83
transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable Diagonalización GAL2 IMERL 12 de agosto de 2010

Diagonalización - fing.edu.uy

  • Upload
    others

  • View
    8

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Diagonalización - fing.edu.uy

transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable

Diagonalización

GAL2

IMERL

12 de agosto de 2010

Page 2: Diagonalización - fing.edu.uy

transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable

definiciones

transformación lineal diagonalizable

definición (transformación lineal diagonalizable)

T : V → V operador lineal diagonalizablesi ∃B base tal queA =B (T )B es una matriz diagonal

Page 3: Diagonalización - fing.edu.uy

transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable

definiciones

transformación lineal diagonalizable

definición (transformación lineal diagonalizable)T : V → V operador lineal diagonalizable

si ∃B base tal queA =B (T )B es una matriz diagonal

Page 4: Diagonalización - fing.edu.uy

transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable

definiciones

transformación lineal diagonalizable

definición (transformación lineal diagonalizable)T : V → V operador lineal diagonalizablesi ∃B base tal que

A =B (T )B es una matriz diagonal

Page 5: Diagonalización - fing.edu.uy

transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable

definiciones

transformación lineal diagonalizable

definición (transformación lineal diagonalizable)T : V → V operador lineal diagonalizablesi ∃B base tal queA =B (T )B es una matriz diagonal

Page 6: Diagonalización - fing.edu.uy

transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable

definiciones

matriz diagonalizable

definición (matriz diagonalizable)

A matriz diagonalizablesi A semejante a matriz diagonal

Page 7: Diagonalización - fing.edu.uy

transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable

definiciones

matriz diagonalizable

definición (matriz diagonalizable)A matriz diagonalizable

si A semejante a matriz diagonal

Page 8: Diagonalización - fing.edu.uy

transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable

definiciones

matriz diagonalizable

definición (matriz diagonalizable)A matriz diagonalizablesi A semejante a matriz diagonal

Page 9: Diagonalización - fing.edu.uy

transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable

definiciones

observación

A matriz diagonalizable⇔

TA transformación lineal diagonalizable, dondeTA : Kn → Kn es tal que TA~x = A~x

Page 10: Diagonalización - fing.edu.uy

transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable

definiciones

observación

A matriz diagonalizable⇔TA transformación lineal diagonalizable, donde

TA : Kn → Kn es tal que TA~x = A~x

Page 11: Diagonalización - fing.edu.uy

transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable

definiciones

observación

A matriz diagonalizable⇔TA transformación lineal diagonalizable, dondeTA : Kn → Kn es tal que TA~x = A~x

Page 12: Diagonalización - fing.edu.uy

transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable

ejemplo

ejemplo

ejemplo

T : R3 → R3 tal que

T (x , y , z) =

3 0 00 4 0−1 −2 2

xyz

? T diagonalizable?

SI

Page 13: Diagonalización - fing.edu.uy

transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable

ejemplo

ejemplo

ejemplo

T : R3 → R3 tal que

T (x , y , z) =

3 0 00 4 0−1 −2 2

xyz

? T diagonalizable?

SI

Page 14: Diagonalización - fing.edu.uy

transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable

ejemplo

ejemplo

ejemplo

T : R3 → R3 tal que

T (x , y , z) =

3 0 00 4 0−1 −2 2

xyz

? T diagonalizable?

SI

Page 15: Diagonalización - fing.edu.uy

transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable

ejemplo

ejemplo

ejemplo

T : R3 → R3 tal que

T (x , y , z) =

3 0 00 4 0−1 −2 2

xyz

? T diagonalizable?

SI

Page 16: Diagonalización - fing.edu.uy

transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable

ejemplo

ejemplo

ejemplo

T : R3 → R3 tal que

T (x , y , z) =

3 0 00 4 0−1 −2 2

xyz

? T diagonalizable?

