Tema V DIAGONALIZACIÓN POR TRANSFORMACIONES DE … · autovectores de matrices cuadradas, dado que este estudio se puede extender a los endomorfismos representados por éstas. Sea

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TTeemmaa VV

Objetivos

�� Presentar los conceptos de autovalor y autovector, los cuales tienen gran importancia en las aplicaciones prácticas (tanto es así, que podría decirse que los autovalores son los rasgos más importantes de prácticamente cualquier sistema dinámico).

�� Analizar el problema de diagonalización de una matriz cuadrada mediante una transformación de semejnza.

V.1. INTRODUCCIÓN

El estudio de autovalores y autovectores (o valores y vectores propios) de matrices

cuadradas y de endomorfismos es de fundamental importancia en matemática

aplicada.

Debido a que todo endomorfismo se puede representar mediante matrices cuadradas,

y que dada una matriz cuadrada se puede interpretar como un endomorfismo sobre un

espacio vectorial fijada una base, podemos restringir nuestro estudio a autovalores y

autovectores de matrices cuadradas, dado que este estudio se puede extender a los

endomorfismos representados por éstas.

Sea f un endomorfismo definido en un espacio vectorial E de dimensión finita n. Sea A

la matriz cuadrada de orden n que representa este endomorfismo en una base dada BE.

Como se ha visto en el Tema IV, si se considera otra base B’E, el endomorfismo vendrá

representado por una matriz A1 semejante a A: A1 =P-1 A P, siendo P la matriz de paso

DDIIAAGGOONNAALLIIZZAACCIIÓÓNN PPOORR TTRRAANNSSFFOORRMMAACCIIOONNEESS DDEE SSEEMMEEJJAANNZZAA

Diagonalización por transformaciones de semejanza

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de BE a B’E.

De forma esquemática

En este tema se plantea el problema de encontrar (si es posible) una base en la que la

representación del endomorfismo sea lo más simple posible. En términos matriciales el

problema se traduce en encontrar la matriz más sencilla posible que sea semejante a A,

así como la matriz de paso correspondiente.

Es evidente que cuanto más sencilla sea la estructura de una matriz, más fácil será

obtener información acerca del endomorfismo al que representa. Entre las matrices

más sencillas están las diagonales, las cuales nos ofrecen muchas facilidades de cálculo.

Definición. Se dice que la matriz AœEnxn(K ) es diagonalizable (o que el

correspondiente endomorfismo f es diagonalizable) si existe una matriz D que sea

diagonal y semejante a A.

En el proceso de reducción de la matriz A por semejanza a una matriz "más sencilla”,

hay que tener en cuenta si K es el cuerpo R de los números reales o el cuerpo C de

los números complejos, pues la naturaleza del cuerpo de escalares influye

notablemente en el proceso, como se comprobará más adelante.


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V.2. AUTOVALORES Y AUTOVECTORES: DEFINICIÓN, CÁLCULO Y PROPIEDADES

V.2.1. Definición

Ejemplo (introducción a los autovalores y autovectores)

En el espacio vectorial E = V2, se considera el endomorfismo:

2 2:

( ) Simétrico de respecto del eje OX

f V V

f

→→ =x x x

Expresado en forma analítica (mediante los correspondientes vectores coordenados en

la base canónica de V2)

2 2

1 1

2 2

:

( )-

f V V

x xf

x x

→

= → =

x x

Estamos interesados en vectores x y en escalares λ que verifican la igualdad

( )f λ= ⋅x x (1)

Se observa que todos los vectores x de V2 situados sobre el eje OX cumplen f(x) = x, y

todos los vectores x de V2 situados sobre el eje OY satisfacen f(x) = - x.

En nuestro ejemplo los dos únicos escalares que verifican la igualdad (1) son λ=1 y

λ=-1.

Los vectores x correspondientes son respectivamente todos los situados en los ejes

coordenados de abscisas y de ordenadas. ◄

Definición. Sea x A E ( ), ( o )n n∈ ≡K K�R C , matriz asociada a un endomorfismo

: F Ff → en una cierta base de F.

