Ley de Gauss y su aplicación en campos eléctricos

generados por distribuciones de carga

con cierta simetría.

+

Para una carga puntual:

+

podemos utilizar una esfera, concéntrica con la carga, como superficie gaussiana.

Comenzamos aplicando la definición de flujo:

E=E.

S+

ds

La superficie no es plana: la partimos en pequeños trozos de modo que cada uno sea casi plano.

Determinamos la contribución de cada trozo:

+

dsE

d = E.ds

d = E.ds.cos0°

Cos 0°=1

d = E.ds

El campo y el vector superficie son colineales

Entonces, cada pequeño trozo aporta: d = E.ds

+

ds

Para tener el flujo a través

de toda la superficie

tenemos que sumar todas

las contribucione

s

sd = sE.ds

+

Entonces:

sd = sE.ds

= sE.ds

= E.sds

Como E tiene el mismo valor para todos los trozos, se puede sacar de factor común.

+S = 4R2

entonces

= E.4R2

La suma de todos los pequeños trozos de superficie es igual a la superficie de la esfera:

sds = S

Ahora aplicamos la Ley de Gauss

E= Q neta

Q neta = Q entonces E=

Q

E

=

Q

=E.4R2

Juntando los dos resultados tenemos:

gE.4R2= Q

Despejando el valor del campo tenemos:

Ecuación para el valor del campo eléctrico de una carga puntual Q, a una distancia R de su centro.

Q

14R

2

E =

14

E =

Q R2

La misma ecuación se puede escribir así:

4 viene de la simetría esférica que posee esta distribución de cargas

del medio en el que se encuentra la carga (generalmente

aire o vacío, de no ser así habría que multiplicar a por un número, llamado constante dieléctrica, que tiene valores diferentes según el material aislante que estemos considerando – agua, aceite, ... - obteniendo así el valor de para ese medio. El aire tiene una constante dieléctrica de 1,00 )

14

=9,0x109Nm2/C2

Si trabajamos en el aire o el vacío, ese factor es constante y tiene un valor de:

Entonces la ecuación queda:

K=

K.E =

Q R2

Carga puntual

Línea de carga Qtotal/L

densidad lineal de carga

Plano cargado = Qtotal/S

= densidad superficial

de carga

Capacitor de placas paralelas

K.E = Q R2

R

E =

E =

E =

Ecuaciones obtenidas con este método para algunas distribuciones de carga:

K.E =

Q R2

Ejemplo 1:Calcular el módulo del campo eléctrico generado por una carga puntual de C a una distancia de 2,0cm de su centro.

Utilizaremos la ecuación para cargas puntuales.

Convertimos las unidades al sistema internacionalC = 3,0x10-6C

2,0 cm = 2,0x10-2m

Colocamos los valores en la ecuación:

E=9,0x109Nm2/C2.

3,0x10-6C (2,0x10-2m)2

E=9,0.3,0x109.10 -

6xCNm2/C2

4,0 10- 4 m2

E= 6,8x10 9 - 6 + 4

N/C E= 6,8x107

N/C

K.E =

Q R2

Ejemplo 2:Determinar el valor y signo de una carga que ubicada en P genera el campo eléctrico de 60N/C que se indica en la figura.

Nuevamente utilizaremos la ecuación para cargas puntuales.

Q=60N/C.( 3,0x10-2m) 9,0x109Nm2/C2 Q= -6,0x10-12C

P E d=3,0cm

Sólo que esta vez tendremos que despejar la carga.

E.Q =

R2 K

La carga es negativa: el campo generado por la misma

apunta hacia ella (desagüe).

Colocamos los valores en la ecuación:

K.E =

Q R2

Ejemplo 3:Determinar el campo eléctrico en A,B y C generado por dos cargas puntuales de C y -2,0C respectivamente, ubicadas como se muestra en la figura.

Otra vez utilizaremos la ecuación para cargas puntuales.

Para determinar el módulo del campo generado por cada carga en cada lugar.

