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Realta e Probabilita. Il caso della Meccanica Statistica

Angelo VULPIANI

Dipartimento di Fisica, Universita “Sapienza”, Roma, ItaliaCentro Interdisciplinare ”B. Segre”, Accademia dei Lincei

<[email protected]>

2017

Angelo VULPIANI Realta e Probabilita. Il caso della Meccanica Statistica

Perche la probabilita e interessante

La probabilita e una scienza giovane, la sua (prei)storia inizia solo nelXVI-mo secolo nel frivolo mondo dei giochi (dadi, carte, scommesse); hapoi avuto un ruolo fondamentale nella meccanica statistica, nellameccanica quantistica e piu recentemente ha avuto intersezioni con ilcaos deterministico e la complessita.

* Ruolo della probabilita nella vita di tutti i giorni, ad es. nel gioco dellotto, investimenti in borsa e interpretazione delle analisi mediche.* Sua rilevanza nelle scienze e nella tecnologia.

* La probabilita e ancora un argomento controverso ed esistono variescuole che ne danno interpretazioni diverse.


Opinioni, anche molto diverse, di persone importanti

* Diffusa diceria maligna (del passato):Tra la probabilita e la matematica c’e la stessa relazione che intercorre trail mercato nero e l’economia.

* K. Popper:Le stime probabilistiche non sono falsificabili. E, naturalmente non sononeppure verificabili ...Inoltre Popper riteneva inconsistente l’ uso della probabilita in ambitodeterministico.


* A. Einsteinsulla probabilita in ambito deterministico, aveva l’opinione esattamenteopposta:... non credo che lei abbia ragione quando sostiene la tesi che e impossibilederivare conclusioni statistiche da una teoria deterministica. Le bastapensare alla meccanica statistica.(Da una lettera a Popper)


* J. Clerk Maxwell:La vera logica di questo mondo e il calcolo delle probabilita... Questabranca della matematica che di solito viene ritenuta favorire il giocod’azzardo, quello dei dadi e le scommesse, e quindi estremamenteimmorale, e la sola ”matematica per uomini pratici”.


* B. de Finetti:La probabilita non esiste.

Ben strana affermazione: de Finetti ha dedicato gran parte del suo lavoroalla probabilita.


Le mie preferite:

* A.N.K. Kolmogorov:L’assunzione che una definita probabilita esiste per un dato evento sottocerte condizioni e un ipotesi che deve essere verificata e giustificata inciascun caso individuale.


* A.A. Markov:Uno dei compiti piu importanti della teoria delle probabilita e identificarequegli eventi la cui probabilita e vicino a zero od ad uno.

* M. Kac:La teoria della probabilita e la teoria della misura piu un’anima.(L’ anima e la nozione di indipendenza.)

* J.A. Wheeler:La probabilita, come il tempo, e un concetto inventato dagli esseri umani,e gli esseri umani devono assumersi la responsabilita delle oscurita che locircondano.


Le principali interpretazioni della probabilita

I- Probabilita classica (Laplace)

II- Probabilita come frequenza (von Mises)

III- Probabilita soggettiva (de Finetti), come grado di convinzione(Ramsey)

IV- Probabilita come teoria matematica (Kolmogorov)

Ogni interpretazione ha problemi e/o inconsistenzeIl punto veramente importante e l’interpretazione dei risultati del calcolodella probabilita con il mondo reale; su questo aspetto difficilmente siavra mai un’ opinione completamente condivisa.


Probabilita classica

Prob(A) =N(A)

NT

N(A) = numero di eventi favorevoli ;NT = numero di eventi totali equiprobabili

E un circolo vizioso: la probabilita e definita in termini di equiprobabilita!Difficolta concettuali (”paradosso di Bertrand”) per variabili continue.

In alcuni casi (con eventi discreti) non ci sono problemi, ad esempio intutti i giochi non truccati, usando le ”simmetrie” e facile determinare laprobabilita.E se il dado e truccato?