SI

Page 17: Diagonalización - fing.edu.uy

transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable

diagonalización y vep

diagonalización y vep

teorema (diagonalización y vep)

T : V → V es diagonalizable⇐⇒∃B base de vectores propios de Ttal que B(T )B diagonal

Page 18: Diagonalización - fing.edu.uy

transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable

diagonalización y vep

diagonalización y vep

teorema (diagonalización y vep)T : V → V es diagonalizable⇐⇒

∃B base de vectores propios de Ttal que B(T )B diagonal

Page 19: Diagonalización - fing.edu.uy

transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable

diagonalización y vep

diagonalización y vep

teorema (diagonalización y vep)T : V → V es diagonalizable⇐⇒∃B base de vectores propios de T

tal que B(T )B diagonal

Page 20: Diagonalización - fing.edu.uy

transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable

diagonalización y vep

diagonalización y vep

teorema (diagonalización y vep)T : V → V es diagonalizable⇐⇒∃B base de vectores propios de Ttal que B(T )B diagonal

Page 21: Diagonalización - fing.edu.uy

transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable

diagonalización y vep

diagonalización y vap

corolario (diagonalización y vap)

T : V → V t.l. diagonalizable =⇒la forma diagonal

diag(λ1, . . . , λn)

es única a menos de permutaciones de los λi (vap de T )

Page 22: Diagonalización - fing.edu.uy

transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable

diagonalización y vep

diagonalización y vap

corolario (diagonalización y vap)T : V → V t.l. diagonalizable =⇒

la forma diagonal

diag(λ1, . . . , λn)

es única a menos de permutaciones de los λi (vap de T )

Page 23: Diagonalización - fing.edu.uy

transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable

diagonalización y vep

diagonalización y vap

corolario (diagonalización y vap)T : V → V t.l. diagonalizable =⇒la forma diagonal

diag(λ1, . . . , λn)

es única a menos de permutaciones de los λi (vap de T )

Page 24: Diagonalización - fing.edu.uy

transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable

diagonalización y vep

diagonalización y vap

corolario (diagonalización y vap)T : V → V t.l. diagonalizable =⇒la forma diagonal

diag(λ1, . . . , λn)

es única a menos de permutaciones de los λi (vap de T )

Page 25: Diagonalización - fing.edu.uy

transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable

diagonalización y vep

observación

T diagonalizable =⇒

las n raíces características de T están en K

Page 26: Diagonalización - fing.edu.uy

transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable

diagonalización y vep

observación

T diagonalizable =⇒las n raíces características de T están en K

Page 27: Diagonalización - fing.edu.uy

transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable

ejemplo

ejemplo

ejemplo

A =

(0 1−1 0

)no es diagonalizable en R

Page 28: Diagonalización - fing.edu.uy

transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable

ejemplo

ejemplo

ejemplo

A =

(0 1−1 0

)

no es diagonalizable en R

Page 29: Diagonalización - fing.edu.uy

transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable

ejemplo

ejemplo

ejemplo

A =

(0 1−1 0

)no es diagonalizable en R

Page 30: Diagonalización - fing.edu.uy

transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable

condición suficiente

condición suficiente para A diagonalizable

teorema (condición suficiente para diagonalizabilidad)

A ∈Mn(K)

A tiene n vap distintos: λ1, . . . , λn

=⇒ A diagonalizable

Page 31: Diagonalización - fing.edu.uy

transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable

condición suficiente

condición suficiente para A diagonalizable

teorema (condición suficiente para diagonalizabilidad)A ∈Mn(K)

A tiene n vap distintos: λ1, . . . , λn

=⇒ A diagonalizable

Page 32: Diagonalización - fing.edu.uy

transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable

condición suficiente

condición suficiente para A diagonalizable

teorema (condición suficiente para diagonalizabilidad)A ∈Mn(K)

A tiene n vap distintos: λ1, . . . , λn

=⇒ A diagonalizable

Page 33: Diagonalización - fing.edu.uy

transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable

condición suficiente

condición suficiente para A diagonalizable

teorema (condición suficiente para diagonalizabilidad)A ∈Mn(K)

A tiene n vap distintos: λ1, . . . , λn

=⇒ A diagonalizable

Page 34: Diagonalización - fing.edu.uy

transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable

condición suficiente

demostración

proposición (vep l.i.)

T : V → V t.l.vi vep asociados a λi , i = 1, . . . , k con λi 6= λj

=⇒ {v1, . . . , vk} l.i.

Page 35: Diagonalización - fing.edu.uy

transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable

condición suficiente

demostración

proposición (vep l.i.)T : V → V t.l.

vi vep asociados a λi , i = 1, . . . , k con λi 6= λj

=⇒ {v1, . . . , vk} l.i.

