Definicja i własności funkcji korelacyjnej bozonów i fermionów

Definicja i własności funkcji korelacyjnej bozonów i fermionów.

Interferometria jądrowa (korelacje układów dwucząstkowych)

Metoda interferometrii jądrowej oparta jest na badaniu korelacji cząstek i umożliwia wnioskowanie o przestrzenno-czasowych

charakterystykach źródła emisji. Polega ona na konstruowaniu dwucząstkowej funkcji korelacyjnej z rozkładu cząstek

wyemitowanych z gorącego, przestrzennie zlokalizowanego źródła.

Interferometria jądrowaRozpatrzmy źródło o

skończonym rozmiarze, emitującym nierozróżnialne

cząstki.

Załóżmy, że cząstki zostały wyemitowane z punktów S, S,

które następnie obserwowane są w punktach P1 i P2. Emisja z obu punktów źródła daje wkład do

obu punktów obserwacji.

Rysunek 21 Schematyczny obraz źródła emisji, z punktów S i S zostają wyemitowane dwie nierozróżnialne cząstki, które następnie rejestrowane są w punktach P1 i P2 [32]

Funkcją korelacyjną jest proporcjonalna do intensywności cząstek w punktach P1 i P2.

Podstawę fizyczną tego efektu możemy określić następująco: dwa fotony mają niezerową funkcję korelacyjną ze względu na symetryzację ich funkcji falowych, wynikającą ze statystyki kwantowej dla identycznych bozonów. Wynika to stąd, że fotony jako cząstki identyczne, podlegające prawom statystyki Bose-Einsteina, wpływają na siebie poprzez swoje funkcje falowe. W efekcie powoduje to, że dwa niezależnie wyemitowane fotony mają zwiększone prawdopodobieństwo dotarcia jednocześnie do obu punktów P1 i P2.

Interferometria jądrowaZjawisko korelacji dwóch bozonów zostało odkryte w 1959 roku przez zespół G. Goldhabera. Obserwowali oni rozkłady pionów w procesie anihilacji pary proton-antyproton. Zauważyli, że pary pionów jednoimiennych wykazują wyższe prawdopodobieństwo emisji z małymi kątami pomiędzy nimi niż piony o przeciwnym ładunku. Zjawisko to zostało później przeanalizowane i zinterpretowane przez G. Goldhabera, S. Goldhabera, W. Lee i A. Paisa jako rezultat statystyki Bosego-Einsteina, powodujący wzrost efektu korelacji przy zmniejszaniu się pędów względnych. Stąd ten efekt otrzymał nazwę GGLP.

Interferometria jądrowaInterferometria jądrowa nie ogranicza się tylko do badania bozonów. Może być także zastosowana dla fermionów, gdzie zamiast symetryzacji występuje antysymetrtzacja funkcji falowych. W przypadku bozonów możemy mówić o ich preferencji do zajmowania tych samych stanów kwantowych. W rezultacie ich rozkłady kątowe wykazują pewną asymetrię, skupiając się w obszarze małych kątów pomiędzy cząstkami. Zasada Pauliego dla fermionów nie pozwala na ich przebywanie w stanach o tych samych liczbach kwantowych. Zatem w tym przypadku otrzymujemy przeciwny efekt, który przejawia się zmniejszoną liczbą par cząstek w obszarze małych wartości różnicy pędów.

Interferometria jądrowa

Eksperymentalnie badania dotyczące interferometrii jądrowej związane są z pomiarami przekroju czynnego jednocześnie obserwowanych par wyemitowanych cząstek z pędami p1 i p2.

W tym przypadku funkcję korelacyjną R(p1, p2) możemy skonstruować z przekrojów czynnych par (d6/d3p1d3p2) oraz przekrojów czynnych dla pojedynczych cząstek (d3/d3p):

R(p1, p2)~ d6/d3p1d3p2 / d3/d3p1 d3/d3p2


Powyższy rysunek przedstawia pomost, jaki stanowi interferometria jądrowa pomiędzy obszarami rzędu 10-15 m, a mierzalnymi różnicami pędów. Efekty związane z statystyką kwantową oraz oddziaływania silne i kulombowskie w stanie końcowym sprawiają, że cząstki przenoszą informację o obszarze, z którego zostały wyemitowane.

