8/17/2019 CUACIONES RACIONALES

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CUACIONES RACIONALES / EJERCICIOS RESUELTOS

EJEMPLO 1:

 

3 + (x + 2).(x + 1) = x.(x - 1)

3 + x2  + x + 2x + 2 = x2  - x

x2  + 3x - x2  + x = -2 - 3

4x = -5

x = -5/4

Condición de existencia: x ≠ 1 y x ≠ -1

Conjunto solución: {-5/4}

Una de las fo!as de esol"e estas ec#aciones es $#scando #n deno!inado co!%n ente todos los deno!inadoes dede a!$os !ie!$os ("e otos !&todos). 'n la '*C,C !osta& otas fo!as de esol"e esta ec#ación.*#eo de $#sca el deno!inado co!%n y !odifica los n#!eadoes co!o se 0ace en la s#!a de facciones se #ededeno!inadoes de a!$os !ie!$os ya #e son i#ales. 'ntonces sólo #eda #na ec#ación ente los n#!eadoes la acional. 0ay #e aclaa la Condición de existencia es deci #& "aloes no #ede to!a la x ya #e los deno!inaddesi#ales a . *#eo la sol#ción #e se encontó tiene #e c#!li con la Condición de existencia sino no es sol#ción

EXPLICACIÓN EL EJEMPLO 1

EJEMPLO !: (Uno de los !ie!$os es #n solo n%!eo)

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(x + 2).(x + 3) + 3 = 1.(x + 3)2 

x2  + 3x + 2x + 6 + 3 = x2  + 6x + 7

x2  + 5x - x2  - 6x = 7 - 6 - 3

-x =

x =

Condición de existencia: x ≠ -3

Conjunto solución: {"}

'n el se#ndo !ie!$o 0ay sólo #n n%!eo enteo no #na facción ni oeaciones. 'ne8ecicio se9a !s ctico #sa oto de los !&todos aa esol"e estas ec#aciones ("e!&todos) y en la '*C,C lo !#esto ta!$i&n es#elto de esa !anea.

EXPLICACIÓN EL EJEMPLO !

EJEMPLO #: (*a ec#ación es #na ooción)

(; + x).(x + 2) = (x + 3).(x + 5)

;x + 14 + x2  + 2x = x2  + 5x + 3x + 15

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7x + x2  - x2  - 5x - 3x = 15 - 14

x + x2  - x2  = 1

x = 1

Condición de existencia: x ≠ -5 y x ≠ -2.

Conjunto solución: {1}

'sta ec#ación es #na ooción: la i#aldad de dos facciones o <aones<. *a fo!a !ctica de esol"ela se9a #sa la oiedad f#nda!ental de las oociones eo a#s& en !is!o !&todo #e "eno #sando en todos los e8e!los (en eneal se aendesólo !&todo y 0ay #e sa$e alicalo en c#al#ie e8e!lo). eo en la '*C,C !#esto es#elto #sando la !encionada oiedad.

EXPLICACIÓN EL EJEMPLO #

EJEMPLO 4: (Uno de los !ie!$os es el n%!eo ceo)

 

(x + 5).(x + 2) - (x - 4).(x - 2) =

x2  + 2x + 5x + 1 - (x2  - 2x - 4x + >) =

x2  + ;x + 1 - x2  + 2x + 4x - > =

13x = + > - 1

13x = -2

x = -2/13

Condición de existencia: x ≠ 2 y x ≠ -2.

Conjunto solución: {-!/1#}

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Caso atic#la en #e #no de los dos !ie!$os es ceo. ,#9 no 0ace falta one eldeno!inado co!%n en el se#ndo !ie!$o a#n#e od9a 0acese. 'n ealidad si #nfacción es i#al a ceo es o#e s# n#!eado es i#al a ceo sin #e i!ote eldeno!inado (#e no #ede se ceo o s##esto). Usando este conceto es #e secancela el deno!inado en el tece aso.

EXPLICACIÓN EL EJEMPLO 4

EJEMPLO 5: 

3x - 2 + 5x2  - 2x = 5x2 

3x + 5x2  - 2x - 5x2 = 2

x = 2

Condición de existencia: x ≠

Conjunto solución: {!}

,l i#al #e en el '?'@*A 2 se9a !s ctico 0acelo de ota !anea #e !#esto '*C,C. eo efe9 !osta a#9 todos los e8e!los es#eltos con el !is!oocedi!iento aa no conf#ndi. 'n las '*C,CA'B estn todos los co!entaios aesecto.

EXPLICACIÓN EL EJEMPLO 5

EJEMPLO $: (o se c#!le la Condición de existencia)

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x2  - 1 - x2  - 2x = 3x - 1

-2x - 3x = -1 + 1-5x =

x = :(-5)

x =

Condición de existencia: x ≠

Conjunto solución: % &'(c)o* &no ti+n+ solución*

'ste es #n e8e!lo donde la ec#ación no t iene sol#ción. o#e la %nica sol#ción osi$l

se9a x = . eo &sta no "eifica la ec#ación ya #e 0ace #e los deno!inadoes den 's deci: no c#!le la Condición de existencia.