Page 36: Diagonalización - fing.edu.uy

transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable

condición suficiente

demostración

proposición (vep l.i.)T : V → V t.l.vi vep asociados a λi , i = 1, . . . , k con λi 6= λj

=⇒ {v1, . . . , vk} l.i.

Page 37: Diagonalización - fing.edu.uy

transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable

condición suficiente

demostración

proposición (vep l.i.)T : V → V t.l.vi vep asociados a λi , i = 1, . . . , k con λi 6= λj

=⇒ {v1, . . . , vk} l.i.

Page 38: Diagonalización - fing.edu.uy

transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable

condición suficiente

demostración

proposición (vep l.i.)

T : V → V t.l.λ1, . . . , λk distintos, vi ∈ Sλi − {0}=⇒ {v1, . . . , vk} l.i.

Page 39: Diagonalización - fing.edu.uy

transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable

condición suficiente

demostración

proposición (vep l.i.)T : V → V t.l.

λ1, . . . , λk distintos, vi ∈ Sλi − {0}=⇒ {v1, . . . , vk} l.i.

Page 40: Diagonalización - fing.edu.uy

transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable

condición suficiente

demostración

proposición (vep l.i.)T : V → V t.l.λ1, . . . , λk distintos, vi ∈ Sλi − {0}

=⇒ {v1, . . . , vk} l.i.

Page 41: Diagonalización - fing.edu.uy

transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable

condición suficiente

demostración

proposición (vep l.i.)T : V → V t.l.λ1, . . . , λk distintos, vi ∈ Sλi − {0}=⇒ {v1, . . . , vk} l.i.

Page 42: Diagonalización - fing.edu.uy

transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable

condición suficiente

demostración proposición

por inducción

obvio para k = 1. Supongo vale para un k ≥ 1planteamos

E = a1v1 + · · ·+ ak+1vk+1 = ~0

⇒ T (E)− λk+1E = ~0⇒ ai = 0 ∀i = 1, . . . , k⇒ ak+1vk+1 = ~0⇒ ak+1 = 0

Page 43: Diagonalización - fing.edu.uy

transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable

condición suficiente

demostración proposición

por inducciónobvio para k = 1. Supongo vale para un k ≥ 1

planteamos

E = a1v1 + · · ·+ ak+1vk+1 = ~0

⇒ T (E)− λk+1E = ~0⇒ ai = 0 ∀i = 1, . . . , k⇒ ak+1vk+1 = ~0⇒ ak+1 = 0

Page 44: Diagonalización - fing.edu.uy

transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable

condición suficiente

demostración proposición

por inducciónobvio para k = 1. Supongo vale para un k ≥ 1planteamos

E = a1v1 + · · ·+ ak+1vk+1 = ~0

⇒ T (E)− λk+1E = ~0⇒ ai = 0 ∀i = 1, . . . , k⇒ ak+1vk+1 = ~0⇒ ak+1 = 0

Page 45: Diagonalización - fing.edu.uy

transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable

condición suficiente

demostración proposición

por inducciónobvio para k = 1. Supongo vale para un k ≥ 1planteamos

E = a1v1 + · · ·+ ak+1vk+1 = ~0

⇒ T (E)− λk+1E = ~0

⇒ ai = 0 ∀i = 1, . . . , k⇒ ak+1vk+1 = ~0⇒ ak+1 = 0

Page 46: Diagonalización - fing.edu.uy

transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable

condición suficiente

demostración proposición

por inducciónobvio para k = 1. Supongo vale para un k ≥ 1planteamos

E = a1v1 + · · ·+ ak+1vk+1 = ~0

⇒ T (E)− λk+1E = ~0⇒ ai = 0 ∀i = 1, . . . , k

⇒ ak+1vk+1 = ~0⇒ ak+1 = 0

Page 47: Diagonalización - fing.edu.uy

transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable

condición suficiente

demostración proposición

por inducciónobvio para k = 1. Supongo vale para un k ≥ 1planteamos

E = a1v1 + · · ·+ ak+1vk+1 = ~0

⇒ T (E)− λk+1E = ~0⇒ ai = 0 ∀i = 1, . . . , k⇒ ak+1vk+1 = ~0

⇒ ak+1 = 0

Page 48: Diagonalización - fing.edu.uy

transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable

condición suficiente

demostración proposición

por inducciónobvio para k = 1. Supongo vale para un k ≥ 1planteamos

E = a1v1 + · · ·+ ak+1vk+1 = ~0

⇒ T (E)− λk+1E = ~0⇒ ai = 0 ∀i = 1, . . . , k⇒ ak+1vk+1 = ~0⇒ ak+1 = 0

Page 49: Diagonalización - fing.edu.uy

transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable

condición suficiente

observación

observación/ejemplo (la condición no es necesaria)

