DpartementdeMathmatiquesetInformatique Abdelhamid El Mossadeq
Professeur lEHTP A.ElMossadeqMars2009 Analyse Combinat oire 1 Les
Espaces de Probabilit 39 Les Variables Alat oires129 Les Vect eurs
Alat oires195 Les Lois Usuelles de Probabilit 331 Analyse
Combinatoire A. El MossadeqExercice 1Soit et 1 deux ensembles et ,
une application de dans 1.On suppose que 1 est ni de cardinal : et
que pour tout dans 1, le cardinalde limage rciproque de par ,,
,1(), est gal un entier non nul j.1. Montrer que , est
surjective.2. Soit R la ralation dquivalence associe ,.Montrer que
,R et 1 sont quipotents.3. En dduire le cardinal de .Solution 11.
Par hypothse, le cardinal de ,1() est non nul pour tout dans 1.Donc
,1() est non vide pour tout dans 1, do la surjection de ,.2. Daprs
la dcomposition canonique de ,, ,R et , () sont quipotents.Or , est
surjective, donc , () = 1, et par consquent ,R et 1 ont
mmecardinal.3. Pour tout r .dsignons par C (r) la classe
dquicalence de r modulo R.On a :C (r) = [ rR= [ , (r) = , ()= _ [
,1(, (r))_= ,1(, (r))On en dduit que C (r) a pour cardinal j pour
tout r .Soit alors r1. .... rn un systme de reprsentants des
classes dquivalencemodulo la relation dquivalence R.Comme C (r1) .
.... C (rn) forment une partion de , on a :cc:d =n
k=1cc:d C (rk) = :j3A. El Mossadeq Analyse CombinatoireExercice
2Soit et 1 deux ensembles de cardinaux respectifs : et j, et
dsignons parT (. 1) lensemble des applications de dans 1.1.
Dterminer le nombre dapplications de dans 1 pour : = 1 et : = 2.2.
Soit c et 1 = c.Montrer que T (. 1) et T (1. 1) T (c . 1) sont
quipotents.3. En dduire, par un raisonnement par rcurrence, le
nombre dapplications de dans 1.Solution 21. + : = 1 : pour dnir une
application de = c dans 1, il sut dednir limage de c dans 1.Il y a
j possibilits, donc j applications de dans 1.+ : = 2 : pour dnir
une application de = c. / 1il sut de dnir les images c et / dans
1.Pour chacun deux, il y a j possibilits, donc j2applications de
dans1.2. Considrons lapplication:T (. 1) T (1. 1) T (c . 1), _,[A1.
,[a_o ,[A1 et ,[a reprsentent les restrictions de , 1 et c
respectivement,est une bijection.4Analyse Combinatoire A. El
Mossadeq3. Il sen suit que :cc:d T (. 1) = cc:d [T (1. 1) T (c .
1)]= cc:d T (1. 1) cc:d T (c . 1)= j cc:d T (1. 1)Par un
raisonnement par rcurrence sur :, : _ 1, on conclut que :cc:d T (.
1) = jnExercice 3Soit 1 un ensemble de cardinal ni : et T (1)
lensemble de toutes ses parties.1. Soit , de 1 dans 0. 1 une
application.Montrer quil existe une partie unique dans T (1) telle
que , soit la fonctioncaractristique de .2. En dduire, en utilisant
Exercice 2., le cardinal de T (1).Solution 31. Soit :, : 1 0. 1une
application. = ,1(1) est lunique partie de 1 telle que , soit la
fonction caractris-tique A de .2. Lapplication c :T (1) T (1. 0. 1)
Ao T (1. 0. 1) est lensemble des applications de 1 dans 0. 1, est
unebijection.5A. El Mossadeq Analyse CombinatoireOn en dduit que
:cc:d T (1) = cc:d T (1. 0. 1) = 2nExercice 4Soit et 1 deux
ensembles de cardinaux respectifs j et :, j _ :.1. Dterminer le
nombre dapplications injectives de dans 1 pour j = 1. 2.2. Soit c ,
1 = c et G (resp.G1) lensemble des injections de (resp. 1) dans
1.Montrer que si q est une injection de 1 dans 1, alors
lapplication , de dans 1 qui r 1 associe q (r) et c associe un
lment arbitraire de1 q (1) est une injection.3. En dduire que
lapplicationqui , G associe la restriction de , 1est une
application surjective sur G1, et que pour tout q G1, le cardinal
delimage rciproque de q parest : j + 1.4. Dterminer par rcurrence
sur j, le nombre dinjections de dans 1.5. On suppose : = j.En
dduire le nombre de bijections de dans 1.Solution 41. + j = 1Toute
application de = c dans 1 est une injection.Donc, il y a
:injections de c dans 1.+ j = 2Pour le premier lment c de = c. / il
y a : possibilits alors quepour le deuxime / il ny a que (: 1)
possibilits puisque son image doittre dirente de celle de c.Donc,
le nombre dinjections de c. / dans 1 est :(: 1).6Analyse
Combinatoire A. El Mossadeq2. Soit :q : 1 1une injection.Pour tout
1 q (1), lapplication ,y qui coincide avec q sur 1 et telleque :,y
(c) = est une injection.De plus :q = ,y[A1On peut construire ainsi
(: j + 1) aplications injectives : autant que lecardinal de 1 q
(1).3. Daprs la question 2, lapplication:G G1, ,[A1est surjective,
de plus pour tout q G1 on a :cc:d 1(q) = : j + 1Il sen suit que
:cc:d G = (: j + 1) cc:d G14. En utilisant le thorme des Bergers,
on conclut, par une rcurrence sur j,j _ 1, que :cc:d G =:!(: j)!5.
Lorsque : = j, toute injection est une bijection.Il y a donc :!
bijections de sur 1.7A. El Mossadeq Analyse CombinatoireExercice
5On appelle arrangement dordre j de , toute suite ordonne de j
lmentsdistincts choisis parmi les lments de .1. Montrer que
lensemble des arrangements dordre j de est quipotent lensemble des
injections de 1. .... j dans .2. En dduire le nombre darrangements
dordre j de , not (:. j).3. En dduire le nombre de permutations de
(arrangements dordre : de A),not 1(:).Solution 51. Soit (c1. ....
cp) un arrangement dordre j de .Lapplication , :1. .... j i ciest
une injection.Rciproquement, si :, : 1. .... j est une injection,
alors (, (1) . .... , (j)) est un arrangement dordre j de .2. On en
dduit que le nombre darrangements dordre j de concide avec lenombre
dinjections de 1. .... j dans ; do :(:. j) =:!(: j)!3. En
particulier, le nombre de permutations de coincide avec le nombre
debijections de , savoir :1(:) = :!8Analyse Combinatoire A. El
MossadeqExercice 6Soit un ensemble : lments.On appelle combinaison
dordre j de , toute suite non ordonne de j lmentsdistincts choisis
parmi les lments de .1. Quelle est le nombre darrangements quon
peut associer une combinaisondordre j de ?2. En dduire le nombre de
combinaisons dordre j de , not C(:. j).Solution 61. Etant donne une
combinaison dordre j de , le nombre de suite ordonnede j lments
distincts quon peut construire, partir de cette combinaison,est le
nombre de permutations de j lments, a savoir j!.2. Ainsi, chaque
combinaison dordre j de correspond j! arrangements dordrej de ,
donc :(:. j) = j!C(:. j)do :C(:. j) =:!j! (: j)!Exercice 7Soit c un
lment de 1.Dterminer le nombre de sous-ensembles de 1 de cardinal j
: qui contiennent c qui ne contiennent pas cEn dduire :C(:. j) =
C(: 1. j 1) +C(: 1. j)9A. El Mossadeq Analyse CombinatoireSolution
7 Le nombre de sous-ensembles de 1 de cardinal j qui contiennent c
est le nom-bre de parties (j 1) lments de 1 c, savoir :C(: 1. j 1)
=(: 1)!(j 1)! (: j)! Le nombre de sous-ensembles de 1 de cardinal j
qui ne contiennent pas c estle nombre de parties j lments de 1 c,
savoir :C(: 1. j) =(: 1)!j! (: j 1)!Or toute partie de 1 j lments
soit elle contient c soit elle ne le contient pas,on en dduit donc
:C(:. j) = C(: 1. j 1) +C(: 1. j)Exercice 8Soit un ensemble :
lments.1. Quelle est le nombre de partie de j lments ?2. En dduire
le cardinal de T ().Solution 81. Le nombre de partie de j lments
est le nombre de combinaisons dordrej de 2. Notons C(:. j)
lensemble des lments de T () ayant j lments.[C(:. j)]0_p_n forment
une partition de T () do :10Analyse Combinatoire A. El Mossadeqcc:d
T () =n
p=0cc:d C(:. j)=n
p=0C (:. j)= (1 + 1)n= 2nExercice 91. Montrer que :C(:. j) =
C(:. : j)2. En dduire que :C(:. :) = C(:. 0)3. En dduire que :C(2:.
:) = 2C(2: 1. :) = 2C(2: 1. : 1)4. En utilisant les dveloppements
de (1 1)net (1 + 1)n, calculer :
C(:. j) [ 0 _ j _ : . j pairet :
C(:. j) [ 0 _ j _ : . j impairSolution 91. Soit 1 un ensemble :
lments.A toute partie de 1 j lments correspond une et une seule
partie de 1 (: j) lments qui est son complmentaire, do :C(:. j) =
C(:. : j)11A. El Mossadeq Analyse Combinatoire2. En particulier
:C(:. :) = C(:. : :) = C(:. 0) = 1Lunique partie de 1 : lments est
1.Lunique partie de 1 qui ne contient aucun lment est lensemble
vide ?.3. Puisque:C(:. j) = C(: 1. j 1) +C(: 1. j)et :C(:. j) =
C(:. : j)alors :C(2:. :) = C(2: 1. : 1) +C(2: 1. :)= 2C(2: 1. : 1)=
2C(2: 1. :)4. En utilisant la formule du binme on a :(1 + 1)n=n
p=0C(:. j)et :(1 1)n=n
p=0(1)npC(:. j)=n
p=0(1)npC(:. : j)=n
p=0(1)pC(:. j)12Analyse Combinatoire A. El MossadeqEn faisant la
somme et la dirence de ces deux quantits, on obtient :2n= 2
C(:. j) [ 0 _ j _ : . j pairet :2n= 2
C(:. j) [ 0 _ j _ : . j impairdo :
C(:. j) [ 0 _ j _ : . j pair = C(:. j) [ 0 _ j _ : . j impair=
2n1Exercice 10Soit 1 = c1. .... cn un ensemble : lments.On appelle
permutation avec rptition dordre (j1. .... jn) de 1, toute
suiteordonne des lments de 1, o llment ci est rpt ji fois, 1 _ i _
:.Dterminer le nombre de ces permutations quon note 1 (j1. .... jn)
.Solution 10Le nombre de manires pour placer llment c1 dans j1
positions de la suite estle nombre de combinaison dordre j1 parmi j
lments : C(j. j1).Pour c2, il y a C(j j1. j2) manires
possibles,...Pour ck, il y a C(j j1... jk1. jk) manires
possibles.Do :1 (j1. .... jn) =n
k=1C(j j1... jk1. jk)=j!j1!...jn!o j0 = 1 et j = j1 + ... +
jn.13A. El Mossadeq Analyse CombinatoireExercice 11Soit 1 = c1.
.... cn un ensemble : lments.On appelle combinaison avec rptition
dordre j de 1, toute suite nonordonne des lments de 1 de longeur
j.Dterminer le nombre de ces combinaisons quon note 1(:.
j).Solution 11On dmontre que le nombre de combinaisons avec
rptition dordre j de :lments est :1(:. j) = C(: + j 1. j)Exercice
121. Dterminer le nombre dapplications strictement croissantes de
1. .... j dans1. .... :2. Dterminer le nombre dapplications
croissantes de 1. .... j dans 1. .... :.3. Dterminer le nombre de
solutions de lquation :n
i=1ri = j . j N . ri N4. Dterminer le nombre de solutions de
linquation :n
i=1ri _ j . j N . ri NSolution 121. Dmontrons que le nombre
dapplications strictement croissantes de 1. ... jdans 1. ... : est
gal au nombre de combinaisons dordre j de 1. ... :, savoir :C(:. j)
=:!j! (: j)!14Analyse Combinatoire A. El MossadeqEn eet, si :, : 1.
.... j 1. .... :est une application strictement croissante, alors
(, (1) . .... , (j)) est une com-binaison dordre j de 1. ....
:.Rciproquement, soit c1. .... cp une combinaison dordre j de 1.
.... : etsoit o une permutation de 1. .... j telle que :c(1) <
c(2) < ... < c(p)Lapplication , :1. .... j 1. .... :/ c(k)est
strictement croissante.Do le rsultat.2. Dmontrons que le nombre
dapplications croissantes de 1. .... j dans 1. .... :est gal au
nombre de combinaisons avec rptition dordre j de 1. .... :, savoir
:1(:. j) = C(: + j 1. j)=(: + j 1)!j!(: 1)!En eet, si :, : 1. ....
j 1. .... :est une application croissante, alors (, (1) . .... ,
(j)) est une combinaison avecrptition dordre j de 1. ....
