Embed Size (px)
Citation preview
P - 125
Dijetni problem: prehrana studenata na Sveučilištu u Splitu
Renata Lebo
Sveučilište u Splitu, Sveučilišni odjel za stručne studije, Split, Hrvatska
Bože Plazibat
Sveučilište u Splitu, Sveučilišni odjel za stručne studije, Split, Hrvatska
Lada Reić
Sveučilište u Splitu, Sveučilišni odjel za stručne studije, Split, Hrvatska
Sažetak. Dijetni problem jedan je od najstarijih problema optimalizacije. Cilj je odabrati određenu
količinu namirnica koja će zadovoljiti nutritivne potrebe uz najmanju cijenu promatranog obroka. U
ovom je radu dijetni problem upotrijebljen sa svrhom optimalizacije studentske prehrane na
Sveučilištu u Splitu. Cilj je minimalizirati energetsku vrijednost složenog obroka - ručka. Nakon
prikupljanja podataka i provedene statističke analize razmatrano je zadovoljavanje nutritivnih potreba
na primjeru deset različitih obroka. Slijedilo je definiranje matematičkog modela: varijabli odlučivanja
i funkcije cilja te, obzirom na propisane namirnice i nutritivne zahtjeve, potrebna ograničenja u vidu
nejednadžbi. Problem je riješen uz pomoć MS Excel-ovog alata Solver. Provedena je analiza
osjetljivosti. Predložena su optimalna rješenja.
Ključne riječi: dijetni problem, studentska prehrana, funkcija cilja, analiza osjetljivosti, MS Excel
Solver
1. Uvod
Prehrana studenata hrvatskih sveučilišta i veleučilišta vrlo je strogo definirana Pravilnikom o
uvjetima i načinu ostvarivanja prava na pokriće troškova prehrane studenata (NN 120/13) i
kasnijim izmjenama tog pravilnika od 1. veljače 2014 (NN 8/14). Meni obrok, u smislu
navedenog Pravilnika, je složeni obrok kojeg je davatelj usluge obvezan ponuditi studentu, a
sastoji se od sljedećih grupa prehrambenih proizvoda koji su sastavnice meni obroka: juha,
glavno jelo, prilog/varivo, salata, desert/napitak i kruh/pecivo. Sastav niza juha, glavnih jela,
priloga i deserta detaljno je prikazan u dodatku Pravilnika.
Jedan od ciljeva ovoga rada jest izračun nutritivnih vrijednosti ponuđenih složenih obroka i
njihova usporedba s propisanim dnevnim potrebama prosječne žene odnosno muškarca
životne dobi od 18 do 30 godina s umjerenom fizičkom aktivnošću. Uzet će se da složeni
dnevni obrok (ručak) treba sadržavati cca. 40% dnevnih nutritivnih potreba (Šatalić, 2013).
S druge strane, u eri izražene opasnosti od povećane tjelesne mase među stanovništvom RH a
samim time i među studentskom populacijom, drugi, glavni cilj ovoga rada jest
minimalizacija energetskog sadržaja analiziranih obroka uz zadovoljavanje svih ostalih
nutritivnih potreba konzumenata. U tom će se smislu koristiti tzv. dijetni problem linearnog
programiranja.
P - 126
Dijetni problem nije samo jedan od najstarijih problema linearnog programiranja, nego je
njegov model nedvojbeno jedan od najintuitivnijih. Problem je najprije razmatrao kasniji
nobelovac George Stigler (1939.) na primjeru određivanja najjeftinijih obroka za potrebe
armije SAD-a. Iako nije koristio neku od metoda optimalizacije, suvremeni izračuni (Garner
Garrile & Gass, 2001.) potvrdili da su Stiglerova rješenja bila vrlo blizu optimalnih. Stiglerov
rad impresionirao je Georgea Dantziga koji je desetak godina kasnije svijetu predstavio
Simplex algoritam i tako omogućio puno jednostavnije rješavanje problema linearnog
programiranja uopće (Dantzig, 1990.).
