Distribucije Frekvencija i Grafikoni [Compatibility Mode]

1

Distribucije frekvencija i grafičkaprezentacija

prof. dr Emina Resić

Sadržaj predavanja

Apsolutne i relativne frekvencije Kumulativne apsolutne frekvencije Kumulativne relativne frekvencije Primjer formiranja neintervalno grupisane

statističke distribucije frekvencija naosnovu bruto podataka

Tumačenje različitih tipova frekvencija zaneintervalno grupisanu distribucijufrekvencija

Sadržaj predavanja, cont.

Primjer formiranja intervalno grupisanestatističke distribucije frekvencija naosnovu bruto podataka

Pojam razredne sredine ili centra intervala Tumačenje različitih tipova frekvencija za

intervalno grupisanu distribucijufrekvencija

Grafičke prezentacije

Nakon ovog predavanja moćićete...

Razumjeti pojam frekvencije u statističkojdistribuciji

Na osnovu bruto podataka formiratineintervalno grupisanu statističkudistribuciju frekvencija i grafički jepredstaviti

Formirati i protumačiti vrijednosti zarazličite tipove frekvencija za neintervalnogrupisanu distribuciju frekvencija

Nakon ovog predavanja moćićete..., cont.

Na osnovu bruto podataka formiratiintervalno grupisanu statističku distribucijufrekvencija i grafički je predstaviti

Odrediti centre intervala Formirati i protumačiti vrijednosti za

različite tipove frekvencija u intervalnogrupisanoj statističkoj distribuciji

Vrste statističkih serija

Prema sadržaju: Proste serije – prati se samo jedno obilježje

(npr. za zemlje članice EU prati se nivo GDP)

Složene serije – prati se simultano više obilježja(npr. za zemlje članice EU prati se paralelnoGDP, uvoz i izvoz)

2

Vrste statističkih serija, cont.

Prema vrsti obilježja: Kvalitativne serije (obilježje je nominalno ili

ordinalno) Kvantitativne serije (obilježje je numeričko:

prekidno ili neprekidno) Vremenske serije (kretanje neke pojave prati se

u određenim vremenskim intervalima)

Razmislite i prodiskutujmozajedno...

Mnogo puta ste u svom dosadašnjemškolovanju računali svoju prosječnu ocjenu.

Kako ste to radili? Prvi korak je bio: izbrojali ocjene 5, ocjene 4

itd. Šta ste vi zapravo uradili? Odredili apsolutne frekvencije pojavljivanja

ocjene 5, ocjene 4 itd.

Frekvencije

Apsolutna frekvencija -broj pojavljivanja(ponavljanja) jednogmodaliteta.

Relativna frekvencija -proporcija jedinicastatističkog skupa kojeimaju isti modalitet.

1

,

n

i ii

f f N

1

, 1n

ii i

i

fp p

N

Kumulativne apsolutnefrekvencije

Rastuća apsolutna kumulanta - kolikopodataka ima vrijednost manju ilijednaku vrijednosti modaliteta nakojoj se trenutno nalazimo.

1

i

i jj

S f

Kumulativne apsolutnefrekvencije, cont.

Opadajuća apsolutna kumulanta -koliko podataka ima vrijednost veću odvrijednosti modaliteta na kojoj setrenutno nalazimo.

1

i

i j ij

S N f N S

Kumulativne relativnefrekvencije

Rastuća relativna kumulanta - kolikije % podataka koji imaju vrijednostmanju ili jednaku vrijednostimodaliteta na kojoj se trenutnonalazimo (ako pomnožimo sa 100%).

1

i

i jj

F p

3

Kumulativne relativnefrekvencije, cont.

Opadajuća relativna kumulanta - kolikije % podataka koji imaju vrijednostveću od vrijednosti modaliteta na kojojse trenutno nalazimo (ako pomnožimosa 100%).

1

1 1i

i j ij

F p F

Određivanje distribucije frekvencija nabazi neuređene bruto serije podataka

EXCEL nudi sljedeće opcije za sređivanjepodataka u statističku distribucijufrekvencija:

Za kvalitativne podatke – funkcija COUNTIF Za kvantitativne podatke – funkcija

FREQUENCY

Primjer 1

U grupi od 15 studenata sproveli smoanketu sa pitanjem: “Koji žanr filma najviševolite?” i dobili sljedeće odgovore:dramu, triler, komediju, horor, triler, dramu,komediju, triler, akciju, dramu, komediju, akciju,dramu, komediju, dramu

Formirati odgovarajuću distribucijufrekvencija.