Il marchese Pierre Simon Laplace (1749 - 1827)


Probabilita come frequenza

Prob(A) = limN→∞

fN(A)

fN(A) = frequenza delle volte che accade l ′evento A in N tentativi .In termini formali: per ogni ε si ha:

limN→∞

Prob(|fN(A)− Prob(A)| < ε) = 0

Anche in questo caso si potrebbe obiettare che c’ e un circolo vizioso: laprobabilita e definita in termini di eventi con probabilita nulla.

* La probabilita puo essere introdotta solo per eventi ripetibili.* In pratica quanto grande deve essere N?* E per gli eventi a probabilita molto piccola?


Probabilita soggettiva

Prob(A secondo il Signor Rossi) = la massima somma che il Signor Rossi edisposto a scommettere per ricevere 1 se l’evento A accade .

Vantaggi: Si puo sempre definire la probabilita di un evento, ad esempioche domani la Terra sara invasa da alieni.(Kolmogorov avrebbe da ridire...)

Svantaggi: La probabilita dipende dalla persona, la probabilita di unevento puo essere diversa per il Signor Rossi e la Signora Bianchi.

* Come si determina una probabilita in pratica? Ad esempio per fissare ilpremio di un’assicurazione?


Probabilita come teoria matematica

Questo approccio nato da esigenze matematiche a partire dall’inizio del20-mo secolo (Borel, Cantelli, Levy, Khinchin, von Mises,etc) ha la sua”codifica ufficiale” nel libro di Kolmogorov del 1933 Grundbegriffe derWahrscheinlichkeitsrechnung (Foundations of the Theory of Probability)[ consultabile su: http://www.kolmogorov.com/Foundations.html]

In questa ”interpretazione” non si definisce la probabilita di un evento, sidanno solo delle proprieta matematiche che devono essere soddisfatte.

* Kolmogorov riteneva che l’interpretazione della probabilita in termini difrequenza fornisse la migliore connessione tra il formalismo matematico ela realta fisica. Questa convinzione NON e una conseguenza dell’approccio assiomatico.

[La grande maggioranza dei matematici e dei fisici teorici, compreso AV,condivide la posizione di Kolmogorov].


Gli assiomi di Kolmogorov

* Ω e lo spazio degli eventi, cioe l’ insieme degli eventi elementari ω e Funa famiglia di sottoinsiemi di Ω.

I- F e un’ algebra d’ insiemi, cioe Ω ∈ F ed inoltre F e chiusa rispetto all’operazione di unione, intersezione e complemento.II- Ad ogni elemento A di F si associa un numero reale non negativo, laprobabilita di A, P(A) ≥ 0.III- P(Ω) = 1.IV- Se due insiemi A e B sono disgiunti (cioe A ∩ B = ∅) alloraP(A ∪ B) = P(A) + P(B).* Una variante delicata del IV (additivita numerabile): Se Aj e unacollezione numerabile di insiemi a due a due disgiunti allora

P(∞⋃j=1

Aj) =∞∑j=1

P(Aj) .


Significato delle (apparenti) pedanterie matematiche

I- L’ algebra d’ insiemi F specifica gli eventi per i quali si puo parlare diprobabilita, se esiste la probabilita di A e B allora c’e anche la probabilitadi A ∪ B, di A ∩ B, del complemento di A (Ac = Ω− A), etc.

III- Con certezza (probabilita = 1) succede qualcosa.

IV- Se non c’e sovrapposizione tra A e B (cioe se accade A non si verificamai B) alloraProb(evento A , oppure evento B) = Prob(evento A) + Prob(evento B).

* Gli assiomi di Kolmogorov sono perfettamente compatibili con ladefinizione della probabilita classica; inoltre l’ insieme degli assiomi non econtraddittorio.


Domande sulla probabilita

La probabilita ha un carattere epistemico oppure ontico?

