Culegere Online - BAC Matematica 2012 - file_processed.pdf

7/25/2019 Culegere Online - BAC Matematica 2012 - file_processed.pdf

1/91

CCUULLEEGGEERREEOONNLLIINNEE

BBAACCAALLAAUURREEAATTLLAAMMAATTEEMMAATTIICC22001122

MMooddeelleeddeessuubbiieecctteeccuubbaarreemmeerreeaalliizzaatteedduu!!mmooddeelluulluuiioo""iicciiaallwww.mateinfo.ro &www.bacmatematica.ro

A#drei Octa%ia# Dobre&coordo#ator'

(loie)ti 2012

Ele#aA#do#eEma#uelA#do#eLe#u*aA#drei+a#ielaBadea

Io#BadeaCor#eliaB!)c!u

,il%iaBrabecea#u-ioricaCioc!#aruIo#+o.aruLo./i#Ga.a

MariaIo#escuC!t!li#a A#caIso"ac/e

Glia Lilia#aI%!#escuIoa#aLe"teriuRoa#aLica

-ioricaLu#.a#ate"a# lori#MarcuGabrielaNecula

Ele#aOri*!NicolaeNicolaescuCsabaOl3/Cor#el Cosmi#(!curar

+a#iela(odumea#caIlea#a Co#sta#*aR4cuCo#sta#ti#,oareA#a,z5cs

DF Compressor Pro
http://www.pdfcompressor.org/buy.htmlhttp://www.pdfcompressor.org/buy.html


2/91

IISS

TTooaatteeddrreettuurriill

CCuullee..eerreeaaeesstteeoo""eerriitt!!GGRRAATTUUIITaarrtteeaaaacceesstteeiieeddii**iiii##uu

66666677bb

++aacc!!oobbsseerr%%aa**iiaaaarrii**iiaaaacceesstteeiiccuullee

##eeaa##uu##**aattiieeddoobbrree77aa##ddrreeii8899aa

Fiecare autor al

Culegerea a fostverifi

[email protected]

SOLUIILE I B

Cele mai compl

ar !i preg"tiri

pro .

BBNN997788--997733--00--1122440011--99

rreezzee##tteeiieeddii**iiiiaaaarr**ii##ssiittee::uulluuii66666677mmaatteeii##""oo77rroo

ddooaarreessiittee::uull66666677mmaatteeii##""oo77rroo))ii66666677bbaaccmmaatteeooaattee""iirreerroodduuss!!""aarr!!aaccoorrdduullssccrriissaall66666677mmaatteeii##aaccmmaatteemmaattiiccaa77rroo&&AA##ddrreeiiOOccttaa%%iiaa##++oobbrree''

eerriissaauu!!rr**iiddii##aacceeaassttaaccuullee..eerreeeeaallttssiittee&&ssaauuccuull

/oooo77ccoommssaauuoo""""iiccee88mmaatteeii##""oo77rroo ee##ttrruuaa""aacceeddeemm

cestei culegeri r"spune e corectituinea #ariantelor p

at$ ar ac" totu%i gasi&i #reo gre%eal" #" rugam s" n

tru a face corecturile necesare. Ultima moificare '.().

*+E,ELE -E O/*+E LE 0*SII 1E.,*/EI

3e site4uri eicate e3amenelo

ele#ilor pentru concursurile !c

la matematic"5

666.mateinfo.ro

666.bacmatematica.ro

*nrei Octa#ian -obre$ 1loie%ti

[email protected]

aattiiccaa77rroo;;ii##iicciioooo77rroo;;ii

ee..eerrii''%%!!rruu..!!mmss!!

eerrssuurriilleellee..aallee77

ropuse.

e anunta&i pe

(92.

FO.+O

na:ionale

olare

DF Compressor Pro


3/91

Modele de Subiecte - BAC Matematic M2- 2012 www.mateinfo.ro& www.bacmatematica.ro

Varianta 1Prof: Andone Elena

SUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. Determinai a 2012-a zecimal a numrului 1

63

.

funcia1

: , ( ) 42

f f x x . Calculai ( )(2)f f .

mulimea numerelor reale ecuaia 5 9 2 3 3x x =0(5p) uri pot fi aranjate 6 cri pe un raft?(5p) i care trece prin punctele A(2,4) i B(-1,0)(5p) i circumcri unui triunghi dreptunghic ce are catetele 8 cm respectiv 6 cm.

SUBIECTU 0 d te)

1. !e coni"er m2

2 1

(5p) a) Artai c 2A (5p) b) #erificai "ac matricea a$il i, %n caz afirmati&, aflai in&era matricei A'(5p) c) Calculai 22( )A I .

2. e mulimea numerelor reale e "efin lee "e compoziie* 7x y xy x y

(5p) a) ! se arate c ( 1)( 1) 6x y x y e x,y (5p) b) #erificai "ac ealitatea ( )x y z "e&rat pentru oricare , ,x y z numerelereale

(5p) c) ! e rezol&e, %n mul+imea numerelor reale, ecua+ .

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Fie2

: {1} , ( )1

xf f x

x

(5p) a) !tu"iai eitena aimptotelor la la raficul funciei f-(5p) b) !tu"iai monotonia funciei f-(5p) c) Artai c funcia f ete conca& pe inter&alul ( ,1)

2. Fie 2, 0

: , ( ) 1

1, 0x

xx

f f x x

e x

(5p) a) Artai c funcia f a"mite primiti&e pe mulimea numerelor reale'(5p) b) Determinai primiti&a funciei f, al crei rafic treceprin punctul de coordonate (1,

(5p) c) Calculai3

2

( )f x dx

3

DF Compressor Pro


4/91




ai partea ntreag a numrului 2012log 2011.

imaginea funciei2: , ( ) 4 5f f x x x

(5p) 2 sunt rdcinile ecuaiei 2 3 8 0x x , calculai 2 21 2x x

(5p) ulimile cu 3 elemente, ale mulimii {a,b,c,d}(5p) ptei care trece prin punctele A(5,1) i B(,!)"

(5p) 6. Fie x, stfel nct cosx= 23

" #alculai c$s(1%!0-x).

SUBIECTUL al II-le e)

1.&e c$nsider punctel .(5p) a) &criei ecuaia prin punctele A2A3.(5p) b) #alculai aria triung'iulu(5p) c) em$nstrai c punctele nu sunt coliniare, oricare ar fi n

2. e mulimea numerel$r reale se defin mp$*iie 2 4 4 3x y xy x y (5p) a) Artai c ( )( ) 5 +, x y x y

(5p) b) -erificai dac legea admite elemen(5p) c) S se re*$l.e n mul/imea numerelor 7x x .


1. Fie 2: (0, ) , ( ) lnf f x x x (5p) a) #alculai

0

( )limx

f x

.

(5p) b) #alculai deri.ata funciei f(5p) c) reci*ai inter.alele de m$n$t$nie ale funciei f"

2. &e c$nsider funcia 1

: 0, ) , ( )2

f f xx

(5p) a) & se calcule*e1

0

( )f x dx (5p) b) & se calcule*e .$lumul c$rpului $binut prin r$taia n 0urul a+ei +, a graficului fu

: 0,2 , ( ) ( )g g x f x

(5p) c) & se arate c $rice primiti. a funciei f este strict cresct$are pe inter.alul 0, ) .

4

DF Compressor Pro


5/91




donai cresctor numerele:

3

312

27 1

log 8, ,64 2

.erminai inversa funciei :f , f(x)= - 2x+3

cuaia 1log ( 2) 2x x

(5p) 3 2 4C P .

(5p) diatoarei segmentului AB tiind c, A(1,2) i B(-1,0).

(5p) 6. Fie x, astfel nct sinx= 13

. Calculai tg!


1. Fie matricele A0 4

1 3

0

(5p) a) Calculai det(A"B)(5p) b) #ta$ilii dac matricea A este i, %n ca& afirmativ, aflai inversa sa!(5p) c) # se re&olve ecuaia A X=B, u2. Fie polinomul 3 2 2, ,f X aX bX a b le(5p) a) 'eterminai a i $ tiind c 2 este rd p l i f i, restul %mpririi polinomului f laX-1 este egal cu 2.

(5p) b) Calculai1 2 2 3 1 3

1 1 1x x x x x x

(5p) c) entru a i $ determinai la punctul (a) demonstrai c p f e toate rdcinile reale!


1. Fie 1: (0, ) , ( ) lnf f x xx

(5p) a) Calculai0

( )limx

f x

i ( )limx

f x

(5p) b) #criei ecuaia tangentei la graficul funciei f, %n punctul de a$scis 1

(5p) c) 'eterminai punctele de etrem ale funciei f!2. Fie 2: , ( ) 64f f x x

(5p) a) Calculai ( )f x dx (5p) b) Calculai ( )xf x dx (5p) c) 'eterminai volumul corpului o$inut prin rotaia graficului funciei : 0,1g , g(x)=f(x) njurul axei Ox.

5

DF Compressor Pro


6/91


Varianta 4Prof: Andone Emanuel


(5p) 1 ntr-o progresie aritmetic an n1 se cunosc a1 7 i r 3 . Calculaisuma primilor 10 termeni

rogresiei.monstrai c ecuaia x

2-(2m-1)x-m=0 are rdcini reale distincte,oricare ar fi m numr real.punctele de intersecie ale graficului funciei :f , 2( ) 5 1xf x cu axele Ox i Oy

(5p) 24 33A P

(5p) rii 1 2v i a j

i 2 (5 ) 2v a i j

, unde a. Determinai numrul a pentru

ca e v2 sunt perpendiculari.

(5p) 6. Aria t ABC este egal cu 32 3 . Dac AB=! i AC=", calculai cosA .


1. Fie matricea A

a a

(5p) a# Determinai pentru car A este in$ersa%il(5p) b) &entru a=', calculai transpusa A2

(5p) c) Determinai pentru care a 3A+2I3=03

2. Definim pe mulimea numerelor real a lege de compo(iie)x y xy ax by , a i bb numere rea

(5p) a) Demonstrai c numrul ( )a b ab este un ricare ar fi numerele a i b

(5p) b) Determnai a i bnumere reale astfel nct ( , oid(5p) c) &entru fiecare din monoi(ii astfel o%inui s se deter ntele in$ersa%ile.


1. *e consider funcia :f , 1( )x

xf x

e

(5p) a) +e(ol$ai ecuaia ( ) '( ) 1f x f x (5p) b) &reci(ai inter$alele de monotonie ale funciei(5p) c) *criei ecuaia tangentei la graficul funciei n punctul de a%scis 0.

