Curs 2

Probabilităţi

2.1 Definiţia probabilităţii

Introducem noţiunea de probabilitate ataşată unui eveniment aparţinând unui câmp finitde evenimente. Probabilitatea este folosită pentru a cuantifica şansa de a se produceun eveniment. ”Probabilitatea ca să plouă este de 30%” este o afirmaţie care cuantificăposibilitatea de a ploua.

Definiţia 2.1.1 Se numeşte probabilitate (măsură de probabilitate) o funcţie definităpe un câmp de evenimente {F,Ω} cu valori reale, P : F→ [0, 1] , care satisface următoareleaxiome:

a) P (Ω) = 1;

b) P (A ∪B) = P (A) + P (B),∀A,B ∈ F, A ∩B = ∅.

Observaţia 2.1.2 Axioma c) din definiţie se extinde prin inducţie la orice număr finit deevenimente incompatibile două câte două, deci dacă Ai ∩ Aj = ∅, i 6= j, i, j = 1, n, atunci

P

(n⋃

i=1

Ai

)=

n∑i=1

P (Ai).

Proprietăţi:

P1. P (∅) = 0.(Ω ∪ ∅ = Ω şi Ω ∩ ∅ = ∅) ⇒ P (Ω) = P (Ω ∪ ∅) = P (Ω) + P (∅)⇒ P (∅) = 0.

P2. Pentru orice eveniment A ∈ F are loc P (A) = 1− P (A).

Relaţia rezultă din Ω = A ∪ A,A ∩ A = ∅ c)⇒ P (Ω) = P (A) + P (A) b)⇒ 1 = P (A) +P (A)⇒ P (A) = 1− P (A).

P3. P (A \B) = P (A)− P (A ∩B),∀A,B ∈ F.

Din (A \B)∪ (A∩B) = A şi (A \B)∩ (A∩B) = ∅ c)⇒ P (A \B) +P (A∩B) = P (A).

P4. Pentru orice A,B ∈ F cu proprietatea A ⊂ B are loc relaţia P (A) ≤ P (B).Într-adevăr, ţinând seama de P2 şi de faptul că A ⊂ B avem 0 ≤ P (B \A) = P (B)−P (B ∩ A) = P (B)− P (A). Deci P (B)− P (A) ≥ 0 sau P (B) ≥ P (A).

1

Definiţia 2.1.3 Se numeşte câmp de probabilitate un câmp de evenimente {F,Ω} pecare am definit o probabilitate P . Se notează {F,Ω, P}.

Observaţia 2.1.4 Dacă Ω este o mulţime finită, fie Ω = {A1, A2, . . . , An}, atunci oriceeveniment A ∈ F,A 6= ∅ pote fi scris ca o reuniune finită de evenimente elementare, A =Ai1 ∪ Ai2 ∪ . . . ∪ Aik . Atunci conform Observaţiei 2.1.2 obţinem

P (A) = P (Ai1) + . . .+ P (Aik).

Deci pentru a cunoaşte probabilitatea unui eveniment oarecare din F este suficient să cu-noaştem probabilitatea tuturor evenimentelor elementare care-l compun. Probabilitatea unuieveniment A este suma probabilităţilor evenimentelor elementare ce-l compun. Evident, pro-babilităţile evenimentelor elementare satisfac condiţiile

P (Ai) ≥ 0, i = 1, n, (2.1)

P (A1) + P (A2) + . . .+ P (An) = P (Ω) = 1. (2.2)

Deci, fiind date toate evenimentele elementare care compun Ω, familia F este perfect deter-minată şi deci câmpul de probabilitate mai depinde de alegerea a n numere, probabilităţileevenimentelor elementare care satisfac condiţiile (2.1) şi (2.2). În cazul particular când

evenimentele elementare sunt echiprobabile P (A1) = P (A2) = . . . = P (An) =1

n, şi dacă

A = Ai1 ∪ Ai2 ∪ . . . ∪ Aik , obţinem P (A) =k

n, deci ajungem astfel la definiţia probabilităţii

dintr-un câmp de probabilitate ı̂n care spaţiul de selecţie este o mulţime cel mult numărabilă:probabilitatea unui eveniment este raportul dintre numărul evenimentelor elementare favo-rabile producerii evenimentului dat şi numărul total de evenimente elementare ale câmpului.De aici rezultă necesitatea de a studia metodele de numărare şi modurile de selectare aleevenimentelor.