Los autovalores o valores propios de la matriz A (o del endomorfismo f) son los

escalares λ ∈K para los que existe un vector no nulo, x∈ nK , tal que

( Es decir, ( ) )A fλ λ⋅ = ⋅ = ⋅x x x x


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Si λ es autovalor de A, los vectores n ( )∈ ≠Kx x 0 tales que A λ⋅ = ⋅x x , se llaman

autovectores o vectores propios de A (o de f) asociados a λ; estos autovectores (junto

con el vector nulo) forman un subespacio vectorial { }V( ) /n Aλ λ= ∈ ⋅ = ⋅Kx x x

denominado subespacio propio de A asociado al autovalor λ. ◄

Ejemplo

Consideremos el espacio vectorial de los vectores geométricos del plano, V2, y en él

definimos la transformación lineal:

2 2: V V

( ) 2 Simétrico de respecto de la recta r x=y

f

f

→→ = ≡x x x

Se observa fácilmente en la gráfica que:

1) 2 situado en siendo 0 ( ) 2 V r x y f∀ ∈ ≡ = ≠ ⇒ = ⇒x x x x

1 2λ = es autovalor de f, y todos los vectores x situados en la recta r son

autovectores de f asociados a λ1. Al ser λ1 > 0, f(x) tiene el mismo sentido que x

2) 2 situado en siendo 0 ( ) 2 V r y x f∀ ∈ ≡ = − ≠ ⇒ = − ⇒x x x x


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2 2λ = − es autovalor de f y todos los vectores x situados sobre la recta y=-x son

autovectores de f asociados a λ2. Como λ2 < 0 , f(x) tiene sentido opuesto a x.

En ambos casos i 2 1λ = > , por lo que se dice que f dilata x. ◄

Una vez realizados algunos ejemplos geométricos de cálculo de autovalores y

autovectores, procederemos a presentar su cálculo analítico.

V.2.2. Cálculo de autovalores y autovectores

La ecuación Ax=λx que sirve para definir los autovalores y autovectores se puede

escribir como (A-λΙ)x = 0, con lo que los autovectores, si existen , son los vectores

solución de dicho sistema homogéneo. Sabemos que este sistema tiene soluciones

distintas de la trivial nula si y sólo si la matriz (A-λΙ) es singular, lo cual ocurre si y sólo

si el determinante de A-λΙ es igual a cero: |A-λΙ| = 0.

Así, podemos primero encontrar los autovalores de A, es decir aquellos valores λœK

que hacen |A-λΙ| = 0 y, a continuación, los subespacios propios V(λ), para lo que deberá

resolverse el sistema Ax = λx, o equivalentemente (A-λΙ)x = 0, para cada valor propio

λ.

Estudiemos previamente la naturaleza de la expresión |A-λΙ|.

Definición. Se llama polinomio característico de una matriz cuadrada A, de orden n,

definida sobre K , al polinomio pA(λ)=|A-λΙ|, que es un polinomio con coeficientes en

K y de grado n en la variable λ. La ecuación pA(λ)=0 se llama ecuación característica

de A.

Podemos decir por lo tanto que λ∈K (ℝ o ℂ) es autovalor de A∈Mnxn(K) si y sólo si es

raíz del polinomio característico (o equivalentemente, solución de la ecuación

característica) y está en K . Por el Teorema Fundamental del Álgebra, todo polinomio

de orden n posee exactamente n raíces (entre reales y complejas). Por lo tanto, si K es

el cuerpo ℂ de los números complejos entonces A posee exactamente n autovalores,

siendo n el orden de la matriz. Por otro lado, si K es el cuerpo R de los números


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reales, el polinomio característico de A tendrá también n raíces, pero quizás algunas

sean complejas, por lo que decimos que A posee a lo sumo n autovalores (en ambos

casos considerando las multiplicidades de las soluciones de la ecuación característica).

Ejemplo

0 -1A=

1 0

Su polinomio característico es 2Ap ( ) = + 1λ λ , que no se anula para ningún valor real.

Luego, la matriz A considerada una matriz real, no tiene valores propios. Pero si se

considera A como una matriz sobre el cuerpo de los números complejos, sus valores

propios son +i y –i. ◄

Puede demostrarse que la expresión general del polinomio característico de una matriz

A∈Mnxn(K) es la siguiente:

-1( ) ( 1) ( ) ( 1)n n n nAp A I Traza A Aλ λ λ λ = − = − − + + − = ⋯

1 -1( 1) ( 1) ( )n n n nTraza A Aλ λ+= − ⋅ + − + +⋯ (1)

donde se observa que el coeficiente de λn-1 coincide con la traza de A (afectada del

signo correspondiente) y el término independiente con el valor del determinante de A.

