1CURS 7ANALIZA STATISTIC A SERIILOR DE DATE
BIVARIATESTATISTIC2Legturi statistice. Definiie,
clasificareFenomenele i procesele social-economice nu sunt, n
general, fenomene independente, ci ele se manifest ca rezultat al
aciunii unor factori de influen i condiioneaz, la rndul lor,
manifestarea altora. Legturile statistice (stochastice) sunt relaii
prin care se realizeaz procesul de determinare, apariie i
dezvoltare a fenomenelor de mas (X cauza, Y efectul).Dac dou
variabile se modific (n acelai sens ori n sensuri contrare) se
spune despre ele c sunt corelate. Cu toate acestea, descoperirea
unei corelaii ntre dou variabile nu implic, n mod necesar, c
schimbrile unei variabile cauzeaz schimbrile celeilalte variabile.
Este posibil ca o relaie de cauzalitate s existe, dar este posibil
ca ambele variabile s se modifice n pas cu o a treia
variabil.3Legturi statistice. Definiie, clasificareLegturi l e
stati sti ce se cl asi fi c n funcie de urmtoarele criterii:a) dup
natura variabilelor:1. legturi ntre variabile numerice (numitecorel
ai i )2. legturi ntre variabile nenumerice sau intre o variabil
numeric i una nenumeric(numiteasoci eri )b) dup numrul
variabilelor:1. legturi simple (ntre dou variabile, din care una
este cauz /i ndependent (X) i alta efect /dependent (Y))2. legturi
multiple (ntre trei sau mai multe variabile, din care una este
efect i celelalte sunt variabile cauzale)4Legturi statistice.
Definiie, clasificarec) dup direcia sau sensul legturii:1. legturi
directe (modificarea ntr-un sens a unei variabile este nsoit de
modificarea n acelai sens a celeilalte variabile X=> Y ) 2.
legturi inverse (modificarea ntr-un sens a unei variabile este
nsoit de modificarea n sens invers a celeilalte variabile X=> Y
) d) Dup forma legturii1. legturi liniare (care semnific o
schimbare uniform a unei variabile sub influena schimbrii
altei/altor variabile, legturi ce pot fi modelate cu ajutorul unei
funcii liniare)2. legturi neliniare sau curbilinii (legturi ce pot
fi modelate cu ajutorul unor funcii neliniare: parabol de gradul 2,
exponenial, polinomial de ordin superior)5Legturi statistice.
Definiie, clasificaree) Dup modulde mani festare n ti mp a l egturi
i :1. l egturisi ncrone, concomitente (modificarea unei variabile
are loc aproximativ o dat cu modificarea alteia/altora) 2. l
egturiasi ncrone, cu decalaj (efectul se manifest dup un interval
de timp de la producerea cauzei)6Legturi statistice. Metode de
analizMetodele de analiz a legturilor statistice dintre variabile
se mpart n dou mari categorii:A. Metode el ementare (si mpl e),
care permit stabilirea existenei, a direciei i a formei legturiiB.
Metode compl exe, clasificate n: 1. Metode parametri ce2. Metode
neparametri ce 7Legturi statistice. Metode elementare de
analizMetodel e el ementare de analiz a legturilor dintre variabile
sunt:1. Metoda grafi c ( nor de puncte)2. Metoda seri i l or paral
el e (sau interdependente)3. Metoda grupri i4. Metoda tabel ul uide
corel ai e1. Metoda grafi cReprezentarea grafic a datelor bivariate
se realizeaz prin intermediul corelogramei ( nor de puncte).Prin
interpretarea modului de amplasare a punctelor n spaiul determinat
de cele dou axe se pot stabili: existena, sensul i forma
legturii.Este cea mai utilizat metod elementar de analiz a legturii
dintre variabile i precede, de regul, analiza prin metode
complexe.8Legturi statistice. Metode elementare de analiz
Corelograma.Tipuri de legturi. a) legtur liniar direct; b) legtur
liniar invers; c), d), e) absena legturii; f) legtur liniar
determinist direct; g) legtur liniar determinist invers; h), i)
legturi neliniare. a) b) c) d)e)f) g) h) i) 9Legturi statistice.