Rysunek 22 Wyemitowane zostały, z punktów x1 i x2, cząstki o pędach p1 i p2 w obszarze emisji rzędu 10-15 m. Dzięki interferometrii jądrowej, pomiar wektora q różnicy pędów obu cząstek, umożliwia poznanie parametrów czasowo-przestrzenny źródła emisji.


Podstawy teorii interferometrii jądrowej zostały sformułowane w latach siedemdziesiątych przez Kopylova i Podgoretskiego.

Przedstawili oni także propozycje zastosowania tej metody do wyznaczenia czasowo-przestrzennych zależności procesu emisji cząstek. Teoria ta została oparta na własnościach cząstek lekkich. Korelacje cząstek z małymi pędami względnymi są czułe na przestrzenno-czasowy rozwój procesu ze względu na statystykę Bosego-Einsteina lub Fermiego-Diraca oraz oddziaływania w stanie końcowym, silne i kulombowskie, dzięki którym metoda korelacji może być zastosowana dla par cząstek nieidentycznych.


Rozpatrzmy unormowaną gęstość prawdopodobieństwa Ws(x1,p1;x2,p2) procesu emisji dwóch cząstek o całkowitym spinie S i czteropędach p1, p2 w punktach x1={t1,r1} i x2={t2,r2}.

Zakładając punktowość i niezależność źródeł, funkcja korelacyjna określona jest przez statystykę kwantową następująco:

R(p1,p2)=s d4x1d4x2W(x1,p1;x2,p2) |(1/2)(eip1x1+ip2x2+(-1)seip1x2+ip2x1)|2

gdzie sumowanie rozciąga się po wszystkich stanach spinowych układu.

Rysunek 21 Schematyczny obraz źródła emisji, z punktów S i S zostają wyemitowane dwie nierozróżnialne cząstki, które następnie rejestrowane są w punktach P1 i P2 [32]

Podstawowe pojęcia mechaniki kwantowej

Właściwości obiektów atomowych w mechanice kwantowej opisujemy za pomocą funkcji falowej. Funkcja falowa opisująca stan ruchu jednej cząstki jest na ogół wielkością będącą jednoznaczną i ciągłą funkcją wektora wodzącego r i czasu t.

Przy badaniu obrazu dyfrakcyjnego wytwarzanego przez elektrony, neutrony itd. po przejściu przez uporządkowane struktury ustalono, że swobodnemu ruchowi cząstek można przyporządkować długość fali określona jednoznacznie przez pęd p za pomocą związku:

=2h*/pNa podstawie tego efektu zakłada się, że swobodny ruch cząstek o określonym pędzie p opisywany będzie funkcją falową fali płaskiej:

(r,t)=Aexp[i(kr-wt)]

w=E/h*; k=p/h*


Wprowadzona wcześniej funkcja falowa jest funkcją pomocniczą, używaną w mechanice kwantowej do obliczeń wartości wielkości fizycznych w stanie opisywanym przez tą funkcję.

Natomiast wielkość:

|()|2d = *() () d,

(-zbiór wszystkich niezależnych współrzędnych w chwili t.)

jest proporcjonalna do prawdopodobieństwa tego, że w wyniku pomiaru znajdziemy wartości współrzędnych cząstek należących do danego układu w przedziale , +d.

Dla unormowanych funkcji (|()|2d=1) wielkość |()|2d określa prawdopodobieństwo W() znalezienia wartości (współrzędnych) układu w przedziale , +d. W tym przypadku

() = dW()/d = |()|2

nazywamy gęstością prawdopodobieństwa.



