Topologia Algebraica Fundamentos

GUSTAVO

RUBIANO Fundamentos de

[Topologıa Algebraica]

GUSTAVO

RUBIANO

GUSTAVO

RUBIANO Fundamentos de

[Topologıa Algebraica]

Gustavo N. Rubiano O.Profesor Titular

Universidad Nacional de ColombiaFacultad de Ciencias

Sede Bogota

GUSTAVO

RUBIANO vi, 235 p. : 102 il. 00ISBN 958-701-613-0

1. Topologıa Algebraica

Gustavo N. Rubiano O.

Fundamentos de Topologıa Algebraica, 1a. edicion.

Universidad Nacional de Colombia, Sede Bogota.Facultad de Ciencias, 2007

Mathematics Subject Classification 2000: 55-01.

c© Edicion en castellano: Gustavo Nevardo Rubiano OrtegonUniversidad Nacional de Colombia.

Diagramacion y diseno interior en LATEX:Gustavo RubianoGraficas interiores: el autor.

Primera impresion, 2007

Impresion:Pro-Offset Editorial S.A.Bogota, D. C.COLOMBIA

GUSTAVO

RUBIANO Indice general

Prologo V

1. Conjuntos 1

1.1. Operaciones entre conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2. Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3. Relaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3.1. Relacion de equivalencia . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3.2. Relacion de orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4. Cardinalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2. Algebra 8

2.1. Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2. Homomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.3. Subgrupo normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.3.1. Factorizacion de homomorfismos . . . . . . . . . . . . 13

2.4. Grupos cıclicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.5. Grupos generados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.5.1. El subgrupo conmutador . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.6. Construccion de nuevos grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.7. Grupos libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.7.1. Grupos libres abelianos . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

i

GUSTAVO

RUBIANO ii INDICE GENERAL

2.7.2. Representacion de grupos libres . . . . . . . . . . . . . 21

2.8. Producto libre de grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.8.1. Producto amalgamado de dos grupos . . . . . . . . . . 24

3. Topologıa 25

3.1. Construccion de espacios topologicos . . . . . . . . . . . . . . 26

3.1.1. Suma topologica o topologıa de la union libre . . . . . 26

3.1.2. Topologıa cociente o identificacion . . . . . . . . . . . 30

3.2. Grupos topologicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.2.1. G-espacios y espacios orbita . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.3. Espacios de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.3.1. La topologıa punto–abierto . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.3.2. La topologıa compacto–abierto . . . . . . . . . . . . . 63

3.3.3. ¿ZX×Y ≈ (ZY )X? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.4. Conexidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.4.1. Subespacios conexos maximales . . . . . . . . . . . . 71

3.5. Caminos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.5.1. Conexo por caminos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.5.2. Componentes conexas por caminos . . . . . . . . . . . 75

3.5.3. Localmente conexo por caminos . . . . . . . . . . . . . 76

4. Homotopıa 78

4.1. Deformacion continua de una funcion . . . . . . . . . . . . . . 78

4.2. Caminos homotopos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.2.1. El conjunto Π0(Ω(X, x0)) . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.2.2. Caminos homotopos rel0, 1 . . . . . . . . . . . . . 85

4.2.3. Clases de homotopıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

4.2.4. Cambio del punto base . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4.2.5. Π1(S1), lo intuitivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

GUSTAVO

RUBIANO INDICE GENERAL iii

4.3. El grupo fundamental y las funciones . . . . . . . . . . . . . . 106

4.3.1. Homomorfismos inducidos . . . . . . . . . . . . . . . . 106

4.3.2. Retracciones y retractos . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

4.3.3. Equivalencias para homotopıa . . . . . . . . . . . . . . 116

4.3.4. Retractos por deformacion . . . . . . . . . . . . . . . . 119

4.4. Teorema de Seifert—Van Kampen . . . . . . . . . . . . . . . 127

4.5. Πn(X), una generalizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

5. Espacios recubridores 139

5.1. Teoremas de levantamiento de caminos . . . . . . . . . . . . . 145

5.2. Grupo fundamental y espacios recubridores . . . . . . . . . . 150

5.2.1. Homomorfismo inducido por una proyeccion recubri-dora. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

5.3. Criterio para la existencia de levantamientos . . . . . . . . . . 155

5.4. Clasificacion de los recubrimientos sobre un espacio . . . . . . 158

5.4.1. Recubrimiento universal . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

5.4.2. Transformaciones Deck y acciones de grupos . . . . . 168

6. Homologıa 172

6.1. Complejos simpliciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

6.2. Homologıa sin orientacion, i.e. mod 2 . . . . . . . . . . . . . . 178

6.2.1. Cadenas, ciclos y fronteras . . . . . . . . . . . . . . . . 178

6.3. Homologıa simplicial —coeficientes en Z— . . . . . . . . . . . 185

6.3.1. Grupos de homologıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

6.4. Homologıa singular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

6.4.1. Sımplices regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

6.4.2. Cadenas regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

6.4.3. Comportamiento funtorial . . . . . . . . . . . . . . . . 204

GUSTAVO

RUBIANO

GUSTAVO

RUBIANO Prologo

El fin ultimo de la topologıa algebraica es tener una manera de trasladarpreguntas de la topologıa conjuntista al algebra. La estructura algebraica queutilizamos en estas notas es la de grupo. El mecanismo consiste en “inventar”una construccion que a cada espacio topologico X que consideremos le asigneun grupo G(X). A continuacion extender este mecanismo a las funcionescontinuas, de suerte que a una funcion f : X → Y le sea asignado unhomomorfismo de grupos G(f) : G(F ) → G(Y ). Pero la construccion debesatisfacer condiciones de “buen comportamiento” como ser natural en lacomposicion, G(f g) = G(f)G(g) y que a cada homeomorfismo le corres-ponda un isomorfismo, entre otras. En general lo que pedimos es lo llamadoun comportamiento functorial.

A manera de ilustracion, en topologıa la pregunta ¿R ≈ R2?, i.e. ¿esR topologicamente equivalente —homeomorfo— a R2? tiene una respuestainmediata y negativa dentro del contexto de un curso de topologıa gene-ral. Pero a una pregunta similar como ¿R2 ≈ R3? no tiene respuesta conlas propiedades usuales que conocemos de compacidad, conexidad, sepa-racion, metrizabilidad, etc. ver la pagina 114. Lo mismo sucede para ¿S2 ≈toro? ¿toro ≈ botella de Klein? La respuestas a estas preguntas sonalgebraicas: consiste en asignar el grupo fundamental de homotopıa o lacadena de homologıa a cada uno de los espacios involucrados y observar queson diferentes, lo que implica que no son homeomorfos.

El texto requiere de conocimientos previos en conjuntos, topologıa gene-ral y algebra abstracta en el topico de los grupos. Estos conocimientos sonlos basicos y por ello son incluidos de manera sucinta en los capıtulos 1, 2 y 3donde en general se omiten las demostraciones, pues de otra manera el textose tornarıa extremadamente largo acercandose a lo ineficaz, pero a cambiose referencia en la bibliografıa las fuentes que pueden ser consultadas. Lasafirmaciones que al ser leıdas con poca atencion se puedan prestar a mal

v

GUSTAVO

RUBIANO vi INDICE GENERAL

entendidos son marcadas con el sımbolo

.Los capıtulos 4, 5 y 6 son la razon de este escrito y por tanto todo el

esfuerzo esta dirigido a hacer de ellos material auto contenido, explicado,demostrado en todo detalle y por supuesto, algo que no es comun poderhacer en matematicas en general pero en este caso sı: dibujar.

La seccion de espacios de recubrimiento, muestra la hermosa conexionentre el algebra y la topologıa a traves de preguntas en la una y respuestasen la otra.

Por supuesto, y como en casi todo libro de texto, todo lo dicho aquı yaesta dicho en alguna otra parte, de suerte que, lo unico original es la eleccionde los temas y la presentacion de los mismos. Como estas notas son a manerade exposicion, he decidido no incluir los clasicos ejercicios.

Mi gratitud a la Universidad Nacional de Colombia por otorgarme esetiempo extra con el cual ya no pueden existir disculpas para no escribir loque he querido.

Gustavo Nevardo Rubiano Ortegon

Departamento de MatematicasUniversidad Nacional de Colombia

Ciudad Universitaria, Bogota, [email protected]

Septiembre de 2006

GUSTAVO

RUBIANO Capıtulo 1

Conjuntos

Contenido

1.1. Operaciones entre conjuntos . . . . . . . . . . . . 11.2. Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3. Relaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3.1. Relacion de equivalencia . . . . . . . . . . . . . . . 51.3.2. Relacion de orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4. Cardinalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

En este primer capıtulo presentamos de manera sucinta, los conceptosde la teorıa de conjuntos que el lector debe tener presente para la lectura deeste texto, con la finalidad de establecer un lenguaje comun entre el autory el lector con respecto a la notacion.

1.1. Operaciones entre conjuntos

Algunas veces es muy conveniente adjudicar un nombre o ındice a cadaelemento de una coleccion A de conjuntos.

Un conjunto J y una correspondencia f : J −→ A definida por j 7→ Aj—para cada j ∈ I, el conjunto f(j) ∈ A es notado como f(j) = Aj — quehace corresponder a cada j ∈ J un conjunto Aj constituye por definicionuna familia A indizada por J y brevemente la notamos

A = Aj | j ∈ J.

1

GUSTAVO

RUBIANO 2 CAPITULO 1. CONJUNTOS

Siempre olvidamos como se definio f y lo unico que registramos es quela familia quedo efectivamente indizada como A = Ajj∈J . Definimos lossiguientes conjuntos:

1. Union de una familia de conjuntos,

⋃A =

⋃

j∈J

Aj = x | x ∈ Aj, algun j ∈ J.

2. Interseccion de una familia de conjuntos,

⋂A =

⋂

j∈J

Aj = x | x ∈ Aj, para cada j ∈ J.

3. Producto de una familia de conjuntos,

∏

j∈J

Aj = f : J −→⋃

j∈J

Aj | f(j) ∈ Aj

.

4. Suma de una familia de conjuntos. Tambien se acostumbra notar como∐j∈J Aj y llamarse entonces el coproducto de la familia.

∑

j∈J

Aj = (a, j) | a ∈ Aj , j ∈ J.

Si A = Aj | j ∈ J es tal que cada Aj ⊆ X, decimos entonces que A esuna familia de subconjuntos de X.

Si J = ∅ —el conjunto vacıo— entonces

1.⋃j∈J Aj = ∅.

2.⋂j∈J Aj = X.

Decimos que la familia A = Aj | j ∈ J es una particion de X si paratodo i, j ∈ J se tiene que

1. Aj 6= ∅.

2. i 6= j implica Ai ∩Aj = ∅.

GUSTAVO

RUBIANO 1.2. FUNCIONES 3

3.⋃j∈J Aj = X. Esta condicion dice que A es un cubrimiento de X.

Dadas las familias A = Aj | j ∈ J, B = Bi | i ∈ I en X se tienen lassiguientes igualdades —Ac o A denota el complemento de A en X—.

1. (⋃j∈J Aj)

c =⋂j∈J A

cj .

2. (⋂j∈J Aj)

c =⋃j∈J A

cj .

3. (⋃j∈J Aj)

⋂(⋃i∈I Bi) =

⋃i∈I(

⋃j∈J(Aj

⋂Bi)).

4. (⋂j∈J Aj)

⋃(⋂i∈I Bi) =

⋂j∈J(

⋂i∈I(Aj

⋃Bi)).

El axioma de eleccion dice que∏j∈J Aj 6= ∅ si y solo si Aj 6= ∅ para

cada j ∈ J 6= ∅.

1.∏j∈J Aj ⊆

∏j∈J Bj si y solo si Aj ⊆ Bj para cada j ∈ J.

2.∏j∈J Aj

⋂ ∏j∈J Bj =

∏j∈J(Aj

⋂Bj).

3.∏j∈J Aj

⋃ ∏j∈J Bj ⊆

∏j∈J(Aj

⋃Bj).

4. (⋃i∈I Ai)× (

⋃j∈J Bj) =

⋃(i,j)∈I×J(Ai ×Bj).

1.2. Funciones

Dada la funcion f : X −→ Y definimos la imagen de A ⊆ X por fcomo el conjunto

f(A) := y ∈ Y | y = f(x) para algun x ∈ A.

La imagen inversa de B ⊆ Y por f es el conjunto

f−1(B) = x ∈ X | f(x) ∈ B.

Sean Ai | i ∈ I, Bj | j ∈ J familias de conjuntos en X y Y respectiva-mente. Es un ejercicio verificar las siguientes propiedades:

1. f(⋂i∈I Ai) ⊆

⋂i∈I f(Ai).

2. f(⋃i∈I Ai) =

⋃i∈I f(Ai).

GUSTAVO


3. f−1(⋂j∈J Bj) =

⋂j∈J f

−1(Bj).

4. f−1(⋃j∈J Bj) =

⋃j∈J f

−1(Bj).

5. f−1(Bcj ) = [f−1(Bj)]

c.

6. f(f−1(Bi)) ⊆ Bi.

7. Ai ⊆ f−1(f(Ai)).

Notese que el comportamiento de f−1 —la imagen inversa por f— esimpecable.

Una funcion f : X −→ Y se dice sobre o sobreyectiva si f(X) = Y ;f se dice uno a uno, o inyectiva si x 6= y implica f(x) 6= f(y).

Dada f : X −→ Y y cualesquiera A,B ⊆ X, C ⊆ Y tenemos que,

1. f es inyectiva si y solo si f(A ∩B) = f(A) ∩ f(B).

2. f es sobre si y solo si f−1(C) 6= ∅ para todo C 6= ∅.

3. Si f es inyectiva y sobre —biyeccion— entonces f−1 es una biyeccionde Y en X.

4. Si f es biyeccion entonces f(Ac) = f(A)c.

5. f es sobre si y solo si f(f−1(C)) = C.

6. f es inyectiva si y solo si f−1(f(A)) = A.

7. f es biyeccion si y solo si para cada y ∈ Y , f−1(y) es un conjuntounitario de X. Caso para el cual f−1 : Y −→ X es una funcion biendefinida.

La siguiente afirmacion utiliza el concepto de composicion de funciones:Sean f : X −→ Y , g : Y −→ X dos funciones tales que g f = idX dondeidX : X −→ X es la funcion identidad, entonces g es sobre y f es uno a uno.

Tambien podemos considerar una familia H indizada de funciones

H = hi : Xi −→ Yii∈I .

La funcion h =∏i∈I hi :

∏Xi∈I −→

∏Yi∈I definida por h((xi)i) := (h(xi))i

es conocida como la funcion producto.

GUSTAVO

RUBIANO 1.3. RELACIONES 5

1.3. Relaciones

Si X es un conjunto, una relacion R en X es un subconjunto de X×X.Decimos que R es

1. Reflexiva: si (x, x) ∈ R para todo x ∈ X — ∆(X) ⊆ R donde ∆(X)es la relacion identica o diagonal de X—.

2. Simetrica: si (x, y) ∈ R implica (y, x) ∈ R —R−1 = R—.

3. Antisimetrica: si (x, y), (y, x) ∈ R implica x = y —R−1 ∩ R ⊆∆(X)—.

4. Transitiva: si (x, y), (y, z) ∈ R implica (x, z) ∈ R —R R ⊂ R—.

1.3.1. Relacion de equivalencia

R es llamada de equivalencia si de manera simultanea es reflexiva,simetrica y transitiva. Cada relacion de equivalencia determina una particionX/R = [x] : x ∈ X de X formada por las clases de equivalencia [x] = y :xRy; de manera natural existe una funcion sobreyectiva

q : X −→ X/R.

Toda funcion f : X −→ Y define una relacion de equivalencia en X si definimos x ∼ y si y solo si f(x) = f(y). En este caso notamos a la relacion(y a la particion) como Rf con Rf = f−1(t) : t ∈ f(X).

El siguiente diagrama es conmutativo, dondeRfse encarga de igualar los puntos que tienen unamisma imagen, con lo cual hf definida comohf ([x]) := f(x) esta bien definida, es un mo-nomorfismo y por su codominio es un epimorfis-mo, es decir tenemos un isomorfismo con inversahf

−1(y) = f−1(y).

q

X Y

X/Rf f [X]

-f

?-

hf

-≈

6

i

El anterior diagrama se conoce como el teorema de la factorizacionde funciones entre conjuntos o teorema del cociente para conjuntos.

GUSTAVO


1.3.2. Relacion de orden

R es llamada una relacion de orden parcial si de manera simultaneaes reflexiva, antisimetrica y transitiva. Es comun en este caso notar a Rcomo ≤, de suerte que (x, y) ∈ R se nota x ≤ y y decimos que x es menoro igual a y. Un elemento m ∈ X es llamado maximal para X si m ≤ ximplica m = x (cada vez que m este relacionado, m debe ser entonces mayoro igual).

Un subconjunto P de X es totalmente ordenado o es una cadena sipara cada par de elementos a, b ∈ P se tiene que a ≤ b o b ≤ a; u ∈ X esuna cota superior para P si x ≤ u para todo x ∈ P .

Un resultado fundamental —y equivalente al axioma de eleccion— cono-cido como el Lema de Zorn, nos asegura la existencia de elementos (exacta-mente de elementos maximales): si en un conjunto X ordenado—parcial o total— todo subconjunto P totalmente ordenado posee una cotasuperior en X, entonces X tiene al menos un elemento maximal.

1.4. Cardinalidad

Definimos dos conjuntos X,Y como equivalentes si existe una biyec-cion f : X −→ Y . Esta es una relacion de equivalencia y a cada clase deequivalencia la llamamos un numero cardinal y la notamos #(X). El car-dinal de N lo notamos de manera especial como ω o ℵ0. El cardinal de Rcomo c.

X es finito si es equivalente al conjunto 1, 2, 3, 4, . . . , n para algun n ∈N. En caso contrario decimos que X es infinito. Si X es finito o equivalentea N decimos que X es enumerable o contable.

Sin duda alguna el problema irresoluble mas famoso —desde los axiomasusuales de la teorıa de conjuntos— es el primer problema de Hilbert:

Hipotesis del continuo (Cantor). Si X ⊆ R es no contable entoncesexiste una biyeccion f : X −→ R.

Si J es enumerable y cada conjunto Aj es enumerable, entonces tambienlo es

⋃j∈J Aj .

Tenemos una gran diferencia entre uniones enumerables y productos enu-merables: si J es enumerable infinito y cada Aj es enumerable, entonces∏j∈J Aj es no enumerable.

GUSTAVO

RUBIANO 1.4. CARDINALIDAD 7

Teorema de Cantor. Si ℘(X) (o 2X) denota al conjunto de los sub-conjuntos de X 6= ∅, entonces el cardinal de X es menor que el cardinal de℘(X).

Para una demostracion ver [21].

La aritmetica de los numeros cardinales se puede resumir como:

1. Sean d, e numeros cardinales con d ≤ e, d 6= 0 y e infinito. Entoncesd+ e = e y d · e = e.

2.ab m ℵ0 c

n nm c 2c

ℵ0 ℵ0 c 2c

c c c 2c

GUSTAVO

RUBIANO Capıtulo 2

Algebra

Contenido

2.1. Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.2. Homomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.3. Subgrupo normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.4. Grupos cıclicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.5. Construccion de grupos . . . . . . . . . . . . . . . 142.6. Grupos generados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.7. Factorizacion de homomorfismos . . . . . . . . . 162.8. El subgrupo conmutador . . . . . . . . . . . . . . 172.9. Grupos libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.10. Grupos libres abelianos . . . . . . . . . . . . . . . 192.11. Representacion de grupos libres . . . . . . . . . . 202.12. Producto libre de grupos . . . . . . . . . . . . . . 21

2.12.1. Producto amalgamado de dos grupos . . . . . . . . 23

Este capıtulo presenta los conceptos del algebra abstracta que en ade-lante seran utilizados. Los hemos aislado en este capıtulo con la finalidadque el lector tenga certeza de cuanto del algebra (y no mas) debe conocer.

2.1. Grupos

Definicion 2.1 (monoide). Sea A un conjunto no vacıo. Una funcion∗ : A × A −→ A se llama una ley de composicion interna o una ope-racion interna en A. Al par (A, ∗) se le denomina un monoide.

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GUSTAVO

RUBIANO 2.1. GRUPOS 9

Dados a, b, c ∈ A podemos calcular a ∗ (b ∗ c) y (a ∗ b) ∗ c, si queremosque este calculo sea igual, entonces lo que exigimos es que ∗ sea asociativo,es decir que para todo a, b, c ∈ A

a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c.

Definicion 2.2 (grupo). Un monoide asociativo se llama semigrupo. Ungrupo (A, ∗) es un semigrupo en el cual

1. Existe e ∈ A tal que a ∗ e = a = e ∗ a para todo a ∈ A.

2. Para cada a ∈ A, existe b ∈ A tal que a ∗ b = e = b ∗ a.

La propiedad en 1 garantiza la existencia de un unico elemento neutropara la operacion ∗. La propiedad 2 garantiza la existencia del elementoinverso para cada a ∈ A. Este elemento se acostumbra a notar −a o a−1

segun utilicemos notacion aditiva o multiplicativa, es decir a∗a = a+a := 2ao a ∗ a = aa := a2.

En lo posible utilizaremos notacion multiplicativa: a−1a−1 = a−2, e = 1,a0 = 1, a ∗ b = ab.

Si ab = ba para todo a, b ∈ A, decimos que el grupo A es abeliano. Ungrupo arbitrario lo notamos (G, ∗).Ejemplo 2.3. SA. Dado un conjunto A el conjunto de todas las permuta-ciones (biyecciones) de A con la operacion de composicion forma un grupollamado el grupo simetrico y notado SA.

Si en particular A = 1, 2, . . . , n lo notamos Sn y cada permutacionσ ∈ Sn se puede expresar como un producto de transposiciones (unatransposicion es una clase especial de permutacion donde solo dos elementosson intercambiados y los demas n − 2 son dejados fijos) y el signo de σ es1 o −1 dependiendo que el numero de transposiciones sea par o impar.

Definicion 2.4. Sea (G, ∗) un grupo. Si H ⊆ G es tal que ∗ : H×H → H esuna operacion de grupo, decimos que H es un subgrupo de G y lo notamosH ≤ G.

Ejemplo 2.5. El conjunto de todas las permutaciones pares en Sn formanun subgrupo con n!

2 elementos y llamado el subgrupo alternante de Sn.

Sea (G, ∗) un grupo. Si A,B ⊆ G, definimos

AB = ab : a ∈ A, b ∈ B.

GUSTAVO

RUBIANO 10 CAPITULO 2. ALGEBRA

(AB := A∗B y como la operacion que utilizamos es multiplicacion notamossimplemente AB). Si A = a, entonces AB = aB. Notamos por A−1 =a−1 : a ∈ A. Con estas notaciones se verifica que H ⊆ G es un subgruposi y solo si H 6= ∅ y HH−1 ⊆ H.

Cuando H es un subgrupo de G, los subconjuntos de la forma aH (Ha)son llamados coclases a izquierda (derecha). La palabra coclase la jus-tificamos si tenemos una particion de G. En efecto, si aH ∩ bH 6= ∅ entoncesaH = bH y por tanto

R := aH : a ∈ G

es una particion de G, donde la relacion ∼ de equivalencia inducida es: a ∼ bsi y solo si a−1b ∈ H. Si G es abeliano, cada coclase a izquierda aH es coclasea derecha Ha.

Si G es un grupo finito, entonces el orden |G| de G es el numero deelementos en G.

Definicion 2.6. Sea H un subgrupo de un grupo G de orden finito. Elındice (G : H) de H en G es igual a |G|/|H|. Ası, el ındice es el numero decoclases a izquierda (derecha) de H.

Ejemplo 2.7. Sean G = C − 0 (los numeros complejos no nulos) y ∗ laoperacion (a, b)(c, d) := (ac− bd, ad + bc).

El elemento unidad es (1, 0).

(a, b)−1 =

(a

a2 + b2,−b

a2 + b2

).

Si z = (a, b), z−1 =z

|z|2 donde z denota al conjugado y |z| =√a2 + b2

es la distancia del punto al origen.

El subconjunto H = z : |z| = 1, es un subgru-po y se nota S1 (la circunferencia unidad). Six ∈ G entonces xH es la circunferencia de cen-tro (0, 0) y radio |x| (para todo h ∈ H tenemos|xh| = |x||h| = |x|1 = |x|; ver la figura).

xH

GUSTAVO

RUBIANO 2.2. HOMOMORFISMOS 11

2.2. Homomorfismos

Una vez definidos los grupos, la pregunta natural es como caracterizarlos:¿cuantos grupos “diferentes” existen? Por tanto definimos funciones entrelos grupos que relacionen los conjuntos y sus estructuras.

Definicion 2.8. Dados dos gruposG,H un homomorfismo es una funcionf : G→ H (como conjuntos) que satisface f(ab) = f(a)f(b) (la operacion ala izquierda de la igualdad es en G y a la derecha es en H).

Esta definicion puede ser representada diciendoque el siguiente diagrama conmuta. La exigenciapara un homomorfismo de preservar la identidady la inversa es intrınseca, f(e) = e, f(a−1) =f(a)−1. Ademas la imagen de un subgrupo esun subgrupo, en particular f(G) ≤ H.

G×G H ×H

G H

-f×f

?∗

?∗

-f

Ejemplo 2.9. La funcion f : (R,+) −→ (C− 0, ·) dada por

f(x) = (cos x, sen x) = eix

satisface

f(x+ y) = (cos (x+ y), sen(x+ y))

= (cos x cos y − senx sen y, senx cos y + sen y cos x)

= (cos x, sen y)(cos y, senx)

= f(x)f(y).

Si pensamos que en la circunferencia S1 un punto en ella es un angulo,entonces el producto f(x)f(y) es “geometricamente” la suma de los angulos.

2.3. Subgrupo normal

Definicion 2.10. Para cada homomorfismo f : G→ H el conjunto f−1(1)es un subgrupo de G. f−1(1) ≤ G recibe el nombre de Ker(f) o nucleo def .

Un homomorfismo es inyectivo si y solo si Ker(f) = 1. Este subgruponucleo goza de la propiedad

gKer(f)g−1 = Ker(f) para todo g ∈ G.

GUSTAVO


De hecho, esta propiedad es nada trivial. Si un subgrupo H ≤ G es tal quegHg−1 = H para todo g ∈ G lo llamamos normal o invariante y notamosH E G.

Lo de invariante se justifica por lo siguiente: dado g ∈ G definimosig : G → G como ig(x) = gxg−1 la cual es biyeccion y homomorfismo—isomorfismo (solo cambia los nombres de los elementos y preserva laestructura algebraica y usamos el sımbolo ≈ para isomorfismo)— mas aun,automorfismo (i. e. un isomorfismo de un grupo en sı mismo). Este auto-morfismo ig es llamado el automorfismo interno de G dado por laconjugacion con el elemento g. Por tanto, si H es normal tenemos queig(H) = H (no varıa) para cada automorfismo interior.

Teorema 2.11. Si H E G entonces el producto (aH)(bH) := abH defineuna operacion de grupo sobre el conjunto G/H de las coclases a izquierda.

Podemos entonces tratar a las coclases como elementos individuales deun nuevo grupo mas pequeno.

Ejemplo 2.12. An E Sn y Sn/An ≈ Z2.

Ejemplo 2.13. El grupo (Z6,+) —el lector familiarizado reconocera a losenteros modulo 6, ver ejemplo 5.7— tiene a 0, 3 como subgrupo. ComoZ6 es abeliano, 0, 3 es normal y podemos formar el grupo cociente poreste subgrupo el cual consta de las coclases 0, 3, 1, 4, 2, 5. La figura2.1 muestra la tabla para Z6 ordenada y coloreada segun estas coclases.El patron de color es entonces utilizado para mostrar a la izquierda unesquema del grupo cociente o grupo factor el cual corresponde a Z3 con loque Z6/0, 3 ≈ Z3.

Z6 0 3 1 4 2 5

0 0 3 1 4 2 5

3 3 0 4 1 5 2

1 1 4 2 5 3 0

4 4 1 5 2 0 3

2 2 5 3 0 4 1

5 5 2 0 3 1 4

∗

Figura 2.1: Z6/0, 3 es isomorfo a Z3

Definicion 2.14. Dos subgrupos H y K de un grupo G son conjugados siexiste g ∈ G tal que H = gKg−1; es decir, si uno de los grupos es la imagendel otro mediante un automorfismo interno.

GUSTAVO

RUBIANO 2.3. SUBGRUPO NORMAL 13

La conjugacion es una relacion de equivalencia sobre el conjunto detodos los subgrupos de G y un subgrupo H es normal en G si la clase deequivalencia [H] = H.Teorema 2.15. Si H E G y a, b ∈ H entonces ab ∈ H si y solo si ba ∈ H,y en este caso aH = b−1H.

Dado un subconjunto S ⊆ G de un grupo G, el conjunto

N [S] = x ∈ G |xSx−1 = Ses un subgrupo de G. En particular, si H ≤ G entonces N [H] es el mayorsubgrupo que tiene a H como un subgrupo normal, esto es H E N [H] ≤ Go dicho de otra manera, N [H] es el subgrupo mas grande entre H y G parael cual H es normal. Por esta razon N [H] es llamado el normalizador deH en G.

2.3.1. Factorizacion de homomorfismos

Si f : G → H y g : H → J son homomorfismos (isomorfismos) degrupos, la compuesta g f : G → J tambien es un homomorfismo (isomor-fismo). Recordemos que un homomorfismo f tiene un comportamiento ideal:la identidad va a la identidad, la imagen inversa de un subgrupo (normal)es un subgrupo (normal), la preimagen de la identidad es el nucleo de f .

El siguiente teorema muestra como factorizar homomorfismos utilizandoun isomorfismo.

Teorema 2.16 (cociente para grupos). Sea f : G → H un homomor-fismo de grupos. f tiene una unica factorizacion f = i r q donde q es lafuncion cociente, r esta definida como r ([g]) := f(g), i es la inclusion

G H

G/Ker(f) Im(f)

-f

?

q

-r-≈

6i

El teorema del cociente para conjuntos (pag. 5), nos dice que tal fac-torizacion existe, falta verificar entonces que las condiciones algebraicas semantienen (homomorfismos). Notese que para este diagrama el homomorfis-mo r es un isomorfismo G/Ker(f) ≈ r(H) si f es sobreyectiva (Teoremafundamental de homomorfismo).

GUSTAVO


2.4. Grupos cıclicos

Dado un grupo G y un elemento a ∈ G, todos los elementos de la formaan, n ∈ Z tambien estan en G.

Definicion 2.17. Dado un grupo G y un elemento a ∈ G, el conjunto

〈a〉 := an : n ∈ Z =⋂

i∈I

Hi, Hi ≤ G y a ∈ Hi

es un subgrupo de G, de hecho el subgrupo mas pequeno que contiene alelemento a (recuerdese que la interseccion de subgrupos es un subgrupo) yes llamado el subgrupo cıclico generado por el elemento a.

Si G =< a > para algun a, decimos que G es cıclico generado por a.

Ejemplo 2.18. SiG = (Z,+) entonces G = 〈1〉; ademas, siH ≤ G, entoncesH tambien es cıclico, es decir, H = 〈n〉 para algun n ∈ Z, y lo notamosnZ := 〈n〉 (recordemos que la operacion es aditiva y que nZ := nk : k ∈Z). Como nZ ≤ Z dado un a ∈ Z, la coclase a+ nZ := a+ nk : k ∈ Z esel conjunto de los enteros que tienen residuo a al dividirlos por n.

Hay exactamente n−coclases diferentes, a saber:

nZ, 1 + nZ, 2 + nZ, . . . , (n − 1) + nZ.

La relacion b−1a ∈ H se traduce en a ∼ b := aH = bH. Como q : G →G/H debe ser un morfismo de nuestra teorıa de grupos, q−1(0) = q−1[H] =Ker(q) = H debe ser un subgrupo normal de G.

Notese que los grupos cıclicos son abelianos. Una caracterizacion recıpro-ca de la anterior implicacion se tiene de manera parcial si el grupo es “sufi-cientemente pequeno”.

Un grupo cıclico puede tener un numero infinito de elementos (el ordende un grupo G es o(G) := #(G) cardinal de G), caso en el cual G ≈ (Z,+),es decir, existe una funcion f : G→ Z biyectiva y homomorfismo de grupos.Si G es cıclico y tiene un numero finito de elementos, entonces G ≈ (Zn,+)para algun n ∈ Z.

Nota. Zn := 〈a : an = 0〉, el grupo generado como en la siguiente definicion.

GUSTAVO

RUBIANO 2.5. GRUPOS GENERADOS 15

2.5. Grupos generados

Dados los elementos ai ∈ G con i ∈ I, la interseccion de todos los sub-grupos de G que contienen a todos los ai con i ∈ I es de nuevo un subgruponotado 〈ai : i ∈ I〉. Notese que 〈ai : i ∈ I〉 es el subgrupo mas pequenode G que contiene a ai : i ∈ I.

Definicion 2.19. Si G = 〈ai : i ∈ I〉, decimos que G es generado por elconjunto ai : i ∈ I y que los ai son los generadores de G. Si #(I) es finito,entonces G es generado finitamente.

Notese que un elemento g ∈ 〈ai : i ∈ I〉 es un producto finito depotencias enteras de elementos ai. Si el grupo no es abeliano, las potenciasde un ai pueden ocurrir varias veces.

Ejemplo 2.20. Z× Z2 es generado por (1, 0), (0, 1).

Definicion 2.21. El orden o(a) de un elemento de un grupo a ∈ G, es elmenor entero n tal que an = e. Si tal n no existe, decimos que el orden de aes infinito y en cierta manera a es “libre” de generar tantos elementos comoquiera.

Si en un grupo G cada elemento tiene orden finito, decimos que G es ungrupo con torsion.

Si ningun elemento en G (excepto la identidad) tienen orden finito, de-cimos que G es libre de torsion (por ejemplo Z).

Definicion 2.22. Si un grupoG es abeliano, el conjunto TG de los elementosde orden finito es un subgrupo de G llamado el subgrupo torsion de G.

Ejemplo 2.23. Si G = Z× Z2, entonces TG = (0, 0), (0, 1).

Lema 2.24 (Factorizacion). Si G es abeliano y generado finitamenteentonces G ≈ TG×F , donde TG es el subgrupo de torsion de G y F ≤ G eslibre de torsion.

Lema 2.25. Si G es abeliano, finitamente generado y libre de torsion (nole quedan muchas posibilidades a G) G ≈ Z× · · · × Z (m−veces, m ∈ Z+).

Lema 2.26. Si G es abeliano y de orden finito, entonces G es isomorfo aun producto directo de grupos cıclicos

G ≈ Zpr11× · · · × Zprn

n,

GUSTAVO


donde los pi son primos (no necesariamente distintos).

Aun tenemos esta otra caracterizacion:

G ≈ Zm1× · · · × Zmn ,

donde mi|mi+1 (y esta caracterizacion es unica). Los enteros mi se llamanlos coeficientes de torsion.

Ejemplo 2.27. Z5 × Z5 × Z9 6≈ Z52 × Z9 ≈ Z225.

Teorema 2.28 (Fundamental de los grupos abelianos finitamentegenerados). Si G es abeliano y finitamente generado entonces

G ≈ Zpr11× · · ·Zprn

n× Z× · · · × Z ≈ T × F con los pi primos,

o,

G ≈ Zm1× · · ·Zmn × Z× · · · × Z,

donde mi|mi+1; en ambos casos el numero de factores de Z se llama elnumero de Betti 1 de G.

2.5.1. El subgrupo conmutador

Si partimos de un grupo G no abeliano, es posible obtener una versionabelianizada de G requiriendo que ab = ba para todo a y b en G de la nuevaversion. Es decir, aba−1b−1 = 1 en el nuevo grupo. Un elemento de la formaaba−1b−1 se llama conmutador y por tanto lo requerido en la abelianizaciones que todos los conmutadores se identifiquen con el elemento unidad.

Definicion 2.29. Dado un grupo G, el subgrupo generado por el conjuntode todos los elementos commutadores,

[G;G] := 〈aba−1b−1 : a, b ∈ G〉

es normal y es llamado el subgrupo conmutador.

El grupo cociente G/[G;G] es abeliano y se considera la version abeliani-zada de G.

1En honor al matematico italiano Enrico Betti (1823-1892).

GUSTAVO

RUBIANO 2.6. CONSTRUCCION DE NUEVOS GRUPOS 17

2.6. Construccion de nuevos grupos

Definicion 2.30. Si G1, G2, . . . , Gn son grupos, al producto cartesiano

n∏

k=1

Gk = G1 × · · · ×Gn

le damos una estructura de grupo al operar las n−tuplas ordenadas operandocomponente a componente,

(a1, . . . , an) ∗ (b1, . . . , bn) := (a1b1, . . . , anbn)

y se le llama el producto directo externo de los gruposGi. Esta definiciones extendible a cualquier familia de grupos no necesariamente finita.

Notese que cada Gk es isomorfo de una manera natural (sin esfuerzo) a un

subgrupo Gk den∏k=1

Gk cuando identificamos cada g ∈ Gk con el elemento

(e1, . . . , ek−1, g, ek+1, . . . , en) ∈n∏k=1

Gk. Entonces decimos quen∏k=1

Gk es el

producto directo interno de estos subgrupos Gk a cambio de decir que erael producto directo externo de los Gk.

Ejemplo 2.31. Si m,n ∈ Z+ sin factores comunes diferentes de 1, entoncesZm × Zn ≈ Zmn; mas general aun, si m1,m2, . . . ,mn ∈ Z+ con un maximocomun denominador MCD(m1, . . . ,mn) = 1, entonces

∏nk=1 Zmk

es cıclicoy se tiene

n∏

k=1

Zmk≈ Zm1···mn .

Ejemplo 2.32. Z8 × Z9 ≈ Z72.

Ejemplo 2.33 (Teorema fundamental). Si n = pn1

1 · pn2

2 · · · · · pnrr se

escribe como potencia de primos diferentes entonces Zn ≈ Zpn11×· · ·×Zpnr

r.

2.7. Grupos libres

Sea A un conjunto de cardinalidad a cuyos elementos a, b, c . . . ∈ Apueden ser sımbolos abstractos o pueden ser objetos provenientes de algunotro contexto matematico. A es llamado un alfabeto y sus elementos letras.

GUSTAVO


Por una sılaba entendemos un sımbolo an donde a ∈ A y n ∈ Z. Unapalabra es definida como una sucesion ordenada de sılabas.

Por ejemplo b−3a0a1c2c2a0c1 es una palabra de siete (7) sılabas. En unapalabra las sılabas son escritas una tras de otra a la manera de un productoformal. Cada sılaba en sı misma es una palabra (una uno–sılaba). Existeuna unica palabra que no tiene sılabas, la llamamos la palabra vacıa y sedenota por el sımbolo 1. Ası que tenemos las siguientes condiciones:

1. Si A = aii∈I es un alfabeto de letras ai, cualquier sımbolo de laforma ani con n ∈ Z es una sılaba.

2. Una sucesion finita de sılabas es una palabra.

3. La palabra vacıa es la palabra sin sılabas y notada por 1.

Notacion: a1i := ai, a

0i := 1, ami a

ni := am+n

i . Estas dos ultimas condicionesconducen a las llamadas palabras reducidas, es decir, aquellas donde noes posible reducir mas.

Ejemplo 2.34. a32a

−12 a3a

21a

−71 a0

0 = a22a3a

−51 .

El conjunto de todas las palabras reducidas del alfabeto A lo notamosL[A].

Notese que L[A] tiene de manera natural una estructura de grupo: dadaslas palabras w1, w2 ∈ L[A] definimos : L[A]× L[A]→ L[A] donde w1 w2

es la simple yuxtaposicion de w1 con w2.

Ejemplo 2.35. Para w1 = a32a

−51 a2

3, w2 = a−22 , entonces w1w2 = a3

2a−31 a3a

−22 .

Pareciera obvio que esta funcion esta bien definida, es asociativa, y tienea la palabra vacıa 1 como elemento identico. La inversa de una palabra wes la palabra w−1 obtenida al revertir el orden de las sılabas y cambiar elsigno del exponente en cada sılaba.

Ejemplo 2.36. Para w = a32a

−41 a2 tenemos w−1 = a−1

2 a41a

−32 .

Definicion 2.37. (L[A], ) es el grupo libre generado por A.

Si A = ∅ entonces L[A] = e.

Si A = a entonces L[A] es cıclico infinito.

GUSTAVO

RUBIANO 2.7. GRUPOS LIBRES 19

Recordemos (ver seccion 2.5) que si G es un grupo y E ⊆ G, entoncesexiste el menor subgrupo de G que contiene a E y lo notamos 〈E〉. Unelemento g ∈ 〈E〉 si y solo si g = en1

1 en2

2 · · · enk

k , para elementos ei ∈ E,ni ∈ Z. Si G = 〈E〉, decimos que E es un subconjunto generador de G; siademas G = 〈E〉 para un conjunto E finito, decimos que G es generadofinitamente.

Dado un grupo G y un conjunto generador A = ai|i ∈ I de G, podemospreguntarnos si G es libre sobre el conjunto A = ai|i ∈ I, es decir, si G es“esencialmente” el grupo libre L[A].

Definicion 2.38. Si G es un grupo tal que G = 〈A〉 y existe un isomorfismo

φ : G≈−→ L[A] tal que φ(ai) = ai, decimos que G es libre sobre A, y que los

elementos ai son los generadores libres de G. Un grupo es libre si eslibre sobre algun conjunto aii.

Notese que en la anterior definicion intervienen G, A y φ. Si A tiene mas de un elemento entonces L(A) no es abeliano. De manera mas general,tenemos el siguiente hecho: Un grupo G es libre si y solo si G es isomorfo aL(A) para para algun A.

Ejemplo 2.39. Z = 〈A〉 es libre sobre A para A = 1. El isomorfismo φse define como:

φ : Z −→ L[A]

n 7−→ 1n := n · 1

donde en particular φ(1) = 11 := 1.

Por supuesto todo grupo libre es infinito a menos que A = ∅ y en estecaso L[A] = 1. En un grupo libre, ningun elemento excepto el elementoneutro tiene orden finito (i.e. la representacion de la unidad e es unica porla palabra vacıa). Ademas, “es claro” que los grupos libres son en efectolibres de torsion, pero lo contrario no es cierto: Z × Z es libre de torsionpero no es un grupo libre, pues es abeliano y no es cıclico.

Ademas, si G es libre tanto sobre A como sobre B, entonces #A = #B(#A denota el cardinal de A) y este cardinal se llama el rango del grupolibre G. (Algunos autores denominan al conjunto A una base libre).

Proposicion 2.40 (Clasificacion). Dos grupos libres son isomorfos si ysolo si tienen el mismo rango.

GUSTAVO


Teorema 2.41. Dados un conjunto A, un grupoH y una funcion f : A −→ H, existe un unicohomomorfismo f : L[A] −→ H tal que para todoa, b ∈ A y todo n,m ∈ N se tiene que f(a) =f(a) y f(ambn) = f(a)mf(b)n.

A

H L[A]

@@@R

g

f

pppppppppppppf

“Un homomorfismo es determinado por las imagenes de un conjuntogenerador”.

2.7.1. Grupos libres abelianos

Los grupos libres como han sido definidos no son en general conmuta-tivos, pero al obtener la version abelianizada de este grupo libre, es decir,al formar el grupo cociente por el subgrupo conmutador L[A]/ [L[A];L[A]],este resulta libre abeliano.

Definicion 2.42. Un grupo G es un grupo libre abeliano si

G ≈ L[A]/ [L[A];L[A]] ,

para algun grupo libre L[A]. G se nota entonces como AbA.

Observese que para este cociente, i. e. para G, los elementos se puedenescribir como productos finitos

∏j∈N

anj

ij, donde cada aij aparece una sola vez.

Es comun notar en este caso a los elementos de manera aditiva:

n1ai1 + n2ai2 + · · ·+ nkaik .

Para A = aii la coleccion de las coclases [ai] se llama una base enL[A]/ [L[A];L[A]].

Ejemplo 2.43. Zn = Z× Z× · · · × Z (n-veces) es un grupo libre abeliano.

Ejemplo 2.44. Si A = a, b, L[A] puede ser representado como

anbm : n,m ∈ Z y ab 6= ba.

Por su parte AbA = Z× Z.

Si recordamos que para G ≈ H se tiene que G/[G;G] ≈ H/[H;H],podemos clasificar los grupos abelianos libres de orden finito.

GUSTAVO

RUBIANO 2.7. GRUPOS LIBRES 21

2.7.2. Representacion de grupos libres

El objeto de esta seccion es definir un grupo por medio de generadoresy relaciones entre los generadores. Por supuesto el conjunto de generadoressiempre existe, luego el merito es encontrar las relaciones.

Ejemplo 2.45. Si G = 〈A〉 para A = x, y y deseamos que G sea abelianoentonces la relacion entre los generadores es xyx−1y−1 = 1.

Ejemplo 2.46. Si G = 〈A〉 para A = 〈a〉 y an = 1, obtenemos que G ≈ Zn.

Sean H un grupo y K un subgrupo de H. Definimos K la clausuranormal de K como el menor subgrupo normal que contiene a K; en otraspalabras, K es la interseccion de todos los subgrupos normales de H quecontienen a K,

K =⋂M : M E H y K ≤M.

De manera particular, dado R ⊆ L[A] notemos por R la interseccion detodos los subgrupos normales de L[A] que contienen a R. R es un subgruponormal y el grupo cociente L[A]/R se conoce como el grupo generado porA sujeto a las condiciones R. En este nuevo grupo notado como [A;R]para toda palabra r ∈ R se tiene r = 1.

Definicion 2.47. Si un grupo G es tal que G ≈ [A;R] (isomorfos), decimosque [A;R] es una representacion de G.

Ejemplo 2.48. Por supuesto, la representacion de un grupo en general noes unica:

[x; ] = [x, y;x] son presentaciones para el grupo cıclico infinito.

[x, y;xyx−1y−1] es una presentacion para el grupo libre abeliano condos generadores.

[a; a2] = [a, b; a2, b] son presentaciones para Z2.

[x, y;xyx−1y−1, x2, y3] = [a; a6] son presentaciones para Z6. Laprimera describe la estructura de Z6 como Z2 × Z3.

[x, y;x2, y2, (xy)n] es una presentacion para el grupo dihedrico deorden 2n.

K = [i, j : i4 = 1, i2 = j2, ji = i3j] es una presentacion del grupo,en realidad cuerpo, de los cuaterniones de Hamilton (donde k = ij).

GUSTAVO


Sean G un grupo, [A,R] una presentacion de ungrupo y φ : L[A] → G un homomorfismo talque ker(φ) = 〈R〉. Entonces φ determina unarepresentacion de G (ver el siguiente diagrama,donde q es la proyeccion natural y ψ es definidade la manera obvia):

L[A]

[A,R] G

?

q@

@@

@R

φ

p p p p p p p-ψ

Una presentacion [X,R] es generada finitamente si X es finito y esrelacionada finitamente si R es finito. [X,R] es finita si tanto X comoR son finitos.

2.8. Producto libre de grupos

Supongamos que nos es dada una coleccion Gα de grupos y deseamosconstruir a partir de ella un grupo que contenga a cada grupo de la coleccioncomo un subgrupo. Una manera de hacer esto es tomar el grupo producto∏αGα, cuyos elementos son las funciones α 7→ gα ∈ Gα con la multiplicacion

definida por (gα)(fα) = (gαfα) —esta definicion generaliza a la definicion2.30—. O podemos restringirnos a funciones que toman un valor diferente ala unidad a lo mas en un numero finito de ındices, formando el grupo

⊕αGα

llamado la suma directa.

Dados homomorfismos Θα : Gα → Hα, la funcion

⊕

α

Θα :⊕

α

Gα →⊕

α

Hα definida por⊕

Θα(gα) = (Θα(gα))

es un homomorfismo, y si cada Θα es un isomorfismo, ası lo es⊕

α Θα.

Cada una de las dos construcciones anteriores produce un grupo con-teniendo a cada uno de los Gα como un subgrupo pero con la propie-dad de que elementos en diferentes subgrupos Gα conmutan; por ejemplo(g1, e, e, . . .) ∗ (e, g2, e, . . .) = (g1, g2, e, . . .) = (e, g2, e, . . .) ∗ (g1, e, e, . . .) (alfin y al cabo se multiplica en esa coordenada por la unidad). Pero fueradel contexto de los grupos abelianos esta conmutatividad es no natural, ypor tanto requerimos una version no abeliana de

∏αGα o

⊕αGα. Como

la suma en el segundo grupo es mas pequena y simple que en el primero,construimos la version para

⊕αGα, y es lo que llamaremos el producto

libre (externo) ∗αGα de los Gα.

GUSTAVO

RUBIANO 2.8. PRODUCTO LIBRE DE GRUPOS 23

Definicion 2.49. El producto libre de una coleccion Gα de grupos es elconjunto ∗αGα, el cual consta de todas las palabras g1g2 · · · gm de longitudm para cualquier m ∈ Z, donde cada letra gi pertenece a uno de los gruposGα y sujeto a las siguientes dos condiciones:

1. Dos terminos de la palabra que sean sucesivos pertenecen a gruposdiferentes, y

2. Ningun termino es el elemento identidad de algun Gα.

Ası que si hay terminos sucesivos que pertenecen al mismo grupo los multi-plicamos, y si hay terminos que son identidades los cancelamos, para obtenerlas palabras reducidas. La palabra vacıa es tambien permitida y sera la iden-tidad de ∗αGα.

La operacion ∗ de grupo es definida por yuxtaposicion (hemos decididoobviar las comas y parentesis cuando la notacion sea clara)

g1g2 · · · gm ∗ h1h2 · · · hn = g1g2 · · · gmh1h2 · · · hn

donde en este producto reducimos si es necesario, es decir, si gm, h1 perte-necen al mismo grupo Gα, ellos son remplazados por el unico elemento gmh1

en Gα, y si llegare a ser la identidad, la cancelamos. El inverso de g1g2 · · · gmsera la palabra g−1

m · · · g−11 .

Ejemplo 2.50. (Un producto libre de grupos que no es un grupolibre.) Sean G1 = 1, a, G2 = 1, b grupos cıclicos de orden 2 (cada unode ellos homeomorfo a Z2). Cada elemento g 6= 1 ∈ Z2 ∗Z2 puede ser escritosolo como palabras con a y b (puesto que las potencias mayores de 1 no sonnecesarias ya que a2 = 1 = b2), con los factores a y b de manera alternante:a, ab, aba, abab, etc., o b, ba, bab, baba, etc. Notese que los elementos ab, bason ambos de orden infinito, y son diferentes.

