Click here to load reader

Culegere Matematica Gimnaziu

  • View
    590

  • Download
    80

Embed Size (px)

DESCRIPTION

culegere de gimanziu pentru matematica; invata matematica;

Text of Culegere Matematica Gimnaziu

  • ADRIAN STAN

    Dreptul de copyright: Cartea downloadat de pe site-ul www.mateinfo.ro nu poate fi publicat pe un alt

    site i nu poate fi folosit n scopuri comerciale fr specificarea sursei i acordul autorului

  • 2

    Refereni tiinifici: Prof. gr. I Mnzal Iorgu - inspector de matematic Inspectoratul colar Judeean Buzu Prof. gr. I Stanciu Neculai director Grupul colar Tehnic

    Sf. Mc. SAVA, Berca

  • 3

    BREVIAR TEORETIC

    DIVIZIBILITATE Relaia de divizibilitate: a # b (sau ba)

    ZrespectivNc astfel nct a=bc. (a se divide cu b) sau (a este divizibil cu b) sau ( b divide pe a) Proprieti: 1. aa , *Za 2. 1a, Za 3. ab, bc ac, *, Zba 4. da,db da+b sau da-b 5. ab, ba a=b , *, Zba 6. da dabc 7. ad, bd abd, dac a i b sunt prime ntre ele. Descompunerea n factori primi:

    Nppppn kakaaa = .........321 321

    Numrul divizorilor lui n N este: N= ( )( ) ( )1........11 21 +++ kaaa . Numrul divizorilor lui n Z este: N=2N Numere prime Numim numr prim orice numr natural mai mare dect 1, care are numai divizori improprii-adic pe 1 i pe el nsui. Criterii de divizibilitate:

  • 4

    Criteriul de divizibilitate cu 2 Un numr este divizibil cu 2 dac ultima sa cifr este par. Numerele care sunt divizibile cu 2 se numesc numere pare. Criteriul de divizibilitate cu 5 Un numr este divizibil cu 5 dac ultima sa cifr este 0 sau 5. Criteriul de divizibilitate cu 4 Un numr este divizibil cu 4, dac numrul format de ultimele sale 2 cifre este divizibil cu 4. Criteriul de divizibilitate cu 8 Un numr este divizibil cu 8, atunci cnd n umrul format de ultimele sale 3 cifre este divizibil cu 8. Criteriul de divizibilitate cu 25 Un numr este divizibil cu 25, dac numrul format de ultimele sale 2 cifre este divizibil cu 25, adic dac ultimele sale 2 cifre sunt:00;25;50; 75. Criteriul de divizibilitate cu 125 Un numr este divizibil cu 125, dac numrul format de ultimele sale 3 cifre este divizibil cu 125. Criteriul de divizibilitate cu o putere a lui 10 Un numr este divizibil cu o putere a lui 10, dac ultimele sale n cifre sunt zerouri. Criteriul de divizibilitate cu 3 Un nr.este divizibil cu 3, dac suma cifrelor sale este un numr divizibil cu 3. Criteriul de divizibilitate cu 9 Un numr este divizibil cu 9, daca suma cifrelor sale este divizibil cu 9. Criteriul de divizibilitate cu 6 Un numr este divizibil cu 6, dac este divizibil cu 2 i cu 3. Criteriul de divizibilitate cu 15 Un numr este divizibil cu 15, dac este divizibil cu 5 si cu 3. Criteriul de divizibilitate cu 11 Un numr este divizibil cu 11, dac diferena dintre suma cifrelor situate pe locurile impare si suma cifrelor situate pe locurile pare este un numr divizibil cu 11. Teorema mpririi cu rest n N.

  • 5

    Fie a, b 0,.0,, += brqbaabrNrqN Cel mai mare divizor comun al numerelor a i b (c.m.m.d.c) sau (a,b) este cel mai mare numr la care se mpart exact si a si b i este dat de produsul factorilor comuni, luai la puterea cea mai mic. 1) (a;b)=d a=dxa', b=dxb', (a';b')=1 2) (a;b)=d d/a si d/b, oricare ar fi d' a.. d'/a si d'/b=> d'/d Cel mai mic multiplu comun al numerelor a si b (c.m.m.m.c.) sau [a,b] este cel mai mic numr care se mparte exact i la a i la b i este dat de produsul factorilor comuni i necomuni luai la puterea cea mai mare. 1)[a;b]=m m=axm' , m=bxm' 2)[a;b]=m a/m si b/m, oricare ar fi m', a.i. a/m' si b/m'=>m'/m Relaia dintre c.m.m.m.c i c.m.m.d.c [a,b](a,b)=ab

    Dac p i q sunt prime atunci mn qsip sunt prime.

    MULIMI. OPERAII CU MULIMI

    { },........,.........3,2,1,0 nN = { }0\* NN = { },.......,,.........3,2,1,0,1,2,3,.......... nnZ = { }0\* ZZ =

    = 0,, bZbabaQ { }0\* QQ =

    = perfectpatratestenunnQR 0\

    ),()\( +== QRQR . Fie A i B dou mulimi. Atunci:

  • 6

    = BxsauAxxBA . Reuniunea mulimilor.

    = BxsiAxxBA . Intersecia mulimilor.

    = BxsiAxxBA \ . Diferena mulimilor.

    = BysiAxyxAxB ),( . Produsul cartezian.

    Definiie: Se numete cardinal al unei mulimi finite , numrul de elemente pe care-l are aceasta. Principiul includerii i excluderii: card(AB) =card (A) +card(B) card (AB). Definiie: Se numete submulime al unei mulimi A, orice mulime format cu elementele lui A. Numrul tuturor submulimilor unei mulimi cu n elemente este 2n.