Además, puede también demostrarse que:

1 2 nTraza(A)=λ λ λ+ + +⋯

1 2 nA λ λ λ= ⋯

Demostración (opcional).

Si A tiene n autovalores 1 2( , , , ) nλ λ λ⋯ (no tienen por qué ser distintos) podemos

factoriazar el polinomio característico de la siguiente manera:

1 2( ) (-1) ( )( ) ( )nA np λ λ λ λ λ λ λ= − − − =⋯


Página 157

-11 2 1 2( 1) ( ) ( 1)n n n n

n nλ λ λ λ λ λ λ λ = − − + + + + + − ⋯ ⋯ ⋯ (2)

Esta fórmula debe coincidir con la expresión (1) vista anteriormente

n n n-1 nAp ( ) ( 1) Traza(A) ( 1) Aλ λ λ = − − + + − ⋯

por lo que, comparando coeficientes en (1) y (2), en concreto el coeficiente de λn-1 y el

término independiente, se deducen las propiedades anteriores.

1 2Traza(A)= nλ λ λ+ + +⋯

1 2A nλ λ λ= ⋯ ■

Ejemplo

Si en el último ejemplo geométrico del apartado anterior procedemos analíticamente,

veremos que se obtiene el mismo resultado. La expresión general de la transformación

lineal del ejemplo anterior, considerando en V2 la base canónica B, es:

2 2

1 2

2 1

: V V

x 2x( )=

x 2x

f

f

→

= →

z z

Por tanto la expresión matricial de f en la base canónica B, es:


Página 158

1 1

2 2

y x0 2

y 2 0 x

=

luego su matriz asociada en la base B de V2 es:

0 2A

2 0

=

Los autovalores de A (o de f) son las soluciones de la ecuación característica de A:

21 2

2( ) 0 4 0 2 2

2Ap A Iλ

λ λ λ λ λλ

−= − = = = − = ⇔ = ∧ = −

−

Los subespacios propios asociados son, respectivamente:

1 1 11 2 1

2 2 2

( )= = /x x x

V V Ax x x

λ λ ∈ = = x

1 1 1 12 1 2

2 2 2 2

0 -2 2 0/( - ) /

0 2 -2 0

x x x xV A I V

x x x xλ

= = ∈ = = = ∈ = = x x

12 1 2 1 2

2

/- 2 2 0 x

V x x x xx

= = ∈ + = ⇔ = x

{ }11 2 1 2

1

( )= / V / está situado sobre x

V V x rx

λ = ∈ ∈ = ∈ x x x R

1 1 12 2 2

2 2 2

( )= = /x x x

V V Ax x x

λ λ ∈ = = x

1 1 1 12 2 2

2 2 2 2

0 2 2 0/( - ) /

0 2 2 0

x x x xV A I V

x x x xλ

= = ∈ = = = ∈ = = x x


Página 159

12 1 2 1 2

2

/ 2 2 0 x

V x x x xx

= = ∈ + = ⇔ = − x

{ }12 2 1 2

1

( )= / V / está situado sobre '-

xV V x r

xλ

= = ∈ ∈ = ∈ x x xR

Obsérvese que los autovalores de A verifican las dos siguientes propiedades

enunciadas anteriormente

Traza(A) = 0 = 1 2λ λ+

Det(A) = -4 = 1 2λ λ⋅ ◄

Los autovalores pueden ser repetidos o no, lo que da lugar a las siguientes

definiciones.

Definición. Se llama multiplicidad algebraica, mi, de un autovalor λi a la multiplicidad

de λi como raíz de la ecuación característica de la matriz A, es decir, el número de veces

que se repite λi como raíz de dicha ecuación.

Ejemplo

Sea la matriz

7 0 0 0 0

0 7 1 0 0

A 0 0 4 2 0

0 0 0 4 0

0 0 0 0 4

=

Fácilmente se obtiene que el polinomio característico de A es 2 3Ap ( ) ( 7) ( 4)λ λ λ= − ⋅ − .