Metode elementare de analizExemplu Un analist dorete s studieze
legturadintrecheltuielile pentru promovarea produselor i nivelul
vnzrilor realizate. n acest scop el sistematizeaz date
pentru15mrfurialimentareprivindcheltuielileluna recupromovarea
produsului (miilei) i ncasrile lunare realizate (miilei)Nr. crt.
Cheltuieli promovare (mi i lei) ncasri lunare(mi i
lei)120,02190214,81900320,51990412,51210518,01500614,31980724,93340816,51880924,331001020,221301122,028801219,031201312,318601414,017301516,71740
10Legturi statistice. Metode elementare de analizPentru a analiza
existena, sensul i forma legturii vom construi
corelograma:050010001500200025003000350040000 5 10 15 20 25
30cheltuieli de promovareincasari lunare Se observ c ntre cele dou
variabile exist legtur liniar direct . 11Legturi statistice. Metode
elementare de analiz2. Metoda seri i l or i nterdependente, const n
ordonarea cresctoare sau descresctoare a valorilor variabilei
cauzale i compararea modului de variaie a valorilor celor dou
caracteristici, determinndu-se existena i sensul legturii3. Metoda
grupri ipresupune gruparea unitilor statistice dup valorile
variabilei cauz i determinarea unor indicatori derivai pentru
variabila efect (ex. medii condiionate). Prin compararea variaiei
celor dou variabile se identific existena i sensul legturii. Metoda
se utilizeaz n cazul unui numr mare de uniti statistice.4. Metoda
tabel ul uide corel ai e se aplic n cazul unor grupri combinate ale
datelor statistice dup dou variabile. n funcie de modul de
amplasare a frecvenelor n interiorul tabelului se identific
existena i sensul legturii. 12Legturi statistice. Metode complexe
de analizMetode compl exe de analiz1. Metode parametri cea) Metoda
regresi eieste utilizat pentru a previziona nivelul unei variabile
efect Y n funcie de valorile uneia sau mai multor variabile cauz
folosind un model matematic numit funcie de regresie, de forma
Y=f(X).b) Metoda corel ai eipermite msurarea intensitii legturii
dintre dou variabile numerice. Acest lucru se realizeaz cu ajutorul
indicatorilor:Covari anaCoefi ci entulde corel ai e l i ni ar si
mpl PearsonCoefi ci entulde determi nai eRaportulde corel ai
eMetoda regresiei13Elaborareacorectaunuimodelderegresiepresupune
parcurgerea urmtoarelor etape:
definireamodeluluiunifactorialderegresieseface
printr-orelaiematematicncarevariabilaefect
(dependent/rezultativ),y,depindededoucategoriide factori: un factor
principal, determinant, notat cu x;
ovariabilrezidual,u,careesteconstituitdintoi ceilali factori care
se consider neeseniali; Metoda regresiei14 specificarea modelului
unifactorial: ( ) u x f y + , unde: y = variabil endogen; x =
variabil exogen.
identificareamodeluluiunifactorialpresupunealegereaunei funcii
matematice care red cel mai bine legtura dintre valorile
variabileiendogene/efect(rezultative)ivalorilevariabilei
exogene/cauz(factorial).Celmaiadeseaidentificareaformei legturii se
realizeaz cu ajutorul metodei grafice (corelograma). n funcie de
modul de grupare al punctelor pe grafic putem avea funcii liniare,
exponeniale, polinomiale etc. Metoda regresiei15Forma modelului de
regresie liniar unifactorial este: u bx a yi i+ + unde: xi =
valorile variabilei exogene (cauz, factorial) x; yi = valorile
variabilei endogene (efect, rezultative) y; a, b = parametrii
ecuaiei de regresie. Metoda regresiei16Grafic, funcia liniar arat
astfel: y x i ibx a y + Metoda
regresiei17Parametrulareprezintvaloareafuncieideregresiepentru
x=0,adicreprezintpunctuldeinterseciealdrepteide regresie cu axa OY.
