21. Seconsideripolinomur f =)x'+4ezr[x].sasearatecapenrruorice.re zrlxl,f(x)*0.22. se considerdpolinomur

.f =Xu +ax+5ezrfx). Strsearatecapentruorice ae ur-l0],existl .re Zr[X) astfelinc6t f (x)=(1.23' Fie

-f ezr[x], f =xt.+a''x'o+ax'+)x+i.Determinari ae zrpentrucare f (a)=0.24. Se considerd polinomul f = axo + bX + c, cLr a,b,c e Z.a) Sf, se arate ci numIrul f (3) - f (l) este numAr par;b) Si se arate ca, pentru orice x,ye z, numdrur f (x)- f (y) este divizibir cu n-l;c) Slsedemonstrezecd,dacd, a*0,/(t)=a qi /(al=1, atunci (f(Z\p_6?.

25. Sasedetermine /eR[xl, grad(/)=3 astfelincat /(t) +f (Z)+...+f (n)=na,Vre N-.

26. sasedeterminepolinoamere /e R[x] astferinc6t s6avem: f (x+t)-f (r)=(3x+r)2,Vxe R.

2. ADUNAREA $r INMULTTREA POLTNOAMELORBrevisr leorctic

r Fie f,geKfX]monoamedegradul n, f =onX,, g=bnXn.Sumamonoamelor/gi geste monomul he K[X], h = .f + g =(a, + b,)X, .o Dacd f ,ge KlXl suntmonoame,

-f =anXr, g=boXo, atunci /+ g=e,,X, +boX*.r Fie f,geK[X]polinoamedegradul n,respectiv m, f =ao*a,X+...+a,X,,g = b, + b,X + ...+ b,,,X"' . Suma polinoamelor / gi g este polinomul he KIXl,h=(ro+bo)+(a,+b,)X+(ar+br)xr+..,+(an*br)Xr+..., unde oi=0, dacd i>n si bi=0,dacd j > m.o Are loc relalia grad(/+S) Smax(SraO17;, grad(g)).o Produsul monoamelor f,geK[X), f =q,X,, g=b,,X,, estemonomul heK[X],h = a,b,X"'' .e Produsul polinoamelor f = ao+ a,X +...+ anX, Si g =bo+b,X +...+b,,,X,,, este polinomulhe KIXJ, h= co * crX + crXz +..,+ cn*o,X,*,,,, unde' co = ao + bo, c, = oob, + arb6,..,,co = aobo + ao-rb, +...+ aobo,...o Are loc relalia grad (f . g) = grad(/).grad(g).

il, Sd se determine si":=: : f3) /,geRtxl,f=)-'t i?) f ,ge C[X], .f = li- -'*;) f,geZr[X).J='.'-' ,

Solufie1) f +g=(2+5),\'' =- Ib)

.f +g=(t-i+t+i .i-=c)

.f+s=(l*Z)X==: :-.L. SL se determ\ne sur.-.:':':a) 1,seR\X\, J ---:.t.- -b) f ,c Qlxl, f =2-:-\c) f ,geZr[X],7 =:-:

Solufiea)

.f+g=(ZX'+4-\'-:b)

"f+g=(z+zx'-,.'c)

"f+s=()+SX":..',==O+O'X-'- 'l

3. Sl se efectueze Pro;sa)

"f.se Qlxl' .f =t-.i'b) /,ge IR[X], .f =\-l'c) f,geZrlXl,f=t.-:

Soluf ie

=l-2X3 + Xaib) Seobline: f 'g='--''+Xr

- Xo =l+3X + l-:: : '

4, Sd se aduc6 la fom.= ia)

.f =(X +t)'+2(-r-.b)

.f = (x -t)(x'z + I -Solulie

a) Avem f = X'+ 2-t-- ,b) Avem cd f =(.f '- ,

MATEMATICA M2 _ CLASA A XII-A 54 Inele de polinoame

,,. I Exercilii si probleme rezolvutel SE se determine suma gi produsul monoamelor:a) /,ge iR[X], f =2X', g=5X';b) f ,se C[X], "f =(1-i)Xo, s = (t+i)Xo;c) f ,geZrfX),f =)X', g=)X'.

Solufiea) f +g=(Z+S)X'=7X':b)

.f +g=(t-l+1+i)Xa =2Xo;c)

.f +s=(tfi)x'=6.x';f 'g=2'5X6 =10X6;

.f . s =(t-i)(t+ i) xs =2XB ;

.f ' g =z')xo =i' xo '2. Sd se determine suma polinoamelor f , S in cazurile:a) /,ge R[X], .f =3X2 +4X -3, g---2X'+5X +3;b) f,gQ[X], f =2+3X'-Xl,8=7X+X3;c) f ,geZrlX),.f =)+3x +3X', g=S+)X +iX'+X'.

Solufiea)

.f +s=(:x'+ax-3)+(-zx' +sx+3) =(z-z)x'1 +(++s)x-3+3= x2+9X;b) f + s =(z+zx' - x')+(l x * X')--2+3X2 +7 X +(-l+t)x1 =2+7X +3X2;c) f + s =p+sx +tx')+(3$x +4x' +x')=(2+3)+(s+2)x +(z+Z)x' + xi =

=0+O.X+O'X2 +X3 =X3.3. Sd se efectueze produsul polinoamelor f , g in cazurile:a) ,f,ge Q[X], f =7-X, g=1+X +X2 -X3;b) /,ge IR[X], f =l+2X +X2,8=1+ X -X';c) f,geZ,[X),f =i+)X, g=i+X+ZX'z.

Solufiea) Avem / c=(1-X)(l+X +X2 -X')=t*X +X' -X' -X -X2 -X' +Xo ==1-2X3 + Xa;b) Seobline:

"f ' g=(t+ZX+X'?)(l + X -X2)=t+X -X2 +2X +2X2 -2X1 +Xz ++X3

- Xo =l+3X +2X' - Xt - Xo .

4. 56 se aduc6 la forma algebric[ polinomul:a)

"f =(X +t)'+ 2(X -\') e RlXl;b) f =(x -l)(x'1 +r)+(x +z)(x -x'?)ea$1.

Solu{iea) Avem

.f = X' +2X +t+Z(X' -2X +1)=lX' -2X +3.b) Avem ca

"f --(x' + x -x2 -r)+(x' - X' +2X -zx'z)=-zx' +3X -l'Inele de polinoame 55

5. Sd se determine polinomul f e K[X), in condiliile:a) f -(X-l)=X'+X -2, K=lR;b) f (2x -l)=8x3 -1, K = Q;c) (x'+x*i) f =Xa+x'+i,K=Zt.

Solu{iea) Din proprietatea gradelor se obline cA grad(f)+ I = 3, deci / este polinom de gradul'2.

Fie /= a+bX+cX2. Egalitateadatdse scrie: (o+bX+cX') (x-l) =X3 +X-2 saudupf, efectuarea produsului de polinoam e: cX3 + (U

- c) X' + (a

- b) X

- a = X' + X - 2.

Polinoameleoblinutesuntegale dacd c=1, b-c=0, a-b=l $i -a=-2. Rezultdcd a=2,b=7, c=1, deci f =2+X+X2.b) Polinomul / trebuie sd aib[ gradul2, deciare loc egalitatea(*' n bx + c)(zx

-l) = 8X' - 1. Se obline, dup6 efectuarea produsului de polinoame:2qX3 +(2b-a)X' +(Zc-b)X

-c = 8Xr -1. Din egalitatea de polinoame se oblin relaliile2a=8,2b-a=0,2c-b=0 $i -c=-1, cusoluliile a=4,b=2,c=1, deci .f =4X2+2X+1.c) Gradulpolinomului / trebuies6fie2, deci f =aXz +bX+ceZrlX\ Seoblineegalitatea(x' + x +i)(rx' + bX +

") = Xo + X' +i sau dupa efectuarea produsuluioYa +(a+b)X1 +(o+b+c)X'+(b+c)x tc= Xa +X'+i. Din egalitateapolinoamelorrezult5cd a=i,a+b=d, a+b+"=i, b+"=0 $i c=i. Astfel, o=i, b=-ct=-i4, s=-6=-)=igi c = i, deci f = X' +)X +i.6. SI se determine polinoamele f , g e C[X], de gradul l, daci(x' +zx +2). f +(x' +l)g = x' -2x +2.

SolutieFie /= ax +b, I = cx+d. Se ob{ine cd (x' +zx +z)(ax +u)+(x' +l)(cx + d)=

= X' - 2X + 2 sau dupS efectuarea produselor : (a + c) x' + (3 a + b + d) X'? + (2a + 3b + c) X ++2b+ d = X2 -2X +2.

Egalitatea polinoamelor implicS: a+ c =0, 3a+b+ d =7, 2a+3b+ c = -2, 2b+ d =2, cusolutiile a=b=-1.

"=

!. a=t.'2'2'Asadar r=-!x-1. n =!x*3.2 2" 2

: i::i_,r:jr

Exercilii Si probleme prupuse

l. Sf, se efectueze suma 9i diferenla polinoamelor:a) ,f,g. Q[x], f = X2 +3X +5,g = X' -4X -5 ;

b)

c)d)e)

)a)

b)

c)

d)

a)b)c)d)c)

1.

a)

b)c)

d)

e)

0

c)

/,ge e[_t/,ge R[-1f ,g e c'l-\

-nlJ ,g.tL:'-

Si se scrief=X+).f =2(x -f )lx-7 =i(x'Sd se efect

7,g. Q-if ,s.Qt,.

-:J,ge -'*-,f ,s.klf,gez,SI se scrif=x'\f=(x-f =(x'f --(2-\f =(x=7 =Q.-\f =(.\'S[ se eft

Se dau 1

Sd se ca

Sd se ar

1. Fie Poiif+c,f-z

-

Inele de Po

6.

a)b)

MATEMATICA M2 _ CLASA A XII-A 56

b) ,r,s. e[x], t =**, +2,5x2*3,g = _]*, +0,5x, _z;

c) /,g:e R[X], .f =2Xa +X3 +Xz

-X-l,g=Xa _X3 _X2 +X;d) f,geC[xl,.f =xa+x3 +(t-i) x,E = x4 -ix, +tx +t;

e) .f ,ge.Zr[X],"f = X2 + X +i,g

= X3 +X, + X +i.2. Sd se scrie sub formi algebrici polinoamelor:a) f = X +2Xz +s(zx _ x,)+ +(x. + Xo)e R[xj ;b) f =2(x

- x')+s(x,

-x,)+a(x, _xo).R[x] ;c) 7 =)(x +i)+z(zx + x,)i(zx, +zx)+i. z,[x];d) f =s(x, *zx *i){(3x, _)x +))e z,[x].3. Sd se efectueze produsul polinoamelor:a)

"f,s. Q[x], .f = X -l,B = Xz + X +t;b) "f,s. Q[X],f =2x-t,g =4Xz +2X +t;

c) /,ge lR[X], f = X' +JiX +t,S= X2 -,liX +t;d) /,ge R[x],

.f = x .(x -t),s =(x +t)(x +z) ;e)

.f,geZr[X],f =X2+X+i,g= X+).4, SI se scrie sub formi algebrici polinoamele:a) f =x.(x+r)+(x_r)(x_z)e A[x];b) f =(x

-r)(x2 +x +r)+(x+r)(x, _x +r)e re[x];c) 7 =(x-t)'z +(x-t)': +(x-t)(zx+r)e R[x];d) f =(zx +t)' +(zx

-t), +(x +t)(x, _x +tle R[x] ;e)

"f =(X, + x +t)' +(x, _ x +r)a e R[x] ;0 1=1zx +i)' +(2x

-i), +(x +i)(x _i)e c[x] ;c) y =(x +i)(x+2)+(x, + x +i)(x $)e z,[x].5' Si se efectueze produsul polinoamelor :

.f ,ge e[X],f = X -l,g = X2or + Xzoto+.."X+l .

6, Se dau polinoamele: f ,ge C.[Xl,f =l+tX +irX, +itX, ,g =i3 +i2X +iXz + X3 .a) SE se calcule ze f + g,f . g . -: 'ob) SEsearate cd f,g,f +g,/.g suntdeforma (*r_f) .h,heA,lXl.7. Fie polinoamele f ,gezrlxl,.f -)*, +3*, +:r+ig

=,3*, +i*, +Z*,+g. sE se calcutezef +g,f

-s,.f .s,f +s, unde g'=(r)-'r,+(i)-, *+(+)-,*+(o)-, lInele de polinoame

57

8. Fiepolinoamete f ,gee[x],,f =({r+r),+2(x+r)+r),,r=((r_ t), +2(x_r)+ +rfse calculeze

.f + g, -f . s.

g. Se d[ polinomul f e e[X), -f =2xz -2x+1, 56 se determine polinomul ge e[X], cu

coeficienli in Z ,in fiecare din cazurile:a) f .g=2x3

-x+l; b) Z.f _S=x*1.10.. Sedaupolinoamele f ,g,heq[X],/ =x*2,g= f _l,h=x..f .a) SI se calculeze x, . f2 + 92 + h .b) Si se rezotve in Z ecualia x, .f, (x)+ S, (x)+h(x)=16.l1' se dd polinomul 7 :wfxl,7 = x3 +3x2 + 4x +2. sE se determine parametrii realicare are loc egaritatea, f =*.(x *t)' +!r(x +t), +fi1x +t)+ d .12. Sasedetermineparametrii m,neZ, pentrucarepolinoamele f ,geZr[X],.f =X +S = Xz + mX + n, verificr relalia: (X _2) f +2. I = X .13. Sa se.determine parametrii reali pentru care au loc egalitilile;a) ox.(x

-t)+bx(x +r)+c(x+l)( x _t)=2.b) (x+a).(x; +x +t)=x'

-b.14' Fie polinomul f e Q[x], cu coeficiengiln z. s[ se determine acest polinom astfel inc&f (x+t)+ f (x-l)= 2x2,Vre e.15. Se dau polinoam ele f, - (x +l)r, 7 = (X + 2)r, .f, = (x + l)r,...,1,*= (X + I 00)r,.d e e[x],ie {1,2,...,t00} .a) Str se calcule ze f, + fr+...+ /oo .b) Si se rezolve ecualia t' Q)+ tr(*)+ t (r)+...+/oo (x) = l0:oO.3. i*nAnlrnrA cu REsr A poLrNoAMELoRBreviar teoreticTeorema impdrlirii cu restr Fie f ,ge Klx), g*0. Existdgisuntuniceporinoamere q, re Krxl cuproprietdfire:

a) f = g.q+rb) grad(r)< grad(g).

1 Polinomul g se nume$te citut imptrrfiriirui f ra g, iar porinomur r se numeqte resturimpa4irii.r Polinomul / se nume$te dermptrrfit, iarpolinomul g se nume$teimptrrfitor.MATEMATTCA IVI2

- CLASA A XII-A

1. Sd se efectueze impl(irile de polinoame:a) /,geR[X], f =Xn+X2+1,8=X2+X-l;b) f ,ge CIX), f =2X3 +'tX+1' I = X2 +l;c) f ,gev,rfXl,f =)xt +X2 +X +), g= Y "i'

Solutiea) Folosim algoritmul de imp[rfira ]"r"Ii lX, + X -tt-

_x4 _x1 +x2 lX, _X+l

-l

I -X3+2X2+7 Ix1+x2-xI 3x2

-X+ |-3x2 -3x +3

I -4X+4

Cdtul imp6(irii este 4= Xz -X +3' iarrestul impdrtirii este r = 4x +4'Probaimp[(irii: (X'? -x $)'(x'+x -r)+(-+x +4)= va +X2 +r'

b) Avem schema de calcul:2X3 +iX+l

-'t y3 -) Yt(i-2)x +r

Cdtul imp[rtirii este q =2X, iar restul r =(i'2)X +l'c) Avem schema de calcul:)x'+ x'+x+)

-1vj -)v2I

-Xz +x+)X2+Xt zx+)

-2x -)lo

cdtul imp[rfirii este q =)x' - x +)' iar restul r = 0'2'56sedeterminepolinomul/eR'[X],gtiindc6impfiitlapolinomulg=X2+1,seob1inecitul q=2X+l girestul r=X-l'

SolufieDin teoremaimpartirii cu restrezultd ca f = g'q+r =(x'z+t) '(2X +1)+X-t =

=2X1 + X2 +3X.

