HAUSNARTU ETA EBATZI Perdigoi baten ibilbideadocentes.educacion.navarra.es/mpastorg/cd_profesor/cd... · 2010-11-21 · Unitatea 10. Aldagai diskretuko probabilitate banaketak. Binomiala

Unitatea 10. Aldagai diskretuko probabilitate banaketak. Binomiala 11

243. orrialdea

HAUSNARTU ETA EBATZI

Perdigoi baten ibilbidea

■ Irudikatu konbinazio hauei dagokien ibilbidea:

C + C C, + C + C, + C C C, + + + +, C C + C

■ Ikusten duzunez, 3 AURPEGI eta 1 GURUTZE duten ibilbide guztiak laukitxo bere-ra heltzen dira.

Egiaztatu gauza bera gertatzen dela 2 aurpegi eta 2 GURUTZE edo 1 AURPEGI eta3 GURUTZE lortuz gero ere.

Horrek esan nahi du, bost laukitxoetako bakoitzak AURPEGI kopuru jakin batizango duela bertaraino heltzeko.

Dos caras y dos cruces significaría ir dos veces a la derecha y dos a la izquierda.

Una cara y tres cruces es una vez a la derecha y tres a la izquierda.

0 CA

RA

S

1 CA

RA

2 CA

RA

S

3 CA

RA

S

4 CA

RA

S

C + C C + C + C

+ + + + C C + C

+ C C C

ALDAGAI DISKRETUKOPROBABILITATEBANAKETAK. BINOMIALA10

Zenbat perdigoi laukitxo bakoitzean?

■ Zer probabilitate du perdigoi batek Galtonen aparatuaren 6 laukitxoetako ba-koitzean erortzeko, topeen 5 lerro egonda?

Fila 5.a 8 1 5 10 10 5 1

■ Eta 6 lerro dituen Galtonen aparatu batean?

Fila 6.a 8 1 6 15 20 15 6 1

246. orrialdea1. Poltsa batean 5 bola daude, eta 1etik 5erainoko zenbakiak dituzte idatzita. Zer

probabilitate dago hiru bola atera eta hirurak bakoitiak izateko?

a) Ateraldiak itzuleradunak badira.

b) Ateraldiak itzulera gabekoak badira.

a)3

=

b) · · =

249. orrialdea1. Osatu honako taula hau, eta kalkulatu μ eta q parametroak:

μ = Spi xi = 3,1

q = = = 13,09√181 – 3,12√Spi xi2 – μ2

xi pi

0

10

50

100

0,90

0,06

0,03

0,01

1,00

pixi

0

0,6

1,5

1

pixi2

0

6

75

100

3,1 181

P [50] = 1 – (0,9 + 0,06 + 0,01) =

= 1 – 0,97 = 0,03

xi

pi

0

0,9

10

0,06

50 100

0,01

110

13

24

35

27125)3

5(

Unitatea 10. Aldagai diskretuko probabilitate banaketak. Binomiala12

2. Deskribatu, xi, pi, taula baten bitartez, 3 txanpon jaurtiz lortzen dugun “aur-pegi kopuruaren” banaketa. Kalkulatu μ eta q parametroak.

μ = Spi xi = 1,5

q = = = 0,87

3. 1 000 zenbaki dituen loteria batean, sariak honela banatuko dituzte:

• Zorian hartutako zenbaki bati, 5 000 €.

• Zenbaki horren aurrekoari eta hurrengoari, 1000 €.

• Amaierako zifra irabazlearena bera duten 99 zenbakiei, 10 €.