Luego, los valores propios de A son:

λ1=7, de multiplicidad algebraica m1=2

λ2=4, de multiplicidad algebraica m2=3 ◄

Definición. Se llama multiplicidad geométrica, µi, de un autovalor λi, a la dimensión del


Página 160

subespacio propio asociado a él, dim(V(λi)).

Puede demostrarse que µ≤ ≤i i1 m .

Además, puesto que las ecuaciones cartesianas del subespacio V(λi) vienen dadas por

el sistema ( )- iA Iλ = 0x , y teniendo en cuenta que la dimensión de un subespacio S

de nK es

dim(S)=n-nº de ecs. cartesianas linealmente independientes

se cumple que

( )dim ( ) - - i i iV n Rango A Iµ λ λ= =

Ejemplo

Calcular los valores propios y vectores propios de la matriz

2 2 1

1 3 1

1 2 2

A

=

.

Solución:

El polinomio característico de A es:

3 2 2

2 2 1

( ) - 1 3 1 7 11 5 ( 1) ( 5)

1 2 2Ap A I

λλ λ λ λ λ λ λ λ

λ

−= = − = − + − + = − − −

−

Por tanto, los valores propios de A son:

λ1=1 (raíz doble o con multiplicidad algebraica m1=2) y

λ2=5 (raíz simple, m2=1)

Calculemos a continuación los vectores propios.

Para λ1=1 los vectores propios satisfacen la ecuación matricial ( ) 0A I− =x , es decir


Página 161

( )1 2 31

1 2 1 2 3 1 2 3

3 1 2 3

2 01 2 1 0

1 0 1 2 1 0 2 0 2

1 2 1 0 2 0

x x xx

A I x x x x x x x

x x x x

λ+ + =

= ⇒ − = ⇒ = ⇒ + + = ⇒ = − − + + =

x

1 dim (1) ( ) 3 1 2V n Rango A Iµ = = − − = − =

Por tanto el subespacio propio asociado a λ1=1 es:

2 3

32 2 3

3

-2 -

V(1) / , ,

x x

x x x

x

= ∈ = ∀ ∈

x xK K

siendo una base de vectores propios de V(1) la formada por los vectores

2 1

1 , 0

0 1

− −

es decir , µ1=Dim(V(λ1))=2.

Para λ2=5, los vectores propios son las soluciones del sistema ( )A 5I =0− x , es decir:

( )1 2 31

2 12 2 1 2 3

3 13 1 2 3

3 2 03 2 1 0

5 5 0 1 2 1 0 2 0

1 2 3 0 2 3 0

x x xxx x

A I x x x xx x

x x x x

λ− + + =−

= = ⇒ − = ⇒ − = ⇒ − + = ⇒ = − + − =

x

de donde el subespacio propio asociado a λ2=5 es:

13

1 1

1

(5) / ,

x

V x x

x

= ∈ = ∀ ∈

x xK K

Luego la base de vectores propios del subespacio V(5) está formada por el vector


Página 162

1

1

1

y µ2=Dim(V(λ2))=1 ◄

Veamos a continuación algunas propiedades relacionadas con los autovalores y los

autovectores.

V.2.3. Propiedades

Proposición. Un autovector de una matriz cuadrada está asociado a un único

autovalor.

Demostración. Sea n∈x K , y distinto del vector nulo, autovector de x nM ( )nA∈ K

asociado al autovalor λ∈K , es decir,

A λ=x x

Supongamos que x también está asociado al autovalor µ∈K . Entonces

A µ=x x

Restando ambas ecuaciones se obtiene que

( )λ µ− =x 0

como ≠x 0 , necesariamente λ µ= y de ahí que el autovalor es único. ■

Proposición. Si A es una matriz cuadrada de orden n definida sobre K , triangular

(superior o inferior) entonces sus autovalores son los elementos de la diagonal

principal.

Demostración. Sea A una matriz triangular superior:

11 12 1

22 20

0 0

n

n

nn

a a a

a aA

a

=

⋯

⋯

⋯ ⋯ ⋯ ⋯

⋯


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Para hallar sus autovalores se plantea su ecuación característica (que al tratarse del

determinante de una matriz triangular es igual al producto de los elementos de la

diagonal principal):

11 220 ( )( ) ( )nnA I a a aλ λ λ λ− = = − − −⋯

siendo las soluciones de esta ecuación 1 11 2 22, , , n nna a aλ λ λ= = =⋯ ■

Proposición. Los autovectores de una matriz cuadrada de orden n asociados a

autovalores distintos, son linealmente independientes.

