Bacalaureat Matematic M2 2012 www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro B BA AR RE EM M C CU UL LE EG GE ER RE E O ON NL LI IN NE E B BA AC CA AL LA AU UR RE EA AT T L LA A M MA AT TE EM MA AT TI IC C 2 20 01 12 2 M Mo od de el le e d de e s su ub bi ie ec ct te e c cu u b ba ar re em me e r re ea al li iz za at te e d du up p m mo od de el lu ul lu ui i o of fi ic ci ia al l www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro T To oa at te e d dr re ep pt tu ur ri il le e p pr re ez ze en nt te ei i e ed di i i ii i a ap pa ar r i in n s si it te e- -u ul lu ui i w ww ww w. .m ma at te ei in nf fo o. .r ro o & & w ww ww w. .b ba ac cm ma at te em ma at ti ic c . .r ro o r re ep pr re ez ze en nt ta at te e p pr ri in n p pr ro of f. . A An nd dr re ei i O Oc ct ta av vi ia an n D Do ob br re e C Cu ul le eg ge er re ea a e es st te e o of fe er ri it t G GR RA AT TU UI IT T d do oa ar r p pe e s si it te e- -u ul l w ww ww w. .m ma at te ei in nf fo o. .r ro o i i w ww ww w. .b ba ac cm ma at te em ma at ti ic ca a. .r ro o i i n ni ic ci io o p pa ar rt te e a a a ac ce es st te ei i e ed di i i ii i n nu u p po oa at te e f fi i r re ep pr ro od du us s f fa ar r a ac co or rd du ul l s sc cr ri is s a al l w ww ww w. .m ma at te ei in nf fo o. .r ro o i i w ww ww w. .b ba ac cm ma at te em ma at ti ic ca a. .r ro o ( (A An nd dr re ei i O Oc ct ta av vi ia an n D Do ob br re e) ) D Da ac c o ob bs se er rv va a i i a ap pa ar ri i i ia a a ac ce es st te ei i c cu ul le eg ge er ri i s sa au u p p r r i i d di in n a ac ce ea as st ta a c cu ul le eg ge er re e p pe e a al lt t s si it te e ( (s sa au u c cu ul le eg ge er ri i) ) v v r ru ug g m m s s n ne e a an nu un n a at ti i p pe e d do ob br re e. .a an nd dr re ei i@ @y ya ah ho oo o. .c co om m s sa au u o of ff fi ic ce e@ @m ma at te ei in nf fo o. .r ro o p pe en nt tr ru u a a f fa ac ce e d de em me er rs su ur ri il le e l le eg ga al le e. . 1BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012 www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro BAREM DE EVALUARE I DE NOTARE Varianta 1 Prof: Andone Elena. + Pentru orice soluie corect, chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunztor. + Nu se acord fraciuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvri pariale, n limitele punctajului indicat n barem. + Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin mprirea punctajului obinut la 10. SUBI ECTUL I (30 de puncte) 1. 163=0,(015873) Stabilete a 2012-a zecimal ca fiind 1 3p 2p 2. f(2)=- 3 ( )(2) ( (2)) ( 3) f f f f f = = f(-3)=112 1p 2p 2p 3. Notm 3x=t Ecuaia devine 5t2-2t-3=0 cu soluiile t1=1, t2=35 3x=1 x=0, 3x=35 nu are soluii n mulimea numerelor reale 1p 2p 2p 4. 6!=1 2 3 4 5 6 =720 2p 3p 5. 0 4 41 2 3B AABB Ay yx xm = = = 2p 3p 6. raza cercului circumscris unui triunghi dreptunghic este egal cu jumtate din ipotenuz 2p 2BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012 www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro Se calculeaz ipotenuza cu ajutorul teoremei lui Pitagorai=10 R=5 1p 2p SUBI ECTUL al I I -lea (30 de puncte) 1. a) A2=3 44 3 | | | \ . 22 23 4 2 4 5 02 54 3 4 2 0 5A A I O | | | | | | + = + = | | | \ . \ . \ . 2p 2p 1p b) det A=5 A este inversabil 11 21 215 5, ,2 1 2 1 det5 5A A A AA - - | | | | |= = = | | | \ . |\ . 3p 2p c) 2 22 2 22 2( ) 2 5 44 040 4A I A A I IO I = + = | | = |\ . 3p 2p 2. a) x y=xy-x-y+7=x(y-1) (y-1) +6=(x-1)(y-1)+6 x y=(x-1)(y-1)+6 1p 3p 1p b) Relaia ce trebuie demonstrat reprezint asociativitatea legii de compoziie x (y z)=(x-1)(y-1)(z-1)+5x+1 (x y) z=(x-1)(y-1)(z-1)+5z+1 Egalitatea celor dou expresii nu se realizeaz pentru orice numere reale x, y, z legea nu este asociativ 3p 2p c) x x=31 x x=(x-1)2+6 (x-1)2=25 2p 2p 3BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012 www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro x=6 sau x=- 4 1p SUBI ECTUL al I I I -lea (30 de puncte) 1. a) limx(x) = groicul uncici nu oJmitc osimptot orizontol lo + Studiem existena asimptotei oblice y=mx+n i n m=n=1 y= x+1 este asimptot oblic la + 2p 2p 1p b) f(x)=x2-2x(x-1)2 f(x)=0 x=0, x=2 se realizez tabelul de variaie al funciei funcia f este strict cresctoare pe intervalul ( ) ,0 i pe intervalul ( ) 0, ; funcia f este strict descresctoare pe intervalul ( ) 0,1 i pe intervalul ( ) 1,2 . 1p 1p 1p 2p c) Se calculeaz derivata a doua 32"( 1)fx= se realizeaz tabelul de semn al derivatei a doua pe intervalul (-,1) f este negativ deci funcia f va fi concav 1p 1p 1p 2p 2. a) ls(0)=ld(0)=f(0)=0 f este continu n punctul x=0 Pe mulimea numerelor reale nenule f este continu fiind compunere de funcii elementaref continu pe f admite primitive pe 2p 2p 1p 4BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012 www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro b) 2121ln( 1) , 0( ) 2, 0xx c xF xe x c x + + >= + s Din continuitatea funciei F n punctul x=0 c1=1+c2 F(1)=0 1 110 ln221ln22 c c = = + 21 1ln( 1) ln2, 02 2( )1ln2 1, 02xx xF xe x x + >= s 1p 1p 1p 2p c) ( ) ( ) ( )3 0 32 2 0f x dx f x dx f x dx = + =} } } ( ) ( )302 2201 1ln 1 1 2 ln102 2xe x x e= + + = + = 21ln10 12 e= 2p 1p 2p 5BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012 www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro BAREM DE EVALUARE I DE NOTARE Varianta 2 Prof: Andone Elena. + Pentru orice soluie corect, chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunztor. + Nu se acord fraciuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvri pariale, n limitele punctajului indicat n barem. + Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin mprirea punctajului obinut la 10. SUBI ECTUL I (30 de puncte) 1. 1 = 1p 2p 2p 3. Scriem relaiile lui Viete 1 2 1 23, 8 x x xx + = = 2 21 29 16 25 x x + = + = 1p 2p 2p 4. { , , },{ , , },{ , , },{ , , } a b c a b d a c d b c d 2p 3p 6BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012 www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro 5. 0 23 21 0 5 2B BA B A By y x x y xy xy y x x = = = 2p 3p 6. cos(1800-x)=- cosx= 23 2p 1p 2p SUBI ECTUL al I I -lea (30 de puncte) 1. a) Ecuaia dreptei A2A3 este: 14 9 1 08 27 1x y= Dezvoltnd determinantul se obine 9x-2y-18=0 2p 2p 1p b) aria triunghiului A2A4A6 este egal cu 12 A 2 24 46 62 3 1 1 1 12 3 1 36 4 9 1 43202 3 1 16 81 1A = = = A=2160 1p 3p 1p c) Calculm 1 12 22 3 1 1 1 12 3 1 2 3 2 3 12 3 2 0,( )2 3 1 4 9 1n nn n n n n nn n n+ ++ +A = = = eN cele trei puncte un sunt coliniare 1p 2p 2p 2. a) 2 4 4 3 2 ( 2) 4( 2) 52( 2)( 2) 5x y xy x y x y yx y- = + + + = + + + == + + 1p 3p 1p b) S verificm dac exist e, numr real astfel nct xe=ex=x, oricare ar fi x numr real 3p 7BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012 www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro xe=2xe+4x+4e+3 Dac xe=x, oricare ar fi x numr real 2xe+3x+4e+3=0, oricare ar fi x numr real x(2e+3) +4e+3=0, oricare ar fi x numr real2e+3=0 i 4e+3=0 contradicie nu exist element neutru 2p c) 232( 2) 54( 2) 6( 2) 5x x xx x x x x- = + - - = + + Ecuaia cerut devine : 3 334( 2) 6( 2) 5 7 4( 2) 6( 2) 2 02( 2) 3( 2) 1 0x x x xx x+ + = + + + = + + + = Notm x+2=t, ecuaia 2t3 3t +1 =0 are soluiile t=1x= - 1, 1 3 5 32 2t x = = i 1 3 5 32 2t x + += = 2p 2p 1p SUBI ECTUL al I I I -lea (30 de puncte) 1. a) 20 0 02ln( ) ( ln ) 01lim lim limx x xxf x x xx = = = , se aplic regula lui LHospital 2p 2p 1p b) Se aplic regula de derivare a unui produs (lnx)= 1x (x2)=2x f(x)=2xlnx+x 1p 1p 1p 2p c) f(x)=2xlnx+x=x(2lnx+1) f(x)=0 x=0 i x=12e se realizez tabelul de variaie al funciei 1p 1p 1p 8BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012 www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro pe intervalul (0, 12e ) f este monoton descresctoare i pe intervalul (12e,) f este monoton cresctoare 2p 2. a) 1 10 011( ) ln( 2)0 23ln3 ln2 ln2f x dx dx xx= = + =+ =} } 2p 2p 1p b) V=22021 1( )0 ( 2) 2 4dxx x = =+ +} 3p 2p c) Fie F o primitiv a funciei f. F(x)=f(x)=12 x+>0, oricare x> 0 F strict crectoare 2p 1p 2p 9BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012 www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro BAREM DE EVALUARE I DE NOTARE Varianta 3 Prof: Andone Elena + Pentru orice soluie corect, chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunztor. + Nu se acord fraciuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvri pariale, n limitele punctajului indicat n barem. + Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin mprirea punctajului obinut la 10. SUBI ECTUL I (30 de puncte) 1. 31 12 233 331log 8 log 3227 3 364 4 41 12 83 134 8| |= = |\ .| | = = |\ .| | = |\ . < < 1p 1p 1p 2p 2. f este bijectiv deci este inversabil pentru a determina inversa procedm astfel: f(x)=y -2x+3=y x=32y f-1(x)=32y 1p 2p 2p 3. Impunem condiiile de existen : x-1>0, x-1 1,x+2>0 xe(1,) {2}21 1 1log ( 2) 2 log ( 2) log ( 1)x x xx x x + = + = Utiliznd injectivitatea funciei logaritm x+2=(x-1)2 Soluia convenabil este x=3 132+ 1p 2p 2p 10BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012 www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro 4. 3 25 4 460 6 24 42 A C P + = + = 2p 3p 5. Fie M mijlocul segmentului AB, M(0,1) ; 0 211 1BAB AB Ay yx xm = = = , panta mediatoarei va fi -1 Ecuaia mediatoarei : y-1=- x 2p 3p 6. sinx=13cosx= 2 23 sincosxtgxx= 12 2tgx= 2p 1p 2p SUBI ECTUL al I I -lea (30 de puncte) 1. a) A+B=1 80 4| | |\ . det (A+B)=4 2p 2p 1p b) detA=8 A este inversabil 11 54 52 80 2 104A A- | | | | |= = | | | \ . |\ . 