:.Rciproquement, soit c1. .... cp une combinaison avec rptition
dordre j15A. El Mossadeq Analyse Combinatoirede 1. .... : et soit o
une permutation de 1. .... j telle que :c(1) _ c(2) _ ... _
c(p)Lapplication , :1. .... j 1. .... :/ c(k)est croissante.Do le
rsultat.3. Dmontrons que le nombre de solutions de lquation :n
i=1ri = j . j N . ri Nest le nombre de combinaisons avec
rptition dordre j de 1. .... :, cest dire :1(:. j) = C(: + j 1.
j)=(: + j 1)!j!(: 1)!En eet, si (r1. .... rn) est une solution de
cette quation, alors la suite danslaquelle llment 1 est rpt r1
fois, ..., llment : est rpt rn fois estune combinaison avec
rptition dordre j de 1. .... :.Rciproquement, soit c1. .... cp une
combinaison avec rptition dordre jde 1. .... : et dsignons par ri
le nombre de rptition de llment i danscette combinaison; on a alors
:n
i=1ri = j(r1. .... rn) est donc une solution de lquation.Do le
rsultat.16Analyse Combinatoire A. El Mossadeq4. Remarquons que
linquation :n
i=1ri _ j . j N . ri Nest quivalente :rn+1 N : n+1
i=1ri = jIl en rsulte que le nombre de solutions de linquation
est gal au nombre desolutions de lquation :n+1
i=1ri = j . j N . ri N savoir :1(: + 1. j) = C(: + j. j)Exercice
13Combien de plaques minralogiques portant un matricule de sept
caractres peut-on former si les trois premiers sont des lettres et
les quatre derniers sont deschires ?Solution 13Pour chaque lettre,
il y a 26 possibilits, alors quil y a 10 possibilits pour
chaquechire.Ainsi, le nombre de plaques minralogiques quon peut
former est :263104Exercice 14A partir dun groupe de cinq hommes et
sept femmes, combien de comits dif-frents composs de deux hommes et
trois femmes peut-on former ?17A. El Mossadeq Analyse
CombinatoireQuen est-ilsi deux des hommes sentendent mal et
refusent de siger ensembleau comit ?Solution 14 Pour le choix des
trois femmes il y a C (7. 3) possibilits et pour celui deshommes il
y a C (5. 2).On en dduit que le nombre total de comits quon peut
ainsi former est :C (7. 3) C (5. 2) = 350 Les deux hommes ne
peuvent siger ensemble, donc soit lun seulement sigedans le comit,
soit aucun des deux ne sige dans le comit.Le nombre de choix des
hommes dans le premier cas est :C (2. 1) C (3. 1) = 6dans le second
cas, le nombre de choix des hommes est :C (2. 0) C (3. 2) = 3Ainsi,
le nombre de choix des deux hommes est :C (2. 1) C (3. 1) +C (2. 0)
C (2. 2) = 9et par suite, le nombre de comits quon peut ainsi
former est :C (7. 3) [C (2. 1) C (3. 1) +C (2. 0) C (2. 2)] = 315On
peut aussi procder en dnombrant les comits o les deux hommes
sigentensemble soit :C (7. 3) [C (2. 2) C (3. 0)] = 35Do, le nombre
de comit recherch est :350 35 = 31518Analyse Combinatoire A. El
MossadeqExercice 15Un cours de Calcul des Probabilits est suivi par
six femmes et quatre hommes.Un examen a lieu, puis les tudiants
sont classs selon leurs notes.On suppose exclu que deux tudiants
obtiennent la mme note.1. Combien de classements dirents peut-on
envisager ?2. Si les femmes sont classes entre elles uniquement et
les hommes entre eux,combien de classements globaux peut-on
envisager ?Solution 151. Le nombre de classements possibles est le
nombre de permutations dordre 10, savoir :10! = 36288002. Le nombre
de classements des femmes est 6! et celui des hommes est 4!.Il en
rsulte que le nombre de classements globaux est :4! 6! =
17280Exercice 16Parmi les dix participants un tournoi dchec, on
compte quatre russes, troisamricains, deux anglais et un franais.Si
dans le classement du tournoi on ne peut lire que la liste des
nationalits desjoueurs mais pas leur identit, combien de
classements individuels correspondune telle liste ?Solution 16Etant
donn un classement par nationalit, il y a 4! possibilits pour
classserindividuellement les quatre russes, 3! pour les trois
amricains, 2! pour les deuxanglais et une seule possibilit pour le
franais.19A. El Mossadeq Analyse CombinatoireDonc, le nombre de
classents individuels qui correspondent un classement parnationalit
est :4! 3! 2! 1! = 288Notons que le nombre de classements
individuels est :1 (10) = 10!et le nombre de classements par
nationalit est le nombre de permutations avecles rptitions (4. 3.
2. 1) :1 (4. 3. 2. 1) =10!4! 3! 2! 1! = 12 600Exercice 17Douze
personnes ont leur disposition trois voitures de six, quatre et
deux placesrespectivement.De combien de manires peut-on aecter ces
douze personnes aux trois voituresen supposant :1. que nimporte
laquelle de ces personnes est susceptible de conduire ?2. que
seulement quatre des douze personnes sont susceptibles de conduire
?Solution 171. Puisque nimporte laquelle de ces personnes est
susceptible de conduire, lenombre de manires de rpartir les douze
personnes sur les trois voitures estle nombre de permutations
dordre 12 avec les rptitions 6, 4 et 2, savoir :1 (6. 4. 2)
=12!6!4!2!= 1386020Analyse Combinatoire A. El Mossadeq2. Si
seulement quatre des douze personnes sont susceptibles de conduire,
alorsil faut dabord choisir trois personnes parmi ces quatre et les
aecter aux troisvoitures en tant que conducteurs, puis rpartir les
neuf personnes restanta-ntes sur les trois voitures. Ainsi, le
nombre de possibilits pour choisir lesconducteurs est :(4. 3) =
24et le nombre de manires pour rpartir les neuf personnes sur les
trois voituresest gal au nombre de permutations dordre 9 avec les
rptitions 5, 3 et 1, savoir :1 (5. 3. 1) =9!5!3!1!= 504Finalement,
le le nombre de manires de rpartir, dans ce cas, les douze
per-sonnes sur les trois voitures est :(4. 3) 1 (5. 3. 1) =
12096Exercice 18Un ascenseur desservant ` tages contient o
personnes.1. De combien de manires les o personnes peuvent-elles
sarrter aux direntstages ?2. De combien de manires les o personnes
peuvent-elles sarrter aux direntstages si :il y a :1 tages tels
quen chacun deux sarrtent c1 personnes,il y a :i tages tels quen
chacun deux sarrtent ci personnes,il y a :k tages tels quen chacun
deux sarrtent ck personnes,o ::1 + :2 + ... + :k = `21A. El
Mossadeq Analyse CombinatoireSolution 181. Chacune des o personnes
a ` choix possibles pour sarrter, donc le nombrede manires
possibles est `S, cest le nombre dapplications dun ensemble o
lments dans un ensemble ` lments.2. Le nombre de personnes o scrit
:o = :1c1 + :2c2 + ... + :kckLe nombre de manires pour rpartir les
tages est le nombre de permutationsdordre ` avec les rptitions :1.
:2. .... :k savoir :1 (:1. :2. .... :k) =`!:1!:2!...!:kLe nombre de
manire pour rpartir les o personnes est le nombre de permu-tations
dordre o avec les rptitions c1 (:1 fois), ..., ck (:k fois) savoir
:1 (c1. .... c1. .... ck. .... ck) =o!(c1!)n1... (ck!)nkAinsi, mle
nombre total de possibilits est :1 (:1. :2. .... :k) 1 (c1. ....
c1. .... ck. .... ck) =`!o!:1!:2!...!:k (c1!)n1... (ck!)nkExercice
19Une personne dispose de vingt mille dirhams investir sur quatre
placementspotentiels. Chaque mise doit se monter un nombre entier
de milliers de dirhams.Entre combien de stratgies dinvestissement
cette personne a-t-elle le choix sielle dcide de risquer la totalit
de la somme ?Quen est-il si on admet que la personne nest pas
oblige dinvestir la totalitde la somme ?22Analyse Combinatoire A.
El MossadeqSolution 19 Soit ri, 1 _ i _ 4, la somme, en milliers de
dirhams, investie dans le i emeplacements.Le nombre de stratgies
possibles est donc gal au nombre de solutions delquation :4
i=1ri = 20 . ri N . 1 _ i _ 4 savoir :1(4. 20) = C(23. 20)= 1771
Dans le cas o la personne nest pas oblige dinvestir la totalit de
la somme,le nombre de stratgies possibles est donc gal au nombre de
solutions delinquation :4
i=1ri _ 20 . ri N . 1 _ i _ 4 savoir :1(5. 20) = C(24. 20)=
10626Exercice 20On achte six pices mcaniques. De combien de manires
peut-on les rpartirsi :1. elles doivent tre places chacune dans un
atelier dirent ?2. elles sont places deux deux dans trois ateliers
dirents ?3. il y a quatre ateliers, deux recevant deux pices chacun
et deux autres unepice chacun ?23A. El Mossadeq Analyse
CombinatoireSolution 201. Le nombre de manires de rpartir les six
pices mcaniques, chacune dans unatelier dirent, est le nombre de
permutations dordre 6 :6! = 7202. Le nombre de manires de rpartir
les six pices mcaniques, deux deuxdans trois ateliers dirents, est
le nombre de permutations dordre 6 avec lesrptitions (2. 2. 2) :1
(2. 2. 2) =6!2! 2! 2!= 903. Le nombre de manires de rpartir les six
pices mcaniques sur quatre ate-liers dirents , deux recevant chacun
deux pices et les deux autres recevantchacun une seule pice, est le
nombre de permutations dordre 6 avec lesrptitions (2. 2. 1. 1) :1
(2. 2. 1. 1) =6!2! 2! 1! 1!= 180Exercice 21Quel est le nombre de
monmes de lensemble des polynomes homognes :variables de degr j
?Solution 21Un monme de lensemble des polynomes homognes :
variables et de degrj scrit sous la forme :A
11 A
22 ...A
nn24Analyse Combinatoire A. El Mossadeqo :___ci N . 1 _ i _ :c1
+ ... + cn = jIl en rsulte que le nombre de monmes de lensemble des
polynomes homognes : variables de degr j est gal au nombre de
solutions de lquation :___c1 + ... + cn = jci N . 1 _ i _ : savoir
:1 (:. j) = C (: 1 +j. j)Exercice 22Dans une banque, chaque client
possde un compte bancaire dont le code estcompos de tois lettres et
cinq chires non ncessairement distincts.1. On suppose que les trois
lettres sont distinctes.Combien de comptes peut-on ouvrir dont le
code :(a) contient un et un 1 ?(b) contient un et nit par 123 ?2.
On suppose que les trois lettres ne sont pas ncessairement
distinctes.Combien peut-on ouvrir de comptes dont le code contient
au moins deux ?3. On suppose que les trois lettres ne sont pas
ncessairement distinctes et quilest impossible dutiliser les chires
0, 1, 2, 3 et 4 qui sont rservs des codesspciaux.Combien peut-on
ouvrir de comptes dont le code :(a) nit par 999 ?(b) commence par
et nit par 89 ?25A. El Mossadeq Analyse CombinatoireSolution 221.
Puisque les lettres sont distinctes, le nombre totale de comptes
quon peutouvrir dans ce cas est :(26. 3) 105= 156 107(a) Le nombre
de manires pour placer les lettres et 1 est :(3. 2) = 6La troisime
lettre tant dirente de et 1, donc le nombre de choixposssible est
:26 2 = 24Les cinq chires ntant pas ncessairement distincts, donc
le nombre dechoix est :105= 100000Do le nombre de comptes qui
contient et 1 est :(3. 2) 24 105= 144 105(b) Le nombre de manires
pour placer la lettre est :(3. 1) = 3Pour les deux autres lettres,
le nombre de choix est :(25. 2) = 600Le nombre de choix possibles
pour les deux chires restants est :102= 100Do le nombre de comptes
qui commencent par la lettre et nissentpar 123 est :(3. 1) (25. 2)
102= 18 10426Analyse Combinatoire A. El Mossadeq2. Dans ce cas, le
compte contient soit exactement deux fois la lettre ,
soitexactement troi fois la lettre .Dans le premier cas, le nombre
de choix possibles pour placer exactement deuxfois la lettre est :C
(3. 2) = 3alors que le nombre de choix posssibles pour la lettre
restante est :26 1 = 25puisquelle est ncessairement distinctes de
.Dans le second cas, il ny a quun seul choix possible.Les cinq
chires ntant pas ncessairement distincts, donc le nombre de
choixest :105= 100000Do le nombre de comptes qui contiennent au
moins deux est :[C (3. 2) 25 + 1] 105= 76 1053. Dans ce cas, le
nombre total de comptes est :26355= 54925 103(a) Le nombre de choix
possibles pour les trois lettres est :263= 17576Le nombre de choix
possibles pour les deux chires restants est :52= 25Do le nombre de
comptes qui nissent par 999 est :26325 = 4394 10227A. El Mossadeq
Analyse Combinatoire(b) Pour placer les deux lettres restantes, le
nombre de choix possibles est :262= 676alors que le nombre de choix
possibles pour placer les trois chires restantsest :53= 125Do le
nombre de comptes qui commencent par la lettre et nissentpar 89 est
:26253= 845 102Exercice 23Les : tmes dune encyclopdie, numrots de 1
:, sont placs au hasard surune tagre.1. Combien y a-t-il de manire
de les placer ?2. Parmi ces classements, combien y en a-t-il o :(a)
les tmes 1 et 2 se trouvent cte cte dans cet ordre ?(b) les tmes 1
j se trouvent cte cte dans cet ordre ?Solution 231. Le nombre de
manire de placer les : tmes de lencyclopdie sur ltagre estle nombre
de permutations dordre : :1 (:) = :!(a) Si les tmes 1 et 2 doivent
se trouver cte cte dans cet ordre, alorsil y a (: 1) manires
possibles pour les placer, puis (: 2)! manirespossibles pour placer
les (: 2) tmes restants.Donc, le nombre de placements possibles
dans ce cas est : (: 1)!28Analyse Combinatoire A. El Mossadeq(b) Si
les tmes 1 j doivent se trouver cte cte dans cet ordre, alors il ya
(: j + 1) manires possibles pour les placer, puis (: j)!
manirespossibles pour placer les (: j) tmes restants.Donc, le
nombre de placements possibles dans ce cas est : (: j + 1)!Exercice
24On jette quatre ds discernables et on appelle rsultat, une suite
ordonne desquatre points amens.1. Combien y a-t-il de rsultats
possibles ?2. Combien parmi eux qui conduisent :(a) un carr ?