Opcional: Consecuencia de esta proposición es que los subespacios propios asociados

a autovalores distintos son disjuntos, es decir, { }( ) ( ) 0 , i j i jV Vλ λ λ λ∩ = ∀ ≠ siendo

i jyλ λ autovalores distintos de A.

Proposición. Las matrices semejantes tienen el mismo polinomio característico y los

mismos autovalores.

Demostración. Si existe una matriz P regular tal que -1B P A P= ⋅ ⋅ , se cumple que:

-1 -1 -1 -1( )B I P A P P P P A I P P A I P A Iλ λ λ λ λ− = ⋅ ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅ = − = −

Es decir, los polinomios característicos de A y B son iguales. Dado que los autovalores

son las raíces de la ecuación característica, queda demostrada la proposición. ■

Una clase particular de matrices la constituyen aquéllas que son semejantes a una

matriz diagonal, en cuyo caso se dice que son diagonalizables. A continuación vamos a

caracterizar las matrices que son diagonalizables por semejanza.

V.3. DIAGONALIZACIÓN POR SEMEJANZA

Proposición. Sea x M ( )n nA∈ K . Una condición necesaria de diagonalización de la

matriz A es que A posea exactamente n autovalores.

Demostración (opcional). Si A es diagonalizable entonces es semejante a una matriz

diagonal D. Los autovalores de A y de D coinciden, por semejanza. Siendo los


Página 164

autovalores de D en total n (los elementos de su diagonal principal) también A tendrá

en total n autovalores (los mismos que D). ■

Teorema (una condición necesaria y suficiente de diagonalización). Una matriz

x M ( )n nA∈ K es diagonalizable si y sólo si tiene n autovectores linealmente

independientes.

Observaciones:

- Si A es diagonalizable, la matriz diagonal semejante a A es

1

2

n

0 0

0 0D =

0 0

λλ

λ

⋯

⋯

⋯ ⋯ ⋯ ⋯

⋯

, siendo 1 2 n , , , λ λ λ⋯ los autovalores de A (distintos o

no). La matriz P que define la semejanza es la que tiene por columnas los vectores de

las bases de los respectivos subespacios propios de A.

- Cuando A es diagonalizable el conjunto de n autovectores linealmente

independientes formauna base de nK , con lo cual el teorema anterior se puede

enunciar de la siguiente manera: Una matriz x M ( )n nA∈ K es diagonalizable si y solo si

existe una base de nK formada por autovectores de A.

Demostración (opcional).

)⇐ Sean los autovectores de A linealmente independientes:

111 12

21 22 2

1 2

; ; ;

n

nn

n n nn

xx x

x x x

x x x

= = =

⋯⋯⋮ ⋮ ⋮

1 2x x x

Entonces se verifica : i i = 1, 2, , A nλ= ⋯i ix x ; con lo que las n igualdades se

pueden escribir matricialmente de la forma:


Página 165

( ) ( )11 12 1

21 22 21 2

1 2

= =

n

nn n

n n nn

x x x

x x xA A

x x x

λ λ λ

=

⋯

⋯⋯ ⋯

⋯ ⋯ ⋯ ⋯

⋯

1 2 n 1 2x x x x x x

( )1 11 2 12 1 1

1 21 2 22 2 2

1 1 2 2

0 0

0 0=

0 0

n n

n n

n n n nn n

x x x

x x x

x x x

λ λ λ λλ λ λ λ

λ λ λ λ

=

⋯ ⋯

⋯ ⋯⋯

⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯

⋯ ⋯

1 2 nx x x

Lo cual se expresa abreviadamente de la forma AP=PD, siendo P la matriz cuyas

columnas son los autovectores de A, y D la matriz diagonal formada por los

autovalores. Claramente P es regular ya que sus columnas son autovectores de A

linealmente independientes.

Luego -1 D P A P= ⋅ ⋅ es decir A es diagonalizable.

)⇒ Recíprocamente, supongamos que A es diagonalizable.