Osim u primjerima prehrane ljudi, osobito za medicinske potrebe kod specijalnih dijeta za
pojedine skupine bolesnika (Henson, 1991.; Magdić, 2010.) te prehrani djece (Colavita &
D’Orsi, 1990.; Briend & drugi, 2003.), dijetni problem često se koristi i u primjerima
optimalizacije tova stoke (Dent & Casey, 1967.; Cadanes & drugi, 2004).
Kvalitetu studentske prehrane u Splitu istraživale su Ćurin, Knezović & Marušić (2007.).
Autorice su zaključile kako su prehrambene i energetske vrijednosti dnevnih obroka tijekom
sedam godina ispitivanja manje od zadanih normativa. Najveća su odstupanja utvrdile za
masti (do 40%) i bjelančevine (34%). Udio kruha u ukupnoj energetskoj vrijednosti bio je u
prosjeku oko 40%, dakle nešto više od zadanih preporuka.
2. Matematička formulacija
Dijetni problem linearnog programiranja definira se kao traženje minimuma funkcije cilja
1 1 2 2 ... ...C i i n nF c x c x c x c x (1)
uz ograničenja
1 11 1 12 2 1 1 1... ...i i n nbmin a x a x a x a x bmax
2 21 1 22 2 2 2 2... ...i i n nbmin a x a x a x a x bmax
...
1 1 2 2 ... ...j j j ji i jn n jbmin a x a x a x a x bmax
...
1 1 2 2 ... ...m m m mi i mn n mbmin a x a x a x a x bmax (2)
gdje je
CF - funkcija cilja: najčešće trošak obroka koji treba minimizirati,
n - ukupan broj namirnica koje čine promatrani obrok,
; 1,ix i n - varijable odlučivanja: količina i-te namirnice u obroku,
; 1,ic i n - cijena po jedinici količine: jedinična cijena i-te namirnice,
m - ukupan broj nutritienata koji se razmatraju,
; 1, ; 1,jia j m i n - količina nutritienta j po jedinici količine namirnica i,
; 1,jbmin j m - minimalna preporučena količina nutritienta j u obroku,
; 1,jbmax j m - maksimalna preporučena količina nutritienta j u obroku.
Kako je u ovom radu cilj postići obrok najmanje energetske vrijednosti, to je funkcija cilja CF
ukupna energetska vrijednost obroka, a ic je energetska vrijednost jedinične količine i-te
namirnice.
P - 127
3. Analiza nutritivnih vrijednosti na primjeru deset odabranih složenih obroka
Sukladno Pravilniku MZOŠ-a (NN 120/13) i dopunama istog (NN 8/14) studentima se, kao
središnji složeni dnevni obrok nude 42 meni-ručka od kojih je 11 vegetarijanskih. Iz te palete
strogo definiranih menija (po sastavu namirnica i njihovoj količini) u ovom je radu izvršena
analiza nutritivnih sadržaja 10 odabranih obroka. Među odabranima su i 3 vegetarijanska.
Prema riječima glavnog prehrambenog tehnologa Studentskog centra Split dnevno su moguće
neke manje izmjene u obrocima, no one bitno ne narušavaju njihov sadržaj. Isto tako,
obzirom na relativno mali skladišni prostor, nije moguće izvršiti plansku nabavu svih
potrebnih namirnica na duži rok.
Na slici 1 su prikazani primjeri definiranja sadržaja na tri od deset odabranih obroka.
Slika 1 Primjeri propisanih sadržaja pojedinih namirnica (3 od 10 razmatranih obroka)
U radnom listu MS Excela je kreiran popis svih namirnica (njih ukupno 69) koje su sadržane
u tim obrocima. Za svaku od tih namirnica pronađen je nutritivni sadržaj (Šatalić, 2013,
Stojisavljević& Danojević, 2004): energetska vrijednost, proteini, masti, ugljiko-hidrati,
kolesterol, vlakna, vitamin A, vitamin C, kalcij, magnezij i željezo. U literaturi se ovi sadržaji
uobičajeno daju na 100 g pojedine namirnice.