(quatre points identiques),(b) un brelan ? (trois points identiques
et un autre dirent),(c) une double-paire ? (deux couples dirents de
points indentiques),(d) une simple-paire ? (deux points identiques
et les autres dirents),(e) un rsultat banal ? (quatre points
dirents)Solution 241. Chaque d comporte six faces, donc le nombre
de rsultats possibles est :64= 1296(a) Pour former un carr, il sut
de choisir lune des six faces, il y a donc 6carrs possibles.(b)
Pour former un brelan, il sut de choisir une face qui sera rpte
troisfois puis une autre, dirente de la premire, qui sera rpte une
fois.Il y a donc :(6. 2) = 3029A. El Mossadeq Analyse
Combinatoirepossibilits pour le choix des deux faces.Le nombre de
manire de les ordonner est le nombre de permutations avecles
rptitions (3. 1) :1 (3. 1) = 4Do le nombre de brelans est :(6. 2) 1
(3. 1) = 120(c) Pour former une double-paire, il sut de choisir
deux faces parmi les six,chacune sera rpte deux fois.Il y a donc :C
(6. 2) = 15possibilits pour le choix des deux faces.Le nombre de
manire de les ordonner est le nombre de permutations avecles
rptitions (2. 2) :1 (2. 2) = 6Do le nombre de double-paire est :C
(6. 2) 1 (2. 2) = 90(d) Pour former une simple-paire, il sut de
choisir une face parmi les six quisera rpte deux fois puis deux
autres faces direntes, parmi les cinqrestantes, qui seront rptes
chacune une seule fois.Ainsi, il y a donc :C (6. 1) C (5. 2) =
60possibilits pour le choix des trois faces.30Analyse Combinatoire
A. El MossadeqLe nombre de manire de les ordonner est le nombre de
permutations avecles rptitions (2. 1. 1) :1 (2. 1. 1) = 12Do le
nombre de simple-paire est :C (6. 1) C (5. 2) 1 (2. 1. 1) = 720(e)
Le nombre de rsultats banals est le nombre darrangements de
quatrefaces parmi les six faces :(6. 4) = 360Exercice 25Soit 1n =
c1. .... cn un ensemble : lments.Si 1. .... p sont des sous
ensembles de 1n, on dit quils forment une partitionde 1nen j
classes si : (11) pour tout i 1. .... j, i est non vide (12) 1.
.... p sont deux deux disjoints (13) la runion de 1. .... p
coincide avec 1nOn remarque que pour toute permutation o de 1. ....
j, les partitions 1. .... pet (1). .... (p) sont identiques.On note
o(:. j) le nombre de toutes les partitions de 1n en j classes.1.
Calculer :(a) o(:. 1) et o(:. :),(b) o(3. 2) et o(4. 2),(c) Le
nombre de toutes les partitions de 1n en deux classes 1 et 2 o
lecardinal de 1 est /, 1 _ / _ : 1.(d) En dduire o(:. 2).31A. El
Mossadeq Analyse Combinatoire2. Soit cn+1 un lment nappartenant pas
1n et posons 1n+1 = 1n'cn+1.(a) Etant donne une partition de 1n en
(/ 1) classes, combien de partitionsde 1n+1 en / classes peut-on
costruire ?(b) Etant donne une partition de 1n en / classes,
combien de partitions de1n+1 en / classes peut-on costruire ?(c) En
dduire une relation entre o(: + 1. /), o(:. / 1) et o(:. /).3. Soit
1p = c1. .... cp, 1 _ j _ :.(a) Montrer que toute surjection de 1n
sur 1p dtermine une partition de 1nen j classes.(b) Quel est le
nombre de surjections de 1n sur 1p correspondant unepartition de 1n
en j classes ?(c) En dduire le nombre de surjections de 1n sur 1p
en fonction de o(:. j).4. Soit / un lment de 1. .... j.(a) Quel est
le nombre de parties / lments dans 1p ?(b) Quel est le nombre
dapplications de 1n dans 1p ?(c) Quel est le nombre de surjections
1n sur 1k ?(d) En dduire que pour tout j 1. .... : on a :jn=p
k=1C(j. /)o(:. /)/!Solution 251. (a) (i) o1n est le nombre de
partitions de 1n en une seule classe, donco1n = 1(ii) onn est le
nombre de partitions de 1n en :-classes, donc chaque i,1 _ i _ :,
ne contient quun seul lment de 1n, et par consquent,32Analyse
Combinatoire A. El Mossadeqil ny a quune seule partition de 1n en
:-classes, do :onn = 1(b) Dans ce cas on a :cc:d1 + cc:d2 = 3et
compte tenu du fait que les partitions (1. 2) et (2. 1) sont
iden-tique, on a alors :cc:d1 = 1 et cc:d2 = 2donc le nombre de
partitions de 13 en deux classes est gal au nombre departies de 13
un seul lment, do :o23= C (3. 1)=12 [C (3. 1) +C (3. 2)](c) Dans ce
cas on a :cc:d1 + cc:d2 = 4et compte tenu du fait que les
partitions (1. 2) et (2. 1) sont iden-tiques, on a alors :cc:d1 = 1
et cc:d2 = 3ou :cc:d1 = 2 et cc:d2 = 2Le nombre de partitions de 14
en deux classes dans le premier cas est :o24= C (4. 1)=12 [C (4. 1)
+C (4. 3)]alors que dans le second cas, le nombre de partitions de
14 en deux classes33A. El Mossadeq Analyse Combinatoireest :o24 =
12C (4. 2)do :o24 = 123
k=1C (4. /)(d) Compte tenu de la question prcdente, le nombre de
partitions de 1n endeux classes (1. 2) tel que :cc:d1 = / . 1 _ / _
: 1est :C (:. /) :i : ,= 2/12C (:. /) :i : = 2/Do :o24 = 12n1
k=1C (:. /)(a) Soit (1. .... k1) une partition de 1n en (/
1)-classes, alors la parti-tion (1. .... k1. cn+1) est une
partition de 1n+1 en /-classes.(b) Soit (1. .... k) une partition
de 1n en /-classes, et posons :1i = i' cn+1 . 1 _ i _ /Alors pour
i, 1 _ i _ /, (1. ...i1. 1i. i+1. .... k) est une partitionde 1n+1
en /-classes.(c) Puisque toutes les partitions de 1n+1 en /-classes
ont lune des deuxformes prcdentes, alors :okn+1 = ok1n+
/okn+134Analyse Combinatoire A. El Mossadeq2. Soit 1p = c1. ....
cp, 1 _ j _ :.(a) Soit :, : 1n 1pune surjection.Pour tout /, 1 _ /
_ j, posons :k = ,1(ck)(1. .... p) est alors une partition de 1n en
j classes.(b) Soit (1. .... p) une partition de 1n en j classes.Le
nombre de surjections de 1n sur 1p correspondant cette partition
estle nombre e bijections de (1. .... p) sur de 1p, savoir : j!(c)
Il en rsulte que le nombre de surjections de 1n sur 1p est :j!o (:.
j)3. Soit / un lment de 1. .... j.(a) Le nombre de parties / lments
dans 1p est :C (:. /) =:!/! (: /)!(b) Le nombre dapplications de 1n
dans 1p est :jn(c) Le nombre de surjections 1n sur 1k est :/!o (:.
/)(d) Soit / un lment de 1. .... j et 1k une partie de 1p /
lments.Toute surjection :, : 1n 1k35A. El Mossadeq Analyse
Combinatoireinduit une application 1n sur 1p telle que :, (1n) =
1kDonc, le nombre dapplications de 1n dans 1p telle que :Cc:d ,
(1n) = /est :C(j. /)o(:. /)/!Do, le nombre dapplications de 1n sur
1p est :jn=p
k=1C(j. /)o(:. /)/!36Analyse Combinatoire A. El
MossadeqPrincipaux RsultatsArrangements dordre p de1. .... :j _ :
(:. j) =:!(: j)!Combinaisons dordre j de1. .... :j _ : C (:. j)
=:!j! (: j)!Permutations de 1. .... : 1 (:) = :!Permutations avec
rptitiondordre (j1. .... jn) de 1. .... :ji _ 1 1 (j1. .... jn) =
(j1 + ... + jn)!j1!...jn!Combinaisons avec rptitiondordre j de 1.
.... :1(:. j) = C (: + j 1. j)Applications de 1. .... j dans1. ....
::pApplications injectives de1. .... j dans 1. .... :j _ : (:.
j)Applications de 1. .... j dans1. .... : strictement croissantesj
_ : C (:. j)Applications croissantes de1. .... j dans 1. .... :1(:.
j)Solutions de lquation :n
i=1ri = jri N 1(:. j)Solutions de lquation :n
i=1ri = jri N+j _ :C (j 1. : 1)Solutions de linquation :n
i=1ri _ jri N 1(: + 1. j)Solutions de linquation :n
i=1ri _ jri N+j _ :C (j. : 1)37 Espaces Probabiliss A. El
MossadeqExercice 1On considre un espace probabilis engendr par
trois vnements . 1 et C.Exprimer dans cet espace les vnements :(i)
seul se produit(ii) et 1 se produisent mais non C(iii) les trois
vnements se produisent simultanment(iv) au moins lun des vnements
se produit(v) au moins deux vnements se produisent(vi) deux
vnements au plus se produisent(vii) un seul vnement se
produit(viii) deux vnements ou plus se produisent(ix) deux vnements
seulement se produisent(x) aucun des trois vnements ne se
produit(xi) pas plus de deux vnements ne se produisent.Solution
1(i) seul se produit :1cCc(ii) et 1 se produisent mais non C
:1Cc(iii) les trois vnements se produisent simultanment :1C41A. El
Mossadeq Espaces Probabiliss(iv) au moins lun des vnements se
produit : +1 +C = 1cCcc1Ccc1cC 1Cc1cC c1C 1C(v) au moins deux
vnements se produisent :1 +C +1C = 1Cc1cC c1C 1C(vi) deux vnements
au plus se produisent :(1C)c(vii) un seul vnement se produit
:1cCcc1Ccc1cC(viii) deux vnements ou plus se produisent :1 +C +1C =
1Cc1cC c1C 1C(ix) deux vnements seulement se produisent :1Cc1cC
c1C(x) aucun des trois vnement ne se produit :c1cCc(xi) pas plus de
deux vnements ne se produisent :(1C)cExercice 21. Lintersection de
deux tribus est-elle une tribu ?2. La runion de deux tribus
est-elle une tribu ?3. Le produit cartsien de deux tribus est-il
une tribu ?42Espaces Probabiliss A. El MossadeqSolution 21.
Dmontrons que lintersection dune famille (Ti)iI de tribus de T (),
o est un ensemble non vide, est une tribu de T ().Soit :T =
iITi(11) ? T , puisque ? Ti pour tout i 1.(12) Si T , alors : T ==
\i 1 : Ti== \i 1 : c Ti==c T(13) Si (n)nN est une suite d vnements
de T, alors pour tout i 1,(n)nN est une suite dvnements de Ti,
donc, pour tout i 1,
n=0n estun vnement de Ti, et par consquent
n=0n est un vnement de T .Il en rsulte que T est une tribus de T
().2. La runion de deux algbres de T () nest pas, en gnral, une
algbredeT ().En eet, prenons : =c. /. cA1=O. c . /. c . A2=O. / .
c. c . Lvnement :c. / = c ' /nest pas un lment de A1' A2.43A. El
Mossadeq Espaces Probabiliss3. Le produit cartsien de deux tribus
nest pas, en gnral, une tribu.En eet, reprenons lexemple prcdent :
=c. /. cA1=O. c . /. c . A2=O. / . c. c . Alors :(c. /) = c /est un
vnement de A1A2, mais :(c. /)c= (c. /)nest pas un vnement de
A1A2.Exercice 3Soitun ensemble non vide.1. Montrer que T = O. et T
() sont des tribus.2. Donner la plus petite algre contenant une
partie de .3. On pose : = c. /. c. d. cConstruire lalgbre engendre
par :C = c . /. c . d. cSolution 31. (a) O. est une tribu. Cest la
plus petite tribu de T ().(b) T () est une tribu. Cest la plus
grande tribu de T ().44Espaces Probabiliss A. El Mossadeq2. La plus
petite algbre contenant est :O. . c. 3. Lalgbre engendre par C est
:O. c . /. c . d. c . /. c. d. c . c. d. c . c. /. c . Exercice
4Considrons les classes suivantes de T (R) :C1=] . r[[ r RC2=] . r]
[ r RC3=]r. +[[ r RC4=[r. +[[ r RC5=]r. [[ r. RC6=[r. [[ r. RC7=]r.
] [ r. RC8=[r. ] [ r. RMontrer que ces huit classes Ci (1 _ i _ 8)
engendrent une mme tribu BRappele la tribu des borliens de
R.Solution 4Pour tout i, 1 _ i _ 8, dsignons par Bi la tribu
engendre par Ci.1. B1 = B2(a) Pour tout r R, considrons la suite
:1n =] . r + 1:[45A. El Mossadeq Espaces Probabiliss(1n)n_1 est une
suite dcroissante dintervalles de C1, donc :]. r] =
n=1] . r + 1:[est un lment de B1, do :C2 B1et par consquent :B2
B1(b) Rciproquement, pour tout r R, considrons la suite :1n = _. r
1:_(1n)n_1 est une suite croissante dintervalles de C2, donc :]. r[
=
n=1_. r 1:_est un lment de B2, do :C1 B2et par consquent :B1
B2Donc :B1 = B22. B1 = B4Pour tout r R, on a :(] . r[)c= [r.
