Diseño y compensación de sistemas en el dominio de la ...rtapia/Unidad3.pdf · • Compensadores de adelanto. Mejoramiento de la precisión en estado estable a costa de un aumento

Compensación, es el termino que describe el ajuste de un controlador para lograr un mejor desempeño.

De manera general se pueden clasificar como:• Compensadores de atraso. Mejoramiento de la respuesta transitoria y un

cambio pequeño en la precisión en estado estable, y puede acentuarlosruidos a altas frecuencias.

• Compensadores de adelanto. Mejoramiento de la precisión en estadoestable a costa de un aumento del tiempo transitorio, y suprime los efectosde ruido a altas frecuencias.

• Compensadores adelanto-retraso. Combinación de ambos, y eleva el ordendel sistema en 2 por lo que se vuelve mas complejo el sistema.

Diseño y compensación de sistemas en el dominio de la frecuencia

1

Compensador de adelanto de fase → Filtro pasa-altas que introduce undefasamiento positivo inferior a 90 , que permite aumentar el margen de fasedel sistema.

Se utiliza el compensador en adelanto siguiente:

Compensador de adelanto de fase

1 donde ;

1

1

as

as

a

sa

s

sGc

a ωm αa

ϕm

ϕ

-a-αa

2

La función de transferencia sinusoidal es,


a

ja

j

jGc

1

1

Y su ángulo de fase ,

Usando la identidad,

Haciendo

aaj

11 tantan

21

21

tantan1

tantantan

m

aa

21 y

aa

aam

1

tan 1 (2)

(1)

3

Simplificando,


Reordenando,

Para obtener el máximo de (3), derivamos el argumento e igualamos a cero,

22

1

2

22

21 1

tantan

a

a

a

aa

aa

m

a

a

m

1tan 1

(3)

0

11

1

2

2

a

a

a

a

d

a

a

d

d

d m

4

De lo cual se obtiene,


resolviendo,

Cuyo ángulo corresponde al triangulo rectángulo de la figura,

01

2

a

a

22 a

La fase máxima ocurre en, am

Sustituyendo este valor en (3), se obtiene,

2

1tan

1tan

1tan 111

a

a

a

am

1

11

senm

2

1

1

m

(4)

5

El máximo ángulo de un compensador de adelanto es menor a 90 ̊, en lapractica los valores de α mas grandes son de 20 y corresponden a ϕm=64.8 ̊


0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

70

60

50

40

30

20

10

ϕm

α

6

Este diseño se basa en el conocimiento previo del margen de fase y deganancia del sistema a controlar, así como la frecuencia a la que se requierenlos parámetros. Se parte de la expresión (2), la cual se reescribe como:

Compensador de adelanto de faseDiseño de la función de transferencia dados ϕc y Mc a una

frecuencia ωc

2

22

2

2

22

11

tan

a

a

a

aa

a

a

aaq

c

c

c

c

c

simplificando,

2

1

tan

a

aq

c

c

c

O bien,

a

q cc

;

1tan

2(5)

7

(4a)

Por otra parte, la magnitud del compensador, se obtiene a partir de (1),


frecuencia ωc

222

222

a

ajG

c

c

definiendo,

Usando , se obtiene:a

c

2

2

2

2

2

222

2

222

222

2221

1

1

a

a

aa

a

a

ac

c

c

c

c

c

c

22

22 1

c

Transformando la magnitud en decibeles, se tiene,

ccjGc 102

1

1010 log202

1log20log20

(6)

8

Así,


frecuencia ωc

donde esta en dBc

22

22

102 1

10

c

jGc

Reacomodando (6) se tiene,

1

2

22

2

aac cc

2

222

2

ac

ac cc

cca

c

122

2

Por lo tanto,

c

c

ac

2

22

2 1

(7)

9


frecuencia ωc

Ahora se tiene la información necesaria para resolver (5) y tener una ecuaciónque determine α. Elevando al cuadrado (5) y reescribiendo,