2. -ie funcia :f ,3

2

( 1)( )

1

xf x

x x

(5p) a) Determinai primiti$ele funciei :g , 2( ) ( 1) ( )g x x x f x

(5p) b) *criei funcia f su% forma x a +2 1

bx c

x x

, , ,a b c

(5p) c) Calculai2

3(2 1)[ 4 ]

1

xx dx

x x

6

DF Compressor Pro


7/91


Varianta 5Prof: ANDONE EMANUEL.


ai c numrul log57 log725 este natural.erminai valorile reale ale lui m pentru care x

2+x+m 4 ( )x R

uaia 21

255x

(5p) ul natural n 3 soluie a ecuaiei 2nA =56

(5p) ul triunghiului ABC tiind c A(1,1), B(1,2), C(2,1)

(5p) 6. Aflai i circumscris triunghiului ABC dac BC! i cos A 12


1. "e consider matric

i 2

1 0

0 1I

a) " se verifice c 2 22A I und

#)" se determine x real astfel $nc%t det ) 0

c)" se demonstre&e c4 4A X X A , pen 2( )M

2. Fie polinomul 4 3 23 2 2f x x x ax

(5p) a) 'eterminai valoarea lui a dac 2 este rd ui f

(5p) b) Calculai1 2 3 4

1 1 1 1x x x x

(5p) c) 'eterminai restul $mpririi polinomului f la (x-1)2


1. ie funcia : (0, )f , 2( ) ( 1) lnf x x x x (5p) a) 'eterminai asimptotele la graficul funciei f

(5p) b) Calculai3

( )limx

f x

x

(5p) c) "criei ecuaia tangentei la graficul funciei $n punctul de a#scis 1

2. ie funcia :f , f(x)= 2 xx e

(5p) a) " se arate ca funcia f admite primitive(5p) b) " se determine primitiva al crei grafic trece prin origine

(5p) c) Artai c5

4

( ) 32f x dx

7

DF Compressor Pro


8/91


Varianta 6Prof: ANDONE EMANUEL


(5p) 1.'eterminai partea $ntreag a numrului 10 3 (5p) 2 "ta#ilii domeniul de definiie al funciei f(x) 21

2

log ( 3 2)x x

&olvain ecuaia 1x =x+1numrul su#mulimilor ordonate cu 2 elemente, ale mulimii 2,*,+,!

( p) ecuaia dreptei de pant -, care trece prin punctul A(2,1)(5p) l ABC se cunosc laturile AB+, AC1*, BC1./Calculai cosinusul unghiului celmai mSUBIECTU 0 de puncte)

1.Considerm sistemu

1

2 ,a

(5p) a) Calculai determinantul m mului(5p) b) 'eterminai a, numr $nt g i temul admite soluia (2,1,.)(5p) c) 0e&olvai sistemul a*

2. Se dau polinoamele 4 2( ) ( 1)( 1) 10P x x x i ( ) ( 1)( 1) 10Q x x x (5p) a) Artai c (2) ( 2)P P i | ( ) |Q a e ar fi a numr real

(5p) b) Aflai c%tul i restul $mpririi polino l Q (5p) c) 'escompunei polinomul Q n [ ]X


1. "e consider funcia :f ,2 2 1, 1

( )1 , 1

a x ax xf x

x a x x

(5p) a) 'eterminai valorile lui a pentru care f este continu $n punctul x0=1(5p) b) "tudiai deriva#ilitatea funciei f $n punctul x0=1

(5p) c) Pentru a=-1 calculai( )

2limxf x

x

2. "e consider funcia :f ,2

1( )6 10

f xx x

(5p) a) Calculai1

0

( 3) ( )x f x dx

(5p) b) Calculai1

0

'( ) ''( )f x f x dx (5p) c) Calculai aria suprafeei mrginite de graficul funciei f, axa x i dreptele x1, x2

8

DF Compressor Pro


9/91


Varianta 7Prof: Andrei Lenua.


(5p) 1.Determinai numrul real x, astfel nct numerele x-3, 8, x+3 s fie termenii consecutivi ai uneiprogresii aritmetice.

onsider funcia :f , 2012f x x . S se calculeze numrul p= 1 .. 2012f f .

e n mulimea numerelor reale ecuaia 19 27x x .

(5p) eze probabilitatea ca un element 1,2,3,4,5x s verifice inealitatea 3 60x .

(5p) a triun!iului "#$ cu vrfurile 0, 2A , 1,1B %i 2,0C .

(5p) 6. $alcu 2 0sin 20 .


1.Se consider determ2 3

3 1

2

x x

x x , unde 1 2 3, ,x x x sunt soluiile ecuaiei3 4 3 0x x .

(5p) a) S se calculeze 1 2x x

(5p) b) S se demonstreze c 31 2x x

(5p) c) S se calculeze valoarea determi

2. Se consider mulimea2012

0xM A

%i funcia : , xf M f x A .

(5p) a) S se arate c , ,x y x y x yA A A A A M

(5p) b) S se demonstreze c mulimea & mpreun cu op mulire a matricelor formeaz rupabelian.

(5p) c) S se demonstreze c f x y f x f y , ,x y SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consider funcia : 1f dat prin 11

f x xx

.

(5p) a) S se calculeze ' , 1f x x .(5p) b) S se studieze monotonia funciei f .(5p) c) S se determine ecuaia asimptotei verticale.

2. 'ie funcia :f , 2

5f x x .

(5p) a) $alculai

2

0

xdx

f x .(5p) b) S se determine volumul corpului de rotaie obinut prin rotirea raficului funciei f n jurul

axei (x %i dreptele de ecuaii 2x %i 4x .

(5p) c) Demonstrai c 2

2

0xf x dx

9

DF Compressor Pro


10/91


Varianta 8Prof: Andrei Lenua


(5p) 1. S se calculeze 35 10C .

(5 ) 2 S se determine soluia real a ecuaiei 6

log 5 6 2x .

erminai numerele reale mpentru care ecuaia 2 3 2 1 0x m x are rdcini reale egale.ucere cu 5% un produs cost 190 lei. S se determine preul produsului nainte de

(5p) d donatexOy se consider punctele 5,4A i 0,2B .Scriei ecuaia dreptei AB.

(5p) ghiului !"# tiind c !$1# "$& i 060m EDF .

SUBIECTU e)

1.Se consider matrice 2 1 00 1I

i mulimea 2 ,G X a X a aA I a

(5p) a) S se arate c 4A A .(5p) b) S se demonstreze c 4X X a b ab , oricare ar fi ,a b .

(5p) c) Artai c este matrice X a in i ar 'i a .

2.Polinomul 3 24 10f x x x m , cu m inile 1 2 3, ,x x x .(5p) a) Artai c 2 2 21 2 3x x x este constant i m .(5p) b) eterminai m astfel nct 31 2 3x x x

(5p) c) Artai c determinantul1 2 3

2 3 1

3 1 2

x x xd x x x

x x x

este numr icare ar 'i m .


1. Se consider 'uncia 2: , 2f f x x .

(5p) a) S se calculeze ' ,f x x

(5p) b) S se determine ecuaia asimptotei spre la gra'icul 'unciei(5p) c) S se arate c ' este con(e) oricare ar 'i x .

2. Pentru orice *n se consider 'unciile 1: 0,1 ,9n n n

f f xx

.

(5p) a) S se calculeze 2

19x f x dx , unde 0,1x .

(5p) b) S se calculeze 1

2

0

xf x dx .

(5p) c) S se demonstreze c aria supra'eei plane cuprinse ntre gra'icul 'unciei f , axa Ox i dreptele

0, 1x x este un numr din inter(alul1 1

,10 9

! "# $

.

10

DF Compressor Pro


11/91


Varianta 9Prof: Andrei Lenua


(5p) 1. Comparai numerele 3log 27a i3 64b .

zolvai n mulimea numerelor ntregi inecuaia 22 3 1 0x x .ul unui produs este de 150 lei, el sescumpete cu 10%. Calculai preul produsului dup

mine numrul numerelor naturale de trei cifre dictincte ce se pot forma cu elemente

1 2 3,4,5 .

(5p) ul real m, pentru care punctul 2 , 4 1A m m se afl pe dreapta d: !"!#$0.

(5p) 6. se x tiind c 1sin5

x , undexeste msura unui ung&i ascuit.


1. 'n mulimea 3M i2 0 2

0 2 0

0 0 2

A

.

(5p) a) Calculai determinantul matr

(5p) b) (erifici dac 1

1 10

2 21

0 02

1

0 0 2

A

, u rsa matricei A.

(5p) c) )ezolvai ecuaia 3

2 2 2

4 4 4 ,

6 6 6

AX X M

2. *e mulimea numerelor reale se definete legea de compoziie2012 2012 2012 2012x y xy x y .

(5p) a) Calculai 2012 2012 .

(5p) b) +emonstrai c 2012 2012 2012x y x y , oricare ar fi x

(5p) c) +eterminai numrul real a pentru care x a a , oricare ar fi x .


1. e consider funcia :f , 2

2 1, 1

2, 1

1

x x

f xx

x

%

(5p) a) +emonstrai c funcia f este continu n punctul 0 1x .

11

DF Compressor Pro


12/91


(5p) b) Calculai 21

2

lim4 1x

f x

x .

(5p) c) Determinai ecuaia tangentei la graficul funciei fn punctul A(2, 25

).

2 Se consider funciile :mf , 2 2( 4) 4 2012

mf x m x mx , unde m .

erminai mulimea primitivelor funciei 1f .

ia suprafeei cuprinse ntre graficul funciei 2f , axa Ox i dreptele de ecuaii 0x i

(5p) 2012

lnf

xdxx

.

Varianta 10Prof. Badea Daniela

SUBIECTUL I (30 d

(5p) ! "rtai c numrul 2

1 2 1 3N este natural

(5p) 2. Fie 2: ,f f x x mx minai valorile parametrului real m astfel nc#t

.fG Ox& '

(5p) $! "flai valorile reale ale luixastfel n e 13 ,9 ,5 3 6x x x sunt termenii consecutivi aiunei progresii aritmetice.

(5p) %! Determinai pro&a&ilitatea ca aleg#nd un num

11| , 0 11kC k k acesta s

fie divizibil cu 11.(5p) 5! Care sunt coordonatele centrului cercului circumscris ui "'C unde "($,), '(,) i

C(-1,-2)?

(5p) 6. Fie vectorii 2 1 2 i * !u m i j v mi j m

"flai val ametrului real mastfel nct

vectorii iu v

sunt coliniari.

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

! +n mulimea 2 M se consider matricele 21 2 1 0

i !1 3 0 1

A I

(5p) a) Calculai detA, 2 3iA A ;

(5p) &) -erificai egalitatea 2 24 5A A I i demonstrai c 1 14 5 , ,n n nA A A n

(5p) c) "rtai c 2,nA I n

& .

! Se consider polinoamele 8 4 21 i g . f X X X , iar 1 2ix x rdcinilepolinomului g.(5p) a) "flai restul mpririi luif la 2` ;g X g (5p) &) Calculai 2 2 3 31 2 1 2+ i / *x x x x

12

DF Compressor Pro


13/91


(5p) c) Artai c 2 21 2f x f x .