Inele de polinoame

X2 +llzx

X+l)x'-i+)

59

3. Si se determi ne a e R, gtiind cI restul imo5rtirii h^li6^*._r-_ jIapolinomul I=x2+x+resteegal"u,=?'n"iipolinomului -f =x'+2x2+cr,y+reR[J(]SotufieCdtul impdfirii este de gradul l, deci q

= mX + n.Din teorema in

::r: :;,:,#,:' ;,' :" :') ( x' + x *r ) + x o,pa e rectuarea,,",Tff ;',:';: il:'::- "

) = w t,, o = * *, * r' {' r:f ;:;::,'^1:' -* ") * 2 + (m + n + 1) x + n. obrinem c6 7 = m-f =x'+2x2+3x+l gic6tul e=x+,.

t' m=1' n=l gia=3, deci4. Se considera polinoamele f , g e Zr[Xl, 1r _ wz . ?H={a+bx+cx2 la,b,c}e z,

tL'-r)r -'^ +l' g-x+l si mullimea

a) Sd se arate cd "f _ gr.b) Sa se determine c

c) sd se determin" ,ru,u,

9i restul imprgrii polinomului f + g lapolinomul /.Soru{ie ---- 'tum.rul elementelor mur{imii 17. ' 'i;;"rhureat 2009)a) Avem: s'-(x+t)(x +t)= x, +x+x +l =x, +(i+i)x*i= x, +6.x +i= x2 +1.b) Seobline cd f +g=X2+X giputemscriecd

-f +g=X, +i+)Rezultdcdresturimpd(iriiSte r=x+i qi cu,,ur q=i. :+i=(x'+i) i+(x+i).

c) Fiecare din numerere a, b, c potrru .ar" ioua varori, deci vom avea 2 . 2 .2

= g posibi)itd{i.5. se considerd polinomul

"f = Xo _ X, + ayz + bX + ce JR[x].a) Pentru a=c=1 qi 6=-l strsecarculezec6tulgirestulimpa4 iriirui fraporinomur x2 +1,,?,,i1f,T,,:Hi,,? f; T':: ffal;;;;(iriii,ui r ta x,+1 es,e x, iar res,u,Solufie @qcalaureat 2009)

Prina+b+c

6. Se cr-f=ao*a) Si seb) Sdxc) Sd se

SolurFuncl

f(x)=(ra) Avemb) Avemeste numar

c) Din ttfuncgia polgisiagibr.f(t)=s,a+b=f(l

L SIsedrX?

-x +l2. Fie polirimpi(irii cu3. Fie polirc6rul gi restulnedeterminaft

d. Si se dera) f =3X'b)

.f =3x'c)

.f = 5X'd)

.f =2x'e)

.f =2tXt

a) Polinomul -f =Xo-Xr+X2_X+l seinrestul r =1. -4 rI se lmparte la X2 +l gi se obline c6tul Q=x2

-f iib) Efectudm impdrfirea prin algoritmul de impd4ire:X'-X, +aX2 +bX +c

-

Ya v2

/ -x'+(a-t)x, +bx+c

Catul este e = X2 -X + a_l Si

/ (b+t)X +c_a+t, = (b + 1) X + c

- a +t. Egaliratear

= (b+1) x + c- a+l = x implicd

X2-X+a-l

/ (a-t)X, +(b+t)x + c-(a-1)X,

-a+l

b+l=1$i c-a+l=0

-r-Inele de polin,

MATEMATICA UZ _ CI-ASA A XII.Acu soluliile b

= 0, c = e _l.t

60

Prin implrfirea lui / la X -l se obline cf, restul este r = a+ b+ c. Se obfine cIa+b+c =-l $i rezlltdcd a=1, b=0, c=-l ,deci / =Xo -X3 +X2 -1.6. Se considera polinomul f =(l+ X + X2)t004 + Xzoos e IR[X], avdnd forma algebricaf = ao + a,X + arXz +...+ aroonX2ooe .a) SE se calculeze f (-l).b) Sd se arate cd ao + at + a2+...+a20oe este numdr intreg par.c) Sd se determine restul impirfirii polinomului / la polinom tl X2 -1. (Bacalaureat 2009)

SolufieFunc{ia polinomial[ atagatd polinomului / se poate scrie sub formele:

f (x) =(l + r + xz )'0oo + x2ooe gi -f (*) = do + qtx + arx' + ... + rroor*'oon .a) Avem /(-l)=(l-l+t)'oo'+(-t)20* = l-t=0.b) Avemcf, f (l)=ao+at+az+...+aroon. Dar,f(l)=(t+t+l)'ooo*l2ooe -31004+1, deci /(l)este numf,r par,c) Din teorema impd(irii cu rest avem c6

-f =(X' -l). I + aX + b, Ya, belR. Rezultd cdfuncliapolinomialtrata$atalui / sepoatescriesubforma f(*)=(*'-l) q(r)+ax+b.pentru,ag[si a qi D avem nevoie de dou[ ecuatii cu acestea. Pentru .x = I si x = -l obtinem cIf (t)=0'q(1)+ a+b si f (-t)=o q(-t)- a+b sau -7+b=./(-l)=0 sia* b =,r(r) =3,ooo +1. Rezulta c6 a =a = j(:'.r. +t)

:!;ii" i*rrtiii's,i pi,ot",*'ipiip,or,, t.-i

I. SE se determin" polinornul f . *f"1 , ri,,nd "u

pri, *Orrt,r"'t'ia- x' +t, se obline c6tulXz-X+l girestul X-1.2. Fie polinoamele f ,ge R[X],"f = Xi +X2 -X +2 $i g = X'+2 . Folosind teoremaimpArfirii cu rest, sE se determine cdtul gi restul impaqirii polinomului / la polinomul g .3. Fie polinomul f ,ge Q[X],"f =6X'-7X2 +3X +2 $i g=2X'-3X +2. 56 se determinecdtul qi restul impdrfirii polinomului f la polinomului g, folosind metoda coeficien]ilornedeterminali.

4. SI se determine cdtul qi restul imp[rtirii polinomului -f la g in urmdtoarele cazuri:

a) .f =3X5 + X3 +2X +4 9i g = X3 +3X2 +l,f ,ge m[x];

b) f =3Xs-4X3+2X2+7x-8 ii g=X'-x+2,f,gee[x];c)

.f =5Xa +2X3 -3X2 +2X+l gi g = X2 +3x+3,f ,geZlXl;d) f =)x'+3x'+ix +i qi g =4x'+x'+),f ,gezrlxl;

.

e) -f =2ix'+(t+i)x'+5x-i qi g

= x'

-ix +t,f ,ge a[x] ;lnele de polinoame 61

= Rlxl

:e c6

-w,

0 f =ixo +2x3 +x2 +3 9i g =2X2 +x +i'f 'gtztlxl5 Fie polinomul f ,gezrlxl,f =|xo +2x' +3x' +mx +n qi g = 3x'+2x++ ' sa t'determineparametrii m,nezrastfelinc6tprinimpdr[ireapolinomului f lapolinomul g soblin6 restul r =2X +3 .

6, 56 se determine polinomul cu coeficienfi raiionali, de grad minim, care imparfit la X2 + Xd[ restul 2X +13 9i implrtit la X2 - X +2 d5 restul 2X '3 '7, Determina{i a,DeQ astfelincdtpolinomul f =xa*3x3+ax+b lmprrfitlapolinomulg = X2 -5X + 4 s6 dea restul r = 5X +13 '

8. Fiepolinoameie f ,ge R[x],/ =Xa +aX3 +bXz -6X-4 qi g=xz -X-2' Sdsedeterminecgibastfelinc6tpolinomul/imp[4itlapolinomulgsSdearestulzero.9. Fie polinoam ele f ,ge a.lxl,f = X3 +mX+n 9i g = Xz + pX+l' S[ se determinedintre m,n,p astfel inctt restul impi(irii polinomului f la S sf, fie zero'

10. Fiepolinoamele 7,geR.[X], f =X'& +3XeE -Xz+X+l$i g=x' -1'Sdserestul impA{irii polinomului f lapolinomul g '11. SA se determine a,be c astfel inc6t polinomul f = xa + axl +bx +l imparfit la pog = X2+X+1 sf, dea restul r = X +i'

12. Unpolinom f eZr[X] tmp64itlapolinomul g=X2+: aarestul r=3X+i'Sat'calculeze /(i)'13. Se consider6 polinomul / e R. [X], / = (X + l)'oot + (X - 1)'oo' , care are forma algebricf,f = rroorX'oo' + aroo, X2N' + .,. + arX + as, uflde o6' 41, "', 4266s R'

a) Sf, se calculeze /(-l)+/(1) 'b) Si se determine suma coeficienlilor polinomului / 'c) S[ se determine restul irnpa{irii polinomului f la X2 'l ' ( Variantd Bacalaureat14. inmul{imea R[x] seconsidprf,polinoamele f =xa+x3+xz+x+l $i g=x2-xa) s5 se determine c6tul 9i restufimpa4irii polinomului / la polinomul g .b) 56 se arate cd dac[ y este r6d[cin[ a polinomului g ' atunci y3 =2y +l 'c) S[ se demons trez.e cd dac\ y este rdd6cin6 a polinomului g , atunci /(y) n' este numlrra{ional.

15. Se considerr polinomul f = xa 'xj + axz +bX +c ' unde a'b'c IR"a) penhrr a = c =1 gi D = -l sd se determine c6tul in restul impdrfirii polinomuhi f la X2

MATEMATICA M2 _ CLASA A XII-A

jA se

-x-2

: a{iile

5) Si se determine numerele a,b,c qtiindci restul imp[rtirii polinomului f la X, + I este x,:ar restul impirfirii polinomului f la x -l este -l . ( varianti Bacalaureat 2009)16. se considerf, porinomut f =(t+ x + *')uun . z[x] cuforma algebrictrf = oroorX'oo1 +,,.+ arX + ao .a) 36 se calculeze f (_t)+ f (t) .b) SI se arate cf, suma ao + at +...+ aroo, este un num6r divizibil cu 3.;) Sd se determine restul ?mpirtirii lui f la xz -l . ( variantd Bacalaureat 2009)17. Se consideraporinomur f =(x +l)'0" +(x-1)'o" e m[x]. SE se determine resturimpdrfiri',ui f lapolinomul g = X2 -l .

{. inarAnlmrA LA x -

a. scHEMA LUr HoRNERBrevisr teoreticTeorema restului. Restul lmpdrfirii polinomului f e KlXl la polinomul g = X _ a e K[X] este egal cuvaloarea f (o) upolinomului f in a,Schema lui Hornerr Fie

.f =anXn +a,_,Xn-t +..*atx +aoe K[X], g=X _ae K[X] gi4=b,-rx'-t+b,-zxn-z+"'+brx+bo gi reK, c6tul,respectivrestur implrlirii rui f ra g.Cdtul q gi restul r se oblin alcdtuind urmdtoarea schemi:

Coeficien{ii cdtului se calculeazi dupE regula: br - bo*,a* ar*,, ke{0,1,2,n-2} siL _^un-1

-

un '

r Dactr imp6(im / la polinomul g = bX _ ao se scrie s = a( x -!\,\ b)'o se imparte f l:a x -f orinschema lui Horner rezurtdnd c6tur q gi restur r.r Cdtul lmpa4iiii tui / la g va fi O, = lO qi restul 4 = ;.

se procedeaztr astfel::t

a

Coeficienlii lui / in ordinea d.s.r.@

b,u.e* o,u bn_r.a+an_,

Inele de polinoame63

Exercilii Si probleme rezolvate

l. Se consideri polinoamele f , g e KlXl. Sd se determine restul impdrtirii lui / la g, incazurile:a)

.f =3x' -4x2 +11, g = x -1, f , ge R[x].b)

.f =ixo -3x2 + 1+i, g = X -i, f , ge clXl.c)

-f =3xo -)x' +)x +i, g = x -), f , ge z,fxl.SolufieSe aplicd teorema restului.

a) r=f(l)=3-4+11=10; b) r="f(i)=i'-3i'+1+i=i+3+l+i=4+2i./^\ ^ ^4 ^ ^3c) r=f\2)=3 2

-2.2 +2'2+l=3-l+4+l=2.

2. SE se determine restul impi(irii polinomului f =3X' +7 X2 +2X -3 e R[X] la polinoameleX+l pi X+2.

Solu(ieFolosim teoremarestului. Avem cf, X +7=X-(-l) qi X +2= X

-(-2) Se oblin resturiler,=f (-1)=-l $i rr=f (-Z)=-5.3. Sed6polinomul f =2X3 +mX2 +ZmX -1e R[X]. Slsedetermine me JR pentrucarerestul impS4irii lui / la g=y+l esteegalcu r=-4m2.

SolulieFolosimteoremarestului.Rezult6cf,restul impA(irii este /=,f(-l)=-2+m-2m-7=

=-m-3.Dinegalitatea -m-3=-4m2 seobline c6,4m2 -m-3=0 cusoluliile ,. {,,1}' t 4)4. 56 se determine restul impdrfirii polinomului f e AIXI, f =2+ mX +X2 + X3 la polinomulg = X -i, gtiind cd restulimpd4irii la h= X -2 este egal cu 4i.

Solu{ieRestul impS(irii la g = X -2 este r = f (2) = 2 + 2m + 4i+ 8 = I 0 + 4i + 2m. Din egalitatea

r=4i rezultdcd2m+10=0 $i m=-5. Agadar f =2-SX+|X1 +X3 gi restul impi(irii lah= X

-i este 4 -,f (i)= 2-5i+i3 +i3 =2-5i-2i=2-7i.5. SE se determine restul impa4irii polinomului f = X' - a,Y' -iX + be ZrlX) la polinomulg=X+i, gtiindciresrurileimpa4iriilui / Iapolinoamele XJ $ X+4 suntegalecu i qi3.

Solufie

Restulimpdrgiriila X-i .rt. ,,= f ())=l-qo-3+b=b-ia, iar restulimp64irii la X +4St /, = fe)=/(i) =i-o-i+b=b-a-3. Egaldndcuresturiledateseoblinesistemulde

a

S

MATEMATICA M2 -

CLASA A XII-A 64

.. lu-io-t=i la*r=A' [a- a-3=3 lb-a=l

Agadar f =X'-lx'-+x. Restulimpdrfiriilui / la X+2 este' = f (-)) = f (r) =i -i -) = -i = 4.I Sd se efectueze impA4irile prin schema lui Horner:E,

.f =Xt -5xz +6X +11, g =X -2,/' ge R[x];h, f = Xo -J1x3 +3X2 *Jlx *9, g = X -.8,/, ge IR[X];r:

.f =3xo -nxz +7x +1, g= X +1,/, ge Q[x];;li f =xo +(t+i)x' -2LY2 +2i, g=x*i,f ,geclxl'

SolufieEi Alc6tuim schema lui Horner:

Se obline Q = X2 -3X +0 = xz -3x 9i restul r = I 1'!r Schema lui Horner este:

Cdtul este Q = X3 +0'X2 +3X +4J1 qi restul r =21'c I Schema lui Homer:

Catul este 4 =3X3 -3X2 +l4X -7 qi restul r = *80';r Schema lui Horner este:

Se obline cdtul q = X) + X2 -3rX -3 9i restul r = 5i'Sd se afle cdtul 9i restul impirfirii polinomului f la g, in cazurile:

3) f =2X' +7X2 -6X +3, g = 2X -1, f , ge ClXl;5) f = Xo -7X3 +2X2 -1, g=2X+1,/, ge R[XJ'

Solutie

a) Avern g =r(*-i) "nurimschemaluiHornerr"n-ioun,ai

f ta x-;

I-5 6 il

2 I-J 0 II

I-J1 J t;VJ 9

EVJ I 0 J 4J1 21

J 0-l I 7

-l J -J t4 -7 +80

1 t+i-2i 0 21

-l 1 -3i _J 5i

2 7 -6 JI2

2 8 a 2

lnele de polinoame 65

:noamele

'-'sturile

-

-)-(

I.-):nomul

. X+4

.l de

C6tul este Q =2X2 +8X -2 9i restul r = 2' C6tul impIrfirii lui / la g =2X -l este

,,=l1zx'+8x-2) =x2 +4x-l girestul \=r=2'1la X+'