Definiţia 2.1.5 Numim probabilitatea evenimentului A condiţionată de evenimen-tul B, P (B) 6= 0, (notat PB(A) sau P (A|B)) probabilitatea de realizare a evenimentului Aı̂n ipoteza că evenimentul B s-a realizat, probabilitate definită prin

P (A|B) = P (A ∩B)P (B)

. (2.3)

Observaţia 2.1.6 Dacă presupunem că P (A) 6= 0, atunci

P (B|A) = P (A ∩B)P (A)

. (2.4)

Observaţia 2.1.7 Din relaţiile (2.3) şi (2.4) reţinem P (A∩B) = P (B) · P (A|B) = P (A) ·P (B|A).

Fie {F,Ω, P} un câmp de probabilitate şi A,B ∈ F.

Definiţia 2.1.8 Evenimentele A şi B sunt independente (̂ın probabilitate) dacă pro-babilitatea ca unul să se realizeze nu depinde de faptul că celălalt s-a realizat sau nu, altfelspus

P (A ∩B) = P (A) · P (B). (2.5)

2

Teorema 2.1.9 a) Evenimentele A şi B cu P (A) · P (B) 6= 0 sunt independente dacă şinumai dacă P (B|A) = P (B).

b) Dacă evenimentele A şi B sunt independente atunci şi evenimentele

A şi B; A şi B; A şi B

sunt independente.

Demonstraţie. a) Evenimentele A şi B sunt independente ⇒ P (A ∩ B) = P (A) · P (B).Dar P (A ∩B) = P (A) · P (B|A)⇒ P (B|A) = P (B). Reciproc, deoarece P (B) = P (B|A) =P (A ∩B)P (A)

rezultă P (A ∩B) = P (A) · P (B), adică (2.5).

b) Demonstrăm că (2.5) implică A,B independente:

P (A ∩B) = P (A) · P (B) (2.6)

Într-adevăr, dacă evenimentele A şi B sunt independente, P (A∩B) = P (A)·P (B) şi deoareceA ∩ B = B \ A avem P (B \ A) = P (B) − P (A ∩ B) = (1 − P (A)) · P (B) = P (A)P (B).Analog se demonstrează că A şi B, respectiv A şi B sunt independente. �

Definiţia 2.1.10 Date evenimentele A1, A2, . . . , An, vom spune că sunt global indepen-dente dacă probabilitatea oricărei subintersecţii este egală cu produsul probabilităţilor eve-nimentelor intersectate, adică dacă

P

(⋂i∈I

Ai

)=∏i∈I

P (Ai)

oricare ar fi I ⊂ {1, 2, ..., n}.

Observaţia 2.1.11 Din Definiţia 2.1.10 rezultă că dacă trei evenimente sunt independentedouă câte două nu rezultă că sunt independente ı̂n totalitatea lor.

Exemplul lui S. N. Bernstein ne va ilustra acest lucru.Considerăm un tetraedru omogen cu feţele colorate astfel:

• una ı̂n alb,

• una ı̂n negru,

• una ı̂n roşu şi

• a patra ı̂n toate cele trei culori.

Aruncând tetraedrul pe o masă el se aşează pe una din feţe; ne interesează probabilitateaapariţiei fiecărei culori şi independenţa evenimentelor corespunzătoare. Notăm cu

• A1 evenimentul care constă ı̂n apariţia culorii albe,

• A2 evenimentul care constă ı̂n apariţia culorii negre şi

• A3 evenimentul care constă ı̂n apariţia culorii roşii.

3

Avem:

P (A1) = P (A2) = P (A3) =1

2

deoarece pentru fiecare culoare sunt patru cazuri posibile şi două favorabile (faţa cu culorearespectivă şi faţa cu cele trei culori). Se constată că

P (A1 ∩ A2) = P (A1 ∩ A3) = P (A2 ∩ A3) =1

4,

dar

P (A1 ∩ A2 ∩ A3) =1

46= P (A1) · P (A2) · P (A3) =

1

8.

