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UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR
FACULTAD DE INGENIERÍA, CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICA
CONSEJO DE POSGRADO
Propuesta de actividades mediante la metodología ABP para la conceptualización
del cálculo integral
Trabajo de Titulación previo a la obtención del Grado de:
Magíster en Docencia Matemática Universitaria
AUTOR: Dr. Adrian Santiago Aguinaga Romero.
TUTOR: Dr. Danilo Gortaire Játiva. Ph.D.
Quito, 2019
ii
DERECHOS DE AUTOR
Yo, ADRIAN SANTIAGO AGUINAGA ROMERO, en calidad de autor del
trabajo y titular de los derechos morales y patrimoniales del trabajo de titulación
PROPUESTA DE ACTIVIDADES MEDIANTE LA METODOLOGÍA ABP
PARA LA CONCEPTUALIZACIÓN DEL CÁLCULO INTEGRAL, de
conformidad con el Art. 114 del CÓDIGO ORGÁNICO DE LA ECONOMÍA
SOCIAL DE LOS CONOCIMIENTOS, CREATIVIDAD E INVESTIGACIÓN,
concedo a favor de la Universidad Central del Ecuador una licencia gratuita,
intransferible y no exclusiva para el uso no comercial de la obra, con fines
estrictamente académicos. Conservo a mi favor todos los derechos de autor sobre
la obra, establecidos en la normativa citada.
Así mismo, autorizo a la Universidad Central del Ecuador para que realice la
digitalización y publicación de este trabajo de titulación en el repositorio virtual,
de conformidad a lo dispuesto en el Art. 1444 de la Ley Orgánica de Educación
Superior.
El autor declara que la obra objeto de la presente autorización es original en su
forma de expresión y no infringe el derecho de autor de terceros, asumiendo la
responsabilidad por cualquier reclamación que pudiera presentarse por esta causa
y liberando a la Universidad de toda responsabilidad.
Firma: _______________________
Dr. Adrian Santiago Aguinaga Romero
C. C. 1707033138
Dirección electrónica: [email protected]
Teléfono: 0984491503
iii
APROBACIÓN DEL TUTOR DEL TRABAJO DE TITULACIÓN
Yo, Dr. Danilo Gortaire Játiva. Ph.D., en mi calidad de tutor del trabajo de
titulación, modalidad Proyecto de Investigación, elaborado por el Dr. ADRIAN
SANTIAGO AGUINAGA ROMERO; cuyo título es: PROPUESTA DE
ACTIVIDADES MEDIANTE LA METODOLOGÍA ABP PARA LA
CONCEPTUALIZACIÓN DEL CÁLCULO INTEGRAL, previo a la
obtención del Grado de Magister en Docencia Matemática Universitaria;
considero que el mismo reúne los requisitos y méritos necesarios en el campo
metodológico y epistemológico, para ser sometido a la evaluación por parte del
tribunal examinador que se designe, por lo que lo APRUEBO, a fin de que el
trabajo sea habilitado para continuar con el proceso de titulación determinado por
la Universidad Central del Ecuador.
En la ciudad de Quito, a los 25 días del mes de enero de 2019.
__________________________________
Dr. Danilo Gortaire Játiva. Ph.D.
DOCENTE – TUTOR
C.C. 1705940508
Teléfono: 0998327673
iv
DEDICATORIA
Dedico este trabajo a toda mi familia que en conjunto lo hemos realizado, al
brindarme su amor y su tiempo para dedicarme con mucho esfuerzo y dedicación.
A la memoria de mi madre, Juana Guadalupe Romero Flores, a quien amo y
extraño, sobre todo por sus valiosos consejos y su amor que me hacen mucha
falta.
A la memoria de mi compañero y gran amigo, el Magister Hiraín Álvarez, quien
partió anticipadamente y siempre fue un apoyo en esta maestría.
v
AGRADECIMIENTOS
Quiero agradecer primeramente a Dios por permitirme llegar a este punto de mi
vida dando un paso más en mi crecimiento personal y profesional; y jamás
soltarme de su mano.
A mi esposa e hijos, que juntos me ayudaron con amor y confianza a poner lo
mejor de mí, y darme toda la motivación necesaria para terminar el trabajo.
Extiendo mi agradecimiento a las autoridades de la Facultad de Ciencias e
Ingenierías Físicas y Matemáticas, muy especialmente a mis maestros que
sembraron en mí el conocimiento necesario y la motivación para la realización de
este trabajo.
A mi tutor, el Dr. Danilo Gortaire Játiva conocedor del tema, por su gran
paciencia, tolerancia y apoyo incondicional.
A Juan Carlos García, jefe de la Escuela de Ciencias Físicas y Matemáticas de la
Universidad de Las Américas por toda su ayuda ofrecida a lo largo de la maestría.
A todos mis compañeros de la Universidad de Las Américas, a mis compañeros y
amigos de la misma maestría, con quienes compartí momentos muy gratos; a las
autoridades y amigos del colegio Becquerel, quienes siempre me motivaron para
terminar este trabajo.
A mis padres y hermanos que siempre respaldaron mi trabajo y me motivaron a
superar todos los obstáculos que se presentaron en el camino. Sobre todo, por sus
palabras y bendiciones.
A todos muchas gracias.
vi
CONTENIDO
pág.
DERECHOS DE AUTOR ....................................................................................... II
APROBACIÓN DEL TUTOR DEL TRABAJO DE TITULACIÓN ................... III
DEDICATORIA .................................................................................................... IV
AGRADECIMIENTOS .......................................................................................... V
LISTA DE TABLAS ............................................................................................. IX
LISTA DE FIGURAS ............................................................................................. X
LISTA DE FOTOGRAFÍAS ................................................................................. XI
LISTA DE ANEXOS ............................................................................................ XII
RESUMEN .......................................................................................................... XIII
ABSTRACT ....................................................................................................... XIV
INTRODUCCIÓN .................................................................................................. 1
CAPÍTULO I ........................................................................................................... 5
DEFINICIÓN DEL PROBLEMA .......................................................................... 5
1.1 ANTECEDENTES ........................................................................................................................ 5
1.2 FORMULACIÓN DEL PROBLEMA .............................................................................................. 7
1.3 JUSTIFICACIÓN E IMPORTANCIA .............................................................................................. 7
1.4 OBJETIVOS ............................................................................................................................... 7
1.4.1 OBJETIVO GENERAL ........................................................................................................................ 7
1.4.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS ................................................................................................................. 8
CAPÍTULO II ......................................................................................................... 9
DERIVADAS Y ANTIDERIVADAS ...................................................................... 9
2.1 REGLAS DE DIFERENCIACIÓN ................................................................................................. 12
2.2 ANTIDERIVADAS ..................................................................................................................... 15
2.3 PROBLEMAS DE VALOR INICIAL Y ECUACIONES DIFERENCIALES ........................................... 19
2.4 EJERCICIOS VARIOS ................................................................................................................ 21
vii
CAPÍTULO III ...................................................................................................... 24
INTEGRACIÓN ................................................................................................... 24
3.1 TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO ............................................................................. 27
3.1.1 FUENTE Y ESTRUCTURA DE LA INFORMACIÓN RECIBIDA ............................................................ 27
3.1.2 SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO (TEOREMA DE EVALUACIÓN) .................... 31
3.2 INTEGRAL DEFINIDA............................................................................................................... 31
3.3 VALOR MEDIO DE UNA FUNCIÓN CONTINUA ....................................................................... 35
3.4 APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA ............................................................................ 35
3.4.1 ÁREA DE LA REGIÓN DEBAJO DE LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN NO NEGATIVA Y SOBRE EL EJE X 35
3.4.2 ÁREA TOTAL ENTRE CURVAS ........................................................................................................ 37
3.5 EJERCICIOS VARIOS ................................................................................................................ 38
CAPÍTULO IV ...................................................................................................... 43
INTEGRALES IMPROPIAS, INTRODUCCIÓN A LA RESOLUCIÓN DE
PROBLEMAS DINÁMICOS Y TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN .................... 43
4.1 INTEGRALES IMPROPIAS .............................................................................................................. 43
4.1.1 Límites de integración infinitos .................................................................................................... 43
4.1.2 Introducción a la resolución de Problemas Dinámicos (Cambios exponenciales) ....................... 45
4.1.2.1 Cambio Exponencial ..................................................................................................................... 46
4.1.2.2 Ecuaciones diferenciales separables ............................................................................................ 47
4.2 LA INTEGRAL INDEFINIDA ............................................................................................................. 49
4.2.1 Integrales indefinidas y el método de sustitución ....................................................................... 49
4.3 TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN ......................................................................................................... 49
4.3.1 Integración por partes .................................................................................................................. 49
4.3.2 Integrales Trigonométricas .......................................................................................................... 49
4.3.3 Sustituciones Trigonométricas ..................................................................................................... 50
4.3.4 Integración de funciones racionales por medio de una descomposición en fracciones parciales ..................................................................................................................................................... 51
4.4 APLICACIONES DE PROBLEMAS DINÁMICOS................................................................................ 51
4.5 EJERCICIOS VARIOS ...................................................................................................................... 52
viii
CAPÍTULO V ....................................................................................................... 58
RESULTADOS, CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES, EJERCICIOS
DE REFUERZO .................................................................................................... 58
5.1 RESULTADOS ................................................................................................................................ 58
5.2 PROCESO DE TRABAJO ................................................................................................................. 61
5.3 CONCLUSIONES ............................................................................................................................ 64
5.4 RECOMENDACIONES .................................................................................................................... 66
5.5 PROBLEAS ADICIONALES .............................................................................................................. 66
BIBLIOGRAFÍA .................................................................................................. 71
ANEXOS .............................................................................................................. 72
ix
LISTA DE TABLAS
pág.
Tabla 1: Fórmulas de antiderivadas, con k como una constante diferente de cero,
tomada de la página 234 Capítulo 4: Aplicaciones de las derivadas Cálculo Una
Variable Thomas Décimo tercera edición ............................................................. 16
Tabla 2: Reglas de linealidad de antiderivadas, tomada de la página 234 Capítulo
4: Aplicaciones de las derivadas Cálculo Una Variable Thomas Décimo tercera
edición ................................................................................................................... 17
Tabla 3: Tomada del texto Thomas, Cálculo una variable, decimotercera edición,
página 270 ............................................................................................................. 34
Tabla 4: Rúbricas para evaluar el trabajo en equipo ............................................. 98
Tabla 5: Criterio de evaluación A .......................................................................... 99
Tabla 6: Criterio de evaluación B ........................................................................ 101
Tabla 7: Criterio de evaluación C ........................................................................ 103
x
LISTA DE FIGURAS
pág.
Figura 1: Resultados finales del curso, aplicando ABP. ....................................... 65
Figura 2: Resultados finales del curso, donde no se aplica ABP. ......................... 65
xi
LISTA DE FOTOGRAFÍAS
pág.
Fotografía 1: Fecha: lunes 26 al viernes 30 de marzo 2018, Grupo 1, carrera en
Negocios Internacionales. UDLA. Período 2018-2 ............................................ 104
Fotografía 2: Fecha: lunes 9 al viernes 13 de abril 2018, Grupo 2, carrera en
Negocios Internacionales. UDLA. Período 2018-2 ............................................ 104
Fotografía 3: Fecha: lunes 23 al viernes 27 de abril 2018, Grupo 3, carrera en
Negocios Internacionales. UDLA. Período 2018-2 ............................................ 105
Fotografía 4: Fecha: lunes 13 al viernes 17 de mayo 2018, Grupo 4, carrera en
Negocios Internacionales. UDLA. Período 2018-2 ........................................... 105
Fotografía 5: Fecha: lunes 13 al viernes 17 de mayo 2018, Grupo 4, carrera en
Negocios Internacionales. UDLA. Período 2018-2 ............................................ 106
Fotografía 6: Fecha: lunes 04 al viernes 08 de junio 2018, Grupo 5, carrera en
Negocios Internacionales. UDLA. Período 2018-2 ............................................ 106
Fotografía 7: Fecha: lunes 04 al viernes 08 de junio 2018, Grupo 5, carrera en
Negocios Internacionales. UDLA. Período 2018-2 ............................................ 107
Fotografía 8: Fecha: lunes 25 al viernes 29 de junio 2018, Grupo 6, carrera en
Negocios Internacionales. UDLA. Período 2018-2 ............................................ 107
Fotografía 9: Fecha: lunes 25 al viernes 29 de junio 2018, Grupo 6, carrera en
Negocios Internacionales. UDLA. Período 2018-2 ............................................ 108
xii
LISTA DE ANEXOS
pág.
ANEXO A: MEDICIÓN DEL GRADO DE SATISFACCIÓN ............................ 72
ANEXO B: SÍLABO DE LA MATERIA ............................................................. 76
ANEXO C: EVALUACIÓN DIAGNÓSTICA ..................................................... 97
ANEXO D: RÚBRICAS DE EVALUACIÓN ...................................................... 98
ANEXO E: PRUEBAS DE TRABAJO EN GRUPO ......................................... 104
ANEXO F: PLANIFICACIÓN DE CLASE 1 – METODOLOGÍA ABP .......... 109
ANEXO G: BIOGRAFÍA DEL AUTOR ............................................................. 112
xiii
TEMA: Propuesta de actividades mediante la metodología ABP para la
conceptualización del cálculo integral.
Autor: Dr. Adrian Santiago Aguinaga Romero
Tutor: Dr. Danilo Gortaire Játiva, PH.D.
RESUMEN
El presente trabajo tiene por objetivo el buscar una metodología de enseñanza-
aprendizaje del cálculo a través de un modelo que ha sido probado por años en
otras universidades del mundo y que se ha visto ha dado buenos resultados, claro
está, este es un proceso no de un semestre, sino de muchos años de trabajo. Los
especialistas indican que el cálculo puede ser enseñado de una manera más
participativa y proactiva y considero que a través del Aprendizaje Basado en
Problemas, donde el estudiante es el actor principal de su manera de aprender y el
deseo de saber y conocer más, será posible dar lugar a un proceso en el cual el
estudiante dará el realce a su manera de aprender y asimilar el conocimiento en el
grado que se vea motivado a hacerlo.
Estará dispuesto a desarrollar nuevas habilidades y destrezas que le permitirán
disfrutar del proceso de aprendizaje participativo en el cual saben que pueden ser
apoyados por docentes que están preparados para solventar cualquier tipo de duda
que se presente y a través del compartir de sus conocimientos, podrán también
crecer en su manera de percibir la matemática y por qué no, de estos estudiantes
sacar los nuevos docentes que realizarán una tarea más valiosa en cuanto al sentir
agrado y amor por aprender una ciencia tan importante y valiosa como es la
matemática, y en especial una de las preciosas ramas de ella que es el Cálculo.
Este es un proceso implementado en estudiantes del tercer semestre de Comercio
Exterior de la Universidad de las Américas, en horario nocturno (18:50 – 19:50)
con un grupo asignado por la universidad, lo cual permite conocer a un grupo
heterogéneo en conocimientos y en sentimientos hacia la materia, pues inclusive
entre los estudiantes se encuentran chicas y chicos repetidores, que vienen con una
carga sobre ellos por la necesidad de aprobar, que es lo que a veces es más
importante que aprender en sí.
PALABRAS CLAVE: APRENDIZAJE BASADO EN PROBLEMAS /
COLABORACIÓN PROACTIVA / TRABAJO EN EQUIPO / DOCENTE
COMO TUTOR GUÍA / ANÁLISIS REAL DEL PROBLEMA / GENERACIÓN
Y COMPROBACIÓN DE LA HIPÓTESIS.
xiv
TITLE: Proposal of using teaching activities based on the Problem-Based
Learning (PBL) methodology for the conceptualization of integral calculus.
Autor: Dr. Adrian Santiago Aguinaga Romero
Tutor: Dr. Danilo Gortaire Játiva, PH.D.
ABSTRACT
The objective of this work is to look for a methodology for teaching-learning
integral calculus through a model that has been tested for several years in other
universities around the world and it has had excellent results. Yet, this is a
process, which has not taken one semester to be developed, but many years of
hard work. The specialists in the field hold that calculus can be taught in a more
participative and proactive way. We believe that through the PBL methodology,
where students are the main actors in their own way of learning and their desire to
know and know even more, it will be possible to improve a process for students to
enhance their way of learning and assimilating knowledge up to the extent up to
they are motivated to do so.
Students will be willing to develop new skills and abilities that will allow them to
enjoy the process of collaborative learning in which they know they can be
supported by teachers who are prepared not only to solve any kind of doubt that
arises, but also to share their knowledge. They can also grow in their perception of
mathematics and the possibility to train another generation of teachers who will
perform a more valuable task based on the feeling for learning science that is as
important and valuable as mathematics, being calculus one of its main branch.
The PBL is a process implemented with third-semester students of Foreign Trade
of the Universidad de la Americas, from 18:50 to 19:50. This group was assigned
by the university, and it allows to know a heterogeneous group in knowledge and
in attitudes towards this subject. Such group is made of students of both genders
who are repeating the level and who have a big responsibility on their shoulders
since they need to pass the level; this indeed is what it matters the most rather than
the fact of learning the subject.
.
KEYWORDS: PROBLEM-BASED LEARNING / PROACTIVE
COLLABORATION / TEAMWORK / TEACHER AS TUTOR / REAL
ANALYSIS OF THE PROBLEM / GENERATION AND VERIFICATION OF
THE HYPOTHESIS.
1
PROPUESTA DE ACTIVIDADES MEDIANTE LA METODOLOGÍA ABP
PARA LA CONCEPTUALIZACIÓN DEL CÁLCULO INTEGRAL.
Introducción
De acuerdo al trabajo realizado por el Centro Virtual de Técnicas Didácticas del
Tecnológico de Monterrey, en su artículo “Investigación e Innovación Educativa”
en el año 2010
(http://sitios.itesm.mx/va/dide2/tecnicas_didacticas/abp/historia.htm), señala que:
Lo anteriormente expuesto, es corroborado por un estudio realizado por la Red de
Innovación Docente en ABP del ICE de la Universidad de Girona, en su artículo
“El ABP: origen, modelos y técnicas afines”, publicada en la revista Aula de
innovación Educativa, número 216, pp. 14-18 en noviembre de 2012
(http://web2.udg.edu/ice/doc/xids/aula_educativa_1.pdf), donde además señala
que, “en 1965, John Evans, decano fundador de la Escuela de Medicina, lideró
durante 7 años a un grupo de médicos identificados con la investigación y con un
perfil como educadores”. De esta manera es como nace un proyecto en el cual se
establecen técnicas de estudio fuera de lo común.
La metodología fue implementada con el afán de mejorar la educación de la
medicina, intentando modificar las exposiciones magistrales de los maestros, a
una en la cual exista una mayor participación del estudiante, aplicando problemas
de la vida cotidiana en esta rama de la ciencia, buscando que cada uno de los
estudiantes pudiera aportar con soluciones adecuadas a los problemas planteados.
Se puede observar que la metodología dio tan buen resultado que poco tiempo
después, las escuelas de medicina de las Universidades Limburg, en Maastricht
(Holanda), la Universidad de Newcastle (Australia) y la Universidad de Nuevo
México (Estados Unidos); adoptaran el modelo implementado en McMaster.
Es importante señalar que el doctor Barrows apoyado por Ann Kelson, han
realizado varias investigaciones para mejorar aún más el método ABP, y formaron
un equipo de docentes especializados en esta metodología, de manera que pueden
2
brindar apoyo a docentes e instituciones educativas que requieran implementar
este tipo de metodología en su labor educativa en cualquiera de las áreas de la
ciencia.
Algunos investigadores, consideran que esta metodología ABP, “está basada en el
Método Dialéctico que es atribuido a Sócrates, la Dialéctica Hegeliana de la tesis-
antítesis y síntesis; y, las propuestas pedagógicas de John Dewey”.
Es casi una afirmación certera poder decir que el ABP es una técnica didáctica que
está siendo implementada en algunas instituciones de educación superior, y es
utilizada como una estrategia para cumplir con el plan de estudios de una carrera
profesional; o, como fue en el caso de este trabajo de investigación, el cual se
presenta a continuación, como estrategia de trabajo y técnica didáctica, aplicada
en un grupo específico de estudiantes de la Universidad de las Américas donde se
lo implementó.
El contenido teórico de este proyecto, que lleva como tema “Propuesta de
actividades mediante la metodología ABP para la conceptualización del Cálculo
Integral”, se lo realiza en base a los tópicos detallados a continuación, de modo
general; y, comentado por capítulos. Todo esto se sustenta en el sílabo de la
materia “Cálculo Integral” correspondiente al Campo de las Ciencias Exactas en
el Área de Matemáticas, del tercer semestre de la carrera de Comercio Exterior
(MAT310); que se imparte en la Universidad de Las Américas, en Quito-Ecuador;
el cual se adjunta como anexo. La Universidad asignó dos paralelos cuyas siglas
son MAT310-70 (28 estudiantes); y, MAT310-71 (28 estudiantes), con horario
nocturno, el primero de 18h40 a 19h40; y, el segundo de 20h40 a 21h40, a partir
del día lunes 19 de marzo de 2018, hasta el viernes 6 de junio del mismo año;
siendo en total 16 semanas de clase. Es importante señalar que como
semanalmente se tiene un total de tres horas, las mismas fueron utilizadas para el
trabajo de aplicación del método ABP como un aspecto de fundamentación
matemática que permita la enseñanza del Cálculo Integral de una manera
diferente; ya que el tiempo es insuficiente si se lo pretende aplicar en una sola
hora de clase. En total se realizaron seis trabajos con la metodología propuesta.
3
Inicialmente se aplicó una prueba de diagnóstico de conocimientos previos, y
también se realizaron dos encuestas, una sobre hábitos de estudio; y, otra del uso
de las tecnologías de información y comunicación. Se eligió al primer grupo para
la aplicación de la metodología propuesta y el segundo grupo se trabajó de la
forma tradicional. Esto se lo hizo para verificar si la aplicación de una
metodología alternativa para la enseñanza y el aprendizaje del Cálculo Integral
apoyada en el diseño de actividades mediante el Aprendizaje Basado en
Problemas (ABP), lograba incrementar en los estudiantes el grado de satisfacción;
y, mejoraba su rendimiento académico.
Es importante señalar que en la quinta semana se realizó un repaso general de toda
la temática para el primer progreso, que es el examen unificado que se toma en la
Universidad para verificar los conocimientos de los estudiantes, relacionados con
las primeras cinco semanas; lo propio ocurrió en la semana 11, donde se
reforzaron los temas tratados hasta el momento, para rendir la evaluación de
progreso 2; y, en la semana 16, que es la última del semestre, se culminó con el
Capítulo 4; y, se repasó para aplicar el examen final denominado Progreso 3, en el
cual se evaluó toda la materia del semestre.
El contenido teórico de este proyecto será realizado sobre los siguientes temas que
serán expuestos a continuación, de modo general, y a su vez desarrollados en cada
uno de los capítulos.
Una vez desarrollado y finalizado lo correspondiente al Capítulo 1; y, de acuerdo
a lo señalado en el sílabo; en el Capítulo 2, “Derivadas y Antiderivadas”, se
estudiaron las reglas de derivación, el concepto de antiderivada; y, problemas
aplicando valor inicial y antiderivadas.