Rješenje – osnovni statističkipojmovi

Statistički skup studenti

Statistička jedinica student

Veličina skupa N=15

Varijabla omiljeni filmski žanr

Tip varijable kvalitativna nominalna

Modaliteti drama, komedija, triler,

akcija, horor

Rješenje – distribucija frekvencija

Modaliteti –Filmski žanr

Apsolutne frekvencije -Broj studenata

Drama 5Komedija 4Triler 3Akcija 2Horor 1Ukupno 15

Primjer 2

Na osnovu ispitivanja 35 gradova dobilismo podatke o broju osnovnih škola ujednom gradu:1, 1, 2, 3, 5, 6, 1, 2, 2, 4, 2, 6, 2, 3, 4, 1, 2, 7,2, 2, 4, 4, 3, 4, 2, 2, 3, 4, 3, 3, 5, 3, 1, 5, 2

Uporediti i komentarisati statističku serijusa bruto podacima, uređenu statističkuseriju i statističku distribuciju frekvencija.

4

Primjer 2 - pitanja

Izračunati i objasniti relativnefrekvencije.

Izračunati i objasniti apsolutnekumulativne frekvencije rastuće iopadajuće.

Izračunati i objasniti relativnekumulativne frekvencije rastuće iopadajuće.


Statistički skup gradovi

Statistička jedinica grad


Varijabla broj osnovnih škola u gradu

Tip varijable kvantitativna prekidna

Modaliteti 1,2,3,4,5,6,7

Rješenje – uređena serija

Serija koju imamo u postavci zadatka jestatistička serija sa bruto podacima, toje baza podataka u koju smo upisivalipodatke za svaki grad („nabacani podaci“).

Da bismo dobili uređenu statističkuseriju moramo sortirati podatke po veličini:1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3,3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 7

Rješenje – distribucija frekvencija

Krajnji oblik grupisanja podataka jestatistička distribucija frekvencija, kadasvakom modalitetu varijable (modaliteta iman jer je riječ o prekidnoj varijabli sa malimbrojem modaliteta) pridružimo njemuodgovarajuću apsolutnu frekvenciju: - i- ti modalitet posmatranog obilježja - apsolutna frekvencija i -tog modaliteta n - broj modaliteta

ixif

Rješenje – radna tabela(neintervalno grupisanje)

Opadajućaapsolutnakumulanta - S

30

19

12

6

3

1

0

Brojosnovnihškola - x

Apsolutnafrekvencija- f

1 5

2 11

3 7

4 6

5 3

6 2

7 1

Σ 35

Rastućaapsolutnakumulanta - S

5

16

23

29

32

34

35

1

i

i jj

S f

Rastuća apsolutnakumulanta

Opadajuća apsolutnakumulanta i iS N S

Rješenje – radna tabela(neintervalno grupisanje), cont.

Opadajućarelativnakumulanta - F

0,8571

0,5428

0,3428

0,1714

0,0857

0,0286

0

Brojosnovnihškola - x

Relativnafrekvencija –p=f/N

1 5/35=0,1429

2 11/35=0,3143

3 7/35=0,2000

4 6/35=0,1714

5 3/35=0,0857

6 2/35=0,0571

7 1/35=0,0286

Σ 1,0000

Rastućarelativnakumulanta - F

0,1429

0,4571

0,6571

0,8286

0,9143

0,9714

1,0000

1

i

i jj

F p

Rastuća relativnakumulanta

Opadajuća relativnakumulanta

1i iF F

5

Rješenje – komentar

Na osnovu radne tabele potvrđujemo da:

Posljednja rastuća apsolutna kumulativnafrekvencija mora uvijek biti jednaka N.

Posljednja opadajuća apsolutna kumulativnafrekvencija mora uvijek biti jednaka 0.

Posljednja rastuća relativna kumulativnafrekvencija mora uvijek biti jednaka 1.

Posljednja opadajuća relativna kumulativnafrekvencija mora uvijek biti jednaka 0.