Entonces se puede encontrar una matriz regular P tal que -1 P A P D⋅ ⋅ = siendo D

una matriz diagonal. O equivalentemente A P=P D (1)

Si se escribe P por columnas como ( ) = P ⋯1 2 nx x x se deduce de (1) que

i i = 1, 2, , A nλ= ⋯i ix x , donde iλ es el i-ésimo elemento de la diagonal

principal de D. Luego las n columnas de P son los n autovectores de A, que serán

linealmente independientes ya que P es regular. ■

Ejemplo

Diagonalizar la matriz

3 -1 -2

A( ) = 2 0 -2

2 -1 -1

R ^

Solución.

Comenzamos calculando los valores propios de la matriz A, así como los

correspondientes subespacios propios. El polinomio característico de la matriz A es


Página 166

2A

3- -1 -2

p ( ) = A I = 2 - -2 ( 1)

2 -1 -1-

λλ λ λ λ λ

λ− = − ⋅ −

Por tanto, las raíces de la ecuación característica son 1 1λ = con multiplicidad algebraica

m1=2 y 2 0λ = con multiplicidad algebraica m2=1. Calcularemos a continuación los

vectores propios.

Para 1 1λ = , los vectores propios satisfacen la ecuación matricial ( - ) = A I 0x , es

decir

1 2 31

2 1 2 3 2 1 3

3 1 2 3

2 2 02 1 2 0

2 1 2 0 2 2 0 2 2

2 1 2 0 2 2 0

x x xx

x x x x x x x

x x x x

− − =− − − − = ⇒ − − = ⇒ = − − − − − =

i

Por tanto, el subespacio propio asociado a 1 1λ = es:

13

1 3 1 3

3

(1) / 2 2 , ,

x

V x x x x

x

= ∈ = − ∀ ∈

x xR R

Siendo una base de V(1) la formada por los vectores

1 0

2 , -2

0 1

.

Para 2 0λ = , los vectores propios son las soluciones del sistema = A 0x , es decir

1 2 312 1

2 1 33 1

3 1 2 3

3 2 03 1 2 0

2 0 2 0 2 2 0

2 1 1 0 2 0

x x xxx x

x x xx x

x x x x

− − =− − = − ⋅ = ⇒ − = ⇒ = − − − − =

De donde el subespacio propio asociado a 2 0λ = es

13

1 1

1

(0) / ,

x

V x x

x

= ∈ = ∀ ∈

x xR R


Página 167

Luego una base de vectores propios del subespacio V(0) es

1

1

1

.

Ya se ha visto que los autovectores de una matriz cuadrada de orden n asociados a

autovalores distintos son linealmente independientes. Luego, los vectores

1 0 1

2 , -2 , 1

0 1 1

= = =

1 2 3x x x

son linealmente independientes. Por tanto existe una base de 3R formada por

autovectores de A, por lo que la matriz 3 x 3A M ( ) ∈ R es diagonalizable:

-1 y / D P D P A P∃ = ⋅ ⋅ :

1 0 1

P 2 2 1

0 1 1

= −

y

1 0 0

D 0 1 0

0 0 0

=

El orden de las columnas de P está en función del orden de colocación de los valores

propios en D, ya que se tiene que cumplir que ( ) ( )A D⋅ = ⋅1 2 3 1 2 3x x x x x x

Notas:

a) Según puede observarse en este ejercicio, dada la matriz diagonal D, la matriz P

formada por vectores propios no es única.

b) Al ser 0λ = valor propio de A, { }(0) Ker 0V f= ≠ , luego el endomorfismo f

asociado a la matriz A no es inyectivo, y por tanto (por ser endomorfismo) tampoco es

sobreyectivo.

c) Se puede comprobar en este ejemplo que, efectivamente, la multiplicidad

geométrica iµ de un autovalor iλ nunca es mayor que la multiplicidad algebraica de

dicho autovalor, es decir i imµ ≤ . ◄

Por último, se va a ver otra caracterización de las matrices diagonalizables en función


Página 168

de la multiplicidad de las raíces de la ecuación característica.

Teorema. Sea x M ( )n nA∈ K con n autovalores repetidos o no. A es diagonalizable si y

sólo si la multiplicidad algebraica de cada autovalor λ ∈K de A coincide con la

multiplicidad geométrica de dicho autovalor λ (es decir , con la dimensión del

subespacio propio correspondiente) i im iµ= ∀

Demostración. Sean 1 2, , , sλ λ λ⋯ , los distintos autovalores de A, con multiplicidades

algebraicas 1 2, , , sm m m⋯ respectivamente, tales que: 1 2 sm m m n+ + + =⋯ .