1. Fie funcia 3 2

: 3, \ 1 ,1

xf f x

x

.

culai 1lim i limx xf x f x ;

t i relaia 2 '2 3 3, \ 1f x f x x x i stabilii monotonia funcieif;

ecuaia tangentei la graficul funcieif n punctul de abscis 0 2x .

2 f iile cos cos, : , cos sin 1 i sin 1x xf F f x x x e F x e x x .(5p) ia Feste o primitiv a funcieif;

(5p) b) se

(5p) c) se calcule!e plane mrginite de graficul funciei : 0, ,4g

! "# $

2 coscos

gsin 1 x

f x xx

x e

" a#a $ de ecuaii 0 i

4x x

.

Prof. Badea Daniela


(5p) 1. %alculai2 3 2011 2012

1 1 1 1 11 .... : 1 .

3 3 3 3 3

(5p) 2. Aflai numerele reale ai bcare au suma 1 i produsul 12.

(5p) 3. Fie : , 2 1.f f x x Aflai numerele x astfel nct f(5p) &. 'up o ieftinire cu 2 i apoi o scumpire cu 1 un produs cost te preul

iniial al produsului*(5p) 5. criei ecuaia mediatoarei segmentului (A+ ) unde A(-1"1) i +(,",).

(5p) -. %alculai suma2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0sin 0 sin 15 sin 30 sin 45 sin 60 sin 75 sS


13

DF Compressor Pro


14/91


1. e consider sistemul de ecuaii

2

2

2 2 , unde m

2 2

x my z m

x y z

mx m y z

i matricea sistemului

2

1 1

2 12

m

m

.

2et 4A m valorile lui mpentru care sistemul este compatibil determinat

(5p) stemul pentru m=0;

2. Fie p 2 3 2 2,, 2 2 2 1a bX f a X abX b X a

(5p) a) 'eter i bpentru care , 1a bf X ;

(5p) b) 'ac 1 2 3, ,x x x polinomului 1,1f " calculai3 3 3

1 2 3+ ;x x x

(5p) c) e!olvai n 2 1

2 2 1 0x x

.

SUBIECTUL al III-l (

1. e d funcia

4

3 2: 2,2 ,

4 3

xf

.

(5p) a) se studie!e monotonia funcie f

(5p) b) se demonstre!e c tangentele la g n punctele3 3

,3 3

A f

i + ," ,f sunt perpendiculare.(5p) c) se calcule!e

1' 3

3lim x

xf x

.

2. /entru orice numr natural nenul nse consider funciile 1

:2

n

n

xf

x

i

integralele 1

1

.n nI f x dx

(5p) a) se calcule!e 1

1

1

2 .x f x dx

;

(5p) b) se calcule!e 1I ;

(5p) c) se arate c

2

1

23 ,

1

n

n nI I nn

14

DF Compressor Pro


15/91


Varianta 12Prof. Badea Daniela


progresia aritmetic 2 3cu 12, 9.n na a a Determinai n astfel nct sumailor ntermeni s fie zero.

elementele mulimii

2 7| 1 .

1

xA x

x

(

)

(5p) uaia

1 12 2 13

3 3 9

x x

.

(5p) 4. Cte fre distincte se pot forma cu cifrele 0,1,2,3,4?(5p) 5. Fie punctele A( C(2,2). Scriei ecuaia dreptei determinat de mijloacele laturilor

(CA) i (C!).

(5p) ". Aflai raza cerc riung#iul A!C, de laturi 5, " i $.

SUBIECTUL al II-lea (30 de p

1. Fie , ,a b c distincte %ntre mul

2 3

2 3

2 3

a x ay z a

S b x by z b

c x cy z c

(5p) a) Calculai determinantul matriceiAat ului (S)&(5p) ') ezolai sistemul (S)*

(5p) c) Dac , ,x y z este soluia sistemului aflai sol 3 2 0.t xt yt z

2. Fie polinoamele 20 2, , 2 5 + 5 "f g X f X X .(5p) a) Artai c suma coeficienilor polinomuluifeste un n g diizi'il cu $*(5p) b) Determinai restul %mpririi luifla g;

(5p) c) Calculai suma

1 1 1 1....

0 1 2 2013S

g g g g .


. Se consider funcia 2 2: 0,1 , 2.xf f x e x

(5p) a) S se studieze monotonia funcieif ;(5p) ') S se demonstreze c funciaf are o singur rdcin %n interalul (-, )*

(5p) c) S se demonstreze prin inducie matematic 2 2 , , 3n n xf x e n n .

2. ie funcia 2

: 0, , 1f f x x .

(5p) a) Calculai

0

3lim

x

x

f t dt

x

;

15

DF Compressor Pro


16/91


(5p) b) Dac

: 0, ,x

h h xf x

, determinai primitiva : 0,H a funciei hastfel nct

0 1H ;(5p) c) Calculai volumul corpului obinut prin rotaia, n jurul axei Ox, a graficului funciei f pentru

0,1 .

Varianta 13Prof: Badea Ion

SUBIECTU uncte)

(5p) 1 !flai cardinalu | 2 1 3 .x x

(5p) " Determinai fun al doilea 2: ,f f x x ax b #tiind c punctul

0,3 fA G #i a dreapta : 1 0d x .

(5p) $ % &e re'olve ecuaia log 1

(5p) 4. n cte moduri, din 10 elevi p un comitet format din 3 elevi?

(5p) 5 !flai valorile reale ale lui mpen #i "u mi j v m i j

suntperpendiculari.

(5p) Calculai0 0 0 0cos0 cos10 cos2 cos180 .S


1.Fie matricele 20 2 1 0

,1 0 0 1

A I

#i mulimea M | .A XA AX

(5p) a) % &e arate c 2012 1006 2A 2 ;I

(5p) b) % &e arate c, dac MX A , atunci exi&t ,a b astfel nct X

(5p) c) Demon&trai c 3 5 2011 1006A+A +A +....+A 2 1 #iA 2 4 6 2 2A +A +A +....+A .I

2. Fie : , 4 4 20, , .x y xy x y x y* (5p) a) Determinai elementul neutru al legii ;(5p) b) !flai &imetricul lui $ n raport cu legea ;(5p) c) tiind c legea e&te a&ociativ calculai 1 2 3 .... 2012.S


1 *ie funcia : \ 1 , .1

xe

f f xx

(5p) a) %criei ecuaia tangentei la graficul funcieif n punctul de ab&ci& 0 1;x 16

DF Compressor Pro


17/91


(5p) b) Calculai 1

1

lim i lim ;x x

x

f x f x

(5p) c) Demonstrai c 1, 1.f x x

2. Fie funcia 2: , 3 1.f f x x (5p) a) Artai c orice primitiv a luifeste strict cresctoare.

lai o primitiv a funcieifal crei grafic conine punctul 1,3 ;A

ia suprafeei cuprinse ntre axa absciselor, graficul funciei : 0,1 ,g

2 xg x e ! i "reptele "e ecuaii 0 i #;x x

Varianta 14Prof: Badea Ion

SUBIECTUL I (30 d

(5p) 1. Aflai x astfel nct 155x .(5p) 2. Dac 1 2,x x sunt soluiile ecua 0,m m aflai mtiin" c 1 2 1.x x

(5p) 3. $e%olvai n ecuaia 1x (5p) 4. Artai c numrul 2 210 10N 3A C P il cu 17.

(5p) 5. Determinai valorile reale ale luix"a BO ste & tiin" c A x,1 ,B 2 , 1 ,O 0,0 .x

(5p) 6. Fie ABC+ i punctele '! astfel nct 2MB N 2NC.

Demonstrai c

1 2MN= AB AC.3 3


1. Fie , | ,0

a bM A a b a b

a

(

) .

(5p) a) Artai c , , , , , , ,A a b A x y A ax ay bx A a b A x y M ;

(5p) b) Calculai , ,nA a b n ;

(5p) c) Determinai matricele 2012

, astfel nct , 1,2012A a b M A a b A .2. Fie polinomul 3 2 1 2 31 X cu r"cinile ! ! .f X aX bX x x x

(5p) a) Determinai , astfel nct 1a b f X i restul mpririi luifla 1X este 4 .

(5p) b) Pentru 1b aflai valorile lui a astfel nct 2 2 21 2 3

1 2 3

1 1 1+ + ;x x x

x x x

17

DF Compressor Pro


18/91


(5p) c) Dac 1, 1a b aflai valoarea determinantului1 2 3

2 3 1

3 1 2

.

x x x

x x x

x x x

+


funcia 2: , 2f f x x x .

ivabilitatea funcieif;(5p) notonia funcieif;(5p) ptotei spre la graficul funciei : , .h h x f x

2. Fie

ln ; 0,

1; ,

x x ef f x

e x e

.

(5p) a) Artai c f a"m e 0, ;

(5p) b) Aflai aria "om prins ntre graficul funciei 1: ,1 , ,h e h x x f x # $ axaabsciselor i "r

1, 1e x ;

(5p) c) Demonstrai c 2

2012

1

f x dx

Prof: Badea IonSUBIECTUL I (30 de puncte)

(5p) 1. * se arate c 2 2 2log 5 3 log 5 3 log 11 (5p) 2. Fie funcia : , 2 1.f f x x Calculai suma 3 ... 2012 .S f f

(5p) 3. $e%olvai n ecuaia2 0,52 4 2 0x x .

(5p) 4. Determinai valorile naturale ale luixastfel nct 210 10x xC C

.

(5p) 5. Dac ' 'A 1, 1 ,B 3,1 i + ,!, sunt mi-loacele laturilor C! AC le ABC+ ,"eterminai coor"onatele punctelor A! ! C.

(5p) 6. Calculai cos tiin" c 12, i sin .2 13


1. Fie matricele

1 1

1 1 ;

1 1

x

A x x x

x

.

(5p) a) Determinaixastfel nct A x inversabil;

18

DF Compressor Pro


19/91


(5p) b) Aflai 1 1A ;

(5p) c) $e%olvai ecuaia

1

1 1

1

x

A y

z

.

inelul claselor de resturi modulo 6, 6 , , . culai suma elementelor neinversabile "in 6 ;

(5p) valorile lui 6x astfel nct determinantul matricei 1

2 3

xA

s fie element

(5p) c) $e%o

2 4

3 2 1

x y

x y

.

SUBIECTUL al III-l

1. Fie funcia : , 5 7f f x .(5p) a) *criei ecuaia asimptotei spre(5p) b) Aflai punctele "e e/trem ale fun

(5p) c) Demonstrai c 7 3 ,f x e x

2. Fie sin ; 0

: ,; 0

2

x x

f f x xx

x

%

.

(5p) a) Calculai 1

1

f x dx ;

(5p) b) Aflai volumul corpului obinut prin rotaia n -urul a/ei absc graficului funciei

: ,0 ,g g x f x ;

(5p) c) Calculai 0

1lim

x

xf t dt

x .

