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Ejercicios de cuaciones de Cauchy-Riemann y su aplicación en MatLab
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Matemáticas Especiales
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Página 1
GUIA No 1
VARIABLE COMPLEJA
En esta guía se utilizaran de MATLAB las siguientes funciones preestablecidas
FUNCION ESTRUCTURA EN MATLAB SIGNIFICADO
i
j
>>i >>j
Cantidad imaginaria ( √1 )
√ >>sqrt(x) Calcula la raíz cuadrada de x >>y^x Calcula y elevado a la potencia x >>exp(x) Calcula la exponencial de x
Im(z) >>imag(z) Retorna la parte imaginaria del numero
complejo z
Re(z) >>real(z) Retorna la parte real del numero complejo z || >>abs(z) Retorna el módulo del numero complejo z
Arg(z) >>angle(z) Retorna el argumento (ángulo de fase) del
numero complejo z >>conj(z) Calcula el complejo conjugado del numero z
Ln(x) >>log(x) Devuelve el valor del logaritmo natural de x
Log(x) >>log10(x) Devuelve el logaritmo en base 10 de x
Sen(x) >>sin(x) Devuelve el valor del Seno de x en radianes
Cos(x) >>cos(x) Devuelve el valor del coseno de x expresado
en radianes
Tan(x) >>tan(x) Devuelve la tangente del argumento x en
radianes >>asin(x) Devuelve el arco cuyo seno es x, el resultado
en radianes >>acos(x) Devuelve el arco cuyo coseno es x, el
resultado en radianes >>atan(x) Devuelve el arco cuyo tangente es x, el
resultado en radianes >>sinh(x) Calcula el seno hiperbólico de x >>cosh(x) Calcula el coseno hiperbólico de x >>tanh(x) Calcula la tangente hiperbólica de x
>>syms x Define que la variable x es simbólica >>diff(y,x) Calcula la derivada de y con respecto a x,
tanto y como x deben ser simbólicas
>>expand(x) Escribe la expresión x como un producto de
factores. Es una expansión simbólica de x.
Matemáticas Especiales
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Página 2
Desde el command window de MATLAB se puede realizar operaciones aritméticas elementales de
sumas diferencias productos y división, con números complejos.
ARITMETICA DE NUMEROS COMPLEJOS
Ejercicio No. 1
Suponga que tiene tres números complejos ( 1 3 2 4 5), se desea
realizar la operación,
En MATLAB se asigna a las variables z1, z2 y z2 los valores correspondientes (Recuerde que
MATLAB diferencia entre mayúsculas y minúsculas)
>> z1=1+j
z1 =
1.0000 + 1.0000i
>> z2=3-2i
z2 =
3.0000 - 2.0000i
>> z3=-4+5j
z3 =
-4.0000 + 5.0000i
Observe que se puede colocar indiscriminadamente i o j. Ahora se realiza la operación postulada
>> z1+z2-z3
ans =
8.0000 - 6.0000i
Observe que el resultado se almacenó en una variable temporal llamada ans, si Usted realiza otra
operación dicha variable cambiará.
Ejercicio No 2
Calcular · ·
Como en MATLAB se tienen almacenadas las variables, basta solo realizar la operación
>> z1*z2*z3
Matemáticas Especiales
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Página 3
ans =
-25.0000 +21.0000i
Ejercicio No 3
Calcular $%&$'$(
Para realizar la operación sugerida, se puede realizar por dos métodos:
Método 1: Almacenar en una nueva variable, ) por ejemplo, la suma del numerador, luego
realizar la división $*$(
>> z4=z2+z3
z4 =
-1.0000 + 3.0000i
>> z4/z1
ans =
1.0000 + 2.0000i
Método 2: Realizar la operación usando signos de agrupación
>> (z2+z3)/z1
ans =
1.0000 + 2.0000i
Ejercicio No. 4
Calcular +$%&$'$( ,--------- +$(&$'$% , +$(&$%$' ,
Se debe calcular el primer término que es el conjugado complejo de la fracción, para ello aproveche
el hecho que en el ejercicio anterior se almacenó en la variable ) el resultado de la operación
indicada.
>> conj(z4)
ans =
-1.0000 - 3.0000i
En ans está almacenado el resultado de la operación, de tal manera que se puede completar la
operación agregando las fracciones y el producto.
