COMPETENCIAS MATEMÁTICAS ESPECÍFICAS / · PDF filea la alfabetización satisfactoria, y esta se manifiesta en términos de competencias ... es la suma algebraica de un real con un

ESCUELA PREPARATORIA OFICIAL No.16

CAMPO DISCIPLINAR DE MATEMÁTICAS Y RAZONAMIENTO

ASIGNATURA: PENSAMIENTO NUMERICO Y ALGEBRAICO

ELABORÓ: ING. JULIO CRISPÍN JIMÉNEZ RAMÍREZ

CUADERNILLO PARA CLASE: PENSAMIENTO NUMERICO Y ALGEBRAICO I COMPETENCIA: combinación de conocimientos, capacidades y actitudes adecuadas al

contexto

COMPETENCIAS BÁSICAS: aquéllas que van a permitir a la persona, en esta sociedad

del conocimiento, lograr una realización de su ser individual, social (ciudadanía activa) y su

inclusión en el mundo laboral.

COMPETENCIA MATEMÁTICA capacidad del individuo para resolver situaciones prácticas cotidianas, utilizando para este fin

los conceptos y procedimientos matemáticos

Habilidad para utilizar sumas, restas, multiplicaciones, divisiones y fracciones en el cálculo

mental escrito con el fin de resolver diversos problemas en situaciones cotidianas.

Descartamos el mero aprendizaje de conocimientos y procedimientos matemáticos en sí mismos,

poniendo el énfasis sobre la aplicación a situaciones de la vida real

Entraña la capacidad y la voluntad de utilizar modos matemáticos de pensamiento

(pensamiento lógico y espacial) y representación (fórmulas, modelos, construcciones, gráficos y

diagramas)

COMPETENCIAS MATEMÁTICAS ESPECÍFICAS /

ELEMENTOS DE COMPETENCIA MATEMÁTICA Competencia 1. Organizar, comprender e interpretar información

Identifica el significado de la información numérica y simbólica.

Ordena información utilizando procedimientos matemáticos. (PENSAR Y

RAZONAR)

Comprende la información presentada en un formato gráfico.

Competencia 2. Expresar

Se expresa utilizando vocabulario y símbolos matemáticos básicos.

(COMUNICAR)

Utiliza formas adecuadas de representación según el propósito y naturaleza de la

situación. (REPRESENTAR Y SIMBOLIZAR)

Expresa correctamente resultados obtenidos al resolver problemas

Justifica resultados expresando argumentos con una base matemática.

(ARGUMENTAR)

Competencia 3. Plantear y resolver problemas

Traduce las situaciones reales a esquemas o estructuras matemáticos.

(MODELIZAR)

Valora la pertinencia de diferentes vías para resolver problemas con una base

matemática.

Selecciona estrategias adecuadas.





Selecciona los datos apropiados para resolver un problema.

Utiliza con precisión procedimientos de cálculo, fórmulas y algoritmos para la resolución de

problemas. (PLANTEAR Y RESOLVER PROBLEMAS).

Propósito fundamental:

Formación para la alfabetización matemática • Pensar con ideas matemáticas empleando un conjunto de instrumentos y capacidades

matemáticas en las relaciones cotidianas con el entorno, de manera espontánea y con

plena conciencia de su importancia y necesidad;

• Comprensión, dominio y desarrollo de conceptos, procedimientos y actitudes; técnicas y

destrezas; utilidad social; relaciones con los valores de equidad, objetividad y rigor;

creatividad, ingenio y belleza de las matemáticas en contextos (aplicación) siempre que

sea posible;

La comprensión y los conocimientos como medios y no como fines o metas del proceso conducen

a la alfabetización satisfactoria, y esta se manifiesta en términos de competencias

ARITMETICA

Números complejos.

Una de las necesidades que motiva el surgimiento de este conjunto es el no poder

resolver expresiones como 1 ; x2 + 4 = 0 con los números reales.

Definición.

Un número complejo “C”, es la suma algebraica de un real con un imaginario por

lo que su representación es a+b i

iyRbabiabaC 1,/,

Si a= 0 se llama imaginario puro.

Si b= 0 se llama número real.

Entonces:

iRC





Ejemplos:

4i; -2i; ;3

5i i2 Son imaginarios puros.

9 + 0i; 5 – 0i; i05

3 Degeneran en números reales.

5 + 4i; -2 + 3i; 4 – 8i Son complejos

a).- Forma rectangular de un complejo.

La forma rectangular de un complejo es a + bi donde a y b R, estos pueden representarse

gráficamente en un sistema bidimensional en donde el eje horizontal es el real y el eje

vertical es el imaginario.

i

(a + bi)

bi

R

a

Ejemplo:

Localiza en el plano los siguientes número complejos.

a) –2 + 3i

b) 3 + i2

5

c) 2 – 2i

d) –3 – 2i

b).- Operaciones con números complejos.

determina la dirección de la magnitud de

(a + bi)

R

i

A

D

B

C





Suma o adición con C.

Para obtener el total de dos complejos, se suman por separado las partes reales y las partes

imaginarias, esto es:

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d) i

Ejemplos:

(4 + 2i) + (5 – 4i) =

i

i

i

29

45

24

(12 – 3i) + (3 + 16i)=

i

i

i

1315

163

312

Resta o sustracción con C.

Para obtener la diferencia de dos complejos se restan (por separado) las partes reales y las

partes imaginarias, entonces:

(a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d) i

Ejemplos:

(4 + 2i) – (5 – 4i) =

+





i

i

i

61

45

24

(12 – 3i) – (3 + 16i) =

i

i

i

199

163

312

Potencias de i.

Si elevamos a “i” a las primeras cinco potencias, obtenemos:

i= 1

i2= 11

2

+

Los valores

de i se

vuelven a

repetir





i3= i

2 . i= (-1)(i)= -i

i4= i

2 . i

2= (-1)(-1)= 1

i5= i

4 . I= (1)(i)= i

Multiplicación con C.

Para obtener el producto de dos complejos aplicamos la propiedad distributiva,

esto es:

(a + bi) (c + di) = ac + adi + cbi + bdi2

= (ac – bd) + (ad + bc) i

Ejemplo:

2

2

18920

1815

2420

34

65

ii

ii

i

i

i

5 + 6 i2

4 - 3 i

-15 i - 18 i2

20 + 24 i

20 + 9 i - 18 i2





Como i2 = -1 (-18) (-1) = 18 el producto es 38 + 9i

División con C.

Para obtener el cociente de dos complejos se multiplica tanto el numerador como

el denominador por el conjugado del denominador y se reduce.

Ejemplo:





i

i

24

32

el conjugado de (4 - 2i) es (4 + 2i)

2

2

416

61248

24

24

24

32

i

iii

i

i

i

i

)1(416

)1(6168

i

20

162 i

20

16

20

2 i

i5

4

10

1

Ejercicio 13.

a) Resuelve correctamente las siguientes operaciones con números complejos.





1) (4 + 3i) + (6 – 5i)

2) (-12 – 5i) + (7 – 6i)

3) (3 – 5i) – (13 + 6i)

4) (-7 – 4i) – (5 + 9i)

5) (2 + 3i) (12i)

6) (7 – 3i) (4 + 4i)

7) i23

5

8) i

i

5

24

9) i16

10) i30

11) 4495

12) 362

254

b) Obten a y b en cada inciso, fíjate en el inciso 1.

1)a + 4i + 2 = 7 – bi





a + bi = 7 – 2 – 4i

a + bi = 5 – 4i

a= 5 y b= -4

2)a – 2i – 3 = 5 + bi + 3i

3)2i + 6 – a= 17 – bi + 3i

4)bi – 5 + 2i = a – 4i + 8

5)5i – 2bi + 4 = 6 + 7i – a

6)9i + 3a – 1 = 4 + i – 4bi

Exponentes enteros y su operatividad.