3p 2p c) nmulim egalitatea AX=B,la stnga cu A-1 X=A-1B X=1 32 20 0| | | | |\ . 1p 2p 2p 11BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012 www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro 2. a) f(2)=0, f(1)=2 - 2a+b=- 5, a-b=1 a=4, b=3 1p 3p 1p b) 1 2 31 2 2 3 1 3 1 2 31 1 12x x x ax x x x x x xx x+ ++ + = = Din relaiile lui Viete, x3 +x2 +x1 =o i x1x2x3 = 2 3p 2p c) f(X)=X3-4X2+3X+2 mprim polinomul f la x-2 i obinem ctul C(X)=X2-2X-1 ecuaia de gradul al doilea asociat polinomul C are discriminantul pozitiv polinomul f are toate rdcinile reale. 2p 2p 1p SUBI ECTUL al I I I -lea (30 de puncte) 1. a) 00( )( ) 0limlimxxf xf x= = ( se aplic regula lui LHospital) 2p 2p 1p b) Ecuaia tangentei: y-f(x0)=f(x0)(x-x0) f(x0)=0 f(x)=21 lnxx , f(x0)=1 y=x-1 1p 1p 1p 2p c) f(x)= 21 lnxx =0 lnx-1=0 x=e se ntocmete tabelul de variaie al funciei 1p 1p 1p 2p 12BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012 www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro din tabel se observ c punctul de coordonate (e,1e) este punct de maxim 2. a) 2' 2 222 22 22 264 64( ) 64 646464 64ln( 64)2 64 64ln( 64)1( 64 64ln( 64))2xI f x dx x x dx x x dxxx x I x xI x x x xI x x x x+ = = + = + =+= + + + += + + + += + + + +} } } 2p 2p 1p b) Utilizm metoda schimbrii de variabil: x2+64=t 2xdx=dt 22 21 1( ) 642 31( 64) 643xf x dx x x dx tdt t tx x= + = = =+ +} } } 1p 1p 1p 2p c) 1 3201193( 64) ( 64 )0 3 3xV x dx x = + = + =} 2p 1p 2p 13BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012 www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro BAREM DE EVALUARE I DE NOTARE Varianta 4 Prof: Andone Emanuel + Pentru orice soluie corect, chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunztor. + Nu se acord fraciuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvri pariale, n limitele punctajului indicat n barem. + Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin mprirea punctajului obinut la 10. SUBI ECTUL I (30 de puncte) 1. a10=a1+9r =7+27=34 1 1010( ) 102052a aS + = = 3p 2p 2. O ecuaie de gradul al doilea are rdcini reale distincte dac i numai dac >0 =4m2+1 4m2+1>0 oricare ar fi mnumr real, deoarece reprezint o sum de ptrate 1p 2p 2p 3. GfOy: f(0)=5-2-1=2425 GfOx: rezolvm ecuaia f(x)=05x-2=1x-2=0x=2 A(0, 2425 ) , B(2,0) 1p 2p 2p 4. P3=3!=6 244!122!A = = , 24 33 12 18 6 A P = = 2p 3p 5. Doi vectori sunt perpendiculari dac produsul lor scalar este 0 2(5+a)+ 2a=0 a=52 2p 3p 14BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012 www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro 6. sin28 16 sin 332 3 sin2 2ABC AB AC AAAA = = = Msura unghiului A este egal cu 600 sau 1200 1 1cos cos2 2A sau A = = 1p 2p 1p 1p SUBI ECTUL al I I -lea (30 de puncte) 1. a) O matrice este inversabil dac i numai dac determinantul su este nenul, det A=3a4-a2 3 2det A 3a a = deci 1a {0, }3R e A este inversabil pentru orice a1a {0, }3R e 2p 2p 1p b) 22 4 120 2 186 4 8A A A | | |= = | |\ . (A2)T=2 0 64 2 412 18 8 | | | | |\ . 3p 2p c) 0 3 33 9 12 93 3 0a aA aa a | | |= | |\ . 2 2 22 2 22 23 4 33 12 3 3 16 93 4 2a a a a aA a a a aa a a a| | + |= + | | + \ . A2-3A+2I3=2 2 22 232 23 2 3 33 3 3 3 6 00 2 2a a a a a aa a a Oa a a| | + + + | + = | | + \ ., deci, a=1 1p 2p 2p 15BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012 www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro 2. a) a*(-b)=-ab+a2+b2 a*(-b)-ab=-ab+a2+b2-ab=(a-b)2 finalizare 1p 3p 1p b) Din definiia monoidului legea * trebuie sfie asociativ Din relaia x*(y*z)=(x*y)*z, oricare ar fi x,y,z numere reale rezult xz(a+b)+x(a2-a)-zb(b+1)=0, oricare ar fi x,y,z numere reale a+b=0, a2-a=0 i b(b+1)=0 a=b=0 sau a=1 i b= - 1 3p 2p c) Utiliznd rezultatul obinut la punctul anterior, se disting dou cazuri a=b=0x*y=xy, mulimea elementelor inversabile fiind -R a=1 i b= -1 x*y= xy+x+y elementul neutru al acestei legi este 0 mulimea elementelor inversabile este { 1} R 2p 2p 1p SUBI ECTUL al I I I -lea (30 de puncte) 1. a) 2'( ) xxf xe= f(x)+f(x)=1 11xe = x=0 2p 2p 1p b) 2'( ) xxf xe= =0x=2 Se realizeaz tabelul de variaie al funciei Se precizeaz semnul primei derivate Pe intervalul ( ,2) f este strict crectoare i pe intervalul (2, ) cstc monoton descresctoare 1p 1p 1p 2p 16BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012 www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro c) f(0)=-1 f(0)=2 ecuaia tangentei :y- f(0)=f(0)(x-0) y+1=2x 1p 1p 1p 2p 2. a) g(x)=(x-1)3 43( 1)( ) ( 1)4xg x dx x dx C= = +} } 2p 2p 1p b) 2( )1bx cf x x ax x+= + ++ + x3-3x2+3x-1=x3+(a+1)x2+x(a+b+1)+a+c a+1=-3; a+b+1=3; a+c=-1 a=-4; b=6; c=3 1p 1p 1p 2p c) 2223(2 1)4 4 3ln( 1)1 2x xx dx x x x Cx x+ + = + + + ++ +} (x2 +x+1)=2x+1 22(2 1)ln( 1)1xdx x x Cx x+ = + + ++ +} 2223(2 1)4 4 3ln( 1)1 2x xx dx x x x Cx x+ + = + + + ++ +} 2p 1p 2p 17BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012 www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro BAREM DE EVALUARE I DE NOTARE Varianta 5 Prof: Andone Emanuel. + Pentru orice soluie corect, chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunztor. + Nu se acord fraciuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvri pariale, n limitele punctajului indicat n barem. + Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin mprirea punctajului obinut la 10. SUBI ECTUL I (30 de puncte) 1. 575 5log 25 2log 25log 7 log 7= = log57log725=2,deci este numr natural 3p 2p 2. x2+x+m 4 > x2+x+m 4 0 + > o funcie de gradul al doilea are semn constant, semnul coeficientului lui x2 , pe R dac i numai dac 0, 4 15 m A s A = 154 15 0 [ , )4m m s e 1p 2p 2p 3. 155 xx = Ecuaia devine 45 5x = x=4 1p 2p 2p 4. 2( 1) 56nA n n = = Se rezolv ecuaia de gradul doi i se alege soluia natural n=8 2p 3p 5. Se calculeaz fiecare latur a triunghiului cu formula 2 2( ) ( )A B A BAB x x y y = + AB=AC=1, BC= 2 PABC=2+ 2 2p 3p 18BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012 www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro 6. 2sinBCRA= cos A=12 sin A=32 R=8 33 2p 1p 2p SUBI ECTUL al I I -lea (30 de puncte) 1. a) 22222 00 22 020 22AIA I| |= |\ .| |= |\ .= 2p 2p 1p b) 21 11 1xA xIx | | = | \ . 22det( ) 2 0 A xI x = = 2 x= 2p 2p 1p c) 4 2 2 224 2 2 224 4( ) (2 ) 4( ) (2 ) 4A X A X I X XX A X A X I XA X X A = = = = = = = 2p 2p 1p 2. a) 2 este rdcin a polinomului f ( 2) 0 f = ( 2) f = 16+4 2-a 2=0 a=4+8 2 1p 3p 1p b) Se scriu relaiile lui Viete 1 2 3 1 2 4 1 3 4 2 3 43axx x xx x xx x x x x + + + = 3p 19BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012 www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro 1 2 3 423xx x x = 1 2 3 41 1 1 12ax x x x+ + + = 2p c) (x-1)2=x2-2x+1 Ctul este 3x2+8x+14 i restul este x(20-a)-12 2p 2p 1p SUBI ECTUL al I I I -lea (30 de puncte) 1. a) 00( ) 0limxxf x x>= = este asimptot vertical la dreapta ( )limx f x = graficul funciei nu admite asimptot orizontal ( )limxf xx = graficul funciei nu admite asimptot oblic 2p 2p 1p b) 23 322( ) ( 1)ln( 1) ln0lim limlimx xxf x x x xx xx x xx x += = += = 2p 3p c) Ecuaia tangentei : y-y0=f(x0)(x-x0) x0=1, y0=f(1)=0 f(x)=(2x-1)lnx+2( 1) x xx +, f(1)=1 y=x-1 1p 1p 2p 1p 2. a) Explicitnd cele dou module se obine 20BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012 www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro | |( 2) , ( ,0)( ) ( 2) , 0,2( 2) , (2, )xxxx e xf x x e xx e x + e = + e e se studiaz continuitatea funciei f n punctele 0 i 2, n rest f fiind continu deoarece este compunere de funcii elementare ls(0)=ld(0)=f(0)=2; ls(2)=ld(2)=f(2)=0 f este continu n punctele x=2 i x=0 f admite primitive pe mulimea numerelor reale deoarece orice funcie continu admite primitive 2p 2p 1p b) Utiliznd integrarea prin pri se obine 12( 2) ( 1)( 2) (3 )( 2) ( 3)x xx xx xx e dx x ex e dx x e cx e dx x e c + = + = + = +}}} Din continuitatea primitivei c1 =4 i c2=2e2-4 Deci primitiva funciei f va fi | |2( 1) , ( ,0)( ) (3 ) 4, 0,2( 3) 2 4, (2, )xxxx e xF x x e xx e e x e = e + e Primitiva care trece prin origine este G(x)=F(x)+c, G(0)=0c=1 1p 1p 1p 2p c) 5445( ) ( 3) (2 1) 324xf x dx x e e e = = >} 20,oricare ar fi x numr real ( ) Q a =Q(a), oricare ar fi a numr real 1p 3p 1p b) Ctul mpririi este x6-9x4+81x2-729 i restul 6570 3p 2p c) x2+9=x2-9i2= 2p 23BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012 www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro =(x-3i)(x+3i) 2p SUBI ECTUL al I I I -lea (30 de puncte) 1. a) 2 2(1) 1, (1) , (1) 1s dl a a l a f a a = + + = = + + f este continu n punctul x=1 dac ls(1)=ld(1)=f(1) 21 a a a + + = ridicnd la ptrat se obine : 2 21 a a a + + = a=- 1 2p 2p 1p b) Pentru a=-1 funcia f devine: 21, 1( )1 , 1x x xf xx x x + s= + > fs(1)=12, fd(1)= f nu este derivabila n punctul x=1, acesta fiind punct unghiular pentru graficul funciei f 1p 1p 1p 2p c) ( ) 1lim lim 22 2x xf x x xx x += =+ + 1p 2p 2p 2. a) 1 1 12 20 0 023 1 2( 3)( 3) ( )( 3) 1 2 ( 3) 111 1 1 17ln( 6 10) (ln17 ln10) ln0 2 2 2 10x xx f x dx dx dxx xx x+ ++ = = =+ + + += + + = =} } } 2p 2p 1p b) | | | |21 120 011 1'( ) ''( ) { '( ) } '( )0 2 2f x f x dx f x dx f x = =} } 1p 1p 24BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012 www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro 2 22 6 8 3( ) , (1) , (0)( 6 10) 289 50xf x f fx x+' ' ' = = = + + 2 22 6'( )( 6 10)xf xx x +=+ + 4'(1)289f = ; 3'(0)50f = ; 12 201 8 3'( ) ''( ) [( ) ( ) ]2 289 50f x f x dx= } 1p 1p 1p c) 2 221 12( 3)'( ) ( 3) 5 41 ( 3) 1xf x dx dx arctg x arctg arctgx += = + = + +} } 2p 1p 2p BAREM DE EVALUARE I DE NOTARE Varianta 7 Prof: Andrei Lenua + Pentru orice soluie corect, chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunztor. + Nu se acord fraciuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvri pariale, n limitele punctajului indicat n barem. + Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin mprirea punctajului obinut la 10. SUBI ECTUL I (30 de puncte) 1. 