JU UNIVERZITET U TUZLIRudarsko-geoloko-graevinski fakultet Tuzla11.ZADACI OTPORNOSTIJoufaziprojektovanjasvakielementnekekonstrukcijekaoikonstrukcijaucjelini,moraju biti tano dimenzionirani.To znai da u svojoj funkciji, mogu izdrati trajno, radno optereenje, a da se pri tomenedeformiu,takokakobisenaruilanjihovafunkcionalnost,ilidanedoedolomaistih.Elementi konstrukcije kao i cijela konstrukcija, moraju biti racionalno dimenzionirani takoda posjeduju dovoljnu stabilnost.Daseispunenavedeniinenjerskizahtjevi,morajusepoznavatiprirodairasporedunutranjihsilaumaterijalunoseihkonstrukcija,kojesesuprostavljaju,napadnimvanjskim silama, koje optereuju elemente konstrukcije, odnosno itavu konstrukciju.ZadatakOtpornostimaterijalasvodisenaizuavanjeprirodeirasporedaunutranjihsila, dok su vanjske sile u domenu izuavanja tehnike mehanike, tj. statike i dinamike.1.1.Osnovne postavke i osnovni elementi proraunaDabisemoglirjeavatiproblemiOtpornostimaterijala,uvedenesuodreenepretpostavke o svojstvima materijala i karakteru djelovanja istih.Kaoosnovnapretpostavkausvajasedamaterijalimasvojstvaneprekidnesredine(kontinuuma),tj.zanemarujesekristalnastrukturamaterijala,gdjesemoedjeliminooekivati razliito stanje po ravnima kristala.Uskladusaprvompretpostavkom,usvajasedasusvojstvamaterijalaistausvimtakama i svim pravcima (ose x, y, z).1.2.Elementi konstrukcijaElementikonstrukcijasudijeloviiste,kojiupogleduprenoenjaspoljnjegoptereenja,predstavljaju jednu cjelinu.Podjela elemenata konstrukcije:-linijski elementi,-povrinski elementi.Linijskielementisuoni,kodkojihjejednadimenzijaznatnoveaodostaledvije.Tuspadaju: grede, konzole, lukovi, ramovi, tapovi, reetke, nosee niti (uad, lanci).Povrinskimelementimanazivamoonekodkojihsudvijedimenzijeznatnoveeodtree.Tuspadaju:ploe,ravnipovrinskinosaikodkojihoptereenjedjelujeokomitonaravannosaa.Ugraevinarstvusenajeekoristezapokrivanjeraznihobjekata,kao i meuspratne konstrukcije i kod mostova.Visoki nosai su takoer ravni povrinski nosai, ali kod njih optereenje djeluje u ravninosaa. Tipini su zidovi u zgradama.Ljuskamanazivamopovrinskenosaeuviduzakrivljenepovrine.Uovugrupuspadaju: sve vrste kupola, kotlovi, rezervoari za fluide i sl.Otpornost materijala se bavi prouavanjem linijskih konstruktivnih elemenata.JU UNIVERZITET U TUZLIRudarsko-geoloko-graevinski fakultet Tuzla22.VANJSKE I UNUTRANJE SILEZaodreivanjeunutranjihsilapresjecamotijelonadvadijela,kojenapadajuvanjskesile F1, F2, F3, F4.Ako je to tijelo bilo u ravnotei, tada e i svaki njegov dio biti u ravnotei.Slika 1.Zakljuak: Vanjske sile se nalaze u ravnotei sa unutranjim silama.Odreivanjeunutranjihsilavrisemetodompresjeka.Umetodipresjekaunutranjesilesejavljajukaospoljanjeisastvarnospoljanjimzadovoljavajuosnovneuvjetestatike ravnotee.2.1.Uvjeti ravnotee)`= = = = = = 0 M 0 F0 M 0 F0 M 0 Fz zy yx x 6 uvjeta ravnoteePrianaliziravnoteeitavogtijelauobiajenojedasesilerazloeukomponenteupravcu