ESCUELA MILITAR DE INGENIERIA

TRABAJO DE INVESTIGACIN FINAL DE ALGEBRA IIDIAGONALIZACIN DE MATRICES SIMTRICAS, FUNCINES CUDRICAS E IDENTIFICACIN DE CNICASNOMBRE: DIEGO FERAUDY PINTO CDIGO: A11789-7 CATEDRTICO: LIC. MARCO COLQUE FECHA: 24-06-2011

20111

DIAGONALIZACIN DE MATRICES SIMTRICASPara estudiar una matriz suele ser conveniente expresarla de forma lo ms sencilla posible. Diagonalizar una matriz A es precisamente eso: escribirla de manera simple encontrando una matriz invertible P y una diagonal D (si se puede) tales que A = P D P-1 La matriz P se llama matriz de paso. Matriz diagonalizable: Una matriz n x n es diagonolazible si existe una matriz diagonal D tal que A es semejante a D. Observacin: Si D es una matriz diagonal, entonces los valores propios son sus componentes en la diagonal. Si A es semejante a D, entonces Ay D tiene los mismos valores propios. Uniendo estos dos hechos se observa que si A es diagonaliizable, entonces A es semejante a una matriz diagonal cuyas componentes en la diagonal son los valores propios de A. El siguiente teorema establece cuando una matriz es diagonazable. TEOREMA: Una matriz A de n x n es diagonalizable si y solo si tiene n vectores propios linealmente independientes. En tal caso, la matriz diagonal D semejante a A esta dada por 1 0 0 0 2 0 0 0 0 3 0 D= . . . .

0 0 0 n donde 1, 2, .. ,n son los valore propios de A. Si C es una matriz cuyas columnas son vectores propios linealmente independientes de A, entonces D = C-1AC Una matriz diremos que es ortogonal si su transpuesta coincide con su inversa. P orotgonal P-1 = Pt Si P=(u1|u2||un) resulta que decir que P es ortogonal, es equivalente a decir que los vectores {u1,u2,,un} son ortonormales (respecto al producto escalar habitual) Para las matrices reales y2

simtricas podemos dar una diagonalizacin donde la matriz de paso es ortogonal. Esto es lo que se entiende por diagonalizacin ortogonal.

MATRIZ SIMTRICAUna matriz de elementos:

es simtrica, si es una matriz cuadrada (m = n) y aij = aji para todo i distinto de j con i, j =1,2,3,4,...,n. Ntese que la simetra es respecto a la diagonal principal. Ejemplo para n = 3:

A es tambin la matriz traspuesta de s misma: At = A. Esta ltima igualdad es una definicin alternativa de matriz simtrica. Las matrices simtricas son un caso particular de las matrices hermticas.

PROPIEDADESUno de los teoremas bsicos que concierne este tipo de matrices es el teorema espectral de dimensin finita, que dice que toda matriz simtrica cuyos elementos sean reales es diagonalizable. En particular, es semejante a una matriz ortogonal.

AUTOVALORESComo las matrices simtricas son un caso particular de las matrices hermticas, todos sus auto valores son reales. Con base en las propiedades de los auto valores de una matriz simtrica, se pueden clasificar en los siguientes tipos:3

definida positiva: Una matriz simtrica es definida positiva si y solo si todos sus auto valores son estrictamente positivos. definida negativa: Una matriz simtrica es definida negativa si y solo si todos sus auto valores son estrictamente negativos. semidefinida positiva: Una matriz simtrica es semidefinida positiva si y solo si todos sus auto valores son mayores o iguales a cero. semidefinida negativa: Una matriz simtrica es semidefinida negativa si y solo si todos sus auto valores son menores o iguales a cero.