3 382x x + += 16 2 8 x x = = 3p 2p 2. ( ) ( ) 0 0 2012 2012, 1 1 2012 2011 f f = = = = ( ) 2012 2012 2012 0 f = = 0 p= 2p 2p 1p 3. 2 3 33 3x x= 2 3 3 x x = 3 x= 1p 2p 2p 25BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012 www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro 4. p=numrul cazurilor favorabile/numrul cazurilor posibile Avemtrei cazuri favorabile i cinci cazuri posibile ( prin verificri , se obin propoziii adevrate pentru n=1,2,3) 35p= 1p 2p 2p 5. 12ABCAA = A , unde 1 12 23 3111x yx yx yA = 0 2 11 1 12 0 1A ==8, 4ABCAA = 2p 3p 6. ( )0 0 0 0sin70 sin 90 20 cos20 = = 2 2sin cos 1 x x + = innd cont de relaia de mai sus obinem 2 0 2 0cos 20 sin 20 1 + = 2p 1p 2p SUBI ECTUL al I I -lea (30 de puncte) 1. a) Folosim relaia 1 2 3 bx x xa+ + = 1 2 30 x x x + + = 2p 3p b) ix ( )1,3 i = rdcin a ecuaiei 3 34 3 0 4 3, 1,3i i i ix x x x i + = = = ( )3 3 31 2 3 1 2 34 9 4 0 9 9 x x x x x x + + = + + = = 3p 2p c) ( )3 3 31 2 3 1 2 33 d xx x x x x = + + 1 2 33 xx x = ( ) 3 3 9 0 d= + = Obs. Determinantul se poate rezolva usor folosind proprietile determinanilor, i anume se adun toate liniile (coloanele) se obine suma rdcinilor care este egal cu 0 i astfel determinantul este egal cu 0. 3p 1p 1p 2. a) 2012 0 2012 00 1 0 1x yx yA A | | | | = | |\ . \ . 2012 2012 0 2012 00 1 0 1x y x yx y x yA A A++| | | | = = = | |\ . \ . 2p 3p b) (M,) grup abelian (comutativ) dac sunt ndeplinite urmtoarele axiome asociativitate, comutativitate, element neutru, elemente simetrizabile Asociativitate ( ) ( ), , ,x y z x y z x y zA A A A A A A A A M = e ( ) ( ) ( ) ( )x y z x y z x y z x y z x y zA A A A A A A A A A+ + + + + = = = = Comutativitate , ,x y y x x yA A A A A A M = e x y x y y x y xA A A A A A+ + = = = Element neutru ( ) eA M - e astfel nct x e xA A A = , xA M e 1p 1p 1p 1p 26BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012 www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro 0x e xA A x e x e+ = + = = ,deci elemental neutru este 0A Elemente simetrizabile 00x ex x xA A A A A x x x x' '+ = = + ' = ' = 1p c) ( ) x yf x y A++ = x y x yA A A+ = ( ) ( )x yA A f x f y = 2p 2p 1p SUBI ECTUL al I I I -lea (30 de puncte) 1. a) ( )21 111x x'| | = |+\ . + ( )( )21 1 11 1 11 11f x x xx x x' '' ' '| | | |= + + = + + = | |+ +\ . \ . + ( )( )2221x xf xx' +=+ 2p 2p 1p b) Monotonia funciei este dat de semnul derivatei nti ( )( )22220 0 2 01x xf x x xx' += = + =+ 1 22, 0 x x = = , ( ) 0 f x'> pentru | ( ) , 2 0, xe + , ( ) 0 f x's pentru | | { } 2,0 1 xe Pentru | ( ) , 2 0, xe + f este cresctoare, iar pentru | | { } 2,0 1 xe f este descresctoare 1p 1p 2p 1p c) ( ) ( )111 lims xxl f x = = + Ecuaia asimptotei verticale este 1 x= 2p 2p 1p 2. a) ( )2255xxx'+ =+ ( ) ( )2 2 222 2200 0 05 55x xdx dx x dx xf x x'= = + = ++} } } 2205 3 5 x + = 2p 2p 1p b) ( )422V f x dx = } ( ) ( )4 422 22 25 5 V x dx x dx = + = +} } 1p 2p 2p 27BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012 www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro V =43264 8 865 20 103 3 3 3xx | | | |+ = + = | |\ .\ . c) 2 0 22 2 22 2 05 5 5 x x dx x x dx x x dx + = + + +} } } 0 22 22 05 5 x x dx x x dx + = +} } 2 0 2 2 22 2 2 2 22 2 0 0 05 5 5 5 5 0 x x dx x x dx x x dx x x dx x x dx + = + + + = + + + =} } } } } 2p 2p 1p BAREM DE EVALUARE I DE NOTARE Varianta 8 Prof: Andrei Lenua + Pentru orice soluie corect, chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunztor. + Nu se acord fraciuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvri pariale, n limitele punctajului indicat n barem. + Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin mprirea punctajului obinut la 10. SUBI ECTUL I (30 de puncte) 1. 3510 C = 10 10 0 = 3p 2p 2. 5 6 0 x+ > 65x> 6,5x | |e + |\ . 5 6 36 6 x x + = = 66 ,5| |e + |\ ., deci soluia ecuaiei este 6 x= 1p 2p 2p 3. Ecuaia are rdcini reale egale dac 0 A = ( )22 2 24 3 2 4 9 24 4 4 9 24 b ac m m m m m A = = + = + + = + 21 249 12 0 0,3m m m m + = = = i 20 m = 1p 2p 2p 4. Fie x preul iniial al produsului, atunci 5190100x x = 95190100x= 190 10095x = 200 x= lei 2p 1p 1p 1p 5. 1 12 1 2 1x x y yx x y y = 5 40 5 2 4x y = 2p 3p 28BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012 www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro ( ) ( ) 2 5 5 4 2 5 10 0 x y x y = + = 6. Formula pentru aria triunghiului este sin2DEF DE DF DAA = 012 6 sin602DEFAA =036 sin60 = 336 18 32DEFAA = = 2p 1p 2p SUBI ECTUL al I I -lea (30 de puncte) 1. a) 21 1 1 1 4 43 3 3 3 12 12A | | | | | |= = | | |\ . \ . \ . 4 4 1 14 412 12 3 3 A| | | |= = | |\ . \ . 2p 3p b) ( ) ( ) ( )( )22 2 2X a X b aA I bA I abA aA bA I = + + = + + + innd cont c 24 A A =( ) ( ) ( ) ( )2 24 4 4 X a X b abA aA bA I ab a b A I X a b ab = + + + = + + + = + + 3p 2p c) ( ) X a inversabil ( ) ( ) ( )det 0 X a X a = ( ) ( ) ( )( )21det 1 3 1 33 3 1a aX a a a aa a+= = + + + ( ) ( )2 2det 3 3 1 3 4 1 0 X a a a a a a = + + + = + = , pentru orice aeZ 1p 2p 2p 2. a) Aplicm relaiile lui Viete 1 2 34 x x x + + = i 1 2 1 2 2 310 xx xx x x + + = ( ) ( )22 2 21 2 3 1 2 3 1 2 1 2 2 32 x x x x x x xx xx x x + + = + + + + ( ) ( )24 2 10 = 2 2 21 2 316 20 36 x x x + + = + = , este o constant, deci nu depinde de m 1p 3p 1p b) ix ( )1,3 i = rdcin a lui ( )3 20 4 10i i i if f x x x x m = = + ( ) ( )3 3 3 2 2 21 2 3 1 2 3 1 2 34 10 3 x x x x x x x x x m + + = + + + + + nlocuind 1 2 34 x x x + + = i 2 2 21 2 326 x x x + + = se obine 144 3 9 3 135 45 m m m = = = 3p 2p c) 1 2 3 1 2 2 3 3 2 1 2 34, 10, x x x xx x x xx xx x m + + = + + = = ( )1 2 3 2 3 2 31 2 3 3 1 1 2 3 3 11 2 3 1 2 1 2111x x x x x x xd x x x x x x x x x xx x x x x x x+ += + + = + + =+ + ( )( )2 2 21 2 3 1 2 1 3 3 2 1 2 3x x x xx xx x x x x x + + + + ( ) ( ) 4 10 26 4 36 144 d= = = eN 2p 2p 1p SUBI ECTUL al I I I -lea (30 de puncte) 29BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012 www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro 1. a) ( ) ( ) ( )222222 2xf x xx''' += + =+ 2 222 2 2x xx x= =+ + 3p 2p b) ( ) limx f x = + funcia nu admite asimptot orizontal y mx n = + , ( )22lim lim 1x xf x xmx x += = = ( ) ( ) ( )2 222 22 2lim lim 2 lim lim 02 2x x x xx xn f x mx x xx x x x | | | |+ = = + = = = | |+ + + +\ . \ . Ecuaia asimptotei ablice este y x = 1p 1p 2p 1p c) f convex dac ( ) 0, f x x''> eR ( ) ( )( )2 22222 222x x x xxf xx x'' '''' + +| |= = = |+\ . +222222xx xxx+ ++ ( ) ( )2 22 2 2 22 20,2 2 2 2x xxx x x x+ = > e+ + + + R 1p 2p 2p 2. a) ( ) ( )219 99x dx x dxx+ = ++} } 29 92xxdx dx x C + = + +} } 2p 3p b) ( )2 219f xx=+ ( )21 12 20 0919 2 9xxdx dxx x'+=+ +} } ( )1201ln 92 x = + ( ) ( ) ( )1 1 10ln 1 9 ln 0 9 ln2 2 9= + + = 1p 2p 1p 2p c) Aria este egal cu ( )120120f x dx} 2012 20120 1 0 1 9 9 10 x x x s s s s s + s ( )2012 20121 1 1 1 110 9 9 10 9f xx s s s s+ ( )1201201 110 9f x dx s s} 1p 2p 1p 1p 30BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012 www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro BAREM DE EVALUARE I DE NOTARE Varianta 9 SUBI ECTUL I (30 de puncte) 1. a=3 3 3 364 4 4 b= = = a ! N ( )355605 3 2A 5! != = = ! ! 2p 3p 5. ( )2,4 1 A m m+ se afl pe dreapta d dac i numai dac coordonatele punctului A verific ecuaia dreptei d. n ecuaia dreptei punem 2x m = i 4 1 y m = + , obinem( )224 4 0 2 0 2 m m m m + + = + = = 2p 3p 6. 2 2sin cos 1 x x + = 1p 3p 31BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012 www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro 2 21 24cos 1 sin 125 25x x = = =24 2 6cos5 5x = = Cumx este msura unui unghi ascuit, rezult 2 6cos5x= 1p SUBI ECTUL al I I -lea (30 de puncte) 1. a) 2 0 2det 0 2 00 0 2A= det 8 0 0 0 0 0 A= + + det 8 A= 1p 3p 1p b) 1A este inversa lui A dac 13A A I = 131 0 00 1 00 0 1A A I | | | = = | |\ . 2p 3p c) Am vzut la punctul a c 1A este inversa lui A Deci, 12 2 24 4 46 6 6X A | | |= | |\ . 2 2 22 2 23 3 3X | | |= | |\ . 