Las principales leyes o propiedades de los exponentes enteros son las siguientes.

1) Multiplicación de potencias de la misma base. En este caso los

exponentes se suman, esto es:

nmnm aaa

Ejemplos:

31255555 52323

437)3(737 xxxxx

En todas las leyes de

los exponentes se

respeta la base





2) División de potencias de la misma base. En este caso los exponentes se restan, esto es:

nm

n

m

aa

a 0aSi

Ejemplos:

64444

4 325

2

5

2

253

5

3 1

xxx

x

x

3) Una potencia elevada a otra potencia. En este caso los exponentes se multiplican, esto es:

nmnm aa )(

Ejemplos:

(52)3 = 5(2)(3) = 56 = 15625

12

12)3)(4(34 1)(

xxxx

10)5)(2(52)( www

4) El producto de dos bases distintas elevado a una potencia. En este caso el exponente afecta a ambas bases, esto es:

mmm baba )(

Ejemplos:

225)9)(25(35)3)(5( 222

333)( yxxy





5) Un racional (fracción) elevado a una potencia. En este caso el

exponente afecta tanto al numerador como al denominador, esto es:

0

bSi

b

a

b

am

mm

Ejemplos:

1975.081

16

)3)(3)(3)(3(

)2)(2)(2)(2(

3

2

3

24

44

3

3

3

333

822

y

x

y

x

y

x

Ahora bien, si la propiedad “2” es válida cuando m=n, entonces:

0aaa

a nn

n

n

Esta división da como resultado un exponente nulo, sin embargo, también

sabemos que todo número diferente de cero dividido por sí mismo es igual a la unidad. Esto nos conduce a definir al exponente nulo de la siguiente manera:

010 acona

Por otro lado, si la propiedad “1” es válida para m=-n, entonces:

10 aaaa nnnn

dividiendo a ambos miembros de la igualdad por “an”, tenemos:





nn

nn

aa

aa 1

01

acona

an

n

Exponentes racionales y su operatividad.

Cuando en una potencia el exponente es racional b

a con “a” y “b”

es entero positivo, nos adentramos al campo de los radicales, es decir, a la operación conocida como radicación.

Para iniciar, hagamos el siguiente análisis:

De las leyes de los exponentes, sabemos que (am)n = am.n, si ahora m =

n1 , tenemos:

aaa n

nn

n

1

aa

n

n

1

La ecuación muestra que la n-ésima potencia de na

1

es igual a “a”, o bien,

que na

1

es una n-ésima raíz de “a”. Especificando esta raíz como la n-ésima raíz principal de “a”, tenemos, por definición 1:

nn aa

1

ahora bien, si tenemos la expresión nm

a , la podemos ver como:

nma1

Luego entonces:





n mn

mn

m

aaa 1

En cualquiera de estas expresiones, la base pude ser cualquier número real si “n” es impar, pero si “n” es par la base sólo puede ser positiva, ya que los números negativos no tienen raíz real cuando el índice es número par.

Concluimos entonces que de las leyes de los exponentes, se derivan las siguientes propiedades de los radicales.

1. aan n

Ejemplos:

333 5

5

5 5

xxx 3

3

3 3

2. nnn baba

Ejemplos:

6)2)(3(827)8)(27( 333

4 34 24 32 yxyx

3. n

n

n

b

a

b

a

Ejemplos:

8.05

4

25

16

25

16

5

3

5

9

5

9

4. n mcn cm aa

Ejemplos:





39.13240177 33 4)3)(2( )4)(2(

5 4)3)(5( )3)(4( xx

5. nmn m aa

Ejemplos:

2256256256 8)4)(2(2 4

2057.1292929 18)2)(3)(3(3 3

6. nq npmqq pn m aaa

Ejemplo:

8385.6333333 4 78 148 212)4)(2( )1)(2()4)(3(42 3

El mismo ejemplo:

8385.633333333 4 74

7

8

14

8

212

4

1

2

3

42 3

ALGEBRA

Expresiones algebraicas Trabajar en álgebra consiste en manejar relaciones numéricas en las que una o más cantidades

son desconocidas. Estas cantidades se llaman variables, incógnitas o indeterminadas y se

representan por letras.

Una expresión algebraica es una combinación de letras y números ligada por los signos de las

operaciones: adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación.

Las expresiones algebraicas nos permiten, por ejemplo, hallar áreas y volúmenes.

Longitud de la circunferencia, donde r es el radio de la circunferencia.

Área del cuadrado: S = l2, donde l es el lado del cuadrado.

Volumen del cubo: V = a3, donde a es la arista del cubo.

Expresiones algebraicas comunes

El doble o duplo de un número: 2x





El triple de un número: 3x

El cuádruplo de un número: 4x

La mitad de un número: x/2

Un tercio de un número: x/3

Un cuarto de un número: x/4

Un número es proporcional a 2, 3, 4...: 2x, 3x, 4x...

Un número al cuadrado: x2

Un número al cubo: x3

Un número par: 2x

Un número impar: 2x + 1

Dos números consecutivos: x y x + 1

Dos números consecutivos pares: 2x y 2x + 2

Dos números consecutivos impares: 2x + 1 y 2x + 3

Descomponer 24 en dos partes: x y 24 − x

La suma de dos números es 24: x y 24 − x

La diferencia de dos números es 24: x y 24 + x

El producto de dos números es 24: x y 24/x

El cociente de dos números es 24: x y 24 · x

Monomios Un monomio es una expresión algebraica en la que las únicas operaciones que aparecen entre las

variables son el producto y la potencia de exponente natural.

2x2y

3z

Partes de un monomio

1Coeficiente

El coeficiente del monomio es el número que aparece multiplicando a las variables.

2da.Parte literal

La parte literal está constituida por las letras y sus exponentes.

3er. Grado

El grado de un monomio es la suma de todos los exponentes de las letras o variables.

El grado de 2x2y

3z es: 2 + 3 + 1 = 6





Monomios semejantes

Dos monomios son semejantes cuando tienen la misma parte literal.

2x2y

3 z es semejante a 5x

2y

3 z

Operaciones con monomios

1. Suma de monomios

Sólo podemos sumar monomios semejantes.

La suma de los monomios es otro monomio que tiene la misma parte literal y cuyo coeficiente es

la suma de los coeficientes.

axn + bx

n= (a + b)x

n

Ejemplo:

2x2y

3z + 3x

2y

3z = (2 + 3)x

2y

3z = 5x

2y

3z

Si los monomios no son semejantes, al sumarlos, se obtiene un polinomio.

Ejemplo:

2x2y

3+ 3x

2y

3z

2. Producto de un número por un monomio

El producto de un número por un monomio es otro monomio semejante cuyo coeficiente es el

producto del coeficiente del monomio por el número

Ejemplo:

5 · (2x2y

3z) = 10x

2y

3 z

3. Multiplicación de monomios

La multiplicación de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el producto de los

coeficientes y cuya parte literal se obtiene multiplicando las potencias que tengan la misma base.

axn· bx

m= (a · b)x

n + m

Ejemplo:

(5x2y

3z) · (2y

2z

2) = (2 · 5) x

2y

3+2z

1+2 = 10x

2y

5z

3

4. División de monomios

Sólo se pueden dividir monomios cuando:

1.- Tienen la misma parte literal

2.- El grado del dividendo es mayor o igual que el del divisor

La división de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el cociente de los

coeficientes y cuya parte literal se obtiene dividiendo las potencias que tengan la misma base.





axn: bx

m= (a : b)x

n − m

Ejemplo:

Ejemplo:

Si el grado del divisor es mayor, obtenemos una fracción algebraica.