>> ans+((z1+z3)/z2)*((z1+z2)/z3)
Matemáticas Especiales
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Página 4
ans =
0.1876 - 2.8424i
Ejercicio No. 5
Calcular
Para realizar la operación debe ser claro que · lo que significa que se puede calcular
mediante dos métodos:
Método 1: Realizar la operación ·
>> z2*z2
ans =
5.0000 -12.0000i
Método 2: realizar la operación
>> z2^2
ans =
5.0000 -12.0000i
Tenga presente que (^2) es elevar un numero a la potencia 2, en tanto que (.^2) es elevar cada
elemento en un arreglo a la potencia 2.
Ejercicio No. 6
Calcular +$(&$'$% ,.
Se realiza en primera instancia la operación +$(&$'$% , y elevamos a la potencia 5
>> ((z1+z3)/z2)^5
ans =
19.0536 +11.5736i
Ejercicio No. 7
Calcular /+$(&$'$% ,
Para resolver el problema se debe realizar en MATLAB
>> sqrt((z1+z3)/z2)
Matemáticas Especiales
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Página 5
ans =
0.3501 + 1.3183i
El editor de MATLAB le indica cuantos paréntesis tiene abiertos y con cuáles se cierra, para tener
control de los mismos.
Ejercicios Propuestos VC-1:
En los ejercicios del 1 al 12 encuentre la suma, diferencia, producto y cociente de cada par de
números complejos
1 4 , ) 7 2 . , 2. 3 ). , ) 2.
4 √ √5 , √ ) √5 5 / 4 , √ √ ' 7
6 √3' , ) √5'
7 √ 4 , √) 4 8 + ,3. ) 4 , 5 + ), 7
9 + , 4 , ) 7
10 ) , ) . 11 4 , ) 7 12 + 4 , , + ) 7,
En los ejercicios del 13 al 24 sean los números complejos &67 , .7&7 , 38, ) ) . realizar las operaciones indicadas
13 9 · $%$* 14 +$(&.7$*2$%$' , 15 +)$'$($*$% ,. )------
16 +$( 7$*$% $' ,/
17 +$(.$*$%2$%)$' , 18 +$(&$*'$%;$' ,<
19 3 2 --------------- +$%$*,-----
20 /5 3 ---------------'
21 +$($*, +$'$*,.
22 ). < 23 = 9$'$** √$(> ? 24 = √$*$%7 9$'' ?)
25 Con la ayuda de MATLAB demuestre que @ @
26 Con la ayuda de MATLAB demuestre que @ · @
27 Con la ayuda de MATLAB demuestre que $($% $(---$%---
Matemáticas Especiales
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Página 6
REPRESENTACIONES DE NUMEROS COMPLEJOS
Ejercicio No. 8
Represente los números 1 3 2 4 5 en su forma polar, exponencial y
trigonométrica
Para darle solución al ejercicio, se debe encontrar los módulos de cada uno de los números y
además encontrar sus argumentos, para ello se realiza:
>> abs(z1)
ans =
1.4142
>> angle(z1)
ans =
0.7854
>> abs(z2)
ans =
3.6056
>> angle(z2)
ans =
-0.5880
>> abs(z3)
ans =
6.4031
>> angle(z3)
ans =
2.2455
De tal manera que los números complejos pueden ser escritos en sus representaciones como se
muestra en la tabla siguiente:
RECTANGULAR POLAR EXPONENCIAL TRIGONOMETRICA 1 1.4142A0.7854D 1.41423.2E.)6 1.41420.7854 0.7854 3 2 3.6056A0.5880D 3.60563..EE36 3.60560.5880 0.5880 4 5 6.4031A2.2455D 6.4031.)..6 6.40312.2455 2.2455
Matemáticas Especiales
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Ejercicio No. 9
Dados los números complejos:
3A153 D .&)6 < . ) 5cos0.7 0.7
Calcular /+$('&$';$%$(·$* , *
El numero complejo tiene un módulo 3 y argumento principal de 153 recuerde que MATLAB
realiza las operaciones en radianes lo que indica que el argumento que se encuentra en grados
sexagesimales debe escribirse en radianes, para ello se debe recordar que
13 J180 K 1K 180LJ
De tal manera que en MATLAB se debe realizar
>> 15*pi/180
ans =
0.2618
Lo que indica que 153 es 0.2618 rad. Recuerde que MATLAB tiene incorporado dentro de sus
constantes el número J y se llama pi .
Así el número es
>> z1=3*exp(ans*j)
z1 =
2.8978 + 0.7765i
Lo que se puede comprobar utilizando la representación trigonométrica
>> 3*(cos(0.2618)+j*sin(0.2618))
ans =
2.8978 + 0.7765i
Calcular es sencillo utilizando las funciones de MATLAB
>> z2=exp(5+4i)
z2 =
-9.7009e+001 -1.1232e+002i
Calcular < .