Catul este q - *' -I *' *? r -f,, iu'restul r = 1' Ca'ul impdrlirii lui / la

s=2x+l este n,=+(*'-Ex'*T*-?) t' restul 4 ='=*'ffi ,,,".-{:-'rt!:!*!-tu:!:"'"!1i:.".,:.iI*:

1. Sd se determine restul imp[rlirii polinomului f la S in K [X] :a) f = X3 -4Xz +3X +2,g = X -1, f, g e R'[x] ;b) f =xt +x' *2x'*5, g= x+1, f,ge Q[x];c) f =X2't2+20llX20rr -2010, g=X,7,ge R[X];d) f =Xo +X) +X2+X+1, g=X -i,1,geC[X];e) f =x3 +ix'+qx +4, g = x +3, 7,geztlxl'2. 36 se determine c6tul gi restul impdr;irii polinoamelor (folosind schema lui Horner):a) f =Xa -2X3 +4X2 -5X+2, g=X-2,1,ge IR[X];b) f =xo +x2 -x +Jr, g= x *Jl, f,ge m'[x];c) f = xt +(l+i)x'z -2iX +i-1, g = x +i, 7'ge alx);d) f =)Xt +Xo +ix' +)x +3, g= X +3, 7,geT"lxl;e) f =3x3 +2x2 -.4x +2, g= x -1,,r,s= Q[x]'3, a) s6 se determine parametrul real a aga ca restul impfiirii lui / = x' + ax' + (a + l)x +la g'X-l sd fie egal cu 10, /,ge m [X];b)S[sedetermineparametrulrealrraqacarestulimplrliriipolinomului.f =xu +X5 +xa +x3 +x2 +x+m la g=x -2,/'ge R[x]s[fie 127;c) Fie /,ge z,rlxl,f = xo +ix'.+ N' +ix + A+i' g =x+i' sa se determine hev"asaincdt restul imptdirii lui / prin g str fie 3 . Determinali 9i c6tul imparfirii celor dou6 polinoan4d) s[ se determine parametru I real m gi c6tul impartirii lui ./ = 2Xa + mx3 - mx -}la binordg

= X '3qtiind cE restul este egalcu232:'

23716 16

15^23-+2.--

MATEMATICA M2 _ CLASA A XII-A

e) in z'rlx)restulimpddirii lui / = x' +N' +)x + dla g = x +) este i' Determinalinumf,rul 6 precum qi cdtul imp[dirii'4. Alegeli rdsPunsul corect:a) Restulimpa4uir"i"l=xo -3x'+2x2 -x+5la g =X-l'f '8R[x] este:

A.3B.4c'5D'-1b) RestulimpatliriipolinJnuf* 7= X"'2-2ollX+2010 \a g=X'f '8eR[X] este:

A. 2010 B. 2012 c' 2 D' 2011'c) cdtulimp6rti'iipotinomutui f =x3-8 labinomul g=x-2'f 'geQ[x] este:

A. X +2 B' Xz -2X +4 C' Xz +2X +4 D' X -2d) Restul impdrtirii l; 7 =2x' +ix' +ix +2tu g = x +i'f'gez'lx) este:

A.4 e.: c' ) o' ie) cdtulimp[(iriipolinomulul f =x'+)xtu g=x+)'f 'gez'[x] este:

A. X2 +x B. x'+)x c' 2x'+\o' )X'+xiar restul este:

9. SE se determine restul impa{irii polinoamelor:;';: ;;';;; *........+x;+x+1, s= x -2,7,ge R[x];b)

.f = X7ot2+ X20rr + ......+ X2 + X +1, g = 5X +1, ,f 'ge C[X];

A.)e.ic'0o'iD Sa se determine uutou'Ju parametrului real m a9a incit restul

imp64irii lui''y=-i;**x1

+2x2-x+l prin g =x-l'f 'gec[x] s[fieegalcu 10:A.4 8.6 C'7 D'9'

5.56sedeterminenumsrulcomplexmastfelinc6trestulimpldiriipolinomului-f

---it-mX2+mX+2 labinomul g= X-m,f ,gea[x] safieegalcu 1'

6. strsedeterminerestulimpd(iriipolinomului Tealxl,f -xzn -3x'+4'ne N-la x+2'

gtiind c6 restul imptrrgirii lui / la X -Zeste 8 'f . impartindpolinomul f ealx)'f =f,'' +2X'+5'm'n N-la X-3e a[x] seoblinerestul 20qi la x-9ea[x] seobtinerestul 104's6sedeterminerestulimplrtiriilui /labinomul X +2|e A[X]'g. s6 se determine c6tul gi restul impartirii polinoamelor ( folosind schema lui HoRNER );;

-y =j.x'-3X'+X2 +2, g= X +2, f 'gem[x];

b) f =2x' +ix' +2x +i, g= x +3' 7'gtz'lxl;c) 7 = (l+i)X3'2(1'zi)X +2-3i' g = X +i" 7'ge AIX\;rr\ r =?Xo -LX' + X -+, c--zX +3, f ,g= Q[Xl;ul J - 3,- 6" 3'-e) f =Ji.x3 -2x2+.6'x+G, g=x -Ji' f 'g' R[x]'

67Inele de Polinoame

c) 7=(X+t)'@, g=X -1,7,g,eR[X];d)f=2x'+3Xo+4x,+3x,+ax+i,g=X+3,7,geZ,|Xf;

. e) .f =xt +2x'+x+),g=x+2,f ,gezrfxf.

.j ,10. Sf, se determine numIrul real a astfel incdt restul impa4ifii lui / - X' - X2 + aX -6 la(X

-l)(X -Z)= g , f ,ge R[X] sa nu depindl de nedeterminata X.11. S[ se determine gradul polinomului / = Xn" - X' +ll,neN astfe[ incdt restul impdrfirii lui"f la S=X-4,/,geR[X] strfieegalcu 25012. Fie ,f . O[X] . Se gtie cd restul imp[rtirii lui / la X - I este rr =l , i,ar restul impArtirii luif la X -2 este 12 = -3 . SI se determine restul impdrfirii lui / la (X -l)(X -2) .13. Fie f eC[X1,7=X3+mXz+nX-2.$tiindcirestulimpd(iriilui /la X-3,respectivlaX + I este 28 , sd se determine restul imp[4irii lui / la 2X -314. Fie f eZrlXl,f =X'+2X+6.Sdsedetermine 6eZrasacaresrulimpa(iriilui /prinX + 4 sd fie 2 . Determinali cdtul si restul impA4irii lui f prin X +i .l'q" Fie polinomul / de grad mai mare sau egal cu doi care indeplinegte simultan condifiile:X" restul lmpIrfirii lui / la X -l este 3 ,2' (x-l)./(x)+ x.f(x+2)=2x3

-7xz +l2x-6,(V)xe R.Sd se arate cA restul implrlirii lui / prin (X-t)(X-3) este -X + 4 .

16. Fie polinomul f eRlXl,f = X4 -10X2 +30 .

a) Str se arate ct f =(x'-s)'z+s;b) SA se gf,seascdrestul implrfirii lui / prin X-.6 ;c) SI se afle restul imparfirii lui / la X + J 0 .17. Se dau polinoamele f , g e A[X), f = Xz *2, g = X -3 .

Calculati restul impirfirii polinomu lui h = f' + 92 la X -2 .18. Fie func1ia /: JR + IR,.f(x) = xz -3x+2,continud pe R. Sb se determine constanta ,,c,' aqaca restul impA4irii primitivelor F ale func1ie i f la X +3s[ fie egal .u +."219, Fiepolinomul /eR[X],/ =X2'+ax'n-t+b,neN-.SAsedeterminenumerelereale a gi6 aga lnc6t restul impA4irii lui / la X +l s[ fie egal cu 6 , iar restul imp6qirii derivatei luif ,.f' la X-lsI fie egal cu I .

MATEMATICA M2 -

CLASA A XII-A 68

5. DIVIZIBTBrevinr tearetit

Fie (K,+,. ) ur. Polinomul. Polinomul. Relaria de t

. .flf,

' f ls;' flst

. Polinoarnd

ri g l"f.r Polinomulr Polinomulr Polinornulr Polinomulf, ge KlXi d

a) d esib) v d'

] {\TZIBILITATEA POLINOAMELORteoretic

. ) un corp comutativ li -f , g e Kl.Xl.:-

-inomul / se divide cu polinomul g dacd existi & e Klxl , asrfel incat f -- s.h (1);:

-:nomul g se numegte divizor al lui / , iar f se numegte multiplu al lui g .r:*1ia de divizibilitate " g divide /', se scrie gl

-f , qi are proprietdjile:" f lf ,Y.f e K; -reflexivitate' fls $i Clh= flh; -tranzitivitate' f lc $i f lh=fl(uq+vh),Yu,veKlX).::-inoamele f , ge K[x] senumesc asociateindivizibilitategise scrie

-f - s, daca f lg:':

-inomul / este asociat in divizibilitate daci gi numai dac6 I a e K, astfel incdt J' - a. g.1'- inomul h este divizor comun al polinoamelor / qi g dac6 hl f qi hl g.a:.inomul / estemultiplucomunpentrupolinoamele C $i h dac1t glf Si hi-f .::.inomul d e Klx) se nume$te un cel mai mare divizor comun al porinoamelor= ([X] dac[:

" d este divizor comun al polinoamelor / gi g.: V d'e KIX), divizor comun pentru / gi g , atunci d'l r/.r:linomul D e K[x] se nume$te un cel mai mic multiplu comun al porinoamelor; "([X] dacl:I D este multiplu comun al polinoamelor / gi g.I Dacf, D'e KlXl este un multiplu comun pentru / qi g , atunci D I D, ..:r loc rela{ia c.m.m.d.c. (f , s) c.m.m.m.c. (f , s) - f . s.i-:ui polinoame f , ge K[X] se numesc relativ prime dac6 c.m.m.d.c. (f , S) - t.-;l mai mare divizor comun pentru doui polinoame se poate calcula prin algoritmul lui

::r.m.d.c.(/,g) esteultimulpolinomnenuldingirul /, g,11,t2t...,r,,0, unde 4 esterestul .::nu*ri lui / la g, r, restul impd(irii lui g la rt, etc.

1ff" 'ziiirciiii si p,li,rrime ii oiiate *.i se arate cd polinomul / se divide cu polinomul g, in cazurile:

C Q[X], f = X3 -3X +2, g = X +2;3e R.[,Y],

.f = Xa + X2 +1, g = X2 - X +1;5=eR[X], f =Xa -X, g=X2+X+l;ge Zr[X), f =)X' +3, g =Zf +1.

xlufie

nmrc de polinoame 69

a) Determindm restul impdrfirii cu teorema r=8-8=0. stului. Avem r = f (-2)=(-2)' 4.(a)+2=b) Aplicdm algoritmul de imptr(ire a polinoamelor:

X4 +Xz +l lx, _x +t_xo +x3 _x2 t_\_ _/ x3 /+t

I-X'+ x2

-

y

-

/ Xz_X+ I-X2+X_l

Agadarr=O. / / oc) Putemscrie f =*(.:, _.1)=X@_t)(x,+x+1)=(x,_X)s,deci f sedividecu gdin definifia divizibilit5fii polinoamelor.

cu X-l:

C6tul imptrfirii esre q =2X, +)X +i qi resrui , = 6. Atun.i / impi(it taS=2(X-i)=)X+3 ned[totrestul r=0, deci / sedividecu g.2' Sr se determine varorire parameriror penfru care porinomur / se divide cu g, in afx]:a)

.f =2X3 -vX *m, g = X

-2;b) .f = Xo + mX2 +m, _2g, g =2X +4;

c) f = Xo +X3 +2(l+i)X, + mX +2m+1, g = X, +1.Solufie?. l:I:r,:ffi ' ;: ;. f (21 = t6 -t4 + m = m * 2. condilia r = 0 conduce ra ecualiab) Polinomur g se scrie g =2(x +z). Resturimp[rfirii rui f lag. este aceragi cu restullmpI4iriilui f la X+2. Seobline r =f (_2)=16+4m+m,_ZS=9

saLt mr+4m_12=0 cusolufiite me {2,-a}.c)

N:f:;::i?il,imp5rfirea de porinoame ei se pune condilia ca restur sE fie porinomur nur.Avem succesiv: f - X4 _t+i(F +x _X)+z(r+i)(x, +t_t)+mX *2m+2=

= (x' - t)(x' +t) + x (x, + r)

- rx + z(r + i) (x, + t) _ z _ zi + mx + 2m + 2 =

= (x' + t)(x, -t + rx + 2 + 2i) + (m _ r1 x + 21* _ q.

Rezult[ cI restul implrfirii la g = X2 + I es

r esteporinomurnurpentru m-i=0, deci ,=t."po"'o'u1 7=(m-i)x+i(m-i)' Polinomul

X. S[ se determi*102e R[X] se t

Solufia ISe folosegte t

Restul im@l{t9a-sb+73 =l{i30a-6b+102=

Solufia 2Din teorema

esociatI polinom

f {*) = (x+2)(rl

= -3 se oblincDeoarece rgl

sistemul de ecu4

4. Se considerfa) Sd se arate db) SE se arate dc) SI se determ

Solufiea) Avem (X-1b) Din teorerreFentru x=l seosistemul de ecuq

Agadar resal

5. S[ se arate dpolinomul g =,1

SoluIieDin teor6me

-

Inele de polinm

d) Folosim schema lui Horner, av6nd s = i(x _i). Se obline impdrfind /

MATEMATICA M2_ CLASA a xu]70

=l-2)3 -1./-)\+)=\ / - | -,/ ' -

:i / se divide cu g

f cu X-i:I.jli4it Ia

le cu g, in C[X]:

conduce la ecualia

ite acelaqi cu restul;au m'+4m-12=0

i fie polinomul nul.vY +2m+2=rt)-

-

ji determine constantele a, b IR pentru care polinomul- =

].[Xl se divide cu po\inomu\ g= X2 +5X +6'Solutia ISeto\sse1\et\gsr\\sru\(e\nrpt\\reapo\\noune\or'.

f = aX' +bX2 +73X +

-(b - sa) x' - s (b - sa) x - 6b + 3octI (73-5b+19a)x +3oa-6b+102

Restul impirfirii este r =(l9a-5b+73)X +30q-6b+102 9i este polinom nul daci'.9a

- 5b +73 = 0-

. Rezolvdnd sistemul se obline a = 4, b =7.:la-6b+102=0

Solu!ia 2Din teorema implrgirii cu rest se obline cd f =(X'+SX +A)l+ mX +n. Funclia polinomiald

.:;iatb polinomului / se scrie: f (r)=(x' +5x+6)a(x)+ mx+ n saur)=(x+2)(x +3)q(x)+mx+n. Pentru x=-2 seobtinecE f (-2)=-2m+n qipentru

: = -3 se obline c6 f (-3) = -3m* n.

Deoarece restul trebuie sd fie nul avem m = tt = 0, deci f (-2)= 0, /(-3) = 0. Se oblinef-8a+4b=44

::mul deecuatii { "-' " cusolutiile a=-2, b=7.l-27a+9b=l11

r.;:::.siderapolinoamele /,ge IR[X], "f =(X -t)'o+(X-2)'0, g=X2 -3X+2.* !.i 3:are ce g - (X

-l)(X -2).-

rs :rate cd / nu este divizibil cu g .le r3rerrpire restul imp[(irii polinomului f la g. (Bacalaureat 2009)Ftiturl

" r:,Y-l)(X -2)= X' -2X -X +2= X2 -3X +2= g.

: =rrema impartirii cu rest avem: / = g' q + aX + b = =(x - l) (X' 2)' q (x) + ax + b':=l seoblinecd,f(t)= a+b, irpentru x=2 seobfine f (z)=2a+b' Rezulta

.. la+b=l* :: ecuatii i cu solufiile a -- 0, b =7.

' l2a+b=l- .r-"'restul impd(irii lui / la g este r = l, $i polinomul nu se divide cu g'

u:d 1r3te cdpolinomul {eClXl,f (r)=(X'+X+t)" *(X'-X+t)o' -2 sedivide'cu':,- g

- X2 +le C[X], pentru oricare me N.:irirflfie

- - ::rrema cu rest avem f =(X'z +t)l+ aX + b.

