pulso, ser ayudar aponer una hoja de papel entre la fuente y el tubo contador.

    Luego de una serie de medidas (tamao de la muestra 1000) se lleva a cabo el

    experimento con la ayuda de los equipo experimental y los ajustes del expe-

    rimento preliminar.

    Repita la medicin con mayor nmero de cuentas (reducir la brecha, si es ne-

    cesario, aumentar el periodo de clculo), por ejemplo, para un promedio de

    pulsos de 5, 10 y 20 por contar intervalo.

    Las muestras radioactivas para este experimento fueron una de yotra de .

    Figura 4. Equipo experimental Cobra3 para el estudio estadstico del decaimiento radioactivo.

    5. RESULTADOS5.1.Experimento 1.

    El primer experimento a realizar tendr como fuente de emisiones radioacti-

    vas al con las siguientes especificacionesIntervalo de tiempo :

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    Tiempo de medicin : Promedio esperado :

    Haciendo la identificacin del experimento con un proceso de Poisson tene-

    mos que el intervalo unitario en este caso de tiempo) es y el parmetro es el nmero de cuentas esperadas en cada intervalo, Luego de realizar el conteo del nmero de repeticiones de la cantidad de de-

    tecciones por intervalo tenemos la Tabla 1.

    # Cuentas (X) Frecuencia Absoluta ()1 2303

    2 2392

    3 1208

    4 446

    5 122

    6 26

    7 6

    8 1Tabla 1: Conteo del nmero de cuentas obtenidas.

    Frecuencias absolutas de intervalos con X cuentas.

    Considerando que el conteo total de emisiones es 6504, tabulamos las fre-cuencias relativas de cada cuenta. Este resultado se muestra en la Tabla 2.

    # Cuentas (X) Frecuencia relativa ()1 0.354090

    2 0.367774

    3 0.185732

    4 0.068573

    5 0.018758

    6 0.003998

    7 0.000923

    8 0.000154

    Tabla 2: Conteo del nmero de cuentas obtenidas.

    Frecuencias relativas de intervalos con X cuentas.

    Las tablas Tabla 1 y Tabla 2, y los grficos de frecuencias muestran una dis-

    tribucin claramente asimtrica de los conteos realizados.

    La aproximacin de la distribucin de Poisson la hacemos mediante el uso dela funcin

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    ()

    con y tambin con , donde representa la media expe-rimental que en este caso es 2.046587 (con 6 decimales como se tra-baj con). Se presenta entonces la Tabla 3.

    # Cuentas XFrecuencia

    Relativa ()Distribucin

    de Poisson ( )

    Distribucinde Poisson (

    )1 0.354090 0.270671 0.264368

    2 0.367774 0.270671 0.270526

    3 0.185732 0.180447 0.184552

    4 0.068573 0.090224 0.0944255 0.018758 0.036089 0.038650

    6 0.003998 0.012030 0.013183

    7 0.000923 0.003437 0.003854

    8 0.000154 0.000859 0.000986Tabla 3: Comparacin de los valores de y los valores de la distribucin de Poisson para y

    A partir de esta ltima tabla obtenemos un grfico comparativo de y.

    Grfica 1: Diagrama de barras de frecuencias absolutas.

    23032392

    1208

    446

    12226 6 1

    0

    500

    1000

    1500

    2000

    2500

    3000

    1 2 3 4 5 6 7 8

    Frecuenciaabsoluta

    deintervalosconXcuentas

    Numero de cuentas X

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    Grfica 2. Diagrama de barras de frecuencias relativas.

    Grfica 3: Distribucin de frecuencias relativas(Frecuencia Relativa) y distribuciones dePoisson con (Media) y (Lambda).