Jednym z podstawowych założeń mechaniki kwantowej jest zasada superpozycji stanów:

Jeżeli jakiś układ może znaleźć się w stanach opisywanych funkcjami falowymi 1 i 2 to może on także się znaleźć w stanach opisywanych funkcjami falowymi utworzonymi z 1 i 2 za pomocą transformacji liniowej:

= a11 + a22

a1, a2 są dowolnymi liczbami zespolonymi, za 1 i 2 można przyjąć:

1 =exp[i(kr-wt)]

2 =exp[i(kr-wt)]

w stanach 1 i 2 cząstka porusza się z określonymi wartościami pędu odpowiednio: p1=h*k1, p2=h*k2.Natomiast w stanie (superpozycji 1 i 2) ruch cząstki nie jest scharakteryzowany żadną określoną wartością pędu, gdyż stanu tego nie można opisać za pomocą fali płaskiej o jednej wartości pędu. Nowy stan będzie „czymś pośrednim” pomiędzy stanami 1 i 2 .



Jednym z podstawowych równań mechaniki kwantowej jest równanie Schrödingera, określające zmienność w czasie stanów układów kwantowych:

ih*/t =H*

gdzie H* jest operatorem Hamiltona. Jeżeli operator ten nie zależy od czasu jest równy energii.

Na przykład dla nierelatywistycznego ruchu cząstki o masie m w polu potencjalnym U(r) operator H* jest rzeczywisty i dany jest w postaci sumy operatorów energii kinetycznej i potencjalnej: H*= (-h*2/2m)2 + U(r)

Dla operatora H*= (-h*2/2m)2 (zależnego tylko od energii kinetycznej) równanie Schrödingera jest spełnione przez następującą funkcję falową:

(r,t)=exp[i(pr/h*-Et/h*)]

Kwantowa teoria układów jednakowych czastek


Wracając do układu jednakowych cząstek.

Jeżeli wszystkie cząstki wchodzące w skład danego układu są jednakowe tzn. nie są rozróżnialne to operator Hamiltona H* nie zmienia się przy przestawieniu dowolnej pary cząstek. Dlatego też można wprowadzić tutaj operator permutacji P*: P*H*=H*P*.

Rozważmy podwójne przestawienie dwóch dowolnych (jednakowych) cząstek (z def.):

P*21,2(1,2) = (1,2)



Przy podwójnym działaniu operatora permutacji (funkcja własna operatora permutacji: P*1,2(1,2) = (1,2) powinno być również spełnione równanie:

P*21,2(1,2) = 2(1,2)

Otrzymujemy zatem 2 = 1, stąd =+1 lub =-1.

Funkcja własna odpowiadająca wartości własnej =+1 nosi nazwę funkcji symetrycznej.

Natomiast funkcja własna odnosząca się do wartości =-1 nazywana jest funkcją antysymetryczną.



Zatem własności symetrii ze względu na przestawienie dowolnej pary cząstek (jednakowych) wyznaczone są przez rodzaj cząstek wchodzących w skład danego układu.

Jak wynika z doświadczeń, układ składający się z dwóch neutronów lub protonów we wszystkich stanach opisywany jest tylko funkcją antysymetryczną. Tymczasem np. dla cząstek alfa wprowadza się zawsze funkcje symetryczne.

Bardzo ważne jest, że własności symetrii nie mogą ulec zmianie nawet pod wpływem zaburzenia zewnętrznego (wszystkie cząstki są jednakowe, zatem zaburzenie jest zawsze symetryczne ze względu na przestawienie cząstek).Podsumowując, w mechanice kwantowej stany układów jednakowych cząstek opisywane są w zależności od rodzaju cząstek albo symetrycznymi albo asymetrycznymi funkcjami falowymi.



Natomiast cząstki o spinie połówkowym (fermiony) są opisywane za pomocą funkcji antysymetrycznych.

Funkcje symetryczne opisują cząstki o spinie całkowity (bozony).

W związku z zasadą nierozróżnialności jednakowych cząstek powstaje możliwość uściślenia zasady superpozycji stanów – możliwe stany układu opisywane są tylko takimi liniowymi kombinacjami funkcji falowych, które nie zmieniają właściwości symetrii względem permutacji par cząstek.

Np. dla protonów do liniowej kombinacji mogą wchodzić tylko asymetryczne funkcje falowe.