Ejemplo:

5. Potencia de un monomio

Para realizar la potencia de un monomio se eleva, cada elemento de este, al exponente que

indique la potencia

(axn)m

= am

· xn · m

Ejemplos:

(2x3)3

= 23 · (x

3)3= 8x

9

(−3x2)3 = (−3)

3 · (x

2)3= −27x

6

1. Suma de monomios


La suma de los monomios es otro monomio que tiene la misma parte literal y cuyo coeficiente es

la suma de los coeficientes.

axn + bx

n= (a + b)x

n

Ejemplo:

2x2y

3z + 3x

2y

3z = (2 + 3)x

2y

3z = 5x

2y

3z

Si los monomios no son semejantes, al sumarlos, se obtiene un polinomio.

Ejemplo:

2x2y

3+ 3x

2y

3z

2. Producto de un número por un monomio

El producto de un número por un monomio es otro monomio semejante cuyo coeficiente es el

producto del coeficiente del monomio por el número.

Ejemplo:

5 · (2x2y

3z) = 10x

2y

3 z

3. Multiplicación de monomios





La multiplicación de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el producto de los

coeficientes y cuya parte literal se obtiene multiplicando las potencias que tengan la misma base.

axn· bxm= (a · b)xn + m

Ejemplo:

(5x2y3z) · (2y2z2) = (2 · 5) x2y3+2z1+2 = 10x2y5z3

4. División de monomios

Sólo se pueden dividir monomios cuando:

1Tienen la misma parte literal

2El grado del dividendo es mayor o igual que el del divisor

La división de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el cociente de los coeficientes y

cuya parte literal se obtiene dividiendo las potencias que tengan la misma base.

axn: bxm= (a : b)xn − m

Ejemplo:

Si el grado del divisor es mayor, obtenemos una fracción algebraica.

Ejemplo:

5. Potencia de un monomio

Para realizar la potencia de un monomio se eleva, cada elemento de este, al exponente que

indique la potencia.

(axn)m

= am

· xn · m

Ejemplos:

(2x3)3

= 23 · (x

3)3= 8x

9





(−3x2)3 = (−3)

3 · (x

2)3= −27x

6

Polinomios Un polinomio es una expresión algebraica de la forma:

P(x) = an xn

+ an − 1 xn − 1

+ an − 2 xn − 2

+ .. + a1 1 + a0

Siendo:

an, an−1 ... a1, ao números, llamados coeficientes

n un número natural

x la variable o indeterminada

an es el coeficiente principal

ao es el término independiente

Grado de un Polinomio El grado de un polinomio P(x) es el mayor exponente al que se encuentra elevada la variable x.

Según su grado los polinomios pueden ser de:

TIPO EJEMPLO

PRIMER GRADO P(x) = 3x + 2

SEGUNDO GRADO P(x) = 2x2+ 3x + 2

TERCER GRADO P(x) = x3− 2x

2+ 3x + 2

Tipos de polinomios 1Polinomio nulo

Es aquel polinomio que tiene todos sus coeficientes nulos.

P(x) = 0x2

+ 0x + 0

2Polinomio homogéneo

Es aquel polinomio en el que todos sus términos o monomios son del mismo grado.

P(x) = 2x2

+ 3xy

3Polinomio heterogéneo

Es aquel polinomio en el que no todos sus términos no son del mismo grado.

P(x) = 2x3

+ 3x2 − 3





4Polinomio completo

Es aquel polinomio que tiene todos los términos desde el término independiente hasta el término

de mayor grado.

P(x) = 2x3 + 3x

2 + 5x − 3

5Polinomio incompleto

Es aquel polinomio que no tiene todos los términos desde el término independiente hasta el

término de

mayor grado.

P(x) = 2x3 + 5x − 3

6Polinomio ordenado

Un polinomio está ordenado si los monomios que lo forman están escritos de mayor a menor

grado.

P(x) = 2x3 + 5x − 3

7Polinomios iguales

Dos polinomios son iguales si verifican:

Los dos polinomios tienen el mismo grado.


P(x) = 2x3 + 5x − 3

Q(x) = 5x3 − 2x − 7

8Polinomios semejantes

Es el resultado que obtenemos al sustituir la variable x por un número cualquiera.

P(x) = 2x3

+ 5x − 3 ; x = 1

P(1) = 2 · 13 + 5 · 1 − 3 = 2 + 5 − 3 = 4

Valor numérico de un polinomio Es el resultado que obtenemos al sustituir la variable x por un número cualquiera.

P(x) = 2x3+ 5x − 3 ; x = 1

P(1) = 2 · 13+ 5 · 1 − 3 = 2 + 5 − 3 = 4

Polinomios iguales Dos polinomios son iguales si verifican:

1Los dos polinomios tienen el mismo grado.

2Los coeficientes de los términos del mismo grado son iguales.





P(x) = 2x3 + 5x - 3

Q(x) = 5x - 3 + 2x3

Polinomios semejantes Dos polinomios son semejantes si verifican que tienen la misma parte literal.

P(x) = 2x3 + 5x − 3

Q(x) = 5x3 − 2x − 7

Suma de polinomios Para sumar dos polinomios se suman los coeficientes de los términos del mismo grado.

P(x) = 2x3 + 5x − 3 Q(x) = 4x − 3x

2 + 2x

3

1Ordenamos los polinomios, si no lo están.

Q(x) = 2x 3− 3x

2 + 4x

P(x) + Q(x) = (2x3 + 5x − 3) + (2x

3 − 3x

2+ 4x)

2Agrupamos los monomios del mismo grado.

P(x) + Q(x) = 2x3 + 2x

3 − 3 x

2 + 5x + 4x − 3

3Sumamos los monomios semejantes.

P(x) + Q(x) = 2x3 + 2x

3 − 3 x

2 + 5x + 4x − 3

También podemos sumar polinomios escribiendo uno debajo del otro, de forma que los

monomios semejantes queden en columnas y se puedan sumar.

P(x) = 7x4

+ 4x2 + 7x + 2 Q(x) = 6x

3 + 8x +3

P(x) + Q(x) = 7x4 + 6x

3 + 4x

2 + 15x + 5

Resta de polinomios La resta de polinomios consiste en sumar al minuendo el opuesto del sustraendo.

P(x) − Q(x) = (2x3 + 5x − 3) − (2x

3 − 3x

2 + 4x)

P(x) − Q(x) = 2x3 + 5x − 3 − 2x

3 + 3x

2 − 4x

P(x) − Q(x) = 2x3 − 2x

3 + 3x

2 + 5x − 4x − 3

P(x) − Q(x) = 3x2 + x − 3

Multiplicación de Polinomios

1. Multiplicación de un número por un polinomio

Es otro polinomio que tiene de grado el mismo del polinomio y como coeficientes el producto de

los coeficientes del polinomio por el número y dejando las mismas partes literales.





Ejemplo:

3 · (2x3 − 3x

2 + 4x − 2) = 6x

3 − 9x

2 + 12x − 6

2. Multiplicación de un monomio por un polinomio

Se multiplica el monomio por todos y cada uno de los monomios que forman el polinomio.

Ejemplo:

3x2 · (2x

3 − 3x

2 + 4x − 2) =

= 6x5− 9x

4 + 12x

3 − 6x

2

3. Multiplicación de polinomios

Este tipo de operaciones se puede llevar a cabo de dos formas distitnas.

Mira la demostración con el siguiente ejemplo:

P(x) = 2x2

− 3 Q(x) = 2x3 − 3x

2 + 4x

OPCIÓN 1

1Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos del segundo

polinomio.

P(x) · Q(x) = (2x2 − 3) · (2x

3 − 3x

2 + 4x) =

= 4x5 − 6x

4 + 8x

3 − 6x

3+ 9x

2 − 12x =

2Se suman los monomios del mismo grado.