    0.3540900.367774

    0.185732

    0.068573

    0.018758

    0.0039980.0009230.0001540.00

    0.05

    0.10

    0.15

    0.20

    0.25

    0.30

    0.35

    0.40

    1 2 3 4 5 6 7 8

    Frecuenciarelativadeintervalosc

    onXcuentas

    Numero de cuentas X

    0

    0.05

    0.1

    0.15

    0.2

    0.25

    0.3

    0.35

    0.4

    0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

    Frecuend

    iaRelativvayProbabilidad

    dePo

    isson

    Numero de Cuentas por intervalo de tiempo

    Frecuencia Relativa Media Lambda

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    5.2.Experimento 2. El segundo experimento tuvo como muestra tambin al con las si-guientes especificaciones

    Intervalo de tiempo : Tiempo de medicin : Promedio esperado :

    Identificamos la longitud el intervalo unitario con y . La Tabla 4muestra la las frecuencias absolutas y relativas de las cuentas encontradas en

    cada intervalo.

    # Cuentas XFrecuencia

    Absoluta ()FrecuenciaRelativa ()

    1 4 0.0036934

    2 33 0.0304709

    3 79 0.0729455

    4 137 0.1265005

    5 165 0.1523546

    6 183 0.1689751

    7 173 0.15974158 114 0.1052632

    9 99 0.0914127

    10 53 0.0489381

    11 23 0.0212373

    12 12 0.0110803

    13 6 0.0055402

    14 2 0.0018467Tabla 4: Conteo del nmero de cuentas obtenidas.

    Frecuencias absolutas y relativas de intervalos con X cuentas.

    La Grfica 4 y la Grfica 5correspondientes a esta tabla muestran cierta for-

    ma acampanada pero asimtrica.

    Nuevamente hacemos la aproximacin de la distribucin de Poisson esta ves

    considerando con y tambin con , que en este caso es6.3019391 (con 6 decimales como se trabaj con). Se presenta entonces laTabla 4 que compara los valores de frecuencias relativas

    y distribuciones

    de Poisson con (Media) y (Lambda).

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    # CuentasX

    FrecuenciaRelativa ()

    Distribucinde Poisson ( )

    Distribucin

    de Poisson ( )1 0.0036934 0.0115499 0.0148725

    2 0.0304709 0.0363933 0.0446175

    3 0.0729455 0.0764494 0.08923514 0.1265005 0.1204448 0.1338526

    5 0.1523546 0.1518072 0.1606231

    6 0.1689751 0.1594466 0.1606231

    7 0.1597415 0.1435461 0.1376770

    8 0.1052632 0.1130774 0.1032577

    9 0.0914127 0.0791785 0.0688385

    10 0.0489381 0.0498978 0.0413031

    11 0.0212373 0.0285866 0.0225290

    12 0.0110803 0.0150126 0.011264513 0.0055402 0.0072776 0.0051990

    14 0.0018467 0.0032759 0.0022281Tabla 5: Comparacin de los valores de y los valores de la distribucin de Poisson para y

    A partir de esta ltima tabla obtenemos un grfico comparativo de y.

    Grfica 4: Diagrama de barras de frecuencias absolutas.

    0

    20

    40

    60

    80

    100

    120

    140

    160

    180

    200

    1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

    Frecuenciaabs

    olutadeintervalosconX

    cuentas

    Numero de Cuentas por intervalo de tiempo

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    Laboratorio de fsica experimental 17

    DISTRIBUCIN DE POISSON Y DE GAUSS PARA LA DESINTEGRACIN RADIOACTIVAMARTN JOSEMARA VUELTA ROJAS

    Grfica 5. Diagrama de barras de frecuencias relativas.

    Grfica 6: Distribucin de frecuencias relativas(Frecuencia Relativa) y distribuciones dePoisson con (Media) y (Lambda).

    0.00

    0.02

    0.04

    0.06

    0.08

    0.10

    0.12

    0.14

    0.16

    0.18

    1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

    FrecuenciaRelativa

    Numero de Cuentas por intervalo de tiempo

    0

    0.02

    0.04

    0.06

    0.08

    0.1

    0.12

    0.14

    0.16

    0.18

    0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

    FrecuenciasRelativiasyPtobabilidad

    dePoisson

    Numero de Cuentas por intervalo de tiempo

    Frecuencia Relativa Media Lambda

  • 7/31/2019 Distribuciones de Poisson y de Gauss Para El Dacaimineto Radioactivo

    18/27

    18 Laboratorio de fsica experimental

    DISTRIBUCIN DE POISSON Y DE GAUSS PARA LA DESINTEGRACIN RADIOACTIVAMARTN JOSEMARA VUELTA ROJAS

    5.3.Experimento 3. Para tercer experimento con se tuvieron en cuenta las siguientesconsideraciones

    Intervalo de tiempo : Tiempo de medicin : Promedio esperado : 50

    Identificamos la longitud el intervalo unitario con y . La Tabla 6muestra las frecuencias absolutas y relativas de las cuentas encontradas encada intervalo.