A diagonalizable 6=⇒ los valores propios son 6=ejemplo

A =

(1 00 1

)

Page 50: Diagonalización - fing.edu.uy

transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable

condición suficiente

observación

observación/ejemplo (la condición no es necesaria)A diagonalizable 6=⇒ los valores propios son 6=

ejemplo

A =

(1 00 1

)

Page 51: Diagonalización - fing.edu.uy

transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable

condición suficiente

observación

observación/ejemplo (la condición no es necesaria)A diagonalizable 6=⇒ los valores propios son 6=ejemplo

A =

(1 00 1

)

Page 52: Diagonalización - fing.edu.uy

transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable

ejemplos

ejemplo

ejemplo 1

A =

2 −5 00 7 00 −5 2

determinar si A es diagonalizablese plantea χA(λ) = 0

→ λ = 2 (doble), λ = 7

S2 = R(1,0,0) + R(0,0,1) S7 = R(1,−1,1)

Page 53: Diagonalización - fing.edu.uy

transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable

ejemplos

ejemplo

ejemplo 1

A =

2 −5 00 7 00 −5 2

determinar si A es diagonalizable

se plantea χA(λ) = 0

→ λ = 2 (doble), λ = 7

S2 = R(1,0,0) + R(0,0,1) S7 = R(1,−1,1)

Page 54: Diagonalización - fing.edu.uy

transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable

ejemplos

ejemplo

ejemplo 1

A =

2 −5 00 7 00 −5 2

determinar si A es diagonalizablese plantea χA(λ) = 0

→ λ = 2 (doble), λ = 7S2 = R(1,0,0) + R(0,0,1) S7 = R(1,−1,1)

Page 55: Diagonalización - fing.edu.uy

transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable

ejemplos

ejemplo

ejemplo 1

A =

2 −5 00 7 00 −5 2

determinar si A es diagonalizablese plantea χA(λ) = 0→ λ = 2 (doble), λ = 7

S2 = R(1,0,0) + R(0,0,1) S7 = R(1,−1,1)

Page 56: Diagonalización - fing.edu.uy

transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable

ejemplos

ejemplo

ejemplo 1

A =

2 −5 00 7 00 −5 2

determinar si A es diagonalizablese plantea χA(λ) = 0→ λ = 2 (doble), λ = 7S2 = R(1,0,0) + R(0,0,1) S7 = R(1,−1,1)

Page 57: Diagonalización - fing.edu.uy

transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable

ejemplos

ejemplo

ejemplo 1

A

100

= 2

100

A

001

= 2

001

A

1−1

1

= 7

1−1

1

Page 58: Diagonalización - fing.edu.uy

transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable

ejemplos

ejemplo

ejemplo 1

A

100

= 2

100

A

001

= 2

001

A

1−1

1

= 7

1−1

1

Page 59: Diagonalización - fing.edu.uy

transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable

ejemplos

ejemplo

ejemplo 1

A

100

= 2

100

A

001

= 2

001

A

1−1

1

= 7

1−1

1

Page 60: Diagonalización - fing.edu.uy

transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable

ejemplos

ejemplo 1

ejemplo 1⇒

A

1 0 10 0 −10 1 1

=

1 0 10 0 −10 1 1

diag(2,2,7)

A semejante a matriz diagonal

Page 61: Diagonalización - fing.edu.uy

transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable

ejemplos

ejemplo 1

ejemplo 1⇒

A

1 0 10 0 −10 1 1

=

1 0 10 0 −10 1 1

diag(2,2,7)

A semejante a matriz diagonal

Page 62: Diagonalización - fing.edu.uy

transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable

ejemplos

ejemplo 2

ejemplo 2

Sea T : R3 → R3 la t.l. tal que

C(T )C =

3 0 00 4 0−1 −2 2

diagonalizar T si es posibleplanteamos χT (λ) = 0

→ λ = 3,4,2

T es diagonalizable (equivalente a diag(3,4,2))se busca base de vep para diagonalizar