DESCOMPOSICIN EN MATRIZ SIMTRICA Y ANTISIMTRICASea A una matriz cuadrada, esta se puede descomponer en suma de parte simtrica y antisimtrica de la siguiente forma:

donde la parte simtrica es

DIAGONALIZACIN DE UNA MATRIZMatriz diagonalizable: Una matriz n x n es diagonolazible si existe una matriz diagonal D tal que A es semejante a D. Si D es una matriz diagonal, entonces los valores propios son sus componentes en la diagonal. Si A es semejante a D, entonces Ay D tiene los mismos valores propios. Uniendo estos dos hechos se observa que si A es diagonaliizable, entonces A es semejante a una matriz diagonal cuyas componentes en la diagonal son los valores propios de A. TEOREMA: Una matriz A de n x n es diagonalizable si y solo si tiene n vectores propios linealmente independientes. En tal caso, la matriz diagonal D semejante a A esta dada por

1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 0D=

0

0

0 n

4

donde 1, 2, .. ,n son los valore propios de A. Si C es una matriz cuyas columnas son vectores propios linealmente independientes de A, entonces

D = C-1AC

Demostracin Primero se supone que A tiene n vectores propios linealmente independientes V1, V2, , Vn que corresponden a los valores no propios (no necesariamente diferentes) 1, 2, , n.

Sea C11 C21 C12 C22 C1n C2n

V1 =

,

V2 =

, Vn =

Cn1

Cn2

Cnn

Y sea

C11 C21

C12 C22

C1n C2n

C= Cn1 Cn2 Cnm

Entonces C es invertible ya que sus columnas son linealmente independientes. Ahora bien

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A11 A21

A12 A1n A22 A2n

C11 C12 C1n C21 C22 C2n

AC =

An1

An2

Ann

Cn1 Cn2 Cnn

C1

Y se ve que la columna AC es A =

C2i

= Av1 = ivi. As, AC es la matriz cuya

Cni

columna i es ivi y

1c11 2c12 nc1n 2c21 2c22 nc2n

AC = 1cn1 2cn2 ncnn

6

pero

C11 C12 C1n C21 C22 C2n

1 0

0 0 2 0

CD = Cn1 Cn2 Cnn 0 0 n

1c11 2c12 nc1n 2c21 2c22 nc2n =

1cn1 2cn2 ncnn

Entonces AC = CD (1)

Y como C es invertible, se pueden multiplicar ambos lados de (1) por la izquierda por C-1 para obtener D = C-1 AC (2)

Esto prueba si A tiene n vectores propios linealmente independientes, entonces A es diagonalizable. Inversamente suponga que A es diagonalizable; esto es, suponga que (2) se cumple para alguna matriz invertible C. Sean v1, v2, vn las columnas de C. entonces AC = 7

CD, e invirtiendo los argumentos anteriores, se ve de inmediato que Avi = ivi para i = 1, 2,, n. Entonces v1, v2, , vn son los vectores propios de A y son linealmente independientes porque C es invertible. Notacin: para indicar que D es la matriz diagonal con componentes diagonales 1, 2, , n, se escribir D = diag (1, 2, , n). Corolario: Si la matriz A de n x n tiene n valores propios diferentes, entonces A es diagonalizable. Observacin: Si se selecciona al azar los coeficientes reales de un polinomio de grado n entonces, con probabilidad 1, el polinomio tendr n races diferentes. No es difcil ver, intuitivamente, por que se cumple esto. Si n = 2, por ejemplo, entonces la ecuacin 2 + a + b = 0 tiene races reales si y solo si a2 = 4b --- un evento muy improbable se a y b se eligen aleatoria mente. Por supuesto, se pueden escribir polinomios que tienen races de multiplicidad algebraica mayor que 1, pero son excepcionales. Por lo tanto, sin pretender precisin matemtica, es posible decir que la mayora de los polinomios tienen races distintas. As, la mayora de las matrices tienen valores propios diferentes y como se estableci al principio, la mayor parte de las matrices son diagonalizables.