+[46Espaces Probabiliss A. El MossadeqOn en dduit que :C4 B1et :C1
B4On conclut que :B4 = B1 = B23. B2 = B3Pour tout r R, on a :(].
r])c= ]r. +[On en dduit que :C3 B2et C2 B3On conclut que :B3 = B2 =
B1 = B44. B1 = B5(a) Pour tout r R, considrons la suite (1n)nN
de C5 :1n =]r :. r[ . : N+donc :
nN
1n =] . r[est un lment de B5 do :C1 B5et par consquent :B1
B547A. El Mossadeq Espaces Probabiliss(b) Dautre part, pour tout
(r. ) R2on a :]r. [= ]r. +[ ]. [donc :C5 B1et par consquent :B5
B1Do :B5 = B1 = B2 = B3 = B45. B4 = B6(a) Pour tout r R considrons,
la suite (1n)nN
dintervalles de C6 :1n = [r. r +:[ . : N+donc :
nN
1n = [r. +[est un lment de B6, do :C4 B6et par consquent :B4
B6(b) Dautre part, pour tout (r. ) R2on a :[r. [= [r. +[ ]. [donc
:C6 B448Espaces Probabiliss A. El Mossadeqet par consquent :B6 B4Do
:B6 = B4 = B1 = B2 = B3 = B56. B7 = B5(a) Pour tout (r. )
R2considrons la suite (1n)n_1 dintervalles de C7 :1n = _r. 1:_ . :
_ 1donc :
nN
1n = ]r. [est un lment de C5, do :C5 B7et par consquent :B5
B7(b) Dautre part, pour tout (r. ) R2on a :]r. ] = ]r. +[ ]. ]donc
:C7 B5et par consquent :B7 B5Do :B7 = B5 = B1 = B2 = B3 = B4 =
B649A. El Mossadeq Espaces Probabiliss7. B8 = B7(a) Pour tout (r. )
R2considrons la suite (1n)n_1 dintervalles de C8 :1n = _r 1:. _ . :
_ 1donc :
n=11n = ]r. ]est un lment de C7, do :C7 B8et par consquent :B7
B8(b) Dautre part, pour tout (r. ) R2on a :[r. ] = [r. +[ ]. ]et
par consquent :B8 B7Do :B8 = B7 = B1 = B2 = B3 = B4 = B5 =
B6Exercice 5Soit :A : une application.Montrer que si c est une
tribu de T (), alors :A1(c) = _A1(1) [ 1 c_est une tribu de T
().50Espaces Probabiliss A. El MossadeqSolution 5(11) O A1(c) car O
= A1(O) et O c(12) Si A1(1) A1(c) alors_ A1(1) A1(c) puisque ( 1) c
et :_ A1(1) = A1[ 1](13) Si __A1(1n)_nN est une suite dvnements de
A1(c) alors :
nNA1(1n) = A1_
nN1n_est aussi un vnement de A1(c) puisque nN1n c.Exercice 6Soit
(. T ) un espace probabilisable et un vnement de T .Montrer que :TA
= 1 [ 1 T est une tribu de T ().Solution 6(11) O TA car :O = Oet O
T(12) Si 1 TA, o 1 T , alors [ 1] TA puisque :[ 1] = 1 = [ 1]et [
1] T .51A. El Mossadeq Espaces Probabiliss(13) Si [1n]nN est une
suite dvnements de TA, alors nN[1n] est aussiun vnement de TA
puisque :
nN[1n] = _
nN1n_et nN1n est un vnement de T .Il en rsulte que TA est une
tribu de T ().Exercice 7Soit (. T .1) un espace de probabilit et 1
un vnement de T de probabilitnon nulle.Montrer que lapplication 1B
:TB R 1 [ [ 1]est une probabilit sur TB.Solution 7 1B prend ses
valeurs dans lintervalle [0. 1] et on a :1 [1 [ 1] =1 [11]1 [1]= 1
Si C et 1 sont deux vnements incompatibes de TB, alors :1B [C 1] =
1 [C 1 [ 1]=1 [(C 1) 1]1 [1]52Espaces Probabiliss A. El Mossadeq1B
[C 1] =1 [C1 11]1 [1]=1 [C1]1 [1]+ 1 [11]1 [1]= 1 [C [ 1] +1 [1 [
1]= 1B [C] +1B [1] Si (n)nN est une suite dvnements de la tribu TB
deux deux incompat-ibles alors :1B_
k=0k_= 1 __
k=0k_ [ 1_=1 __
k=0k_1_1 [1]=1 _
k=0(k1)_1 [1]=
k=01 [(k1)]1 [1]=
k=01 [k [ 1]=
k=01B [k]Il en rsulte que 1B est une probabilit sur TB.53A. El
Mossadeq Espaces ProbabilissExercice 8Soit (. T .1) un espace de
probabilit.1. Montrer que deux vnements et 1 de la tribu Tsont
indpendants si etseulement si :1 [1] = 1 [] 1 [1]2. Montrer que si
trois vnements , 1 et C sont indpendants alors ils sontdeux deux
indpendants.3. Montrer sur un exemple que la rciproque est
fausse.Solution 81. Il sut de prouver que si :1 [1] = 1 [] 1
[1]alors on a aussi :1 [1c] = 1 [] 1 [1c]1 [c1] = 1 [c] 1 [1]1
[c1c] = 1 [c] 1 [1c]En eet, puisque : = 1 1calors :1 [1c] = 1 [] 1
[1]= 1 [] 1 [] 1 [1]= 1 [] (1 1 [1])= 1 [] 1 [1c]54Espaces
Probabiliss A. El Mossadeqde mme :1 = 1 c1donc :1 [c1] = 1 [1] 1
[1]= 1 [1] 1 [] 1 [1]= 1 [c] 1 [1]et nalement :1 [c1c] = 1 [(
+1)c]= 1 1 [ +1]= 1 1 [] 1 [1] +1 [] 1 [1]= (1 1 []) (1 1 [1])= 1
[c] 1 [1c]2. Soient , 1 et C trois vnements indpendants.Montrons
quils sont deux deux indpendants.(a) et 1 sont indpendants.En eet,
puisque :1 = 1C +1Ccalors :1 [1] = 1 [1C] +1 [1Cc]= 1 [] 1 [1] 1
[C] +1 [] 1 [1] 1 [Cc]= 1 [] 1 [1]puisque :1 [C] +1 [Cc] = 155A. El
Mossadeq Espaces Probabiliss(b) On dmontre dune manire analogue que
et C sont indpendants etque 1 et C sont indpendants.3. Montrons que
la rciproque est en gnral, fausse. Soit alors : = c. /. c. det
supposons que ces quatre vnements lmentaires sont quiprobables :j
(c) = j (/) = j (c) = j (d) = 14Considrons les vnements : = c. d .
1 = /. d . C = c. dOn a :1 = C = 1C = ddonc :1 [1] = 1 [C] = 1 [1C]
= j (d) = 14et comme :1 [] 1 [1] = 1 [] 1 [C] = 1 [1] 1 [C] = 14On
conclut que les trois vnements , 1 et C sont deux deux
indpendants.Or :1C = ddonc :1 [1C] = j (d) = 14Il en rsulte que les
trois vnements , 1 et C ne sont pas indpendantspuisque :1 [] 1 [1]
1 [C] = 1856Espaces Probabiliss A. El MossadeqExercice 9Soit (. T
.1) un espace de probabilit. On considre lensemble :A = ` T [ 1 (`)
= 0 ou 1 (`c) = 01. A est-elle une tribu T () ?2. Montrer quun
vnement ` de T est indpendant avec lui mme si et seule-ment si `
est un vnement de A.Solution 91. Montrons que :A = ` T [ 1 (`) = 0
ou 1 (`c) = 0est une tribu de T (). En eet :(a) O A(b) Si ` A alors
`c A par dnition de A(c) Soit (`)nN est une suite dvnements de
A.(i) si pour tout : N :1 [`n] = 0alors :1_
nN`n_ = 0puisque :1_
nN`n_ _ nN1 [`n](ii) sil existe :0 N telle que :1 [`n0] = 157A.
El Mossadeq Espaces Probabilissalors :1_
nN`n_ = 1puisque :1 [`n0] _ 1_
nN`n_Il en rsulte que nN`n est un vnement de A et par suite A
estune tribu T ()2. ` T est un vnement indpendant avec lui mme si
et seulement si:1 [``c] = 1 [`] 1 [`c]et comme :1 [``c] = 1 [O] =
0donc, si et seulement si :___1 [`] = 0ou1 [`c] = 0On en dduit que
` A.Exercice 10Trois maladrois tirent sur un objectif. Chacun na
quune seule balle.Le premier a trois chances sur quatre pour
atteindre lobjectif, le second deuxchances sur trois et le troisime
une chance sur deux seulement.Lobjectif a-t-il alors plus de
chances de recevoir une seule balle ou de recevoirles trois balles
?58Espaces Probabiliss A. El MossadeqSolution 10Considrons les
vnements :i: "lobjectif est atteint par le i emejoueur , i = 1. 2.
3o : "lobjectif reoit une seule balle1 : "lobjectif reoit les trois
ballesRemarquons que les vnements 1, 2 et 3 sont indpendants.Daprs
lnonc on a :1 [1] =341 [2] =231 [3] =12Et comme :o =
1c2c3c12c3c1c231 = 123alors :1 [o] = 1 [1c2c3] +1 [c12c3] +1
[c1c23]= 1 [1] 1 [c2] 1 [c3] +1 [c1] 1 [2] 1 [c3] +1 [c1] 1 [c2] 1
[3]=14et :1 [1] = 1 [123]= 1 [1] 1 [2] 1 [3]=14On en dduit que :1
[o] = 1 [1]Lojectif a donc autant de chance de recevoir une seule
balle que de recevoir lestrois balles.59A. El Mossadeq Espaces
ProbabilissExercice 11Trois usines , 1 et C produisent
respectivement 50%, 30% et 20% des mo-teurs de voitures.Parmi la
production de chacune des ces trois usines, 5%, 3% et 2% sont
d-fectueux.Calculer la probabilit pour quun moteur dfectueux
provient de lusine .Solution 11Considrons les vnements : : le
moteur est fabriqu par lusine "1 : le moteur est fabriqu par lusine
1"C : le moteur est fabriqu par lusine C"1 : le moteur est
dfectueux"On a :1 [] = .5 ; 1 [1 [ ] = .051 [1] = .3 ; 1 [1 [ 1] =
.031 [C] = .2 ; 1 [1 [ C] = .02Daprs le thorme de 1cc:, on a :1 [ [
1] =1 [] 1 [1 [ ]1 [] 1 [1 [ ] +1 [1] 1 [1 [ 1] +1 [C] 1 [1 [
C]=2538Exercice 12Un conducteur normal a une chance sur mille
davoir un accident de voiture aucours dune priode dtermine.Un
conducteur ivre a une chance sur cinquante davoir un accident de
voiture aucours de la mme priode.On admet quun conducteur sur cent
conduit en tat divresse.60Espaces Probabiliss A. El MossadeqSoient
les vnements : : "avoir un accident"1 : "conduire en tat
divresse"1. Calculer :1 (1) ; 1 (1c)1 ( [ 1) ; 1 (c[ 1)1 ( [ 1c) ;
1 (c[ 1c)2. Dtermimer :1 (1 ) ; 1 (1c )1 (1 c) ; 1 (1c c)3. En
dduire :1 () ; 1 (1 [ )4. Retrouver le rsultat en appliquant le
thorme de Bayes.Solution 121. On a :1 [1] =11001 [1c] = 1 1 [1]
=991001 [ [ 1] =1501 _
[ 1 = 1 1 [ [ 1] = 49501 _ [ 1 =110001 _
[ 1 = 1 1 _ [ 1 =999100061A. El Mossadeq Espaces Probabiliss2.
On a :1 [1 ] = 1 [1] 1 [ [ 1] = 2 1041 _
1 = 1 _
11 _ [ 1 = 99 1051 _1 = 1 [1] 1 _
[ 1 = 98 1041 _
1 = 1 _
11 _
[ 1 = 99 999 105(a) Puisque : = 1 1 alors :1 [] = 1 [1 ] +1
_
1 = 119 105(b) On a :1 [1 [ ] =1 [1 ]1 []=20119(c) Daprs le
thorme de 1cc: :1 [1 [ ] =1 [1] 1 [ [ 1]1 [1] 1 [ [ 1] +1 _
11 _ [ 1=20119Exercice 13Des tudes statistiques sur une
population constitue de 60% de femmes et 40%dhommes permettent de
considrer quil y a 50% dhommes et 30% de femmesqui fument.On
choisit au hasard un individu de la population et on constate quil
fume.Quelle est la probabilit pour quil soit un homme ?62Espaces
Probabiliss A. El MossadeqSolution 13Considrons les vnements :1 :
"lindividu est une femme"H : "lindividu est un homme" : "lindividu
est un fumeur"On a :___1 [1] = .6 ; 1 [ [ 1] = .31 [H] = .4 ; 1 [ [
H] = .5Daprs le thorme de 1cc: :1 [H [ ] =1 [H] 1 [ [ H]1 [H] 1 [ [
H] +1 [1] 1 [ [ 1]=1019= 52.63%Exercice 14Un appareil peut tre mont
avec des pices de haute qualit ou des picesordinaires.Dans le
premier cas, sa abilit est de 95%, dans le second cas, elle est de
70%.40% des appareils sont monts avec des pices haute qualit.Un
appareil a t soumis lessai et sest avr bon. Trouver la probabilit
quilsoit mont avec des pices de haute qualit.Solution 14Considrons
les vnements :C : "lappareil est mont avec des pices ordinaires"H :
"lappareil est mont avec des pices de haute qualit"1 : "lappareil
est able"63A. El Mossadeq Espaces ProbabilissOn a :___1 [C] = .6 ;
1 [1 [ C] = .71 [H] = .4 ; 1 [1 [ H] = .95Daprs le thorme de 1cc:
:1 [H [ 1] =1 [H] 1 [1 [ H]1 [H] 1 [1 [ H] +1 [C] 1 [1 [ C]=1940=
47.5%Exercice 15Une urne contient des boules blanches et des boules
noires.On eectue une suite de : tirages dans lurne.On suppose que
la probabilit que la / emeboule tire soit blanche alors que les/ 1
prcdantes ltaient est1/ + 1.Calculer la probabilit que les :
premires boules tires soient toutes blanches.Solution 15Pour / N+,
dsignons par 1k lvnement :1k : la / emeboule est blanchePour tout
/, / _ 2. on a :1 [1k [ 11...1k1] =1/ + 164Espaces Probabiliss A.