• Gainerako zenbakiei, ezer ez.

a) Egin taula 0, 10, 1 000 eta 5 000 balioekin eta balio bakoitzari dagokion pro-babilitateekin.

b)Kalkulatu μ eta q parametroak.

a) No ganan nada 1 000 – 3 – 99 = 898

b) μ = Spi xi = 7,99

q = = = 164,15√27009,9 – 7,992√Spi xi2 – μ2

xi pi

0

10

1000

5000

0,898

0,099

0,002

0,001

1,000

pixi

0

0,99

2

5

pixi2

0

9,9

2 000

25 000

7,99 27 009,9

√3 – 1,52√Spi xi2 – μ2

xi pi

0

1

2

3

1/8

3/8

3/8

1/8

8/8 = 1

pixi

0

3/8

6/8

3/8

pixi2

0

3/8

12/8

9/8

12/8 = 1,5 24/8 = 3


10UNITATEA

251. orrialdea1. Zer balio har ditzake x aldagaiak 1, 2, 3, 5 eta 7. adibideetako banaketa ba-

koitzean?

Ejemplo 1 8 x = 0, 1, 2, …, 10

Ejemplo 2 8 x = 0, 1, 2, …, 6

Ejemplo 3 8 x = 0, 1, …, 100

Ejemplo 5 8 x = 0, 1, 2, 3, 4, 5

Ejemplo 7 8 x = 0, 1, …, 100

2. Asmatu 4. eta 6. adibideetan ageri diren moduko saiakuntzak, baina binomia-lak direnak.

Por ejemplo:

4. Extraemos una carta de una baraja, vemos si es o no OROS y la devolvemos al ma-zo. Barajamos y extraemos otra carta. Repetimos la experiencia cinco veces.

n = 5; p = 0,1 8 B (5; 0,1)

6. Nos preguntamos cuántos partidos ganará un equipo A que juega con un equipoB , de modo que la probabilidad de ganar se mantenga constante los 6 partidosconsecutivos que jugarán.

n = 6; p = 0,5 8 B (6; 0,5)

253. orrialdea1. B(10; 0,4), banaketa batean, kalkulatu P [x = 0], P [x = 3], P [x = 5], P [x = 10]

eta kasu bakoitzean μ eta q parametroen zer balio duten.

P [x = 0] = 0,610 = 0,006047

P [x = 3] = · 0,43 · 0,67 = 120 · 0,43 · 0,67 = 0,215

P [x = 5] = · 0,45 · 0,65 = 252 · 0,45 · 0,65 = 0,201

P [x = 10] = 0,410 = 0,000105

μ = 10 · 0,4 = 4

q = = = = 1,55

2. 7 txanpon bota ditugu. Kalkulatu zer probabilitate duten 3 aurpegik, 5 aurpe-gik eta 6 aurpegik. Kalkulatu μ eta q parametroen balioak.

Se trata de una distribución binomial con n = 7 y p = 0,5 8 B (7; 0,5)

P [x = 3] = · (0,5)3 · (0,5)4 = 35 · 0,125 · 0,0625 ≈ 0,273)73(

√2,4√10 · 0,4 · 0,6√n p q

)105(

)103(


P [x = 5] = · (0,5)5 · (0,5)2 = 21 · 0,03125 · 0,25 ≈ 0,164

P [x = 6] = · (0,5)6 · (0,5) = 7 · 0,015625 · 0,5 ≈ 0,0547

μ = n p = 7 · 0,5 = 3,5

q = = ≈ 1,323

255. orrialdea1. Hizkuntzako irakasle batek eskola du lau ikasle heldurekin. 100 eskola-egune-

tan 4, 3, 2, 1 edo ikasle bat ere ez zaio joan, honako taula honen arabera. Doi-tu datuak banaketa binomial batera, eta esan doiketa ona deritzozun.

La media es –x = 2,79.

Como n = 4, –x = np 8 2,79 = 4p 8 p = 0,6975

Si fuera una binomial, p = 0,6975 sería la probabilidad de que uno cualquiera de losalumnos asistiera un día a clase. q = 0,3025.