    # Cuentas

    X

    Frecuencia

    Absoluta (F)

    Frecuencia

    Relativa (f)37 1 0.002053

    38 2 0.004107

    39 2 0.004107

    40 2 0.004107

    41 3 0.006160

    42 6 0.012320

    43 7 0.014374

    44 10 0.020534

    45 11 0.02258746 7 0.014374

    47 20 0.041068

    48 12 0.024641

    49 17 0.034908

    50 22 0.045175

    51 31 0.063655

    52 22 0.045175

    53 31 0.063655

    54 25 0.051335

    55 24 0.049281

    56 20 0.041068

    57 26 0.053388

    58 17 0.034908

    59 19 0.039014

    60 28 0.057495

    61 30 0.061602

    62 10 0.020534Contina en la pgina siguiente

  • 7/31/2019 Distribuciones de Poisson y de Gauss Para El Dacaimineto Radioactivo

    19/27

    Laboratorio de fsica experimental 19

    DISTRIBUCIN DE POISSON Y DE GAUSS PARA LA DESINTEGRACIN RADIOACTIVAMARTN JOSEMARA VUELTA ROJAS

    Continuacin de la pgina anterior

    # CuentasX

    FrecuenciaAbsoluta (F)

    FrecuenciaRelativa (f)

    63 9 0.018480

    64 20 0.04106865 8 0.016427

    66 8 0.016427

    67 9 0.018480

    68 6 0.012320

    69 6 0.012320

    70 5 0.010267

    71 1 0.002053

    72 6 0.012320

    73 2 0.00410776 1 0.002053

    78 1 0.002053

    Tabla 6: Conteo del nmero de cuentas obtenidas.

    Frecuencias absolutas y relativas de intervalos con X cuentas.

    Las grficas 7 y 8 muestran, en cierta medida, una simetra lo cual hace re-

    cordar a la simetra caracterstica de una distribucin estadstica de tipo

    gaussiana.

    Nuevamente hacemos la aproximacin de la distribucin de Poisson esta ves

    considerando con y tambin con , que en este caso es55.447639 (con 6 decimales como se trabaj con). Se presenta entonces laTabla 7 que compara los valores de frecuencias relativas y distribucionesde Poisson con (Media) y (Lambda).

    # Cuentas

    X

    Frecuencia

    Relativa ()Distribucin

    de Poisson ( )Distribucin

    de Poisson ( )37 0.002053 0.002015 0.01019638 0.004107 0.002941 0.013416

    39 0.004107 0.004181 0.017200

    40 0.004107 0.005795 0.021500

    41 0.006160 0.007837 0.026219

    42 0.012320 0.010347 0.031213

    43 0.014374 0.013342 0.036294

    44 0.020534 0.016813 0.041244

    Contina en la pgina siguiente

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    20/27

    20 Laboratorio de fsica experimental

    DISTRIBUCIN DE POISSON Y DE GAUSS PARA LA DESINTEGRACIN RADIOACTIVAMARTN JOSEMARA VUELTA ROJAS

    Continuacin de la pgina anterior

    # CuentasX

    FrecuenciaRelativa ()