El MossadeqDaprs le principe des probabilits composes, on a :1
[11...1n] = 1 [11] 1 [12 [ 11] ...1 [1n [ 11...1n1]= 1 [11] 13...1:
+ 1=21 [11](: + 1)!Exercice 16Douze appareils sont en
exploitation.Trois parmi eux sont fabriqus par lusine l1, quatre
par lusine l2 et cinq parlusine l3.Les appareils provenant de
lusine l1 passe lessai avec une probabilit de 90%,ceux de lusine l2
avec une probabilit de 80% et ceux de lusine l3 avec uneprobabilit
de 75%.Trouver la probabilit quun appareil choisi au hasard passe
lessai.Solution 16Considrons les vnements :li: lappreil provient de
lusine li , i = 1. 2. 31 : lappreil est ableOn a :___1 [l1] =312; 1
[1 [ l1] = 0.901 [l2] =412; 1 [1 [ l2] = 0.801 [l3] =512; 1 [1 [
l3] = 0.7565A. El Mossadeq Espaces ProbabilissDaprs la formule des
probabilits totales on a :1 [1] =3
i=11 [li] 1 [1 [ li]=9651200= 80.42%Exercice 17Une pice dun
quipement lectronique est constitue de trois partie essentielles, 1
et C.On a constat dans le pass que la partie tombait en panne dans
10% des cas,la partie 1 dans 30% des cas et la partie C dans 40%
des cas.La partie opre indpendamment de 1 et de C.Les parties 1 et
C sont dpendantes de telle sorte que si C est dfaillante,
leschances sont de 1 sur 3 que 1 soit dfaillante aussi.Deux au
moins des trois parties doivent tre en tat de marche pour que
lquipementfonctionne.Calculer la probabilit pour quil
fonctionne.Solution 17Considrons les vnements : : la partie
fonctionne1 : la partie 1 fonctionneC : la partie C fonctionne1 :
lquipement fonctionne66Espaces Probabiliss A. El MossadeqOn a :___1
[] = 0.9 . 1 [1] = 0.7 . 1 [C] = 0.61 [1C] = 1 [] 1 [1C]1 _
1 [ C = 1 1 _1 [ C = 13Puisque lquipement fonctionne lorsque
deux au moins des trois parties sont entat de marche, on a :1 = 1 C
1C 1C 1C= 1 C 1C 1Cdo :1 [1] = 1 _1 C+1 _ 1C+1 [1C]= 1 [] 1 _1 C+1
[] 1 _
1C+1 [1C]= 1 [] 1 _
C1 _1 [ C+1 [] 1 _
1C+1 [1C]or :1 [1C] = 1 1 _
1 + C= 1 1 _
11 _
C+1 _
1 C= 1 1 _
11 _
C+1 _
C1 _
1 [ Cet :1 _
1C = 1 [C] 1 [1C]On en dduit alors que :1 [1] = 79.667%Exercice
18Une preuve sportive, o deux concurrents et 1 sont en jeu,
consiste attein-dre une cible partage en trois cases notes C1, C2
et C3.On admet quun coup atteint une et une seule case.Pour le
joueur , les probabilits respectives datteindre les cases C1, C2 et
C3forment une progression arithmtique de raison 14, alors que pour
le joueur 1,les trois probabilits sont gales.67A. El Mossadeq
Espaces ProbabilissOn choisit lun des deux joueurs, la probabilit
que soit choisi est la moiti dela probabilit de choisir 1.Le
concurrent choisi atteint la case C3. Quelle est la probabilit que
ce concur-rent soit ?Solution 18Considrons les vnements : :"le
concurrent choisi est "1:"le concurrent choisi est 1"Ck:"le
concurrent atteint la cible Ck"On a :1 [] = 131 [1] = 23et :1 [C1 [
1] = 1 [C2 [ 1] = 1 [C3 [ 1] = 13Posons :j = 1 [C1 [ ]Puisque :1
[C1 [ ] +1 [C2 [ ] +1 [C3 [ ] = 1et :1 [C3 [ ] = 14 +1 [C2 [ ] = 12
+1 [C1 [ ]on en dduit :1 [C1 [ ] =112; 1 [C2 [ ] =412; 1 [C3 [ ]
=712Daprs la formule de Bayes on a :1 [ [ C3] =1 [] 1 [C3 [ ]1 [] 1
[C3 [ ] +1 [1] 1 [C3 [ 1]=71568Espaces Probabiliss A. El
MossadeqExercice 19Deux rgulateurs contrlent le fonctionnement dun
moteur.Il est dsirable que durant un temps t, le moteur fonctionne
sans panne.En prsence des deux rgulateurs, la panne peut survenir
avec une probabilit 12.Lorsque seul le premier fontionne avec une
probabilit 1. Lorsque seul le secondfontionne avec une probabilit
2. Et Lorsque les deux sont en panne avec uneprobabilit 0.La abilit
du premier rgulateur est j1 et celle du second rgulateur est j2.Les
lments se mettent en panne indpendamment les uns des autres.Trouver
la abilit totale.Solution 19Considrons les vnements :11: le premier
rgulateur fonctionne12: le deuxime rgulateur fonctionne` : le
moteur fonctionneOn a :1 [11] = j1; 1 [12] = j21 _ ` [ 1112 = 12; 1
_ ` [ 11 12 = 11 _ ` [ 1112 = 2; 1 _ ` [ 11 12 = 0Comme les deux
rgulateurs fonctionnent indpendamment lun de lautre, on aaussi :1
[1112] = 1 [11] 1 [12]Puisque la panne peut survenir dans nimporte
quelle situation, alors lvnement
` se dcompose comme suit :
` =
`1112 `11 12 ` 1112 ` 11 1269A. El Mossadeq Espaces
ProbabilissOn en dduit :1 [`] = 1 1 _ `= 1 1 [11] 1 [12] 1 _ ` [
11121 [11] 1 _
121 _ ` [ 11 121 _
111 [12] 1 _ ` [ 11121 _
111 _
121 _ ` [ 11 12= 1 j1j212(1 j1) j21j1 (1 j2) 2(1 j1) (1 j2)
0Exercice 20On considre quatre groupes , 1, C et 1.Dans chaque
groupe, les proportions de personnes ayant fait des tudes
suprieuressont respectivement de 5%, 10%, 25% et 40%.On choisit au
hasard lun des groupes et dans le groupe choisi une personne.1.
Quelle est la probabilit que la personne choisie au hasard ait fait
des tudessuprieures ?2. La personne choisie ayant fait des tudes
suprieures, quelle est la probabilitquelle appartienne au groupe 1
?Solution 20Considrons les vnements : : la personne appartient au
groupe "1 : la personne appartient au groupe 1"C : la personne
appartient au groupe C"1 : la personne appartient au groupe 1"o :
la personne a fait des tudes suprieure70Espaces Probabiliss A. El
MossadeqOn a :___1 [] = 141 [o [ ] = .051 [1] = 141 [o [ 1] = .101
[C] = 141 [o [ C] = .251 [1] = 141 [o [ 1] = .401. Daprs la formule
des probabilits totales on a:1 [o] = 1 [] 1 [o [ ] +1 [1] 1 [o [ 1]
+1 [C] 1 [o [ C]+1 [1] 1 [o [ 1]= 0.22. Daprs le thorme de 1cc:, on
a :1 [1 [ o] =1 [1] 1 [o [ 1]1 [o]=12= 50%Exercice 21Un joueur est
en prsence de deux urnes et 1 : lurne contient quatre boulesnoires
et trois blanches, lurne 1 contient trois boules noires et quatre
blanches.Le joueur choisit au hasard lune des deux urnes et y
eectue une succession detirages dune boules avec remise.Quelle est
la probabilit que la troisime boule tire soit noire sachant que
lesdeux premires boules tires sont noires ?71A. El Mossadeq Espaces
ProbabilissSolution 21Considrons les vnements : :"le tirage est
eectu de lurne "1:"le tirage est eectu de lurne 1"et pour tout /, /
_ 1, dsignons par `k lvnement :`k:"la / emeboule est noire"On a :1
[] = 1 [1] = 121 [`k [ ] = 1 _ `k [ 1 = 47Daprs la formule des
probabilits totales on a :1 [`1`2] = 1 [] 1 [`1`2 [ ] +1 [1] 1
[`1`2 [ 1]= 1 [] 1 [`1 [ ] 1 [`2 [ ] +1 [1] 1 [`1 [ 1] 1 [`2 [
1]=2598et :1 [`1`2`3] = 1 [] 1 [`1`2`3 [ ] +1 [1] 1 [`1`2`3 [ 1]= 1
[] 1 [`1 [ ] 1 [`2 [ ] 1 [`3 [ ] +1 [1] 1 [`1 [ 1] 1 [`2 [ 1] 1 [`3
[ 1]=1398Do, daprs la formule de Bayes :1 [`3 [ `1`2] =1 [`1`2`3]1
[`1`2]=132572Espaces Probabiliss A. El MossadeqExercice 22On
considre trois urnes l1 , l2 et l3 contenant des boules blanches et
desboules noires.Les proportions des boules blanches dans les trois
urnes l1 , l2 et l3 sont 13, 12et 14 respectivement.On eectue un
tirage de trois boules : la premire de l1, la deuxime de l2 etla
toisime de l3.Calculer la probabilit davoir / boules blanches, 0 _
/ _ 3.Solution 22Considrons les vnements :1k:"la boule tire de
lurne lk est blanche" . 1 _ / _ 31k:"le tirage a donn / boules
blanches" 0 _ / _ 3On a :1 [11] = 13. 1 [12] = 12. 1 [13] = 14et
:___10 = 11 12 1311 = 11 12 13 + 1112 13 + 11 121312 = 1112 13 +11
1213 + 11121313 = 111213do :1 [10] =624; 1 [11] = 11241 [13] =624;
1 [14] =12473A. El Mossadeq Espaces ProbabilissExercice 23Un
voyageur arrive un carrefour, il sait qu cet endroit il va trouver
deuxroutes, une bonne et lautre non.A ce carrefour, il y a trois
frres 11, 12 et 13.11 dit la vrit une fois sur dix, 12 cinq fois
sur dix et 13 neuf fois sur dix.Le voyageur sadresse un et un seul
des trois frres, il demande son chemin etsaperoit par la suite que
cette route est bonne.Quelle est la probabilit quil se soit adress
11, 12 ou 13 ?Solution 23Considrons les vnements :1:"la route est
bonne"1i:"le voyageur sadresse 1i" . 1 _ i _ 3On a :1 [11] = 1 [12]
= 1 [13] = 13et :1 [1 [ 11] =110; 1 [1 [ 12] =510; 1 [1 [ 13]
=910Daprs la formule des probabilits totales on a :1 [1] =3
i=11 [1i] 1 [1 [ 1i]=12et daprs la formule de Bayes, on a :1 [1i
[ 1] = 1 [1i] 1 [1 [ 1i]1 [1i] 1 [1 [ 1i]74Espaces Probabiliss A.
El Mossadeqdo :___1 [11 [ 1] =1151 [12 [ 1] =5151 [13 [ 1]
=915Exercice 24Une partie des accidents scolaires sont des des
accidents de laboratoires.25% des tudiants ne lisent pas les
notices de mise en garde qui accompagnentles produits quils
manipulent. Parmi ceux qui lisent, 10% ont tout de mme desaccidents
par manque de prcaution.Quelle est, pour un tudiant qui ne lit pas
la notice, la probabilit davoir unaccident si la probabilit quun
accident nait pas lu la notice est .75 ?Solution 24Considrons les
vnements :1 : "ltudiant lit la notice" : "ltudiant a un accident"On
a :___1 _
1 = .251 [ [ 1] = .11 _
1 [ = .75Il faut dterminer 1 _ [ 1.Calculons dabord 1 [].Puisque
: = 1 175A. El Mossadeq Espaces Probabilissdonc :1 [] = 1 [1] 1 [ [
1] +1 [] 1 _
1 [ =1 [1] 1 [ [ 1]1 1 _
1 [ = .3On en dduit :1 _ [ 1=1 [] 1 _
1 [ 1 _
1= .9Exercice 25Deux usines fabriquent les mmes pices.La premire
produit 70% de bonnes etla seconde 90%. Les deux usines fabriquent
la mme quantit de pices.1. Quel est le pourcentage des pices bonnes
sur lensemble des deux usines ?2. On achte une pice et on constate
quelle est bonne. Quelle est la probabilitquelle proviennent de la
seconde usine ?Solution 25Considrons les vnements :l1: "la pice est
fabrique par le premier usine"l2: "la pice est fabrique par le
deuxime usine"1 : "la pice est bonne"On a :1 [l1] = .5 ; 1 [1 [ l1]
= .71 [l2] = .5 ; 1 [1 [ l2] = 0.976Espaces Probabiliss A. El
MossadeqDaprs le thorme de 1cc:, on a :1 [l2 [ 1] =1 [l2] 1 [1 [
l2]1 [l1] 1 [1 [ l1] +1 [l2] 1 [1 [ l2]=4580= 56.25%Exercice 26On
considre deux sacs o1 et o2 contenant chacun trois boules rouges et
septboules noires.On prend une boule dans o1 et on la place dans
o2.Quelle est alors la probabilit de tirer une boule rouge de o2
?Solution 26Considrons les vnements : : "la boule tire de o1 est
rouge"1 : "la boule tire de o2 est rouge"alors, daprs la formule
des probabilits totales on a :1 [1] = 1 [] 1 [1 [ ] +1 _
1 _1 [ =310Exercice 27Une usine produit des moteurs.Chacun deux
a la probabilit11000 dtre d-fectueux.Un contrle est fait. Il dcle
immanquablement un moteur dfectueux, mais re-jette un bon moteur
avec la probabilit1100.Un moteur est rejet par le contrle. Quelle
est la probabilit quil soit eective-ment dfectueux.77A. El Mossadeq
Espaces ProbabilissSolution 27Considrons les vnements :1 : "le
moteur est dfectueux"1 : "le moteur est rejet par le contrle"On a
:___1 [1] =110001 [1 [ 1] = 11 _1 [ 1 =1100Daprs la formule de
Bayes, on a :1 [1 [ 1] =1 [1] 1 [1 [ 1]1 [1] 1 [1 [ 1] +1 _
11 _1 [ 1=1001099= 0.090992Exercice 28Un avion est port disparu.