Con este valor de p se obtiene la siguiente tabla:

La mayor de las diferencias es 10. Es demasiado grande en comparación con el total,100. Hemos de rechazar la hipótesis de que se trata de una binomial.

xi

f i

4 3 2 1 0

23 48 17 9 3

√7 · 0,5 · 0,5√n p q

)76(

)75(


10UNITATEA

xi pi = P [x = xi ] 100 · piVALORES VALORES

|DIFERENCIAS|ESPERADOS OBSERVADOS

0 q 4 = 0,008 0,8 1 3 2

1 4 p q 3 = 0,077 7,7 8 9 1

2 6 p2 q 2 = 0,267 26,7 27 17 10

3 4 p3 q = 0,411 41,1 41 48 7

4 p4 = 0,237 23,7 24 23 1

259. orrialdea

PROPOSATUTAKO ARIKETAK ETA PROBLEMAK

Probabilitateak kalkulatu

1 40 kartako multzo batetik bi atera ditugu. Kalkulatu zer probabilitate dugunhauek ateratzeko:

a) 2 bateko.

b)Batekorikez.

c) Batekoren bat.

a) · =

b) · =

c) 1 – =

2 Hiru txanpon jaurti eta atera diren aurpegi kopurua zenbatuko dugu. Kal-kulatu zer probabilitate dugun hauek ateratzeko:

a) Aurpegi bat.

b) Aurpegi bat baino gehiago.

a) 3 · 3

=

b) P [dos caras] + P [tres caras] = 3 · 3

+ = =

3 Azterketa batean 30 gairen artean zorian hartu diren 2ri erantzun behar zaie.Ikasle batek 30 gai horietatik 12 ikasi ditu. Kalkulatu zer probabilitate dagoen:

a) Ikasleak zorian hartutako bi gaiak ikasita izateko.

b)Hartu diren bi gaietako bat bakarrik izateko ikasita.

c) Hartu diren bi gaietako bat ere ez izateko.

a) P [sepa el 1.° y el 2.°] = P [sepa el 1.°] · P [sepa el 2.°/sabía el 1.°] =

= · = = 0,15

b) P [solo uno] = 2 · P [sepa el 1.° y no el 2.°] = 2 · · = = 0,50

c) P [ninguno] = · = = 0,3551145

1729

1830

72145

1829

1230

22145

1129

1230

12

48

18)1

2(

38)1

2(

526

2126

2126

3539

3640

1130

339

440

TREBATZEKO


4 A kutxan 1etik 5erainoko zenbakiak jarrita dituzten 5 bola daude, eta Bkutxan, 6tik 9rainoko zenbakiak dituzten 4 bola. Txanpon bat bota dugu:aurpegia irtenez gero, A-tik aterako dugu bola bat, eta gurutzea irtenez gero,B-tik aterako dugu. Kalkulatu zer probabilitate dagoen atera dugun bola:

a) 5 zenbakia duena izateko.

b)8 zenbakia duena izateko.

c) Zenbaki bikoitia duenen bat izateko.

Hacemos un diagrama en árbol para calcular fácilmente las probabilidades:

a) P [5] = · = = 0,1

b) P [8] = · = = 0,125

c) P [par] = 2 · · + 2 · · = = 0,45

5 Domino normal batetik (28 fitxa), zorian, fitxa bat hartu dugu eta bi erdieta-ko puntuak batu ditugu.

Kalkulatu zer probabilitate dagoen puntuen batura 6 izateko.

Hay 4 fichas en las que la suma de puntos es 6:

0–6 1–5 2–4 3–3

El total de fichas es 28, luego la probabilidad pedida es:

= ≈ 0,1417

428

920

14

12

15

12

18

14

12

110

15

12

1

2

3

4

5

1/5

1/5

1/5

1/5

1/5A

P [cara] =

1/2

6

7

8

9

1/4

1/41/4

1/4

B

P [cruz] = 1/2


10UNITATEA

6 Lantegi batek torlojuak egiten dituzten hiru makina ditu. A makinak guztiraegiten diren torlojuen % 50 egiten ditu; B makinak, % 30, eta C makinak, % 20. Bestetik, A makinatik torloju akastunen % 5 irteten dira; B-tik, akas-tunen % 4, eta C-tik, % 2.

Kalkulatu zer probabilitate dagoen zorian hartu dugun torloju bat akastunaizateko.