La probabilita deve essere interpreta come una proprieta soggettivaoppure oggettiva?

Ovviamente da ontico → oggettivo.Ma da epistemico puo seguire sia oggettivo che soggettivo.

In Meccanica Quantistica la probabilita e considerata come unaproprieta intrinseca cioe ontica.


Il mondo classico

Nella fisica classica si assume che valga il determinismoEsiste una regola di evoluzione, non necessariamente esplicita, che dato lostato al tempo iniziale x(0), determina univocamente lo stato ad ognitempo futuro x(t).* Le leggi di Newton della meccanica sono di questo tipo, il casoparadigmatico e la caduta di un grave sotto l’azione della gravita:lasciandolo cadere da un’altezza h tocca terra dopo un tempo

t =

√2h

g


Probabilita in un mondo deterministico: un ossimoro?

La domanda* Cosa succede nel futuro se conosco x(0)?puo essere (in qualche modo) senza senso anche in ambito deterministico;questo accade se il sistema e caotico.

Il fatto che dagli stessi antecedenti seguano le stesse conseguenze e unadottrina metafisica.[...] Ma non e molto utile nel mondo in cui viviamo, ove non si verificanomai gli stessi antecedenti e nulla accade identico a se stesso due volte.[...] L’ assioma della fisica che ha, in un certo senso, la stessa natura e”che da antecedenti simili seguono conseguenze simili”.(J. Clerk Maxwell)

La domanda ”giusta” (dell’ uomo pratico, come direbbe Maxwell) e:* cosa succede nel futuro se conosco x(0) con una data incertezza?Questo e un problema di probabilita.


Il padre del caos: Henri Poincare (1854 - 1912)


Caos deterministico

Se pure accadesse che le leggi della natura non avessero piu alcun segretoper noi, anche in questo caso potremmo conoscere la situazione inizialesolo approssimativamente .... puo accadere che piccole differenze nellecondizioni iniziali ne producano di grandissime nei fenomeni finali. Unpiccolo errore nelle prime produce un errore enorme nei secondi. Laprevisione diventa impossibile e si ha un fenomeno fortuito.(H. Poincare)

Ci sono sistemi deterministici che mostrano un’ evoluzione temporalepiuttosto irregolare (come ci si aspetta nei processi stocastici).Puo esserci una forte dipendenza dalla condizione iniziale: piccoledifferenze al tempo iniziali vengono amplificate in modo esponenziale.Questo e il famoso (famigerato?) effetto farfalla: una farfalla che batte leali in Brasile puo provocare un tornado in Texas dopo un paio di settimane.


* Il comportamento caotico non e un fatto eccezionale: lo si incontra unpo’ ovunque (ecologia, astronomia, geofisica, ottica etc)* Il caos puo essere presente anche in sistemi apparentemente innocenti(E. Lorenz, M. Henon, B.V. Chirikov, ...)Ad esempio nella mappa logistica

x(n + 1) = 4x(n)(1− x(n)) ,

questo e un modello (iper)semplificato, ma non banale, per la dinamicadelle popolazioni.* L’ andamento temporale x(0), x(1), x(2), ..... appare ”erratico”.* Un piccolo errore raddoppia ad ogni passo, δx(n) ∼ 2δx(n − 1);dopo pochi passi l’errore e enorme anche se δx(0) e molto piccolo.


n

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0 5 10 15 20 25 30

x(n

)

n

r=4.0

(d)

Due traiettorie della mappa logistica con condizioni iniziali molto vicine|x(0)− x ′(0)| = 4× 10−6, notare:* il comportamento irregolare;* come solo dopo 16− 17 iterazioni le due traiettorie diventinocompletamente diverse.


Probabilita in un mondo deterministico: non e un ossimoro

Immaginiamo di avere un’incertezza al tempo t = 0, questo corrisponde adavere una densita di probabilita p0(x), ad esempio se la condizione inizialex(0) e nota con precisione ε allora p0(x) e diversa da zero nella regione|x− x(0)| < ε.