1p 2p 2p 2. a) 2012 2012 2012 = 2012 2012 2012 2012 2012 2012 2012 2012 2012 2012 - = + + 1p 3p 32BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012 www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro Rezultatul final 2012 2012 2012 - = 1p b) 2012 2012 x y xy x y - = ( ) ( )2012 2012 2012 2012 x y y = + ( )( )2012 2012 2012 x y x y - = + 3p 2p c) ( )( )2012 2012 2012 x a a x a a - = + = ( )( ) ( )( )2012 2012 2012 0 2012 2012 1 0 x a a a x + = = Cum x este un numr real oarecare 2012 a = 2p 2p 1p SUBI ECTUL al I I I -lea (30 de puncte) 1. a) f continu n ( ) ( ) ( )01 1 1 1s dx l l f = = = ( ) ( ) ( )1 11 11 lim lim 2 1 1s x xx xl f x x < e 2p 2p 1p b) ( ) ( )| |( ) ( )| | ( )( ) ( ) ( )20 1 0, 1 1 0 continu pe 0,1 are cel puin o rdcin n 0,1 1 strict cresctoare pe 0,1 21 , 2 are o singur rdcin n 0,1f f effff= < = > 1p 1p 1p 1p 1p 42BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012 www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )'' 2 ''' 3 231' '1 2 1 2 2 2 1 , 2 I2 2 II Din I i II , 3x xk kk k k x k xnf x e f x e P AP A P Af x f x e e AP A n n++ += + = = = = e > N 2p 2p 1p 2. a) ( ) ( )( )303 333113 3lim lim1 11lim3 3xx xxxf t dtx xxx += =+ = =}= 3p 2p b) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )2 221 11 11 1 1ln 11 111Fie ln 1 ,10 1 1 1 21ln 1 21xxdx dxx xdx xx xxH x x cxH c cH x xx+ = =+ + = + + ++ ++= + + ++= + = = = + + +} }} C 1p 1p 1p 1p 1p c) ( )( )12051015315|V f x dxx= =+= ==} 1p 2p 2p BAREM DE EVALUARE I DE NOTARE Varianta 13 Prof: Badea Ion + Pentru orice soluie corect, chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunztor. + Nu se acord fraciuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvri pariale, n limitele punctajului indicat n barem. + Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin mprirea punctajului obinut la 10. SUBI ECTUL I (30 de puncte) 43BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012 www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro 1. { }2 1 3 3 2 1 31 2dar 1,0,1,2card 4x xxx AA s s s s se = =Z 2p 1p 1p 1p 2. ( ) ( )( )20,3 0 3 31 222 3fA G f baaf x x xe = = = = = + 2p 2p 1p 3. ( ) ( ){ }22CE1 2CE: 2 0 ,0 2,2 3 01, 3 1,3x x xx xx x S > e == = = 1p 2p 2p 4. 310C120== 3p 2p 5. 1 2 1 2202 1 01xx y ym mm+ = + == 2p 2p 1p 6. ( )00cos 180 coscos90 00x xS = == 2p 1p 2p SUBI ECTUL al I I -lea (30 de puncte) 1. a) 22A 2I = 2012 10062A 2 ; I = 3p 2p b) ; 2finalizarex yX XA AXz tt xy z| |= = |\ .= =` 1p 3p 1p c) ( )( )( ) ( )( ) ( )2k22k+13 5 2011 2 10052 1005 10062 4 6 2012 2 1006 10062 2A 2 ,A 2 ,A+A +A +....+A 2 2 ... 21 2 2 ... 2 2 1A +A +A +....+A 2 2 ... 2 2 2 1 .kkI kA kA A A AA AI I-= e= e= + + + + == + + + + = = + + + = NN 1p 1p 2p 1p 2. Definiia elementului neutru 2p 44BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012 www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro a) 5 e= eZ 3p b) Definiia elementului simetrizabil 3' 3 = eZ 2p 3p c) ( )( )( )4 4 44 4 4x y x yS a b b- = += - - = - = 2p 3p SUBI ECTUL al I I I -lea (30 de puncte) 1. a) ( )( ) ( )( )' '2, 141: 1 4 02 4xxe ef x fxe et y x ex y e= =+ = + = 2p 3p b) ( )( )11lim =limxxxf xf x>= 3p 2p c) concluzia 4p 1p 2. a) ( ) ( )( ) ( )'' 2Fie : primitiv pentru derivabil pe i 3 1 0 strict cresctoare pe F fF F x f xF x x xF == + > e R RRRR 2p 2p 1p b) ( )( )( ) ( )( )333Fie : , 1,3 1 3 2 3 11Ff x dx x xF F x x x cA G F c cF x x x= + + = + +e = + = == + +}R RC 2p 1p 1p 1p c) | | ( ) ( )( ) ( )11 10 00: 0,1 , 112 1 1| |xx xg g x x eg x dx x e ee e e = += + == + =} R 1p 3p 1p BAREM DE EVALUARE I DE NOTARE Varianta 14 Prof: Badea Ion 45BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012 www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro + Pentru orice soluie corect, chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunztor. + Nu se acord fraciuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvri pariale, n limitele punctajului indicat n barem. + Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin mprirea punctajului obinut la 10. SUBI ECTUL I (30 de puncte) 1. ( )1210 progresie aritmetic, 2, 3 155 3 310 0, 1029.n nna a rS n n n nx a-e-= == + = e == =NN 1p 3p 1p 2. 1 21 21 22 21 22 21 2 1 2111 22 11 2 2 1 0x xx x mx xx x mx x x xm m m + = = = + = + = = = 2p 2p 1p 3. 1 051,5 2 0 2xxx > ( e ( > Prin ridicare la ptrat se obine 24 21 26 0 x x + = { }1252 1,213 51,4 22xxS (= e ( (= e ( = 1p 1p 1p 1p 1p 4. 210210310 9 905 9 453 3 6 18N 9 17 17ACP= == == == . 1p 1p 1p 2p 5. 1,21 12 1 1 30 0 13 222xx xxxA = A= == 2p 2p 1p 46BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012 www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro 6. ( )MN=MB BN1 2AB BC3 31 2AB AB AC3 31 2AB AC.3 3+ == + == + + == +, , ,, ,, , ,, , 1p 2p 1p 1p SUBI ECTUL al I I -lea (30 de puncte) 1. a) Demonstrarea relaiei 5p b) ( ) ( ) ( )1, , , n n nA a b A a na b n -= eN Demonstrarea prin inducie sau cu metoda binomial 3p 2p c) ( )( )201220111 12012 20121 1 1,11 1 1, 1a aa ba b Aa b A= = == = = = 2p 1p 1p 1p 2. a) ( )( )1 01 40 12 1ffa b aa b b = = + = = = = 2p 3p b) Relaiile lui Viette 21 2 3 32 2 2 21 2 321,21 1 1+ =1 + 22 1 3sx x x sx x x aa a+ =+ = = = 2p 1p 1p 1p c) ( )( )2 2 21 2 1 2 3+11 1 2s s x x x (A = + = = + = 3p 2p SUBI ECTUL al I I I -lea (30 de puncte) 1. a) ( ) ( | | )( )222; , 1 2,2; 1,2x x xf xx x x e = + + e f derivabil pe { } \ 1,2 R (funcii elementare) i 1p 1p 47BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012 www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro ( ) ( ) ( )( )( ) ( ){ }'' ''2 1; , 1 2,2 1; 1,21 3, 1 3, nu e derivabil n 1analog nu e derivabil n 2D \ 1,2s dx xf xx xf f ff e = + e = = = R 1p 1p 1p b) Concluzia conformtabelului 3p 2p c) ( )( )( ) ( )lim nu are asimptot orizontallim 11lim21: asimptot oblic spre 2xxxh x hh xmxn h x xd y x= = == = = 1p 1p 2p 1p 2. a) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) continu pe 0,e , - funcii elementare1 continu n continu pe 0, admite primitive pe 0,s df ef e f e f e f ef f= = = 2p 1p 2p b) ( ) ( )1112 211220 ,1lnIntegrnd prin pri ln4 234|eeh x x eA x xdxx xA xee ( s e = | | = = |\ .=} 1p 1p 2p 1p c) ( ) | |( ) | |( ) ( ) | || |( )20122012220121ln 1 1,2i ln 0, 1 0 1, 2ln 1 1,2prin integrare pe 1,212013x x xx x xx x xf x dxs e> > e s e s} 1p 1p 1p 1p 1p 48BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012 www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro BAREM DE EVALUARE I DE NOTARE Varianta 15 Prof: Badea Ion + Pentru orice soluie corect, chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunztor. + Nu se acord fraciuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvri pariale, n limitele punctajului indicat n barem. + Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin mprirea punctajului obinut la 10. SUBI ECTUL I (30 de puncte) 1. ( ) ( ) 2 2 2 2 22log 5 3 log 5 3 log 11 log 22 log 11log 2 1 + + = == = 3p 2p 2. ( )22 1 2 3 ... 2012 20122012 20132 201222012S = + + + + == == 2p 2p 1p 3. { }250,5222 22 02,1x xx xx+ += + = e 1p 2p 2p 4. ,2 10 x x e s s N Formula de calcul a combinrilor { }66,7,8,9,10xx> e 1p 1p 2p 1p 5. Formula pentru coordonatele mijlocului unui segment ( ) ( ) ( ) A 2,2 ,B 2, 2 i C 4,0 2p 3p 6. 2 22cos 1 sin5 13, cos 025cos13 = =| |= |\ .| |e < |\ . = 1p 1p 1p 2p SUBI ECTUL al I I -lea (30 de puncte) 1. a) ( ) ( )( )2det 3 inversabil A x x xA x x -= + eR 3p 2p 49BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012 www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro b) ( ) ( )( )( ) ( )1det 1 4 1 inversabil2 2 01 = 0 2 22 0 21 102 21 1 11 = 1 = 0d 2 21 102 2A AAA A- -= | | | | |\ .| | | | | | | | |\ . 1p 2p 2p c) ( )111 11111xy Az| | | | | |= = | | | |\ . \ .| | |= | |\ . 3p 2p 2. a) ( ) { }( ) ` `{ }66 6U 1,5U 0,2,3,43 S= ==` `Z` `Z Z` 2p 1p 2p b) ``{ }`{ }det 3 4det 1 3 4 1 3 3 1,3,5det 5 3 4 5 3 11,3,5A xA x x xA x x xx= += + = = e= + = = eu e`` ` ` ` ` ` ` `` ` ` ` `` ` ` 2p 1p 1p 1p c) ( ) `( ) { }, 1,2 x y e ` 5p SUBI ECTUL al I I I -lea (30 de puncte) 1. a) ( )25 7lim lim xx xx xl f xe + += = Se aplic regula lui lHospital de dou ori i se obine 0: 0 asimptot orizontal spre ld y= = 1p 2p 1p 1p b) F derivabil pe ( ) ( )' 2 i 3 2xf x e x x = + R ( ) { } ( ) ( )' 20 1,2 , 1 3 , 2 f x x f e f e = e = = 1p 1p 50BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012 www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro 1 maximlocal, 2 minimlocal 2p 1p c) ( ) ( ) ( )220 7, 1 3 , 27f f e f ee= = =s Conformtabelului de la b) ( ) ( ) | | 7 3 , 0,2 f x e x s s e 1p 1p 3p 2. a) f continu ( )0111 10 00sin 1 cos12ln 2231 2ln23cos1 2ln2| |xdxxdx x xxI = += + =+= = }} 1p 1p 1p 1p 1p b) ( )020 0 22 2sin2sin2I xdxIV f x dx xdx === = =}} } 2p 1p 2p c) ( ) ( )( )002ln 2 2ln21lim 1xxxf t dt x xf t dtx= + +=}} 2p 3p BAREM DE EVALUARE I DE NOTARE Varianta 16 Prof:Bcu Cornelia + Pentru orice soluie corect, chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunztor. 51BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012 www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro + Nu se acord fraciuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvri pariale, n limitele punctajului indicat n barem. + Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin mprirea punctajului obinut la 10. SUBIECTUL I (30 de puncte) 1. 2331 1 1 116, ,log 34 8 2 21 116 162 2| | = = = |\ .| | = e |\ . N 3p 2p 2. a,a+2,a+8 n prog. geom. rezult 2( 2) ( 8) a a a + = + 2 24 4 8 ,4 41a a a a aa + + = + == 1p 2p 2p 3. ( )( )( ) 3(3 2) 2 9 8( ) ( ) 6 66 6 0, 1f f x x xf f x f x xx x= = = = = 2p 2p 1p 4. 21010!452!(10 2)!C= 2p 3p 5. ( )3 2 02 3 52, 3x yx yA = = 2p 3p 6. 0 00 00 0 01 2cos60 cos452 2cos120 cos602cos60 cos45 cos1202= == + + = 2p 2p 1p SUBIECTUL al I I-lea (30 de puncte) 1. a) A1(-1.1), A2(-2,2) :2p 2p 52BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012 www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro 1 12 21 21 21: 1 01:A AA Ax yAA x yx yAA x y== 1p b) 2 3 2 23 32 311, 12132A AAA A A AA AAA Ax yA x yx yA= A A == 3p 2p c) A2011(-2011,2011),A2012(-2012,2012) 2011 20112012 201211 01O OA AA Ax yx yx y = Deci O, A2011,A2012 coliniare 1p 2p 2p 2. a) 2012 201202012 ( 2012) 20122012 1 = == 5p b) 222 22 122 20122012 20122 1, 1x xx xx xx x x++ ==+ = = 3p 2p c) 20122012 201220122012 20121x yx yzz zx y zx y++++ +==+ = 2p 2p 1p SUBIECTUL al I II-lea (30 de puncte) 53BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012 www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro 1. a) ( ) ( ) ( )( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )2 22 2224 4 32 1 2 1 2 1 2 1(2x-1)(x -2x+1)2 12 1 2 2 1 1 1 2 2 4 221 1 1x x x x x xx xx x x x x x xx x x''' + +| | = = |\ . + + = = 3p 2p b) ( )( )( )( )| ) ( ) ( )332120 0 01( ) 0, 0,1 , ( ) 0, ,0 1,lim ( ) 0,1min, (1) 1 ( ) 1xxf xxxf x xxf x x f x xf xx f f x' =' = = =' ' > e < e == = > 1p 1p 1p 2p c) ( ) ( )( ) ( )1 11 1lim ,lim 1 asimptot vertical spre lim 0, lim 0 0 asimptot orizontal spre Funcia admite asimptot vertical, asimptot orizontal i nu admite asimptot oblicx xx xx xf x f x xf x f x y > < = = = = = = . 