Równanie Schrödingera dopuszcza rozwiązani ogólnego typu. Zatem ze wszystkich tych rozwiązań należy wybrać tylko te rozwiązania, które spełniają właściwości symetrii: dla bozonów – funkcje symetryczne, dla fermionów – funkcje antysymetryczne.

Superpozycja stanów.

Rozważmy układ składa się z dwóch (jednakowych) cząstek. Załóżmy, że funkcja (1,2) jest rozwiązaniem równania Schrödingera. Wówczas – skoro cząstki są jednakowe i ich nie rozróżniamy – funkcja (2,1) utworzona z funkcji (1,2) poprzez przestawienie, będzie także rozwiązaniem równania Schrödingera. Zatem możemy opisać układ poprzez superpozycję stanów o pożądanych własnościach symetrii.



Otrzymujemy funkcje symetryczną: =A [(1,2) +(2,1) ]

i funkcję antysymetryczną: = B [(1,2) -(2,1) ]

Taką procedurę symetryzacji i antysymetryzacji funkcji falowych można uogólnić na przypadek składający się z N cząstek. W układzie takim można dokonać N! różnych przestawień cząstek.

W mechanice kwantowej ścisłe rozwiązania zagadnienia wielu cząstek w wiąże się z wieloma trudnościami. W wielu przypadkach podstawowe cechy układów kwantowych możemy objaśnić stosując metodę kolejnych przybliżeń.



W naszym przypadku cząstki uważa się za niezależne (zerowe przybliżenie), wtedy operator H* układu cząstek będzie sumą operatorów poszczególnych cząstek: H*0=H*(i).

Zatem funkcja własna operatora H*0 będzie kombinacją liniową iloczynów funkcji własnych poszczególnych cząstek ().

Dla układu bozonów (statystyka Bosego-Einsteina) funkcja powinna mieć postać iloczynu zsymetryzowanego: =(1/N!) n Pn 1(1) 2(2)... N(N).

Dla układu fermionów (statystyka Fermiego-Diraca) funkcja zgodnie ze wzorem na permutacje, powinna mieć postać:

=(1/N!) n (-1)n Pn 1(1) 2(2)... N(N).



Powyższe równanie (antysymetryczna funkcję falową) można przedstawić w formie wyznacznika:

| 1(1) 1(2)... 1(N) |

=(1/N!) | 2(1) 2(2)... 2(N) |

| ... |

| N(1) N(2)... N(N) |

Z tego wyrażenia wynika również zakaz Pauliego.

Zgodnie z nim fermionony nie mogą znajdować się w

jednakowych stanach. Widać, że jeżeli wśród

jednocząstkowych stanów 1,2,...,N wystąpią choćby

dwa jednakowe to wyznacznik znika.

W przybliżeniu nierelatywistycznym (przy braku zewnętrznego pola magnetycznego) operator Hamiltona układu cząstek jednakowych nie zawiera operatorów spinowych.

Dlatego też funkcję falową układu możemy napisać w postaci iloczynu funkcji zależnej od współrzędnych przestrzennych () przez funkcję zależną tylko od zmiennych spinowych ():

(x1s1, x2s2,...)= (x1, x2,...) (s1, s2,...)



Taka reprezentacja funkcji falowej wykorzystywana jest również jako przybliżenie do badania układów, w których operator Hamiltona zawiera wyraz odpowiadający oddziaływaniu spin-orbita.

=s(p1,p2)

Podsumowując wcześniejsze rozważania funkcję korelacyjną w przypadku bozonów można zapisać następująco:

R(p1,p2)=s d4x1d4x2W(x1,p1;x2,p2) |(1/2)(eip1x1+ip2x2+eip1x2+ip2x1)|2

Przeanalizujmy |(1/2)(eip1x1+ip2x2+eip1x2+ip2x1)|2

Układ dwóch bozonów


Podnosimy do kwadratu funkcje zespolone

(mnożymy rozpatrywaną funkcję z funkcją do niej sprzężoną) czyli

|(1/2)(eip1x1+ip2x2+eip1x2+ip2x1)|2=

=(1/2)(eip1x1+ip2x2+eip1x2+ip2x1) (e-ip1x1-ip2x2+e-ip1x2-ip2x1)