El Capítulo 3, “Integrales”, trató sobre el Teorema fundamental del Cálculo, la
integral definida, las aplicaciones de la integral definida; como son: el área debajo
de una curva no negativa, área total, área entre curvas e integrales impropias.
Posteriormente, se revisó la introducción a la resolución de problemas dinámicos
(cambios exponenciales), la integral indefinida y técnicas de integración como:
fórmulas básicas de integración, métodos de sustitución, regla de la cadena,
integración por partes, integrales trigonométricas, sustituciones trigonométricas e
4
integración de funciones racionales por medio de descomposición en fracciones
parciales.
El Capítulo 4 fue una aplicación de las Ecuaciones Diferenciales de variables
separables, basado en problemas.
El Capítulo 5 tendrá un compendio de una serie de ejercicios y problemas que se
han desarrollado durante este trabajo de investigación, el cual precisamente
sustenta este trabajo.
En el Capítulo 6 y final, se enunciarán los resultados obtenidos en la evaluación
diagnóstica aplicada al inicio del semestre, se analizarán los resultados parciales
(Progreso 1 y Progreso 2), y la evaluación final (Progreso 3); para luego,
realizando las mediciones adecuadas, obtener los datos que permitirán el análisis
estadístico; para de ésta manera, generar las correspondientes conclusiones y
recomendaciones.
5
CAPÍTULO I
DEFINICIÓN DEL PROBLEMA
1.1 ANTECEDENTES
La Universidad de las Américas, a través de la Escuela de Ciencias Físicas y
Matemáticas, y sus autoridades, han permitió que se realice este trabajo de
investigación en la cátedra MAT-310 que se refiere al Cálculo Integral, asignando
dos paralelos de la misma materia, para que en el uno se aplique la metodología
deseada y en el otro paralelo impartir la enseñanza con la metodología tradicional
y observar los resultados que se puedan obtener de esta investigación.
Se debe mencionar que, al ser el primer semestre en que esta metodología va a ser
aplicada, y tomando en cuenta que es una forma diferente de compartir el
conocimiento, no es posible señalar el desenlace de esta experimentación, pues es
una innovación tanto para los estudiantes, como para el docente, quienes se
deberán adaptar a una nueva metodología y es por esta razón que los trabajos
destinados a fortalecer el método propuesto se los realizarán cada dos semanas,
para verificar que el estudiante comprende la metodología y la aplica
correctamente. Al final se verificarán las hipótesis, de que se obtuvieron los
resultados esperados; se debe señalar que los resultados no serán tomados como
éxito o fracaso.
Este trabajo es un cuasi experimento, por cuanto los estudiantes de cada grupo no
fueron elegidos aleatoriamente, pues los grupos fueron conformados previamente
por la coordinación de la materia.
Es de conocimiento público que, entre los estudiantes, en su gran mayoría, el
escuchar el nombre de la materia “Matemática” y aún más “Cálculo Integral”,
genera en ellos resistencia al aprendizaje de la materia, debido a que siempre han
aprendido a realizar operaciones memorísticas, sin tener claridad de los conceptos,
propiedades y utilidad, así como su aplicación en la resolución de problemas de la
vida diaria; por esta razón se ha generado una gran preocupación por la enseñanza
6
y el aprendizaje de esta ciencia y se buscan metodologías que ayuden a solucionar
este problema.
Existen muchos Congresos a nivel mundial, en los cuales se toma como eje
central el análisis del ¿cómo?, ¿cuándo?, ¿qué?, ¿para qué? y ¿por qué?, se debe
enseñar y aprender la matemática.
Algunos autores como: Alzate Edwin, Montes José. Escobar Robin; en su escrito
“Diseño de actividades mediante la metodología ABP para la enseñanza de la
Matemática”, publicado en octubre de 2013, indican que:
“se deben plantear preguntas tales como: ¿cuál es el proceso mediante el cual
aprenden las Matemáticas los estudiantes?, ¿qué orden jerárquico deben tener
estos conocimientos?, ¿cómo influyen en el resto del conocimiento del estudiante?
y ¿lo que se le está enseñando es sólo el algoritmo matemático para realizar
operaciones o si hay una real preocupación por el desarrollo del pensamiento
matemático?”.
Recalcan además que: “el desarrollo del pensamiento matemático influirá en el
resto de las capacidades del estudiante, razón por la cual se considera de vital
importancia tener claras las respuestas a estas preguntas”.
Patricia Rojas, en su artículo “Aprendizaje basado en Problemas (ABP),
Propuestas Innovadoras para la Enseñanza del Cálculo Diferencial e Integral”,
publicado en la revista PBL 2010, International Conference; Sao Paulo, Brasil,
Febrero 2010, pp 8-12, en su resumen señala que:
“El aprendizaje basado en problemas ABP es uno de los métodos de enseñanza
que ha tomado más arraigo en las Instituciones de Educación Superior en los
últimos años, es un método que es posible utilizar en la mayor parte de las
disciplinas y si lo observamos como una técnica didáctica, al ser utilizado en
combinación con otras técnicas se predice un mejor aprendizaje”.
7
1.2 FORMULACIÓN DEL PROBLEMA
¿Existe una relación causal entre la aplicación de la metodología de Aprendizaje
Basado en Problemas (ABP), y el rendimiento académico, y grado de satisfacción
del estudiante universitario, en el aprendizaje del Cálculo Integral?
1.3 JUSTIFICACIÓN E IMPORTANCIA
En las instituciones de educación media, los docentes no le atribuyen al Cálculo
Diferencial e Integral la importancia que tiene, en vista de que en el examen SER
BACHILLER, que es un examen que permite al estudiante de nivel medio optar
por el ingreso a las universidades públicas, no contempla esta parte de la
Matemática, dejando relegados estos contenidos, que dentro de las universidades
son de gran importancia, lo cual provoca niveles de conocimiento deficientes. El
estudio del Cálculo es indispensable, pues, los últimos adelantos tecnológicos y
científicos, están precedidos por avances de esta parte de la Matemática, pues se
requieren de grandes conceptos matemáticos, para poder permitir la resolución de
diversos problemas relacionados con casi todas las áreas del conocimiento y que
no se lo puede lograr con la aplicación de una Matemática convencional.
Es por esta causa que, al proponer la aplicación de una metodología alternativa
para el aprendizaje del Cálculo Integral, apoyado en la resolución de problemas
mediante la metodología ABP, se pretende sugerir otras formas de analizar los
contenidos de la asignatura, de una manera práctica y motivadora.
1.4 OBJETIVOS
1.4.1 OBJETIVO GENERAL
Proponer una metodología alternativa para la enseñanza y el aprendizaje del
Cálculo Integral apoyada en el diseño de actividades mediante la metodología de
Aprendizaje Basado en Problemas (ABP), para incrementar en los estudiantes el
grado de satisfacción y su rendimiento académico.
8
1.4.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS
1. Identificar los pasos a seguir para aplicar la metodología de Aprendizaje
Basada en Problemas (ABP).
2. Analizar los conceptos y teoremas básicos del Cálculo Diferencial como un
fundamento para el estudio del Cálculo Integral.
3. Especificar los conceptos, teoremas y técnicas del Cálculo Integral.
4. Definir los conceptos básicos de las Ecuaciones Diferenciales.
5. Definir los conceptos básicos de las Ecuaciones Diferenciales.
9
CAPÍTULO II
DERIVADAS Y ANTIDERIVADAS
Es importante saber reconocer que desde el nivel de bachillerato en lo referente a
la enseñanza de materias como: Geometría, Trigonometría, Estadística y el
Cálculo en general, en los últimos años se le ha dado un pequeño nivel de
importancia en su enseñanza. El Ministerio de Educación está pretendiendo
implementar un plan de estudios que permita la enseñanza de dichas ciencias, que
forman parte de la matemática, sin embargo, se puede verificar que en el examen
SER BACHILLER no se los toma en cuenta aún. En este trabajo, se analizará, la
parte relacionada con el Cálculo Integral.
La doctora Pilar Turégano Moratalla, especialista en la didáctica de la matemática,
señala que: “La adquisición por parte del estudiante del concepto de integral es un
proceso lento cuyo aprendizaje se debe extender a lo largo de la Educación
Secundaria Obligatoria y Bachillerato para pasar a la formalización en la
Enseñanza Universitaria”.
Como se puede observar, ya son varios los años en los cuales se pretende dar un
mayor énfasis a la enseñanza del Cálculo, no sólo a nivel universitario, sino
inclusive a nivel del bachillerato, donde los estudiantes deben ya tener un
conocimiento básico bien fundamentado para que, cuando lleguen a la universidad
no sufran con la falta de bases y conocimientos que por lo general llevan al
estudiante a abandonar sus estudios “por culpa de la matemática”.
Los catedráticos Obando y Muñera en su investigación “Las situaciones
problemas como estrategia para la conceptualización matemática”, señalan que:
“Una situación problema la podemos interpretar como un contexto de
participación colectiva para el aprendizaje, en el que los estudiantes, al interactuar
entre ellos mismos, y con el profesor, a través del objeto de conocimiento,
dinamizan su actividad matemática, generando procesos conducentes a la
construcción de nuevos conocimientos. Así, ella debe permitir la acción, la
10
exploración, la sistematización, la confrontación, el debate, la evaluación, la
autoevaluación, la heteroevaluación”.
Adicionalmente a esto, y tomando en cuenta lo que los autores Moreno y Waldegg
indican con respecto, en la misma revista, a lo que para ellos es una situación
problema, señalan que es el detonador de la actividad cognitiva, en la que, para
que tenga un verdadero éxito, se deben tomar en cuenta las siguientes
características como fundamentales: “Debe involucrar implícitamente los
conceptos que se van a aprender, debe representar un verdadero problema para el
estudiante, pero a la vez debe ser accesible a él; y, debe permitir al alumno utilizar
conocimientos anteriores”.
Se puede verificar entonces que lo que se pretende al aplicar esta metodología en
la Universidad de las Américas, es permitir al estudiante que despliegue sus
conocimientos matemáticos a través de un diálogo entre la parte de la exploración
y la sistematización, pretendiendo que desarrolle una forma autónoma de generar
hipótesis, que las valore y evalúe para ver si son o no válidas, y de no ser así que
las vuelva a formular. Lo importante es que el estudiante maneje de la mejor
manera posible los conceptos matemáticos presentes en cada situación
problémica, que obtenga de ellos la mayor cantidad de datos, que recurra a todo su
conocimiento anterior y presente, y recorra el camino de una actividad científica
matemática, que desarrolle su autonomía intelectual y se sienta satisfecho de saber
que en realidad la matemática y en especial el Cálculo, es una herramienta que
facilitará su vida si la toman de una manera correcta y sin temor.
En este sentido, Guy Brousseau expresa:
“El trabajo intelectual del alumno debe por momentos ser comparable a esta
actividad científica. Saber matemáticas no es solamente aprender definiciones y
teoremas para reconocer la ocasión de utilizarlas y aplicarlas; sabemos bien que
hacer matemáticas implica que uno se ocupe de problemas, pero a veces se olvida
que al resolver un problema no es más que parte del trabajo; encontrar buenas
preguntas es tan importante como encontrarles solución. Una buena reproducción
por parte del alumno de una actividad científica exigirá que él actúe, formule,
observe, construya modelos, lenguajes, conceptos, teorías, que los intercambie
11
con otros, que reconozca las que están conformes con la cultura, que tome las que
le son útiles.”.
Es muy importante también reconocer lo que indica el especialista Chamorro, que
expresa que la homogenización del tiempo en el proceso de aprendizaje, carece de
sentido por cuanto, “el tiempo de aprendizaje corresponde al ritmo real del
individuo que aprende, es característico de cada individuo y se sabe que no es
continuo. Es decir, el tiempo de aprendizaje implica avances y retrocesos, que
dependen, entre otras cosas, de las retroacciones”.
Como ya se había analizado anteriormente, el ABP es una propuesta didáctica que
aparece en la Universidad de McMaster, en Canadá hace 35 años
aproximadamente. Durante todo este tiempo se ha mantenido el esquema básico
de los pasos que sigue o la forma de aplicar de este método. Para tener una mejor
comprensión del algoritmo a seguir por este método, se utilizará el de los nueve
eventos del ABP, de la Academia de Matemáticas y Ciencias de Illinois (2001),
que textualmente se cita a continuación.
Preparar a los estudiantes para el ABP. Es un paso opcional, en el que se
recuerda a los estudiantes el método y se les hace inducción para iniciar el
proceso.
Presentar el problema.
Traer a cuento lo que se sabe sobre el asunto y establecer lo que se
requiere saber para enfrentarlo mejor.
Definir bien el planteamiento del problema.
Recoger y compartir información pertinente.
Generar soluciones posibles.
Evaluar las soluciones tentativas aportadas.
Evaluar el desempeño en el proceso.
Resumir la experiencia alcanzada al tratar el problema.
Estos son los pasos que se realizan en los tiempos que se dispusieron y
establecieron acorde a lo expresado en el capítulo 1 de este trabajo. A
continuación, se desarrollan los temas tratados en clase basados en el sílabo de la
materia, pero aplicando cada dos semanas la metodología elegida. Las horas clase
12
son tres por semana (lunes-miércoles-viernes 1 hora diaria), por lo que cada
trabajo se toma la semana completa y se evalúa dentro del horario de clase.
Se debe indicar que, al cumplirse la segunda semana de clases, se realiza el
primer trabajo aplicando ABP, el mismo que se lo describe en el capítulo
correspondiente.
2.1 REGLAS DE DIFERENCIACIÓN
Para comenzar se toma en cuenta las siguientes definiciones que son importantes
y primordiales para comprender mejor los conceptos posteriores. Esto se lo realiza
luego de analizar los contenidos de varios autores referentes a la materia.
“Incrementos: el incremento ∆𝑥 de una variable x es el aumento o disminución
que experimenta, desde un valor 𝑥 = 𝑥0 a otro 𝑥 = 𝑥1de su campo de variación.
Así, pues, ∆𝑥 = 𝑥1 − 𝑥0, o bien 𝑥1 = 𝑥0 + ∆𝑥.
Si se da un incremento ∆𝑥 a la variable x, (es decir si x pasa, de 𝑥 = 𝑥0 a 𝑥 =𝑥0 + ∆𝑥), el valor de la función f definida por 𝑦 = 𝑓(𝑥) se verá incrementado en
∆𝑦 = 𝑓(𝑥0 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥0), a partir del valor 𝑦 = 𝑓(𝑥0). El cociente ∆𝑦
∆𝑥=
𝑖𝑛𝑐𝑟𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑦
𝑖𝑛𝑐𝑟𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑥, recibe el nombre de cociente medio de incrementos de la función,
en el intervalo comprendido entre 𝑥 = 𝑥0 hasta 𝑥 = 𝑥0 + ∆𝑥.”
El otro concepto se basa en el término derivada, y señala que “la derivada de
una
función 𝑦 = 𝑓(𝑥) con respecto a x en un punto 𝑥 = 𝑥0, se define por el límite:
lim∆𝑥→0
∆𝑦
∆𝑥= lim
∆𝑥→0
𝑓(𝑥0+∆𝑥)−𝑓(𝑥0)
∆𝑥, siempre que exista. Este límite se denomina
también cociente instantáneo de incrementos (o simplemente cociente de
incrementos) de y con respecto a x en el punto 𝑥 = 𝑥0”.
Se ha señalado, en las líneas anteriores, que el límite, siempre que exista…, esto
define la continuidad de una función. De tal manera que si se puede definir el
concepto de límite a través de su teorema fundamental que indica que: “El límite
de f(x) cuando 𝑥 → 𝑥0, es igual a L, sí y sólo sí, para todo número real 휀 > 0,
existe un número real 𝛿 > 0, tal que si la distancia entre 𝑥 𝑦 𝑥0 es menor que 𝛿,
entonces la distancia entre la imagen de x y L es menor que 휀.”
∀휀 > 0, ∃𝛿 > 0 tal que, ∀𝑥 ∈ 𝐼 se cumple 0 < |𝑥 − 𝑎| < 𝛿 → |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 휀.
13
Esta definición requiere de un amplio nivel de abstracción, así que, en palabras
más comprensibles, lo que quiere decir simplemente es que: cuando el valor de x
se aproxima indefinidamente al punto a, el valor de la función se aproxima
indefinidamente a L.
Es también importante aclarar que, si los límites laterales de la función son
iguales, entonces el límite de la función en ese punto existe. Es decir:
lim𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) = lim𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) = lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿. Lo que quiere decir que la función tiene
límite en este punto, luego de esto se puede definir el concepto de función
continua en un punto como a continuación se indica: “Sea f una función definida
en un intervalo abierto 𝐼 ⊂ ℝ y sea un punto 𝑎 ∈ 𝐼. Se dice que la función f es
continua en a si se cumple que el límite de dicha función en ese punto existe y es
igual a f(a), en otras palabras, si se cumple que: lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎).
Otro teorema muy importante que se debe tomar en cuenta para las derivadas es el
teorema del valor medio (TVM), ya que las aplicaciones que tiene este teorema
están prácticamente en todas las áreas de la ciencia.
El teorema que se menciona trata lo siguiente: “Si f es una función de variable real
continua en el intervalo [𝑎, 𝑏] y derivable en el intervalo ]𝑎, 𝑏[; entonces existe un
valor 𝐜 ∈ ]a, b[ tal que: 𝑓′(𝑐) =𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎)
𝑏−𝑎.”
En base al teorema mencionado anteriormente se puede demostrar que:
1. Si f^' (x)<0 entonces f es decreciente en el intervalo abierto.
2. Si f^' (x)>0 entonces f es creciente en el intervalo abierto.
3. Si f^' (x)=0 entonces f es un valor constante real en el intervalo abierto.
La derivada tiene aplicaciones importantes en la física como por ejemplo para
calcular la velocidad media, donde su fórmula de aplicación es
vm(t)=∆e/∆t=(f(t+∆t)-f(t))/∆t; también para calcular la velocidad instantánea
como v(t)=lim┬(∆t→0) 〖∆e/∆t=lim┬∆t 〖(f(t+∆t)-f(t))/∆t〗=de/dt〗.
Así también se puede calcular la aceleración instantánea que es la derivada de la
velocidad instantánea o también la segunda derivada del desplazamiento.
14
Dentro de la geometría, se conoce que la derivada es el valor de la pendiente de la
recta tangente a una curva en un punto dado.
A continuación, y de acuerdo al texto base que se usa en la Universidad de Las
Américas, Thomas, Cálculo Una Variable en su décimo tercera edición, entre sus
páginas 118 a 141; se pueden observar las siguientes reglas:
2.1.1 Derivada de una función constante:
Si para todo 𝑥 ∈ 𝑅, 𝑓(𝑥) = 𝑐, donde c es una constante, entonces, 𝑑𝑓
𝑑𝑥=
𝑑
𝑑𝑥(𝑐) = 0.
2.1.2 Regla de la potencia: 𝑑
𝑑𝑥𝑥𝑛 = 𝑛𝑥𝑛−1,
Para toda x donde las potencias 𝑥𝑛 𝑦 𝑥𝑛−1 están definidas; donde n es
cualquier número real, excepto el -1. Se aclara que si n = 0 entonces se
habla de la derivada de una función constante, pues todo número,
excepto el cero, elevado a potencia cero es 1; y este es un valor
constante.
2.1.3 Regla de la derivada de una constante por una función:
Si u es una función derivable de x, y c es una constante, entonces: 𝑑
𝑑𝑥(𝑐𝑥𝑛) = 𝑐𝑛𝑥𝑛−1. Se vuelve a señalar que 𝑛 ∈ 𝑅 − {0; −1}.
2.1.4 Regla de la derivada de una suma:
Si u y v son funciones derivables de x, entonces, su suma u + v es
derivable en todo punto donde tanto u como v sean derivables. En tales
puntos, 𝑑
𝑑𝑥(𝑢 + 𝑣) =
𝑑𝑢
𝑑𝑥+
𝑑𝑣
𝑑𝑥.
2.1.5 Regla de la derivada de un producto:
Si u y v son derivables en x, entonces, también lo es su producto uv, y 𝑑
𝑑𝑥(𝑢𝑣) = 𝑢
𝑑𝑣
𝑑𝑥+ 𝑣
𝑑𝑢
𝑑𝑥.
2.1.6 Regla de la derivada de un cociente:
Si u y v son derivables en x, y si 𝑣(𝑥) ≠ 0, entonces, el cociente 𝑢
𝑣 es
derivable en x, y,
𝑑
𝑑𝑥(
𝑢
𝑣) =
𝑣𝑑𝑢
𝑑𝑥−𝑢
𝑑𝑣
𝑑𝑥
𝑣2.
2.1.7 Segundas derivadas y derivadas de orden superior:
El texto de Thomas expresa lo siguiente:
“Si 𝑦 = 𝑓(𝑥) es una función derivable, entonces, su derivada 𝑓´(𝑥)
también es una función. Si 𝑓´ también es derivable, podemos derivar 𝑓´
para obtener una nueva función de x denotada con 𝑓´´. Así, 𝑓´´ = (𝑓´)´.
La función f´´ se conoce como la segunda derivada de f porque es la
15
derivada de la primera derivada. Esto se representa de distintas
maneras:
𝑓´´(𝑥) =𝑑2𝑦
𝑑𝑥2 =𝑑
𝑑𝑥(
𝑑𝑦
𝑑𝑥) =
𝑑𝑦´
𝑑𝑥= 𝑦´´ = 𝐷2(𝑓)(𝑥) = 𝐷𝑥
2𝑓(𝑥).”.
Si se puede continuar derivando, sucesivamente, se obtienen derivadas
de orden superior que de manera general se expresa así:
𝑦(𝑛) =𝑑
𝑑𝑥𝑦(𝑛−1) =
𝑑𝑛𝑦
𝑑𝑥𝑛 = 𝐷𝑛𝑦.
2.1.8 Derivada de la función seno:
La derivada de la función seno es la función coseno: 𝑑
𝑑𝑥(𝑠𝑒𝑛𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑥.
2.1.9 Derivada de la función coseno:
La derivada de la función coseno es el negativo de la función seno: 𝑑
𝑑𝑥(𝑐𝑜𝑠𝑥) = −𝑠𝑒𝑛𝑥.
2.1.10 Otras derivadas trigonométricas: 𝑑
𝑑𝑥(𝑡𝑎𝑛𝑥) = 𝑠𝑒𝑐2𝑥.
𝑑
𝑑𝑥(𝑐𝑜𝑡𝑥) = −𝑐𝑠𝑐2𝑥.
𝑑
𝑑𝑥(𝑠𝑒𝑐𝑥) = 𝑠𝑒𝑐𝑥𝑡𝑎𝑛𝑥.
𝑑
𝑑𝑥(𝑐𝑠𝑐𝑥) = −𝑐𝑠𝑐𝑥𝑐𝑜𝑡𝑥.