EXPLICACIÓN EL EJEMPLO $ 

CAC'AB - DUD,B - CA@',EAB 

BAFE' 'CU,CA'B E,CA,*'B

,u. son l(s +cu(cion+s (cion(l+s0

'c#aciones donde 0ay al#na x (o la incónita) en al%n deno!inado. o e8e!l

 

(Gy #& es #na ec#aciónH)

Co!o en toda el ec#ación el o$8eti"o es enconta el o los "aloes de x #e "eifici#aldad. 's deci dese8a la x (o la leta #e tena co!o incónita) aa llea aes#ltado #e dia: <x = alo<. <I#e "eifican la i#aldad< sinifica #e si ee!la

todas las x del e8ecicio con el n%!eo #e nos dió co!o sol#ción y 0ace!os lasoeaciones ente los n%!eos tene!os #e llea a #na i#aldad "edadea (3 =e8e!lo).

,Cóo s+ +su+l'+n l(s +cu(cion+s (cion(l+s0

Jay "aias fo!as de 0acelo y a "eces #na # ota con"iene !s deendiendo de del e8ecicio:

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1) F#scando el deno!inado co!%n ente todos los deno!inadoes de las faccionaaecen en a!$os !ie!$os de la ec#ación (G#& es #n !ie!$oH). l#eo de tansflos n#!eadoes (co!o se 0ace en la s#!a de facciones) los deno!inadoes se cancela.

2) asando todos los t&!inos de #n lado y #e del oto #ede (<i#ala a ceo<se $#sca deno!inado co!%n se tansfo!an los n#!eadoes co!o en la s#!a facciones y se #ede cancela el deno!inado co!%n.

3) F#sca deno!inado co!%n ente las facciones de #n !ie!$o y l#eo asa deno!inado co!%n !#ltilicando al oto !ie!$o (ya #e el deno!inado es aldi"idiendo en #na ec#ación se lo #ede asa !#ltilicando).

4) Bi es #na ooción (i#aldad de dos facciones) se #ede #sa la oiedadf#nda!ental de las oociones (<'l od#cto de los !edios es i#al al od#cto dexte!os< o <#ala los od#ctos c#ados<). eo si no es #na ooción ta!#ede $#sca deno!inado co!%n en cada t&!ino aa #e lo sea y l#eo alica

oiedad.

'n la '*C,C de los '?'@*AB !osta& có!o se los #ede esol"e de otaexlica& !s so$e ellas y s# f#nda!ento. ta!$i&n se "e aa #& fo!a de eeco!enda$le cada ocedi!iento a#n#e eso no #iee deci #e 0aya #e sa$etodos. Bi!le!ente es aa #ienes tenan inte&s en conocelos.

,u. +s l( Con2ición 2+ E3ist+nci( &CE*0

'l deno!inado de #na facción no #ede se (ceo) o#e el deno!inado de facción est di"idiendo al n#!eado y di"idi o ceo no se #ede. 'ntonces enec#ación acional la sol#ción no #ede se #n n%!eo #e 0aa #e #n deno!ina

ceo. o e8e!lo en la si#iente ec#ación:

(x + 5) de$e se desi#al a ceo. (x + 2) de$e se desi#al a ceo. o#e son lodeno!inadoes de las facciones. Jalle!os #e n%!eos c#!len eso:

x + 5 = x = -5

x + 2=

x = -2

'so #iee deci #e la sol#ción de esa ec#ación no de$e se ni -5 ni -2. o#e esn%!eos 0a9an #e #n deno!inado sea i#al a ceo. C#ando se cancela el deno!se es#el"e la ec#ación #e #edó en el n#!eado #ede asa #e la sol#ción sn%!eo distinto de &sos o e8e!lo x = 1. 'l 1 se9a sol#ción de la ec#ación oc#!le la Condición de 'xistencia: no es ni el -5 ni el -2. 'l 1 no "a a 0ace #e ndeno!inado d& ceo. o$e!os ee!laando la x o 1 (as9 se "eifica la sol#cióec#ación):

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 4

3

eo a "eces la sol#ción #e nos d la ec#ación del n#!eado #ede se #n n%!no c#!la la Condición de existencia o e8e!lo od9a 0a$enos dado -5 ó -2. 'caso esa sol#ción #e enconta!os no si"e no es #na sol#ción "lida o#e 0adeno!inado sea i#al a ceo y 0ay #e #itala del Con8#nto sol#ción.Bi #na ec#ación tiene dos sol#ciones (en el n#!eado #eda #na ec#ación c#ad#ede se #e #na de ellas no c#!la la Condición de existencia y la ota s9. A ninlas dos la c#!la. A la c#!lan las dos. 'n el '?'@*A 6 se #ede "e #e la sol#encontada no c#!le con la condición de existencia.