19

DF Compressor Pro


20/91


Varianta 16Prof: Bcu Cornelia


se arate c2

33

1 1 log 34 8

.

mine astfel nct numerele a,a+2,a+8 s fie termenii consecutivi ai uneiprogr e.

(5p) , ( ) 3 2f x x . S se rezolve ecuaia ( ) ( ) 0f f x f x .(5p) mrul de drepte care trec prin 10 puncte distincte, necoliniare.(5p) 5. Aflai e punctului de intersecie al dreptelor d: 3x-2y=0 i g: 2x-3y-5=0.(5p) 6. Calcu s120 .


1.Se consider punctel n), n .(5p) a) S se determine ecuaia d(5p)b) S se afle aria triungiul(5p) c) S se verifice dac punctele ! 12sunt coliniare.

2. Pe se definete legea de compoziiex .(5p) a) S se calculeze 2012 ( 2012) .

(5p)b) S se rezolve "n ecuaia 2 22012

x x

(5p) c) S se arate c dac2012

2012z

x y z

, atunSUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consider funcia 22 1

: \ 1 , ( )2 1

xf f x

x x

.

(5p) a) S se verifice c

3

2( ) , 1

1

xf x x

x

, &

(5p)b) S se arate c ( ) 1, \ 1f x x .(5p) c) S se determine asimptotele funcieif.

2. Se consider funcia2

3 2 1, 0: , ( )2 1, 0x x xf f xx x

%

.

(5p) a) S se arate c funciafadmite primitive pe .

(5p) b) S se calculeze1

1( )f x dx

.

(5p) c) #fla$i 1 , 23

a

! "# $astfel "nc%t aria suprafe$ei plane cuprins "ntre graficul func$iei f, a&a '& i

dreptele de ecua$ii &' i &'a s fie egal cu *

20

DF Compressor Pro


21/91



UL I (30 de puncte)

se rezolve "n ecuaia+2 1 2

45 3 3

x .

( p) : , ( ) 3f f x ax .S se determineaastfel nct ( 1) 1f f .

(5p) merele 32 2 21 1 1

log , log , , log 12 272

a b c d .

(5p) . S se obabilitatea ca aleg%nd un numar natural de doua cifre acesta sa fie ptrat

perfect.(5p) 5. S se determine rii - i raza cercului circumscris triungiului /-, dac

3, ( ) 30 ,MN m P

(5p) . S se arate c t f ile /(1,), -(-1,0) i (5,-2) este isoscel.


1. Se consider sistemul de ecuaii+

6

ax

x ay

(5p) a) S se calculeze det#, unde # este ma at sistemului.(5p) b) Pentru a=- s se rezolve sistemul de(5p) c) S se arate c sistemul are soluie unic, orica

2. Pe definim legea de compoziie 2012 2012 2013x y xy x a .(5p) a) S se arate c ( 2012)( 2012) 2012x y x y .(5p) b)Aflai elementul neutru al legii de compoziie.(5p) c) Calculai 1 2 ... 2013 .


1. 1. Se consider funcia2012: , ( ) 2012 2012xf f x x .

(5p) a) S se calculeze ( ),f x x, .(5p)b) S se scrie ecuaia tangentei la graficul funciei "n punctul de abcis 1.

(5p) c) S se arate c funciaf este conve& pe .2. Se consider funcia

1 1: 1, , ( )

2f f x

x x

(5p) a) S se calculeze4

2

1( )f x dx

x

(5p) b) S se arate c orice primitiv a funcieif este concav pe 1, .(5p) c) S se determine aria suprafeei plane mrginit de graficul funcieif, axa Oxsi dreptele deecuaiex=1 ix=2.

21

DF Compressor Pro


22/91




(5p) 1 S se arate c 2,5 2,5 2,5 0 .se determine a astfel nct numerele 1,1 ,5 3a a a s fie termenii consecutivi ai uneiritmetice.

(5p) e sistemul de ecuaii

13

1210

x y

xy

.

(5p) . S se ia 2 2log ( 1) log 1x x .

(5p) 5. Fie tr C i t ii 2 , 4 2 , 6 4OA i OB i j OC i j

S se determine cordonatele

centrului de greutate a

(5p) . S se determine "nc%t lungimea segmentului #2 s fie 13 , unde A(a, 4) i B(-

2, 1-a).


1. Se consider funcia 20

: (0

xf M

x

(5p) a) S se arate cf(-1) +f(1) = 02.(5p)b) S se rezolve ecuaiaf(2x) = I2.

(5p) c) Sa se calculeze 2

(2) (2) ...f f

2. Fie polinoamele 45 5, , ( ) , ( )f g x f x x a g x .

(5p) a) Aflai rdcinile polinomuluig.(5p) b) Determinai 5a astfel nct polinomul gs divid f.

(5p) c) Pentru 1a , artai c polinomulf nu are rdcini.


1.Fie funcia : , ( ) 2012 2012x xf f x


( ) (0)limx

f x f

x

.

(5p)b) #rtai c funcia f este cresctoare pe .(5p) c) S se arate c funciafnu admite asimptote.

.Se consider funciile 1: \ 1 , ( ) ,( 1)n n n

f f x nx


21 ( )

e

ef x dx

.

(5p) b) S se calculeze primitivele funciei 2

1: \ 1 , ( )

( )g g x

f x

(5p) c) S se calculeze3 2

22 ( ) , , 2nx f x dx n n .

22

DF Compressor Pro


23/91


Varianta 19Prof: Brabeceanu Silvia


erminai x pentru care 3 12

x .

funcia de gradul al doilea al crei grafic conine punctul 0, 0A iar vrful

parab t l 2, 4V .

(5p) mea numerelor reale ecuaia 2 5 3x x .

(5p) 4. Calcu 25 .

(5p) 5. Se co j

i 2 1 2v a i j

, unde a . Determinai numrul 0a

pentru care vectorii 1v

iari.

(5p) 6. Calculai cosin B al triunghiului BC! tiind c 8AB , 12BC , 10AC .


1. Se consider matricea A132

411

321

(5p) a) S se afle numrul 32det IA .

(5p) ") S se determine rangul matricei A .

(5p) c) #e$ol%ai ecuaia 3 3,A X I X - .2. Se consider legea de compo$iie & definit prin x y y .(5p) a) S se arate c 6e este elementul neutru al legii de compo mulimea .

(5p) b) S se re$ol%e 'n inecuaia 2 23 1 2 6 0x x x x

(5p) c) S se demonstre$e c 2 71 1 1

02 2 2

% .


1. Se considerfuncia : ,f

2, 0

32

, 03

xx

xf xx

xx

(5p) a) erificai dac funcia este continu 'n punctul 00 x .

(5p) b) Determinai inter%alele de monotonie ale funciei f .

(5p) c) rtai c

!#

1,3

2xf , oricare ar fi x .

. Se consider funciile! 2 2: , ( ) 4 8 16, unden nf f x n x nx n

23

DF Compressor Pro


24/91


(5p) a) Determinai mulimea primiti%elor funciei 1f .

(5p) ") Calculai aria suprafeei cuprinse 'ntre graficul funciei 1f , axa Ox i dreptele de ecuaii 0x i1x .

(5p) c) Calculai 2 2

1

16xf x

e dxx

.


SUB 0 de puncte)

(5p) ometric 1n na cu ra*ia po$iti% se cunosc 3 18a i 5 162a . Calculaisuma primilo i progresiei.

(5p) . Deter ul real mpentru care ecuaia 2 1 0mx m x m are soluii reale egale.

(5p) +. #e$ol%ai 'n mu lor reale ecuaia 2 23 2 1 2log logx x .

(5p) 4. Se consider to aturale de c,te trei cifre scrise cu elementele din mulimea 1,2 .S se calcule$e pro"a" d un astfel de numr! acesta s fie di%i$i"il cu 4.

(5p) 5. S se gseasc ecuaia m gmentului determinat de punctele 2, 4A i 1,5B

(5p) 6. S se calcule$e aria triunghiu ind c 6, 7, 11AB BC AC .


1. Se consider matricele 21 0

0 1I

, A 2X a I aA , unde a .

(5p) a) Calculai2 2A A .

(5p) ") Demonstrai c 4 ,X a X b X a b ab (5p) c) rtai c X a este matrice in%ersa"il! a .

. Se consider polinomul 3 22 15 1f X m X X m

(5p) a) Pentru 3m determinai c,tul i restul 'mpririi polinomul(5p) ") Determinai mpentru care polinomul este divizibil cu 4X .(5p) c) Pentru 1m calculai 3 3 31 2 3x x x , unde 1 2 3, ,x x x sunt rdcinile pSUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

-. Se consider funcia : , 2 ln 2xf f x x .

(5p) a) S se calcule$e ,f x x, .

(5p) ") S se calcule$e

1

1lim

1x

f x f

x

.

(5p) c) S se re$ol%e ecuaia 0f x,

. Se consider irul1

0

1 ,nnI x xdx n .

24

DF Compressor Pro


25/91


(5p) a) S se calcule$e 0I i 1I .

(5p) ") S se arate c 12

, 12 3n n

nI I n

n

.

(5p) c) S se studie$e monotonia irului 0n nI .


SUBIECTU uncte)

(5p) -. S se3

3este numr natural.

(5p) . S se determine s eiste inter%alul

2

1 3 4,2 4

x xI ! "# $

.

(5p) +. /ie funcia

2 , 0: ,

, 0

b xf f

b x

%

.S se determine ,a b tiind c 1,1A

i1 1

,3 2

B

sunt pe graficul funciei.

(5p) 4. Dup o reducere a preului cu 18% u t 01 lei. S se calcule$e preul iniial alprodusului.(5p) 5. Se consider %ectorii AB u

i AC v

. S o form mai simpl epresia

2 2 3BC BA u v

.(5p) 6. n triunghiul ABC, 090m A , 030m C i AB se calcule$e lungimea 'nlimii

,AD D BC .


1.n reperul cartezian xOy se consider punctele 2, 1 ,nA n n n .

(5p) a) Determinai ecuaia dreptei 1 2AA .

(5p) b) S se determine n astfel nct punctele 1 2, , nA A A s fie coliniare.

(5p) c) S se calcule$e aria triunghiului 1 2 3, ,A A A .

2. 2e mulimea numerelor reale seconsider legea de compo$iie 1

32

x y xy x y.

(5p) a) S se demonstre$e c 1

1 1 1, ,2

x y x y x y. .

(5p) b) S se re$ol%e 'n ecuaia 35 3 1x x. .(5p) c) S se calcule$e ,x x x x x x. . . . .


25

DF Compressor Pro


26/91


1. Se consider funcia :f \ 2 4 4

3 ,3

x xf x

x

.

(5p) a) S se scrie ecuaia asimptotei oblice spre a graficului funciei f .

(5p) b) S se determine punctele de extrem pentru funcia f .

se calculeze

lim

x

x

f x

x

.

cia 26

: ,9

f f xx

.

(5p) 1

, 0,f xx

.

(5p) b) S se f x dx .