Rješenje – tumačenje frekvencija

u 23 grada imamo 3 škole ili manje od 3

u 6 gradova imamo više od 4 škole

( 3) 23iS x

( 4) 6iS x


u 45,71 % gradova imamo 2 škole ili manjeod 2

u 8,57% gradova imamo više od 5 škola.

( 2) 0, 4571iF x

( 5) 0,0857iF x

Primjer 3

U nizu je analizirano 40 podataka. Ako je zamodalitet 20 izračunata relativna frekvencija 0,3,odrediti apsolutnu frekvenciju tog modaliteta.

Rješenje:

40, 20, 0,3, ?

40 0,3 12

i i i

ii i i

N x p f

fp f N p

N

Pitanje

Analizirana varijabla je “boja automobila”.Relativna frekvencija modaliteta “crvena” iznosi0,42. Odaberite ispravno tumačenje.

42 automobila u posmatranoj populaciji su crveneboje

42 automobila u posmatranoj populaciji nisu crveneboje

42% posto automobila u posmatranoj populaciji jecrvene boje.

Primjer 4

Za 25 domaćinstava imamo informacije oveličini zemljišnog posjeda (u ha):12,3 13,4 14,8 8,3 13,6 12,4 12,012,8 11,2 13,8 15,0 13,2 16,2 12,711,7 13,9 13,0 9,5 14,5 12,7 16,013,5 10,2 9,6 14,8

Formirati statističku distribuciju frekvencija(širina intervala 2).

Odrediti centre intervala.

6

Rješenje – osnovni statističkipojmovi Statistički skup

zemljišni posjedi

Statistička jedinica posjed


Varijabla veličina posjeda

Tip varijable kvantitativna neprekidna (kontinuirana)

Rješenje – intervalno grupisanjeKrajnji oblik grupisanja je statističkadistribucija frekvencija, kada svakomintervalu (riječ o neprekidnoj varijabli, “odozgootvorenih” intervala ima n) pridružimo njemuodgovarajuću apsolutnu frekvenciju: i - donja i gornja granica j - tog intervala - j- ti interval - apsolutna frekvencija j - tog intervala n - broj intervala,

1 2 1 2j j j j jR L L L L

jf

1 ,j n

2 jL1 jL

Rješenje – određivanje širineintervala

N=25,

Formiramo intervale širine (amplitude) d=2 iza date intervale (n=5) određujemoapsolutne frekvencije na osnovuprebrojavanja bruto podataka.

min max8,3 16,2x x

Radna tabela – distribucijafrekvencija (intervalno grupisanje)

iR -

intervaliif -

apsolutnefrekvencije

8-10 310-12 312-14 1314-16 416-18 2

25

Rješenje – centri intervala

Kod intervalno grupisane serije kakobismo omogućili dalje kalkulacije sapodacima moramo intervale aproksimiratinjima odgovarajućim razrednimsredinama ili centrima intervala:

1 2

2j j

j

L Lc

Radna tabela – intervalnogrupisanje, centri intervala

ci

9

11

13

15

17

Ri fi8-10 3

10-12 3

12-14 13

14-16 4

16-18 2

25

1 2

2j j

i

L Lc

7

Primjer 5Za zadanu distribuciju frekvencija:

Odrediti relativne frekvencije. Odrediti relativne rastuće kumulativne frekvencije. Objasniti:

apsolutnu frekvenciju drugog intervala. relativnu frekvenciju petog intervala relativnu rastuću kumulativnu frekvenciju trećeg intervala.

Broj opravki Broj dana25-30 230-35 635-40 940-45 845-50 5suma 30

Rješenje – radna tabela

iR if ii

fp

N iF

25-30 2 0,0667 0,066730-35 6 0,2000 0,266735-40 9 0,3000 0,566740-45 8 0,2667 0,833445-50 5 0,1666 1,0000suma 30 1,0000


Za 6 dana u okviru analiziranih 30 danabroj opravki kretao se u intervalu [30-35).

16,66% dana u analiziranoj populacijiod 30 dana imalo je broj opravki iintervalu [45-50).

56,67% analiziranih dana imalo jemanje od 40 opravki u toku dana.

Primjer 6

Pratili smo godišnje troškove marketinškereklame za 60 preduzeća iz prehrambeneindustije. Troškovi su izraženi u hiljadamaKM. Za interval [25-35[ apsolutnarastuća kumulativna frekvencija imala jevrijednost 38.