2p 2p 1p 2. a) 0000lim ( ) 1lim ( ) 1( ) 1. . .xxxxf xf xf xfcont fad prim= = = 1p 1p 1p 2p b) ( ) ( ) ( )( ) ( )1 0 121 1 00 12 3 21 02 1 3 2 12 1 1| |f x dx x dx x x dxx x x x x = + + + = + + == + = } } } 2p 2p 1p c) ( ) ( ) ( )( )( )2 222 3 23 223 23 2 1 910 91 0 1 1 011; 1, ,2 13|aa af x dx x x dx x x xa a aa a a a aa a a a= + = + = + = + = + = (= = e = ( } } 2p 1p 1p 1p 54BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012 www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro BAREM DE EVALUARE I DE NOTARE Varianta 17 Prof:Bcu Cornelia + Pentru orice soluie corect, chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunztor. + Nu se acord fraciuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvri pariale, n limitele punctajului indicat n barem. + Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin mprirea punctajului obinut la 10. SUBIECTUL I (30 de puncte) 1. 2 1 145 3 32 1 145 3 325 65,2 6xxx = = e ` ) 2p 2p 1p 55BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012 www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro 2. ( ) ( ) ( )( ) ( ){ }22 23 3 3 31 1 3 3 1 3 2 02, 1f f x a ax a x af f a a a aa= = = = + + = e 2p 2p 1p 3. 112130abcda b c d= = = =< < < 1p 1p 1p 1p 1p 4. nr.caz.fav.nr.caz.posibilenr.caz.posibile 90nr.caz.fav 6115PP==== 1p 1p 2p 1p 5. 2sin sin3212 2 23 2, 3MN NPRP MNPRNP R= == == = 2p 2p 1p 6. 224040MNNPMN NP MNPis=== A 2p 2p 1p SUBIECTUL al I I-lea (30 de puncte) 1. a) 23 2 1det 1 11 2det 7A aaA a a== + 2p 3p b) { }det 5 05, 5, 51,1,1x y zAd d dS= == = == 1p 3p 1p 56BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012 www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro c) 221,2det 77 0 29 . .det 0,A a aa a p pa A a= ++ = A = =e = e R 1p 2p 2p 2. a) ( ) 2012 2012( 2012) 2012( 2012)( 2012) 2012x y x y yx y= + = + 3p 2p b) . . ,( 2012)( 2012) 20122013e ai x e e x x xx e x x e xe- e = = e= + = = eR RR 1p 2p 2p c) 2012 2012 2012,1 2 ... 2012 2013 2012 2013 2012x x xx= = e= = R 3p 2p SUBIECTUL al I II-lea (30 de puncte) 1. a) 2012 20112011( ) 2012(2012 ) 2012 ln2012( ) 2012 2012 ln2012x xxx xf x x' =' =' = + 2p 2p 1p b) 0 0 00 0( )( )1, 1(1) 2012(1 ln2012)1 0y y f x x xx yf aax y a' = = =' = + = + = 1p 1p 1p 2p c) 2010 22010( ) 2012 2011 2012 ln 20120,2012 0( ) 0 .xxf x xxf x fconvpe'' = +> >'' > R 2p 1p 2p 2. a) 4 42 2421 1( ( ) )2ln 23ln6 ln4 ln2f x dx dxx xx = =+= + == =} } 2p 2p 1p 57BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012 www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro b) | )| )2 2. ( ) ( ), 1,1 1( ) ( ) 0( 2)( ) 0 . 1,Fprimf F x f x xF x f xx xF x Fconc pe' = e '' ' = = > e = =e = 1p 1p 1p 1p 1p 5. (2,0), (4,2), (6, 4),3 32(4, )3A B C A B CG GA B Cx x x y y yx yG+ + + += = 2p 2p 1p 6. 2 22( 2 ) (1 4)2 10 13 130, 5AB a aa aa a= + + + == = 2p 2p 1p SUBIECTUL al I I-lea (30 de puncte) 1. a) 21 0 1 0( 1) , (1)0 1 0 10 0( 1) (1)0 0f fF f O | | | | = = | |\ . \ .| | + = = |\ . 2p 3p b) 2 0(2 )0 22 0 1 00 2 0 112xf xxxxx| |= |\ .| | | |= | |\ . \ .= 2p 2p 1p 59BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012 www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro c) ( )( )2220122012201220122012201320130( ) ( )00( ) ,02 0 2 0(2) ... (2) ...0 2 0 22 .. 2 00 2 .. 22 2 00 2 2nnnxf x f xxxf x nxf f-| | = |\ .| |= e |\ .| | | |+ + = + + = | |\ . \ .| | + + = |+ +\ .| | |\ .N 1p 1p 1p 1p 1p 2. a) 2 0 3 2 034g x xxx= + + === 1p 2p 2p b) 4 4 (3) 0, (4) 0 3 1,4 1 1 0 4g f f g c f fa a = = == =+ = = 2p 2p 1p c) { }{ }44551 0,1 , ( ) 1,2 ,f xa af a a= +e ee eZZ 1p 2p 2p SUBIECTUL al I II-lea (30 de puncte) 1. a) 0( ) (0)lim (0)( ) ln2012(2012 2012 )(0) 2ln2012xx xf x ffxf xf ' =' = +' = 2p 2p 1p b) 2012 0,( ) ln2012(2012 2012 ) 0,xx xxf x x> e' = + > eRR 2p 3p c) D f = R nu admite as.vericale 1p 60BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012 www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro lim ( ) , lim ( )x xf x f x = = deci fc.nu admite asimptote orizontale ( ) ( )lim , limx xf x f xx x = = deci fc.nu admite as.oblice 2p 2p 2. a) 121111 1ln2 11 ( 1)ln2 ( 2)( 1)eeeedxxxxeee e++== =+++ } 2p 2p 1p b) 232( ) ( 1)( )3g x xxg x dx x x C= = + +} 2p 3p c) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )3223'22231 1 1221211111 1 1 1, , 21 8 31 1|nnn n nx dxxx dxxn nnn x = =| |= = e > | \ . + }}N 1p 2p 2p BAREM DE EVALUARE I DE NOTARE Varianta 19 Prof: Brabeceanu Silvia + Pentru orice soluie corect, chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunztor. + Nu se acord fraciuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvri pariale, n limitele punctajului indicat n barem. + Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin mprirea punctajului obinut la 10. SUBI ECTUL I (30 de puncte) 61BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012 www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro 1. { }3 31 1 12 25 15, 4, 3, 2, 1x xxxx+ +s s s s s e `e )Z 3p 2p 2. ( ) 0 0 0fA G f c e = = 212444fbaaV Gba = = e A = = Finalizare ( )24 f x x x = 1p 3p 1p 3. Condiii 2 5 05,3 0 2xxx + > | e + |+ > . ( )222 5 3 4 4 0 x x x x + = + + + = 52 ,2x |= e +| . 1p 2p 2p 4. ( )244!62! 4 2 !C = = ( )255!205 2 !A = = Finalizare 3 6 5 20 118 + = 2p 2p 1p 5. 1v,i 2v,sunt coliniari 31 2aa = 1 2236 02aa aa = = = ; 0 3 a a > = 2p 3p 6. 2 2 2cos2BC BA ACBBC BA+ = 9cos16B= 3p 2p 62BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012 www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro SUBI ECTUL al I I -lea (30 de puncte) 1. a) 31 2 32 1 1 42 3 1A I | | | = | |\ . ( )3det 2 12 A I = 2p 3p b) ( ) det 2 A = ( ) ( ) det 2 0 3 A rang A = = = 3p 2p c) Din b). ( )1det 2 0 A A= = - inversa matricei A 1 1 13A A X A I X A = = , 113 7 1119 5 721 1 1A | | |= | |\ . Soluia ecuaiei este inversa matricei A 2p 1p 1p 1p 2. a) 6 e= elementul neutru al legii de compoziie dac 6 6 , x x x x - = - = eR 6 6 6 , x x x x - = + = eR 6 6 6 x x x - = + = x eR 3p 1p 1p b) ( ) ( )2 2 23 1 2 6 0 3 2 1 0 x x x x x x + - + > + > 1 2213 2 1 0 16 31xx xx =+ = A = = Folosind semnul funciei de gradul doi, soluia inecuaiei este ( |1, 1 ,3x |e | . 2p 2p 1p c) 2 7 2 71 1 1 1 1 16 62 22 2 2 2- - - = + + + 2p 1p 63BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012 www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro Formula 11, 11nn qS a qq = = a progresiei geometrice de raie 12q= Calcule care vor conduce la 77 71 112 21 136 35 35 012 22 (| | ( |\ . ( | | = = + < |\ . 2p SUBI ECTUL al I I I -lea (30 de puncte) 1. a) Condiia ca o funcie s fie continu ntr-un punct 0x ( ) ( )0 02 2; lim lim3 3 x xf x f x = = _ ( )203f f = continu n 00 x = 2p 2p 1p b) ( ) ( )( )221, 031, 03xxf xxx < ' = > + f descresctoare pe intervalul ( ) ,0 i cresctoare pe intervalul ( ) 0,+ 3p 2p c) ( ) ( ) ( )21; 1; 0lim lim3 x xf x f x f+ = = = Din tabelul de variaie al funciei: ( )2,1 , 3f x x |e e| . R 2p 3p 2. a) ( )211 4 8 16 n f x x x = = + + ( ) ( )32 214 8 16 4 4 16 c3xf x dx x x dx x x = + + = + + +} } 1p 4p b) ( ) ( )1 1210 04 8 16 A f x dx x x dx = = + +} } 2p 3p 64BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012 www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro 13204 644 163 3xA x x| |= + + = |\ . c) ( )22 221 116 16 16x xf x x xe dx e dxx x + = } } ( ) ( ) ( )2 2211 116 1 16 1 16 2 1x x xx e dx x e e dx e e (+ = + = } } ( 2p 3p BAREM DE EVALUARE I DE NOTARE Varianta 20 Prof: Brabeceanu Silvia + Pentru orice soluie corect, chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunztor. + Nu se acord fraciuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvri pariale, n limitele punctajului indicat n barem. + Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin mprirea punctajului obinut la 10. SUBI ECTUL I (30 de puncte) 1. 454 a = , 3 q= i 12 a = ( )61617281a qSq = = 3p 2p 2. Ecuaia ( )21 0 mx m x m + + = are soluii reale egale 0 A = . ( )224 0 1 4 0 b ac m m m = + = 1p 1p 3p 65BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012 www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro 12213 2 1 013mm mm= + + = = 3. Condiii ( ) 3 0, 3,1,12 2 1 0, ,2x xxx x + > e + | | e + | | | > e + \ . | \ . ( ) ( ) ( )( )2 23 2 1 2 3 2 1 4 log log x x x x + + = + = 2 172 5 7 0 2xx x =+ = 21 x = 2p 1p 2p 4. Numerele naturale abcscrise cu cifrele 1 i 2, corespund funciilor { } { } : , , 1,2 f a b c care sunt n total 32 8 = , deci sunt 8 numere: 111, 112, 121, 122, 211, 212, 221, 222. Favorabile cerinei de a fi divizibile cu 4 sunt doar dou dintre ele: 112i 212. Probabilitatea cerut este 20,258p= = 3p 1p 1p 5. CM - mediatoarea segmentului AB C mijlocul segmentului i CM AB . 11 12 2,1 2 22 2A BCA BCx xxCy yy+ = = | |` |+ \ .= = ) 113CM AB CMCM AB m m m = = ( ) : : 3 1 0C CM CCM y y m x x CM x y = + = 1p 1p 1p 2p 6. Se utilizeaz formula lui Heron: ( )( )( ) S p p a p b p c = unde 2a b cp + += este semiperimetrul triunghiului. 