Diagonalización de Endomorfismos y Matrices cuadradas. · Diagonalización de Endomorfismos y Matrices cuadradas. Diagon alización. Problemas resueltos. XB Apuntes Diagonalización

Tema : Diagonalización. Problemas Resueltos1

Diagonalización de Endomorfismos

y Matrices cuadradas.

Diagonalización.

Problemas resueltos.

XB

Apuntes

Diagonalización

Apuntes Ximo Beneyto


PROBLEMAS RESUELTOS1. Sea f 0000 End(úúúú3) / f ( x, y, z ) = ( 2x - 2y + 3z , x + y + z, x + 3y - z)

Estudiar si es o no diagonalizable. En caso afirmativo, obtener una base B, respecto de

la cual la matriz asociada a f sea DIAGONAL. Halla la Matriz P / P-1 AAAA A AAAA P sea una matriz

DIAGONAL y comprobar el resultado.

< Nos vamos a referir indistintamente a los elementos del Endomorfismo f o a los de la

matriz asociada A.

Empecemos calculando los elementos necesarios para el análisis de la

DIAGONALIZACIÓN.

< Matriz asociada en base canónica de ú3

6 POLINOMIO CARACTERÍSTICO :

< Polinomio característico : Pf (8) = -83 + 282 + 58 - 6

[ Recordemos que el polinomio característico de un Endomorfismo es un invariante del

mismo, es decir, es independiente de la BASE considerada en el Espacio Vectorial. ]

6 VALORES PROPIOS:

Sea Pf (8) = 0 Y -83 + 282 + 58 - 6 = 0 cuyas raíces, con la multiplicidad correspondiente

son:

XB

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Diagonalización



[Como todos los valores propios son simples, sabemos que el ENDOMORFISMO será

DIAGONALIZABLE ]

6 VECTORES PROPIOS

8888 = 1

œ ( x,y,z ) 0 E(8=1) Y ( x, y, z) = ( -z, z, z ) = z ( -1, 1, 1 )

Base E(8888=1) = { (-1,1,1) / z 0000 R3 }

dim E(8888=1) = 1

E(8888=1) = { (-z,z,z) / z 0000 R3 }

Conjunto de vectores propios asociados a 8888=1 { (-z,z,z) / z 0000 ú3} - { (0,0,0) }

< [ Podríamos haber tomado cualquier otro vector, sin más que haber asignado a z cualquier

valor z … 0 ]

< [ Observa la convenienecia de tomar solamente las ecuaciones independientes del Sistema

Homogéneo, ya que, al fin y al cabo, es lo que estamos resolviendo ].

8888 = 3

XB

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Diagonalización



E(8888=3) = { (z,z,z) / z 0 ú }

Base E(8888=3) = { (1,1,1) }

dim E(8888=3) = 1

Conjunto de vectores propios asociados a 8888=3 { (-z,z,z) / z 0 ú / z … 0 }

[ Observa que ahora lo indico de otra manera, aunque el hecho es el mismo, quitar el vector

(0,0,0) ]

8888 = -2

œ ( x, y, z) 0 E (8 = -2) Y ( x, y, z) = ( 11y, y, -14y ) = y ( 11, 1, -14 )

Base E(8888 = -2) = { (11, 1, -14) }

dim E(8888 = -2) = 1

Conjunto de vectores propios asociados a 8888=-2 { (11y ,y, -14y) / y 0000 ú, y … 0 }

TABLA DE VALORES PROPIOS / VECTORES PROPIOS

81 = 1 " A (-1, 1, 1) " … 0

82 = 3 $ A (1, 1, 1) $ … 0

83 = -2 ( A (11, 1, -14) ( … 0

DIAGONALIZABILIDAD

CRITERIO 1 Ya que, para cada valor propio, hemos encontrado tantos vectores

Linealmente Independientes como su multiplicidad, el Endomorfismo f es

DIAGONALIZABLE.