Esiste un’equazione che permette di determinare la densita di probabilitapt(x) al tempo t, proprio come nei processi stocastici.Per una mappa unidimensionale x(t + 1) = f (x(t)) si ha la regola:

pt+1(x) =∑k

pt(yk)

|f ′(yk)|

ove le yk sono quei punti (preimmagini) tali che f (yk) = x .


Inoltre, sotto ipotesi abbastanza generali, accade che dopo un temposufficientemente lungo pt(x) tende a una densita p∞(x) indipendente dalladensita iniziale.Nel caso della mappa logistica si ha

limt→∞

pt(x) = p∞(x) =1

π√x(1− x)

.

Abbiamo quindi che la densita p∞(x) e una proprieta intrinseca delsistema ed ha un carattere oggettivo.I risultati sono indipendenti dalla grandezza dell’ incertezza, per quantopiccola sia (purche non nulla), si ha sempre la stessa densita di probabilitaasintotica.


Ludwig BOLTZMANN

Sulla connessione tra probabilita e sistemi deterministici avevano ragioneMaxwell, Boltzmann ed Einstein; ed aveva torto Popper!Anche in un contesto puramente deterministico ha senso parlare diprobabilita (che non ha un carattere soggettivo).


Il Problema di fondo della Meccanica Statistica

Livello Microscopico: Un corpo materiale e costituito da un grandenumero di atomi, O(1020 − 1025), che evolvono seguendo le leggi diNewton (assumiamo per sempicita la validita della fisica classica).

Livello Macroscopico: Le proprieta termodinamiche sono descritte dapoche variabili: temperatura, pressione etc

DOMANDA: quale connessione esiste tra la descrizione a livellomeccanico e la termodinamica?


La grande visione di Boltzmann (ancora valida)

Per conciliare la meccanica da una parte e la termodinamica dall’altra, enecessario trovare un ponte, tecnico e concettuale, tra questi duemondi.

L’ idea di Boltzmann puo essere riassunta nei due punti seguenti:

I) Introduzione di idee probabilistiche e loro interpretazione in termini fisici.

II) Una relazione che fornisca un legame tra quantita nel mondomacroscopico (termodinamica) e quelle nel mondo microscopico(dinamica).


Il punto I) e estremamente delicato ed ancora oggi oggetto di studio, l’ideae la seguente.Abbiamo un sistema microscopico composto da N particelle, il cui statofisico e il vettore X le cui componenti sono le posizioni e le velocita ditutte le particelle, quando uno strumento effettua una misura (ad esempiodella pressione) di fatto compie una media temporale di una funzione di X.Lo strumento misura

1

T

∫ T0

A(X(t)) dt ,

ove T e il tempo di misura.Ovviamente per poter effettuare esplicitamente la media bisognerebbe:a) conoscere la condizione iniziale X(0) ;b) essere in grado di trovare l’ evoluzione X(t) con 0 < t < T ec) calcolare l’integrale.Tutte cose sono chiaramente fuori dalla portata umana.


L’ idea di Boltzmann fu di sostituire la media temporale con una media dacalcolare con un’ opportuna densita di probabilita.E possibile tutto cio? Non e affatto ovvio, questa congettura e chiamataipotesi ergodica. Nel caso l’ipotesi sia soddisfatta allora la probabilita diuna regione A dello spazio delle fasi non e altro che la frazione di tempoche il sistema durante la sua evoluzione (su un tempo molto lungo) passain A.La relazione che fornisce il ponte tra la termodinamica ed il mondomicroscopico e incisa sulla tomba di Boltzmann:

S = k ln W ,

ove S e l’entropia (una quantita termodinamica) del corpo macroscopico eW e il numero di stati microscopici (quindi una quantita di tipomeccanico) che hanno lo stesso stato macroscopico.