= 4x5 − 6x

4 + 2x

3 + 9x

2 − 12x

3Se obtiene otro polinomio cuyo grado es la suma de los grados de los polinomios que se

multiplican.

Grado del polinomio = Grado de P(x) + Grado de Q(x) = 2 + 3 = 5

OPCIÓN 2





Ejemplo de división de polinomios Para explicar la división de polinomios nos valdremos de un ejemplo práctico:

P(x) = x5 + 2x

3 − x − 8 Q(x) = x

2 − 2x + 1

P(x) : Q(x)

A la izquierda situamos el dividendo. Si el polinomio no es completo dejamos huecos en los

lugares que correspondan.

A la derecha situamos el divisor dentro de una caja.

Dividimos el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor.

x5 : x

2 = x

3

Multiplicamos cada término del polinomio divisor por el resultado anterior y lo restamos

del polinomio dividendo:

Volvemos a dividir el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor. Y el

resultado lo multiplicamos por el divisor y lo restamos al dividendo.

2x4 : x

2 = 2 x

2

Procedemos igual que antes.

5x3 : x

2 = 5 x





Volvemos a hacer las mismas operaciones.

8x2 : x

2 = 8

10x − 16 es el resto, porque su grado es menor que el del divisor y por tanto no se puede

continuar dividiendo.

x3 + 2x

2 + 5x + 8 es el cociente.

Paolo Ruffini (1765, 1822) fue un matemático italiano, que estableción un método más breve

para hacer la división de polinomios, cuando el divisor es un binomio de la forma x — a.

Regla de Ruffini

Para explicar los pasos a aplicar en la regla de Ruffini vamos a tomar de ejemplo la división:

(x4 − 3x

2 + 2 ) : (x − 3)

1 Si el polinomio no es completo, lo completamos añadiendo los términos que faltan con ceros.

2Colocamos los coeficientes del dividendo en una línea.

3Abajo a la izquierda colocamos el opuesto del término independendiente del divisor.

4Trazamos una raya y bajamos el primer coeficiente.





5Multiplicamos ese coeficiente por el divisor y lo colocamos debajo del siguiente término.

6Sumamos los dos coeficientes.

7Repetimos el proceso anterior.

Volvemos a repetir el proceso.

Volvemos a repetir.

8El último número obtenido, 56 , es el resto.

9El cociente es un polinomio de grado inferior en una unidad al dividendo y cuyos coeficientes

son los que hemos obtenido.

x3 + 3 x

2 + 6x +18

Ejemplo

Dividir por la regla de Ruffini:

(x5 − 32) : (x − 2)





TIPOS DE FACTORIZACIONES

EJERCICIO No1: 2 FACTORIZACION DE ECUACIONES CUADRATICAS:

1. 2

A) SOLUCION CON LA FORMULA GENERAL

√

a= 2 b= 5 y c= 2

√

√

√

(X +

)(X +2)= 0

B) COMPLETANDO EL TRINOMIO CUADRADO PERFECTO (T.P.C.)

+ 5X +2 = 0

REDUCIENDO LA EXPRESIÓN

PASANDO EL TÉRMINO INDIVIDUAL AL SEGUNDO MIEMBRO:





AGREGANDO LA MITAD DEL COEFICIENTE DEL TÉRMINO LINEAL:

[(

) (

)]

[(

) (

)]

REDUCIENDO SE OBTIENE:

(

)

(

)

FACTORIZANDO Y REALIZANDO OPERACIONES:

(

)

(

)

(

)

SACANDO RAIZ CUADRADA EN AMBOS MIEMBROS.

√(

)

√

X +

=

DESPEJANDO LA INCÓGNITA:

X1 =

-

=

=

= -

X2 = -

-

=

=

= - 2

SOLUCIÓN: (X +

)

C) FACTOR COMÚN

+ 5X +2 > 0





:

+ 2(5X) +2(2) = 0

2(5X)=5(2X)

+ 5(2X) + 4 = 0

= 0

DIVIDIENDO ENTRE 2 Y DESCOMPONIENDO 2 = 2 X 1

(X +

)

EJERCICIO No2: 3 A) SOLUCION CON LA FORMULA GENERAL

√

a= 3 b= 7 y c= -6

√

√

√

(X -

)(X + 3)= 0

B) COMPLETANDO EL TRINOMIO CUADRADO PERFECTO (T.P.C.)

3

REDUCIENDO LA EXPRESIÓN





PASANDO EL TÉRMINO INDIVIDUAL AL SEGUNDO MIEMBRO:

AGREGANDO LA MITAD DEL COEFICIENTE DEL TÉRMINO LINEAL:

[(

) (

)]

[(

) (

)]

REDUCIENDO SE OBTIENE:

(

)

(

)

FACTORIZANDO Y REALIZANDO OPERACIONES:

(

)

(

)

(

)

SACANDO RAIZ CUADRADA EN AMBOS MIEMBROS.

√(

)

√

X +

=

DESPEJANDO LA INCÓGNITA:

X1 =

-

=

=

=

X2 = -

-

=

=

= - 3

SOLUCIÓN: (X -

)





C) FACTOR COMÚN

3 :

+ 3(7X) -3(6) = 0

3(7X)=7(3X)

+ 3(7X) - 18 = 0

= 0

DIVIDIENDO ENTRE 3 Y DESCOMPONIENDO 3 = 3 X 1

(X -

)

Binomio al cuadrado

(a + b)2 = a

2 + 2 · a · b + b

2

(a − b)2 = a

2 − 2 · a · b + b

2

Ejemplos

1. (x + 3)2 = x

2 + 2 · x ·3 + 3

2 = x

2 + 6 x + 9

2. (2x − 3)2 = (2x)

2 − 2 · 2x · 3 + 3

2 = 4x

2 − 12 x + 9

Suma por diferencia

(a + b) · (a − b) = a2 − b

2

Ejemplo

1. (2x + 5) · (2x - 5) = (2x)2 − 5

2 = 4x

2 − 25

2. (2x² + y³) · (2x² − y³) = (2x²)2 − (y³)

2 = 4x

4 − y

6

Binomio al cubo

(a + b)3 = a

3 + 3 · a

2 · b + 3 · a · b

2 + b

3

(a − b)3 = a

3 − 3 · a

2 · b + 3 · a · b

2 − b

3

Ejemplos

1. (x + 3)3 =

= x3 + 3 · x

2 · 3 + 3 · x · 3

2 + 3

3 =

= x3 + 9x

2 + 27x + 27

2. (2x − 3)3 =

= (2x)3 − 3 · (2x)

2 · 3 + 3 · 2x · 3

2 − 3

3 =

= 8x3 − 36x

2 + 54x − 27





Trinomio al cuadrado

(a + b + c)2 = a

2 + b

2 + c

2 + 2 · a · b + 2 · a · c + 2 · b · c

Ejemplo

(x2 − x + 1)

2 =

= (x2)2 + (−x)

2 + 1

2 + 2 · x

2 · (−x) + 2 x

2 · 1 + 2 · (−x) · 1=

= x4 + x

2 + 1 − 2x

3 + 2x

2 − 2x=

= x4 − 2x

3 + 3x

2 − 2x + 1

Suma de cubos

a3 + b

3 = (a + b) · (a

2 − ab + b

2)

Ejemplo

8x3 + 27 =

= (2x + 3) (4x2 − 6x + 9)

Diferencia de cubos

a3 − b

3 = (a − b) · (a

2 + ab + b

2)

Ejemplos

8x3 − 27 =

= (2x − 3) (4x2 + 6x + 9)

Producto de dos binomios que tienen un término común

(x + a) (x + b) = x2 + (a + b) x + ab

Ejemplos

(x + 2) (x + 3) =

= x2 + (2 + 3) · x + 2 · 3 =

= x2 + 5x + 6

El resto de la división de un polinomio P(x), entre un polinomio de la forma (x − a) es el

valor numérico de dicho polinomio para el valor: x = a.