XB

Apuntes

Diagonalización



dim E(8888= 1) = 1 = p1

dim E(8888= 3) = 1 = p2 por lo tanto el Endomorfismo f es DIAGONALIZABLE

dim E(8888= -2) = 1 = p3

CRITERIO 2

Como para cada valor propio, se cumple el CRITERIO, se deduce que A es DIAGONALIZABLE. [

El Endomorfismo f es DIAGONALIZABLE. ]

Naturalmente en la práctica

bastará con aplicar uno de los dos

criterios.

XB

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Diagonalización



Ya que vectores propios asociados a valores propios distintos son Linealmente Independientes, no

es necesario estudiar la Dependencia Lineal para afirmar que

es una base de ú3 .

[ D no es única, puesto que si hubiéramos propuesto un orden diferente en los vectores de la base,

los valores propios aparecerían en la diagonal principal en un orden distinto ]

MATRIZ DIAGONAL

MATRICIAL Construyamos la matriz P cuyas columnas son los vectores de la base anterior

en el orden dado.

Vamos a comprobar que D = P-1 A A A P

XB

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Diagonalización



[ La matriz P, así construida, es la matriz del cambio de base, en ú3 , de la Base Canónica a

la nueva base B. ].

[ En algunos libros, la relación de semejanza se plantea como D = P A A A P-1 , en cuyo caso,

la matriz hipotética P seria la INVERSA de la matriz obtenida en el ejercicio. ]

NOTAS <Los errores más frecuentes en la resolución del problema se cometen en :

* Cálculo del POLINOMIO CARACTERÍSTICO

* Cálculo de los VECTORES PROPIOS

* Cálculo de P-1

¡¡ Lleva cuidado !!

<Todos los elementos obtenidos en las bases de vectores no son únicos !!!.

<Como D = P-1 A A A P Y P A D = A A P

Es una fórmula de comprobación rápida que el problema está bién hecho y no

hay que hallar la matriz INVERSA.

<En la matriz DIAGONAL, la diagonal principal está formada por los valores

propios.

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2.Sea f 0000 End (úúúú3) del cual sabemos sus valores propios 88881 = 2 , 88882 = 3 , 88883 = 4 y una base de

vectores propios B = { }, cada asociado a cada uno de los 8888i = 1, 2, 3. Hallar la

matriz asociada en los siguientes casos:

2.1. base B = { }

2.2. base B' = { }

2.3. base B'' = { }

2.1. Como :

2.2. Como :

XB

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Diagonalización



2.3. Como :

Es un problema para dejar muy claras dos ideas :

* El concepto de componentes ÚNICAS de un vector en una base

* El concepto de matriz asociada a una aplicación lineal

########

3.Sea f 0000 End (úúúú3) cuya matriz asociada en base canónica es , comprobar

que f es DIAGONALIZABLE.

6 Varios caminos podríamos tomar para resolver el problema, no obstante, buscando una

cierta coherencia con los problemas desarrollados hasta ahora, seguiremos un proceso usual

de diagonalización, estudiando con mayor detalle los valores propios múltiples, si los hay.


y lo dejamos así, sin desarrollar

PA (8) = ( 2 - 8 )2 A ( 3 - 8 )

6 VALORES PROPIOS:

6 VECTORES PROPIOS:

XB

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Diagonalización



œ ( x, y, z ) 0 E (8 = 2) Y ( x, y, z ) = ( x, 0, 0 ) = x A (1, 0, 0)

Base E(8888=2) = { (1, 0, 0) }

dim E(8888 = 2) = 1

Conjunto de vectores asociados a 8 = 2 = { x ( 1,0,0) / x … 0 }

Observamos que no es necesario continuar, pues la multiplicidad del valor propio es p1 = 2 y

la dimensión del subespacio invariante asociado a 8 = 2 es de 1.

dim ( E (8=2)) … p1 Y f no es DIAGONALIZABLE, tal como se quería demostrar

[ En el tema siguiente daremos salida a esta situación mediante la forma canónica de Jordan

]

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4.- Estudiar, según valores de a, b 0000 úúúú , la DIAGONALLIZABILIDAD del Endomorfismo f

cuya matriz asociada en la base es

< Calculemos en primer lugar los valores propios de f :

que, por tanto, serán sus valores propios.