Hacemos un diagrama en árbol:

Probabilitate-banaketak7 Osatu probabilitateen honako taula hau, eta kalkulatu horren parametroak:

0,1 + 0,3 + P [2] + 0,1 = 1 8 P [2] = 0,5

μ = S xi pi = 1,6

q = = = 0,8

8 Karta multzo batetik bi karta atera ditugu, eta zenbat bateko lortu ditugunidatzi dugu (0, 1 edo 2).

a) Zein da probabilitate-banaketa?b) Kalkulatu batez bestekoa eta desb. tipikoa.

a) b) μ = 0,2; q = 0,42

xi pi xi pi pi xi2

0 0,1 0 0

1 0,3 0,3 0,3

2 0,5 1 2

3 0,1 0,3 0,9

S xi pi = 1,6 S pi xi2 = 3,2

√0,64√3,2 – 1,62

xi

pi

0 1 2 3

0,1 0,3 … 0,1

A

C

B

0,5

0,05

0,04

0,02

0,2

0,3

defectuoso

no defectuoso

defectuoso

no defectuoso

defectuoso

no defectuoso

P [defectuoso] = 0,5 · 0,05 + 0,3 · 0,04 + 0,2 · 0,02 = 0,041


xi 0 1 2

pi · 2 · · ·

339

440

3639

440

3539

3640

9 Hiru txanpon bota eta lortu ditugun aurpegien kopurua zenbatu dugu. Egintaula bat probabilitateekin, adierazi grafiko batean, eta kalkulatu batez bes-tekoa eta desbideratze tipikoa.

μ = 1,5; q = 0,87

10 Kontuan hartu zein diren domino bateko 28 fitxen puntuazioak. Fitxa ho-rietako bakoitzean bi erdietako puntuak batzen baditugu, ageri diren batu-rak (0, 1, 2, …, 10, 11 eta 12) probabilitate desberdinekin lortuko ditugu.Egin taula bat probabilitateen banaketarekin, eta kalkulatu μ eta q.

μ = 6; q = 3

11 Kutxa batek 5 bola zuri, 3 gorri eta 2 berde ditu. Bi ateraldi egin ditugu, itzulerarik gabe, eta atera dugun bola gorrien kopurua idatzi dugu.

a) Egin probabilitateen banaketaren taula.

b) Egin beste taula bat bolak itzultzen direla kontuan hartuta.

a)

b)

0

1/8

2/8

3/8

1 2 3

pi

xi


10UNITATEA

xi 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

pi

128

128

228

228

328

328

428

328

328

228

228

128

128

xi 0 1 2

pi · 2 · · ·

29

310

79

310

69

710

xi 0 1 2

pi ( )

2

2 · · ( )23

10710

310

710

xi 0 1 2 3

pi

18

38

38

18

12 A kutxa batean 1etik 5erainoko zenbakiak ida-tzita dituzten 5 bola daude, etaB kutxan, 6tik 9rainoko zenbakiak dituzten 4 bola. Txanpon bat bota dugu:aurpegia irtenez gero, A-tik aterako dugu bola bat, eta gurutzea irtenez gero, B-tik. Bolak zer zenbaki duen ikusiko dugu.

a) Egin probabilitateen banaketaren taula.b) Adierazi grafiko batean.c) Kalkulatu μ eta q.

a)

b)

c) μ = 5,25; q = 2,59

13 4 seme-alaba dituzten familietan, alaba kopuruari erreparatuko diogu.

a) Egin probabilitateen taula, mutila edo neska jaiotzeko probabilitatea ber-dina dela kontuan hartuta.

b)Adierazi grafiko batean, eta kalkulatu batez bestekoa eta desbideratze tipikoa.

a)

b) μ = 2

q = 1

0

1/16

2/16

3/16

4/16

5/16

6/16

1 2 3 4

pi

xi

1

0,1

0,2

2 3 4 5 6 7 8 9

pi

xi


xi 1 2 3 4 5

pi · = 0,1 · = 0,1 · = 0,1 · = 0,1 · = 0,1

15

12

15

12

15

12

15

12

15

12

xi 6 7 8 9

pi · = 0,125 0,125 0,125 0,125

14

12

xi 0 1 2 3 4

pi

116

416

616

416

116

260. orrialdea

Banaketa binomiala

14 Bereizi honako ariketa hauetako bakoitzean banaketa binomial bat, eta esanzein diren n, p, μ eta q-ren balioak.

a) Test erako azterketa batek 50 galdera ditu, eta galdera bakoitzak hiruerantzun, zuzena bat bakarrik izanik. Zorian erantzun dugu. Zenbat as-matuko ditugu?