6 7 11122p + += = ( )( )( ) 12 12 7 12 11 12 6 6 10 S= = 2p 1p 2p 66BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012 www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro SUBI ECTUL al I I -lea (30 de puncte) 1. a) 24 412 12A | |= |\ . i 2 226 6A | |= |\ . 21 12 23 3A A | | = |\ . 1 12 23 3 A | |= |\ . 2p 2p 1p b) Din a).24 A A = ( ) ( ) ( ) ( )22 2 2X a X b I aA I bA I aA bA abA = + + = + + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 24 4 4 X a X b I aA bA ab A I a b ab A X a b ab = + + + = + + + = + + 1p 2p 2p c) ( ) X a este inversabil ( ) ( )det 0 X a = ( )213 1 3a aX a I aAa a+ | |= + = | +\ . ( ) ( )1 det 1 43 1 3a aX a aa a+ = = + + ( ) , 1 4 0 a a X a e + = Z inversabil 2p 1p 1p 1p 2. a) 3 23 15 4 m f X X X = = + + mprirea obinuit sau schema lui Horner 23 9, 14 q X X r = + = 1p 3p 1p b) Efectuarea mpririi f divizibil cu 4 0 X r + = 350 17 35 017r m m = = = 2p 1p 2p c) Relaiile lui Viete 1231152SSS= = = 1p 67BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012 www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro ( ) ( )( ) ( )11 12 2 2 22 3 1 23 3 3 2 2 22 3 2 3 1 2 33 3 3 2 2 21 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 32 3115 6 0,15 6 40x x x S Sx x x x x x x x xx x x x x x xx xx x x+ + = =+ + + + + + + =+ + = + + + + + = 2p 2p SUBI ECTUL al I I I -lea (30 de puncte) 1. a) ( ) ( )2 ln2xf x x '' = ( ) ( )2 1 ln2xf x ' = 2p 3p b) ( ) ( ) ( ) limx af x f af ax a ' = ( ) ( ) ( )111 ln2lim1 xf x ffx ' = = 2p 3p c) ( ) ( )0 2 1 ln2 0xf x ' = = ln2 0 > 2 1 0 0xx = = 1p 2p 2p 2. a) 1001 I xdx = }. Subst.0 11 ; 2 11 0x tx t dx xdtx t= = = = = = 1200223I t dt = =} ( )1 12 410 041 215I x xdx t t dt = = =} } 3p 2p b) Se aplic metoda integrrii prin pri 1 1 110 0 02 21 1 13 3n n nn n nI x xdx x xdx x xdx= = } } } 12 23 3n n nn nI I I= 1 12 2 213 3 2 3n n n nn n nI I I In | |+ = = | +\ . 1p 2p 1p 1p 68BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012 www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro c) 11101nnI x xdx++ = } | |10,1 n nx x x+ e s i cum 10 1 1 1 1n nx x x x x+s s s Deci ( )1 11100 01 1n nn n n nx xdx x xdx I I I++ > s s } }descresctor 1p 2p 2p BAREM DE EVALUARE I DE NOTARE Varianta 21 Prof: Brabeceanu Silvia + Pentru orice soluie corect, chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunztor. + Nu se acord fraciuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvri pariale, n limitele punctajului indicat n barem. + Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin mprirea punctajului obinut la 10. SUBIECTUL I (30 de puncte) 1. Raionalizarea fiecrei fracii sau aducerea la acelai numitor ( ) ( )2 22 3 2 3144 3+ + = Finalizare 14eN 1p 3p 1p 2. Pentru ca s existe intervalul I se pune condiia: 21 3 42 4x x + +s 1p 3p 69BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012 www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro 22 3 2 0 x x s Finalizare 1,22x (e ( 1p 3. ( ) ( ) 1,1 1 1fA G f e = i 1 1 1 1,3 2 3 2fB G f| | | |e = | |\ . \ . Rezolvarea sistemului 3 2 12 4 3a ba b + = + = 1 11,8 16S | |= ` |\ . ) 2p 3p 4. Fie x- preul iniial. 18% x din 820 x= . 18 41820 820100 50x x x = = 1000 x= 2p 2p 1p 5. 2 2 3 2 2 3 BC BA u v BC AB AB AC + = + + , , , , , , , , ( ) ( )2 2 2 2 2 BC CA AB AB CA AB AB CB AB CB + + + + = + + = +, , , , , , , , , , 2p 3p 6. ( )030 2 40 3 mC BC AB = = = Din teorema catetei 210 3 AB BC BD BD = = 30 3 CD BC BD = = Se aplic teorema nlimii 230 AD BD DC = = 1p 2p 1p 1p SUBIECTUL al I I-lea (30 de puncte) 1. a) ( )11,2 A i ( )22,5 A Ecuaia dreptei 1 11 22 1 2 1: x x y yAAx x y y = 1 2:3 1 0 AA x y = 1p 2p 2p 70BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012 www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro b) Punctele 1 2, , nA A A sunt coliniare dac determinantul 21 2 12 5 1 01 1 n n =+ 1 2213 2 02nn nn = + = = 2p 3p c) 1 2 312A A AA = A. 1 2 12 5 1 23 10 1A = = 1 2 312 12A A AA = =. 2p 2p 1p 2. a) ( ) ( )1 1, 1 2 1 12 2x y x y xy x y xy x y e = + + = + + R ( ) ( ) ( ) ( )( )1 1 1, 1 1 1 1 1 1 1 12 2 2x y xy x y x y y x y ( e + + = + = + R 2p 3p b) ( )( ) ( )( )3 1 11 15 3 1 5 1 3 1 1 1 5 1 3 1 02 2x x x x x x = + = = 5 1 0 0x x = = 33 1 0 3x x = = 3p 1p 1p c) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 1 11 1 1 12 2x x x x x x x x x x x x x ( ( = = + + ( ( Se aplic n continuare a). Finalizare ( )5411 12x x x x x x = + 2p 2p 1p SUBIECTUL al I II-lea (30 de puncte) 1. a) Asimptota oblic are ecuaia , 0 y mx n m = + = 1p 71BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012 www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro ( )1limxf xmx += = ( ) 1limxn f x mx+ ( = = = 1 y x = + 2p 1p 1p b) ( )( )226 83x xf xx+ +' =+ ( )1 2240 6 8 02xf x x xx = ' = + + = = Din tabloul de variaie al funciei rezult c 1 2, x x sunt puncte de extrem 2p 1p 2p c) ( )224 4lim lim3x xx xf x x xLx x x + +| | | | + += = | |+\ . \ .caz exceptat 1 1 lL e e e = = = 2241lim3 xx xlx x ++= =+ 1p 3p 1p 2. a) 226 16 99 x xx xs s ++ ( )220 9 6 0 3 x x x s + s ( )23 0 x > adevrat pentru ( ) 0, x e + 1p 2p 2p b) ( )33 321 111 16 69 3 3xf x dx dx arctgx= = } } + ( )31126 3f x dx arctg | |= } |\ . 3p 2p c) Integrnd relaia de la punctul a). avem ( )1 1 11ln 1ee ef x dx dx xxs = =} } 2p 2p 72BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012 www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro Folosind punctul b). avem 12 13arctge arctg| | s |\ . Finalizare 1 12 3arctge arctg s + 1p BAREM DE EVALUARE I DE NOTARE Varianta 22 Prof: Ciocnaru Viorica + Pentru orice soluie corect, chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunztor. + Nu se acord fraciuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvri pariale, n limitele punctajului indicat n barem. + Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin mprirea punctajului obinut la 10. SUBI ECTUL I (30 de puncte) 1. Termenul general al progresiei aritmetice an = a1 + (n - 1) r, precizarea valorilor lui a1, n, r. Calculul lui a11 =2 +(11- 1) 3 de unde rezult a11 =32 3p 2p 2. Formula loga a =1, 0 x xxx, f(1) =(1+3)ln1=0 f continu n x0 =1. f admite primitive pe R. 2p 2p 1p b) 0 i 21 1 deci dxx x fe} +213) ( = dxx x xe} ++213ln ) 3 (= dx xe}21ln . Formula de integrare prin pri dx x g x f x g x f dx x g x f ) ( ) ( ' ) ( ) ( ) ( ' ) ( } } = f, g derivabile cu derivatele continue. dx xe}21ln = dx x x ee}2211| ln =2 21 1| | ln e ex x x =e2 +1. 2p 1p 2p BAREM DE EVALUARE I DE NOTARE Varianta 23 Prof: Ciocnaru Viorica + Pentru orice soluie corect, chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunztor. + Nu se acord fraciuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvri pariale, n limitele punctajului indicat n barem. + Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin mprirea punctajului obinut la 10. SUBI ECTUL I (30 de puncte) 1. Termenul general al progresiei aritmetice an = a1 + (n - 1) r, precizarea valorilor lui a1, n, r . Suma primilor n termeni ai progresiei aritmetice Sn =2) (1 n a a n+. 3p 77BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012 www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro Calculele a25 = 3 + (25 - 1) (-2) =3 48 =- 45, S25 =225 ) 45 3 ( = -21 25= - 525. 2p 2. Ecuaia de gradul al II-lea are soluii reale egale pentru = 0. =b2 4ac =(m 1)2 - 4 2m=m2 10m+1. = 0 m2 10m+1 =0, m =100 4 =96, m1,2 =ab m2 A m1,2 =5 6 2 . 1p 2p 2p 3. Intersecia Gf cu Ox nseamn rezolvarea ecuaiei f (x) =0. 32x+1-1=0 32x+1=1 2x+1=0 x = 21 deci Gf Ox ={A}, A(21 ,0 ). Intersecia Gf cu Oy nseamn f (0), f (0) =32 0+1-1=2 deci Gf Oy ={B}, B(0, 2) . 1p 2p 2p 4. Formulele knC =)! ( !!k n k n, n k s s 0 , Pn = n! Calculele 2nC =2) 1 ( n n, P3 =6 conduc la ecuaia n (n - 1) =12 n =4. 2p 3p 5. Condiia ca doi vectori t =a i + bj i r =c i + dj s fie coliniari ca=db Calculele pentru ca vectorii v i us fie coliniari 32 + a=23 a 3(a - 3) +2(a +2) =0 5a =5 a =1 2p 3p 6. sin (a +b) =sin a cos b +sin b cos a, a, beR 750 =450 +300 sin 750 =sin 450 cos 300 +sin 300 cos 450, valorile remarcabile sin 450 = cos 450 =22, sin 300 =21, cos 300 =23 sin 750 =22(23+21) = ). 1 3 (42+ 2p 1p 2p SUBI ECTUL al I I -lea (30 de puncte) 78BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012 www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro 1. a) Ecuaia dreptei BC: 111C CB By x y x y x =0 1 2 31 2 11 y x =0, B(1, 2) i C(- 3, -2) Calculele 2x - 2 - 3y +6 +2x y =0 x y +1 =0. Ecuaia dreptei BC: x y +1 =0. 2p 2p 1p b) A(3, a), B(a, 2) i C(- 3, -2) pentru a =-2 devin A(3, -2), B(-2, 2) i C(- 3, -2) AABC = 21111C CB BA Ay x y x y x , AABC = 211 2 31 2 21 2 3 Calculul determinantului conduce la AABC = 12 3p 2p c) 111C CB BA Ay x y x y x =0 pentru ca A, B, C s fie coliniare. 1 2 31 21 3 a a =6 - 2a -3a +6 +6 a2 = a2- 5a +18 , a2 +5a -18 =0. a1,2 =272 25 5 + , se reine valoarea pozitiv deci S ={297 5+ }. 1p 2p 2p 2. a) 2x +3 =1 2x +3 +2=1+2. 2x =3 x = 4 n Z5. S ={4} 1p 3p 1p b) 213132321 =1 2 3+1 2 3+1 2 3- (3 3 3+1 1 1+2 2 2) 1 2 3=1, 3 3 3=2, 2 2 2=3 de unde rezult valoarea determinantului 3- (2+1+3) =2 3p 2p c) Prin adunarea membru cu membru a celor dou ecuaii se obine 3x =4 x =3. Prin nlocuirea n prima ecuaie a sistemului se obine 1+y =1y =0. 2p 2p 79BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012 www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro Soluia sistemului n Z5 este S ={(3, 0)}. 