    FRACII

    Fracie: Se numete fracie, o expresie de forma 0, bba

    unde a se

    numete numrtor iar b se numete numitor.

    Fracie subunitar: Fracia 0, bba

    se numete fracie subunitar

    dac a

  • 7

    Fracie supraunitar: Fracia 0, bba

    se numete fracie

    supraunitar dac a>b sau 1ba

    .

    Fracii echivalente: Dou fracii dcsi

    ba

    se numesc echivalente i

    scriem dc

    ba = dac cbda = .

    A amplifica o fracie cu un numr natural, diferit de 0, nseamn a nmuli att numrtorul ct i numitorul, cu acel numr.

    .0,0, = mbmbma

    ba

    A simplifica o fracie cu un numr natural, diferit de 0, nseamn a mpri att numrtorul, ct i numitorul la acel numr.

    .0,0,:: = mbmbma

    ba

    Fracie ireductibil: Fracia 0, bba

    se numete ireductibil,

    dac nu se mai poate simplifica adic c.m.m.d.c(a,b)=1. Compararea fraciilor:

    cabc

    ba cb

    ca

    ba cbda

    dc

    ba

    Numr raional :

    Se numete numr raional , numrul reprezentat prin fracia ba

    i

    toate fraciile echivalente cu aceasta.; Operaii cu numere fracionare: Pentru a aduna sau scdea numere fracionare reprezentate prin numitori diferii se aduc fraciile la

  • 8

    acelai numitor prin amplificarea fiecrei fracii cu ctul dintre c.m.m.m.c al numitorilor i numitorul fraciei respective.

    bca

    bc

    ba +=+ ;

    dbca

    dc

    ba

    = ;

    cd

    ba

    dc

    ba =: ;

    10

    =

    ba

    ; nmnm

    ba

    ba

    ba +

    =

    ;

    nmnm

    ba

    ba

    ba

    =

    : ;

    nmnm

    ba

    ba

    =

    ;

    ab

    ba =

    1

    Introducerea unui ntreg n fracie: c

    bcacba += ;

    Fracii zecimale: - Fracii zecimale: finite: { };......12345,0;5,2;45,1;5,0 Transformarea fraciilor zecimale n fracii ordinare:

    ;100

    ,;10

    , abcbcaabba == - fracii zecimale -periodice: { })......4(3,2);5(3,21);3(,1

    Transformarea fraciilor zecimale periodice n fracii ordinare:

    ;99

    )(,;9

    )(, aabcbcaaabba ==

    ;990

    )(,;90

    )(, ababcdcdbaababccba == Scrierea n baza zece:

    dcbaabcd +++= 101010 23 a-cifra miilor; b-cifra sutelor; c-cifra zecilor; d-cifra unitilor;

    001.001.01.01010101010, 321

    +++==+++=

    gfeagfeaefga

    a-cifra unitilor, e-cifra zecimilor; f-cifra sutimilor; g-cifra miimilor.

  • 9

    Aflarea unei fracii dintr-un numr :

    ba

    din x = xba ;

    ba

    din dbca

    dc

    ba

    dc

    == ;

    Procente: Un raport n care numitorul este 100, se numete raport procentual si se noteaz de forma

    00

    100pp = ; (sau

    1001p ) 00p din x = xp 100 ; 0

    0p din

    bap

    ba =

    100 sau

    bap

    1001

    Operaii cu fracii zecimale: La adunarea sau scderea fraciilor zecimale finite, numerele trebuie aezate astfel nct virgula s fie sub virgul. La nmulirea cu 10, 100, 1000 a unei fracii zecimale finite se deplaseaz virgula spre dreapta cu 1,2,3 cifre. La mprirea cu 10,100,1000, a unei fracii zecimale finite se deplaseaz virgula spre stnga cu 1,2,3 cifre. La nmulirea fraciilor zecimale finite, efectum nmulirea obinuit dup care punem virgula de la dreapta spre stnga dup un numr de zecimale egal cu numrul de cifre zecimale ale celor dou numere; La mprirea fraciilor zecimale finite se vor nmulii ambele numere cu puteri ale lui 10 astfel nct s mprim numere fr virgul.

  • 10

    Ultima cifr a unui numr

    Proporii: Egalitatea a dou rapoarte se numete proporie:

    Proprietatea fundamental a proporiilor: cbdadc

    ba ==

    Proporii derivate:

    dc

    ba =

    db

    ca =

    ddc

    bba

    bdb

    aba == ,

    2

    2

    2

    2

    dc

    ba =

    mdc

    mba

    ::=

    cbca

    ba

    ++=

    dmc

    bma =

    mdc

    mba

    ::=

    cbca

    ba

    ++=

    dmc

    bma =

    bdac

    ba

    = md

    cmba

    ::=

    U(cn)

    n=4k+1

    n=4k+2

    n=4k+3

    n=4k

    1n 1 1 1 1 2n 2 4 8 6 3n 3 9 7 1 4n 4 6 4 6 5n 5 5 5 5 6n 6 6 6 6 7n 7 9 3 1 8n 8 4 2 6 9n 9 1 9 1

    )()( nn

    cUabcU =

  • 11

    Sir de rapoarte egale: Mrimile (a1,a2,a3,......, an ) i ( b1,b2,....,bn ) sunt direct proporionale

    n

    n

    ba

    ba

    ba .......

    2

    2

    1

    1 == Mrimile (a1,a2,a3,......, an ) i (b1,b2,....,bn ) sunt invers proporionale nn bababa == .....2211 Probabiliti Probabilitatea realizrii unui eveniment este dat de raportul dintre numrul cazurilor favorabile realizrii evenimentului i numrul cazurilor egal posibile. Modulul numerelor reale Proprieti:

    =

    0,

    0,0

    0,

    aa