Discutamos, pues, estos valores propios, según los diferentes valores de "b".

i ) b … -1, 3

Si b … -1, 3 Y Los valores propios son todos simples y el endomorfismo es diagonalizable

XB

Apuntes

Diagonalización



ii ) b = -1

La tabla de valores propios con su correspondiente multiplicidad, siendo b = -1 será :

Apliquemos en ambos casos el 2º criterio de DIAGONALIZABILIDAD :

81 = 3 Rang ( A - 3I ) = Rang = 2 œ a 0 ú

( Pués es un MENOR no nulo de 2º orden )

n - p1 = 3 - 1 = 2

82 = -1 Rang ( A + I ) = Rang pero el Rango de A + I depende del

menor = 4a. si 4a = 0 Y a = 0

n - p2 = 3 - 2 = 1

Si a = 0, f es DIAGONALIZABLE

Si a … 0, f NO es DIAGONALIZABLE

iii ) b = 3

Ahora los valores propios con su multiplicidad correspondiente, serán :

Aplicando de nuevo el 2º criterio de DIAGONALIZABILIDAD :

81 = 3 Rang ( A - 3I ) = Rang = 2 œ a 0 ú

XB

Apuntes

Diagonalización



( es un MENOR no nulo de 2º orden )

n - p1 = 3 - 2 = 1

Y f NO es DIAGONALIZABLE

Resumiendo :

si b … -1, 3 y œ a 0 ú Y f es DIAGONALIZABLE

si b = -1 y a = 0 Y f es DIAGONALIZABLE

si b = -1 y a … 0 Y f NO es DIAGONALIZABLE

si b = 3 y œ a 0 ú Y f NO es DIAGONALIZABLE

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5. Estudiar si la matriz es DIAGONALIZABLE. En caso afirmativo, hallar

su potencia n.ésima empleando los elementos de la DIAGONALIZACION, y hallar A100.

6 La primera parte del ejercicio va a consistir en un proceso de diagonalización matricial

que vamos a agilizar un poco tomando los datos básicos .

6 POLINOMIO CARACTERISTICO :

6 VALORES PROPIOS:

XB

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Diagonalización



Al tener sus tres valores propios simples, ya podemos afirmar que la matriz A es

DIAGONALIZABLE

6 VECTORES PROPIOS:

81 = 0

[ Al ser las ecuaciones tan sencillas no es necesario aplicar el “filtrado” de las mismas

mediante Gauss ]

œ ( x, y, z ) 0 E (8 = 0) Y ( x, y, z ) = ( x, 0, -x ) = x A (1, 0, -1)

Base E(8888 = 0) = { = (1, 0, -1) }

82 = 1

[ Tampoco aquí es necesario filtrar ]

œ ( x, y, z ) 0 E (8 = 1) Y ( x, y, z ) = y ( 0, 1, 0 )

Base E(8888 = 1) = { = (0, 1, 0) }

83 = 4

[ Ni aquí ]

œ ( x, y, z ) 0 E (8 = 4) Y ( x, y, z ) = ( z, 0, z ) = z ( 1, 0, 1)

Base E(8888 = 4) = { = (1, 0, 1) }

< Podemos construir, ya, la matriz P / D = P-1 A A A P es diagonal

Tomando el mismo orden en el que hemos operado :

XB

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Diagonalización



Como D = P-1 A A A P Y operando matricialmente y, paso a paso :

PA D = AA P Y PA DA P-1 = A Y An = (P A D A P-1)n =

= P A D A P-1 A P A D A P-1 A ... AP A D A P-1 AP A D A P-1 = P A Dn A P-1

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6.- Dada la matriz Estudiar si es o no diagonalizable. En caso

afirmativo, hallar la matriz regular P 0000 M4 / D = P-1 AAAA A AAAA P sea una matriz DIAGONAL.