    Distribucin

    de Poisson ( )Distribucin

    de Poisson ( )45 0.022587 0.020717 0.045826

    46 0.014374 0.024972 0.04981147 0.041068 0.029460 0.052991

    48 0.024641 0.034031 0.055199

    49 0.034908 0.038509 0.056325

    50 0.045175 0.042705 0.056325

    51 0.063655 0.046429 0.055221

    52 0.045175 0.049507 0.053097

    53 0.063655 0.051793 0.050091

    54 0.051335 0.053182 0.046381

    55 0.049281 0.053615 0.042164

    56 0.041068 0.053086 0.037647

    57 0.053388 0.051640 0.033023

    58 0.034908 0.049368 0.028468

    59 0.039014 0.046395 0.024126

    60 0.057495 0.042875 0.020105

    61 0.061602 0.038972 0.016479

    62 0.020534 0.034854 0.013290

    63 0.018480 0.030676 0.010547

    64 0.041068 0.026576 0.008240

    65 0.016427 0.022671 0.006339

    66 0.016427 0.019046 0.004802

    67 0.018480 0.015762 0.003584

    68 0.012320 0.012852 0.002635

    69 0.012320 0.010328 0.001909

    70 0.010267 0.008181 0.001364

    71 0.002053 0.006389 0.000960

    72 0.012320 0.004920 0.00066773 0.004107 0.003737 0.000457

    76 0.002053 0.001510 0.000135

    78 0.002053 0.000773 0.000056

    Tabla 7: Comparacin de los valores de y los valores de la distribucin de Poisson para y

    A partir de esta ltima tabla obtenemos un grfico comparativo de y.

  • 7/31/2019 Distribuciones de Poisson y de Gauss Para El Dacaimineto Radioactivo

    21/27

    Laboratorio de fsica experimental 21

    DISTRIBUCIN DE POISSON Y DE GAUSS PARA LA DESINTEGRACIN RADIOACTIVAMARTN JOSEMARA VUELTA ROJAS

    Grfica 7: Diagrama de barras de frecuencias absolutas.

    Grfica 8. Diagrama de barras de frecuencias relativas.

    0

    5

    10

    15

    20

    25

    30

    35

    37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 61 63 65 67 69 71 73 78

    FrecuenciaAbsoluta

    Numero de Cuentas por intervalo de tiempo

    0.00

    0.01

    0.02

    0.03

    0.04

    0.05

    0.06

    0.07

    37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 61 63 65 67 69 71 73 78

    Frecue

    nciaRelativa

    Numero de Cuentas por intervalo de tiempo

  • 7/31/2019 Distribuciones de Poisson y de Gauss Para El Dacaimineto Radioactivo

    22/27

    22 Laboratorio de fsica experimental

    DISTRIBUCIN DE POISSON Y DE GAUSS PARA LA DESINTEGRACIN RADIOACTIVAMARTN JOSEMARA VUELTA ROJAS

    Grfica 9: Distribucin de frecuencias relativas(Frecuencia Relativa) y distribuciones dePoisson con

    (Media) y

    (Lambda).

    Es interesante notar que en este caso el valor esperado de la media difieredel promedio de los datos mucho ms de lo que difera en los casos ante-riores y que un ajuste de Poisson que toma se ajusta mejor a los datosque que era lo que se esperaba. Por otro lado la curva originada por elajuste con es de forma acampanada y muy simtrica comparada conlas otras curvas de Poisson de los experimentos anteriores.

    Para apreciar esto se elabor una tabla similar a la Tabla 7 para una posible

    distribucin de Gauss obtenindose:

    # CuentasX

    FrecuenciaRelativa ()

    Distribucin

    de Poisson ( )Distribucin

    de Poisson ( )37 0.002053 0.002292 0.011290

    38 0.004107 0.003201 0.014248

    39 0.004107 0.004388 0.017649

    40 0.004107 0.005905 0.021459

    41 0.006160 0.007837 0.026219Continua en la siguiente pagina

    0.00

    0.01

    0.02

    0.03

    0.04

    0.05

    0.06

    0.07

    30 40 50 60 70 80

    FrecuenciaRelativayProbabilidad

    dePiosson

    Numero de Cuentas por intervalo de tiempo

    Frecuencia Relativa Lambda Media

  • 7/31/2019 Distribuciones de Poisson y de Gauss Para El Dacaimineto Radioactivo

    23/27

    Laboratorio de fsica experimental 23

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    Continuacin de la pgina anterior

    # CuentasX

    FrecuenciaRelativa ()

    Distribucinde Poisson ( )

    Distribucinde Poisson ( )