2.2 Formule probabilistice

Probabilitatea unei reuniuni de evenimente

Dacă {F,Ω, P} un câmp de probabilitate atunci oricare ar fi A,B ∈ F are loc relaţia

P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B). (2.7)

DeoareceA ∪B = A ∪ (B \ A) şi A ∩ (B \ A) = ∅,

rezultă

P (A ∪B) = P (A ∪ (B \ A)) = P (A) + P (B \ A),

dar, conform proprietăţii P2,

P (B \ A) = P (B)− P (B ∩ A)

şi deci rezultă (2.7).Pentru cazul a trei evenimente se poate obţine formula utilizând relaţia (2.7):

P (A ∪B ∪ C) = P ((A ∪B) ∪ C) = P (A ∪B) + P (C)− P ((A ∪B) ∩ C)= P (A) + P (B)− P (A ∩B) + P (C)− P ((A ∩ C) ∪ (B ∩ C))= P (A) + P (B) + P (C)− P (A ∩B)− P (A ∩ C)− P (B ∩ C) + P (A ∩B ∩ C) .

Relaţia se poate extinde şi ı̂n cazul a n evenimente

P

(n⋃

i=1

Ai

)=

n∑i=1

P (Ai)−n∑

i,j=1,i

Formula se poate extinde şi ı̂n cazul a n evenimente A1, A2, . . ., An, cu P

(k⋂

i=1

Ai

)6=0,

k = 1, n− 1, sub forma

P

(n⋂

i=1

Ai

)= P (A1) · P (A2|A1) · . . . · P (An|(A1 ∩ A2 ∩ . . . ∩ An−1)). (2.9)

Într-adevăr, folosind definiţia probabilităţii condiţionate, obţinem

P (A1) = P (A1),

P (A2|A1) =P (A1 ∩ A2)P (A1)

,

...

P (An|(A1 ∩ A2 ∩ . . . ∩ An−1)) =P (A1 ∩ A2 ∩ . . . ∩ An)P (A1 ∩ A2 ∩ . . . ∩ An−1)

.

Înmulţind relaţiile membru cu membru şi făcând simplificările corespunzătoare, obţinem(2.9).

Formula probabilităţii totale

Fie {F,Ω, P} un câmp de probabilitate, {A1, A2, . . . , An}, Ai ∈ F, i = 1, n, un sistem completde evenimente şi B un eveniment oarecare, B ∈ F. Atunci

P (B) =n∑

i=1

P (Ai) · P (B|Ai). (2.10)

Într-adevăr, deoarece Ω=n⋃

i=1

Ai putem scrie B = B ∩ Ω = B ∩ (n⋃

i=1

Ai) =n⋃

i=1

(B ∩ Ai). Deoa-

rece pentru i 6= j, Ai ∩ Aj = ∅ atunci avem

P (B) =n∑

i=1

P (B ∩ Ai) =n∑

i=1

P (Ai) · P (B|Ai).

Formula lui Bayes

Fie {F,Ω, P} un câmp de probabilitate şi {A1, A2, . . . , An}, Ai ∈ F, i = 1, n un sistemcomplet de evenimente şi B un eveniment oarecare. Atunci

P (Ai|B) =P (B|Ai) · P (Ai)n∑

j=1

P (Aj) · P (B|Aj). (2.11)

În condiţiile date prin ipoteză are loc formula probabilităţii totale şi ţinând seama de(2.3) obţinem

P (Ai|B) =P (B ∩ Ai)P (B)

=P (B|Ai) · P (Ai)n∑

j=1

P (Aj) · P (B|Aj).

5

Exemplul 2.2.1 Să presupunem că sistemul de detecţie al unei baterii poate greşi asupraprezenţei unei ţinte (de ex. un avion inamic) cu probabilitatea de 0.05, iar prezenţa reală aţintei este detectată de sistem cu probabilitatea 0.9. Presupunând că probabilitatea apariţieiunei ţinte ı̂n zona sistemului este 0.25, vrem să determinăm probabilitatea unei alarme false,dacă sistemul a primit un semnal relativ la prezenţa unei ţinte.