,u. +s +l Conjunto olución0

Jay ec#aciones #e tienen #na sola sol#ción otas #e tienen dos nin#na etc. 'fo!ado o esas sol#ciones es el lla!ado Con8#nto sol#ción. o e8e!lo si 0allalas sol#ciones de #na ec#ación c#adtica (G#& es #na ec#ación c#adticaH) son:

x1 = 2x2 = 3

'l Con8#nto sol#ción es: K23L. *as lla"es son o#e en la teo9a de con8#ntos (#ya no se enseMa !#c0o eo nos 0acen #sa s# len#a8e) se define a los con8#ntoniendo s#s ele!entos ente lla"es. K23L sinifica: <el con8#nto fo!ado o losele!entos 2 y 3<.

'n este te!a se 0ace incai& en esto del Con8#nto sol#ción o#e la Condición dexistencia (Gy eso #e esH) #ede 0ace #e 0aya #e #ita al#na de las sol#cioneso$tienen en #n inciio. , "eces se o$tienen s##estas sol#ciones #e no "eificec#ación #e no c#!len con la Condición de existencia. 'ntonces aa aclaa $son las sol#ciones #e s9 son "lidas se one co!o es#esta final el Con8#nto soe8e!lo:

1) *a Condición de existencia de #na ec#ación acional es: C.': 3 6 # 7 3 6 -1.

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2) Eesol"e!os la ec#ación si#iendo el ocedi!iento y nos d #e 3 8 -! ó 3 8

3) eo x = 3 no c#!le la Condición de existencia #e dec9a #e x ≠ 3. 'so sinx = 3 no "eifica la ec#ación #e si ee!lao en la ec#ación la x o el n%!eo 3al%n deno!inado i#al a ceo (eso o#e es #na ec#ación acional en oto tioec#aciones #ede se o ota cosa). 'ntonces x = 3 no es #na sol#ción "lida. sol#ción de la ec#ación y 0ay #e #itala del Con8#nto sol#ción.

4) 'ntonces aa aclaa #e la %nica sol#ción "lida es x = -2 y #e x = 3 no esse esonde #e el Con8#nto sol#ción de la ec#ación es K-2L. 's deci #e la sol#csola.

Atos e8e!los:

C.': x ≠ 4

Bol#ciones osi$les: x = 7 ó x = 3

Con8#nto sol#ción: K73L

C.': x ≠ 1 y x ≠

Bol#ciones osi$les: x =

Con8#nto sol#ción: KL ó N (Con8#nto "ac9o no tiene sol#ción)

'n el '?'@*A 6 se #ede "e #na ec#ación #e no tiene sol#ción o#e la osi$no c#!le la Condición de existencia.

'CU,CA'B E,CA,*'B / '*C,C D'* '?'@*A 1

  EJEMPLO 1

 

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3 + (x + 2).(x + 1) = x.(x - 1)

3 + x2 + x + 2x + 2 = x2 - x

x2

 + 3x - x2

 + x = -2 - 3

4x = -5

x = -5/4

Condición de existencia: x ≠ 1 y x ≠ -1

Conjunto solución: {-5/4}

Una de las fo!as de esol"e estas ec#aciones es $#scando #n deno!inado co!ente todos los deno!inadoes de las facciones de a!$os !ie!$os ("e otos!&todos). 'n la '*C,C !osta& otas fo!as de esol"e esta ec#ación.*#eo de $#sca el deno!inado co!%n y !odifica los n#!eadoes co!o se 0ala s#!a de facciones se #eden cancela los deno!inadoes de a!$os !ie!$o#e son i#ales. 'ntonces sólo #eda #na ec#ación ente los n#!eadoes la c#ano es acional. 0ay #e aclaa la Condición de existencia es deci #& "aloes #ede to!a la x ya #e los deno!inadoes de$en se desi#ales a . *#eo lasol#ción #e se encontó tiene #e c#!li con la Condición de existencia sino nosol#ción de la ec#ación.

EXPLICACIÓN:

1* 9usc( +l 2+noin(2o con +nt+ los 2+noin(2o+s 2+ (;osi+;os: (Oe otos !&todos aa esol"ela)

 

Pactoio los deno!inadoes:

x2 - 1 = (x + 1).(x - 1) o el I#into Caso (Difeencia de C#adados)x 1

*os otos dos no se #eden factoia.

Eee!lao el deno!inado #e factoic& o s# e#i"alente factoiado:

'ntonces teno #e $#sca deno!inado co!%n (el !.c.!) ente:

(x + 1).(x - 1)

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(x - 1)(x + 1)

!.c.!.: &3 < 1*&3 - 1*  (!.c.!. ente olino!ios)

!* Mo2i=ic( los nu+(2o+s coo +n l( su( 2+ =(ccion+s:

i!e @ie!$o:

i!ea facción:

Di"ido el deno!inado co!%n o el deno!inado de la i!ea facción:

(x + 1).(x - 1) di"idido (x + 1).(x - 1) es i#al a 1

*#eo !#ltilico ese es#ltado o el n#!eado de la i!ea facción:

3.1 = 3

@e "a #edando:

Be#nda facción:

Di"ido el deno!inado co!%n o el deno!inado de la se#nda facción:

(x + 1).(x - 1) di"idido (x - 1) es i#al a &3 < 1* (Gcó!o se 0acen estas di"isionesH

*#eo !#ltilico ese es#ltado o el n#!eado de la se#nda facción:

(x + 2).&3 < 1*

@e #eda:

Be#ndo !ie!$o:

Di"ido el deno!inado co!%n o el deno!inado del %nico t&!ino #e 0ayel se#ndo !ie!$o:

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(x + 1).(x - 1) di"idido (x + 1) es i#al a &3 - 1)

*#eo !#ltilico ese es#ltado o el n#!eado de la se#nda facción:

x.(x - 1)

@e #eda:

#* C(nc+l( +l 2+noin(2o con +n (;os i+;os:

  (Go #& se #ede 0ace estoH)

's deci #e #eda sólo lo #e 0ay en los n#!eadoes y es #na ec#acióndonde ya no 0ay x en el deno!inado o#e ya no 0ay deno!inadoes:

3 + (x + 2).(x + 1) = x.(x - 1)

4* >+sol'+ l( +cu(ción:

3 + (x + 2).(x + 1) = x.(x - 1)

3 + x2 + x + 2x + 2 = x2 - x

x2 - x2 + 3x + x = -3 - 2

4x = -5

x = -5/4

5* Con2ición 2+ +3ist+nci( 7 Conjunto solución:

Co!o las facciones no #eden tene deno!inado i#al a la sol#ción de lec#ación no #ede se #n n%!eo #e 0aa #e al#nos de los deno!inadod& ceo. 'ntonces 0ay #e a"ei#a aa #& n%!eos los deno!inadoes

0acen ceo y eso se #ede 0ace i#alando a cada deno!inado a ceo yesol"iendo la ec#ación #e #eda:

Deno!inadoes:

x2 - 1 = (x + 1).(x - 1)

x + 1

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x - 1

aa #& "aloes de x dan ceo:

i!e deno!inado:

(x + 1).(x - 1) =

x + 1 = ó x - 1 = (no entiendo) (esol"e x2  - 1 = sin factoia)

3 8 -1 ó 3 8 1

Be#ndo deno!inado:

x - 1 =

x = 1 ('n ealidad esta ec#ación ya se esol"ió aa el i!e deno!inado)

ece deno!inado:

x + 1 =

x = -1

's deci #e aa #e la sol#ción sea "lida no #ede se ni 1 ni -1 o#eesos "aloes 0acen #e d& ceo al%n deno!inado.

Con2ición 2+ +3ist+nci(: 3 6 1 7 3 6 -1 

Co!o la sol#ción #e encont& en el aso 4 ea -5/4 c#!le la Condición deexistencia. ,s9 #e es #na sol#ción "lida. es la %nica #e se #do encont

'l con8#nto sol#ción es entonces el con8#nto fo!ado o esa %nica sol#ción

Conjunto solución: {-5/4}

(!s so$e la Condición de existencia y el Con8#nto sol#ción)

¿Te quedó alguna duda? Preguntáme en el LIBRO DE CONSULTAS

CAC'AB - DUD,B - CA@',EAB 

*os concetos eneales del te!a estn en 'CU,CA'B E,CA,*'B 

,Po ?u. s+ @u+2+n c(nc+l( los 2+noin(2o+s0

'ste !&todo con el #e esol"9 el '?'@*A 1 consiste en $#sca deno!inado co!en a!$os !ie!$os. 's deci #n deno!inado co!%n ente todos los deno!inado

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todas las facciones #e aaecen en a!$os lados de la ec#ación de !anea #e dos !ie!$os #eden i#ales los deno!inadoes aa ode l#eo cancelalos. ,

'l f#nda!ento aa cancela se9a: Bi dos facciones son i#ales y tienen el !is!odeno!inado s#s n#!eadoes son i#ales. 'so "iene de #na oiedad de los n%Eeales lla!ada Unifo!e #e aa la di"isión se9a as9:

a = $ si y sólo si a:c = $:c  (aa c ≠ )

<Bi dos n%!eos son i#ales al di"idilos o el !is!o n%!eo se o$tienen dos n%ta!$i&n i#ales<. eo <Bi y sólo si< sinifica #e la oiedad "ale <aa los dos laentonces od9a en#nciase al e"&s as9:

a:c = $:c  si y sólo si a = $

<Bi dos n%!eos estn di"ididos o lo !is!o y d el !is!o es#ltado es o#en%!eos son i#ales<

Co!o la facción eesenta a la di"isión ta!$i&n od9a en#nciase as9:

a/c = $/c  si y sólo si a = $

Donde <c< es deno!inado en los dos !ie!$os. Be od9a deci #e: <Bi dos facci#ales tienen el !is!o deno!inado s#s n#!eadoes son i#ales<

'ntonces al cancela esta!os #sando esa oiedad. o e8e!lo:

  entonces ode!os deci #e a = $

co!o el Con8#nto de los olino!ios se co!ota co!o el Con8#nto de los n%!e'nteos (#e estn incl#idos en los n%!eos Eeales) con los olino!ios se #ede !is!o. la aclaación de #e c ≠ tiene #e "e con lo #e lla!a!os la <Condiciexistencia< ("e #& es eso).