Parametrulbreprezintpantadrepteiinearatcucte
unitidemsursemodificvariabilarezultativydac variabila factorial se
modific cu o unitate de msur. Din semnul lui b putem deduce direcia
legturii dintre cele
douvariabile:dacb>0existlegturdirectntreyix, dac b < 0 exist
legtur invers ntre y i x. u reprezint variabila rezidual
(aleatoare). 18Legturi statistice. Metode parametri ceCovari ana
Plecnd de la reprezentarea grafic prin intermediul diagramei de
mprtiere, putem calcula un indicator care s msoare legtura dintre
cele dou variabile. Pentru punctele de pe grafic, determinate de xi
i yi, putem calcula devierile xi x i xi y, la fel ca i produsele
acestor devieri (xi x)(yi y). Acest indicator, numit covari ana
ntre X iY, ne arat ct de mult se modific mpreun cele dou variabile:
n) y - )(yi x - (xi) y , x cov(n1 i Covariana este pozitiv dac
legtura dintre variabile este direct i negativ,
daclegturadintrevariabileesteinvers.Dacvaloareacovarianeiesteegal
cuzero,acestlucruimpliclipsalegturiintrevariabile,sau,celpuin,lipsa
legturii liniare. 19Legturi statistice. Metode parametri ce
Covariana,fiindunindicatorabsolut,poateluavaloriorictdemarinvaloare
absolut, ceea ce o face greu de interpretat i comparat. Covariana
indic direcia legturii, dar nu i intensitatea ei (ct de puternic
este legtura dintre variabile). Coeficientuldecorelaie
,indicatoralcorelaieifolositncazullegturii simple liniare ,
standardizeaz media produselor abaterilor:semnul coeficientului
indic direcia legturii , iar valoarea lui indic intensitatea
legturii .1]1
1]1
niiniinii iy xxy) y y ( ) x x () y y )( x x (s s) y , x
cov(r12121 sau, prin transformri elementare:11]1
,_
11]1
,_
ninii ininii inininii i i ixyy y n x x ny x y x nr121212121 1 1.
Coeficientul de corelaie20ncazuldistribuiilordefrecven,formula
coeficientului de corelaie este: ( )( ) r1 iy x ir1 ii i ix / ynn y
y x xr Coeficientul de corelaie21Coeficientul de corelaie ry/x este
cuprins ntre [-1, 1]. Dac:ry/x 0nseamncntreceledouvariabileexist
legtur direct; ry/x=0ntre cele dou variabile nu exist legtur;
ry/xt1legturadintreceledouvariabileestefoarte puternic; ry/x
=t1legturadintreceledouvariabileeste funcional. Coeficientul de
determinaie22Pentru a stabili intensitatealegturii dintre dou
variabileseutilizeazcoeficientulde
determinaiecalculatcapondereavarianei factoriale n variana total: (
)( )[ ] 1 , 0112122/ niiniix yy yy yR Coeficientul de
determinaie230 R2x / y dac y yi , adic dac b = 0. n acest caz nu
exist legtur ntre y i x. 1 R2x / y dac toate punctele (x, y) se
gsesc pe o dreapt, iar n acest caz erorile sunt nule. R2cu ct este
mai apropiat de 1 cu att partea din varia ia lui y explicat de x
este mai marei deci intensitatea legturii dintre cele dou variabile
mai mare. Raportul de
corelaie24Extrgndradicaldincoeficientuldedeterminaie se obine
raportul de corelaie: ( )( ) niinii ix yy yy yR1212/1 Raportul de
corelaie25Raportul de corelaie Ry/x ia valori cuprinse ntre 0 i 1.