FUNCIONES CUDRICAS DEFINICIN:Una cudrica es el lugar geomtrico de los puntos del espacio (x,y,z) que verifican una ecuacin de segundo grado del tipo

La ecuacin de una cudrica se puede escribir en forma matricial como

donde

Denotaremos por del elemento a00 en A.

la matriz que define la cudrica y por A00 la matriz adjunta

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CLASIFICACIN:Las cudricas se clasifican de acuerdo a su signatura, es decir, el mdulo de la diferencia entre el nmero de autovalores positivos y negativos de A00 . Sin embargo, para calcular la signatura de la cudrica no es necesario diagonalizar la matriz. Ello es debido a la existencia de unas cantidades invariantes asociadas a A00 que permiten es. Vemoslo: los autovalores son las races del polinomio caracterstico, es decir, las soluciones de la ecuacin . Ahora bien,

con

Cuando los tres autovalores de A00 son no nulos , es decir det A00 , si escribimos la sucesin K, J, I, 1 y denotamos P y V al nmero de permanencias y variaciones de signo que hay en ella, respectivamente, entonces |P-V| = I, J, K se conocen como invariantes de la cudrica. De esta forma se tiene: 1. Si = 3 : 1. det A > 0 ---> elipsoide real 2. det A < 0 ---> elipsoide imaginario (no existen puntos reales que verifican la ecuacin) 3. det A = 0 ---> cono imaginario 2. Si = 1 : 1. det A > 0 ---> hiperboloide hiperblico (de una hoja) 2. det A < 0 ---> hiperboloide elptico (de dos hojas) 3. det A = 0 ---> cono real Si alguno de los autovalores es nulo (det A00 = 0) pero el determinante de A es distinto de cero, entonces; 1. Si J > 0 ---> paraboloide elptico 2. Si J < 0 ---> paraboloide hiperblico9

Si det A = det A00 = 0 hay que introducir nuevos invariantes para completar la clasificacin

donde Aii representa la matriz adjunta del elemento aii en A para i=1,2,3. Con estos nuevos invariantes se tiene 1. J > 0 1. K' y signo K' = signo I ---> cilindro elptico imaginario 2. K' y signo K' ---> cilindro elptico real 3. K' = 0 ---> par de planos imaginarios secantes 1. J < 0 1. K' 0 ----> cilindro hiperblico 2. K' = 0 ----> par de planos reales secantes 1. J = 0 y I 1. K' 0 ----> cilindro parablico 2. K' = 0 y J' > 0 -- --> par de planos imaginarios paralelos distintos 3. K' = 0 y J' < 0 -----> par de planos reales paralelos distintos 4. K' = 0 y J' = 0 ----> par de planos coincidentes

Centro:Plano polar: Dado un punto P = (x0,y0,z0 de matriz A como el plano de ecuacin3

se define el plano polar de P respecto a cudrica

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Si P pertenece a la cudrica, entonces el plano polar de P coincide con el plano tangente a dicha superficie en P. No todos los puntos poseen plano polar. La condicin para que un punto (x,y,z) no lo tenga es que verifique el sistema de ecuaciones

que geomtricamente se interpreta como la interseccin de tres planos. Si det A00 entonces el sistema es compatible y tiene solucin nica. El punto solucin se conoce como CENTROde la cudrica. Si det A00 cuando det A=0 y los rangos de ambas matrices son iguales a 2, entonces se dice que la cudrica tiene una recta de centros. Cuando el rango de ambas matrices es igual a 1 hay un plano de soluciones: la cudrica tiene un plano de centros. Finalmente el sistema no tiene solucin si los rangos difieren o det A cudrica carece de centro, recta o plano de centros. As se tiene: 1 Cudricas con centro: elipsoides, hiperboloides y conos. 2 Cudricas con eje de centros: cilindros elpticos e hiperblicos y pares de planos secantes. 3 Cudricas con plano de centros: pares de planos paralelos o coincidentes. 4 El resto de las cudricas no posee centro (lo tiene en el infinito): paraboloides y cilindros parablicos. El centro es un punto de simetra de la cudrica, el eje y el plano de centros son a su vez eje y plano de simetra. Ejemplo: Consideremos la cudrica de ecuacin

Esta cudrica es un elipsoide (vase la tabla de clasificacin). El plano polar por el punto (2,1,3) es el plano de ecuacin

que corta a la superficie (ntese que (2,1,3) es exterior a la superficie (vase la figura).

