Curs 9 __ Toleranţe

Curs Tolerane Conf.univ.dr.ing. Liliana Popa

1

Curs 9

7. Lanuri de dimensiuni

7.1 Noiuni generale

Elaborarea proiectelor unei maini sau instalaii, ca i ntocmirea

desenelor de execuie ale pieselor componente, este realizat avnd la baz

calcule cinematice, dinamice i dimensionale.

Calculele cinematice i dinamice au n vedere asigurarea funcionrii

corespunztoare la solicitrile la care este supus maina sau instalaia, n timp ce

prin calculele dimensionale se stabilesc dimensiunile pieselor i abaterile admise de

la poziia reciproc, corelaia dintre elementele diferitelor suprafee ale unei piese

sau ale pieselor unui subansamblu, realiznd legtura dimensional.

Dimensiunile aceleiai piese, ca i dimensiunile diferitelor piese care

formeaz un ansamblu, sunt ntr-o legtur reciproc i ntr-o dependen reciproc

n ansamblul considerat .

Modificarea dimensiunii unei piese dintr-un ansamblu sau dintr-un

mecanism provoac modificarea poziiei unei piese sau a mai multor piese din

ansamblul sau din mecanismul considerat. Este evident c, pentru a elimina efectul

produs de modificarea dimensiunii unei piese, trebuie s se modifice o alt

dimensiune a uneia sau a mai multor piese din mecanism.

Trebuie precizat c unele legturi dimensionale nu influeneaz calitatea

produsului, iar altele o influeneaz ntr-o mic msur. Sunt ns legturi

dimensionale de care depinde direct calitatea produselor; un astfel de exemplu

poate fi legtura dintre dimensiunile care determin dezaxarea i neparalelismul

dintre axele unei perechi de roi dinate n angrenare.

Concretizarea legturilor dimensionale ale suprafeelor unei piese sau

ale suprafeelor mai multor piese ntr-un ansamblu apare sub forma lanurilor de

dimensiuni .

Prin lan de dimensiuni se nelege totalitatea dimensiunilor , liniare

sau unghiulare , care formeaz un contur nchis i care determin poziia unor

suprafee ale unei piese sau ale mai multor piese ntr-un ansamblu.

Dimensiunile unui lan se mpart n:

- dimensiuni primare (sau dimensiuni componente) - sunt acele

dimensiuni care se nscriu pe desenele de execuie sau ansamblu i care, n timpul

prelucrrii piesei sau la montaj, trebuie respectate la valorile impuse;

- dimensiunea de nchidere ( sau dimensiunea rezultant ) - este

dimensiunea care rezult din dimensiunile primare ale lanului, obinndu-se ultima

i, n mod automat, att n procesul de prelucrare ct i n cel de asamblare; ea

nu se nscrie pe desenul de execuie sau de ansamblu.

Oricare lan de dimensiuni are un singur element de nchidere;

celelalte elemente sunt dimensiuni primare. n cazul lanurilor de dimensiuni de

asamblare, dimensiunea de nchidere este, de obicei, jocul care trebuie s se obin

la asamblare ntre diferite elemente.

n figura 7.1, n lungul axei, arborele este perfect determinat prin

dimensiunea 180 0,2, care indic lungimea total a arborelui i de cele dou


2

dimensiuni 500,1, care reprezint prile montate n lagr; n urma prelucrrii

arborelui , lungimea zonei centrale a arborelui , notat R (de la rezultant) rezult

ultima i, n mod automat, prin prelucrarea cotelor 1800,2, i a celor dou de

500,1.

1.050:A1 R1.050:A 2

2.0180:A3

Fig.7.1 Lan de dimensiuni pentru un arbore

Dimensiunile 1800,2 i 500,1 sunt dimensiuni primare, iar dimensiunea R,

dimensiune de nchidere (rezultant ).

Considernd influena pe care o au asupra dimensiunii de nchidere,

dimensiunile primare se mpart n:

- dimensiuni mritoare - acele dimensiuni care, prin mrire (n limita

toleranei impuse), provoac mrirea dimensiunii de nchidere;

- dimensiuni reductoare - acele dimensiuni care, prin mrire,

provoac micorarea dimensiunii de nchidere.

Dac prin piesa reprezentat n fig. 7.1. considerm c se execut mai

multe buci i dac printr-o ntmplare cotele A1 i A2 au fost executate la

valoarea A1=A2=50,1, iar cota A3 va avea valori cuprinse ntre A3min.=179,8 i

A3max.=180,2 , dimensiunea rezultant R a fi minim la valoarea A3min i maxim la

valoarea A3max; spunem c dimensiunea A3 este dimensiune mritoare (prin

mrirea ei se mrete dimensiunea de nchidere ).