22

2

2

2

2 1

aaq cc

Desarrollando el cuadrado,

22

2

24

2 12

aaaq ccc

Sustituyendo (7) en la expresión anterior se tiene,

22

22

2

3

22

242 1

1121

c

c

c

c

c

cq

Multiplicando por

ccccccq 222222232222 11121

ccccccq 22222223242 11121

10


frecuencia ωc

Reacomodando términos,

El término del lado izquierdo pude verse como un cuadrado perfecto,

desarrollando,

ccccccq 222222232222 11121

ccccq 2222222 111

ccccq 2222222 11

factorizando,

cccq 222222 111

finalmente,

cccq 2222222 111

simplificando,

cccq 222 1

desarrollando, cccccq 222222 2

Arreglando en términos de α,

0121 2222 cccqcqcq

11


frecuencia ωc

Analizando la ecuación cuadrática resultante, observamos que:1) q>0 con lo cual ϕc>02) c<1 de tal forma que3) c>

Así, para cual ϕc>0 y µc>0 se podrá encontrar un compensador de adelantocon α>1.Finalmente, una vez resuelta la ecuación cuadrática de (8), se utiliza (7) paraobtener el parámetro a.

0121 2222 cccqcqcq

12 q

01 ccG

(8)

1

2

c

ca c

(9)

12

Implementación del Compensador de adelanto de fase

El compensador puede ser implementado usando amplificadoresoperacionales.

Para determinar su función de transferencia se consideran las impedancias dela primera etapa.

1R

2R

3R

4R1C

2C

sVi sV0

sVx

1Z2Z

13


La ganancia de la primera etapa es,

11

1

1//

11

1

1

1

1

1

1

11

sCR

R

sCR

sCR

sCRZ

11

1

1//

22

2

2

2

2

2

2

22

sCR

R

sCR

sCR

sCRZ

1

1

1

1

22

11

1

2

11

1

22

2

2

1

sCR

sCR

R

R

sCR

R

sCR

R

Z

Z

sV

sV

i

x

La ganancia de la segunda etapa es,

3

40

R

R

sV

sV

x

Por lo tanto la ganancia total del circuito es,

1

1

22

11

31

420

sCR

sCR

RR

RR

sV

sV

i

14


Reacomodando,

Y simplificando,

Comparando con la función de transferencia del compensador se deduce,

22

22

11

11

31

420

1

1

CRsCR

CRsCR

RR

RR

sV

sV

i

22

11

23

140

1

1

CRs

CRs

CR

CR

sV

sV

i

11

1

CRa

22

1

CRa

as

assGc

23

14

CR

CR

Para que el circuito opere como una red de adelanto se debe cumplir que: 2211 CRCR

15


Ejemplo. Determine la función de transferencia de un compensador enadelanto que proporcione un adelanto de fase de 40 grados y una ganancia deω=9 dB en 7 rad/seg. Diseñe los parámetros de un circuito para implementardicho compensador.

16

Compensador de atraso de fase → Filtro pasa-bajas que introduce undefasamiento negativo , que permite disminuir el margen de fase del sistema.

Se utiliza este tipo de compensador con la finalidad de mejorar la exactitud enrégimen estacionario a expensas de afectar el tiempo de establecimiento y larobustez; el compensador tiene la siguiente función de transferencia:

O bien:

(10)

Compensador de atraso de fase

1 donde ;1

as

assGc

bωmβb

-ϕm

ϕ

-b -βb

abab

bs

bssGc

,1

,1

1 donde ;

17

De manera similar al compensador de adelanto, se tiene:o Máximo defasamiento negativo:

o Angulo:

o De manera similar, aprovechando la ecuación cuadrática calculada para elcompensador en adelanto, se tiene:

en este caso se requiere 0<c<1 y q<0 para asegurar que los coeficientes de βsean positivos.Por lo que habrá una solución real positiva para β si q2c+c-1<0, para tener unaraíz positiva de β, se tiene:

Compensador de atraso de fase

bm

1

1

1

1sensenm

1

2

c

cb c

0121 2222 cccqcqcq

18

(11)

(12)

(13)

Implementación del Compensador de atraso de fase

El compensador puede ser implementado usando amplificadoresoperacionales en su configuración de seguidores, para evitar el efecto decarga.