Page 63: Diagonalización - fing.edu.uy

transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable

ejemplos

ejemplo 2

ejemplo 2

Sea T : R3 → R3 la t.l. tal que

C(T )C =

3 0 00 4 0−1 −2 2

diagonalizar T si es posibleplanteamos χT (λ) = 0

→ λ = 3,4,2

T es diagonalizable (equivalente a diag(3,4,2))se busca base de vep para diagonalizar

Page 64: Diagonalización - fing.edu.uy

transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable

ejemplos

ejemplo 2

ejemplo 2

Sea T : R3 → R3 la t.l. tal que

C(T )C =

3 0 00 4 0−1 −2 2

diagonalizar T si es posible

planteamos χT (λ) = 0

→ λ = 3,4,2

T es diagonalizable (equivalente a diag(3,4,2))se busca base de vep para diagonalizar

Page 65: Diagonalización - fing.edu.uy

transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable

ejemplos

ejemplo 2

ejemplo 2

Sea T : R3 → R3 la t.l. tal que

C(T )C =

3 0 00 4 0−1 −2 2

diagonalizar T si es posibleplanteamos χT (λ) = 0

→ λ = 3,4,2T es diagonalizable (equivalente a diag(3,4,2))se busca base de vep para diagonalizar

Page 66: Diagonalización - fing.edu.uy

transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable

ejemplos

ejemplo 2

ejemplo 2

Sea T : R3 → R3 la t.l. tal que

C(T )C =

3 0 00 4 0−1 −2 2

diagonalizar T si es posibleplanteamos χT (λ) = 0→ λ = 3,4,2

T es diagonalizable (equivalente a diag(3,4,2))se busca base de vep para diagonalizar

Page 67: Diagonalización - fing.edu.uy

transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable

ejemplos

ejemplo 2

ejemplo 2

Sea T : R3 → R3 la t.l. tal que

C(T )C =

3 0 00 4 0−1 −2 2

diagonalizar T si es posibleplanteamos χT (λ) = 0→ λ = 3,4,2T es diagonalizable (equivalente a diag(3,4,2))

se busca base de vep para diagonalizar

Page 68: Diagonalización - fing.edu.uy

transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable

ejemplos

ejemplo 2

ejemplo 2

Sea T : R3 → R3 la t.l. tal que

C(T )C =

3 0 00 4 0−1 −2 2

diagonalizar T si es posibleplanteamos χT (λ) = 0→ λ = 3,4,2T es diagonalizable (equivalente a diag(3,4,2))se busca base de vep para diagonalizar

Page 69: Diagonalización - fing.edu.uy

transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable

ejemplos

ejemplo 2

ejemplo 2

S3 = R(−1,0,1)

S4 = R(0,−1,1)

S2 = R(0,0,1)

⇒ en la base B = {(−1,0,1), (0,−1,1), (0,0,1)} tenemos

B(T )B = diag(3,4,2)

Page 70: Diagonalización - fing.edu.uy

transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable

ejemplos

ejemplo 2

ejemplo 2S3 = R(−1,0,1)

S4 = R(0,−1,1)

S2 = R(0,0,1)

⇒ en la base B = {(−1,0,1), (0,−1,1), (0,0,1)} tenemos

B(T )B = diag(3,4,2)

Page 71: Diagonalización - fing.edu.uy

transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable

ejemplos

ejemplo 2

ejemplo 2S3 = R(−1,0,1)

S4 = R(0,−1,1)

S2 = R(0,0,1)

⇒ en la base B = {(−1,0,1), (0,−1,1), (0,0,1)} tenemos

B(T )B = diag(3,4,2)

Page 72: Diagonalización - fing.edu.uy

transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable

ejemplos

ejemplo 2

ejemplo 2S3 = R(−1,0,1)

S4 = R(0,−1,1)

S2 = R(0,0,1)

⇒ en la base B = {(−1,0,1), (0,−1,1), (0,0,1)} tenemos

B(T )B = diag(3,4,2)

Page 73: Diagonalización - fing.edu.uy

transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable

ejemplos

ejemplo 2

ejemplo 2S3 = R(−1,0,1)

S4 = R(0,−1,1)