Hemos visto que la multiplicidad geométrica de cada autovalor nunca puede ser mayor

que la algebraica, es decir:

1 1 2 2, , , s sµ λ µ λ µ λ≤ ≤ ≤⋯

por lo que

1 2 s nµ µ µ+ + + ≤⋯

La igualdad se obtiene si y sólo si

1, 2, , i im i sµ = = ⋯

Lo que equivale a la diagonalización de A, ya que en este caso y solo en él se logra una

base de nK formada por autovectores de A, uniendo bases de los subespacios propios

correspondientes. ■

Ejemplo

En el ejemplo resuelto anteriormente, la matriz

3 -1 -2

A( ) = 2 0 -2

2 -1 -1

R -, tenía los

siguientes valores propios:

1 1λ = , con multiplicidad algebraica 1 2m = y geométrica 1 2µ = ; y


Página 169

2 0λ = , de multiplicidad algebraica 2 1m = y geométrica 2 1µ = .

Por tanto, 1 1 2m µ= = y 2 2 1m µ= = , con lo cual A es diagonalizable. ◄

Como corolario a este Teorema se establece la condición suficiente de diagonalización.

Corolario. Si una matriz x M ( )n nA∈ K tiene n autovalores distintos, entonces es

diagonalizable..

V.4. DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES SIMÉTRICAS REALES POR SEMEJANZA ORTOGONAL

Las matrices simétricas reales aparecen en numerosos problemas en relación con el

estudio de la dinámica de sistemas físicos. Así por ejemplo, cantidades como la energía

cinética y la potencial se representan a través de ellas.

Teorema. Toda matriz simétrica real de orden n tiene n autovalores (es decir, cumple la

condición necesaria de diagonalización).

Teorema. Autovectores asociados a autovalores distintos de una matriz simétrica real

son ortogonales.

Definición. Se dice que una matriz A es diagonalizable ortogonalmente si es semejante

a una matriz diagonal por medio de una matriz ortogonal; es decir, si existe una matriz

P ortogonal tal que -1tP AP P AP D= = .

Teorema. Toda matriz simétrica real puede diagonalizarse ortogonalmente.

Ejemplo

Diagonalizar la matriz simétrica real

0 1 -1

1 0 1

-1 1 0

A

=

.

Solución.


Página 170

El polinomio característico es 2

1 1

( ) 1 1 (1 ) (2 )

1 1Ap A I

λλ λ λ λ λ

λ

− −= − = − = − +

− −

Por tanto, los valores propios de A son 1 1λ = con multiplicidad algebraica 1 2m = y

2 2λ = − .

Para 1 1λ = , los vectores propios son las soluciones del sistema ( )A I− = 0x , es decir

1

2 1 2 3

3

1 1 1 0

1 1 1 0 0

1 1 1 0

x

x x x x

x

− − − ⋅ = ⇔ − + =

− −

Por tanto el subespacio propio asociado a 1 1λ = es:

13

1 3 1 3

3

(1) / , ,

x

V x x x x

x

= ∈ = + ∈

x xR R

Siendo una base de V(1):

1 0

1 1

0 1

= =

1 2u u

1 1dim V( ) 2µ λ= = . Se cumple que 1 1mµ = , lo que en matrices simétricas reales está

asegurado, ya que son siempre diagonalizables.

Para 2 2λ = − , los vectores propios son las soluciones del sistema ( )2A I+ = 0x , es

decir

12 1

23 1

3

2 1 1 0

1 2 1 0

1 1 2 0

xx x

xx x

x

− = = ⇔ = −

i

De donde el subespacio propio asociado a 2 2λ = − es:


Página 171

13

1 1

1

( 2) / ,

x

V x x

x

− = ∈ = ∈

x xR R

Luego una base del subespacio propio V(-2) es

1

1

1

=

3u y 2 2dim V( ) 1µ λ= =

según lo previsto.

Así { }B = 1 2 3u u u es una base de 3R de autovectores de A. Para construir la

matriz P ortogonal tal que tP AP D= sea diagonal, necesitamos una base ortonormal

de autovectores. Como { },1 2u u es ortogonal al vector 3u , puesto que son

autovectores asociados autovalores distintos de la matriz simétrica A, ortogonalizamos

sólo { },1 2u u mediante el método de Gram-Schmidt.