( +2(m-i). poti

nu polinoame 7l

Funclia polinomialf, ata$ata lui / se scrie /(x) = (x'? +1)' q(x)+ ax+b'' Ecualia x2+l=0 aresoluliilecomplexe 4 =i qi xz=-i' Rezulticl,f (i)= aq(i)+at+b= ai+b $i /(-i) =o.s(-i)-ai+b=-at+b. Se obline sistemul de ecualii

[o'*.u:f (:).,. Dar,r(i)=(i'+i+t)0"+(i'-i+t)o' -2=io'*(-i)o'-2=t+1-2=0'l-qt+b="/(-r) rai+b=o

Analog .f (-i)=(i'-i+r)o'+(i'+i+t)0" -2=0. Aqadar""., t-;;;i=o .,solu{iile

Q=b=o. Rezultf,ctrrestulimpi4iriilui / la g estenul,deci / sedividecu g.

6. Aplic6nd algoritmul lui Euclid sE se determine c'm'm'd'c'(f , S)'a) /, g e R.[X], f = Xt -3X +2, g = X2 +2X 'b) f, geClXi,f = Xo +X2 +1, g= X3 -l'

Solufiea) impS(im f la s. Se obfine:

Rezultd restul r, = X +2. implrtim g larr'

x2 +2x lx +zt--x2 -2x lx/ rl

Se obtine /z = 0, Asadar avem girul de polinoame f , g' X +2' 0' Rezulti ctrc.m.m.d.c.(f,s)-x+2.b) Afl6m restul imP[4irii lui f la g'

Xa+X2+l-X4 +XI X2+X+1

Rezultl restul 4 = xz + x +il' imp6(im g la rr:x3-l lxr_x+t

'X3 -x'-x lxz +x+t

t -x2-x-t I

I

X2+X+lI l0

MATEMATICA M2 - CLASA A XII.A

x3 -3X +2

-x3 -2x2I -2x2 -3x +2

zxz +qXI X+2

X'z+2xx-2

x1 -l

x

Se obiine

7. Sd se detaf = X3 +X'-

Solutia IFolosim al

lmparfim

haaerEu6l-

tH

t' r-{

Se obtine ro = 0 $i qirul depolinoame f , g, X -1,0, deci c'm'm'd'c' (f' S) - X -l'

T.SlsedetermirlemRpentmcarec'm'm'd'c'alpolinoamelorf'geC[X]'f : X3 +.x"

-

x +m, s: X2 -

X-2 este de gradul 1'Solufia IFolosim algoritmul lui Euclid. Avem imp6(irea:

xt+X'-x+m (x'-x-z-x3 +x2 +2x lx.- ,t 2x2+x+m I

-2X2 +2X +4I 3X *m+4

imp6rfim g larestul rr=3X+m+4. Seobline:x2-x-2

-x, -*+4 xJ/

-^+7 x-2J

3X +m+4X

_m+739

Pentru ca c.m.m.d.c. s[ aib[ gradul doi se pune condifia cz r, =Q .(m+a)@77)

=2 sau m2 +1lm+10=0 cusolufiile zei-t,-to].Se obline ecualia -

9 llm+10 =U cu solulllleSolufia 2polinomul g = X2 - X -2= (X+l)(X-2). Cum g are divizori de gradul 1 polinoamele

-l qi X -2 rezultdcac.m.m.d.c.(f ,S)-X+l sauc.m'm'd.c'(f ,S)- X-2.Condilia ca restul imp[(irii lui / la X + I qi X -2 sd fie zero conduce la ecuatiile

-l)=O $i f(2)=0. Seoblinecl f(-t)=m+l 9i f (Z)=m+10. Din m+l=0 seobline=-1, iardin m+10=0 seobline m=-10. Aqadar ze{-t,-tO}.

s--,",- .. *" *v$,{lf"...

.r' Exercilii si p.robleme prEill- - ,,,'

''

56 se arate cd polinomul / se divide cu polinomul g:/,ge R[x], .f = x' -3x +2,g= x +2;,f,s= Q[x], f = xa +X2 +1, g= X2 -X +l;f ,s e c,lxl, f = x' +(l-i)x'z +(l-i)x-1, I = x -i;f ,geZrlXl, f =)X' -X +i, g=)X -i;de polinoame 73

e) "f ,geZrlXl,f = Xa + Xx +)X' + X +i, g = X' -i;

0 f ,geZs[x), f =)xo +3x'+ix+), g=xz +x+).2. S[ se arate cd polinomul / se divide prin polinomul g in cazurile:a) f =xa -2x2+t, g=xz -t; b),f = x'+(++zl)x-6,x=x+2t;c)

.f =x2 -4x+1, g=x-2+Jl; d) f =xo -3x1+3x2 -3x+2, g=x2 -(t+l)x+i;e) 7=1x-a)'oon +X-4, g=X-5; f) "f =(X'+x+t)t -X, g=X2+1.3. Seconsiderdpolinomul /eR[X], .f =X'+X2+mX+1. Slsedetermine m elR astfelincdt X

-2 divide f .4. Fie /e Q[X],/ =X3 + aX2 -5X +14. Determin[ ae Q astfel incdt X +2 divide /.5. Fie /e R[X], f =mX| +71X2+7X+m. Determinl m e IR astfel incdt f s[fiedivizibilprin g=X-1.6. Se considerd polinomul /e R[X], f = Xo + aX1 +(a+3)X2 +6X +4. Determind ae IRastfel incdt polinomul / sd fie divizibil prin g = r-J|.7, Fie /e zulx), f = x' +(2o+i)x+r+i. Dtttr*ind ae zu dacd x +a aiviae 7'8. Fie /= X3 +aXz+X+i gi g=X+3 polinoamedininelul ZrlX).a) Str se determine ae Z, astfelincdt g divide /;b) Pentu a=i ardtati cd f =(x+i)(x'+i),g. Fie polinomul /e R[Xl, f = X' +mxz -mX -4, Determind me IR astfel incdt polinomul/ sd fie divizibil cu polinomul g = X2 -2.10. Fie/e a[X],,f =1+(t+i) x+(z-i)x'+aX', Determind ae Castfeltnc6tX-i dividef.11. Seconsiderl,fe Q[X], .f = Xo +aX3 +bXz -5X +6 $i g =Xt +X -2.

Determind a,6e Q astfel incdt polinomul / sd fie divizibil cu polinomul g.12. Se considerf, polinomul /e IR[X], f = Xu +mXz +n, m,ne iR.. Determind m,ne iR. gtiindc[ polinomul / se divide prin polinomul g = X2 - X.fA. in R[X], seconsidertrpolinoamele.f =X'+mX2+nX+6 $i g=X2-X-2.a) Descompune in fbctori polinomul g;b) Determind m,n e IR astfelincdt g divide /.

14. Determinacazurile:a)

.f=X'-b) f =mxo 'c)

-f=Xo+d)

.f=xo+e) f =mXn 'ls. Fie /e [JI =(x-l)'.16. Determinia)

.f=Xo+b) f - X5 +'17. Se considtSi se arate ci 1

It Se consi&rsle ale coefci

tt. Aretati cit=Xl+X2+IL Determiner) f=X'+'.t) f=X'+'.

.. RADACI

**rwtde

",re r[fl

. Elcffirdt ElemcdFml ,f-. Wf tfl. E rilj

(I-aJ-, rMATEMATICA M2 _ CLASA A XII-A &tf,

= X +2i',

+2, g=x'?-(t+i)x+i;= Xx +1.

Etermine rn e IR astfel

wet X +2 divide /.:l incdt /

.sd fie divizibil

X+4. Determin[ ae ]R

14. Determinali valorile parametrilor m,n dacdpolinomul / se divide cu polinomul g incazurile:a)

.f =X3 -(m+t)x'+(3n+2)x-2n, g=x2 +x+2,1,ge R[x];b)

.f =mXo +nX3 -1, c=(X-l)', f ,EeR[X];c) f = Xa *1, g = x2 -mx +n, f ,8e re[x];d)

.f = xo +x3 +x2 +mx +n,g= x2 +x +4, f ,gGz'rlxl;e) f = mXo + nX2 +1, g = Xz +7, f ,ge m[x]'15. Fie f .lxl, i = oX' +bX'-t +1. Determind a,beR astfel incdt f sd se dividd prins=(x-l)'z.16. Determin6 a,b,ceR gtiindc6polinomul / sedividecupolinomul g incazurile:a)

.f = Xo +5X3 +a-Yz +bX +c, c =(x' -l)(x+3),7,ge IR[x];:)

.f = Xt +mXa +2X3 +nX2 -3pX *5, I = (x-f)' , f ,ge R[x].l?. Seconsiderlpolinoamele f ,geR[X] , .f =(X-t)'o'o+(X-2)'o'o $i g=X'-3X+2'5i se arate cd polinomul / nu se divide cu polinomul g'It. Se ionsider[ polinomul f = Xo + aX\ + bX + c, a,b,e e iR' Demonstra]i ctr nu existd valorireale ale coefcienlilort a,b,c astfelincdt polinomul / sd se dividd ou polinomul g = Xx - X '19. Arilta{i cdpolinomul f = x|n" +Xan+z +x+1, ne N se divide cupolinomulg=X1+X1+X+1.

20. Determinati cu algoritmul lui Euclid c.m.m.d.c. pentru polinoamele f ,ge c[x]:a) f = X'+2X2 *X -2, g= Xo -l;b)

-f = X' +2X2 +2X +1, I = Xa +X2 +1'

6. NAN,q,CTNI ALE POLINOAMELORBreviar teoretic

Fie /e K[X] un polinom de gradul re N, n 21.r Elemenrul ae K se nume$te rtrdlcin[ a polinomului f e KIX] dacA /(a)= O'o Element ul a e r( este raiacina a polinomului f e KIX) dacl qi numai dacl / se divide cupolinomul X

-a.. oaca y' se divide cu polinomul g $i d este r6d[cin6 a lui g, atunci a gste r6d6cin6 a luif.o Elementul ae K este rtrdtrcintr multipltr deordinal m N", dacipolinomul / sedividecu (x

-a)'', dar nu se'divide cu (x -a)'*' .Inele de polinoame 75

Numf,rul ,?, se numeqte ordinul de multiplicitate al r6ddcinii a e K.Daci m =\, cx se nume$te rldicind simp\i.

D acb m = 2; ] ; ... a se numei\E r:ailhe\n:a ilu\\:a, \r\p\:a, . . . .r O ecualte de forma

"f (x) = 0 , unde / este funclie polmomialE de gradu\ n, seecua lie algebrici de gradul r.

Elementul a e K se numegte solulie a ecuatiei "f (*) =0, dacd f (a) = O.

c Dacd /eA[xJ estepolinomdegradul zelV', atunciecualiaalgebricd /(r)=0 arensolulii complexe.

+,lH Exercilii Si probleme rezolvote ffil. Si se determine care din elementele date sunt rdd6cini ale polinomului f :a) f =2f' -3X2 +te C[X], a= {r,0,-}},b)

"f =Xo-4x3-4x-lec[x], ae{i, -i, -t};c)

.f = xa -ie Zrfxl, a. {i, ), A, o}.SoluIie

a) Avem:,f (0) = +r, /(t) = 2-J+l = o, /f -ll = -!- 1 *1 = -l +1 = 0 . Rezulri ca d =1"\ 2) 4 4o

- -! sunt rldicini ale lui /.2'b) Avem:

"f (i) = 1+ 4i - 4i- I = 0, f (-i) =l-4i +4i-l = 0 Si,f (-l) = 1 -4-4 -l = -8.Numerele a = i $i d = -i sunt rddlcini ale lui /.c) Avem: /(i)=i-i=0, f (2)=)o -i=i-i=0, f (A)=40 -i=(-i)'-i=i-i=6 ri/(0)=0-i=-i. Elementele a.{i,2, 4} suntrldicini ale lui /.2. S["se determine ordinul de multiplicitate al rldicinii a e K.a) f =2X'-3X2 +1, a=1, K =lR.

d./ -r'-- -{"-

4 5-4 4

2-2 I I r=0

2 0 I r=02 2 r=5

Rezultd cd a = 2 este riddcind dubl5.Aplicdm schema lui Horner:

l=0.RezultdcI-G=

r=1-4-4-l=-8

.l ^,l -l=l-l=0 ii

0 0 0 0-l

1 i I I I r=0) 3 4 r=03 I r=04 r=0

r =0' .-.

.l cd d = I este rddlcinl multipld de ordinul 5.- t jetermine parametrii pentru care elementele date sunt solutii ale polinomului

= ;.1.'3 -4yz + mX +2e IR[X], a = 2;

= .-,.'! -3yz + mX +3e C[X], d = -3;

= .':-'L 1*y2 -2m2 e cfxl, a = i;

= -i'r + mx +ie Z3lX), d =).:r; , Etie', :,:e condilia ca f (a) = 0r.--,. f (2) =24-16+2m-t2 =2m* l0 = 0 $i m = -5.

- ::.: /(-3) =81-27 -3m+3=-3m+57. Rezult[ cd,3m=57, deci m=19.t r::ine ca /(i) =l-m-2m2 Sirezultdecua{ia -2m2 -m+l=0 cusoluliile ,. {-,,1}'t2): =j+ * )+i=)*=0, decin=6.

: ::rlsiderA polinomul f e CIXI, .f = X' +3X2 + mX + n. 56 se determine val6rile lui m qi n" ':t:. a = I este rSddcind dublS a polinomului /.

:-:iItia 1t: ,:.lm schema lui Horner succesiv.

m n

5 m*4 m+ n+4 = rtI 5 m+9 = 12

:' -:n condiJia ca resturile r, Si r, s6 fie zero.

,.,:::iine cd m+9=0 $i ln+ n*4=0 cusoluliile m=-9 gi n =5.

1e polinoame 77

Solufia 2Numirul d = I este r6dlcin[ dublf, dac6 polinomulFolosim algoritrnul de impffiire a polinoamelor:

X'+3X2 +mX +n-x3 +2x2 -X

/ se divide cu (x-t)' = X2 *2X +l'xz

-2x +lX+5

-5

I 5X2 +(m+l)X + n-5X2 +lOX -5

I (m+9)X +nRestul impar[irii este y =(m+9)X +n-5 qi este nul penffu m+9 = 0 9i r-5 = 0, deci

m=-9, n=5,

5. Sd se determine r6dicinile polinomului f e KlXl, Ptiind cd are rldicina specificatd'a)

-f =2X3 +ruXz +X-1e C[X\ a=l;b) f =3X3 +2X2 + mX + ne ClXl, d = i, m,ne R;c) f = x3 +)X + *. Zr[xf, a =i.

Solufiea)Sepuneconditia,r(r)=09iseob1inec62+m=0cusolufiam=_2,Agadarf =2X3 -ZX2 + X -L polinomul / se divide cu X -1. Afl6m c6tul impA4irii cu schema luiHorner:

C6tul este Q =2X2 +1. polinomul, din definilia divizibilitifii, se scrie: 7 =(X -t)(ZX' +t).Funclia polinomialI asociatf, este /(x) = (x-t)(Zr' + t).Din egalitate a f {*)= 0 se obline ci (r-r)(zx'z +l) = 6 cu solutiile

b) Dincondilia ,f (i)=0 seobiine cd -3i-2+mi+n=0 sau (n-3)i+rr, n R. rezulti cf, m =3, n=2.

A5adar .f =3X' +2X2 +3X +2 gi se divide cu X-i. Prin schema lui Horner se gdseqte

c6rut implrfirii. Rezulta f = (X *i)]3X'z +(Zi+Z) X + 2i] ti functia asociati polinomului se scriesub forma ,f (r)= (r-i)[:x'+(3i+2)x+2i].

Dincondilia f (*)=0 rezultEecua[iile x-i=0 cusolu[ia a, =i giecualia3x, +(:i+Z) x+}i=0. Avem succesiv: 3x'?+(3i+ 2)x+2i= 0 (+ 3x2 +3a+2x+2i = 0 e

r = I sA se determine r6d6cinile reale ale lui /;Lr :monstreze ca /(x)* 0, Vxe Q\Z' (Bacalaureat 2009)de cu (X

-1I = X'

-.:ecificat6.

-r)(zx'z+t

*urmunc

-:rdi1ia,f(r)=0 sescrie l+a-l-l=0 deci a=1'\f_nmrir_-; __,..f =Xo+xl _x_r.Funcfiapolinomialaalui / este /(x) =}.0+x' -x-l=*

- .r + l) = (x + r)(r' - l) = (x + r)(x- 1)(x'z + x+ t)' Din egalitatea f (*)= 0 se obtine-

= -. r-l=0'.r'*x*1=0,deci xr =1 $i xz =l' deoareceecua{ia x'+x+l=0 nuare

i,l :1ltr.