L’ essenza della meccanica statistica


La probabilita in termodinamica

L’ approccio di Boltzmann e di tipo probabilistico, questo comporta chenon c’e la completa validita del secondo principio della termodinamica, cheperde (almeno a livello concettuale) il suo status di legge assoluta, perdiventare un fatto probabilistico.

Boltzmann capı che nella conciliazione tra meccanica e termodinamica unruolo importante e giocato delle condizioni iniziali (cioe posizioni e velocitadelle particelle del gas): quelle che portano ad un comportamentoirreversibile sono molto piu numerose di quelle dalle quali si ha uncomportamento reversibile.Il secondo principio e una sorta di risultato probabilistico, che per i corpimacroscopici (a causa dell’enorme numero di particelle che contengono) epraticamente certo.


Come intendere la probabilita in meccanica statistica?

Ovviamente ci sono diverse scuole, limitiamoci alle due piu importanti:quella di Jaynes (massima entropia) e quella (diciamo tradizionale) diBoltzmann.

* Secondo il punto di vista soggettivista di Jaynes (un ”estremistaantiboltzmanniano”) la meccanica statistica e una teoria di inferenzastatistica: il principio di massima entropia e la regola per determinare leprobabilita in circostanze in cui si hanno solamente informazioni parziali,ad esempio sono noti alcuni valori medi.* In questo approccio la probabilita e interpretata come misura del ”gradodi convinzione” di una proposizione, e non una quantita fisicamentemisurabile.

* Obiezione di fondo: Come e possibile fare inferenza dalla propriaignoranza?


La probabilita seguendo Boltzmann

Di fatto nell’ ipotesi ergodica si assume un punto di vista frequentista.L’ ergodicita, che nasce dalla dinamica e dalla necessita di collegarsi conl’esperienza, permette di introdurre in modo molto naturale la probabilitain un contesto deterministico.

IL PUNTO DI SVOLTA: Il numero di particelle e virtualmente infinito.Questo permette la possibilita d usare il calcolo della probabilita, inparticolare i teoremi limite, per capire il comportamento di un SINGOLOoggetto macroscopico.


Perche (secondo un fisico) e possibile, a volte, usare laprobabilita nel mondo reale?

Nella teoria delle probabilita si calcolano medie, distribuzioni etc, nellarealta spesso c’e un unico sistema.

Un esempio importante della fisica: l’irreversibilita:* c’e una sola pentola d’ acqua calda (quella in una data cucina) che siraffredda* nel calcolo delle probabilita si considerano M pentole (M →∞), poi sifanno medie etc

Perche ogni singola pentola si comporta sempre allo stesso modo?Come interviene in questo problema la teoria delle probabilita?


L’idea di TIPICITA

Dato un sistema con N componenti ed un osservabile A che dipende datutte le componenti, per ogni ε

limN→∞

Prob(|A− 〈A〉| > ε) = 0

A parole: a parte casi veramente ”strani” (quelli non tipici) il singolosistema, se e grande, si comporta come la media:si puo capire l’andamento temporale della temperatura della singolapentola se si e in grado di fare la media su tante (ipotetiche) pentole.

E possibile, a volte, formalizzare le cose.


Osservazioni per il caso N 1

* Il calcolo della probabilta e usato per calcolare i valori 〈A〉

* I teoremi limite ci assicurano che A osservato e molto vicino a 〈A〉, aparte per eventi non tipici che hanno probabilita molto piccola (chediventa zero per N →∞).

* Notare che anche in una misura singola, poiche N 1 si possonoinvocare i teoremi limite.

* In meccanica statistica le stime probabilistiche sono perfettamentefalsificabili/ verificabili.L’ opinione di Popper: [ Le stime probabilistiche non sono falsificabili. E,naturalmente non sono neppure verificabili ] e errata.


Confronto con gli esperimenti

La distribuzione di Maxwell- Boltzmann prevede che la probabilita che ilmodulo della velocita v di una particella sia compreso tra v1 e v1 e:

Prob(v1 < v < v2) = B

∫ v2

v1

4πv2e−v2/α dv

B = (m/2πkBT )3/2 , α = 2πkBT/m.