2.1.11 Otras derivadas importantes:
Regla de la cadena: 𝑑
𝑑𝑥(𝑓(𝑔(𝑥))) = 𝑓´(𝑔(𝑥)) × 𝑔´(𝑥)
Funciones exponenciales y logarítmicas: 𝑑
𝑑𝑥𝑒𝑥 = 𝑒𝑥.
𝑑
𝑑𝑥𝑎𝑥 = 𝑎𝑥𝑙𝑛𝑎.
𝑑
𝑑𝑥𝑙𝑛𝑥 =
1
𝑥.
𝑑
𝑑𝑥(log𝑎 𝑥) =
1
𝑥𝑙𝑛𝑎.
2.2 ANTIDERIVADAS
Si a partir de una función f se deseara obtener otra función F cuya derivada es f; y
si tal función F existe, esta se conoce como la antiderivada de f. Por lo tanto, su
definición dice así: “Una función F es una antiderivada de f en un intervalo I si
F´(x) = f(x) para toda x en I”. El proceso de recuperación de una función F(x) a
partir de su derivada f(x) se conoce como anti diferenciación. Para denotar dichas
funciones se utilizan letras mayúsculas.
16
Tomando un par de ejemplos relacionado con lo mencionado anteriormente, se
puede determinar lo siguiente:
1. Obtener la antiderivada de 𝑓(𝑥) = 6𝑥. La respuesta se puede verificar
recordando de dónde pudo haber llegado esta función al derivar; por
ejemplo: F(x) = 3x2: porque si realizamos la derivada de 3x2 nos da como
resultado 6x; es decir, F´(x) = f(x).
2. Obtener la antiderivada de g(x) = cos(x). La respuesta se puede verificar
recordando que la función al derivar es G(x) = sen(x), pues su derivada es
cos x, así se verifica que G´(x) = g(x).
Las siguientes tablas son de gran importancia para tener en cuenta algunas
antiderivadas básicas.
Tabla 1: Fórmulas de antiderivadas, con k como una constante diferente de cero, tomada de la página
234 Capítulo 4: Aplicaciones de las derivadas Cálculo Una Variable Thomas Décimo tercera edición
Elaborado por: Dr. Adrian Aguinaga.
17
Tabla 2: Reglas de linealidad de antiderivadas, tomada de la página 234 Capítulo 4: Aplicaciones de las
derivadas Cálculo Una Variable Thomas Décimo tercera edición
Elaborado por: Dr. Adrian Aguinaga.
A continuación, y a partir de la definición de derivada se demuestran dos leyes
tomadas de la Tabla 1.
1. Si 𝐹(𝑥) =1
𝑛+1𝑥𝑛+1 se calcula la derivada para poder demostrar que
𝐹´(𝑥) = 𝑓(𝑥).
𝐹´(𝑥) = limℎ→0
𝐹(𝑥 + ℎ) − 𝐹(𝑥)
ℎ= lim
ℎ→0
(𝑥 + ℎ)𝑛+1
𝑛 + 1 −𝑥𝑛+1
𝑛 + 1ℎ
=1
𝑛 + 1limℎ→0
(𝑥 + ℎ)𝑛+1 − 𝑥𝑛+1
ℎ
=1
𝑛 + 1limℎ→0
[(𝑥 + ℎ) − 𝑥][(𝑥 + ℎ)𝑛 + (𝑥 + ℎ)𝑛−1𝑥 + (𝑥 + ℎ)𝑛−2𝑥2 + ⋯ + (𝑥 + ℎ)𝑥𝑛−1 + 𝑥𝑛]
ℎ
Operando el primer corchete se tiene:
=1
𝑛 + 1limℎ→0
ℎ[(𝑥 + ℎ)𝑛 + (𝑥 + ℎ)𝑛−1𝑥 + (𝑥 + ℎ)𝑛−2𝑥2 + ⋯ + (𝑥 + ℎ)𝑥𝑛−1 + 𝑥𝑛]
ℎ
18
Simplificando se tiene:
=1
𝑛 + 1limℎ→0
[(𝑥 + ℎ)𝑛 + (𝑥 + ℎ)𝑛−1𝑥 + (𝑥 + ℎ)𝑛−2𝑥2 + ⋯ + (𝑥 + ℎ)𝑥𝑛−1
+ 𝑥𝑛]
Se tienen (n + 1) términos; y aplicamos el límite:
=1
𝑛 + 1[𝑥𝑛 + 𝑥𝑛−1𝑥 + 𝑥𝑛−2𝑥2 + ⋯ + 𝑥𝑥𝑛−1 + 𝑥𝑛]
Aplicando la ley de exponentes, y se insiste en que se tienen (n + 1) términos:
=1
𝑛 + 1[𝑥𝑛 + 𝑥𝑛 + 𝑥𝑛 + ⋯ + 𝑥𝑛 + 𝑥𝑛]
Tenemos (n + 1) términos, entonces:
(𝑛 + 1)𝑥𝑛
𝑛 + 1
Simplificando el resultado final es: 𝑥𝑛.
Con lo que queda demostrado que al tener la función F(x) y derivar, obtenemos
f(x).
2. Una segunda demostración será la siguiente:
Sea 𝐹(𝑥) =1
𝑘𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑥) + 𝐶, demostrar que 𝑓(𝑥) = cos (𝑘𝑥).
𝐹¨(𝑥) =𝑑𝐹
𝑑𝑥=
1
𝑘limℎ→0
𝑠𝑒𝑛[𝑘(𝑥 + ℎ)] − 𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑥)
ℎ
1
𝑘limℎ→0
𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑥 + 𝑘ℎ) − 𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑥)
ℎ
1
𝑘limℎ→0
2𝑠𝑒𝑛 (𝑘𝑥 + 𝑘ℎ − 𝑘𝑥
2 ) cos (𝑘𝑥 + 𝑘ℎ + 𝑘𝑥
2 )
ℎ
2
𝑘lim
1
ℎℎ→0
𝑠𝑒𝑛 (𝑘ℎ
2) 𝑐𝑜𝑠 (𝑘𝑥 +
𝑘ℎ
2)
19
Aplicando la propiedad conmutativa y enviando 2
𝑘 𝑦
1
ℎ bajo la función seno,
queda:
limℎ→0
[𝑐𝑜𝑠 (𝑘𝑥 +𝑘ℎ
2) 𝑠𝑒𝑛
(𝑘ℎ2 )
𝑘ℎ2
]
Aplicando la propiedad del límite de un producto se tiene:
[limℎ→0
𝑐𝑜𝑠 (𝑘𝑥 +𝑘ℎ
2) × lim
ℎ→0
𝑠𝑒𝑛 (𝑘ℎ2 )
𝑘ℎ2
]
Aplicando el límite en el segundo factor, se tiene:
[limℎ→0
𝑐𝑜𝑠 (𝑘𝑥 +𝑘ℎ
2)]
Como solución final se tiene:
cos (𝑘𝑥)
Con lo que queda demostrado que la derivada de F(x) es igual a f(x).
2.3 PROBLEMAS DE VALOR INICIAL Y ECUACIONES
DIFERENCIALES
El estudio de las antiderivadas ha permitido observar que se pueden cubrir varios
aspectos, tales como aplicaciones físicas; como para calcular velocidad y
desplazamiento, dada la aceleración del cuerpo. En economía y en finanzas,
cuando se tiene como datos los costos marginales o ingresos marginales y se
desean conocer los costos e ingresos totales.
Para ello se debe tener muy claro que: la antiderivada, también conocida como
función primitiva, es la función que resulta del proceso inverso de la derivación;
es decir, consiste en encontrar una función que, al ser derivada produce la función
dada, y satisface la ecuación: 𝑑𝑦
𝑑𝑥= 𝑓(𝑥).
La ecuación antes mencionada se la conoce como ecuación diferencial, ya que
representa a una función desconocida y que se está derivado; y que para resolverla
20
se necesita una función y(x) que satisfaga la ecuación. Esta función buscada se la
consigue a través de la antiderivada de f(x), y fijando una constante arbitraria que
es propia del proceso de antidiferenciación, especificando una condición inicial;
𝑦(𝑥0) = 𝑦0.
La condición antes señalada se la puede interpretar de la siguiente manera, la
función y(x) tiene el valor y0 cuando la variable x toma el valor de x0. Esta
condición inicial combinada con una ecuación diferencial se llama problema con
valor inicial.
A continuación, se citará un ejemplo:
Obtenga una antiderivada de f(x) = 3x2 que satisfaga que F (1) = -1.
𝑑𝑦
𝑑𝑥= 3𝑥2
𝑑𝑦 = 3𝑥2𝑑𝑥
∫ 𝑑𝑦 = ∫ 3𝑥2𝑑𝑥
𝑦 = 3𝑥3
3+ 𝐶
Recordemos que y = F(x), por lo tanto:
𝐹(𝑥) = 𝑥3 + 𝐶
Ahora buscamos satisfacer la condición inicial que indica que F (1) = -1,
entonces:
−1 = (1)3 + 𝐶
−1 = 1 + 𝐶
−1 − 1 = 𝐶
𝐶 = −2
Por lo que la antiderivada F está dada por: 𝐹(𝑥) = 𝑥3 − 2, y satisface F (1) = -1.
Esta antiderivada toma el nombre de antiderivada específica.
21
2.4 EJERCICIOS VARIOS
Basado en el sílabo de la materia otorgado por el departamento de matemáticas, se
colocan a continuación algunos de los problemas y ejercicios propuestos a ser
desarrollados en las horas de clase, según lo planificado; en el capítulo 5 se
colocarán la gran mayoría de ejercicios como refuerzo para este proyecto de
investigación. Fuente: (Thomas 2015)
1. Obtenga las primera y segunda derivadas de:
a. 𝑤 = 3𝑧7 − 7𝑧3 + 21𝑧2.
b. 𝑟 =1
3𝑠2 −5
2𝑠.
2. Aplicando a) la regla del producto, y b) desarrollando el producto; obtenga
la derivada de: 𝑦 = (𝑥2 + 1) (𝑥 + 5 +1
𝑥).
3. Calcule la derivada de las funciones definidas por:
a. 𝑓(𝑡) =𝑡2−1
𝑡2+𝑡−2.
b. 𝑦 = 2 (1
√𝜃+ √𝜃).
4. En cada uno de los siguientes casos, obtenga las primera y segunda
derivadas de:
a. 𝑤 = (1+3𝑧
3𝑧) (3 − 𝑧).
b. 𝑝 = (𝑞2+3
12𝑞) (
𝑞4−1
𝑞3).
22
5. Obtenga las ecuaciones de las rectas tangentes de la serpentina de Newton
(graficada a continuación), en el origen y en el punto (1; 2). Su ecuación
es: 𝑦 =4𝑥
𝑥2+1.
6. Presión en un cilindro. Si un gas en un cilindro se mantiene a temperatura
constante T, la presión P se relaciona con el volumen V mediante la
fórmula:
𝑃 =𝑛𝑅𝑇
𝑉−𝑛𝑏−
𝑎𝑛2
𝑉2 ,
Donde a, b, n y R son constantes. Obtenga 𝑑𝑃
𝑑𝑉. (Vea la siguiente figura).
7. En los siguientes ejercicios, obtenga una antiderivada para cada función f
definida como se indica. Verifique sus respuestas mediante diferenciación.
a. 𝑓(𝑥) = 𝑥7 − 6𝑥 + 8
b. 𝑓(𝑥) =𝑥−3
2+ 𝑥2
c. 𝑓(𝑥) =1
2√𝑥
d. 𝑓(𝑥) = √𝑥3
+1
√𝑥3
e. 𝑓(𝑥) = 𝑥√3
f. 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝜋𝑥
2+ 𝜋𝑐𝑜𝑠𝑥
g. 𝑓(𝑥) = 4𝑠𝑒𝑐3𝑥𝑡𝑎𝑛3𝑥
23
8. Determine si la siguiente fórmula es verdadera o falsa, explique
brevemente la razón de su respuesta.
∫ 𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥𝑑𝑥 =𝑥2
2𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝐶
9. ¿Cuál de las siguientes gráficas muestra la solución del problema con
valor inicial, 𝑑𝑦
𝑑𝑥= 2𝑥, y=4 cuando x = 1?
10. Resuelva:
𝑑𝑦
𝑑𝑥= 9𝑥2 − 4𝑥 + 5; 𝑦(−1) = 0.
11. Obtenga la curva 𝑦 = 𝑓(𝑥) en el plano xy que pasa por el punto (9; 4) y
cuya pendiente en todo punto es 3√𝑥.
24
CAPÍTULO III
INTEGRACIÓN
Como ya se ha mencionado anteriormente, el Aprendizaje Basado en Problemas
(ABP), es un sistema de aprendizaje que tiene como base fundamental el hecho de
que el estudiante es el centro de dicho aprendizaje, que el docente es un tutor que
guía el proceso de enseñanza-aprendizaje, basándose en casos o problemas que se
dan en escenarios de la vida real, los mismos que se realizan y diseñan de tal
manera que permitan el mejor aprendizaje por parte del estudiante, de una manera
motivadora. Como este método se lo aplica en la Universidad de las Américas en
un paralelo de tercer semestre de Comercio Internacional, entre las 18:30 a 19:30,
se entiende que son estudiantes que además trabajan, por lo que se considera que
son personas adultas que desean aprender y requieren de su título para continuar
progresando en sus lugares de trabajo y además tienen el deseo de tener una mejor
herramienta como base para un mejor desarrollo de sus vidas.
Es muy importante también destacar el hecho de que dentro del método ABP,
existen principios muy importantes que se rescatan de los valores que como seres
humanos debemos tener al trabajar en equipo, que son: la honestidad como
fundamento básico, el respeto al grupo de trabajo y a uno mismo, la apertura de
saber que con quienes se trabaja es el mejor grupo y la confianza de poder
consultar aquello que uno no tiene la suficiente fortaleza para hacerlo.
En 1983, Schmidt describió un proceso de siete pasos que ilustra el ABP, sin
embargo, a continuación, se enumera textualmente esos pasos y algunos más que
se consideran necesarios seguir para un mejor trabajo tanto en grupos pequeños,
como en grupos grandes, y son:
Presentarse ante el grupo (todos los miembros del grupo se presentan).
Definir las normas de trabajo del grupo.
Seleccionar un escenario de aprendizaje (el problema).
25
Definir los términos desconocidos o aquellos conceptos que no aparecen
en el escenario de trabajo (y determinar cuáles de esos temas constituirán
materia de estudio).
Realizar una lluvia de ideas sobre los temas que vienen a la mente al leer
el escenario de estudio.
Organizar estas áreas dentro de una estructura lógica conceptual.
Seleccionar los puntos prioritarios para focalizar la investigación.
Desarrollar un plan de trabajo con preguntas específicas.
Definir las potenciales fuentes de información.
Certificar que todos los integrantes del grupo comprenden y se adhieren al
plan de trabajo.
Evaluar la experiencia de aprendizaje de esa sesión particular.
Es claro especificar que los grupos de trabajo no van a seguir estos pasos de forma
lineal y en el orden especificado, pues en algunas ocasiones se deberá regresar a
alguno de ellos para aclarar todo el proceso que se debe seguir durante la
aplicación del estudio en sí.
Al igual que se describieron los pasos anteriores, es imprescindible definir los
requerimientos necesarios que se deben cumplir para desarrollar de una manera
más óptima con el trabajo de ABP; y son a saber los siguientes:
El ambiente físico concreto, considerando, espacio, muebles, equipos, etc.
Este tiene que ser flexible y modificable con facilidad para adaptarse a la
forma de aprendizaje de los distintos actores del trabajo.
La forma en que está diseñado el currículo, lo que constituye el escenario
educacional. Este debe ser diferente, con cursos integrados, que sean
multidisciplinarios, que trabajen con grupos pequeños y que utilicen
grupos mayores para realizar aclaraciones y también adquirir
conocimiento con esas aclaraciones.
El ambiente de relaciones humanas en que se desarrollan las acciones
pedagógicas; tomando en cuenta que tanto los estudiantes como docentes
deben interactuar como colaboradores, en un ambiente en el cual se
26
desarrollen aquellos valores nombrados anteriormente como son la
honestidad, el respeto, la apertura y la confianza.
El ambiente institucional, entendido como el marco regulador formal, con
sus estructuras y pautas de acción; ya que los sistemas institucionales
deben ilustrar los principios de la práctica del ABP y facilitarla.
Una vez analizado todo lo anterior, es muy importante saber cuál es el rol que
debe desempeñar cada uno de los actores principales de esta metodología de
Aprendizaje Basado en Problemas ABP; siendo los mismos, los estudiantes y los
maestros.
El maestro tutor, debe ser un facilitador y por supuesto como tal debe poseer
ciertas habilidades que le permitirán realizar su trabajo de la mejor manera
posible, entre ellas debe ser:
Una persona que facilite el aprendizaje realizando preguntas abiertas y no
dirigidas, realizando lecturas, guiando al estudiante hacia fuentes de
investigación valederas que le permitan optimizar su tiempo de estudio; y,
modular las relaciones interpersonales de los miembros del grupo.
Una persona que promueva la capacidad de resolución de problemas y el
pensamiento crítico en el grupo.
Una persona que promueva el funcionamiento eficiente del grupo,
asistiéndolo en la definición de metas y en la generación de planes de
trabajo, detectando los problemas al interior del grupo y ayudando a
resolverlos, garantizando la evaluación del proceso del grupo, y sirviendo
como modelo para dar y recibir retroalimentación.
Una persona que promueva el estudio individual de sus estudiantes.
Una persona que coordine la evaluación de desempeño de los estudiantes
en forma individual y en la definición de metas.
Por su parte el estudiante debe cumplir con las siguientes actividades para
que cumpla su rol de manera efectiva:
Ser gestor de su aprendizaje, tendiendo a la adquisición de técnicas de
formación continua.
Buscar, seleccionar y utilizar las fuentes más apropiadas.
27
Pensar críticamente y razonar matemáticamente.
Comportarse de forma adecuada a su labor profesional futura.
Adherir en la práctica a principios éticos y legales.
Trabajar con los demás en un ambiente de cooperación grupal.
Detenerse cuando sea apropiado y proseguir en el tiempo adecuado.
Comunicarse en forma clara y con lenguaje acorde a su profesión tanto en
forma oral como escrita.
Pensar en forma proactiva.
De acuerdo al sílabo, lo estudiado hasta este capítulo del trabajo de investigación,
se han cumplido seis semanas, por lo que se aplicó en la cuarta semana el segundo
trabajo aplicando ABP, el mismo que se lo describe en el capítulo
correspondiente.
A continuación, se describe la temática revisada en las siguientes cuatro semanas,
recordando que en la sexta semana se realiza un repaso general para que los
estudiantes se encuentren preparados para rendir su examen de progreso 1, donde
se evalúa su conocimiento adquirido hasta la quinta semana.
3.1 TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO
Basados en el texto que la Universidad de las Américas fundamenta su enseñanza
del Cálculo, y de acuerdo al sílabo que la materia acuerda, se pueden identificar
dos partes para la enseñanza del Teorema Fundamental del Cálculo.
3.1.1 FUENTE Y ESTRUCTURA DE LA INFORMACIÓN RECIBIDA
Si f es una función integrable en un intervalo finito I, entonces, la integral de
cualquier número finito 𝑎 ∈ 𝐼 a otro número 𝑥 ∈ 𝐼 define una nueva función F
cuyo valor en x es 𝐹(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 (1)𝑥
𝑎.
La variable x es el límite superior de integración de una integral, pero F es como
cualquier otra función real de una variable real. Para cada valor de entrada x,
existe un resultado bien definido numéricamente, en este caso, la integral definida
de f, desde el límite inferior a, al límite superior x.
28
La importancia de la ecuación (1) en este momento, reside en la conexión que
hace entre integrales y derivadas. Si f es cualquier función continua, entonces, el
teorema fundamental del cálculo afirma que F es una ecuación derivable de x
cuya derivada es f. Por lo tanto, afirma que, en todo valor de x, 𝑑
𝑑𝑥𝐹(𝑥) = 𝑓(𝑥).
Para poder comprender de mejor manera por qué el resultado es válido, lo
analizaremos desde el punto de vista geométrico.
Si 𝑓 ≥ 0 𝑒𝑛 [𝑎, 𝑏], entonces, el cálculo de F´(x), según la definición de derivada,
significa tomar el límite (cuando ℎ → 0) del cociente diferencial 𝐹(𝑥+ℎ)−𝐹(𝑥)
ℎ.
Para ℎ > 0, el numerador se obtiene restando dos áreas, de modo que es el área
debajo de la gráfica de f, de x a x + h (ver figura). Si h es pequeña, esta área es
aproximadamente igual al área del rectángulo de altura f(x) y ancho h, como se
observa en la figura. Es decir, 𝐹(𝑥 + ℎ) − 𝐹(𝑥) ≈ ℎ𝑓(𝑥).
Al dividir ambos lados de esta aproximación entre h y si ℎ → 0, es razonable
esperar que: 𝐹´(𝑥) = limℎ→0
𝐹(𝑥+ℎ)−𝐹(𝑥)
ℎ= 𝑓(𝑥).
Con este antecedente se puede concluir que el Primer Teorema Fundamental del
Cálculo se construye como: “Si f es continua en [𝑎, 𝑏], y si, 𝐹(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡𝑥
𝑎,
entonces F es continua en [𝑎, 𝑏] y derivable en (𝑎, 𝑏), y su derivada es f(x)”:
𝐹´(𝑥) =𝑑
𝑑𝑥∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = 𝑓(𝑥) (2)
𝑥
𝑎
Siempre será importante poder demostrar esta parte del teorema, y para ello se
procederá a aplicar directamente la definición de derivada a la función F(x),
cuando x y x + h están en (a, b).
Se inicia escribiendo el cociente diferencial 𝐹(𝑥+ℎ)−𝐹(𝑥)
ℎ (3)
Aplicamos la definición de derivación:
𝐹´(𝑥) = limℎ→0
𝐹(𝑥 + ℎ) − 𝐹(𝑥)
ℎ
𝐹´(𝑥) = limℎ→0
1
ℎ[∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡
𝑥+ℎ
𝑎
− ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡𝑥
𝑎
]
29
Aplicando principios de las integrales y ordenando, tenemos:
𝐹´(𝑥) = limℎ→0
1
ℎ[∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 +
𝑎
𝑥
∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡𝑥+ℎ
𝑎
]
Simplificando se tiene:
𝐹´(𝑥) = limℎ→0
1
ℎ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡
𝑥+ℎ
𝑥
Conforme a lo que expresa el teorema del valor medio para integrales definidas,
el valor antes de tomar el límite de la última expresión es uno de los valores
tomados por f en el intervalo entre x y x + h. Es decir, para algún número c de
este intervalo.
1
ℎ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = 𝑓(𝑐) (4)
𝑥+ℎ
𝑥
Cuando ℎ → 0, x + h se aproxima a x, forzando a c a aproximarse a x (porque c
está entre x y x + h). Como f es continua en x, f(c) se aproxima a f(x):
limℎ→0
𝑓(𝑐) = 𝑓(𝑥) (5)
En conclusión, se tiene:
𝐹´(𝑥) = limℎ→0
1
ℎ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡
𝑥+ℎ
𝑥
𝐹´(𝑥) = limℎ→0
𝑓(𝑐) 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 (4)
𝐹´(𝑥) = 𝑓(𝑥) 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 (5)
Si x = a o b, entonces, el límite de la ecuación (3) se interpreta como el límite
unilateral con ℎ → 0+ 𝑜 ℎ → 0−, respectivamente. Entonces, el teorema que
indica que la derivabilidad implica continuidad (si f tiene una derivada en x = c,
entonces f es continua en x = c); muestra que F es continua en [𝑎, 𝑏]; con lo cual
se concluye la demostración.