Notăm cu A1 evenimentul care constă ı̂n prezenţa reală a ţintei, A2 evenimentul careconstă ı̂n absenţa ţintei şi cu B evenimentul care constă ı̂n detectarea unui semnal. Atunci

P (A1) = 0.25,

P (A2) = P (A1) = 0.75,

P (B|A1) = 0.9,P (B|A2) = 0.05.

Probabilitatea cerută, conform formulei lui Bayes, este

P (A2|B) =P (B|A2)P (A2)

P (B|A1)P (A1) + P (B|A2)P (A2)=

0.05 · 0.750.25 · 0.9 + 0.75 · 0.05

= 0.142 86.

Exemplul 2.2.2 Există exact trei firme care produc un aparat, firmele F1, F2, F3 şi acestearealizează respectiv 30, 25 şi 45 la sută din producţia ţării. La firma F1 1% din producţieeste rebut, la F2 1.5% iar la F3 2%. Care este probabilitatea ca un aparat luat la ı̂ntâmplarede la cele trei firme să fie rebut? Dar care este probabilitatea ca el să provină de la firmaF3?

Notăm cu Ai, i = 1, 2, 3 evenimentul că aparatul luat să provină de la firma Fi, i = 1, 2, 3şi notăm cu B evenimentul că aparatul luat este defect. Atunci

P (A1) = 0.3,

P (A2) = 0.25

şiP (A3) = 0.45.

Apoi

P (B|A1) = 0.01,P (B|A2) = 0.015

iarP (B|A3) = 0.02,

deci

P (B) = P (B|A1)P (A1) + P (B|A2)P (A2) + P (B|A3)P (A3)= 0.01 · 0.3 + 0.015 · 0.25 + 0.02 · 0.45= 0.01575,

P (A3|B) =P (B|A3)P (A3)

P (B)=

0.02 · 0.450.015 75

= 0.57143.

Dăm câteva exemple ı̂n care Ω nu este o mulţime finită şi exemplificăm modul ı̂n caredefinim funcţia de probabilitate.

6

• Fie Ω = [0, 1] . Putem considera F ca fiind format din ∅,Ω, toate submulţimile finitede puncte din Ω, subintervale, reuniuni finite sau numărabile de intervale, complemen-tarele lor etc. Pentru orice punct ω ∈ Ω definim P (ω) = 0 şi pentru orice subinterval[a, b] ⊂ Ω, punem P ([a, b]) = b− a, lungimea intervalului.

• Fie Ω ⊂ R2 o mulţime fixată având arie nenulă notată cu µ(Ω). Notăm cu F mulţimea

părţilor lui Ω care au arie finită şi definim P (A) =µ(A)

µ(Ω). Tripletul {F,Ω, P} este un

câmp de probabilitate şi se numeşte câmp de probabilităţi geometrice pe Ω.

Dăm un exemplu care să justifice studiul unor astfel de câmpuri de probabilitate.

Exemplul 2.2.3 Două persoane A şi B au decis să se ı̂ntâlnească ı̂ntre orele 0 şi 1 ı̂ntr-unanumit loc, venind independent. În plus ele au făcut convenţia ca primul venit să-l aştepte pecelălalt 15 minute (sfertul academic) şi dacă acesta nu vine, să plece. Care este probabilitateaca persoanele respective să se ı̂ntâlnească?

Notând cu x (respectiv y) momentul sosirii lui A (respectiv B) la locul de ı̂ntâlnire, avem0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1. Luăm Ω = [0, 1] × [0, 1] şi F mulţimea submulţimilor având arie.Atunci evenimentul care constă ı̂n ı̂ntâlnirea celor două persoane, pe care ı̂l notăm cu I, vafi

I =

{(x, y) | |x− y| ≤ 1

4

}.

Mulţimea I este notată ı̂n figura de mai jos.

x

y

O 1/4 1O

1

1/4I

Probabilitatea de realizare a ı̂ntâlnirii va fi

P (I) =aria(I)

aria(Ω)=

1− 2 ·34· 34

2

1=

7

16= 0.4375.

2.3 Metode de numărare

Calculul probabilităţilor conduce adesea la numărarea diferitelor cazuri posibile. Capitoluldin algebră referitor la permutări, aranjamente şi combinări este foarte util ı̂n această situaţie.