Si puo fare una misura sperimentale e confrontare il risultato delleosservazioni con la teoria.L’esperimento (tecnicamente difficile) e in perfetto accordo con ladistribuzione di Maxwell- Boltzmann.


L’ aspetto forse piu importante del calcolo della probabilita

* Tutto il valore epistemologico della teoria delle probabilita e basato suquesto: i fenomeni aleatori, considerati nella loro azione collettiva a grandescala, generano una regolarita non aleatoria.(B.V. Gnedenko e A.N. Kolmogorov)

* Uno dei compiti piu importanti della teoria delle probabilita e identificarequegli eventi la cui probabilita e vicino a zero od ad uno.(A.A. Markov)

Legge dei grandi numeri:La media ”empirica” di N variabili casuali indipendenti nel limite di Ngrande e ”vicina” alla media:

1

N(x1 + x2 + ...+ xN−1 + xN) ”→ ”〈x〉


Un esempio

* E impossible prevedere quando un singolo atomo di un materialeradioattivo decadra, tuttavia il numero di atomi N(t) non decaduti segueuna legge ben precisa

N(t) ' 〈N(t)〉 = N(0)e−t/τ ,

ove τ e un tempo caratteristico del tipo di materiale

In termini piu formali

Prob(∣∣∣ N(t)

〈N(t)〉− 1∣∣∣ > ε

)e molto piccola se 〈N(t)〉 1.


Un tentativo di conclusione

Anche in un sistemi deterministici non e da escludere la probabilita, che(anche se di tipo epistemico) non e soggettiva se ci sono tanti gradi diliberta (meccanica statistica), oppure c’e caos.

Anche in presenza di leggi intrinsecamente stocastiche si possono averecomportamenti certi (determinismo statistico) se sono coinvolte tantevariabili (teoremi limite)

L’ assunzione dell’ ergodicita e tecnicamente equivalente ad un’interpretazione frequentistica. Tuttavia nasce in modo naturale in quantoconnesso alla dinamica del sistema.

In meccanica statistica la probabilita e usata per calcolare valori medi ecapire che, per N 1, la singola misura e vicina al valore medio: anche alivello concettuale, l’interpretazione della probabilita, di fatto, non apparenecessaria


Qualche Referenza

* D. Costantini I fondamenti storico- filosofici delle discipline statistico-probabilistiche (Bollati Boringhieri, 2004)

* B. de Finetti L’invenzione della verita (Raffaele Cortina Editore, 2006)

* D. Gillies Philosophical Theories of Probability (Routledge, 2000)

* M. Falcioni e A. Vulpiani Ludwig Boltzmann: un tributo per i suoi 170anni Lettera Matematica 91, 16 (2014)

* A. Hajek, Interpretations of Probability, in Stanford Encyclopedia ofPhylosophy: http://www.seop.leeds.ac.uk/entries/probabilityinterpret

* M. Kac Gli enigmi del caso (Bollati Boringhieri, 1996)


* E. Noel (Ed.) Aggiornamenti sull’idea di ”caso” (Bollati Boringhieri,1992)

* H. Poincare Geometria e caso (Bollati Boringhieri, 1995)

* K. Pomian (Ed.) Sul determinismo (Il Saggiatore, 1991)

* D. Ruelle Caso e caos (Bollati Boringhieri, 1992)

* A. Vulpiani Determinismo e caos (Nuova Italia Scientifica 1994, Carocci2004)

* A. Vulpiani Caso, probabilita e complessita (Ediesse, 2014)

* N. Zanghı I fondamenti concettuali dell’ approccio statistico in fisica inLa Natura delle Cose Ed. V. Allori, M. Dorato, F. Laudisa e N. Zanghı(Carocci Editore, 2005) pagina 139


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