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El centro de la cudrica es la solucin del sistema

que en este caso resulta ser el origen de coordenadas.

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En las figuras siguientes vemos los planos polares en los puntos (0,1,1/2) y (0,2,0):

En el primer caso el punto es interior a la superficie y el plano polar es exterior a la misma, mientras que en el segundo caso el punto est sobre el elipsoide y el plano polar coincide con el plano tangente a la superficie en dicho punto.

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Ecuacin reducida:La ecuacin reducida de una cudrica es aquella ecuacin simplificada que representa la superficie con su centro (si lo tiene) situado en el origen de coordenadas mientras que los ejes coordenados tienen relaciones particulares con la cudrica. Partiendo de la ecuacin general de una cudrica se puede llegar a su ecuacin reducida aplicandole consecutivamente un giro y una translacin de forma adecuada aunque en algunos casos especiales es necesario aplicar despus de esta ltima un giro plano. A continuacin recogemos los tipos de ecuaciones reducidas y que cudricas representan as como la forma de obtenerlas a partir de los invariantes.

Denotemos por

,

y

las races de

entonces:

Elipsoides, hiperboloides y conos:donde

elipsoide

hiperboloide hiperblico

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cono hiperboloide elptico

Paraboloides:donde

paraboloide elptico paraboloide hiperblico

Cilindro elptico e hiperblico y pares de planos secantes:

donde

15

cilindro elptico

cilindro hiperblico

par de planos secantes

Cilindro parablico:

donde

16

cilindro parablico

Pares de planos paralelos:

donde

par de planos paralelos

Cudricas no degeneradas:

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Elipsoide

Ecuacin reducida:

La cudrica tiene signatura 3 y los autovalores de la matriz A00 son los tres positivos. Los cortes del elipsoide por planos paralelos a los coordenados son curvas cnicas de tipo elipse (en lo siguiente se supone que el elipsoide esta centrado en el origen de coordenadas y tiene la ecuacin reducida que se da arriba): 1. por planos z

Si c la curva de corte es una elipse de ecuacin donde

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Si c no hay interseccin real, mientras que si c la interseccin se reduce a un punto siendo el plano tangente a la superficie elptica.Para los planos de la forma y = o x= el resultado es anlogo al anterior intercambiando el papel de las variables de forma adecuada.

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(corte por un plano y = con 0 0)

( < 0)

si entonces la interseccin es un par de rectas que se cortan en el origen de coordenadas

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( = 0) por planos y = o por planos x = las curvas interseccin son las

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parbolas

y respectivamente.

( y = 0)

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(x = 0)A continuacin presentamos figuras donde se ha cortado el paraboloide hiperblico por plano oblicuos no paralelos a los coordenados

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IDENTIFICACIN DE CNICAS

Introduccin: secciones cnicas

La hiprbola como seccin cnica

La circunferencia, la elipse, la parbola o la hiprbola son curvas planas de todos conocidas. Estas curvas aparecan ya en la geometra griega y fueron denominadas secciones cnicas, ya que los griegos de la poca de Platn consideraban que tales curvas procedan de la interseccin de un cono con un plano.

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La elipse como seccin cnicaCuando los matemticos de los siglos XVI y XVII estudiaron los trabajos griegos, empezaron a comprobar la falta de generalidad de los mtodos de demostracin lo que llevo a sustituir la visin puramente geomtrica de las secciones cnicas por otra que incorporaba las nociones de coordenadas y distancia. Esto llevo a la definicin de estas curvas como lugares geomtricos de puntos que verificaban ciertas propiedades en trminos de distancia. (las cnicas como lugares geomtricos).

La parbola como seccin cnica

Finalmente se estableci una teora algebraica general que engloba todas estas curvas y las describe como curvas cuadrticas. Es esta teora la que presentamos a continuacin.