(5p) c) S se arate c1

3a tg .

Varianta 22Prof: Ciocnaru Viorica


(5p) 1. ntr-o progresie aritmetic se cunosc Calculai a11.(5p) 2. Calculai log 33 + 3 log 32 - 2 log 34.(5p) 3. Se considerfunciaf: RR, f(x)=x2- 5x+ coordonatele punctelor deintersecie ale graficului funcieifcu axa Ox.(5p) 4. Calculai 2 25C

25A + 3P .

(5p) 5. Se considervectorii

v 2

i 3

j i

u 3

i 2 j . D ai vectorul 2

v - 3

u .

(5p) 6. Triunghiul ABC are AB = 8 AC = !" i m() = 300# Calculai aria t .


1. Se consider sistemul de ecuaii

19

13

1

2

zyxa

zyax

zyx

.

(5p) a) Determinai aR pentru care matricea sistemului este inversabil.(5p) b) Transpunei matricea sistemului i calculai determinantul acesteia pentru a = 2.(5p) c) Rezolvai sistemul pentru a = 4.2. Se consider polinomulf= X4 8X2$ !% cu rdcinilex1,x2,x3,x4reale.(5p) a) &ac S =x1+x2 +x3+x4 i ' =x1x2x3x4 calculaif(S)+ P.(5p) b) Artai c polinomulf este divizibil cu g = X 2.(5p) c) Calculaix1

4+x24

+x34+x4

4.

26

DF Compressor Pro


27/91



1. Se considerfunciaf: RR, f(x)=3

22 x

x .

(5p) a) Calculaif (x),f (0),xR.(5p) b) Determinai punctele de extrem ale funcieif.(5p) c) Calculai ))((lim xxf

x

.

d f ciaf , f: RR, f(x)=xx

xx

ln)3(

232

1

1

%

x

x

(5p) iaf admite primitive peR.

(5p) b) S se dxxf )( .

(5p) c) S se calculeze

Varianta 23Prof: Ciocnaru Viorica


(5p) 1. ntr-o progresie aritmetic se cunosc -(# Calculai S25.

(5p) 2. Determinai numrul real m pentru ca 2 m 1x 2m 0 are soluii reale egale.(5p) 3. Se considerfunciaf: RR, f(x)= 3 -1 i coordonatele punctelor de intersecie

ale graficului funcieifcu axele Oxi Oy.

(5p) 4. )ezol*ai ecuaia 2nC = 3P .


v (a+ 2)

i (a 3)

j i

u

cu aR. Determinai a

astfel nct vectorii

v i

u sfie coliniari.

(5p) 6. Calculai sin750folosind sin (a+ b).


1. n reperul cartezianxOy se consider puncteleA(3, a),B(a, 2+ i C(- 3, -2) unde aR(5p) a). Pentru a= 1s se determine ecuaia drepteiBC.(5p) b) Pentru a= -2s se calculeze aria triunghiuluiABC.(5p) c) &eterminai apozitiv astfel nct puncteleA, B, Cs fie coliniare#

2. Se consider inelul ,Z5, +, ) unde Z5 = { 0 , 1 , 2 , 3, 4 }.(5p) a) )ezol*ai ecuaia 2x+ 3= 1 n Z5.

(5p) b) Calculai determinantul

213

132

321

n Z5.

27

DF Compressor Pro


28/91


(5p) c) )ezol*ain Z5 sistemul 2x+y= 1

x+ 4y= 3

UL al III-lea (30 de puncte)

ciilef: (0, )R, f(x)= ln x+2

2x

i g: RR, g(x)= x2 3x.

(5p) (x) g(x)) pentrux(0, ).(5p) alele de conca*itate i con*exitate pentru funciaf.

(5p) c) Calcu)

).

2. Se conside R, f(x)= x2+x +x

2i g:[1, 2] Rg(x) =f(x)x.

(5p) a) &eterminai mu elor funcieif.

(5p) b) Calculai f((3

1

(5p) c) Calculai *olumul corpu n rotaia -n .urul axei Oxa graficului funciei g.

Prof: Ciocnaru Viorica


(5p) 1. ntr-o progresie geometric cu termeni poziti*i b1- b4= / i b 4. Determinai b12.

(5p) 2. )ezol*ai ecuaia 12

5

x

x

= 125.(5p) 3. )ezol*ai ecuaia log 3x+ log 3(2x - 1) = 2 log 3(x+ 1).(5p) 4. Se considerfunciaf: RR, f(x)=x2- 3x+ 4. Determinai coordo fului paraboleiassociate funciei i intersecia parabolei cu axa Oy.


v (5a+ 1)

i (2b 3)

j i

u 3,5

i 2,4 j

Determinai ai bastfel nct vectorii

v i

u sfie egali.(5p) 6. Triunghiul ABC are AB = 8 AC = !" i m() = 600# Calculai lungimea laturii BC#


28

DF Compressor Pro


29/91


1. Se consider matriceleA =

1 3 2

2 1 0

3 2 1

B =

0 2 3

4 1 0

3 0 2

(5p) a) Calculai det (A B) i Tr (A -B).(5p) b) Verificai dac A este inversabil i calculai inversa ei.

culai A B.dac A este inversabil i calculai inversa ei.

merelor reale se definete legea 1233 yxxyyx .(5p) ac legea de compoziie este asociativ.(5p) i x 5 = 1.(5p) a 2 2

nC > 1 unde nN,n2.

SUBIECTUL al III l e)

1. Se considerfuncia =,

4

3,4

3

xx

x

00

x

x

(5p) a) Verificai dac funciaf n punctulx0= 0.(5p) b) Calculaif (2).(5p) c) Cercetaiexistena asimptotelor lice ale funcieif.

2. Se considerfunciilef: RR, fn(x) =x

neste numr natural.

(5p) a) Calculai dxxf2

1

0 )( .

(5p) b) Dac n= dxxfn1

0

)( , calculai I2010+ I2012.

(5p) c) Calculaiaria suprafeei plane mrginite de graficul fun xi dreptele de ecuaii

x= 0ix=1.

29

DF Compressor Pro


30/91


Varianta 25Prof: Dobre Andrei Octavian


!"p# $.Soluia ecuaiei !%&$#&!%&'#&!%&(#&...&!%&)*#+$""

e determine mul,imea tuturor parametrilor reali m pentru care2

( 1) 1 0m x mx m fi x

en multimea numerelor reale ecua,ia ln( 1) ln( 1) 1x xe e ( p) evi ai unei clase au fcut sc-imb reciproc de fotografii. Afla,i numarul de fotografiide ca e

(5p) !'/0#/ 1!2/*# . Dacpunctul M este mijlocul segmentului [AB], afla,i ariatriung

(5p) 6.Calcula riung-iului 3456tiind c 34+) cm/ 35+7cm 6i 0( ) 120m NMP


1. Fie5 2

10 4A

0

2{ ( ) / , ( ) }M X a a X a I a A

(5p) 1. Calcula,i 2A A .!"p# ). S se arate c ( ) ( ) ).X a X b X b !"p# 7. S se calculeze (0) (1) (2X X X 2. Definim pe legea de compozitie * p og (2012 2012 ) ( , )x y x y

!"p# a# Arta,i ca legea * este asociativa, da u ad t neutru.(5p) b) Demonstra,i c 2012 ( ) (2012 ) (y z y e ar fi ,y z

(5p)c ) Rezolva,i n ecua,ia 2012log 6036x x x x


$. Se consider func,ia2: ( , 1] [0, ) , ( )f f x x x /

(5p) a) Calcula,i '( )f x !"p# b# S se determine intervalele de monotonie ale func,iei f(5p) b) Sse determine ecua,iile asimptotelor ctre 6i la graficul func,iei

2. Pentru fiecare n se consider

1

20

1( 1)n nI dx

x .

!"p# a# S se arate c 0 14

4I I

!"p# b# S se arate c 22

8I

!"p# c# S se demonstreze c 2nI I% , oricare ar fi , 3n n

30

DF Compressor Pro


31/91


Varianta 26Prof: Dogaru Ion

SUBIECTUL I ( 30 de puncte)

olvai n mulimea numerelor reale inecuaia2

7x 15x 2 0 e determine numrul submulimilor cu trei elemente ale mulimii A = { 1,2,3,,10}, caret l 5.

ine probabilitatea ca alegnd un numr ab din mulimea numerelor naturale de doucifre b5p 4 mea numerelor reale ecuaia lg(x 1) lg(6x 5) 2 .

5p 5. S se d astel nc!t distana dintre "unctele A#m,-$% &i '#-5,m) s ie 10.5p 6.S se c dulul vectorului u v

&tiind c u 11i 7 j,

v 5i 4 j

.


1. Pentru xR, se ele(1 1

1 1

1 1

xA x

x

&i1

B 1

1

.

5p a) S se determine xR pentru A = 2.5p b) Pentru x = - 2 determinai detA * este adjuncta matricei A.

5p c) Pentru x = - 1 s se re)olve ecua * 1,3 ( ) - .

2. Se consider "olinomulf = X3 9X2 are toate rdcinile x1, x2, x3,reale.5p a) S se determine c!tul &i restul m"ri l if la X2- 1.5p b)Artai c 3 3 3 2 21 2 3 1 2 3x x x 9(x x x ) 18 .

5p c) +e)olvai ecuaia

x

f (3 ) 0 .

SUBIECTUL al III-lea ( 30 de puncte)

1. Se consider unciaf: R R, 3 3 2( ) 3 4,f x x x x 5p a) S se determine asim"totele raicului unciei f.5p b) S se arate c 2 2( ) ( ) 2 ,f x f x x x x, R\{-2,1}5p c) S se determine derivatele laterale ale graficului uncieif n punctu 2. Se consider unciaf: R - R,f(x) = x3 3x + 2.5p a) S se determinevalorile de etrem local ale uncieif;

5p b) S se calcule)e3

2

( )

1

f xdx

x;

5p c) S se calcule)e

20

1

13

( )

xdx

f x

.

31

DF Compressor Pro


32/91




ulai 2012

20121 (1 )i i .olvai n mulimea numerelor reale ecuaia 11 4 2 x x

o progresie aritmetic. tiind c a6+ a16= 2012, calculai a3+ a19 .

5p 4 ecuaia #2 1)(x + 2) 0.5p 5 n de coordonatexOyse consider "unctele A#3,-2), B(-5,6). S se determineecua entului [AB].5p 6. /n mul , re)olvai ecuaia 2 2sin cos cosx x x .

SUBIECTUL II ( 30

1.Pentru mR se c ea =2 1

2 1 3 1

3 1

m

m

m m

&i "unctele A#m,2), B(2m-1,3),

C(m,m-3).5p a)eterminai mR pentrucar .5p b) eterminai mR pentrucare p nt necoliniare.5p c) Pentru m[1,5] determinai valoarea riei triuniului A'.