On pense que laccident a pu arriver aussi bien dansnimporte
laquelle de trois rgions donnes.Notons 1 ci la probabilit quon
dcouvre lavion dans la rgion i sil y esteectivement.Quelle est la
probabilit que lavion se trouve la rgion i, i = 1. 2. 3, si
lesrecherches dans la rgion 1 nont rien donn ?Solution 28Considrons
les vnements :11: "lavion a disparu dans la rgion 1"12: "lavion a
disparu dans la rgion 2"13: "lavion a disparu dans la rgion 3"1 :
"les recherches dans la rgion 1 nont rien donn"78Espaces
Probabiliss A. El MossadeqOn a :___1 [11] = 13; 1 [1 [ 11] = c1
[12] = 13; 1 [1 [ 12] = 11 [13] = 13; 1 [1 [ 13] = 1Calculons 1 [1]
:1 [1] = 1 [11] 1 [1 [ 11] +1 [12] 1 [1 [ 12] +1 [13] 1 [1 [ 13]=13
(c + 2)Daprs le thorme de 1cc:, on a :1 [11 [ 1] =1 [11] 1 [1 [
11]1 [11] 1 [1 [ 11] +1 [12] 1 [1 [ 12] +1 [13] 1 [1 [ 13]=cc + 21
[12 [ 1] =1 [12] 1 [1 [ 12]1 [11] 1 [1 [ 11] +1 [12] 1 [1 [ 12] +1
[13] 1 [1 [ 13]=1c + 21 [13 [ 1] =1 [13] 1 [1 [ 13]1 [11] 1 [1 [
11] +1 [12] 1 [1 [ 12] +1 [13] 1 [1 [ 13]=1c + 2Exercice 29Trois
urnes , 1 et C renferment des boules blanches et des boules
noires.Les proportions de boules blanches sont respectivement de
30%, 60% et 40%.On tire au hasard une premire boule de lurne , une
seconde est extraite de 1ou C suivant que la premire soit blanche
ou noire.79A. El Mossadeq Espaces Probabiliss1. Quelle est la
probabilit que la seconde boule soit blanche ?2. La seconde boule
est blanche. Quelle est la probabilit que la premire soitnoire
?Solution 29Considrons les vnements : : "le tirage est eectu de
lurne "1 : "le tirage est eectu de lurne 1"C : "le tirage est eectu
de lurne C"11: "la premire boule tire est blanche"12: "la deuxime
boule tire est blanche"Ona :___1 [11] = 0.31 [12 [ ] = 0.31 [12 [
1] = 0.61 [12 [ C] = 0.41. Puisque :12 = 1112 1112alors :1 [12] = 1
[11] 1 [12 [ 11] 1 _
111 _12 [ 11= 0.4680Espaces Probabiliss A. El Mossadeq2. Daprs
le thorme de 1cc:, on a :1 _
11 [ 12=1 _
111 _12 [ 111 [11] 1 [12 [ 11] 1 _
111 _12 [ 11=1423= 60.87%Exercice 30Un examen comporte des
rponses par oui ou par non.Un tudiant connait seulement la moiti du
programme. Lorsquil ne sait pasrpondre une question, il rpond au
hasard.Quelle est la probabilit pour quune rponse soit exacte cause
de ses connais-sances et non cause de la chance ?Solution
30Considrons les vnements :C : "ltudiant connait le programme" :
"la rponse de ltudiant est exacte"On a :___1 [C] = 121 [ [ C] = 11
_ [ C = 12Daprs le thorme de 1cc:, on a :1 [C [ ] =1 [C] 1 [ [ C]1
[C] 1 [ [ C] +1 _
C1 _ [ C=2381A. El Mossadeq Espaces ProbabilissExercice 31Une
compagnie se procure des accumulateurs chez quatre fournisseurs
dirents.45% du premier, 25% du second, 20% du troisime et 10% du
quatrime.Dautre part, 90% des accumulateurs provenant du premier
fournisseur fonction-nent bien. Les proportions sont de 85% pour le
deuxime, 95% pour le troisimeet 80% pour le quatrime.1. Calculer la
probabilit quun accumulateur choisi au hasard soit dfectueux.2. On
choisit au hasard un accumulateur et on constate quil est
dfectueux.Un responsable arme quil provient du quatrime
fournisseur.Quen pensez-vous ?Solution 31Considrons les vnements
:1i: "laccumulateur provient du i emefournisseur" ,1 _ i _ 41 :
"laccumulateur est dfectueux"On a :___1 [11] = .45 ; 1 [1 [ 11] =
.101 [12] = .25 ; 1 [1 [ 12] = .151 [13] = .20 ; 1 [1 [ 13] = .051
[14] = .10 ; 1 [1 [ 14] = .201. Daprs la formule des probabilits
totales on a :1 [1] =4
i=11 [1i] 1 [1 [ 1i]= .112582Espaces Probabiliss A. El
Mossadeq2. Daprs le thorme de 1cc:, on a :1 [1i [ 1] = 1 [1i] 1 [1
[ 1i]1 [1]do :1 [11 [ 1] =18451 [12 [ 1] =15451 [13 [ 1] =4451 [14
[ 1] =845On en dduit que larmation du responsable nest pas fonde.Il
y a plus de chance que laccumulateur provient du premier ou du
deuximefournisseur que du quatrime fournisseur.Exercice 32On
considre deux urnes : lune peinte en blanc et lautre peinte en
noir.Chacune de ces deux urnes contient des boules blanches et des
boules noires.Lurne blanche contient une proportion c de boules
noires et lurne noire contientune proportion , de boules
blanches.On choisit une urne au hasard (probabilit j de tirer lurne
blanche et = 1 jde tirer lurne noire) et on tire ensuite une boule
de cette urne. Si la boule tireest de la mme couleur que lurne, on
tire nouveau une boule de cette urne.Dans le cas contraire, on
eectue le tirage dans lautre urne. On poursuit cemode de tirage,
supposs tous avec remise, la : emeboule est tire dans lurnedont la
couleur est celle de la (: 1) emeboules tire.Soit jn la probabilit
que la : emeboule tire soit blanche, n la probabilit quela :
emeboule tire soit noire et \n le vecteur colonne de composantes jn
et n.83A. El Mossadeq Espaces Probabiliss1. Etablir une relation de
rcurrence entre \n et \n1.2. En dduire que :\n = `n\0o ` est une
matrice carre et \0 est le vecteur colonne de composantes jet .3.
Que signie :(a) c = , = 0 ?(b) c = , = 1 ?(c) c +, = 1 ?4.
Calculer, dans chacun de ces cas, les limites de jn et n quand :
tend vers+.Solution 32Considrons les vnements :1 : "le tirage est
eectu de lurne blanche"` : "le tirage est eectu de lurne noire"1n:
"la : emeboule est blanche"`n: "la : emeboule est noire"On a :1 [1]
= j . 1 [`] = et :1 [1n [ 1n1] = 1 [1n [ 1] = 1 c1 [1n [ `n1] = 1
[1n [ `] = ,1 [`n [ 1n1] = 1 [`n [ 1] = c1 [`n [ `n1] = 1 [`n [ `]
= 1 ,84Espaces Probabiliss A. El Mossadeqet pour tout :, : _ 2, on
a :___11 = 111 11`1n = 1n1n11n`n1de mme :___`1 = `11 `1``n =
`n1n1`n`n11. Daprs la formule des probabilits totales on a :___1
[11] = 1 [11 [ 1] 1 [1] +1 [11 [ `] 1 [`]1 [1n] = 1 [1n [ 1n1] 1
[1n1] +1 [1n [ `n1] 1 [`n1]___1 [`1] = 1 [`1 [ 1] 1 [1] +1 [`1 [ `]
1 [`]1 [`n] = 1 [`n [ 1n1] 1 [1n1] +1 [`n [ `n1] 1 [`n1]do :___j1 =
(1 c) j +,jn = (1 c) jn1 +,n1___1 = cj + (1 ,) n = cjn1 + (1 ,)
n1On en dduit que pour tout :, : _ 1, on a :\n = `\n1o ` est la
matrice carre :` =__ 1 c ,c 1 ,__85A. El Mossadeq Espaces
Probabilisset :\0 = _ j_2. Il en rsulte que pour tout : N+ on a :\n
= `n\0(a) Si :c = , = 0alors lurne blanche ne contient que des
boules blanches et lurne noirene contient que des boules noires.
Tous les tirages seront eectus de lamme urne, celle choisie au
dpart.(b) Si :c = , = 1alors lurne blanche ne contient que des
boules noires et lurne noire necontient que des boules blanches.
Les tirages seront eectus en alternantles deux urnes.(c) Si :c +, =
1alors les deux urnes ont la mme composition. Une fois que lurne
estchoisie, il nest plus ncessaire de la changer.(a) Si :c = , =
0alors la matrice ` est la matrice identique dordre 2 :` =
1286Espaces Probabiliss A. El Mossadeqdo pour tout : N+ :___jn = jn
= (b) Si :c = , = 1alors :` =__ 0 11 0__puisque :`2= 12on en dduit
que pour tout / N+ :\2k= _ j_\2k+1= _ j_Les suites (jn)nN
et (n)nN
sont divergentes sauf lorsque :j = = 12(c) Si :c +, = 1alors
:`2= `donc :\n = `\0 = _ 1 cc_87A. El Mossadeq Espaces
Probabilissdo :___jn = 1 cn = cExercice 33On appelle preuve, un lot
de trois sujets tirs au hasard parmi cent sujetspossibles.Un
candidat doit traiter au choix lun des trois sujets.1. Combien
dpreuves peut-on proposer au candidat ?2. Un candidat se prsente en
ne connaissant que la moiti des sujets. Quelle estla probabilit
pour quil sache traiter :(a) les trois sujets ?(b) seulement deux
sujets ?(c) un seul sujet(d) aucun des trois sujets ?Solution 331.
Le nombre dpreuves quon peut- proposer au candidat est :C (100. 3)
= 1617002. La probabilit jk pour que le candidat sache traiter
exactement / sujets, 0 _/ _ 3, parmi les trois sujets proposs est
:jk = C (50. /) C (50. 3 /)C (100. 3)do :(a) La probabilit pour
quil sache traiter les trois sujets est :j3 = .121288Espaces
Probabiliss A. El Mossadeq(b) La probabilit pour quil sache traiter
seulement deux sujets est :j2 = .3788(c) La probabilit pour quil
sache traiter un seul sujets est :j1 = .3788(d) La probabilit pour
quil ne sache traiter aucun sujets est :j0 = .1212Exercice 34Dans
une loterie de cent billets, deux billets sont gagnants.1. Quelle
est la probabilit de gagner au moins un lot si lon prend 12 billets
?2. Combien faut-il acheter de billets pour que la probabilit de
gagner au moinsun lot soit suprieure .8 ?Solution 341. La
probabilit jk, 0 _ / _ 2, de ganger exactement / lots lorsquon
dtient12 billets est :jk = C (2. /) C (98. 12 /)C (100. 12)do la
probabilit 1 de ganer au moins un lot est :1 = j1 +j2= 1 j0=1775=
22.67%89A. El Mossadeq Espaces Probabiliss2. La probabilit jn;k, 0
_ / _ 2, de ganger exactement / lots lorsquon dtient: billets est
:jn;k = C (2. /) C (98. : /)C (100. :)do la probabilit 1n de ganer
au moins un lot est :1n= jn;1 +jn;2= 1 jn;0=:(199 :)9900On en dduit
que :[1n0.8] == [: _ 56]Exercice 35On jette : fois deux ds.1.
Quelle est la probabilit pour que le double six sorte au moins une
fois ?2. Combien de fois faut-il jeter les deux ds pour parier avec
avantage dobtenirau moins une fois le double six ?Solution 351. La
probabilit pour que le double six ne sorte aucune fois est :n =
_3536_ndo la probabilit pour quil sorte au moins une fois est :jn=
1 n= 1 _3536_n90Espaces Probabiliss A. El Mossadeq2. Do :jn 12 == :
_ 25Exercice 36On dispose de deux urnes contenant respectivement
cinq boules bleues et quatrerouges, et six boules bleues et cinq
rouges. On tire une boule de chaque urne.Quelle est la probabilit
:1. de tirer deux boules rouges ?2. de tirer deux boules bleues ?3.
de tirer une boule bleue et une boule rouge ?Solution 361. La
probabilit de tirer deux boules rouges est :j1=49 511=20992. La
probabilit de tirer deux boules bleues est :j2=59 611=30993. La
probabilit de tirer une boule bleue et une boule rouge est :j3=59
511 + 49 611=4999= 1 j1j291A. El Mossadeq Espaces
ProbabilissExercice 37On lance au hasard un d dont les faces sont
numrots de 1 6.On suppose que la probabilit dapparition dun chire
pair est le double de celledun chire impair et que les faces paires
sont quiprobables.Quelle est la probabilit dobtenir un diviseur de
six ?Solution 37Dsignons par j (/), 1 _ / _ 6, la probabilit
dobtenir la face / du d.On a :j (2) = j (4) = j (6)j (1) = j (3) =
j (5)et :j (2) = 2j (1)Puisque :6
i=1j (/) = 1on en dduit que :j (2) = j (4) = j (6) = 29j (1) = j
(3) = j (5) = 19Soit lvnement :1 : "obtenir un diviseur de six"on a
:1 = 1. 2. 3. 6do :1 [1] = j (1) +j (2) +j (3) +j (6) = 2392Espaces
Probabiliss A. El MossadeqExercice 38Une urne contient six boules
rouges et quatre boules blanches.On tire au hasard deux boules sans
remise.Calculer la probabilit des vnements suivants :1. les deux
boules sont rouges,2. les deux boules sont blanches,3. les deux
boules sont de couleurs direntes.Solution 381. La probabilit que
les deux boules tires soient rouges est :j1=61059=132. La
probabilit que les deux boules tires soient blanches est
:j2=41039=2153. La probabilit que les deux boules tires soient de
couleurs direntes est :j3=61049 + 41069=815= 1 j1j2Exercice 39On
choisit au hasard un numro de tlphone huit chires.Calculer la
probabilit des vnements suivants :1. : les huit chires du numro
sont tous distincts.2. 1 : le produit des huit chires du numro est
divisible par deux.93A. El Mossadeq Espaces Probabiliss3. C : les
huit chires du numro forment une suite strictement croissante.4. 1
: les huit chires du numro forment une suite croissante.Solution
39Le nombre ` de numro de tlphone huit chire est :` = 1081. Le
nombre de numro dont les huit chires sont distincts est le
nombredarragements de huit lments parmi dix lments, do :1 [] =(10.