Ecu(cion+s @(( l( Con2ición 2+ +3ist+nci(:

aa dete!ina la Condición de existencia (exlicación de lo #& es) 0ay #e i#ala a cada deno!inado y esol"e la ec#ación #e #eda. o e8e!lo:

Deno!inadoes: (x + 3) y (x - 1)

x + 3 = x = -3

x - 1 = x = 1

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eo co!o los deno!inadoes a "eces se #eden factoia se lantea la c#estión el deno!inado factoiado o sin factoia. *a "edad es #e ode!os elei 0ace#no # oto deendiendo de si nos aece !s fcil la ec#ación #e #eda con alellos (eso deende de có!o sea 0ace las cosas cada esona). eo ta!$i&n 0ayc#estiones co!o #e si factoia!os ode!os e"ita esol"e al#nas ec#aciones

o a0oa "ea!os la sit#ación #e t#"i!os en este '?'@*A 1 y las dos fo!as eode!os "elo y co!ae!os c#l nos aece !s fcil:

1) Deno!inadoes sin factoia:

x2 - 1x + 1x - 1

Bola!ente el i!e deno!inado se #ede factoia. Bi los #sa!os sin factoiaec#ación #eda lanteada as9:

x2 - 1 =

Jay o lo !enos 3 !aneas difeentes en #e la ente es#el"e #na ec#ación as9

x2 - 1 = x2 = 1QxQ = R1QxQ = 13 8 1 ó 3 8 -1

A si no #san el !ód#lo (QxQ) onen +:

x2 - 1 =

x2

 = 1x = + R1x = + 13 8 1 ó 3 8 -1

a#n#e no es !#y ctico al#nos #san la fó!#la esol"ente de las ec#acione

c#adticas ( x12= ) o no aende !&todos atic#laes aa ec#c#adticas inco!letas co!o es este caso.

*as otas dos ec#aciones son de ado 1 es si!le!ente dese8a la x:

x + 1 = 3 8 -1

x - 1 = 3 8 1

,l fin de c#entas los %nicos es#ltados difeentes son 1 y -1.

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2) Deno!inadoes factoiados:

x2 - 1 = (x + 1).(x - 1)x + 1x - 1

*a c#estión est en esta ec#ación:

(x + 1).(x - 1) =

's #n od#cto i#al a . #n od#cto es i#al a c#ando al#no de los factoesa ceo. los factoes son (x + 1) y (x - 1). *a ec#ación &sa se #ede esol"e i#acada facto a ceo:

x + 1 = ó x - 1 = x = -1 ó x = 1

'sto facilita9a las cosas o#e ya no tend9a #e esol"e #na ec#ación de se#nado sino #e dos ec#aciones sencillas de i!e ado #e 0asta ni 0a9a falta

esol"elas si nos da!os c#enta #e ode!os enconta las sol#ciones si!le!enca!$indole el sino a esos n%!eos #e 0ay en los factoes. o e8e!lo: Bi tenfacto (x + 3) la ec#ación "a a da x = -3. Bi tene!os el facto (x - 1) la ec#acióda x = 1 etc.

no sólo eso. #ede "ese en este e8e!lo (y eso "a a asa en la !ayo9a de ellolos otos dos deno!inadoes son i#ales a los factoes del i!e deno!inado. 'nta!oco ya 0ace falta esol"e todas las ec#aciones de cada deno!inado o#eeiten. Bola!ente con "e los factoes de todos se #ede sa$e la sol#ción #e "cada #no. ota cosa !s: o el !&todo #e #sa!os aa esol"e esta ec#acióntene!os el deno!inado co!%n #e enconta!os #e es el !.c.!. y all9 8#sta!eestn todos los factoes. 'ntonces 0asta od9a!os enconta la Condición de exis

!iando si!le!ente los factoes del deno!inado co!%n. a0oa !#esto e8e!los de todo eso #e as9 dic0o todo 8#nto o a09 no se ente

B#ona!os #e tene!os los si#ientes deno!inadoes factoiados:

(x + 3)2

(x + 3).(x - 3)(x - 3)2

od9an i#alase cada #no a ceo y esol"ese las tes ec#aciones eo los es#ltse 0allan son sola!ente dos: x = 3 y x = -3. o#e si $ien los tes deno!inaddifeentes los factoes #e los fo!an son sola!ente estos dos: (x + 3) y (x - 3).