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Curvas cuadrticas Definicin :Una cnica es el lugar geomtrico de los puntos del plano (x,y) que satisfacen una ecuacin completa de segundo grado:

La ecuacin de una cnica se puede escribir en forma matricial como

donde

Una cnica queda pues definida por una matriz simtrica En lo que sigue denotaremos por Aii a la matriz adjunta en A del elemento aii i=0,1,2 .

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Ejemplo:

En este caso la matriz de la cnica y las matrices adjuntas correspondientes son

Las figuras que represetan las ecuaciones cuadrticas pueden ser, adems de elipses, hiprbolas y parbolas, pares de rectas tanto secantes como paralelas y estas ltimas pueden ser distintas o coincidentes. Tambin puede darse el caso de que la ecuacin sea verificada por un nico punto o por ninguno. Alguna de estas ltimas tambin se pueden obtener como secciones cnicas como se ve en las imgenes siguientes:

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A continuacin estudiamos como se puede determinar que tipo de curva que define una ecuacin cuadrtica dada.

Clasificacin de las cnicasExisten ciertas cantidades asociadas a la matriz de la cnica que son invariantes respecto a los movimientos del plano (giros y traslaciones).

Si y son las matrices asociadas a la cnica despus de que sta ha sufrido un giro y una traslacin, respectivamente, entonces 1) det A=det A'=det A'', 2) a11 + a22 = a'11+ a'22 = a''11 + a''22, 3) det A00 = det A'00 = det A''00. 46

Tabla de Clasificacin

det A 0

det A00 0

det A00 > 0

signo (det A) = signo (a11+a22) imaginariasigno (det A) signo (a11+a22)

ElipseElipse real

det A00 < 0

Hiprbola

det A00 = 0

Parbola

det A00 0 det A= 0 det A00 = 0

det A00 > 0 det A00 < 0

Rectas no paralelas imaginarias Rectas no paralelas reales

det A11 + det A22 0

det A11 + det A22 > 0 imaginarias det A11 + det A22 < 0 reales

Rectas paralelas

Rectas paralelas

det A11 + det A22 = 0

Rectas coincidentes

Elementos notables de las cnicas

Centro:Polar Dado un punto P=(x0,y0) se llama polar de P respecto de una cnica C de matriz A a la recta deecuacin

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Si el punto P est en la cnica C entonces la recta polar de P respecto a C es precisamente la recta tangente a la cnica en dicho punto P.

Ejemplo:Consideremos la cnica de ecuacin

que matricialmente se escribe como

Utilizando la tabla de clasificacin vemos que se trata de una elipse real puesto que

La polar del punto (1,2) ser la recta

Observamos que el punto (1,2) pertenece a la cnica y por lo tanto la polar coincide con la recta tangente en dicho punto.

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La polar del punto (1,1) es la recta

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La polar del punto (3/2, 9/4) es la recta

Es posible que un punto P=(x0,y0) no tenga polar respecto a una cnica C. Las coordenadas de los puntos que no tienen polar deben verificar el sistema de ecuaciones

que impone que los coeficientes de x e y en la recta polar sean nulos (es decir que no exista dicha recta). Para que este sistema tenga alguna solucin se ha de verificar

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Adems si det A00 es no nulo, entonces la solucin del sistema es nica y por lo tanto habra un nico punto que no poseer recta polar. Este punto se denomina centro de la cnica. No todas las cnicas tienen centro. El centro de la cnica tiene la particularidad de ser su centro de simetra. Si C es una elipse o una hiprbola entonces det A00 0 y el sistema es compatible determinado lo que indica que estas cnicas tienen centro y que ste es nico.

Ejemplo: En la elipse del ejemplo anterior el centro ser el punto (2,2) nica solucin del sistema de ecuaciones

Sin embargo si la cnica es una parbola, todos sus puntos tienen polar. La parbola es por tanto una cnica sin centro.

Polo Dada una recta r diremos que un punto P es un polo de r respecto a una cnica C si r es la polarde P respecto a C

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Por supuesto hay rectas que no tienen polos: en la elipse y la hiprbola son todas las que pasan por el centro y en la parbola son las rectas de direccin (-a12, a11) que son adems perpendiculares al vector (a01 a12 - a02 a11, a01 a22 - a02 a12) y las nicas que cortan a la parbola en un solo punto.