b)Aurreko puntuan agertu dugun azterketa horretan, ikasle batek badakizki20 galderen erantzunak, baina gainerakoei zorian erantzun die. Zenbat as-matuko dituen jakin nahi dugu.

c) Txanpon bat 400 bider bota dugu. Aurpegi kopurua.

d)Loteriako billeteen % 11k sariren bat izaten du, dirua atzera baino ez badaere. Familia batek 46 zenbaki jokatu ditu.

e) Soldaduren % 1 akastunak dira, eta mila soldadura ikuskatu ditugu. Zen-bat soldadura akastun egongo dira?

a) B 50; ; μ = = 16,67; q = 3,33

b) B 30; ; μ = 10; q = 2,58 relativo a las que contesta al azar

c) B 400; ; μ = 200; q = 10

d) B (46; 0,11); μ = 5,06; q = 2,12

e) B (1 000; 0,01); μ = 10; q = 3,15

15 B(7; 0,4) banaketa binomial batean, kalkulatu:

a) P [x = 2] b) P [x = 5] c) P [x = 0]

d) P [x > 0] e) P [x > 3] f) P [x < 5]

a) · 0,42 · 0,65 = 0,261 b) · 0,45 · 0,62 = 0,077

c) 0,67 = 0,028 d) 1 – P [x = 0] = 0,972

e) 0,290 f ) 0,904

16 B (9; 0,2) banaketa binomial batean, kalkulatu:

a) P [x < 3] b) P [x Ó 7] c) P [x ? 0] d) P [x Ì 9]

a) P [x = 0] + P [x = 1] + P [x = 2] = 0,738

b) P [x = 7] + P [x = 8] + P [x = 9] = 0,000314

c) 1 – P [x = 0] = 1 – 0,134 = 0,866

d) 1

)75()7

2(

)12(

)13(

503)1

3(


10UNITATEA

17 Test erako azterketa batek 10 galdera ditu, galdera bakoitzak lau erantzun po-sible, baina horietako bat bakarrik zuzena. Ikasle batek zorian eran-tzun badu:

a) Zer probabilitate du 4 galderari zuzen eran-tzuteko?

b) Eta 2 galdera baino gehiagori zuzen erantzuteko?

c) Kalkulatu zer probabilitate duen galdera guztiei txarto erantzuteko.

x es B 10;

a) P [x = 4] = · 0,254 · 0,756 = 0,146

b) P [x > 2] = 1 – P [x Ì 2] = 1 – (P [x = 0] + P [x = 1] + P [x = 2]) =

= 1 – (0,056 + 0,188 + 0,282) = 1 – 0,526 = 0,474

c) P [x = 0] = 0,7510 = 0,056

18 Telebista batek, aztertu baino lehen, akastuna izateko duen probabilitatea0,2 da. Bost telebista aztertu baditugu, kalkulatu:

a) P [bat ere ez akastuna].

b) P [akastunen bat].

x es B (5; 0,2)

a) P [x = 0] = 0,85 = 0,328

b) P [x ? 0] = 1 – P [x = 0] = 1 – 0,328 = 0,672

19 Txanpon akastun bat dugu, eta txanpon hori bota eta gurutzea lortzeko pro-babilitatea 0,4 da. Bost aldiz bota eta zenbat gurutze irten diren idatzi dugu.

Egin taula bat probabilitate-banaketarekin, irudikatu grafiko batean eta kal-kulatu batez bestekoa eta desbideratze tipikoa.

x es B (2; 0,4)

μ = 0,8

q = 0,69

0

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

1 2

pi

xi

xi 0 1 2

pi 0,36 0,48 0,16

EBAZTEKO

)104(

)14(


20 Kutxa batek 5 bola zuri, 3 gorri eta 2 berde ditu. Bi ateraldi egin ditugu, itzulera eta guzti. Kalkulatu zer probabilitate dagoen:

a) Bi berde ateratzeko.b)Berderik ez ateratzeko.c) Berde bat ateratzeko.