1p SUBI ECTUL al I I I -lea (30 de puncte) 1. a) ' ' ) ('fg g f g f + = , + + = ) 3 ( )'2(ln )) ( ) ( (22'x xxx x g x f )' 3 )(2(ln22x xxx + , x >0. = ')) ( ) ( ( x g x f ) 3 )(1(2x x xx + + ) 3 2 )(2(ln2 + xxx = ')) ( ) ( ( x g x f x3- 3x 2+x - 3 + ) 3 2 )(2(ln2 + xxx . 2p 2p 1p b) Curbura funciei se stabilete folosind f (x). Din punctul a) )'2(ln ) ( '2xx x f + = = xx+1. f (x)= ( xx+1) = 112 + x =221xx . f (x)= 0 x 2 1 =0 x1,2 = 1 . Funcia f este convex pe intervalele ( , 1 ) (1, + ) i concav pe intervalul (-1, 1). 1p 1p 1p 2p c) ) () (limx g x fx =x xxxx32lnlim22+ . )2(ln lim2xxx + = + , ) 3 ( lim2x xx = + . Nedeterminarea se rezolv cu regula lui lHopital. Din punctual a) xxxx + = +1)'2(ln2, )' 3 (2x x =2x 3 ) () (limx g x fx =) ( ') ( 'limx g x fx , pentru care se aplic iar regula lui lHopital ) ( ') ( 'limx g x fx =) ( ' ') ( ' 'limx g x fx =211lim + xx=21. 1p 1p 1p 2p 80BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012 www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro 2. a) Pentru xe[1, 3] dx x f}) ( = dxxx x} + + )2(2, formulele cnxdx x nn++= +}11, c x dxx + =}ln1 Calculele dx x}2= cx+33, dx x}= cx+22, c x dxx + =}ln 22. Finalizarea dxxx x} + + )2(2 = c xx x+ + + ln 22 32 3, e x [1, 3]. 2p 2p 1p b) dx exx x f x)2) ( (231 } = dx xex}31. Formula de integrare prin pri dx x g x f x g x f dx x g x f ) ( ) ( ' ) ( ) ( ) ( ' ) ( } } = f, g derivabile cu derivatele continue. dx xex}31=31|xxe - dx ex}31. dx xex}31=31|xxe -31|xe =2e3. 1p 1p 1p 2p c) Formula V = dx x g ) (221}, g(x) =f(x) x = x 2 +x2 . g2(x) =(x 2 +x2)2=x4 +4x +24x. Calculele V = dxxx x )44 (2421 + +} = (55x+22x -x4)21| =( 8531+ ) =571 . 2p 1p 2p BAREM DE EVALUARE I DE NOTARE Varianta 24 Prof: Ciocnaru Viorica + Pentru orice soluie corect, chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunztor. + Nu se acord fraciuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvri pariale, n limitele punctajului indicat n barem. + Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin mprirea punctajului obinut la 10. 81BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012 www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro SUBI ECTUL I (30 de puncte) 1. Formula termenului general al progresiei geometrice bn =b1 qn-1, (bn > 0 din enun) , aplicarea ei n relaiile din enun b1 - b1q =4, b1 - b1q3 =7 conduce la 4(1+q +q2) =7 4 q2 +4q 3 =0 cu soluiile q1,2 =848 16 4 + , q1 =21, q2 =23 . Pentru q2 =23 termenii progresiei geometrice nu vor fi toi pozitivi. Pentru q1 =21 se calculeaz b1 =8 i b12 =8 (21)11 =(21)8. 3p 2p 2. Condiia de existen pentru 12+xx este x - 1= 0. 125 +xx=125 125 +xx=53 12+xx= 3. x+2 =3x 3 x =25, 25 verific x - 1= 0 i deci S ={25}. 1p 2p 2p 3. Condiiile de existen pentru logaritmi x >0, 2x - 1 >0, x +1 >0 conduc la x >21 log 3 x + log 3 (2x - 1) =2 log 3 (x +1) log 3 x (2x - 1) =log 3 (x +1)2 x (2x - 1) =(x +1)2 2x2- x =x2 +2 x +1 x2 - 3 x -1 =0. Rezolvarea ecuaiei de gr. al II-lea duce la soluiile x1,2 =213 3 , 213 3+ >21 Mulimea soluiilor ecuaiei logaritmice este S = {213 3+}. 1p 2p 2p 4. V( ,2ab a 4A ) , intersecia Gf cu Oy se obine calculnd f(0). ab2 = 23, a 4A = 47 V(23,47) i f(0) =4 Gf Oy ={(0, 4)}. 2p 3p 5. Condiiile ca doi vectori t =a i + bj i r =c i + dj s fie egali sunt a = c, b = d. v=u dac 5a + 1 = 3,5 i 2b 3 =2,4 de unde a = 0,5 i b =2,7 deci S ={(0,5; 2,7)}. 2p 3p 82BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012 www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro 6. Teorema cosinusului a2 =b2 +c2 2bc cos A, cu a =BC, b =AC, c =AB. b =10, c =8, cos A =cos 600 =21. a2 =102 +82 2 10 8 cos 600 =100 +64 80 =84 a = 84= 2 21. 2p 1p 2p SUBI ECTUL al I I -lea (30 de puncte) 1. a) A B = 1 2 00 0 21 1 1 . det (A B) = 4 2 = 2 . Tr (A -B) =1+0 +(-1) =0 2p 2p 1p b) A inversabil dac det A = 0, det A=1 +8 6 6 =- 3 = 0 deci - A-1 At = 1 0 22 1 33 2 1 , formula A-1 =A det1 A* , A* matricea complemenilor algebrici ai lui At. Calculele A11 =1, A12 =1, A13 =-2, A21 =-2, A22 =-5, A23 =4, A31 =1, A32 =7, A33 =-5 A-1 =315 7 14 5 22 1 1 3p 2p c) Primul element al produsului A B 18. Fiecare din cele 4 puncte se acord dac se calculeaz corect cte dou elemente ale matricei produs dup relaia ai1b1j +ai2b2j +ai3b3j cu i, je{1, 2, 3}. A B = 11 8 116 5 47 5 18 1p 2p 2p 2. a) ) ( ) ( z y x z y x - - = - - , x, y, z eR. ( z y x xy z y x - + = - - ) 12 3 3 ( ) = z y x xy ) 12 3 3 ( + - 3 z y x xy 3 ) 12 3 3 ( + +12 ) ( z y x - - = ) 12 3 3 ( + - z y yz x = ) 12 3 3 ( + z y yz x - 3x - ) 12 3 3 ( 3 + z y yz +12 1p 3p 83BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012 www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro Dup desfacerea parantezelor i reducerea termenilor asemenea n cele dou expresii se obine ) ( ) ( z y x z y x - - = - - - este asociativ. 1p b) Relaia 12 3 3 + = - y x xy y x se transform dup nlocuirea lui y cu 5 n 12 5 3 3 5 5 + = - x x x =2 x - 3 x- 5 =1 2 x - 3 =1 x =2 deci S ={2}. 3p 2p c) Relaia 12 3 3 + = - y x xy y x se transform dup nlocuirea lui x cu 2 n 12 3 2 3 2 22 2 2+ = - n n n C C C = -2nC +6 2- 2nC >1 -2nC +6 >1 -2nC >-5, n > 2 2nC xxxx i a valorii funciei n x0 =0, f(0) =43. ls =ld =f(0) f este continu n x0 =0. 2p 2p 1p b) 2'' ') (g fg g fgf = . Dac 2 >0 se alege pentru derivare f(x) =43++xx. 2') 4 ()' 4 )( 3 ( ) 4 ( )' 3 ()43(+ + + + +=++x x x x xxx. f(x) =2) 4 (1+ x i f(2) =2) 4 2 (1+ =361. 1p 1p 1p 2p c) Asimptota orizontal se determin pentru x . 1p 84BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012 www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro l x fx = ) ( lim , l finit. 143lim =++ xxx. 143lim = xxx f admite asimptot orizontal de ecuaie y =1 la . 1p 1p 2p 2. a) f0(x) =112+ x, dx x f ) (0}= dxx} +112. dxx} +112=arctg x +c i dxx} +21211=arctg x21| . arctg x21| =arctg 2-4. 2p 2p 1p b) I2010 = dx x f}102010) ( = dxxx} +10220101 . I2012 = dx x f}102012) ( = dxxx} +10220121. I2010 +I2012 = dx x f x f ) ) ( ) ( (102012 2010} + = dxx x x} ++1022012 20101. I2010 +I2012 = dxx x x} ++1022 20101) 1 (= dx x}102010=102011|2011x=20111. 1p 1p 1p 2p c) f2(x) =122+ xx, A(f) = dxxx} +10221. Calculul 122+ xx=11 122+ +xx=1- 112+ x. A(f) = dx x f}102) ( = dxx} +102)111 ( =(x - arctg x)21| =1- arctg 2 +4. 2p 1p 2p 85BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012 www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro BAREM DE EVALUARE I DE NOTARE Varianta 25 (ascuns - pentru teste) BAREM DE EVALUARE I DE NOTARE Varianta 26 Prof: Dogaru Ion SUBIECTUL I (30 de puncte) 1. 169 A = 11x7= ; 2x 2 = 1x [ ,2]7e 1p 2p 2p 2. N =Numrul submulimilor cu 3 elemente ale mulimii A care conine elementul 5 este egal cu numrul submulimilor cu 2 elemente ale mulimii A\{5}; N =29C 36 = 3p 2p 3. Nr.caz.fav. =81; Nr.caz.posib.=90; p =nr.caz.fav.0,9nr.caz.posib.= 2p 2p 1p 4. x 1 06x 5 0 > >x (1, ) e + ; 6x2 11x 95 =0; 2401 A = ; x1=5 (1, ) e + ; x2 =19(1, )6 e + 1p 1p 1p 1p 1p 5. d2(A,B) =(m +5)2 +( - m-7)2 =100; m2 +12m 13 =0; 196 A = ; m1 =- 13 ; m2 =1 2p 2p 1p 6. u v 6i 3j + = , ,, ,; u v 3 5 + =, , 2p 3p SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte) 1. a) rangA 2 x \{1} > eR ; rangA 2 detA 0 > = ; rangA =2 x 2 = 1p 2p 2p b) Pentru x =- 2 3 3 3A 3 3 33 3 3- | | | = | |\ .; 3p 86BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012 www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro detA* =0 2p c) Y1,3( ) eM R ( ) Y x y z ;x,y,z = eR; x =- 1 i YA =B x y z 1 = = = , Y = ( ) 1 1 1 2p 3p 2. a) f =x3 9x2 x +9 =(x2 1)(x 9); q =x 9; r =0 3p 2p b) x1, x2, x3 rdcini f(x1) =f(x2) =f(x3) = 0 i x1 +x2 +x3 =9; 3 3 3 2 2 2 2 2 21 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3x x x 9(x x x ) (x x x ) 27 9(x x x ) 18 + + = + + + + + = + + 2p 3p c) f(3x) =0 (3x 1)(3x +1)(3x 9) =0; 3x 1 =0 x =0; 3x +1 =0 ecuaie imposibil; 3x 9 =0 x =2 2p 1p 1p 1p SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 1. a) 3 3xlim x 3x 4 + = Gf nu are AO xf (x)lim 1x = ; xlim[f (x) x] 1 = ; y =x +1 , asimptot oblic; f cotinu pe R fG nu are AV 1p 1p 1p 1p 1p b) 3 2x 3x 4 0 x 1,x 2 + = = = ; 23 3 2x 2xf (x) , xx 3x 4+' = e+ R\{-2,1}; 2f (x) f (x) x 2x, x ' = + e R\{-2,1} 1p 2p 2p c) f(-2) =0 f nu este derivabil n x0 =- 2; 3 3 23sx 2 x 2x 3x 4 x 1d lim limx 2 x 2 + = = = ++ + ; 3 3 23dx 2 x 2x 3x 4 x 1d lim limx 2 x 2 + = = = + +_ _ 1p 2p 2p 2. a) 2f (x) 3(x 1);f (x) 0 x 1 ' ' = = = ; f este strict cresc. f (x) ' >0 x ( , 1),respectiv(1, ) e + ; f este strict descresc. f (x) 0 ' < x ( 1,1) e 1p 2p 2p b) I =3 322 2f (x)dx (x x 2)dxx 1 = + } }; I =33 22x x2x3 2+ =416 2p 3p c) 22x 13 2 4 1, x [ 1,0]f (x) x 1 (x 1) x 2 = e +; I =20113( )xdxf x}=0142ln x 1 ln x 2x 1 + +; I =- 2 3ln2 2p 2p 1p 87BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012 www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro BAREM DE EVALUARE I DE NOTARE Varianta 27 Prof: Dogaru Ion SUBIECTUL I (30 de puncte) 1. (1 +i)4 =- 4 ; (1 - i)4 =- 4 ; (1 +i)2012 - (1 i)2012 =(- 4)503 - (- 4)503 =0 1p 1p 3p 2. 11x 4 0x 2 0+ > >x 2 > ; x2 15x =0 x =0 i x = 15; Soluia ecuaiei: x = 15 2p 2p 1p 3. a6 =a3 +3r; a16 =a19 3r; a3 +a19 =a6 +a16 =2012 1p 1p 3p 4. x2 1 =0 x 1 = ; x +2 =0 x 2 = ; x -2 -1 1 + x +2 - - - - - 0 + + + + + + + + + + x2 1 + + + + + + + 0 - - 0 + + + +(x +2)(x2- 1) - - - - - 0 + + +0 - - - 0 + + + + +| | | | x 2, 1 1, e + 2p 2p 1p 5. Fie M mijlocul segmentului [AB] M(-1,2); mAB =- 1 m' =1 Ecuaia mediatoarei lui [AB]: x y +3 =0 1p 2p 2p 6. 