Un par de ejemplos con relación a este tema se presentan a continuación:
30
Ejemplos: Use el teorema fundamental para obtener 𝑑𝑦
𝑑𝑥 , si:
𝑦 = ∫ 3𝑡𝑠𝑒𝑛(𝑡)𝑑𝑡5
𝑥
Cambiando el orden de integración:
𝑑𝑦
𝑑𝑥=
𝑑
𝑑𝑥∫ 3𝑡𝑠𝑒𝑛(𝑡)𝑑𝑡
5
𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥= −
𝑑
𝑑𝑥∫ 3𝑡𝑠𝑒𝑛(𝑡)𝑑𝑡
𝑥
5
𝑑𝑦
𝑑𝑥= −3𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 (2)𝑐𝑜𝑛 𝑓(𝑡) = 3𝑡𝑠𝑒𝑛(𝑡)
𝑦 = ∫1
2 + 𝑡𝑑𝑡
4
1+3𝑥2
Cambiando el orden de integración:
𝑑𝑦
𝑑𝑥=
𝑑
𝑑𝑥∫
1
2 + 𝑡𝑑𝑡
4
1+3𝑥2
𝑑𝑦
𝑑𝑥= −
𝑑
𝑑𝑥∫
1
2 + 𝑡𝑑𝑡
1+3𝑥2
4
Aplicando la ecuación (2) y la regla de la cadena se tiene:
𝑑𝑦
𝑑𝑥= −
1
2 + (1 + 3𝑥2)×
𝑑
𝑑𝑥(1 + 3𝑥2)
𝑑𝑦
𝑑𝑥= −
6𝑥
3 + 3𝑥2= −
6𝑥
3(1 + 𝑥2)
Simplificando:
𝑑𝑦
𝑑𝑥= −
2𝑥
1 + 𝑥2
31
3.1.2 SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO
(TEOREMA DE EVALUACIÓN)
En esta parte del teorema se describe cómo evaluar integrales definidas sin tener
que calcular los límites de sumas de Riemann, obteniendo y evaluando una
antiderivada directamente en los límites superior e inferior de la integración.
El Teorema en sí señala lo siguiente: Si f es continua en [𝑎, 𝑏] y F es cualquier
antiderivada de f en [𝑎, 𝑏], entonces, ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎)𝑏
𝑎.
El teorema de evaluación es importante porque señala que para calcular la integral
definida de f en un intervalo [𝑎, 𝑏] sólo se necesita:
Obtener una antiderivada F de f; y,
Calcular el número F(b) – F(a), que es igual a ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏
𝑎.
Este proceso es mucho más fácil que el cálculo de la suma de Riemann. El poder
del teorema radica en comprender que la integral definida, la cual se define por un
proceso complicado que involucra todos los valores de la función f en [𝑎, 𝑏], se
puede obtener conociendo los valores de cualquier antiderivada F sólo en los dos
puntos extremos a y b. La notación usual de la diferencia F(b) – F(a) es: 𝐹(𝑥)]𝑎𝑏 o
[𝐹(𝑥)]𝑎𝑏, dependiendo de si F tiene uno o más términos.
3.2 INTEGRAL DEFINIDA
Definición. “Sea f(x) una función definida en un intervalo cerrado [𝑎, 𝑏]. Decimos
que un número J es la integral definida de f en [𝑎, 𝑏] y que J es el límite de las
sumas de Riemann ∑ 𝑓(𝑐𝑘)∆𝑥𝑘𝑛𝑘=1 si se satisface la siguiente condición:
Dado cualquier número 휀 > 0, existe un número correspondiente 𝛿 > 0 tal que
para toda partición 𝑃 = {𝑥0 = 𝑎, 𝑥1, … , 𝑥𝑛 = 𝑏} tal que 𝑥𝑖 > 𝑥𝑖−1 con 𝑖 =
1, … , 𝑛. Se dice que la norma de la partición es la longitud del intervalo más
grande de [𝑎, 𝑏] con ‖𝑃‖ < 𝛿; y, ‖𝑃‖ = 𝑚𝑎𝑥{𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1: 𝑖 = 1, … , 𝑛}, y cualquier
elección de 𝑐𝑘 en [𝑥𝑘−1, 𝑥𝑘], tenemos: |∑ 𝑓(𝑐𝑘)∆𝑥𝑘 − 𝐽𝑛𝑘=1 | < 휀”.
32
No se debe olvidar que la integral definida existe cuando obtenemos siempre el
mismo límite J, sin importar la elección que se haga. Cuando el límite existe, se lo
escribe como la integral definida 𝐽 = lim‖𝑃‖→0
∑ 𝑓(𝑐𝑘)∆𝑥𝑘𝑛𝑘=1 .
En las fórmulas anteriores, se establece que ∆𝑥𝑘 =𝑏−𝑎
𝑛, donde b es el límite
superior; a, es el límite inferior y n es el número de rectángulos en que se va a
dividir el intervalo (cantidad infinita de rectángulos todos ellos con el mismo
ancho ∆𝑥𝑘).
La expresión 𝐶𝑘 representa la altura de cada uno de los rectángulos que va a tener
de manera variable dependiendo de dónde se encuentre según la gráfica, y se la
calcula como: 𝑓 (𝑎 + 𝑘𝑏−𝑎
𝑛), dependiendo del valor de los infinitos rectángulos
tomados.
De esta manera, si J es ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏
𝑎, y tomando en cuenta cada una de las
definiciones de cada elemento de la fórmula, se tiene finalmente que:
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = lim𝑛→∞
∑ 𝑓 (𝑎 + 𝑘𝑏 − 𝑎
𝑛) (
𝑏 − 𝑎
𝑛)
𝑛
𝑘=1
𝑏
𝑎
Como ejercicio demostrativo, se realizará tanto por sumas de Riemann, como
aplicando el Teorema Fundamental del Cálculo parte 2, el siguiente ejercicio:
Calcular el valor de ∫ (𝑥2 − 3𝑥 + 2)𝑑𝑥3
−1
Aplicando sumas de Riemann:
Se calcula ∆𝑥𝑘 =3−(−1)
𝑛=
4
𝑛
Se calcula 𝐶𝑘 = −1 + 𝑘4
𝑛
Aplicamos el lim𝑛→∞
∑ [(−1 +4𝑘
𝑛)
2
− 3 (−1 +4𝑘
𝑛) + 2] ×
4
𝑛
𝑛𝑘=1
lim𝑛→∞
∑ [(1 −8𝑘
𝑛+
16𝑘2
𝑛2) + 3 −
12𝑘
𝑛+ 2] ×
4
𝑛
𝑛
𝑘=1
33
lim𝑛→∞
∑ [6 −20𝑘
𝑛+
16𝑘2
𝑛2] ×
4
𝑛
𝑛
𝑘=1
lim𝑛→∞
∑ (24
𝑛−
80𝑘
𝑛2+
64𝑘2
𝑛3)
𝑛
𝑘=1
lim𝑛→∞
[∑24
𝑛− ∑
80𝑘
𝑛2+ ∑
64𝑘2
𝑛3
𝑛
𝑘=1
𝑛
𝑘=1
𝑛
𝑘=1
]
lim𝑛→∞
[24
𝑛∑ 1 −
80
𝑛2∑ 𝑘 +
64
𝑛3∑ 𝑘2
𝑛
𝑘=1
𝑛
𝑘=1
𝑛
𝑘=1
]
lim𝑛→∞
[24
𝑛× 𝑛 −
80
𝑛2×
𝑛(𝑛 − 1)
2+
64
𝑛3×
𝑛(𝑛 − 1)(2𝑛 − 1)
6]
lim𝑛→∞
[24 −80
2×
𝑛(𝑛 − 1)
𝑛2+
64
6×
𝑛(𝑛 − 1)(2𝑛 − 1)
𝑛3]
lim𝑛→∞
[24 − 40𝑛 − 1
𝑛+
32
3×
(𝑛 − 1)(2𝑛 − 1)
𝑛2]
lim𝑛→∞
[24 −40𝑛
𝑛+
40
𝑛+
32
3(
2𝑛2 − 3𝑛 + 1
𝑛2)]
lim𝑛→∞
[24 − 40 +40
𝑛+
64
3−
32
𝑛+
32
3𝑛2]
lim𝑛→∞
[−16 +64
3+
8
𝑛+
32
3𝑛2]
Aplicando el límite cuando 𝑛 → ∞ , se tiene:
−16 +64
3=
−48 + 64
3=
16
3 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙.
Aplicando Teorema Fundamental del Cálculo parte 2:
∫ (𝑥2 − 3𝑥 + 2)𝑑𝑥3
−1
∫ 𝑥2𝑑𝑥 − 3 ∫ 𝑥𝑑𝑥 + 2 ∫ 𝑑𝑥3
−1
3
−1
3
−1
34
|𝑥3
3− 3
𝑥2
2+ 2𝑥|
−1
3
Sustituyendo los límites superior e inferior se tiene:
[(33
3−
3(3)2
2+ 2(3)) − (
(−1)3
3−
3(−1)2
2+ 2(−1))]
[(27
3−
27
2+ 6) − (
−1
3−
3
2− 2)]
[(54 − 81 + 36
6) − (
−2 − 9 − 12
6)]
[9
6− (
−23
6)] =
9
6+
23
6=
32
6=
16
3 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙
Se observa que aplicando los dos métodos se obtiene la misma solución.
A continuación, se escriben las reglas que satisfacen las integrales definidas.
Tabla 3: Tomada del texto Thomas, Cálculo una variable, decimotercera edición, página 270
Reglas que satisfacen las integrales definidas
1. Orden de integración: ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = − ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑈𝑛𝑎 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖ó𝑛𝑏
𝑎
𝑎
𝑏
2. Intervalo de longitud cero: ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 0𝑎
𝑎 Una definición cuando f(a)
existe
3. Múltiplo constante: ∫ 𝑘𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑘 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏
𝑎
𝑏
𝑎 cualquier constante k
4. Suma y diferencia: ∫ [𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ± ∫ 𝑔(𝑥)𝑏
𝑎𝑑𝑥
𝑏
𝑎
𝑏
𝑎
5. Aditividad: ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑐
𝑎
𝑐
𝑏
𝑏
𝑎
6. Desigualdad máx-mín: Si f tiene un valor máximo máx(f) y un valor
mínimo mín(f) en [𝑎, 𝑏], entonces: 𝑚í𝑛(𝑓) × (𝑏 − 𝑎) ≤ ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≤𝑏
𝑎
𝑚á𝑥(𝑓) × (𝑏 − 𝑎)
7. Dominación: 𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥) 𝑒𝑛 [𝑎, 𝑏] => ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≥ ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥𝑏
𝑎
𝑏
𝑎
i. 𝑓(𝑥) ≥ 0 𝑒𝑛 [𝑎, 𝑏] => ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≥ 0𝑏
𝑎 caso especial.
Elaborado por: Dr. Adrian Aguinaga.
35
3.3 VALOR MEDIO DE UNA FUNCIÓN CONTINUA
Una función continua f en [𝑎, 𝑏] puede tomar una infinidad de valores, pero aún
así, podemos tomar una muestra de ellos de manera ordenada. Dividimos [𝑎, 𝑏] en
n subintervalos con la misma longitud ∆𝑥 =𝑏−𝑎
𝑛 y evaluamos f en un punto 𝐶𝑘 de
cada uno.
Si f es integrable en [𝑎, 𝑏], entonces, su valor promedio en [𝑎, 𝑏], también llamado
media, es:
𝑝𝑟𝑜𝑚(𝑓) =1
𝑏 − 𝑎∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
3.4 APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
De la misma manera que se ha procedido con este trabajo, basados en el sílabo de
la materia y en el texto que se usa para impartir las clases, las aplicaciones más
importantes que se dan son: área debajo de la gráfica de una función no negativa;
y, área total entre curvas. A continuación, se analiza cada uno de ellos como una
forma de aplicación de las integrales definidas.
3.4.1 ÁREA DE LA REGIÓN DEBAJO DE LA GRÁFICA DE UNA
FUNCIÓN NO NEGATIVA Y SOBRE EL EJE X
Cálculo y el uso del Teorema del valor medio, en fin, ahora se puede señalar y
concluir que el área debajo de la gráfica de una función integrable no negativa es
precisamente el valor de esta integral definida, en caso de que la gráfica se
encontrara bajo el eje de las x y su valor resultare negativo, se debe recordar que
el valor del área siempre será positivo.
“Si 𝑦 = 𝑓(𝑥) es no negativa e integrable en un intervalo cerrado [𝑎, 𝑏], entonces,
el área debajo de la curva 𝑦 = 𝑓(𝑥) en [𝑎, 𝑏] es la integral de f de a, a b”.
𝐴 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏
𝑎
36
Así se obtiene una definición rigurosa del área de una región cuya frontera es la
gráfica de cualquier función continua.
Ejemplo: Calcular ∫ 𝑥𝑑𝑥𝑏
0 y obtenga el área debajo de y = x; y sobre el eje x en el
intervalo [0, 𝑏], 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑏 > 0.
Primero se realiza el cálculo de las sumas de Riemann.
𝐴 = lim𝑛→∞
[∑ 𝑓(𝑐𝑘)∆𝑥
𝑛
𝑘=1
]
∆𝑥 =𝑏 − 0
𝑛=
𝑏
𝑛
𝐶𝑘 = 0 + 𝑘𝑏
𝑛
𝐴 = lim𝑛→∞
∑𝑘𝑏
𝑛×
𝑏
𝑛
𝑛
𝑘=1
𝐴 = lim𝑛→∞
∑𝑘𝑏2
𝑛2
𝑛
𝑘=1
𝐴 = lim𝑛→∞
𝑏2
𝑛2∑ 𝑘
𝑛
𝑘=1
𝐴 = lim𝑛→∞
𝑏2
𝑛2×
𝑛(𝑛 + 1)
2
𝐴 = lim𝑛→∞
𝑏2
2×
𝑛(𝑛 + 1)
𝑛2
𝐴 = lim𝑛→∞
𝑏2
2×
𝑛 + 1
𝑛
𝐴 = lim𝑛→∞
𝑛𝑏2
2𝑛+ lim
𝑛→∞
𝑏2
2𝑛
𝐴 =𝑏2
2 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙.
37
Aplicando la Teorema Fundamental del Cálculo se tiene:
𝐴 = ∫ 𝑥𝑑𝑥𝑏
0
𝐴 = [𝑥2
2]
0
𝑏
𝐴 =𝑏2
2−
02
2=
𝑏2
2 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙.
Con este ejemplo sencillo se demuestra lo expuesto anteriormente en que el
cálculo de la integral de funciones no negativas, es igual al área de la región
comprendida entre la curva, el eje x, y en el intervalo [𝑎, 𝑏] debajo de su gráfica.
3.4.2 ÁREA TOTAL ENTRE CURVAS
Como se indicó anteriormente, el área es siempre una cantidad no negativa, por lo
que, en caso de tener funciones negativas, a través del cálculo de las sumas de
Riemann, se debe aplicar el valor absoluto de esa solución, para así obtener, como
se debe, el área positiva.
Ejemplo: Calcule el área de la región sombreada entre la gráfica de la función
𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) y el eje x; entre 𝑥 = 0 𝑦 𝑥 = 2𝜋.
Primeramente, se calcula la integral total:
∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑑𝑥2𝜋
0
[−cos (𝑥)]02𝜋
− cos(2𝜋) − [−cos (0)]
38
−1 + 1 = 0 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎.
Ahora calculamos el área:
𝐴1 = ∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑑𝑥𝜋
0
𝐴2 = |∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑑𝑥2𝜋
𝜋
|
𝐴𝑡 = 𝐴1 + 𝐴2
𝐴𝑡 = ∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑑𝑥 + |∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑑𝑥2𝜋
𝜋
|𝜋
0
𝐴𝑡 = [−cos (𝑥)]0𝜋 + |[−cos (𝑥)]𝜋
2𝜋|
𝐴𝑡 = (− cos(𝜋) − (− cos(0)) + |(−cos (2𝜋) − (−cos (𝜋)|)
𝐴𝑡 = −(−1) − (−1) + |(−1) − (−(−1))|
𝐴𝑡 = 1 + 1 + |−1 − 1| = 2 + |−2| = 2 + 2 = 4 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑎𝑠.
3.5 EJERCICIOS VARIOS
Basado en el sílabo de la materia otorgado por el departamento de matemáticas, se
colocan a continuación algunos de los problemas y ejercicios propuestos a ser
desarrollados en las horas de clase, según lo planificado; en el capítulo 5 se
colocarán la gran mayoría de ejercicios como refuerzo para este proyecto de
investigación. Fuente: (Thomas 2015)
1. Evalúa las siguientes integrales:
a. ∫ (𝑥2 − 2𝑥 + 3)𝑑𝑥1
−1
b. ∫ (𝑥2 + √𝑥)1
0𝑑𝑥
c. ∫ 2𝑠𝑒𝑐2𝑥𝑑𝑥𝜋
3⁄
0
d. ∫1+𝑐𝑜𝑠2𝑡
2𝑑𝑡
0𝜋
2⁄
e. ∫ (𝑢7
2−
1
𝑢5) 𝑑𝑢1
√2
39
2. Obtenga las derivadas derivando directamente la integral:
a. 𝑑
𝑑𝑥∫ cos(𝑡) 𝑑𝑡
√𝑥
0
b. 𝑑
𝑑𝑥∫ 𝑡−2
3⁄ 𝑑𝑡𝑥3
0
c. 𝑑
𝑑𝑡∫ (𝑥4 +
3
𝑥3) 𝑑𝑥√𝑡
1
3. Aplicando las reglas de integración, resuelva:
Suponga que f y h son integrables y que ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = −19
1; ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 5
9
7;
∫ ℎ(𝑥)𝑑𝑥9
7= 4.
a. ∫ −2𝑓(𝑥)𝑑𝑥9
1
b. ∫ [𝑓(𝑥) + ℎ(𝑥)]9
7𝑑𝑥
c. ∫ [2𝑓(𝑥) − 3ℎ(𝑥)]𝑑𝑥9
7
d. ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥1
9
e. ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥7
1
f. ∫ [ℎ(𝑥) − 𝑓(𝑥)]𝑑𝑥7
9
4. Suponga que ∫ 𝑔(𝑡)𝑑𝑡 = √20
−3. Obtenga:
a. ∫ 𝑔(𝑡)−3
0
b. ∫ 𝑔(𝑢)𝑑𝑢0
−3
c. ∫ [−𝑔(𝑥)]𝑑𝑥0
−3
d. ∫𝑔(𝑟)
√2𝑑𝑟
0
−3
5. Evalúe las siguientes integrales definidas;
a. ∫ 𝑥𝑑𝑥√2
1
b. ∫ 𝑥2𝑑𝑥√7
3
0
c. ∫ (𝑡 − √2)𝑑𝑡√2
0
40
d. ∫ (3𝑥2 + 𝑥 − 5)𝑑𝑥2
0
6. Obtener los valores promedio de:
a. 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 1 𝑒𝑛 [0, √3]
b. ℎ(𝑥) = −|𝑥| 𝑒𝑛:
i. [−1,0]
ii. [0,1]
iii. [−1,1]
7. Obtenga 𝑑𝑦
𝑑𝑥⁄ en los siguientes ejercicios:
a. 𝑦 = ∫ √1 + 𝑡2𝑑𝑡𝑥
0
b. 𝑦 = ∫𝑡2
𝑡2+4𝑑𝑡 − ∫
𝑡2
𝑡2+4𝑑𝑡
𝑥
3
𝑥
−1
c. 𝑦 = ∫𝑑𝑡
1+𝑡2
0
𝑡𝑎𝑛𝑥
8. Resuelva el siguiente problema con valor inicial.
𝑑𝑦
𝑑𝑥=
1
𝑥, 𝑦(𝜋) = −3
9. Exprese la solución al problema siguiente en términos de integrales.
𝑑𝑦
𝑑𝑥= 𝑠𝑒𝑐𝑥, 𝑦(2) = 3
10. El costo marginal de imprimir un cartel cuando se han impreso x carteles
es:
𝑑𝑐
𝑑𝑥=
1
2√𝑥
Dólares. Obtenga 𝑐(100) − 𝑐(1), el costo de imprimir del cartel 2 al 100.
41
11. Determine las áreas totales de las regiones sombreadas:
a.
b.
12. Área entre curvas:
a. Determine el área de la región, en forma de hélice, acotada por la curva
𝑥 − 𝑦3 = 0 y la recta 𝑥 − 𝑦 = 0.
b. Determine el área de la región en el primer cuadrante, acotada por la recta
𝑦 = 𝑥, la recta 𝑥 = 2, la curva 𝑦 =1
𝑥 y el eje x.
c. Determine el área de la región en el primer cuadrante acotada por la
izquierda por el eje y, abajo por la recta 𝑦 =𝑥
4, arriba y a la izquierda por
la curva 𝑦 = 1 + √𝑥, y arriba a la derecha por la curva 𝑦 =2
√𝑥.
42
13. Hallar el valor promedio de:
a. 𝑓(𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑏,
En [−1,1]
En [−𝑘, 𝑘]
14. El Calor específico C, es la cantidad de calor requerida para elevar 1°C la
temperatura de un mol (molécula-gramo) de un gas a volumen constante.
El calor específico del oxígeno depende de su temperatura T y satisface la
fórmula: 𝐶𝑣 = 8.27 + 10−5(26𝑇 − 1,87𝑇2). Obtenga el valor de 𝐶𝑣para
20°𝐶 ≤ 𝑇 ≤ 675°𝐶 y la temperatura a la cual se alcanza.
43
CAPÍTULO IV
INTEGRALES IMPROPIAS, INTRODUCCIÓN A LA RESOLUCIÓN DE
PROBLEMAS DINÁMICOS Y TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN
4.1 INTEGRALES IMPROPIAS
Por el momento se ha podido verificar el hecho de integrales definidas que
cumplen siempre con dos propiedades que son importantes, en primer lugar, que
su dominio [a,b] sea acotado; y, en segundo lugar, que el rango del integrando esté
acotado en dicho dominio.
Puede darse el caso de que existan aplicaciones que no cumplan con una o con
ambas de estas propiedades, podríamos citar como ejemplos de esas funciones
𝑦 =ln (𝑥)
𝑥2 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 1 ≤ 𝑥 < ∞ en el cual el dominio no es acotado; otra puede ser
𝑦 =1
√𝑥 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 0 < 𝑥 ≤ 1; donde el integrado no está acotado; en cualesquiera de
estos casos, se señala que las integrales son impropias y se calculan como límites.
4.1.1 Límites de integración infinitos
La definición de límites de integración infinitos, son integrales impropias del tipo
I.