Dimetro Llamaremos dimetro de una cnica C a cualquier recta sin polo.

Las figuras siguientes muestran dimetros en una elipse y una parbola

Diremos que dos dimetros son conjugados si no son asntotas (en el caso de la hiprbola) y uno de ellos coincide con el lugar geomtrico de los puntos medios de las cuerdas determinadas por la cnica en las rectas paralelas al otro.

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Ecuacin reducida

La ecuacin reducida de una cnica es aquella ecuacin simplificada de la curva que sita el centro (si lo tiene) de la cnica como origen de coordenadas mientras que los ejes presentan unas relaciones particulares con la cnica. Partiendo de la ecuacin general de una cnica se puede llegar a su ecuacin reducida aplicndole consecutivamente un giro y una traslacin de forma adecuada. Clasificaremos en tres tipos las ecuaciones reducidas de las cnicas:

Elipse, hiprbola, pares de rectas no paralelas:

Donde a'11 y a'22 son las soluciones de la ecuacin en z

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y

Parbola

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con

Pares de rectas paralelas o coincidentes

con

Ejemplo: Consideremos la ecuacin cuadrtica

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La matriz de la cnica que define la ecuacin anterior ser

Veamos que tipo de cnica es calculando sus invariantes

Esto nos indica que es una parbola.

La ecuacin reducida de esta parbola ser

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Las cnicas como lugares geomtricos

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Si F es un punto fijo del plano y D una recta, el lugar geomtrico de los puntos del plano cuyas distancias al punto F y a la recta D estn en proporcin constante es una cnica no degenerada (elipse, hiprbola, parbola). Al punto F se le denomina foco de la cnica y a la recta D directriz asociada al foco F.

Ecuacin focalSi C es una cnica propia (no degenerada), en un sistema de referencia determinado, su ecuacin ser

donde F=(x0, y0) es el foco de la cnica y la recta ax+by+d=0 es la directriz asociada al foco F. La ecuacin anterior se puede transformar fcilmente en

Renombrando los coeficientes y haciendo a2+b2=e2 ya que a2+b2 >0 la ecuacin queda finalmente como

Esta ecuacin se conoce como ecuacin focal de la cnica y a'x+b'y+d'=0 es la ecuacin de Euler para la directriz. Ms adelante veremos como se puede obtener la ecuacin focal partiendo de la ecuacin reducida de la cnica. La cantidad e se denomina excentricidad de la cnica y es un invariante puesto que, como se comprueba fcilmente, det A00=1-e2 En trminos de distancia, la ecuacin focal queda como

Es decir, en una cnica no degenerada el cociente entre las distancias de cualquiera de sus puntos al foco y a la directriz es constante (dada por la excentricidad).

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Se puede comprobar que en una cnica la directriz asociada a un foco F es precisamente su recta polar. El foco de la cnica es pues cualquier punto del plano para el que la razn de la distancia de un punto cualquiera P de la cnica a F y la distancia de P a la polar de F es constante

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Cnicas no degeneradasCnicas con centroComo hemos visto las cnicas propias (o no degeneradas) con centro son la elipse, dentro de la cual se incluye la circunferencia como caso particular (cuando a11= a22), y la hiprbola. Antes de estudiar cada una de ellas por separado veamos algunas de las caractersticas conjuntas que presentan.Para estas cnicas se definen los ejes de la cnica como un par de dimetros conjugados perpendiculares que son adems ejes de simetra de la cnica. Adems slo existe un par de ejes salvo en el caso de la circunferencia en el que hay infinitos.