Matemáticas Especiales
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>> z3=1/6+3/5j
z3 =
0.1667 - 0.6000i
Calcular ) 5M0.7 0.7
>> z4=5*(cos(0.7)+j*sin(0.7))
z4 =
3.8242 + 3.2211i
Se calcula la cantidad subradical
>> ((z1^3+z3^5-conj(z2))/(z1*z4))^3
ans =
1.9643e+002 +9.5990e+002i
Ahora se calcula la raíz cuarta de la cantidad obtenida anteriormente
>> ans^(1/4)
ans =
5.2703 + 1.8776i
Apreciado estudiante, realice la operación completa en una sola línea y compruebe el resultado.
Ejercicio No. 10
Para los números del ejercicio anterior: a) calcule la expresión $( b) compruebe el resultado con
la expresión vista en clase para este tipo de expresiones.
>> z2^z1
ans =
-1.0598e+007 -4.5775e+006i
Se deja como ejercicio la parte b del problema
Ejercicio No. 11
Para los números del ejercicio No 9: a) Calcule 5 $' $* b) compruebe su respuesta con las
expresiones desarrolladas en clase
>> log(z2^z3-z3^z4)
ans =
-0.5408 + 2.9029i
Matemáticas Especiales
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Se deja como ejercicio la parte b del problema
Ejercicio No. 12
Encuentre las tres raíces cúbicas de N 1 8
Para realizar este ejercicio, se debe tener presente la formula de Moivre
O ||OP Q QR
Con || STU U úSK , Q WKXTS Y ZK8 M8ZU U TSK , de tal manera
que
>> w=1-i
w =
1.0000 - 1.0000i
>> r=abs(w)
r =
1.4142
>> t=angle(w)
t =
-0.7854
>> k=0:2
k =
0 1 2
>> r^(1/3)*(cos((t+2*pi*k)/3)+j*sin((t+2*pi*k)/3))
ans =
1.0842 - 0.2905i -0.2905 + 1.0842i -0.7937 - 0 .7937i
Y las raíces son 3 1.0842 0.2905i , z 0.2905 1.0842i, 0.7937 0.7937i Se usó un arreglo k, para generar los números desde el 0 hasta 2, de tal manera que la operación
resultante fue de nuevo un arreglo con tres elementos (ans).
Se puede resolver el ejercicio con MATLAB usando la sentencia >>solve(), llamando a z como
variable simbólica
>> syms z
>> solve('z^3=1-i')
Matemáticas Especiales
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ans =
2^(1/6)*6^(1/2)*(1/4 - i/4) + 2^(2/3)*(i/4 + 1/4)
2^(2/3)*3^(1/2)*(i/8 - 1/8) + 2^(1/6)*6^(1/2)*(i /8 - 1/8) + 2^(2/3)*(- i/8 - 1/8) + 2^(1/6)*3^(1/2)*6^(1/2)*(i/8 + 1/8)
2^(2/3)*3^(1/2)*(1/8 - i/8) + 2^(1/6)*6^(1/2)*(i/8 - 1/8) + 2^(2/3)*(- i/8 - 1/8) + 2^(1/6)*3^(1/2)*6^(1/2)*(- i/8 - 1/8)
>> 2^(1/6)*6^(1/2)*(1/4 - i/4) + 2^(2/3)*(i/4 + 1/4 )
ans =
1.0842 - 0.2905i
>> 2^(1/6)*6^(1/2)*(1/4 - i/4) + 2^(2/3)*(i/4 + 1/4 )
ans =
1.0842 - 0.2905i
>> 2^(2/3)*3^(1/2)*(i/8 - 1/8) + 2^(1/6)*6^(1/2)*(i /8 - 1/8) + 2^(2/3)*(- i/8 - 1/8) + 2^(1/6)*3^(1/2)*6^(1/2)*(i/8 + 1/8)
ans =
-0.2905 + 1.0842i
>> 2^(2/3)*3^(1/2)*(1/8 - i/8) + 2^(1/6)*6^(1/2)*(i /8 - 1/8) + 2^(2/3)*(- i/8 - 1/8) + 2^(1/6)*3^(1/2)*6^(1/2)*(- i/8 - 1/8)
ans =
-0.7937 - 0.7937i
Ejercicios Propuestos VC-2:
En los ejercicios del 1 al 24 exprese el número dado en forma rectangular, polar, exponencial y
trigonométrica.