Dac:Ry/x=0atuncinuexistlegturntre variabile; Ry/x = 1 atunci ntre
cele dou variabile exist o legtur funcional (n acest caz toate
punctele se gsesc pe dreapta de regresie); Ry/x 1 legtura este mai
puternic; 26Metode parametri ce. Exempl u ExempluPe baza datelor
dinexemplul anterior i a prelucrrilor din tabelputem determina
coefi cientul de corelaie:Nr. crt. Chelt. (X) ncas.(Y)2x2y xy
112,30 1860 151,29 3459600 22878212,50 1210 156,25 1464100
15125314,00 1730 196,00 2992900 24220414,30 1980 204,49 3920400
28314514,80 1900 219,04 3610000 28120616,50 1880 272,25 3534400
31020716,70 1740 278,89 3027600 29058818,00 1500 324,00 2250000
27000919,00 3120 361,00 9734400 592801020,00 2190 400,00 4796100
438001120,20 2130 408,04 4536900 430261220,50 1990 420,25 3960100
407951322,00 2880 484,00 8294400 633601424,30 3100 590,49 9610000
753301524,90 3340 620,01 11155600 83166T270,00 32550 5086,00
76346500 614492( )796 , 032550 76346500 15 )( 270 5086 1532550 270
614492 15r2 2 , ceea ce ne arat o legtur direct i de intensitate
destul de puternic ntre cele dou variabile . 27Legturi statistice.
Metode neparametri ce2. Metode neparametri ce Se utilizeaz pentru
msurarea intensitii legturii dintre: variabile numerice care nu
provin din populaie cu distribuie normal sau aproximativ normal;
variabile numerice, ns datele provin din eantioane de volum redus
(sunt informaii insuficiente pentru a putea presupune normalitatea
distribuiei; variabile numerice, indiferent de forma legturii
(liniar sau neliniar);variabile nenumerice sau o variabil numeric i
una nenumeric;Aadar corelaia neparametric (sau l i ber de di stri
bui e) se utilizeaz atunci cnd presupunerile sub care se folosesc
metodele parametrice nu sunt ndeplinite.28Legturi statistice.
Metode neparametri ce Asocierea variabilelor alternativen cazul
variabilelor alternative, datele se sistematizeaz ntr -un tabelde
forma:Clasele lui YClasele lui xY(y1)non Y(y2) Total0123 X(x1)n11
n12 n1.nonX(x2)n21 n22 n2.Total n.1n.2 n.. Oasociereput
ernicntrevariabileseremarcncazulconcentrriifrec venelorpeuna dintre
diagonalele tabelului. Dac toate unitile statis tice sunt dispuse
doar pe diagonala principal (n11 i n22), vorbim de o aso ciere
perfect pozitiv
Dacunitilestatisticesuntdispusepediagonalasecundar(n21in12),vorbimdeo
asociere perfect negativ
CoeficientuldeasociereYule(Q)msoarintensitateaasocieriidintrevariabile
alternativeiare formula:12 21 22 1112 21 22 11n n n nn n n nQ+.
Acestindicator ia valori cuprinse ntre1 i +1;-el ia valoarea 0 cnd
n11 n22 = n21 n12, deci exist o independen ntre variabile; -o
valoare apropiat de +1 arat o asociere pozitiv;-o valoare apropiat
de1 arato asociere negativ. 29Legturi statistice. Metode
neparametri ceExemplu
Despredistribuiaturitilornfunciedenaionalitate,ndouhoteluride
categoriile 3 i 4 stele se cunosc datele: Categorie confort
Naionalitate 3 stele4 stele TOTAL Romn802118920 Strin245497742
Total10476151662 865 , 0118 245 497 802118 245 497 802Q + , ceea ce
demonstreazo asociere puternic ntre naionalitatea turitilor i
categoria de confort aleas. 30Legturi statistice. Metode
neparametri ceAsoci erea variabi l el or cal i tati ve ordinal e.
Corel ai a ranguri lor Variabilele calitative ordinale sunt
variabile pentru care pot fi ordonate variantele de rspuns.
Variabilele social -economice msurate pe o scal ordinalpermit
acor-dareaunornumeredeordine(ranguri)tuturorunitilor,astfelnct
unitile s poat fi ordonate nfuncie de criteriile studiate.