Aviso: esta seccin requiere conocimientos de lgebra lineal de la carrera. Si quieres saltarla pincha aqu

A continuacin vemos como se pueden calcular los ejes. La matriz A00 asociada a la cnica C define un endomorfismo de IR2. Los valores propios de este endomorfismo, 1 y 2, tendrn vectores propios asociados, v1 y v2, ortonormales. Como 1 y 2 son las races del polinomio caracterstico de A00, si el discriminante de la ecuacin en l det(A00-I) = 0 es no nulo entonces hay dos soluciones distintas y v1 y v2 quedan determinados de forma nica (salvo cambio de orden y signo) y reciben el nombre de direcciones principales de la cnica. Si el discriminante es nulo entonces l1=l2 y cualquier vector es propio. Se dice entonces que toda direccin es principal. Como v1 y v2 se pueden elegir ahora cualquier par de vectores ortonormales. Si C es el centro de la cnica y v1 y v2 sus direcciones principales entonces las rectas que pasan por el centro y tienen como vectores directores a v1 y v2 son los ejes de la cnica.

La ecuacin reducida de la cnica ser Consideremos la cnica de ecuacin

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Su matriz asociada es

Como det A=-1/4 0 y det A00 = -9/4 < 0, la cnica es una hiprbola. El centro de la hiprbola es la solucin del sistema

es decir el punto (2/9,-10/9). Para calcular los ejes de la hiprbola hallamos en primer lugar los autovalores de A00 o lo que es lo mismo las races del polinomio caracterstico de A00 es decir necesitamos resolver la ecuacin en l det(A00-I)=0, que en este caso queda

Las soluciones son asociados son

. Dos autovectores ortogonales

que sern las direcciones de los ejes de la hiprbola. Teniendo en cuenta que los ejes pasan por el centro ya calculado, sus ecuaciones sern

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Finalmente escribimos la ecuacin reducida de la hiprbola :

La elipse y la circunferencia Un ejemplo real

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La rbita del asteroide ErosLa primera ley de Kepler establece que los planetas describen rbitas elpticas con el sol situado en uno de sus focos. Dicha ley tambin es de aplicacin a otros pequeos cuerpos del sistema solar llamados planetas menores o asteroides. En la animacin se muestra, en azul, la rbita prcticamente circular de la Tierra (excentricidad 0.017) y, en rojo, la rbita elptica (excentricidad 0.223) descrita por el asteroide numerado 433 conocido con el nombre de "Eros". La rbita de Eros est contenida en un plano que forma un ngulo de casi 11 grados con el que contiene a la rbita de la Tierra, tambin llamado plano de la eclptica. Lo que se observa en la animacin es la proyeccin de la elipse descrita por el cometa sobre este ltimo plano. Las esferas azul, roja y amarilla indican slamente la posicin de la Tierra, el asteroide y el Sol, sin ser representativas del tamao de estos objetos. De hecho, ninguno de ellos sera visible en la animacin en el caso de que se representarn a escala. El internauta interesado en los objetos que, como Eros, describen rbitas prximas a la de la Tierra puede consultar el sistema NEODyS, donde tambin encontrar multitud de enlaces a otras pginas relacionadas con el tema.

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La elipse como lugar geomtrico:La elipse es el lugar geomtrico de los puntos del plano para los que la suma de las distancia a dos puntos fijos, llamados focos, es constante.

Supongamos que los focos son F1=(c,0) y F2=(-c,0) y llamemos 2a a la suma de las distancias, entonces los puntos (x,y) de la elipse verifican

simplificando esta ecuacin se llega a

Esta es la ecuacin reducida de la elipse en la que los ejes coordenados son los ejes de simetra de la elipse y el origen de coordenadas es su centro. Encontremos la ecuacin focal de la elipse

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Agrupando trminos en la ltima expresin

En esta ecuacin focal tenemos que el foco es el punto (c,0) y la directriz es la recta paralela al eje X: x=a2/c. La excentricidad es e=c/a que es estrictamente menor que 1 puesto que c=(a2-b2)1/2< a. Una cnica propia es una elipse si la excentricidad es menor que 1: e< 1. Cuando e=0 la elipse es una circunferencia: la excentricidad en la elipse mide, por tanto, lo que sta se aleja de la circularidad. En la circunferencia los dos focos se confunden y son a su vez el centro de la cnica. En la animacin siguiente se ve como vara la elipse al ir disminuyendo su excentricidad.