Razmatranim je namirnicama dodijeljen identifikacijski broj (slika 1, prvi stupac lijevo) koji
je poslužio da se, uz pomoć excelove VLOOKUP() funkcije izračuna sadržaj navedenih
nutritijenata u svakom od odabranih obroka.
Na slikama 2 do 6 prikazan je nutritivni sadržaj deset analiziranih obroka. Dobivene
vrijednosti uspoređene su s 40% RDA (od engl. Recommended Dietary Allowances, odnosno
preporučena dnevna količina pojedinog nutritijenta), koliko bi trebao sadržavati ručak kao
središnji dnevni obrok (Šatalić, 2013). Može se vidjeti da izračunati sadržaji premašuju
preporučene količine, izuzev sadržaja kalcija (slika 5.b), odnosno magnezija (slika 6.a).
Sadržaj vlakana (slika 4.b) vrlo malo oscilira oko preporučene vrijednosti, osim u slučaju
vegetarijanskog obroka broj 4 gdje tu vrijednost višestruko premašuju.
P - 128
Slika 2 Energetska vrijednost analiziranih složenih obroka
Energetska vrijednost obroka (slika 2) nešto je iznad maksimalne vrijednosti, a u slučaju
ručka pod brojem 6 taj višak iznosi 37% ili više od 400 kcal. Uzme li se u obzir činjenica da
se unosom viška od 5 do 7 tisuća kcal u nekom vremenskom periodu tjelesna masa poveća za
1 kg, neupitna je mogućnost utjecaja ovako definiranog obroka na povećanje indeksa tjelesne
mase konzumenata.
Slika 3 Nutritivni sadržaj obroka: a) proteini, b) masti
Sadržaj ugljikohidrata u svim je obrocima iznad preporučene količine (slika 4.a), a osobito je
indikativan sadržaj masti (slika 3.b) koji je kod svih obroka značajno iznad preporučene
količine, i to u granicama od 80% pa do čak 240%.
Slika 4 Nutritivni sadržaj obroka: a) ugljikohidrati, b) vlakna
P - 129
Slika 5 Nutritivni sadržaj obroka: a) vitamin C, b) kalcij
Slika 6 Nutritivni sadržaj obroka: a) magnezij, b) željezo
4. Optimalizacija analiziranih obroka minimalizacijom njihove energetske vrijednosti
Svi složeni dnevni obroci analizirani u 3. poglavlju optimirani su uz pomoć excelovog alata
Solver. Za izračun je korišten predložak prilagođen rješavanju općeg problema iznalaženja
optimuma (Plazibat&Reić, 2013) uz nenegativne varijable odlučivanja.
Pri tome je dijetni problema linearnog programiranja sveden na funkciju cilja s 6 varijabli
odlučivanja uz 17 ograničenja. Funkcija cilja pri tome je ukupna energetska vrijednost
promatranog obroka i treba je minimizirati.
Za varijable odlučivanja uzete su količine šest namirnica koje imaju, sa stanovišta unosa
energije, najveći utjecaj u promatranom obroku.
Postavljena ograničenja podijeljena su u dvije skupine. Prva skupina od 5 ograničenja
kreirana je iz uvjeta da promatrano jelo mora sadržavati barem (najmanje) preporučene
količine 5 odabranih nutritijenata: energija, proteini, masti, ugljikohidrati i željezo. Desne
strane tih ograničenja dobiju se kao razlika preporučenih količina tih nutritijenata i one
količine koju sadržavaju preostale namirnice u obroku (one čija se količina ne varira).
Preporučene količine navedenih nutritijenata, svedene na ručak, su (Šatalić, 2013): energija –
1200 kcal, proteini – 30 g, masti – 25 g, ugljikohidrati – 100 g i željezo – 3,8 mg.