Errepikatu problema bera, itzulerarik gabeko ateraldiak eginez.

Con reemplazamiento:

a) · = 0,04 b) · = 0,64 c) 2 · · = 0,32

Sin reemplazamiento:

a) · = 0,0)2 b) · = 0,6

)2 c) 2 · · = 0,3

)5

21 Kutxa batean 3 bola gorri eta 7 berde daude. Zorian bat atera dugu, zer ko-loretakoa den idatzi eta kutxara itzuli dugu. Saiakuntza hori 5 bider eginezgero, kalkulatu zer probabilitate dugun:

a) Hiru gorri ateratzeko. b) Hiru gorri baino gutxiagoateratzeko.

c) Hiru gorri baino gehiago ateratzeko. d) Gorriren bat ateratzeko.

Si consideramos éxito = “sacar roja”, x es B (5; 0,3)

a) P [x = 3] = · 0,33 · 0,72 = 0,1323

b) P [x < 3] = P [x = 0] + P [x = 1] + P [x = 2] =

= 0,16807 + 0,36015 + 0,3087 = 0,83692 ≈ 0,8369

c) P [x > 3] = 1 – P [x Ì 3] = 1 – (0,1323 + 0,8369) = 0,0308

d) P [x ? 0] = 1 – P [x = 0] = 1 – 0,75 = 0,8319

22 Torlojuak egiteko prozesuan, badakigu % 2 akatsen batekin irteten direla. 50torlojuko kutxak egiten dituzte. Kalkulatu zer probabilitate dagoen kutxabatean torloju akastunen kopurua honenbestekoa izateko:

a) Bat ere ez. b)Bat. c) Bi baino gehiago.

Zenbat torloju akastun egongo dira, batez beste, kutxa bakoitzean?

x es B (50; 0,02)

a) P [x = 0] = 0,9850 = 0,364

b) P [x = 1] = 50 · 0,02 · 0,9849 = 0,372

c) P [x > 2] = 1 – P [x Ì 2] = 1 – (P [x = 0] + P [x = 1] + P [x = 2]) =

= 1 – (0,364 + 0,372 + 0,186) = 1 – 0,922 = 0,078

Por término medio, habrá μ = 50 · 0,02 = 1 tornillo defectuoso en cada caja.

)53(

89

210

79

810

19

210

810

210

810

810

210

210


10UNITATEA

23 Pieza mota jakin bat egiteko 4 soldadura behar dira. Horrelako mila piezarikalitate-kontrola egin zaie, eta honako emaitza hauek lortu dira:

Doitzen zaizkio datu horiek binomial bati?

La media de la muestra es –x = 0,69.

Si las cuatro soldaduras tuvieran la misma probabilidad, p, de ser defectuosa yfueran independientes, el número, x, de soldaduras defectuosas en cada piezaseguiría una distribución binomial B (4, p ), por lo cual:

–x = 4 · p 8 0,69 = 4p 8 p = 0,1725

Veamos cómo se comportaría, teóricamente, esta binomial con 1 000 individuos ycomparémoslo con los resultados de la muestra:

Las diferencias son enormes. Se rechaza la hipótesis de que “el número de solda-duras defectuosas en una pieza” siga una distribución binomial.