    42 0.012320 0.010346 0.031213

    43 0.014373 0.013342 0.03629444 0.020533 0.016813 0.041243

    45 0.022587 0.020716 0.04582646 0.014374 0.023716 0.046900

    47 0.041068 0.028014 0.050058

    48 0.024641 0.032481 0.052442

    49 0.034908 0.036966 0.053927

    50 0.045175 0.041294 0.054432

    51 0.063655 0.045278 0.053927

    52 0.045175 0.048731 0.052442

    53 0.063655 0.051480 0.050058

    54 0.051335 0.053380 0.046900

    55 0.049281 0.054330 0.043131

    56 0.041068 0.054277 0.038934

    57 0.053388 0.053224 0.034496

    58 0.034908 0.051229 0.030001

    59 0.039014 0.048399 0.025611

    60 0.057495 0.044883 0.021459

    61 0.061602 0.040854 0.017649

    62 0.020534 0.036500 0.014248

    63 0.018480 0.032010 0.011290

    64 0.041068 0.027554 0.008781

    65 0.016427 0.023281 0.006704

    66 0.016427 0.019307 0.005023

    67 0.018480 0.015717 0.003695

    68 0.012320 0.012558 0.002668

    69 0.012320 0.009849 0.00189070 0.010267 0.007582 0.001315

    71 0.002053 0.005729 0.000898

    72 0.012320 0.004249 0.000602

    73 0.004107 0.003093 0.000396

    76 0.002053 0.001067 0.000101

    78 0.002053 0.000478 0.000037

    Tabla 8: Comparacin de los valores de y los valores de la distribucin de Gauss para y

    Comparando esta ltima tabla con la obtenida anteriormente para la distri-bucin de Poisson notamos que los valores de las probabilidades ( y

  • 7/31/2019 Distribuciones de Poisson y de Gauss Para El Dacaimineto Radioactivo

    24/27

    24 Laboratorio de fsica experimental

    DISTRIBUCIN DE POISSON Y DE GAUSS PARA LA DESINTEGRACIN RADIOACTIVAMARTN JOSEMARA VUELTA ROJAS

    ) no varan de forma significativa en el aspecto comparativo de los datos.Nuestra observacin no falla y se pone an ms en evidencia comparando el

    grafico correspondiente a esta ltima tabla, Grfica 10, con la Grfica 9.

    Grfica 10: Distribucin de frecuencias relativas(Frecuencia Relativa) y distribuciones dePoisson con (Media) y (Lambda).

    La en la comparacin de ambas se aprecia una notable proximidad.

    5.4.Experimento 4. Para este cuarto experimento tomamos como muestra emisora , yrealizamos dos ajustes de las frecuencias relativas: para una distribucin detipo Gauss y otra de tipo Poisson buscando una comparacin similar al caso

    anterior. Esta vez emplearemos como parmetro el valor de la media de losconteos.

    Intervalo de tiempo : Tiempo de medicin : Promedio : 44.576042

    0.00

    0.01

    0.02

    0.03

    0.04

    0.05

    0.06

    0.07

    30 40 50 60 70 80

    FrecuenciaRelativ

    ayProbabilidad

    dePoisson

    Numero de Cuentas por intervalo de tiempo

    Frecuencia Relativa Lambda Media

  • 7/31/2019 Distribuciones de Poisson y de Gauss Para El Dacaimineto Radioactivo

    25/27

    Laboratorio de fsica experimental 25

    DISTRIBUCIN DE POISSON Y DE GAUSS PARA LA DESINTEGRACIN RADIOACTIVAMARTN JOSEMARA VUELTA ROJAS

    Identificamos la longitud el intervalo unitario con y . La tabla 9muestra la las frecuencias absolutas y relativas de las cuentas encontradas en

    cada intervalo.