Dac n acelai exemplu considerm c toate piesele executate au

rezultat cu A3=180,1, cu A1 =50,1 i cu dimensiunea A2 avnd valori cuprinse ntre

A2min.=49,9 i A2max.=50,1 , dimensiunea rezultant va avea valoarea maxim pentru

A2min. i valoarea minim pentru A2max.; spunem c dimensiunea A2 este dimensiune

reductoare (prin mrirea ei se micoreaz dimensiunea de nchidere). n mod

similar, n lanul de dimensiuni considerat, se constat c i dimensiunea A1 este

dimensiune reductoare.

Diverse tipuri de lanuri de dimensiuni sunt prezentate n fig.7.2.

Clasificarea lanurilor de dimensiuni se poate face n funcie de mai multe criterii.

1. Dup apartenena la o pies sau un ansamblu:

a. lanuri de dimensiuni ale pieselor luate individual, fig.7.2 a i b;

b. lanuri de dimensiuni de asamblare, fig.7.2 c i d.


3

Fig.7.2 Diferite tipuri de lanuri de dimensiuni

2. Dup tipul dimensiunilor:

a. lanuri de dimensiuni liniare

b. lanuri de dimensiuni unghiulare

c. lanuri de dimensiuni mixte.

a. b. c.

Fig.7.3 Tipuri de lanuri de dimensiuni n funcie de tipul dimensiunilor componente

3. Dup poziia n plan sau n spaiu a dimensiunilor, fig.7.4:

a. lanuri de dimensiuni paralele i n acelai plan, fig.7.4 a.

b. lanuri de dimensiuni neparalele i n acelai plan, fig.7.4 b.

c. lanuri de dimensiuni spaiale, fig.7.4 c.

4. Dup complexitate, fig.7.5:

a. lanuri simple de dimensiuni, fig.7.5 a;

b. lanuri complexe de dimensiuni, fig.7.4 b.


4

a. b. c. Fig.7.4 Tipuri de lanuri de dimensiuni n funcie de poziia n plan sau n spaiu a

dimensiunilor

a. b.

Fig.7.5 Tipuri de lanuri de dimensiuni n funcie de complexitate

5. Dup baza de cotare:

a. dimensiunile primare au aceeai baz de cotare, fig.7.6 a;

b. cotarea fiecrei dimensiuni se face fa de limita celei precedente, fig.7.6 b;

c. unele dimensiuni au baza comun de cotare, alte dimensiuni au baze de

cotare diferite, fig.7.6 c.

a. b. c. Fig.7.6 Tipuri de lanuri de dimensiuni n funcie de baza de cotare

7.2 Rezolvarea problemei directe

Rezolvarea problemei directe se ntlnete pentru toate tipurile de

dimensiuni: pentru lanuri de dimensiuni liniare paralele, pentru lanuri de

dimensiuni liniare neparalele i pentru lanuri de dimensiuni unghiulare.

Pentru oricare dintre tipurile de dimensiuni ( liniare paralele sau

neparalele si unghiulare ) rezolvarea problemei directe necesit , ca prim etap,

identificarea dimensiunilor mritoare i a dimensiunilor reductoare.

Ca metode de rezolvare a problemei directe se pot utiliza :

- metoda de maxim i minim; - metoda probabilistic; - metoda algebric.


5

7.2.1 Lanuri de dimensiuni liniare paralele

7.2.1.1. Metoda de maxim i minim - metoda calculului la limit

La rezolvarea prin aceast metod a lanurilor de dimensiuni se consider c

dimensiunile sunt realizate (la prelucrare) fie la valoarea limit minim, fie la

valoarea limit maxim.

Pentru a exemplifica modul de rezolvare al problemei se consider

piesa, pentru care lanul de dimensiuni este prezentat n fig.7.7.a.

a. b.

Fig.7.7 Schema de rezolvare a lanurilor de dimensiuni liniare prin metoda de maxim i minim

n lanul de dimensiuni , R este dimensiunea de nchidere, A2 dimensiunea

mritoare, iar A1 dimensiunea reductoare .

Valorile limit (minim i maxim) ale dimensiunilor componente sunt puse n

eviden n fig. 7.7.b, notndu-se abaterile inferioar i superioar ale dimensiunilor

A1 i A2 (precum i cmpul de toleran al acestora).