Objasniti dobijeni rezultat. Izračunati odgovarajuću apsolutnu

opadajuću kumulativnu frekvenciju.


38 preduzeća imalo je troškove manje od35000 KM.

22 preduzeća imalo je troškove veće ilijednake 35000 KM.

25 35 , 38i iR S

60 38 22i iS N S

Pitanje

Za 8 od 200 analiziranih proizvoda“dužina” je bila veća od standarda kojiiznosi 6 cm. Za navedenu konstatacijukoristili smo tumačenje: Relativne frekvencije Apsolutne opadajuće kumulante Apsolutne rastuće kumulante.

8

Vaš zadatak

Na testu iz matematike učenici su dobili sljedećeocjene:

Formirati odgovarajuću distribuciju frekvencija.

4 4 4 2 5 3 1 1 3 33 3 4 1 4 4 3 2 2 12 1 4 5 3 1 1 2 2 33 3 2 1 4 1 4 3 2 25 3 3 4 2 2 1 4 2 3

Uporedite vaš rezultat:

Riječ je o prekidnoj varijabli sa malim brojemmodaliteta neintervalno grupisanje

ix if1 102 123 144 115 3 50

Vaš zadatak

Dati su podaci o prinosima po hektaru na 50parcela:

Formirati statističku distribuciju frekvencija. Odrediti relativne frekvencije i objasniti. Naći centre intervala.

28,9 32,1 20,2 24,6 31,5 41,8 45,1 28,5 35,5 40,128,6 39,2 33,8 41,5 26,1 42,6 34,9 25,9 37,8 42,738,8 39,5 29,1 39,4 24,5 34,7 33,7 42,5 36,7 37,132,4 37,6 35,5 34,9 36,8 31,1 33,4 32,5 27,1 23,433,1 27,8 29,2 34,0 33,1 34,2 39,1 26,7 39,3 29,1

Uporedite vaš rezultat: Statistički skup

parcele

Statistička jedinica parcela


Varijabla prinos po hektaru

Tip varijable kvantitativna neprekidna (kontinuirana)

Uporedite vaš rezultat:

Npr. na 30% parcela prinos se kretao u intervalu[30-35).

Prinos -

ixBroj parcela -

if N

fp i

i ic

20-25 4 0,08 22,525-30 11 0,22 27,530-35 15 0,30 32,535-40 13 0,26 37,540-45 6 0,12 42,545-50 1 0,02 47,5suma 50 1,00

Grafičko predstavljanjestatističkih varijabli

Izbor grafikona direktno zavisi od tipastatističke varijable.

9

Grafičko predstavljanjekvalitativne varijable

Kvalitativna varijabla može se predstaviti pomoću grafikonastrukture:

jednostavnih stubaca strukturnog stubca strukturnog kruga ili polukruga

Ako je nominalna varijabla poredak nije bitan, ako jeordinalna varijabla poredak stubaca je bitan i ne smije semijenjati.

U slučaju kombinovanja više varijabli koristi se: strukturni - razdijeljeni stubac razdvojeni ili višestruki stupci razdijeljeni stupci

Kod geografske serije moguće je nacrtati i kartogram.

Primjer 7

Na kursu za manekenke koji je pohađalo 58djevojaka zabilježili smo njihovu boju očiju i dobilisljedeću distribuciju frekvencija:

Grafički predstaviti ovu distribuciju. Analiziratistrukturu.

boja očiju broj djevojaka na kursuza manekenke

plava 12smeđa 23crna 14zelena 9


Riječ je o nominalnoj kvalitativnoj varijabli“boja očiju”.

Populacija su djevojke sa kursa zamanekenke.

N=58 Koristićemo sljedeće grafikone:

stupce strukturni krug strukturni stubac

Rješenje - grafikon stubaca

Možemo mijenjati poredak stubaca, jer je riječ onominalnoj varijabli.

12

23

149

05

10152025

plava smeđa crna zelena

boja očiju

broj

dje

voja

ka

Rješenje - strukturni krug

21%

39%

24%

16%

plava

smeđa

crna

zelena

Ugao u krugukoji odgovaraposmatranommodalietu i jejednak: pi ·360° Rješenje - strukturni stubac

0%

20%

40%

60%

80%

100%

zelena

crna

smeđa

plava

10

Rješenje - analiza strukture

Na osnovu prezentiranih strukturnogkruga i strukturnog stupca možemozaključiti da:

39,6% djevojaka imalo je smeđe oči 24,1% djevojaka imalo je crne oči 20,7% djevojaka imalo je plave oči 15,6% djevojaka imalo je zelene oči.