koordinatnih osa. (Slika 2.)Slika 2.F2F1F4F3F2F1F4F3S1S2S1S2zzMzxMxMyFrFxFzFyJU UNIVERZITET U TUZLIRudarsko-geoloko-graevinski fakultet Tuzla3Komponente vektoraF, u poprijenom presjeku tapa Fz i Fy nazivaju se presjene sile,ili poprijene, odnosno transverzalne sile, dok je sila, Fx=N; (normalna sila).Fy i Fz su poprijene ili transverzalne sile i oznaavaju se Ty i Tz.Momenti My i Mz su momenti savijanja a momenat Mx je momenat uvijanja (torzije).Ako sila djeluje u teitu presjeka Mt=0.Matematske veze izmeu optereenja, transverzalnih sila i momenata: + = + == = |.|

\| = = = = x02 ) x (x01220 x0 xC dx ) x ( T M C dx ) x ( q Tiliqx dM ddxdMdxdTdxdMxMlimqdxdTxTlimSlika 3.3.ANALIZA NAPREZANJA (NAPONI)Akooptereenotijelo(uravnotei),presjeemo,dobitemodanaelementpovrinepresjeka A, djeluje elementarna sila F.Slika 4.Limes vektora AFpsr= , kada A0, daje napon u posmatranoj taki i obiljeen je sap .|.|

\|=||.|

\|= 20 AmN;dAF dAFlim pFBFAxMFABqMmaxyxxzF2F1FrnrAJU UNIVERZITET U TUZLIRudarsko-geoloko-graevinski fakultet Tuzla4Intenzitetkomponenteukupnog(totalnog)naponakojadjelujeokomitoilinormalnonapresjeknazivasenormalninapon,iobiljeavasesagrkimslovom(),aintenzitetkomponente koja djeluje u ravni presjeka naziva se tangencijalni ili smiui napon ().Slika 5.Normalni napon koji vri zatezanja naziva se zateui, i obrnuto napon pritiska.Ukupni napon u taki( )npmoe se za Dekartov koordinatni sistem izraziti pomou svojetri ortogonalne komponente.Ovaj napon se zove i totalni napon.{ }nz ny nx np , p , p p =Ako sak , j , ioznaimo ortove (jedinine vektore) u pravcu koordinatnih osa:k j i pxz xy x n + + =Indeksi kod komponentnih napona imaju slijedee znaenje: prvi indeks oznaava da jepresjek koji posmatramo okomit na odgovarajuu osu, a drugi indeks oznaava pravackomponente napona, u smjeru neke ose.Slika 6.xzF1nrpnyxnn sincos = =n nn npprrpnx=xpny=xypnz=xzxyxzxyzJU UNIVERZITET U TUZLIRudarsko-geoloko-graevinski fakultet Tuzla53.1.Naponi u takiBukvalno se ne moe govoriti o naponu u taki, ve se misli na ravninu kojoj pripada tataka.Akoiztijelaisjeemopomoutripararavninainfinitezimalnihdimenzija:dx,dy,dz,elementarni kvadar (Slika 7.) na koji djeluju vanjske sile, na plohama kvadra dobit emokomponente napona.Slika 7.Prvi indeks oznaava da je posmatrani presjek okomit na odgovarajuu osu.TriuslovaravnoteesistemasilaebitizadovoljenaFx=0,Fy=0,Fz=0,akonazadnjim stranama kvadra djeluju isti naponi, istog intenziteta ali suprotnog smjera.etvrti,petiiestiuslovravnotee:Mx=0,My=0,Mz=0,dokazujemonaistinainapokazat emo to samo za osu (z).Mz = yx(dxdz)dy - xy(dydz)dx = 0gdje je:(dxdz) = dA povrina,yx(dxdz) sila,yx(dxdz)dy momenat.Slijedi:yx = xy Slika 7.a.dzdydxyzyxzyyyxxzxxyzxzzyzxzyzxzxyxyx yzxxyxyyxyxyJU UNIVERZITET U TUZLIRudarsko-geoloko-graevinski fakultet Tuzla6Na slian nain se moe pokazati:yz = zy; xz = zxOdnosno u ortoganalnoj