2. 4e mulimeaZse deine&te leea de com xy 6x 6y 6 .5p a) Artai cleea de com"o)iie este asociativ

5p b) eterminai elementele din Zsimetri)abile n a ;5p c) +e)olvai n Z ecuaia

de2012ori

x x ... x 1 .

SUBIECTUL III ( 30 de puncte)

1. Se consider unciaf: R-R,f(x)= (x + 1)ex.5p a)eterminaiintervalele de monotonie ale uncieif.5p b)eterminaiintervalele de concavitate &i de conveitate ale uncieif5p c)eterminai ecuaia asim"totei ori)ontale ctre la graficul uncieif.

2. Se consider uncia ([1, ) R,dat "rin #% = 62

x .5p a)eterminai o "rimitiv 7 a unciei care are "ro"rietatea 7#1% = 201285p b)S se calcule)e volumul cor"ului de rotaie determinat de subraicul lui &i drea"ta = 285p c)alculai asim"tota oblic ctre a graficului unciei .

32

DF Compressor Pro


33/91




ulai 2012 20121 (1 )i i .

mulimea numerelorreale ecuaia x x 19 10 3 1 0 .p o progresie aritmetic. tiind c a6+ a16= 2012, calculai a3+ a19 .

5p 4 orile naturale ale numrului nastfel nct 1 2n 1 n 1C C 36 .5p 5 n de coordonatexOyse consider punctele A(3,-2), B(-5,4). S se determineecuaia medi entului [AB].5p 6. n mul uaia 2 2sin cos cosx x x .

SUBIECTUL II ( 30

1.Pentru fiecare t ( r matricea H(t) =1 ln t 00 1 0

0 0 t

.

5p a)S se calculeze,n raport cu t matricei ad!uncte H*(t);5p b) Artai c H(x) H(y) = H(xy); 5p c) "alculaideterminantul matricei H(1) +.+H(10).

2. Se consideroperaia x y xy 2(x #i mulimea $ = ( %, ) .

5p a) Artai c $ este parte sta&il 'a de iie .5p b) S se determine elementele simetriza&ile ale m raport cu leea de compoziie ;

5p c) tiind c leea de compoziie este asociativ, s 1 2 82 3 9

SUBIECTUL III ( 30 de puncte)

1. Se consider 'unciaf: RR, f(x) = x2012+ 2012(x 1) 1.5p a) S se calculeze f (1) f (0), ;5p b)S se determine ecuaia tanentei la ra'icul 'unciei ', n punctul de a&scis *0=

5p c)Artai c 'unciafeste convexpe R.2. Se consider'unciaf: RR, f(x) = (x + 1)3 3x2 1 .

5p a) S se calculeze1

0f(x)dx;

5p b)S se calculeze1 5

1f (x)dx

;

5p c)S se calculeze

x

0

4x

f (t 1)dtlim

x

;

33

DF Compressor Pro


34/91


Varianta 29Prof: Gaga Loghin.


(5p) 1. Calcula+i suma 1 5 9 61

func+ia :f care eri'ic- rela+ia 22 3 2 3 5f x x x . - se calculeze 4f tru 3x , rezolva+i ecua+ia 2 2log 2 log 8 4x x .

mea 1,2,3, ,10M . Cte submul+imi care l con+in pe / are mul+imea 01

(5p) - t rii 1 2 3v m i j 2i 2 4 1v i m j . - se determine m astfelnct ndiculari(5p) 6. Latur ghi ABC sunt 4, 8, 6AB BC AC . - se determine m-sura sinusuluiunghiului B.SUBIECTUL al II-le e)

1. e consider- matric 2M

(4p) a) - se calculeze nM , n(4p) &) - se rezole ecua+ia 7 det 729 (4p) c) - se calculeze 2S M M

%. e consider- polinomul 32 ; ,f X X m n m n , cu r-d-cinile 1 2 3, ,x x x

(4p) a) - se determine parametri m,n 2tiind mite r-d-cinile 1 21, 2x x

(4p) &) - se determine m , 2tiind c- 2 21 2x x

(5p) c) Pentru 5, 4m n , s- se rezole n ecua+ia 2 1 25 2 0x n


1. Fie func+ia

2

2: \ 1 ,

1

xxef f x

x

(5p) a) - se calculeze f x,

(5p) b) - se calculeze

limx

f x

f x ,

(5p) c) - se determine ecua+ia tanentei la ra'icul 'unc+iei n 0 2x .2. Fie func+ia : 2, , ln 2 2f f x x x

(4p) a) - se calculeze 1

2

1

ln 2x f x x dx

(4p) &) - se studieze concaitatea 'unc+iei '

(4p) c) - se calculeze aria supra'e+ei cuprinse ntre ra'icul 'unc+iei : 1, , 2g e g x f x x ,axa Ox 2i dreptele de ecua+ii 1x 2i x e

34

DF Compressor Pro


35/91


Varianta 30Prof: Gaga Loghin.


a+i partea imainar- a num-rului 3

1 3z i

id - ecua+ia 2 2 3 0x m x m . - se determine m , astfel ca 2 21 2 16x x .7 20052012 2012C

(5p) babilitatea ca, alegnd un element din mulimeaA 1,2,3,...,2013, acesta s- fiemulti

(5p) 5. Se con e 3,A m #i , 3B m . S- se determine m astfel nct 6 2AB .(5p) 6. n triu 3, AC=4, BC=5. Determina+i lungimea medianei corespunz-toarelaturii BC a triunghiulSUBIECTUL al II-le e)

1. e consider- matricea A x

(5p) a)- se determine x dac-(5p) b) - se calculeze 2 22 10A x A (5p) c) Pentru 1x , s- se calculeze nA , n2. Fie, n inelul 5 X , polinoamele 2f X X 2i 4g X X (5p) a) - se determine 5a ast'el nct ' s- 'ie di

(5p) b) Pentru 1a , s- se descompun- n 'actori primi po(5p) c) Pentru 1a , s- se calculeze suma 0 1f f


/. e consider- 'unc+ia 2

2

1 ln: 0, ,

1 ln

xf f x

x

(4p) a) - se calculeze 1

limx

f x

(4p) &) - se determine deriata 5 a 'unc+iei '(5p) c) Determina+i asimptotele 'unc+iei '(*)

2. "onsider-m interalele1

20

1,

1

n

n

xI dx n

x

(5p) a) - se calculeze 1I

(5p) b) - se arate c- 1 3I I

(5p) c) - se calculeze 1n nI I

35

DF Compressor Pro


36/91


Varianta 31Prof: Ionescu Maria.


(4p) /. - se calculeze6 2 2 2log 6 log 10 log 15 .

se rezole n mulimea numerelorntregi inecuaia6 29 16 0x .se determine al #aptelea termen al unei proresii aritmetice #tiind c- primul termen este 7, iar

ermeni este 17.mine cte numere de 3 ci're distincte se pot 'orma 'olosind ci're din mulimea

{3,4,(5p) nXOYse consider- puncteleA(2,3),B(-/,%) #i C(3,-4). "alculai lunimeamedi uluiABC.

(5p) 6. - se a triun8iuluiABCn careAB=6,AC=8#i 0120m BAC .


1. e consider- sistem2

2 1

2 3

x y zy z

z

(5p) a) - se determine m R ast e ) s- 'ie o soluie a sistemului de ecuaii de mai sus.

(5p) b) 9ezolai ecuaia61 1 1

2 1 1

3 2m

R .

(5p) c) - se rezole sistemul de ecuaii pen

2. Fie polinoamele ^ ^ ^ ^ ^ ^

5 452 4 3 1, 2 3, ,f X X X g f g Z X .

(5p) a) "alculai^ ^

1 0f g

.

(5p) b) - se rezole n 5Z ecuaia ^

0f x

(5p) c) - se determine ctul #i restul mp-ririi polinomuluif la poSUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. :ie 'uncia 2012: , 2012 2012 2012xf R R f x x x .

(5p) a) "alculai ' ,f x x R .

(5p) b) - se scrie ecuaia tanentei la ra'icul 'unciei f n punctul cu a&scisa nul-.(5p) c) - se demonstreze c- f este cone*- peR.

2. :ie 'uncia 1

: 0, , 20122012

f R f x xx

.

(4p) a) - se determine mulimea primitielor 'uncieif.(5p) b) - se calculezeolumul corpului o&inut prin rotaia, n !urul a*ei OX, a ra'icului 'unciei

1

: 1, 2 ,2012

g R g x f xx

.

36

DF Compressor Pro


37/91


(5p) c) Calculai 2

2

1

f x dx .Varianta 32

Prof: : Ionescu Maria

UL I (30 de puncte)

mine elementele mulimii .

(4p) ulimea numerelor reale ecuaia6 5 2 7x x .

(4p) ia 2: , 7 12f R R f x x x . - se calculeze 1 2 ... 10f f f .

(5p) 4. S- se ia 25 6 5 5 0x x .(5p) 5. - se 8iului A, al triun8iuluiABC, #tiind c-AB=5,AC=7#iBC=8.(5p) 6. - se determine i ce trece prin punctele 0(%,3) #i ;(-3,-2).


1. Fie matricele 2 1 1

3 1 2

A

1 0 0

1 0

0 1

.

(5p) a) - se calculeze 2A .

(5p) b) "alculai 3det I A .(5p) c) - se determine inersa matricei A.

2.


38/91


(5p) c) Utiliznd, eventual, inegalitatea *1 1 1

, 0,1 ,3 2 2

x n Nx

s- se demonstreze c-

2011

1 12012

3 2I .

Varianta 33Prof: Ionescu Maria.

UL I (30 de puncte)

mine coordonatele r'ului para&olei asociate 'unciei2: 8 12f R x x .

(5p) R astfel nct soluiile ecuaiei 2 1 2 0x m x m s- eri'ice relaia

2 21 23 x x (5p) 3. - se dup- un an de zile , dac- s-au depus 7@@ de lei la o &anc- cu o rat-a dobnzii de 5,5% pe

(4p) . - se calculeze(5p) 5. - se determine dreptele 1 : 2 3 7 0d mx y #i 2 : 3 8 2 0d x y s- 'ieperpendiculare.

(5p) 6. - se calculeze 5co s6

.


1. n reperul cartezianXOYse consider- pun *5,2 3 ,n n n n N .

(5p) a) - se determine ecuaia dreptei 1 3A A .

(5p) b) - se calculezearia triunghiului 1 2OA A .

(5p) c) - se arate c- punctele *5,2 3 ,nA n n n N sunt .

2. e consider- polinomul 3 23 13 15f X X X care are r- 2 3,x R .

(5p) a) "alculai 2 2 21 2 3x x x .

(5p) b) Ar-tai c- r-d-cinile polinomului fsunt termeni consecutivi ai unei ritmetice.(5p) c) - se rezole n mulimea numerelor reale ecuaia 25 3 5 13x x SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. e consider- 'uncia

2

2

4

: , 4

x

f R R f x x

.(5p) a) "alculai ' ,f x x R .(5p) b) - se determine ecuaia asimptotei orizontale catre la ra'icul 'uncieif .