Ejemplos

Calcular, por el teorema del resto, el resto de la división:

(x4 − 3x

2 + 2) : (x − 3)

P(3) = 34 − 3 · 3

2 + 2 = 81 − 27 + 2 = 56

Comprobamos la solución efectuando la división por Ruffini.





Teorema del factor

El polinomio P(x) es divisible por un polinomio de la forma (x − a) si y sólo si P(x = a) = 0.

Al valor x = a se le llama raíz o cero de P(x).

Raíces de un polinomio

Son los valores que anulan el polinomio.

Ejemplo

Calcular las raíces del polinomio:

P(x) = x2 − 5x + 6

P(2) = 22 − 5 · 2 + 6 = 4 − 10 + 6 = 0

P(3) = 32 − 5 · 3 + 6 = 9 − 15 + 6 = 0

x = 2 y x = 3 son raíces o ceros del polinomio: P(x) = x2 − 5x + 6, porque P(2) = 0 y P(3) = 0.

Propiedades de las raíces y factores de un polinomio

1Los ceros o raíces enteras de un polinomio son divisores del término independiente del

polinomio.

2A cada raíz del tipo x = a le corresponde un binomio del tipo (x − a).

3Podemos expresar un polinomio en factores al escribirlo como producto de todos los binomios

del tipo (x — a), que se correspondan a las raíces, x = a, que se obtengan.

Ejemplo

x2 − 5x + 6 = (x − 2) · (x − 3)

4La suma de los exponentes de los binomios ha de ser igual al grado del polinomio.

5Todo polinomio que no tenga término independiente admite como raíz x = 0, o lo que es lo

mismo, admite como factor x.

Ejemplo

x2 + x = x · (x + 1)

Raíces: x = 0 y x = − 1

6Un polinomio se llama irreducible o primo cuando no puede descomponerse en factores.

Ejemplo

P(x) = x2 + x + 1





Cálculo de las raíces y factores de un polinomio

Partimos de los divisores del término independiente, con estos valores aplicamos el teorema del

resto y sabremos para que valores la división es exacta.

Ejemplo

Q(x) = x2 − x − 6

Los divisores del término independiente son: ±1, ±2, ±3.

Q(1) = 12 − 1 − 6 ≠ 0

Q(−1) = (−1)2 − (−1) − 6 ≠ 0

Q(2) = 22 − 2 − 6 ≠ 0

Q(−2) = (−2)2 − (−2) − 6 = 4 + 2 − 6 = 0

Q(3) = 32 − 3 − 6 = 9 − 3 − 6 = 0

Las raíces son: x = −2 y x = 3.

Q(x) = (x + 2) · (x − 3)

Sacar factor común

Consiste en aplicar la propiedad distributiva:

a · b + a · c + a · d = a (b + c + d)

Ejemplos

Descomponer en factores sacando factor común y hallar las raíces

1. x3 + x

2 = x

2 (x + 1)

La raíces son: x = 0 y x = −1

2. 2x4 + 4x

2 = 2x

2 (x

2 + 2)

Sólo tiene una raíz x = 0; ya que el polinomio, x2 + 2, no tiene ningún valor que lo anule; debido

a que al estar la x al cuadrado siempre dará un número positivo, por tanto es irreducible.

3. x2 − ax − bx + ab = x (x − a) − b (x − a) = (x − a) · (x − b)

La raíces son x = a y x = b.

Diferencia de cuadrados

Una diferencia de cuadrados es igual a suma por diferencia.

a2 − b

2 = (a + b) · (a − b)

Ejemplos

Descomponer en factores y hallar las raíces

1. x2 − 4 = (x + 2) · (x − 2)





Las raíces son x = −2 y x = 2

2. x4 − 16 = (x

2 + 4) · (x

2 − 4) = (x + 2) · (x − 2) · (x

2 + 4)

Las raíces son x = −2 y x = 2

Trinomio cuadrado perfecto

Un trinomio cuadrado perfecto es igual a un binomio al cuadrado.

a2 ± 2 a b + b

2 = (a ± b)

2

Ejemplos


1.

La raíz es x = −3, y se dice que es una raíz doble.

2.

La raíz es x = 2.

Trinomio de segundo grado

Para descomponer en factores el trinomio de segundo grado P(x) = ax2 + bx + c , se iguala a cero

y se resuelve la ecuación de 2º grado. Si las soluciones a la ecuación son x1 y x2, el polinomio

descompuesto será:

ax2 + bx + c = a · (x − x1) · (x − x2)

Ejemplos


1.





Las raíces son x = 3 y x = 2.

2.

Trinomios de cuarto grado de exponentes pares

Para hallar las raíces se iguala a cero y se resuelve la ecuación bicuadrada.

Ejemplos

1. x4 − 10x

2 + 9

x2 = t

x4 − 10x

2 + 9 = 0

t2 − 10t + 9 = 0

Las raíces son x = 3 y x = −2.

http://www.vitutor.com/ecuaciones/2/ecu3_Contenidos.html





x4 − 10x

2 + 9 = (x + 1) · (x − 1) · (x + 3) · (x − 3)

2. x4 − 2x

2 − 3

x2 = t

t2 − 2t − 3 = 0

x4 − 2x

2 + 3 = (x

2 + 1) · (x + ) · (x − )

Factorización de un polinomio de grado superior a dos

Utilizamos el teorema del resto y la regla de Ruffini para encontrar las raíces

enteras.

Los pasos a seguir los veremos con el polinomio:

P(x) = 2x4 + x

3 − 8x

2 − x + 6

1Tomamos los divisores del término independiente: ±1, ±2, ±3.

2Aplicando el teorema del resto sabremos para que valores la división es exacta.

P(1) = 2 · 14 + 1

3 − 8 · 1

2 − 1 + 6 = 2 + 1− 8 − 1 + 6 = 0

3Dividimos por Ruffini.

Por ser la división exacta, D = d · c

(x − 1) · (2x3 + 3x

2 − 5x − 6 )

Una raíz es x = 1.

Continuamos realizando las mismas operaciones al segundo factor.





Volvemos a probar por 1 porque el primer factor podría estar elevado al cuadrado.

P(1) = 2 · 13 + 3 · 1

2 − 5 · 1 − 6≠ 0

P(−1) = 2 · (−1)3 + 3 · (−1)

2 − 5 · (−1) − 6 = −2 + 3 + 5 − 6 = 0

(x −1) · (x + 1) · (2x2 +x −6)

Otra raíz es x = −1.

El tercer factor lo podemos encontrar aplicando la ecuación de 2º grado o tal como venimos

haciéndolo, aunque tiene el inconveniente de que sólo podemos encontrar raíces enteras.

El 1 lo descartamos y seguimos probando por −1.

P(−1) = 2 · (−1)2 + (−1) − 6 ≠ 0

P(2) = 2 · 22 + 2 − 6 ≠ 0

P(−2) = 2 · (−2)2 + (−2) − 6 = 2 · 4 − 2 − 6 = 0

(x − 1) · (x + 1) · (x + 2) · (2x − 3)

Sacamos factor común 2 en último binomio y encontramos una raíz racional.

2x − 3 = 2 (x − 3/2)

La factorización del polinomio queda:

P(x) = 2x4 + x

3 − 8x

2 − x + 6 = 2 (x −1) · (x +1) · (x +2) · (x − 3/2)

Las raíces son : x = 1, x = − 1, x = −2 y x = 3/2

Raíces racionales

Puede suceder que el polinomio no tenga raíces enteras y sólo tenga raíces racionales.

