Legi de distribuţie (principalele distribuţii de

probabilitate)

Tudor Drugan

Introducere

In general distribuţiile variabilelor aleatoare definite

pe o populaţie, care face obiectul unui studiu, nu se

cunosc.

Din punct de vedere practic se încearcă încadrarea

acestor distribuţii în unele legi teoretice care

constituie modele pentru aceste variabile statistice

Principalele legi de distribuţie

• variabile aleatoare discrete finite legea BINOMIALĂ

(BERNOULLI)

• variabile aleatoare discrete infinite legea POISSON

• variabile aleatoare continue legea normală sau legea

LAPLACE-GAUSS

• variabilă aleatoare continuă legea STUDENT (t)

• sume de pătrate a unor variabile independente normal distribuite

legea 2 a lui PEARSON

• comportarea câtului a două variabile cu distribuţie Hi-pătrat

legea F a lui FISHER.

LEGEA BINOMIALĂ SAU DISTRIBUŢIA LUI

BERNOULLI

Variabile aleatoare finite

Modelul legii binomiale este următorul:

Un experiment este alcătuit din repetarea unei încercări

elementare de n ori, n fiind un număr natural dat.

Rezultatele posibile ale fiecărei încercări elementare sunt

doar două evenimente numite de obicei: succes (S) şi

eşec (E).

Probabilităţile p de succes şi q = 1 - p de eşec sunt

constante de la o încercare la alta.

Cele n încercări repetate sunt independente una de

cealaltă

LEGEA BINOMIALĂ SAU DISTRIBUŢIA LUI

BERNOULLI Numărul de reuşite obţinute din cele n încercări

repetate este o variabilă aleatoare de tip binomial

care depinde de parametrii n şi p şi este de obicei

notată prin Bi(n,p).

Probabilitatea pentru X=K este:

Această variabilă aleatoare X poate să ia valorile 0,

1, 2, ..., n şi are următorul tabel de distribuţie:

:k k n kn

kX

C p q

Pr( X = k ) = k k n knC p q

)!!*(

!

knk

nC

k

n

LEGEA BINOMIALĂ SAU DISTRIBUŢIA LUI

BERNOULLI

speranţa matematică a legii binomiale este:

M(X) = n p,

iar variaţia:

Var(X) =n p q,

şi deci abaterea standard:

(X) = npq

Comportarea la limită a legii binomiale când n

este mare

Se poate arăta că atunci când np 10 şi nq 10,

distribuţia variabilei binomiale X (frecvenţa absolută

a succeselor) tinde să se apropie de o lege normală

, npqN np

Exemple

Presupunem că de regulă un vaccin contra

pojarului produce febră la15% din copii . Care este

probabilitatea ca din 6 copii vaccinaţi 4 să aibă o

reacţie în urma vaccinării? Faptul că am întalnit

aceasta situaţie este o întamplare sau un posibil

început de epidemie?

Răspuns: In acest caz avem n = 6, k = 4, p =0.15,

q = 1-p = 0.85 . Atunci

Această probabilitate fiind mai mică de 1% se poate

considera că această situaţie apare cu o şansă

foarte mică.

4 4 2

6Pr( X = 4) = (0.15) (0.85) 0.00549.C

Exemple

Presupunem că de regulă un anumit vaccin contra

pojarului produce o reacţie (febră) cu o probabilitate

p=0.5 . Care este probabilitatea ca din 600 copii

vaccinaţi cel putin 4 să aibă o reacţie în urma

vaccinării?

4 4 596

600Pr( X = 4) = (0.5) (0.5)C

LEGEA LUI POISSON

Variabila aleatoare POISSON este o variabilă

discretă care ia o infinitate numărabilă de valori:

0,1,2,...,k,... , care reprezintă numărul de realizări

într-un interval dat de timp sau spaţiu ale unui

eveniment

de exemplu

numărul de internări pe an într-un spital,

numărul de bacterii într-un mililitru de apă,

numărul de dezintegrări ale unei substanţe radioactive

într-un interval de timp T dat

LEGEA LUI POISSON

Această variabilă aleatoare X este caracterizată de

un parametru care reprezintă numărul mediu

teoretic (aşteptat) de realizări ale evenimentului în

intervalul considerat şi are următoarea lege de

distribuţie:

:

!

k

X ke

k

Pr( X = k ) = !

kek

LEGEA LUI POISSON

Despre variabila aleatoare de tip Poisson X se mai

spune că este de tipul Po().

Speranţa matematică şi variaţia în cazul legii lui

Poisson sunt egale ambele cu , adică :

M(X) = Var(X) = .

Exemple

Rata de mortalitate pentru o anumită boală este de 7 la 1000 de cazuri. Care este probabilitatea ca într-un grup de 400 de persoane această boală să cauzeze 5 decese?

Răspuns: Avem p =7/1000=0.007, m = np = 400 x 0.007= 2.8

2.8 5 2.8 5(2.8) (2.7183) (2.8)Pr(X=5) = 0.0872

5! 5!

e

Exemple

Rata de mortalitate pentru o vaccinul pentru cancerul de col uterin este de 10 la 20000000 de cazuri. Care este probabilitatea ca într-un grup de 200000 de persoane această boală să cauzeze 1 deces?

Răspuns: Avem p =10/ 20000000, m = np = 200000 x 10/ 20000000 = 0,1

P(X)=0,104

Exemple

Rata de mortalitate pentru o anumită boală este de 10 la 1000 de cazuri. Care este probabilitatea de a avea mai puţin de 7 decese într-un grup de 500 persoane? Care este probabilitatea de a avea 7 sau mai multe decese într-un grup de 500 persoane?