Si f(x) es continua en [𝑎, ∞[, entonces:
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = lim𝑏→∞
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏
𝑎
∞
𝑎
Si f(x) es continua en ]−∞, 𝑏], entonces:
44
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = lim𝑎→−∞
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏
𝑎
𝑏
−∞
Si f(x) es continua en ]−∞, ∞[, entonces:
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥∞
𝑐
𝑐
−∞
∞
−∞
,
Donde c es cualquier número real.
En todos los casos, si el límite es finito, se dice que la integral impropia converge
y que el límite es el valor de la integral impropia. Si el límite no existe, la integral
impropia diverge.
Ejemplo 1:
¿El área bajo la curva 𝑦 =ln (𝑥)
𝑥2 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 1 ≤ 𝑥 < ∞ es finita? Si es así, ¿cuál es su
valor?
De acuerdo a la definición antes señalada, procedemos de la siguiente manera:
∫ln (𝑥)
𝑥2
∞
1
Esta integral se calcula mediante integración por partes, donde: 𝑢 =
ln(𝑥) ; 𝑦, 𝑑𝑣 =1
𝑥2 𝑑𝑥
Derivando u se tiene: 𝑑𝑢
𝑑𝑥=
1
𝑥, 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒, 𝑑𝑢 =
1
𝑥𝑑𝑥.
Aplicando la integración a dv, se tiene: ∫ 𝑑𝑣 = ∫1
𝑥2 𝑑𝑥
𝑣 = ∫ 𝑥−2𝑑𝑥
𝑣 =𝑥−1
−1= −
1
𝑥
Evaluando se tiene:
𝑣 =𝑏−1
−1−
1−1
1
𝑣 =−1
𝑏− 1
45
Sustituyendo en la fórmula: ∫ 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢𝑏
1
𝑏
1
∫ln (𝑥)
𝑥2= [ln (𝑥) (−
1
𝑥)]
1
𝑏𝑏
1
− ∫ (−1
𝑥)
1
𝑥𝑑𝑥
𝑏
1
= [−ln(𝑥)
𝑥]
1
𝑏
+ ∫1
𝑥2𝑑𝑥 = [−
ln(𝑥)
𝑥−
1
𝑥]
1
𝑏𝑏
1
(−ln (𝑏)
𝑏) −
1
𝑏+
ln(1)
1+
1
1= −
ln(𝑏)
𝑏−
1
𝑏+ 1
Ahora se calcula el límite del área cuando 𝑏 → ∞ y se tiene:
lim𝑏→∞
(−ln(𝑏)
𝑏−
1
𝑏+ 1)
Aplicando la Regla de L´Hôpital para límites que indica que:
lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)= lim
𝑥→𝑎
(𝑓(𝑥))´
(𝑔(𝑥))´= 𝐿
Tenemos:
[ lim𝑏→∞
−
1𝑏1
] − 0 + 1 = 0 − 0 + 1 = 1
Con lo que se puede concluir que, la integral impropia converge y el área tiene un
valor finito de 1.
4.1.2 Introducción a la resolución de Problemas Dinámicos (Cambios
exponenciales)
Se conoce que las funciones exponenciales crecen o decrecen a gran velocidad a
medida que cambia la variable independiente, esto ocurre en eventos reales de la
naturaleza o en algunas experimentaciones realizadas por los hombres.
Analicemos el supuesto básico de proporcionalidad que conduce al cambio
exponencial.
46
4.1.2.1 Cambio Exponencial
En el mundo real se dan situaciones tales como: la diferencia de temperaturas
entre un objeto y el medio que lo rodea, la cantidad que decrece un material
radioactivo, el crecimiento o decrecimiento poblacional en una región
determinada, todas estas cantidades experimentan un cambio exponencial.
En un tiempo t = 0 y será igual a yo, lo que se puede hacer como un problema con
valor inicial, así la ecuación diferencial sería:
Ecuación diferencial: 𝑑𝑦
𝑑𝑡= 𝑘𝑦
Condición inicial: 𝑦 = 𝑦0 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑡 = 0.
Aquí se puede identificar dos aspectos, el primero de que si y es positiva y
creciente, entonces k es positiva y se puede afirmar que la tasa de crecimiento es
proporcional a la cantidad que ha sido acumulada; pero, si y es positiva y
decreciente, entonces k es negativa y podemos afirmar que la razón de
decrecimiento es proporcional a la cantidad que aún queda.
Se tiene:
𝑑𝑦
𝑑𝑥= 𝑘𝑦
Dividiendo todo para y se obtiene:
1
𝑦×
𝑑𝑦
𝑑𝑡= 𝑘
Integrando con respecto a t, se tiene:
∫1
𝑦×
𝑑𝑦
𝑑𝑡𝑑𝑡 = ∫ 𝑘𝑑𝑡
𝑙𝑛|𝑦| = 𝑘𝑡 + 𝐶
|𝑦| = 𝑒𝑘𝑡+𝐶
|𝑦| = 𝑒𝐶𝑒𝑘𝑡
𝑦 = ±𝑒𝐶𝑒𝑘𝑡
𝑦 = 𝐴𝑒𝑘𝑡
47
Se puede obtener el valor de A para un problema con valor inicial, despejando A
cuando 𝑦 = 𝑦0 y 𝑡 = 0. Entonces:
𝑦0 = 𝐴𝑒𝑘×0 = 𝐴
Por lo tanto, la solución al problema de valor inicial es:
𝑦 = 𝑦0𝑒𝑘𝑡
Se puede indicar que estas cantidades tienen un crecimiento exponencial si 𝑘 > 0,
o un decaimiento exponencial si 𝑘 < 0, siendo k la constante de crecimiento en el
primer caso o de decrecimiento en el segundo.
4.1.2.2 Ecuaciones diferenciales separables
En general, los cambios exponenciales se modelan con una ecuación diferencial
de la forma 𝑑𝑦
𝑑𝑥= 𝑘𝑦 para alguna constante k diferente de cero; sin embargo,
podemos llegar a tener una ecuación de la forma:
𝑑𝑦
𝑑𝑥= 𝑓(𝑥, 𝑦)
Donde f es una función tanto de la variable independiente como de la variable
dependiente. Se puede tener una solución para esto de manera tal que:
𝑑
𝑑𝑥𝑦(𝑥) = 𝑓(𝑥, 𝑦(𝑥))
La ecuación es separable si f se puede expresar como el producto de una función x
y de una función de y, tomando entonces la forma:
𝑑𝑦
𝑑𝑥= 𝑔(𝑥)𝐻(𝑦)
La forma diferencial nos permite reunir todos los términos de y con dy; y todos los
términos de x con dx, para luego de realizar las integrales correspondientes, se
obtiene la solución y implícitamente como una función de x.
Ejemplo:
Resuelva la ecuación diferencial 𝑑𝑦
𝑑𝑥= (1 + 𝑦)𝑒𝑥, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑦 > −1.
48
Como y es mayor que -1, (1 + y) jamás será cero, razón por la cual se puede
resolver la ecuación separando las variables con su respectivo diferencial.
𝑑𝑦
𝑑𝑥= (1 + 𝑦)𝑒𝑥
𝑑𝑦 = (1 + 𝑦)𝑒𝑥𝑑𝑥
𝑑𝑦
(1 + 𝑦)= 𝑒𝑥𝑑𝑥
Aplicando las integrales se tiene:
∫𝑑𝑦
(1 + 𝑦)= ∫ 𝑒𝑥𝑑𝑥
Resolviendo:
𝑢 = 1 + 𝑦
𝑑𝑢
𝑑𝑦= 1
𝑑𝑢 = 𝑑𝑦
∫𝑑𝑢
𝑢= ∫ 𝑒𝑥𝑑𝑥
𝑙𝑛|𝑢| = 𝑒𝑥 + 𝐶
𝑙𝑛|1 + 𝑦| = 𝑒𝑥 + 𝐶
Y así se puede observar que la variable y es función implícita de la variable x.
Como se señaló anteriormente, las aplicaciones más reconocidas, sin ser las
únicas a saber, de este tipo de ecuaciones se da cuando se desea calcular el
crecimiento ilimitado de una población, la radiactividad o la transferencia de calor
aplicando la Ley de enfriamiento de Newton.
49
4.2 LA INTEGRAL INDEFINIDA
4.2.1 Integrales indefinidas y el método de sustitución
Se debe tener muy claro el concepto de que una integral definida ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏
𝑎 es un
número, mientras que una integral indefinida ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 es una función más una
constante arbitraria C.
Si bien es cierto, la mayoría de las integrales nacen de la derivada de una función,
ahora se analizarán algunas técnicas comunes que se utilizan para obtener las
antiderivadas de funciones que no se reconocen fácilmente como derivadas.
4.3 TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN
4.3.1 Integración por partes
Esta técnica se la utiliza generalmente cuando se tienen integrales de la forma
∫ 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)𝑑𝑥; y es preferible utilizarla cuando la función f se puede derivar
varias veces al mismo tiempo que la función g se puede integrar también varias
veces sin mayor dificultad. Un par de ejemplos de este tipo de integrales se
observan a continuación:
∫ 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 𝑦 ∫ 𝑥2 𝑒𝑥 𝑑𝑥
Esta técnica también se la puede usar con ejercicios tales como:
∫ ln (𝑥)𝑑𝑥 𝑦 ∫ 𝑒𝑥 cos (𝑥) 𝑑𝑥
La fórmula que se aplica para este tipo de integración está dada por:
∫ 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢
4.3.2 Integrales Trigonométricas
Este tipo de integrales son una combinación algebraica de las seis funciones
trigonométricas básicas. Como un principio de desarrollo sería bueno llevarlas a
50
expresiones de senos y cosenos, pero a menudo es mucho más fácil trabajar con
otras expresiones para resolver dichas integrales; por ejemplo:
∫ 𝑠𝑒𝑐2𝑥𝑑𝑥 = tan(𝑥) + 𝐶
Existen varias posibilidades de cálculo como son: Productos y potencias de senos
y cosenos, caso de eliminación de raíces cuadradas, integrales de potencias de
tan(x) y sec(x); y el producto de senos y cosenos.
Para estas últimas se debe recurrir a identidades trigonométricas conocidas tales
como:
1. 𝑠𝑒𝑛(𝑚𝑥)𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑥) =1
2[𝑐𝑜𝑠(𝑚 − 𝑛)𝑥 − 𝑐𝑜𝑠(𝑚 + 𝑛)𝑥]
2. 𝑠𝑒𝑛(𝑚𝑥)𝑐𝑜𝑠(𝑛𝑥) =1
2[𝑠𝑒𝑛(𝑚 − 𝑛)𝑥 + 𝑠𝑒𝑛(𝑚 + 𝑛)𝑥]
3. 𝑐𝑜𝑠(𝑚𝑥)𝑐𝑜𝑠(𝑛𝑥) =1
2[𝑐𝑜𝑠(𝑚 − 𝑛)𝑥 + 𝑐𝑜𝑠(𝑚 + 𝑛)𝑥]
4.3.3 Sustituciones Trigonométricas
Esta técnica se utiliza cuando se cambia la variable de integración por una función
trigonométrica, siendo las más comunes: 𝑥 = 𝑎 ∗ 𝑡𝑎𝑛𝜃; 𝑥 = 𝑎 ∗ 𝑠𝑒𝑛𝜃; y, 𝑥 = 𝑎 ∗
𝑠𝑒𝑐𝜃. Estas sustituciones son muy buenas en la transformación de integrales que
involucran los siguientes tres aspectos: √𝑎2 + 𝑥2; √𝑎2 − 𝑥2 ; √𝑥2 − 𝑎2. Estas se
relacionan a través de los siguientes triángulos:
51
4.3.4 Integración de funciones racionales por medio de una descomposición
en fracciones parciales
Se puede señalar que el éxito de poder transformar una función racional de la
forma 𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥) como una suma de fracciones parciales depende de dos situaciones:
1. El grado de f(x) debe ser menor que el grado de g(x). Esto es, la fracción
debe ser propia. Si no es así, se divide f(x) entre g(x) y se trabaja con la
fracción 𝑟(𝑥)
𝑔(𝑥) ya que:
𝒇(𝒙) = 𝒒(𝒙) ∗ 𝒈(𝒙) + 𝒓(𝒙)
Entonces:
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)= 𝑞(𝑥) +
𝑟(𝑥)
𝑔(𝑥)
2. Debemos conocer los factores de g(x). En teoría, cualquier polinomio con
coeficientes reales puede escribirse como un producto de factores lineales
con coeficientes reales y factores cuadráticos con coeficientes reales.
4.4 APLICACIONES DE PROBLEMAS DINÁMICOS
Como se había señalado anteriormente, las ecuaciones diferenciables separables
tienen su mayor aplicación en problemas que se los puede catalogar como de la
vida real, pues son casos que ocurren en la naturaleza o generados por los seres
humanos a través de una experimentación en el cual se controlan las variables de
una manera eficaz y se obtienen los resultados a través de modelos matemáticos
que permiten verificar las hipótesis planteadas por quienes realizan dichas
experimentaciones.
52
4.5 EJERCICIOS VARIOS
1. En los siguientes ejercicios las integrales convergen. Evalúe las integrales:
a. ∫𝑑𝑥
𝑥2+1
∞
0
b. ∫𝑑𝑥
√4−𝑥
4
0
c. ∫𝑑𝑥
𝑥13
1
−8
d. ∫2𝑑𝑥
𝑥2+4
2
−∞
e. ∫2𝑥𝑑𝑥
(𝑥2+1)2
∞
−∞
f. ∫1
𝑥√𝑥2−1𝑑𝑥
∞
1
g. ∫ 𝑥𝑙𝑛(𝑥)𝑑𝑥1
0
h. ∫𝑑𝑥
√|𝑥−1|
2
0
2. En los siguientes ejercicios, demuestre que la función 𝑦 = 𝑓(𝑥) es una
solución de la ecuación diferencial dada.
a. 2𝑦´ + 3𝑦 = 𝑒−𝑥
i. 𝑦 = 𝑒−𝑥
ii. 𝑦 = 𝑒−𝑥 + 𝑒−(32⁄ )𝑥
iii. 𝑦 = 𝑒−𝑥 + 𝐶𝑒−(32⁄ )𝑥
3. En los siguientes ejercicios, demuestre que cada función es una solución
del problema con valor inicial enunciado.
a. Ecuación diferencial 𝑦´ + 𝑦 =2
1+4𝑒2𝑥 Ecuación inicial: 𝑦(−𝑙𝑛2) =𝜋
2, solución candidata 𝑦 = 𝑒−𝑥𝑡𝑎𝑛−1(2𝑒𝑥).
b. Ecuación diferencial 𝑦´ = 𝑒−𝑥2− 2𝑥𝑦, Ecuación inicial 𝑦(2) = 0,
Solución candidata 𝑦 = (𝑥 − 2)𝑒−𝑥2.
53
4. Resuelva las ecuaciones diferenciales en los siguientes ejercicios:
a. 2√𝑥𝑦𝑑𝑦
𝑑𝑥= 1; 𝑥. 𝑦 > 0
b. 𝑑𝑦
𝑑𝑥= 3𝑥2𝑒−𝑦
c. (sec (𝑥))𝑑𝑦
𝑑𝑥= 𝑒𝑦+𝑠𝑒𝑛(𝑥)
5. Evalúe las siguientes integrales aplicando el método que considere
adecuado.
a. ∫16𝑥
8𝑥2+2𝑑𝑥
1
0
b. ∫𝑑𝑥
𝑐𝑜𝑠2𝑥𝑡𝑎𝑛𝑥
𝜋
3𝜋
4
c. ∫1−𝑥
√1−𝑥2𝑑𝑥
d. ∫4𝑑𝑥
1+(2𝑥+1)2
0
−1
e. ∫2√𝑦𝑑𝑦
2√𝑦
f. ∫ 𝑒𝑧+𝑒𝑧𝑑𝑧
g. ∫𝑑𝑥
(2𝑥+1)√4𝑥+4𝑥2
6. En los siguientes ejercicios, dadas 𝑦 = 𝑓(𝑢) 𝑦 𝑢 = 𝑔(𝑥), obtenga 𝑑𝑦
𝑑𝑥=
𝑓´(𝑔(𝑥))𝑔´(𝑥).
a. 𝑦 = 6𝑢 − 9; 𝑢 =1
2𝑥4
b. 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑢); 𝑢 = 3𝑥 + 1
7. Escriba la función en la forma 𝑦 = 𝑓(𝑢) 𝑦 𝑢 = 𝑔(𝑥). Después, obtenga
𝑑𝑦
𝑑𝑥 como una función de x.
𝑦 = (√𝑥
2− 1)
−10
.
54
8. Determine las derivadas de las funciones en los siguientes ejercicios:
a. 𝑠 =4
3𝜋𝑠𝑒𝑛3𝑡 +
4
5𝜋𝑐𝑜𝑠5𝑡
b. 𝑦 =1
18(3𝑥 − 2)6 + (4 −
1
2𝑥2)−1
c. 𝑦 = (2𝑥 − 5)−1(𝑥2 − 5𝑥)6
9. Evalúe las integrales indefinidas de los siguientes ejercicios, utilizando las
sustituciones que se indican:
a. ∫ 2𝑥(𝑥2 + 5)−4𝑑𝑥, 𝑢 = 𝑥2 + 5
b. ∫(1+√𝑥)
13⁄
√𝑥𝑑𝑥, 𝑢 = 1 + √𝑥
c. ∫ (1 − 𝑐𝑜𝑠𝑡
2)
2
𝑠𝑒𝑛1
2𝑡𝑑𝑡; 𝑢 = 1 − 𝑐𝑜𝑠
𝑡
2
d. ∫ √𝑥 𝑠𝑒𝑛2 (𝑥3
2⁄ − 1) 𝑑𝑥; 𝑢 = 𝑥3
2⁄ − 1
e. ∫ 𝑐𝑠𝑐22𝜃𝑐𝑜𝑡2𝜗𝑑𝜃
i. Usando 𝑢 = 𝑐𝑜𝑡2𝜃
ii. Usando 𝑢 = 𝑐𝑠𝑐2𝜃
10. Evalúe las integrales:
a. ∫1
√𝑥(1+√𝑥)2 𝑑𝑥
b. ∫ 𝑥1
2⁄ 𝑠𝑒𝑛 (𝑥3
2⁄ + 1) 𝑑𝑥
11. Utilice la fórmula de sustitución para las siguientes integrales:
a. ∫ √𝑦 + 1𝑑𝑦3
0
b. ∫ 𝑟√1 − 𝑟21
−1𝑑𝑟
c. ∫ 3𝑐𝑜𝑠2𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥𝑑𝑥3𝜋
2𝜋
d. ∫10√𝑣
(1+𝑣3
2⁄ )2 𝑑𝑣
1
0
e. ∫𝑑𝑦
2√𝑦(1+√𝑦)2
4
1
f. ∫ 5(5 − 4𝑐𝑜𝑠𝑡)1
4⁄ 𝑠𝑒𝑛𝑡𝑑𝑡𝜋
0
55
12. Evalúe las integrales utilizando integración por partes:
a. ∫ 𝜃𝑐𝑜𝑠𝜋𝜃𝑑𝜃
b. ∫ 𝑥3𝑙𝑛𝑥𝑑𝑥𝑒
1
c. ∫(𝑥2 − 2𝑥 + 1) 𝑒2𝑥𝑑𝑥
d. ∫ 𝑡𝑎𝑛∗1𝑦𝑑𝑦
e. ∫ 𝑝4𝑒−𝑝𝑑𝑝
f. ∫(𝑟2 + 𝑟 + 1)𝑒𝑟𝑑𝑟
g. ∫ 𝑒−𝑦𝑐𝑜𝑠𝑦𝑑𝑦
13. Evalúe las siguientes integrales:
a. ∫ 𝑥(𝑙𝑛𝑥)2𝑑𝑥
b. ∫ 𝑥3√𝑥2 + 1𝑑𝑥
c. ∫ 𝑡𝑠𝑒𝑐−1𝑡𝑑𝑡2
2√3
⁄
14. Evalúe las integrales:
a. ∫ 𝑠𝑒𝑛4(2𝑥) cos(2𝑥) 𝑑𝑥
b. ∫ 𝑠𝑒𝑐5𝑥𝑑𝑥
c. ∫ 𝑐𝑜𝑠3(2𝑥)𝑠𝑒𝑛5(2𝑥)𝑑𝑥
d. ∫ 16𝑠𝑒𝑛2𝑥𝑐𝑜𝑠2𝑥𝑑𝑥
e. ∫ √1−𝑐𝑜𝑠𝑥
2𝑑𝑥
2𝜋
0
f. ∫ 𝑠𝑒𝑛(3𝑥) cos(2𝑥) 𝑑𝑥
g. ∫ cos(3𝑥) cos(4𝑥) 𝑑𝑥
h. ∫ 𝑠𝑒𝑛2𝜃 cos(3𝜃) 𝑑𝜃
15. Evalúe las integrales siguientes:
a. ∫3𝑑𝑥
√1+9𝑥2
b. ∫ √1 − 9𝑡2𝑑𝑡
c. ∫√𝑦2−49
𝑦𝑑𝑦; 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑦 > 7
d. ∫𝑥2
4+𝑥2𝑑𝑥
e. ∫ 𝑥√𝑥2 − 4𝑑𝑥
f. ∫(1−𝑥2)
12⁄
𝑥4 𝑑𝑥
56
16. Realice una sustitución adecuada y, después, una sustitución
trigonométrica para evaluar las siguientes integrales:
a. ∫𝑑𝑦
𝑦√1+(𝑙𝑛𝑦)2
𝑒
1
b. ∫√1−(𝑙𝑛𝑥)2
𝑥𝑙𝑛𝑥𝑑𝑥
c. ∫ √𝑥 √1 − 𝑥𝑑𝑥
17. Desarrolle los cocientes con fracciones parciales:
a. 5𝑥−13
(𝑥−3)(𝑥−2)
b. 5𝑥−7
𝑥2−3𝑥+2
c. 𝑥+4
(𝑥+1)2
d. 2𝑥+2
𝑥2−2𝑥+1
e. 𝑧+1
𝑧2(𝑧−1)
f. 𝑧
𝑧3−𝑧2−6𝑧
g. 𝑡2+8
𝑡2−5𝑡+6
h. 𝑡4+9
𝑡4+9𝑡2
18. Exprese el integrado como una suma de fracciones parciales y evalúe las
integrales:
a. ∫𝑑𝑥
1−𝑥2
b. ∫𝑥+4
𝑥2+5𝑥−6𝑑𝑥
c. ∫𝑑𝑡
𝑡3+𝑡2−2𝑡
d. ∫𝑥3𝑑𝑥
𝑥2−2𝑥+1
0
−1
e. ∫𝑥2𝑑𝑥
(𝑥−1)(𝑥2+2𝑥+1)
f. ∫8𝑥2+8𝑥+2
(4𝑥2+1)2𝑑𝑥
g. ∫𝑥2−𝑥+2
𝑥3−1𝑑𝑥
h. ∫2𝜃3+5𝜃2+8𝜃+4
(𝜃2+2𝜃+2)2 𝑑𝜃
57
Las respuestas en la mayoría de los siguientes ejercicios están en términos de
logaritmos y exponenciales. Utilice una calculadora, para expresar las respuestas
en forma decimal.