Principiul multiplicării. Presupunem că avem două situaţii A şi B, situaţia A sepoate realiza ı̂n m moduri, iar situaţia B ı̂n k moduri. Numărul de moduri ı̂n care se poaterealiza A şi B este m× k.

Mai general, presupunem că avem r ≥ 2 situaţii. În prima situaţie putem face m1 alegeri,ı̂n a doua m2,. . ., ı̂n a r-a situaţie mr alegeri, deci ı̂n total vor fi m1 ×m2 × . . .×mr.

7

Exerciţiul 1 Care este numărul situaţiilor care apar aruncând două zaruri? Pentru primulzar sunt 6 situaţii, pentru al doilea 6 situaţii, ı̂n total 6× 6 situaţii.

În continuare vom face distincţie ı̂ntre o mulţime cu o ordine determinată de dispunerea elementelor sale, numită mulţime ordonată şi o mulţime ı̂n care nu ne interesează ordineaelementelor.

Permutări: Fie o mulţime A cu n elemente. Elementele acestei mulţimi se pot ordonaı̂n mai multe moduri. Fiecare mulţime ordonată care se formează cu cele n elemente alemulţimii A se numeşte permutare a elementelor acelei mulţimi. Numărul permutărilor cun elemente este n! = 1× 2× . . .× n. Acest rezultat se obţine din principiul multiplicării. Opermutare poate fi construită prin selectarea elementului plasat pe prima poziţie, selectarecare se face dintre cele n elemente, apoi selectarea elementului plasat pe a doua poziţie dintrecele n− 1 elemente rămase, apoi selectarea elementului plasat pe a treia poziţie dintre celen− 2 elemente rămase, etc.

Aranjamente: Fie o mulţime A cu n elemente. Submulţimile ordonate ale lui A,având fiecare câte k elemente, 0 ≤ k ≤ n, se numesc aranjamente de n luate câte k.Numărul aranjamentelor de n luate câte k se notează

Akn = n(n− 1) . . . (n− k + 1) =n!

(n− k)!.

Şi acest rezultat se obţine din principiul multiplicării. O submulţime poate fi construităprin selectarea elementului plasat pe prima poziţie, selectare care se face dintre cele n ele-mente, apoi selectarea elementului plasat pe a doua poziţie dintre cele n−1 elemente rămase,apoi selectarea elementului plasat pe a treia poziţie dintre cele n − 2 elemente rămase etc,elementul de pe poziţia k va fi selectat din cele n− k + 1 elemente rămase.

Exerciţiul 2 În câte moduri este posibil să facem un steag tricolor dacă avem la dispoziţepânză de steag de cinci culori diferite ?

Două steaguri tricolore care au aceleaşi culori se deosebesc dacă ordinea culorilor estediferită. Deci ne interesează câte submulţmi de câte trei elemente se pot forma cu elementeleunei mulţimi de cinci elemente, ı̂n submulţmi interesându-ne ordinea elementelor. Deci suntA35 = 5× 4× 3 = 60.

Combinări: Fie o mulţime A cu n elemente. Submulţimile lui A având fiecare câte kelemente, 0 ≤ k ≤ n, ı̂n care nu ne interesează ordinea elementelor, se numesc combinări den luate câte k. Numărul combinărilor de n luate câte k se notează

Ckn =Aknk!

=n!

k! · (n− k)!.

Exerciţiul 3 Pentru un joc, cinci fete şi trei băieţi trebuie să formeze două echipe de câtepatru persoane. În câte moduri se pot forma echipele ?

În total sunt 8 copii cu ajutorul cărora trebuie făcute două grupe a câte patru copii.Studiem ı̂n câte moduri se poate forma o grupă de 4, cealaltă formându-se din copiii rămaşi.Nu interesează numărul de fete sau de băieţi din grupă şi nici ordinea lor, ci numai numărulde grupe care se pot forma. Acest număr este

C45 + C35 × C13 + C25 × C23 + C15 × C33 = C48 = 70.

8

ProbabilitatiDefinitia probabilitatiiFormule probabilisticeMetode de numarare