factoes "aldn ceo c#ando x = -3 y x = 3 esecti"a!ente. si c#esta "e eso od9an lantea las ec#aciones eo sola!ente aa esos dos factoes lo se9a !#e esol"e las tes ec#aciones:

x + 3 = 3 8 -#

x - 3 = 3 8 #

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co!o dec9a antes ta!$i&n se llea a la !is!a concl#sión !iando el deno!inadco!%n ó !.c.!. aa esol"e la ec#ación acional tende!os #e $#scalo y "eees:&3 < #*!&3 - #*. en el !.c.!. se "e #e los %nicos factoes son (x + 3) y (x - 3@indolo entonces ta!$i&n ode!os danos c#enta de #e las sol#ciones de las

ec#aciones sen:

x = -3 y x = 3

Ato e8e!lo:

Deno!inadoes factoiados:

(x - 2).(x + 5)2

(x + 1).(x + 5)(x - 2)2

*os %nicos factoes a09 son:

(x - 2)(x + 5)(x + 1)

@e #edo da c#enta de #e si los i#alaa a ceo las sol#ciones se9an:

x = 2x = -5x = -1

A !iando el !.c.!. 'n este e8ecicio se9a:(x - 2)2.(x + 5)2.(x + 1)

*os factoes son (x - 2) (x + 5) y (x + 1). *as sol#ciones sen x = 2 x = -5 y x

Otos .to2os @(( +sol'+ +cu(cion+s (cion(l+s:

M.to2o !: IBu(l(n2o ( c+o

Consiste en asa todos los t&!inos de #n lado con lo c#al #eda del oto lado

 

1)

2) *#eo se $#sca deno!inado co!%n ente todas las facciones aa 0ace las s

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estas de facciones #e #edan de #n lado:

Pactoio aa $#sca el !.c.!.:

x2 - 1 = (x + 1).(x - 1) con el I#into Caso: Difeencia de C#adadosx 1

Deno!inadoes:

(x + 1).(x - 1)x - 1x + 1

Deno!inado co!%n = !.c.!. = &3 < 1*&3 - 1* (!.c.!. ente olino!ios)

B#!o/esto las facciones con el conocido ocedi!iento de one deno!inado coca!$ia los n#!eadoes (ocedi!iento). @e #eda:

3) I#edó #na sola facción i#alada a ceo. ,0oa se #ede #tilia el si#iente coaa eli!ina al deno!inado:

<Bi #na facción es i#al a ceo es o#e s# n#!eado es i#al a < (Gno 0ay ota

'ntonces nos #eda #e:

3 + (x + 2).(x + 1) - x.(x - 1) = 3 + x2 + x + 2x + 2 - x2 + x = 5 + 4x = 4x = -53 8 -5/4

*#eo ta!$i&n 0ay #e dete!ina la Condición de existencia y el Con8#nto sol#cco!o en los otos !&todos ("e eso a#9 ).

M.to2o #: P(s( ulti@lic(n2o lo ?u+ +st 2i'i2i+n2o

'ste !&todo es !#y adec#ado c#ando #no de los !ie!$os de la ec#ación es sola#n n%!eo (co!o el '?'@*A 2) y no lo es en a$sol#to aa este '?'@*A 1. *o c#ando exli#e el '?'@*A 2.

M.to2o 4: Po@oción

'ste !&todo sólo es aoiado en al#nas ec#aciones en fo!a de ooción (i#dos facciones) o c#ando se #ede llea a esa fo!a sin #e #eden otencias a

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!osta& c#ando exli#e el '?'@*A 3.

Ot( =o( 2+ @+ns( +l @(so # 2+l M.to2o !:

Dec9a en ese aso #e #edó #na sola facción i#alada a ceo y se od9a #tilia eel si#iente conceto aa eli!ina al deno!inado: <Bi #na facción es i#al a ceo#e s# n#!eado es i#al a <.eo ta!$i&n se #ede 0ace lo !is!o sin #tilia ese conceto ensando #e co!deno!inado (x + 1).(x - 1) est <di"idiendo< lo #edo asa al oto lado <!#lti'ntonces !e "a a #eda en el se#ndo !ie!$o:

 .(x + 1).(x - 1)

eo co!o c#ando !#ltilico alo o ceo sie!e d ceo entonces en el se#n

!ie!$o #eda sólo el ceo y el deno!inado desaaeció o#e lo as& del oto

3 + (x + 2).(x + 1) - x.(x - 1) = .(x + 1).(x - 1)

3 + (x + 2).(x + 1) - x.(x - 1) =

'CU,CA'B E,CA,*'B / '*C,C D'* '?'@*A 2

  EJEMPLO !: (Uno de los !ie!$os es #n solo n%!eo)

(x + 2).(x + 3) + 3 = 1.(x + 3)2

x2 + 3x + 2x + 6 + 3 = x2 + 6x + 7

x2 + 5x - x2 - 6x = 7 - 6 - 3

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-x =

x =

Condición de existencia: x ≠ -3

Conjunto solución: {"}

'n el se#ndo !ie!$o 0ay sólo #n n%!eo enteo no #na facción ni oeacione'n este e8ecicio se9a !s ctico #sa oto de los !&todos aa esol"e estasec#aciones ("e !&todos) y en la '*C,C lo !#esto ta!$i&n es#elto de e!anea.