=(1/2)(eip1x1+ip2x2 e-ip1x1-ip2x2 +eip1x2+ip2x1 e-ip1x2-ip2x1+

+eip1x1+ip2x2 e-ip1x2-ip2x1 +e-ip1x1-ip2x2 eip1x2+ip2x1

eip1x1+ip2x2 e-ip1x1-ip2x2=1 oraz eip1x2+ip2x1 e-ip1x2-ip2x1=1

s(p1,p2)=d4x1d4x2W(x1,p1;x2,p2)opisuje populacje stanów całkowitego spinu S.Np. Dla niespolaryzowanych cząstek ze spinem s1 i s2 s=(2S+1)/(2s1+1)(2s2+1)s s(p1,p2)=1

=(1/2)(1 +1+

+eip1x1+ip2x2 -ip1x2-ip2x1 +e-ip1x1-ip2x2 +ip1x2+ip2x1

Wiadomo, że eia = cosa + isina



Zatem

=(1/2)(2 +cos(p1x1+p2x2-p1x2-p2x1)+

+isin(p1x1+p2x2-p1x2-p2x1)+

+cos(p1x2+p2x1-p1x1-p2x2)+

+isin(p1x2+p2x1-p1x1-p2x2)

Grupujemy tak, aby uzyskać ten sam argument

=(1/2)(2 +cos(p1x1+p2x2-p1x2-p2x1)+


+cos(-(p1x1+p2x2-p1x2-p2x1))+

+isin(-(p1x1+p2x2-p1x2-p2x1))



Ze wzorów trygonometrycznych wiemy, że

cos(-x) = cos(x), a sin(-x) = -sin(x). Stąd

=(1/2)(2 +cos(p1x1+p2x2-p1x2-p2x1)+


+cos((p1x1+p2x2-p1x2-p2x1))+

-isin((p1x1+p2x2-p1x2-p2x1))

Zatem wyraz zawierające cosinus sumują się, a wyrazy z sinusem eliminują się.

i tak otrzymujemy

=(1/2)(2 +cos(p1x1+p2x2-p1x2-p2x1)+

+cos((p1x1+p2x2-p1x2-p2x1))



Ze wzorów trygonometrycznych wiemy, że

cos(a)+cos(b)=2cos((a+b)/2)cos((a-b)/2). Stąd

=(1/2)(2 +2cos((p1x1+p2x2-p1x2-p2x1+ p1x1+p2x2-p1x2-p2x1)/2)*

*cos((p1x1+p2x2-p1x2-p2x1- p1x1-p2x2+p1x2+p2x1)/2)W drugim cosinusie kolejne wyrazy eliminują się i wynikiem jest cos(0)=1.

Zatem

=(1/2)(2 +2cos((2p1x1+2p2x2-2p1x2-2p2x1) /2))

=(1/2)(2 +2cos((p1x1+p2x2-p1x2-p2x1))



Następnie przekształcamy czynnik

p1x1+p2x2-p1x2-p2x1=(p1-p2)x1-(p1-p2)x2=(p1-p2)(x1-x2)

Wiedząc, że q=p1-p2 oraz x=x1-x2

ostatecznie otrzymujemy

=(1/2)(2 +2cos(qx)) = 1+cos(qx)



Uogólniając, sumując po wszystkich stanach spinowych funkcja korelacyjna wyraża się wzorem:

R(p1,p2)= 1+s s(p1,p2)<cos(qx)>s

Rysunek 24 Kształ funkcji korelacyjnej dla układu pion-pion z uwzględnieniem wpływu czynnika Gamowa.

Rysunek 25 Kształ funkcji korelacyjnej dla układu kaon-kaon z uwzględnieniem wpływu czynnika Gamowa.

Rozważmy układ dwóch identycznych niespolaryzowanych neutronów.