6 Estudiemos sus elementos relativos a la diagonalizabilidad :


XB

Apuntes

Diagonalización



6

VALORES PROPIOS:

6 VECTORES PROPIOS:

81 = 2

XB

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Diagonalización



œ ( x, y, z, t ) 0 E (8 = 2) Y ( x, y, z, t ) = ( z - t, z, z, t ) = t A (-1, 0, 0, 1) + z A (1, 1, 1, 0)

Base E(8888 = 2) = { ( -1, 0, 0, 1), ( 1,1,1,0 ) }

dim E ( 8 = 2 ) = 2

Conjunto de vectores propios asociados a 8 = 2

{ x A( -1, 0, 0, 1) + y ( 1,1,1,0 ) / x , y 0 ú } - { (0, 0, 0, 0) }

82 = -1

œ ( x, y, z, t ) 0 E (8 = -1) Y ( x, y, z, t ) = ( -t, -z + t, z, t ) = t ( -1, 1, 0, 1 ) + z ( 0, -1, 1, 0 )

Base E(8888 = -1) = { (-1, 1, 0, 1), ( 0, -1, 1, 0 ) }

dim E ( 8 = -1) = 2

Conjunto de vectores propios asociados a 8 = -1

{ x A( -1, 1, 0, 1) + y ( 0, -1, 1, 0 ) / x , y 0 ú } - { (0, 0, 0, 0) }

6 DIAGONALIZABILIDAD.

81 = 2 p1 = 2 dim ( E (8 = 2) ) = 2 T

82 = -1 p2 = 2 dim ( E (8 = -1) ) = 2 T

Al cumplirse el criterio para ambos valores, la matriz es DIAGONALIZABLE.

XB

Apuntes

Diagonalización



6 MATRIZ REGULAR P.

P =

Con los autovectores obtenidos, los podemos tomar en el mismo orden, por ejemplo,

formemos por columnas una matriz que será precisamente la matriz buscada. Es sencillo

comprobar que se trata de una matriz REGULAR.

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7.- Sea f : úúúú3 6666 úúúú3 un Endomorfismo del cual sabemos que

es una Base de vectores propios .

Hallar la matriz asociada a f en la base canónica de úúúú3 B = { (1, 0, 0 ), ( 0, 1, 0), (0, 0, 1)}

sabiendo que los valores propios asociados a la base de vectores propios, son, en este orden

88881 = 3, 88882 = -7, 88883 = 10.

6 Tan sencillo como un paseo entre conceptos. Definamos cada vector propio con su valor

propio asociado :

Si llamamos A, a la matriz asociada a f en base canónica y escribimos matricialmente la

relación anterior :

XB

Apuntes

Diagonalización



########

8. Sea f : úúúú3 6666 úúúú3 un Endomorfismo del cual sabemos que B = { (2, 2, -1 ), ( 2, -1, 2), (-1, 2, 2) }

es una base de úúúú3 formada por vectores propios de f . También sabemos que:

f-1 ( 0, 0, 7 ) = ( 5, 2, 5 ). Hallar la matriz asociada a f en la base canónica de úúúú3 y definir el

endomorfismo f .

6 ¿ Por dónde empezar ?...

Comencemos los datos del ejercicio. Sean 81, 82 y 83 los valores propios asociados a cada

vector propio de la base:

Por otro lado, si f-1 ( 0, 0, 7 ) = ( 5, 2, 5 ) Y f ( 5, 2, 5 ) = ( 0, 0, 7 )

Pero, si expresamos ( 5, 2, 5 ) = " (2, 2, -1) + $ ( 2, -1, 2 ) + ( ( -1, 2, 2 ) Y

XB

Apuntes

Diagonalización



( 5, 2, 5 ) = 1 (2, 2, -1) + 2 ( 2, -1, 2 ) + 1 ( -1, 2, 2 ) Y Aplicando f a ambos lados

Y f( 5, 2, 5 ) = f [1 (2, 2, -1) + 2 ( 2, -1, 2 ) + 1 ( -1, 2, 2 ) ] Como f es aplicación lineal :

Y f( 5, 2, 5 ) = f (2, 2, -1) + 2 f( 2, -1, 2 ) + f( -1, 2, 2 ) Utilizando las relaciones anteriores

:

( 0, 0, 7 ) = 81 (2, 2, -1) + 2 82( 2, -1, 2 ) + 83( -1, 2, 2 ) Utilizando las relaciones

anteriores :

Sabemos, pues, los valores propios del Endomorfismo y que éste es DIAGONALIZABLE

con toda seguridad al ser todos los valores propios distintos. Si A es la matriz asociada a f en

la base canónica de ú3, aplicando la relación matricial de la DIAGONALIZACIÓN .