EXPLICACIÓN:

1* 9usc( +l 2+noin(2o con +nt+ los 2+noin(2o+s 2+ (;osi+;os: (Oe oto !&todo aa esol"ela)

 

Pactoio el %nico deno!inado #e se #ede:

x2 + 6x + 7 = (x + 3)2  o el ece Caso (ino!io C#adado efecto)x 3  2.x.3  6x

*os otos dos no se #eden factoia.Eee!lao el deno!inado #e factoic& o s# e#i"alente factoiado:

 

'ntonces teno #e $#sca deno!inado co!%n (el !.c.!) ente:

(x + 3)(x + 3)2  (G el 1 no 0ay #e tenelo en c#entaH)

!.c.!.: &3 < #*!  (!.c.!. ente olino!ios)

!* Mo2i=ic( los nu+(2o+s coo +n l( su( 2+ =(ccion+s:

  (1 es i#al a 1/1)

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i!e @ie!$o:

i!ea facción:

Di"ido el deno!inado co!%n o el deno!inado de la i!ea facción:

(x + 3)2  di"idido (x + 3) es i#al a &3 < #*  (di"isiones)

*#eo !#ltilico ese es#ltado o el n#!eado de la i!ea facción:

(x + 2).&3 < #*

@e "a #edando:

Be#nda facción:

Di"ido el deno!inado co!%n o el deno!inado de la se#nda facción:

(x + 3)2 di"idido (x + 3)2 es i#al 1  (co!o c#al#ie cosa di"ida o s9 !is!a)

*#eo !#ltilico ese es#ltado o el n#!eado de la se#nda facción:

3.1 8 #

@e #eda:

Be#ndo !ie!$o:

Di"ido el deno!inado co!%n o el deno!inado del %nico t&!ino #e 0ayen el se#ndo !ie!$o:

(x + 3)2 di"idido 1 es i#al a &3 < #*! (c#al#ie cosa di"idido 1 d la !is!a cosa) 

*#eo !#ltilico ese es#ltado o el n#!eado de la se#nda facción:

1.(x + 3)2

@e #eda:

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#* C(nc+l( +l 2+noin(2o con +n (;os i+;os:

  (Go #& se #ede 0ace estoH)

's deci #e #eda sólo lo #e 0ay en los n#!eadoes y es #na ec#acióndonde ya no 0ay x en el deno!inado o#e ya no 0ay deno!inadoes.

4* >+sol'+ l( +cu(ción:

(x + 2).(x + 3) + 3 = (x + 3)2

x2 + 3x + 2x + 6 + 3 = x2 + 6x + 7

x2 - x2 + 5x - 6x = 7 - 6 - 3

-x =

x = (Gy #& asó con el !enosH)

5* Con2ición 2+ +3ist+nci( 7 Conjunto solución:

Co!o las facciones no #eden tene deno!inado i#al a la sol#ción de l

ec#ación no #ede se #n n%!eo #e 0aa #e al#nos de los deno!inadod& ceo. 'ntonces 0ay #e a"ei#a aa #& n%!eos los deno!inadoes 0acen ceo y eso se #ede 0ace i#alando a cada deno!inado a ceo yesol"iendo la ec#ación #e #eda:

Deno!inadoes:

(x + 3)2

x + 3

aa #& "aloes de x dan ceo:

Co!o ya exli#& en el '?'@*A 1 no 0ace falta i#ala todos losdeno!inadoes a ceo sino #e $asta 0acelo con los factoes #e aaecenesos deno!inadoes c#ando ya estn factoiados o los factoes #e aaecen el deno!inado co!%n o !.c.!. (Oe esa exlicación). a#9 el %nico facto e(x + 3). ,s9 #e:

x + 3 =

3 8 -#

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's deci #e aa #e la sol#ción sea "lida no #ede se 3 o#e ese "a0acen #e d& ceo al%n deno!inado.

Con2ición 2+ +3ist+nci(: 3 6 -# 

Co!o la sol#ción #e encont& en el aso 4 ea x = c#!le la Condición dexistencia. ,s9 #e es #na sol#ción "lida. es la %nica #e se #do encont'l con8#nto sol#ción es entonces el con8#nto fo!ado o esa %nica sol#ción

Conjunto solución: {"}

(!s so$e la Condición de existencia y el Con8#nto sol#ción)

CAC'AB - DUD,B - CA@',EAB 

*os concetos eneales del te!a estn en 'CU,CA'B E,CA,*'B 

El +jo .to2o @(( +sol'+ l( +cu(ción 2+ +st+ EJEMPLO !:

'n #na ec#ación co!o &sta en #e #no de los !ie!$os es sola!ente #n n%!eo

es !s aoiado o <ctico< #sa oto !&todo aa esol"ela. 's el #e antes lla@&todo 3: <asa !#ltilicando lo #e est di"idiendo<. Be tata de $#sca deno!