Por supuesto que Z2 ∗Z2 6= Z2⊕Z2, pues este ultimo (el producto debilo producto directo) es un grupo abeliano de orden 4, mientras que el grupolibre Z2 ∗Z2 es no abeliano con elementos de orden infinito. Tambien Z2 ∗Z2

es diferente del grupo libre L[a, b].

Si consideramos las aplicaciones θα : Gα → ∗αGα con θα(g) = g, cadasubgrupo Gα esta inmerso de manera natural en ∗αGα como el subgrupoformado por la palabra vacıa mas las 1–palabras g ∈ Gα.

GUSTAVO


Dada una coleccion de homomorfimos Θα : Gα → H, ella se extiende aun homomorfismo Θ : ∗αGα → H definido por

Θ(gα1gα2· · · gαm) = Θ(gα1

)Θ(gα2) · · ·Θ(gαm).

Por ejemplo, las inclusiones G1 → G1 × G2, G2 → G1 × G2 inducen unhomomorfismo sobreyectivo G1 ∗G2 → G1 ×G2.

Tenemos una relacion importante entre presentaciones y producto libre:

Teorema 2.51. Si x1, . . . , xm; r1, . . . , rn y y1, . . . , yp; s1, . . . , sq son re-presentaciones de los grupos G y H, respectivamente, entonces G∗H es iso-morfo al grupo con representacion x1, . . . , xm, y1, . . . , yp; r1, . . . , rn, s1, . . . , sq.

2.8.1. Producto amalgamado de dos grupos

A manera de ejemplo, y por su utilidad en la demostracion del Teoremade Seifert—VanKampen de la seccion 4.62, estudiaremos en detalle el pro-ducto amalgamado de dos grupos, el cual es un grupo cociente del productolibre de los grupos obtenido al “amalgamar” o identificar subgrupos.

Dados los grupos G0, G1, G2 y los morfismosϕ1 : G0 → G1, ϕ2 : G0 → G2, consideremos elmenor subgrupo normalN ≤ G1∗G2 que contie-ne todos los elementos de la forma ϕ1(g)ϕ2(g)

−1

y ϕ2(g)ϕ1(g)−1 para g ∈ G0 (para g ∈ G0 los

elementos ϕ1(g) y ϕ2(g) se han igualado).

G0

G1 G2

@@Rϕ2

ϕ1

El grupo cociente G1 ∗G2/N := G1 ∗G0G2 se llama el producto de G1

y G2 amalgamado por G0.

Si q : G1 ∗G2 → G1 ∗G2/N es la funcion cociente, para las aplicacionesθ1 : G1 → G1 ∗ G2 y θ2 : G2 → G1 ∗ G2 tenemos que los homomorfismosq1 = q θ1 : G1 → G1 ∗G2 → G1 ∗G2/N y q2 = q θ2 satisfacen la relacionq1 ϕ1 = q2 ϕ2 ya que para g ∈ G0 tenemos que los elementos θ1(ϕ1(g)) yθ2(ϕ2(g)) difieren en un elemento que esta en N = ker(q).

G1

G0 G1 ∗G2 G1 ∗G2/N

G2

HHHHHHjθ1

XXXXXXXXXXXXXz

q1

HHHHHHjϕ2

*ϕ1

-q

*θ2

:

q2

GUSTAVO

RUBIANO Capıtulo 3

Topologıa

Contenido

3.1. Construccion de espacios topologicos . . . . . . . 26

3.1.1. Suma topologica o topologıa de la union libre . . . 26

3.1.2. Topologıa cociente o identificacion . . . . . . . . . 29

3.2. Grupos Topologicos . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.2.1. Espacios orbita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.3. Espacios de Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.3.1. La topologıa punto–abierto . . . . . . . . . . . . . 56

3.3.2. La topologıa compacto–abierto . . . . . . . . . . . 59

3.3.3. ¿(ZY )X ≈ ZX×Y ? . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.4. Conexidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.4.1. Subespacios conexos maximales. . . . . . . . . . . 65

3.5. Caminos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.5.1. Conexo por caminos . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.5.2. Componentes conexas por caminos . . . . . . . . . 69

3.5.3. localmente conexo por caminos . . . . . . . . . . . 70

En este capıtulo (que puede ser considerado el cimiento de este texto)presentamos los conceptos de la topologıa de conjuntos requeridos en la partede la topologıa algebraica que desarrollaremos en los capıtulos siguientes.Suponemos que el lector ya ha tomado un primer curso en topologıa general.

25

GUSTAVO

RUBIANO 26 CAPITULO 3. TOPOLOGIA

3.1. Construccion de espacios topologicos

Esta seccion esta dedicada a presentar las construcciones que permitenla creacion de nuevos espacios topologicos a partir de espacios dados.

Recordemos que si f : X → Y es continua entonces sus restriccionesf |A a A ⊆ X son continuas si damos las correspondientes topologıas desubespacios.

3.1.1. Suma topologica o union libre de espacios topologicos

Definicion 3.1. Si (Xα,Tα)α∈Λ es una coleccion de espacios topologicosdisyuntos, para el conjunto

X =∐

α∈Λ

Xα =⋃

α∈Λ

Xα =∑

Xα (el sımbolo∐

por lo disyuntos)

definimos una topologıa T =∑

Tα como: U ⊆ X es abierto si y solo siU ∩Xα es abierto en Xα para cada α ∈ Λ.

Esta topologıa es conocida como la topologıa de la union disyunta,o la union libre de los espacios Xα, y el espacio

∑Xα es llamado la suma

de los espacios Xα.

Ejemplo 3.2. Usando la topologıa usual de Rn en cada uno de los sub-espacios.

= + =⋃

En X el subconjunto Y es abierto.

El requerir que los espacios involucrados sean disyuntos entre sı puedeser evitado, dado que cualquier coleccion de conjuntos puede ser reempla-zada por una coleccion disyunta. En efecto, si Xαα∈Λ es una familia deconjuntos, para cada α ∈ Λ definimos

Xα := Xα × α (X es pintado de color α).

La familia Xαα∈Λ es disyunta y los espacios respectivos Xα y Xα sonhomeomorfos si Xα tiene la topologıa producto, es decir, Uα×α es abiertosi y solo si Uα es abierto en Xα.

GUSTAVO

RUBIANO 3.1. CONSTRUCCION DE ESPACIOS TOPOLOGICOS 27

La union libre (o union disyunta) de la familia Xαα∈Λ es entoncesel espacio

∐Xα :=

∑Xα =

⋃

α∈Λ

Xα = (xα, α) : xα ∈ Xα, α ∈ Λ.

Notese que las inclusiones iβ : Xβ →∐Xα definidas por x 7→ (x, β) tambien

definen los abiertos de∐Xα como aquellos subconjuntos para los cuales

todas sus preimagenes por las inclusiones iα son abiertas. Esta topologıa es la final, la mas fina o mas grande (mayor numero de

abiertos), o la “mejor” para la cual todas las inclusiones iα son continuas;de hecho, las iα son inmersiones y sus imagenes son tanto abiertas comocerradas en

∐Xα.

Topologıa coherente con una coleccion

Si X es un conjunto que es la union de una familia de conjuntos A =Aαα∈Λ donde cada Aα tiene su propia topologıa, pero no son necesaria-mente disyuntos, y tampoco queremos dar a X la anterior topologıa de launion disyunta, entonces, para dejar a X intacto como conjunto, es posibledar a X otra topologıa llamada la topologıa suma debil o coherente conla coleccion A, la cual tendra la propiedad de preservar las topologıas delos Aα, es decir que cuando Aα obtenga la topologıa de subespacio de X,esta coincida con la que tenıa al inicio.

Pero para poder considerar la existencia y poder definir esta topologıa, requerimos cierto buen comportamiento entre los espacios Aα; precisamenterequerimos que:

1. Las topologıas de Aα y Aβ coincidan sobre Aα∩Aβ para todo α, β ∈ Λ,es decir, que la topologıa de Aα ∩ Aβ como subespacio de Aα sea lamisma que como subespacio de Aβ y,

2. O bien suceda que:

a) Aα∩Aβ sea abierto tanto en Aα como en Aβ para todo α, β ∈ Λ,o,

b) Aα∩Aβ sae cerrado tanto en Aα como en Aβ para todo α, β ∈ Λ.

Si 1 y 2 se satisfacen, la coleccion

T(A) = U ⊆ X : U ∩Aα es abierto en Aα, para todo α ∈ Λ

GUSTAVO


es una topologıa llamada la topologıa debil para X asociada con (o indu-cida por) la coleccion de espacios Aαα∈Λ, o la topologıa suma debil delos Aα, o la topologıa coherente con los Aα. Un subconjunto C de X escerrado en X si C ∩Aα es cerrado en Aα para cada α.

La fuerza de la condicion 2 es garantizar que cada Aα como subespacio deT(A) retiene a su topologıa original; en caso de a) cada Aα es un subconjuntoabierto en X; en el caso de b) cada Aα es un subconjunto cerrado del espacioX.

Notese que T(A) es la topologıa mas grande en X que preserva la topo-logıa de cada uno de los Aα, es decir, en cualquier otra topologıa T para lacual U ∈ T implica U ∩ Aα es abierto en Aα para cada α, se cumple queU ∈ T(A). En otras palabras, T(A) es la topologıa final para la familia defunciones inclusion Aα → Xα.

Debe quedar ademas claro que la topologıa de la union libre (definicion3.1) es simplemente un caso especial de esta topologıa T(A).

Ejemplo 3.3 (No se tienen las condiciones requeridas para la cons-truccion). En el caso siguiente, donde los Ai tienen la topologıa de sub-espacios de R2, no se verifica la condicion 1 puesto que A1∩A2 no es abiertoen A1 pero sı lo es en A2.

A1A2

⋃ =

X

A1 ∩A2

Ejemplo 3.4 (Construccion de complejos hechos de celdas). La to-pologıa coherente es especialmente util en la construccion de los espaciosllamados complejos celulares, los que a su vez son espacios fundamen-tales en la topologıa algebraica. La idea de la construccion basicamente escomo sigue: construyamos un espacio X anadiendo a un punto un intervalo,al intervalo un triangulo, al triangulo un tetraedro, etc. Es decir, en cada pa-so anadimos un subconjunto de Rn con la topologıa euclideana, y al espaciofinal X le damos la topologıa coherente (ver figura 3.1).

Ejemplo 3.5 (Arete con infinitos aros). SeaX =⋃n∈N

Cn donde Cn ⊆ R2

es la circunferencia de centro(

1n , 0)

y radio 1n .X es como un arete de infinitos

aros cada vez mas pequenos y unidos por un punto. Ver figura 3.2.

GUSTAVO


Figura 3.1: Construccion de complejos celulares.

La topologıa usual de X como subespacio del espacio euclidiano ⊆ R2

no es coherente con la coleccion Cnn∈N; en efecto, consideremos

F =

(1

n, 0

)∈ R2 : n ∈ N

.

F ∩Cn = ( 1n , 0) es un conjunto cerrado, pero F no es cerrado en X pues el

punto (0, 0) es un punto adherente a F y (0, 0) /∈ F . Por tanto, la topologıacoherente difiere de la topologıa usual de subespacio, pues F sı es cerradoen la coherente.

(1, 0)

Figura 3.2: Arete con infinitos aros.

Cuando una funcion tiene como dominio un espacio con una topologıacoherente, la continuidad es facil de revisar en terminos de los subespacios.

Proposicion 3.6. Sean X un espacio con la topologıa T(A) coherente con lacoleccion A = Aαα∈Λ y Y un espacio cualquiera. Una funcion f : X −→ Yes continua si y solo si f |Aα : Aα −→ Y es continua para cada α ∈ Λ.

GUSTAVO


3.1.2. Topologıa cociente o identificacion

En un curso de algebra abstracta se encuentran los conceptos de grupocociente o anillo cociente, en los cuales la idea es dar una estructura alge-braica al conjunto de coclases de un subgrupo o un ideal. Estos conceptos(basados en una relacion de equivalencia) dan una estructura algebraica auna particion del grupo o del anillo. En lo concerniente a la topologıa, elconcepto equivalente es el de espacio cociente al dar una topologıa a unaparticion del espacio, donde los elementos seran ahora las clases de equiva-lencia inherentes a la particion.

Un subconjunto de X que es union de elementos de la particion (clases)se llama saturado. El conjunto saturado mas pequeno que contiene a unsubconjunto dado A de X se denomina la saturacion de A y coincide conq−1(q(A)).

Si R es una relacion de equivalencia en X, ¿como dar una topologıa alconjunto X/R (de las clases de equivalencia) a partir de una topologıa enel espacio X?

La funcion cociente q : X −→ X/R definida por x 7−→ [x] debe ser porsupuesto continua y de la mejor manera, i. e., de manera que X/R tenga lamayor cantidad posible de abiertos.

Definicion 3.7. Definimos la topologıa cociente T/R para X/R como

T/R := U ⊆ X/R : q−1(U) es un abierto de X.

B ⊆ X/R es abierto si B = q(A) para algun A abierto y saturado.

Ejemplo 3.8 (Cinta de Mobius1). Muchos espacios son construidos atraves de otro identificando algunos puntos; por ejemplo, la construccionde la cinta de Mobius. A partir del rectangulo X = [0, 3] × [0, 1] con latopologıa T de subespacio de R2 hacemos la identificacion R esquematizadapor la figura 3.3 (observar la orientacion de las flechas) donde (0, y)R(3, 1−y)y los demas puntos solo se relacionan consigo mismo.

1Esta superficie fue encontrada por el matematico y astronomo, August Mobius 1790–1868.

GUSTAVO


Figura 3.3: Esquema para la construccion de una cinta de Mobius.

(0, y)

(3, 1− y)

Figura 3.4: La imagen inversa de un abierto en la cinta de Mobius

La preimagen de un disco abierto en la cinta es: obien el conjunto formado por los dos semidiscosabiertos, o un disco abierto interior al rectangu-lo como en la figura 3.4. En todo caso se tratade un abierto en X/R pues su preimagen porq corresponde a un abierto en la topologıa delrectangulo.

A continuacion generalizamos la construccion anterior hecha sobre unarelacion de equivalencia.

Definicion 3.9. Sean (X,T) un espacio topologico y R = Ai una par-ticion o descomposicion de X. Formamos un nuevo espacio Y llamado elespacio identificacion o cociente como sigue. Los puntos de Y son losmiembros de R y si q : X −→ Y es la funcion cociente q(x) 7→ Ai si x ∈ Ai,la topologıa para Y es la mas grande para la cual q es continua; es decir,U ⊆ Y es abierto si y solo si q−1(U) es abierto en X. Esta topologıa se llamala topologıa identificacion o cociente para la particion R y la notamosT/R

T/R := U ⊆ Y : q−1(U) es un abierto de X.

Pensemos en Y como esos subconjuntos de X que han sido identificadosa un solo punto por medio de R. Como cada particion R genera una relacion

GUSTAVO


de equivalencia R (notada de la misma manera), el conjunto Y tambien esnotado como Y = X/R. De suerte que,

U es abierto en X/R si y solo si q−1(U) =⋃

[x]∈U [x] ∈ T.

La continuidad para estos espacios identificacion esta determinada porla continuidad desde el espacio inicial, como lo afirma el siguiente teoremade gran utilidad en topologıa.

Teorema 3.10. Sean X/R un espacio identificacion yW un espacio topologico. Una funcion f : X/R −→Wes continua si y solo si f q es continua para q : X −→X/R.

X X/R

W

-q

@@

@@R

fq

?

f

Descomposicion canonica por una funcion

Vimos en la seccion 1.3.1 que dada una funcion sobreyectiva f : X −→ Yentre conjuntos, la coleccion Rf := f−1(y)y∈Y determina una particionen X.

En este caso la funcion cociente q : X −→ X/Rfsatisface q(x) = [x] = f−1(f(x)); luego la fun-cion hf : X/Rf −→ Y dada por hf ([x]) := f(x)o hf (f

−1(y)) = y esta bien definida y es unabiyeccion.

X X/Rf

Y

-q

@@

@@@R

f

?

hf

Si X, Y son ademas espacios topologicos y f es continua entonces te-nemos que hf : X/Rf −→ Y es continua.

Podemos ahora preguntarnos que tanto se identifica, i. e., ¿cuando hf esun homeomorfismo? o ¿cuando h−1

f (y) = f−1(y) es continua?

Teorema 3.11. Sean (X,T), (Y,H) espacios topologicos y f : X −→ Yuna funcion continua y sobreyectiva. Si f es abierta o cerrada entonceshf : X/Rf −→ Y es un homeomorfismo.

Funcion identificacion o funcion cociente

Las funciones cociente q : X −→ X/R se generalizan de la manera si-guiente.

GUSTAVO


Definicion 3.12. Sean (X,T), (Y,H) espacios topologicos y f : X −→ Yuna funcion sobreyectiva. Si Y tiene la mejor topologıa para la cual f escontinua, es decir

H = TYf = V ⊆ Y | f−1(V ) ∈ T,

decimos que f es una funcion identificacion, que TYf es la topologıaidentificacion o cociente y que Y es un espacio identificacion —larazon para este nombre es porque Y puede ser mirado como un espaciocociente—.

Claramente toda funcion cociente es una identificacion y el siguientehecho generaliza la caracterizacion de continuidad que ya tenıamos en elteorema 3.10.

Teorema 3.13. Si f : X −→ Y es una funcion identificacion, entoncesg : Y −→W es continua si y solo si g f lo es.

Esta topologıa TYf es mucho mas que requerir la continuidad, pues la precisade la “mejor” manera, por eso algunas veces es conocida como la topologıade continuidad fuerte. El siguiente teorema es la razon por la cual losespacios identificacion son tambien llamados cociente.

Teorema 3.14. Si f : X −→ Y es una funcion identificacion entoncesY ≈ X/Rf —homeomorfos—.

¿Como podemos entonces reconocer las identificaciones? esto es, ¿bajoque condiciones una topologıa dada proviene de una identificacion? Parte dela respuesta es el siguiente teorema que muestra ademas que todo homeo-morfismo es una funcion identificacion.

Teorema 3.15. Sea f : (X,G) −→ (Y,H) una funcion continua y sobre. Siademas f es abierta o cerrada, entonces f es una identificacion. La topologıaidentificacion TYf sobre Y determinada por f coincide con la topologıa H.

Finalmente hemos llegado a un resultado fundamental que sera de repe-tida aplicacion en este texto.

Corolario 3.16. Sea f : X −→ Y una funcion continua y sobre. Si X escompacto y Y es de Hausdorff, entonces f es una funcion cerrada y, portanto, una identificacion.

GUSTAVO


Ejemplo 3.17 (El toro). Sea X = [0, 1] × [0, 1] con la topologıa de sub-espacio usual de R2. Se hace una particion de X en cuatro clases mediantela siguiente relacion R (ver figura 3.5).

1. (0, 0), (1, 0), (0, 1), (1, 1): las esquinas se identifican.

2. (x, 0), (x, 1) para cada x ∈ (0, 1): “pegamos” el borde inferior con elborde superior.

3. (0, y), (1, y) para cada y ∈ (0, 1): “pegamos” los lados.

4. (x, y) para x ∈ (0, 1) y y ∈ (0, 1): el interior no cambia.

Figura 3.5: Una particion sobre I × I que conduce al toro.

El espacio T asociado a esta particion es el Toro, descrito tambien comoT = S1 × S1, el producto de dos circunferencias. ¿Coinciden estas dos des-cripciones? Sı. En efecto, definamos

f : [0, 1] × [0, 1] −→ S1 × S1

(x, y) 7−→ f(x, y) =(e2πix, e2πiy

)

donde e2πix := (cos 2πx, sen 2πx) y e2πiy := (cos 2πy, sen 2πy). La relacionRf en [0, 1]×[0, 1] definida por la funcion f , es decir,Rf = f−1(a) : a ∈ T,es exactamente la particion inicial R; luego, por el teorema 3.14,

[0, 1] × [0, 1]/Rf ≈ S1 × S1

puesto que [0, 1] × [0, 1] es compacto, S1 × S1 es Hausdorff y f es unaidentificacion.

GUSTAVO


Figura 3.6: Un famoso homeomorfismo entre una taza y el toro.

La figura 3.6 nos da la motivacion para definir el concepto de manija:Un Toro al que le es removido el interior de un disco. Por otra parte, laesfera S2 a la cual se le ha removido el interior de n-discos se llama unaesfera con n-huecos. Una esfera con 2 huecos es un cilindro. Una esfera conuna manija es un Toro.

Identificando un subconjunto a un punto

Si en un espacio (X,T) un subconjunto M ⊆ X se identifica a un unicopunto, entonces la relacion de equivalencia inducida es

R/M := ∆X ∪ (M ×M) = (x, x) : x ∈ X ∪ (a, b) : a, b ∈M

y al espacio topologico lo notamos (X/M,T/M).

Notese que x ∼My :⇔ x = y o x, y ∈ M . En este espacio cociente, todo

el espacio M es identificado o colapsado a una sola clase [x] para x ∈ M ,i. e., a un punto.

Ejemplo 3.18. El ejemplo mas sencillo es to-mar X = [0, 1] y M = 0, 1; ası las cosas,[0, 1]/0, 1 se puede visualizar como en la figuray obtenemos a S1. De manera mas general, paraX = [0, 1] y A = ∂(X) tenemos que X/A ≈ Sn.(A es el borde de la respectiva caja).

0

1

Ejemplo 3.19. Para este ejemplo, consideremos el espacio X obtenido alagregarle a la esfera S2 un arco externo A desde un polo hasta el otro (verfigura 3.7). Sea B el arco en la esfera que uno los polos. La siguiente figuramuestra una descripcion de lo que son X/A y X/B (ver figura 3.7).

Notese que si el ecuador C de la esfera S2 es colapsado en un puntoobtenemos dos esferas unidas por un unico punto (este ejemplo sera util enla definicion de Πn(X,x0)).

GUSTAVO


B

X/A

X/B

X/C

A

Figura 3.7: Tres identificaciones en una esfera.

Ejemplo 3.20. El espacio X = R/Z resulta ser un “bouquet” de infinitascircunferencias.

Ejemplo 3.21. Es posible que la construccion no aporte nada nuevo; porejemplo, [0, 1]/[13 ,

13 ] ≈ [0, 1]. Pero muy por el contrario [0, 1]/1

3 ,13 ≈ P (la

letra P).

Identificando varios subconjuntos a un punto

Tambien podemos colapsar varios subespacios a puntos. Si X es un su-bespacio topologico y A1, . . . , An ⊆ X son disyuntos no vacıos, entoncesX/A1, . . . , An es el espacio obtenido de la relacion de equivalencia definidapor

x ∼ y :⇔ x = y, o existe i tal que x, y ∈ Ai.

Ejemplo 3.22. X es el toro al cual le hemos anadido cuatro discos A1, A2,A3, A4, cerrados meriodionales; al colapsar cada uno de los Ai en un puntoobtenemos el espacio X/A1, . . . , A4, consta de cuatro esferas tangentes (verfigura 3.8).

Ejemplo 3.23 (Dn/Sn−1 ≈ Sn ). Veamos de manera explıcita que para

GUSTAVO


X/A1, . . . , A4

Figura 3.8: En el toro se identifican cuatro discos.

cada n ∈ N, se tiene el homeomorfismo Dn/Sn−1 ≈ Sn (el cascaron del discocerrado Dn es identificado a un solo punto; ver ejemplo 3.24).

En el caso n = 1, se identifican los puntos extremos del intervalo cerrado[0, 1], obteniendo S1. En el caso n = 2 del disco cerrado se identifica el bordeS1 (se lleva un solo punto para cerrar la bolsa) para formar la esfera S2.

S1

D2/S1 ≈ S2

Figura 3.9: En el disco D2 se identifica el borde S1.

De manera general, sabemos que Rn ≈ Dn − Sn−1, viala implosion

j : Rn −→ Dn − Sn−1 dada por x 7−→ 1

1− ‖x‖x.

donde x = (x1, . . . , xn).

Por otra parte, Rn ≈ Sn−p, mediante la proyeccion estereograficadesde el polo norte p

h : Sn − p −→ Rn dada por x 7−→ 1

1− xn+1(x1, . . . , xn)

donde x = (x1, . . . , xn+1) (la grafica muestra el caso n = 2).

GUSTAVO


S2 − pp

R2

Sean j−1, h−1 los inversos de tales homeomorfimos, con h−1 : Dn −

Sn−1 −→ Rn y h−1 : Rn −→ Sn − p.Definamos f : Dn −→ Sn como

f(x) =

h−1 j−1(x) para x ∈ Dn − Sn−1,

p para x ∈ Sn−1.

f es una biyeccion continua y ademas es una identificacion (pues va de uncompacto a un Hausdorff); por tanto, Dn/Rf ≈ Sn.

Construcciones por funciones: funciones que pegan espacios

SeanX, Y espacios topologicos y A ⊆ X. Dada f : A −→ Y intentaremospegarle a Y el espacio X utilizando a f para identificar puntos en X conpuntos de Y , para ası formar un nuevo espacio notado como Y tf,A X (elespacio Y con el espacio X pegado a lo largo de A viaf).

X Y

f

A f(A)

Figura 3.10: Se identifican los puntos en A con los puntos en f(A).

GUSTAVO


La manera de pegar es identificar los puntos en A con los puntos enf(A). Comenzamos tomando la union disjunta (o la union libre) X t Y ,donde W ⊆ X t Y es abierto si y solo si W ∩X y W ∩ Y son abiertos en Xy Y respectivamente. La relacion de equivalencia R es definida por

x ∼ y :⇔ x ∈ f−1(y), i. e. f(x) = y.

En particular, x ∼ f(x) para todo x ∈ A. Al espacio X tf,A Y le damos latopologıa cociente o identificacion de (X t Y )/R (ver figura 3.10).

Ejemplo 3.24. Si X = S1, Y = [0, 1], A =(1, 0) y f : (1, 0) −→ [0, 1] con (1, 0) 7−→ 1,obtenemos como espacio a la siguiente figura.

S1 tf,A [0, 1]

Ejemplo 3.25. Si X = D2, Y = x0, A = S1 y f : S1 −→ x0, obtenemosla figura 3.11. Si X = Dn, Y = x0, A = Sn−1 y f : Sn−1 −→ x0 obtene-mos a Dn tf,x0 S

n−1 = Sn. Es como colapsar Sn−1 a un unico punto x0,Dn/Sn−1 ≈ Sn.

D2

x0

D2 tf x0 = S2

Figura 3.11: Un globo al identificar el borde en un disco

Ejemplo 3.26. Cuando X = Dn y A = Sn−1, decimos que pegamos unan-bola o una n-celda a Y vıa f : Sn−1 −→ Y .

En particular, cuando n = 1 se obtiene una “manija” y cuando n = 2obtenemos una “bolsa”(ver figura 3.12).

D1f

Y

GUSTAVO


Ejemplo 3.27. Si X = Dn y A = Sn−1, decimos que pegamos una n-bolao una n-celda a Y vıa f : Sn−1 −→ Y .

En particular cuando n = 1 se obtiene una “manija” y cuando n = 2obtenemos una “bolsa”. Ver figura 3.12

D2

Y

f(S1)

Y

Figura 3.12: Adjuntando una manija y una bolsa.

El espacio Y siempre esta contenido en Y tf X de una manera canonica,pues nunca se han identificado dos puntos diferentes de Y , esto es

q i2 : Yi2−→ X + Y −→ Y tf X

es inyectiva. Ademas, Y es un subespacio de Y tfX de manera natural, puesla topologıa de Y como subespacio de Y tf X coincide con la original de Y .Lo anterior no es necesariamente cierto para X, que es la parte “pegada”.Por ejemplo, si Y = p, para f : A → p tenemos que p tf X esexactamente X/A (nuestro espacio cociente que identifica un subconjunto Acon un punto).

Ejemplo 3.28. Sean X = Dn, A = Sn−1, Y = Dn y consideremos lafuncion identidad id: Sn−1 −→ Sn−1. El espacio cociente resulta ser la esferan− 1–dimensional, i. e., Dn tid Dn ≈ Sn.

En el caso n=2 pegamos los bordes S1 de cada uno de los cascarones D2

como en la figura 3.13.

Figura 3.13: Pegando dos cascarones.

GUSTAVO


Ejemplo 3.29. Para X = Y = M (donde M es la cinta de Mobius) y suborde A = ∂M = S1, consideremos la funcion identidad id: S1 −→ S1. Elespacio cociente resulta ser K la botella de Klein, i. e., M tid∂M

M ≈K. (Felix Klein 1849–1925, Matematico aleman. En 1872, tras ingresarcomo profesor en la Universidad de Erlangen, pronuncio una conferenciainaugural en la que ofrecio una vision general de la geometrıa desde elpunto de vista de la teorıa de grupos, que se conocerıa como programa deErlangen y que habıa de ejercer una poderosa influencia en el desarrolloulterior de la disciplina).

Figura 3.14: Pegando dos cintas de Mobius por el borde.

Ejemplo 3.30 (La construccion cono). La siguiente construccion estıpica sobre cualquier espacio topologico X. Primero tomamos el interva-lo I = [0, 1] y creamos el espacio X × [0, 1] llamado el cilindro con baseen X. Definimos el cono sobre X como CX := X × [0, 1])/(X × 1 (in-tuitivamente la tapa superior del cilindro es identificado en un solo punto,formando el apice del cono. Si X = S1, entonces S1× I es un cilindro “ordi-nario” y CS1 es un cono usual). Notese que en cada “paso” t, para t ∈ [0, 1)

X × [0, 1] CX

se tiene una copia de X, es decir X ≈ q(X × t), donde q es la funcioncociente.

GUSTAVO


Ejemplo 3.31. CSn ≈ Dn+1. El cono sobre la n-esfera unitaria es homeo-morfo a la bola unitaria cerrada n+ 1–dimensional.

Demostracion: La funcion f : Sn × [0, 1] −→Dn+1 con f(x, t) = (1− t)x es sobreyectiva, con-tinua y cerrada, y por tanto una identificacion,con lo cual hf ([x]) = f(x) es un homeomorfismo.Notese que (Sn × [0, 1])/Rf ≈ Dn+1 donde Rfes exactamente identificar Sn × 1 a un pun-to.

Sn × [0, 1] Dn+1

C(Sn)

-f

?q

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p3

hf

La construccion cono tiene la siguiente propie-dad categorica: dados los espacios topologicos X,Y y f : X −→ Y continua, existe una unica apli-cacion C(f) : C(X) −→ C(Y ) tal que el siguien-te diagrama conmuta, i. e. tenemos un funtorcovariante de Top en Top (ver seccion 4.3.2).

X C(X)

Y C(Y )

-C

?

f

?

C(f)

-C

Ejemplo 3.32 (Doble cono). Dado un espaciotopologico X, el espacio cociente

S(X) := (X × [0, 1])/(X × 0,X × 1)

se llama la suspension o doble cono de X.Notese que S(X) = C(X)/(X ×0). Por ejem-plo, la suspension de las esferas incrementa sudimension en una unidad

S(Sn) = Sn+1.

Esquema de la demostracion: La funcion f : Sn × [0, 1] −→ Sn+1 dadapor f(x, t) = (

√1− (2t− 1)2x, 2t − 1) es una identificacion y por lo tanto

Sn/Rf ≈ Sn+1.

Ejemplo 3.33 (Cilindro de una aplicacion). La nocion de funcion cilin-dro —debida a J. H. Whitehead— es importante en la teorıa de homotopıa.Sea f : X −→ Y una funcion continua. Se trata de pegar al espacio Y elcilindro X × [0, 1]. Esta “pega” la hacemos por la base X ×0 del cilindroutilizando la funcion f : X × 0 −→ Y dada por f(x, 0) = f(x).

Ası, obtenemos el espacio cociente

Mf := Y ∪f (X × [0, 1])

GUSTAVO


el cual puede ser visto como un “cilindro” con X ≈ X × 1 en la tapasuperior y con la tapa inferior sobre el espacio Y ; cada uno de los segmentosque unen x con f(x) son los encargados de generar al “cilindro”.

X × I

Mff(X)

Y

Si q : (X × I) + Y → Mf es la funcion cociente, entonces p : Mf → Ydada por p(x, t) 7→ f(x) y p(y) 7→ y es continua y colapsa al cilindro sobreY . Esto nos mostrara que Mf y Y tienen el mismo tipo de homotopıa (verpagina 117).

Cercana a la construccion de la funcion cilindro Mf esta la funcioncono Cf = C(X) ∪f Y donde identificamos los puntos (x, 0) ∼ f(x), parauna f : X −→ Y .

Ejemplo 3.34 (Producto cuna ∨). Un espacio topologico punteado espor definicion un espacio topologico con un punto de el elegido. Sean (X,x0),(Y, y0) espacios punteados, con x0 ∈ X, y0 ∈ Y . Definimos el producto cunade los espacios X y Y como

X ∨ Y := (X + Y )/x0, y0.

Si X = Y = [0, 1], con 0 como el punto base, entonces X ∨Y es homeomorfocon el intervalo cerrado [−1, 1] cuyo punto base esta en el medio, en 0. Si

dibujamos este producto cuna obtenemos∨ el cual explica el por que delsımbolo.

Aparentemente esta construccion es trivial, pero a cambio es muy util.S1 ∨ S1 es homeomorfo a la figura formada por el numero “8”(dos circun-ferencias tangentes en un punto). De manera mas general, es posible definirel producto cuna ∨αXα para una coleccion arbitraria de espacios punteados(Xα, xα).

Notese que X ∨Y es homeomorfo al subespacio (X ×yo)∪ (x0×Y )del producto X × Y .

GUSTAVO


x0

y0

Ejemplo 3.35 (Producto ∧). El producto ∧ entre dos espacios es definidocomo el espacio cociente X∧Y = X×Y/X∨Y . Es como una version reducidadel producto X×Y al identificar los factores X y Y . Por ejemplo, Sm∧Sn =Sm+n, con lo que S1∧S1 = S2 equivale a colapsar las circunferencias longitudy meridiano de un toro.

Espacios proyectivos RP n

Por su importancia como ejemplo, a continuacion presentamos tres ma-neras equivalentes de construir el espacio real proyectivo n–dimensionalRPn. (Existen construcciones similares FPn donde F puede ser C o H).

1. En Rn+1 − 0 identificamos dos puntos si ellos estan sobre la mismarecta que pasa por el origen, es decir, para un punto x = x0, . . . , xn ∈Rn+1 − 0 tenemos

[x] = (tx0, tx1, . . . , txn) : t ∈ R, xi ∈ R.

Definimos RPn := (Rn+1−0)/R donde xRy :⇔ x = ty para algunt ∈ R.

Esta manera de construir a RPn se puede generalizar a espacios vec-toriales E, definiendo EPn como el conjunto de todas sus rectas quepasan a traves del vector 0. Si E es un espacio vectorial topologicoentonces a EPn le damos la topologıa cociente.

2. Consideremos la esfera Sn ⊆ Rn+1 y la particionamos en clases dis-yuntas, donde cada clase consta exactamente de dos puntos: los puntosantıpodas (puntos opuestos por el vertice),

RPn = Sn/R, donde xRy :⇔ y = −x.

Ası que RPn = x,−x : x ∈ Sn y q : Sn → RPn es la funcioncreciente con q(x) = −x, x. La topologıa que damos a RPn es la

GUSTAVO


topologıa cociente: V ⊆ RPn es abierto si q−1(V ) es abierto en Sn.Por tanto, RPn es de Hausdorff y compacto. En este caso q resulta serno solo continua sino abierta, puesto que, dado un abierto U ⊆ Sn elconjunto q(U) es abierto: en efecto q−1(q(U)) = U ∪ (−U) (donde −Ues el antıpoda de U) es un abierto en Sn.

De lo anterior, es facil concluir que cada punto p ∈ RPn posee unavecindad abierta Vp cuya imagen inversa q−1(V ) es reunion de dosabiertos disyuntos, cada uno de los cuales se aplica por q de manerahomeomorfa sobre Vp.

3. El espacio RPn es homeomorfo al cociente del discoDn por la particionen conjuntos unitarios x para puntos x en el interior del disco, ypares de puntos antıpodas x,−x en la esfera frontera Sn−1.

S2

RP 2

Figura 3.15: RP 2 representado como un cociente de un disco: los puntos antipodalesdel borde se identifican.

RP 0 es un punto.

RP 1 ≈ S1.

RP 2 ≈ Plano proyectivo. [Re-vision] La construccion en el numeral 2 para el disco D2. Este espacio no puede ser inmerso en R3 y portanto no podemos dibujarlo, pero sı esquematizarlo como el resultadode “pegar” por el borde una cinta de Mobius al borde de un discocerrado.

Notese que al considerar las lıneas rectas que pasan por el origen en R3

no obtenemos puntos de R3 sino subconjuntos de R3 y por tanto no podemosusar la topologıa de subespacio para hacerlo un espacio topologico. Por estarazon hemos usado la topologıa cociente.

Puede mostrarse ademas que el espacio RPn es homeomorfo de maneracanonica al espacio metrico cuyos puntos son las lıneas de Rn+1 que pasan

GUSTAVO


por el origen 0 = (0, ..., 0), y la distancia es definida como el angulo maspequeno entre ellas (la cual toma valores en [0, π2 ]).

O tambien puede verse que la topologıa cociente de RPn proviene de lasiguiente metrica en RPn. Dados p = x,−x, q = y,−y en RPn definimosd(p, q) = mın|x − y|, |x + y|. Tomamos el lado menor del rectangulo convertices x,−x, y,−y.Para ver que la metrica d induce a la topologıacociente, notemos que de acuerdo al teorema3.10 el diagrama implica que q es continua si qlo es. Pero q es una contraccion d(q(x), q(y)) ≤|x − y| y por tanto es continua. Ahora, q no esmas que la identidad y como RPn es compactoy (RPn, d) es de Hausdorff, q es un homeomor-fismo.

Sn RPn

(RPn, d)

-q

?

q

q

3.2. Grupos topologicos

Algunos objetos geometricos se utilizan tanto como ejemplos de espaciostopologicos como de grupos. La lista incluye entre otros a R, R − 0, C,C − 0, S1, S1 × S1, etc.; o aun mas, cualquier grupo G si le damos latopologıa discreta.

Pero la relacion entre la estructura algebraica y la estructura topologicava mucho mas alla, por ejemplo las funciones suma + : R× R −→ R donde(r, s) 7−→ r+ s e inverso aditivo − : R −→ R donde r 7−→ −r, son funcionescontinuas si los espacios tienen la topologıa euclidiana usual. Esto signi-fica que estos dos tipos de estructuras son “compatibles”: las operacionesalgebraicas son continuas.

Definicion 3.36. Un grupo G (con notacion multiplicativa) que es tambienun espacio topologico se llama grupo topologico si las operaciones

G×G −→ G con (a, b) 7−→ ab

y

G→ G con a 7−→ a−1

son continuas. Algunas veces notamos (G,m,T) para hacer enfasis en laoperacion m y la topologıa T.

GUSTAVO

RUBIANO 3.2. GRUPOS TOPOLOGICOS 47

Ejemplo 3.37. Rn con la operacion a + b = (ai + bi)i y la topologıa eucli-diana es un grupo topologico.

Veamos que las funciones adicion e inversion son continuas. Para mos-trar que + : Rn × Rn −→ Rn es continua, tomemos una bola abiertaBε((a1 + b1, . . . , an + bn)) en el codominio con centro un punto imagen;observemos que

Bε/2n((a1, . . . , an)) +Bε/2n((b1, . . . , bn)) ⊆ Bε((a1 + b1, . . . , an + bn))

ya que si

|(x1, . . . , xn)− (a1, . . . , an)| < ε/2n y |(w1, . . . , wn)− (b1, . . . , bn)| < ε/2n

entonces |xi − ai| < ε/2n, |wi − bi| < ε/2n para i = 1, . . . , n, y por tanto,

|(x1 + w1, . . . , xn +wn)− (a1 + b1, . . . , an + bn) =(∑

|xi +wi − ai − bi|2) 1

2 ≤(∑

(|xi − ai|+ |wi − bi|)2) 1

2<

(∑(|ε/2n + ε/2n)2

) 12

= ε.

Por otra parte, la funcion inversa i(a) := −a es continua ya que

i(Bε((a1, . . . , an))) = Bε((−a1, . . . ,−an)).

Como un corolario a este ejemplo tenemos que la suma y diferencia de fun-ciones continuas f, g : Rn → Rn son tambien operaciones continuas, puesf + g es la compuesta de dos funciones continuas

Rn (f,g)−−−−→ Rn × Rn +−→ Rn.

Ejemplo 3.38. (R−0, ·) los reales no nulos con la multiplicacion son ungrupo topologico si R − 0 tiene la topologıa de subespacio de R con lametrica euclidiana.

En efecto, mostremos que la operacion en el grupo es continua:

: (R− 0) × (R− 0) −→ R− 0 donde (x, y) 7−→ xy.

Dado un abierto N con xy ∈ N ⊆ (R−0), veamos que existen abiertosS, T ⊆ (R−0) con (x, y) ∈ S×T tales que ST = st : (s, t) ∈ S×T ⊆ N .Existe ε > 0 tal que el intervalo (xy− ε, xy+ ε) ⊆ N ∪0; si definimos α =

GUSTAVO


mınε, |xy| tenemos que (xy−α, xy+α) ⊆ N . Para δ = mın

α3|x| ,

α3|y| ,

√α3

los intervalos S = (x− δ, x+ δ) y T = (y − δ, y + δ) satisfacen ST ⊆ N . Enefecto, sean z ∈ S y w ∈ T con z = x+ a y w = y + b con (|a| < δ, |b| < δ),luego

|zw − xy| = |ay + bx+ ab| ≤ |ay|+ |bx|+ |ab| < α

3+α

3+α

3≤ ε

entonces zw ∈ N .

Ademas, la funcion x 7→ x−1 es continua pues revierte intervalos abiertosen intervalos abiertos.

Ejemplo 3.39 (Los complejos2). (C−0, ·) donde (x, y) · (a, b) = (xa−yb, ya + xb), con elemento identidad (1, 0) es un grupo topologico. (Lastopologıas son las inducidas de R2). La multiplicacion

R4 − 0 = (C − 0)× (C− 0) −→ C− 0 = R− 0 × R− 0

es continua, pues las funciones proyeccion

p1(x, y, a, b) = xz − yw, p2(x, y, a, b) = ya+ xb

son continuas en virtud del ejemplo anterior.

La funcion inversa C− 0 −→ C− 0 dada por

(x, y) 7−→ (x, y)−1 =

(x

x2 + y2,− y

x2 + y2

)=

z

‖z‖2 donde z = x+ iy

es claramente continua.

Cuando de manipular numeros complejos se trata, lo mejor es emigrar delas coordenadas cartesianas de un punto P = z = (x, y) a las coordena-das polares (r, θ), donde r es la distancia al origen (o modulo o valorabsoluto |z| del complejo z) y θ = arg z = arctan y/x es el angulo (llamadoargumento) que forman la lınea que une a P con el origen O y el eje x.De suerte que ahora se tiene z = |z|(cos θ + i sen θ).

Ahora resulta que el producto zw de dos numeros complejos z y w esmas facil: es el numero complejo cuyo modulo es el producto de los modulosy cuyo argumento es la suma de los argumentos.

2El mundo de los complejos conduce a conexiones elegantes y profundas entre la geo-metrıa, el algebra y el analisis.

GUSTAVO


Ejemplo 3.40. S1 ⊆ C − 0 es un grupo topologico; en este caso lasoperaciones pueden ser descritas como

S1 × S1 −→ S1 con(eiθ, eiφ

)7−→ ei(θ+φ)

yS1 −→ S1 con eiθ 7−→ e−iθ

y claramente son continuas.

La relacion entre numeros complejos y exponenciacion es expresada enuna formula maravillosa de Euler3:

eiθ = cos θ + i sen θ.

El punto es que ella hace consistente la clasica ley de exponentes axay =ax+y con la formula para multiplicar complejos arg(zw) = arg z + argw desuerte que eiθ × eiφ = ei(θ+φ).

El ejemplo 3.40 se puede generalizar con el siguiente resultado.

Sea H ≤ G un subgrupo (en el sentido algebraico) del grupo G. Si G esademas un grupo topologico, entonces H es un subgrupo topologico de G siH lleva la topologıa de subespacio de G.

La demostracion de este hecho es inmediata si recordamos que la restric-cion de una funcion continua a un subconjunto de su dominio es de nuevocontinua.

Ejemplo 3.41 (Grupo lineal general GLn o GL(n, R)). Denotemospor Mn(R) el conjunto de las matrices de tamano n× n con entradas en R.Una matriz A es invertible si existe una matriz B tal que AB = I = BA,o de manera equivalente Det(A) 6= 0 (determinante distinto de cero).

En Mn(R) se distingue el subconjunto GL(n,R) o GLn(R) de las matri-ces invertibles y es un grupo con la operacion multiplicacion.

Para la topologıa, cada matriz A = (aij) se identifica con el punto

(a11, . . . , a1n, a21, . . . , a2n, . . . , an1, . . . , ann) ∈ Rn2

y le damos a GL(n,R) la topologıa de subespacio.

Podrıa pensarse en dar otras topologıas al conjunto Mn(R):

3Leonardo Euler (1707–1783) fue un maestro del calculo —en la acepcion de calcular—utilizando los numeros complejos, los cuales llevo a nuevas alturas.

GUSTAVO


Mn(R) como subespacio de Rn2

.

Cada matriz A ∈Mn(R) define una transformacion lineal TA : Rn −→Rn dada por T (A) = A · x, la cual es continua. Por tanto Mn(R) ⊆C(Rn,Rn) y puede heredar ası la topologıa compacto–abierto (defini-cion 3.3.2).

Como todas las funciones TA tienen un mismo rango y dominio

Mn(R) ⊆ (Rn)Rn ⊆∏

i∈Rn

Rni con Rn

i = Rn

y puede ası heredar la topologıa de un producto.

Cada matriz A puede ser vista como una funcion de un conjunto finitode n2 elementos en R, i.e., A : n2 → R con lo que Mn(R) ⊆∏i∈n2 Ri.

Pero no hay que preocuparse, ¡todas estas topologıas coinciden! y con cual-quiera de estas topologıas GLn(R) resulta ser un grupo topologico, pues lafuncion multiplicacion

m : GL(n,R)×GL(n,R) −→ GL(n,R) donde (A,B) 7−→ C = (cij)

con cij =n∑k=1

aikbkj es continua si cada una de las proyecciones pij m es

continua, pero claramente lo son, pues cada una de ellas es un polinomio.

Por su sigla lo llamamos el grupo lineal general.

Ejemplo 3.42 (SLn o SL(n, R)). Sea det : GL(n,R) −→ (R − 0, ·) lafuncion determinante definida por la formula

det(A) =∑

σ∈Sn

sgn(σ)

n∏

i

ai,σ(i)

donde para cada permutacion σ de 1, 2, . . . , n formamos el producto

a1,σ(1)a2,σ(2) . . . an,σ(n),

y a continuacion multiplicamos por el signo de σ y efectuamos la suma sobretodas las permutaciones.

Como det(AB) = det(A) · det(B) entonces det es un homomorfismo so-breyectivo y ademas como funcion es continua; su nucleo esta dado por

GUSTAVO


SLn := A : det(A) = 1 y se llama el grupo lineal especial. Si admiti-mos tambien a las matrices con determinante −1 definimos Spin(n, R) :=A ∈Mn(R) : |det(A)| = 1.

De acuerdo con el teorema 2.16 tenemos GLn/SLn ≈ R − 0 (ver teo-rema 3.48).

Ejemplo 3.43 (On o O(n, R)). Recordemos que At denota la transpuestade A, donde las filas de At son las columnas de A, esto es, (At)ij = Aji. Cadamatriz define una funcion A : Rn → Rn con A(x) = Ax, y con respecto alproducto interno en Rn se satisface 〈x,Ay〉 = 〈Atx, y〉.

Si A ∈Mn, las siguientes condiciones son equivalentes:

1. A es invertible con A−1 = At.

2. A preserva productos interiores, es decir, 〈Ax,Ay〉 = 〈x, y〉.

3. A preserva longitudes, i.e., ‖Ax‖ = ‖x‖.

4. A preserva distancias, i.e., d(Ax,Ay) = d(x, y).

Una matriz se llama ortogonal si satisface una de las condiciones anterio-res. El subconjunto On ⊆ GLn de las matrices ortogonales, es un grupotopologico llamado el grupo ortogonal y corresponde entonces a las trans-formaciones lineales de Rn que preservan la longitud de los vectores, o demanera equivalente a las isometrıas de Rn que fijan al origen.

Si A ∈ On, entonces det(A) ∈ 1,−1 puesto que

det(A)2 = det(A)det(At) = det(AAt) = det(I) = 1.

Ejemplo 3.44 (SOn). El subgrupo SOn := On ∩ SLn se llama el grupoortogonal especial y corresponde a las matrices que tienen determinante1 y cuya inversa corresponde a su transpuesta. Este grupo coincide conlas rotaciones de Rn alrededor del origen; ademas, SOn es el kernel delhomomorfismo det : On → Z2.

Los grupos On y SOn son compactos por ser subconjuntos cerrados yacotados de Rn2

, mientras que GLn no lo es pues se trata de un subconjuntoabierto, tampoco es conexo pues es la union disyunta de los abiertos forma-dos por las matrices con determinante positivo y negativo respectivamente.

De acuerdo con el teorema 2.16 tenemos On/SOn ≈ Z2 (ver teorema3.48).

GUSTAVO


Para el caso 1–dimensional SO1, tenemos que SL1 = SO1 = 1, elgrupo trivial.

Caso 2–dimensional SO2. Dado un angulo θ, definimos las matrices

Rθ =

(cos θ − sen θsen θ cos θ

)Sθ =

(cos θ sen θsen θ −cos θ

).

Estas matrices son ortogonales y det(Rθ) = 1, det(Sθ) = −1. Por tantoRθ ∈ SO2 y Sθ ∈ O2 − SO2. Pero mucho mas, cualquier matriz A ∈SO2 es de la forma Rθ para algun θ y cualquier matriz A ∈ O2 − SO2

es de la forma Sθ para algun θ.

Rθ representa una rotacion de medida θ en sentido contrario a lasmanecillas del reloj.

Sθ representa una reflexion por la lınea que pasa por el origen en anguloθ/2 con respecto al eje x.

Caso 3–dimensional SO3 ≈ RP 3.

SeaX ⊆ Rn. Para cada A ∈ On la imagen deX por A es AX = Ax|x ∈ X.Definimos el grupo simetrico de X como Sim(X) = A ∈ On|AX = Xy el grupo simetrico directo como

Dir(X) = A ∈ SOn|AX = X = Sim(X) ∩ SOn.