Para determinar su función de transferencia se consideran las impedancias.

1R

2R

C

sVi sV0 sVx

1Z

2Z sVy

19


Como, y entonces,

1

1

1

1

21

2

21

2

21

2

CsRCsR

CsRsV

CsRR

CsRsV

ZZ

sVZsV x

x

xy

1

1

21

20

CsRCsR

CsR

sV

sV

i

Reordenando la ecuación con el fin de compararla con (10), se tiene,

sVsVy 0

donde,

sVsV xi

21

21

2

2

21

21

2

2

21

2

2

0

1

1

1

1

1

1

RRCsRR

CRsR

RRCsRRC

CRsCR

RRCs

CRsCR

sV

sV

i

21

2

RR

R

CRb

2

1

21

1

RRCb

20


21

Ejemplo. Diseñe un compensador de atraso con un ángulo de 45 ̊ y unaatenuación de 10dB en ω=2 rad/seg.

Compensador de adelanto-atraso → La combinación de ambas estrategiaspermite eliminar el error en estado estacionario y ampliar el ancho de bandapara tener un grado aceptable de estabilidad relativa.

Su función de transferencia esta dada por,

Considerando αβ=1, α>1 y a>b, se puede escribir como,

Compensador de adelanto-atraso

bs

bs

as

assGc

22

-b -βb-αa -α bβb

ϕ

αaa

bs

bs

as

assGc

(14)

Para obtener la ecuación que permita diseñar los parámetros del controlador,se tiene que tomar en cuenta que el margen de ganancia del compensadordebe ser negativo (µc < 0) y ωc debe ser mas grande que b.El diseño puede ser simplificado si se considera que la parte de atraso produceuna atenuación de 20log β en ωc y solamente un pequeño ángulo de fase ϕ2

(de 1 a 5). Así, la parte de adelanto se diseñara para obtener una pequeñaganancia con adelanto de la fase igual a ϕc + ϕ2 en ωc.Por lo tanto, partiendo de (14) y tomando en cuenta las consideracionesdescritas, se tiene,

Diseño de la función de transferencia de un compensador adelanto-atraso a partir de φc y µc

para una ωc

Utilizando las propiedades de los logaritmos,

23

1log20log20

222

22

1010

si

a

a

c

c

c

2

222

2

22

2

1

222

22

222

22222

22

1

1

log2

20log20log20log20

aa

aa

a

a

a

a

a

a

c

c

c

c

c

cc

c

c

Simplificando,


para una ωc

Reordenando la expresión a fin de obtener el para metro a , se tiene:

24

Se sabe que: , por lo tantocc 10log202

1

2

2

2

1

a

ac

c

c

1

2

2

2

ac

ac cc

11 2

2

cc

ac

1

1 22

c

c

ac

Finalmente, despejando a,

21

1

c

ca c

(15)

2

2

2

1

log10

a

a

c

c

c

Para el ángulo de fase son tomadas en cuenta las consideraciones de diseño(fase igual a ϕc + ϕ2 en ωc) que fueron tomadas en cuenta para la parte deadelanto,


para una ωc

Sustituyendo (15) en la expresión anterior se obtiene,

25

por lo tanto, si se toma la expresión (4a) se tiene,

aacc

c

11

2 tantan

22

1

tan

a

aq

c

c

c

11

111

1

1

11

1

2

21212

2

212

cc

cc

c

c

c

c

q

Reordenando términos,


para una ωc

26

Factorizando el lado izquierdo,

22222 11111 ccccq

2222 11111 cccq

Simplificando, cccq 111 222

Desarrollando el cuadrado y lado derecho de la ecuación,

cccccq 121 222222

Resolviendo para α , se obtiene la siguiente ecuación cuadrática,

0121 2222 cqcqcccq

En este caso las condiciones para obtener un valor positivo de α son:1. q2c + c – 1 < 02. O bien c < 1/(q2 + 1)