projekciji, kako je prikazano na Slici 7.a.Zakljuak:Ujednojtakinapregnutogtijelanadvijemeusobnookomiteravni,uvijekdjeluju (jednaki po intenzitetu) tangencijalni naponi, koji su usmjereni ka ivici ili od ivice inazivaju se konjugovani naponi.4.ODREIVANJENORMALNOGITANGENCIJALNOGNAPONAUNEKOMPRESJEKUAkopovuemoproizvoljnuravninuodreenunormalomn krozranijedefinisankvadarimat emo sljedee (Slika 8.)Slika 8.Poloajnormalenakosupresjenuravanodreenjekosinusimauglovaizmeunormale i koordinatnih osovina.Ort normale ima projekcije (cos; cos; cos)cos(n, x) = cos, cos(n, y) = cos, cos(n, z) = cos Povrina kose ravni dA ( BAC)Povrina ravni: OBC = dA cos; OAC = dA cos; OAB = dA cosIz uvjeta : Fx = 0, Fy = 0, Fz = 0traimo ravnoteu sila, jednako usmjerenih.pnxdA = xdAcos + yxdAcos + zxdAcospnydA = xydAcos + ydAcos + zydAcospnzdA = xzdAcos + yzdAcos + zdAcosPojednostavljivanjem prethodnih izraza; kraenjem sa dA:pnx = xcos + yxcos + zxcospny = xycos + ycos + zycos............ ( a )pnz = xzcos + yzcos + zcosnrCApnzyxzpnyzxzyzxzxyxyxyzBdA(A,B,C)dAcosdAOOABCdAcosdAcospnxJU UNIVERZITET U TUZLIRudarsko-geoloko-graevinski fakultet Tuzla7Traimo normalni i tangencijalni napon:Obino nas ne interesuju ukupni naponi nego normalni i tangencijalni u nekom presjeku.Pn = totalni napon{ }nz ny nx np ; p ; p p =Normalninapondobijamokaoskalarniproizvodvektoratotalnognapona np iortanormalen (poto jenjedinini vektor, koordinate su mu: cos, cos, cos)n =n pn = pnxcos + pnycos + pnzcos (Mnoi se projekcija sa projekcijom)Uvrtavanjem izraza za pnx, pny, pnz iz jednaina ( a ) dobija se:n = (xcos + yxcos + zxcos)cos + (xycos + ycos + zycos)cos + +(xzcos + yzcos + zcos)cos ................. ( b )n = xcos2 + yxcoscos + zxcoscos + xycoscos + ycos2 + zycoscos ++ xzcoscos + yzcoscos + zcos2n = xcos2 + ycos2 + zcos2 + 2(yxcoscos + yzcoscos + zxcoscos), yx, = , xy, ; , zy, = , yz,; , zx, = , xz,Primjenomuvjetakonjugovanostiigornjihjednakosti,izvrenojezbrajanjenaponanasmicanje (tangencijalnih napona).Izrazzakomponentnitangencijalninaponusmjeruodreenomortoml (cos1,cos1,cos1) dobit emo na slian nain mnoei vektor totalnog napona np skalarno sa ortoml .l ( cos1, cos1, cos1)nl =l pn = pnxcos 1 + pnycos1 + pnzcos1Zamjenom iz ( a )= xcoscos1 + yxcoscos1 + zxcoscos1 ++ xycoscos1 + ycoscos1 + zycoscos1 ++ xzcoscos1 + yzcoscos1 + zcoscos1Sreivanjem i uvoenjem po zakonu konjugovanosti da je:, yx, = , xy,; , zy, = , yz,; , zx, = , xz,,slijedinl = xcoscos1 + ycoscos1 + zcoscos1 + xy(coscos1 + coscos1) ++ yz(coscos1 + coscos1) + zx(coscos1 + coscos1) .................