Rezult, din fig.7.7.b c valoarea nominal a dimensiunii de nchidere

este:

NRA = NA2 - NA1 (7.1)

Valorile limit ale dimensiunii de nchidere sunt :

RA max = A2 max - A 1 min (7.2)

Ra min = A2 min - A1 max (7.3)

Dar :

RAmax = NRA + EsRA

RAmin = NRA + EiRA

A2max = NA2 + EsA2 (7.4)

A2min = NA2 + EiA2

A1max = AA1 + EsA1

A1min = NA1 + EiA1


6

Dac relaiile (5.4) se nlocuiesc n (5.2) i (5.3) se obine :

NRA + EsRA = ( NA2 + EsA2 ) - ( NA1 + EiA1 )

( 7.5 )

NRA + EiRA = ( NA2 + EiA2 ) - ( NA1 + EsA1 )

Dac se scade relaia (5.1) din relaiile (5.5) se obine :

EsRA = EsA2 - EiA1

( 7.6)

EiRA = EiA2 - EsA1

Tolerana dimensiunii de nchidere este determinat de valorile abaterilor limit

ale acesteia :

TRA = EsRA - EiRA ( 7.7 )

nlocuind n relaia toleranei dimensiunii de nchidere valorile abaterilor date

de relaiile (5.6) i grupnd termenii se obine :

TRA = ( EsA2 EiA1 ) - ( EiA2 - EsA1 ) =

TRA = (EsA2 EiA2 ) + ( EsA1 - EiA1 ) = TA2 + TA1 ( 7.8 )

Tolerana dimensiunii de nchidere este teoretic egal cu suma toleranelor

dimensiunilor componente.

n cazul general al unui lan cu n dimensiuni n care n

- a este

dimensiunea de nchidere i n care de la ,,j = 1 la ,,m

,, sunt dimensiuni mritoare,

iar de la ,,m + 1 la n 1

sunt dimensiuni reductoare, relaiile de calcul ale

dimensiunii de nchidere i ale abaterilor ei sunt:

1n

1m

Aj

m

1j

AjR NNN ( 7.9 )

1n

1m

i

m

1j

SS AjAjREEE ( 7.10 )

1n

1m

S

m

1j

ii AjAjREEE ( 7.11)

1n

1j

AjR TT ( 7.12 )


7

7.2.1.2 Metoda probabilistic

n cazul n rezolvrii problemei directe prin metoda de maxim i minim s-a

presupus c toate dimensiunile lanului se prelucreaz strict la valorile limit admise

(inferioar sau superioar).

n realitate, prin prelucrarea unui numr de piese dup acelai desen de

execuie, dimensiunile acelorai suprafee ale diferitelor piese sunt variabile

aleatoare ale cror mrimi sunt cuprinse n interiorul cmpului de toleran, dar nu

sunt egale cu valorile limit dect absolut ntmpltor.

ntr-adevr, innd seama de distribuia dimensiunilor n cmpurile lor de

tolerane, putem considera c realizarea sau asamblarea pieselor avnd dimensiuni

limit este un fenomen foarte rar.

Deoarece valorile nominale ale dimensiunilor primare sunt valori constante,

valoarea nominal a dimensiunii de nchidere se calculeaz ca i prin metoda

maxim i minim.

m

1j

1n

1m

AjAjR NNN A ( 7. 13 )

n ceea ce privete calculul abaterilor, dimensiunile avnd fiecare o

mprtiere proprie, abaterea medie ptratic a dimensiunii de nchidere va fi:

1n

1j

2R )Aj(A (7.14)

n care: RA - este abaterea medie ptratic a dimensiunii de nchidere; Aj -

abaterile medii ptratice ale dimensiunilor primare.

innd seama c abaterea relativ medie ptratic , n cazul n care amplitudinea este egal cu tolerana prescris T este:

T5,0

(7.15)

Aj = 0,5 Aj TAj

RA = 0,5 RA T' RA (7.16)

Pentru dimensiunea de nchidere tolerana s-a notat cu indicele ,,prim,,, deci

T' R pentru a o diferenia de valoarea calculat prin metoda de maxim i minim.

nlocuind relaiile ( 7.16) n relaia ( 7.14) se obine :

1n

1j

2Aj

2Aj

'RARA TT (7.17)

Lund n considerare relaia coeficientului de mprtiere relativ k (raportul dintre

abaterea relativa medie ptratic , pentru legea de distribuie considerat, i


8

abaterea relativ medie ptratic e , pentru legea de distribuie etalon k = e

se poate scrie :

Aj = kAj e i RA = k RA e (7.18 )

nlocuind relaiile ( 7.18) i ( 7.17) se obine :

1n

1j

2Aj

2Aj

2e

'RAeRA TkTk (7.19 )

sau

1n

1j

2Aj

2Aj

2e

RA

'RA Tk

k

1T (7.20)

Stabilirea coeficientului de mprtiere relativ kAj se poate face practic prin

msurarea valorilor unui lot mare de mrimi sau prin cunoaterea legii teoretice de

distribuie.

n ceea ce privete coeficientul de mprtiere relativ kRA, pe baza teoriei

probabilitilor, se poate considera c:

- suma a dou mrimi aleatoare, avnd fiecare distribuia dup legea

distribuiei uniforme, are o distribuie dup legea triunghiului isoscel (Simpson );

- suma a trei sau mai multe mrimi aleatoare, avnd fiecare distribuia dup legea distribuiei uniforme , se apropie de o distribuie rezultant dup legea distribuiei normale (Gauss- Laplace);

- suma a dou sau mai multe mrimi aleatoare, avnd fiecare distribuia

dup legea triunghiului isoscel (Simpson ), se apropie de distribuia normal

(Gauss- Laplace);

- suma mrimilor aleatoare, avnd fiecare distribuia dup legea de mprtiere normal (Gauss- Laplace) , are o distribuie dup legea normal (Gauss- Laplace ).