Rangurilesuntdela1(unitateaceamaipuinperformant,oricu
valoareaceamaisczutavaria bilei),pnlan(unitateaceamai performant)
Rangurile indic poziiile n serii ale uniti lor, dup variabilele
studiate Dacmaimulteunitistatisticeauaceeaivariant/valoare aunei
variabile, atunci se acordmedia rangurilor succesive . Metoda de
studiu alcorelaiei rangurilor poate fi apli cat i atunci cnd nu
sunt posibile msurtori numerice, dar sunt identi ficabile poziiimai
bune ori mai puin bune 31Legturi statistice. Metode neparametri
ceDin clasa metodelor de corelaiea rangurilor fac
parte:a)Coeficientul de corelaie a rangurilorSpearman-sebazea
zpeanalizaconcordaneiranguriloracordatepentrufiecaredin celen uniti
statistice, dup variabila X i dup variabila Y. -dacexi st o
asociere direct perfect, atunci fiecrui rang i, i = n , 1 dup
variabilaX (ixr)ivacorespundeacelairangi,dupvariabilaY(iyr)i
diferena din rangu rile acordate aceleiai unitistatistice va fi
nul: di = rxi ryi = 0. Dac aso cierea nu este perfect, rangurile nu
sunt identice i, atunci, di = rxi ryi 0. -Coeficientul de corelaie
a rangurilor Spearman (rs) se determin:( ) 1 n nd 61 r22is unde di
= rxi ryi reprezint diferena dintre rangurile perechi acordate
aceleiai uniti statistice.-Coeficientul de corelaie a rangurilor
Spearman ia valori cuprinse n intervalul [ -1, 1]. Valori (n modul)
apropiate de unitate indic o asociere puternic ntre variabi le, iar
valori apropiate de zero indic o asociere slab ntre variabile.
32Legturi statistice. Metode neparametri ceb)Coeficientul de
corelaie a rangurilor Kendall ( rK),
caresebazeaz,nfapt,totpestudiulconcordanei rangurilor, necesit
ordonarea cresctor a uni tilor dup rangurile acordate variabilei X
i nscrierea, n pa ralel, a rangu rilor acor date dup variabila Y.
Atunci:rK( ) 12n nS, unde: S = P Q, P =pi, Q = qi pi = numrul
rangurilor superioare fiecrui rang ryi, acordat dup varia bila Y,
de la el n jos;qi = numrul rangurilor inferioar e fiecrui rang ryi,
acordat dup variabila Y, de la el n jos.Acest indicator ia valori
cuprinse n intervalul [ -1, 1], iar
interpretareaestesimilarcuceaacoeficientuluide corelaie a
rangurilor Spearman.33Legturi statistice. Metode neparametri
ceExemplu : Sosirile vizitatorilor strini n Romnia i plecrile de
vizitatori romni n strintate au fost n anul 2000, pentru cteva ri
urmtoarele:araSosiri vizitatori (mii)Plecri vizitatori romni
(mii)RxRyd2 Austria 56103 12725 Belgia 171415141 Danemarca 961817,5
0,25Frana 645011110 Germania 259 178 550 Grecia 715110100 Italia
151 63684 Olanda 482314131 Regatul Unit 543213121 Spania 101017161
Suedia 1461617,5 0,25Bulgaria 464 603 244 Iugoslavia 112 1525 8236
Polonia 105 61990 Federaia Rus 124 1171564 Turcia 263 630 431
Ucraina 424 111 369 Ungaria 829 3087 110 TOTAL ----147,5 8478 ,
0323 185 , 147 61 rs 34Legturi statistice. Metode neparametri
ceCalculCalculul coeficientuluide corelaie Kendallrxrypq 1234 11170
24142 36123 43131 55121 68102 71538 82100 9981 101071 111161 12760
131250 141340 151430 1617.5 01 171610 1817.5 00 TOTAL -131 21 7190
, 017 18110 2rk.
Ceidoiindicatorinearatocorelaiedirectiputernicntreceledou
variabile: sosirile vizitatorilor strini n Romnia i plecrile
vizitatorilor romni n strintate.