En este caso tomamos los divisores del término independiente dividido entre los divisores del

término con mayor grado, y aplicamos el teorema del resto y la regla de Ruffini.

P(x) = 12x3 + 8x

2 − 3x− 2

Probamos por: .





Sacamos factor común 12 en el tercer factor.

Fracciones algebraicas equivalentes

Dos fracciones algebraicas

son equivalentes, y lo representamos por:

si se verifica que P(x) · S(x) = Q(x) · R(x).





Ejemplo

son equivalentes porque:

(x+2) · (x− 2) = x2 − 4

Dada una fracción algebraica, si multiplicamos el numerador y el denominador de dicha

fracciónpor un mismo polinomio distinto de cero, la fracción algebraica resultante es equivalente

a la dada.

Simplificación de fracciones algebraicas

Para simplificar una fracción algebraica se divide el numerador y el denominador de la fracción

por un polinomio que sea factor común de ambos.

Ejemplo

Amplificación de fracciones algebraicas

Para amplificar una fracción algebraica se multiplica el numerador y el denominador de la

fracción por un polinomio.

Ejemplo

Definición

Dadas dos fracciones algebraicas, reducirlas a común denominador es encontrar dos fracciones

algebraicas equivalentes con el mismo denominador.

Pasos para reducir a común denominador

Nos valdremos de las fracciones siguientes:

1.Descomponemos los denominadores en factores para hallarles el mínimo común múltiplo, que

será el común denominador.





x2 − 1 = (x + 1) · (x − 1)

x2 + 3x + 2 = (x +1 ) · (x + 2)

m.c.m. (x2 − 1, x

2 + 3x + 2) = (x + 1) · (x − 1) · (x + 2)

2.Dividimos el común denominador entre los denominadores de las fracciones dadas y el

resultado lo multiplicamos por el numerador correspondiente.

Suma de fracciones algebraicas con el mismo denominador

La suma de fracciones algebraicas con el mismo denominador es otra fracción algebraica con el

mismo denominador y cuyo numerador es la suma de los numeradores.

Ejemplo

Sumar las fracciones algebraicas:

Suma de fracciones algebraicas con distinto denominador

Si las fracciones tienen distinto denominador en primer lugar se ponen las fracciones algebraicas

a común denominador, posteriormente se suman los numeradores.





Ejemplo

Sumar las fracciones algebraicas:

El producto de dos fracciones algebraicas es otra fracción algebraica donde el numerador es el

producto de los numeradores y el denominador es el producto de los denominadores.

Ejemplo

Multiplicar las fracciones algebraicas:





Simplificando nos queda:

El cociente de dos fracciones algebraicas es otra fracción algebraica con numerador el

producto del numerador de la primera por el denominador de la segunda, y con

denominador el producto del denominador de la primera por el numerador de la segunda.

Ejemplo

Dividir las fracciones algebraicas:

Simplificando nos queda:

Expresiones algebraicas

Trabajar en álgebra consiste en manejar relaciones numéricas en las que una o más cantidades

son desconocidas. Estas cantidades se llaman variables, incógnitas o indeterminadas y se

representan por letras.

Una expresión algebraica es una combinación de letras y números ligada por los signos de

las operaciones: adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación.

Valor numérico

El valor numérico de una expresión algebraica es el número que se obtiene al sustituir las

letras de la misma por números determinados y efectuar las operaciones indicadas en la

expresión.

Monomios





Un monomio es una expresión algebraica en la que las únicas operaciones que aparecen entre

las variables son el producto y la potencia de exponente natural

El coeficiente del monomio es el número que aparece multiplicando a las variables.

La parte literal está constituida por las letras y sus exponentes.

El grado de un monomio es la suma de todos los exponentes de las letras o variables.

Dos monomios son semejantes cuando tienen la misma parte literal.

Operaciones con monomios

Suma de Monomios


La suma de los monomios es otro monomio que tiene la misma parte literal y cuyo

coeficiente es la suma de los coeficientes.

Producto de un número por un monomio

El producto de un número por un monomio es otro monomio semejante cuyo coeficiente es el producto del coeficiente de monomio por el número.

Producto de monomios

El producto de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el producto de los

coeficientes y cuya parte literal se obtiene multiplicando las potencias que tenga la misma

base.

Cociente de monomios

El cociente de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el cociente de los

coeficientes y cuya parte literal se obtiene dividiendo las potencias que tenga la misma base.

Polinomios

Un polinomio es una expresión algebraica de la forma:

P(x) = an x n

+ an - 1 x n - 1

+ an - 2 x n - 2

+ ... + a1 x 1 + a 0

Siendo an, an - 1 ... a1 , ao números, llamados coeficientes.

n un número natural.

x la variable o indeterminada.

ao es el término independiente.

Grado de un polinomio

El grado de un polinomio P(x) es el mayor exponente al que se encuentra elevada la variable x.

Polinomio completo





Es aquel que tiene todos los términos desde el término independiente hasta el término de mayor

grado

Polinomio ordenado

Un polinomio está ordenado si los monomios que lo forman están escritos de mayor a menor

grado.

Polinomios iguales

Dos polinomios son iguales si verifican:


Los coeficientes de los términos del mismo grado son iguales.

Valor numérico de un polinomio

Es el resultado que obtenemos al sustituir la variable x por un número cualquiera.

Operaciones con polinomios

Suma de polinomios

Para sumar dos polinomios se suman los coeficientes de los términos del mismo grado.

La diferencia consiste en sumar el opuesto del sustraendo.

Multiplicación de polinomios

Producto de un número por un polinomio

Es otro polinomio que tiene de grado el mismo del polinomio y como coeficientes el producto

de los coeficientes del polinomio por el número.

Producto de un monomio por un polinomio

Se multiplica el monomio por todos y cada uno de los monomios que forman el polinomio.

Producto de polinomios

1 Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos segundo

polinomio.

2 Se suman los monomios del mismo grado.

División de polinomios

P(x) : Q(x)

A la izquierda situamos el dividendo. Si el polinomio no es completo dejamos huecos en los

lugares que correspondan.

A la derecha situamos el divisor dentro de una caja.

Dividimos el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor.





Multiplicamos cada término del polinomio divisor por el resultado anterior y lo restamos

del polinomio dividendo:

Volvemos a dividir el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor. Y el

resultado lo multiplicamos por el divisor y lo restamos al dividendo.

Repetimos el proceso anterior hasta que el grado del resto sea menor que el grado del divisor,

y por tanto no se puede continuar dividiendo.

Para comprobar si la operación es correcta, utilizaríamos la prueba de la división:

D = d · c + r

Regla de Ruffini

Si el divisor es un binomio de la forma x — a, entonces utilizamos un método más breve para

hacer la división, llamado regla de Ruffini .

(x4 −3x

2 +2 ) : (x −3 )

1Si el polinomio no es completo, lo completamos añadiendo los términos que faltan con

ceros.

2Colocamos los coeficientes del dividendo en una línea.

3Abajo a la izquierda colocamos el opuesto del término independiente del divisor.

4Trazamos una raya y bajamos el primer coeficiente.

5Multiplicamos ese coeficiente por el divisor y lo colocamos debajo del siguiente término.

6Sumamos los dos coeficientes.

7Repetimos los pasos 5y 6las veces que fuera necesarias.

8El último número obtenido es el resto.

9El cociente es un polinomio de grado inferior en una unidad al dividendo y cuyos

coeficientes son los que hemos obtenido.