19. Presión atmosférica. La presión atmosférica p de la Tierra suele
modelarse suponiendo que la tasa 𝑑𝑝
𝑑ℎ a la que cambia p, con respecto a la
altitud h sobre el nivel del mar, es proporcional a p. Suponga que la
presión a nivel del mar es de 1013 milibares (aproximadamente 14,7
lb/in2) y que a una altura de 20 km es de 90 milibares.
a. Resuelva el problema con valor inicial. Ecuación diferencial 𝑑𝑝
𝑑ℎ=
𝑘𝑝 (donde k es una constante). Condición inicial: 𝑝 = 𝑝0 cuando
h=0. Para expresar p en términos de h. Determine los valores de p0
y k, a partir de la información de altitud y presión dada.
b. ¿Cuál es la presión atmosférica cuando h=50 km?
c. ¿A qué altitud, la presión es igual a 900 milibares?
20. Reacciones químicas de primer orden. En algunas reacciones químicas,
la razón a la que la cantidad de una sustancia cambia con el tiempo es
proporcional a la cantidad presente. Por ejemplo, para la transformación de
𝛿 − 𝑔𝑙𝑢𝑐𝑜𝑛𝑜𝑙𝑎𝑐𝑡𝑜𝑛𝑎 en ácido glucónico, tenemos: 𝑑𝑦
𝑑𝑡= −0.6𝑦; cuando t
se mide en horas. Si hay 100 gramos de 𝛿 − 𝑔𝑙𝑢𝑐𝑜𝑛𝑜𝑙𝑎𝑐𝑡𝑜𝑛𝑎 cuando t =
0, ¿cuántos gramos quedarán después de la primera hora?
58
CAPÍTULO V
RESULTADOS, CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES,
EJERCICIOS DE REFUERZO
5.1 RESULTADOS
Una vez que se aplicó la metodología en una de las aulas de estudio, se pudo
verificar que en un comienzo hubo resistencia por parte de los estudiantes, no solo
por el hecho de la aplicación misma, sino que requería de una mayor
predisposición a actuar proactivamente dentro del aula, pues se señaló el hecho de
que ahora el estudiante ya no era únicamente un receptor del conocimiento por
parte del maestro o docente, sino que ellos iban a ser los directamente
participantes, pues primeramente debían formar grupos de trabajo, los mismos que
se fueron rotando durante todo el semestre, sin embargo se podría decir que la
mayor resistencia se daba por la hora misma de la clase (18:50 a 19:50), los
estudiantes llegaban agotados, sin embargo se logró establecer normas de trabajo
en clase, que permitieron un buen desempeño de los estudiantes en cada uno de
los trabajos que se realizaron.
Otra observación importante fue el hecho de identificar la falta de conocimiento
en lo que se refiere a trabajar en equipo, los estudiantes se dividían su trabajo de
acuerdo al número de personas que lo conformaban, establecían límites para
preparar la clase y posteriormente en el momento de compartir con sus pares
resultaba un poco confuso cuando se hacían las preguntas de rigor porque no
todos estaban enterados del contenido del documento completo.
En la primera clase se aplicó la prueba de diagnóstico, la cual arrojó un resultado
algo preocupante, pues obviamente como los estudiantes tenían conocimiento que
era diagnóstica y que el resultado de la misma no les iba a afectar en su promedio
final, se considera que no entregaron todo su conocimiento y los resultados fueron
muy desalentadores.
A medida que iban avanzando las semanas y los estudiantes iban aceptando la
nueva metodología y se iban apersonando de su nuevo rol dentro del aula, las
cosas cambiaron y se pudo observar una mayor participación, aunque nunca faltó
59
el estudiante que tuvo poca participación durante todo el transcurso del proceso
educativo del semestre.
Al final del curso se pudo observar una buena disposición de los estudiantes hacia
su nueva forma de aprender y lograron destacar el hecho de que les había causado
primero temor, pero luego se sintieron cómodos ante la forma del proceso.
Prueba de la aceptación al trabajo es lo que se muestra en el anexo referente a la
calificación de evaluación al docente donde me parece que es aceptable para
haberlo aplicado por primera vez en la Universidad de las Américas en el área de
las matemáticas.
Sin creer que esta sea la mejor de las metodologías para que el aprendizaje sea
superior que otras formas, se considera que es valiosa, por los resultados
alcanzados en otras instituciones educativas de nivel superior e inclusive aplicadas
a nivel de educación básica y secundaria o bachillerato. Es considerada una
metodología que ayuda a desarrollar las diferentes competencias y habilidades que
son claves dentro de la enseñanza de una ciencia tan abstracta como es la
matemática, cuanto más al hablar del Cálculo Integral.
Jacques Delors en la primera mitad del siglo XX planteó que: “la educación está
basada en cuatro pilares: aprender a conocer, aprender a hacer, aprender a vivir
juntos y aprender a ser”. En matemáticas esto sería muy bello, pues es la forma
como se puede interpretar y desarrollar el sentido crítico, manejando la cantidad
de información que los problemas nos entregan en cada uno de ellos; tomando en
cuenta que la vida nos presenta una gran variedad de problemas de manera diaria.
Es importante señalar, que los problemas que se desarrollaban en clase, son los
que el departamento de matemática nos entrega para que los desarrollemos, para
que todos los estudiantes se sientan preparados para su examen de progreso
respectivo, por lo que, la única diferencia entre el un curso, donde se aplica el
ABP y el otro, donde se imparte la materia de manera tradicional; es justamente la
forma de resolverlo, en los dos paralelos era obligatorio el desarrollo de los
mismos ejercicios, pues estos sirven como refuerzo para sus exámenes.
60
En su libro que trata sobre el aprendizaje basado en proyectos, la autora Adria
Steinberg, propone seis pautas que se deben cumplir para que éstos tengan el éxito
que se requiere en cada uno de ellos y son:
“Relación con el mundo adulto: el proyecto se relaciona con la comunidad y con
el mundo, y con adultos que puedan participar en el proceso.
Evaluación: deben estar claras las herramientas de evaluación durante todo el
proceso, para mostrarlas a los estudiantes y tener claro el valor de cada fase en la
evaluación final”.
Aprendizaje aplicado: integra las habilidades propias del siglo XXI relacionadas
con la competencia de aprender a aprender, la competencia social y ciudadana, la
competencia digital y el tratamiento de la información o la autonomía y la
iniciativa personal.
Exploración activa: incluye momentos de investigación y ejercicios prácticos
con el problema, para que los estudiantes experimenten.”.
Es muy importante aclarar que, esta metodología de trabajo permite explotar las
potencialidades que tiene cada uno de los estudiantes y las pone en acción al
momento de realizar un trabajo cooperativo. Permite también determinar cuáles
son las necesidades de aprendizaje de cada uno de ellos. A través de él, se
pretende incentivar en el estudiante el deseo de aprender lo que se enseña, dar a
cada estudiante el apoyo que este requiere, en el momento oportuno. Propiciar la
autorregulación tanto individual como grupal y su autogestión. Se deben
proporcionar los elementos necesarios para procesar lo que se desea enseñar,
permitirle al estudiante que cometa errores en su apreciación, pues de los errores
también se puede sacar provecho para un mejor aprendizaje. Se debe comprender
que cada estudiante tiene una manera diferente de aprender, por lo cual es
necesario adecuar una forma distinta de enseñar que sea significativo para cada
uno de ellos; y, se debe explicar con claridad lo que se desea que el estudiante
realice, pues el aprendizaje colaborativo es la esencia en firme de la metodología
llamada Aprendizaje Basado en Problemas (ABP).
61
5.2 PROCESO DE TRABAJO
Tal como propone el ABP, se deben estructurar las fases de trabajo, para que la
metodología dé el resultado que se desea.
En la primera fase, se deben aclarar y especificar los objetivos que se desean
alcanzar en el aprendizaje, se eligen los grupos de trabajo, los mismos que deben
ser elaborados de forma aleatoria y preferiblemente que sean grupos heterogéneos
con un máximo de 6 estudiantes por grupo, se debe preparar el material de trabajo,
preparar el lugar donde los estudiantes van a realizar su trabajo, procurando que el
ambiente sea el más adecuado para su desarrollo y se asigna a cada estudiante su
rol correspondiente, que bien puede ser: Dinamizador, Ordenador, Líder y
Pensador. Éstas primeras tareas son la base de que todo el trabajo cooperativo
tenga éxito, por lo que tiene que ser realizado de manera clara y específica, por lo
que hay que prestar toda la atención que esta fase requiere, sólo así todo el trabajo
que continúa se verá afectado de manera positiva.
En la segunda fase, se debe explicar la tarea de una manera tal, que todos os
estudiantes queden muy claros de qué es lo que se va a realizar y cómo. Aquí se
debe expresar lo que se espera de ellos y señalar los retos que deben superar, se
los debe motivar. Es muy importante generar en los estudiantes el deseo de
aprender, generar en ellos una responsabilidad individual y de grupo; y fomentar
sobre todo las buenas relaciones entre los miembros de cada grupo.
En la tercera fase, se debe observar cuál es el desempeño de cada uno de los
miembros de los grupos y su interacción, en este punto es cuando quien funge las
veces de maestro esté pendiente de las conversaciones, de las opiniones y de la
forma de cómo se va desarrollando el producto que al final será expuesto al resto
de compañeros. En este punto es bueno clarificar ciertas dudas que se puedan
presentar, reforzar las indicaciones primeras, responder preguntas e inquietudes
que puedan generarse en el trabajo, apoyar con la enseñanza de ciertas destrezas
que sean utilizadas para un mejor desempeño, controlar que los roles de los
estudiantes se estén cumpliendo correctamente.
62
La cuarta y última fase, se da al dar un cierre de las actividades encomendadas,
aquí se puede evaluar tanto el trabajo individual como el trabajo en equipo
realizado, sobre todo se debe evaluar el aprendizaje y el proceso en sí del trabajo
grupal de todos y cada uno de los estudiantes.
Es muy importante reconocer que si bien es cierto los primeros trabajos resultaron
algo complicados y hasta cierto punto frustrantes, los siguientes ya tuvieron una
mejor acogida, pues se comenzó a establecer el hecho de cada vez darles
importancia a los contenidos previos, establecer entre los estudiantes y el tutor el
estímulo por la transferencia y las conexiones de los contenidos, el aprender a ser
tolerantes y flexibles a la hora de la adaptación de las necesidades que requiere
cada estudiante, el aprender de gran manera el respeto al pensamiento y al criterio
de todos los miembros que integraban cada uno de los grupos de trabajo.
Se debe aclarar, que en el día en que se realiza la presentación del sílabo y del
maestro de la materia, se les indicó a los estudiantes el tipo de metodología de
trabajo que se iba a implementar, ya que durante todo su proceso educativo en la
universidad se han acostumbrado a la metodología de clase magistral. En esta
clase se formaron los grupos de trabajo, aunque no estaban todos los estudiantes
completos, pero se lo realizó en base a la lista que constaba en la plataforma de la
universidad. Se realizó la distribución de los equipos de trabajo dentro del aula
para que tengan el espacio y la comodidad suficiente para que el trabajo sea
efectivo; se les explicó cuál era el rol de cada uno de los miembros del equipo y la
presentación oral por sorteo que se realizará al final de cada semana de trabajo
(cada tres horas clase).
En vista de que se formaron 6 grupos de trabajo y se tenía previsto realizar seis
trabajos en el tiempo que dure el curso, se sorteó también el orden de presentación
de los trabajos por equipos.
En cuanto a la parte de la evaluación, la misma se desarrolló de manera muy
práctica y honesta por parte de los estudiantes pues se aplicó la autoevaluación
(propia del estudiante), la coevaluación (los compañeros de clase se evalúan entre
sí); y, la heteroevaluación (calificación que da el docente respecto de los logros,
procesos y conductas de los estudiantes de los diferentes grupos).
63
Es importante mencionar que la gran mayoría de estudiantes logró desarrollar las
competencias lingüísticas y matemáticas al final del período de clases, ya que
tenían que exponer los trabajos que preparaban, elaboración de carteles, desarrollo
de los problemas sugeridos por el departamento de matemáticas de la universidad,
para que los estudiantes estén preparados para los exámenes de progreso y al final
el desarrollo de ejercicios que darían refuerzo a su conocimiento y ayudaría a
mejorar la velocidad de desarrollo y comprensión de lo que habían preparado y
expuesto.
También desarrollaron la competencia tecnológica pues ciertos temas también los
investigaban en internet a través de sus celulares o tablets para mejorar lo que el
texto guía señalaba; y, por supuesto la competencia de aprender a aprender, pues
al ser los estudiantes los protagonistas de este tipo de metodología se vio un gran
apoyo de los estudiantes que captaban mejor la materia a aquellos que les costaba
un poco más. Se considera a este trabajo como algo positivo ya que además los
estudiantes pusieron en práctica el desarrollo de estrategias de planificación en
canto a la forma de cumplir en forma adecuada las tareas asignadas, mejorar sus
estrategias de realizar las diferentes formas de evaluación dejando de lado la
subjetividad y siendo realmente objetivos en la mayoría de las intervenciones.
El desarrollo de las competencias sociales se considera importante, pues la
relación de aceptación y camaradería que se logró dentro del aula fue algo muy
grato ver que al final se formaron grupos de estudio donde los más fuertes en la
materia apoyaban a sus otros compañeros de salón, incluso aunque no pertenecían
a su grupo de trabajo, hubo gran unión y se considera un trabajo que al final
brindaron satisfacciones. Se notó un alto grado de respeto de todos por todos en el
momento de presentación y exposición de trabajos y se observó también un buen
criterio al elaborar las preguntas que se considera que fueron bien pensadas y
razonadas y contribuyó para el crecimiento del grupo en general.
El proceso para la presentación oral en todos los casos fue, la presentación del
tema, un resumen de los contenidos que se observaban en dicho tema, la
presentación del problema, los pasos a seguir para poder desarrollarlo en forma
adecuada, responder preguntas elaboradas por los grupos de estudiantes que
64
escuchaban la exposición y finalmente el desarrollo de un número determinado de
ejercicios básicos propuestos por el departamento de matemáticas para observar si
la exposición fue lo suficientemente clara para su resolución.
Luego de ello se procedía a la evaluación de cada grupo y finalmente se proponía
la calificación acorde a su presentación, al esfuerzo realizado y a las facilidades
presentadas en cada uno de los temas.
Los criterios de evaluación y estándares de aprendizaje buscados con este trabajo
se encuentran en el grupo de Anexos.
5.3 CONCLUSIONES
Se considera que fue una experiencia realmente enriquecedora para ser una
primera vez, es muy grato saber que los estudiantes también están dispuestos a ser
partícipes de nuevas experiencias en cuanto a la metodología del proceso de
enseñanza-aprendizaje y que se sienten importantes al verse en un rol protagónico,
lo cual hizo de este trabajo una experiencia realmente enriquecedora de lado y
lado.
Fue bueno ver cómo los estudiantes aceptaron y cumplieron de una forma
satisfactoria cada uno de los roles a ellos asignados, cómo hubo una relación de
respeto entre ellos y la aceptación y escucha de ciertos criterios que, aunque a
veces errados, jamás hubo burlas o palabras fuera de tono para lograr encaminar a
aquellos que no estaban bien enfocados sea en la parte del trabajo, como en la
comprensión de la materia en sí.
Los resultados finales en cada grupo de estudiantes se muestran en los siguientes
gráficos:
65
Figura 1: Resultados finales del curso, aplicando ABP.
Elaborado por: Dr. Adrian Aguinaga.
Figura 2: Resultados finales del curso, donde no se aplica ABP.
Elaborado por: Dr. Adrian Aguinaga.
66
5.4 RECOMENDACIONES
Una de las recomendaciones más importante que se considera hacer en estos
casos, es intentar preparar a los docentes en la práctica de esta metodología que da
buenos resultados, sobre todo porque el estudiante se siente importante dentro del
proceso y porque los docentes también percibirán una nueva forma de hacer clase,
más dinámica, más participativa, más viva. Se considera que tratar con nuevas
experiencias siempre es enriquecedor. Se pueden conseguir cursos de capacitación
para aquellos que deseen ver el proceso de enseñanza, desde otro punto de vista.
Como una recomendación para mí como aplicador de la metodología, es que
busque la forma de aprender aún más de la metodología y pueda compartir la
experiencia con otros docentes con los cuales comparto en el área y hacerles ver
que siempre es bueno buscar nuevas metodologías que incentiven a nuestros
estudiantes a ser mejores conocedores de las diversas estrategias y competencias
que pueden desarrollar al ser partícipes de nuevas experiencias que siempre
enriquecen nuestra parte humana y profesional.
5.5 PROBLEAS ADICIONALES
1. Calcule la antiderivada más general de la función: 𝑔(𝑥) = 3𝑠𝑒𝑛(2𝑥) +
𝑥2 + 2𝑥.
2. Demuestre aplicando reglas de derivación que: 𝐹(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑥 +(4𝑥−2)3
12− 5
es una antiderivada de 𝑓(𝑥) = (4𝑥 − 2)2 − 𝑠𝑒𝑛𝑥.
3. Calcule la antiderivada más general de la función: 𝑔(𝑥) = −2𝑠𝑒𝑛(3𝑥) +
𝑥3
√𝑥.
4. Resuelva el siguiente problema de valor inicial:
𝑑𝑝
𝑑𝑞= −8𝑞 + 3, tal que: 𝑝(−1) = 0.
5. Resuelva el siguiente problema de valor inicial:
𝑑𝑦
𝑑𝑥= 1 +
1
𝑥, con 𝑥 > 0 si se conoce que 𝑦(1) = 0.
6. Resuelva el siguiente problema de valor inicial:
𝑑𝑠
𝑑𝑡= 4𝑡 + 5, tal que: 𝑠(0) = 1.
67
7. Se conoce que f es una función integrable y que ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 31
−1 y
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 53
−1. Utilice las propiedades de la integral definida y calcule:
a. ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥3
1.
b. 2 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥1
3.
8. Se conoce que f y g son funciones integrables y que ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥5
2= 5 y
∫ 𝑔(𝑥) = −85
2. Utilice las propiedades de la integral definida y calcule:
a. ∫ (3𝑓(𝑥) − 2𝑔(𝑥))𝑑𝑥5
2.
b. ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥2
2.
9. Se conoce que f es una función integrable y que ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = −24
1 y
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 56
1. Utilice las propiedades de la integral definida y calcule:
a. ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥6
4.
b. 2 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥4
6.
10. El área total de la superficie S de un cilindro circular recto está relacionada
con el radio r de la base y la altura h mediante la ecuación 𝑆 = 2𝜋𝑟2 +
2𝜋𝑟ℎ.
a. ¿Cómo se relaciona 𝑑𝑆
𝑑𝑡 con
𝑑ℎ
𝑑𝑡 si r es constante?
b. ¿Cómo se relaciona 𝑑𝑆
𝑑𝑡 con
𝑑ℎ
𝑑𝑡 si r y h son constantes?
c. ¿Cómo se relaciona 𝑑𝑟
𝑑𝑡 con
𝑑ℎ
𝑑𝑡 si S es constante?
11. Calcule la antiderivada más general de las siguientes funciones:
a. 𝑓(𝑥) = 𝑥3 +2
√𝑥3 + 𝑐𝑜𝑠4𝑥.
b. 𝑔(𝑥) = 𝑐𝑠𝑐23𝑥 +1
2𝑥.
c. ℎ(𝑥) = √𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥
2.
12. Se conoce que el precio de venta P (en dólares) de determinado producto
varía respecto al tiempo t (en años) de acuerdo a la siguiente expresión:
𝑑𝑃
𝑑𝑡= 2𝑡 − 3.
a. Determine la ecuación P(t), si se conoce que el precio inicial es de
4 dólares.
b. ¿Cuál será el precio del producto a los 10 años?
c. ¿En qué momento el precio de venta será de 44 dólares?
d. Grafique P(t) y describa el comportamiento del precio en el
tiempo, a partir de la representación gráfica.
68
13. Determine las áreas totales de las regiones sombreadas en los siguientes
ejercicios:
a. 𝑓(𝑥) = 𝑥√4 − 𝑥2
b. 𝑓(𝑥) = (1 − cos(𝑥))𝑠𝑒𝑛(𝑥) 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋
69
c. Entre las curvas 𝑓(𝑥) =1
2𝑠𝑒𝑐2𝑥; y 𝑓(𝑥) = −4𝑠𝑒𝑛2𝑥 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 −
𝜋
3≤
𝑥 ≤𝜋
3.
d. Entre las curvas 𝑓(𝑥) = 2𝑥2; y 𝑓(𝑥) = 𝑥4 − 2𝑥2 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 − 2 ≤
𝑥 ≤ 2.
e. Entre las curvas 𝑥 = 𝑦3; y 𝑥 = 𝑦2 entre 0 ≤ 𝑥1.
70
f. Entre las curvas 𝑥 = 12𝑦2 − 12𝑦3; y 𝑥 = 2𝑦2 − 2𝑦 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 0 ≤
𝑦 ≤ 1.
g. Entre las curvas 𝑦 = 𝑥; 𝑦 = 1; y 𝑦 =𝑥2
4 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 0 ≤ 𝑥 ≤ 2
h. Entre las curvas 𝑦 = 𝑥2; y 𝑥 + 𝑦 = 2 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 0 ≤ 𝑥 ≤ 2.
71
Bibliografía
[1]. http://sitios.itesm.mx/va/dide2/tecnicas_didacticas/abp/historia.html
[2]. https://docplayer.es/48884494-Aprendizaje-basado-en-problemas-abp-
propuestas-innovadoras-para-la-ensenanza-del-calculo-diferencial-e-
integral.html
[3]. https://www.redalyc.org/pdf/834/83400803.pdf
[4]. file:///C:/Users/Adrian/Documents/MAESTRIA%20UCE%20MATEMATI
CAS/TESIS%20MAESTRIA/documentos%20importantes/TEXTOS%20
UTILIZADOS/ObandoGilberto_2003_Situacionesproblemaestrategia.pdf
[5]. http://www.comie.org.mx/documentos/rmie/v17/n054/pdf/ART54003.pdf
[6]. Cálculo Una variable, Decimotercera edición, Thomas, George, Editorial
Pearson.
[7]. https://core.ac.uk/download/pdf/41587594.pdf
[8]. https://www.cimat.mx/ciencia_para_jovenes/bachillerato/libros/calculo_ay
res.pdf
[9]. http://www.eduteka.org/AesAprendizajePorProyectos.php.
[10]. Cristina, García Santamaría, METODOLOGÍA ABPEN CLASES
DE MATEMÁTICAS DE LA ESO, Trabajo final de Maestría, Valladolid,
mayo de 2018.