Dac nu se cunoate legea de distribuie a dimensiunilor componente, se recomand s se ia pentru acestea distribuia uniform.

n situaia n care dimensiunile primare ale lanului au pentru valorile efective

o distribuie dup legea normal (Gauss-Laplace), relaia (7.20) a toleranei

dimensiunii de nchidere T' RA va fi:

1n

1j

2Aj

'RA TT (7.21)

Din relaiile (7.20) i (7.21) se observ c tolerana dimensiunii de nchidere

calculat prin metoda probabilistic, TRA, are valoarea mai mic dect tolerana

dimensiunii de nchidere calculat prin metoda de maxim i minim, TRA.

n vederea stabilirii abaterilor dimensiunii de nchidere, a crei toleran a fost

determinat prin metoda probabilistic, se poate proceda n dou moduri;

- se determin abaterile prin metoda de maxim i minim i fa de acestea, se calculeaz cele practice;

- se calculeaz valoarea central XCra a toleranei dimensiunii de nchidere i apoi se determin abaterile practice.


9

Pentru primul caz, dup determinarea abaterilor teoretice, conform fig. 7.8.a, se pot scrie valorile abaterilor practice

2

TTEE

'RARA

S'S RARA

(7.22)

2

TTEE

'RARA

i'i RARA

Fig.7.8 Determinarea abaterilor dimensiunii de nchidere prin metoda probabilistic

Pentru al doilea caz , trebuie calculat valoarea central a toleranei dimensiunii de

nchidere.

Se determin coeficientul de asimetrie relativ , care caracterizeaz deplasarea

valorii medii a mrimii date fa de mijlocul cmpului de toleran (valoarea centrala) Xc i care are expresia general:

2

T

x c (7.23)

Valoarea medie este deci:

2

Txc (7.24)

Deoarece valoarea medie a unei sume algebrice de mrimi aleatoare este

egal cu suma algebric a mediilor mrimilor aleatoare date, se poate scrie:

1n

1j

AjRA (7.25)

Se poate scrie pentru fiecare element in parte , conform relaiei (7.24) :

2

Tx

'RA

RAcRA (7.26)


10

2

Tx 1A1Ac1A 1A

2

Tx 1An1Anc1An 1An

Indiferent de asimetria distribuiilor dimensiunilor primare, distribuia dimensiunii

de nchidere tinde ctre o distribuie simetric, motiv pentru care se poate

considera c RA = 0.

nlocuind relaiile (7.26) n relaia (7.25) i considernd RA=0, se obine:

1n

1j

Aj

Ajcc )2

Tx(x

AjRA (7.27)

n cazul n care distribuiile dimensiunilor primare sunt simetrice Aj0 i

relaia care d valoarea central a toleranei dimensiunii de nchidere (5.28) devine:

1n

1j

cc AjRAxx (7.28)

Cunoscnd valoarea central a toleranei dimensiunii de nchidere ,

valorile abaterilor acestei dimensiuni se pot calcula (vezi fig. 7.8. b) :

2

TxE

'RA

c'S RARA

(7.29)

2

'' RA

ci

TxE

RARA

7. 2. 1. 3. Metoda algebric

Rezolvarea problemei directe prin aceast metod const din aplicarea

calculului algebric la rezolvarea lanurilor de dimensiuni i anume, se adun

algebric mrimile de acelai fel: dimensiunile nominale, abaterile superioare, abaterile

inferioare; trebuie atenionat c semnul minus n faa unui element al

lanului de dimensiuni schimb semnul abaterilor, precum i poziia acestora,

deoarece trebuie respectat relaia Es Ei.

n lanul de dimensiuni din fig. 7.9 , dimensiunea de nchidere va avea

valoarea :

Fig.7.9 Exemplu de lan de dimensiuni


11

1A1A

Ei

3A

3AEi

2A

2AEi

AR

AREi

Es

1

Es

3

Es

2

Es

A AAAR (7.30)

1,0 2,005,005,0

05,005,0

Es

A 322525RAR

AREi

(7.31)

3.0 2.02.005.005.01.005.005.0

1,02,0

05,005,0

05,005,0

Es

A 15)352525(352525RAR

AREi

(7.32)

Documents

Curs 9 __ Toleranţe