1 8 2 3 48 3 5 128
4 5 √38 5 10 6 7 148
7 56 ' 8 4&√ 6 9 √36*'
10 7 11 )6 12 2 '&6'%
13 7M8 +_ , 14 3M8 +)_ , 15 2M8 +._ ,
16 2M8 +2_ , 17 8M8 +._) , 18 5M8 + _,
19 2A35L D 20 12A35L D 21 7A315L D 22 9A73L D 23 √2A127L D 24 3A15L D En los ejercicios del 25 al 30 realizar la operación que se indica, si:
Matemáticas Especiales
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5√ 6√, 3√2 `J3D , 2√38 a√32 b, ) 5√2A127L D 25 $( 26 $% 27 )$(&$'
28 /+$('&$';$%$(·$* ,$'*
29 + $%$'$*,$(
30 ) $(
Resolver las siguientes ecuaciones:
28 ) 81 0 29 < 1 √38 30 6) 25 32 3 10 0
PROBLEMAS EN INGENIERIA
P1 En las ecuaciones de ondas electromagnéticas, un elemento muy importante es el factor de
propagación c. En general c es un número complejo, definido como c d e, donde d se
llama factor de atenuación, y e se conoce como factor de fase. Si además suponemos que c fgh fi. Muéstrese usando como ayuda MATLAB que
d fjgi2 k1 + hfi, 1
e fjgi2 k1 + hfi, 1
Utilice MATLAB para realizar la gráfica para el factor de atenuación, usando valores típicos ( Use
las tablas )
P2 Una línea de transmisión se define como un dispositivo para transmitir o guiar energía de un
punto a otro. Básicamente, una línea de transmisión tiene dos terminales en las que se alimenta
potencia (o información) y dos terminales en las recibe la potencia ( o información ). La
impedancia característica de una línea de transmisión se define como
lL km f5n f
Donde :
R = Resistencia por unidad de Longitud Ωm. L = Inductancia por unidad de longitud, H m-1
G = Conductancia por unidad de Longitud op. C = Capacitancia por unidad de Longitud Fm
Con ayuda de MATLAB, muestre que
Matemáticas Especiales
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a) Si la frecuencia es grande la línea tiene una impedancia característica
lL k5 mL
Que se convierte en una impedancia real ( Resistencia ) que tiene como nombre, Resistencia
Característica.
b) Cuando R y G son pequeñas, pero no lo suficientemente pequeñas para despreciarse,
entonces se puede expresar la impedancia característica de la siguiente forma:
lL k5 q1 = n2f m2f5?r
P3 En las líneas de transmisión es muy útil encontrar la impedancia (resistencia en variable
compleja ) a la distancia x, l medida desde la impedancia de carga ls. Esta impedancia se define
como l l3 tu&tvwxOyztv&tuwxOyz. Con c d e S(Factor de Propagacion de la onda en la línea).
l Impedancia a la distancia x viendo hacia la carga, Ω l3 Impedancia característica de la línea, Ω
ls Impedancia de la carga, Ω.Todas estas constantes.
a) Con la ayuda de MATLAB muestre que si la línea no tiene perdidas d 0, la impedancia l se puede escribir comol l3 tu&6tvwxOtv&6tuwxO b) Encuentre las expresiones con la ayuda de MATLAB para cuando la línea està en
cortocircuito y cuando està en circuito abierto.
Matemáticas Especiales
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ECUACIONES DE CAUCHY - RIEMANN
Ejercicio No. 13
Determine si la función satisface las ecuaciones de Cauchy_Riemann
Para determinar si la función satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann |T| || |T| ||
Teniendo presente que ~ T, , es decir que T, m~
y , S~, debe evaluarse las igualdades.
Para realizar este tipo de operaciones se deben llamar un tipo de variables que se llaman
alfanuméricas o simbólicas. Sobre este tipo de variables se pueden realizar operaciones del cálculo
tales como derivación integración y solucionar ecuaciones diferenciales.
Para llamar este tipo de variables se utiliza la expresión
>> syms x
>>
MATLAB interpreta que en adelante la variable x es simbólica.
SI EN SU PC ESTA OPCION NO FUNCIONA PUEDE SER POR LA VERSIÒN QUE ESTE UTILIZANDO DE
MATLAB, O EL SISTEMA OPERATIVO ESTA TRABAJANDO A 64BIT Y MATLAB A 32BIT. PARA PC QUE
TRABAJAN A 64BIT, LA VERSION DE MATLAB 2010a O SUPERIOR PUEDE SER LA SOLUCION.