72
ANEXOS
ANEXO A: MEDICIÓN DEL GRADO DE SATISFACCIÓN
Para medir el grado de satisfacción tanto de los estudiantes que recibieron los
diferentes cursos del período, como de la persona responsable de la coordinación
que es el señor matemático Juan Carlos García, los resultados que arrojan las
encuestas realizadas por la universidad a todos los docentes se presentan a
continuación:
73
A.1. EVALUACIÓN DOCENTE SEMESTRE 2018-20
RANKING DE EVALUACIÓN DOCENTE
74
A.2. EVALUACIÓN DOCENTE POR REPRESENTATIVIDAD
75
A.3. EVALUACIÓN DOCENTE POR PREGUNTA DEL ESTUDIANTE
76
ANEXO B: SÍLABO DE LA MATERIA
Sílabo MAT310 Cálculo Integral (201820).
Facultad de Formación General
Escuela de Ciencias Físicas y Matemáticas
MAT310 Cálculo Integral
Período 2018-2
1. Identificación
Número de sesiones: 48
Número total de horas de aprendizaje: (1 h presencial = 2 h de trabajo autónomo)
48 h presenciales + 96 h de trabajo autónomo = 144 h total. p
Docente: Dr. Adrian Santiago Aguinaga Romero
Correo electrónico del docente: [email protected]
Coordinador: Marcelo Almeida Marcano
Campus: Granados
Prerrequisito: MAT210 Correquisito: Ninguno
Paralelos: 70 y 71
2. Descripción del curso
El cálculo integral es una herramienta matemática que ayuda a manipular
funciones como concepto básico de la modelización matemática y utiliza los
métodos de integración para modelar y resolver problemas asociados a la
ingeniería, administración y economía. El estudiante resolverá ejercicios y
problemas relacionados con su carrera y que involucran derivación e integración
de funciones de una o varias variables.
77
3. Resultados de aprendizaje (RdA) del curso
3.1. Aplica principios matemáticos del cálculo de forma correcta y creativa en la
solución de problemas prácticos relacionados a su campo de acción.
3.2. Aplica distintos operadores del cálculo a funciones.
3.3. Aplica el cálculo diferencial e integral en los ejercicios matemáticos o en
aplicaciones cotidianas.
4. Sistema y mecanismos de evaluación
De acuerdo al Modelo Educativo de la UDLA la evaluación busca evidenciar el
logro de los resultados de aprendizaje institucionales, de cada carrera y de cada
asignatura, a través de mecanismos de evaluación (MdE). Por lo tanto, la
evaluación debe ser continua, formativa y sumativa. La UDLA estipula la
siguiente distribución porcentual para los reportes de evaluaciones previstas en
cada semestre de acuerdo al calendario académico:
Progreso 1 (5 semanas): 25%
Categorías Componentes Peso
Impacto de aporte en
puntos
Al progreso 1
Al
prom.
general
Evaluaciones presenciales P1 Controles 4% 1,6 0,4
Talleres 1% 0,4 0,1
Evaluaciones del Aula Virtual
P1
Cuestionarios y
Tareas 2% 0,8 0,2
Controles Virtuales 1% 0,4 0,1
Evaluaciones del MyMathLab 2% 0,8 0,2
Evaluación unificada P1 15% 6 1,5
Total 25% 10 2,5
Asistencia (puntaje adicional) 1% 0,4 0,1
78
Progreso 2 (6 semanas): 35%
Categorías Componentes Peso
Impacto de aporte en
puntos
Al progreso 2 Al prom
general
Evaluaciones presenciales P2 Controles 4% 1,1 0,4
Talleres 2% 0,6 0,2
Evaluaciones del Aula Virtual
P2
Cuestionarios y
Tareas 3% 0,9 0,3
Controles Virtuales 2% 0,6 0,2
Evaluaciones del MyMathLab 4% 1,1 0,4
Evaluación unificada P2 20% 5,7 2
Total 35% 10,0 3,5
Asistencia (puntaje adicional) 2% 0,6 0,2
Progreso 3 (5 semanas): 40%
Categorías Componentes Peso
Impacto de aporte en
puntos
Al progreso 3 Al prom
general
Evaluaciones presenciales P3 Controles 8% 2 0,8
Talleres 2% 0,5 0,2
Evaluaciones del Aula Virtual
P3
Cuestionarios y
Tareas 3% 0,75 0,3
Controles Virtuales 2% 0,5 0,2
Evaluaciones del MyMathLab 5% 1,25 0,5
Evaluación unificada P3 20% 5 2
Total 40% 10 4
Asistencia (puntaje adicional) 3% 0,8 0,3
A continuación, se describe en qué consisten los componentes enunciados:
79
Evaluaciones:
Presenciales: Controles, Talleres
Virtuales: Tareas, cuestionarios y controles virtuales a través de la plataforma
MOODLE y MyMathLab.
Evaluaciones unificadas: Examen presencial de progreso unificado con duración
de 60 minutos para todos los paralelos, que evalúa un grupo de contenidos vistos.
Es importante mencionar que los exámenes unificados serán calificados a través
de rúbricas anexas al presente documento.
5. Asistencia
La asistencia a clase es obligatoria y recibirá un puntaje extra a la calificación de
cada progreso dentro de los siguientes parámetros:
La Escuela de Ciencias Físicas y Matemáticas recibirá de Secretaría
Académica el reporte de asistencia del estudiante al cierre de cada
progreso para determinar el puntaje extra a recibir según el número de
faltas como se muestra en el siguiente cuadro:
La Escuela de Ciencias Físicas y Matemáticas NO justifica faltas.
Si requiere gestionar justificación de faltas debe hacerlo a través de
Secretaría Académica con tiempo oportuno pues una vez cerrado el
reporte de asistencias no se realizará cambios en las calificaciones.
El puntaje extra a recibir por concepto de asistencia corresponderá
únicamente al periodo de cada progreso, es decir, no se acumulará de
período en período.
80
Si el puntaje del progreso supera el máximo de 10, el puntaje extra por
asistencia no será compensable en otros componentes futuros.
Examen de recuperación
La implementación del examen de recuperación se hará dentro de los siguientes
parámetros:
El examen de recuperación solo se ofrece para reemplazar un componente
de algún progreso donde el mecanismo de evaluación fue un examen
escrito (no se aplica, para ensayos, proyectos u otro tipo de evaluación
diferente a un examen).
Un estudiante que tenga al menos una asistencia del 80% hasta la semana
final tendrá derecho a presentarse al examen de recuperación.
Este examen integrará todos los conocimientos estudiados durante el
periodo académico, por lo que será de alta exigencia y el estudiante
necesitará prepararse con rigurosidad. La nota de este examen reemplazará
a la del examen que sustituye, ningún otro componente.
6. Metodología del curso
El curso promoverá en el escenario de aprendizaje presencial la participación
activa del estudiante, quien podrá exponer sus inquietudes, ideas y hallazgos tanto
en las sesiones presenciales como también a través de los foros y espacios de aula
virtual, componentes del escenario de aprendizaje virtual.
Los componentes del escenario de aprendizaje autónomo, son imprescindibles
para que el estudiante desarrolle de manera integral los resultados de aprendizaje
planteados.
6.1 Escenario de aprendizaje presencial:
81
El proceso de enseñanza-aprendizaje, centrado en el estudiante y en la
construcción de su conocimiento, se utilizarán metodologías de trabajo que
propicien la participación y el trabajo colaborativo, donde el docente es el
facilitador que genera ambientes a través de actividades de interacción en clase.
6.2 Escenario de aprendizaje virtual:
El estudiante desarrolla virtualmente cuestionarios, videoconferencias y tareas en
las plataformas virtuales Moodle, ZOOM y MyMathLab, cuyas notas
conformarán la calificación tal como se detalla la tabla del Sistema de Evaluación.
El estudiante tiene acceso a diversas plataformas virtuales como herramienta de
apoyo a su aprendizaje utilizando los siguientes links:
MyMathLab:
https://www.pearsonmylabandmastering.com/global/mymathlab-espanol/
Moodle:
http://www2.udla.edu.ec/udlapresencial/
Blog de Matemáticas
http://blogs.udla.edu.ec/matematica/
ZOOM:
https://zoom.us/signin
6.3 Escenario de aprendizaje autónomo:
El estudiante debe ser un agente activo en su proceso de aprendizaje para esto
debe guiarse en la planificación secuencial, entregar los productos requeridos,
estudiar en el texto guía de la asignatura y valerse de otros recursos adicionales
como videos, presentación, artículos que se encuentran disponibles en la web.
82
7. Planificación alineada a los RdA
Planificación Semanas RdA 1 RdA 2 RdA 3
Unidad 1: Derivadas y Antiderivadas X X
Trabajo Autónomo X X
Lecturas X X
Reglas de Diferenciación - (Thomas, 2015).
Cap. 3. Sección 3.3 1
X X
Antiderivadas - (Thomas, 2015). Cap. 4.
Sección 4.7 2
X X
Videos X X
Introducción al concepto de antiderivada. 2 X X
Actividad Presencial X X
Taller X X
Taller 1: Unidad 1 Ejercicio 99 - En Thomas,
2015 (pp. 241) Ejercicio 25 - En Thomas, 2015 (pp.
311)
2
X X
Trabajo en Clase X X
Presentación 0: Introducción al Curso de
Cálculo Integral 1
X X
Exposición por parte del docente sobre los
contenidos de la semana 1: Presentación del
Sílabo y Repaso de Diferenciación
1
X X
Realizar los Ejercicios: 4, 11, 15, 20, 26, 37,
39, 45, 65 - En Thomas, 2015 (pp. 125-127) 1
X X
Exposición por parte del docente sobre los
contenidos de la semana 2: Antiderivadas. 2
X X
Realizar los Ejercicios: 2c, 4b, 7b, 8c, 10a,
12c, 16b, 63a, 69, 74, 91 - En Thomas, 2015 (pp.
238-240)
2
X X
Evaluación Virtual X X
83
Control Virtual X X
Resolución Control Virtual 1 en el aula
virtual. Unidad 1 2
X X
Cuestionario MyMathLab X X
Contestar el Cuestionario 1 en plataforma
MyMathLab. Tema: Reglas de Diferenciación 1
X X
Contestar el Cuestionario 2 en plataforma
MyMathLab. Tema: Antiderivadas. 2
X X
Cuestionario Virtual X X
Contestar el Cuestionario 1 en el aula
virtual. Tema: Derivación 1
X X
Contestar el Cuestionario 2 en el aula
virtual. Tema: Antiderivadas. 2
X X
Tarea Virtual X X
Realizar la Tarea 1 al aula virtual. Tema:
Aplicación de las Reglas de Derivación 1
X X
Realizar la Tarea 2 al aula virtual. Tema:
Problemas de Valor Inicial y Antiderivadas 2
X X
Unidad 2: Teorema Fundamental del Cálculo X X
Trabajo Autónomo X X
Lecturas X X
El teorema fundamental del cálculo -
(Thomas, 2015). Cap. 5. Sección 5.4 3
X X
Actividad Presencial X X
Trabajo en Clase X X
Exposición por parte del docente sobre los
contenidos de la semana 3: El Teorema
Fundamental del Cálculo Parte 1
3
X X
Realizar los Ejercicios: 33, 37, 38, 39, 43,
46, 55, 59. En Tomas,2015 pg286-287 3
X X
Exposición por parte del docente sobre los
contenidos de la semana 4. El Teorema 4 X X
84
Fundamental del Cálculo Parte 2
Realizar los Ejercicios: 2, 7, 9,13,21, 63 - En
Thomas, 2015 (pp. 287) 4
X X
Evaluación Presencial X X
Prueba Escrita X X
Control 1 (Unidad 1 y Unidad 2) 4 X X
Evaluación Virtual X X
Cuestionario MyMathLab X X
Contestar el Cuestionario 3 en plataforma
MyMathLab. Tema: El Teorema Fundamental del
Cálculo Parte 1
3
X X
Contestar el Cuestionario 4 en plataforma
MyMathLab. Tema: El Teorema Fundamental del
Cálculo Parte 2
4
X X
Cuestionario Virtual X X
Contestar el Cuestionario 3 en el aula
virtual. Tema: El Teorema Fundamental del Cálculo
Parte 1
3
X X
Contestar el Cuestionario 4 en el aula
virtual. Tema: El Teorema Fundamental del Cálculo
Parte 2
4
X X
Tarea Virtual X X
Realizar la Tarea 3 al aula virtual. Tema: El
Teorema Fundamental del Cálculo Parte 1 3
X X
Realizar la Tarea 4 al aula virtual. Tema: El
Teorema Fundamental del Cálculo Parte 2 4
X X
Unidad 3: Integral Definida X X
Trabajo Autónomo X X
Lecturas X X
La integral definida - (Thomas, 2015). Cap.
5. Sección 5.3 5
X X
85
Actividad Presencial X X
Taller X X
Taller 2: Repaso para Examen Unificado
con énfasis en Unidad 3 - 38,40, 71, 73, 77 En
Thomas, 2015 (pp. 304)
5
X X
Trabajo en Clase X X
Exposición por parte del docente sobre los
contenidos de la semana 5. Tema: Integral
Definida (incluye Teorema del valor medio)
5
X X
Realizar los Ejercicios: 10, 12, 29, 33, 44,
49, 55 - En Thomas, 2015 (pp. 275), 67,72 - En
Thomas, 2015 (pp. 308). y 55, 62 - En Thomas,
2015 (pp. 276)
5
X X
Evaluación Presencial X X
Examen Unificado X X
Evaluación unificada Progreso 1 5 X X
Evaluación Virtual X X
Cuestionario MyMathLab X X
Contestar el Cuestionario 5 en plataforma
MyMathLab. Tema: Integral Definida 5
X X
Cuestionario Virtual X X
Contestar el Cuestionario 5 en el aula
virtual. Tema: Integral Definida 5
X X
Tarea Virtual X X
Realizar la Tarea 5 al aula virtual. Tema:
Tema: Integral Definida 5
X X
Unidad 4: Aplicaciones de la Integral Definida X X X
Trabajo Autónomo X X X
Lecturas X X X
Área debajo de una curva no negativa -
(Thomas, 2015). Cap. 5. Sección 5.3 (pp. 272) 6
X X X
86
Área Total - (Thomas, 2015). Cap. 5.
Sección 5.4 (pp. 284-286) 6
X X X
Área entre curvas - (Thomas, 2015). Cap. 5.
Sección 5.6 (pp. 299-302) 6
X X X
Integrales impropias - (Thomas, 2015).
Cap. 8. Sección 8.8 7
X X X
Videos X X X
Video semana 6: Área entre curvas 6 X X X
Video semana 7: Integral impropia 7 X X X
Actividad Presencial X X X
Taller X X X
Taller 3: Unidad 4 7 X X X
Trabajo en Clase X X X
Exposición por parte del docente sobre los
contenidos de la semana 6: Área entre curvas 6
X X X
Realizar los Ejercicios: 25,26,30, 31, 32, 33,
35, 36, En Thomas, 2015 (pp. 303-304) 6
X X X
Exposición por parte del docente sobre los
contenidos de la semana 7: Integrales Impropias 7
X X X
Realizar los Ejercicios: 1, 4, 6, 10, 13, 18,
25, 32 - En Thomas, 2015 (pp. 501) 7
X X X
Evaluación Presencial X X X
Prueba Escrita X X X
Control 2 (Unidad 4) 8 X X X
Evaluación Virtual X X X
Control Virtual X X X
Resolución Control Virtual 2 en el aula
virtual. Unidad 4 6
X X X
Cuestionario MyMathLab X X X
Contestar el Cuestionario 6 en plataforma 6 X X X
87
MyMathLab. Tema: El área entre curvas
Contestar el Cuestionario 7 en plataforma
MyMathLab. Tema: Integrales Impropias 7
X X X
Cuestionario Virtual X X X
Contestar el Cuestionario 6 en el aula
virtual. Tema: El área entre curvas 6
X X X
Contestar el Cuestionario 7 en el aula
virtual. Tema: Integrales Impropias 7
X X X
Tarea Virtual X X X
Realizar la Tarea 6 al aula virtual. Tema: El
área entre curvas 6
X X X
Realizar la Tarea 7 al aula virtual. Integrales
Impropias 7
X X X
Unidad 5: Introducción a la Resolución de
Problemas Dinámicos (Cambios Exponenciales)
X X X
Trabajo Autónomo X X X
Lecturas X X X
Cambio exponencial y ecuaciones
diferenciales con variables separables - (Thomas,
2015). Cap. 7. Sección 7.4
8
X X X
Videos X X X
Video semana 8: Ecuación diferencial con
variable separable 8
X X X
Actividad Presencial X X X
Trabajo en Clase X X X
Exposición por parte del docente sobre los
contenidos de la semana 8: Problemas Dinámicos
(Cambio exponencial)
8
X X X
Realizar los Ejercicios: 1, 5, 6, 9, 12, 16 - En
Thomas, 2015 (pp. 400) 8
X X X
Evaluación Virtual X X X
88
Control Virtual X X X
Resolución Control Virtual 3 en el aula
virtual. Unidad 5 8
X X X
Cuestionario MyMathLab X X X
Contestar el Cuestionario 8 en plataforma
MyMathLab. Tema: Cambio exponencial y
ecuaciones diferenciales con variables separables
8
X X X
Cuestionario Virtual X X X
Contestar el Cuestionario 8 en el aula
virtual. Tema: Problemas Dinámicos (Cambio
exponencial)
8
X X X
Tarea Virtual X X X
Realizar la Tarea 8 al aula virtual. Tema:
Introducción a los Problemas Dinámicos (Cambio
exponencial)
8
X X X
Unidad 6: La Integral Indefinida X X
Trabajo Autónomo X X
Lecturas X X
Uso de las fórmulas básicas de integración
- (Thomas, 2015). Cap. 8. Sección 8.1 9
X X
Integrales Indefinidas y el método de
sustitución - (Thomas, 2015). Cap. 5. Sección 5.5.
pp. 289-290
9
X X
Actividad Presencial X X
Trabajo en Clase X X
Exposición por parte del docente sobre los
contenidos de la semana 10: Integrales Indefinidas 9
X X
Realizar los Ejercicios: 1, 4, 5, 11, 18,34,36
- En Thomas, 2015 (pp. 448-449) 9
X X
Evaluación Presencial X X
Prueba Escrita X X
89
Control 3 (Unidad 5 y Unidad 6) 9 X X
Evaluación Virtual X X
Cuestionario MyMathLab X X
Contestar el Cuestionario 9 en plataforma
MyMathLab. Tema: Uso de las fórmulas básicas de
integración
9
X X
Cuestionario Virtual X X
Contestar el Cuestionario 9 en el aula
virtual. Tema: Integrales Indefinidas 9
X X
Tarea Virtual X X
Realizar la Tarea 9 al aula virtual. Tema:
Integrales Indefinidas 9
X X
Unidad 7: Técnicas de Integración X X
Trabajo Autónomo X X
Lecturas X X
Regla de la cadena - (Thomas, 2015). Cap.
3. Sección 3.6 10
X X
Integrales Indefinidas y el método de
sustitución - (Thomas, 2015). Cap. 5. Sección 5.5.
pp. 291-294 / (Thomas, 2015). Cap. 5. Sección 5.6.
pp. 296-297
11
X X
Integración por partes - (Thomas, 2015).
Capítulo 8. Sección 8.2 12
X X
Integrales trigonométricas - (Thomas,
2015). Capítulo 8. Sección 8.3 13
X X
Sustituciones trigonométricas - (Thomas,
2015). Capítulo 8. Sección 8.4 14
X X
Integración de funciones racionales por
medio de fracciones parciales - (Thomas, 2015).
Capítulo 8. Sección 8.5
15
X X
Videos X X
Video semana 9: Regla de la cadena 10 X X
90
Actividad Presencial X X
Taller X X
Taller 4: Unidad 7 11 X X
Taller 5: Unidad 7 14 X X
Trabajo en Clase X X
Realizar los Ejercicios: 1, 3, 12, 21, 27, 30 -
En Thomas, 2015 (pp. 148) 10
X X
Exposición por parte del docente sobre los
contenidos de la semana 11: Integración por
sustitución
11
X X
Realizar los Ejercicios: 3, 6, 10, 13, 15, 21,
29 - En Thomas, 2015 (pp. 294-295) y 1-a,2b, 4b,
8a, 16, 19 - En Thomas, 2015 (pp. 303)
11
X X
Realizar los Ejercicios: 2, 6, 10, 11, 16, 18,
22, 33,39,49 - En Thomas, 2015 (pp. 455) 12
X X
Realizar los Ejercicios: 4, 7, 12, 19, 23, 51,
55,57 - En Thomas, 2015 (pp. 462-463) 13
X X
Exposición por parte del docente sobre los
contenidos de la semana 14: Integración por
sustitución trigonométrica
14
X X
Realizar los Ejercicios: 2,8,11,16,22,28, 38,
44, 47 - En Thomas, 2015 (pp. 467) 14
X X
Exposición por parte del docente sobre los
contenidos de la semana 15: Integración de
funciones racionales: división de polinomios e
Integración de funciones racionales: fracciones
parciales
15
X X
Realizar los Ejercicios: 9, 11, 15, 18, 20,
24,27,31 - En Thomas, 2015 (pp. 475) 15
X X
Realizar los Ejercicios: del 1 al 8 - En
Thomas, 2015 (pp. 475) 15
X X
Evaluación Presencial X X
Examen Unificado X X
91
Evaluación unificada Progreso 2 11 X X
Prueba Escrita X X
Control 4 (Unidad 7) 13 X X
Control 5 (Unidad 7) 15 X X
Evaluación Virtual X X
Control Virtual X X
Resolución Control Virtual 4 en el aula
virtual. Contenidos de las semanas: 10 y 11 12
X X
Resolución Control Virtual 5 en el aula
virtual. Contenidos de la semana: 13 14
X X
Cuestionario MyMathLab X X
Contestar el Cuestionario 10 en plataforma
MyMathLab. Tema: Derivada de la función
compuesta.
10
X X
Contestar el Cuestionario 11 en plataforma
MyMathLab. Tema: El método de sustitución 11
X X
Contestar el Cuestionario 11 en plataforma
MyMathLab. Tema: Integración por partes 12
X X
Contestar el Cuestionario 12 en plataforma
MyMathLab. Tema: Integrales trigonométricas 13
X X
Contestar el Cuestionario 14 en plataforma
MyMathLab. Tema: Sustituciones trigonométricas 14
X X
Contestar el Cuestionario 14 en plataforma
MyMathLab. Tema: Integración de funciones
racionales por medio de fracciones parciales
15
X X
Cuestionario Virtual X X
Contestar el Cuestionario 10 en el aula
virtual. Tema: Derivada de la Función compuesta. 10
X X
Contestar el Cuestionario 11 en el aula
virtual. Tema: El método de sustitución 11
X X
Contestar el Cuestionario 12 en el aula
virtual. Tema: Integración por partes 12
X X
92
Contestar el Cuestionario 13 en el aula
virtual. Tema: Integrales trigonométricas 13
X X
Contestar el Cuestionario 14 en el aula
virtual. Tema: Sustituciones trigonométricas 14
X X
Contestar el Cuestionario 15 en el aula
virtual. Tema: Integración de funciones racionales
por medio de fracciones parciales
15
X X
Tarea Virtual X X
Realizar la Tarea 10 en el aula virtual.