X2 X3 X4 X5 X6

Figura 3.16: Simetrıa de los polıgonos regulares.

En el caso del plano n = 2 y el n–polıgono regular Xn se satisface que:

1. Dir(Xn) ≈ Cn (el grupo cıclico), y

2. Sim(Xn) ≈ Dn (el grupo dihedrico).

Una isometrıa de Rn es una funcion f : Rn → Rn de la forma f(x) = Ax+apara alguna matriz ortogonal A ∈ On y algun vector a ∈ Rn. Denotamos

GUSTAVO


por Isomn el conjunto de tales funciones. Como lo indica su nombre, unaisometrıa f preserva distancias, esto es, d(f(x), f(y)) = d(x, y) para todox, y ∈ Rn. De manera recıproca, para cualquier funcion f : Rn → Rn quepreserva distancias existen A ∈ On y a ∈ Rn tal que f(x) = Ax + a paratodo x ∈ Rn.

El conjunto Isomn es un grupo con la composicion de funciones. Si nohacemos distincion entre una matriz A ∈ On y la isometrıa correspondientef(x) = Ax, entonces On ≤ Isomn (On puede ser mirado como un subgrupode Isomn) y definimos Ω : Isomn → On como Ω(f) = A.

Finalmente (hay que concluir este hermoso ejemplo) cada a ∈ Rn defineuna isometrıa Ta dada por Ta(x) = x + a y llamada una traslacion. Lastraslaciones forman un subgrupo Trasn abeliano y Trasn ≤ Isomn (exac-tamente Trasn = kernel(Ω)); tenemos,

Isomn/Trasn ≈ On.

Espacios homogeneos

Recordemos que G/H := gH : g ∈ G = Lg(H) : g ∈ G dondeLg : G −→ G es la traslacion a izquierda dada por Lg(x) = gx. Lg esbiyeccion y es continua pues es compuesta de aplicaciones continuas

Lg : G −→ G×G −→ G donde x 7−→ (g, x) 7−→ gx.

Su inversa es la funcion L−1g que tambien es continua. Luego Lg es un

homeomorfismo. (Similarmente, las funciones Rg, traslaciones a derecha sonhomeomorfismos).

Por tanto, el producto AU de un subconjunto A ⊆ G por un conjuntoabierto U ⊆ G es abierto pues AU = au|a ∈ A,u ∈ U =

⋃La(U)|a ∈ A.(En particular, la multiplicacion de grupo es una funcion abierta).

Ejemplo 3.45. Si G = (R,+) entonces L5(x) = 5 + x es la funcion quetraslada todo en cinco unidades.

Luego un grupo topologico tiene cierta “homogeneidad” como espaciotopologico, pues si g, h ∈ G existe un homeomorfismo de G que enviag en h,Lhg−1(g) = h; esto es, G exhibe la misma estructura topologica de maneralocal para cada punto.

GUSTAVO


Definicion 3.46. Un espacio topologico X se llama homogeneo si paracada par de puntos x, y ∈ X existe un homeomorfismo f : X −→ X conf(x) = y (el espacio luce lo mismo cuando es visto desde cualquier punto).

Cada grupo topologico es homogeneo (desde el punto de vista topologi-co).

Ejemplo 3.47. El intervalo I con su topologıa usual no es homogeneo,pues no existe homeomorfismo f tal que f(1/2) = 1. Por tanto I no es ungrupo topologico. Por consiguiente, [0, 1] no puede ser un grupo topologico,pues independientemente de la multiplicacion de grupo que se le ponga, nopreserva la topologıa usual.

Notese que en un grupo topologico las vecindades del elemento identicoe ∈ G son lo suficientemente importantes como para darles un nombre:nucleos. Como una topologıa puede ser determinada dando para cada x ∈X el conjunto V(x) de sus “futuras vecindades”, si X es homogeneo, unabase local para el punto e determina una base local para todo otro punto(vıa el homeomorfismo) y ası determina toda la topologıa de X. Por tanto,dado el conjunto de las V(e), tenemos que V(g) = Lg(N) : N ∈ V(e).

Algunos autores requieren en la definicion de grupo topologico que elespacio sea de Hausdorff con lo cual e es cerrado.

Teorema 3.48. Sean G un grupo topologico y H E G (normal). Entonces

G/H = gH : g ∈ G = Lg(H) : g ∈ G

es un grupo topologico. “El cociente de un grupo topologico modulo un sub-grupo normal es un grupo topologico con la topologıa cociente y el productode coclases”.

Demostracion. Por el teorema 2.15 solo nos resta verificar la continuidad delas operaciones. Verifiquemos que la multiplicacion G/H × G/H → G/H(inducida por la multiplicacion m de G) en las clases es continua.

Tomemos g0H, g1H ∈ G/H y (goH)(g1H) ∈ V para V ⊆ G/H vecin-dad abierta de g0g1H y veamos que existen W0,W1 vecindades de g0H,g1H respectivamente tales que W0W1 ∈ V . Como m es continua, existenvecindades U0, U1 de g0, g1 respectivamente tales que U0U1 ⊆ q−1(V ) (pa-ra q : G → G/H). Entonces (recordando que q es una funcion abierta)definimos W0 = q(U0), W1 = q(U1).

De manera similar se muestra que la funcion inversion es continua.

GUSTAVO


Corolario 3.49. q : G → G/H es abierta. En efecto, si U ⊆ G es unabierto, entonces q−1(q(U)) = HU (la saturacion de U) es abierto en G ypor tanto q(U) es abierto por definicion de la topologıa cociente.

A ⊆ G se llama simetrico si A = A−1 = x−1 : x ∈ A.

Proposicion 3.50. Si Ue es una vecindad de e en el grupo topologico (G,m)entonces existe una vecindad abierta y simetrica Ve tal que V V = V V −1 ⊆ Uy V ⊆ U .

Definicion 3.51. Homomorfismos entre grupos topologicos

Los homomorfismos entre grupos topologicos son funciones quepreservan ambas estructuras: la topologica y la algebraica, ası: f : G −→H es un homomorfismo (de grupos topologicos) si es tanto continua comohomomorfismo de grupos.

Ejemplo 3.52. La aplicacion (C − 0, ·) −→ (R − 0, ·) con z 7−→ |z| esun homomorfismo de grupos topologicos.

En los grupos topologicos un homomorfismo de grupo (solo a nivel alge-braico) que sea continuo en el punto e, lo es en todo otro punto g ∈ G, y deesta manera es un morfismo entre grupos topologicos (solo hay que verificarla continuidad en el origen, lo cual es un gran ahorro de energıa).

Si f : G → H es un homomorfismo de grupos topologicos, tambienpodemos traer a contexto un teorema de cocientes para grupos to-pologicos. Como f es un morfismo algebraico, ya sabemos que existe unaunica factorizacion

G H

G/Ker(f) f(G)

-f

?

q

-hf

6i

y si miramos a f como una funcion en topologıa, los espacios G/Ker(f)y f(G) son grupos topologicos y f , q, i son homomorfismos de grupos to-pologicos. No podemos garantizar que hf sea un homeomorfismo a menosque f sea abierta.

Para verificar la continuidad de un homomorfismo entre las estructurasalgebraicas f : G → H es suficiente con mostrar continuidad en el punto

GUSTAVO


e de su dominio. Una bonita interaccion entre las estructuras algebraica ytopologica.

3.2.1. G-espacios y espacios orbita

El grupo cıclico infinito con un unico generador, es decir, Z puede servisto como un grupo de homeomorfismos de R en R. En efecto, dadon ∈ Z, asociamos la traslacion de R en R definida como Z×R −→ R,(n, x) 7−→ n + x, y si Z tiene la topologıa discreta, esta funcion escontinua.

El grupo O(n) de matrices ortogonales se representa como transfor-maciones lineales de Rn en Rn. Si nos restringimos a Sn−1 ellas sonhomeomorfismos (pues tienen inversa, preservan la distancia, preservanlos vectores unitarios). La operacion de matrices induce una funcionO(n)×Sn−1 −→ Sn−1 con (A,x) 7−→ Ax, la cual es continua (compa-tible con las topologıas de O(n) y Sn−1, es decir la topologıa en O(n)es admisible). Se dice entonces que O(n) “actua” sobre la esfera Sn−1

como un grupo de homeomorfismos.

Si G = Homeo(X,X) es el grupo de los homeomorfismos de un espaciotopologico X con la operacion de composicion, para cada g ∈ G laaccion (g, x) 7→ g(x) define una funcion G×X → X.

Definicion 3.53. Un grupo topologico G actua como un grupo dehomeomorfismos sobre un espacio topologico X y decimos que X es unG–espacio si existe una funcion µ : G ×X −→ X continua, (g, x) 7−→ g(x)tal que

1. Para cada elemento del grupo g ∈ G la restriccion µ|g×X = Lginduce un homeomorfismo en X notado como Lg((g, x)) = g(x).

2. e(x) = x para todo x ∈ X (e es la identidad en G).

3. hg(x) = h(g(x)) para todo h, g ∈ G y x ∈ X.

G×G×X G×X

G×X X

-idG×µ

?

µ×idX

?

µ

-µ

GUSTAVO


Notese que cada elemento g ∈ G “actua” como si fuese un homeomorfismog : X → X y la multiplicacion se comporta entonces como la composicionde funciones, con lo cual los miembros de G deben ser homeomorfismos enX ya que como grupo G contiene los inversos de sus elementos; ademas, µresulta ser una evaluacion y se llama la accion de G sobre X.

Algunos autores no exigen que el grupo G sea topologico y por tanto norequieren que la funcion µ sea continua, pero sı que lo sean las funciones Lglo cual conlleva a que sean homeomorfismos.

En cualquier caso, las condiciones en la definicion obligan a que el ho-momorfismo

L : G −→ Homeo(X,X) donde g 7−→ Lg, Lg : X −→ X y Lg(x) := g(x)

sea un homomorfismo de grupos, esto es

L(e) = idX por la condicion (2).

L(gh) = L(g) L(h) por la condicion (3).

Por la condicion (1) la imagen de L esta contenida en los homeomor-fismos de X en X.

Podemos definir ahora una relacion de equivalencia ∼ sobre el G–espacioX como

x ∼ y :⇔ g(x) = y para algun g ∈ G.

El espacio cociente X/ ∼ lo notamos X/G y, con la topologıa cociente, esllamado el espacio cociente de X por G.

Si X es un G–espacio, la funcion cociente q : X → X/G es una funcionabierta, pues para un abierto U ⊆ X tenemos que

q−1(q(U)) =⋃

g∈G

g(U)

lo que es una union de abiertos pues cada Lg es un homeomorfismo. Si G esfinito, entonces q es ademas cerrada.

Podemos redefinir al espacio cociente. El conjunto O(x) := gx | g ∈ Gde todas las posibles imagenes del punto x se llama la orbita de x (elconjunto de elementos en X a los cuales x puede ser llevado por la accion de

GUSTAVO


G). La coleccion de las orbitas determinan una particion para X inducidapor la relacion

x ∼ y :⇔ y = g(x) para algun g ∈ G.

Al espacio cociente X/ ∼= X/G lo llamamos el espacio orbita. Dos ele-mentos en X se identifican si ellos difieren por un homeomorfismo.

De otra parte, dado un elemento (fijo) x ∈ X, el subconjunto Gx ⊆ Gde elementos en G que dejan fijo a x, es decir Gx = g ∈ G | gx = x es unsubgrupo topologico de G llamado el estabilizador de x.

Para un G−espacio X, decimos que G actua de manera transitiva oque G es transitivo si para cada par de puntos x, y ∈ X existe un elementog ∈ G que lleve x en g(x) = y(la orbita de cualquier punto resulta sertodo el espacio). En este caso, todos los grupos de isotropıa Gx resultan serisomorfos entre sı, por medio de φ : Gx → Gy donde φ(k) = g−1kg.

En la construccion de espacios recubridores sera util la siguiente defini-cion.

Definicion 3.54. La accion de un grupo G sobre un espacio X es propia-mente discontinua si para x ∈ existe una vecindad Vx tal que g(Vx) es dis-yunto de Vx para todo g 6= e. Esto es equivalente a decir que g1(Vx)

⋂g2(Vx) =

∅ ara todo g1, g2 ∈ G, pues de no ser ası se tendrıa g−12 g1(Vx)

⋂Vx 6= ∅.

Ejemplo 3.55. Los siguientes son ejemplos de acciones:

1. Sea X un espacio topologico y G = Homeo(X,X). µ : G × X → Xcon µ(f, x) = f(x).

2. Para el caso de Z y la accion sobre R dada por µ : Z×R −→ R donde(n, x) 7−→ n+ x, tenemos que dos puntos se identifican si difieren porun entero, luego R/Z = ([0, 1], 0 ∼ 1) donde el 0 es identificado con 1,es decir, tenemos a S1.

0 1 2 3 4 5−1−2−3x

3. Sean X ⊆ R2 con X = (x, y) : −1/2 ≤ y ≤ 1/2 y G = Z. Paraµ(n, (x, y)) = (x+ n, )− 1)ny) tenemos X/Z ≡ Cinta de Mobius.

GUSTAVO


4. Sean G = Z×Z, X = R2 y consideremos la accion (Z×Z)×R2 → R2,((m,n), (x, y)) 7→ (x+m, y+n). Entonces X/G ≈ Toro. Este ejemplose puede generalizar con G = Zn, X = Rn y ası obtenemos a T n =S1× · · · × S1 n−veces.

-3 -2 -1 0 1 2 3-3

-2

-1

0

1

2

3

5. Sea G = Z2 = (−1, 1, discreta) donde la estructura algebraica (comoes usual) es la multiplicacion, y sea X = Sn. Definimos la siguienteaccion para Z2×Sn → Sn con (±1, x) 7→ ±x. Entonces Sn /Z2 ≈ RPn.

6. Sean G = Z con la topologıa discreta y X = Sn. La G–accion sobre Xesta dada por nx = n+ x. Entonces R/Z ≈ S1.

7. µ : O(n)× Sn−1 con µ(A,x) = Ax determina una accion que es tran-sitiva. La matriz A que lleva a x en y puede ser visualizada como unarotacion de Sn−1 alrededor de un eje perpendicular a x y y.

La accion de O(n) sobre Sn−1 determina que O(x) es todo Sn−1 paracualquier x. Dado x ∈ Sn−1 construimos una base ortonormal conx como primer elemento (Proceso de Graham-Smith) y la matriz Acambio de base nos produce A(e1) = x para e1 = (1, 0, 0, ..., 0) elvector unitario canonico. Luego O(e1) = Sn−1.

8. Sea G = SO(2) (el grupo de rotaciones de R2 alrededor del origen) yX = S2, la accion consiste en rotar la esfera alrededor del eje x3, esdecir, SO(2) x S2 → S y g(x1, x2, x3) 7→ (g(x1, x2), x3) para g : R2 →R2.

GUSTAVO


Las orbitas son entonces las circunferencias delatitud (paralelas) y los dos polos. Ası queS2/SO(2) ∼= [−1, 1].Demostracion: Sea p3 : S2 → [−1, 1] la proyec-cion sobre el eje x3 (eje z usual). Como p3 esconstante sobre cada orbita, tenemos la funcioninducida f3 : S2/SO(2) → [−1, 1] y el diagra-ma indica que f3 es un homeomorfismo (de uncompacto a un Hausdorff)

z

S2 S2/SO(2)

[−1, 1]

-q

QQ

QQs

p3p

p

p

p

p

p

p

p+

f3

A partir del ejemplo anterior genere otro G-espacio ¿A que es igualSn/SO(n)?

3.3. Espacios de funciones

Si X, Y son dos espacios, recordemos la siguiente notacion para conjun-tos:

Y X = f | f : X → Y es el conjunto de todas las funciones delconjunto X al conjunto Y (no se requiere que sean espacios).

C(X,Y ) = f : X → Y | f es continua.

B(X,Y ) = f : X → Y | f es acotada en caso que Y sea metrizable.

Homeo(X,Y ) = f : X → Y | f es un homeomorfismo.

Notese que el conjunto Y X puede ser interpretado como el conjunto∏x∈X Yx

donde Yx = Y para cada x ∈ X. Existen topologıas naturales para losanteriores conjuntos de funciones y entonces los espacios seran llamadosespacios de funciones.

GUSTAVO

RUBIANO 3.3. ESPACIOS DE FUNCIONES 61

3.3.1. La topologıa punto–abierto

Definicion 3.56. Sean X un conjunto y Y un espacio topologico. Dadosun punto x ∈ X y U ⊆ Y un abierto, definimos

S(x,U) := f ∈ Y X | f(x) ∈ U.La coleccion de conjuntos S(x,U) forman una subbase para una topologıasobre Y X llamada topologıa de la convergencia puntual (simple) otopologıa punto–abierto o p.a.–topologıa.

Por tanto, un elemento B de la base es de la forma

B =

n⋂

i=1

S(xi, Ui).

Si f ∈ B, entonces para todo g ∈ B tenemos que g(xi) y f(xi) estan cercanospor Ui para finitos puntos xi; ası, una vecindad es de la forma que muestrala figura 3.17.

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X1 X2 X3 Xi

· · · · · ·

Figura 3.17: Un elemento en la subbase de la topologıa punto–abierto

Notese que si X fuera un espacio, para nada interviene la topologıa deX; mas aun, X podrıa carecer de topologıa, este simplemente indexa.

Esta topologıa punto–abierto no es mas que la definicion de la topologıaproducto de Tychonoff para el producto de espacios Y X =

∏x∈X Yx y

al espacio lo notamos Y Xp.a.. Si px : Y X → Y es la proyeccion definida por

px(f) = f(x), entonces la p.a.–topologıa es la topologıa mas pequena paraY X que hace todas las proyecciones px, x ∈ X continuas.

La siguiente afirmacion nos dice como es la convergencia en este espa-cio de funciones (y justifica el otro nombre de convergencia puntual oconvergencia simple).

GUSTAVO


Proposicion 3.57. Sea (fn) una sucesion en Y Xp.a..

fn → f si y solo si fn(x)→ f(x) para cada x ∈ X.

Demostracion. Recuerdese que en la topologıa producto Tychonoff (xn)→ xsi y solo si pi(xn)→ pi(x) para cada ındice i (pi es la proyeccion).

Desafortunadamente esta topologıa dejamucho que desear con respecto a la con-tinuidad; es decir, una sucesion de fun-ciones continuas puede converger a unano continua, por ejemplo en R[0,1], la su-cesion definida por fn(x) = xn conver-ge a la funcion no continua dada por

f(x) =

0 si x ∈ [0, 1)

1 si x = 1.0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Esto es, el conjunto C(I,R) no es cerrado en RIp.a., pues f es un punto

adherente que no pertenece al conjunto.

Si Y es ademas un espacio metrico Y = (Y, d), tenemos otra topologıametrizable para el conjunto Y X .

Para definirla, consideremos a cambio de la metrica d en Y , la metricaequivalente d(a, b) := min1, d(a, b) la cual es acotada; ahora, dadas dosfunciones f, g ∈ Y X definimos

ρ(f, g) := supx∈X

d(f(x), g(x)),

conocida como la metrica uniforme sobre Y X y la topologıa inducidacomo la topologıa de la convergencia uniforme o sup–topologıa.

Es tal su utilidad, que algunas definiciones se dan tomandola con explıcitareferencia: “(fn) converge uniformemente a f si y solo si lımn ρ(fn, f) = 0”.

Si nos restringimos al conjunto de las funciones acotadas

B(X,Y ) := f ∈ C(X,Y ) | f es acotada

podemos definir directamente a ρ como ρ(f, g) := supx∈X d(f(x), g(x)). (Co-mo en el caso que (Y, d) sea acotado o X sea compacto y Y sea metrizable).

GUSTAVO


Esta metrica tiene la bondad de hacer de Y Xρ =(Y X , ρ) un espacio com-

pleto cuando (Y, d) es completo. Pero hay algo mas: si consideramosC(X,Y ) ⊆ Y X

ρ , entonces Cρ(X,Y ) como subespacio tambien es comple-to. Lo mismo sucede para Bρ(X,Y ) := f : X → Y | f es acotada y larazon es porque estos subconjuntos son cerrados en Y X

ρ . Por tanto tenemosel siguiente teorema.

Teorema 3.58 (Teorema del lımite uniforme). Si (fn) es una sucesionen Cρ(X,Y ) y fn → f en el espacio Y X

ρ , entonces f ∈ Cρ(X,Y ).

La razon del nombre metrica uniforme es por lo siguiente. Si (fn) esuna sucesion en Y X tal que fn → f , entonces fn → f de manera uniforme(uniformemente) en el sentido de la siguiente definicion, donde dado el ε > 0,el entero N es “uniforme” para todos los puntos x.

Definicion 3.59. Dada fn : X → (Y, d) una sucesion de funciones, decimosque (fn) converge uniformemente a f : X → (Y, d) si dado ε > 0 existeun entero N tal que d(fn(x), f(x)) < ε para todo n > N y todo x ∈ X.

3.3.2. La topologıa compacto–abierto

¿Como generalizar la topologıa uniforme a fin de evitar la condicion deque Y sea metrizable? La respuesta es restringir el espacio de definicion Y X

al subconjunto C(X,Y ).

La siguiente es una topologıa para C(X,Y ) que sı tiene en cuenta latopologıa tanto en X como en Y , y ademas generaliza la topologıa punto–abierto. La introduce Ralph H. Fox en 1945, [13].

Notese que los abiertos son de tama~nomas pequeno que en la pa−topologıa,la cual aumente por supuesto el tamano de la topologıa. La topologıa resul-tante esta entonces entre la pa y la cu-topologıas

Definicion 3.60. Sean X,Y espacios topologicos. Dado K subespacio com-pacto de X compacto y U subconjunto abierto de Y , definimos

S(K,U) := f ∈ C(X,Y ) : f(K) ⊆ U.La coleccion S(K,U)K,U forma una subbase para una topologıa sobreC(X,Y ) llamada la topologıa compacto–abierto, la cual notamos comoc.a.–topologıa, o simplemente c.a., y al espacio lo notamos Cc.a.(X,Y ).

Por ejemplo, si X es un espacio discreto formado por n puntos, entoncesC(X,Y ) ≈ Y × · · · × Y (n veces).

GUSTAVO


A diferencia de la p.a.–topologıa, donde en un elemento de la base estantodas las funciones que son “cercanas” a f para finitos puntos, ahora estanlas funciones que son “cercanas” a f para todos los puntos en un conjuntocompacto.

Las anteriores topologıas estan relacionadas de la manera siguiente:

Dados espacios topologicos X,Y entonces en C(X,Y ), tenemosp.a.–topologıa ⊆ c.a.–topologıa.

Dados un espacio topologico X y un espacio metrico (Y, d), tenemosp.a.–topologıa ⊆ c.a.–topologıa ⊆ convergencia uniforme.

Si X es compacto de Hausdorff y Y = (Y, d),c.a.–topologıa = convergencia uniforme.

Una de las razones para introducir toda la maquinaria anterior, es paragarantizar el siguiente teorema, el cual nos asegura la continuidad de unafuncion (y otras) muy especial: la restriccion a C(X,Y )×X de la la eva-luacion e (ver teorema 3.63), definida como

e : Y X ×X → Y con e(f, x) = f(x).

Definicion 3.61. Sean X,Y espacios topologicos y F ⊆ C(X,Y ) Una to-pologıa para F se dice que es admisible si la evaluacion e : F ×X → Y escontinua.

Teorema 3.62. La topologıa c.o. (compacto–abierto) para C(X,Y ) es maspequena que cualquier otra topologıa admisible para C(X,Y ).

Demostracion. Veamos que si la topologıa J es admisible entonces c.o.⊆J , es decir cada abierto en Cc.o.(X,Y ) es abierto en CJ (X,Y ). Para ello essuficiente mostrar que cada abierto subbasico S(K,U) de la c.o. esta en J .

Dado f ∈ S(K,U) y k ∈ K, tenemos que como e : CJ (X,Y )×X → Yes continua entonces para el punto e(f, k) = f(k) ∈ U existen vecindadesV kf de f en CJ (X,Y ) y Wk de k en X tales que e(V k

f ×Wk) ⊆ U .

La coleccion Wkk∈K es un cubrimiento abierto del compacto K ypor tanto la podemos reducir a una familia finita W1,W2, . . . ,Wn tal queK ⊆ W1 ∪ · · · ∪Wn. Sean V 1

f , . . . , Vnf las correspondientes vecindades de f

(escogidas previamente) tales que e(V if ×Wi) ⊆ U , i = 1, . . . n.

GUSTAVO


Si definimos Vf = V 1f ∩ · · · ∩ V n

f , entonces Vf ⊆ S(K,U) pues dadosg ∈ Vf y k ∈ K tenemos que (g, k) ∈ Vf × Wi para algun i con lo cualg(k) = e(g, k) ∈ e(Vf ×Wi) ⊆ e(V i

f ×Wi) ⊆ U , y como esto se tiene paracada k ∈ K, entonces g(K) ⊆ U . Por tanto S(K,U) es reunion de vecindadesVf en CJ (X,Y ), es decir, es abierto en CJ (X,Y ).

El teorema anterior se puede “mejorar” diciendo que la topologıa c.a.

es la mas pequena de las admisibles si se demuestra que c.a. es en sı mismaadmisible (al menos sobre cierta clase de espacios).

Teorema 3.63. Sea X un espacio Hausdorff y localmente compacto. Si enC(X,Y ) consideramos la c.a.–topologıa, entonces la funcion evaluacion

e : C(X,Y )×X → Y

dada por e(f, x) = f(x) es continua. (De manera mas general podemosescribir

e : Y X ×X → Y

si nos restringimos al universo de las funciones continuas).

Demostracion. Sea U ⊆ Y un abierto y veamos que e−1(U) tambien es unabierto (de hecho que es reunion de vecindades abiertas). Tomemos (f, x) ∈e−1(U); como e(f, x) = f(x) ∈ U y f es continua, existe una vecindadWx ⊆ X tal que f(W ) ⊆ U . Como X es Hausdorff y localmente compacto,existe una vecindad abierta V para la cual V es compacta y x ∈ V ⊆ V ⊆W .

Por tanto, (f, x) ∈ UV ×V , el cual es un abierto en C(X,Y )×X. Veamos

finalmente que UV × V ⊆ e−1(U). En efecto, si g ∈ UV y t ∈ V entoncesg(t) ∈ U , es decir, e(g, t) ∈ U .

La topologıa compacto–abierto para C(X,Y ) hace que la funcion evalua-cion e sea continua en ambas variables f , x de manera simultanea, y latopologıa compacto–abierta es la “mejor” (mas pequena) de las topologıasadmisibles. De manera trivial la topologıa discreta es admisible.

Lema 3.64. Sean X,Y,Z espacios topologicos y en cada uno de los espaciosde funciones consideremos la c.a.–topologıa. Entonces la funcion composi-cion

T : C(X,Y )× C(Y,Z)→ C(X,Z) dada por (f, g) 7→ g f

es continua si Y es Hausdorff y localmente compacto.

GUSTAVO


3.3.3. ¿ZX×Y ≈ (ZY )X?

Si X,Y,Z son conjuntos, es bien conocido que existe una biyeccion ϕque establece la equivalencia entre los conjuntos de funciones

ZX×Y ≡ (ZY )X .

En efecto, ϕ : ZX×Y → (ZY )X esta definida como ϕ(f)(x)(y) = f(x, y) ysu inversa ϕ−1(g)(x, y) = g(x)(y).

Por supuesto, tenemos una equivalencia analoga si nos restringimos a losconjuntos de funciones continuas.

Definicion 3.65. Sean X, Y , Z espacios topologicos y f : X × Y → Z unafuncion continua. La funcion inducida correspondiente es definida como

F := ϕ(f) : X → C(Y,Z) donde F (x)(y) := f(x, y)

oF := ϕ(f) : X → ZY en el universo de las continuas.

Por supuesto, y de manera dual, dada F : X → C(Y,Z) existe

f := ϕ−1(F ) : X × Y → Z dada por f(x, y) := F (x)(y).

La influencia de la topologıa compacto–abierto es la siguiente.

Teorema 3.66 (Fox). Si f : X × Y → Z es continua entonces tambienlo es la funcion inducida F : X → C(Y,Z) —F : X → ZY— cuandoC(Y,Z) tiene la c.o.–topologıa. El recıproco es cierto cuando X es Hausdorffy localmente compacto.

Demostracion. Sea f : X × Y → Z continua. Para mostrar la continuidadde F : X → C(Y,Z) es suficiente ver que para cada elemento S(K,U) ⊆C(Y,Z) de la subbase, el conjunto F−1(S(K,U)) = x ∈ X|f(K,x) ⊆ Ues abierto en X, y para ello es suficiente mostrar que el es vecindad de cadauno de sus puntos.

Sea x ∈ F−1(S(K,U)). Como f−1(U) es una vecindad abierta del com-pacto K × x, existen abiertos V ⊆ X, W ⊆ Y cuyo producto V × Wsatisface K × x ⊆ V ×W ⊆ f−1(U).

Para la recıproca, notemos que F puede ser vista como la compuesta

X × Y F×idY−−−−−→ ZY × Y e−−→ Z

de dos funciones continuas.

GUSTAVO

RUBIANO 3.4. CONEXIDAD 67

Ejemplo 3.67 (homotopıas). Esta es la motivacion para que en 1930Hurewicks le formule la siguiente pregunta a Fox:

¿Es posible dar una topologıa al espacio de funciones continuas

Y X tal que h : X × [0, 1] → Y sea continua, si y solamente si,

H : [0, 1]→ Y X con H(t) = Ht tambien lo es?(Ver [5])

Dada una funcion f : X × [0, 1] → Y obtenemos la funcion inducida F :[0, 1]→ C(X,Y ) con Ft : X → Y dada por Ft(x) = f(x, t).

Una homotopıa entre las funciones f, g : X → Y es una funcion continuah : X × [0, 1]→ Y tal que h(x, 0) = f(x) y h(x, 1) = g(x), para todo x ∈ X;esto es, una homotopıa es una familia de funciones Ht a un parametro quees continua, H : [0, 1]→ C(X,Y ).

Luego una homotopıa no es mas que un camino en el espacio C(X,Y )desde el punto f hasta el punto g.

Finalmente, y como consecuencia de la c.a.–topologıa (para esto fue in-troducida), tenemos los dos homeomorfismos siguientes:

Corolario 3.68. Sean X,Y,Z espacios topologicos tales que X y Y sonHausdorff y Y es localmente compacto. Entonces

C(X,Y × Z) ≈ C(X,Y )× C(X,Z) —Y × ZX ≈ Y X × ZX—

ZX×Y ≈ (ZY )X (si de funciones continuas se trata).

Demostracion. El ultimo isomorfismo es vıa la funcion f 7→ ϕ(f) = F .

3.4. Conexidad

Algunos espacios topologicos como el intervalo unidad, la recta real, eltoro, con las topologıas usuales parecen que estan formados de una sola piezao literalmente sus partes constituyentes no estan desconectadas o separadas,como sucede en contraste con subespacios en R2 como:

GUSTAVO


1. El constituido por dos segmentos de lıneaque no se interceptan.

2. El complemento de una circunferencia enel plano, el cual resulta ser union disyuntade dos subespacios abiertos.

3. Dos globos en R3.

Precisemos este concepto de conexidad y veamos que resulta ser de valortopologico; es decir, es un invariante.

Definicion 3.69. Dado un espacio topologico (X,G), una separacion paraX la constituye un par A,B de subconjuntos no vacıos, abiertos y tales queA ∪B = X y A ∩B = ∅.

En la definicion anterior es equivalente el requerir que A,B sean amboscerrados a cambio de abiertos, o que exista A ⊆ X no vacıo, abierto y cerrado(aberrado). Ademas, no es suficiente exigir solo queA,B sean disyuntos, puestodo espacio con mas de un punto serıa trivialmente no conexo. Queremosque realmente A y B sean dos piezas separadas; esto es, que no hayan puntosde A adherentes a B o viceversa. Luego A debe estar contenida en Bc,A ⊆ Bc, y como A = Bc, concluimos que A y B deben de ser amboscerrados o, equivalentemente, ambos abiertos.

Definicion 3.70. Un espacio topologico X es conexo si no existe una sepa-racion para X.

Por supuesto un subespacio sera conexo si visto como espacio es conexo;claramente, la posible conexidad del subespacio unicamente depende de el yno del espacio que lo contiene. Este concepto de conexidad es muy geometricoo visualizable, en oposicion al concepto de compacidad. Ademas, resultacurioso notar que su naturaleza es de caracter negativo: niega la existenciade una separacion.

En la figura 3.18, (a) es una region circular conexa y (b) es un subespaciode R2 formado por las circunferencias de centro el origen y radio 1 − 1/n,(n ∈ N) atadas por el segmento de recta [1/2, 1), y a este conjunto le agrega-mos S1. Notese que aunque esta ultima figura es conexa, ella pareciera estarformada por dos partes disyuntas: las circunferencias atadas y la circunfe-rencia exterior S1. Pareciera que requerimos de una nocion de conexidadmas sutil (ver definicion 3.79).

GUSTAVO


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(a)

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(b)

Figura 3.18: Conexos.

Por supuesto los espacios conexos abundan: (Rn, usual), (R, cofinitos)y todo subespacio infinito de este ultimo espacio. En el otro espectro, todoespacio no unitario con la topologıa discreta es no-conexo, mientras que todoespacio con la topologıa grosera es conexo.

La siguiente caracterizacion para la conexidad en terminos de funcionescontinuas, aunque aparentemente no nos exprese directamente el conceptointuitivo de la conexidad, es util y facil de aplicar: un espacio topologico(X,G) es conexo si y solo si toda funcion continua es constante f : X −→0, 1 (el espacio 0, 1 con la discreta).

Es intuitivo que si a un subespacio conexo le agregamos parte de suspuntos adherentes seguimos teniendo conexidad (ver figura 3.18 (b) dondeagregamos S1). Este es el tema del siguiente teorema.

Teorema 3.71. Sea A un subconjunto conexo de un espacio topologico(X,G). Si B es tal que A ⊆ B ⊆ A, entonces B es conexo.

Teorema 3.72. Sea (X,G) un espacio topologico y A,B una separacion deX. Si C es un subespacio conexo de X, entonces C ⊆ A o C ⊆ B.

Por supuesto la conexidad es respetada por las funciones continuas y portanto es un invariante topologico.

Con respecto a la union de conexos podemos afirmar que:

GUSTAVO


Teorema 3.73. Si (X,G) es un espacio to-pologico y Ci, (i ∈ I) una familia de subcon-juntos conexos de X con la propiedad que existeun ındice j ∈ I tal que para cada i ∈ I tenemosque Ci ∩ Cj 6= ∅, entonces C = ∪Ci, (i ∈ I) esconexo.

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Aunque la interseccion de dos espacios conexos no necesariamente esconexa —¿por que?— sı lo es su producto cartesiano.

Teorema 3.74. Sea X =∏Xi, (i ∈ I) un espacio producto con la topologıa

producto. Si cada espacio coordenado Xi es conexo entonces X es conexo.

La siguiente aplicacion de la conexidad es mas util de lo que creemos.

Proposicion 3.75 (Funciones localmente constantes). Si X, Y sonespacios con X conexo y f : X → Y es una funcion continua que es local-

mente constante (i.e., para cada x ∈ X existe una vecindad Vx para lacual f |Vx es constante), entonces f es constante sobre todo el dominio X.

Demostracion. Si y = f(x) un punto en la imagen de f los conjuntos A =x : f(x) = y y B = x : f(x) 6= y son abiertos y complementarios por loque se debe tener que B = ∅.

Esta situacion es frecuentemente aplicada al tipo Y = falso, verdaderode la manera siguiente. Sea X conexo y P una propiedad que pueden tenero no los puntos de X, y queremos probar que todos la tienen. Entonces essuficiente verificar los siguientes hechos:

Existe al menos un punto que satisface a P .

Si x la satisface, lo mismo sucede para todos los puntos suficientementecercanos a x.

Si x no la satisface, lo mismo sucede para todos los puntos suficiente-mente cercanos a x.

GUSTAVO


3.4.1. Subespacios conexos maximales

Un espacio no conexo obviamente puede tener subespacios que sı son co-nexos (los pedazos); entre estos, vamos a analizar a aquellos que son ma-ximales con respecto a la relacion de inclusion, los cuales nos brindan unamanera natural de definir una particion sobre el espacio topologico hacien-do uso del concepto de conexidad. En otras palabras, vamos a definir unarelacion de equivalencia.

Definicion 3.76. Sean X un espacio topologico y A un subespacio de X.Decimos queA es una componente conexa deX o un subespacio conexomaximal en X si A es conexo y no es subconjunto propio de algun otrosubespacio conexo de X.

Como la adherencia de un conexo es de nuevo conexa, entonces las com-ponentes son subconjuntos cerrados del espacio, y cada punto x ∈ X perte-nece a una unica componente: exactamente a la union de todos los conexosque contienen al punto x (el mayor subespacio conexo que contiene a x).Por todo lo anterior, el conjunto de las componentes conexas de un espacioX determinan una particion ∼ sobre X:

x ∼ y :⇔ ∃A ⊆ X conexo, con x, y ∈ A.

En el caso en que las componentes sean unicamente conjuntos unitarios alespacio se le llama totalmente desconectado.

Ejemplo 3.77. Cada espacio discreto es totalmente desconectado, peroexisten espacios totalmente desconectados que no son discretos; por ejemplo,X= 0 ∪ 1/n | n ∈ N o X = Q como subespacios de (R, usual).

Por supuesto todo espacio totalmente desconectado es T1. Mas aun, cual-quier subconjunto contable de un espacio metrico, visto como subespacioes desconectado totalmente (y algunos no contables como los irracionalesI ⊆ (R, usual)).

GUSTAVO


3.5. Caminos

La primera nocion de “conexidad” fue dada por K.Weierstrass en 1.880, la cual en el contexto de R2 intui-tivamente significa lo siguiente: un conjunto M ⊆ R2

es conexo, si dos puntos cualesquiera de M pueden serconectados por un camino que no se sale de M . Porejemplo, el subespacio W conformado por la union deun disco y una circunferencia concentricos (ver figura)es no-conexo segun este criterio, ya que todo “camino”que vaya del disco a la circunferencia tiene que pasarpor “fuera” del conjunto W .

Claro que, en este ejemplo, el criterio de conexidad de Wierstrass y ladefinicion usual de conexidad que vimos en la seccion anterior, coinciden;pero infortunadamente veremos que no siempre este es el caso.

Una partıcula que se mueve en el espacio durante cierto intervalo detiempo describe un camino. Es conveniente asumir que el movimiento co-mienza en el tiempo t = 0 y continua hasta el momento de parar, digamost = 1. Esta nocion de camino la generalizamos a espacios topologicos de lamanera siguiente.

Definicion 3.78. Dado un espacio topologico X, un camino en X es unafuncion continua f : [0, 1] −→ X. Si f(0) = a, f(1) = b, decimos que f esun camino desde a hasta b con punto inicial en a y punto final en b.

Los caminos son utiles para dar la otra nocion de conexidad.

3.5.1. Conexo por caminos

Definicion 3.79. Un espacio topologico X es conexo por caminos sidados x, y ∈ X, existe un camino f con punto inicial en x y punto final eny —esto es, cada par de puntos en X pueden ser unidos por un camino—.

Esta definicion es topologica en el sentido que la imagen por una funcioncontinua de un espacio conexo por caminos es conexa por caminos.

Definicion 3.80 (multiplicacion de caminos). Dado un espacio X, en elconjunto C([0, 1],X) (subconjunto de XI) de los caminos sobre X, podemosintroducir una operacion interna ası: dados dos caminos f, g tales quef(1) = g(0), definimos otro camino f g como

GUSTAVO

RUBIANO 3.5. CAMINOS 73

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••

•

•

•

0 12

1

0 1

f

g

1

•

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f g(t) =

f(2t) si 0 ≤ t ≤ 1/2

g(2t− 1) si 1/2 ≤ t ≤ 1.(3.1)

Figura 3.19: f g, los caminos se recorren a doble velocidad.

Basicamente, f g consiste en poner un camino a continuacion del otro,pero para no gastar mas tiempo en el recorrido cada uno de los caminos serecorre ahora a doble velocidad como en la ecuacion 3.1 (f(2t) y g(2t−1)).

f g es una funcion continua, puesto que f(2t) y g(2t−1) estan definidassobre los conjuntos cerrados [0, 1/2], [1/2, 1] y el conjunto donde coincidenes 1/2, que es la interseccion de los dos intervalos cerrados (para t = 1/2tenemos f(2 · 1

2) = f(1) = g(0) = g(2 · 12 − 1)). La demostracion se basa en

el siguiente hecho bien conocido de extender la continuidad.

Teorema 3.81 (Teorema del pegamiento de funciones). Si A, B sonsubconjuntos cerrados del espacio X y existen funciones continuasf : A → Y , g : B → Y sobre un espacio Y tales que f y g coincidensobre la interseccion A ∩ B, entonces podemos extender la continuidad auna funcion H : A ∪B → Y definida de manera natural como h(x) = f(x)si x ∈ A o h(x) = g(x) si x ∈ B.

Si f es un camino desde a hasta b en X, entonces existe el camino inversofr (el reverso de f) desde b hasta a dado por fr(t) = f(1− t); notese que frtiene el mismo “lugar” de f , pero su direccion es la contraria.

fr f es entonces un camino cerrado —el punto inicial coincide con elpunto final—. Por comodidad tambien notaremos fr = f r.

Corolario 3.82. Un espacio topologico X es conexo por caminos si dadocualquier punto x ∈ X, entonces todo otro punto y ∈ X puede ser unido porun camino con x.

GUSTAVO


El concepto de conexidad por caminos es mas fuerte que el de cone-xidad e historicamente fue introducido primero, al fin y al cabo parece serun concepto mas natural (K. Weierstrass, 1880).

Teorema 3.83. Si X es conexo por caminos, entonces es conexo.

Demostracion. Si existiera una separacion U, V de X, para un caminof : [0, 1] → X que conecte un punto en U con un punto en V , tendrıamosque f−1(U), f−1(V ) serıa una separacion de [0, 1].

La recıproca del teorema anterior no es cierta; un espacio puede serconexo y sin embargo tener puntos que no pueden ser conectados por uncamino.

Ejemplo 3.84 (La curva seno del topologo). Un espacio que es conexo,pero no es conexo por caminos es la curva seno del topologo (ver figura3.20).

(0, 0) ( 1

π, 0)

Figura 3.20: La curva seno del topologo.

Esta curva es definida como la union en R2 del grafo de la funcion sen 1x ,

(0 < x ≤ 1π ) con el segmento de recta en el eje Y dado por los puntos (0, y) |

−1 < y < 1. Es conexa (es la adherencia del grafo de una funcion continua),pero no es conexa por caminos, puesto que no existe un camino que unaal punto ( 1

π , 0) con (0, 0). Si tal camino f existiera, f : [0, 1] −→ X conf(0) = ( 1

π , 0), f(1) = (0, 0), al ser f([0, 1]) conexo tenemos que f([0, 1]) = X—¿por que?—. Seleccionamos en [0, 1] una sucesion de puntos x1 < x2 < . . .con xn → 1 y ademas f(xn) teniendo como segunda componente a 1, o −1segun que n sea par o impar. Por tanto f(xn) no converge y f no serıacontinua.

GUSTAVO


3.5.2. Componentes conexas por caminos

Es posible que un espacio X no sea conexo por caminos, pero una partede el sı lo sea. La siguiente relacion en X nos permite reconocer estas partes.

xRy :⇔ existe un camino que conecta a x con y.

Esta relacion es reflexiva (camino constante), simetrica (camino inverso) ytransitiva (producto ); por tanto de equivalencia.

Para cada x ∈ X la clase Cx = [x] (el conjunto de puntos que pueden ser conectados a x) se llama la componente conexa por caminos para elpunto x y la notamos Cx. Esta componente conexa por caminos es maximal,ya que si dos subconjuntos conexos por caminos se interceptan, entoncessu union es tambien conexa por caminos. Como f(I) es conexo para cadacamino f , [x] es la union de una familia de conjuntos conexos con un puntoen comun, luego [x] es conexa.

Las componentes conexas por caminos no tienen por que ser las mismascomponentes conexas; probablemente, las componentes conexas por cami-nos se acercan mas a la idea intuitiva de los pedazos que constituyen a X(por ejemplo en la curva seno del topologo). Pero en el caso de los espacioslocalmente conexos por caminos ellas sı coinciden (ver la subseccion 3.5.3).

Definicion 3.85. El conjunto de clases Cx = [x] (las componentes conexaspor caminos) del espacio X lo notamos Π0(X)4.

En el caso de la curva seno del topologo (figura 3.20), tenemos dos clasesde equivalencia: el segmento de recta vertical y el grafo de la funcion sen( 1

x).

Evidentemente, X es conexo por caminos si Π0(X) es un conjunto uni-tario. Si g : X −→ Y es continua, entonces un camino f de x a y en Xinduce el camino g f : I −→ Y de f(x) a f(y) en Y . Por tanto, tenemosuna funcion inducida entre los espacios cociente

Π0(f) : Π0(X)→ Π0(Y ); dada por Π0(f)([x]) := [f(x)].

Π0 tiene la bondad de preservar tanto la composicion de funciones como lasidentidades, es decir, Π0(f g) = Π0(f) Π0(g) y Π0(1X) = 1Π0(X).

4La notacion Π0(X) en la cual 0 actua como subındice para la letra Π es el preludiode una sucesion de conjuntos Πn(X) que iremos desarrollando a lo largo de este texto.

GUSTAVO


X Y Z

Π0(X) Π0(Y ) Π0(Z)

-f

?q

-g

?q

?q

-Π0(f) -Π0(g)

Si f es un homeomorfismo de X en Y entonces

Π0(f) Π0(f−1) = Π0(f f−1) = Π0(1X)

con lo cual Π0(f) es una biyeccion entre los conjuntos cociente, y por tan-to el cardinal de estas clases de equivalencia se convierte en un invariantetopologico de X; explıcitamente, X no es homeomorfo con Y , si uno tienemas pedazos que el otro.

Todo espacio conexo por caminos es conexo, pero no todo espacio conexoes conexo por caminos. Para obtener una condicion, la cual garantice quelos espacios conexos tambien sean conexos por caminos debemos hacer localnuestra definicion de conexos por caminos.

3.5.3. Localmente conexo por caminos

La siguiente clase de espacios es el material que se va a utilizar en elcapıtulo 5.

Definicion 3.86. Un espacio topologico X es localmente conexo porcaminos o l.c.c. si dado x ∈ X y un abierto Ux existe una vecindadabierta Vx conexa por caminos con Vx ⊆ Ux.

Notese que la condicion en esta definicion —como es usual cuando seusa la palabra local— es equivalente a exigir que la topologıa en X tengauna base formada por abiertos que sean conexos por caminos, i.e. un SFVabiertas y conexas.

Teorema 3.87. Si X es un espacio conexo y localmente por conexo porcaminos, entonces X es conexo por caminos.

GUSTAVO


Demostracion. Veamos que un punto cualquierax0 ∈ X se puede conectar con los demas puntosdel espacio, es decir, su componente Cx0

es todoX.Por la conexion local Cx0

es un abierto. Perotambien es un cerrado, pues si y ∈ Cx0

existeuna vecindad conexa por caminos Vy ∩ Cx0

ypor tanto podemos conectar a y con un puntoen Cx0

y este con x0. Como Cx0es abierta y

cerrada Cx0= X.

Ejemplo 3.88. Podemos hacer de la curva senodel topologo —figura 3.20— un espacio conexopor caminos, al unir el punto ( 1

π , 0) con (0, 0) yformar la llamada circunferencia del topolo-go, pero no obtenemos que sea localmente co-nexa por caminos, pues una vecindad alrededordel punto (0, 0) esta formada por infinitos seg-mentos de recta disyuntos dos a dos.

La imagen por una funcion continua de un espacio localmente conexo no esen general localmente conexa; de lo contrario, todo espacio topologico (X,G)serıa localmente conexo, puesto que el es imagen del espacio (X, discreta)por medio de la funcion identica. El siguiente teorema nos da las condicionesnecesarias.

Teorema 3.89. Sean X,Y espacios con X localmente conexo y f : X −→ Yuna funcion continua, cerrada y sobre. Entonces Y es localmente conexo.

De lo anterior podemos concluir que la conexidad local es un invariantetopologico. Por otra parte, si X es l.c.c., cada componente conexa abierta.

Todo espacio euclidiano Rn es l.c.c.

Para X = 0, 1, 2, . . ., Y = 0, 1, 1/2, 1/3, . . . demos la topologıa desubespacios de (R, usual) respectivamente. La funcion f : X −→ Ydefinida por f(0) = 0, f(n) = 1/n es una biyeccion continua. Pero Xes localmente conexo mientras que Y no lo es.

GUSTAVO

RUBIANO Capıtulo 4

Homotopıa

Contenido

4.1. Deformaciones continuas de funciones . . . . . . 724.2. Caminos homotopos . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.2.1. El conjunto Π0(Ω(X, x0)) . . . . . . . . . . . . . 774.2.2. Caminos homotopos rel 0, 1 . . . . . . . . . . . 794.2.3. Clases de homotopıa . . . . . . . . . . . . . . . . . 814.2.4. Cambio del punto base . . . . . . . . . . . . . . . . 884.2.5. Π1(S

1), lo intuitivo . . . . . . . . . . . . . . . . . 904.3. El Grupo fundamental y las funciones. . . . . . 100

4.3.1. Homomorfismos inducidos . . . . . . . . . . . . . . 1004.3.2. Retracciones y retractos . . . . . . . . . . . . . . . 1044.3.3. Equivalencias para homotopıa . . . . . . . . . . . . 1104.3.4. Retractos por deformacion . . . . . . . . . . . . . . 113

4.4. Teorema de Seifert—Van Kampen . . . . . . . . 122

Con este capıtulo comenzamos el estudio de la topologıa algebraica y, enesta primera parte introducimos con todo detalle al conjunto Π1(X, x0) yprobamos de manera exhaustiva (y grafica) que posee una estructura alge-braica de grupo.

4.1. Deformacion continua de una funcion

Dadas dos funciones continuas f, g : X → Y entre espacios topologicos,en esta seccion veremos que significa deformar de manera continua a f en g.

78

GUSTAVO

RUBIANO 4.1. DEFORMACION CONTINUA DE UNA FUNCION 79

Definicion 4.1. Sean f, g : X → Y dos funciones continuas. Una ho-motopıa de f a g es una funcion continua H : X × [0, 1] → Y tal queH(x, 0) = f(x) y H(x, 1) = g(x) para cada x ∈ X. Las funciones f y g sonllamadas homotopas y las notamos como H : f ' g.