261. orrialdea

24 Itsaspeko batek torpedo bat jaurti eta ituan emateko probabilitatea 0,4 da.6 torpedo jaurtita, kalkulatu zer probabilitate dagoen:

a) Ituan batek bakarrik jotzeko.

b) Ituan batek gutxienez jotzeko.

x es B (6; 0,4)

a) P [x = 1] = · 0,4 · 0,65 = 0,1866

b) P [x Ó 1] = 1 – P [x = 0] = 1 – 0,66 = 0,9533

25 B (4; 0,25) banaketa batean, egiaztatu honako hau:

P [x = 0] + P [x = 1] + P [x = 2] + P [x = 3] + P [x = 4] = 1

0,754 + 4 · 0,25 · 0,753 + 6 · 0,252 · 0,752 + 4 · 0,253 · 0,75 + 0,254 = 1

GALDERA TEORIKOAK

)61(

xi pi = P [x = xi ] 1 000 · piVALORES VALORES |DIFERENCIAS|

ESPERADOS OBSERVADOS

0 0,4689 468,9 469 603 1341 0,3910 391,0 391 212 1792 0,1223 122,3 122 105 173 0,0170 17,0 17 52 354 0,0009 0,9 1 28 27

SOLDADURAAKASTUNAK

PIEZAK

0 1 2 3

603 212 105 52

4

28


26 Xake-jokalari bat maisutasun-maila bereko beste baten kontra ari da.

Zerk du probabilitate handiagoa, 4 partidatik 2 irabazteak, ala 6 partidatik 3irabazteak?

(Berdinketak ez dira kontuan hartzen).

La probabilidad de que el ajedrecista gane a su contrincante es de .

• Si juegan 4 partidas:

Es una binomial B 4, . Así:

P [x = 2] = ·2

· 2

= · · = =

• Si juegan 6 partidas:

Es una binomial B 6, . Así:

P [x = 3] = ·3

· 3= · · = =

Como > , tenemos que es más fácil ganar 2 de 4 partidas que 3 de 6.

27 Konparatu B (200; 0,2) eta B (30; 0,4) banaketa binomialen batez besteko-ak. Zeinek du sakabanatze handiagoa?

☛ Kalkulatu bakoitzaren aldakuntza-koefizientea.

Gogoan izan: A.K. = populazio desberdinen sakabanatzeak konparatzeko balio du.

B (200; 0,2) 8 μ = 40; q = 5,66 8 C.V. = 0,1415

B (30; 0,4) 8 μ = 12; q = 2,68 8 C.V. = 0,2233

Tiene mayor dispersión la segunda, B (30; 0,4).

28 Kutxa batean 5 bola zuri, 7 gorri eta 8 beltz daude. Bola bat atera, zer kolo-retakoa den idatzi eta kutxan sartu dugu berriro. Hiru ateraldi eginda, hirubolak kolore desberdinetakoak izateko zer probabilitate dagoen kalkulatunahi dugu. Banaketa binomiala da? Justifikatu erantzuna.

P [B, R y N] = 6 · · · = 0,21

No es una binomial, porque no hay solo dos posibilidades.

29 Poker-partida batean jokalari bakoitzari 5 karta eman zaizkio. Jokalari batekk irudi (k = 0, 1, 2, 3, 4 edo 5) izateko zer probabilitate duen jakin nahidugu. Zergatik ez da banaketa binomiala?

Cada vez que se extrae una carta de la baraja, varía la composición de ésta. Portanto, la probabilidad de “FIGURA” no es constante para cada una de las cinco car-tas.

820

720

520

q–x

516

38

516

6 · 5 · 43 · 2 · 8 · 8

18

18

6 · 5 · 43 · 2)1

2()12()6

3(

)12(

38

4 · 32 · 4 · 4

14

14

4 · 32)1

2()12()4

2(

)12(

12


10UNITATEA

AUTOEBALUAZIOA

1. Bi kutxa ditugu:

A B

Hiru kasu ditugu:

I. A-tik bola bata atera dugu, eta, gero, B-tik beste bat.

II.Bi kutxetako bolak nahasi eta bi bola atera ditugu.

III.A-tik bola bat atera dugu, B-ra bota dugu, nahasi eta B-tik bola bat atera dugu.

Hiru kasu horietako bakoitzean, kalkulatu probabilitate hauek:

a) Bi bolak beltzak dira.

b)Bi bolak zuriak dira.

c) Lehenengo bola zuria da, eta bigarrena, beltza.