( c )JU UNIVERZITET U TUZLIRudarsko-geoloko-graevinski fakultet Tuzla85.TENZOR NAPONAIzobjanjenogslijedi:akosuujednojtakinapregnutogtijelapoznatinaponiutrimeusobno okomite presjene ravni, onda pomou jednaina ( a ), ( b ) i ( c ), moemoodrediti napone u bilo kojoj presjenoj ravnini kroz tu taku.Vaiisljedeistav:poznatinaponiutrimeusobnookomitepresjeneravniupotpunosti definiu stanje napona u jednoj taki napregnutog tijela.Vektor sile je definisan sa tri komponente Fx, Fy, Fz i moe se napisati u obliku vektor-kolone:{ F } = )`zyxFFFIz analogije slijedi:Devetkomponentnihnapona(samosatristranekvadra,ostalisuistisasuprotnimpredznakom)kojidjelujunastranamaelementarnogkvadramogusenapisatiuformimatrice:)` =z zy zxyz y yxxz xy xSOvamatricanazivasetenzornapona.Tojetenzordrugogreda,jerzahtijevadvaindeksa da bi se identificirale njegove komponente.Npr. - Vektor je tenzor prvoga reda,- Skalar je tenzor nultoga reda.Tenzor napona se moe skraeno pisati:S = ijk, gdje se podrazumjeva da i, j i k mogu uzeti oznaku x, y, z.U skladu sa stavom o konjugovanim tangencijalnim naponima, tenzor napona se moepisati i u obliku:)` =z zy zxyz y yxxz xy xS , )` =z yz xzzy y xyzx yx xSTenzor napona je simetrian tenzor, ima samo 6 nezavisnih komponenti.Tri, , yx, = , xy,; , zy, = , yz,; , zx, = , xz,, i jo tri x, y, z.Predznak komponentnih napona odreuje se prema konvenciji u graevinskoj mehanici:-Normalni napon e biti pozitivan ako zatee svoju presjenu ravninu,-Normalni napon e biti negativan ako djejstvuje kao pritisak.JU UNIVERZITET U TUZLIRudarsko-geoloko-graevinski fakultet Tuzla96.RAVNO STANJE NAPONA (NAPREZANJA U JEDNOJ RAVNINI)Akojetankaploazategnutausmjeruose(x)iose(y),(Slika9.),smatramodasunaponi z, xz, yz jednaki nuli. Ovakvo naponsko stanje, naziva se naprezanje u jednojravnini.Tenzor napona za ovaj sluaj ima oblik: )` =y yxxy xSSlika 9.Analizaovognaponskogstanjasvodisenautvrivanjepromjenenaponauzavisnostiodpoloajapresjekakroztaku,akrajnjijeciljdaseutvrdiintenzitetekstremnihnormalnih i tangencijalnih napona u taki kao i poloaj ravnina u kojima se ovi javljaju.Neka su poznati komponentni naponi: x; y; xy (Slika 10.)Treba da odredimo veliinu normalnog i tangencijalnog napona u presjeku, ija normalazaklapa sa(x) osom ugao ().Slika 10.yxzyyyxxxyxyxzxOyyxxxyxyyxyxyxx(-) smijer napona (+)smijer naponayyxFyxy =+xy =- l)1xy=yx=-yx=JU UNIVERZITET U TUZLIRudarsko-geoloko-graevinski fakultet Tuzla10Uvodei izraz za normalni napon u kosom presjeku kvadra ( troosno naponsko stanje)kojismodobilikaoskalarniproizvodvektoratotalnognapona npriortanormalenr,slijedi:n = xcos2 + ycos2 + zcos2 + 2(xycoscos + yzcoscos + zxcoscos)Uzimajui u obzir da se posmatra naponsko stanje u ravni (x, y), onda su u prethodnojjednaini sve veliine koje se odnose na osu (z), jednake nuli.z = 0yz = 0zx = 0Uzimajui u obzir navedeno, i smjenjujui = ; = 90 , cos = sin = sin slijedi:n = xcos2 + ysin2 + 2xycossinSmjenom:( )( ) = = + = 2 sin cos sin 22 cos 121sin2 cos 121cos22dobijamo:( ) ( )( ) ( ) + + = + + += + + += 2 sin 2 cos2121; 2 sin 2 cos2 22 cos2 2; 2 sin 2 cos 122 cos 12y x y x nxyy yx xnxyyxnPredznak ispred treeg lana jednaine, zavisi od smijera napona,(vidjeti