Cambiemos la notacion y, para cada x ∈ X, t ∈ I notemos H(x, t) comoht(x). Este cambio nos permite ver a H de una manera diferente: paracada t fijo, la formula x 7→ ht(x) define una funcion ht : X → Y de suerteque H = htt puede ser mirada como familia de funciones continuas htparametrizada por t ∈ I que conecta de manera continua a h0 = f conh1 = g, i.e., H es un camino de f a g en el espacio C(X,Y ).

La siguiente homotopıa, llamada lineal, sera de uso reiterativo en estecapıtulo; por esta razon y a manera de ejemplo daremos una demostraciondetallada de su continuidad.

Ejemplo 4.2 (Homotopıa lineal). Sean Xun espacio topologico cualquiera, Y ⊆ Rn yf, g : X −→ Y dos funciones continuas. Sipara cada punto x ∈ X, las imagenes f(x)y g(x) pueden ser unidas por medio de unsegmento de recta en Y entonces f ' g. Defi-nimos la homotopıa lineal F : X × I −→Y ⊆ Rn como F (x, t) = (1− t)f(x) + tg(x).

Durante esta homotopıa cada punto ft(x) viaja por el segmento —para-metrizado— de lınea recta que une a f(x) con g(x); es decir, f va a gpor medio de los segmentos de recta. Es inmediato que F (x, 0) = f(x) yF (x, 1) = g(x), luego solo nos resta verificar la continuidad de F .

Sobre el conjunto producto X × [0, 1], la topologıa dada es la topologıaproducto usual de Tychonoff; en otras palabras, los abiertos basicos son dela forma W × (a, b) para W ⊆ X abierto y (a, b) en I.

Dados (x, t) ∈ X× [0, 1] y Bξ(F (x, y)) encontremos una vecindad W con(x, t) ∈W ⊆ X × [0, 1] tal que F (W ) ⊆ BξF (x, t).

Para (x, t), (x1, t1) ∈ X × [0, 1] se tiene que:

F (x1, t1)− F (x, t) = (t1 − t)(g(x1)− f(x1))

+ (1− t)(f(x1)− f(x)) + t(g(x1)− g(x)),

GUSTAVO

RUBIANO 80 CAPITULO 4. HOMOTOPIA

luego

‖F (x1, t1)− F (x, t)‖ ≤ |t1 − t|‖g(x1)− f(x1)‖+ |1− t|‖f(x1)− f(x)‖+ |t|‖g(x1)− g(x)‖.

Por la continuidad de f y g, para este ξ existen vecindades U1, U2 de x talesque:

x1 ∈ U1 : ‖f(x1)− f(x)‖ < ξ

3,

x1 ∈ U2 : ‖g(x1)− g(x)‖ <ξ

3.

Por tanto para x1 ∈ U1 ∩ U2 tenemos:

‖g(x1)− f(x1)‖ ≤ ‖g(x1)− f(x)‖+ ‖f(x)− f(x1)‖≤ ‖g(x1)− g(x)‖ + ‖g(x) − f(x)‖+ ‖f(x)− f(x1)‖

≤ ξ

3+ξ

3+ ‖g(x) − f(x)‖;

y si para δ =≤ ξ3 + ξ

3 + ‖g(x) − f(x)‖ tomamos |t1 − t| < ξ3δ entonces

‖F (x1, t1)− F (x, t)‖ ≤ ξ

3δδ + |1− t|ξ

3+ |t|ξ

3< ξ.

Luego para (U1 ∩U2)× (t− δ, t+ δ) tenemos F ((U1 ∩U2)× (t− δ, t+ δ)) ⊆Bξ(F (x, y)).

La demostracion anterior muestra de manera particular que, para unsubespacio convexo Y ⊆ Rn, todas las funciones en Y son homotopas.

Proposicion 4.3. La relacion de homotopıa es una relacion de equivalenciaen C(X,Y ). La clase de una funcion f la notaremos [f ] y la llamaremos laclase de homotopıa de f .

Demostracion. La reflexividad es evidente ya que f ' f por medio de lahomotopıa ft = f, F (s, t) = f(s) para s, t ∈ [0, 1] (constante como camino).

La simetrıa tambien se tiene puesto que si f0 ' f1 vıa ft, entoncesf1 ∼ f0 vıa la homotopıa inversa f1−t, F

r(s, t) = F (s, 1−t) (nos devolvemosen el tiempo).

GUSTAVO

RUBIANO 4.1. DEFORMACION CONTINUA DE UNA FUNCION 81

Finalmente es transitiva pues si f0 ' f1 vıa ft y si f1 = g0 y g0 ' g1 vıagt entonces f0 ' g1 vıa la homotopıa ht que es igual a f2t para t ∈ [0, 1/2] yg2t−1 para [1/2, 1]

ht =

f2t 0 ≤ t ≤ 1

2

g2t−112 ≤ t ≤ 1.

La funcion asociada H(s, t) = ht(s) es continua por el hecho elemental

I × [0, 1/2]

I × [1/2, 1]

F G

(usado frecuentemente) de que una funcion definida sobre la union de lossubconjuntos cerrados es continua si lo es cuando se restringe a cada uno delos subconjuntos cerrados y coincide en su definicion sobre la interseccionde los conjuntos. Para el caso presente tenemos

H(s, t) =

F (s, 2t) 0 ≤ t ≤ 1

2

G(s, 2t− 1) 12 ≤ t ≤ 1

donde F y G son las funciones asociadas a las homotopıas ft y gt respectiva-mente. Como H es continua sobre [0, 1]× [0, 1/2] y sobre [0, 1]× [1/2, 1] ellaes continua sobre todo [0, 1] × [0, 1] y ademas para t = 1

2 , tenemos que lasdos definiciones coinciden: H(s, 1

2) = F (s, 1) = f1(s) = g0(s) = G(s, 0).

La definicion de homotopıa es una relacion de equivalencia en el conjuntoC(X,Y ) de todas las funciones continuas de X en Y ; la particion asociadala notamos Π(X,Y ), o

[X,Y ] := C(X,Y )/ '

y sus elementos son llamados clases de homotopıa (ver la seccion 4.2.3).Por supuesto, la idea es que este nuevo conjunto sea mas manejable —porejemplo [R,R] es unitario— que el conjunto total C(X,Y ).

GUSTAVO


Homotopıa relativa

Existe una definicion mas general de homotopıa (homotopıa relativa),la cual presentamos solo a manera de informacion para el lector y con el finde que no exista desconcierto si se consultan otros textos.

Definicion 4.4. Un par topologico es un par ordenado (X,A), donde Xes un espacio topologico y A es un subespacio de X. Si (X,A) y (Y,B) sonpares topologicos y f : X → Y es una funcion tal que f(A) ⊆ B escribimosf : (X,A) −→ (Y,B).

Notese que la anterior definicion nos define una categorıa la cual notamosToppares.

Definicion 4.5. Sean (X,A), (Y,B) pares topologicos y f, g : (X,A) −→(Y,B) funciones continuas. Decimos que f es homotopa a g relativa a Asi existe una funcion continua F : (X × I,A× I)→ (Y,B) tal que:

1. F (x, 0) = f(x) para cada x ∈ X,

2. F (x, 1) = g(x) para cada x ∈ X,

3. F (a, t) = f(a) = g(a) para todo a ∈ A, todo t ∈ I.

En particular se tiene que f |A = g|A y ademas F se mantiene “fija” sobreA, i.e. Ft|A = f |A para cada t ∈ I. Esta relacion la notamos f ' g (rel A).La funcion F es llamada una homotopıa relativa a A entre f y g.

Si A = ∅ estamos en el caso de la definicion 4.1. Si B = Y no hay restriccionsobre el codominio. La definicion 4.8 es el caso A = 0, 1 ⊆ I.

Nuevamente podemos hacer la siguiente observacion. Dada una homo-topıa F : (X × I,A × I) → (Y,B) entre funciones f, g, para cada t ∈ I,definimos la funcion Ft : (X,A) → (Y,B) como Ft = F (x, t); ası F0 = f ,F1 = g. Una homotopıa es una familia (a un parametro) de funciones con-tinuas Ft : (X,A)→ (Y,B).

Por supuesto la definicion de homotopıa relativa es mas exigente y poreso podemos tener funciones homotopas que no lo son de manera relativa,ver ejemplo 4.10, donde f g rel 0, 1.Proposicion 4.6. La relacion de homotopıa relativa a A es una relacionde equivalencia en C((X,A), (Y,B)). La clase de una funcion f la notamos[f ] y se llama la clase de homotopıa de f relativa a A .

GUSTAVO

RUBIANO 4.2. CAMINOS HOMOTOPOS 83

Y

t1

t2

F

A

I

X

B

f(x) = F0(x)

Ft2(x)

Ft1(x)

g(x) = F1(x) Ft(A) = f(A) = g(A)

Figura 4.1: Homotopıa (rel A).

Demostracion. Segun la proposicion 4.3 solo basta observar que si todas lasfunciones involucradas estan de acuerdo sobre A, entonces las homotopıasya definidas tambien son relativas a A.

En particular, y casi que de manera excluyente, en este capıtulo esta-remos interesados (con todos los detalles) en el caso en que las funcionesinvolucradas sean caminos cerrados (ver la seccion 4.2.2).

4.2. Caminos homotopos

Recordemos que dado un espacio topologi-co X y un punto x0 ∈ X al par (X,x0) lollamamos un espacio punteado. Un cami-no cerrado o bucle en x0 es un caminof : [0, 1] −→ X tal que f(0) = x0 = f(1),es decir que f comienza y termina en x0.

4.2.1. El conjunto Π0(Ω(X, x0))

El conjunto Ω(X, x0) es por definicion el conjunto de todos los caminoscerrados deX en x0; el es un subconjunto del espacio C([0, 1],X) de todos loscaminos en X, y por tanto le podemos heredar la c.a.–topologıa (compacto–abierto; ver definicion 3.60) para tener ası una estructura topologica.

Ademas, hereda la operacion f g de multiplicacion de caminos (caminara paso doble; ver definicion 3.80) la cual es cerrada en Ω(X,x0) pues f g es

GUSTAVO


un camino cerrado si f, g lo son.

f g(t) =

f(2t) si 0 ≤ t ≤ 1/2

g(2t − 1) si 1/2 ≤ t ≤ 1.(4.1)

Basicamente, f g consiste en poner un camino acontinuacion del otro, pero para no gastar mastiempo en el recorrido cada uno de los caminos serecorre ahora a doble velocidad f(2t) y g(2t−1).

f g

f g es una funcion continua, puesto que f(2t) y g(2t−1) estan definidassobre los conjuntos cerrados [0, 1/2], [1/2, 1], y el conjunto donde coincidenes 1/2, que es la interseccion de los dos intervalos cerrados (para t = 1/2tenemos f(2 · 12 ) = f(1) = x0 = g(0) = g(2 · 12 −1)). La demostracion se basaen el teorema 3.81.

Si f es un camino cerrado, el camino inverso fr(t) = f(1− t) consisteen desandar a f ; notese que fr tiene el mismo “lugar” de f , pero su direcciones la contraria (por comodidad tambien notamos a fr como f r). fr f esentonces un camino cerrado.

Proposicion 4.7. La multiplicacion de caminos

m : Ω(X,x0)× Ω(X,x0) −→ Ω(X,x0)

dada por m(f, g) := f g, es continua.

Demostracion. Si (K,W ) es un abierto basico en Ω(X,x0), con K compactoen [0, 1] y W abierto en X, entonces f ∈ (K,W ) significa que f : [0, 1]→ Xcon f(K) ⊆W .

Los conjuntos L y M definidos como

L := 2(K ∩ [0, 1/2]) y M := 2(K ∩ [1/2, 1]) − 1

son subconjuntos compactos de [0, 1] y tenemos que

m−1(K,W ) = (L,W )× (M,W ).

En otras palabras, m(f, g)(K) = f g(K) ⊆ W si y solo si f(L) ⊆ W yg(M) ⊆W para (f, g) ∈ Ω(X,x0)× Ω(X,x0).

No solo hemos probado que m es continua sino que tambien es abierta.

GUSTAVO


Notese que (Ω(X,x0),m) tiene una estructura de monoide “topologi-co”(una operacion interna que es continua). Ciertamente no existe un ele-mento identico, y por tanto no hay inversos, pues al multiplicar un caminocerrado f por el camino cx0

(constante en x0) aunque tengamos el mismografo las funciones son diferentes f 6= f cx0

; tampoco tenemos asociativi-dad, (f g) h 6= f (g h) donde la diferencia esta en las velocidades alrecorrer tramos de la misma ruta. El lector debe describirse explıcitamentelas funciones f, f cx0

, (f g) h, f (g h).

Como el conjunto Ω(X,x0) tiene una estructura topologica, es entoncesnatural preguntarse por los caminos en el; es decir, por una funcion continua

F : [0, 1] −→ Ω(X,x0).

F a su vez puede ser mirada como una familiaparametrizada (funcion inducida) ftt∈[0,1] decaminos en X cerrados en x0, donde el caminoft cambia de manera continua cuando t recorrea [0, 1]. Decimos que F representa una defor-macion continua del camino f0 = F (0) en elcamino f1 = F (1).

Por tanto, una componente conexa por caminos de Ω(X,x0) es un con-junto de caminos cerrados en x0, donde cada uno de ellos puede ser deformado de manera continua en cualquier otro de esa componente. De acuerdocon la definicion 3.85 denotamos por Π0(Ω(X, x0)) el conjunto de las com-ponentes conexas por caminos de Ω(X,x0).

4.2.2. Caminos homotopos rel0, 1

El grupo fundamental de un espacio X sera definido en terminos de ca-minos cerrados y deformaciones continuas de caminos. Generalmente es utilconsiderar caminos mas generales (no necesariamente cerrados) y sus defor-maciones, ası que comenzamos haciendo explıcita esta ligera generalidad.

Definicion 4.8. Una homotopıa de caminos rel0, 1 en X es una familiade funciones ft : [0, 1] −→ X con 0 ≤ t ≤ 1 tal que

1. Los puntos finales de cada camino ft(0) = x0 y ft(1) = x1 son losmismos para todo t.

GUSTAVO


x0 x1

f1

f0

ft

2. La funcion asociada F : [0, 1]×[0, 1] −→ X definida por F (s, t) = ft(s)es continua.

x0 x1

f1

f0

ft

t

t

s

1

10

Figura 4.2: Una homotopıa

Notese que si fijamos un s ∈ I la funcion restringida f s : [0, 1] −→ Xdada por f s(t) = ft(s) es un camino que conecta a f0(s) con f1(s) y a f s sele llama un arco de deformacion (ver figura 4.3).

x0 x1

f1(s)

f0(s)

ft(s)

t

t

ss

1

10

Figura 4.3: Un arco de deformacion de f0(s) a f1(s)

GUSTAVO


Cuando dos caminos f0 y f1 en X son conectados por una homotopıaF = ftt∈I (como en la definicion 4.8), los llamamos equivalentes ohomotopos relativos a 0, 1 o simplemente homotopos —a menos quese diga algo diferente siempre se entendera que entre caminos la homotopıaes relativa a 0, 1— notamos f0 ' f1 o F : f0 ' f1 (rel0, 1). La notacionrel0, 1 nos recuerda que la imagenes de los puntos 0, 1 no fueron movidasdurante la deformacion.

Ejemplo 4.9 (Homotopıas lineales). (Ver ejemplo 4.2) Dos caminos cua-lesquiera f, g ∈ Rn teniendo los mismos puntos extremos x0 y x1 fijos, sonequivalentes vıa la homotopıa F : I × I −→ Rn con F (s, t) = ft(s) =(1 − t)f(s) + tg(s). Durante esta homotopıa cada punto f(s) viaja por elsegmento (parametrizado) de lınea recta que une a f(s) con g(s). La con-tinuidad de F se tiene por la continuidad de f y g, ya que las operacionesde suma de vectores y multiplicacion por escalar en la formula de ft soncontinuas (luego la funcion asociada F es continua pues I es Hausdorff ylocalmente compacto).

La construccion anterior muestra de maneramas general que, para un subespacio convexoY ⊆ Rn, todos los caminos en Y con los mis-mos extremos son homotopos.

Ejemplo 4.10. Si en R2−(0, 0) tratara-mos de aplicar la tecnica anterior, esta nose tendrıa, pues los caminos f, g como enla grafica no pueden ser deformados el unoen el otro de manera lineal (¡de hecho deninguna manera!), es decir, f 6' g. Peronotese que g ' h. f

hg

4.2.3. Clases de homotopıa

Corolario 4.11 (A la proposicion 4.6). Dado un espacio topologico X,la relacion de homotopıa entre caminos con puntos extremos fijos es una

GUSTAVO


relacion de equivalencia. La clase de un camino f la notaremos [f ] y lallamaremos la clase de homotopıa de f .

Producto de clases de homotopıa

Por supuesto, si queremos que el comportamiento de la relacion de homo-topıa sea adecuado para definir un producto de clases y sea ademas functorialdebemos verificar dos hechos importantes.

1. Existe el producto de clases (proposicion 4.12).

2. El comportamiento es impecable respecto de la composicion de fun-ciones (proposicion 4.13).

Recordemos que el producto entre dos caminos no esta definido a menosque el punto final del primero coincida con el punto inicial del segundo.Lo interesante de esta operacion es que es compatible con las clases dehomotopıa.

Proposicion 4.12. Sean [f ], [g] las clases de homotopıa de f y g respecti-vamente, si el producto f g esta definido entonces el producto de clases esdefinido como

[f ] [g] := [f g].

Esta bien definido, i.e. no depende del representante de clase.

f0

f1

g0

g1

Figura 4.4: Producto de homotopıas.

Demostracion. Queremos que si f0 ' f1 vıa F = ft, g0 ' g1 vıa G = gty si el producto existe entonces f0 g0 ' f1 g1 vıa H = ht donde ht = ft gt.La idea es muy facil: H sigue a F en la primera mitad del dominio, y a G

GUSTAVO


para la segunda mitad, remedando la propia definicion de multiplicacion decaminos:

H(s, t) =

F (2s, t) si (s, t) ∈ [0, 1

2 ]× [0, 1],

G(2s − 1, t) si (s, t) ∈ [12 , 1]× [0, 1].

H es continua en cada una de las partes cerradas y la interseccion ocurrecuando s = 1

2 , y t es cualquiera. En este caso H(12 , t) = F (1, t) = ft(1) por

la primera parte de la definicion, y H(12 , t) = G(0, t) = gt(0) por la segunda

parte; pero como F y G son homotopıas, en estos valores coinciden por estaramarradas en los puntos iniciales y finales de los caminos (ver fig. 4.4). Portanto, H esta bien definida y es continua.

Por supuesto debemos verificar que efectivamente h0 = f0 g0 y h1 =f1 g1.

h0(s) = H(s, 0) = F (2s, 0) (para s ≤ 1

2)

= f0(2s) (F es homotopıa entre f0 y f1)

= (f0 g0)(s) (definicion de ),

y tambien para s ≤ 12 se tiene h1(s) = H(s, 1) = F (2s, 1) = f1(2s) =

(f1 g1)(s).

Para 12 ≤ s ≤ 1 tenemos h0(s) = H(s, 0) = G(2s − 1, 0) = g0(2s − 1) =

(f0 g0)(s) y h1(s) = H(s, 1) = G(2s − 1, 1) = g1(2s − 1) = (f1 g1)(s).

Finalmente notemos que H preserva fijos los puntos extremos de loscaminos.

De manera general en la relacion de homotopıa tenemos el siguienteteorema.

Proposicion 4.13. Si f ' g : X → Y y h ' j : Y → Z, entonces(h f) ' (j g) : X → Z.

Demostracion. Supongamos que F : X × [0, 1]→ Y es una homotopıa de fa g y que H : Y × [0, 1] → Z lo es de h a j. Definimos G : X × [0, 1] → Zcomo

G(s, t) = H(F (s, t), t).

Por supuesto G(s, 0) = h(f(s)), G(s, 1) = j(g(s)). G es continua por ser lacompuesta de las funciones continuas

X × [0, 1]F×id−→ Y × [0, 1]

H−→ Z.

GUSTAVO


Corolario 4.14. Si f ' g : X → Y vıa la homotopıa F y h : Y → Z,entonces

(h f) ' (h g) : X → Z

vıa la homotopıa h F .

El monoide Π1(X, x0)

De manera particular, si nos restringimos al conjunto Ω(X,x0) de cami-nos cerrados en el punto base x0 ∈ X del espacio punteado (X,x0), hemosvisto hasta ahora que la operacion [f ] [g] = [f g] produce una estructuraalgebraica de monoide (una operacion interna) para el conjunto de todas lasclases de equivalencia por homotopıa (ya veremos que tenemos mucho mas,tenemos toda una estructura de grupo, teorema 4.16). Este ultimo monoidelo notamos

Π1(X, x0) := [f ] : f ∈ Ω(X,x0).

¿Por que el ındice 1 en la notacion Π1(X,x0)? Veremos posteriormenteque Π1(X,x0) es el primero de una sucesion de grupos Πn(X,x0), llamadoslos grupos de homotopıa, los cuales seran definidos de manera completa-mente analoga, usando el cubo n−dimensional In en lugar de I. Este grupo(ındice 1) fue introducido en 1894 por Henri Poincare (1854–1912) y por esoalgunas veces es llamado tambien el grupo de Poincare. La letra Π en sunotacion tambien es debida a Poincare.

Treinta anos despues los grupos de homotopıa superior (ındices n ≥ 0)fueron definidos por Witold Hurewicz (1904–1956) en 1935. Recordemos queexiste tambien la notacion Π0(X,x0) pero en general no es un grupo, es elconjunto de componentes conexas por caminos del espacio X. Aunque noexiste una multiplicacion natural en el, a menos que X sea equipado conestructuras adicionales especiales, existe una unidad natural, la componenteconteniendo a x0.

Existe otra manera elegante de probar la homotopıa entre funciones: vıa lanocion de reparametrizacion.

Definicion 4.15. Por una reparametrizacion de un camino f : [0, 1] −→X entenderemos la composicion f α, con un camino α : [0, 1] −→ [0, 1] talque α(0) = 0 y α(1) = 1 (su grafo esta en el cuadrado [0, 1] × [0, 1]).

Esta composicion es de nuevo un camino cerrado si f ası lo era. Basica-mente la diferencia entre f y f α es que cambia la “velocidad” o “ritmo”

GUSTAVO


con que vamos dibujando el mismo grafo (ocupan el mismo lugar fısico) paraambos caminos.

Cuando un camino se reparametriza se conserva su clase de homotopıaya que f α ' f vıa la homotopıa H : [0, 1] × [0, 1] → X con ht = f αtdonde αt(s) := (1 − t)α(s) + ts, con lo que α0 = α y α1(s) = s; es decir,H(s, t) = f((1− t)α(s)+ ts) con H(s, 0) = f(α0(s)) = (f α)(s) y H(s, 1) =f(α1(s)) = f(s).

Notese que (1− t)α(s) + ts esta entre α(s) y s y por tanto esta en [0, 1],con lo cual la compuesta f αt esta bien definida.

Teorema 4.16. Π1(X,x0) es un grupo con la operacion [f ] [g] = [f g].Este grupo se llama el grupo fundamental del espacio X en el punto basex0.

Demostracion. Ya vimos con amplio detalle que el producto esta bien defi-nido dado que los caminos son cerrados y no depende del representante dela clase, es decir, si f ' f ′ y g ' g′ entonces f g ' f ′ g′.

Asociatividad. Dados los caminos f, g, h con f(1) = g(0) y g(1) = h(0)los productos f (g h) y (f g) h estan definidos por el uso repetido de laecuacion 4.1. El producto de caminos introduce cambios en la velocidad ylo que necesitamos es una homotopıa correctora que los controle.

El camino f (g h) es el resultado de componer primero g con h y luegocomponer con f . Ası que, para 0 ≤ s ≤ 1

2 esta funcion vale f(2s). Para12 ≤ s ≤ 1 esta funcion vale (g h)(2s − 1) el cual a su vez se descomponeen dos valores: para 0 ≤ 2s − 1 ≤ 1

2 , o lo que es igual 12 ≤ s ≤ 3

4 tenemos(g h)(2s − 1) = g(2(2s − 1) − 1) = g(4s − 2), mientras que para 3

4 ≤ s ≤ 1tenemos (g h)(2s−1) = h(2(2s−1)−1) = h(4s−3). En resumidas tenemosque:

f (g h)(s) =

f(2s), 0 ≤ s ≤ 1/2

g(4s − 2), 1/2 ≤ s ≤ 3/4

h(4s − 3), 3/4 ≤ s ≤ 1.

De manera similar podemos ver que:

(f g) h(s) =

f(4s), 0 ≤ s ≤ 1/4

g(4s − 1), 1/4 ≤ s ≤ 1/2

h(2s − 1), 1/2 ≤ s ≤ 1.

f (g h) es una reparametrizacion de (f g) h por medio de la funcion lineala trozos α : [0, 1] −→ [0, 1] donde

GUSTAVO


α(s) =

12s, s ∈ [0, 1

2 ];

s− 14 , s ∈ [12 ,

34 ];

2s− 1, s ∈ [34 , 1].

Efectivamente,

(f g)h(α(s)) =

(f g) h(12s) = f(41

2s) = f(2s), 0 ≤ s ≤ 12 lo que

coincide con 0 ≤ 12s ≤ 1

4 ,

g(4(s − 14)− 1) = g(4s − 2), 1

2 ≤ s ≤ 34

h(2(2s − 1)− 1) = h(4s − 3), 34 ≤ s ≤ 1.

Lo que muestra que ((f g)h)α = f (g h) y, en definitiva, ambas funcionesrecorren f , luego g, y finalmente h, pero en diferentes velocidades duranteel intervalo [0, 1], y por tanto la operacion en Π1(X,x0) es asociativa.

Existencia del elemento neutro. Denotemos por cx0el camino constante a

x0, es decir, cx0(s) = x0 para todo 0 ≤ s ≤ 1.

El camino cx0 f es una reparametrizacion de f por medio del camino

indicado por la primera figura en la grafica

α(s) =

0, s ∈ [0, 1

2 ],

2s − 1, s ∈ [12 ,34 ].

cx0f(s) = cx0

(2s) = x0 para s ∈ [0, 12 ] y cx0

f(s) = f(2s−1) para s ∈ [12 , 1]con lo cual cx0

f = f α.

Reparametrizando con el camino definido por la segunda figura de lagrafica, obtenemos f cx0

' f , es decir, [cx0] [f ] = [f ].

Por tanto, [cx0] (la clase de homotopıa del camino constante a x0) es el

elemento neutro de Π1(X,x0).

Existencia de inversos. Para un camino f cerrado en x0, la clase del caminoinverso f r sera tambien su inverso algebraico a izquierda, es decir, f r f 'cx0

. Intuitivamente, si primero recorremos el camino f y a continuaciondesandamos los pasos, es como si hubiesemos permanecido en el punto x0,a la larga no nos desplazamos de x0.

GUSTAVO


Consideremos la homotopıa H definida en el momento t como un caminoque comienza en x0, va hasta el punto f(t) y permanece allı por un intervalode tiempo luego del cual regresa a x0 por medio de f r.

Una manera de describir la homotopıa Hes utilizar la descomposicion del cuadrado[0, 1] × [0, 1] por medio de las lıneas t =1− 2s y t = 2s − 1 en una V–forma comolo muestra la figura. En el nivel [0, 1]×tdefinimos por medio del sector sombreadoel tiempo durante el cual ht se detiene enf(t) (es decir la funcion se hace constantea f(t) en un intervalo de tiempo cada vezmayor), de suerte que cada vez se andamenos y se regresa al punto inicial x0.

t

s

ffr

H(s, t) =

f r(2s), s ∈ [0, 1−t2 ];

f(t), s ∈ [1−t2 , 1+t2 ];

f(2s− 1), s ∈ [1+t2 , 1].

En la parte inferior del cuadrado obtenemos para t = 0 que el tiempo depermanencia en f(0) es [12 ,

12 ] y tenemos h0 = f r f mientras que para t = 1

la primera parte del intervalo correspondiente al recorrido de f r es [0, 0],es decir, no hay tal recorrido y de igual manera para f con lo que todo eltiempo transcurre en f(1) = x0, es decir, h1 = cx0

.

La demostracion que f r tambien actua como inverso a derecha es com-pletamente similar. O si se prefiere, invocamos un hecho simple de la teorıade grupos: “La existencia de identidad e inversos a izquierda, implica laexistencia a derecha”.

Ejemplo 4.17. Para un subconjunto convexoX ⊆ Rn con punto base x0 ∈ X se tiene queΠ1(X,x0) = 0 (el grupo trivial con unico ele-mento el neutro). En efecto, cualquier caminocerrado f es homotopo al camino constante vıaft(s) = (1−t)cx0

+tf(s) la homotopıa lineal, conlo cual, no existe sino una sola clase de equiva-lencia [cx0

].

f

x0

GUSTAVO


4.2.4. Cambio del punto base

El grupo fundamental Π1(X,x0) del espacio X fue definido con respectoal punto base x0. Este grupo en general depende de esta eleccion. ComoΠ1(X,x0) involucra a [x0] (la componente conexa por caminos en X delpunto x0), podemos afirmar que

Π1(X,x0) = Π1([x0], x0)

ya que todo camino en X cerrado en x0 debe tener toda su imagen en [x0] ⊆X (la imagen continua de un espacio conexo es conexa). En otras palabras,para el calculo del grupo fundamental con respecto a un punto base, essuficiente con estudiar el subespacio correspondiente a la componente conexapor caminos del punto base en cuestion.

Es menos obvio pero igualmente cierto que si el punto base cambia dentro dela misma componente conexa por caminos, el grupo fundamental permaneceen la misma clase de grupos isomorfos. Por otra parte, si los puntos basepertenecen a diferentes componentes los grupos no tienen por que guardaralguna relacion.

Teorema 4.18. Si x1 ∈ [x0], entoncesΠ1(X,x0) es isomorfo a Π1(X,x1).

fs

x0 x1

Demostracion. Sea s : I → X un camino de x0 a x1 y sea sr(s) = s(1 − s)el camino inverso de x1 a x0. A cada camino f cerrado en x0 asociamos elcamino sr f s, definido por (sr f) s ' sr (f s) con lo cual tenemos unafuncion [f ] −→ [sr f s]. La funcion de traslacion Ts : Π1(X,x0) −→Π1(X,x1) definida por Ts([f ]) = [sr f s] y la funcion Tsr : Π1(X,x1) −→Π1(X,x0) con Tsr([q]) = [s q sr] estan bien definidas y son homomorfismosya que

Ts[f g] = [sr f g s] = [sr f s sr g s] = Ts[f ] Ts[g].

(De manera similar para Tsr). Ademas, cada compuesta es la respectivaidentidad, esto es,

Ts(Tsr([q])) = Ts[s q sr] = [sr s q sr s] = [q]

con lo que Ts Tsr = idΠ1(X,x1) y ası Ts es un isomorfismo de grupos.

GUSTAVO


La lista siguiente resume las principales propiedades de la funcion Ts:

1. Ts es un homomorfismo de grupos,

Ts([f ][g]) = Ts([f ])Ts([g]).

2. Si u es un camino conectando x0

con x1 y v es un camino conectandox1 con x2 entonces Tuv = Tv Tu.En otras palabras tenemos que el si-guiente diagrama conmuta.

Π1(X,x0) Π1(X,x1)

Π1(X,x2)

-Tu

QQ

QQ

QQsTuv

?

Tv

3. Si dos caminos u y v son homotopos entonces Tu = Tv.

4. Tcx0= id : Π1(X,x0)→ Π1(X,x0).

5. Tsr = T−1s .

6. Ts es un isomorfismo para cada camino s.

7. Para cada par de puntos x0 y x1 que pertenezcan a la misma compo-nente conexa por caminos de X los grupos, Π1(X,x0) y Π1(X,x1) sonisomorfos.

Si X es conexo por caminos, [x0] = X y entonces Π1(X,x0) es indepen-diente (salvo isomorfismo) del punto base y por tanto la notacion Π1(X) essuficiente si no queremos distinguir entre grupos isomorfos.

Un caso especial del isomorfismo Ts sucede cuando s ∈ Ω(X,x0), estoes, s es un camino cerrado en x0. Entonces Ts : Π1(X,x0) → Π1(X,x0)es ahora un automorfismo que solo depende de la clase [s] en Π1(X,x0).Como Ts([v]) = [s]−1[v][s] tenemos entonces un automorfismo interior deacuerdo con la definicion de los grupos (pagina 12). El conjunto de todos losautomorfismos interiores Ts se reduce al automorfismo identidad si y solo siΠ1(X,x0) es abeliano.

GUSTAVO


Ejemplo 4.19. En el espacio X formadopor la union de un disco cerrado y un ani-llo circular, los puntos bases x0 y x1 sonfundamentales pues se trata de un espaciocon dos componentes conexas por caminos;ası Π1(X,x1) = 0, mientras que de maneraintuitiva para el camino cerrado f que bordeala circunferencia tenemos [f ] 6= [Cx0

], puestoque f esta amarrado por los extremos a x0

y debe permanecer ası durante la homotopıaya que tenemos homotopıa rel 0, 1.

x1

x0

f

Definicion 4.20. Un espacio se dice simplemente conexo si es conexopor caminos y ademas Π1(X) = 0. (Por el teorema 4.18 no importa cualpunto sea usado como punto base.)

Ejemplo 4.21. De acuerdo con el ejemplo 4.9 todo espacio euclidiano Rn

es simplemente conexo. Pero el solo hecho de tener como grupo fundamen-tal al trivial, no es suficiente para ser simplemente conexo, es necesario queel espacio sea conexo por caminos; para el espacio X = 0, 1 con la to-pologıa discreta tenemos Π1(X,x0) = Π1(X,x1) = 0 y no es un espaciosimplemente conexo pues no es conexo por caminos.

Las esferas punteadas Sn − q (q es el polo norte) son simplementeconexas. Recuerdese que la proyeccion estereografica es un homeomorfismoSn − q ≈ Rn, y por tanto podemos llevar un camino cerrado en Sn − qa uno en Rn, entonces contraerlo a cx0

y devolverlo a la esfera.

4.2.5. Π1(S1), lo intuitivo

Para demostrar que un espacio no tiene un grupo fundamental triviales necesario encontrar caminos cerrados que no sean homotopos, es decir,demostrar la no existencia de homotopıas entre estos dos caminos.

La primera verdadera proposicion hasta aquı, hara referencia a la circun-ferencia y sera establecer (realmente calcular) que Π1(S

1) = Z. Las apli-caciones inmediatas de este hecho hacen parte del folclor de la teorıa dehomotopıa.

A cambio de utilizar (como es usual) un canon para hacer esta demos-tracion (teorıa de espacios de recubrimiento), hemos preferido hacer una

GUSTAVO


demostracion a mano, a fin de continuar con el proposito de tener demos-traciones detalladas y motivadas.

Figura 4.5: Diferentes clases de caminos en S1.

La circunferencia S1 es quizas uno de los ejemplos mas intuitivos de unespacio que no es simplemente conexo, pues si tomamos como punto basex0 al punto (1, 0), el grupo Π1(S

1, x0) va a contener muchas clases de ho-motopıa; por ejemplo, un camino cerrado que da una vuelta, difıcilmente(imposible) puede ser llevado al camino constante sin soltar una de las pun-tas, pues soltar una de las puntas es violar las condiciones de la homotopıarelativa H = htt∈[0,1] que debe mantener los extremos de cada camino htatado a sus extremos.

En la figura 4.5 dibujamos varias clases de caminos un poco separadosde la circunferencia para poderlos visualizar. El primero da una vuelta, elsegundo dos vueltas, el tercero no completa una vuelta y finalmente tenemosuno que anda en el sentido contrario de los demas.

Si un camino cerrado f : [0, 1] −→ S1 no essobreyectivo (no da al menos una vuelta) eshomotopo–nulo, es decir, homotopo al cami-no constante. En efecto, si x 6∈ im(f), entoncesS1 −x es homeomorfo a (0, 1) en el cual todocamino es homotopo al camino constante (ho-motopıa lineal en convexo).

Si el camino f : [0, 1] −→ S1 es sobreyectivo entonces contamos el nume-ro de vueltas (y el sentido), ¿pero como hacerlo? Este es el papel del puntobase (0, 1) y la principal dificultad en la demostracion.

Identifiquemos a S1 con el cırculo unitario en el plano complejo y seap : R −→ S1 la funcion exponencial p(t) := e(2πit) = (cos 2πt, sen 2πt).Todos los numeros enteros son identificados con el punto 1 = (1, 0) por lafuncion exponencial, y escogemos este punto como el punto base.

GUSTAVO


R

S1

p

Figura 4.6: R sobre S1.

Cada intervalo unitario [0, 1], [1, 2], . . . , [n, n+ 1], . . . da una vuelta alre-dedor de S1. Esta funcion puede ser visualizada como: se “sumerge” a R enR3 pero en forma de helice (o escalera en caracol) por medio de la parame-trizacion t 7→ (cos 2πt, sen 2πt, t) con lo que p es la restriccion a la helice dela proyeccion R3 −→ R2 dada por (x, y, z) 7−→ (x, y) (la funcion p enrrollaa R alrededor de S1 un numero infinito de veces).

Para cada n ∈ Z definimos el camino cerradoωn : [0, 1] −→ S1 como

ωn(t) := p(nt) = (cos 2πnt, sen 2πnt).

ωn es la compuesta p ωn donde ωn(t) = nt es elcamino que comienza en 0 y termina en n (estira a[0, 1] n–veces).

R

[0, 1] S1?

p

ωn

-ωn

El efecto de p ωn es enrollar al intervalo [0, 1] n-veces alrededor de lacircunferencia en sentido contrario de las manecillas del reloj si n es positivo,o en el sentido de las manecillas del reloj si n es negativo.

La relacion ωn = pωn se expresa diciendo que ωn es un levantamientode ωn (o que levanta a ωn).

De manera mas general, si p : X → B y f : A→ B sonfunciones cualesquiera, una funcion g : A→ X tal quep g = f se llama un levantamiento de f . Una grancantidad de problemas topologicos —algunos de ellosya resueltos y ahora llamados teoremas— pueden serplanteados en terminos de existencia de levantamien-tos, problemas de levantamiento.

X

A B?p

g

-f

GUSTAVO


0

1

2

Figura 4.7: Las dos vueltas de ω2 en S1 se convierten en dos pasos del espiral R.

Notese que, ωn(0) = p(0) = (1, 0) y ωn(1) = p(1) = (1, 0) con lo queωn es un camino cerrado con punto base (1, 0), y ası define un elemento[ωn] ∈ Π1(S

1). El objetivo sera utilizar este hecho para mostrar la existenciade un isomorfismo de grupos φ : Π

(S1, (1, 0)

)−→ Z. Por supuesto esto

requerira toda la energıa siguiente de definiciones, lemas y teoremas.

La propiedad especial de la funcion proyeccionp : R −→ S1 que utilizaremos es la siguiente.Sea U1, U2 el cubrimiento abierto de S1 dadopor U1 = S1 − (−1, 0), U2 = S1 − (1, 0) elcual notamos de manera general como Uii∈I .El conjunto p−1(U1) ⊆ R consiste de la uniondisyunta de infinitos intervalos

(n− 1

2 , n+ 12

),

(n ∈ Z), y la restriccion de p sobre uno cual-quiera de ellos

U1

U2

p∣∣(n− 1

2,n+ 1

2):

(n− 1

2, n+

1

2

)≈−→ U1

es un homeomorfismo local de un intervalo abierto de longitud 1 a unarco de circunferencia abierto de longitud 2π.

De manera similar sucede que p−1(U2) =⋃n∈Z

(n, n + 1) es una unionde conjuntos abiertos disyuntos, cada uno de ellos homeomorfo a U2.

La estrategia en la demostracion sera la siguiente: dado un camino enS1 cerrado en el punto base, subdividimos el intervalo [0, 1] en segmentos0 = t0 < t1 < · · · < tm = 1 de tal manera que la imagen de cada segmento

GUSTAVO


· · · · · ·| | | | |

-2 -1 0 1 2

p−1(U1) =

n− 12 n+ 1

2

este en U1 o U2, y entonces levantamos a cada uno de estos segmentos ala parte en R correspondiente en p−1(U1) o p−1(U2) por medio del homeo-morfismo local. Luego, se debe tener cuidado a fin de que el punto final deun segmento pegue correctamente con el punto inicial del levantamiento delsegmento siguiente (ver figura 4.8).

La construccion hara uso del siguiente hecho sobre cubrimientos en es-pacios metricos compactos.

Lema 4.22 (Lema de Lebesgue). Sean f : X → Y es una funcioncontinua de un espacio metrico compacto X a un espacio topologico Y y Ues un cubrimiento abierto de Y . Entonces existe un numero δ > 0 tal quepara cualquier A ⊆ X con diam(A)< δ la imagen f(A) esta contenida enalgun elemento de U .

El siguiente teorema garantiza unicidad a fin de tener futuras “bue-nas”definiciones, como la de la funcion grado (pagina 103).

Teorema 4.23 (Levantamiento unico de ca-minos). Si f es un camino en S1 que comienzaen (1, 0), existe un unico f en R que comienzaen 0 y satisface p f = f .

R

[0, 1] S1?

p

f

-f

Demostracion. (Por induccion en la definicion de f). Se puede pensar enf como si se cortara al camino f por el punto base y se desenrollara haciaarriba en R (ver figura 4.7). Aunque no podemos escribir f = p−1 f porquep no es inyectiva, si lo podemos hacer en los intervalos donde tenıamoshomeomorfismo local y este es el hecho con el cual levantaremos pequenostrozos [ti, ti+1] de [0, 1].

GUSTAVO


Dado que [0, 1] es compacto, por el lema de Lebesgue aplicado al cubrimi-ento f−1(U1), f

−1(U2) de [0, 1], existen puntos 0 = t0 < t1 < · · · < tm = 1tales que para cada [ti, ti+1] se tiene f([ti, ti+1]) ⊆ U1 o f([ti, ti+1]) ⊆ U2, esdecir, [ti, ti+1] esta en f−1(U1) o f−1(U2).

f

f

p |−1

0 t1 1

Figura 4.8: Paso inicial en el proceso de levantamiento

Primero definimos f en el intervalo [0, t1]; como f comienza en f(0) =(1, 0) entonces f([0, t1]) ⊆ U1 y ademas la restriccion p |(− 1

2, 12)

:(−1

2 ,12

)−→

U1 es un homeomorfismo local con inversa p |−1

(− 12, 12)

. Definimos

f : [0, t1]f−→ U1 ⊆ S1 p|−1

−−−→ R como f(s) := p |−1

(− 12, 12)

(f(s)),

para 0 ≤ s ≤ t1, es decir, f := p |−1

(− 12, 12)f .

Como hipotesis de induccion (sobre k) suponemos que f ya esta definidasobre [0, tk] y veamos que podemos extender la definicion a [tk, tk+1] (estoes, sobre [t0, tk+1]).

El punto f(tk) esta en U1 o en U2. Si f([tk, tk+1]) ⊆ U1 y si el punto inicialdel levantamiento f(tk) ∈

(n− 1

2 , n + 12

), entonces para el homeomorfismo

p |(n− 12,n+ 1

2):(n− 1

2 , n+ 12

) ≈−→ U1 consideramos su inversa p |−1

(n− 12,n+ 1

2)y

definimos

f(s) := p |−1

(n− 12,n+ 1

2)f(s) para s ∈ [tk, tk+1].

GUSTAVO


La funcion queda “bien” pegada, esto es, es continua por el teorema depegamiento de funciones.

Si por el contrario se tuviera que f([tk, tk+1]) ⊆ U2 entonces f(tk) ∈(n, n+ 1) para algun n y definirıamos

f(s) := p |−1(n,n+1) f(s) para s ∈ [tk, tk+1].

Con lo anterior, hemos completado la definicion inductiva de f . Noteseque una vez hemos definido a f sobre [0, tk], existe una unica manera deextendernos sobre [0, tk+1] y por tanto la unicidad de f esta garantizada. Sepuede demostrar de manera mas general que:

Lema 4.24. Si X es un espacio conexo y f , g : X → R son funcionestales que p f = p g y existe al menos un punto x0 ∈ X sobre el cualcoinciden f(x0) = g(x0) entonces las funciones se igualan en toda parte,esto es, f = g.

Demostracion. Si definimos h = f − g, entonces

p h(t) = p (f(t)− g(t)) = e2πi(f(t)−g(t)) =p f(t)

p g(t) = (1, 0)

es la funcion constante al punto (1, 0) ∈ S1 y por tanto h es una funcioncontinua que solo puede tomar valores enteros; como X es conexo entoncesh es constante y como h(x0) = 0 entonces h(x) = 0 para todo x ∈ X, con locual f = g.

El teorema 4.23 puede ser enunciado de una manera mas general. Si f esun camino en S1, el cual comienza en el punto q ∈ S1, podemos encontrarun unico camino f en R para el cual p f = f y que comience en cualquierpunto preasignado de p−1(q).

Esto termina la demostracion del teorema 4.23.

GUSTAVO


Notese que, como (p f)(1) = f(1) = (1, 0) entonces f(1) es un numeroentero (mide el numero de veces que f se envuelve en S1) y podemosası definir finalmente la funcion φ llamada la funcion grado

φ : Π1

(S1, (1, 0)

)−→ Z

como φ([f ]) = f(1) donde f es el unico levantamiento p f = f de f quecomienza en 0. Este isomorfismo φ viene dado por el numero de “vueltas”que el camino f da en S1, el cual coincide con el punto f(1) al que se llegaal desenrollar en R.

φ esta bien definida (no depende del camino que represente a la clase):Si g ∈ [f ] por los levantamientos f y g tenemos f(1) = g(1).

Para mostrar este hecho necesitamos de la propiedad de homotopıas dadapor el siguiente teorema, la cual nos garantiza que podemos levantar unahomotopıa y de una unica manera.

Teorema 4.25 (Levantamiento unico dehomotopıas de caminos en S1 cerrados en(0, 1)). Sean f, g dos caminos en S1 cerradosen (0, 1) y homotopos F : f ' g rel0, 1.Entonces existe un unico levantamientoF : I × I −→ R tal que F es una homotopıa conp F = F y F (0, t) = 0 para todo t ∈ I. (Todoslos caminos Ft se comienzan a levantar en elpunto 0 y F (1× I) es unitario).

R

[0, 1] × [0, 1] S1?p

3

F

-F

Demostracion. La construccion del levantamiento sigue una rutina similaral caso anterior de levantamiento de caminos, y se basa en la observacionde que para cada s, t ∈ I las restricciones F |s×I , F |I×t son esencialmentecaminos en S1 cerrados en (1, 0).

Consideremos nuestro cubrimiento abierto canonico U = U1, U2 de S1,luego F−1(U) es un cubrimiento abierto de I × I y sea δ > 0 su numero deLebesgue, con lo cual la imagen por F de un cuadrado de lado δ esta conte-nida en U1 o U2. (Hemos construido una retıcula para [0, 1]× [0, 1] ver figura4.9).

Por el teorema 4.23 (levantamiento unico de caminos) podemos levantarprimero la lınea horizontal inferior I × 0 (correspondiente al camino f) ya continuacion las lıneas verticales nδ × I ya que los puntos iniciales de

GUSTAVO


| |

1

t

δ nδ s1

estos caminos son conocidos al conocer f .

Para levantar toda la region [0, δ]× [0, δ] notemos que F ([0, δ]× [0, δ]) ⊆U1 y la parte de F ya levantada (t) corresponde a

Q = 0 × [0, δ] ∪ [0, δ] × 0 ∪ δ × [0, δ]

(los lados del cuadrado exceptuando al de arriba) y ademas se tiene F (Q) ⊆p−1(Ui); luego F (Q) ⊆

(−1

2 ,12

)puesto que F es continua, Q es conexo y

F ((0, 0)) = 0 (f0(0) = 0). Utilizando el homeomorfismo local

p−1|(− 12, 12)

:

(−1

2,1

2

)−→ U1

la composicion F (s, t) = p−1|(− 12, 12)F (s, t) garantiza que podemos extender

F a todo (s, t) ∈ [0, δ] × [0, δ].

1

nδ

δ

δ 2δ nδ 1

Figura 4.9: Pasos iniciales en el levantamiento de una homotopıa.

Continuamos de la misma manera (inductiva) con los cuadrados de laprimera fila y luego comenzamos de nuevo con los cuadrados de la segunda

GUSTAVO


fila. Notese, que en cada paso la funcion F ya definida es continua (pe-gamiento de funciones) y que con un numero finito de pasos agotamos aI × I.

La unicidad se sigue del hecho de que cada F |nδ×I es unica, de hecho,

una vez el valor de F en (0, 0) es definido, toda F es determinada comple-tamente.

Como p F = F y F0 = f donde F0(s) = f(s), sabemos que F (0, t)y F (1, t) pertenecen a p−1((1, 0)) para todo t –p−1((1, 0)) es un conjuntodiscreto, exactamente Z– luego todo el camino F (0 × I) va al mismopunto 0 ya que F (s, 0) = f0(s) = f1(s) = g(0) = 0. Como el camino 1 × Ies conexo, ası lo es su imagen F (1 × I) = f(1).

Continuemos la demostracion de la buena definicion de φ:

Ademas, como p F0 = F0 = f y p F1 = F1 = g tenemos que F0 = f yF1 = g (levantamiento unico de caminos) y por tanto

f(1) = F (0, 1) = F (1, 1) = g(1). (4.2)

Lazos homotopos tienen levantamientos homotopos y, por tanto, con losmismos extremos.

φ es un homomorfismo de grupos. Si [f ], [g] ∈ Π(S1, (1, 0)

), veamos

queφ([f ][g]) = φ([f ]) + φ([g]).

Sean φ([f ]) = f(1) = m y φ([g]) = g(1) = n. Definimos la traslacionτm : [0, 1] −→ R como τm(t) = g(t) +m y ası τm(0) = m y τm(1) =m + n. Ademas (p τm)(t) = p(g(t) + m) = g(t) y aunque menosobvio tenemos que p(f τm) = f g ( f τm esta bien definido puesτm(0) = g(0) +m = 0 +m = f(1)), luego f τm es un levantamientode f g y, como el levantamiento es unico, tenemos

φ([f ][g]) = φ([f g]) = f g(1) = (f τm)(1) = τm(1)

puesto que f τm termina donde termina τm, y finalmente

φ([f ][g]) = m+ n = φ([f ]) + φ([g]).