Realizando el mismo proceidmiento conla carga 2 y haciendo las cuentas,obtenemos:EA 1= 2,7x10 6N/C; EA 2= 0,2x10 6N/CEB 1= 2,7x10 6N/C; EB 2= 1,8x10 6N/CEC 1= 0,3x10 6N/C; EC 2= 1,8x10 6N/C

0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 x(m)

A Q1 B Q2 C

E c 1=9,0x109Nm2/C2.

3,0x10-6C (0,30m)2

EB 1= EA 1 porque la distancia es igual.

EA 1=9,0x109Nm2/C2. 3,0x10-

6C (0,10m)2

Ahora vamos a representar:

0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 x(m)

A Q1 B Q2 C

E AEA=2,5x10 6N/C

¿Cómo es elCampo en C?

EA

1

EA

2

E

BEB=4,5x10 6N/C

EB

1

EB

2

E =

K. Q R2

Ejemplo 4:Determinar el campo eléctrico generado por dos cargas puntuales de C y -2,0C ubicadas en (x=0,10; y=0,00) y (x=0,00; y=0,10) respectivamente, en A (x=0,00; y=0,00); B (x=0,20; y = 0.00) y en C (x=0,30; y=0,10)

Ecuación para cargas puntuales.

Determinamos el módulo del campo generado por cada carga en cada lugar.

Realizando el mismo proceidmiento conla carga 2 y haciendo las cuentas,obtenemos:EA 1= 2,7x10 6N/C; EA 2= 1,8x10 6N/CEB 1= 2,7x10 6N/C; EB 2= 0,3x10 6N/CEC 1= 0,5x10 6N/C; EC 2= 0,2x10 6N/C

E c 1=9,0x109Nm2/C2.

3,0x10-6C (0,20m)2+(0,10m)2

EB 1= EA 1 porque la distancia es igual.

EA 1=9,0x109Nm2/C2. 3,0x10-

6C (0,10m)2

EA= √[(2,7x10 6N/C )2+

(1,8x106N/C)2] EA= 4,9x10 6N/C Tg( = 1,8/2,7 = 34°

¿Cómo es El Campo en B?

y(m) 0,10 C

0,00 A B 0,00 0,10 0,20 0,30 x(m)

0,00 0,10 0,20 0,30 x(m)EA 1

EB

1

E

A

zoom

27°

Calculamos el campo con el Teorema del Coseno:EC =√ [Ec1

2+Ec22-

2EC1EC2cos27°]Y el ángulo entre EC y E

C 1

con el Teorema del Seno:(sen27°/EC)=(sen/EC2) Sen =0,28; =16°

EC=0,33x106N/C

Formando un ánguloCon la horizontal de16°+27°=43°

EC E C 1

E =

Ejemplo 5:Determinar el campo eléctrico en la zona central de una placa conductora de 0,500m2 de superficie, que tiene una carga total de -1,77nC.

Ecuación para planos cargados.

E=(-3,54x10-9C/m2)/(2x8,85x10-12C2/Nm2)

E=2,00x102N/C

1E

Representamos el campo perpendicular a la placa y entrante (carga negativa: desagüe)

Primero determinamos = (Qneta/Supericie) = (-1,77x10-9C/0,50m2)

= -3,54x10-9C/m2

E =

Ejemplo 6:Determinar el campo eléctrico resultante en P. El plano de la figura tiene una densidad lineal de carga de 5,31nC/m2 y la esferita tiene una carga de 4,0nC. La distancia entre la carga y P es de 0,30m.

Ecuación para planos cargados.

Ecuación para cargas puntuales

E=(5,31x10-9C/m2)/(2x8,85x10-12C2/Nm2)

E=3,00x102N/C

1

E =K.QR2

E=(9,0x109Nm2/C2x4,0x109C)/(0,30m)2

E=4,00x102N/C

plano

P

Eplano

Eq

EPEP = 5,00x102N/Cy forma un ángulo con la horizontal de 37°