Sliku10.)Poistompostupku,uzimajuisluajprostornognaponskogstanjaikoristimoopiobrazac.Pri tome su:z = 0xz = 0zy = 0Zatim: = 1 = ;cos = cos ;cos = sin ; cos1 = - sin ;cos1 = cos ; = 1 = 90 JU UNIVERZITET U TUZLIRudarsko-geoloko-graevinski fakultet Tuzla11Opi obrazac:nl = xcoscos1 + ycoscos1 + xy(coscos1 + coscos1)Smjenom, gore navedenih ralacija:nl = - xcossin + ysincos + xy(cos2 - sin2)Poto je:( )( ); 2 sin21cos sin; 2 cos 121sin; 2 cos 121cos22 = = + = ( ) + = 2 cos 2 sin21xy y x nl ; za orijentaciju kao na Slici b.Za orijentaciju kao na Slici a.( ) + = 2 cos 2 sin21y x nlZanekipresjekijanormalaNpravisa(Ox)osomugao=90+imamopremajednaini za (n) i (nl):N = -21( x + y) - 21(x - y)cos2+ sin2N = -21(x - y)sin2- cos2 ,toukazujenainvarijantnost(nepromjenljivost)zbiranormalnihnapona(promjenapredznaka za cos2) za dvije upravne ravnine i konjugovanost tangencijalnih napona.6.1.Pravci glavnih naponaIz uvjeta ekstremuma, odreujemo pravce glavnih napona:0ddi 0ddnl n==JU UNIVERZITET U TUZLIRudarsko-geoloko-graevinski fakultet Tuzla12Poto je:n = 21( x + y) + 21(x - y)cos2- sin2( ) 0 2 cos 2 2 sin22ddy xn= =Da bi se uoila razlika izmeu ope veliine ugla () i njegove ekstremne veliine, uvodise smjena: = .y x22 tg 2 tg2 cos2 sin = = =Rjeenje gornje jednaine ima dva korijena, poto je vrijednost tangensa ugla jednaka udva dijametralno suprotna kvadranta (Slika 11.)Jedankorijenodreujeravanmaksimalnognaponaadrugiravanminimalnognapona.Te dvije ravni su okomite.Odavdeslijedivaanzakljuak:Upresjenimravninamaukojimadjelujumaksimalniiminimalninaponitangencijalninaponisujednakinuli.Tipresjecisenazivajuravniglavnih napona, a normalni naponi koji djeluju na njih, glavni naponi.( )y x y x21) (21 = = 0 normalni napon je maksimalan a = 0. = 45 , 2 = 90; = max. a n = 2y x + .Slika 11.( )y x 21( )y x 2122-JU UNIVERZITET U TUZLIRudarsko-geoloko-graevinski fakultet Tuzla136.2.Glavni naponi6.2.1. Normalni naponi = += 2 tg2 cos2 sin;2 tg 112 cos2 += += = 2 tg 12 tg2 sin ; 2 tg2 tg 112 sin2 tg 2 cos 2 sin2 2Kako je ||.|

\| = y x22 tg , uvrtavanjem u predhodnu jednakost imamo:( )( )( )( ) ( )22y x22y xy xy x2y x2y x42424122 sin + = + = + = ( )22y xy x42 cos + = ( )( )( )( ) ( )22y x222y xy xy x y x ny x y x n42421) (212 sin 2 cos21) (21 + + + + + = + + = Svoenjem na zajedniki sadrilac:( ) ( ) ( )( )( )( )22y x22y x22y x22y x22y x y xn444221421 + + + + + + + = ( )( ) ( ) | | ( )( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )2 22 , 12 22 2 2 22 22 2 2 2 2 242121442121444 421421 + + = =+ ((