Para diseñar la parte del compensador de atraso, se tiene que determinar elvalor de b, de tal manera que el compensador contribuya con una fasenegativa φ2 en ωc, de esta manera su ángulo será:


para una ωc

27

bbcc

11

2 tantan

Usando la identidad trigonométrica,

1

1

tan22

b

bb

c

cc

Factorizando y utilizando , tenemos

22

1

1

tan

b

b

c

c

1

Reacomodando la ecuación,


para una ωc

28

22

2

22

1

1

1

tan

c

c

c

c

c

c

b

b

b

b

b

b

c

b

Resolviendo para el factor ,

2

2

tan

1

c

c

b

b

0tan

1

2

2

cc

bb

Así,

Al resolver esta última ecuación se debe elegir la raíz positiva que tenga elmenor valor de b.

Implementación del Compensador de adelanto-atraso

La siguiente figura muestra la implementación del compensador de adelanto-atraso.

Para determinar su función de transferencia se considera el divisor de tensiónformado por las dos impedancias.

29

1R

2R

C

sVi sV0 sVx

1Z

2Z sVy

1C


Como, y entonces,

sCsCR

sCRsCRsCR

sC

sCRsV

sC

sCR

sCR

R

sC

sCRsV

ZZ

sVZsV

xx

xy

211

221121

2

22

2

22

11

1

2

22

21

2

1

11

1

1

1

1

sVsVy 0 sVsV xi

30

1

1//

11

1

1

11

sCR

R

sCRZ

1

1//

22

2

2

22

sCR

R

sCRZ

Así, tenemos que

Simplificando,

11

11

221121

2211

sCRsCRsCR

sCRsCR

sV

sV

x

y

11

11

221121

22110

sCRsCRsCR

sCRsCR

sV

sV

i


O bien,

Simplificando la expresión,

11

1

CRa

22

1

CRb

baCR

ba 12

1

31

1

11

211121

2

2211

2211

2211

0

sCRCRCRsCRCR

CRs

CRsCRCR

sV

sV

i

2211121122

2

22110

1111

11

CRCRs

CRCRCRs

CRs

CRs

sV

sV

i

Comparando los factores del numerador con (14), se observa que:

y comparando los factores del denominador desarrollado de (14), se obtiene:

baCR

111

12


32

Ejemplo. Diseñe un compensador de adelanto-atraso con un ángulo de 45 ̊ yuna atenuación de 10dB en ω=6 rad/seg.

Diseño de Compensadores Utilizando Diagramas de Bode

33

No se requiere conocer la función de transferencia de la planta para diseñar elsistema de control, se puede obtener de un diagrama experimental.Requerimientos:• Especificar los coeficientes de error en estado estable kp o kv.• Margen de fase φm

• Margen de ganancia Gm

• La frecuencia de corte ωc (velocidad de respuesta)

Procedimiento:1. Ajustar la ganancia de lazo, para satisfacer la especificación del error en

estado estable.Para calcular el error en estado estable de un sistema con retroalimentaciónunitaria se utiliza el teorema del valor final,

Donde R(s) es la entrada. Si la entrada es considerada como una rampa deamplitud A y además se define a Gp(0) como la constante de error de posición(kp), se tiene

sG

ssRe

ps

ss

1

lim0


34

Donde la constante de error es:

011lim

0pp

sss

G

A

sGs

As

e

sGks

p0

lim

De tal manera que el error del seguimiento para una entrada escalón, estarádado por,

p

ssk

Ae

1

Ahora, si se considera una entrada tipo rampa, y además el sistema tiene unintegrador, se tiene,

ssG

A

ssGs

A

sGs

As

ep

sp

sp

sss

00

2

0limlim

1lim

En este caso el error en estado estable se obtiene de,

v

ssk

Ae


35

Donde kv es definida como la constante de error de la velocidad, y se calculacomo,

ssGk ps

v0

lim

2. Se obtiene el margen de fase de la función de transferencia de lazo abiertoincluyendo el ajuste de ganancia, pero sin compensar, conviene tambiéntener una tabla de valores.

