Integrales racionales (Mtodo de Hermite)El mtodo deHermitees tambin para integrales en la forma de fraccin:

donde el grado de p(x) es inferior al grado de q(x). Suele utilizarse cuando el grado de multiplicidad de los factores es alto, sobre todo el de los factores complejos, lo que en el caso del mtodo general nos obliga a realizar integrales extremadamente largas. Al igual queenel mtodo general, en elmtodo de Hermitese comienza por descomponer en factores irreducibles el polinomioq(x):

Entonces segn lafrmula de Hermitese tiene:

dondees el polinomio formado por los mismos factores queq(x)pero elevados todos aun grado menos, es decir:

mientras quees un polinomio con coeficientes indeterminados y de grado inferior en 1 al grado de. (Observe que en el mtodo de Hermite, los factores dentro de las integrales siempre vienen elevados a 1, lo cual facilita mucho la integracin. Lo que se convierte en ms laborioso es el clculo de todos los coeficientes indeterminados)Ejemplo 17: Hallemos por el mtodo de Hermite la integral:

Solucin: El denominadorq(x) ya aparece descompuesto en factores:

ahora restando 1 al exponente de cada factor hallamos:

(x- 2) elevado a 0 equivale a launidad, por tanto,es un polinomio de grado 3, lo que significa queha de ser un polinomio de grado 2 (inferior en 1 al grado de, como se ha dicho):

De esta manera la frmula de Hermite para esta integral es:

y ahora slo nos queda determinar los coeficientes indeterminados A, B, C, D y E. Para ello sederivan ambos miembros, teniendo en cuenta que la derivada de una integral es la funcin integrando:

A continuacin ponemos el denominador comn en el miembro de la derecha, ese denominador debe coincidirsiemprecon el del miembro de la izquierda. Estos denominadores se cancelan:

En esta expresin podemos ir dando distintos valores ax, por ejemplo, six=2obtenemos inmediatamenteE = 7.Sucesivamente consideramos los valoresx=0, x=1, x=-1, x=3, nos resultan las ecuaciones:

que junto aE=7, forman un sistema cuya solucin es:A = 7,B = -21/2,C = 31/6,D = 7,E = 7.Por lo tanto la integral buscada es:

Ejemplo 18: Hallemos por el mtodo de Hermite la integral:

Solucin: El denominadorq(x) ya aparece descompuesto en factores (observe que el segundo factor es complejo), por tanto restando 1 a cada exponente obtenemos:

es un polinomio de grado 2,y la integral puede ser expresada as:

Ahora derivamos ambos miembros:

A continuacin, pondramos denominador comn en el miembro de la derecha, obtendramos un sistema con los coeficientes, etc., etc. Se puede comprobar que estos coeficientes tienen los valores:A = -1/4, B = 0, C = 1/4, M = -1/4, N = -3/4.Por lo tanto,

la primera integral del miembro de la derecha es ln |x|, mientras que la segunda la hacemos abajo:

y en la ltima integral hacemosx+1= t, y segn latabla de integrales, comprobamos que se trata del arctgx. En definitiva:

Ejercicios para el alumno: El alumno deber comprobar los resultados de las dos integrales siguientes:

Ejercicios Resueltos

Resolviendo el Sistema

Solucin de la Integral Por Fracciones Parciales

Entonces

Resolviendo elSistemaMetodo de Sustitucion

Autor:Cliffor Jerry Herrera Castrillo

Leer ms:http://www.monografias.com/trabajos99/integrales-fracciones-parciales-calculo-integral/integrales-fracciones-parciales-calculo-integral.shtml#ixzz3gThTVufJ