φ es inyectiva. En efecto, veamos que el nucleo de φ es el subgrupotrivial c(0,1). Si φ([f ]) = 0 es porque f(1) = 0 y por tanto f es uncamino en R cerrado en x0 = 0, luego la homotopıa

ht : I −→ R dada por ht(s) = f(s)(1− t)

GUSTAVO


produce la homotopıa p ht : f ' c(0,1) (rel0, 1) y por tanto [f ] =[c(0,1)] = e.

φ es sobreyectiva. A cada camino ωn(s) = (cos 2nπs, sen 2nπs) le es-tamos asignando el entero n ya que p ωn = ωn y ademas ωn(1) = n.

4.3. El grupo fundamental y las funciones

Un punto fuerte en esta teorıa sobre el grupo fundamental es la conexion en-tre topologıa y algebra: la manera tan sencilla como las funciones continuasson convertidas en (inducen) homomorfismos de grupos, y esta conexion esfundamental para la topologıa algebraica; de hecho, es el puerto desde latopologıa hacia el algebra.

4.3.1. Homomorfismos inducidos

Sea h : (X,x0) −→ (Y, y0) una funcion continua entre espacios puntea-dos, i. e. h(x0) = y0. Por cada camino f ∈ Ω(X,x0) la funcion compuestahf ∈ Ω(Y, y0).

Si F es una homotopıa F : f0 ' f1 entonces h F : h f0 ' h f1

(Corolario 4.14); por tanto tenemos que h induce (de manera natural) unafuncion h∗ entre los grupos fundamentales,

h∗ : Π1(X,x0) −→ Π1(Y, y0)

definida por h∗([f ]) = [h f ].

Esta composicion por h preserva el producto de caminos: si el producto delos caminos f g esta definido entonces tambien lo esta (h f) (h g) ytenemos la igualdad

h (f g) = (h f) (h g).

En efecto, como

(f g)(t) =

f(2t), si 0 ≤ t ≤ 1

2 ,

g(2t− 1), si 12 ≤ t ≤ 1,

GUSTAVO

RUBIANO 4.3. EL GRUPO FUNDAMENTAL Y LAS FUNCIONES 107

entonces h (f g) es el camino definido por

h (f g)(t) =

h(f(2t)), si 0 ≤ t ≤ 1

2 ,

h(g(2t − 1)), si 12 ≤ t ≤ 1.

=

(h f)(2t), si 0 ≤ t ≤ 1

2 ,

(h g)(2t − 1), si 12 ≤ t ≤ 1.

= ((h f) (h g))(t),

ası que h (f g) = (h f) (h g).h∗ es un homomorfismo de grupos. Basta notar que

h∗([f ][g]) =h∗([f g]) = [h (f g)]

=[(h f) (h g)] = [(h f)][(h g)] = h∗([f ])h∗([g]).

Luego hemos demostrado el siguiente resultado, que aunque sencillo, es cen-tro de la teorıa.

Teorema 4.26. Dada una funcion h : (X,x0) −→ (Y, y0) continua en-tre espacios punteados, la funcion h∗ : Π(X,x0) −→ Π(Y, y0) definida porh∗([f ]) = [hf ] es un homomorfismo de grupos, llamado el homomorfismo

inducido por h).

En el lenguaje de la teorıa de categorıas tenemos el siguiente diagramay las siguientes propiedades de funtorialidad, donde el funtor es en estecaso la manera de asignar a cada objeto de la categorıa de los espaciostopologicos punteados, un objeto de la categorıa de los grupos, de suerteque la composicion de morfismos sea respetada.

(X,x0) Π1(X,x0)

(Y, y0) Π1(Y, y0)

-Π1

?h

?h∗

-Π1

Para funciones (X,x0)n−→ (Y, y0)

m−→ (Z, z0) tenemos que:

1. (m n)∗ = m∗ n∗.

2. m∗[f ]−1 = (m∗[f ])−1 para [f ] ∈ Π1(X,x0).

GUSTAVO


3. Si m ' n relx0, entonces m∗ = n∗.

4. idX∗ = idΠ : Π1(X,x0) −→ Π1(X,x0).

La propiedad 1 es consecuencia de que la composicion de funciones esasociativa. La propiedad 4 es aun mas evidente pues id∗(f) = id∗ f =f .

5. Sean f : X → Y una funcion continua, x0 y x1 puntos en X conectadospor un camino s : I → X. Notemos a f(x0) como y0 y a f(x1) por y1.Entonces el siguiente diagrama es conmutativo, i. e., Tfsf∗ = f∗Ts.

Π1(X,x0) Π1(Y, y0)

Π1(X,x1) Π1(Y, y1)

-f∗

?

Ts

?

Tfs

-f∗

6. Si h : X → Y es un homeomorfismo entre espacios topologicos, en-tonces el homomorfismo: inducido h∗ : Π1(X,x0) → Π1(Y, y0) es unisomorfismo h∗ h−1

∗ = (h h−1)∗ = id∗, es decir, h∗ es biyectiva.

El recıproco de esta ultima propiedad no es cierto en general; por ejem-plo, veremos que Π1(R2, x0) = Π1(S

2, y0) pero R2 no es homeomorfoa S2. En lenguaje categorico decimos que el funtor no es completa-mente fiel, i. e. el grupo no caracteriza al espacio.

La propiedad que h sea monomorfismo o epimorfismo esta lejos de reflejarseen que h∗ lo sea. Por ejemplo, si m : [0, 1] −→ S1 es un camino sobreyectivo,el homomorfismo m∗ : 0 −→ Z es el unico posible.

Veamos a continuacion dos ejemplos que ilustren como usar los homo-morfismos inducidos para resolver problemas topologicos.

Ejemplo 4.27 (Un espacio que no essimplemente conexo). Consideremos el es-pacio A dado por la union de dos circun-ferencias tangentes (x, y) : (x + 1)2 + y2 =

1 ∪ (x, y) : (x − 1)2 + y2 = 1 y la funcionf : A −→ S1 dada por f(x, y) = (|x| − 1, y).

GUSTAVO


La funcion f es como “doblar” a A para obtener a S1. Para el caminow ∈ A cerrado en el punto (2, 0) y dado por w(t) = (1+cos t, sen t) tenemosque f∗([w]) = [v] donde v es el camino generador en Π1(S

1, (1, 0)) con v(t) =(cos t, sen t).

Si solo existiera una clase de homotopıa enA, el camino w serıa homotopoal camino constante, y como f∗ es homomorfismo, v tambien debe ser elcamino constante y esto contradice que es el generador del grupo Z. Luego,A no puede ser simplemente conexo (existe mas de una clase). Mas aun,como [v] es el generador, tenemos que f∗ es un epimorfismo de Π1(A, (2, 0))sobre Z. Por tanto, Π1(A, (2, 0)) debe ser mayor que Z; exactamente, es elgrupo libre con dos generadores (por tanto no es abeliano).

Ejemplo 4.28 (Espacios con agujeros no son simplemente conexos).

Una corona C es el espacio entre doscircunferencias concentricas, por ejemploC = (x, y) ∈ R2 : 1 < x2 + y2 < 9.Si consideramos el rectangulo Q = (x, y) :1 < x < 2, 1 < y < 2, tenemos que C yQ no son homeomorfos como subespacios delespacio euclidiano R2.

Si existiera un homeomomorfismo f : Q −→ C, consideremos comopuntos bases los puntos x0 = f−1((2, 0)). La funcion g : C −→ S1 dadapor g(x) = x

‖x‖ asigna a cada vector el correspondiente unitario, y esta biendefinida pues el vector nulo no esta en C.

La composicion de homomorfismos inducidos

Π1(Q,x0)f∗−−→ Π1(C, (2, 0))

g∗−−→ Π1(S1, (1, 0))

se traduce en el diagrama

0 ≈−→ Π1(C, (2, 0)) Z

donde el primer homomorfismo es isomorfismo y el segundo es epimorfis-mo pues la imagen por g∗ de la clase de homotopıa [(2cos t, 2 sen t)] es elgenerador [(cos t, sen t)] en Π1(S

1, (1, 0)), y esto implica la existencia de unepimorfismo del grupo trivial 0 en el grupo cıclico infinito Z. La sobreyec-tividad de g∗ implica que Π1(C, (2, 0)) esta lejos de ser trivial (ver el ejemplo4.38).

GUSTAVO


4.3.2. Retracciones y retractos

Definicion 4.29. Una retraccion de un espacio topologico X sobre unsubespacio A ⊆ X es una funcion r : X −→ A continua y tal que r|A = idA.A se llama entonces un retracto de X, en el sentido de que el espacio se haretraıdo de manera continua a un subespacio.

Si r : X −→ A una funcion continua de un espacio topologico X sobreun subespacio A ⊆ X, entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes:

1. r es una retraccion.

2. r(a) = a para todo a ∈ A.

3. r i = idA para Ai→ X

r−→ A donde i es la inclusion.

4. r : X −→ A es una extension de idA : A −→ A.

5. En terminos categoricos r admite un inverso a derecha.

6. Cualquier funcion continua A→ Y para cualquier espacio Y puede serextendida a una funcion continua X → Y .

Si no tenemos la igualdad entre las funciones, sino tan solo la relacion dehomotopıa, esto es, r i ' idA, decimos que A es un retracto debil de X.

Ejemplo 4.30.

Para todo espacio X, los subespacios unitarios A = x son un retrac-to.

Un intervalo cerrado [a, b] es un retracto de R.

a b

a

b

GUSTAVO


Un intervalo abierto (a, b) no es un retracto de R. En efecto, si X esun espacio de Hausdorff, todo retracto A de X es un conjunto cerrado,ya que A es el subconjunto de X donde coinciden las dos funcionescontinuas idX y r.

Si X = I × I y A = I × 0, entonces

r : I × I −→ I × 0

dada por la proyeccion r((x, y)) = (x, 0) esuna retraccion.

Sea D2 ⊆ R2 el disco unitario cerrado. El disco perforado D2 −0se retrae (retracta) sobre S1 por medio de la funcion f(x) = x

‖x‖ .Notese que la definicion de f depende de que el disco sea punteado en(0, 0).

Una de las propiedades mas importantes de una retraccion es que ellainduce un homomorfismo sobreyectivo entre los grupos fundamentales.

Proposicion 4.31. Si r : X → A es una retraccion, i : A → X es lainclusion y x0 ∈ A, entonces r∗ : Π1(X,x0)→ Π1(A,x0) es un epimorfismoy i∗ : Π1(A,x0)→ Π1(X,x0) es un monomorfismo.

Demostracion. Como r i = idA para Ai→ X

r−→ A, tenemos que loshomomorfismos inducidos

Π1(A,x0)i∗−−→ Π1(X,x0)

r∗−−→ Π1(A,x0)

satisfacen r∗ i∗ = idΠ1(A,x0), con lo que r∗ es epimorfismo y i∗ es mono-morfismo.

La anterior proposicion nos permite conocer la no existencia de retrac-ciones como en el siguiente teorema.

Teorema 4.32 (Teorema de Borsuk en dimension 2). S1 no es unretracto de D2.

Demostracion. En caso de existir una retraccion r : D2 −→ S1 del disco ensu borde, tenemos que existe un epimorfismo Π1(D

2, x0)r∗−−→ Π1(S

1, x0) oen otras palabras, r∗ : 0 → Z es sobreyectivo, lo cual es falso.

GUSTAVO


El teorema anterior podrıa llamarse un teorema de no existencia. ¿Puedeun tal teorema ser util en topologıa? Sı, y la respuesta es poder demostrarel teorema 4.33.

Recordemos que un espacio topologico X tiene la PPF o propiedaddel punto fijo si toda funcion continua f : X −→ X tiene un punto fijo,i. e., existe x ∈ X con f(x) = x. (La PPF es un invariante topologico y esheredable a los retractos).

Teorema 4.33 (Teorema del punto fijo de Brower). D2 tiene la pro-piedad del punto fijo.

Demostracion. Sea h : D2 −→ D2 unafuncion continua. Si h(x) 6= x para todox ∈ D2 definimos r : D2 −→ S1 comor(x) igual al punto de S1 donde la semi-

recta−−−−→h(x), x corta a S1. Como h es conti-

nua (puntos cercanos tienen imagenes cer-canas) r es continua, y ademas si x ∈ S1

entonces r(x) = x, luego r es una retrac-cion y esto es una contradiccion en virtuddel teorema 4.32.

r(x) = x

h(x)

r(x)x h(x)

La version n–dimensional de este teorema fue probada por L. Brower en1910.

Funtores

Hemos llegado a un buen momento para revisar los conceptos de cate-gorıas y funtores.

Una categorıa (O,M) consiste de una coleccion O llamada los objetosde la categorıa, y de una coleccion M de conjuntos cuyos elementos sonllamados los morfismos o las flechas de la categorıa, con la propiedad quepara cada par de objetos A,B ∈ O existe un conjunto Mor(A,B) ∈M quesatisface:

1. Para cada trıo A,B,C de objetos, existe la composicion de morfismosdenotada por , tal que si f ∈ Mor(A,B), g ∈ Mor(B,C) entoncesg f ∈Mor(A,C).

GUSTAVO


2. Dados los morfismos f, g, h entonces h (g f) = (h g) f , cada vezque la composicion este definida.

3. Dado el objeto A ∈ O, existe un morfismo idA ∈ Mor(A,A) con lapropiedad que el es neutro para la operacion de composicion.

Supongamos que deseamos considerar una categorıa cuyos objetos seancategorıas. La primera inquietud que surge es con respecto a la naturalezade los “morfismos”. Supongamos por el momento que tal categorıa existey llamemos funtores a sus morfismos. Parece razonable de que el funtoraplique los objetos de una categorıa en los objetos de la otra y que relacionelos morfismos de las dos categorıas.

Un funtor covariante T de una categorıa K en una categorıa L esun par de aplicaciones (ambas notadas con el sımbolo T ) donde la primeraaplicacion es entre objetos y la segunda es entre morfismos, y tales que:

1. Si f ∈MorK(X,Y ), entonces T (f) ∈MorL(T (X), T (Y )).

2. Si f ∈ MorK(X,Y ) y g ∈ MorK(Y,Z), entonces T (g f) = T (g) T (f) ∈MorL(T (x), T (z)).

3. Para todo objeto X ∈ Ob(K) se tiene T (idX) = idT (X). Se dice que elfuntor es contravariante si invierte las flechas.

Los funtores olvido. Parten de un conjunto con una estructura,olvidan la estructura y entregan al conjunto:

• T : Top → Conj.

• T : Grupos 7→ Conj.

• T : Top0 → Top, el cual olvida que el espacio era punteado.

• De la categorıa de los pares topologicos TopP a la categorıa Top,olvidando al espacio inicial: (X,A)→ A con f 7→ f |A

El funtor grupo fundamental Π1: Top0 → Grupos, definido por(X,x0) 7−→ Π1(X,x0) y f 7−→ Π1(f) = f∗.

Una propiedad importante de los funtores tiene que ver con el buen com-portamiento frente a las equivalencias.

GUSTAVO


Definicion 4.34. Dada una categorıa C decimos que f ∈ C con f : X → Yes una equivalencia si existe g ∈ C tal que f g y g f son las respectivasidenticas. Decimos en tal caso que X,Y se dicen equivalentes.

Teorema 4.35. Si T es un funtor de la categorıa C a la categorıa D, en-tonces T envıa equivalencias en equivalencias; es decir, si X ≡D Y entoncesT (f) : T (X) ≡C T (Y ).

Demostracion. Asumamos que T es covariante (el argumento es similar siT es contravariante). Sea f : X → Y una equivalencia y sea f−1 : Y → Xsu inversa. Como f−1 f = idX y f f−1 = idY , T (f−1) T (f) = idT (X) yT (f) T (f−1) = idT (Y ), con lo cual T (f) es una equivalencia.

Como ya lo hemos dicho repetidamente, un problema clasico en topologıaes la clasificacion de los espacios en equivalencias en Top. En otras palabras,es poder decidir si un espacio X es homeomorfo a otro espacio Y o no. Laidea basica de la topologıa algebraica es introducir varios funtores desde lacategorıa de los espacios topologicos y las funciones continuas, a categorıas“algebraicas” como la categorıa de los grupos, la categorıa de los gruposabelianos, la categorıa de los grupos graduados, etc. entre ellos los funtores,grupo fundamental, homotopıa, homologıa, etc.

Por ejemplo, si se tuviera que R2−0 ≈ R−0, entonces Π1(R2−0) ≈Π1(R − 0) (ya lo veremos), es decir Z ≈ e; luego R2 − 0 6≈ R − 0y por tanto R2 6≈ R. Este es un ejemplo simple, pero ilustrativo; de hecho,se pueden clasificar todas las superficies (2–dimensionales) usando el grupofundamental.

Π1 es productivo: Π1(X × Y ) u Π1(X) × Π1(Y )

Dados dos espacios punteados (X,x0) y (Y, y0), su producto conjuntistaes definido como (X × Y, (x0, y0)). Veamos que el funtor Π1 (grupo funda-mental) preserva el producto.

Teorema 4.36. Sean (X,x0), (Y, y0) dos espacios topologicos punteados y(X × Y, (x0, y0)) con la topologıa producto, entonces

Π1(X × Y, (x0, y0)) ≈ Π1(Y, y0)×Π1(Y, y0).

(La operacion en Π1(X,x0)×Π1(Y, y0) es el producto directo de grupos).

GUSTAVO


Demostracion. La idea basica en la demostracion es muy sencilla: cada “co-sa” trabaja de manera independiente en las dos coordenadas de X × Y .

Las proyecciones XpX←−−− X × Y pY−−−→ Y inducen homomorfismos

Π1(X,x0)pX∗←−−−− Π1(X,x0)×Π1(Y, y0)

pY ∗−−−→ Π1(Y, y0),

que combinados nos producen un homomorfismo

ϕ : Π1(X × Y, (x0, y0)) −→ Π1(X,x0)×Π1(Y, y0)

dado por ϕ([f ]) = (pX∗[f ], pY ∗[f ]) = ([pX f ], [pY f ]) para todo caminof : I −→ X × Y .

ϕ es un homomorfismo. Notese que

ϕ([f ] · [g]) =ϕ([f g]) = ([pX (f g)], [pY (f g)])

=([(pX f) (pX g)], [(pY f) (pY g)])=([pX f ] · [pX g)], [pY f ] · [pY g)])=([pX f ], [pY f ])⊕ ([pX g)], [pY g)]) = ϕ([f ])⊕ ϕ([g]).

ϕ es un monomorfismo. Supongamos que ϕ([f ]) = ϕ([g]) es decir [pX f ] = [pX g] y [pY f ] = [pY g]. Luego existen las homotopıasH : pX f ' pX g y K : pY f ' pY g. Definamos (nuevamentede manera independiente y en cada variable) F : I × I → X × Y co-mo F (s, t) = (H(s, t),K(s, t)). F es continua por serlo en cada proyec-cion. Ademas, F0(s) = F (s, 0) = (H(s, 0),K(s, 0)) = (H0(s),K0(s)) =(pX f(s), pY f(s)) = f(s) y de manera similar F1(s) = g(s). Luegof ' g y por tanto [f ] = [g].

ϕ es un epimorfismo. Sea ([f ], [g]) ∈ Π1(X,x0) × Π(Y, y0). Definimos elcamino cerrado α : I → X × Y como

α(t) :=

(f(2t), y0) si 0 ≤ t ≤ 1/2, α(0) = (x0, y0)

(x0, g(2t − 1)) si 1/2 ≤ t ≤ 1, α(1) = (x0, y0).

ϕ([α]) = ([pX α], [pY α]) = ([f ], [g]) puesto que pX α no es mas que unareparametrizacion del camino f y pY α lo es de g.

Puede demostrarse (ver la proposicion 4.7), de manera adicional (comoun ejercicio) que con la c.a.–topologıa para los espacios Ω(X,x0) tenemostodo un homeomorfismo

ϕ : Ω(X × Y, (x0, y0))→ Ω(X,x0)× Ω(Y, y0).

GUSTAVO


Ejemplo 4.37 (El toro). T = S1 × S1 tienecomo grupo fundamental

Π1(S1 × S1) = Π1(S

1)×Π1(S1) = Z× Z.

Notese que el grupo (Z × Z,+) tiene dos gene-radores (0,1) y (1,0), los cuales corresponden alas clases de homotopıa de los caminos cerradosa, b : [0, 1] → S1 × S1 como en la figura. ComoΠ1(S

1) no depende del punto base, igual sucedepara Π1(T ).

Ejemplo 4.38 (Plano perforado). R2−0 es homeomorfo a (0,∞)×S1

Figura 4.10: Plano perforado.

por medio de la funcion f(x) = (‖x‖, x

‖x‖ ), la cual tiene como inversa la

funcion g(t,y) = ty. Por el homeomorfismo tenemos que Π1(R2 − 0) =Z× 0 ∼= Z. Notese que la primera variable es introducida para garantizarla unicidad de f (ver ejemplos 4.28 y 4.30).

Este mismo homeomorfismo puede ser definido para mostrar queRn − 0 ∼= (0,∞) × Sn−1.

4.3.3. Equivalencias para homotopıa

Recordemos (ver definicion 4.34) que en la categorıa Top de los espaciostopologicos y las funciones continuas, dos espacios X, Y son equivalentesX ≡ Y si existen f : X → Y , g : Y → X continuas y tales que f

GUSTAVO


g = idY , g f = idX . A los elementos de una clase de equivalencia losllamamos homeomorfos o del mismo tipo topologico y lo notamos X ≈Y . Designamos por [X]≈ la clase de espacios homeomorfos a X.

Que X, Y sean equivalentes en la categorıa TopH , donde los objetosson los espacios topologicos y MorH(X,Y ) := [X,Y ] = [f ] : las clases dehomotopıa para funciones f : X → Y significa que:

Definicion 4.39. Sean X, Y espacios topologicos. Decimos que X es equi-valente homotopicamente a Y , o que X es del mismo tipo de homo-topıa que Y si existen funciones f : X → Y , g : Y → X, tales que

f g ' idX , g f ' idY .

La relacion X ≡ Y en TopH la notamos X ' Y . Notese que g es unainversa homotopa a izquierda de f (y viceversa), es decir, g es inversiblepor homotopıa. f se llama una equivalencia para homotopıa.

La relacion X ' Y es en efecto una relacion de equivalencia en Top: Laspropiedades reflexiva y simetrica son inmediatas. La relacion es transitiva,pues dadas f, g equivalencias para X ' Y y u, v para Y ' Z entonces(seccion 4.3.1)

g v u f ' g idY f = g f ' idX

y

u f g v ' u idY v = u v ' idZ .

Luego X y Z son del mismo tipo de homotopıa. Pero hemos probado masde la cuenta, esto es, que la composicion de dos equivalencias de homotopıaes una equivalencia de homotopıa con inverso de homotopıa la composicion delos inversos de homotopıa.

Notemos por [X]' la clase de todos los espacios equivalentes homotopica-mente a X. Por supuesto, si X ≈ Y (i. e. son homeomorfos) tenemos queX ' Y , esto es [X]≈ ⊆ [X]', pero en sentido contrario estamos lejos de laigualdad. Luego la clasificacion de espacios por medio de ' es mas gruesaque por ≈. Veamos el ejemplo siguiente.

Ejemplo 4.40 (Equivalencias no equivalentes). En R2 consideremoslos subespacios X = S1 y Y = S1

⋃(x, 0)|1 < x < 2 como en la figura.

GUSTAVO


X y Y no son homeomorfos (equivalentestopologicamente) puesto que al quitar elpunto (1, 0) de Y obtenemos un espacio noconexo, pero no importa cual punto quite-mos de S1 obtenemos un espacio conexo.

De otra parte, X y Y sı son equivalentes homotopicamente. La funcioninclusion i : X → Y tiene como homotopa inversa la retraccion r : Y → X

dada por r(y) =

y, y ∈ S1

(1, 0), si y pertenece al segmento (1, 0)(2, 0).

Claramente ambas funciones son continuas e inversas homotopasr i = idX y ft : i r ' idY por medio de la homotopıa

ft(y) =

y, y ∈ S1

(1− t)y + t(1, 0), si y pertenece al segmento (1, 0)(2, 0).

que es lineal sobre el segmento de recta, esto es, lo contrae al punto (1, 0).

De manera similar se define el concepto de equivalente homotopica-mente cuando se trata de la categorıa TopPunteados de los espacios topologi-cos punteados. Decimos (X,x0) ' (Y, y0) son equivalentes homotopicamentesi las respectivas homotopıas se “comportan bien” con respecto a los puntosbase x0 y y0. Exactamente,

Definicion 4.41. Sea (X,x0), (Y, y0) dos espacios punteados y f : X → Y ,g : Y → X funciones homotopas inversas tales que f(x0) = y0, g(y0) = x0

y ademas las homotopıas correspondientes de f g a idY y g f a idX sonfijas en y0 y x0 respectivamente. Entonces decimos que (X,x0) y (X, y0) sonequivalentes homotopicamente como espacios punteados.

Teorema 4.42. Si (X,x0) y (Y, y0) son equivalentes homotopicamente co-mo espacios punteados (i. e. las homotopıas involucradas son rel 0, 1),entonces Π1(X,x0) ≈ Π1(Y, y0).

Demostracion. Si f : (X,x0) → (Y, y0) y g : (Y, y0) → (X,x0) son doshomotopıas recıprocas, la una inversa de la otra, entonces (g f)∗ = g∗ f∗es la identidad en Π1(X,x0) y f∗ g∗ es la identidad en Π1(Y, y0), luego f∗es un isomorfismo.

Corolario 4.43. Si h : (X,x0) → (Y, y0) es un homeomorfismo, entoncesh∗ : Π1(X,x0)→ Π1(Y, h(x0)) es un isomorfismo.

GUSTAVO


Ejemplo 4.44. El plano perforado R2 − 0es del mismo tipo de homotopıa que S1. Defi-namos g : R2 − 0 → S1 como g(x) = x

‖x‖la cual tiene como inversa la funcion inclusioni : S1 → R2 − 0. Es claro que g f = idS1 yque idR2−0 ' f g vıa la homotopıa G(x, t) =

(1−t)x+t

(x

‖x‖

). Las flechas en el dibujo indi-

can de que manera se mueven los puntos durantela homotopıa.

Este mismo trabajo funciona para mostrar que Rn − 0 ' Sn−1.

Notese que en estos ejemplos 4.40 y 4.44 las funciones involucradas son unaretraccion r : X → A y la inclusion i : A → X (para los apropiados X yA). Como r es retraccion, ri = idA. La otra condicion dice que ir ' idX .La generalizacion de este hecho nos motiva la siguiente seccion.

4.3.4. Retractos por deformacion

La nocion intuitiva de una deformacion es la siguiente. Un espacio es defor-mable (retraıble de manera continua) a un subespacio A ⊆ X si X puedeser “aplastado poco a poco” o contraıdo de manera continua a Y . “Aplas-tado poco a poco” significa que tenemos una especie de homotopıa perocon espacios topologicos en lugar de caminos. Por ejemplo un cuadrado escontraıble de manera continua a uno de sus lados, o la letra en “negrilla”O (es como una corona) es contraıble a la letra “normal” O (es como unacircunferencia), o la cinta de Mobius a su circunferencia interior.

Notese que las retracciones por deformacion son faciles de visualizar yson un tipo muy particular de equivalencias homotopicas. La definicion esla siguiente.

Definicion 4.45. Sean X un espacio topologico y A ⊆ X. Decimos que Aes retracto por deformacion de X si existe una retraccion r : X → A quees inversa homotopicamente a la inclusion i : A → X. En otras palabras,r i ' idA y i r ' idX(rel A) (ver definicion 4.5). Esto es, existe unahomotopıa H : X × I → X para la cual

1. Cada punto a ∈ A permanece fijo durante la deformacion, H(a, t) = a

GUSTAVO


t

Figura 4.11: Retractos por deformacion.

para todo t ∈ [0, 1] y todo a ∈ A ⊆ X. A “no se mueve” durante ladeformacion.

2. h0(x) = x, h1(x) ∈ A para todo x ∈ X.

Si A es un retracto por deformacion de X, lo notamos como X A. Laanterior definicion es exigente al pedir homotopıa (rel A) y por eso algunostextos la llaman retracto por deformacion fuerte.

A

X

Figura 4.12: A permanece fijo.

GUSTAVO


Ejemplo 4.46.

1. Una corona se retracta a S1. (Ver figura 4.11) La circunferencia S1

es un retracto por deformacion de la coronaC = (x, y)|14 < x2 + y2 < 4 mediante la homotopıa H(x, t) =

(1− t)x + tx

‖x‖ .

2. Sn−1 es un retracto por deformacion de Rn − 0. Nuevamente el

trabajo lo hacen las homotopıas lineales H(x, t) = (1− t)x + tx

‖x‖ .

3. El origen 0 ∈ Rn es un retracto de deformacionde Rn o del disco cerrado Dn.

4. Sea A es un espacio topologico. El espa-cio X = A × Dn (una especie de cilindrorelleno en torno a A) satisface X A.

A

5. Por el ejemplo anterior, para el toro soli-do X = S1 ×D2 tenemos que X S1 ypor tanto X ' S1.

6. Dado un espacio X el cono C(X) es con-tractil: C(X) x0

7. Este ejemplo, figura 4.13, nos produce tres espacios que son retrac-ciones por deformacion de un disco con dos agujeros: la union por unpunto de dos circunferencias, dos circunferencias unidas por un seg-mento de recta y finalmente a la union de tres arcos con puntos finalesen comun (algo ası como la letra θ). Curiosamente estos retractos por

GUSTAVO


Figura 4.13: Tres retractos por deformacion de un mismo espacio: un disco con dosagujeros.

deformacion no son homeomorfos entre sı. ¿Que sucede si a cambio dedos agujeros consideramos n agujeros?

Figura 4.14: El toro perforado se retracta a la figura “8”.

8. Consideremos el toro perforado T − p ⊆ R3 —menos un puntop— T − p es conexo por caminos y Π1(X) es el grupo libre con dos

GUSTAVO


generadores ya que T − p 8 (figura 4.14).

Nota: Es importante que la homotopıa H —como en toda homotopıa—se mantenga en el espacio X, es decir, que en los pasos intermedios de ladeformacion al retracto no nos salgamos del espacio en que estamos. Si en el ejemplo 4.46, a la corona le anadimos el punto (4, 0) (o cualquier otropunto que no este en ella) obtenemos un nuevo espacio C ∪ (4, 0) el cualya no es un retracto por deformacion a S1 pues para llevar al punto (4, 0)hasta S1 tendremos que pasar en la deformacion por fuera del codominioX = C ∪ (4, 0) de H.

Los retractos por deformacion son utiles cuando se trata de calcular gruposfundamentales.

Corolario 4.47. Si X A, entonces X ' A.

Demostracion. Es consecuencia directa de la definicion 4.45.

Corolario 4.48. Si X A y x0 ∈ A, entonces Π1(X,x0) ' Π1(A,xo).

Demostracion. Por el teorema 4.42 tenemos que r∗ : Π1(X,x0)→ Π1(A,x0)y i∗ : Π1(A,x0)→ Π1(X,x0) son isomorfismos cada uno inverso del otro.

Ejemplo 4.49. Π1(R2 − 0, x0) ∼= Π1(S1, x0) ∼= Z para x0 = (1, 0).

Esto implica que R2 − 0 y R2 no son homeomorfos.

Ejemplo 4.50. La homotopıa H : Rn+1 × [0, 1]→ Rn+1 dada por

H((x1, x2, . . . , xn+1), t) = (x1, x2, . . . , xn, (1− t)xn+1)

muestra que Rn es un retracto de deformacion de Rn+1.

Cuando en la practica se trata de trabajar con homotopıa, es importante“desarrollar el ojo” para los espacios con el mismo tipo de homotopıa. Enlo general se evita (hasta donde es posible) tener una mirada “laboriosa”para dos funciones f : X −→ Y , g : X −→ Y y homotopıas f g ' 1Xy g f ' 1X , ademas de escribir las homotopıas en detalle. Quisieramospoder decir en un vistazo si los espacios son del mismo tipo de homotopıao no.

GUSTAVO


, o,

Pero esta rapida identificacion del espacio con uno del mismo tipo de ho-motopıa, en muchos casos esta basada en una composicion entre homeo-morfismos y retractos por deformacion.

Recordemos lo que hace una deformacion X A : cada punto de X esllevado por medio de un camino continuo al espacio A (durante el tiempo de0 a 1), y lo que nos debe importar es que puntos que ya estaban en A no semueven, ası que X y A pueden ser descritos graficamente y la deformacionh, si existe, sera facil de visualizar.

Ejemplo 4.51. Mediante deformaciones encontramos tres tipos de carac-teres en el alfabeto:

1. C E F G H I K L M N S T U V W X Y Z

2. A D O P Q R

3. B

Cada caracter en el primer grupo puede ser deformado a un punto. Los delsegundo a una circunferencia. El unico caracter del tercer grupo es la figura“ocho”.

Definicion 4.52. Un espacio X se dice que es contractil o contraıble sies homotopicamente equivalente a un punto, i.e., X ' p para p ∈ X .

GUSTAVO


Teorema 4.53. Un espacio X es contractil si y solo si la funcion identi-dad es homotopa a una funcion constante 1X ' cx0

, x0 ∈ X (no se exigehomotopıa relativa, i. e., la homotopıa puede o no mover al punto x0).

Demostracion. Si X es contractil, existe un punto p ∈ X tal que X ' p.Sean f : X −→ p y g : p −→ X tales que f g ' 1p y g f ' 1X luegola funcion constante g f = cg(p) es homotopa a 1X .

Para la otra implicacion sean x0 ∈ X tal que 1X ' cx0y i : x0 → X,

entonces i cx0' 1X y cx0

i ' 1x0 con lo cual X ' x0.Notese que hemos probado ademas que X x0.

Un espacio contractil puede aparentementelucir que no lo es; por ejemplo, el espacio“peinilla” en la grafica sı lo es. Si queremostener una homotopıa entre la funcion identi-dad y la funcion constante al punto (0, 1/2).Cada diente de la peinilla se contrae hasta eleje x y de ahı contraemos el segmento [0, 1]al origen. 1

1/2

Para demostrar que dos espacios que tengan el mismo tipo de homotopıatienen grupos fundamentales isomorfos, debemos preguntarnos ¿que sucedecon respecto al teorema 4.42 si tenemos una homotopıa entre dos funcionescontinuas de X en Y tales que el punto base en X no permanece fijo durantela homotopıa? Veamos el siguiente lema acerca de las homotopıas que nodejen fijo al punto base (i. e., no son relx0).

Lema 4.54 (Se factoriza por isomorfismos). Si H : f ' g : X −→ Yes una homotopıa y α : I −→ Y es el camino α(t) := Ht(x0) de f(x0) ag(x0) (el camino formado por todas las imagenes del punto x0) entonces el

GUSTAVO


siguiente diagrama conmuta,

Π1(Y, f(x0))

Π1(X,x0)

Π1(Y, g(x0))?

≈ α

*f∗

HHHHjg∗

Demostracion. Si recordamos la definicion de Tα([m]) = [αr m α] en elteorema 4.18 debemos entonces demostrar que, dado un camino m en Xcerrado en x0 se tiene que las imagenes g∗([m]) = [g m] y Tα(f∗([m]))=[αr (f m) α] son homotopas rel 0, 1.

Consideremos la funcion G : I × I → Y dada por G(s, t) = H(m(s), t)como en la figura siguiente (en cada punto del camino α en Y colocamos el

camino cerrado correspondiente a ht m : Im−−→ X

ht−−→ Y )

1

t

s

t

0

α

g m

ht m

f m

g(x0) = h1(x0)

ht(x0)

f(x0) = h0(x0)

Ahora definimos la homotopıa F : g m ' αr (f m) α como

F (s, t) =

αr(4s) s ∈ [0, 1−t4 ],

G

(4s+ t− 1

3t+ 1, t

)s ∈ [1−t4 , 1+t

2 ],

α(2s − 1) s ∈ [1+t2 , 1].

Luego g∗[m] = [g m] = [αr (f m) α] = Tα([f m]) = Tα([f∗([m])])

Corolario 4.55. Si f, g : X −→ Y son homotopas entonces para los homo-morfismos inducidos

f∗ : Π1(X,x0)→ Π1(Y, x0) y g∗ : Π1(X,x0)→ Π1(Y, g(x0))

GUSTAVO

RUBIANO 4.4. TEOREMA DE SEIFERT—VAN KAMPEN 127

se cumple que f∗ es inyectivo, o sobreyectivo o trivial si ası lo es g∗.

Demostracion. Recuerdese del teorema 4.18 que Tα es un isomorfismo .

Corolario 4.56. Si f : X −→ Y con f ' cX0entonces f∗ es el homomor-

fismo trivial.

Demostracion. La funcion constante induce el homomorfismo trivial.

En muchos casos poner demasiada atencion sobre los puntos base alcalcular el grupo fundamental es tedioso. Para equivalencias homotopicasno es necesario ser tan cuidadosos pues las condiciones sobre el punto basepueden ser eliminadas.

Teorema 4.57. Si f : X −→ Y es una equivalencia de homotopıa (nonecesariamente relativa al punto base) entonces el homomorfismo inducidof∗ : Π1(X,x0) −→ Π1(Y, f(x0)) es un isomorfismo para todo x0 ∈ X.

Demostracion. Sea g : Y −→ X una inversa-homotopa para f , con lo cualfg ' 1Y , gf ' 1X . Consideremos el siguiente diagrama de homomorfismos

Π1(X,x0)f∗−−→ Π1(Y, f(x0))

g∗−−→ Π1(Y, g(f(x0)))f∗−−→ Π1(Y, f(g(f(x0)))).

Si aplicamos el lema 4.54 a la compuesta de los dos primeros (el cual es unisomorfismo puesto que gf ' 1X) tenemos que g∗f∗ = (gf)∗ = Tα1X∗ =Tα (tal Tα existe y es un isomorfismo), luego f∗ es monomorfismo; de manerasimilar se tiene que, la composicion del segundo con el tercer homomorfismoes un isomorfismo y por tanto f∗ es un epimorfismo.

Corolario 4.58. Si dos espacios conexos por caminos son del mismo tipode homotopıa entonces sus grupos fundamentales son isomorfos.

4.4. Teorema de Seifert—Van Kampen

Una herramienta util en el calculo del grupo fundamental es el teoremade Seifert—Van Kampen. Este resultado fue introducido de manera indepen-diente por Seifert (1931) y Van Kampen (1933). El objeto de esta seccion espresentar el teorema con algunas de sus aplicaciones.

GUSTAVO


Espacio Grupo fundamental

Convexo en Rn Trivial

Circunferencia ZPlano punteado Z

Corona ZCilindro Z

Cinta de Mobius ZSn, n ≥ 2 Trivial (ver ej. 4.66)

Toro Z× ZToro solido ZRPn, n ≥ 2 Z2, ejemplo 5.27

Toro perforado [a, b; ] grupo libre con 2 generadores

θ [a, b; ] grupo libre con 2 generadores

Cuadro 4.1: Primeros calculos.

Ejemplo 4.59. Pensemos en la figura “ocho”(dada por el numero 8), esto es S1 ∨ S1 =(S1

∐S1)/(1, 0), (0, 1). ¿Como serıa su grupo

fundamental? Existen dos caminos cerrados enx0 que a primera vista no son homotopos, el ca-mino a y el camino b.

a b

x0

Los caminos cerrados en x0 son reducibles (de manera natural) a la forma· · ·∗am∗bn∗ap∗bq ∗· · · donde un camino se descompone en viajes alternadosde un numero finito de veces alrededor de a y b (am := a ∗ · · · ∗ a m–veces).Por tanto es razonable concluir que para este espacio Π1(X,x0) es el grupolibre de dos generadores a y b (ver el ejemplo 2.44, o de manera equivalente:el grupo libre de dos grupos cıclicos infinitos).

Para el calculo del grupo fundamental de espacios mas complicados comola botella de Klein, el plano proyectivo, complementos de nudos, etc. sonnecesarios resultados mas bien complicados. Una tactica comun es dividirel espacio X en pedazos apropiados (cuyos grupos fundamentales sean yaconocidos) y a partir de ellos calcular el grupo para todo el espacio.

Sea (X,x0) un espacio punteado, el cual podemos expresar como la unionX = X1 ∪ X2 con X1,X2 abiertos y con x0 ∈ X0 := X1 ∩ X2. Usamos elpunto x0 como punto base para X1 y X2. Supongamos que ya sabemos comoes el grupo fundamental de los espacios X1 y X2. ¿Que podemos entonces

GUSTAVO


deducir para el grupo fundamental del propio X?

Supongamos que X,X0,X1,X2 son conexos por caminos y x0 ∈ X0.Sean G0 = Π1(X0, x0), G1 = Π1(X1, x0), G2 = Π1(X2, x0), G = Π1(X,x0)y consideremos el diagrama

Π1(X)

Π1(X1) Π1(X2)

Π1(X0)

*j1

HHHYj2

6i0

HHHYi1 *

i2

inducido por las funciones inclusion entre los espacios respectivos.

x0

a

X1 ∩X2

X1

X2

Figura 4.15: El camino a es contado dos veces.

Para obtener una primera aproximacion de Π1(X,x0) podemos imitar elargumento utilizado en el ejemplo 4.65 (de la figura 8) y concluir que G esel producto libre de G1 con G2.

Pero una dificultad inmediata que se observa es que el camino a cerradoen x0 es contado dos veces (figura 4.15) en el producto libre, una vez como g1 = i1([a]) y otra como g2 = i2([a]). Nos sobreponemos a este problema alintroducir la relacion i1([a])i2([a])

−1 en G1 ∗ G2 para cada [a] ∈ Π(X0, x0).Pero, ¿que hacer con un camino a cerrado en x0 que no esta enteramente nien X1 ni en X2?

La idea es descomponer a a en caminos ai (no necesariamente cerrados)cada uno de los cuales esta completamente en X0,X1, o, X2. Antes decontinuar veamos como descomponer caminos.

Lema 4.60. Sea u : [0, 1] → X un camino de x0 a x1, y supongamos que0 < r < 1. Sea y el punto y := u(r) y definamos u0, u1 : [0, 1] → X como

GUSTAVO


X1 X2

a

u0(t) = u(rt) y u1(t) = u(r + (1 − r)t) con lo cual u0 es un camino dex0 a y, u1 es un camino de y a x1. Entonces, si v = u0 u1 tenemos que[u] = [v] = [u0 u1] = [u0][u1].

Demostracion. Para v tenemos que

u0 u1(t) =

u0(2t) t ∈ [0, 1

2 ],

u1 (2t− 1) t ∈ [12 , 1],=

u(2rt) t ∈ [0, 1

2 ],

u(r + (1− r)(2t− 1)) t ∈ [12 , 1].

En otras palabras, la reparametrizacion f : [0, 1]→ [0, 1] con f(t) = 2rt para0 ≤ t ≤ 1

2 y f(t) = r + (1 − r)(2t − 1) para t ≥ 12 satisface v(t) = u(f(t)).

Ademas, f es continua con f(0) = 0 y f(1) = 1. Por tanto la funcionh : I × I → X dada por h(s, t) = u((1 − s)t + sf(t)) es una homotopıah : u ' v rel0, 1.

Corolario 4.61. Sea u : [0, 1] → X un camino de x0 a xn, y supongamosque 0 = r0 < r1 < . . . < rn = 1. Sea xi el punto xi := u(ri) y definamosui : [0, 1]→ X como ui(t) = u(ri + t(1− ri)), con lo que ui es un camino dexi a xi+1. Entonces [u] = [u0][u1] · · · [un−1].

Demostracion. Por el lema anterior podemos hacer induccion sobre n.

Por el Lema de Lebesgue, dado el camino cerrado a en X, para elcubrimiento abierto X0,X1,X2 de X existe una particion 0 = p0 <p1 < p2 < · · · < pm = 1 de [0, 1] tal que ai := a([pi−1, pi]) ⊆ X1 oai := a([pi−1, pi]) ⊆ X2, y ademas, a = a1 ∗ a2 ∗ · · · ∗ am; como X0 es conexopor caminos podemos conectar a x0 con cada uno de los puntos a(pi) pormedio del camino bi.

Ahora consideremos el camino cerrado

(a1 ∗ br1) ∗ (b1 ∗ a2 ∗ br2) ∗ · · · ∗ (bm−1 ∗ am)

GUSTAVO


bi a2

a1

a3

b3

el cual es homotopo al camino cerrado a. Notese que este camino es unproducto de caminos cerrados bk ∗ ak ∗ brk+1 (indicados entre parentesis) queestan solo en X1 o X2; luego, [a] es una palabra en ∗αΠ1(Xα) con α = 1, 2,esto es, en Π1(X1) ∗ Π1(X2), posiblemente sin reducir.

Por tanto el grupo Π1(X,x0) puede ser visto como el producto libre deΠ1(X1, x0) con Π1(X2, x0) modulo las relaciones previamente mencionadas(el producto amalgamado de la seccion 2.8.1).

La siguiente es la presentacion clasica del teorema de Seifert—Van Kam-pen.

Teorema 4.62 (Seifert—Van Kampen). Sea (X,x0) un espacio puntea-do el cual podemos expresar como la union X = X1∪X2 con X1,X2 abiertosy con x0 ∈ X0 := X1 ∩X2. Usamos el punto x0 como punto base para X1

y X2. Si i1 : Π1(X0, x0) −→ Π1(X1, x0), i2 : Π1(X0, x0) −→ Π1(X2, x0) sonlos homomorfismos inducidos por las inclusiones y A;RA, B;RB sonrepresentaciones de Π1(X1, x0) y Π1(X2, x0) respectivamente, entonces

A,B;RA, RB , i1([a])i2([a])−1, [a] ∈ Π1(X0, x0)

es una representacion de Π1(X). (Cada elemento α ∈ Π1(X,x0) puede serexpresado como un producto α = β1β2 · · · βn donde para cada i, o bien βi ∈Π1(X1) o βi ∈ Π1(X2)).

Corolario 4.63. Si el espacio X0 resulta ser simplemente conexo, es decir,Π1(X0, x0) = e entonces Π1(X) = Π1(X1) ∗ Π1(X2).

Corolario 4.64. Si Π1(X1, x0) y Π1(X2, x0) son triviales entonces Π1(X,x0)es tambien el grupo trivial.

Ejemplo 4.65. Para la figura “ocho”, utilizamos el cubrimiento siguiente

GUSTAVO


X =

X1

X2

!

X0

para el cual Π1(X,x0) = Z, Π1(X2, x0) = Z y Π1(X0, x0) = e ya queX0 x0. Como cada grupo tiene la representacion a; , b; entonces(corolario 4.63)

Π1(X,x0) = a, b; ≈ Z ∗ Z.

Ejemplo 4.66. Π1(Sn,1) con 1 = (1, 0, . . . , 0), n > 1, es ahora facil de

calcular. Sn puede ser descompuesto en la union de dos hemisferios abiertosque se translapan, cada uno de los cuales tiene grupo fundamental trivial(los hemisferios son contractiles). La interseccion de los dos hemisferios eshomeomorfa al cilindro abierto Sn−1 × (−1, 1) y homotopicamente equiva-lente a Sn−1 el cual es ciertamente conexo por caminos. Por el corolariotenemos Π1(S

n,1) = e.

X1

X2 X0

Corolario 4.67. R2 no es homeomorfo a Rn para n > 2.

GUSTAVO


Demostracion. Si existiera un homeomorfismo f : R2 → Rn entoncesR2−0 ≈ Rn−f(0); pero como S1 y Sn−1 son, respectivamente retractospor deformacion de estos dos ultimos espacios tenemos queZ = Π1(R2 − 0,1) 6= Π1(Rn − f(0),1) = Π1(S

n−1,1) = e.

Ejemplo 4.68. R2 − dos puntos es equivalente homotopicamente a lafigura “ocho” o θ, ası que Π1(R2 − dos puntos) es tambien el grupo librecon dos generadores. Mas aun, puede ser mostrado que Π1(R2−n puntos)es el grupo libre con n generadores (ver ejemplo 4.69).

Version general del teorema de Seifert—Van Kampen

Supongamos que un espacio (con punto base) se descompone como launion de una coleccion de subconjuntos abiertos Aα conexos por caminosy x0 ∈ Aα para cada Aα. Los homomorfismos inducidos jα : Π1(Aα) −→Π1(X) (inducidos por las funciones inclusion Aα → X) se extienden a unhomomorfismo φ : ∗αΠ1(Aα) −→ Π1(X). El teorema afirma que φ es sobre-yectivo y podemos esperar en general que su kernel no sea trivial, pues siiαβ : Π1(Aα∩Aβ) −→ Π1(Aα) es el homomorfismo inducido por la inclusionAα ∩ Aβ → Aα entonces jα iαβ = jβ iβα, para los dos homomorfismosinducidos por Aα∩Aβ → X ası que kernel(φ) contiene a todos los elementosde la forma iαβ([a])iβα([a])−1 para [a] ∈ Π1(Aα ∩Aβ).

El teorema asegura entonces que esta es una buena descripcion de φ.

Sea (X,x0) la union de abiertos Aα conexos por caminos y cada uno con-teniendo al punto x0. Si cada una de las intersecciones Aα ∩Aβ es conexapor caminos, entonces el homomorfismo φ : ∗αΠ1(Aα) −→ Π1(X) es sobre-yectivo. Si ademas cada interseccion Aα ∩Aβ ∩Aγ es conexa por caminos,el Ker(φ) es un subgrupo normal N generado por los elementos de la for-ma iαβ([a])iβα([a])−1 para [a] ∈ Π1(Aα ∩ Aβ), y φ induce un isomorfismoΠ1(X) ≈ ∗αΠ1(Aα)/N .

Recordemos que el producto cuna ∨αXα de una coleccion de espaciospunteados (Xα, xα) es el espacio cociente de la union disyunta ΣαXα de losespacios, donde los puntos base xα son identificados a un solo punto. Si cadapunto xα es un retracto por deformacion de una vecindad abierta Uα ⊆ Xα

entonces Xα es un retracto de deformacion de su vecindad abierta Aα =Xα

∨β 6=α

Uβ. La interseccion de dos o mas vecindades Aα es∨α Uα la cual es

un retracto de deformacion a un punto. Entonces el teorema de Seifert—VanKampen implica que φ : ∗αΠ1(Xα) −→ Π1(∨αXα), es un isomorfismo.

GUSTAVO


Ejemplo 4.69 (Bouquet). Para el espacio∨n S

1 = S1 ∨ S1 ∨ · · · ∨ S1 (n-veces) y llamado“una flor de n petalos” se tiene que Π1(∨nS1)es un grupo libre con n generadores, donde ca-da generador esta representado por un caminoque recorre una vez a una de las n circunferen-cias). La demostracion es inductiva a partir delejemplo 4.65.