S2 = R(0,0,1)

⇒ en la base B = {(−1,0,1), (0,−1,1), (0,0,1)} tenemos

B(T )B = diag(3,4,2)

Page 74: Diagonalización - fing.edu.uy

transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable

ejemplos

ejemplo 2

ejemplo 2S3 = R(−1,0,1)

S4 = R(0,−1,1)

S2 = R(0,0,1)

⇒ en la base B = {(−1,0,1), (0,−1,1), (0,0,1)} tenemos

B(T )B = diag(3,4,2)

Page 75: Diagonalización - fing.edu.uy

transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable

ejemplos

ejemplo 3

ejemplo 3

dada la matriz

A =

2 −4 10 7 00 −5 2

diagonalizar A si es posibleplanteamos χA(λ) = 0

→ λ = 2,2,7S2 = R(1,0,0), S7 = R(1,−1,1)

no hay 3 vep l.i.

⇒ NO es diagonalizable

Page 76: Diagonalización - fing.edu.uy

transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable

ejemplos

ejemplo 3

ejemplo 3dada la matriz

A =

2 −4 10 7 00 −5 2

diagonalizar A si es posibleplanteamos χA(λ) = 0

→ λ = 2,2,7S2 = R(1,0,0), S7 = R(1,−1,1)

no hay 3 vep l.i.

⇒ NO es diagonalizable

Page 77: Diagonalización - fing.edu.uy

transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable

ejemplos

ejemplo 3

ejemplo 3dada la matriz

A =

2 −4 10 7 00 −5 2

diagonalizar A si es posible

planteamos χA(λ) = 0

→ λ = 2,2,7S2 = R(1,0,0), S7 = R(1,−1,1)

no hay 3 vep l.i.

⇒ NO es diagonalizable

Page 78: Diagonalización - fing.edu.uy

transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable

ejemplos

ejemplo 3

ejemplo 3dada la matriz

A =

2 −4 10 7 00 −5 2

diagonalizar A si es posibleplanteamos χA(λ) = 0

→ λ = 2,2,7

S2 = R(1,0,0), S7 = R(1,−1,1)

no hay 3 vep l.i.

⇒ NO es diagonalizable

Page 79: Diagonalización - fing.edu.uy

transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable

ejemplos

ejemplo 3

ejemplo 3dada la matriz

A =

2 −4 10 7 00 −5 2

diagonalizar A si es posibleplanteamos χA(λ) = 0→ λ = 2,2,7

S2 = R(1,0,0), S7 = R(1,−1,1)

no hay 3 vep l.i.

⇒ NO es diagonalizable

Page 80: Diagonalización - fing.edu.uy

transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable

ejemplos

ejemplo 3

ejemplo 3dada la matriz

A =

2 −4 10 7 00 −5 2

diagonalizar A si es posibleplanteamos χA(λ) = 0→ λ = 2,2,7calculamos S2,S7

S2 = R(1,0,0), S7 = R(1,−1,1)

no hay 3 vep l.i.

⇒ NO es diagonalizable

Page 81: Diagonalización - fing.edu.uy

transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable

ejemplos

ejemplo 3

ejemplo 3dada la matriz

A =

2 −4 10 7 00 −5 2

diagonalizar A si es posibleplanteamos χA(λ) = 0→ λ = 2,2,7S2 = R(1,0,0), S7 = R(1,−1,1)

no hay 3 vep l.i.

⇒ NO es diagonalizable

Page 82: Diagonalización - fing.edu.uy

transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable

ejemplos

ejemplo 3

ejemplo 3dada la matriz

A =

2 −4 10 7 00 −5 2

diagonalizar A si es posibleplanteamos χA(λ) = 0→ λ = 2,2,7S2 = R(1,0,0), S7 = R(1,−1,1)

no hay 3 vep l.i.

⇒ NO es diagonalizable

Page 83: Diagonalización - fing.edu.uy

transformaciones y matrices diagonalizables condición suficiente para A diagonalizable

ejemplos

ejemplo 3

ejemplo 3dada la matriz

A =

2 −4 10 7 00 −5 2

diagonalizar A si es posibleplanteamos χA(λ) = 0→ λ = 2,2,7S2 = R(1,0,0), S7 = R(1,−1,1)

no hay 3 vep l.i. ⇒ NO es diagonalizable