2 2 2sin x cos x cosx 2cos x cosx 1 0 = + = ; cosx 1 x { 2k ,k } = e t + t eZ ; 1cosx x { 2k ,k }2 3t= e + t eZ ; 5x [0,2 ] x { , , }3 3t te t e t 1p 1p 2p 1p SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte) 1. a) 2 11, rangM 2, m3 1= > eR; detM =m2 6m +5; rangM =2 detM =0 m =1 sau m =5 2p 2p 1p b) A,B,C sunt necoliniare detM 0 = ; m2 6m +5 = 0 m \{1,5} eR 3p 2p c) AABC =21 1detM m 6m 52 2= + ; 2m [1,5] 0 m 6m 5 4 e > + > ; AABC maxim = 2 2p 2p 1p 88BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012 www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro 2. a) Observm c | |1x y (5x 6)(5y 6) 6 ; x,y5- = + + e; | |1(x y) z (5x 6)(5y 6)(5z 6) 6 x (y z)5- - = + + + = - - , x,y,z e; - este asociativ 1p 3p 1p b) Elementul neutru al operaiei - este e =- 1 e ; 1x x e [(5x 6)(5x 6) 6] 15' ' - = = + + = ; 15x 65x 6' + =+ Cum 1x 5x 6 { 1,1}5x 6' e e + e + ; 5x { 7, 5} e .Deci x =-1 este simetrizabil i x 1 ' = 1p 1p 1p 1p 1p c) Observm c 21x x (5x 6) 6 ; x5- = + e ( ; Inductiv obinem 2012de2012ori1x x ... x (5x 6) 65- - - = + ( _; 20121(5x 6) 65 + ( =-1 ; 5x 6 1 x 1 + = = e 1p 2p 1p 1p SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 1. a) xf (x) (x 2)e , x ' = + eR; f (x) 0 x 2 ' = = ; Pe ( , 2] f este strict descresctoare; Pe [ 2, ) + f este strict cresctoare 2p 1p 1p 1p b) xf (x) (x 3)e , x '' = + eR; f (x) 0 x 3 '' = = ; Pe ( , 3] f este concav; Pe [ 3, ) + f este convex 1p 2p 2p c) xxx x xx 1limf (x) lim(x 1)e lim 0e += + = = ; y =0 ; AO spre 3p 2p 2. a) F(x) =3x2 +2lnx +C ; x e[1, ) + ; F(1) =2012 C =2009; F(x) =3x2 +2lnx +2009 2p 2p 1p b) 222 3 111V f (x)dx (12x 24x 4x )= t = t + }; V 110 = t 3p 2p c) xf (x)lim 6 mx = = ; | |x x2limf (x) mx lim 0 nx = = = ; y =6x este asimptota oblic ctre + a graficului funciei f. 2p 1p 2p 89BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012 www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro BAREM DE EVALUARE I DE NOTARE Varianta 28 Prof: Dogaru Ion SUBIECTUL I (30 de puncte) 1. (1 +i)4 =- 4 ; (1 +i)4 =- 4 ; (1 +i)2012 - (1 i)2012 =(- 4)503 - (- 4)503 =0 1p 1p 3p 2. Notm 3x =y 3y2 10y +3 =0 y1 =3; y2 =1/3; 3x =3 x =1; 3x =1/3 x =- 1 3p 1p 1p 3. a6 =a3 +3r; a16 =a19 3r; a3 +a19 =a6 +a16 =2012 1p 1p 3p 4. 1 2n 1 n 1C C 36+ ++ = (n +1)(n +2) =72; n +1 =8 n =7 3p 2p 5. Fie M mijlocul segmentului [AB] M(-1,1); mAB =- 3/4 m' =4/3 Ecuaia mediatoarei lui [AB]: 4x 3y +7 =0 2p 1p 2p 6. 2 2 2sin x cos x cosx 2cos x cosx 1 0 = + = ; cosx 1 x { 2k ,k } = e t + t eZ ; 1cosx x { 2k ,k }2 3t= e + t eZ ; 5x [0,2 ] x { , , }3 3t te t e t 1p 1p 2p 1p SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte) 1. a) t tlnt 0H (t) 0 t 0 ; t 00 0 1- | | |= > | |\ .; detH*(t) =t2 3p 2p b) H(x) H(y) =1 lnx lny 00 1 00 0 xy+ | | | | |\ .; x,y (0, ) e + ; Deci H(x) H(y) =H(xy); x,y (0, ) e + 3p 2p 90BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012 www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro c) H(1)+H(2)+H(3)+.+H(10) =10 ln(1 2 ... 10) 00 10 00 0 55 | | | | |\ .; det[H(1)+H(2)+H(3)+.+H(10)] =5500 3p 2p 2. a) x 2 x 2 0xy 2x 2y 4 0y 2 y 2 0> > + >`> > ); x y xy 2x 2y 6 - = + eG; x,y eG; G este parte stabil fa de operaia * 3p 1p 1p b) Observm c operaia * este comutativ; Elementul neutru: e =3; x x 3 x(x 2) 2x 3, x ' ' - = = eG; 1x 2 0, xx 2' = + > eG 1p 1p 1p 2p c) ( 2)( 2)( 2) 2, , , - - = + e x y z x y z x y z G 1 2 82 3 9- - -3 4 10... 2 72 3 9 = + = 2p 3p SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 1. a) 2011( ) 2012 2012, ' = + eR f x x x ; f(1) =0; f (0) =2012; f(1) +f (0) =2012 2p 1p 1p 1p b) (1) (1)( 1) ' = y f f x ; y =4024(x 1) 3p 2p c) 2010( ) 2012 2011 , '' = eR f x x x ; ( ) 0, '' > e R f x x f este convex 3p 2p 2. a) f(x) =x3 +3x, xeR (1) 14 21 130 003( ) ( 3 )4 2= = + = +} } x xI f x dx x xdx ; I =74 1p 3p 1p b) f5(-x) =[(-x)3 +3(-x)]5 =- f5(x), xeR; f 5 este funcie impar 151( ) 0 =} f x dx 3p 2p c) 4 200( 1) 3( 1)( 1)4 2 = +} xx t tf t dt =4 2( 1) 6( 1) 74 + x x; 4 204 4( 1)( 1) 6( 1) 7 1lim lim4 4 + = =}xx xf t dt x xx x 3p 1p BAREM DE EVALUARE I DE NOTARE 91BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012 www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro Varianta 29 Prof: Gaga Loghin + Pentru orice soluie corect, chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunztor. + Nu se acord fraciuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvri pariale, n limitele punctajului indicat n barem. + Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin mprirea punctajului obinut la 10. SUBI ECTUL I (30 de puncte) 1. Se observ c, n irul 1,5,9,, ntre oricare 3 termeni 1 1, ,k k ka a a + ai irului exist relaia 1 1 1 11842 2k k k kk k ka a a aa a a + + + += = = + = , deci irul reprezint o progresie aritmetic, cu 11, 4 a r = = . ( ) ( )111 61; 1 61 1 4 1 162 2nna aS n n a a n r n n+ += = = + = + = . Deci 3116 496 S= = 3p 2p 2. Se vede c obinem ( ) 4 f dac facem 12x= ( )21 1 2 34 2 3 5 5 42 2 4 2f | | = + = + = |\ . 2p 3p 3. 2 2 2 2 2log 2 log 8 log 2 3log 2 4log 2x x x x x + = + = . Deci 2 24log 2 4 log 2 1 2 2 4x x x x = = = = 3p 2p 4. Dac elementul 1 intr n toate submulimile, numrul de submulimi va fi format din combinrile de 9 luate cte k, unde { } 0,1,2, ,9 k= . Deci numrul de submulimi este 0 1 9 99 9 92 512 C C C + + = = . 3p 2p 5. Doi verctori sunt perpendiculari dac produsul lor scalar este nul, adic 1 20 v v = ( ) ( )1 20 4 2 3 1 0 11 v v m m m = + = = . 2p 3p 6. sin2ABC AB BC BA = ; ( )( )( ), 92ABC AB BC ACA p p a p b p c unde p + += = = ( )( )( ) 9 9 8 9 6 9 4 3 15ABCA = = 2p 1p 92BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012 www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro Deci, 2 6 15 3 15sin32 16ABCABAB BC= = = 2p SUBI ECTUL al I I -lea (30 de puncte) 1. a) 223 0 3 0 3 00 1 0 1 0 1M M M | | | | | |= = = | | |\ . \ . \ .. Observm c 3 0,0 1nnM n -| |= e |\ . N . Demonstrm prin inducie. Presupunem adevrat c 3 00 1kkM | |= |\ . i demonstrm 113 00 1kkM ++ | |= |\ . 113 0 3 0 3 00 1 0 1 0 1k kk kM M M ++ | | | | | |= = = | | |\ . \ . \ .. Deci 3 0,0 1nnM n -| |= e |\ . N 2p 2p 1p b) 3 0 3 0det 30 1 0 1n nn| |= = |\ . ( )1 67 det 4 3 729 7 3 4 3 729 3 3 5n n n n nM n+ = = = = 2p 3p c) 2 2012 2 20122 20123 0 3 0 3 0 3 3 3 00 1 0 1 0 1 0 2012M M M | | | | | | + + + | |+ + + = + + + = | | | |\ . \ . \ . \ . 2012 20122 20123 1 3 13 3 3 3 33 1 2 + + + = = , fiind suma unei progresii geometrice cu raia 3 i primul termen 3. Deci ( )20123 3 1020 2012S | | |= | |\ . 2p 2p 1p 2. a) ( )( ) ( )( )1 0 2 1 2 02 3 54 2 12 42 0 16 4 1 2 0f m n m n mm n nf m n = + + = + = = = == + + = 5p b) ( ) ( )22 2 31 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 34 2 4 x x x x x x xx xx x x + + = + + + + = 1 2 31 2 1 3 2 3120mx x xxx xx x x+ + + = + + = 2p 1p 93BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012 www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro ( ) ( ) ( )( )22214 1 4 3 5 0 34mm m m m+ = + = + = = 2p c) 4 2 4 22 625 6 25 8 0 2 5 6 5 8 0 5 3 5 4 0x x x x x x + = + = + = Notez 2 25 0 3 4 0; 9 16 0xt t t = > + = A = < Ecuaia nu admite soluii reale. 2p 2p 1p SUBI ECTUL al I I I -lea (30 de puncte) 1. a) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )( )22 2 2 24 42 231 2 1 1 1 1 21 12 11x x x xxe xe x xe x e x x x xf xx xe x xx + ( + ' = = = ( = 5p b) ( )( ) ( ) ( )( )32 22 2 2 21lim lim lim 12 1 2 1 1xxx x xf x xxe x xf x x x e x x x = = =' 5p c) Ecuaia tengentei ntr-un punct ( )0 0, x y la graficul funciei f(x) este ( )0 0y y m x x = , unde ( )0m f x ' = i ( )0 0y f x = . n cazul nostru ( ) ( ) ( )0 0 02, 2 2; 2 1 x y f x f m f ' = = = = = = ( ) 2 2 4 0 y x x y = + = , care este ecuaia tangentei 2p 2p 1p 2. a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )1 1 12 2 21 1 1131211ln 2 ln 2 2 ln 2 2 214 324 1 4 83 3 3x f x x dx x x x x dx x dxxx dx + + = + + + + + = + =+= + = = =} } }} 5p 94BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012 www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro b) ( )( )( ) ( )2 21 1 2 11 ;2 2 21 2 1 1022 2x xf xx x xx x xf xx x x ' = = =+ + +' + + | |'' = = = < |+\ . + + Deci funcia este concav pe ( ) 2; 2p 2p 1p c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )11 1 1 11 1ln 2 ln 2 ln 22ln( 2) ln3 2ln( 2) ln( 2) ln3 1 2ln( 2) 2ln3 ( 2)ln( 2)1 3ln3e e e eee exA g x x dx x x dx x x dxxe e x x e e e e e e e'= = + = + = + =++ + + = + + + + = + + + } } } }2p 3p BAREM DE EVALUARE I DE NOTARE Varianta 30 Prof: Gaga Loghin + Pentru orice soluie corect, chiar dac este diferit de cea din barem, se acord punctajul corespunztor. + Nu se acord fraciuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvri pariale, n limitele punctajului indicat n barem. + Se acord 10 puncte din oficiu. Nota final se calculeaz prin mprirea punctajului obinut la 10. 95BAREM Variante BAC M2 2012Bacalaureat Matematic M2 2012 www.mateinfo.ro & www.bacmatematica.ro SUBI ECTUL I (30 de puncte) 1. ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )3 21 3 1 3 1 3 2 2 3 1 3 2 1 3 1 3 8Im 0z i i i i i i iz= = = = + = = 4p 1p 2. ( )22 21 2 1 2 1 216 2 16 x x x x xx + = + = 1 21 223x x mx x m+ = = ( ) ( )2221 22 2 3 16 4 4 2 6 166 6 0 3 15, 3 15m m m m mm m m m = + + = = = + = 2p 1p 2p 3. 7 2005 7 2012 2005 7 72012 2012 2012 2012 2012 20120 C C C C C C = = = 5p 4. fpcpc= , unde fc reprezint numrul cazurilor favorabile i pc numrul cazurilor posibile. Avem 2013pc = , iar 20136713fc = = 6712013fpcpc= =13= 2p 2p 1p 5. (m 2) 2 6 2m 3+ = = 3p 2p 6. Observm c .Re .2 2 225 9 16 25cf ciprocaT PitagoraBC AB AC ABC = = + = + = A este dreptun