+ + + =+ + + + +=y x y x ny xy x y x y xny xy x y x y x y xnJU UNIVERZITET U TUZLIRudarsko-geoloko-graevinski fakultet Tuzla14( ) ( )( ) ( )2 2min 22 2max 14212142121 + + = =+ + + = =y x y xy x y x6.2.2. Tangencijalni naponi ili naponi smicanja( ) + = 2 cos 2 sin21y x nl, ranije izvedeni opi izraz za tangencijalni napon.Iz drugog uslova ekstremuma:( ) | | 0 2 sin 2 2 cosddy xnl= = = Poto nmax i nlmax ne lee u istoj ravnini, = i = 2sin2 = (x - y)cos2; = = = =22 tg2 tg2 2 cos2 siny xy xPotojetg2tg2=122y xy x = ,tesuuglovi=,=745udvjemaravninama(I)i(II)kojeinesaglavnimravninamaugloveod45,bitieekstremne vrijednosti tangencijalnih napona.Napomena: Prethodne izvedene formule za n i n, djelimino se razlikuju u ovisnosti odusmjerenja napona na smicanje: (xy)Za orijentaciju kao na Slici (a) formule su u obliku:( ) ( )( ) + = + + = 2 cos 2 sin21) a . 1 ........( 2 sin 2 cos2121y x nly x y x 1 napon se unosi sa - predznakom, u gornje dvije formule.Slika a.Slika b.xxyxxy=-yy-xyyxx xxy=-yy+xyJU UNIVERZITET U TUZLIRudarsko-geoloko-graevinski fakultet Tuzla15Za orijentaciju kao na Slici (b)( ) ( )( ) + = + + + = 2 cos 2 sin21) a . 2 ........( 2 sin 2 cos2121xy y x nlxy y x y x 1Pravac najveih normalnih napona za Sliku (a): = xyy xy xxy22 tg ,22 tg = = a za Sliku (b): = xyy xy xxy22 tg ,22 tg = = Koristei analogijom smjene:,2 tg 12 tg2 sin , 2 tg 2 cos 2 sin ,2 tg 112 cos , 2 tg2 cos2 sin2 2 += = += =i unoenjem dokazane relacije:,22 tgy x = slijedi:( ) ( ) ( ) ( )22y x22y x22y xy x22y xy x424112 cos ,44122 sin + = += + = + = Daljom smjenom ovih izraza u jednaini:( ) + = 2 cos 2 sin21y x nl slijedi:( )( )( )( )( )( ) ( )2 222 222 22 242421421421 + ++ =+ ++ =y x y xy xnly xy xy xy x nlJU UNIVERZITET U TUZLIRudarsko-geoloko-graevinski fakultet Tuzla16( )( )( ) | |( )( )( )( ) | | ( )( )( )2 22 , 12 22 2 2 22 22 22 22 22 22 242144 4214444214221 + = =+ + + =+ + + + =+ + =y x nly xy x y xnly xy xy xy xy xy xnl6.2.3. Morov krug napona za dvoosno naponsko stanjePoto su normalni i tangencijalni naponi:( )( ) + = + + = 2 cos 2 sin212 sin 2 cos21) (21y x nly x y x nEliminacijom ugla, tj. uzimanjem = 0( )( ) ) 2 ......( .......... .......... .......... 0 cos 0 sin21) 1 ......( .......... 0 sin 0 cos21) (21y x nly x y x n + = + + = Kvadriranjemjednaina(1)i(2),izbrajanjem,dobijasejednainakrugauparametarskom obliku.Napiemo li ovako:( ) ( )22nl2y x2y x n2121 = +((

=((

+ Zatim saberemo lijeve i desne strane:( ){( )4 4 4 3 4 4 4 2 14 4 4 3 4 4 4 2 1222 R22y xy2nlx2y x n4121 + = +((

+ Postupak pri konstrukciji Morovog kruga napona (Slika a. i slika 12.)1.Na osu (), od izhodita (O) nanesemo (x)idobijemotaku(A).Iztake (A),okomito na osu () nanesemo (- xy), te dobijemo taku (A).2.Izizhodita(O)nanesemonaosu()naponyinakrajuovognapona,dobijamotaku(B).Iztake(B)okomitonaosu(),nanesemo(+xy),idobijemo taku (B).JU UNIVERZITET U TUZLIRudarsko-geoloko-graevinski fakultet Tuzla173.Spajanjem ovih taaka, dobijamo na osi () centar Morovog kruga (C).4.PravciCA iCB su poluprijenici Morovog kruga napona, koji sada nacrtamo.5.Spajanjem taaka A i D, dobijamo osu (1).6.Okomito na osu (1) iz take (D), dobijamo osu (2).7.Take (D) i (E), odreuju intenzitet glavnih napona (1) i (2).8.Nanoenjemzadatogugla()odose(1),suprotnosmijerukazaljkenasatu,definiramo poloaj prave (L) koja u presjeku sa Morovim krugom daje taku (N).Ovataka,odnosnonjenekoordinatedefinirajukomponentnenaponekosogpresjeka (n i n)Slika a.Slika 12.6.2.4 Raunski primjerKruti kvadar prikazan na donjoj slici optereen je silama: Fx, Fy i FT.