Se crean las variables simbólicas necesarias
>> syms x y z w u v
>>
Ahora se define que
>> z=x+j*y
z =
x + y*i
Ahora se define la función N y se calcula el resultado
Matemáticas Especiales
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Página 14
>> w=z^2
w =
(x + y*i)^2
Que no da mucha información, para poder hacerle seguimiento a lo que hace, se utiliza la función
expand(z), que convierte la expresión en
>> w=expand(z^2)
w =
x^2 + 2*x*y*i - y^2
Se define que T, m~ y , S~
>> u=x^2-y^2
u =
x^2 - y^2
>> v=2*x*y
v =
2*x*y
Ahora se utiliza la derivada simbólica de MATLAB para comparar la primera de las ecuaciones de
Cauchy-Riemann
>> diff(u,x)
ans =
2*x
>> diff(v,y)
ans =
2*x
Se verifica que la primera de las igualdades se obtiene. Ahora se debe evaluar la segunda de las
ecuaciones de Cauchy-Riemann
>> diff(u,y)
ans =
(-2)*y
>> -diff(v,x)
ans =
Matemáticas Especiales
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(-2)*y
Lo que comprueba que la función de variable compleja dada Satisface las ecuaciones de Cauchy-
Riemann
Ejercicio No. 14
Pruebe que la función ~ satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann
En este problema, la definición de las funciones T, m~ y , S~ es
inmediata
>> u=exp(x)*cos(y)
u =
exp(x)*cos(y)
>> v=exp(x)*sin(y)
v =
exp(x)*sin(y)
Ahora se establece las derivadas de las ecuaciones de Cauchy- Riemann
>> diff(u,x)
ans =
exp(x)*cos(y)
>> diff(v,y)
ans =
exp(x)*cos(y)
>> diff(u,y)
ans =
-exp(x)*sin(y)
>> -diff(v,x)
ans =
-exp(x)*sin(y)
Lo que verifica las Condiciones de Cauchy-Riemann
Matemáticas Especiales
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Página 16
Ejercicio No. 15
Pruebe que la función ~ K. 5Q 5Q satisface las ecuaciones de Cauchy –
Riemann.
Este problema debe tratarse con cuidado, ya que la función que se da está en forma polar, motivo
por el cual, la forma de las ecuaciones de Cauchy-Riemann cambia notablemente, como se
demostró en clase, llegando a la forma |T|K 1K ||Q 1K |T|Q ||K
Se realiza la definición de las variables simbólicas y se establece las funciones
>> syms u v r t
>> u=r^5*cos(5*t)
u =
r^5*cos(5*t)
>> v=r^5*sin(5*t)
v =
r^5*sin(5*t)
Ahora se evalúan las derivadas con sus factores
>> diff(u,r)
ans =
5*r^4*cos(5*t)
>> 1/r*diff(v,t)
ans =
5*r^4*cos(5*t)
>> 1/r*diff(u,t)
ans =
(-5)*r^4*sin(5*t)
>> -diff(v,r)
ans =
(-5)*r^4*sin(5*t)
Matemáticas Especiales
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Página 17
Ejercicios Propuestos VC-3:
En los ejercicios del 1 al establezca si la función satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann
1 ~ $ 2 ~ 3 ~ O,
4 ~ 5 ~ 5 6 ~ +$ ,
7 ~ $ 8 ~ $ 9 ~ &
10 ~ MY 11 ~ 2 1 12 ~ 8
13 ~ 2 14 ~ $7$ 15 ~ $$
PROBLEMAS DE INGENIERIA
P4 Analícese con ayuda de MATLAB el flujo plano, no vortiginoso (irrotacional), de un líquido
incompresible ideal, para ello suponga que , y , las componentes del vector de
velocidad del flujo a lo largo de los ejes e , y sea , , la velocidad
compleja del flujo. Muéstrese que es una función analítica.
Matemáticas Especiales
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Página 18
FUNCIONES ARMONICAS Y ARMONICAS CONJUGADAS
Ejercicio No. 16
Dada T, 2, encuentre la función conjugada , tal que
~ T, , es una función analítica de en todo el plano
Se sabe que se deben satisfacer las condiciones de Cauchy-Riemann, de tal manera que || |T|
Entonces el resultado de la operación debe ser integrado con respecto a y
>> u=x^2-y^2+2*x
u =
x^2 + 2*x - y^2
>> diff(u,x)
ans =
2*x + 2
Para calcular una integral, en MATLAB la operación se realiza escribiendo >>int(f,x) indica que
se integra la función f (Simbólica ) con respecto a x (simbólica).