Din b) rezulttr c6 dacd x e Q cu f (*) =0' atunci x e {-l' 1} cv^ Aqadarr)+0, Vxe Q\2.Se considerapolinoamele /, ge R[X], f = X, _3X+ Q, g= Xz _3X +2,Pentru a =2 sdse rezolve in IR ecualia'S[ se determine raaaJnite polinomului / $iind c6 are o r6d6cin[ dubld pozitivl'(Bacalaureat 2009)Soluf ie

e.ruiiuse scrie x, _3x+2 =0 $i se descompune sub forma x3 -x-2x+2=0 sau,rt-t)-z(x-l)=osau(x-l)(x'z+x-2)=0'Rezultrcdx'=l'xz=l'x'=-2'

Fie ae (0,**) rdd6cind dubl6 a luil

Se pune condilia,ca resturile oblinute sI fie zero' RezultS cE

,. d=-l

a) g=X3-6x2+12X-8, xr=2; b) g=Xa+2x3-3x2-4x+4, xo=1.4. Pentru polinomul / e R [X], sd se determine rdddcinile gi ordinul de multiplicitate alaceslora:a) f = x(X -2)'? QX -2)3 ; b) f = x'(2x' - x)3 tx' -t) ;c) f ={X'-4)(x'-3x +2)r(2X,

-3X +ty3 .5. 56 se determine care dintre elementele specificate sunt rf,ddcini ale polinomului / :a)

.f = x3 -3x2 -3x +te a[x]; a.{t,z-.6,-i} ;b) f =2xa -5x3 -3x2 +4x +zea,fxl; a.{-t,t-.,6,i} ;c)

.f = x' +3x'+)x ezufxl;ae{0,i,r,3,a,5i6. Se considerf, polinomul cu coeficienti ra{ionali

.f = X' + a,y2 - 5X +14.a) Sd se determine num6rul rafional a astfel incart f s6 admitd r6d6cina xt = -2;b) Pentru a =

-4 , sd se rezolve ecua{ia f(r) = 0.7. Determinali m,ne RastfelincAtpolinomul h=Xa

-3X2 +mX+n s6aib6r6ddcinadubl6x =2.8. Care sunt valorile parametrilor reali a 9i b astfel inc6t polinomulh= Xa

-4X3 +4X2 + aX+b sd aibdrid[cinile I gi 3.

9. Se considerd f e Zr[X], .f = X' + aX + b. Sd se determi ne a,b e Z, astfel incdtpolinomul f sdaibdr6ddcinile i qi i.10. Sd se determine parametru I real m astfel incAt polinomul / sd se dividd prin polinomul g incazurile:a)

.f = X' +(m+l)X2 -2mX +3m-l,g = X -l; f ,ge m[X];b) f =X'+mX2+X+1, g=X+i,

-f ,geA[X];c) f =xo +)x'+mx'+m+i, g=x+), f ,geZrlxl.11. SA se determine rdddcinile polinomului / in urmitoarele cazuri:a) 7e m.[x],7 =12+Ji)x' +3x2 +(l+zJix +zJi, qtiind cd are o rdd[cind ra]ionard;b) f e A,[X],f =(l+2i)X'? +(2-i)X

-(3+i) , qtiind cd f are o rdddcintr real5.12. DeterminaJi ordinul de multiplicitate al r6d6cinii 1 pentru polinomul.f =Xt-5X4+llX3-13X2+8X-2, f eA,lX)giapoiaflatricelelalter[ddcinialepolinomului.13. sa se determine a e IR , gtiind c6 polinomul / e m[x] admite radacini reale duble:a) f =(X -2)(X +1)(X -a); b) f --(X -1)(x +3)(x -a)(x +6a);c) f = X' -5x2 +8x + a.MATEMATICA M2

- CLASA A XII-A

"80

14. Sa se determine E';:a

f=Xo-xt-nx:-''l.ridEcini.

15. Se considerf, inel:::

a) Dacd f e ZrlX]' ]'polinomului /.b) Sd se determine io.ielement din 2,. este l'J

16. Se consideri Polima) Sd se determine nr'upolinomului este -r = l:b) Pentru a =-2'b=l17. SA se determine u:

f(l)=2,f(2)=9 ii:18. Se consideri Poima) Pentru a=-2.-t='b) Str se demonstrezesd se divid[ cu g - -{'19. inmullimea Rl-t]a) Sd se arate ciddb) 56'se demonsreanumdr ra{ional.

20. Se consideri Pr-Sincdt / sd admiti r:'jt21. Se consider6 Pn:ha) Sd se demonsi:ezb) Sd se determine ac) Pentru a=2'tel22. Se considerd -i'1a) Pentru a=) '*'b) 56 se determi:r r23. Determina{i n:r-sd admitd ridicina id

lnele de Poliroamt

4-.Y + 4, xo = 1.inul de multiplicitate al

'-t);ale polinomului f :

5-Y + 14.

ldlcina \ = -2;

( + n sd aibir ridEcina dubiir

nu.l

: o, b e Z, astte\ incht

" s5 se dividd prin polinomu,

ruII:

I ci are o rddEcin6 ralioro rdddcini real6.

linomul:elelalte rdddcini ale poli

e rdddcini reale duble::)(X +6a):

14. SA se determine parametrii reali m gi r astfel inc6t polinomul.f =Xa -X3 -mXz -X+n slaibirdddcinadubl6 x=-1, apoi sise determine celelalte:adIcini.

15. Se consideri inelul de polinoame Z.IX].: l Dacd f e Zrlxl,

-f = X3 +)X , ta se arate cd orice element din Z, este ridlcinf, a:olinomului /.: , Sd se determine toate polinoamele g e ZrlX) care au gradul egal cu 3 gi pentru care orice:,ement din Z, este rddicind a polinomului g .16. Se considerd polinomul

.f = Xo + oY] + bX + c; a,b,c e R .ir Sd se determine numerele reale a,b,c qtiind cI

"f(0) = f (l)=-2 gi cd una dintre rdd[cinile:.:linomului este x=2;:, Pentru a = -2,b =l,c = -2 , sd se determine rdddcinile reale ale polinomului / .l -. SE se determine un polinom de gradul al Il-lea,

.f = oo * a,X + arX2 astfel inc6t''l)

=2,f(2)=9 $i r =-1 este rSddcind a polinomului /.If- Se consider[ polinomul f = Xo +aX3 +bX +c; a;6,ce IR.i Pentru a = -2,b = 2, c = -l sd se determine rdd[cinile reale ale polinomului / ;: Sd se demonstreze cI nu existi valori reale ale coeficienlilor a,b,c astfel inc6t polinomul /;a;edividtrcu g- X1

-X .ruuilr^rei R[X] seconsiderlpolinomul

.f =Xo +X3 +X2+X+l Si g=X'-X-1 .x r rra:e cd daci / este o rddicind a polinomului g , atunci y' =2y +l;s rc

-:lonstreze cd dacd y este o rdddcin6 a polinomului g , atunci /(y) nu este- rx=l.

ir xrs:.ler6 polinomul .f =Xa+2X3+mX2+nX+p. 56sedetermine m,nlpe lR astfel

;fr a:nitd rdddcinile -l+ i,-1-i gi impartit prin X-1, sd dea restul -15.

tu :n:s-erd polinomul f e ZulXl, f = X' +()a+l)X + a+4 .f,&, ry :e=onstreze cd b' = b , oricare ar fr b e Zu .*, ir sermin e a e Zu, gtiind cd 2 este r6d6cin6 a polinomului / ;Qml ; = i , si se determine r6d6cinile polinomului / .1r :nr:s',derd /,ge lR.[X], .f = X' -3X +a, g= X2 -3X +2, unde ae IR .n:mn-:.

.; = 2 . sd se rezolve in mullimea numerelor reale ecualia f (D = S@);* ic :erermine r6d6cinile polinomului /, gtiind cf, are o rid6cinl dubld pozitivd.I[r .-:afl numerele reale a gi b astfel inc6t polinomul g

- 2Xn*2 + aX' +b, ne fd.

-E5cinadubl6 x=l

pdiuoame 81

i"n;"?;rJ#t'ali varorile parameh,or m,n si p , dacdporinomur / se divide prin porinomur g

-

a) -f =X6 +mXs +nXz *4, g=X, _1,7,g.e R[X];b) .f =mXa +nX3 _1, g =(X _l)r,

-f ,gem[X];c) f = X3 +(m_t)X2 +2nX + p, I =(X, _4)(X +1),

.f ,geRIXJ.25' Ar,tafi c6 porinomur / se divide prin porinomul g, in urmf,toarere situalii:a)

.f =nX'*t -(n+l)X,*1, g=,y_1, iee N ;b)

.f =(X' +x+l)8u+r -X,g=X2+l,neN.

7 . POLINOAME IREDUCTIBILE. DESCOMPUNEREA POLINOAMELOR iNFACTORI IREDUCTIBILIBreviur teoreticr Polinomur / e K[x] se nume$te reductibir peste corpul K dacd.exist6 polinoamereg, he KIX] de grad cel pufin l, astfel incdt f = g.h.o Un polinom f e K[x], grad (f) ) l, care nu este reductibil peste K, se nume$te ireductibilpeste K.o Orice polinom f e K[X] de grad I esre ireductibil peste K.i, *ou"u

un polinom f e K[x],de grad cel pulin 2, este ireductibil peste K, el nu are r.df,cinio Dactr f e K[x] are gradul 2 sau 3 9i nu are rrddcini in K, atunci er este ireductibir peste K.o Polinomur / e K[x] este ireductibil peste c dacd gi numai dac[ are gradul l.;r;:*:TJi ,{..

*r*, esteireductibirpeste R dac6 grad(f)=r sau $ad(f)=2 si f nuo Polinomul

.f e K[x] se poate scrie ca produs de polinoame ireductibile peste K.o Dac[ f e c[x)' gradf =r ) l, descompunerea ca produs de polinoame ireductibile peste ceste / = d(x -d,,)(x

-ar)...(x -a,), unde d1, a2,..., dn suntrdddcinile lui /.o Dactr t/t1, ffi2,..., r?r sunt ordinele de murtipricitate are r[d'ci niror ar, a2,...,dt arepolinomului f e C[X],atunci:f = a,(x _a,)^ .(x _ar),, .....(x

_or)^ .r Daci /e IR[X], are rddf,cinile reale a,, d2,...,d1, de multiplicit ate mt, //12,..., /r1, atunci:f =a.(x-a,)'" .(x-ory',.....1x_or),r.1x,+a,x+b,)0,,.....(*,+a,x+b")r,.,

undepolinoamele de gradul 2, X2 + a,X + b, nu are rddicini reale,o Descompunerea in produs de porinoame ireductibire a unui polino m .f eK[x] este unicd,mai pulin ordinea de scriere a factorilor. vvr.rv,r / E /\[-4 J este unlca,

L Slseart! j =i.I -d j='\''-

Sotrtics Sobqireli

-tl:a clA=-?3 < 0"(i Aves

-iI#zrtE ce C r

!. Snse desr, I =.1- 'ct f =?-Y='

Soluliee) Solupiley=1x-rr.(bl Avem: Jnzrltl cI P'ol, Consider

= (-r- l)itrl

Solugiile

Podus de P*a

d) EcuagiaAvem cf

poiinomul -'-

Se obgirt

3. Se consia) SE se anb) 56 se cec) Si se de

Solulie

-

Inele de po'IiMATEMATICA M2 _ CLASA A XII.A-

divide prin polinomul g

situalii:

)LI]\OAMELOR IN

stE polinoamele

l, se numeqte ireductibil

e K, el nu are rIdicini

este ireductibil peste ,(.: gradul l.Srad(/)=2 9i / nurile peste K.re ireductibile peste Cle lui /.G.,.,.,at ale

tt, fr.,.,.rtn* , atUnCi:

t,X +b,)"- , unde

" e K[X] este unicd,

Exercilii Si probleme rezolvute

Sd se arate c5 polinoamele f e KlXl sunt ireductibile peste K:,

.i =(x-l)'-(x+t)'e Rlxl; b) f =(X+l)'-(x-t)'+1e Rlxl;.

.f = x' +)x +)e zrlxl.Solufie

i Se obfine ca f = X2 -2x +l- X2 -2X -l = 4X gi este ireductibil fiind de gradul I ': Avem cd f = Xi +3X2 +3X+l -(X' -ZX' +3X-l)+l =6X2 +2+l=6X2 +3. Deoarece-=-72 < 0, rezulta ca / este ireductibil peste 1R... Avem /(o)= ), t(i)=), f ())= i. A$adar / nu are rddacini in z, si este de gradul 3'; :rlt6 cI el este ireductibil.I Si se descompunf, in factori ireductibili polinomul f e KlXl:.

.f = x2 -8x +7 e R.[x]; b) .f = x'-se R[x];.

.f =2x3 -3x +le c[x]; d) "f = X' -iezrlxl.Solufie

i Soluliileecualiei f (r)=x2 -8x+7 =0 sunt rr =1 $i xz=7. RezultScE= (x - l) (x -7).

: Avem: -f =(X -2)(X' +2X +a). Deoarece ecualia xz +2x+4 = 0 nu are solulii reale

::llt6 cd polinomul X7 +2X + 4 este ireductibil peste IR.

= .r- r)[2x(r+ r)-r] = (x -t)(zx, +zx -t).Soluliile ecualiei 2x2 +2x-l = 0 sunt *,., =# 9i rezultS descompunerea lui / in

:-rdus de polinoame ireductibile peste C : f =(x -,1[r. '*.6.l[".*l' '[ 2)l 2): EcuaJia *'

-i =0, are solulia x = i.Avem cE ,'

-i = (r-i)(r'+.r+i), Ecuatia:,:linomul

.fr = X2+X+i este ireductibil pesteSe obline c6, f =(x-i)(x'+x+i).

*' +*+i= 0 ,u are solu{ie in Z, deciv,2,

:

==.=j

l, Se considerl polinomul .f = Xo -12X2 + 35 e R.[X].

: 56 se arate cd f =(x' -e)' -t.: Sb se demonstreze cd / nu are r6dicini intregi,: , Sd se descompund polinomul / in produs de factori ireductibili in R[X]. (Bacalaureat 2009)' Solufie

Inele de polinoame 83

f :Xa -\'Lx] +:s-r:\* -oJ -r.

\ \un\rt \\\:S sqsrirs.s\s\s.s,-o.\* _\ _\:\ sao\* _t+\\* _6_\\(x'-s)(x'-7)=o qiaresoluliil" r, =G, r, =-18, x.=Ji,xo=_Ji carenuflc) Polinomul se descompune, av6nd in vedere r'd[cinile lui, sub forma

r = (x - G)(x + .6)(x - J7)(x +,'F).

4. Se considerl polinomul .f =(X, _2X +t)' _ o, ,/e IR[X], ae IR.

a) Pentru a = 0 sf, se afle riddcinile lui /.b) 56 se verifice cd f =(x, _zx +t_ a)(x, _2X +l+ a).c) Sd se determine ae rR penfru care f se descompune in produs de 4 factoriRtxl.

Solufie (

a) Avem: "f =(x'-2X+,)'=[(r-l),] =(x-1)0. Rezult. cd f arerdddcim

multipl[ de ordinul4.b) Folosim diferenfa de pdtrate 9i se obfine inegalitatea cerutd.c) Din b) avem o descompunere in factori pentru /.

Polinoamele x2 -2x+r-a qi xz

-2x +l+a trebuie s6 fie reductib,e in R{r}cd A, = 4-4(t-a)>O qi Lr=4_4'(t+o)>0.

Seob(ine cd a)0 9i a

u lx1-6+r)(x, -o-r)=o sar

t1 l-v , . .rr - -v i care nu sunt intreg.

. sub forma

)escompuneli in factori ireductibili peste Z,[X] polinoamele' = -Y2 +i, n=2;"=X3+ X'+X+i,n=3;' = x' +)x' +ix +3, n = 5;

b) .f=X2+i,n=5;

d) .f=X'+X+3,n=5',

0 -f =zxo +3x' +ox'+qx +4, ft=7.