-Odrediti normalni i tangencijalni napon u presjeku koji stoji pod uglom = 43,5.-Odrediti pravce i intenzitete glavnih napona.-Analitiki dobijene rezultate, provjeriti preko Morovog naponskog kruga.Fx = 333 kN,xyx xyxyxxy=-y-yxynnl2(1)(2)nlA/A(x;-xy)2yxn1(y; xy)N(n; nl)BBD2OCJU UNIVERZITET U TUZLIRudarsko-geoloko-graevinski fakultet Tuzla18Fy = 100 kN,FT = 100 kN, = 43,5,a = 10 cm.A1 = 2a32;A2 = 2a2;A3 = 3a22 23Txy2 22yy2 23xxcmkN0 , 33a100AFcmkN0 , 22a100AFcmkN103a333AF= = = = = = = = = Poto je smiui napon (xy) pozitivan, vai Slika b.( )( )y xxyxy y x nly x y x n22 tg ; 2 cos 2 sin212 sin 2 cos21) (21 = + = + + + = ( )( ) = = == = + = = + + + = 43 18 86 36 2 arctg 75 00 2 100 3 22 tgcmkN8 3 87 0 3 87 0 2 1021cmkN2 9 87 0 3 87 0 2 10210 2 10212nl2n, ; , ; ,,,, cos , sin ,, sin , cos , ) , (Glavni naponi:( ) ( )( ) ( )2 22 , 12 22 , 10 , 3 4 0 , 2 10210 , 2 102142121 + + =+ + = xy y x y xxa/22/3aaFxFTFyzyA1A2A3JU UNIVERZITET U TUZLIRudarsko-geoloko-graevinski fakultet Tuzla19( ) ( )222122 2 2 22 , 12221 2 , 10 , 5 ; 0 , 5; 0 , 5 0 , 3 4 0 , 2 10 4210 , 1 0 , 5 0 , 6 ; 0 , 11 0 , 5 0 , 6 ; 0 , 5 0 , 6cmkNcmkNcmkNcmkNcmkNxy y x = = = + = + == = = + = = Morov krug napona: cmcmkNU 1 0 , 12 = =Slika Morovog kruga napona iz primjera.7.PROSTORNO STANJE NAPONAPoanalogijiikodprostornogstanjanapona,postojeravnineukojimasutangencijalninaponi jednaki nuli.Tosuondaravnineglavnihnapona,anormalninaponikojinanjihdjelujusuglavninaponi 1, 2 i 3.Polazimo od take u kojoj je tenzor napona poznat.xny21nl12xy-xyn(1)(2)452JU UNIVERZITET U TUZLIRudarsko-geoloko-graevinski fakultet Tuzla20Na dalje, glavne napone oznaavamo sa i, a uglove koje normale na ravnima glavnihnaponazaklapajusakoordinatnimosamasa:i,iii,priemuindeks(i)moeuzetioznaku 1,2 ili 3.Kako u ravnima glavnih napona ukupan napon iznosi (i) i pada u pravac normale na turavninu, slijedi:pix= icosipiy= icosipiz= icosiUvrtavanjemovihvrijednostiujednainu(a),poglavlje4,itonadesnustranu,dobijamo:i i i z i zy i zx nzi i i yz i y i yx nyi i i xz i xy i x nxcos cos cos cos pcos cos cos cos pcos cos cos cos p = + + = = + + = = + + =Sreivanjem dobijamo:( )( )( ) 0 cos cos cos0 cos cos cos0 cos cos cosi i z i zy i zxi yz i i y i yxi xz i xy i i x= + + = + + = + + U prethodne tri jednaine, imamo etiri nepoznate: cosi, cosi, cosi i i.Jednainesuhomogenepokosinusimauglovasmjeranormale,paeimatirjeenjarazliita od trivijalnih, samo ako je determinanta jednaka nuli.