>>v= int(ans,y)
v =
y*(2*x + 2)
Tenga presente, que en el procedimiento que se realiza, hace falta la constante de integración.
Ahora como se ha visto en el curso, se deriva con respecto a x y se multiplica por -1
>>- diff(v,x)
ans =
(-2)*y
Re realiza ahora la derivada de u respecto a y es decir, se utiliza la segunda ecuación de Cauchy-
Riemann
Matemáticas Especiales
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Página 19
>> diff(u,y)
ans =
(-2)*y
Como los dos resultados son iguales, la constante de integración es un valor constante, por tanto
>> v
v =
y*(2*x + 2)
Adicionándole una constante K. Esa será la función conjugada. Así la solución es
, 2 2
Y la función ~ 2 2 2
Ejercicio No. 17
Encuentre la función conjugada de T, 21 y muentre que la función ~ T
es armónica
En primer lugar se debe encontrar la función conjugada de T, es decir la función , , para
tal efecto, se sigue el procedimiento del ejercicio anterior.
>> syms u v x y
>> u=2*x*(1-y)
u =
(-2)*x*(y - 1)
>> v=int(diff(u,x),y)
v =
-(y - 1)^2
>> -diff(v,x)
ans =
0
>> -diff(u,y)
ans =
2*x
>> int(ans,x)
Matemáticas Especiales
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Página 20
ans =
x^2
así pues que la función , 1 y la función ~ 21 1 para mostrar que es armónica, la función definida como ~ T debe satisfacer la ecuación
de Laplace
|T| |T| 0
Lo que significa en MATLAB
>> diff(u,x)
ans =
2 - 2*y
>> diff(ans,x)
ans =
0
>> diff(u,y)
ans =
(-2)*x
>> diff(ans,y)
ans =
0
Lo que significa que la función T, 21 satisface la ecuación de Laplace luego es
armónica.
>> v=v+x^2
v =
x^2 - (y - 1)^2
>> diff(v,x)
ans =
2*x
>> diff(ans,x)
Matemáticas Especiales
21
Página 21
ans =
2
>> diff(v,y)
ans =
2 - 2*y
>> diff(ans,y)
ans =
-2
Se verifica que al sumar los dos resultados 2-2=0 satisface la ecuación de Laplace, por tanto la
función ~ 21 1 es armónica.
Ejercicios Propuestos VC-4:
En los ejercicios del 1 al 9 probar que T, es armónica y hallar la armónica conjugada ,
1 21 2 2 3 3 3 2 2
4 %&% 5 6 cos
7 %&%% 8 2Y +, 9
PROBLEMAS EN INGENIERIA
P5 Las ecuaciones de Maxwell para el electromagnetismo están dadas en forma vectorial por
· Ley de Gauss para el
campo eléctrico
· 0 Ley de Gauss para el
campo magnético h i w Ley de Ampere Maxwell g w Ley de Faraday
En general, los campos eléctricos E y magnéticos H son funciones de la posición , , y, en
situaciones que cambian con el tiempo, como una función del tiempo t. En consecuencia, se puede
escribir que los campos eléctrico y magnético son
|| cosfY || cosfY
Es decir la parte real del campo complejo. Encuentre la forma de las ecuaciones de Maxwell bajo
este supuesto.
P6 Una de las miles de soluciones posibles de la ecuación de Laplace y que tiene mucho validez en
problemas prácticos de ingeniería es la función
Matemáticas Especiales
22
Página 22
~ W5 =l l ?
Para obtener funciones útiles en la resolución de problemas deben separarse en esta expresión
sus partes real e imaginaria y representarse en el plano complejo, como se muestra en la figura. El
numerador está dado por la recta O1P, y el denominador por la recta O2P.
Muestre que La función de Z proporciona dos funciones
n W5 K K WQ Q
Cualquiera de las dos funciones son solución de la ecuación de Laplace. Si se toma G como función
potencial se obtienen familias de superficies equipotenciales igualando G a una serie de
diferentes valores constantes. Es conveniente determinar estos valores constantes de G
definiendo K K S n W 5 S donde cada valor de m determina una superficie
equipotencial particular. Encuentre las ecuaciones de las equipotenciales y grafíquelas.