8)108= 0.0181442. Le produit des huit chires nest pas divisible par
deux si et seulement tous leschires du numro sont impairs.Le nombre
` de ces numros est :` = 58do :1 _
1 = _12_8et par consquent :1 [1] = 1 _12_8=255256= 0.9963. Le
nombre de numros huit chires formant une suite strictement
croissanteest le nombre de combinaison de huit lments parmi dix
lments, do :94Espaces Probabiliss A. El Mossadeq1 [C] =C (10.
8)108= 4.5 1074. Le nombre de numros huit chires formant une suite
croissante est gal aunombre de combinaison avec rptition de
longueur huit parmi dix lments,do :1 [1] =1 (10. 8)108=C (17.
8)108= 2.431 104Exercice 40Les : tomes dune encyclopidie sont
disposs au hasard sur une tagre.1. Quelle est la probabilit que les
tomes 1 et 2 appraissent cte cte dans cetordre ?2. Quelle est la
probabilit que les tomes 1 j (2 _ j _ :) appraissent cte cte dans
cet ordre ?Solution 40Le nombre de manire ` de placer les : tomes
sur ltagre est ::!1. Le tome 1 peut occuper les positions de 1 :
1.Le tome 2 ne peut occuper quune seule position : celle cot du
tome 1.pour les (: 2) tomes restants, il y a (: 2)! manires de les
placer surltagtre.95A. El Mossadeq Espaces ProbabilissDo la
probabilit recherche est :1 =(: 1) (: 2)!:!=1:2. Le tome 1 peut
occuper les positions de 1 : j + 1.Il ny a quune seule manire pour
placer les tomes de 2 j une fois que laposition du tome 1 est
choisie.pour les (: j) tomes restants, il y a (: j)! manires de les
placer surltagtre.Do la probabilit recherche est :1 =(: j + 1) (:
j)!:!=(: j + 1)!:!=1(:. j 1)Exercice 41: personnes sont runies dans
une mme salle.Calculer la probabilit des vnements suivants :1. Il
ny a pas deux personnes ayant le mme jour danniversaire.2. Deux
personnes au moins ont le mme jour danniversaire.3. Deux personnes,
et deux seulement, ont le mme jour danniversaire.Solution 411. La
probabilit pour quil ny a pas deux personnes ayant le mme jour
danniversaireest :j1 = C (365. :)365n96Espaces Probabiliss A. El
Mossadeq2. La probabilit pour que deux personnes au moins ont le
mme jour danniversaireest :j2 = 1 j13. La probabilit pour que deux
personnes, et deux seulement, ont le mme jourdanniversaire est :j3
= C (365. : 1)365nExercice 42Le code condentiel dune carte bancaire
est un nombre de quatre chires tousnon nuls.Le code dune carte est
choisi au hasard par ordinateur.Calculer la probabilit des vnements
suivants :1. : le code est un nombre pair2. 1 : le code nest compos
que de chires pairs3. C : le code contient une et seule fois le
chire 14. 1 : le code est compos de quatre chires distincts5. 1 :
les quatre chires du code forment une suite croissante6. 1 : les
quatre chires du code forment une suite strictement
croissanteSolution 42Le nombre de codes quon peut ainsi former est
:94= 65611. Le nombre de codes pairs est :4 93= 261997A. El
Mossadeq Espaces Probabilissdo :1 [] = 492. Le nombre de codes
composs seulement de chires pairs est44= 256do :1 [1] = _49_4=
.0393. Le nombre de codes o le chire 1 gure une et seule fois estC
(4. 1) 83= 2048do :1 [C] =C (4. 1) 8394= .312154. Le nombre de
codes composs de quatre chires distincts est :(9. 4) = 3024do :1
[1] =(9. 4)94= .465. Le nombre de codes o les quatre chires forment
une suite croissante est :1 (9. 4) = 495do :1 [1] =1 (9. 4)94=
.07544698Espaces Probabiliss A. El Mossadeq6. Le nombre de codes o
les quatre chires forment une suite strictement crois-sante est :C
(9. 4) = 126do :1 [1] =C (9. 4)94= .0192Exercice 43Une urne
contient six boules numrotes de 1 6.On tire successivement trois
boules de lurne, sans remise.Calculer la probabilit des vnements
suivants :1. : la troisime boule tire porte le numro 22. 1 : la
troisime boule tire porte un numro pair3. C : la troisime boule
tire porte un numro au moins gal 2Solution 43Notons j (/), 1 _ / _
6, la probabilit pour que la troisime boule tire portele numro /.
On a :j (/) = (5. 2)(6. 3) = 161. En particulier, la probabilit
pour que la troisime boule tire porte le numro2 est :j (2) = 162.
La probabilit pour que la troisime boule tire porte un numro pair
est :1 = j (2) +j (4) +j (6) = 1299A. El Mossadeq Espaces
Probabiliss3. La probabilit pour que la troisime boule tire porte
un numro au moins gal 2 est :1 = j (2) +j (3) +j (4) +j (5) +j (6)=
1 j (1)=56Exercice 44On considre six boules numrotes de 1 6.Une
boite comporte six compartiments numrots de 1 6.On place au hasard
les boules, une boule par compartiment.Quelle est la probabilit
pour que quatre boules au moins soient dans le compar-timent ayant
le mme numro que la boule ?Solution 44Dsignons par k, 1 _ / _ 6,
lvnement :k: "exactement / boules sont dans le compartimentayant le
mme numro que la boule "et remarquons que :5 = OLvnement 4 est
ralis dans le cas o quatre parmi les six boules (1. 2. 3. 4. 5.
6)sont places dans les compartiments comportant respectivement
leurs numros,alors les deux boules restantes sont places chacune
dans le compartiment com-portant le numro de lautre, do :1 [4] = C
(6. 4)6!100Espaces Probabiliss A. El MossadeqLvnement 6 est ralis
dans le seul cas o les boules (1. 2. 3. 4. 5. 6) sontplaces dans
les compartiments (1. 2. 3. 4. 5. 6) respectivement, do :1 [6] =
16!do la probabilit recherche est :1 = 1 [4] +1
[6]=166!=145Exercice 45On dispose de trois urnes. Les deux premire
urnes contiennent cinq boulesvertes et quatre rouges chacune. La
troisime contient six boules vertes et quatrerouges.On choisit au
hasard une urne dans laquelle on tire une boule. On constate
quecette boule est verte.Quelle est la probabilit de lavoir tire de
la troisime urne ?Solution 45Considrons les vnements :li: "le
tirage est eectu de la i emeurne" . 1 _ i _ 3\ : "la boule tire est
verte"On a :___1 [l1] = 13; 1 [\ [ l1] = 591 [l2] = 13; 1 [\ [ l2]
= 591 [l3] = 13; 1 [\ [ l3] = 35101A. El Mossadeq Espaces
ProbabilissDaprs la thorme de 1cc: on a :1 [l3 [ \ ] =1 [l3] 1 [\ [
l3]1 [l1] 1 [\ [ l1] +1 [l2] 1 [\ [ l2] +1 [l3] 1 [\ [
l3]=2777Exercice 46On dispose de deux pices de monnaie truques, une
pice de dix dirhams et unepice de cinq dirhams.La probabilit
dobtenir pile en lanant la pice de dix dirhams est .8 alors quela
probabilit dobtenir face en lanant celle de cinq dirhams est .7.On
lance au hasard lune des deux pices et on obtient face.Quelle est
la probabilit davoir choisi celle de dix dirhams ?Solution
46Considrons les vnements suivants :C : "la pice lance est celle de
cinq dirhams"1 : "la pice lance est celle de dix dirhams"1 : "le
cot obtenu est face"1 : "le cot obtenu est pile"On a :_ 1 [C] = .5
; 1 [1 [ C] = .71 [1] = .5 ; 1 [1 [ 1] = .2Daprs la thorme de 1cc:
on a :1 [1 [ 1] =1 [1] 1 [1 [ 1]1 [C] 1 [1 [ C] +1 [1] 1 [1 [
1]=29102Espaces Probabiliss A. El MossadeqExercice 47On dispose de
dix jetons :deux noirs, cinq blancs et trois bicolores (une
faceblanche et une face noire).On choisit au hasard un jeton que
lon jette. La face apparente est blanche.Quelle est la probabilit
que la face cache soit blanche ?Solution 47considrons les vnements
suivants :Jb: "le jeton choisi est blanc"Jn: "le jeton choisi est
noir"Jc: "le jeton choisi est bicolore"1a: "la face apparente est
blanche"1c: "la face cache est blanche"On a :___1 [Jb] = 12; 1 [1a
[ Jb] = 1 ; 1 [1c [ Jb] = 11 [Jn] = 15; 1 [1a [ Jn] = 0 ; 1 [1c [
Jn] = 01 [Jc] =310; 1 [1a [ Jc] = 12; 1 [1c [ Jc] = 12Daprs la
thorme de 1cc: on a :1 [1c [ 1a] = 1 [1c 1a]1 [1a]or :1 [1c 1a] = 1
[Jb] = 12103A. El Mossadeq Espaces Probabilisset :1 [1a] = 1 [Jb] 1
[1a [ Jb] +1 [Jn] 1 [1a [ Jn] +1 [Jc] 1 [1a [ Jc]=1320daprs la
formule des probabilits totales.Do :1 [1c [ 1a] = 1013Exercice 48On
considre une population dans laquelle 75% des cancers des poumons
sontobservs chez les fumeurs.La population contient 4% de cancers
de poumons, et 60% de fumeurs.On tire au hasard un individu de
cette population.1. Quelle est la probabilit que la personne ne
fume pas et na pas de cancer ?2. Si la personne ne fume pas, quelle
est la probabilit pour quelle na pas decancer ?3. Si la personne na
pas de cancer, quelle est la probabilit quelle fume ?Solution
48Considrons les vnements :C : "la personne a le cancer"1 : "la
personne fume"On a :___1 [1] = 0.61 [C] = 0.041 [1 [ C] =
0.75104Espaces Probabiliss A. El Mossadeq1. On a :1 [1cCc] = 1 1 [1
+C]= 1 1 [1] 1 [C] +1 [1C]= 1 1 [1] 1 [C] +1 [C] 1 [1 [ C]= 0.392.
On a :1 [Cc[ 1c] =1 [1cCc]1 [1c]= 0.9753. On a :1 [1 [ Cc] = 1 1
[1c[ Cc]= 1 1 [1cCc]1 [Cc]= 0.59375Exercice 49Pour prvenir
lextension dune pidmie virale, on dcide de soumettre la popu-lation
menace des tests. Dune faon gnrale, le rsultat de chaque test
estpositif pour les porteurs de virus, ngatif pour les personnes
qui ne sont pas at-teintes, mais il y a des exeptions.Le but de
lexercice est de comparer deux procds de dpistage. Lun
nutilisantquun seul test, lautre consistant en la succession de
deux tests identiques ral-iss indpendamment lun de lautre.On
choisit au hasard un individu et on dsigne par \ et 1 les vnements
:\ : " est porteur de virus"1 : "le test appliqu est positif"105A.
El Mossadeq Espaces ProbabilissOn admet que :1 [\ ] = 0.11 [1 [ \ ]
= 0.951 _1 [ \ = 0.031. Dans cette question, on tudie la procdure
de contrle qui nutilise quun seultest.(a) Calculer la probabilit de
lvnement 1.(b) Le test appliqu sest avr ngatif.Calculer la
probabilit que soit porteur du virus.2. On eectue maintenant deux
tests identiques. On considre lvnement :12 : "les deux tests
appliqus sont positifs"(a) Si est porteur du virus, quelle est la
probabilit pour que les deux testsappliqus soient ngatifs ?(b) Les
deux tests ont t ngatifs. Quelle est la probabilit que soit
porteursdu virus ?(c) Conclure.Solution 491. (a) On a :1 [1] = 1 [\
] 1 [1 [ \ ] +1 _
\1 _1 [ \= .122106Espaces Probabiliss A. El Mossadeq(b) Daprs le
thorme de 1cc:, on a :1 _\ [ 1=1 [\ ] 1 _
1 [ \1 _
1=5878= 5.6948 103(a) Les deux tests tant indpendants, donc :1
_
12 [ \= _1 _
1 [ \_2= 25 104(b) Daprs le thorme de 1cc:, on a :1 _\ [ 12=1 [\
] 1 _
12 [ \1 _
12= 3.243 106(c) On en dduit que :1 _\ [ 12 =117561 _\ [ 1Il est
donc prfrable de pratiquer deux tests successifs.Exercice 50On
considre les familles deux enfants.1. Une famille deux enfants dont
au moins un garon.Quelle est la probabilit que cette famille ait
deux garons ?2. Une famille deux enfants dont lain est un
garon.Quelle est la probabilit que cette famille ait deux garons
?107A. El Mossadeq Espaces ProbabilissSolution 50Considrons les
vnements :G1: "le premier enfant est un garon"G2: "le second enfant
est un garon"G : "la famille a au moins un garon"Notons que les
vnements G1 et G2 sont indpendants et que :1 [G1] = 1 [G2] = 121.
On a :G = G1 G2 G1G2G1G2do :1 [G] = 34Dautre part :1 [G1G2 [ G] =1
[G1G2G]1 [G]=1 [G1G2]1 [G]=132. On a:1 [G1G2 [ G1] =1 [G1G2]1
[G1]=12108Espaces Probabiliss A. El MossadeqExercice 51On dispose
de dix urnes numrotes de 0 9.Lurne / contient / boules noires et 9
/ boules blanches.On choisit une urne au hasard et sans connaitre
son numro on tire deux boulesavec remise.1. Quelle est la
probabilit dobtenir deux boules noires ?2. Les deux boules obtenues
sont noires. Quelle est la probabilit quelles provi-ennent de lurne
l5 ?3. Le premier tirage a donn une boule noire. Quelle est la
probabilit que lesecond tirage donnent aussi une boule noire
?Solution 51Considrons les vnements :li: "le tirage est eectu de
lurne i" . 0 _ i _ 9`i: "la i emeboule tire est noire" . i = 1. 2On
a :1 [lk] =110 . 0 _ / _ 91 [`i [ lk] = /9 . 0 _ / _ 9 . i = 1. 21.