( )( )( )0i z zy zxyz i y yxxz xy i x= Razvijajui determinantu po Sarusu po (i): (x - i)xyxz (x - i)xy yx(y - i) yzyx (y - i) zxzy (z - i) zx zy(x - i) (y - i) (z - i) + xy yz zx+xz yx zy - xy yx (z - i) - (x - i) yz zy - xz (y - i) zx= 0Rjeavanjem,odnosnomnoenjem,zbrajanjemioduzimanjemlanova,dobijamo(uopteno napisano):JU UNIVERZITET U TUZLIRudarsko-geoloko-graevinski fakultet Tuzla21i3 J1i2 + J2i J3 = 0 ...........................( )gdje su:J1 prva invarijanta napona,J2 druga invarijanta napona,J3 trea invarijanta napona.ide uz i2 J1 = x + y + z,ide uz i J2 = xy + yz + zx - xy2 - yz2 - zx2,ide bez i J3 = xyz - xyz2 - yzx2 - zxy2 + 2xyyzzx.Invarijante ostaju nepromjenjene pri rotaciji koordinatnog sistema.Kubna jednaina tipa ( ), uvjek ima tri realna korijena. U konkretnom sluaju to su triglavna napona, koji stoje u odnosu:123.1 = max; 3 = min; 2 srednji u analitikom smisluZa rijeavanje homogenog sustava jednaina ( a ), postavljamo uvjet u vidu proporcije:kcos) (cos) () (cosiiiCzy zxi y yxiBi z zxyz yxiAi z zyyz i yi= = = 4 43 4 42 14 4 4 3 4 4 4 2 14 4 4 3 4 4 4 2 1i jedan od korijena jednaine ( )Dopunski uvjet za odreivanje k je relacija za cosinuse smijerova:cos2i + cos2i + cos2i = 1Iz predhodne dvije jednaine dobijamo:Ai2k2 + Bi2k2 + Ci2k2 = 1, jer je:2i22i22i2i2i2i2i i i i i iiiiiiiC k B k A k 1 cos cos cosC k cos ; B k cos ; A k coskCcosBcosAcos+ + = = + + = = = ===Poto je:2i22i22i2C k B k A k + + = 1; k2(2i2i2iC B A + + ) = 12i2i2i2i2i2i C B A1) C B A (1k+ +=+ +=cosi =kAi2i2i2iii2i2i2iii2i2i2iiiC B ACcosC B ABcos ;C B AAcos+ += + += + += Ako za ose koordinatnog sistema usvojimo ose glavnih napona, ranije izvedeni obrascise pojednostavljuju jer u njima otpadaju lanovi sa tangencijalnim naponima, pa je:JU UNIVERZITET U TUZLIRudarsko-geoloko-graevinski fakultet Tuzla22J1 = x + y + z, 000J2 = xy + yz + zx - xy2 - yz2 - zx2, 0 00 0J3 = xyz - xyz2 - yzx2 - zxy2 + 2xyyzzx.Tenzor napona za taj sluaj, postaje:)`=3210 00 00 0SPrva invarijanta stanja napona: Analogija: 1 = xJ1 = 1 + 2 + 3, 1 = yDruga invarijanta: 1 = zJ2 = 12 + 23 + 31, xy = 0Trea invarijanta:y = 0J3 = 123.z = 0n = 1cos2 + 2cos2 + 3cos2- skalarni proizvod san = (cos, cos, cos)ln nl = { }1 1 1 i i nicos , cos , cos l , cos p ={ }l ortom sa proizvod skalarni cos cos cos cos cos coslcos cos coscos cos cos pn p ; cos , cos , cos np p p p. cos p, cos p, cos p1 3 1 2 1 1 nln nl232221 n3 2 1 nn n3 n 2 n 1 n n3 3 n2 2 n1 1 n + + = = + + = + + = = + + =)` = = ={{{ + + = + + = 2 232 222 2123 n22 n21 n2ncos cos cos p p p pZ Y XPitagorino pravilo za prostor7.a Matematske osnove potrebne za rjeavanje (karakteristine), odnosno sekularne jednaineJednaina treeg stepena u obliku:02 3= + + + d x c x b x aJU UNIVERZITET U TUZLIRudarsko-geoloko-graevinski fakultet Tuzla23rjeava se uvoenjem nove varijable:abx y+ =3Zatim vrimo zamjenu:3 2222 333333 2722p q Dab c apadac babq+ = = += Za diskriminantu D0, postoje 3 realna rjeenja. Kako za probleme rjeavanjasekularne jednaine (*) imamo uvijek takav sluaj, dalje rjeavanje jednaine e seodvijati uz ovu predpostavku (D