Tema: Derivada de la función compuesta. 10
X X
Realizar la Tarea 11 al aula virtual. Tema: el
método de sustitución 11
X X
Realizar la Tarea 12 al aula virtual. Tema:
Integración por partes 12
X X
Realizar la Tarea 13 al aula virtual. Tema:
Integrales trigonométricas 13
X X
Realizar la Tarea 14 al aula virtual. Tema:
Sustituciones trigonométricas 14
X X
Realizar la Tarea 15 al aula virtual. Tema:
Integración de funciones racionales por medio de
fracciones parciales
15
X X
Unidad 8: Aplicaciones de Problemas Dinámicos X X X
Actividad Presencial X X X
Taller X X X
Taller 6: Repaso para Examen Unificado
con énfasis en Unidad 8 16
X X X
Trabajo en Clase X X X
Realizar los Ejercicios: 24, 25, 28, 31, 33,
41, 45, 50 - En Thomas, 2015 (pp. 401-402) 16
X X X
Resolución de Ejercicios de Aplicaciones
con Problemas Dinámicos 16
X X X
Evaluación Presencial X X X
93
Examen Unificado X X X
Evaluación unificada Progreso 3 16 X X X
Evaluación Virtual X X X
Cuestionario MyMathLab X X X
Contestar el Cuestionario 16 en plataforma
MyMathLab Tema: Problemas Dinámicos (Cambio
exponencial)
16
X X X
Cuestionario Virtual X X X
Contestar el Cuestionario 16 en el aula
virtual. Tema: Aplicaciones con Problemas
Dinámicos (Cambio exponencial)
16
X X X
Tarea Virtual X X X
Realizar la Tarea 16 al aula virtual. Tema:
Aplicaciones con Problemas Dinámicos (Cambio
exponencial)
16
X X X
8. Normas y procedimientos para el aula
Rigen los derechos y obligaciones del estudiante, los cuales constan en el
Reglamento General de Estudiantes, disponible en:
http://www.udla.edu.ec/wp-content/uploads/2016/06/R_General-de-
estudiantes.v2.pdf
Se exige puntualidad al iniciar cada sesión de clase
No está permitido recibir deberes, consultas o trabajos atrasados. El
profesor NO ESTÁ AUTORIZADO a tomar ningún componente de sus
calificaciones atrasados, por favor revise las fechas con atención.
Si el estudiante no se presentó a alguna de las evaluaciones presenciales
(NO APLICA PARA EXAMENES UNIFICADOS en donde el examen de
recuperación es la ÚNICA opción) por alguno de los siguientes motivos:
o Hospitalización respaldada con certificado médico
o Fallecimiento de un familiar hasta segundo grado de
consanguinidad respaldada con certificado de defunción
94
o Enfermedad infectocontagiosa respaldada con el certificado
médico
Tiene la posibilidad de presentar el respectivo respaldo al coordinador de
materia en el lapso máximo de 72 horas después de haberse suscitado el
evento. Una vez aprobado el justificativo, el docente será el encargado de
realizar la evaluación de forma tardía
No está permitido el uso de celular en clase sin la autorización del docente.
Si un estudiante es encontrado con un medio tecnológico, en el momento
de dar un examen, se procederá con el Reglamento de la Universidad.
Para rendir los exámenes unificados, el estudiante debe presentar
obligatoriamente CARNÉT UDLA actualizado de la universidad Y un
segundo documento que puede ser: Cédula de Ciudadanía, Licencia de
conducir o Pasaporte.
Fecha máxima de retiro sin pérdida de matrícula: 24 de abril de 2018.
Fechas clave a tomar en cuenta:
Componente Fecha
Evaluación unificada P1 21/04/2018
Evaluación unificada P2 02/06/2018
Evaluación unificada P3 07/07/2018
Evaluación de recuperación 17/07/2018
9. Referencias
9.1. Principales.
THOMAS, G. (2015). Cálculo Una Variable. México: Pearson Education.
95
9.2. Complementarias.
GALINDO, E. (2012). Matemáticas Superiores Tomo 1. Ecuador: Prociencia
Editores.
HOFFMANN, L. (2001). Cálculo para la Administración, Economía y Ciencias
Sociales. Colombia: McGraw-Hill
PISKUNOV, N. (2001). Cálculo Diferencial e Integral. México: Limusa
DEMIDOVICH, B. (1990). Problemas y ejercicios de Análisis Matemático.
Colombia: Tecno-ciencia
ZILL, D. (2002). Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones de Modelado.
México: Thomson Learning
96
10. Perfil del docente
97
ANEXO C: EVALUACIÓN DIAGNÓSTICA
1. (2 puntos) Encuentre la ecuación de las rectas tangentes a la elipse
3𝑥2 + 𝑦2 = 4 en el punto cuya abscisa es x = 1. Aclaración: Debe calcular
y´(1) que es m (son dos pendientes), luego obtenga la ecuación 𝑦 − 𝑦1 =
𝑚(𝑥 − 𝑥1). Recuerde que son dos rectas tangentes.
2. (5 puntos) Para la siguiente función: ℎ(𝑥) = 4𝑥4 − 8𝑥3
a. Determine el dominio.
b. Encuentre la primera derivada, puntos críticos y los máximos y
mínimos.
c. Encuentre la segunda derivada y puntos de inflexión.
d. Analice la monotonía y concavidad. Grafique la función.
3. (3 puntos) Resuelva este ejercicio usando el criterio de la primera o
segunda derivada. Una empresa tiene las siguientes funciones de costo e
ingreso en función de la producción q (artículos producidos):
𝐶(𝑞) = 𝑞2 − 𝑞 − 7
𝐼(𝑞) = 𝑞(15 − 𝑞)
a. Encuentre la función que expresa la utilidad de la empresa.
b. ¿Cuál es el nivel de producción que maximiza la utilidad?
98
ANEXO D: RÚBRICAS DE EVALUACIÓN
Tabla 4: Rúbricas para evaluar el trabajo en equipo
Fuente: CEDEC (Centro Nacional de Desarrollo Curricular en Sistemas no Propietarios), Proyecto EDIA.
Elaborado por: Dr. Adrian Aguinaga.
Nombre del alumno o alumnos:
CATEGORÍA 4 Sobresaliente 3 Notable 2 Aprobado 1 Insuficiente
Alguna habilidad
para interactuar.
Se escucha con
atención alguna
evidencia de
discusión o
planteamiento de
alternativas.
Muy poca
interacción,
conversación
muy breve.
Algunos están
distraídos o
desinteresados.
Escuchan y aceptan
los comentarios,
sugerencias y
opiniones de otros y
los usan para
mejorar su trabajo,
adoptando
acuerdos.
Dinámica de
trabajo
Escuchan los
comentarios,
sugerencias y
opiniones de
otros pero no los
usan para
mejorar su
trabajo.
Trabajan con
respeto mutuo,
pero no suelen
animarse para
mejorar el
ambiente laboral.
No trabajan de
forma
respetuosa.
Se respetan y
animan entre todos
para mejorar el
ambiente laboral,
haciendo propuestas
para que el trabajo y
los resultados
mejoren.
Actitud del
equipo
Cada participante
tiene un rol definido
y lo desempeña de
manera efectiva.
Roles
Hay roles
asignados a los
participantes, pero
no los
desempeñan.
No se aprecia
ninguna intención
para asignar
roles a cada
miembro del
equipo.
Cada participante
tiene un rol
asignado, pero
no está
claramente
definido.
Trabajan con
respeto mutuo y
se animan entre
todos para
mejorar el
ambiente laboral.
Trabajo
Rúbrica para evaluar el trabajo en equipo
UNIVERSIDAD DE LAS AMÉRICAS
Trabajan,
aunque se
detectan algunos
fallos de
organización.
Trabajan, pero sin
organización.
Apenas trabajan
y no muestran
interés.
Trabajan
constantemente y
con muy buena
organización.
Al menos, la
mitad de los
estudiantes
presentan
ideas propias.
Sólo una o dos
personas
participan
activamente.
La responsabilidad
es compartida
por la mitad de los
integrantes del
equipo.
La
responsabilidad
recae en una
sola persona.
Todos los miembros
del equipo
comparten por igual
la responsabilidad
sobre las tareas.
Responsabilid
ad
en la
realización
de las tareas
La mayor parte
de los miembros
del equipo
comparten la
responsabilidad
en las tareas.
Participación
Al menos, el
75% de los
estudiantes
participa
activamente
Todos los miembros
del equipo participan
activamente y con
entusiasmo.
99
Tabla 5: Criterio de evaluación A
Criterios de
evaluación
Estándares de
aprendizaje
Objetivos
didácticos
Competencias
clave
CL CT AA CS
Utiliza procesos de
razonamiento y
estrategias de
resolución de
problemas, realizando
los cálculos
necesarios y
comprobando las
soluciones obtenidas.
Analiza y comprende
el enunciado de los
problemas (datos,
relaciones entre los
datos, contexto del
problema.
Analizar y
comprender el
enunciado de los
problemas.
Analizar los
resultados obtenidos.
Valora la información
de un enunciado y la
relaciona con el
número de soluciones
del problema.
Realiza estimaciones
y elabora conjeturas
sobre los resultados
de los problemas a
resolver, valorando su
utilidad y eficacia.
Profundiza en
problemas resueltos,
planteando pequeñas
variaciones en los
datos, otras
preguntas, contextos,
etc.
Profundiza en os
problemas una vez
resueltos; revisando el
proceso de resolución
y los pasos e ideas
importantes,
analizando la
coherencia de la
solución.
Expresa verbalmente,
de forma razonada, el
proceso seguido en la
resolución de un
problema.
Expresa verbalmente,
de forma razonada, el
proceso seguido en la
resolución de un
problema, con el rigor
y la precisión
adecuada.
Expresar oralmente el
proceso de resolución
de problemas.
Elaboran y presentan
carteles, para su
exposición, de
manera clara y
ordenada sobre el
proceso, resultados y
conclusiones
obtenidas en el
proceso de
Expone y defiende el
proceso seguido,
además de las
conclusiones
obtenidas, utilizando
distintos lenguajes:
algebraico o
trigonométrico, según
Utilizar diferentes
lenguajes para
expresar la solución.
100
aprendizaje. sea el caso.
Desarrolla procesos
de aplicación
matemática en
contextos de la
realidad cotidiana a
partir de la
identificación de
problemas en
situaciones reales.
Establece conexiones
entre un problema del
mundo real y el
mundo matemático;
identificando el
problema matemático
que subyace en él y
los conocimientos
matemáticos
necesarios.
Identificar los
conceptos
matemáticos que
subyacen en los
problemas
presentados.
Criterios de
evaluación
Estándares de
aprendizaje
Objetivos
didácticos
Competencias
clave
CL CT AA CS
Desarrolla y cultiva
las actitudes
personales inherentes
al quehacer
matemático.
Desarrolla actitudes
adecuadas para el
trabajo en
matemáticas;
esfuerzo,
perseverancia,
flexibilidad y
aceptación de la
crítica razonada.
Mostrar actitud de
curiosidad e
indagación, esfuerzo,
motivación por la
tarea y espíritu de
equipo.
Desarrolla actitudes
de curiosidad e
indagación, junto con
hábitos de plantearse
preguntas y buscar
respuestas adecuadas,
tanto en el estudio de
conceptos como en la
resolución de
problemas.
Utiliza la tecnología
de la información y la
comunicación de
modo habitual en el
proceso de
aprendizaje,
buscando, analizando
y seleccionando
información relevante
en internet o en otras
fuentes, elaborando
un documento propio,
Elabora un cartel de
exposición (texto,
presentación,
imágenes en caso de
necesitar) como
resultado del proceso
de búsqueda, análisis
y selección de
información
relevante, con la
herramienta
tecnológica adecuada
y los comparte para
su discusión o
101
haciendo la
exposición adecuada,
con una buena
argumentación,
compartiendo éstos
en un entorno
apropiado para
facilitar la
interacción.
difusión. Elaborar documentos
para la exposición,
para posteriormente
exponerlo frente a sus
compañeros.
Utiliza los recursos
creados para apoyar
la exposición oral de
los contenidos
trabajados en el aula.
Fuente: García Santamaría, Cristina. Metodología ABP en las clases de matemáticas de la ESO. Trabajo final de tesis, mayo
2018, página 67.
Elaborado por: Dr. Adrian Aguinaga.
Es muy importante señalar que las siglas CL: Competencia Lingüística, CT:
Competencia Tecnológica, AA: Competencia de aprender a aprender; CS:
Competencia Social.
Tabla 6: Criterio de evaluación B
PRESENTACIÓN ORAL
4 3 2 1
Volumen de voz El volumen es lo
suficientemente
alto para ser
escuchado por
todos os
compañeros de la
clase.
Es adecuado,
pero en algunas
ocasiones no se
escucha del todo
bien.
Tiene altibajos,
no es adecuado
durante toda la
presentación, a
veces se escucha
bien y otras no.
El volumen es
inadecuado, sólo
lo escuchan
aquellos que
están en primera
fila.
Postura del
cuerpo y
contacto visual.
Siempre tienen
buena postura
ayudándose de la
gesticulación y se
proyectan
seguros de sí
mismos.
Establecen
contacto visual
con todos los
compañeros y el
profesor en todo
Casi siempre
tienen una buena
postura, aunque
en determinados
momentos
pierden el
contacto visual.
En varias
ocasiones se
olvidan de que
están realizando
una presentación,
se acomodan o
muestran
inseguridad
perdiendo el
contacto visual
con sus
compañeros.
En pocas
ocasiones
establecen
contacto visual
con el resto de
compañeros,
mostrándose
inseguros. Están
de brazos
cruzados o
apoyados en la
pared (pizarra).
102
momento.
Espíritu grupal,
habla
claramente,
respeta su
turno.
Todos hablan
adecuadamente
siempre
mostrando
seguridad,
respetan los
turnos entre los
miembros.
Casi todos hablan
adecuadamente,
siempre
mostrando
seguridad,
respetan los
turnos entre los
miembros.
Escasos altibajos,
en ocasiones
hablan
correctamente,
pero en otras
muchas les
cuesta expresarse
correctamente,
respetan los
turnos.
A la mayoría les
cuesta
expresarse y no
respetan los
turnos.
Conocimiento
del tema.
Demuestran un
conocimiento
completo del
tema.
Demuestran un
buen
conocimiento del
tema, pero no del
todo.
Demuestran un
buen
conocimiento de
partes del tema.
No conocen el
tema.
Contestan las
preguntas.
Contestan con
precisión todas
las preguntas
realizadas por sus
compañeros.
Contestan la
mayoría de las
preguntas
realizadas por sus
compañeros.
Contestan
algunas
preguntas y no
de manera
adecuada en
muchas
ocasiones.
No saben
contestar a las
preguntas que
les plantean sus
compañeros.
Entusiasmo Expresiones
faciales y
lenguaje corporal
muestran en
interés por el
tema que están
presentando.
En la mayoría del
tiempo de
exposición, el
lenguaje corporal
acompaña en
sintonía con las
expresiones
faciales.
En las partes que
son de su agrado
se refleja en sus
expresiones
faciales, pero en
las partes que no
les interesan, el
lenguaje corporal
es muy pobre.
Muy poco uso
de expresiones
faciales o
lenguaje
corporal.
Muestran
desinterés en
ciertas
ocasiones.
Uso del tiempo El tiempo
utilizado para la
presentación, es
adecuada y
logran atender las
dudas en el
tiempo fijado.
En general se
adecúa al tiempo,
pero al final se
les nota algo
apurados.
En ciertos
momentos de la
presentación se
dan prisa, y otros
se los toman con
calma, no llevan
un ritmo
constante, esto
hace que
terminen o antes
o después de
tiempo.
Terminan muy
pronto o
demasiado tarde,
no se adecúan al
tiempo fijado.
Fuente: García Santamaría, Cristina. Metodología ABP en las clases de matemáticas de la ESO. Trabajo final de tesis, mayo
2018, páginas 68 y 69.
Elaborado por: Dr. Adrian Aguinaga.
103
Una vez culminada la presentación se realiza la evaluación correspondiente por
parte de las partes en conjunto, la parte de la autoevaluación ya viene dada por
cada grupo antes de la presentación.
El porcentaje que se asigna a cada tipo de evaluación, se la puede expresar en la
siguiente tabla:
Tabla 7: Criterio de evaluación C
Nota de grupo asignada por
sus compañeros luego de la
exposición.
Calificación de participación
interna en cada grupo, dada
por sus compañeros y también
la propia.
Evaluación del docente
Adquisición
de
conocimientos
por el grupo;
trabajo y
presentación.
Ejercicios
finales de la
presentación.
15% 30% 40% 15%
Fuente: García Santamaría, Cristina. Metodología ABP en las clases de matemáticas de la ESO. Trabajo final de tesis, mayo
2018, página 69.
Elaborado por: Dr. Adrian Aguinaga.
104
ANEXO E: PRUEBAS DE TRABAJO EN GRUPO
A continuación, se muestran fotografías de los trabajos realizados en clase:
Fotografía 1: Fecha: lunes 26 al viernes 30 de marzo 2018, Grupo 1, carrera en Negocios
Internacionales. UDLA. Período 2018-2
Tomada por: Dr. Adrian Aguinaga.
Fotografía 2: Fecha: lunes 9 al viernes 13 de abril 2018, Grupo 2, carrera en Negocios Internacionales.
UDLA. Período 2018-2
Tomada por: Dr. Adrian Aguinaga.
105
Fotografía 3: Fecha: lunes 23 al viernes 27 de abril 2018, Grupo 3, carrera en Negocios
Internacionales. UDLA. Período 2018-2
Tomada por: Dr. Adrian Aguinaga.
Fotografía 4: Fecha: lunes 13 al viernes 17 de mayo 2018, Grupo 4, carrera en Negocios
Internacionales. UDLA. Período 2018-2
Tomada por: Dr. Adrian Aguinaga.
106
Fotografía 5: Fecha: lunes 13 al viernes 17 de mayo 2018, Grupo 4, carrera en Negocios
Internacionales. UDLA. Período 2018-2
Tomada por: Dr. Adrian Aguinaga.
Fotografía 6: Fecha: lunes 04 al viernes 08 de junio 2018, Grupo 5, carrera en Negocios
Internacionales. UDLA. Período 2018-2
Tomada por: Dr. Adrian Aguinaga.
107
Fotografía 7: Fecha: lunes 04 al viernes 08 de junio 2018, Grupo 5, carrera en Negocios
Internacionales. UDLA. Período 2018-2
Tomada por: Dr. Adrian Aguinaga.
Fotografía 8: Fecha: lunes 25 al viernes 29 de junio 2018, Grupo 6, carrera en Negocios
Internacionales. UDLA. Período 2018-2
Tomada por: Dr. Adrian Aguinaga.
108
Fotografía 9: Fecha: lunes 25 al viernes 29 de junio 2018, Grupo 6, carrera en Negocios
Internacionales. UDLA. Período 2018-2
Tomada por: Dr. Adrian Aguinaga.
109
ANEXO F: PLANIFICACIÓN DE CLASE 1 – METODOLOGÍA ABP
UNIVERSIDAD DE LAS AMÉRICAS
ESCUELA DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS
GUÍA DIDÁCTICA CLASE 1
MAT-310/ 70
DATOS INFORMATIVOS:
AÑO: 2018 Tema de la clase:
Antiderivadas
Área: Matemática Método: ABP
Docente:
Adrian Aguinaga Romero
Fecha: 26, 28 y 30-03-2018 Duración de la clase: 1h se toma
para este evento 3 días.
Periodo académico: 2018-2
110
TEMA ETAPAS
ANTIDERIVADAS
1. Lectura en grupo del problema.
Obtención del desplazamiento a partir de una antiderivada de la velocidad.
a. Suponga que la velocidad de un cuerpo que se desplaza a lo largo del eje s es:
𝑑𝑠
𝑑𝑡= 𝑣 = 9,8𝑡 − 3
i. Determine el desplazamiento del cuerpo en el intervalo de tiempo que va desde t = 1 a t = 3,
considerando que s = 5 cuando t = 0.
ii. Determine el desplazamiento del cuerpo de t = 1 a t = 3 dado que s = - 2 cuando t = 0.
iii. Ahora determine el desplazamiento del cuerpo de t = 1 a t = 3 considerando que s = so cuando t = 0.
b. Suponga que la posición s de un cuerpo que se desplaza a lo largo de una recta coordenada es una función
diferenciable del tiempo t. ¿Es verdad que, una vez que se conoce una antiderivada de la función velocidad
𝑑𝑠𝑑𝑡⁄ es posible determinar el desplazamiento del cuerpo de t = a, a t = b, incluso si no se conoce la posición
exacta del cuerpo en ninguno de esos momentos? Justifique su respuesta.
2. Listado de lo que sabe
El estudiante debe dominar:
Conceptos, propiedades, reglas o leyes de la derivada.
Conocer derivadas de orden superior.
Aplicaciones de las derivadas.
3. Definición del
Problema
El problema que se plantea pretende que el estudiante
identifique el concepto o definición de antiderivada y sus
aplicaciones.
4. Lista de lo que se
necesita
Se necesitará lo siguiente:
Definición de antiderivada.
Conocer y aplicar las fórmulas de antiderivadas.
Conocer y aplicar las reglas de linealidad de antiderivadas.
Problemas con valor inicial y ecuaciones diferenciales.
Antiderivadas y movimiento.
Integrales indefinidas.
111
5. Posibles Acciones
Los estudiantes deben conformar grupos de 4 personas
máximo, leer el material asignado, disponible en el texto
Thomas, G, (2015), “Cálculo una variable”, México, Décimo
tercera edición, Editorial Pearson, capítulo 4 sección 4,7
páginas 232 a 238.
Obtener ideas principales.
Extraer las fórmulas y reglas de las antiderivadas en un cuadro.
Realizar los ejemplos del texto.
Resolver el problema propuesto. Anexo 2
El grupo decide qué persona expone ante el curso la resolución
del problema justificando los pasos.
6. Análisis de
Información
Los estudiantes analizan la información y regresan al
enunciado del problema. Si requieren replantear el enunciado
del problema pueden hacerlo tantas veces lo consideren
necesario.
7. Presentación de
resultados
Los estudiantes llenarán el siguiente formulario. anexo 1
Realizarán los siguientes ejercicios de forma individual.
1. Aplicar las fórmulas y las reglas de linealidad de las
antiderivadas.
a. ∫ (
1
5−
2
𝑥+ 2𝑥) 𝑑𝑥
b. ∫(2𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 3𝑠𝑒𝑛3𝑥)𝑑𝑥
112
ANEXO G: BIOGRAFÍA DEL AUTOR
Adrian Santiago Aguinaga Romero nació el 12 de julio de 1964. Realizó sus
estudios primarios en el Colegio Spellman y los secundarios en el Pensionado
Universitario. Los estudios de tercer nivel los realizó en la Universidad Central
del Ecuador y obtuvo el título de Doctor en Contabilidad y Auditoría en 2001.
Desempeñó varios cargos en la Superintendencia de Bancos durante 8 años. Ha
sido docente en el área de Matemáticas en la Universidad de las Américas por un
período de 15 años; y en colegios particulares por un lapso de 20 años; todo esto
hasta la actualidad.