A 6 la matriz buscada

como D = P-1 A A A P Y

A = P A D A P-1

XB

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Diagonalización



Operando matricialmente : y, ya que hemos hallado la matriz A,

definamos el endomorfismo f :

Operando y expresándolo como vector fila :

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9.- Estudiar la DIAGONALIZABILIDAD de la matriz en M3 (÷÷÷÷).

* Observemos que el cuerpo sobre el que operaremos será el cuerpo de los números

complejos.


6 VALORES PROPIOS:

PA(8) = 0 Y -83 + 382 -8 +3 = 0.

XB

Apuntes

Diagonalización



Operando por el método de Ruffini:

-82- 1 = 0 Y 82 = -1 Y =

[ Observa que en el cuerpo de los números reales, la matriz A sólo tendría un valor propio

real 8=3 y no sería diagonalizable ]

Valores propios

6 VECTORES PROPIOS:

81 = 3

œ ( x, y, z ) 0 E (8 = 3) Y ( x, y, z ) = ( x , 0 , 0 ) = x A (1, 0, 0)

Base E(8888 = 3) = { ( 1, 0, 0) }

82 = i

œ ( x, y, z ) 0 E (8 = i) Y ( x, y, z ) = ( 0, y , ) = y A ( 0, 1, )

Base E(8888 = i) = { (0, 5, 2 - i ) }

83 = -i

XB

Apuntes

Diagonalización



œ ( x, y, z ) 0

E (8 = -i) Y ( x, y, z ) = ( 0, y , ) = y A ( 0, 1, 2 + i )

Base E(8888 = -i) = { (0, 5, 2 + i ) }

6 DIAGONALIZABILIDAD.

Al tener sus tres valores propios distintos, la matriz A es DIAGONALIZABLE.

6 MATRIZ DE DIAGONALIZACIÓN.

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10. Estudiar la diagonabizabilidad de la matriz

según valores de a 0000 úúúú

XB

Apuntes

Diagonalización



6 Comencemos hallando el POLINOMIO CARACTERÍSTICO de la matriz A

PA(8) = * A - 8I* = (1 - 8)2 A (a - 8). Si PA(8) = 0 Y (1 - 8)2 A (a - 8) = 0 Y

Asignemos valores al parámetro "a " en función de los demás valores propios obtenidos :

i) a = 1

En este caso, los valores propios de la matriz, son 81 = 1 p1 = 3

Apliquemos el 2º criterio de DIAGONALIZABILIDAD :

6 Rang * A - I * = Rang

6 n - p1 = 3 - 3 = 0

Y A no es diagonalizable

ii) a … 1

Ahora, los valores propios de la matriz son :

81 = 1 p1 = 2

82 = a p2 = 1

Analizamos la diagonalizabilidad para el valor propio doble

Rang ( A - I ) = Rang

Consideremos el menor de orden 2 del que depende el Rango de ( A - I )

= a2 - 3a + 2. Si a2 - 3a + 2 = 0 Y

Puesto que estamos en el caso a … 1, estudiemos a = 2

ii.1 a = 2

Rang ( A - I ) = Rang = 1

XB

Apuntes

Diagonalización



ii.2 a … 2

Rang ( A - I ) = 2

Por otro lado n - p1 = 3 - 2 = 1 Y

si a = 2 Y A es DIAGONALIZABLE

si a … 2 Y A NO es DIAGONALIZABLE

Resumiendo la discusión :

si a = 1 Y A NO es DIAGONALIZABLE

si a = 2 Y A es DIAGONALIZABLE

si a … 1, 2 Y A NO es DIAGONALIZABLE

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