Druga skupina ograničenja, njih ukupno 12, dobivena je iz uvjeta da količine namirnica koje
se variraju ne smiju odstupati za više od 20% u odnosu na količine propisane Pravilnikom
(NN 120/13 i NN 8/14). Prema tome, količina i-te namirnice mora zadovoljiti sljedeću
nejednakost:
, ,0,8 1,2P i i P ix x x (3)
gdje je ,P ix – Pravilnikom propisana količina i-te namirnice u promatranom obroku.
P - 130
Slika 7 Ručak_10 – Prilagodba predloška Solvera: funkcija cilja, varijable odlučivanja i ograničenja
Slika 8 Ručak_10 – Prilagodba predloška Solvera: koeficijenti lijevih strana pojedinih ograničenja
Na slikama 7 i 8 prikazana je priprema podataka u predlošku Solvera za meni obrok broj 10 u
prilogu Pravilnika.
P - 131
Nutritivni sadržaj optimaliziranih obroka prikazan je na slikama 9 do 11: energetska
vrijednost na slici 9, te sadržaj proteina (slika 10.a), masti (slika 10.b), ugljikohidrata (slika
11.a) i željeza (slika 11.b).
Slika 9 Energetska vrijednost optimaliziranih složenih obroka
Slika 10 Nutritivni sadržaj optimaliziranih obroka: a) proteini, b) masti
Slika 11 Nutritivni sadržaj optimaliziranih obroka: a) ugljikohidrati, b) željezo
Može se vidjeti da neki sadržaji premašuju preporučene količine ali se na to u ovom
istraživanju nije moglo utjecati bez uvođenja niza drugih namirnica u razmatrane obroke,
P - 132
čime bi se, uz odstupanje od strogo definiranog Pravilnika, znatno povećao i broj varijabli
odlučivanja i broj ograničenja.
P - 133
U tablici 1 uspoređene su količine namirnica sukladno Pravilniku (NN 8/14) s optimalnim
vrijednostima, tj. s vrijednostima varijabli odlučivanja za koje funkcija cilja ima minimum.
Iz podataka dobivenih u izvještajima Solvera o osjetljivosti rješenja može se iščitati da su
vezana ograničenja upravo minimumi količina namirnica s najvećim energetskim sadržajima,
a što je pokazano i rezultatima prikazanim u tablici 1.
5. Zaključak
Stalno povećanje indeksa tjelesne mase općenito postaje sve veći problem. Zahvaća
cjelokupno stanovništvo pa samim time i studentsku populaciju.
Ovo istraživanje pokazuje da obroci u restoranima studentske prehrane na Sveučilištu u Splitu
premašuje energetske potrebe konzumenata, što je u najvećoj mjeri uzrokovano namirnicama
bogatim masnoćama i kruhom. Drastičan je primjer obrok (meni obrok 06) kod kojega višak
kalorija iznosi čak 37%. Problem nije posljedica rada odgovornih u tim restoranima već
strogo definiranog Pravilnika MZOS-a.
Na deset proizvoljno odabranih obroka, uz pomoć dijetnog problema linearnog programiranja
je pokazano da bi se malim odstupanjima u količinama energetski najbogatijih namirnica
(±20%) moglo energijsku vrijednost obroka svesti u željene okvire.
Imajući u vidu da su energetske dnevne potrebe studentica 20% manje od potreba studenata,
onda se nameće zaključak kako su za žensku studentsku populaciju, sa stanovišta unosa
energije, ponuđeni obroci uistinu predimenzionirani.
Kada bi se uzele u obzir preporuke o porijeklu energije koja se hranom unosi u organizam,
tzv. piramida zdrave prehrane, navedeni se problemi dodatno uvećavaju.
Jedan od ciljeva ovoga rada i jest da se ukaže na potrebu ozbiljne redefinicije sadržaja obroka
u studentskim restoranima što bi bio dosta složeniji problem optimalizacije od ovdje
prikazanog.