1

1

0

= =

1 1v u

0 1

+ 1 1 1

1 0 1

λλ λ λ

= = + = +

2 2 1v u v

10 1 2 0

2λ λ< ⋅ >= ⇒< ⋅ >= + = ⇒ = −1 2 1 2v v v v luego

1

21

21

− =

2v

El conjunto { },1 2v v es una base ortogonal de autovectores del subespacio propio

V(1).

Normalizamos ahora la base ortogonal de autovectores { }, ,1 2 3v v u


Página 172

1

21 1

20

= =

1 11

w vv

, ,

1

61 1

62

6

− = =

2 22

w vv

,

1

31 1

31

3

= = −

3 33

w uu

Obteniendo así la base de autovectores ortonormales { }B' = 1 2 3w w w

La matriz ortogonal es ( )

1 1 1

2 6 31 1 1

32 62 1

06 3

P

− = = −

1 2 3w w w .

Se puede comprobar que 1 tD P AP P AP−= = , siendo

1 0 0

0 1 0

0 0 2

D

= −

. ◄


Página 173

Tema V. Ejercicios

V.1. Calcular los valores y vectores propios de las siguientes matrices:

a) 3 2

A( )1 1

= −

C

b) 3 2

A( )2 3

=

C

c)

0 2 1

A( ) 0 0 3

0 0 0

=

R

d)

1 2 5

A( ) 0 6 0

2 7 1

− = −

R

V.2. Estudiar la diagonalización de las matrices del problema anterior.

V.3. Hallar una matriz diagonal semejante a A, así como la matriz P de semejanza, siendo A las matrices del problema 1.

V.4. Estudiar la diagonalización de las siguientes matrices hallando, en su caso, las matrices D y P / -1D P A P= ⋅ ⋅

a)

1 0 0

A 1 0 1

1 1 0

= − −

b)

0 3 1

B 2 1 1

2 1 1

= − − − − −

V.5. Dada la matriz

1 0 0 0

1 0 0

1 0

1

aA

b d

c e f

− − =

discutir las condiciones que deben

cumplir a, b, c, d, e y f para que la matriz A sea diagonaizable.


Página 174

V.6. Sea la matriz siguiente:

0

0 1 0

0 0 2

m

M

α =

donde α y , 0m m∈ ≠R

Encontrar los valores y vectores propios de M. ¿ En qué casos es diagonalizable?

V.7. Dada la matriz

-1

0

1

a d

B b e

c f

=

hallar a, b, c, d, e, f, sabiendo que

1 2 3

0 1 2

1 , 2 , 0

1 0 1

v v v

− = = = −

son vectores propios de B.


Página 175

Tema V. Soluciones Ej.

V.1.

a) 1 21 ( ) 2 ( )

2 22 , ; 2 ,

1 1V Vi B i Bi iλ λλ λ

= + = = − = − + − −

b) 1 21 ( ) 2 ( )

1 25, ; 1,

1 1V VB Bλ λλ λ −

= = = =

c) 11 ( )

1

0 (triple) , B 0

0V λλ

= =

d) 11 ( )

1

6, B 1

1V λλ

= =

V.2.

a) Diagonalizable

b) Diagonalizable

c) No diagonalizable

d) No diagonalizable

V.3.

a) 2 0 2 2

; 0 2 - 1 1

iD P

i i i

+ = = − + − −

b) 5 0 1 2

; 0 1 1 1

D P−

= =

V.4.

a)

1 0 0 1 1 0

0 1 0 ; 1 0 1

0 0 1 0 1 1

D P

= = −

b) No diagonalizable.


Página 176

V.5. a = 0, f = 0 ∀ b, c, d, e

V.6. Valores propios 1 2 3 ; 1 ; 2 λ α λ λ= = =

Si 1α = M no es diagonalizable. En cualquier otro caso sí lo es.

V.7. 5

; 1 ; 2 ; 1 ; 2 ; 12

a b c d e f= = = − = − = = −

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Tema V DIAGONALIZACIÓN POR TRANSFORMACIONES DE … · autovectores de matrices cuadradas, dado que este estudio se puede extender a los endomorfismos representados por éstas. Sea