Ogólna postać funkcji korelacyjnej wyraża się wzorem:


W tym przypadku możliwe są dwa stany spinowe: S=0 (stan sigletowy) oraz S=1 (stan trypletowy) z populacją odpowiednio ¼ oraz ¾.

Układ dwóch fermionów


Populacja ta wynika ze wzorów na zależność względem wektora polaryzacji P .

Dla populacji singletowej (spin asymetryczny) 0 = ¼(1-P2),

Dla populacji trypletowej (spin symetryczny) 1 = ¾(1+P2)

Zatem powyższe równanie na funkcję korelacyjną możemy zapisać:

Rnn(p1,p2)=

=1/4 [ 1/2 |(eip1x1+ip2x2+eip1x2+ip2x1)|2] + 3/4 [ 1/2 |(eip1x1+ip2x2-eip1x2+ip2x1)|2]

Przeprowadzając analogiczne przekształcenia (podnoszące czynniki zawierające fale płaskie do kwadratu), jak w przypadku bozonów otrzymujemy:

Rnn(p1,p2) = 1/4 [ 1+cos(qx)] + 3/4 [ 1-cos(qx)] = 1 - (1/2) cos(qx)

Układ dwóch fermionów


Jeżeli przyjmiemy, że cząstki są produkowane niezależnie i w stanie spinowym nie zależnym od punktów ich produkcji to zgodnie ze wcześniejszymi rozważaniami gęstość prawdopodobieństwa jest wyrażana przez iloczyn poszczególnych gęstości:

Ws(x1,p1;x2,p2)=s(p1,p2) w(x1,p1) w(x2,p2)

Parametryzacja rozkładem Gaussa

Rozkład przestrzenno-czasowy źródeł emisji często parametryzuje się jednocząstkowym prawdopodobieństwem Gaussa:

Ws(xi) ~ exp(-(ri2/2r0

2)-(ti2/20

2))

Przy spełnionych wcześniejszych założeniach funkcję korelacyjną możemy określić następująco:

R(p1,p2)= 1+s (-1)s s(p1,p2) exp(-(r02q2)-(0q0

2))

Równanie R(p1,p2)= 1+s (-1)ss(p1,p2) exp(-(r02q2)-(0q0

2)) można przekształcić do równania w układzie spoczynkowym pary, gdzie q*={0,2k*} oraz k*T=(qT)/2, k*L=(qL)/2.


R(p1,p2) = 1+s (-1)s s(p1,p2) exp(-(r02q2)-(0q0

2)) =

Wiedząc, że q0 = (q p)/p0 = qv = qLv oraz q2 = qT 2+qL

2

= 1+s (-1)s s(p1,p2) exp(-(r02 qT

2)- (r02 ql

2)-(0 qL2

v2))

Następnie grupując, przeprowadzając transformacje do układu spoczynkowego pary i zamieniają wektory q na k otrzymujemy:

R(p1,p2) = 1+s (-1)s s(p1,p2) exp(-(4r02 kT

2)- (42(r02 +(0 v)2) kL

2))

Jest czynnikiem Lorentza związanym z prędkością pary cząstek v.

Rozpatrujemy równanie R(p1,p2)= 1+s (-1)ss(p1,p2) <cos(qx)>s .


Wartość średnią cosinusa możemy zapisać jako:<cos(qx)>= W ‘ (x1,x2) cos(qx) d4x1d4x2

Natomiast W (x)= W ‘ (x1,x2) (4)(x-x2-x) d4x1d4x2

~ exp(-(ri2/2r0

2)-(ti2/20

2))

Szkic wyprowadzenia funkcji korelacyjnej przy parametryzacji funkcją Gaussa

Następnie należy wyliczyć W ‘(x1,x2) z równania z powiązaniem do

exp(-(ri2/2r0

2)-(ti2/20

2)) , podstawić do wzoru na <cos(qx)> i na końcu do wzoru na funkcję korelacyjną.

Ostatecznie otrzymujemy:

R(p1,p2)= 1+s (-1)ss(p1,p2) exp(-(r02q2)-(0q0

2))

Documents

Definicja i własności funkcji korelacyjnej bozonów i fermionów