I. a) P [ en A y en B] = · = =

b) P [ en A y en B] = · = =

c) P [ en A y en B] = · =

II. Las mezclamos

a) P [ y ] = P [1.a ] · P [2.a / 1.a ] = · = =

b) P [ y ] = P [1.a ] · P [2.a / 1.a ] = · = =

c) P [1.a y 2.a ] = P [1.a ] · P [2.a / 1.a ] = · =

III. A B

a) P [ y ] = P [ en A] · P [ en B / en A] = · =

b) P [ y ] = P [ en A] · P [ en B / en A] = · =

c) P [1.a y 2.a ] = P [ en A] · P [ en B / en A] = · = = 310

620

25

34

920

35

34

320

35

14

1556

37

58

514

2056

47

58

328

656

27

38

38

24

34

38

616

24

34

18

216

24

14


2. Honako taula hau aldagai diskretuko probabilitate-banaketa bati dagokio:

Osatu eta kalkulatu μ eta q.

P [10] = 1 – (0,1 + 0,3 + 0,2 + 0,1 + 0,1) = 1 – 0,8 = 0,2

μ = 7,4

q = = 1,69

3. Honako banaketa hauetako zein dira binomialak?:

I. Karta multzo batetik sei karta atera eta URREAK zenbat diren jakin nahi dugu.

II. Ikasgela batean 10 mutil eta 20 neska daude. Zorian 6 aukeratu ditugu. Zen-bat dira mutilak?

III.Dado bat 20 bider bota dugu. Zenbat “bost” irten diren jakin nahi dugu.

IV.Fabrika batean egiten dituzten automobilen % 3k akatsen bat dute. 200 ibil-gailu egiten dira egunero. k akastun egoteko zer probabilitate dagoen ja-kin nahi dugu.

Binomialetako bakoitzean, identifikatu n eta p eta kalkulatu μ eta q.

I. No es binomial, porque al sacar cada carta cambia la composición de la baraja y,por tanto, la probabilidad de que la siguiente sea OROS.

II. No es binomial. Al haber solo 30 personas, cada una que se extrae modifica laprobabilidad CHICO-CHICA de las restantes. Es decir, es un caso similar al I.

III. En cada lanzamiento del dado, P [ ] = . Por tanto, la distribución de probabi-

lidades del “número de cincos” es binomial, con n = 20, p = .

En una distribución B 20, :

μ = n p = = 3,3; q = = = = 1,67106

100

√ 36

1 5√20 · — · —

6 6

206

)16(

16

16

xi pi

5

6

7

8

9

10

0,1

0,3

0,2

0,1

0,1

0,2

1,00

pixi

0,5

1,8

1,4

0,8

0,9

2

pixi2

2,5

10,8

9,8

6,4

8,1

20

7,4 57,6

√57,6 – 7,42

xi

pi

5 6 7 8

0,1 0,3 0,2 0,1

9

0,1

10

…


10UNITATEA

IV. El “número de coches defectuosos” en los 200 producidos en un día es una distri-bución binomial con n = 200 y p = 0,03.

En una distribución B (200; 0,03):

μ = 200 · 0,03 = 6, q = = 2,41

4. Txintxeta mota jakin batekin probabilitate hauek lortu ditugu, lurrera jaustenutzi ditugunean:

P [ ] = 0,3 P [ ] = 0,7

6 txintxeta utzi ditugu jausten. Kalkulatu:

a) P [2 eta 4 ]

b)P [baten bat ]

El número de chinchetas que caen así se distribuye B (6; 0,3).

a) P [x = 2] = · 0,32 · 0,74 = 15 · 0,32 · 0,74 = 0,32

b) Empezamos calculando P [x = 0] = · 0,30 0,76 = 0,76 = 0,12

P [alguna ] = 1 – P [ninguna ] = 1 – P [x = 0] = 1 – 0,12 = 0,88

)60(

)62(

√200 · 0,03 · 0,97


Documents

HAUSNARTU ETA EBATZI Perdigoi baten ibilbideadocentes.educacion.navarra.es/mpastorg/cd_profesor/cd... · 2010-11-21 · Unitatea 10. Aldagai diskretuko probabilitate banaketak. Binomiala