Ejemplo 4.70. Consideremos el plano con n–huecos. R2 − x1, . . . , xn

∨n S

1, luegoΠ1(R2 − x1, . . . , xn) ≈ Π1(∨nS1) = ∗n Z pro-ducto libre de n copias de Z.

4.5. Πn(X), una generalizacion

En esta seccion presentaremos los analogos n–dimensionales Πn(X,x0) delgrupo fundamental Π1(X,x0). Seran los encargados de medir la existenciade agujeros de dimension n que un espacio X pueda poseer. Recordemosque Π1 es miope para detectar los huecos de las esferas Sn para n ≥ 2, i.e.Π1(S

n) = 0 (introducidos por E. Cech en el ano 1932 durante el CIM deZurich y retomados en 1936 por H. Hurewicz).

Primera presentacion

Un camino cerrado α : [0, 1] → X con α(0) = α(1) = x0 puede ser vistocomo una funcion entre espacios punteados α : (S1,1) → (X,x0) dondeα(1) = x0 para 1 = (1, 0) ∈ S1.

Una homotopıa rel0, 1 entre caminos α y β es entonces una homotopıapunteada de α a β dada como una funcion H : S1 × [0, 1] → X tal queH(x, 0) = H0(x) = α(x) y H(x, 1) = H1(x) = β(x) para todo x ∈ S1, yH(1, t) = Ht(1) = α(1) = β(1) = x0 pata todo t ∈ [0, 1] —constante en elpunto base x0—. Entonces,

Π1(X,x0) = [(S1,1), (X,x0)]

el conjunto cociente de todas las funciones punteadas continuas, modulo la

GUSTAVO

RUBIANO 4.5. ΠN (X), UNA GENERALIZACION 135

relacion de homotopıa.

Si remedamos esta definicion para Sn a cambio de S1 tenemos,

Πn(X,x0) := [(Sn,1), (X,x0)].

En otras palabras, el n–esimo grupo de homotopıa es el conjunto de todaslas funciones punteadas α : (Sn,1) → (X,x0) —donde α(1) = x0 para1 = (1, 0, . . . , 0) ∈ Sn— modulo la relacion de equivalencia dada por lahomotopıa punteada

α ' β :⇔ existe H : S1 × [0, 1]→ X tal que H0 = α, H1 = β.

Figura 4.16: El camino se deforma de manera continua en otro, mientras que elglobo no.

Revisemos, desde este punto de vista el caso n = 0. Π0(X) es en generaltan solo un conjunto (sin estructura algebraica). Por definicion S0 es lafrontera del disco 1–dimensional D1 = [−1, 1]. Ası que, S0 = −1, 1 tienedos puntos y necesitamos fijar uno de ellos, digamos 1 como el punto base. Six0 es el punto base en X y α : S0 → X es una funcion punteada con α(1) =x0 y α(−1) ∈ X un punto cualquiera, tenemos entonces una biyeccion entreel conjunto de funciones punteadas C∗(S

0,X) y X viala funcion α 7→ α(−1).

Si α, β ∈ C∗(S0,X) son tales que α ' β, esto significa que existe

H : S0 × [0, 1] → X tal que H0(−1) = α(−1) y H1(−1) = β(−1) para−1 ∈ S0, Ht(1) = x0 pata todo t ∈ [0, 1] y, H(−1, ) : [0, 1] → X conH(−1, )(t) = H(−1, t) es continua con H(−1, 0) = α(1) y H(−1, 1)) =β(1), i.e., H(−1, ) es un camino en X de α(1) a β(1). Por tanto, α ' β

GUSTAVO


implica que estan en la misma componente conexa por caminos de X, conlo que Π0(X) es la ya conocida coleccion de componentes.

Segunda presentacion

Otra presentacion de Πn(X) es la siguiente. Si In es el cubo unidad n–dimensional, es decir, el producto de n copias del intervalo unidad [0, 1], sufrontera ∂In ⊆ In es el subespacio consistente de los puntos que tienen almenos una coordenada igual a 0 o 1.

Notese que para el caso n = 1 tenemos que ∂I1 = 0, 1 y fue sobreeste conjunto ∂I1 que definimos la homotopıa relativa en el caso del grupofundamental Π1(X).

Para un espacio X con punto base x0 definimos los n–lazos basados enx0, como las funciones f : (In, ∂In)→ (X,x0).

Definimos una operacion + entre n–lazos que generaliza el caso n = 1en Π1(X) (ver definicion 3.80), como el nuevo n–lazo:

f + g =

f(2x1, x2, . . . , xn) 0 ≤ x1 ≤ 1

2

g(2x1 − 1, x2, . . . , xn)12 ≤ x1 ≤ 1

Dos n–lazos f y g basados en x0 se dicen homotopos f ' g si existe unahomotopıa H : [0, 1] × [0, 1]n → X, i.e., para cada x ∈ [0, 1]n se tiene queH(0,x) = f(x), H(1,x) = g(x) y ademas H(t,x) = x0 para cada x ∈ ∂In,t ∈ [0, 1].

Por supuesto, la relacion ' es de equivalencia sobre el conjunto de losn–lazos basados en x0, y se verifican los siguientes hechos:

1. Si f ' f ′ y g ' g′ entonces g + f ' g′ + f ′,

2. (g + f) + h ' (g + f) + h,

3. La funcion constante cx0: [0, 1]n → X satisface cx0

+ f ' f + cx0' f .

4. Para f r(x1, . . . , xn) = f(1 − x1, . . . , xn) se tiene que f ' g implicaf r ' gr.

5. f + f r ' f r + f ' cx0.

GUSTAVO

RUBIANO 4.5. ΠN (X), UNA GENERALIZACION 137

Demostracion. Las demostraciones se siguen de manera similar al caso delgrupo fundamental, pero teniendo cuidado de trabajar sobre la primera coor-denada x1 del punto x. A manera de ejemplo demostramos el item 1 tomandocomo referencia la homotopıa construida en la proposicion 4.12. Si F : f ' f ′y G : g ' g′ definimos

H((x1, . . . , xn), t) =

F ((2x1, x2, . . . , xn), t), si 0 ≤ x1 ≤ 1

2 ,

G((2x1 − 1, x2, . . . , xn), t), si 12 ≤ x1 ≤ 1.

La operacion f + g pasa al cociente si definimos la multiplicacion de clasescomo [f ] + [g] = [f + g], y en este caso tenemos una estructura de grupoabeliano —esta es la razon por la que hemos elegido la notacion + para laoperacion— sobre

Πn(X,x0) := [(In, ∂In), (X,x0)].

Como por paso al cociente tenemos el homeomorfismo In/∂In ≈ Sn, lasfunciones f : (In, ∂In) → (X,x0) son lo mismo que las funcionesα : (S1,1) → (X,x0) puesto que el punto base 1 = ∂In/∂In va en x0.Esto reconcilia las dos presentaciones que hemos dado para Πn(X,x0).

Re–visemos, desde este punto de vista, el caso n = 0. Π0(X,x0) es denuevo el conjunto da las componentes conexas por caminos ya que I0 es unpunto y ∂I0 = ∅.

Para n ≥ 2 el grupo Πn(X,x0) resulta ser abeliano y es por supuesto uninvariante topologico.

El calculo de los grupos Πn(X,x0) es una dura tarea en matematicas.Aun sobre espacios simples como las esferas Sn, este es un problema abierto.A manera de ejemplo hacemos algunos comentarios.

Si n > 1, entonces Πi(Sn) = 0 para i < n.

Πn(Sn) = Z.

Sobre Πi(Sn) para i > n hay mucho por decir; a manera de ejemplo

Π3(S2) = Z fue calculado por Heinz Hopf en los anos 1930 y representa

el interes por la teorıa de homotopıa. En general, Πi(Sn) es “general-

mente” no nulo si i > n.

Por supuesto, la construccion de Πn(X,x0) es functorial en el sentido quetenemos homomorfismos inducidos a partir de funciones punteadas entre

GUSTAVO


i/n

→

i

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

n ↓ 1 Z 0 0 0 0 0 0 0 0 0 02 0 Z Z Z2 Z2 Z12 Z2 Z2 Z3 Z15 Z2

3 0 0 Z Z2 Z2 Z12 Z2 Z2 Z3 Z15 Z2

4 0 0 0 Z Z2 Z2 Z × Z12 Z2 × Z2 Z2 × Z2 Z24 × Z2 Z15

5 0 0 0 0 Z Z2 Z2 Z24 Z2 Z2 Z30

6 0 0 0 0 0 Z Z2 Z2 Z24 0 Z2

7 0 0 0 0 0 0 Z Z2 Z2 Z24 08 0 0 0 0 0 0 0 Z Z2 Z2 Z24

Cuadro 4.2: Πi(Sn) [Toda, Composition Methods in Homotopy Groups of Spheres]

espacios; es decir, dada h : X → Y tenemos que h induce (de maneranatural) una funcion h∗ entre los grupos

h∗ : Πn(X,x0) −→ Πn(Y, y0)

definida por h∗([f ]) = [h f ].

GUSTAVO

RUBIANO Capıtulo 5

Espacios recubridores

Contenido

5.1. Teoremas de levantamiento de caminos . . . . . 1355.2. Homomorfismos inducidos por proyecciones re-

cubridoras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1405.2.1. Criterio para el levantamiento de funciones. . . . . 144

5.3. Clasificacion de los recubrimientos sobre un es-pacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

Cuando calculamos el grupo Π1(S1) utilizamos un espacio recubridor de la

circunferencia S1. Este espacio fue R por medio de la funcion p : R −→ S1

la cual visualizamos como la proyeccion de una helice infinita que yace sobrela circunferencia, cubriendola.

La definicion de un espacio recubridor sera la generalizacion de esteejemplo y de sus propiedades; de suerte que, algunos de los hechos queprobamos para la funcion p (por ejemplo, los levantamientos de caminos yde homotopıas) seran validos en la teorıa general, y por tanto tendremosmas herramientas para calcular grupos fundamentales. Ası como R es mas“sencillo” que S1, en general, los espacios que cubren seran mas sencillosque los espacios cubiertos aunque localmente sean similares. Ademas, seenriquecera la relacion entre el algebra y la topologıa.

La teorıa de espacios de recubrimiento es una teorıa clasica y hermosa,cuyos orıgenes estan tanto en el analisis como en la topologıa. ¿Por que in-cluir este tema en un texto sobre topologıa y algebra? La razon es algomas bien sorprendente: la clasificacion de los espacios recubridores de un

139

GUSTAVO

RUBIANO 140 CAPITULO 5. ESPACIOS RECUBRIDORES

espacio X dado depende sobre el grupo fundamental Π1(X,x0): hay tantosespacios recubridores diferentes como subgrupos diferentes tenga Π1(X,x0).Otra oportunidad es la de poder efectuar algunos calculos de grupos funda-mentales.

Definicion 5.1. Un espacio recubridor o recubrimiento de un espacioX es un espacio X (lo notamos ası, para recordar que la ˜ cubre a X)junto con una funcion continua p : X −→ X sobreyectiva (p es la funcionrecubridora, X el espacio base) la cual localmente alrededor de cadapunto del espacio base X luce esencialmente como la funcion canonica deuna union disyunta de copias del espacio sobre el original. Esta propiedad

p

U × A

U|

1

local se define formalmente como:

Existe un recubrimiento abierto Uαα de X tal que para cada α, elconjunto p−1(Uα) es una union disyunta de conjuntos abiertos en X , cadauno de los cuales es enviado de manera homeomorfa sobre Uα, i.e.,

1. p−1(Uα) =⋃i∈I

Uαicon Uαi

∩ Uαj= ∅ para i 6= j.

2. p|Uαi: Uαi

≈ Uα (homeomorfismo local).

Dicho de otra manera, para cada x ∈ X existe una vecindad abiertaUx (llamada vecindad elemental) tal que p−1(Ux) = ΣUj, (j ∈ J) esuna union disyunta de conjuntos (llamados las sabanas sobre los Uj) conp(Uj) ≈ Ux —localmente la preimagen de Ux es union disyunta de copias deUx, es decir, p−1(Ux) ≈ Ux×(conjunto discreto)—; este conjunto discreto esprecisamente p−1(x).

Definicion 5.2. Si p : X −→ X es un recubrimiento, el cardinal # p−1(x)de una fibra sobre x es llamado la multiplicidad del cubrimiento en elpunto x.

GUSTAVO

RUBIANO 141

La multiplicidad es obviamente localmente constante y si la base X delcubrimiento es conexa entonces es globalmente constante, i. e., el cardinalde las fibras es el mismo, y se puede hablar del numero de hojas delcubrimiento.

Ejemplo 5.3 (Recubrimiento trivial). Si X es un espacio topologico yD es un espacio discreto, entonces la funcion proyeccion p : X = D×X → Xcon p(d, x) = x es un recubrimiento.

Ejemplo 5.4. p : R −→ S1 con p(t) = (cos 2πt, sen 2πt). El cubrimientoUαα∈1,2 utilizado en la demostracion del teorema 4.23 consistio de launion de dos arcos abiertos cuya union era S1 y p−1(Uα) era una unioninfinita de intervalos abiertos disyuntos homeomorfos a Uα. Este en un cu-brimiento con un numero infinito y enumerable de hojas.

Ejemplo 5.5. Si X ≈ X —homeomorfos— entonces X es un espacio derecubrimiento de una sola hoja.

Ejemplo 5.6. La proyeccion natural q : Sn → RPn esun espacio de recubrimiento de dos hojas. De maneraparticular dibujamos el caso n = 2, donde mostramosun abierto fundamental U del espacio base y su res-pectivo recubrimiento por dos hojas (ver el ejemplo5.27 para el calculo de su grupo fundamental). U

Ejemplo 5.7. Para cada n ∈ N definimos la funcion pn : S1 −→ S1 comopn(z) = zn para z ∈ C con ‖z‖ = 1. Si en R2 utilizamos coordenadas polares(r, θ) la circunferencia esta definida por la condicion r = 1 y la funcion sepuede describir como pn(1, θ) = (1, nθ).

Todo intervalo abierto de S1 es una vecindad elemental y se tiene unrecubrimiento de n–hojas. Por supuesto esta funcion no la podemos realizaren un mundo tridimensional pero sı la podemos visualizar como la proyeccionen R3 de una circunferencia que se enrolla n-veces alrededor de un cilindroque se intercepta en n − 1 puntos, pero uno “piensa” que no se intercepta(como en la botella de Klein).

Ejemplo 5.8. Si p : X −→ X y q : Y −→ Y son funciones de recubrimiento,entonces p × q : X × Y −→ X × Y es una funcion de recubrimiento. Enefecto, el producto de vecindades elementales es una vecindad elemental, con(p × q)−1(Vx × Vy) =

⋃(α,β) Vα × Vβ donde p−1(Vx) =

⋃α Vα y q−1(Vy) =⋃

β Vβ.

GUSTAVO


"#$"#%

&&&&&&

Figura 5.1: pn : S1 −→ S1 con pn(z) = zn.

Las siguientes funciones son recubridoras del toro T = S1 × S1:

1. La funcion p× p : R×R→ S1 × S1 donde p es la funcion recubridoradel ejemplo 5.4.

Notese que cada uno de los cuadrados (como en el ejemplo de la pagina59) se enrollan para formar un toro.

-3 -2 -1 0 1 2 3-3

-2

-1

0

1

2

3

Figura 5.2: Un espacio de recubrimiento para S1 × S1.

2. La funcion p× idS1 : R× S1 → S1 × S1.

3. La funcion idS1 × idS1 : S1 × S1 → S1 × S1.

4. La funcion pn × pm : S1 × S1 → S1 × S1 con (z,w) 7→ (zn, wm).

Ejemplo 5.9. Una fuente natural y de hecho un metodo de construccionde espacios de recubrimiento esta dado por las acciones de grupos sobre

GUSTAVO

RUBIANO 143

espacios topologicos; exactamente, las llamadas propiamente discontinuas.Por ejemplo µ : Z × R → R con µ(n, x) = n + x. De R/Z ≡ S1 tenemosΠ1(R/Z) = Π1(S

1).

Ejemplo 5.10. Las figuras 5.4 y 5.3 muestran dos espacios recubridores delespacio 8 = S1 ∨ S1 formado por las dos circunferencias A y B y el punto qen comun.

Figura 5.3: Un cubrimiento de tres sabanas

En la segunda figura 5.4, la proyeccion p enrolla la primera circunferencia(de izquierda a derecha) en X una vez alrededor de la circunferencia A, lasegunda dos veces alrededor de B, la tercera dos veces al rededor de A, yası sucesivamente, como se indica. Notese que la fibra en cada punto x ∈ Xconsta exactamente de cuatro puntos y que se trata de un cubrimiento decuatro hojas.

X =

A B

2B

q

Wx

p

U1

U3

U2 U4

Figura 5.4: Wx es una vecindad elemental y Ui, i = 1, 2, 3, 4 son sus vecindadeshomeomorfas.

Ejemplo 5.11. Si p : X −→ X es una funcion recubridora, X0 es un sub-espacio de X y X0 = p−1(X0), entonces la restriccion p0| : X0 −→ X0 estambien una funcion recubridora.

GUSTAVO


En efecto, las intersecciones se comportan bien; esto es, dada en X unavecindad elemental Vx0

de un punto x0 ∈ X0, tenemos que Vx0∩X0 lo es en

X0 y ademas

p−1(Vx0∩X0) = p−1(Vx0

) ∩ p−1(X0) = (∪αVα) ∩ X0 =⋃

α

(Vα ∩ X0).

Si en el ejemplo 5.8.1 consideramos el subespa-cio X0 = (S1×x0)∪ (x0×S1) donde x0 = p(0),i. e. X0 es la figura ocho de la grafica formadapor las dos circunferencias, entonces la cuadrıcu-la mostrada en la figura 5.2 es un recubrimientode la figura “8”.

Proposicion 5.12. Dado un recubrimientop : X −→ X, para cada x ∈ X el subespaciop−1(x) (la fibra sobre x) tiene la topologıa dis-creta.

Demostracion. Como cada Uj ∈ p−1(Ux) esabierto por definicion, se tiene que p−1(x)∩Uj =x es un abierto para la topologıa de subespaciode la fibra.

p

Teorema 5.13. Para cada recubrimiento p : X −→ X la funcion p esabierta.

Demostracion. Dado U ⊆ X un abierto, veamos que p(U) es abierto en X.Dado x ∈ p(U), sea Ux una vecindad elemental. Para cada x ∈ p−1(x) ∩ Utenemos que x ∈ p−1(Ux) y por tanto existe una rebanada Uαi

para la cualx ∈ Uαi

. Como U ∩Uαies un abierto en Uαi

y p|Uαi: Uαi

≈ Ux tenemos quep(U ∩Uαi

) es un abierto de U y por tanto de X y, como p(U ∩Uαi) ⊆ p(U)

entonces p(U ∩ Uαi) es una vecindad de X contenida en p(U).

En general, los homeomorfismos locales f : M → X (cada punto m ∈Mtiene una vecindad abierta Vm tal que f(Vm) es abierto y f |Vm : Vm → f(Vm)es un homeomorfismo) son funciones abiertas y hacen que el espacio M en el

GUSTAVO

RUBIANO 5.1. TEOREMAS DE LEVANTAMIENTO DE CAMINOS 145

dominio herede las propiedades topologicas que son locales en el codominioX (conexidad local, compacidad local, etc.). Si ademas f es sobreyectiva, Xtambien hereda las propiedades locales de M .

Corolario 5.14. Para cada recubrimiento p : X −→ X la funcion p es unafuncion cociente; esto es, la topologıa sobre X es la topologıa cociente conrespecto a p.

Demostracion. En efecto, p es continua, abierta y sobreyectiva; por tantoV ⊆ X es abierto si y solo si p−1(V ) es abierto en X.

Ejemplo 5.15. El hecho de que una funcionf : M → X sea un homeomorfismo local so-breyectivo no implica que tenemos un recubri-miento del espacio X. Por ejemplo, si M es elintervalo abierto (0, 2) ⊂ R y X = S1 la funcionf(x) = exp(x) : (0, 2) → S1 no garantiza la exis-tencia de vecindades elementales para el punto1 ∈ S1 y por tanto no se trata de una funcionde recubrimiento.

f'()

5.1. Teoremas de levantamiento de caminos

El buen comportamiento de los espacios recubri-dores con respecto a los levantamientos es una desus cualidades. Recordemos que dado un recu-brimiento p : X −→ X un levantamiento de unafuncion continua f : Y −→ X es una funcioncontinua f : Y −→ X tal que p f = f .

X

Y X?p

p

p

p

p

p

p

pf

-f

Por supuesto no toda funcion tiene porque admitir levantamientos; porejemplo, la funcion id : S1 → S1 no admite un levantamiento con respectoal recubrimiento p : R → S1 con p(x) = e2πix. En otras palabras, no existeuna funcion continua g : S1 → R tal que p g = idS1.

Veremos que, con respecto a los caminos en el espacio base, sı podemosestar tranquilos.

En general sabemos que si p : X −→ X es un espacio de recubrimiento yg : [0, 1] −→ X es un camino en X , entonces pg es un camino en X. Ahora,

GUSTAVO


en cuanto a homotopıas tenemos que, si g0, g1 : [0, 1] −→ X con g0 ' g1entonces p g0 ' p g1.

Podemos preguntarnos por una especie de resultado inverso, es decir,

Si f : [0, 1] −→ X es un camino en X, ¿existe un camino g : [0, 1] −→X (levantamiento de f) tal que p g = f?

Si g0, g1 : [0, 1] −→ X y p g0 ' p g1 ¿podemos concluir que g0 ' g1?

En efecto, la respuesta a estas preguntas es afirmativa, y esta dada por dosteoremas.

Teorema 5.16 (Levantamiento de caminos). Sean p : X −→ X unrecubrimiento y f : [0, 1] −→ X un camino con punto inicial f(0) = x0.Dado un punto x0 en la fibra de x0 —x0 ∈ p−1(x0)— existe entonces ununico camino f : [0, 1] −→ X comenzando en x0 y que levanta a f , i.e.p f = f . (Una vez fijemos el punto inicial sobre x0, esto es a x0, el caminoes entonces levantado de manera unica).

•

•

ff

x0

•

•

x0

f

1

Figura 5.5: Construccion del levantamiento

Demostracion. Si el camino f esta contenido en una vecindad elementalUα no hay ningun problema para obtener el levantamiento, puesto que siV ∈ p−1(Uα) es tal que x0 ∈ V entonces la restriccion p |V : V ≈ Uα nosproduce el levantamiento al tomar p |−1

V f .

Como f en general no esta contenida en una unica vecindad elementalUα entonces procedemos de la manera siguiente: f se puede expresar como el

GUSTAVO


producto de caminos mas cortos, con la propiedad de que cada uno de ellosesta contenido en una vecindad elemental (teorema de Lebesgue) y entoncescomo en el caso anterior, levantamos a cada uno de estos pedazos de manerasucesiva y teniendo en cuenta que se peguen “bien”, es decir, cuidando lacontinuidad.

La unicidad se sigue del hecho siguiente, el cual nos dice que: si doselevaciones desde un espacio conexo en un espacio de recubrimiento se tocanen un punto, entonces son iguales.

Proposicion 5.17 (El levantamiento es unico). Sean p : X −→ Xun cubrimiento y una funcion continua f : Y −→ X la cual admite doslevantamientos f1, f2 : Y → X. Si Y es conexo y f1(y0) = f2(y0) para algunpunto y0 ∈ Y entonces f1 = f2.

Demostracion. Mostremos que A = y ∈ Y |f1(y) = f2(y el conjunto dondelas dos funciones coinciden es un aberrado, y por ser no vacıo debe serentonces todo Y .

Dado y ∈ Y , consideremos una vecindad elemental U ⊆ X de f(y), esdecir, p−1(U) es una union disyunta de abiertos Uα cada uno de los cualeshomeomorfo a U por medio de la restriccion de p, y sean U1 y U2 dos detales abiertos conteniendo a f1(y) y f2(y), respectivamente.

Por la continuidad de f1 y f2 existe una vecindad Ny (la interseccion)

tal que f1(Ny) ⊆ U1 y f2(Ny) ⊆ U2.

Si y /∈ A, entonces U1 6= U2 y por tanto disyuntas con lo cual f1(Ny) ∩f2(Ny) = ∅ lo que implica que Ny ⊆ Ac, es decir A es cerrado.

Si y ∈ A, entonces U1 y U2 se interceptan con lo que U1 = U2 y por tantof1 = f2 sobre Ny ya que p f1 = p f2 = f y p es inyectiva sobre U1 = U2.Por consiguiente A es tambien abierto.

El lema anterior nos da existencia y unicidad para levantar un camino en unespacio base de un recubrimiento. Ahora, es importante conocer el comporta-miento cuando “existen parametros adicionales”, es decir, cuando se trata delevantar toda una familia de funciones, esto es, una homotopıa H : Y × [0, 1]→X, y de manera analoga, a cambio de un unico punto y0 como punto inicial,con y0 en la fibra de f(0), tenemos toda “una funcion continua como puntoinicial” h0 : Y → X sobre h0, es decir p h0 = h0.

GUSTAVO


Yy

h0

h0

Problema a evitar

Figura 5.6: El “buen comportamiento” para el levantamiento de homotopıas.

Ahora, si para cada y ∈ Y fijo, levantamos el correspondiente caminohy : y × I → X en el punto inicial dado por h0(y), obtenemos toda

una funcion H : Y × [0, 1] → X. La pregunta es si H puede fallar en sercontinua. La respuesta es que H es continua. Para probarlo utilizamos unatecnica similar a la empleada en el caso del recubrimiento p : R→ S1.

Teorema 5.18 (Levantamiento unico de homotopıas). Dados un es-pacio de recubrimiento p : X −→ X, un espacio topologico Y localmenteconexo, una homotopıa H : Y × [0, 1] → X y un levantamiento h0 : Y → Xde h0, entonces existe una unica homotopıa H : Y × [0, 1]→ X que levantaa H y ademas H0 = h0 (comenzando en el camino h0).

Demostracion. Notese que para cada y ∈ Y la funcion

H|y×I := hy : [0, 1]→ X con hy(t) = H(y, t) = ht(y)

es un camino en X que comienza en h0(y), y de acuerdo con el teorema 5.16puede ser levantado de manera unica a un camino en X que comience enh0(y). Veamos entonces que la funcion H : Y × [0, 1]→ X , con (y, t) 7→ hy(t)formada por los levantamientos de cada uno de los caminos hy y comenzando

en h0(y) es continua (ver figura 5.8).

GUSTAVO


Por definicion, pH = H; el problema es mostrarla continuidad. La demostracion se basa en elhecho de que, para cada punto y ∈ Y existe unavecindad Ny tal que sobre la vecindad Ny×I (un

tubo alrededor de y×I) la funcion H|Ny×[0,1] :

Ny × [0, 1] → X es continua y por tanto H :

Y ×[0, 1]→ X lo es, al serlo sobre cada miembrode un cubrimiento abierto de Y × [0, 1]. y0

Y

I

It

Sea U = Uαα el cubrimiento por vecindades elementales de X. Dadoun punto y0 ∈ Y para cada t ∈ [0, 1] sean It = (at, bt) una vecindad det y Nt una vecindad conexa de y0 tales que la vecindad producto Nt × Itsatisface H(Nt × It) ⊆ Uα para algun Uα ∈ U (continuidad de H en (y, t)).Como y0 × I es compacto, finitos productos de la forma Nti × Iti cubrena y0× I. Sean Nti las correspondientes vecindades de y0 para estas finitasvecindades Iti . Sean N una vecindad conexa de y0 tal que Y ⊆ ⋂n

i=1Nti yδ es el numero de Lebesgue para el cubrimiento abierto Itini=1, existe unaparticion 0 = a0 < a1 < . . . < an = 1 del intervalo [0, 1] tal que ai+1−ai < δ,y por tanto H(N × [ai, ai+1]) esta contenida en alguna vecindad elementalUα la cual denotamos por Ui+1.

Como p h0 = h0 y N × 0 es conexo, h0(N × 0) esta contenido enuna unica componente (son disyuntas) U1 de p−1(U1) y entonces H(N ×[a0, a1]) ⊆ U1. Ahora, p |

U1proyecta de manera homeomorfa U1 en U1 y por

tanto la funcion F : N × [a0, a1] → X dada por F (y, t) = p |−1U1H(y, t)

esta bien definida y es continua.

Ahora (y de manera constructiva) extendemos la definicion de F al in-tervalo [0, a2], esto es, a N × [0, a2]. Seleccionamos una vecindad elementalU2 en X tal que

H(N × [a1, a2]) ⊆ U2 y

F (N × a1) ⊆ U2 para U2 componente de p−1(U2).

F puede ser extendida a N × [a1, a2] si definimos F (y, t) = p |−1U2H(y, t).

Notese que en el punto de interseccion t = a1 las dos definiciones por Fcoinciden. Repitiendo este proceso para cada intervalo [ai, ai+1], obtenemosuna funcion F : N × [0, 1] → X con la propiedad que F (y, t) = hy(t) para

cada y ∈ N y t ∈ I. Por tanto, F = H|N×I , y como F es continua, ası lo esH.

GUSTAVO


Corolario 5.19. Sean p : X −→ X un espacio de recubrimiento, x0 ∈ X,x0 ∈ p−1(x0). Si H : f ' g rel0, 1 : I → X son caminos homotopos conpunto inicial x0 y f , g : I → X son sus levantamientos comenzando en elmismo punto x0 entonces f ' g, y tienen el mismo punto final f(1) = g(1).

Demostracion. La restriccion de la homotopıa H|1×[0,1] : 1 × [0, 1] →p−1(x0) dada por t 7→ ht(1) es una funcion continua que llega a la fibradiscreta y por tanto se trata de una funcion constante.

5.2. Grupo fundamental y espacios recubridores

X

↓

X

Figura 5.7: Los levantamientos de caminos homotopos llegan al mismo punto de lafibra, f(1) = g(1).

5.2.1. Homomorfismo inducido por una proyeccion recubri-dora.

Lema 5.20. Sea p : (X, x0) −→ (X,x0) un espacio de recubrimiento. En-tonces la funcion

ϕ : Π1(X,x0)→ p−1(x0) dada por ϕ([α]) = α(1)

donde α es el unico levantamiento de α con la condicion α(0) = x0.

GUSTAVO

RUBIANO 5.2. GRUPO FUNDAMENTAL Y ESPACIOS RECUBRIDORES 151

Demostracion. Tomemos y ∈ p−1(x0). Existe un camino β de x0 a y ya queX es conexo por caminos. Sea α = p β, con lo que β = α por la unicidaddel levantamiento, y por tanto ϕ([α]) = β(1) = y.

La siguiente proposicion generaliza la situacion entre Π1(S1), R y Z.

Proposicion 5.21. Sea p : (X, x0) −→ (X,x0) un espacio de recubri-miento con (X, x0) simplemente conexo. Entonces existe una biyeccion ϕ :Π1(X,x0)→ p−1(x0).

Demostracion. Definimos ϕ([α]) = α(1). Por el lema, solo nos resta ver lainyectividad. Sean ϕ([α]) = ϕ([β]) = y ∈ p−1(x0), es decir, α(1) = β(1) = y.Como X es simplemente conexo tenemos que [α β−1] = [cx0

] y por tanto

α = β con lo que p α = p β, i.e., α ' β luego [α] = [β].

El siguiente corolario presenta otra demostracion de un hecho que yaconocemos: la cardinalidad de las fibras es constante si x recorre al espaciobase. Esta cardinalidad es llamada el numero de hojas o la multiplicidaddel cubrimiento.

Corolario 5.22. Si p : X −→ X un espacio de recubrimiento entonces paracada x ∈ X, los conjuntos p−1(x) tienen la misma cardinalidad.

Demostracion. Supongamos que x0, x1 ∈ X y sea f : [0, 1] → X un caminoque los conecta. Si x0 ∈ p−1(x0) podemos levantar f a f : I → X conf(0) = x0. Si definimos x1 = f(1) ∈ p−1(x1) entonces tenemos una biyeccionu : p−1(x0)→ p−1(x1) cuya inversa se construye al levantar a f r.

El siguiente resultado muestra que el grupo fundamental de un espaciorecubridor puede verse, en cierto sentido, como un subgrupo del grupo fun-damental del espacio base. Por supuesto la eleccion del punto base en Xsera fundamental.

Proposicion 5.23. Sean p : X −→ X es un espacio de recubrimiento,x0 ∈ X, y x0 ∈ p−1(x0). Entonces el homomorfismo de grupos inducido

p∗ :∏

1(X, x0) −→∏

1(X,x0)

es un monomorfismo. El subgrupo p∗(Π1(X, x0)) es notado como G(X, x0) ≤Π1(X,x0) (si no es necesario especificar a p) y lo llamamos el subgrupo

caracterıstico del cubrimiento.

GUSTAVO


Demostracion. Veamos que el nucleo del homomorfismo es el subgrupo tri-vial. Sea p∗[f ] := [p f ] = 1 ∈ ∏1(X,x0). Existe entonces una homotopıaH : p f ' cx0

de caminos cerrados en x0 entre p f y el camino constantecx0

. Si levantamos H a una homotopıa H con puntos fijos en x0 entonces

H0 = f y H1 es un levantamiento del camino constante cx0, y por tanto

tambien es constante. Luego, [f ] = 1 ∈∏1(X, x0).

Esta proposicion puede ser vista como una condicion necesaria para queun espacio pueda ser recubrimiento de un espacio X. Aun mas, es el primerpaso en la clasificacion de espacios de recubrimiento sobre un espacio fijo,teorema 5.31.

Si en la proposicion anterior cambiamos el punto tomado en la fi-bra ¿que efecto se produce en los subgrupos caracterısticos G(X , x0),G(X, x1) para x0, x1 ∈ p−1(x0)?

¿De que informacion topologica puede proveernos el subgrupo carac-terıstico?

De aquı en mas (y como es usual en varios textos) asumimos que los espaciosX y X involucrados en la definicion de p : (X, x0) −→ (X,x0) con conexos porcaminos, X es localmente conexo por caminos y punteados con x0 ∈ p−1(x0).

El siguiente teorema de conjugacion, muestra que el subgrupoG(X, x0)puede cambiar si varıa el punto base x0 tomado en p−1(x0), pero el cambiono es demasiado, no nos salimos de la clase de conjugacion (definicion 2.14).

Teorema 5.24 (Conjugacion). Sea p : X → X un espacio de recubri-miento. El conjunto

C = G(X, x) : x ∈ p−1(x0)

forma una clase conjugada completa de subgrupos de Π1(X,x0). Es decir(ver definicion 2.14):

1. Si x0, x1 ∈ p−1(x0), para los subgrupos G(X, x0), G(X, x1) existe unelemento g ∈ Π1(X,x0) tal que G(X, x0) = g−1G(X, x1)g.

Recordemos que

G(X, x0) = p∗(Π1(X,x0))

= [µ] : [µ] ∈ Π1(X,x0) y [µ] = p∗([%]) para [%] ∈ Π1(X, x0).

GUSTAVO

RUBIANO 5.2. GRUPO FUNDAMENTAL Y ESPACIOS RECUBRIDORES 153

2. Si C ∈ C y g ∈ Π1(X,x0), entonces g−1Cg ∈ C.

3. Cada subgrupo conjugado de G(X, x0) en Π1(X,x0) es de la formaG(X, x1) para x1 ∈ p−1(x0).

Demostracion. Primero veamos que C es una clase conjugada de subgrupos.Supongamos que G(X, x0), G(X, x1) ∈ C.

Sea τ : I → X un camino que conecta a x0 conx1 con lo que p τ es un camino en X cerradoen x0; ademas, [p τ ]−1 = [p τ r]. Mostremosque para g = [p τ ] se tiene que G(X, x0) =g−1G(X, x1)g. Para ello, dado [α] ∈ Π1(X, x0),entonces para [β]:=Tτ [α] = [τ ατ r ] ∈ Π1(X, x1)se tiene que x0

x0

x1

τ

↓p

p∗([β]) = p∗([τ ατr]) = [pτ ][pα][pτ r ] = [pτ ][pα][pτ ]−1 = gp∗([α])g−1

con lo que los subgrupos G(X, x0), G(X, x1) son conjugados y seran igualessi g ∈ N [G(X, x0)] en Π1(X,x0) (ver definicion de normalizador en la pagina13).

El diagrama 5 de la pagina 108 se aplica en esta situacion y nos produceel siguiente diagrama donde Tτ y Tpτ son isomorfismos

Π1(X, x0) Π1(X,x0)

Π1(X, x1) Π1(X,x0)

-p∗

?

≈

?

Tτ

?

Tpτ

?

≈

-p∗

Supongamos ahora que, p∗(Π1(X, x)) ∈ C y g = [β] ∈ Π1(X,x0). El caminoβ tiene un unico levantamiento τ = β que comienza en x terminando enalgun punto x1 ∈ p−1(x0). Entonces

g−1p∗(Π1(X, x))g = p∗(Π1(X, x1)) ∈ C

ya que si [α] ∈ Π1(X, x), entonces g−1p∗([α])g = p∗([τrατ ]) ∈ p∗(Π1(X, x1))

y de manera contraria, si [γ] ∈ Π1(X, x1), entonces para [α] = [τ α τ r] severifica que p∗([γ]) = g−1p∗([α])g.

GUSTAVO


Finalmente, sea g−1G(X, x0)g un subgrupo conjugado con g ∈ Π1(X,x0).Si g = [α] para un camino cerrado α : I → X, entonces α es un cami-no en X con punto inicial x0 y digamos que con punto final x1. EntoncesG(X, x1) = g−1G(X, x0)g.

Como en esta seccion hemos asumido que los espacios son conexos porcaminos, una clase importante de espacios recubridores es la siguiente.

Definicion 5.25. Un espacio de recubrimiento p : X → X se llama regularo normal si el subgrupo caracterıstico G(X, x0) resulta ser un subgruponormal en Π1(X,x0). Notese que la condicion es independiente de la elecciondel punto base x0 y del punto en la fibra x0 ∈ p−1(x0).

La siguiente proposicion muestra el inicio de una estrecha y hermosa rela-cion entre el algebra y la topologıa que guarda la teorıa de los espacios derecubrimiento.

Proposicion 5.26. El numero de hojas de un recubrimiento p : (X, x0) −→(X,x0) es igual al ındice de G(X, x0) en Π1(X,x0). (Ver definicion 2.6)

Demostracion. Sean g un camino en X cerrado en el punto x0, y g su le-vantamiento con punto inicial x0. Por comodidad notemos H := G(X, x0) ydefinamos una funcion

Φ :Π1(X,x0)

H−→ p−1(x0) como H · [g] 7→ g(1)

la cual esta bien definida, pues para cada [h] ∈ H el producto h g tieneun levantamiento h g que termina en el punto g(1) ya que h es un caminocerrado. Podrıa pensarse que Φ(H · [g]) depende del representante de laclase [g], pero este no es el caso, pues si m ∈ [g], entonces m ' g(rel0, 1)implica m(1) = g(1) por el corolario 5.19.

La conexidad por caminos en X implica que Φ es sobreyectiva ya queel punto x0 puede ser unido a cualquier punto en p−1(x0) por medio de uncamino g que se proyecta —p(g) = g— en un camino g cerrado en x0.

Veamos finalmente que Φ es inyectiva. Si Φ(H ·[g1]) = Φ(H ·[g2]) entoncesg1(1) = g2(1) con g1(0) = g2(0) = x0 y p g1 = g1 y p g2 = g2. Por tanto,g1r g2 es un camino cerrado en x0, lo que implica que

[p (g1r g2)] = [(p g1)r] [p g2] = [g1]

−1[g2] ∈ p∗(Π1(X, x0)) = H

y ası H[g1] = H[g2].

GUSTAVO

RUBIANO 5.3. CRITERIO PARA LA EXISTENCIA DE LEVANTAMIENTOS 155

Ejemplo 5.27. Por el ejemplo 5.6, la proyeccion natural q : Sn → RPn esun espacio de recubrimiento de dos hojas. Como π1(S

n) = 0, la proposicionanterior implica que el grupo fundamental del espacio proyectivo para n > 1debe constar de dos elementos, es decir, Π1(RPn) ≈ Z2.

5.3. Criterio para la existencia de levantamientos

Con respecto al levantamiento de funciones que son caminos o homo-topıas, los espacios de recubrimiento tienen un buen comportamiento.

Pero con respecto a funciones mas generales, no toda funcion tiene porque admitir levantamientos; por ejemplo, la funcion id : S1 → S1 no admiteun levantamiento con respecto al cubrimiento p : R → S1 con p(x) = e2πix.En otras palabras, no existe una funcion continua g : S1 → R tal quep g = idS1.

¿Que podemos decir entonces? En esta seccion responderemos a esta pre-gunta dando condiciones necesarias y suficientes para funciones con co-dominio en el espacio base. Este resultado mostrara como un problemageometrico (existencia de una funcion entre espacios topologicos) puede serresuelto enteramente en terminos algebraicos (contenencia de grupos).

Sean p : (X, x0) −→ (X,x0) un cubrimiento y p : (Y, y0) −→ (X,x0)una funcion continua. Si existiera un levantamiento f : Y → (X, x0) de ftal que p f = f , de manera automatica tenemos entonces un diagrama conrespecto a los grupos fundamentales y los homomorfismos inducidos:

(X, x0),

Y (X,x0)?

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

f

-f

Π1(X, x0),

Π1(Y, y0) Π1(X,x0)?

p∗

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p3f∗

-f∗

Por la conmutatividad del diagrama tenemos que

f∗(Π1(Y, y0)) = p∗(f∗(Π1(Y, y0))) ⊆ p∗(Π1(X, x0)) ⊆ Π1(X,x0)

luego,

f∗ envıa a Π1(Y, y0) dentro del subgrupo caracterıstico G(X, x0)es una condicion necesaria... pero de manera afortunada tambien resulta su-ficiente —nuevamente se entrelazan las preguntas topologicas con respuestas

GUSTAVO


algebraicas, y el grupo fundamental nos proporciona ası una condicion pararesolver un cierto problema de levantamiento—.

Teorema 5.28 (Fundamental de los espacios de recubrimiento).Sean p : (X, x0) −→ (X,x0) un cubrimiento, Y un espacio conexo y lo-calmente conexo por caminos. Una funcion continua f : (Y, y0) −→ (X,x0)admite un levantamiento f si y solo si f∗ envıa a Π1(Y, y0) dentro del sub-grupo caracterıstico G(X, x0), i.e.,

f∗(Π1(Y, y0)) ⊆ p∗(Π1(X, x0))

Demostracion. :) es inmediata, pues si f existe entonces f = pf implicaf∗ = p∗f∗ lo cual determina la contenencia.

Veamos que la condicion es suficiente, es decir definamos a f . Dadoy ∈ Y , lo conectamos a y0 por medio de un camino α : I → Y (Y es conexopor caminos de acuerdo con el teorema 3.87) y obtenemos ahora un camino

f α en X que comienza en x0 el cual tiene un unico levantamiento f αcomenzando en x0, y definimos f(y) como el punto final f α(1) de estecamino en X.

Ahora mostremos que f(y) no depende de la eleccion del camino α. Si β

es otro camino de y0 a y entonces f β(1) = f α(1). El camino α βr es uncamino en Y cerrado en y0, y por tanto f∗(α β

r) es un camino cerrado enx0. Luego f∗[α β

r] = [(f α) (f βr)] ∈ f∗(Π1(Y, y0)) y como por hipotesisf∗(Π1(Y, y0)) ⊆ p∗(Π1(X, x0)) entonces existe un camino h cerrado en x0

tal que [p h] = [f(α βr)].

Sean H : I × I → X una homotopıa (rel 0, 1) de h0 = p h ah1 = f(α βr) y por el teorema 5.18 sea H : I × I → X su levantamientotal que H0 = h y p(H1) = f (α βr) = (f α) (f βr). La restriccionH|1 × I es continua y por tanto conexa sobre la fibra, es decir constantea H(1, 1) = x0 lo que implica que H1 es un camino cerrado en x0 puesH1(1) = x0 = H1(0).

Por el levantamiento unico de caminos tenemos que la primera mitad del

levantamiento H1 debe ser f α y la segunda f β recorrida al contrario,

con el punto comun (f α)(1) = (f βr)(0) = (f β)(1).

Para ver que f es continua, necesitaremos de la conexidad local por ca-minos en Y . Dado y ∈ Y , sea Uf(y) ⊆ X una vecindad elemental con un

levantamiento Uf(y)⊆ X tal que la restriccion p : U → U es un homeo-

GUSTAVO

RUBIANO 5.3. CRITERIO PARA LA EXISTENCIA DE LEVANTAMIENTOS 157

x0

x0

y0

β

α

f α

f α

fWy

p

Uf(y)

Figura 5.8: Wy es una vecindad conexa por caminos y Uf(y) es una vecindad ele-mental.

morfismo. Por la continuidad y lo local de la conexidad existe Vy vecindadabierta y conexa por caminos tal que f(Ny) ⊆ U .

Para mostrar la continuidad de f veamos que tambien tenemos f(Vy) ⊆U . Dado un punto y′ en V , fijemos primero un camino α que conecte a y0

con y y a continuacion elegimos un camino τ en V que conecte a y con y′,de suerte que el camino α τ conecte a y0 con z en Y . Su imagen

f (α τ) = (f α) (f τ)

es un camino en X, el cual tiene como levantamiento a (f α) (f τ)donde (f τ) tiene punto inicial en x0. Como f τ([0, 1]) esta enteramente

contenida en U , su unico levantamiento satisface f τ = p−1(f τ) dondep−1 : U → U , y por tanto

f(z) = (f α f τ)(1) = f τ (1) ∈ U .

Mas aun, se tiene que f |V = p|−1U f |V .

Notese que por la proposicion 5.17, el levantamiento, en caso de existires unico.

GUSTAVO


Ya habıamos comentado que la funcion identidad id : S1 → S1 no selevanta a una funcion id : S1 → R con p id = id : S1 → S1 puestoque Z 0.

Si p5(z) = z5 (como en el ejemplo 5.7) con p5 : S1 → S1 entoncesp3 : S1 → S1 no posee un levantamiento p3 : S1 → S1 pues 3Z 5Z.

Si Pi1(Y, y0) = 0, entonces toda funcion f : Y → X se levanta af : Y → X . El caso particular en que Y = [0, 1] es el teorema delevantamiento unico de caminos.

En caso de que Π1(X,x0) = 0, entonces X no puede tener recubri-mientos diferentes de sı mismo.

En efecto, si p : X → X fuera uno, tendrıamos que la identidad id :X → X se levantarıa a s : X → X, i.e. p s = id. Si la fibra p−1(x0)tuviera al menos dos puntos x0, x1 sea σ un camino que los conecta.Entonces

s p σ : [0, 1]→ X → X → X

satisface p(s p σ) = (p s)(p σ) = p σ y por tanto σ y s p σson levantamientos de un mismo camino σ y por consiguiente debende ser iguales, lo que a su vez implica que σ es entonces un caminocerrado (pues p(x0) = p(x1)), y por tanto la fibra p−1(x0) tiene ununico elemento, o p : X → X es un homeomorfismo global.

Como ejemplo tenemos que los espacios euclidianos Rn no admitenrecubrimientos no–triviales.

5.4. Clasificacion de los recubrimientos sobre un

espacio

Dado un espacio X, denotemos por Cov(X ) lacategorıa cuyos objetos son los recubrimientosp : X → X y que tiene como morfismos lasfunciones ϕ : X1 → X2 tales que el siguientediagrama conmuta.

X1 X2

X

@@Rp1

-ϕ

p2

GUSTAVO

RUBIANO 5.4. CLASIFICACION DE LOS RECUBRIMIENTOS SOBRE UN ESPACIO 159

Notese que efectivamente la composicionϕ2 ϕ1 de dos morfismos es de nuevo un mor-fismo puesto que p3 (ϕ2 ϕ1)= (p3 ϕ2) ϕ1

=p2 ϕ1 = p1, y existe para cada objeto elmorfismo identidad id : X → X .

X1 X2 X3

X

@@

@@Rp1

-ϕ1 -ϕ2

?

p2

p3

Proposicion 5.29. Cada morfismo ϕ : X1 → X2 es sobreyectivo.

coinciden

x0

x1x

ϕ

X1 X2

h = p2 f = g

g = p2 f

f

p2p1

x2

y

ϕ h(1) = f(1)

Figura 5.9: Coinciden.

Demostracion. Sea y ∈ X2 y veamos que existe x ∈ X1 tal que ϕ(x) = y. Seax1 punto base en X1 y x2 = ϕ(x1) con x0 = p1(x1) = p2(x2) — recuerdeseque p2 ϕ = p1—. Tomemos un camino f en X2 con origen en x2 y extremo

en y. Si g es el camino g = p2 f en X, entonces el levantamiento h = p2 fcon punto inicial en x1 y con punto final, digamos x, satisface que tanto fcomo ϕ h tienen punto inicial en x2 y por tanto sus extremos (y todo porel teorema 5.16) deben coincidir ϕh(1) = f(1), es decir, ϕ(x) = y.

GUSTAVO


Proposicion 5.30. Sean ϕ1, ϕ2 : X1 → X2 dosmorfismos en Cov(X). Si ϕ1(t) = ϕ2(t) paraalgun t ∈ X1, entonces ϕ1 = ϕ2.

X1 X2

X

@@Rp1

-ϕ1

ϕ2

p p p p p p p p p p p p-ϕ1

p2

Demostracion. Por la proposicion 5.18 podemos ver a ϕ1, ϕ2 como dos le-vantamientos de la funcion p1 : X1 → X.

Como en toda categorıa podemos hablar de isomorfismos: un isomor-fismo entre los espacios de recubrimiento p1 : X1 → X y p2 : X2 → X es unmorfismo ϕ : X1 → X2 para el cual existe otro homomorfismo ψ : X2 → X1

tal que las composiciones ψ ϕ y ϕ ψ son los morfismos identidad, es de-cir, las funciones identidad para X1 y X2. En otras palabras, X1 y X2 sonequivalentes si existe un homeomorfismo ϕ : X1 → X2 tal que p2 ϕ = p1.

¿Cuando dos objetos en Cov(X ) son isomorfos? o en otras palabras, ¿cuandoexiste un isomorfismo ϕ : X1 → X2? Una vez mas la respuesta es dada enterminos del algebra.