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La hiprbola Un ejemplo real

La rbita del cometa C/2002 E2 Snyder-MurakamiLos cometas son pequeos cuerpos del sistema solar compuestos fundamentalmente por hielo y polvo. Estos objetos describen rbitas altamente elpticas e incluso parablicas o hiperblicas, lo que hace que en raras ocasiones se acerquen al Sol. En la animacin se representa en rojo la evolucin del cometa C/2002 E2 Snyder-Murakami a lo largo de su rbita hiperblica (excentricidad 1,000468) en un lapso temporal que abarca desde el ao 1998 hasta 2006. En azul est representada la rbita de la Tierra, lo que da una idea de la amplitud del recorrido del cometa. La rbita de C/2002 E2 est contenida en un plano prcticamente perpendicular al que contiene a la rbita de la Tierra, tambin llamado plano de la eclptica Para la animacin se ha elegido una vista que proyecta todos los objetos sobre el plano de la rbita del cometa, lo que hace que la rbita de la Tierra se vea de perfil. El punto amarillo indica la posicin que ocupa el Sol como foco tanto de la rbita casi circular de la Tierra como de la hiprbola descrita por el cometa Snyder-Murakami. Las esferas azul y roja indican slamente la posicin de la Tierra y del cometa, sin ser representativas del tamao de estos objetos. De

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hecho, ni la Tierra ni el cometa seran visibles en la animacin en el caso de que se representasen a escala.

La hiprbola como lugar geomtricoLa hiprbola es el lugar geomtrico de los puntos del plano para los que la diferencia entre las distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante

Supongamos que los focos son F1=(c,0) y F2=(-c,0) y llamemos 2a a la diferencia de las distancias, entonces los puntos (x,y) de la hiprbola verifican (c>a)

operando en esta ecuacin se obtiene

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De igual forma a como se hizo para la elipse, se consigue la ecuacin focal de la hiprbola

pero ahora c2=a2+b2 La excentricidad en la hiprbola es e=c/a >1 Luego las cnicas no degeneradas de excentricidad mayor que 1 son hiprbolas.

Cnicas sin centroLa parbola Un ejemplo real

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La rbita del cometa C/2002 B2 LINEARLos cometas son pequeos cuerpos del sistema solar compuestos fundamentalmente por hielo y polvo. Estos objetos describen rbitas altamente elpticas e incluso parablicas o hiperblicas, lo que hace que en raras ocasiones se acerquen al Sol. En la animacin se representa en rojo la evolucin del cometa C/2002 B2 LINEAR a lo largo de su rbita parablica (excentricidad 1,000) en un lapso temporal que abarca desde el ao 1999 hasta 2004. En azul est representada la rbita de la Tierra, lo que da una idea de la amplitud del recorrido del cometa. La rbita de C/2002 B2 LINEAR est contenida en un plano que forma un ngulo de casi 153 grados con el que contiene a la rbita de la Tierra, tambin llamado plano de la eclptica . Lo que se observa en la animacin es la proyeccin de la parbola descrita por el cometa sobre este ltimo plano. El punto amarillo indica la posicin que ocupa el Sol como foco tanto de la rbita casi circular de la Tierra como de la parbola descrita por C/2002 B2 LINEAR. Las esferas azul y roja indican slamente la posicin de la Tierra y del cometa, sin ser representativas del tamao de estos objetos. De hecho, ni la Tierra ni el cometa seran visibles en la animacin en el caso de que se representasen a escala.

La parbola como lugar geomtricoLa parbola es el lugar geomtrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo (el foco) y una recta dada (la directriz). 70

Supongamos que el foco es F=(p/2,0) con p>0 y la recta directriz es x=-p/2, entonces los puntos (x,y) de la parbola verifican la ecuacin

Operando en esta ecuacin llegamos a

Para este caso la ecuacin focal queda

La excentricidad en la parbola es 1. 71

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