    # Cuentas X Frecuencia Relativa () Distribucinde Poisson Distribucinde Gauss27 0.001042 0.001348 0.001584

    28 0.002083 0.002146 0.002373

    29 0.004167 0.003298 0.003473

    30 0.004167 0.004901 0.004963

    31 0.004167 0.007047 0.006925

    32 0.008333 0.009816 0.009439

    33 0.020833 0.013260 0.012563

    34 0.013542 0.017384 0.01633035 0.016667 0.022141 0.020730

    36 0.026042 0.027415 0.025700

    37 0.034375 0.033029 0.031115

    38 0.034375 0.038744 0.036791

    39 0.046875 0.044284 0.042483

    40 0.051042 0.049350 0.047909

    41 0.063542 0.053654 0.052763

    42 0.051042 0.056945 0.056749

    43 0.066667 0.059032 0.05960944 0.076042 0.059805 0.061147

    45 0.047917 0.059242 0.061257

    46 0.050000 0.057408 0.059931

    47 0.054167 0.054447 0.057263

    48 0.063542 0.050563 0.053432

    49 0.038542 0.045998 0.048691

    50 0.038542 0.041008 0.043333

    51 0.039583 0.035843 0.037662

    52 0.033333 0.030726 0.031967

    53 0.019792 0.025842 0.026498

    54 0.015625 0.021332 0.021451

    55 0.020833 0.017289 0.016959

    56 0.014583 0.013762 0.013094

    57 0.007292 0.010762 0.009873

    58 0.007292 0.008272 0.007270

    59 0.004167 0.006249 0.005229

    60 0.008333 0.004643 0.003672Continua en la siguiente pagina

  • 7/31/2019 Distribuciones de Poisson y de Gauss Para El Dacaimineto Radioactivo

    26/27

    26 Laboratorio de fsica experimental

    DISTRIBUCIN DE POISSON Y DE GAUSS PARA LA DESINTEGRACIN RADIOACTIVAMARTN JOSEMARA VUELTA ROJAS

    Continuacin de la pgina anterior

    # Cuentas X Frecuencia Relativa () Distribucinde Poisson Distribucinde Gauss61 0.006250 0.003393 0.002519

    62 0.002083 0.002439 0.00168763 0.001042 0.001726 0.001104

    64 0.001042 0.001202 0.000705

    65 0.001042 0.000824 0.000440Tabla 9: Comparacin de los valores de y los valores de la distribucin de Gauss y Poisson

    Comparando los valores de la tabla encontramos que las variaciones entre

    una y otra distribucin estn comprendidas entre 0.002869 y 0.0000618 lo

    cual indica valores relativamente prximos, idnticos hasta con 2 cifras de-

    cimales, lo cual puede ser una buena aproximacin. La grafica comparativa de

    cada una de las distribuciones y la frecuencia relativa se presenta a continua-

    cin.

    Grfica 11: Distribucin de frecuencias relativas(Frecuencia Relativa) y distribuciones deGauss y Poisson.

    0.00

    0.01

    0.02

    0.03

    0.04

    0.05

    0.06

    0.07

    0.08

    20 30 40 50 60 70

    FrecuenciaRelativa

    Numero de Cuentas por intervalo de tiempo

    Gauss Poisson Frecuencia Relativa

  • 7/31/2019 Distribuciones de Poisson y de Gauss Para El Dacaimineto Radioactivo

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    DISTRIBUCIN DE POISSON Y DE GAUSS PARA LA DESINTEGRACIN RADIOACTIVA

    MARTN JOSEMARA VUELTA ROJAS

    6. CONCLUSIONESCualitativamente el experimento se realiz de manera sencilla en el sentido de que

    se las lecturas de los decaimientos radioactivos se obtiene con pocos instrumentos,

    lo cual minimiza los errores experimentales predominando bsicamente los de

    clculo.

    Adems los objetivos del experimento fueron cumplidos pues so obtuvieron las

    aproximaciones estadsticas esperadas demostrando el carcter aleatorio de las

    emisiones radioactivas.

    Al hacer las grficas de estas aproximaciones estadsticas apreciamos que la dis-

    tribucin de Poisson modela de manera satisfactoria la emisin radioactiva. Y no

    solo eso, sino que, adems en los experimentos 3 y 4, vimos que se da la aproxima-

    cin de la distribucin de Poisson a la distribucin de Gauss lo cual por teora es

    perfectamente sustentado por el teorema del lmite central que se present en el

    marco terico.