:: polinomul f = Xo -X'z -4X -4eV-lXl.)eterminali rdddcinile intregi ale polinomului / ;)scompuneli polinomul / in factori ireductibili peste Q[X].r:e f =Xo-12X2+35,f eR[X]s3 se arate cd f =(x' -e)' -t;!i se descompund polinomulin factori ireductibili peste R.[X].

?ie f = X1 *2X2 + aX -8.)eterminaJi ae R. astfel incAt una din rtrddcinile polinomului sd fie egald cu 2;?entru a=4 descompuneli polinomul / in factori ireductibili peste R[X]Fie f = X' -(*+t)x'z -3X +:,/e Q[x].Determinali me Q astfelinci,,t f sdadmitdrdddcina ,, =16;Pentru m = 0 sd se descompund polinomul / in factori ireductibilipeste Q[X]'Fie / = Xa +2X3 - X2 -8X -12.Determinaii cAtul qi restul impirfirii lui / la polinomul g = X2 +2X +3;Descompuneli polinomul / in factori ireductibili peste R [X].Fie f = Xo -2X2 +7.Ar6ta{i cf, / este divizibil cu g - X' -1;Descompuneti polinomul / in factori ireductibili peste R.[X].

Yl, ae R.

produs de 4 factori ireductibili in(Bacalaureat 20091

ukaca f arerdddcina a=l).

[ fie reductibile in JR[/]. Rezulri

.f = (x -l)(x _ 1)(x_r)(x _I

e "-.

-Y], R [x]. Motivali ategereatnr

ft

t,D

T

I4. Fie .f =mX1 +llX'?+7X+m, f e m[X].

r Determinafi paramefful real m astfel incdt polinomul f sd fie divizibil cu g = X - 1'I Pentru m=-9, descompuneJipolinomul / in factoriireductibilipeste R[X].Il. Fie

.f = Xo + aX3 +(a+3)X'z +6X -+.r Determin a\i ae llR astfel incdt f sd fie divizibil cu g - X -Ji;: I Pentru a = -3 descompunefi polinomul / in factori ireductibili peste R [X].12. Fie f =X'+&Y2+gX+aeR[X] $i g=X'-4X+5.:) Determinali a gi b astfel inc6t polinomul / sd fie divizibil cu g;

84 Inele de polfhoame 85

; Descompuneli polinomul / in factori ireductibiti peste R.[X].13. Fie f =X3+mXz+nX+6 li g=X2-X-2.a) Sd se rezolve in IR ecuafia X2

- X *2 = 0;b) Str se rezolve z, n e JR astfel incat / sd fie divizibil cu g;

c) Sdsedescompund f infactoriireductibilipeste IR[x], dacd g divide /.14. Sdsearatecdpolinomul

.f =)X'+X2+X+3eZo[x] nuareniciordddcind inZodarest*reductibil peste Z olXl.

15. Determina[i m,neZ.,m*6, astfel inc6,t f =mX3 +nX+2eV,.[X] safie ireductibilpesteZ,[X1.

8. RELATIILE LUI VITTE PENTRU POLINOMUL DE GRAD CEL MULT 4.Breviur teoretic

r DacE f eClX),f =aX2 +bX+c, A C* gi x, , xre C suntraddcinile lui /, atunci(uIx, *x, = --lql'tc|.*' ''' =-

r Dacd .f =aX3+bX2+cX+deC[X], aC', arer6d6cinile x1,x2,x3eC, atunci:

b-I, *I, *x, = --

a

c.X1.tr2 +Xt.trl *Xr.tr, =-,

a

dIII2XI = -- q

r Pentru polinomul de gradul 4, .f = aXa +bX3 + cX2 +dX +eeC[.y] cu r6d6cinile

x1, x2, x3, ro e C, au loc relafiile;bXi +X2 +Xl *Xo =

--

a

xtxz + xtx.t+.trrx4 +.r2xl + xrxo + xrxo =

9a

xtx2x3 + \x2x4 + xi3x4 + xzxJx. = -dqe

\x2x3x4 = -

cl

L Sl se scne rt&: f =2X: -r)il

-f =4X'*YSolufie

u Avem ci: x

t) Avem ctr: Ic) Se oblin reir

16-+r,:T = *.

I Se consida{**xr={.

Solufia IPrima rei4iDin relaP

r+x.='1. ' .5f.lra = -la =2p.,6 gir

Solufia 2Din Prirnr t

dvide cu X -l

Cdtul imdme (x-1)(r:mluliile xe i2

Agadar -f

3. Se considta) zl + zl;

Solutie

MATEMATICA M2 _ CLASA A XII-A 86

ltli. Exercilii si probleme rezotvate it,$fr re scrie relafiile lui Vidte penhu polinomul /e C[X].' =2X2

-4X +l; b) f =-X'+2X2 +5X -t:

=|Xa +BX3 +16X2 +4X +3.tutogie

r.m cA: x, +x. =11 = r --- - I__. ,.1 , -2 _ 2 :zt \x2=i.

-f?rncA: .rr +.r2+.rr =-1=2, \xz+.rr.r3+x2.rr =+=-5, x,xrx, =-J=_r.

:ecblinrelafiile: xt+x2+x1+x, =-8 =-2. x,x-+x.x-+r r +y y -' *i r 44 --tr--2, xfiz+\x3+\x4+x2x:.+xzx4+

i6t =t= 4, x,xrxr+xtx2x4+)citx4+x2xtx4:-+=-l gi x,rrrrxo =1.-4't.-z-.r--44,

* ;onsider[ polinomur f = x' - 5xz +3X +l e c[-y]. si se afle rtrdtrcinile rui / ptiind cl-

- __t

hLtia lluarelaliealuiVidtesescrie

xt+xz+x3=5 $i seobline 4+x, =5, deci xr =1.lm relafia xtxzx3 =-1, inlocuind xr = I se obline ctr yrx: = -1. Agadar avem cdr-:=4i"E=-l , sistemdincarerezulti cd xl*4x,-l=0 cusolu{ia xr =2t.6. Seobfinecf,=*;v5 qi deci / are r6d6cinile z+Ji, Z^Jj, t.nryrs 2iau prima relafie a lui Vidte rezulti ctr 4 + x, = 5, deci x: = 1. Rezult[ cd polinomul / seu n L

- l. Folosim schema lui Horner:

-tui impirfirii este q = x2 -4x -r ei deci f = (x -r)(x, -+x *t), Ecua]ia ./(*) = o

---lJ(r'-ax-l)= 0 $i se obline cb r-l = 0, cu solulia r = I $i x2 _4x_l= 0, cu,"{z-"6, z+G}.

er / are radlcinile Z_Ji, Z+Ji, t.& consider[

.f = 2x2 - 4x +l r e a[x] cu rlddcinire zt, 22, Z3e c. sd se carcureze::+zl; b) (r,-zr)': c) 1*?, d) 2,,+zl.sorufie

o2 'l

lune de polinoame87

I-5 3

I-4 -t -l r=0

Relaliile lui Vidte Pentru /

a) Avem cd ,l + zl =lz,+ zr)'b) (r,

- ,r)' = ,? +

'1 -2zrz, = -7 -2't = -' -'1 = -18;z 7 ,?+21

-7 14. L1 L) "l ' -2 -

-

C) -1-=

-

=-=--', ?, ll llL2

-l'22

d) zl + z) =(:,+ z,)(zi + zi - z,z,)=' l-'-+)=tt4. Fie l= X3 -5X2 +4X+8e C[X], curdddcinile 21' Z2t z1' zoeC' 56secalculeze:a) zl +zl+zl; b) zl +z)+zl; c) zl +zl+z!'

Solufie r- t; Lz =\

Avem relaliile luiViete pentru / date de F")'";;';:.)"'=o'lzrzrz, = -B

a) Avem c[ zl + z', + zl = (2, + 22 + z3)' -2(zrz, + zF3 + z2z3) = 52 -2' 4 = 25- 8 = 17'b) Deoarece 21, 22, 23 sunt ridlcini ale polinonorpului / rezultd c6

lri-szi *42,*8=o

f (r,) = 0, f (r r) = 0, f ('r) = 0, deci au loc relaliil " \'i- t'i+ 4.2' + 8 = 0 (1)'lzl-szi+42,+8=o

Prin adunarea rela{iilor (l) se obline cd zl + z) + zi -s(zi + z" + zl)++4 (2, + z, + zr) + 24= 0, deci z', + z) + zl = 5('? +'1 +'!) - I ('' + z 2 + 4) - zq == 5.17 - 4. 5 -24 =85 - 44 = 41.

lri^-t-,i + 4zl +82, = o

c) inmullim relatiile (1) cu 2,, z, respectivz' Se obline ca \'i.-52)+4zl+82l.=0lri -sr', + 4zi +82' = o

Adundnd aceste relalii rezultd cd zl + zi + z! = 5 ('? + ",

+ zl) + + (2,' + z "

+ z

"

) +

+8(2,+zr+zr)=0 qi zf +zl+z! =5'41-4'17 -8'5 = 205-68-40=97'cu rldtrcinile x1, x2, x3.5. in inelul R[X] se considera r"'*l;'

56 se calculeze determinantul A =lr,t,,

af=x'-x-5,xz

'rlxr ', l'xr xzl

(Bacalaureat 2009)

88MATEMATICA M2 - CLASA A XII'A

SolufieAplicdnd regula lui Sam$ c

terifice ecuaJia x2 -x-5 = 0 sd -r, -5 = 0. Prin adunarea *J=3'5-15=0.a. Sd se rezolve ecualia rr -E

Solu{ie

Fie x,, x, x, soluliileeflr

Din relaJia lui Vi0te x, +t-

-')Efectuim imPd(irea Potir

Solufie

x, v, z verificarel

polinomul de gradul 3, f = ISoluliile ecuatiei *' -61

l-1, 2,s), (-1, s,2), (L -

{1. Str se scrie relaliile tui Vie) f=x'-7X+6;c) f =3Xt -6Xz +9X-.\c) f = Xo -3X' +4X: -lL Se considerf, Polinomdhele de polinoame

Solufie

'{plicdnd regula lui Samrs se obfine A = 3x,xrxr- (xi + xl + xr, ) . oin condi{ia ca xt, x2, xjSceecua{ia x'-x-5=0 seobtinegalitalile; xf _x, _5=0, *j _xr_5=0 gi-rr-5=0. Prinadunareaacestora rezultdcd, f +t*xr3 =y, +xz+x3+15=0+15. Agadar=j.5-15=0.si se rezolve ecua{ia *t

- 6x' + mx +10 = 0 $tiind cd solu(iile sunt in progresie aritmetica.Solufie

Fie x,, x. x, soluliile ecuagiei gi x, =IdJ!-.-2

Dinrelafialui Vidte xt+x2+\=6 seobline cd xr+(xr+xr)=6 sau x, +2xr_6, deciEfectulm impdrfirea polinomului

.f = X. _6X2 + mX +10 prin X _2.I

-6 m l02

-4 m-8 2m-6=r

lx+v+z=6Si se rezolve in mullimea IR. sistemul de ecualii lU . ,, + z2 = 30.

sotufie lwz = -lo

lx+ y+ z =6Deci x, y, z veriftcd.relaliile f* * ,, * ,*= 3 , care reprezinti relaliile rui vidte pentru

lxyz = -10

Din prima ecuatie prin ridicare Ia pdtrat se obline cd x' + y' + 22 +2(xy + yz + zx)=36, derezultdcA xy+yz+zx=3.

Dincondifia r=0 seoblinectr ru =3,-

4X + m -B - Xz -4X-5. Ecua{ia x2

iile ecualiei date sunt -1, 2, 5 sau 5, 2,

iar cdtul impA4irii este-4x-5 = 0 are solu{iile r, = -1, r: = 5. Agadar-1.

b) f =2Xz +4X +11;d) f = x3 +6x2

-8x-l l;0 f=xo +X2 +1.

de gradul 3, f = X1 -6X2 +3X +lO.soluJiile ecua{iei xt

- 6x'+ 3x + l0

= 0 sunt -r, 2, 5. Rezurta cf, sistemur dat are soru}iile

-- 2,5), (-1, 5, 2), (2, _1, 5), (2, 5, _t), (s, _r, 2), (5,2, _t).1 1 Exercilii Si prorbleme gropuse

Sd se scrie retaliite ,rr "il;;;;;1,r"r..,. f e a.[x]:il

-f = x2 -7x +6;,

_f =3X3 -6X2 +9X +l;

. -f =Xo

-3X3 +4X2 -6_y+g;i Se considerr polinomul

-f = xo -5x2 +5. Dacd x1,x2,x3,x4e c sunt rddacinile porinomuruisle de polinoame

sd se calculeze:

a) x17x2tx3tx4) ltllb) -+-+-+-.xt x2 x3 x4

3. Se considerf, polinomul f = X3 -3X2 + 5X +l e A [X] avdnd rdddci trle x,, x, xr. Str secalculeze:a) xt+ x2+ 4 -2{x,xr+ rct\ + xz\); b) fi +xi+xl.4. Fie polinomul f = X' - n1X2 - 4X +Ze A,[X] iat x,,x,x, rlddcinile sale.a) Sd se afle valoarea real6 a parametrului

-m gtiind ci suma rldlcinilor polinomului este egaltr?-m;b) S[ se afle valoarea real[ a parametrului z gtiind c[ suma pf,tratelor r[d[cinilor polinomuluieste egal[ cu 8.5. Fiepolinomul f =2X' -4X2 -7X +2e C[X],2e R..a) Sdsedetermine ),eR gtiind.a I + I + I =l;xr x2 x3b) Pentru 2=lslsecalculeze l-+l+ I

.

xtxz xzxt xtxs6, a) Sd se scrie un polinom de gradul al treilea avdnd r6d6cinile

-l,l gi 3;b) Sf, se scrie un polinom de gradul al patrulea avdnd rdddcinile -3,*1,1 9i 3.

7. Se consider[ polinomul 7 = (x -t)(X -2)(X 4)(X - a)+ I e A [x], ,r, -r2, x3, x4 fiindrdd[cinile complexe ale polinomului.a) Sd se calculeze suma rdddcinilor polinomului considerat;b) 56 se calculeze produsul rddf,cinilor polinomului considerat.8, Sd se determine valorile parametrilor a,be iR. penku care soluliile ecualieix'

- ax' + bx

-24 = 0 sunt propo(ionale cu 2,3 respectiv 4, Sd se rezolve apoi ecua[ia.g. Fie polinomul f = X' +2X2 +3X + e A[X] , x1,x7,x3e C r6d[cinile sale.a) Sf, se calculeze suma cuburilor riddcinilor polinomului;

l'' x2 ''lb) Si se calculeze determinantul A = lr, x3 ", l.l* xt *rl10. Sa se determine polinomul de gradul 3, / e A [X] , cu coeficientul dominant I , care arer[d6cinile:a) xr=2,xr=3,xr=-l;c) x, =l+i,x, =l-i,xt=2;11. Fie f e a,[X), f = X1 -2X2 +5X -2, cu riddcinil e xt,x2,x3. 56 se determine polinomulg e A[X] care are rddlcinile !t,!2,!s, dacf, :

MATEMATICA M2 _ CLASA A XII.A

Ir =2xr,lt="y,

- X2Xs, f: 5

Si se deterrnit

f=x'-7xf =2X3 +'t56 se deterrni

sunt in Frsf=x'-l2JrSe consideri, l

inomului.Calculafi r- *

It Se considedl{rf2,13,Ia, feSSI Calculali g(:

Calculali /[13 Fie ae R. tr

r) SI se aratedt) SE se arate d15. Fie polinoruE.=ri +xi+5,r) Determinaiit) Determinali17. Fie polinouE.=xl +xi+ll& Se considtrlP= Xa +2X1

-

19" SA se detrtgiind cd sol4iiltm. SA se deeret'

-3lx'+155r

-

kle de polino

b) x,=-l,xr=3,xr=i;d) *,=Ji.,*r=l-Ji,x. =l+Jl .