(5p) c) - se determine ' '

0

0limx

f x f

x

.

%. e consider- 'uncia 2 1, 0

: ,, 0x

x x xf R R f x

e x x

.

(4p) a) - se arate c- 'unciaf admite primitive peR.

38

DF Compressor Pro


39/91


(5p) b) - se calculeze 1

2

f x dx

(5p) c) "alculai 1

lne

f x dx

Varianta 34 Prof:Isofache Ctlina Anca

0 de puncte)

(5p) 2 12108642 22222 .(5p) 2. Deter ele de intersecie dintre reprezentarea grafic- a funciei f: RR , f(x)=x 2

+6x-7 #i axe nate(5p) 3. Rezol ia lg(x+7)-lg(x-2)=1(5p) 4. Determinai pr alegnd un element din mulimea A={2 ;4 ;6 ;... ;2012}acesta s-

fie divizibil cu 6,dar s- l cu 4.(5p) 5. Triunghiul AB B=10 ;AC=24 #i BC=26.Calculai cosB(5p) 6. Calculai sin1 0 n4 0 .+sin360 0 .

SUBIECTUL al II-lea (30 de punc

1. In mulimea )(2 RM se consider-ma

0

10#i

00

002O .

(5p) a) Calculai A 2 #i detA.

(5p) b) Ar-tai c-,dac-X )(2 RM #i XA=AX,atun R astfelnct X=

a

ba

0.

(5p) c) Demonstrai c-ecuaia Y 2 =A nu are soluien )(2M2. Pe mulimea numerelor reale se consider-legea de compozitie - prin: x y=2xy+2x+2y+1, x;yR.(5p) a) Ar-tai c-x y=2(x+1)(y+1)-1, x;yR.(5p) b) Demonstrai c-(x y) z =x (y z), x;y ;zR.(5p) c) Verificai dac-(-2012) (-2011) 0 1 2012


40/91


(5p) a) CalculaiI0 #iI1 .

(5p) b) Demonstrai c-4I 1n +3In =1

1

n, nN*.

(5p) c) Calculain

lim nIn .

Varianta 35

Prof: IVNESCU-GLIGA LILIANA.

0 de puncte)

(5p) alorile reale ale lui * pentru care 3x x .

(5p) , f x = x2+ x 6. Sse calculeze suma cu&urilor soluiilor ecuaiei f x= 0.

(5p) 3. Sse calculeze5 46 64 35 5

A

A

.

(5p) 4. "are este pro&a nd un element din mulimea 5 acesta sa 'ie soluie a ecuaiei *2

= 2?

(5p) 5. Fie punctele A(-5, 0), B( mi!locul sementului AB n reperul (, i, j

). S se

determine coordonatele vectori B

, OM

.

(5p) 6. S se determine aria triun8iului /% #i 30m B m C .


1. Fie matricea A =2 1

3 m

, m .

(5p) a) S se calculeze suma = 12 21 11 22a a a a .(5p) b) S se seasc aloarea parametrului real m ast'el nct A*(5p) c) Pentru m = 1 s se calculeze A 1.

2. Fie polinomul f = X4 6X2+ 8, f [X].(5p) a) S se arate c polinomul f este divizibil cu X + 2.(5p) b) S se descompun fn polinoame ireductibile n [X].(5p) c) S se determine rdcinile reale ale polinomului f .


1. :ie 'uncia :f , x

f x x e .(5p) a) S se determine numrul real f, (0).(5p) b) S se determine lim

xf x

.

(5p) c) S se determine numrul punctelor de in'le*iune ale 'unciei f .

2. :ie 'uncia :f , 22x xf x x e .(5p) a) S se determine o primiti :1a functiei f care verific relaia :1(0) = 1.

40

DF Compressor Pro


41/91


(5p) b) S se calculeze 1

0

f x dx .

(5p) c) S se determine aria supra'eei plane cuprinse ntre ra'icul 'unciei 6 , g(x) = = f (x) (2x+ ex), a*a * #i dreptele de ecuaii * = / #i * = %.

Varianta 36Prof: IVNESCU-GLIGA LILIANA.

SUB uncte)

(5p) 1. Se d tmetic 1n na cu a1 = / #i r = 3. ;umrul %@/% aparine proresiei1

(5p) 2. S se 1 .(5p) 3. S se rezole e ... 64nnC , , 1n n .

(5p) 4. Care este proba nem un element iraional alend un element din mulimea 0 = 2, 3, 5, 6,

(5p) 5. S se scrie ecuaia cartez a dreptei ce trece prin punctul A(/, /) #i are direciavectorului director u

(1, 1).

(5p) 6. :ie punctele A(, @), B(@, 3) #i se calculeze aria patrulaterului O AO,B, unde O,este simetricul lui 'a de AB.


1. Se consider matricea A =3 0

1 1

.

(5p) a) S se calculeze det (tA).(5p) b) S se seasc elementul &22al matricei B = 2A

tA(5p) c) S se calculeze , suma elementelor de pe diagonala pri ricei A3.

2. Fie polinomul f = (X3+ X2 1)5= 0a + 1a X + ... + 15a X , f X]

(5p) a) S se determine coe'icientul 0a .

(5p) b) S se calculeze 0a + 1a + ... + 15a .

(5p) c) S se arate c polinomul f nu e divizibil cu X2 1.


1. :ie 'uncia :f , 22 1xf x

x

.

(5p) a) S se determine numrul f (1) + f, (1).(5p) b) S se determine ecuaia asimptotei orizontale la ra'icul 'unciei f .(5p) c) S se determine numrul punctelor de e*trem ale 'unciei f .

2. :ie 'uncia :f ,

, ,0

1 , 0,

xe x

f xx x

#.

(5p) a) S se arate c 'uncia f admite primitive pe .

41

DF Compressor Pro


42/91


43/91


(5p) c) S se determine rdcinile reale ale ecuaiei 30f x f x f x, ,, .

2. :ie 'uncia : 0,f , 2 lnf x x x .

(5p) a) S se calculeze

2

f xdx

x , x > 0.

se arate c 31

0e

f x dxx

.

ce c 24

2

5

ln

f xdx

x = 26(25 1).

Varianta 38Prof: LEFTERIU IOANA.

SUBIECTUL I (30 d

(5p) 1. Eeri'icai daca num-rul 2

( 2 3 este natural.

(5p) 2. "alculai &-a, #tiind c- numer sunt termenii consecutii ai unei proresii aritmetice.

(5p) 3. 9ezolai ecuaia6 2 13 1

22xx

(5p) 4. "alculai pro&a&ilitatea ca num-rul l 1,3,5,7,9 .

(5p) 5. Fie punctele 1,1 , 3, 2 , 5,A B C ne ecuaia dreptei A0,unde 0 estemijlocul segmentului BC.(5p) 6. tiind c- 0 0sin 70 cos70 ,x s- se calculeze 0sin 10 x


1.Se considera matricele: 3

2 1 1 0 0

3 , 2 , 0 1 0 .

4 3 0 0 1

A B I

Definim matr i

3( ) ,D x xC I x ,undetB este transpusa matricei B.

(5p) a) - se arate c-2 4 63 6 9 .

4 8 12

C

(5p) b) - se calculeze determinantul matricei C.

(5p) c) - se arate c- matricea D x este inersa&il-, 1 .8

x (

)

2.


44/91


(5p) a) - se demonstreze c-6 7 7 7, ,x y x y x y

(5p) b) tiind c- >? este asociati-,s- se rezole n ecuaia6x x x x .(5p) c) - se determine a ,care are proprietatea: ,x a a x a x #i apoi s- se calculeze

10 9 9 10.E


cia2

2: , ( )

4

x af f x

x

, a .

(5p) ecuaia asimptotei la a ra'icului 'unciei '.(5p) ai

0

( ) (0)limx

f x f

x

.

(5p) c)


45/91


(5p) a) S se determine numerele ntregi a,b,c,x,z,y,u,v,w, astfel nct 3 33 0 .A I

(5p) b) S se calculeze determinantul matricei tB A A ,unde tA este transpusa matricei A.(5p) c) Pentru a = y =w = 0 i b = c = x = z = u = v =1,s se calculeze 2 .A 2. Se consider olinomul! 4 3 2 1 2 3 45 4, , , , ,f x ax bx x a R x x x x , fiind rdcinile eua"iei f#x$=0

(5p) a) Pentru a = 3,b = -1,s se determine c%tul i restul mr"irii olinomului f la g = x-2.

se determine a,b R ,astfel nct 1 21, 1x x s fie radacini ale olinomului f&tru a = 3,b= -1,calcula"i! 1 2 3 41 1 1 1P x x x x .

SUB I-lea (30 de puncte)

1. Fie2 6

( )1

x xx

x

.

(5p) a) S se mitele laterale n 0 1x i s se rec'zeze daca f are limit n acest unct(5p) b) Sse c la a graficului func"iei f .(5p) c) Sse determin unc"iei f .

2. Se consider func"ia 2) 25xx e x .


xd

e(5p) b) S se calculeze volumul cor rin rota"ia n (urul axei )x a graficului func"iei

( )

: 0,1 , ( )x

f xg g x

e

(5p) c) *erifica"i dac1

2

0

25 ( ) 2x f x dx

Varianta 40P f:LEFTERIU IOANA.


(5p) 1. S se rezolve n sistemul:4

,32

x yx y

x y

(5p) 2. +ie mul"imea! 3,8,13,18, ,98A &fla"i numrul elementelor mul"imii &

(5p) 3. S se calculeze! 2 3 2 3

5 5log log

(5p) 4. -ezolva"i ecu"ia 3 6nA n ,unde , 3.n N n

(5p) 5. Se consider rombul ./,iar ) este unctul de intersec"ie al diagonalelor sale&S se calculeze!

OA OB OC OD

.(5p) 6. S se calculeze!S= 2 2sin 60 cos 120 .


45

DF Compressor Pro


46/91


1.Se consider sistemul!

2 1

2 5 ,

1 3 1

x my z

S x y z m R

m x y z

&otm cu ,matricea sistemului#S$

(5p) a) S se determine m R ,astfel nct det(A) = 1.(5 ) b) S se determine m R ,entru ca sistemul s admit solu"ie unic&

tru m = 1,s se rezolve sistemul #S$&

inomul!3 2 15 2f x mx x m ,cu 1 2 3, , ,x x x rdcinile olinomului f&

(5p) mine m R ,astfel nct polinomul f sa fie divizibil prin g = x-2.(5p) R , astfel nct 3 0f .(5p) c) Pentr la"i! 2 2 21 2 3S x x x .

SUBIECTU a e)

1. Se d func"ia3 25 7 1 , 0:

2 2 , 0x xx x a xf

e x e x

.

(5p) a) S se determine a , nc"ia este continua n 0 0x .(5p) b) Pentru a = -2,s se scrie ecua i n unctul de abscis 0 2x ,situat e graficul func"ieif.