Daprs la formule des probabilits totales, la probabilit dobtenir
deux boulesnoires est :1 [`1`2] =9
k=01 [lk] 1 [`1`2 [ lk]=1954109A. El Mossadeq Espaces
Probabiliss2. Daprs le thorme de 1cc: on a :1 [l5 [ `1`2] =1 [l5] 1
[`1`2 [ l5]1 [`1`2]=5573. Daprs la formule des probabilits totales
:1 [`1] =9
k=01 [lk] 1 [`1 [ lk] = 12do :1 [`2 [ `1] =1 [`1`2]1
[`1]=1927Exercice 52Un ascenseur dessert dix tages.Quatre personnes
prennent cet ascenceur au rez-de-chausse.On admet que chacune de
ces quatre personnes descend au hasard lun des dixtages et que les
dcisions de ces quatre personnes sont indpendantes.1. Quelle est la
probabilit que les quatre personnes sarrtent des tages dif-frents
?2. Quelle est la probabilit pour que deux, et deux seulement,
sarrtent au mmetage ?Solution 52chaque personne peut descendre dans
lun ou lautre des dix tages, donc lenombre ` de possibilits est :`
= 104110Espaces Probabiliss A. El Mossadeq1. Le nombre de
possibilits o les quatre personnes sarrtent des tages dif-frents
est gal au nombre darrangements de quatre tages parmi les dixtages
:(10. 4) = 5040do :1 =(10. 4)104= 0.5042. Les quatre personnes
sarrteront trois tages dirents. Il y a donc :(10. 3) =
720possibilits.Dautre part, le nombre de paires de personnes
sarrtant au mme tage est :C (4. 2) = 6do la probabilit recherche
est :1 =C (4. 2) (10. 3)104= 0.432Exercice 53Deux joueurs et 1
jouent un jeu dont la rgle est la suivante : il sagitdatteindre une
cible. chacun de ses essais, 1 a une probabilit de 12 de toucher la
cible et uneprobabilit de 13. et 1 jouent tour de rle, la partie se
termine ds que lundes deux joueurs atteint la cible. Cest qui joue
le premier.Soit jn la probabilit que gagne son : emeessai, et n la
probabilit que 1gagne son : emeessai.111A. El Mossadeq Espaces
Probabiliss1. Calculer jn et n.2. Calculer :1n =n
k=1jkQn =n
k=1k1 = limn1nQ = limnQnQue reprsente chacun de ces termes ?3.
et 1 ont-ils les mmes chances de gagner ?Solution 531.jn =
_23_n1_12_n113 = _13_nn = _23_n_12_n112 = _13_n2.1n = Qn =n
k=1_13_k= 12_1 13n_1 = limn1n = 12Q = limnQn = 123. Donc et 1
ont les mmes chances de gagner.112Espaces Probabiliss A. El
MossadeqExercice 54Deux joueurs et 1 jouent avec deux ds.Le joueur
gagnera en faisant un total de 7, 1 en faisant un total de 6.Cest 1
qui commence et ensuite et 1 jettent alternativement les ds jusquce
que lun des deux gagne.Quelles sont leurs probabilits de gagner
?Solution 54Notons (c. /) les points amens par le premier d et le
second d respectivement.La probabilit de cet vnement lmentaire estj
=136Le joueur obtient un total de 7 dans les cas suivants:(1. 6) .
(2. 5) . (3. 4) . (6. 1) . (5. 2) . (4. 3)La probabilit de cet
vnement est :j7 = 16Le joueur 1 obtient un total de 6 dans les cas
suivants:(1. 5) . (2. 4) . (3. 3) . (5. 1) . (4. 2)La probabilit de
cet vnement est :j6 =536Soit j7;k (resp. j6;k) la probabilit pour
que le joueur (resp. le joueur 1)gagne son / emeessai. Alors :j7;k
= _56_k1_3136_k1_16_et:j6;k = _56_k_3136_k1_ 536_113A. El Mossadeq
Espaces ProbabilissSi lon dsigne par 17 (resp. 16) la probabilit
pour que le joueur (resp. le joueur 1)gagne, alors :17= limnn
k=1j7;k=366116= limnn
k=1j6;k=2561Exercice 55: urnes l1. .... ln contiennent
respectivement 1. .... : boules noires et rien dautre.On choisit au
hasard une urne, on y tire une boule et on la remplace par
uneblanche.Une nouveau tirage dans la mme urne donne une boule
blanche.Quelle est la probabilit pour que les tirages aient t faits
dans lurne li ?Solution 55Considrons les vnements :li: "le tirage
est eectu de lurne i" . 1 _ i _ :12: "la 2 emeboule tire est
blanche" . i = 1. 2On a :1 [lk] = 1: . 1 _ / _ :1 [12 [ lk] = 1/ .
1 _ / _ :114Espaces Probabiliss A. El MossadeqDaprs la formule des
probabilits totales, on a :1 [12] =n
k=11 [lk] 1 [12 [ lk]=1:n
k=11/Do :1 [li [ 12] =1 [li] 1 [12 [ li]1 [12]=1in
k=11/Exercice 56Le quart dune population a t vaccin contre une
maladie.Au cours dune pidmie, on constate quil y a parmi les
malades, un vaccinpour quatre non vaccins. On sait de plus quil y a
un malade sur douze parmiles vaccins.1. Quelle est la probabilit de
tomber malade pour un individu non vaccin ?2. Le vaccin est-il
ecace ?Solution 56Considrons les vnements :` : "la personne est
malade"\ : "la personne est vaccine"On a :1 [\ ] = 14; 1 [\ [ `] =
15; 1 [` [ \ ] =112115A. El Mossadeq Espaces Probabiliss1. Daprs la
thorme de 1cc: on a :1 _` [ \ = 1 [`] 1 _
\ [ `1 _
\or :1 [`] = 1 [\ ] 1 [` [ \ ] +1 _
\1 _` [ \= 1 [\ ] 1 [` [ \ ] +1 [`] 1 _
\ [ `=1 [\ ] 1 [` [ \ ]1 1 _
\ [ `=1 [\ ] 1 [` [ \ ]1 [\ [ `]=548do :1 _` [ \=1 [`] 1 _
\ [ `1 _
\=192. Le vaccin diminue les risques dattrapper la maladie mais
pas considrablement.Il est peu ecace.Exercice 57Une boite contient
une boule blanche et trois boules rouges.Une boite 1 contient cinq
boules blanches et trois boules rouges.On tire au hasard et
indpendamment une boule de lurne et une boule delurne 1 et les
change de boite.Calculer la probabilit quaprs lchange :1. ne
contient que des boules rouges.2. Les deux compositions restent
inchanges.116Espaces Probabiliss A. El MossadeqSolution 571. Dans
ce cas, il faut tirer la boule blanche de lurne et une boule rouge
delurne 1, do la probabilit recherche est :1 =1438=3322. Dans ce
cas, les deux boules tires des urnes et 1 doivent tre de la
mmecouleur, do la probabilit recherche est :1 =14.58 +
34.38=2932Exercice 58On considre une suite de tirages avec remise
dans une urne l choisie au hasardparmi : + 1 urnes l0. .... ln.Soit
ji, 0 _ i _ :, la probabilit de choisir lurne li.On suppose que
lurne li, 0 _ i _ :, contient : boules dont i sont noires.1. Quelle
est la probabilit dobtenir une boule noire au / emetirage sachant
quelon a obtenu / 1 boules noires dans les / 1 tirages prcdents ?2.
Quelle est la probabilit que les tirages aient lieu dans lurne li
sachant queles / premiers tirages ont donn des boules noires
?Solution 58Dsignons par `k lvnement :`k:"le / emetirage a donn une
boule noire"Pour tout /, / _ 1, et tout i, 0 _ i _ :, on a :1 [`k [
li] = i:117A. El Mossadeq Espaces Probabilisset pour tout vnement
:1 [] =n
i=01 [li] 1 [ [ li]=n
i=0ji1 [ [ li]daprs la formule des probabilits totales.1. Daprs
le thorme de Bayes, on a :1 [`k [ `1...`k1] = 1 [`1...`k1`k]1
[`1...`k1]Or :1 [`1...`k1] =n
i=01 [li] 1 [`1...`k1 [ li]=n
i=0ji_i:_k1et :1 [`1...`k] =n
i=01 [li] 1 [`1...`k [ li]=n
i=0ji_i:_k118Espaces Probabiliss A. El Mossadeqdo :1 [`k [
`1...`k1] =1 [`1...`k1`k]1 [`1...`k1]=n
i=0ji_i:_kn
i=0ji_i:_k1=1:n
i=0jiikn
i=0jiik12. On a :1 [li [ `1...`k] =1 [li] 1 [`1...`k [ li]1
[`1...`k]=jiikn
r=0jiirExercice 59On considre une urne contenant 2: boules :
deux boules de la couleur C1,deux boules de la couleur C2, ...,
deux boules de la couleur Cm; les : couleurssont deux deux
direntes.A chaque tirage, on extrait de lurne deux boules sans
remise.1. Combien y-a-t-il de manires direntes de vider lurne ?2.
Quelle est la probabilit dobtenir deux boules de la couleur C1 au
premiertirage, deux boules de la couleur C2 au deuxime tirage, ...,
deux boules de lacouleur Cm au : emetirage ?119A. El Mossadeq
Espaces Probabiliss3. En dduire la probabilit dobtenir, chacun des
: tirages, deux boules de lamme couleur.4. Quelle est la probabilit
dobtenir deux boules de de la couleur C1 au premiertirage, deux
boules de la couleur C2 au deuxime tirage, ..., deux boules dela
couleur Cm2 au (:2) emetirage, deux boules de couleurs direntes
au(:1) emetirage ?5. En dduire la probabilit dobtenir deux boules
de la mme couleur au premiertirage, deux boules de la mme couleur
au deuxime tirage, ..., deux boulesde la mme couleur au (:2)
emetirage, deux boules de couleurs direntesau (:1) emetirage.6. En
dduire la probabilit dobtenir chaque fois deux boules de la mme
couleurlors de (:2) tirages seulement.Solution 591. A chaque
tirage, on extrait de lurne deux boules sans remis, donc le
nombrede manires direntes de vider lurne est :m1
k=0C (2 (:/) . 2) =(2:)!2m= :!m1
k=0[2 (:/) 1]2. Il en rsulte que la probabilit j1 dobtenir deux
boules de la couleur C1 aupremier tirage, deux boules de la couleur
C2 au deuxime tirage, ..., deuxboules de la couleur Cm au :
emetirage est :120Espaces Probabiliss A. El
Mossadeqj1=1(2:)!2m=2m(2:)!=1:!m1
k=0 [2 (:/) 1]3. Par consquent, pour obtenir, chacun des :
tirages, deux boules de lamme couleur, il sut de permuter les :
couleurs, do, la probabilit j2 decet vnement est :j2= (:!)
j1=2m:!(2:)!=1m1
k=0 [2 (:/) 1]4. Le nombre de manires dobtenir deux boules de de
la couleur C1 au premiertirage, deux boules de la couleur C2 au
deuxime tirage, ..., deux boules dela couleur Cm2 au (:2)
emetirage, deux boules de couleurs direntes au(:1) emetirage est
:_m2
k=1C (2. 2)_C (2. 1) C (2. 1) C (1. 1) C (1. 1) = 4do, la
probabilit j3 de cet vnement est :121A. El Mossadeq Espaces
Probabilissj3= 4j1=2m+2(2:)!=4:!m1
k=0 [2 (:/) 1]5. Par consquent, le nombre de manires dobtenir,
chacun des (:2) pre-miers tirages, deux boules de la mme couleur,
et deux boules de couleurs dif-frentes au (:1) emetirage est le
nombre darrangenets de (:2) couleursparmi les : couleurs, do, la
probabilit j4 de cet vnement est :j4= (:. :2) j3=2m1
k=0 [2 (:/) 1]6. Il sut, maintenant de choisir les deux tirages
o on obtient deux boules decouleurs direntes parmi les : tirages.Ce
nombre de choix est le nombresde combinasons de deux tirages parmi
les : tirages, savoir :C (:. 2) =:!2! (:2)!=:(:1)2Do, la probabilit
j5 dobtenir chaque fois deux boules de la mme couleurlors de (:2)
tirages seulement est :122Espaces Probabiliss A. El Mossadeqj5= C
(:. 2) j4=:(:1)m1
k=0 [2 (:/) 1]Exercice 60Jouer au LOTO consiste cocher une
combinaison de six cases sur une ouplusieurs grilles de quarante
neuf cases, numrotes de 1 49, en esprant quellecoincidera avec la
combinaison de six numros, dite gagnante, qui sera dsignepar le
hasard.Nous ntudions pas, ici, ce qui concerne le numro
complmentaire.1. Quelle est la probabilit :(a) davoir six bons
numros :(i) en cochant une seule grille ?(ii) en cochant deux
grilles ?(b) Quelle est la probabilit davoir exactement / bons
numros, / 1. 2. 3. 4. 5. 6,en cochant une seule grille ?2. On peut
gnralement jouer des grilles multiples : il sagit de cocher plusde
six cases sur une grille de manire avoir plus de chances de
rencontrer lesnumros de la combimaison gagante.Les tarifs proposs
par la socit du LOTO sont les suivants :grille simple (six numros
par grille sur deux grilles) : 2DHgrille multiple de sept numros :
7DHgrille multiple de huit numros : 28DHgrille multiple de neuf
numros : 84DHgrille multiple de dix numros : 210DH123A. El Mossadeq
Espaces Probabiliss(a) Expliquer les tarifs des grilles
multiples.(b) Quelle est la probabilit davoir exactement / bons
numros, / 1. 2. 3. 4. 5. 6,en jouant une grille multiple de :
numros, : 7. 8. 9. 10.3. La socit du LOTO NATIONAL accorde un
joueur ayant choisi une grille de: numros, : 7. 8. 9. 10, et obtenu
/ bons numros, / 1. 2. 3. 4. 5. 6,un multiple entier `(:. /) du
gain correspondant lobtention de / bonsnum
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