Identidades notables

Binomio al cuadrado

(a ± b)2 = a

2 ± 2 · a · b + b

2

Suma por diferencia

(a + b) · (a − b) = a2 − b

2

Binomio al cubo

(a ± b)3 = a

3 ± 3 · a

2 · b + 3 · a · b

2 ± b

3

Factorización de un polinomio

Teorema del resto

El resto de la división de un polinomio P(x), entre un polinomio de la forma x - a es el valor

numérico de dicho polinomio para el valor: x = a.

Teorema del factor

El polinomio P(x) es divisible por un polinomio de la forma x - a si y sólo si P(x = a) = 0.

Al valor x = a se le llama raíz o cero de P(x).

Observaciones

1Los ceros o raíces son divisores del término independiente del polinomio.

2A cada raíz del tipo x = a le corresponde un binomio del tipo (x −a).

3 Podemos expresar un polinomio en factores al escribirlo como producto de todos los

binomios del tipo x — a, que se correspondan a las raíces x = a que se obtengan.

4La suma de los exponentes de los binomios ha de ser igual al grado del polinomio.

5Todo polinomio que no tenga término independiente admite como raíz x = 0, ó lo que es lo

mismo, admite como factor x.

6Un polinomio se llama irreducible o primo cuando no puede descomponerse en factores.

Métodos para factorizar un polinomio

Sacar factor común

Consiste en aplicar la propiedad distributiva.

a · b + a · c + a · d = a (b + c + d)

Igualdades notables

Diferencia de cuadrados

Una diferencia de cuadrados es igual a suma por diferencia.

a2 − b

2 = (a + b) · (a − b)





Trinomio cuadrado perfecto

Un trinomio cuadrado perfecto es igual a un binomio al cuadrado.

a2 ± 2 a b + b

2 = (a ± b)

2

Trinomio de segundo grado

a x2 + bx +c = a · (x -x1 ) · (x -x2 )

Polinomio de grado superior a dos.

Utilizamos el teorema del resto y la regla de Ruffini.

1Tomamos los divisores del término independiente: ±1, ±2, ±3.

2Aplicando el teorema del resto sabremos para que valores la división es exacta.

3Dividimos por Ruffini.

4Por ser la división exacta, D = d · c

5Continuamos realizando las mismas operaciones al segundo factor, y los nuevos que

obtengamos, hasta que sea de grado uno o no se pueda descomponer en factores reales.

Fracciones algebraicas

Una fracción algebraica es el cociente de dos polinomios y se representa por:

P(x) es el numerador y Q(x) el denominador.

Fracciones algebraicas equivalentes

Dos fracciones algebraicas

son equivalentes, y lo representamos por:

si se verifica que P(x) · S(x) = Q(x) · R(x).

Dada una fracción algebraica, si multiplicamos el numerador y el denominador de dicha

fracción por un mismo polinomio distinto de cero, la fracción algebraica resultante es

equivalente a la dada.





Simplificación de fracciones algebraicas

Para simplificar una fracción algebraica se divide el numerador y el denominador de la

fracción por un polinomio que sea factor común de ambos.

Reducción de fracciones algebraicas a común denominador

Dadas dos fracciones algebraicas, reducirlas a común denominador es encontrar dos fracciones

algebraicas equivalentes con el mismo denominador.

1Descomponemos los denominadores en factores para hallarles el mínimo común múltiplo,

que será el común denominador.

Dividimos el común denominador entre los denominadores de las fracciones dadas y el

resultado lo multiplicamos por el numerador correspondiente.

Operaciones con fracciones algebraicas

Suma y diferencia de fracciones algebraicas

Fracciones algebraicas con igual denominador

La suma de fracciones algebraicas con el mismo denominador es otra fracción algebraica

con el mismo denominador y cuyo numerador es la suma de los numeradores.

Fracciones algebraicas con distinto denominador

En primer lugar se ponen las fracciones algebraica a común denominador, posteriormente

se suman los numeradores.

Producto de fracciones algebraicas

El producto de dos fracciones algebraicas es otra fracción algebraica donde el numerador

es el producto de los numeradores y el denominador es el producto de los denominadores.

Cociente de fracciones algebraicas

El cociente de dos fracciones algebraicas es otra fracción algebraica con numerador el

producto del numerador de la primera por el denominador de la segunda, y con

denominador el producto del denominador de la primera por el numerador de la segunda.

PROBLEMARIO DE ALGEBRA I





EJERCICIOS DE MONOMIOS:

Indica cuales de las siguientes expresiones son monomios. En caso afirmativo, indica su

grado y coeficiente.

1.- 3x3

2.- 5x−3

3.- 3x + 1

4.-

5.-

6.-

7.-

Realiza las sumas y restas de monomios.

8.- 2x2y

3z + 3x

2y

3z =

9.- 2x3 − 5x

3 =

10.- 3x4 − 2x

4 + 7x

4 =

11.- 2a2bc

3 − 5a

2bc

3 + 3a

2bc

3 − 2 a

2bc

3 =

Efectúa los productos de monomios.

12.- (2x3) · (5x

3) =

13- (12x3) · (4x) =

14.- 5 (2x2y

3z) =

15.- (5x2y

3z) · (2y

2z

2) =

16.- (18x3y

2z

5) · (6x

3yz

2) =

17.- (−2x3) · (−5x) · (−3x

2) =

Realiza las divisiones de monomios.

18.- (12x3) ÷ (4x) =

19.- (18x6y

2z

5) ÷ (6x

3yz

2) =

20.- (36x3y

7z

4) ÷ (12x

2y

2) =





21.-

22.-

23.-

Calcula las potencias de los monomios

24.- (2x3)3 =

25.- (−3x2)3 =

26.-

EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE POLINOMIOS

Di si las siguientes expresiones algebraicas son polinomios o no. En caso afirmativo, señala cuál

es su grado y término independiente.

27.- x4 − 3x

5 + 2x

2 + 5

28.- + 7X2 + 2

29.- 1 − x4

30.-

31.- x3 + x

5 + x

2

32.- x − 2x−3

+ 8

33.-

Escribe:

34.- Un polinomio ordenado sin término independiente.

35.- Un polinomio no ordenado y completo.

36.- Un polinomio completo sin término independiente.

37.- Un polinomio de grado 4, completo y con coeficientes impares.

Dados los polinomios:





P(x) = 4x2 − 1

Q(x) = x3 − 3x

2 + 6x − 2

.-(x) = 6x2 + x + 1

S(x) = 1/2x2 + 4

T(x) = 3/2x2 + 5

U(x) = x2 + 2

Calcular:

38.- P(x) + Q (x) =

39.- P(x) − U (x) =

40.- P(x) + R (x) =

41.- 2P(x) − R (x) =

42.- S(x) + T(x) + U(x) =

43.- S(x) − T(x) + U(x) =

Dados los polinomios:

P(x) = x4 − 2x

2 − 6x − 1

Q(x) = x3 − 6x

2 + 4

R(x) = 2x4 − 2x − 2

Calcular:

44.- P(x) + Q(x) − R(x)

45.- P(x) + 2 Q(x) − R(x)

46.- Q(x) + R(x) − P(x)

Multiplicar:

47.- (x4 − 2x

2 + 2) · (x

2 − 2x + 3)

48.- (3x2 − 5x) · (2x

3 + 4x

2 − x + 2)

49.- (2x2 − 5x + 6) · (3x

4 − 5x

3 − 6x

2 + 4x − 3)

Dividir:

50.- (x4 − 2x

3 − 11x

2 + 30x − 20) : (x

2 + 3x − 2)

51.- (x6

+ 5x4 + 3x

2 − 2x) : (x

2 − x + 3)

52.- P(x) = x5 + 2x

3 − x − 8 Q(x) = x

2 − 2x + 1

Divide por Ruffini:

53.- (x3 + 2x + 70) : (x + 4)





54.- (x5 − 32) : (x − 2)

55.- (x4 − 3x

2 + 2 ) : (x −3)

Halla el resto de las siguientes divisiones:

56- (x5 − 2x

2 − 3) : (x −1)

57.- (2x4 − 2x

3 + 3x

2 + 5x + 10) : (x + 2)

58.- (x4 − 3x

2 + 2) : (x − 3)

Indica cuáles de estas divisiones son exactas:

59.- (x3 − 5x −1) : (x − 3)

60.- (x6 − 1) : (x + 1)

61.- (x4 − 2x

3 + x

2 + x − 1) : (x − 1)

62.- (x10

− 1024) : (x + 2)

Comprueba que los siguientes polinomios tienen como factores los que se indican:

63.- (x3 − 5x − 1) tiene por factor (x − 3)

64.- (x6 − 1) tiene por factor (x + 1)

65.- (x4 − 2x

3 + x

2 + x − 1) tiene por factor (x − 1)

66.- (x10

− 1024) tiene por factor (x + 2)

67.- Hallar a y b para que el polinomio x5 − ax + b sea divisible por x

2 − 4.