3. Si la función de transferencia no satisface la especificación del margen defase, se debe incluir un compensador de adelanto, atraso o de adelantoatraso en cascada con la planta.

4. Seleccionar el tipo de compensador• Para un compensador de adelanto, la ganancia en la frecuencia de cruce

debe ser negativa y el atraso de fase debe ser mayor de 180 grados• Para un compensador en atraso, la ganancia en la frecuencia de cruce

debe ser positiva, y el atraso de fase debe ser menor de 180 grados• Para el compensador de adelanto-atraso, la ganancia a la frecuencia de

cruce deseada debe ser positiva, y el atraso de fase debe ser mayor de 180grados

Para todos los casos, la magnitud del corrimiento de fase proporcionado por elcompensador debe ser menor a 90 grados, preferiblemente menor de 70.


36

Las consideraciones pueden ser resumidas en el siguiente diagrama polar

φm

Real-1

Imaginario

φ1

φ2

φ3

A

B

C

M1

M2

M3

Compensador en adelanto.- (punto A) provee un adelanto igual a φ1 y unaganancia igual a 1/M1, en la frecuencia ω1. (M1<1)Compensador en atraso.- (punto B) provee un ángulo de atraso φ2 y unaganancia 1/M2, a la frecuencia ω2. (M2>1)Compensador en adelanto-atraso.- (punto C) provee un adelanto igual a φ3 yuna ganancia igual a 1/M3, en la frecuencia ω3. (M3>1)


37

La elección del compensador depende de la aplicación particular a resolver. Lasiguiente tabla resume las características mas importantes de los trescompensadores.

Tipo de compensador Especificaciones

Adelantoamplificación

Atrasoatenuación

Adelanto-atrasoatenuación

1

1101

1

20

c

c

dB logc

2

2102

2

20

c

c

dB logc

3

3103

3

20

c

c

dB logc


38

Ejemplo compensador en adelanto.- Considere la función de transferencia deuna planta en lazo abierto y diseñe un compensador de adelanto de fase quecumpla con las siguientes especificaciones:o Proporcionar un error en estado estacionario ante una entrada escalón

unitario menor del 1%o Proveer un margen de fase de 45 ̊

29101.0

22

sss

ssGp


39

Ejemplo compensador de atraso.- Para la función de transferencia de lazoabierto, diseñe un compensador de atraso de fase que cumpla con lassiguientes especificaciones:o Proporcionar un error en estado estacionario ante una entrada rampa, para

tener una constante de error de velocidad de kv=20o Proveer un margen de fase de 45 ̊

210

ss

ksGp


40

Ejemplo compensador de adelanto-atraso.- El sistema de control delembobinado de un rotor se muestra en la figura, el objetivo del sistema esautomatizar el proceso para bobinar un cable de cobre en rotores de motoresde pequeña capacidad.En el diagrama mostrado cada motor tiene tres arrollamientos separados devarios cientos de vueltas de cable. En este sistema el operador únicamenteinserta un rotor completamente bobinado.El motor de CD se utiliza para lograr arrollamientos precisos y rápidos, por locual, el objetivo es lograr una alta precisión en estado estacionario tanto parala posición, como para la velocidad.Diseñar un compensador de adelanto-atraso para proporcionar al sistema unmargen de fase de 50 ̊ , considerando una constante de error de velocidad dekv=10.


41

controlador

referencia

Motor de CD

Motor de pasos

Cable de armadura

Cuña de aire

Suministro de aire

Lazo de arrollamientos

105

1

ssssGp

Referencia,

Lázaro Castillo I.I., 2008, Ingeniería de Sistemas de Control Continuo, Editorial Universitaria.

Diseño y compensación de sistemas en el dominio de la frecuencia

42

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