Teorema 5.31 (De clasificacion de espacios de recubrimiento). Dosespacios de recubrimiento p1 : (X1, x1) −→ (X,x0), p2 : (X2, x2) −→ (X,x0)(punteados) son isomorfos si y solo si tienen el mismo subgrupo caracterısti-co.

Demostracion. Sea ϕ : (X1, x1) −→ (X2, x2) un homeomorfismo tal quep2 ϕ = p1 y veamos que G(X1, x1) = G(X2, x2) ⊆ Π1(X,x0).

G(X1, x1) = p1∗(Π1(X1, x1)) = (p2 ϕ)(Π1(X1, x1)) = p2∗(ϕ∗(Π1(X1, x1)) =

= p2∗(Π1(X2, x2)) = G(X2, x2).

En el otro sentido, si los subgrupos caracterısti-cos son iguales entonces podemos levantar lasdos proyecciones p1 y p2 de tal manera queen el diagrama se satisfacen las composicionesp2 p1 = p1 y p1 p2 = p2.Pero p1p2 es un levantamiento de p1 a sı mismo,es decir p1p2 es la funcion identidad en (X1, x1)y de manera semejante p2 p1 es la identidadde (X2, x2), lo que implica que los espacios sonisomorfos.

(X2, x2)

(X1, x1) (X,x0)?p2

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p+

p2

+

3

p1

-p1

GUSTAVO


Notese que en el teorema anterior los grupos fundamentales determinan la existencia y unicidad de funciones entre espacios topologicos con ciertaspropiedades.

Corolario 5.32. Dado un espacio recubridor p : X → X y dos puntos x1, x2

en la fibra de x0 ∈ X, existe un automorfismo ϕ ∈ D con ϕ(x1) = x2 si ysolo si G(X, x1) = G(X, x2).

Corolario 5.33 (de la proposicion 5.31). Dos espacios de recubrimientop1 : X1 → X, p2 : X2 → X son isomorfos si y solo si para todo par de puntosx1 ∈ X1, x2 ∈ X2 con p1(x1) = p2(x2) = x0 los subgrupos caracterısticos G1

y G2 son conjugados.

Demostracion. Sea ϕ : X1 → X2 un isomorfismo, y sean x′2 = ϕ(x1) y

G′2 = p1 ∗ (Π1(X2, x

′2)). La proposicion 5.31 implica que G1 = G′

2.

Proposicion 5.34. Sean p1 : X1 → X, y p2 : X2 → X dos espaciosde recubrimiento y φ : X1 → X2 un homomorfismo. Entonces φ es unrecubrimiento de X2.

Demostracion. Las vecindades canonicas en X2 se construyen de la manerasiguiente. Sea z ∈ X2. Sean p2(z) ∈ U1

z ⊆ X una vecindad canonica conrespecto a p1 y p2(z) ∈ U2

z ⊆ X una vecindad canonica con respecto a p2.Finalmente, sea Vp2(z) ⊆ U1

z ∩ U2z una componente conexa por caminos que

contiene a p2(z). Mostremos que W , la componente conexa por caminos dep−12 (V ) que contiene a z, es canonica con respecto a φ.

Sea Sαα la coleccion de componentes conexas de φ−1(W ). Debemosmostrar que φ|Sα : Sα →W es un homeomorfismo. Pero esto es consecuenciadel hecho de que p−1

1 (V ) = φ−1p−12 (V ) y que V es canonica con respecto

tanto para p1 como para p2.

5.4.1. Recubrimiento universal

Definicion 5.35. Un espacio de recubrimientop : X → X se llama universal si dado cual-quier otro espacio de recubrimiento p′ : X ′ → Xexiste un morfismo ϕ : X → X ′ que completa eldiagrama.

X X ′

X

@@Rp

p p p p p p p p p p p p-ϕ

p′

GUSTAVO


Notese que por la proposicion 5.34, ϕ : X → X ′ es tambien una funcionrecubridora.

Por supuesto la existencia de cubrimientos universales no tiene por que es-tar garantizada. Pero la siguiente proposicion nos da un criterio sencillo paradecidir si un recubrimiento es universal.

Teorema 5.36. Si p : X → X es un cubrimiento de X yΠ1(X, x0) = 0, entonces (X, p) es universal para X.

Demostracion. Sea (X ′, p′) otro cubrimiento para Xy consideremos el diagrama. Como Π1(X, x0) = 0tenemos que p∗(Π1(X, x0)) ⊆ p′∗(Π1(X

′, x′0) y esto im-plica por el teorema 5.28 que existe un levantamientop de p tal que el diagrama es conmutativo. Ası, p es unmorfismo de recubrimientos y por tanto p : X → X esuniversal.

X ′

X X?p′

p

-p

Ejemplo 5.37. Si un espacio X es simplemente conexo, entonces el mis-mo sirve como su propio recubrimiento universal si utilizamos la funcionidentidad como proyeccion.

Definicion 5.38. Un espacio X conexo por caminos es semilocalmentesimplemente conexo si X posee una base B formada por abiertos B cone-xos por caminos con la propiedad que si x ∈ B y α es un camino en B conpunto inicial x, entonces α se puede contraer hasta x en X.

Por la definicion, existe H : I × I → X con α ' cx. La condicion esllamada semi-localmente porque aunque los caminos cerrados son “locales”en U , i.e., contenidos, las homotopıas al camino constante son globales,i.e. pueden ocasionalmente salir de B pues tienen permitido recorrer entodo X. Notese, ademas, que en la definicion anterior B → X induce elhomomorfismo trivial Π1(B,x)→ Π1(X,x).

Ejemplo 5.39. Para el espacio X ⊆ R2 —verla grafica— tenemos que no existe una vecindadUx (x es el punto en comun) para la cual todoslos caminos cerrados en Ux sean nulos homotopi-camente en el espacio “mayor” X.

x

GUSTAVO


Pero el cono C(X) (sobre el espacio X ⊆ R2),como subespacio de R3 si es semi–localmentesimplemente conexo. En efecto, dada una vecin-dad Vx del punto de tangencia x (los demas pun-tos tienen una vecindad homeomorfa al intervaloabierto (0, 1)), consideremos entonces una bolaabierta suficientemente pequena para no conte-ner al punto P vertice del cono. x

P

Un camino α cerrado en el punto x puede ser deformado al punto x siconsideramos a “todo” el espacio C(X), pues lo levantamos hasta el punto Py luego lo contraemos a x por el cono mas exterior (al fin y al cabo C(X) escontractil y los espacios contractiles son simplemente conexos, lo que implicaque son semi–localmente simplemente conexos).

Notese que C(X) no es localmente simplemente conexo, lo es semi–localmente (hay que abandonar la vecindad!).

Definicion 5.40. Sea n un entero no–negativo. Un espacio topologico Xse llama un espacio localmente euclidiano de dimension n si cadapunto de X tiene una vecindad homeomorfa a Rn o Rn

+. Recordemos queRn

+ = x ∈ Rn : x1 ≥ 0, si n ≥ 1.

Ejemplo 5.41. Los espacios localmente euclidianos 0–dimensionales sonlos espacios topologicos discretos. Los siguientes son ejemplos de espacioslocalmente euclidianos: Rn, cualquier subconjunto abierto de Rn, Sn, RPn,CPn, Rn

+, cualquier subconjunto abierto de Rn+, Dn, toro, esferas, manijas,

botella de Klein, Cinta de Mobius, etc.

Un punto a de un espacio localmente euclidiano de dimension n sellama un punto interior de X, si a tiene una vecindad (en X) ho-meomorfa a Rn. Un punto a ∈ X que no es interior se llama un puntofrontera. El conjunto de todos los puntos frontera lo notamos ∂X ylo llamamos la frontera de X.

Puede mostrarse que para un espacio localmente euclidiano el interiorde X es un conjunto abierto y denso en X, mientras que ∂X es uncerrado denso en ninguna parte.

El interior de un espacio localmente euclidiano de dimension n es unespacio localmente euclidiano de dimension n sin frontera.

GUSTAVO


La frontera de un espacio localmente euclidiano de dimension n esun espacio localmente euclidiano de dimension n − 1 sin frontera —∂(∂X) = ∅—.

Definicion 5.42. Sea n un entero no–negativo. Un espacio topologico X sellama una variedad de dimension n si es:

Localmente euclidiano de dimension n,

2–contable,

Hausdorff.

Las tres condiciones en la definicion son independientes, i.e., existen espaciosque no satisfacen una de las tres condiciones pero sı las otras dos.

Una variedad compacta sin frontera se llama cerrada, recordandonos loque es una superficie cerrada en el caso de una 2–variedad compacta comosubespacio de R3.

Ejemplo 5.43. Si un espacio X es una n–variedad, entonces es semilocal-mente simplemente conexo.

KAhora tenemos otro de nuestros resultados estrella en esta teorıa de losespacios de recubrimiento. Aquı se ejemplifica uno de los casos mas intere-santes de la matematica: no solo es importante demostrar un teorema, ¡talvez lo es mas el encontrarlo!

Teorema 5.44. Supongamos que (X,x0) es conexo por caminos, local-mente conexo por caminos y semilocalmente simplemente conexo. Enton-ces para cada subgrupo G ⊆ Π1(X,x0) existe un espacio de recubrimien-to p : (Y, y0) → (X,x0) que tiene como subgrupo caracterıstico a G, i.e.p∗(Π1(Y, y0)) ≈ G.

Este teorema pone de manifiesto la existencia de una correspondencia (deGalois) que asigna a cada espacio de recubrimiento p : (X, x0)→ (X,x0) elsubgrupo G(X, x0) = p∗(Π1(X, x0)) de Π1(X,x0), la cual es sobreyectiva(cada subgrupo G de Π1(X,x0) se puede realizar como p∗(Π1(X, x0)) paracierto recubrimiento p : X → X.

En particular, para el subgrupo trivial nos implica que p∗(Π1(X, x0))sea trivial y al ser p∗ inyectiva nos produce la existencia de un espacio derecubrimiento simplemente conexo, el cual es universal para X.

GUSTAVO


Demostracion. La desarrollaremos en cinco pasos:

1. ¿Quien es Y como conjunto y p como funcion?

2. Construccion de una base B para una topologıa en Y .

3. (Y, p) trabaja bien como recubrimiento.

4. Y es conexo por caminos.

5. Demostracion del isomorfismo G(Y, y0) ≈ G.

1. Si ya tuvieramos una funcion de recubrimien-to p : (Y, y0) → (X,x0) como deseamos, ¿comopodrıamos entonces caracterizar los puntos de lafibra Yx como objetos expresados en terminos delo que hasta ahora poseemos: (X,x0) y G? Bien,a cada camino α de x0 a x corresponde un puntoperfectamente determinado en la fibra sobre x,dado por el punto α(1) donde termina el unicolevantamiento de α que comienza en y0.

x0 x

y0

xα

α

↓p

Todos los puntos en Yx serıan obtenidos de esta manera y, dos caminosα, β determinarıan el mismo punto si y solo si el camino cerrado α · βrrepresenta un elemento de G.

Sea Ω(X,x0, x) el conjunto de todos los caminos en X de x0 a x. Defini-mos para este conjunto una relacion de equivalencia α ∼ β :⇔ [α βr] ∈ Gy definimos los conjuntos Yx y Y como

Yx := Ω(X,x0, x)/ ∼ ; Y :=⋃

x∈X

Yx.

Ademas, definimos a y0 como la clase del camino constante en Ω(X,x0, x0)y a p : Y → X como Yx → x, de suerte que p es sobreyectiva y p(y0) = x0.La clase de α en Ω(X,x0, x)/ ∼ la notamos [α]∼ para distinguirla de [α] laclase por homotopıa.

2. Demos a Y una topologıa que lo haga conexo por caminos y p :(Y, y0) → (X,x0) una funcion de recubrimiento. Notese ahora que, ademasde p y Y tenemos los levantamiento de caminos.

Para t ∈ [0, 1] sea αt ∈ Ω(X,x0, α(t)) el camino “parcial” dado pors 7→ α(ts) —solo recorremos una parte del camino, desde x0 hasta α(t)—.

GUSTAVO


Para cada camino α de x0 a x y cada ve-cindad Ux abierta y conexa por caminos,denotamos V (U,α) := [α β] ⊂ Y elconjunto de todas las clases de los cami-nos que pueden ser obtenidos operando aα con todos los caminos β ∈ U que co-miencen en x, por supuesto.

x0

Uα

Como X es localmente conexo por caminos, estos abiertos Ux formanun sistema fundamental de vecindades de x, y por tanto V (U,α) tambien lodebe ser para y ∈ Y en la topologıa que queremos.

Notese que V (U,α) depende unicamentede y = [α] y U , pero no del representantede clase escogido para [α] ya que si α ∼ ηentonces [α β]∼ = [η β]∼ puesto que

[(αβ)(ηβ)r ] = [(αβ)(βr ηr)] = [αηr ] ∈ G.

x0

ηβ

α

Por esta independencia de α podemos notar a V (U,α) como V (U, y) yası p(V (U, y)) = Ux. La coleccion B = V (U, y) | U ∈ S, y—donde S es labase de la definicion 5.38— actua como una base si definimos V ⊆ Y abiertosi para cada y ∈ Y existe una vecindad Up(y) abierta conexa por caminos talque V (U, y) ⊆ V .

3. Veamos que las fibras son discretas a partir de las rebanadas disyuntas,es decir, si y2 ∈ Uy entonces Uy2 = Uy. Esto es equivalente a mostrar quepara cada y ∈ Yx existe una vecindad abierta conexa por caminos Ux tal quey es el unico punto en Yx ∩ V (U, y). Esta unicidad significa que si y = [α]∼,los otros puntos en Yx∩V (U, y) son exactamente de la forma [α β]∼ donde βes un camino cerrado en U con punto base x, y por tanto debemos encontrarUx tal que [α]∼ = [α β]∼ para todos los caminos cerrados β de esta forma.Por la condicion de ser semilocalmente simplemente conexo tenemos queexiste Ux para la cual Yx ∩ V (U, y) = y.

4. Finalmente veamos que en el espacio de recubrimiento tenemos tajadashomeomorfas a las vecindades fundamentales en X. Sean x ∈ X y Ux unavecindad abierta y conexa por caminos en la cual cada camino cerrado enx es homotopicamente nulo dentro de todo el espacio X. Podemos ver en-tonces que V (U, y) = V (U, z) para cada z ∈ V (U, y); para cada y ∈ Yx losconjuntos V (U, y) son disyuntos dos a dos y que p−1(U) =

⋃y∈Yx

V (U, y).Por tanto la proyeccion p y la correspondencia V (U, y)→ y (para y ∈ Yx)

GUSTAVO


x0

U

α

β

x

y = [α]∼

y′ = [α β]∼

Figura 5.10: Esta situacion no puede ocurrir gracias a que X es semilocalmentesimplemente conexo.

definen una funcion h continua y biyectiva

h : p−1(U)→ U × Yx

la cual es ademas abierta, ya que la proyeccion es abierta: los conjuntosV (U, y) con y ∈ Y y las vecindades abiertas y conexas por caminos U ⊆ X,forman una base para la topologıa en Y , por tanto, solo necesitamos saberque p(V (U, y)) es abierta, pero este ultimo conjunto es precisamente U . Ası,h es abierta y p : Y → X es localmente un homeomorfismo.

5. Para verificar que Y es conexo por ca-minos, tenemos que para y, y0 ∈ Y cony = [α]∼ la funcion [0, 1] → Y dada port→ [αt]∼ (donde αt ∈ Ω(X,x0, α(t)) es elcamino parcial definido por s 7→ α(ts)) yαt(s) = α(st).

x0

xαt

camino parcial

6. Finalmente, G(Y, y0) = G. En efecto, un camino cerrado en x0 repre-senta un elemento de G(Y, y0) si y solo si puede ser levantado a un caminocerrado en y0. Esto sucede si y solo si [α]∼ = y0. i.e. [α]∼ = [x0]∼ o lo quees equivalente, si y solo si [α x0] = [α] ∈ G.

GUSTAVO


5.4.2. Transformaciones Deck y acciones de grupos

Definicion 5.45 (Transformacion de recubri-miento). Una transformacion de recubrimientoo una transformacion Deck (del aleman Deckbewe-gung) de un cubrimiento p : X → X es un automor-fismo en la categorıa Cov(X ), i.e. un homeomorfismoϕ : X → X tal que el siguiente diagrama conmuta, i.e.p ϕ = p.

X X

X

@@Rp

-ϕ -∼=

p

El conjunto de las transformaciones Deck forma un grupo bajo la ope-racion de composicion, el cual notamos D(X, p):

1. Si ϕ1, ϕ2 ∈ D(X, p), entonces ϕ1 ϕ2 ∈ D(X, p).

2. Si ϕ ∈ D(X, p), entonces ϕ−1 ∈ D(X, p).

3. 1X ∈ D(X, p).

Las siguientes particularidades de las transformaciones Deck son inmediatas:

Por la propiedad del levantamiento unico de caminos, una transfor-macion Deck queda determinada completamente por la imagen de unsolo punto, asumiendo que X es conexo por caminos. En particular, sidos transformaciones Deck coinciden en al menos un punto, entoncesson iguales. Por tanto la unica transformacion que puede tener puntosfijos es la identidad.

Para cada x ∈ X, ϕ permuta los puntos de la fibra p−1(x).

Para cada abierto distinguido U , ϕ permuta las componentes conexasde p−1(U).

Ejemplo 5.46. 1. Para exp : R −→ S1 la funcion que proyecta la heli-ce R sobre la circunferencia S1, tenemos que las transformacionesDeck son traslaciones verticales de la helice en sı misma, con lo queD(R, exp) = ϕn : n ∈ Z ≈ Z, donde ϕn(x) = x+ n.

2. Para los cubrimientos de n–hojas, pn : S1 −→ S1 con pn(z) = zn

para z ∈ C con ‖z‖ = 1, tenemos que las transformaciones Deckson las rotaciones de S1 por angulos que sean multiplos de 2π/n, i.e.D(S1, pn) = Zn.

GUSTAVO


Recordemos que en la definicion 5.25 un espacio de recubrimiento p :X → X se llamo regular o normal si el subgrupo caracterıstico G(X, x0)del recubrimiento resulto ser un subgrupo normal en Π1(X,x0). Esta defi-nicion es equivalente a decir que:

Proposicion 5.47. p : X → X es regular o normal si para cada x ∈ Xy cada par de puntos en la fibra x, x′ ∈ p−1(x) existe una transformacionDeck que lleva a x en x′.

Demostracion. En la demostracion del teorema 5.24 observamos que cam-biar el punto base x0 ∈ p−1(x0) a x1 ∈ p−1(x0) corresponde a conjugar aG(X, x0) por un elemento [ρ] ∈ Π1(X,x0) donde ρ se levanta a un caminoρ desde x0 hasta x1.

Ası que [ρ] esta en el normalizador N(G(X, x0)) si y solo si G(X, x0) =G(X, x1), lo que por el criterio de levantamientos es equivalente a la exis-tencia de una transformacion Deck tomando x0) en x1). Por tanto, el cubri-miento es normal si N(G(X, x0)) = Π1(X,x0), i.e., si y solo si G(X, x0) esun subgrupo normal.

Por tanto los recubrimientos del ejemplo 5.46 son normales o regulares.

KDado un espacio de recubrimiento normal p : Y → X (ver definicion 5.25),al menos dos grupos han aparecido ultimamente en nuestra teorıa:

1. El primero al considerar el grupo cociente Π1(X,x0)/G(Y, y0) —el cualaparentemente no dice mucho geometricamente.

2. El grupo D(Y, p) —el cual parece apartado de toda consideracion ho-motopica—.

El siguiente teorema nos asegura una coincidencia sorprendente: ¡estos gru-pos aparentemente no relacionados resultan ser el mismo! Este es otro denuestros resultados placenteros de esta teorıa.

Teorema 5.48. Dado un espacio de recubrimiento normal p : Y → Xentonces

D(Y, p) ≈ Π1(X,x0)/G(Y, y0)

—con G(Y, y0) la imagen del monomorfismo inducido por la proyeccionp∗ : Π1(Y, y0)→ Π1(X,x0) y y0 ∈ p−1(x0)—.

GUSTAVO


Demostracion. Definimos el homomorfismo φ : D(Y, p)→ Π1(X,x0)/G(Y, y0)de la manera siguiente. Dado h ∈ D tomamos al punto y0 junto con su ima-gen h(y0) = y′ ∈ p−1(x0) y consideramos el camino α que los une; por tantopodemos considerar la coclase del camino p α y definimos

φ(h) = [p α]G(Y, y0).

x0

y′

y0

p

h

Por el teorema 5.24, φ esta bien definida; ahora mostremos que se tratade un homomorfismo; i.e. dados dos homomorfismos h, g ∈ D tenemos queφ(g h) = φ(g)φ(h). Sean x′ = h(y0), x

′′ = g(y0), x′′′ = gh(y0) = g(x′), α

un camino de y0 a x′ y β un camino de y0 a x′′. Por tanto g α lo es de x′′

a x′′′ y β gα es un camino de y0a x′′′.

x0

y0

p

α

β

Y

h g

g α

GUSTAVO


φ(gh) = [p(β gα)]G(Y, y0) = [pβ pgα)]G(Y, y0)

= [pβ][pα]G(Y, y0) — ya que pg = p−= [pβ]G(Y, y0)[pα]G(Y, y0)

= φ(g)φ(h).

Si h, g ∈ D son tales que φ(g) = φ(h) de los teoremas 5.24 y 5.28 se siguefacilmente que g = h.

Para mostrar que φ es sobreyecti-va, consideremos [α]G(Y, y0) con α ∈Π1(X,x0). El levantamiento α que ini-cia en y0 y termina en α(1) = x′. En-contremos h ∈ D para el cual h(α) =x′. Como p : Y → X es regular, tene-mos G(Y, y0) = G(Y, x′).

(Y, y0) (Y, x′) (Y, y0)

(X,x0)

@@

@@

@R

p

-h -k

?

p

p

Por el teorema 5.28 existen morfismos h, k tales que el diagrama conmuta, ypor la unicidad de los levantamientos kh = hk = idY . Por tanto, h ∈ D.

Corolario 5.49. Si (Y, p) es un recubrimiento simplemente conexo de X,entonces D(Y, p) es isomorfo a Π1(X) y el orden del grupo es el numero dehojas del recubrimiento.

Corolario 5.50. Si (Y, p) es un recubrimiento regular de X con n como elnumero de hojas, entonces D(Y, p) y Π1(X,x0)/G(Y, y0) son isomorfos a unsubgrupo transitivo del grupo simetrico Sn.

Por las propiedades anteriores de la pagina 168, D(X, p) puede ser mi-rado como un grupo de permutaciones sobre cada fibra, ya que cada trans-formacion Deck esta completamente determinada por lo que hace sobre unafibra. Por tanto el grupo D(X, p) es un caso especial de los llamados gruposque actuan sobre espacios.

Recordemos que un grupo G actua sobre un espacio Y si existe un ho-momorfismo ρ que a cada g ∈ G le asocia un homeomorfismo ρ(g) : Y → Y .En particular estamos interesados en las acciones que satisfacen la siguientecondicion: cada elemento y ∈ Y posee una vecindad Uy para la cual los ele-mentos de su orbita sean disyuntos; i.e., g1 6= g2 implica g1(U) ∩ g2(U) = ∅.

GUSTAVO

RUBIANO Capıtulo 6

Homologıa

Contenido

6.1. Complejos simpliciales . . . . . . . . . . . . . . . 1626.2. Homologıa sin orientacion, i.e. mod 2 . . . . . . 166

6.2.1. Cadenas, ciclos y fronteras . . . . . . . . . . . . . . 1666.3. Homologıa simplicial —coeficientes en Z— . . . 1746.4. Homologıa singular . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

En este capıtulo veremos otra manera de asignar a cada espacio topologi-co un objeto algebraico, en este caso un grupo abeliano, que lleva de maneraintrınseca informacion acerca de la topologıa en el espacio. Es de esperar queesta nueva construccion sea funtorial, y a cambio de la homotopıa donde losgrupos de homotopıa son difıciles de calcular nos presente una manera masfacil para calcular los grupos de homologıa.

Los grupos de homotopıa fueron definidos a partir de todas las funcio-nes continuas f : Sn → X donde no tenıan valor aquellas que podıan serdeformadas a una funcion constante.

La deformacion consistio en extender f a una funcion Dn → X, es decirllenando a Dn desde Sn y de grosso modo podemos afirmar que el n–esimogrupo de homotopıa cuenta esas imagenes de Sn en X que “no pueden” serllenadas. Estas imagenes pueden ser recreadas como huecos de dimensionn, donde una region anular tiene un hueco 1–dimensional que puede serrodeado por una cuerda, una esfera tiene uno 2–dimensional puesto que elhueco en su interior no puede ser rodeado por una cuerda pero sı por S2.

172

GUSTAVO

RUBIANO 6.1. COMPLEJOS SIMPLICIALES 173

Pero las cosas fallan cuando examinamos (si es que podemos) los gruposΠm(Sn) los cuales no necesariamente son nulos si m > n, lo que sugerirıaque la n–esfera tiene huecos m–dimensionales.

La homologıa ofrece a traves de sus grupos de homologıa una forma dife-rente de contar lo que llamaremos huecos y un comportamiento mas acordea la intuicion: la n–esfera tiene un unico hueco n–dimensional y ninguno m–dimensional para m 6= n. Por supuesto, estos grupos de homologıa, debencontribuir tambien al mayor problema de la topologıa: encontrar condicionesnecesarias y suficientes para determinar cuando dos espacios son homeomor-fos. En este sentido, una condicion necesaria sera que, si dos espacios sonhomeomorfos entonces sus correspondientes grupos de homologıa son iso-morfos. Ademas, una funcion continua entre los espacios debe conducir a unhomomorfismo entre los grupos.

Seguiremos el camino historico de la teorıa, simplicial modulo 2, sim-plicial con coeficientes enteros, singular, y, por supuesto, quisieramos otrascomo las de Cech, Alexander–Spanier, etc. pero esto es un proposito... acambio sugerimos la lectura del hermoso artıculo: W. S. Massey, How togive an exposition of the Cech–Alexander– Spanier type homology theory,Amer. Math. Monthly, feb. 1978, pp. 75–83.

6.1. Complejos simpliciales

Los complejos simpliciales1, como su nombre lo debe indicar, son es-pacios que se deben formar a partir de estructuras simples (simpliciales)hasta llegar a estructuras mas complejas (complejos). Las estructuras sim-ples son llamadas celulas o celdas, y tenemos “una” por cada dimensionn, es decir, estan formadas por puntos, lıneas, triangulos (con su interiorno incluido), piramides, etc., las cuales llamamos 0-celda, 1-celda, 2-celda,etc. Esencialmente una k-celda en Rn esta descrita por un conjunto de k+1vertices y es el menor de los subconjuntos convexos en Rn que contiene aestos vertices. Por ejemplo, una 1-celda esta definida por dos vertices y esentonces el segmento de recta entre ellos.

Pero debemos estar atentos a que los vertices elegidos no esten en unaposicion que nos evite obtener el mayor convexo posible, ya que por ejemplo,cuatro vertices alineados sobre una lınea recta o ubicados sobre un mismo

1El significado de esta palabra como adjetivo referente a lo simple es ampliamentediscutible en castellano.

GUSTAVO

RUBIANO 174 CAPITULO 6. HOMOLOGIA

Figura 6.1: Las primeras celdas...

plano tan solo nos produciran celdas como las de la figura 6.2, evitandoseobtener un tetraedro. Definimos entonces la “mejor posicion” la cual llama-remos posicion general.

Figura 6.2: La posicion no es la “mejor”.

Definicion 6.1. Dados los vertices v0, . . . , vk (puntos en Rn), decimos quese encuentran en posicion general si los correspondientes k vectores

v1 − v0, v2 − v1, . . . , vk−1 − vk

en Rn son linealmente independientes.

La anterior definicion nos asegura que la k-celda generada es realmentek-dimensional o que no esta contenida en ningun subespacio vectorial (deRn) de dimension k − 1. Esta definicion es independiente del ordenamientoparticular del conjunto v0, v1, · · · , vk usado en la definicion.

Definicion 6.2. Una k-celda σ, o un k-sımplejo es el menor subespacioconvexo de Rn que contiene un conjunto v0, . . . , vk de k + 1 vertices queestan en posicion general. La notaremos [v0, . . . , vk].

Por la definicion anterior [v0, . . . , vk] consiste de todas las combinaciones

GUSTAVO


lineales,

n∑

i=0

tivi con 0 ≤ ti ≤ 1 yn∑

i=0

ti = 1.

Los coeficientes t0, . . . , tk son numeros reales llamados las coordenadasbaricentricas del respectivo punto

∑ni=0 tivi.

Por supuesto, dada una celda [v0, . . . , vk], cualquier subconjunto de susvertices tambien determina una celda de menor dimension y llamada unasubcelda de la celda dada. De manera mas general, una r−subcelda de σ =[v0 · · · vk] es la r-celda generada por cualquier subcoleccion de v0, · · · , vkque consta de r + 1 vertices. Si τ es una r-subcelda de σ, escribimos τ < σ.En particular, cuando se omite un solo vertice de la celda dada, la subcelda

[v0, v1, . . . , vi, . . . , vk]

(esta notacion significa que el vertice vi ha sido omitido) es una k−1–celda yes llamada simplemente una cara de la celda [v0, . . . , vk]. Ası que una k-celdatiene k + 1 caras (una por cada vertice omitido) y 2k+1 − 1 subceldas. Launion de todas las caras se llama el borde o frontera de la celda. Si k > 0,llamamos interior de la celda a la celda menos el borde (el complementodel borde). Para el caso k = 0 definimos definimos el interior como la misma0-celda.

Ejemplo 6.3. Una 2-celda [v0, v1, v2] tiene 7subceldas de las cuales 3 son caras: [v0, v1, v2] =[v1, v2], [v0, v1, v2] = [v0, v2], [v0, v1, v2] = [v0, v1]y corresponden a los lados de la region triangu-lar. Por supuesto el borde seran las lıneas queconforman el triangulo. v0 v2

v1

Un complejo simplicial es entonces un conjunto finito de celdas unidas deuna manera coherente a fin de no tener problemas tecnicos con la topologıaque le asignamos a esta union.

Definicion 6.4. Un complejo simplicial o complejo celular K es unsubespacio de Rn junto con una lista finita de celdas que satisfacen:

1. La union de las celdas es el conjunto K.

GUSTAVO


2. Cada punto en K esta en el interior de una unica celda.

3. Cada cara de cada celda en la lista esta a su vez en la lista.

Figura 6.3: 2–complejos y 3–complejo.

La condicion 2 nos dice entre otras cosas que para dos celdas sucede que: notienen puntos en comun —interseccion vacıa— o una de ellas es una cara dela otra, o una cara de una cara de la otra, etc., o el conjunto de puntos encomun es una cara o una cara de una cara, etc., de cada celda.

Se puede permitir en la anterior definicion que el numero de celdas seainfinito, pero a cambio tendrıamos que sacrificar la exigencia de que K seacompacto.

El complejo K tiene dimension n si la mayor dimension de las celdasen K es n, y lo llamamos un n–complejo.

La figura 6.4 muestra dos falsos 2–complejos, ya que dos sımplices se hanpegado de manera incorrecta, es decir, su interseccion no es una cara.

Figura 6.4: No se trata de complejos

GUSTAVO


Definicion 6.5. Un complejo simplical Kse llama una triangulacion de un espaciotopologico X si existe un homemomorfis-mo h : K → X. Se dice que X es trian-gulable o que es un poliedro.

*

Si hacemos el ejercicio de observar, casi todo lo que podemos imaginarnormalmente es un poliedro. La figura 6.5 nos muestra varias triangulacio-nes: el triangulo (o la circunferencia como espacio homeomorfo) como un1–complejo formado por tres 0–celdas y tres 1–celdas, la de una region cua-drada, y finalmente, dos triangulaciones diferentes para una region anular.

Figura 6.5: Complejos y triangulaciones.

Otra triangulacion para X = S1 puede prove-nir del complejo K formado por un cuadradotomando sus lados como 1–celdas y sus verticescomo 0–celdas, donde h es el homeomorfismo da-do por la proyeccion.

Figura 6.6: Una triangulacion de la esfera por medio de la superficie de un tetraedro

GUSTAVO


6.2. Homologıa sin orientacion, i.e. mod 2

6.2.1. Cadenas, ciclos y fronteras

Uno de los pasos fundamentales para introducir los grupos de homo-logıa es poder describir el borde o frontera para las celdas y los complejossimpliciales.

v0v0 v1 v0 v1

v2

v0

v1

v2

v3

Figura 6.7: Las primeras celdas...

v0 v1 v0 v1

v2

v0

no es solido y

v1

v2

v3

Figura 6.8: Los bordes de las primeras celdas...

Recordemos que cuando se omite un solo vertice de una celda, la subcelda[v0, v1, . . . , vi, . . . , vk] es una (k − 1)–celda, y es llamada simplemente unacara de la celda [v0, . . . , vk].

Ahora, dado un complejo celular K, el conjunto de todas las celdas dedimension n lo notamos como Sn(K), de suerte que el borde de cada cel-da en Sn(K) es un conjunto de elementos en Sn−1(K). Estamos entonces apunto de definir una funcion “borde” la cual asigna a cada celda su borde,pero el borde ¡no es una celda! es un conjunto de celdas, por tanto debe-

GUSTAVO

RUBIANO 6.2. HOMOLOGIA SIN ORIENTACION, I.E. MOD 2 179

mos considerar la coleccion Cn(K) de todos los subconjuntos de Sn(K), yentonces el borde de una n–celda en K es un elemento en Cn−1(K).

Definicion 6.6. El grupo Cn(K) de n–cadenas de K es el Z2–grupogenerado por Sn(K), es decir, el conjunto de todas las combinaciones lineales∑k

i=1miσi donde mi ∈ Z2, i.e., mi = 0 o 1, y σi ∈ Sn(K).

La operacion en la anterior definicion es la suma algebraica de los coefi-cientes en las celdas comunes en cada cadena.

Ejemplo 6.7. Para la superficie K de nuestrotetraedro, cada elemento de C2(K) es de la for-ma,

m1[v2v3v4]+m2[v1v3v4]+m3[v1v2v4]+m4[v1v2v3]

con mi = 0, 1. Como un ejemplo para la adicion,tenemos que (1[v2v3v4] + 0[v1v3v4] + 1[v1v2v4] +1[v1v2v3]) +(1[v2v3v4] + 1[v1v3v4] + 1[v1v2v4] +0[v1v2v3])= 0[v2v3v4] + 1[v1v3v4] + 0[v1v2v4] +1[v1v2v3].

v1

v2

v3

v4

Un elemento de C1(K) es de la forma

m1[v1v2] +m2[v2v3] +m3[v1v4] +m4[v2v3] +m5[v2v4] +m6[v3v4],

un elemento de C0(K) es de la forma

m1v1 +m2v2 +m3v3 +m4v4,

mientras que no existen elementos para C3(K).

Como el borde de una n–celda es un elemento de Cn−1(K), tenemos paracada n ∈ N una funcion ∂n : Sn(K)→ Cn−1(K) –operador borde–la cualse extiende de manera lineal sobre el grupo Cn(K) como el homomorfismo

∂n : Cn(K)→ Cn−1(K)

dado por

∂n(∑

i

miσi) =∑

i

mi∂n(σi). (6.1)

De manera particular, ∂n actua sobre una n–celda de la manera siguiente:

∂n[v0, v1, . . . , vn] =n∑

i=0

[v0, . . . , vi, . . . , vn].

GUSTAVO


Por ahora, nuestro interes homologico estara centrado en estudiar aquellascombinaciones de celdas que pudieran ser bordes de celdas (o combinacionde celdas) pero que desafortunadamente no lo son porque el complejo enestudio no posee a tales posibles celdas.

Ejemplo 6.8. Los tres lados mas internos deltoro simplicial —senalados por las flechas— sonel borde de una 2–celda que no esta en el comple-jo celular. Es en este sentido que: los tres ladospodrıan ser un borde pero no lo son.

Notese —y esta es parte de la razon por la que hemos considerado porlo pronto a Z2— que el borde de una n–celda es una union de (n−1)–celdasque no son tan arbitrarios: cada cara de cada uno de estas (n − 1)–celdases cara de exactamente otra unica n− 1–celda. Por ejemplo, el borde de la2–celda [a, b, c] consta de las celdas [b, c], [a, c], [a, b] y los bordes de estasultimas son b, c, a, c y a, b donde cada elemento en esta lista se repite dosveces.

En otros terminos tenemos que

∂1(∂2[a, b, c]) = ∂1([b, c]+[a, c]+[a, b]) = (b+c)+(a+c)+(a+b) = 2a+2b+2c = 0

ya que estamos operando modulo 2.

Recordemos que cada vez que se tiene un homo-morfismo de grupos, como en el caso

∂n : Cn(K)→ Cn−1(K)

dos subgrupos son importantes: el kernel y laimagen. El kernel de ∂n consiste de estas n–cadenas con borde 0, y los llamaremos n–ciclos.El kernel sera notado Zn(K). —la Z provienede la palabra ciclo en aleman—.

La imagen de ∂n : Cn(K) → Cn−1(K) es llamada el grupo de los(n − 1)–bordes y esta formado por las (n − 1)–cadenas que son bordesde n–cadenas. Lo notamos Bn−1(K).

GUSTAVO


Ejemplo 6.9. Sea K la circunferencia como po-liedro formado por tres 0-celdas a, b, c, y tres 1–celdas [a, b], [b, c], [a, c]. Luego Ci = 0 si i > 0.Por tanto, solo existe un homomorfismo bor-de para ser estudiado, ∂1 : C1 → C0. Seaσ = m1[a, b] +m2[b, c] +m3[a, c] una cadena ar-bitraria. Entonces, y de acuerdo a la formula 6.1+ ,

-

∂1(σ) = m1(a+b)+m2(b+c)+m3(a+c) = (m1+m3)a+(m1+m2)b+(m2+m3)c.

Si σ ∈ Z1(K) i.e., ∂1(σ) = 0, entonces m1 +m3 = 0 lo que implica m1 = m3

(estamos en Z2), m1 = m2 y m1 = m3 luego σ = m([a, b]+[b, c]+[a, c]) paraalgun m ∈ Z2. Por tanto Z1(K) = Z2. De otra parte, como ∂2 : 0 → C1

es el homomorfismo nulo, su imagen B1(K) = 0.

La siguiente proposicion dice de manera escueta que ∂2 = 0, lo queimplica que los ciclos son abundantes o al menos son muchos mas que losbordes, i.e., la imagen de ∂n es un subgrupo del kernel de ∂n−1.

Figura 6.9: ∂2, una hermosa ecuacion.

Proposicion 6.10. Para cada n ≥ 1 la composicion

∂n ∂n+1(σ) : Cn+1(K)→ Cn−1(K)

es el homomorfismo nulo.

Demostracion. Como la composicion de homomorfismos es un homomor-fismo, basta verificar que la composicion es nula para cada n + 1–celdaσ = [v0, . . . , vn+1].

∂n+1(σ) =n+1∑

i=0

[v0, . . . , vi, . . . , vn+1]. (6.2)

GUSTAVO


Por tanto,

∂n∂n+1(σ) =

n+1∑

j=0j 6=i

n+1∑

i=0

[v0, . . . , vi, . . . , vn+1].

Como la celda [v0, . . . , vk, . . . , vm, . . . , vn+1] se tiene para i = k, j = m ypara i = m, j = k, cada sumando se repite dos veces y, como nuestra sumaes modulo 2, obtenemos ∂n∂n+1(σ) = 0.

Por tanto, dado un complejo simplicial K es posible obtener una sucesionCn(K), ∂n la cual llamamos una cadena de grupos

· · · ∂n+2−−−→ Cn+1(K)∂n+1−−−→ Cn(K)

∂n−→ Cn−1(K)∂n−1−−−→ · · · −→ C1(K)

∂1−→ C0(K)

con la propiedad de que ∂n∂n+1 = 0 para todo n. Como la imagen de ∂nes un subgrupo del kernel de ∂n−1, i.e., Bn(K) ⊆ Zn(K), esto significa que“un borde no tiene borde”.

Lo anterior debe sugerir una manera para detectar aquellas combinacio-nes de celdas que podrıan ser bordes: combinaciones que no tengan borde,i.e. son elementos de Zn(K) = ker(∂n), luego son ciclos. Por supuesto hayque descartar estas combinaciones de celdas que ya son bordes, y las cualesson facilmente reconocibles: los elementos en Bn(K) = Im(∂n+1), i.e. losbordes.

Como Bn(K) ⊆ Zn(K), una manera de descartar o hacernos los miopesfrente a los ciclos que son bordes es formar el grupo cociente Hn(K) =Zn(K)/Bn(K).

Definicion 6.11. El grupo cociente Hn(K) = Zn(K)/Bn(K) es el n-esimogrupo de homologıa con coeficientes en Z2, asociado al complejo sim-plicial K, n > 0. H0(K) = C0(K)/B0(K). La homologıa para K es entoncesla sucesion

H∗(K) = H0(K),H1(K),H2(K),H3(K), . . ..

Dos cadenas σ1, σ2 son homologas si σ1 − σ2 ∈ B(K).

Ejemplo 6.12. Para K, la circunferencia como poliedro del ejemplo 6.9tenemos que Hn(K) = 0 si n > 1, H1(K) = Z2 y H0(K) = Z2. Nos reflejala existencia de un hueco 1–dimensional!

GUSTAVO


Si hacemos abstraccion a partir de la situacion anterior, lo que realmentetenemos es una sucesion C = Cn, ∂nn de grupos abelianos y homomorfis-mos ∂n : Cn → Cn−1, los cuales satisfacen ∂n ∂n+1 = 0 (dejaremos que lossubındices n varıen en Z). En particular la imagen de ∂n es un subgrupodel kernel de ∂n−1.

Podemos hablar entonces (este es el tema del algebra homologica) deuna categorıa de complejos de cadenas, la cual tendra por objetos a loscomplejos de cadenas. Un complejo de cadenas es una sucesion de gruposabelianos y homomorfismos, (n ∈ Z)

· · · ∂n+2−−−→ Cn+1∂n+1−−−→ Cn

∂n−→ Cn−1∂n−1−−−→ · · · = Cn, ∂n

que satisface la condicion de ∂n∂n+1 = 0 para todo n, y en caso que Cn = 0para cada n < 0, decimos que C = Cn, ∂n es un complejo no negativo.

Los morfismos seran las transformaciones de cadenas. Una transforma-cion f = fnn de un complejo de cadenas C = Cn, ∂n a un complejo decadenas C′ = C ′

n, ∂′n es una sucesion de homomorfismos fn : Cn → C ′

ntales que para cada n, fn−1 ∂n = ∂′n fn.

· · · Cn+1 Cn Cn−1 · · ·

· · · C ′n+1 C ′

n C ′n−1 · · ·

-∂n+2 -∂n+1

?

fn+1

-∂n

?

fn

-∂n−1

?

fn−1

-∂′n+2 -

∂′n+1 -∂′n -∂′n−1

En otras palabras, una transformacion de cadenas es una “banda con-mutativa”: f = fnn, f ∈ Hom(C, C′).

Ejemplo 6.13. Sea K el cuadrado tomado co-mo el poliedro 2–dimensional formado por cua-tro 0-celdas v1, v2, v3, v4, cinco 1–celdas y dos2–celdas. El complejo de cadenas esta dado por

0∂3−→ C2(K)

∂2−→ C1(K)∂1−→ C0(K).

v1 v2

v4 v3

GUSTAVO


Notese que si σ ∈ C1, entonces

σ = m1[v1, v2] +m2[v2, v3] +m3[v3, v4] +m4[v2, v4] +m5[v4, v1]

y por tanto o(C1) = 32 (el orden del grupo C1) dado que mi = 0, 1. Demanera similar o(C2) = 4 y o(C0) = 16.

Las posibles combinaciones para ∂1(σ) ∈ C0 son sumas (de los vertices)con un numero par de sumandos, ya que en caso de cancelar modulo 2 secancelan de a dos vertices repetidos. Por tanto, las posibles sumas son: las5 sumas con dos sumandos v1 + v2, v2 + v3, v3 + v4, v4 + v1 y v2 + v4, launica suma con los cuatro sumandos v1 + v2 + v3 + v4 y, la suma 0 (nula).Ası, o(Im(∂1)) = 8.

Para ker(∂1) ⊆ C1 tenemos que su numero de elementos debe ser 1,2,4,8o 32. Exactamente es 4 y esta conformado por los elementos [v1, v2]+[v2, v4]+m3[v4, v1], [v2, v3]+ [v3, v4]+m3[v4, v2], [v1, v2]+ [v2, v3]+m3[v3, v4]+ [v4, v1]y 0 por supuesto.

El subgrupo Im(∂2) esta formado por los ∂2(m1[v1, v2, v4]+m2[v2, v3, v4])los cuales son [v2, v4] + [v1, v4] + [v1, v2], [v3, v4] + [v2, v4] + [v2, v3], [v1, v4] +[v1, v2] + [v3, v4] + [v2, v3] y 0. Por tanto o(Im(∂2)) = 4. De otra parte,o(ker(∂2)) = 1 ya que la unica cadena que tiene imagen nula es la cadena 0.

Ası que,

o(H1) = o

(Z1

B1

)= o

(ker(∂1)

Im(∂2)

)=

4

4= 1,

o(H2) = o

(Z2

B2

)= o

(ker(∂2)

Im(∂3)

)=

1

1= 1,

o(H0) = o

(C0

B1

)= o

(C0

Im(∂1)

)=

16

8= 2.

Esto implica que el cuadrado tiene como unica homologıa no nula a ladimension 0, donde H0(K) = Z2. Era de esperarse, ¡no tenemos huecos!pero ¿que quiere o puede significar H0(K) 6= 0? (ver teorema 6.23).

La homologıa con coeficientes en Z2 no es suficiente

Recordemos que segun como decidamos identificar los lados de un cua-drado obtenemos un toro o una botella de Klein (figura 6.10). El bordesuperior es el encargado de marcar la diferencia segun la orientacion que le

GUSTAVO

RUBIANO 6.3. HOMOLOGIA SIMPLICIAL —COEFICIENTES EN Z— 185

a

1 34

5

2

b c

b c

d e f d

a

g h i g

a a

Figura 6.10: Un toro (o una botella de Klein si la orientacion del lado superior es lacontraria.

demos al identificar o pasar al cociente, y tal diferencia esta expresada es-quematicamente por la manera como etiquetemos los dos vertices centralesb, c de este lado superior. Si leemos de izquierda a derecha esta 1–celda debeser llamada [b, c] para el toro y [c, b] para la botella.

¿Como distinguir entonces de que triangulacionse trata, el toro o la botella? La solucion es en-tonces distinguir entre [b, c] y [c, b], lo que esequivalente a distinguir la orientacion de a ha-cia b de la orientacion de b hacia a. Si nota-mos [b, c] = −[c, b] entonces debemos abando-nar nuestra aritmetica en Z2 para pasar a laaritmetica en Z. Y este es el tema de la ho-mologıa con coeficientes en Z o homologıacon orientacion.

b c

6.3. Homologıa simplicial —coeficientes en Z—

Introducimos ahora una version simplificada de la homologıa singular,llamada homologıa simplicial, la cual nos generaliza de manera inmediata laanterior definicion de homologıa con coeficientes en 0, 1. Para esto la no-cion fundamental —basicamente es lo unico que cambia y genera cambios—es la nocion de n–sımplice orientado o n–celda orientada. Historica-mente estas definiciones vienen atadas a los nombres de los matematicos

GUSTAVO


Eilemberg, Steenrod y Zilber entre otros.

Un 0–sımplice orientado es simplemente un punto v. Un 1–sımpliceorientado es un segmento de recta dirigida (ver fig. 6.11) −−→v0v1 = [v0, v1] ypor tanto [v0, v1] 6= [v1, v0] y notaremos [v0, v1] = −[v1, v0].

De aquı en mas siempre debemos rastrear el orden de los vertices.

Un 2–sımplice orientado es un 2–sımplice (def. 6.2) con un ordena-miento de sus vertices [v0, v1, v2]. Notese que el orden [v0, v1, v2] es claramen-

v0 v0−

v1+

v0 v1

v2

v0

v1

v2

v3

Figura 6.11: Los primeros sımplices orientados

te igual al orden [v1, v2, v0] y [v2, v0, v1], pero opuesto a los ordenes [v0, v2, v1][v2, v1, v0] y [v1, v0, v2], i.e.,

[v0, v1, v2] = [v1, v2, v0] = [v2, v0, v1] = −[v0, v2, v1] = −[v2, v1, v0] = −[v1, v0, v2].

Invocando los grupos de permutaciones tenemos que [v0, v1, v2] = [vi, vj , vk]

si

(0 1 2i j k

)es una permutacion par. En caso contrario, si la permu-

tacion es impar tenemos [vi, vj , vk] = −[v0, v1, v2].

De manera similar, para un 3–sımplice tenemos que [v0, v1, v2, v3] =

±[vi, vj , vk, vm] dependiendo de si

(0 1 2 3i j k m

)es una permutacion par

o impar. Las definiciones para el n–sımplice son similares.

Ahora, retomemos la definicion del operador borde dada por la ecuacion(6.2) y adaptemola al caso ordenado. El borde de un 0–sımplice v0 es elconjunto ∅ al que notamos como el elemento 0 a efecto de generar un grupo,∂0(v0) = 0.

GUSTAVO


Operador borde

El borde de un 1–sımplice [v0, v1] esta dado por la diferencia de sus caras,∂1[v0, v1] = v1 − v0.

En general, el borde de un n–sımplice [v0, v1, . . . , vn], esta dado por lasuma alternada de todas sus caras [v0, . . . , vi, . . . , vn], i.e,

∂[v0, v1, . . . , vn] =n∑

i

(−1)i[v0, . . . , vi, . . . , vn].

∂[v0] = 0∂[v0, v1] = [v1]− [v0]

∂[v0, v1, v2] = [v1, v2]− [v0, v2] + [v0, v1]∂[v0, v1, v2, v3] = [v1, v2, v3]− [v0, v2, v3] + [v0, v1, v3]− [v0, v1, v2]

Los signos alternados son introducidos a fin de tomar en cuenta las orien-taciones, de suerte que todas las caras de un sımplice son orientadas demanera coherente, como en la figura 6.11. En el caso del 4–sımplice lasorientaciones de las cuatro caras son en el sentido contrario a las manecillasdel reloj.