co!%n sola!ente en el !ie!$o donde estn las facciones y l#eo #e todo est#n %nico deno!inado se lo #ede asa al oto !ie!$o !#ltilicando. a #e enec#ación aa ode asa alo #e est di"idiendo tiene #e esta <di"idiendo a

Eecode!os co!o #eda$an los deno!inadoes factoiados:

  (Oe la factoiación)

a!$i&n ya calc#l& el !.c.!. ente ellos es (x + 3)2. (Oe el clc#lo del !.c.!). ta!$calc#l& d#ante la exlicación del oto !&todo có!o #edan los deno!inadoes d!ie!$o ("e exlicación de eso). eo en este !&todo no ono el deno!inado co!%

se#ndo !ie!$o y o lo tanto ta!oco ca!$io el se#ndo !ie!$o: de8o el 1.as9:

,0oa co!o (x + 3)2 est di"idiendo a todo el !ie!$o se lo #ede asa !#ltioto !ie!$o. ,s9:

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(x + 2).(x + 3) + 3 = 1.(x + 3)2 

as9 se loa #e el deno!inado desaaeca lo c#al en el oto !&todo ten9a!o0ace cancelando. ,clae!os #e todas esto de cancela o asa al oto !ie!$o!#ltilicando sólo se #ede 0ace si considea!os #e el deno!inado es desi#a

eo al dete!ina la Condición de existencia esta!os de8ando en clao eso.

a0oa !e #edó la !is!a ec#ación #e ya esol"9 con el oto !&todo as9 #e e#eden "e all9: "e la esol#ción.

i'ision+s ?u+ s+ Dici+on +n +st+ EJEMPLO !:

*a %nica #e #ede esenta al#na d#da es: (x + 3)2 di"idido (x + 3). Eecode!esas di"isiones e#i"al9an a si!lifica facciones co!o exli#& en s# !o!ento ee8e!los de s#!a y esta. 'n este caso esol"e la di"isión #e no!$& e#i"aldsi!lifica esta facción:

(exlicación de la si!lificación)

, +l 2+noin(2o 1 no D(7 ?u+ t+n+lo +n cu+nt( @(( ;usc( 2+noin(2con0 

'l !&todo incial con el #e estoy esol"iendo todos los '?'@*AB consiste en $deno!inado co!%n ente todos los deno!inadoes de a!$os !ie!$os de la ec#en el se#ndo !ie!$o de esta ec#ación 0ay #n n%!eo enteo #e es lo !is!o

facción con deno!inado i#al a 1.

Bin e!$ao c#ando $#s#& el !.c.! ente todos los deno!inadoes ese deno!del se#ndo !ie!$o no lo t#"e en c#enta. eso es o#e aa calc#la el !.c.!tiene n#nca en c#enta al 1 co!o facto ya #e o !s #e lo #siea en el !.c.!ca!$ia9a el es#ltado o#e c#al#ie cosa !#ltilicada o 1 d la !is!a cosa <ne#to< en la !#ltilicación). (clc#lo de !.c.!.)

,u. D(Bo +n un( +cu(ción cu(n2o + ?u+2( l( 3 n+B(ti'(0

,l#nos no sa$en #& 0ace ante esta sit#ación en #na ec#ación:

-3 8 4

@#c0os al#!nos iensan as9 (o eso lo ono i!eo o#e aece #e es lo fcil les es#lta):

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<-x es lo !is!o #e -1.x.< 's deci #e: <Delante de la x 0ay #n -1 !#ltilicandolo aso di"idiendo<:

-1.x = 4x = 4:(-1)

3 8 -4eo si l#eo de 0ace esto se det#"iean a !ia los dos asos #e e!a#& se c#enta de #e al final dió el !is!o n%!eo con el sino ca!$iado. De 4 el es#asó a se -4. 'so "a a asa sie!e con c#al#ie n%!eo #e lo 0aan (des#&exlico con el ceo). 'ntonces diecta!ente se od9a ecoda #e al #eda la xneati"a el es#ltado de la ec#ación es el n%!eo #e dió eo ca!$iado de sin<o#esto<):

-x = 4x = -4

-x = -;

x = ;

etc.

eso 8#sta!ente tiene #e "e con el te!a de los o#estos. -x es el o#esto de xo#estos son n%!eos de i#al "alo eo con el sino contaio. o e8e!lo:

4 es el o#esto de -4-4 es el o#esto de 4

'ntonces c#ando la ec#ación dice:

-x = 4est diciendo: <'l o#esto del n%!eo #e #ieo enconta es 4<. Gc#l es el o4H #es -4. 'ntonces #edo deci #e <'l n%!eo #e #ieo enconta es -4< lola ec#ación se esci$i9a as9:

x = -4

,0oa el n%!eo es #n caso atic#la o#e y - son i#ales o lo #e es lo- es i#al a . ,s9 #e si #na ec#ación dice:

-x =

#edo deci diecta!ente #e:

x =

si lo #ieen 0ace con el -1 se9a as9:

-x = -1.x = x = :(-1)

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x =