68.- Determina los coeficientes de a y b para que el polinomio x3 + ax

2 + bx + 5 sea divisible

por x2 + x + 1.

69.- Encontrar el valor de k para que al dividir 2x2 − kx + 2 por (x − 2) dé de resto 4.

70.- Determinar el valor de m para que 3x2 + mx + 4 admita x = 1 como una de sus raíces.

71.-Hallar un polinomio de cuarto grado que sea divisible por x2 − 4 y se anule para x = 3 y x= 5.

72.- Calcular el valor de a para que el polinomio x3 − ax + 8 tenga la raíz x = −2, y calcular las

otras raíces.

EJERCICIOS DE IGUALDADES NOTABLES

Desarrolla los siguientes binomios:

73.- (x + 5)2 =

74.- (2x − 5)2 =

75.- (3x − 2)2 =

76.-





Desarrolla los siguientes binomios al cubo:

77.- (2x − 3)3 =

78.- (x + 2)3 =

79.- (3x − 2)3 =

80.- (2x + 5)3 =

Desarrolla:

81.- (3x − 2) · (3x + 2) =

82.- (x + 5) · (x − 5) =

83.- (3x − 2) · (3x + 2) =

84.- (3x − 5) · (3x − 5) =

Desarrolla las expresiones:

85.- (x2 − x + 1)

2 =

86.- 8x3 + 27 =

87.- 8x3 − 27 =

88.- (x + 2) (x + 3)

EJERCICIOS DE FRACCIONES ALGEBRAICAS

Simplificar las fracciones algebraicas:

89-

90.-

91.-

92.-

93.-

94.- Suma las fracciones algebraicas:





95.- Resta las fracciones algebraicas:

Multiplica las fracciones algebraicas:

96.-

97.-

Divide las fracciones algebraicas:

98.-

99.-

100.- Opera:

101.- Efectúa:

102.- Realiza:

FACTORIZA LOS SIGUIENTES EJERCICIOS POR LOS TRES METODOS: A) FORMULA

GENERAL, TRINOMIO CUADRADO PERFECTO Y POR FACTOR COMÚN.

103. 5 +13X-18=0 104. 12 -X-6= 0 105. 10 +11 +13=0

106. 20 +y -1= 0 107. 6 -2x-4=0 108. 2 +5x+3=0

109. 5 +8y+3=0 110. 4 +13x+3=0 111. 8 -10x+3=0





112. 2 +7x+3=0 113. 12 -7x+1=0 114. 3 +4x-4=0

115. 3 -x-2=0 116. 4 +16x+7=0 117. 6 - -2=0

118. 15 +14y-8=0 119. 12 -5x-2=0 120. 4 -4y-3=0

121. 5 -8x+3=0 122. 6 17x+12=0 123. 14 -31m-10=0

124. 9 +10x+1=0 125. 8 -14 -15=0 126. 2 -3n-20=0

127. 3 -5x-2=0 128. 2 -5x+2=0 129. 3 -2x-7=0

130. En el siguiente cuadro, coloca los números del 8 al 23 de tal manera que al sumarlos

horizontal, vertical o diagonalmente, el resultado sea siempre 62.

131. Un alumno de la Preparatoria “x” lee 225 palabras por minuto. ¿Cuántas palabras leerá

en 25 segundos?

132. Si una empresa disquera produce 125,000 C.D. mensuales y necesita elevar su

producción en 9%, ¿cuántos discos deberá producir para cubrir la demanda?

133. Los muelles de una camioneta tienen tres placas de acero, cuyos espesores son de 1/2,

1/4, 1/8 de pulgada respectivamente, ¿cuál es el espesor total de dichos muelles?





134. Si colocamos 50 monedas de un peso (una sobre otra), ¿cuántos centímetros de altura

alcanzan si cada una mide 1.9 milímetros de espesor?

135. Para pintar su casa, el propietario utilizó cuatro días, el primer día gastó 2

.14 litros de

pintura, el segundo 4

34 litros, el tercero 8

33 litros y el último 6

52 litros, si compró una

cubeta de 19 litros, ¿le sobró o le faltó pintura y cuánto?

136. De un rollo de tela de alambre un comerciante ha vendido dos partes, una de 7

2 y la otra

de 53 , ¿qué cantidad del rollo faltó por venderse?

137. Un campesino debe sembrar 7 hectáreas de terreno, si en tres días sembró 34 , 6

11 ,

751 de hectárea respectivamente y desea terminar en dos días más, ¿qué cantidad de terreno

debe sembrar de manera equitativa en los días que le faltan?

138. Si te dieran a escoger de 5/6 y 6/7 de pizza, ¿cuál de las dos porciones escogerías para

que te tocara más? Justifica tu respuesta.

139. ¿Cuántas botellas de litro y medio de capacidad se pueden llenar con 3 galones de aceite

si cada galón equivale a 3.875 litros?

140. Si un grado sexagesimal equivale a 0.01745 radianes, ¿cuántos radianes habrá en 297.3

grados?

141. Un automóvil circula a velocidad promedio de 95 km/h, ¿qué distancia habrá recorrido en

5 horas con 38 minutos?

142. La capacidad de un tanque estacionario de gas LP es de 300 litros, para satisfacer sus

necesidades una familia gasta 5/8 del tanque mensualmente, ¿cuántos litros de gas necesita

comprar cada año?





143. Un profesionista distribuye su sueldo quincenal de la siguiente manera: 1/3 para

alimentación, 2/5 para vestido; 9/40 para otros gastos y el resto lo guarda, ¿en qué tiempo

habrá ahorrado lo que gana exactamente en un mes?

144. Si en una Preparatoria “x” 98 hombres representan las 2/3 partes del total de alumnos,

¿cuántas mujeres son alumnas de esa Institución?

145. Si el valor exacto de Sen 45° es 2

2, ¿cuál es su valor aproximado?

146. La cancha de básquetbol tiene una circunferencia central y dos semicircunferencias en la

zona de tiro libre. Si oficialmente su diámetro debe medir 3 metros,

a) ¿Cuál es el perímetro de cada una de ellas?

b) Calcule el área del círculo y de las dos semicircunferencias.

c) Si para pintar 1.9 m2 de superficie se requiere un litro de pintura, ¿qué cantidad se

necesita para pintar la circunferencia central y los dos semicírculos

147. Completa la siguiente tabla para obtener el valor aproximado del número “e”.

x x

11

x

x

11

1

10

100

1000

10000

100000





1000000

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COMPETENCIAS MATEMÁTICAS ESPECÍFICAS / · PDF filea la alfabetización satisfactoria, y esta se manifiesta en términos de competencias ... es la suma algebraica de un real con un