Primjer 8

Analizirali smo strukturu nastavnog osoblja jednogfakulteta prema naučnom zvanju i dobili informaciju:

Nacrtati grafikon stubaca.

zvanje zaposlenog broj zaposlenihasistent 15viši asistent 9docent 10vanredni profesor 12redovni profesor 14 60


Riječ je o ordinalnoj kvalitativnojvarijabli “naučno zvanje”.

Populaciju čini nastavno osoblje N=60 Ne smijemo prilikom konstruisanja

grafikona stubaca mijenjati poredakdat u tabeli, jer je riječ o ordinalnojvarijabli.


05

101520

asistent višiasistent

docent vanredniprofesor

redovniprofesor

zvanje zaposlenog

broj

zapo

sleni

h

Primjer 9

Za 316 učenika jedne škole pratili smo dvijevarijable: “spol” i “uspjeh”:

Grafički prikazati dobijene podatke o uspjehu uodnosu na spol. Komentar.

spoluspjehmuški ženski

= if

odličan 27 41 68vrlo dobar 52 34 86dobar 25 14 39dovoljan 38 45 83nedovoljan 21 19 40= jf 163 153 316


Posmatrali smo dvije kvalitativnevarijable: “spol” kao nominalnu i“uspjeh” kao ordinalnu varijablu.

Populacija su učenici date škole. N=316 Koristićemo dvije grafičke prezentacije:

Grafikon dvostrukih stubaca Grafikon razdijeljenih stubaca

11

Rješenje - grafikon razdvojenih ilidvostrukih stubaca

Koristimo ga ako želimo istaći razliku prema uspjehuzavisno od spola.

010

2030

4050

60

odlič an v rlo dobar dobar dov oljan nedov oljan

u sp jeh

bro

j u

čen

ika

m uš k i s pol

žens k i s pol

Rješenje - grafikon razdijeljenihstubaca

Koristimo ga ako želimo “prikriti” razliku u uspjehuzavisno od spola.

0

20

40

60

80

100

odličan vrlo dobar dobar dovoljan nedovoljan

uspjeh (prema spolu)

apso

lutn

e fr

ekve

nci

je

ženskispol

muškispol

Pitanje

Želite konstruisati grafikon stubaca zavarijablu “stručna sprema”.

Poredak stubaca u odnosu namodalitete u tabeli je: bitan nebitan

Grafičko predstavljanjekvantitativne varijable

Kvantitativna varijabla može se predstaviti zavisno od tipa:

mali broj podataka, negrupisana serija: Tukey-ev stablo - list dijagram (S-L) x – osa

grupisana serija: razdijeljeni stupci (prekidna serija, nema intervala) strukturni stubac strukturni krug histogram - spojeni stupci (neprekidna serija, intervali) poligon apsolutnih frekvencija poligon kumulanti linijski dijagram (prekidna neintervalno grupisana serija)

U slučaju vremenske serije koriste se grafikoni dinamike.

Grafičko predstavljanjekvantitativne varijable, cont.

U slučaju da imamo intervale sa različitimširinama ne možemo histogram crtati saapsolutnim frevencijama već sakorigovanim apsolutnim frekvencijama(gustinama):

i

ii l

ff '

Primjer 10

Za 100 slučajno odabranih prodavnica pratilismo “broj rasprodaja u toku godine”:

Grafički predstaviti.