Literatura:
B. Dantzig (1990). The Diet Problem. Interface, 20(4), 43-47.
B. Plazibat & L. Reić (2013). Operacijska istraživanja u MS Excelu. Skripta. Sveučilište u Splitu,
Sveučilišni odjel za stručne studije. https://moodle.oss.unist.hr/mod/resource/view.php?id=18958
C. Colarita & R. D’Orsi (1990). Linear Programming and Pediatrtic Dietetics. British Journal of
Nutrition, 64(2), 307-317.
D. Magdić (2010). Primjeri optimiranja prehrane. Skripta. Prehrambeno tehnološki fakultet, Osijek.
http://zpi.ptfos.hr/modeli/Primjeri%20primjene%20metode%20linearnog%20programiranja_dio%20II
D. Stojisavljević & D. Danojević (2004). Vodič za pravilnu ishranu za zdravstvene
profesionalce. Institut za zaštitu zdravlja Republike Srpske, Novi Sad.
D. Vranešić & I. Alebić (2006). Hrana pod povećalom. Kako razmijeti i primjeniti znanost o
prehrani?, Profil, Zagreb.
H. Herrera, E. Rebato, G. Arechabaleta, H. Lagrange, I. Salces & C. Sussane (2003). Body Mass
Index and Energy Intake in Venezuelan University Students. Nutrition Research, 3(3), 389-400.
I. Kulier (1996). Prehrambene tablice – kemijski sastav namirnica. Hrvatski farmer, Zagreb.
J. B. Dent & H. Casey (1967). Linear Programming and Animal Nutrition. London, UK: Crosby
Lockwood & Son Ltd.
J. M. Cadanes, D.A. Pelta, H. R. Pelta & J. L. Verdegay. (2004). Application of Fuzzy Optimization to
Diet Problems in Argentinean Farms. European Journal of Operational Research, 158(1), 218-228.
P - 134
K. Ćurin, Z. Knezović & J. Marušić (2007). Kakvoća prehrane u studentskom centru u Splitu. Medica
Jadertina, 36(3-4), 93-100.
MZOS (2013). Pravilnik o uvjetima i načinu ostvarivanja prava na pokriće troškova prehrane
studenata. NN 120/13.
MZOS (2014). Pravilnik o izmjenama pravilnika o uvjetima i načinu ostvarivanja prava na
pokriće troškova prehrane studenata. NN 8/14.
S. G. Gerrile & S. I. Gass (2001). Stigler's Diet Problem Revisited. Operations Research, 49(1), 1-13.
S. Henson (1991). Linear Programming Analysis of Constraints Upon Human Diets. Journal of
Agricultural Economics, 42(3), 380-393.
Z. Šatalić (2013). 100 (i pokoja više) crtica iz znanosti o prehrani. Hrvatsko društvo prehrambenih
tehnologija, biotehnologa i nutricionista, Zagreb. http://bib.irb.hr/datoteka/651033.100_i_pokoja
_vie_crtica_iz_znanosti_o_prehrani.pdf
Diet Problem: Students’ Nutrition at the University of Split
Renata Lebo
University of Split, Department of Professional Studies, Split, Croatia
Bože Plazibat
University of Split, Department of Professional Studies, Split, Croatia
Lada Reić
University of Split, Department of Professional Studies, Split, Croatia
Abstract. A diet problem is one of the oldest optimization problems. The goal is to select a set of food
to satisfy meal nutritional requirements at minimum cost. In this paper the diet problem is used to
optimize students’ nutrition at University of Split. The criterion was the minimum energy amount of
the meal. After data have been collected and statistical analysis performed, decision variables as well
as an appropriate mathematical model are defined. According to prescribed food and nutritional
requirements, a range of constraint inequalities has been set up. The problem is solved by means of
MS Excel Solver. Sensitivity analysis both on objective coefficients and constraints RH sides is
carried out. An optimal solution is proposed.
Key words: diet problem, students’ nutrition, objective function, sensitivity analysis, MS Excel Solver.