90

=zxt,y2=2x2,y3 =2\;, = X2X3, lz = XlXst lt = XtX2i

Ir = Xz* X2tlz= Yrl X3t!t = \* Xz',111

v,=-.1.=-,)'z=-'\'x2xl

lE se determine r6d6cinile polinomului f e clx), in condiliile date :_; = X3 -7X +6,x,*xr=3; b) f =2X' +8X2 +10X -4'xr'xz=l:-, =2X3 + X2 -5X +Z,xz=Zxt', d) f =2X3 + X2 -l3X +l6,xrxr*xrx, =-J5Esedetermineparametrulvrn eIR qis6seafler6dlcinilepolinomului /e R[X]qtiindcia sunt in progresie aritmetica,daca ::

= xt -12,x2 +44X +m; b) f = x3 '4x +m; c) f = Xo -6x3 +mxz -6x '

5e considerd polinomul f = xo + xz +11 e c [x]' x" x 2'x1'x4 fiind r[d6cinile complexe ale

talcu\ali xr + x2 + xr + x4 - xrx2x3x4', b) Ca\cu\a\i xl +xl+xl +x|'Se considerd polinoamele f ,geClXl, f = Xa +X2 +l' g= X2 +X +l' curddScinile

i-,.r,14, resPectiv /r,.Y2.Caiculati c(x, )+ c(rr) + c(x, )+ g(xo) ;Caiculali f (y,)+ f (Yr) .

a Fie aeIR., I, ,r2,r3eC solutiileecuatiei x3+3x-a=0 $ideterminantul

56 se arate ctr pentru orice a IR' , ecuatia are o singurI solulie real[; *Sr se arate cA valoarea determinantului de mai sus nu depinde de a e

IR '

l'lt Fie polinomul f = Xo+1e a[x] avdnd r6dlcinile x")c"x"xu e Cgi expresiaj,=ri+xl+xi+xf,reN-'& Determinafi valoarea expresiei E = Et* Er+ Er+ Eo;: Determina{i valoarea expresiei F = Es * Ee '

-. Fie polinomul 1e R[x], f = X3 + pXz +qX +1'cu riddcinile x"x2'xtgiexpresiat,

=xi +xi+xi, ne N-, Calculali E,,EyErlnfunclie de p si q'

-L Se considerd ecualia xr + 3x + I = 0, cu solufiile x1' x2' x.e C qi polinomul I '

t=.Ya +2x1 -x2 +3x-2e c[x]. s[secalculeze P(x,)+P(x')+P(x')'\

!l!- 56 se determine valoarea parametrului real m 9i s6 se rezolve ecualia x3 -12x2 * mx

-28 = 0

*:rJ c[ soluliile sale sunt in progresie aritmeticf,'x. sa se determine valoarea parametrului rcal m gtiind c[ solutiile ecua[iei:'

- 3lx2 + 1 55x

- z = 0 sunt in progresie geomefficd'

b)

d)

lr, xz x,ll=l*, xl ,,1.

l', 'rt *rl

-mcir de polinoame9l

2l' sa se determine parametrul real m daci intre soluliile ecualiei urmdtoare are loc relafiaindicati: xo -4x, + mx2 +4x_3=0, x, +x2 = xj+x4.

22. Se consideri polinoamele 1= X, _te C[X], n e N-.a) SE se determine xl + xl, under,,xrsunt rddf,cinile polinomului p, ;b) S[ se determine xfoo' a xloos q *zoos ufide x,,x,x, riddcinire porinomurui pr.23. Fie

.f = X2 + X +le C[X], av6nd r5ddcin ile x,,xre C .a) Calculali xloto + xrro,, ;b) Calcutali l+x,+xf +.rf +...+xf,.24. Se considerdpolinomul f =Xo _aX, _aX+leC[X],aeR,4 C,l=l,Z rddicinilepolinomului.a) Siseverifice cd x,+xr+xr+x4=1* 1 *1* I ;xl x2 x3 x4b) Pentru a=2slsecalculezesuma (x, _l)r+(xr_1)r+(x, _l), +(xo_l),

.

25' sa se gdseasca o rela{ie independent6 de parametrii a gi 6 intre solutiile xt,x2,x3 ale ecualidx3

-(a+b)x, +abx-(a, +br)=g.26' Dacd xt'x2,x1 sunt solutiile ecuafiei x3 +2x' +3x

-2= 0 , si se formeze ecualia in y cusolufiile lr, !2, ltin urmitoare le cazuri:a) lt =xz*\, lz = xr*x3t yj= xt+xz) b) y, =!, y, =L, y, =L;c) l,=xl,!r=xl,!r=xi. \ x2 x327. Sd se rezolve sistemele de ecuafii:

lx+y+z=2 lx+Y+z=3I Ir la) l*t**r*yz=-t; b) ]f*l*1=3l*yr=-2 ix Y zl'' ='9. REZOLVAREA ECUATIILOR ALGEBRICE CU COEFICIENTI TNz, Q,lR, c.Breviur teoretic

Fie (K, +, ) un corp comutat iv Si aoxn + a,xn-t *...* an = Q ( l) ecualie algebricd.o Dacd a6, a1,..., a, e Z gi a solu{ie a ecuafiei (l), atunci:a) ae Z= a divide a,.b) o=!.Q, (p,q)=1* pla, si qlao.q'-

MATEMATICA M2 -

CLASA A XII-A

& a,D-c= QNurmdNumil

Frc I(=Q $(1) a&nie

Fre I(=R Fi ordin de u

56 se determirt +2x2

-5x'r'-zx'

-3x-SolufieCdutiim solugiFolosim schq

Polinomul -f

-

Inele de polinoac

1

-1-l22

il urmdtoare are loc relatia

ui P.;polinomului {.

i. -r, e C, i =fZ rdddcinile

)'+(xo -l)'?.

re soluliile x,, x, x, ale ec

;e formeze ecua(ia in y cu

I=-r

x.

)EFICIENTI iN

::uafia are solufiile intregilermenul liber este 4 Si Do

lie a,b,ce Q, .6 = R \e.- Numerele de forma a + bJ; , b * 0 se numesc numere iralionare pf,tratice.- Numdrulirafional a-bJi se nume$te conjugatulnumirului a+bJi.Fie K = Q li a = a+bJ; numdr irafional pdtratic solufie a ecuatiei algebrice (l). Atunci

=a(l)admitegisolulia o-bJi,cuacelaqiordindemultipricitatecasorulia a+bJi.iie K=]R 9i a=a+biec\rR. Atunciecualiaalgebrici(r)admitegisoru{ia d=a_bi cu

.,ii ordin de multiplicitate ca solu{ia a.

Exercilii Si probleme rezolvatesa se determine soluliile a e z are ecualiilor gi sr se rezorve aceste ecualii;,'+2x2

-5r-6=o; b) x, _3x, +4=o;::'-2x2

-3x-2=o; d) xo -gx, _4x+12=0.

Solufielautdm solufiile ue Z in mullimea D* ={tl, +2,X3,t6}.:-olosim schema lui Horner succesiv;

I

-,h.T:

I 2-5 -6 Concluzii

I I 3-2 -8=r I nu este solu{ie

-l I-6 0=r

-l este solutie2 3 0=r 2 este solutiea l=r

-2 nu este solutieJ 6=r 3 nu este solutie

-3 I 0=r-3 este solu{ie

a e {-t,2,-z}.={+1,+2,+4}. Folosim schema lui Horner succesiv:

Lezultd c[ solufiile inhegi ul, ".ru1Gi ,,rt [I _t

-aut5m soluliile intregi in mullimea D, = {+1,+2}gi a, = 2 solu{ie dubl6.Folosim schema lui Horner succesiv

Polinomul f = Xo -2X2 -3X -2 se scrie, av6nd in vedere cI _l

--l 0 4 ConcluziiI I

-2 a ) =, I nu este solutie-l I

-4 4 0=r-l este solutie

-l I-5 9=r

-l nu este solutie multinlA2 I a 0=r 2 este solutie2 0=r 2 este solutie multipld

0 1 _J 1 ConcluziiI I

-I -4 -6=r I nu este solutie-l _I

-l -2 0=r-l este solutie

-l 0-t -l=r

-l nu este solu{ie multipld2 I 0=r 2 este solu{ie2 3 7 =r 2 nu este multipli

rualie algebric6.

e de polinoame

gi 2 sunt solulii gi schema

lui Horner anterioarf,, f = (x +r)(x -2)(x'1 + x +r). Se obtine ecuafia

(x + r)(x -

2) (x' + x + t) = 0 cu sotuliile intregi r e {-t,Z} 9i comptexe,. {-r t i.6 }.12 )d) cduttrm solufiile intregi in mullimea D, ={L1,+2,+3,+ 4,+6,+12}. Folosim schema 1uiHorner.

0-9 4 12 Concluzii

I-8 -12 0=r I este solutie

2-6 -18=r I nu este multiolS

2 3 .}-76=r 2 nu este solutie

_.,

-l -6 0=r-2 este solutie

-2 -J 0=r-2 este multiold

a-5=r

-2 este dubl60=r 3 este solutieRezulta ci ecuafia are solutiile d, =1, d, = -2 , dubl6 gi d, =3. Ecualia av6nd gradul 4

soluliile intregi sunt toate solufiile acestei ecualii,

2' Sd se determine parametrul ae Z gi s[ se rezolve ecua{ia, gtiind cE are solu{ii numere intregi.a) x'

-3x' +ffi+l = 0; b) x, +(a+l)x, +a2x-2=0.Solufie

a) Termenul liber este l, deci soluliile intregi pot fi a = I sau d = -1. cu schema lui Horner seobline:

I _J a II I *2 a-2 a-l= r

Restul este r=a-3 gic6tul g=X2-2X+a-Z.Condifia r=0 implici a=l gig = X2 -2X -1. Ecuatia dat6 se scrie x3

-3x2 +x+l = (x-1)(x, _2x*1)= 0. Rezulta soluliilex, =1, xr,, =l+Ji.

Pentru u = -7 din schema lu i Horner se_J q I

_I 4 a+4-q-3 = r

cdtul este g = xz -4x +a+4 gi restur -a-3 = r. condilia r = 0 impricE

a = -3, I = X2 - 4X +1. Ecualia se scrie sub forma (x + l)(x, _ax + l) = 0 $i are soluliilert =-1, xr,r=2+Ji,3. SE se determine solufiile numere rationale ale ecua{iilor:a) l2x2

-Bxz*l3x-3=0; b) 2xo -x3+.r2 _x_l=0.

Solufiea) Se arata, prin schema lui Horner, c6 ecuafia nu are solulii numere intregi. solufiileo = l.Q\Z se caut6 printre fracfiite t], t1, t1, t-1. t-l-. t1. t 3q _ Z. 3 4 6 12. 2. :. Folosim schema luiHorner:

"\adar a = -I.

a-- (I]r= -:.,

7 =

a'49 -':_=-

Rezulti cE e'cu

Fru ssuall3 1r':

Ecualia se scr-r

,L Sf, se rezolle al} x'-4x' +3x=,

Solufiec) Ecuatia are co(Yatianta

-1: Folosi.u

Catulimpa4irii

t'arianta 2; Din prir

.r, =+-(f +.,ErI'arianta

-3.'Polinon

'X -*,)(x-xr)=MATEMATICA M2 _ CLASA A XII.A 94 Inele de polinoame

t2-8 -13 -3

_1,)

t2-14 -6 0=r

o'sadar a = -1 este solulie' Din schema lui Horner rezultf, c6 ecualia se scrie sub forma-

-_ (tz*'

-lax-6)=0. Ecuatia r2x2 -r4x-6=0 sescrie 6x2

-7x-3=0 $iare soruliire--!J4g+n

='i", deci x, = 3. r. =-1.12 12 ) evv' 42 - 2' ^' - -i'''&rtim solufiile intregi penku divizorii lui

-1. Alc6tuim schema rui Horner2

-l I-l ConcluziiI 2 I 2 I 0=r I este solutie

-1 2-l ., 1=r *l nu este solutie

il:znlti cd ecualia se scrie sub forma (x + t)(Zx, + x +2x +l) = O . Cdut[m solu(iile ralionale::cuatia 2x3 +x+2x+l=0 printrenumerele

-1. 12'22 I 2 I Concluzii

_12

2 0 2 0=r-1 este solutie

i: efia se """

(,*i) (2x' +0 x+2)= 0 sau ,(..;) $'+r)= s qi are soluli,e::.

ri re rezolve ecuatiile algebrice gtiind solufia dat6.'_

-*r'+3x+2=0, xr = t*Ji; b) xo -4xt +2x2 _4x+l=0, r, = Z+Ji.hhgie

krqia are coeficienfi intregi, deci va admite 9i soluJia x, = 1 _ Ji.l; Folosim schema lui Horner:I 4 J 2

t+"li I-t+Ji 2-2J' 0=r

t-J1-2 0=r

-rtrl implrfirii este q = X -2. Din q(x) = 0 se ob[ine solufia xt =2.

nn,;r't:2. Dinprimarelaliealui Vidteseobline cA xt+x2*xr=!,. inlocuind rr $i ru seobline= +

- (t + O + I -.,D) = 2. A$adar soluliile ecualiei sunt t = I + J1, x, = | _ Jj, x, = 2.

,0trr,:J:Polinomulatagat f =Xt-4X2+3X+2 sedividecu X_x,9i X_r} deci cu-' \x -xr)= (x +Jl)(x l+^fz)= x2

-2x-1. Fotosim algoritmul de imp[rfire

e polinoame95

pentru polinoame:X3

-4X2 +3x +2 lx, -zx-t

-X3 +2X2 +x l- -,t

-2X2 +aX +2 |2X2

-4X -2/ /0

Cdtuleste q=X-2, ecua{iaatagati x_2=0 aresolutia x=2.b) Ecuafia are gi solulia xz =2-J\. se poate folosi una din variantele de la punctul a).

Fie / = X4 - 4X3 +2X2 - 4X +1. Acest polinom se divide cu(x

- *,)(x

- *,) = (, -z-Jl)(x -z* Jl) = xz _4x +t Avem:

x4 -4X'+2X2 -4X +t lx,

-qx +t-x4 +4x3 -x2 l-\,/ / x,

-+x+t I

-X2 +4X -1//0

Cdtul impd4irii este e = X2 + l, iar ecua{ia atagatd x2 +l =0 cu solu{iile xr,o = ti.5. Se consider6 polinomul f = X3 -(m+t)X, _3X +3 e[l(].a) Sd se determine me Q , astfel inc6t suma ridlcinilor polinomului f sdfieegal6 cu l.b) Sd se determi ne m

e, astfel inciltf si admitd rddicina x, = .6.c) Pentru kn=0 sf,sedescompund, f infactoriireductibiliin Q[x]. (Bacalaureat200g)

Solufiea) DinprimarelagieluiVidte r, +x2+x3=m*7, seob{ine cd, l=m*1, decim=0.b) DacE rE estesolufieatunci /(..,6)=0. S.ob]inec6 SJl-Z@+l)-3rE+3=0 sau3(m+l)

= 3 cu solulia zn = 0.c) Pentru m = 0, din b) se obline cf, x, = .,6 .rt" r6d[cin[ arui f . Atunci, cum /e e[x],rezultl cd f are gi solulia x, = -6, deci polinomul / se divide cu (X_.[)(X*,[) == Xz

-3. Efectudm impdrfirea:

C

-i L.DEGru

E

C

7.Sa)a

s

a)rVEte

f=lT

b)tVidte

f=(polirx

-

Inele

x3 -x2 -3x +3

-X3 +3X/

-X2 +3v2aa^

-J

lx'-zt-lr-,I

Cdtul implrfirii este e = X -1, deci f =(x -,8)(x +Ji)$ _\ =(x, _3Xx _1).6. Sf, se rezolve ecuafiile in C, in condiliile date:MATEMATICA M2- CLASA A XII-A

tele de la punctul a)

soluliile xr,o = ti.

ri l' sd fie egald cu l.;,.

I (Bacalaureat 2009)

r+ l, deci la = 0.r+1)-316+3 = 0 sau

Atunci, cum /e A[x],(x-..6)(x*..6)=

2x'-x2 +2x-l=0, rr =i; b) 3xo -5xt ++3xz +4x-2=0, xr =l+i.Solu{ieDeoarece ecualia are coeficien{i reali, rezultd cf, ea are gi solu(ia xz = -i. Polinomul

'. =2X3

- x2 +2X

- I se divide cu (x

- i)(x + i) = 1,;2 .' 1.

Efectuf,m imp[(irea:2x'

-x'+2x -1-2X3 -2XI

-X2 -1X2 +ll0

Cdtul este Q=2X -l qi ecualia q(r)=0 aresolu{ia x, =.1l,

-.)Ecuafia are gi solulia xz = l- i. Polinomul asociat

-f = 3Xa - 5X3 +3X2 + 4X -2 se divide(x-t-i)(x-1+i)= x2 -2x +2.