Broj rasprodaja Broj prodavnica0 11 202 233 204 155 126 9

12


0

5

10

15

20

25

broj

pro

davn

ica

0 1 2 3 4 5 6

broj rasprodaja u toku godine

Rješenje - strukturni krug

1%20%

23%

20%

15%

12%9% 0

123456

Rješenje - poligon apsolutnihfrekvencija

0

5

10

15

20

25

0 1 2 3 4 5 6 7

broj rasprodaja

broj

pro

davn

ica

Primjer 11Mjesečno primanje (u 100 KM) za 40 radnika bilo je:

Konstruisati: histogram, poligon apsolutnihfrekvencija i poligon apsolutne rastuće kumulante.

mjesečno primanje broj radnika3,5-4,5 34,5-5,5 55,5-6,5 66,5-7,5 107,5-8,5 88,5-9,5 69,5-10,5 2

Rješenje - histogram

0

2

4

6

8

10

12

3.5-4.5 4.5-5.5 5.5-6.5 6.5-7.5 7.5-8.5 8.5-9.5 9.5-10.5

mjesečna primanja

broj

rad

nika

Rješenje – poligon apsolutnihfrekvencija

0

2

4

6

8

10

12

3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8 8,5 9 9,5 10 10,5

centar intervala

broj

radn

ika

13

Rješenje - poligon apsolutnerastuće kumulante

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8 8,5 9 9,5 10 10,5 11

gornja granica intervala

broj

rad

nika

, kum

ulat

ivno

Pitanje

Za predstavljanje jedne statističkedistribucije konstruisali smo histogram.

To znači da je riječ o: ordinalnoj varijabli neprekidnoj varijabli geografskoj varijabli.

Vaš zadatak

Iz Statističkog godišnjaka Federacije Bosne iHercegovine 2003, dobili smo sljedećepodatke o stanovništvu starom 15 i višegodina prema završenoj školi i spolu premapopisu iz 1991. Podaci su dati na narednomslajdu.

Potrebno je grafički predstaviti strukturuprema završenoj školi, tako da naglasimouticaj spola. Komentar.

Podaci

ZAVRŠENA ŠKOLA Muškarci ŽeneBez škole 98.420 372.7621-3 razreda osnovne škole 31.311 49.9194 razreda osnovne škole 212.378 277.1855-7 razreda osnovne škole 41.732 45.831Osnovna škola 421.045 397.316Srednja škola 671.058 421.314Viša škola 56.759 35.742Fakultet 77.240 45.727Nepoznato 47.397 46.506

Uporedite vrstu i oblik vašeggrafikonaKoristićemo razdvojene stupce.

0 , 0 0

1 0 0 . 0 0 0 , 0 0

2 0 0 . 0 0 0 , 0 0

3 0 0 . 0 0 0 , 0 0

4 0 0 . 0 0 0 , 0 0

5 0 0 . 0 0 0 , 0 0

6 0 0 . 0 0 0 , 0 0

7 0 0 . 0 0 0 , 0 0

bro

j sta

no

vnik

a sa

15

i viš

eg

od

ina

Be

z š

ko

le

1-3

ra

zre

da

os

no

vn

e š

ko

le

4 r

az

red

a

os

no

vn

e š

ko

le

5-7

ra

zre

da

os

no

vn

e š

ko

le

Os

no

vn

a š

ko

la

Sre

dn

ja š

ko

la

Viš

a š

ko

la

Fa

ku

lte

t

Ne

po

zn

ato

z avr š e n a š k o la

S tru ktu ra p re m a sp o lu i z a vrše n o j ško l i

Muš karc i

Ž ene

Komentarišimo grafikon zajedno

Na primjer: Kada su u pitanju niži nivoi obrazovanja

tu je zastupljeniji ženski spol.

Kod osnovne škole broj pripadnika obaspola je sličan.

Za više nivoe obrazovanja muški spolima prednost.

14

Vaš zadatak

Informacije o radnicima prema ostvarenju radnenorme predstavljene su sljedećom tabelom:

Konstruisati histogram i poligon apsolutnih frekvencija.

% ostvarenja norme broj radnika85-90 590-95 495-100 5100-105 10105-110 8110-115 3

Provjerite oblik vaših grafika:histogram

0

1

2

3

85-90 90-95 95-100 100-105 105-110 110-115

% ostvarenja radne norme

korig

ovan

e fre

kven

cije

poligon apsolutnih frekvencija

0

5

10

15

80 90 100 110 120

razredne sredine

broj

radn

ika

Izvori

R. Somun-Kapetanović, Statistika uekonomiji i menadžmentu, Ekonomskifakultet u Sarajevu, Sarajevo 2006.

E. Resić, Zbirka zadataka iz statistike,Ekonomski fakultet u Sarajevu, Sarajevo2006.

Hvala na pažnji!

Documents

Distribucije Frekvencija i Grafikoni [Compatibility Mode]