Răspuns: Avem

p =10/1000=0.01, m = np = 500 x 0.01= 5

Probabilitatea de a avea mai puţin de 7 decese este:

Probabilitatea de a avea 7 sau mai multe decese este:

Pr(X7) = 1- Pr(X<7) = 0.2378

5 2 3 4 5 665

0

5 5 5 5 5 5Pr(X<7) = Pr(X 6) = (1 5 ) 0,7622

! 2 6 24 120 720

k

k

ee

k

Karl Friedrich Gauss

Scrierile lui Gauss (404 la număr, doar

178 publicate) sunt destinate mai multor

domenii, de la discipline ale matematicii,

fizicii şi până la geodezie, sau

astronomie.

Bestimmung der Genauigkeit der

Beobachtungen (1816) este o analiză

asupra eficienţei estimatorilor statistici

LEGEA NORMALĂ

Această lege de probabilitate a cărei funcţie de

probabilitate are o alură tipică de clopot numită

curba normală sau curba lui Gauss este un

model pentru multe variabile aleatoare continue

Această distribuţie depinde de doi parametri:

media m

abaterea standard

şi are densitatea de probabilitate următoare:

2)mx

(2

1

2

1f(x)

e

LEGEA NORMALĂ

Exemple

Distributia greutatii

corporale sau a

TAS in grupuri de

pacientii cu varste

cuprinse intre 35 si

44 de ani

LEGEA NORMALĂ

Dacă X satisface o lege normală de medie m şi

abatere standard atunci se spune că X este de

tipul N(m, ).

Pentru variabila normală X au loc:

M(X) = m

Var(X) = .

LEGEA NORMALĂ

LEGEA NORMALĂ REDUSĂ

Este evident că există o gamă infinită de legi

normale, care corespund câte unei perechi de

parametri (m, ).

Toate aceste distribuţii normale se pot reduce la

una singură, având media 0 şi abaterea standard 1,

cu ajutorul unei schimbări de variabilă:

mXZ

LEGEA NORMALĂ REDUSĂ

Aceasta este legea normală redusă cu densitatea

de probabilitate:

e x2

2

1

2

1f(x)

2)mx

(2

1

2

1f(x)

e

LEGEA NORMALĂ REDUSĂ

LEGEA STUDENT (T)

Variabila aleatoare Student t este o variabilă aleatoare

continuă care ia valori în intervalul (- , + ), a cărei funcţie

densitate de probabilitate depinde de un singur parametru,

numărul de grade de libertate.

Fie X0, X1, …, Xn variabile aleatoare independente care

toate urmează legea normală centrată redusă. Atunci

variabila aleatoare

urmează o lege de probabilitate Student cu n grade de

libertate.

n

i

i

n

X

nXT

1

2

0

LEGEA STUDENT (T)

Densitatea de probabilitate a variabilei aleatoare

Student Tn este:

unde este funcţia Gamma definită astfel:

212

)1(

1

)(

)(

2

1)(

2

21

nn

nxn

n

T xf

0

1)2

1( dtten nt

LEGEA STUDENT (T)

Distribuţia acestei variabile aleatoare este simetrică

în raport cu originea şi are o formă de clopot:

Pr[ Tk < -x ] = Pr[ Tk > x].

Atunci când k tinde la , distribuţia Student tinde

către o distribuţie normală redusă.

Dacă n>30 legea lui Student şi legea normală sunt

foarte apropiate.

Această variabilă aleatoare este utilizată, în

anumite condiţii de normalitate, în testul de

comparaţie a mediilor numit şi testul Student sau

testul t.

LEGEA HI-PĂTRAT (PEARSON)

Distribuţia 2 descrie comportarea unei sume de pătrate a

unor variabile independente normal distribuite, fiecare având

o medie egală cu zero şi abatere standard egală cu 1. Astfel

variabila X, definită prin egalitatea

Unde Xi2 reprezintă pătratul unei observaţii selectate aleator

dintr-o populaţie normal distribuită având media zero şi

deviaţia standard 1, este 2 distribuită cu n grade de

libertate.

Densitatea de probabilitate a legii 2 este

22

2

2

1 ... nXXXX

)2

1(2

)(2

221

n

xexf

n

nx

X

LEGEA HI-PĂTRAT (PEARSON)

Forma acestei distribuţii depinde de numărul de

termeni Xi2 independenţi din sumă. Numărul de

termeni Xi2 independenţi se numeşte numărul de

grade de libertate .

Fiecărui nivel d al gradelor de libertate i se

asociază o distribuţie 2 distinctă. Media şi variaţia

unei distribuţii 2 sunt :

M(2) = d, Var(2 ) = 2 d,

unde d este numărul de grade de libertate.

LEGEA F (FISHER)

Distribuţia F introdusă de R. A. Fisher, este definită

pe intervalul [0,+) şi descrie comportarea câtului a

două variabile cu distribuţie Hi-pătrat, fiecare fiind

împărţită prin numărul gradelor sale de libertate.

Un membru al acestei clase de distribuţii este

determinat prin numărul de grade de libertate ale

numărătorului dn şi respectiv numărul de grade de

libertate ale numitorului dm, distribuţiile F distincte

fiind determinate de perechi (dn, dm) distincte.

LEGEA F (FISHER)

In general, pentru dn şi dm > 2 distribuţia F este

unimodală şi pozitiv asimetrică. Atunci când

numărul gradelor de libertate creşte distribuţia F se

apropie pe domeniul său de definiţie de o distribuţie

normală.

Această distribuţie este utilizată în testele de

comparaţie a variaţiilor şi ca aplicaţie a acestora în

testele ANOVA.

Distributie – Test statistic