Efectuf,m impdrfirea de polinoame:3Xo

-5xt +3x2 +4x -2-3x4 +6x3 -6x2

x' -2x +2

X'z+X-l/ x3

-3x2 +4X -2-x3 +2x2 -2xI

-Xz +2X -2x2

-2x +2tt0

Cdtulimp6(iriieste Q=3X2 +X-1. Ecuafia q(*)=0 aresoluliile r:.+ =#'. Sf, se determine a,beQ pentru care polinomul

.f = X' + X2 + aY +be QtX] :: are rlddcina xr =7-Ji; b) are rdd[cina rr = l-i.

SolufieI Deoarece ,f e QtXl, polinomul f va avea gi rdd6cina xz = 1+ $. Din prima relafie a lui,-iteseoblinecd xt+x2+x3=-1, deci t-Ji+l+.ll+xr=-l sau x: =-3. Rezultdcd' =(x+:)(x -t-Ji)(x-r+J7) =(x +z)(x'z -2x -t)= x' + xz -i x -3.

Dinegalitateadepolinoame X'+X'-7X-3=X3 +X2 +aX +b rezultdcd a=-7, b--3.: Deoarece

"f eQtX]cIR[X], polinomul f vaaveaqirdddcina xr=l+i. Dinrelalialui, :te rr +xz+xj =-l rezultdc[ 1-i+l+i+x, =-1, deci xt=-3. Scriem / subforma'=(x +3)(X

-l-i)(x-l+i) =(x +t)(X'z -2X +2)= X3 + x' -4X +6. Din egalitatea:c.inoamelorseobline cd a=4 Si b=6.

I2

Agadar ecuafia datd are solu{iile

-r)=(x'-3)(x-r).

:ele de polinoame 97

l.a)c)2.a)c)3.a)c)e)

4.a)

: Exercilii Si probleme propuse .

_

Sd se determine solufiile intregi ale ecuafiilor:x'

-3x7 +2=o; b) xo _3x, +2r_g = o;

xn +x' -5x2+x+6=0; d) xo +x, _x2 _x-2=0.

Sf, se determine solufiile ralionale ale ecuafiilor:2x3 +3x2 +6x+4=0; b) 4xa +gx3 +7x2 +gx+3=0;4x4

-7x2 +5x-l =0; d) l\xa +16x3 +x, _4x_l__0.Sf, se determine solufiile rationale ale ecualiilor:2x3.+3x2+6x-4=0; b) xr-Zxo-4xx+4x2_5x+6=0;4xa+8x3+'lx2+gx+3=0; d) 4x4_7xz_5x_l=0;l2x4

-16x3 +x2 +4x_l=0.str se determin e m e z gtiind ctr ecuafiile urmdtoare admit cel pufin o rld6cin6 num6r intreg.x'+(m-3)x2

-x+3=0; b) xa +(m+l)xz -2mx+l=e.

5. Strsedetermine aeZ girtrdfucinitepolinomului f eA,[x],f =Xr_aX2+2X+3,9tiindc6acesta admite cel pulin o rld[cin6 num6r intreg.6. Str se rezolve ecuatiile:a) xa +3x3

-3xz -llx-6 = 0 ; b)c) l1xt +20x2

-x-6 = 0 ; d)e) x3

-Zix, *x-2i=0.7' S[ se rezolve ecuafia: x'+ctx'+bx+r=o, gtiind cd a,bez si cd,admite o soru]ie dubr6num[r intreg,8. Sd se rezolve ecualiile gtiind cd au solulia indicatd:a) xt-Sx'+4x+6=0,rr=l+.6; b) J,

\ =-1+\6 '13. SA se rezolve ere) x'

-5x' +76x'b) x1 +3x2 +7x+c) xo

-zx' +llx'o *'+(s-Jl),e) r +(Jr-J1)14. SA se rezolve ar) xt

-Txo +lolb) x5 +2x4

-7xt'c) xt

-xo +4x-1d) x5 +Sxo +l2le) xt + xo

-3r3 +f) xu +6xa

-251

15. Sn se deterraisrEddcin[ ralional&

16. SI se rezolve oindependente de ;I7. SA se rezolve ca) (t+i)x'-(:+b) x'-(t+i)r'-18. SA se determinindicate:a) x'+(m+l)fb) xa

-(m+Z)r'19. SA se rezolve ta) 2x'

-3x1 +1xc) x'-4x'+3x420. Sa se rezolve tl+i.21. SA se determicare rdd[cina conPl22. Se considerE P

xo-3xt+4x2_3x+I=0;5x4

-13x3 +l lx2 _l3x+6 = 0 ;

+2x2-5x-l 0=0, r, =.6;c) ls *!*'

-+..1=0, rr =-z+Ji ; d) xn -4x' +2x2

-4x+l=0, rr =_2_^li.9. Sf, se rezolve ecualiile, gtiind c[ au solufia indicatE:a) xo

-2x3 -2x-1=0,r,= t+Ji; b; x;

-10r, +31x2 _34x+12=0,x,=:_.6;c) x'-3x'

-3x+l=0,x, = 2-Ji; d) xr_56.14_10.r3 +560x2+x_56=0,r, = Js*Ji.

10' sa se afle a,beQ gi rrd6cinile polinomului ,re a[x] $tiind ca una dintre ele este ceaindicatil:

.f = Xu -2X3 -25X2 + ax+b,x, = 4_Ji .

tl. SA se determine paramekii rafionali m,n, dacdpolinomul f = Xo _ X3 + mXz +l3X + n arecaridlcintrp xo = S+JZ.12' Se se determine a,b,ce Q gi rddlcinile polinomulu i

"f = Xo -10X3 + aXz + bX +c e[XJgtiind c6 restul impdr(irii lui / la x -1este egal 3 gi c[ polinomul f admiterSdacina

MATEMATICA M2 -

CLASA A XII.A98 Inele de polinoaro

0;

0

=-l+Ji.SE se rezolve ecuatiile gtiind c[ au solutia indicatI:x'-5x'+l6x-20 =0, xr =2+4i)x3 +3xz +7x+5=0, rr =-l+2i;xo-zxt +ll,r2-18.r+18=0, rr =-3i;,' *(o-.,D) *' +(to

- eJi)r

-toJl= 0, rr = -3 -i ;

'-5.r+6=0;0;

pu;in o rdddcind numdr intreg,zrx+1=0.

-

^'1 -

axz +2X +3, gtiind cd

=O'r+6=0;

9i cE admite o solulie dublE

l0=0,r,=.,6;2x2

-4x+l=0, x, =-2-.11 .

2=0,x,=3-.'6;-t.t-56=o,rr

= Ji*Ji.ind ci una dintre ele este cea

X'-X'+mXz+l3X+nare

l0-Y3+a,Yz+bX+ceQ[X]I / admite rlddcina

*,' +(Ji-.6),' -(-r+G),' +(J1-.'[t)*-J6=0, r, =i,

-a. SE se rezolve ecualiile gtiind solufiile date:t rt

-7xo +loxr + l4x2 -39x+21=0, xr=3-Ji, , *r=Jl;:, x5 +2xa

-7xt -20x2 -10x+4 = 0, rr =-1+.6 , x, = l+"[;;) xt

-xo +4x-4=0, rr=-l+i, rz=l-iii) x5 +5xa +12x3 +26x2 +32x+24=0, rr --2i , xz=-l-i;,') xt +xo

-3xi +2x2 +3x-2=0, xr =l*i, x ,=-l-Ji;:J xu +6x4

-25x2 +18=0, xr =-3i , *r=Jl .15. SA se determine m e Q gtiind ci ecuafia Jixt + (m -t) x' - Jlx +1= 0 admite cel pulin o:id6cin[ ra]ional6.16. S[ se rezolve ecua{ia xi

-(m+3)x'z +(2m+1)x*2 =O gtiind cI admite r6dlcini*rdependente de rn , rn e IR. .

17. SA se rezolve ecuafiile gtiind cd admit cel pulin o rdd6cini realf,::i (1+i)x3

-(z+li)x' -(s-i)x+6+3i =0;:I x'

-(t+i)x' -(ro+i)x-8-2i=0.18. SI se determine parametrii ralionali m,n $i sI se rezolve ecua{iile dacd acestea au soluliilerdicate::, x' +(m+l)xz

-(n-l)x+3 = 0 , x, =l+Ji ;: I xa

-(m+2)x+3n-2= 0 , rr =-Z-J-Z .i9, Sd se rezolve ecualiile, ftiind solutia indicatI:i 2xt

-3xz +2x+2 = 0,xr = l+i ; b) xo -2x' +3x2 -2x+2 = 0,x, = i ;: x'-4x' +3x+30=0,xr = 3+iJ6 ; d) 4x4 -24x'+53x2 +l8x-42=0,rr =3-i.6.:0, Sa se rezolve ecualia xt

-5xo +9x1 -7x2 *2=0, gtiind c5 doui dintre solufii sunt l+.D gi.-i.:1. Sa se determine parameffii reali m gi r, dacd polinomul

.f = Xo -3X3 + mXz -(n+2)X +1r-: ridicina complexE xr = l-l .ll. Se consideri polinomul f = Xo +2X3 + mXz + nX +p. SA se determine m,n, peR astfel

98-::le de polinoame 99

incdt f s5 admit[ rddScina xo = -1+i, iar ?mp[rfit prin x-1, s5 dea restur -15.

l1;?.:r determine paramerrii reafi m,n gi str se rezorve ecuariire dacf, acestea au soruliire

a) x'-(m+2)x+n-l=0, xr=21.i. b)x4+xr _2xz +mx_n=0, xr =l_i.24. Seconsiderd a,b,cee gi polinomul f =X3 +aXz +bX+c.a) Str se arate ci dactr f are rdddcina J, , atunci f are o rtrddcinl ralional[ ;b) Si se arate c[ dacr a,b,ce z, iar numerere /(0) $i /(l)sunt impare, arunci porinomulnu are rddf,cini intregi.25' sa se construiasca porinoamele /e R[x] de grad minim care au rf,dicinire::] Ridicinl simptd l, rddlcinI dubll _i;b) Rldtrcind simpl[ i ,,r6dicin6 simpll 3i .26. Fie

"f =(*, -2x+l)' _ar,ae iR.a) $tiind c[ a = 0, sf, se determine soluliile ecuafiei f (x) = g .b) S[ se determine ae R pentru care polinom ul f aretoate r,ddcinile reale.27. Seconsiderl a,6eQ gipolinomul f =X3+X2+aX+b.l! S[ se determine q,b gtiind cd 1+i este r6d6cin6 a polinomului / ;U SI se determine a,b gtiind ci l_Ji erdd6cind a polinomului /;c) Sf, se determine a,b gtiind c6 f are orldlcind tripl[.28' sa se determine polinomur

.f = xo + mx3 + nx2 + pe R [x] dac6 admite rrddcina 3i , iar himplrfirea prin X -2 d6 restul 39 .

29' S[sedetermineparametrii z,neJR. daclpolinomul f =X3+mxr+nX+4admiterddrcirel+i.

IO. ECUATII BIPATRATE, ECUATII RECIPROCE, ECUATII BINOMEBreviar teoretic

' .

o ecualie biptrtrat, cu coeficienlii in c este o ecuatie argebricd de formaaza +bz2 +c=0, a,b,ce C, a*0.o Pentru rczolyare se pdrcurg etapele:a) se noteaza z2

= t $irezult[ ecuafia af + bt +c = 0 , numitf, ecuafie rezorventtr.b) se rezolvd ecualia rezolventi gi rezulta solu{iile l , tr.c) se rezolvf, ecuafiile z2 = tr $i zz = tz.. O ecualie algebrici cu coeficienJi in C aor, + a,xn-t +...+ an_!x+ dn = 0, este ecua{iereciproctr dacl ao = ah, at = on_l,,.., ek = ar-k,...o Ecuafia reciprocd de gradur 3 are forma ax3 + bxz * bx * a = 0.

MATEMATICA M2 _ CLASA A XII-A

Eqmfia:eoEcuqe:-+uftumr rem

a) se i:-frb) s gqc) sa Biqd) se o$

n*qiile r:. r: r Orice ecrr4r' Q ecualie br Penrru rea

a) se scria- numit arguttr

b) se ot'S. in unele capodus de fact,r

l. SI se rezohr) 4.ro

- l3,rt .

c) l6xa + 65.:r:Solufie

e) Notim .r:.q

si l, -:- r- -l,,4'

Atunci . :

a

b) Cu notafia2stJ6=t,^=-

i8Atunci r

-

Inele de polinc

rlui f ;u

_f ;

dea restul -15 .

e dacA acestea au soluliile

:-n=0,rr =l-i.:.

acrni ra{ionall ;sunt impare, atunci polinom:

are au rf,dicinile:

ldEcinile reale.

] daca admite r6d6cina 3i. rrt

+ mx2 + nX + 4admite r

ECUATII BINOME

ci de forma

ritd ecuatie rezolventtr.

t.r'-13.r2+9--0'.6x4 +65x2 +4=0.

o xz =tz1 Cu notalia x2 = t

_2stJ62s -s7618

Atunci t x2 =tt

Ecua{ia reciprocd de gradul 3 are solufia rr = -1.Ecua(iareciproc6 de gradul 4 are forma a/ +bx1 +cx'+bx*a=0.Pentru rezolvarea ecua(iei reciproce de gradul 4 se parcurg etapele:a) seimparteecuatiacu x2 gi se scrie subforma ax2 +bx+c+!+4=0.

xx'

b) se grupeazi termenii care au acela;i coefficient: ,[r' * 1)* a[* + 1)* . = o\ ,',/ [ x):) senoteazf, x+1=r girezultd *'*)=i

-2.xx':) se obline ecua{ia de gradul 2 numitA ecuatie rezolventI; ,f

-Z)+ fu + c = 0, cu,.ie /r , 12 C.)rice ecuatie reciproc6 de grad impar are solufia x =

-1.J ecualie binomd de gradul ,? este o ecuafie de forma z' = a, ae C, a - x + l.y.?entru rezolvarea ecua{iei z' = a se parcurg urmatoarele etape:a) sescrienumdrul complex asubforma a=r.(cost+isinl), unfle r=l al=

:-mit argumentul lui a seafld,din relaliile cos/=1, sint =2, telO,Zx).

b; se obline cd zo = ,T ( "or!!2!o +irint+2kr

'1, una. r e {0. t.2.n-t}.( r n ) t'-

in unele cazuri se poate proceda la descompunerea polinomului asociat, f = X' - a in::s de factori ireductibili.

,,-

, Exercilii Si probleme rezoluate

L Sa se rezolve ecua{iile in mullimea C :b) 9x4

-25x2 + 16 = 0;

d) (*' -z*)' + (x' + 2x)' = t o;

Soluf ie

,& \otAm x2 =t $iseoblineecuafia 4f -l3t+9=0. Rezultd ed t,r=q

$ - -.1- =1.4''Atunci o y2 = t, ) *, =Z cu soluliile x, , , 3 -:JvrurrrrL ^t.z - , 2, ),

g+,{169-1aa 13t5=-

3 y2 = I cu soluliile x.,.0 = *l .se obline ecua{ia rezolventd 9t'

-25t + 16 = 0. Rezulta25t7 t6

= Ig $l ,r = l, tr=1.2 y2 = I cu solutriile xr., = *1

4x + qh = 0, este ecua{ie

re le de polinoame 101

o x2 = t, * x' = E .u solufiile x, , = +!,9 --'----'"'- 't'q - 3'Agadar ecualia dari are soluliile ,. {-,,, -i i}

c) Notlm x2 = t qi se obline ecualia rezolventi l6t2 + 65t +4 = 0 , Rezultf, c6, 4sr.JWzs6 -6s+63 I,,.r=----T'-=__i- SEul I, =_4 gi l, =_.;.

Atunci. x'=t,*x' =-4:+ x2 =4iz )x,,r=12i.. x2 =tz1 1s2 =-l* *, =Lir=+x,, =11i.16 16 "r.4 4 "d) se aduce ecuafia la o formr mai simpl[gi se ob[ine xo

-4x, +4x2 +xa +4x3 +4x2 -10=0

sau 2xa