(5p) c) S se determine monotonia func"iei f 0, .

2. se consider func"iile 2 2: 0,1 , 2 3 4,m mf f x m m x unde m

(5p) a) S se calculeze 1( )f x dx .(5p) b) S se calculeze

1

0

0

xe f x dx .

(5p) c) S se determine m ,astfel nct 1

0

35

6mf x dx .

46

DF Compressor Pro


47/91


Varianta 41Prof: LICA ROXANA

SUB uncte)

(5p) . Sa se tea intreaga a numarului1

5 2.

(5p) 2. Daca a 1 5 8a a , sa se calculeze 3a .

(5p) 3. Sa se determine i ale inecuatiei 2 2 0x x

(5p) 4. Sa se determine ca solutiile 1 2,x x ale ecuatiei2

(2 1) 3 0x m x m verificarelatia 1 2 1 2x x x x

(5p) 5. Sa se rezolve in multime naturale ecuatia 2 13 3n nC C .

(5p) 6. Sa se determine raza cercului s unui triunghi cu laturile de lungime7, 5 si 2 6 .


1. Se considera sistemul

2 0

2 4

3 1

x y z

x y z

x y z

2 1 1

1 1

1 1

m

cu m .

(5p) a) Sa se calculeze determinantul matricei A pentru m(5p) b) Sa se determine valorile lui m pentru care determina i A este nul.(5p) c) Sa se rezolve sistemul.

2. Pe multimea numerelor reale se considera legea de c p 23 3 9

x yy xy .

(5p) a) Sa se arate ca legea se poate scrie 1 1 13 3 3

x y x y

, ,x

(5p) b) Sa se determine aastfel incat a x a , pentru x .(5p) c) Sa se calculeze 2012 2011 2010 1...

3 3 3 3

.


1. Se considera functia : 0,f , ( ) lnf x x x x .(5p) a) Sa se calculeze (1)f, .

(5p) b) Sa se scrie ecuatia tangentei la graficul luif in punctul de abscisa 0x e .(5p) c) Determina punctele de extrem local ale functiei f .

2. Se considera1

0cosn

nI x xdx , n .(5p) a) Sa se calculeze 0I .

47

DF Compressor Pro


48/91


(5p) b) Sa se calculeze 1I .

(5p) c) Sa se demonstreze ca 20121

2013I .

Varianta 42Prof: LICA ROXANA

SUB uncte)

(5p) 1. Sa se tea fractionara a numarului lg100 10 .

(5p) 2. Se considera fu , 1f x x . Sa se calculeze

1 2 3 .f f f

(5p) 3. Daca 1x si 2x s uatiei2 7 6 0x x , atunci sa se determine 3 31 2E x x .

(5p) 4. Sa se rezolve ecuatia log , x .

(5p) 5. Sa se calculeze sin151 .(5p) 6. Sa se calculeze aria triunghiului ABC cu AB=AC=18 si 30m B 1 .


1. Se considera matricele 3

1 0

0 1 0

0 0 1

I

,

0

0

A

i 3,M a b aI bA , unde ,a b .

(5p) a) Sa se calculeze 2

1,1M .

(5p) b) Sa se determine inversa matricei 2,3M .

(5p) c) Sa se determine asi b reale astfel incat matricea ,M a b s

2. Se considera polinomul 3 2 1f X X X , f X .

(5p) a) Sa se calculeze 1f .

(5p) b) Sa se descompuna f in produs de factori ireductibili peste X .

(5p) c) Sa se calculeze4 4 41 2 3x x x , unde 1 2 3, ,x x x sunt radacinile luif.


1. Se considera functia :f ,2

2( )

2012

xf x

x

.

(5p) a) Sa se determine asimptotele functiei f .

(5p) b) Sa se calculeze f x, , x .(5p) c) Sa se scrie ecuatia tangentei la grafic in punctul de abscisa 1.

48

DF Compressor Pro


49/91


2. Se considera :nf , 1n

nf x x .

(5p) a) Sa se calculeze 1

20.f x dx

(5p) b) Sa se determine aria suprafetei cuprinse intre graficul functiei 2012f , axa Ox si dreptele 0,x

1x .

se calculeze 1

0 nxf x dx .

Varianta 43Prof:Viorica Lungana

SUBIECTU uncte)

(5p) 1. Deter r pentru predicatulp(x): 2, 5 6 0x x x (5p) 2. S se gseasc al unei progresii aritmetice 1nna , dac 13110 a i

12r .(5p) 3. tiind c 2lg xprimai, n funcie deAiB, numrul 288lg .

(5p) 4. Rezolvai, n , ecuaia

(5p) 5. Fie punctele 4,3A , 1,0B i Aflai coordonatele vectorului 2AC AB

.

(5p) 6. Fie xxxf cossin . Artai c

f .


1. Se consider matricele YXBA ,,, M3( ), unde

1

2

1

,

121

212

121

B .

Fie sistemul

BYX

AYX

2

32.

(5p) a) Determinai soluiile YX, ale sistemului.(5p) b) Artai c BAYX .(5p) c) Artai c YXdet este un numr natural.2. Fie mulimea ,5G i legea 3055* yxxyyx .

(5p) a) Artai c legea este asociativ.(5p) b) Determinai elementul neutru al legii i elementele inversabile din G.(5p) c) Rezolvai ecuaia 6** xxx .


1. Fie :f D , x

xxf

1

1 , undeDeste domeniul maxim de definiie al funciei.

(5p) a) Calculai domeniul maxim de definiieD.(5p) b) Determinai punctele de extrem i de inflexiune ale funciei.

49

DF Compressor Pro


50/91


(5p) c) Aflai ecuaia tangentei la graficul funciei n punctul 3,2A

2. Se consider 1

02 1

dxx

xI

n

n , *n .

!p" a" S se calcule#e 1I .

se demonstre#e c 12 II .se demonstre#e c

1

12

n

II nn , *

n .

Varianta 44Prof: Viorica Lungana

SUBIECTU uncte)

(5p) 1. Artai c

2

3a oluiile ecuaiei 21212 aaaa .

(5p) 2. Rezolvai ecua 2

(5p) 3. Calculai suma rdcinilo 23

511

xx

.

(5p) 4. Calculai numrul elementelor m 1000!;* % yxCCNyM xyy

x.

(5p) 5. n reperul cartezianxOyse consider 2,3,3,3,2,3 CB . S se determineperimetrul triunghiuluiABC.

(5p) 6. Calculai valoarea expresiei x

xE4 csin

s

2tgx .


1. Fie matricea

211

22

21232

32

x

axxx

axxx

A M3( ).

(5p) a) Calculai determinantul matriceiA.(5p) b) Rezolvai ecuaia 0det A pentru 0a .(5p) c) Determinai valorile parametrului real apentru care ecuaia admite o rd calculai suma acestor valori.2. Pe mulimea a numerelor ntregi se definesc legile de compoziie

3* yxyx , 633 yxxyyx .

(5p) a) Cercetai dac inelul ,*, este inel comutativ i fr divi#ori ai lui #ero.

(5p) b) Determinai elementele inversabile ale inelului ,*, .

(5p) c) Este ,*, un corp? Justificai.


50

DF Compressor Pro


51/91


1. Fie funcia :f 2 , 372 xxxf .

(5p) a) Rezolvai ecuaia , 0f x .(5p) b) S se determine punctul n care tangenta la graficul funciei f este paralel cu dreapta

35 xy .(5p) c) S se scrie ecuaia tangentei n acest punct.

der irul 0nnI , dxx

xI

n

n

1

021

.

i 1I .

(5p) faptul c 0 1nx oricare ar fi [0,1]x , s se demonstre#e c 04n

I

(5p) c) Deter mul de recuren pentru 0, nIn .

Varianta 45

Prof: Viorica Lungana.

SUBIECTUL I (30 d

(5p) 1. Rezolvai ecuaia 32x , te partea ntreag a numrului reala.!p" 2. S se determine imaginea funci 22 xxxf .!p" $. Artai c l...5log4log3log 432

(5p) 4. Calculai 1!99...!33!22!11 (5p) 5. Fie vectorii ,a b

care verific relaiil i 4a b

. Calculai

2 2v a b a b

.(5p) 6. S se calcule#e 15sin75sin .


1. Se consider matrices

001

100

010

A

(5p) a) S se calcule#e 2A i 3A .

(5p) b) Calculain

A .(5p) c) Calculai suma elementelor matricei 2012A .2. Se definete legea ,0,,* ln yxxyx y .(5p) a) Cercetai dac legea este comutativ.(5p) b) Determinai elementul neutru i elementele simetri#abile din intervalul ,0 .

(5p) c) Calculai simetricele numerelor eie

1 n raport cu legea *.


51

DF Compressor Pro


52/91


1. Se consider funcia :f , 3 23 xxxf .

(5p) a) Rezolvai ecuaia 0, xf .(5p) b) Determinai mi nastfel nct dreapta nmxy s fie asimptot oblic spre .

culai 2

2

2

nmn

m

.

ciile , : 0,1f g , xxf ,

"$

!#

!#

1,4

1,12

4

1,0,

xx

xx

xg .

(5p) xgxf pe intervalul 1,0 .(5p) b) Calcu afeei plane cuprins ntre graficele funciilorf i g.

(5p) c) Calcu

0 2

dx .

Varianta 46Prof: Viorica Lungana


!p" %. S se determine mreal astfel nc&t n e 21,xx ale ecuaiei 0422 xmx s

existe relaia 02122

21 xxxx .

(5p) 2. S se arate cfuncia

: 5,f #

, xf ict cresctoare pe intervalul

5 , # .(5p) 3. 'ac mulimeaAare 10 elemente, mulimeaBare 7 ele limea BA are 3elemente, cte elemente are mulimea BA ?(5p) 4. S se re#olve ecuaia 153log 23 xx .(5p) 5. Determinai soluiile ecuaiei xx 3sin6sin din intervalul ,0 .(5p) 6. n reperul cartezian xOy se consider punctele 1,1A , 1,1B , ,C ule#e ariatriunghiului ABC.


1. Fie matricea

121

410

121

A M3( ).

(5p) a) S se calcule#e Af , dac 32 3 IXXXf .

(5p) b) S se calcule#e rangul matriceiA.(5p) c) Calculai determinantul asociat matricei Af .

52

DF Compressor Pro


53/91


2. Pe mulimea se definete legea astfel: 24224

yxxy

yx .

(5p) a) Studiai comutativitatea legii.(5p) b) Studiai asociativitatea legii.(5p) c) Rezolvai ecuaia 12** xxx .


1,1 , 235 xxxxf .(5p) a funciei.(5p) de extrem ale funciei.(5p) c) Calcu dintre cea mai mare i cea mai mic valoare a funciei date.

2. Se conside g1

0

1

1

nxdx

x

, pentru orice *n

Documents

Culegere Online - BAC Matematica 2012 - file_processed.pdf