Con esta geometrıa en mente, la ecuacion 6.1 se define ahora para unn–complejo orientado K, y definimos el operador borde ∂n : Cn(K) →Cn−1(K) especificando sus valores sobre los elementos basicos:

∂n

(∑

i

miσi

)=∑

i

mi∂n(σi), (6.3)

donde el grupo Cn(K) de las cadenas (orientadas) de K es el grupolibre abeliano (ver seccion 2.7.1) generado por los n–sımplices de K. Por tan-to, cada cadena elemento de Cn(K) es una suma finita de la forma

∑imiσi

donde los σi son n–sımplices de K y mi ∈ Z. La operacion algebraica de su-mar dos cadenas consiste en sumar los coeficientes enteros de los n–sımplicesen comun. Por definicion dejamos C−1(K) = 0.

Ejemplo 6.14. ∂2[v0, v1, v2] = [v1, v2] − [v0, v2] + [v0, v1], mientras que,∂2[v0, v2, v1] = [v2, v1] − [v0, v1] + [v0, v2] = −([v1, v2]-[v0, v2]+ [v0, v1]) =∂2[v0, v1, v2].

Del ejemplo anterior podrıamos pensar que si intercambiamos un par devertices en [v0, . . . , vn] entonces ∂n[v0, . . . , vn] cambia de signo.

GUSTAVO


Definicion 6.15. Los elementos de Cn(K) en el kernel de ∂n son los n–ciclos y, a este subgrupo nuevamente lo notamos Zn(K). La palabra cicloproviene del caso n = 2 donde los ciclos corresponden a caminos cerradosalrededor de un triangulo con vertices v0, v1, v2.

Definicion 6.16. Los elementos de Cn−1(K) que son la imagen de ∂n sonlos (n−1)–bordes y a este subgrupo nuevamente lo notamos Bn−1(K). Sonlas (n− 1)–cadenas que son borde de alguna n–cadena.

Ejemplo 6.17. Sea K la superfi-cie del tetraedro. Cada elemento deC2(K) es de la forma m1[v1, v2, v3]+m2[v0, v2, v3]+m3[v0, v1, v3]+m4[v0, v1, v2]con mi ∈ Z.Como el sımplice de mayor dimension es 2,entonces C3(K) = 0, y por tanto B2(K) =∂3(C3(K)) = 0.

v1

v2

v3

v0

Por definicion, C−1(K) = 0 y ası Z0(K) = C0(K); es decir, Z0(K) esel grupo libre abeliano con cuatro generadores v0, v1, v2, v3. Como C1(K)es a su vez generado por los 6 lados [v0, v1], [v0, v2], [v0, v3], [v1, v2], [v1, v3]y [v2, v3] entonces B0(K) es generado por la imagen de estos generadoresv1− v0, v2− v0, v3− v0, v2− v1, v3− v1 y v3− v2 —en un homomorfismo, laimagen de un grupo esta generada por la imagen de los generadores—. Peroesto no implica que la imagen sea libre sobre estos generadores, por ejemplov2− v1= (v2− v0)− (v1− v0), pero sı es libre sobre v1− v0, v2− v0 y v3− v0.

Si σ ∈ C1(K), entonces

σ = m1[v0, v1] +m2[v0, v2] +m3[v0, v3] +m4[v1, v2] +m5[v1, v3] +m6[v2, v3]

y ∂1(K) = 0 si cada vertice se anula y para ello es necesario que aparezcael mismo numero de veces y con la misma multiplicidad tanto positivo co-mo negativo; en otras palabras, aparecer una vez como punto inicial de unsegmento y otra vez como punto final de otro.

Las siguientes cadenas son 1-ciclos, son los lados o bordes de los cuatrotriangulos del tetraedro, y demostraremos que ellos son los generadores delnucleo Z1(K).

σ1 = [v1, v2] + [v2, v3] + [v3, v1],

GUSTAVO


σ2 = [v0, v3] + [v3, v2] + [v2, v0],

σ3 = [v0, v1] + [v1, v3] + [v3, v0],

σ4 = [v0, v2] + [v2, v1] + [v1, v0].

Sea σ ∈ Z1(K); los lados en el tetraedro que tienen al vertice v0 como puntoinicial son [v0, v1], [v0, v2] y [v0, v3] y asumamos que los coeficientes de estoslados en σ son m1, m2, m3 respectivamente. Entonces σ +m2σ4 −m3σ2 esde nuevo un ciclo pero no contiene los lados [v0, v1] o [v0, v3] pues

σ +m1σ4 −m3σ2 = σ +m1([v0, v2] + [v2, v1] + [v1, v0])−m3([v0, v3]

+ [v3, v2] + [v2, v0])

= σ +m1[v0, v2] +m1[v2, v1] +m1[v1, v0])−m3[v0, v3]

−m3[v3, v2]−m3[v2, v0]

= ρ+m1[v0, v1] +m2[v0, v2] +m3[v0, v3] +m1[v0, v2]

+m1[v2, v1]−m1[v0, v1]−m3[v0, v3]−m3[v3, v2]−m3[v2, v0]

= ρ+ (m1 +m2 +m3)[v0, v2] +m1[v2, v1]−m3[v3, v2]

= ρ+m[v0, v2] +m1[v2, v1]−m3[v3, v2],

donde ρ tiene a 0 como coeficiente para los lados [v0, v1], [v0, v2], [v0, v3].Notese que el unico lado en el ciclo σ+m1σ4−m3σ2 teniendo —posiblemente—como vertice a v0 es [v0, v2], y por tanto, para poder anularse ya que σ +m2σ4 −m3σ2 es un ciclo, se debe tener que su coeficiente sea 0.

Ası, σ+m2σ4−m3σ2 consta de lados que estan en el 2–sımplice [v1, v2, v3].Los vertices v1, v2, v3 deben estar al inicio y final de lados con la mismamultiplicidad, y por tanto para algun r ∈ Z se tiene

σ +m1σ4 −m3σ2 = rσ1.

Si en el calculo anterior remplazamos a v0 por cualquiera de los otros tresvertices, encontramos que Z1(K) es generado por los ciclos σi; aun mas, porcualesquiera tres de estos σi. Como los σi son los bordes de los 2–sımplices,tenemos que Z1(K) = B1(K).

Describamos a continuacion a Z2(K). C2(K) esta generado por los 2–sımplices [v1, v2, v3], [v2, v0, v3], [v0, v1, v3] y [v1, v0, v3]. Si en un 2–ciclo σ

GUSTAVO


tenemos que [v1, v2, v3] tiene coeficiente m1 y [v2, v0, v3] tiene coeficiente m2,entonces en su borde ∂(σ) el lado comun [v2, v3] tiene coeficiente m1 −m2.Por tanto, m1 = m2 y de manera similar tenemos que en un 2–ciclo todoslos cuatro 2–sımplices aparecen con el mismo coeficiente lo que implica queZ2(K) es generado por el ciclo

[v1, v2, v3] + [v2, v0, v3] + [v0, v1, v3] + [v1, v0, v3],

y por tanto Z2(K) = Z.

Algunos autores consideran que el siguiente resultado es una de las ecua-ciones mas importantes de la matematica.

Teorema 6.18. Para cada n ≥ 1 la composicion

∂n−1 ∂n : Cn(K)∂n−→ Cn−1(K)

∂n−1−−−→ Cn−2(K)

es el homomorfismo nulo. Por tanto, tenemos un complejo de cadenas (verrecuadro en la pagina 183).

Demostracion. Ya que la composicion de homomorfismos es un homomorfis-mo, basta verificar que la composicion es nula para cadan–celda σ = [v0, . . . , vn]. De

∂n(σ) =n∑

i=0

(−1)i[v0, . . . , vi, . . . , vn]

tenemos que

∂n−1∂n(σ) =∑

i

(−1)i

n∑

j<i

[v0, . . . , vj , . . . , vi, . . . vn]+

+

n∑

j>i

(−1)j−1[v0, . . . , vi, . . . , vj , . . . , vn]

.

Como el sımplice [v0, . . . , vk, . . . , vl, . . . , vn] aparece dos veces, una para i =k, j = l con coeficiente (−1)l(−1)k, y otra para i = j, j = l con coeficiente(−1)k(−1)l−1 cada sumando se anula y por tanto ∂n−1 ∂n = 0.

Corolario 6.19. El teorema implica que para cada n > 0, Bn(K) es unsubgrupo de Zn(K).

GUSTAVO


6.3.1. Grupos de homologıa

Definicion 6.20. El grupo cociente Hn(K) = Zn(K)/Bn(K) es el n-esimogrupo de homologıa con coeficientes enteros asociado al complejosimplicial K, n > 0. H0(K) = C0(K)/B0(K). La homologıa para K esentonces la sucesion

H∗(K) = H0(K),H1(K),H2(K),H3(K), . . ..Si queremos ser enfaticos acerca de que grupo estamos usando para nuestroscalculos, Hn(K) es notado como Hn(K; Z). Dos n–ciclos σ1, σ2 son llamadoshomologos si su diferencia es un n–borde, i.e. si σ1−σ2 ∈ B(K) con lo quepertenecen a la misma clase de equivalencia.

Un grupo de homologıa Hn(K) es por definicion un grupo abeliano generadofinitamente. Por tanto y de acuerdo con el teorema 2.28 el puede ser escritode la forma F

⊕T , donde F es un grupo libre abeliano finitamente generado

(la suma directa de copias de Z), y T es un grupo abeliano finito. Loselementos de T son precisamente estos elementos del grupo de homologıaque tienen orden finito, y son llamados los elementos con torsion. El rangode F , esto es, el numero de sumandos de Z, es llamado el numero deBetti de K y se nota βn.

Ejemplo 6.21. Sea K la circunferencia simpli-cial orientada como se muestra en la figura y lacual es una triangulacion de S1.Si σ ∈ C1(K), entonces∂1(σ) = ∂1(m0[v0, v1]+m1[v1, v2]+m2[v2, v0]) =m0(v1 − v0) + m1(v2 − v1) + m2(v0 − v2) =(m2−m0)v0 + (m0 −m1)v1 + (m1−m2)v2 = 0. v0 v1

v2

Esto implica que los coeficientes deben de ser iguales, m0 = m1 = m2.Por lo tanto, el Ker(∂1) consta de todas las cadenas multiple enteras de σ,i.e. Z1(K) = Z. Como ∂2 = 0, obtenemos H1(K) = Z.

El calculo que hemos hecho de ∂1 tambien nos muestra que la imagen de∂1 consiste de todas las expresiones (m2−m0)v0+(m0−m1)v1+(m1−m2)v2,y como m1−m2 = −(m2−m0)− (m0−m1), esto es equivalente a todas lasexpresiones de la forma t0v0 + t1v1 + t2v2 con t2 = −(t0 + t1). Por lo tanto,

t0v0 + t1v1 + t2v2 = t0v0 + t1v1 − (t0 − t1)v2 (6.4)

= t0(v0 − v2) + t1(v1 − v2). (6.5)

GUSTAVO


Esto implica que B0(K) = ∂1(C1) = Z× Z.

Por otra parte, si σ ∈ C0(K), entonces σ = a0v0 + a1v1 + a2v2 lo que esequivalente a expresarlo como a0(v0−v2)+a1(v1−v2)+(a2+a1+a0)v2, estoes, como un elemento en B0(K) mas un multiplo de v2 (ver ecuacion 6.4).Por lo tanto, el grupo cociente C0/B0 esta generado por v2 y es isomorfo aZ. En resumen, tenemos:

H0(S1) = Z, H1(S

1) = Z y Hi(S1) = 0 para i > 1.

Estas igualdades nos dicen que efectivamente, y como lo indica el sentidocomun, existe un hueco 1–dimensional, i.e. un 1–ciclo que no es borde deningun 2–sımplice o 2–cadena existente en el espacio S1. Veremos en elteorema 6.23 que H0(S

1) = Z significa que el espacio es conexo por caminos

Ejemplo 6.22. Sea K la superficie del tetrae-dro como en el ejemplo 6.17, la cual es una trian-gulacion de la esfera S2 y calculemos los gruposde homologıa Hn(S

2,Z).Los unicos posibles grupos no triviales son paran = 0, 1, 2, 3. Ya hemos encontrado que Z0(K)es el grupo libre abeliano con cuatro generadoresv0, v1, v2, v3, B2(K) = 0, Z1(K) = B1(K)Z2(K) = Z.m1[v1, v2, v3]+ m2[v0, v2, v3] + m3[v0, v1, v3] +m4[v0, v1, v2] con mi ∈ Z.

v1

v2

v3

v0

Como el sımplice de mayor dimension es 2, entonces C3(K) = 0, y portanto B2(K) = ∂3(C3(K)) = 0.

Ya tenıamos en el ejemplo 6.17 que Z2(K) = Z y B2(K) = 0; por tanto,H2(K) = Z con lo que

H2(S2) = Z.

Vimos que B1(K) = Z1(K), ası que el grupo cociente H1(S2) = 0 es el

grupo trivial.

Estas ultimas igualdades nos dicen que efectivamente y como lo indica elsentido comun, existe un hueco 2–dimensional, i.e. un 2–ciclo que no esborde de ningun 3–sımplice o 3–cadena existente en el espacio S2 y, que noexisten huecos 1–dimensionales al estilo del que posee la circunferencia.

El siguiente teorema nos muestra una bonita relacion entre H0(K) y

GUSTAVO


Π0(K).

Teorema 6.23. H0(K) es un grupo libre abeliano cuyo rango es el numerode componentes conexas por caminos de K.

Demostracion. La idea es mostrar que dos vertices v, w estan en la mismacomponente conexa si y solo si resultan ser homologos. En efecto, si v y wpueden ser conectados por una sucesion de lados vv1v2 . . . vkw tales que dosvertices consecutivos no son iguales, entonces

v − w = ∂1([v, v1] + [v1, v2] + · · ·+ [vk, w]).

Finalmente, dos vertices que se encuentren en diferentes componentes de Kno son homologos ya que no existen lados unidos que los puedan conectar.Ası que, seleccionar un vertice por cada componente es equivalente a escogeruna coclase en H0(K).

Los anteriores dos ejemplos nos dan una informacion sobre las esferas S1

y S2: tienen diferentes grupos de homologıa y esto implica que no sonhomeomorfas. En general veremos que Hn(S

n) = Z y H0(Sn) = Z, pero

Hk(Sn) = 0 para 0 < k < n. Como consecuencia tenemos, por ejemplo, que

S3 y S4 no son homeomorfas, respuesta que no pudimos obtener a partirdel grupo fundamental.

Ejemplo 6.24 (Homologıa de la re-gion anular). Sea A la superficie de laregion anular comprendida entre dos cir-cunferencias y con la triangulacion indica-da por la figura. Como A es conexa porcaminos tenemos H0(A) = Z.Los unicos posibles grupos no triviales sonpara n = 0, 1, 2.Si σ es un 1–ciclo, y si [p1, p2] tienecoeficiente r en σ, entonces α = σ −r∂2([p1, p2, v1]) es una cadena que no con-tiene el lado [p1, p2] y es homologo a σ, i.e.σ − α es un borde.

v1

v2

v3

v4

v5

p1

p2

p3 p4

p5

Notese que lo que hemos hecho es dar un desvıo por los lados [p2, v1]y [v1, p1] a fin de evitar el paso por [p1, p2]. Un calculo rapido muestra que

GUSTAVO


efectivamente α es de nuevo un ciclo, pues ∂1(α) = ∂1(σ−r∂2([p1, p2, v1])) =∂1(σ)− r∂1(∂2([p1, p2, v1])) = 0.

Aplicando un argumento similar al anterior y de manera reiterada, pode-mos obtener un 1–ciclo homologo a σ el cual no contiene lados pertenecientesa la circunferencia interior de A. Este ciclo a su vez puede ser mejorado aloperarlo con multiplos de ∂2([vi, pi, vj ]) a fin de eliminar los lados de la forma[vi, pi]. Este ultimo 1–ciclo α′ no posee tampoco los otros lados [vi, pj ] pues sipor ejemplo apareciera el lado [v5, p1] con un coeficiente no nulo, entonces elvertice p1 aparece con el mismo coeficiente en ∂1(α

′) y no tendrıamos comoanularlo. Por tanto, α′ que es homologo a σ, esta conformado unicamentepor lados pertenecientes a la circunferencia exterior de A. Es claro que esteciclo debe ser entonces de la forma

m([v1, v2] + [v2, v3] + [v3, v4] + [v4, v5] + [v5, v1]).

Ası que, despues de practicamente empujar cada 1–ciclo a la circunferenciaexterior hemos obtenido

H1(A) = Z.

Es facil ver que ningun 2–cadena tiene borde nulo, puesto que todo 2–sımpli-ce tiene un lado o bien en la circunferencia interior o en la exterior y estelado no aparece en ningun otro 2–sımplice a fin de que pudiese ser eliminado,por lo que Z2(A) = 0 lo que implica H2(A) = 0.

Ejemplo 6.25 (Homologıa del toro). En el calculo de la homologıa deltoro T , encontramos los terminos cadena, ciclo y borde bien ejemplificados,aunque aun nos falta el concepto de torsion.

α C

A B

σ

Figura 6.12: Cadenas en el toro

GUSTAVO


.

a

1 34

5

2

b c

b c

d e f d

a

g h i g

a a

a

b

c

Figura 6.13: El toro y una triangulacion.

Si miramos una curva A cerrada y orientada como en la figura 6.12,claramente su borde es 0 y ademas no encierra, no es borde de ningunaregion que pertenezca al toro; mientras que B representa una curva tambiencerrada, pero en este caso aunque tampoco tiene borde, sı es el borde de laregion del toro conformada por las tres areas triangulares orientadas como enla figura. Ambos son elementos de Z1(T ) pero B tambien lo es de B1(T ). Bes precisamente la clase de 1–ciclo que no proporciona informacion adicionaly especıfica sobre el toro —el comportamiento de B es el mismo para todasuperficie— y por ello es eliminado al pasar al cociente en Z1(T ) y conformara H1(T ) = Z1(T )/B1(T ).

Un buen ejemplo de ciclos homologos lo constituyen α y σ, ya que sudiferencia α−σ es el borde de la region tubular C mostrada en la figura 6.12,y por tanto, pertenecen a la misma clase en H1(T ) puesto que α−σ ∈ B1(T ).

Examinemos en detalle la situacion para los dos caminos cerrados α1 =[a, b] + [b, c] + [c, a] y σ1 = [d, e] + [e, f ] + [f, d] dados por la triangulacion ylos cuales corresponden en la figura 6.13 a un camino en la base y el caminosuperior. Si a un ciclo le anadimos cualquier frontera su clase no cambia,por tanto podemos anadir los bordes de los triangulos [a, e, b], [b, f, c], [c, d, a],lo cual produce la cadena en forma de zig–zag:

[a, e] + [e, b] + [b, f ] + [f, c] + [c, d] + [d, a]

a la cual podemos anadir los bordes de los 2–sımplices [a, d, e], [b, e, f ], [c, d, f ]

GUSTAVO


a b c a

e f d

Figura 6.14: Un paso en la construccion de caminos homologos.

y obtener a σ1:

[a, d]+[d, e]+[e, b]+[b, e]+[e, f ]+[f, c]+[c, f ]+[f, d]+[d, a] = [d, e]+[e, f ]+[f, d].

Dado σ un 1–ciclo, obtenemos un ciclo α homologo que no contengala hipotenusa [g, b] del triangulo [g, b, h] —notado 1— en la triangulacion,al multiplicar el borde del triangulo por el multiplo apropiado (esta fue latecnica utilizada en el ejemplo 6.24) y anadirlo a σ, i.e. α = σ− r∂([g, b, h]),pues al fin y al cabo al anadir bordes a un ciclo se obtienen ciclos homologos.Ahora, de este nuevo ciclo α obtenemos uno homologo y que no contiene ellado [h, b] del triangulo [h, b, c], al sumar un multiplo del borde del triangulonotado como 2.

Continuando de esta manera sobre losdiferentes triangulos, obtenemos un ciclohomologo a σ que solo puede tener lados enel esquema siguiente. Pero de existir tal ci-clo, el no puede contener alguno de los lados[h, i], [i, g],[e, f ], [f, d] interiores al cuadrado,pues entonces su borde no serıa 0.

h

fe

i

d

g

Por tanto, σ resulta homologo a un 1–cicloteniendo lados unicamente en las circunferen-cias σ1, σ2 que resultan de identificar los ladosdel cuadrado (ver figura). Pero al tomar unade estas circunferencias, cada lado que apare-ce en ella debe aparecer el mismo numero deveces que los otros lados o no habrıa formade obtener que su borde sea 0.

σ1

σ2

Por supuesto un lado en σ1 no tiene por que aparecer el mismo numerode veces con que otro aparece en σ2, solo se obliga a los que estan en lamisma circunferencia. Si el borde de una 2–cadena tiene lados en σ1 y σ2

todos los triangulos en la 2–cadena deben tener el mismo coeficiente a fin de

GUSTAVO


que el lado comun pueda ser cancelado y por tanto su borde es cero. Estoimplica que los 1–ciclos σ1 y σ2 son suficientes y necesarios para generar acada clase de homologıa, i.e. [σ] = rσ1 + sσ2 para cada 1–ciclo σ. Por tanto,

H1(T ) = Z× Z.

Si hacemos la suma de todos los 2–sımplices orientados como en la figura6.12, tenemos un ejemplo de una 2–cadena α; y si calculamos el borde de estasuma, entonces cada lado de la triangulacion ocurre exactamente dos vecesen el resultado —una vez con cada una de sus dos posibles orientaciones—y por tanto el borde es 0 y tenemos ası que α es un 2–ciclo.

Si tomamos cualquier otro 2–ciclo, es facil observar que el debe ser unmultiplo de este primer 2–ciclo α. En efecto, si el triangulo [a, b, c] esta en el2–ciclo con coeficiente r entonces r[b, c] aparece en su borde. Este lado debeser entonces parte de otro triangulo en T cuyo tercer vertice lo notamos d ypara poder cancelar a r[b, c] debemos orientar al triangulo adyacente como[d, c, b] —compatible ası con [a, b, c]— y ademas debe estar incluido en nues-tro 2–ciclo con el mismo coeficiente r. Lo propio ocurre para cada par detriangulos adyacentes, lo que obliga a que todos los triangulos —orientadoscomo en la figura 6.12 deben aparecer el mismo numero de veces. Por tan-to, Z2(T ) = Z y como B2(T ) = 0 —puesto que no existen 3–sımplices—obtenemos que,

H2(T ) = Z.

Como T es conexo por caminos,

H0(T ) ' Z.

Ejemplo 6.26 (Homologıa de la botella de Klein). Si K es la botellade Klein, ya tenemos por la conexidad que H0(K) = Z.

A diferencia —y en realidad como contraste— del toro, ahora tenemosque Z2(K) = 0, i.e. no hay 2–ciclos. En efecto, notese que cada 1–sımpliceocurre como cara de exactamente dos 2–sımplices; por ejemplo [a, b] ocurrecomo cara con la misma orientacion para los dos triangulos [a, b, e] y [a, b, i](ver la figura 6.15).

Por tanto, si uno de los dos triangulos es un sumando de un 2–ciclo σ,el otro debe estar en σ y ademas con el mismo coeficiente; pero esto a suvez obliga a que este [a, i, g] a fin de poder cancelar a [a, i] y continuandode esta manera obtenemos que cada 2–sımplice debe estar en σ y con elmismo coeficiente; por tanto σ es un multiplo de esta cadena formada por

GUSTAVO


a

1 34

5

2

bc

b c

d e f d

a

g h i g

a a

Figura 6.15: La botella de Klein y una triangulacion

la suma de todos los triangulos orientados el cual ciertamente no tieneborde 0, muy por el contrario su borde es 2([a, b] + [b, c] + [c, a]) = 2σ2. Nohay 2–ciclos, —en alguna manera esto refleja lo que es conocido como lano orientabilidad de la botella de Klein, i.e., no hay manera de orientarde manera compatible a todos los 2–sımplices de una triangulacion— y portanto

H2(K) = 0.

Ası como lo hicimos con el toro, podemos ver quecada 1–ciclo resulta ser homologo a un ciclo dela forma rσ1 + sσ2. Pero si una 2–cadena quieretener como borde a un ciclo de esta forma, ya vi-mos que todos los triangulos en la triangulaciondeben aparecer con el mismo coeficiente a fin depoder cancelar los lados internos. En el caso deltoro, el borde de una tal 2–cadena fue 0, peroaquı como ya hemos visto, su borde es k(2σ2)donde k es el numero de veces que aparece cadatriangulo.Por tanto, H1(K) es un grupo abeliano que tienecomo generadores las clases de homologıa de σ1

y σ2 y las relaciones σ1+σ2 = σ2+σ1 y 2σ2 = 0.Ası,

σ1

σ2

GUSTAVO


H1(K) = Z× Z2.

El cual es nuestro primer ejemplo de un grupo con coeficiente de torsion 2y numero de Betti 1.

a

b c

c

b

a b

ac

1 3 42

Figura 6.16: La cinta de Moebius y una triangulacion

Ejemplo 6.27 (Homologıa de la cinta de Mobius). Dado un 1–ciclo σ,al restarle multiplos de los bordes de los triangulos 2, 3 o 4 podemos llevarlohasta un ciclo homologo σ′ teniendo lados solo en los bordes superior einferior del rectangulo y en el lado [a, b], i.e., en la circunferencia que rodeala cinta o el segmento de pega [a, b] (ver figura 6.16), donde los lados queaparecen en la circunferencia deben tener el mismo coeficiente —eliminamoslos lados en la parte interior al rectangulo—.

Ahora, la 2–cadena δ formada por la suma de todos los triangulos tienecomo borde ∂2(δ) a los lados superior e inferior en el rectangulo mas 2[a, b], ycomo los lados [a, c] y [c, b] en la parte superior del rectangulo deben aparecerel mismo numero de veces, podemos sustraer a σ′ cierto multiplo adecuadode ∂2(δ) y obtener ası un ciclo homologo con lados unicamente en el ladoinferior del rectangulo y [a, b] —este ciclo generador es mostrado por laslıneas punteadas en ambas figuras— y por supuesto estos lados orientadosdeben aparecer el mismo numero de veces en el nuevo ciclo, lo que implicaque

H1(K) = Z.

Para calcular a H2(K), notese que todo 2–ciclo debe contener a los triangu-los 1, 2, 3 y 4 el mismo numero de veces (con la orientacion ), y esteciclo no podrıa entonces tener borde 0 ya que su borde serıa k(2[a, b] +lado superior + lado inferior 6= 0. Por tanto

H2(K) = 0.

GUSTAVO


6.4. Homologıa singular

Para calcular la homologıa de un espacio X hemos supuesto que el es-pacio ya tiene una triangulacion K como complejo simplicial. ¿Que sucedesi consideramos otra triangulacion K ′ para X? ¿Cambian los grupos dehomologıa? Para contestar estas preguntas desarrollaremos una teorıa dehomologıa mas general, y llamada homologıa singular, que no este basa-da sobre complejos simpliciales, sino que por el contrario pueda ser definidasobre cualquier espacio topologico; pero como toda buena generalizacion,ella debe coincidir con la homologıa simplicial cuando de complejos se trate.

6.4.1. Sımplices regulares

Definicion 6.28. Dado n ∈ N, definimos el n–sımplice estandar ∆n ⊆Rn+1 como el n–sımplice con vertices en los vectores unitarios e0 = (1, 0, . . . , 0),e2 = (0, 1, . . . , 0), . . ., en = (0, . . . , 0, 1) en cada eje coordenado,

∆n = [e0,e1, . . . ,en] = (x0, . . . , xn) ∈ Rn+1 : xi ≥ 0 yn∑

i=0

xi = 1.

e2 = (0, 0, 1)

e0 = (1, 0, 0)

e1 = (0, 1, 0)

Figura 6.17: ∆2.

El subespacio ∆ni = (x0, . . . , xi, . . . , xn) ∈ ∆n |xi = 0 es la (n − 1)–

cara de ∆n opuesta al vertice ei.

Ejemplo 6.29. El 1–sımplice estandar ∆1 tiene dos 0–caras: e0 y e1.Mientras que ∆2 tiene tres 1–caras: [e0, e1], [e1, e2] y [e0, e2].

GUSTAVO

RUBIANO 6.4. HOMOLOGIA SINGULAR 201

Definicion 6.30. Un n–sımplice singular enun espacio X es entonces definido como una fun-cion σ : ∆n → X (en la figura aparece la imagen∆1). Como σ es tan solo una funcion continua,no tiene entonces por que preservar la topologıade ∆n a la manera de una inmersion, i.e. puedetener “singularidades” y esta es la razon de lapalabra singular.

Definimos Sn(X) como el conjunto de todos los n–sımplices singulares enX. Como en el caso de la homologıa simplicial, para poder hablar de homo-logıa singular debemos tener un operador borde y para definir este ultimodebemos a su vez tener el concepto de caras para un sımplice regular.

Si n ∈ N, definimos para cada i = 0, 1, . . . , n un homeomorfismodi : ∆n−1 → ∆n

i como

di((x0, . . . , xn−1)) = (x0, . . . , xi−1, 0, xi, . . . , xn−1)

para cada (x0, . . . , xi, . . . , xn−1) ∈ ∆n−1. Notese que di es una inmersion de∆n−1 en ∆n —di(∆n−1) es una cara de ∆n—.

Definicion 6.31. Dado un n–sımplice regular σ : ∆n → X al componercon cada una de la n + 1 funciones di obtenemos n + 1 diferentes (n − 1)–sımplices regulares σ di : ∆n−1 → X y cada una de estas funciones σ dila llamamos la i–esima cara de σ notada como σi. Hemos definido ası unafuncion ∂i : Sn(X)→ Sn−1(X) dada por ∂i(σ) = σi para cada σ ∈ Sn(X) yllamado el operador i–esima cara.

6.4.2. Cadenas regulares

Para cada entero n ≥ 0 definimos Cn(X) como el grupo libre abelianosobre Sn(X). Los elementos de Cn(X), llamados n–cadenas singularesson combinaciones lineales de la forma

f = m1σ1 +m2σ2 + · · ·+mkσk con mi ∈ Z, σi ∈ Sn(X).

Definicion 6.32. Para cada n–sımplice regular σ ∈ Sn(X) definimos suborde o frontera como la suma alternada de sus caras ∂n(σ) =

∑ni=0(−1)iσi.

Extendemos esta definicion de manera lineal (o aditiva) a un homomor-fismo ∂n : Cn(X) → Cn−1(X) llamado el operador borde singular o

GUSTAVO


operador frontera singular; de suerte que, si f =∑k

i=1miσi ∈ Cn(X)entonces

∂n(f) =

n∑

i=0

(−1)imi∂(σi).

La frontera de una 0–cadena se define como 0, es decir, convenimos en queC−1(X) = 0.

Por tanto, para cada espacio X tenemos el complejo de cadenas sin-gulares Cn(X), ∂n —ver recuadro de la seccion 6.2.1—

· · · ∂n+2−−−→ Cn+1(X)∂n+1−−−→ Cn(X)

∂n−→ Cn−1(X)∂n−1−−−→ · · · −→ C1(X)

∂1−→ C0(X)

Solo nos resta verificar el siguiente teorema.

Teorema 6.33. Para cada n ≥ 1 la composicion

∂n−1 ∂n : Cn(X)∂n−→ Cn−1(X)

∂n−1−−−→ Cn−2(X)

es el homomorfismo nulo, es decir Im(∂n) ⊆ Ker(∂n−1).

Demostracion. Por la definicion de homomorfismo es suficiente verificar lacondicion para cada σ ∈ Sn(X).

Antes de todo, observemos que las funciones di : ∆n−1 → ∆n ydj : ∆n → ∆n+1 satisfacen dj di = di dj−1 si 0 ≤ i < j ≤ n.

Esto a su vez implica que al componer con la funcion σ ∈ Sn(X) tenemos

(σj)i = (σi)j−1.

Ahora bien,

∂n−1 ∂n(σ) = ∂n−1 (∂n(σ)) = ∂n−1

(n∑

i=0

(−1)iσi

)

=

n∑

i=0

(−1)i∂n−1(σi) =

n∑

i=0

(−1)in−1∑

j=0

(−1)j(σi)j

=∑

0≤j<i≤n

(−1)i+j(σi)j +∑

0≤i≤j<n

(−1)i+j(σi)j

=∑

0≤j<i≤n

(−1)i+j(σj)i−1 +∑

0≤i≤j<n

(−1)i+j(σi)j

= (−1)∑

0≤i≤j≤n

(−1)i+j(σi)j +∑

0≤i≤j<n

(−1)i+j(σi)j

= 0.

GUSTAVO


Como en todo complejo de cadenas tenemos las siguientes definiciones:

1. Una cadena regular f ∈ Cn(X) es un n–ciclo si ∂n(f) = 0, i.e. sif ∈ Ker(∂n) = Zn(X).

2. Si existe f ′ ∈ Sn+1(X) tal que ∂n+1(f′) = f , decimos que f es un

n–borde; esto es, f ∈ Im(∂n+1) = Bn(X).

3. El grupo cociente Hn(K) = Zn(K)/Bn(K) es el n-esimo grupo dehomologıa singular con coeficientes en Z.

4. Queda definida una relacion de equivalencia sobre Cn(X) como:

dos cadenas f1, f2 son n–cadenas homologas si f1 y f2 difieren enun borde, esto es, si f1 − f2 ∈ B(K), i.e.

f1 ∼ f2 :⇔ existe f3 tal que f1 − f2 = ∂n+1(f3).

5. X se llama acıclico si Hi(X) = 0, para i > 0.

Ejemplo 6.34. Si X se reduce a un punto, H0(X) = Z, y si n > 0 entoncesHn(X) = 0, es decir X es acıclico.

En efecto, para cada n > 0 existe una sola funcion ∆n → X. Por tantoSn(X) es unitario y Cn(X) = Z. Para cada sımplice σ : ∆n → X se tiene quetodas las caras σi son iguales digamos a σ0. Por tanto, todos los sumandos en∂n(σ) =

∑ni=0(−1)iσi son iguales y tenemos que la suma es: 0 si n es impar

o σ0 si n es par. Luego, ∂n : Cn(X) → Cn−1(X) es la funcion identidadid(Z) para n par, y la constante a 0 para n impar y ası Zn(X) = Z si nes impar, y 0 si n es par. Por tanto, Hi(X) = 0 para i > 0 —acıclico— yH0(X) = C0(X)/Im(∂1) = Z/0 = Z.

Proposicion 6.35. Si Π0(X) = Xλλ ∈ Λ es el conjunto de las com-ponentes conexas por caminos de X, entonces para cada n ≥ 0 existe unisomorfismo canonico

Hn(X) =⊕

λ∈Λ

Hn(Xλ).

Demostracion. Como ∆n es conexo por caminos, un n–sımplice de X es unn–sımplice de Xλ para algun λ ∈ Λ, y ası, una n–cadena σ de X puede serexpresada como una suma

∑λ σλ donde cada σλ es una n–cadena en Xλ.

Por tanto Cn(X) se expresa como una suma directa ⊕λ∈ΛCn(Xλ). Como laimagen de un n–sımplice σ : ∆n → X esta contenida en Xλ para algun λ,

GUSTAVO


tambien lo esta la imagen de la compuesta σ di para cada i y por tantoel operador borde ∂n respeta esta ultima suma ⊕λ∈ΛCn(Xλ), con lo queHn(X) =

⊕λ∈ΛHn(Xλ).

Corolario 6.36. Si X es conexo por caminos, H0(X) ≈ Z.

Demostracion. Como cada 0–sımplice σ : ∆0 → X es una funcion constantecon σ(e0) = x0 para x0 ∈ X, tenemos que, S0(X) puede ser identificado conX y por tanto, C0(X) puede ser visto como el grupo libre abeliano generadopor los elementos en X. Como C−1(X) = 0 tenemos que ker(∂0) = C0(X)y por tanto H0(X) = C0(X)/Im(∂1).

Definimos un homomorfismo sobreyectivo

h : C0(X)→ Z como h

(∑

i

niσi

)=∑

i

ni.

Veamos que si X es conexo por caminos entonces ker(h) = Im(∂1) y portanto h induce un isomorfismo H0(X) ≈ Z.

En efecto, Im(∂1) ⊆ ker(h) ya que para cada 1–sımplice σ : ∆1 → Xtenemos

h(∂1(σ)) = h(σ|[v1]− σ|[v0]) = 1− 1 = 0.

Para ver que ker(h) ⊆ Im(∂1) tomemos una cadena en el nucleo y veamosque ella es un borde. Sea h (

∑i niσi) = 0 con lo que

∑i ni = 0. Por cada 0–

sımplice σi : ∆0 → X tomemos un camino αi : [0, 1]→ X de p a σi(v0) (parap un punto base en X) y sea σ0 el 0–sımplice con imagen p. Por supuesto αipuede ser visto como un 1–sımplice para el cual ∂1 (αi) = σi−σ0. Por tanto

∂1

(∑

i

niαi

)=∑

i

niσi −∑

i

niσ0 =∑

i

niσi

ya que tenıamos∑

i ni = 0.

Corolario 6.37. Como en el caso da la homologıa simplicial, teorema 6.23,el grupo H0(X) ≈⊕λ∈Π0(X) Z —cuenta el numero de componentes conexasen X.

6.4.3. Comportamiento funtorial

Nuestro interes es ahora demostrar que Hn se comporta de manera fun-torial. Para esto, mostramos que cada funcion continua f : X → Y induce

GUSTAVO


un homomorfismo f∗ : Hn(X) → Hn(Y ) entre los grupos de homologıa.Tambien mostraremos que los grupos de homologıa singular son invarian-tes topologicos y que espacios equivalentes por homotopıa tiene grupos dehomologıa isomorfos.

Teorema 6.38. Dada una funcion continua f : X → Y , para cada n ≥ 0existe un homomorfismo inducido f∗ : Hn(X)→ Hn(Y ).

Demostracion. Primero definimos una funcion f# : Sn(X) → Sn(Y ) com-poniendo cada n–sımplice regular σ : ∆n → X con f para ası obtener unn–sımplice f#(σ) = f σ : ∆n → Y . Ahora, extendemos a f# de mane-ra lineal como f# (

∑i niσi) =

∑i nif#(σi) =

∑i nif σi y obtenemos un

homomorfismo f# : Cn(X)→ Cn(Y ) para cada n ≥ 0.

El comportamiento de este homomorfismo es impecable con el operadorborde en el sentido que f# ∂n = ∂n f#. En efecto, para cada n–sımpliceσ tenemos

∂n f#(σ) = ∂n(f σ) =

n∑

i=0

(−1)i(f σ)i =

n∑

i=0

(−1)if (σ)i

= f# n∑

i=0

(−1)iσi = f# ∂n(σ)

y lo mismo sucede para cada elemento en Cn(X) ya que las funciones f# y∂n son homomorfismos de grupos.

De acuerdo al recuadro de la pagina 183 tenemos una transformacionde cadena (el diagrama es commutativo) entre los complejos de cadenassingulares para X y para Y :

· · · Cn+1(X) Cn(X) Cn−1(X) · · ·

· · · Cn+1(Y ) Cn(Y ) Cn−1(Y ) · · ·

-∂n+2 -∂n+1

?f#

-∂n

?f#

-∂n−1

?f#

-∂n+2 -∂n+1 -∂n -∂n−1

De la conmutatividad en particular se implica que f# envıa ciclos enciclos, ya que si ∂α = 0 entonces ∂(f#α) = f#(∂α) = 0. Pero tambien f#

envıa bordes en bordes ya que f#(∂β) = ∂(f#α) y por tanto f# induce unhomomorfismo f∗ : Hn(X)→ Hn(Y ).

GUSTAVO


Teorema 6.39. Dadas dos funciones continuas f : X → Y y f : Y → Zlos homomorfismos inducidos f∗ y g∗ satisfacen (g f)∗ = g∗ f∗.

Demostracion. Si [α] ∈ Hn(X) entonces

(g f)∗([α]) = [(g f)#(α)] = [g# f#(α)] = g∗([f#(α)]) = g∗ f∗([α]).

Corolario 6.40. Para la funcion identidad idX : X → X se tiene queidX∗ = idHn(X) : Hn(X)→ Hn(X).

Demostracion. Es inmediato ya que las construcciones estan basadas en lacomposicion de funciones.

Corolario 6.41. Para cada n ≥ 0, : Hn es un funtor de Top en Ab.

Corolario 6.42. Los grupos de homologıa singular son invariantes topologi-cos, i.e., si X ≈ Y entonces Hn(X) = Hn(Y ) (si f es un homeomorfismoentonces f∗ es un isomorfismo).

Invarianza por homotopıa

Veamos que los grupos de homologıa no son tan solo invariantes topologicos,sino tambien invariantes homotopicos, i.e. veamos que espacios equivalenteshomotopicamente tienen grupos de homologıa isomorfos. De tal manera quela homologıa es una propiedad topologica m´ss debil que la homotopıa, dadoque existen espacios que tienen los mismos grupos de homologıa, pero noson equivalentes homotopicamente —Hn(toro) ≈ Hn(toro perforado)—

Teorema 6.43. Si f, g : X → Y son dos funciones continuas homotopas,entonces f∗ = g∗ : Hn(X)→ Hn(Y ).

Demostracion. El ingrediente esencial es definir un homomorfismoPn : Cn(X) → Cn+1(Y ) conocido como el operador prisma que satisfacela llamada relacion prismatica,

∂Yn+1 Pn + Pn−1 ∂Xn = g∗ − f∗, (6.6)

la cual implica que Hn(f) = Hn(g).

Para ello subdividimos el prisma ∆n× I en (n+1)–sımplices. La “tapa”inferior de ∆n × I es ∆n × 0 = [v0, · · · , vn] mientras que la superior

GUSTAVO


es ∆n × 1 = [w0, · · · , wn], donde vi y wi tienen la misma imagen en laproyeccion p : ∆n × I → ∆n.

El n–sımplice [v0, · · · , vi, wi+1, · · · , wn] (ubica-do como una cara dentro del prisma y en lafigura se muestra a [v0, w1, w2]) es el grafo dela funcion lineal ϕi : ∆n → I definida desde lascoordenadas baricentricas como ϕi(t0, · · · , tn) =ti+1 + · · ·+ tn, y notese ademas que este sımpli-ce se proyecta de manera homeomorfa sobre ∆n

por medio de la proyeccion p : ∆n × I → ∆n yque el grafo de ϕi esta por debajo del grafo deϕi−1, i.e., ϕi ≤ ϕi−1.

v0 v1

v2

w0 w1

w2

La region entre estos dos grafos ϕi y ϕi−1 esel (n + 1)–sımplice [v0, · · · , vi, wi, · · · , wn] (enla figura hemos sombreado al 3-sımplice interno[v0, v1, v2, w2]) puesto que wi no esta en ningunode los dos n–sımplices y la union de todos ellosconstituyen todo ∆n×I; y para dos n–sımplicesconsecutivos —i, i+ 1— tenemos

[v0, · · · , vi, wi, · · · , wn]∩[v0, · · · , vi+1, wi+1, · · · , wn]

es una cara como n–sımplice.v0 v1

v2

w2

Dada la homotopıa F : X× [0, 1]→ Y con F : f ' g definimos para cadan ≥ 0 el operador prisma Pn : Cn(X) → Cn+1(Y ) para cada σ : ∆n → Xcomo

P (σ) =∑

i

(−1)iF (σ × id) |[v0, · · · , vi, wi, · · · , wn]

donde F (σ × id)|[v0, · · · , vi, wi, · · · , wn] : ∆n+1 → ∆n × I → X × I → Yy P (σ) es ası una combinacion lineal de (n+ 1)–sımplices. Mostremos puesque se satisface la ecuacion 6.6 la cual reescribimos como

∂P = g∗ − f∗ − P∂.

Geometricamente el lado izquierdo de esta ecuacion nos representa el bordedel prisma y los tres terminos del lado derecho representan la “tapa” ∆n ×1, la “base” ∆n × 0 y los lados (∂∆n)× I del prisma.

GUSTAVO


Para verificar la ecuacion 6.6 simplemente calculamos:

∂P (σ) =∑

j≤i

(−1)i(−1)jF (σ × id)∣∣[v0, · · · , vj , · · · , vi, wi, · · · , wn]j

+∑

j≥i

(−1)i(−1)j+1F (σ × id)∣∣[v0, · · · , vi, wi, · · · , wj , · · · , wn]j ,

los terminos con i = j en las dos sumas se cancelan excepto paraF (σ × id)

∣∣[v0, w0, · · · , wn]0 , el cual es g σ = g∗(σ) y para−F (σ × id) |[v0, · · · , vn, wn]n , el cual es −f σ = f∗(σ). Finalmente losterminos con i 6= j son exactamente −P∂(σ) ya que

P∂(σ) =∑

i<j

(−1)jF (σ × id)∣∣[v0, · · · , vi, wi, · · · , wj , · · · , wn]j

+∑

i>j

(−1)jF (σ × id)∣∣[v0, · · · , vj , · · · , vi, wi, · · · , wn]j .

Si α ∈ Cn(X) es un ciclo tenemos

g∗(α) − f∗(α) = ∂P (α) + P∂(α) = ∂P (α)

ya que como ciclo ∂(α) = 0. Con lo cual g∗(α) − f∗(α) es un borde, y portanto g∗(α) y f∗(α) determinan la misma clase de homologıa, esto es, g∗ = f∗para cada [α] ∈ Hn(X).

Realmente hemos probado que para los complejos de cadenas singularesCn(X), ∂n, Cn(Y ), ∂n y las dos funciones entre cadenasf#, g# : Cn(X) → Cn(Y ), se tiene una familia de homomorfismosP = Pn : Cn(X)→ Cn+1(Y )n≥0 que satisfacen la propiedad

∂n+1Pn + Pn−1∂n = f# − g#y son por tanto llamados una homotopıa de cadena:

· · · Cn+1(X) Cn(X) Cn−1(X) · · ·

· · · Cn+1(Y ) Cn(Y ) Cn−1(Y ) · · ·

-∂n+2 -∂n+1

?f#

?g#

+

Pn+1

-∂n

?f#

?g#

+

Pn

+

Pn−1

-∂n−1

?f#

?g#

-∂n+2 -∂n+1 -∂n -∂n−1

En la demostracion del teorema hemos mostrado que una homotopıa entredos funciones continuas, conduce a una homotopıa de cadena en el contextode los complejos de cadenas, lo cual a su vez implica la igualdad de lasfunciones inducidas. Formalicemos estos conceptos:

GUSTAVO


Definicion 6.44. Sean C, δ∗, D, ∂∗ dos complejos de cadenas, yφ,ψ : C → D dos funciones de cadenas. Una familia de homomorfismos

Φ∗ = Φn : Cn → Dn+1n≥0

es una cadena de homotopıa entre φ y ψ si

∂n+1Φn + Φn−1δn = ψn − φn

para cada n ≥ 0 y ∂1Φ0 = ψ0 − φ0.

Proposicion 6.45. Si φ,ψ : C → D son dos funciones de cadenas y Φ∗

es una cadena de homotopıa entre ellas, entonces las funciones sobre lahomologıa son iguales.

Demostracion. En efecto, si σ ∈ Cn esta en el nucleo de δn entonces

ψn(σ)− φn(σ) = ∂n+1Φn(σ) + Φn−1δn(σ) = ∂n+1Φn(σ) + 0

ya que δn(σ) = 0. Ası, ψn(σ)− φn(σ) esta en la imagen de ∂n+1. Por tanto,ψn(σ) y φn(σ) estan en la misma clase de inducida de homologıa. Y comoesto se tiene para cada σ, las funciones inducidas son iguales.

Corolario 6.46. Si X y Y son homotopicamente equivalentes, entoncesHn(X) es isomorfo a Hn(Y ) para cada N ≥ 0.

Demostracion. Basta observar que si X y Y son homotopicamente equiva-lentes por medio de la homotopıa f : X → Y y g : Y → X entonces f∗ esun isomorfismo, ya que las relaciones f g ' idY y g f ' idX implicanf∗ g∗ = (f g)∗ = id∗ y visceversa.

El corolario anterior implica que cualquier retracto por deformacion Ade un espacio X, tiene grupos de homologıa singular isomorfos a los de X.En particular si X es contractil, entonces Hn(X) = 0 para cada n > 0.

GUSTAVO

RUBIANO Indice alfabetico

(R− 0, ·), 47

(C− 0, ·), 48C(X,Y ), 63

S(K,U), 63Y tf X, 40

[X,Y ], 81

Ω(X, x0), 83GLn, 49

SLn, 50SOn, 51

Π0(X), 75Π1(X, x0), 90

Πn(X), 134

RP n, 44

admisible, 64

alfabeto, 18

botella de Klein, 41bouquet, 134

cadena de grupos, 182

camino, 72cardinal, 6

categorıa, 107, 112celda, 175

cilindro, 41

de una aplicacion, 42cinta de Mobius, 30

circunferencia del topologo, 77clase

de homotopıa, 80

clasificacionde recubrimientos, 158

cocientede grupos, 13

coclase, 10complejo simplicial, 173

complejos, 48componente conexa, 71conexo, 68

localmente por caminos, 76

por caminos, 73conexos maximales, 71cono, 41

contractil, 124convergencia puntual, 61cubrimiento, 3

descomposicion

canonica, 32determinante, 51

equivalencia

de homotopıa, 117espacio

orbita, 56de funciones, 60

homogeneo, 54identificacion, 31localmente euclidiano, 163proyectivo, 141

punteado, 83recubridor, 140

210

GUSTAVO

RUBIANO INDICE ALFABETICO 211

simplemente conexo, 96espacio proyectivo, 44

familia indizada, 1funcion

cociente, 33inducida, 66recubridora, 140

funcion evaluacion, 64funciones

que pegan espacios, 39functor, 108

completamente fiel, 108funtor, 112

grupoabeliano, 9cıclico, 14con torsion, 15fundamental, 91generado, 14libre, 17lineal especial, 51lineal general, 49ortogonal especial, 51simetrico, 52topologico, 46

grupo libreabeliano, 20generado, 18

hipotesis del continuo, 6homologos, 191homotopas, 79homotopo

nulo, 97homeomorfismo local, 99homologıa, 172

con orientacion, 185sin orientacion, 178singular, 200

homomorfismo, 11

homomorfismosde grupos topologicos, 55

inducidos, 106homotopıa, 67, 79

de caminos, 85lineal, 79relativa, 82

isometrıa, 52isomorfismo

de grupos, 12

l.c.c., 76Lema de Lebesgue, 100levantamiento, 98, 148

de funciones, 155

metrica uniforme, 62

monoide, 8

numerode Betti, 16

numero de hojas, 141

normalizador, 13

operacion interna, 8

operador borde, 179operador frontera, 202

ordende un elemento, 15

palabra, 18par topologico, 82

particion, 2permutacion, 9producto

amalgamado de grupos, 24directo externo, 17

directo interno, 17libre de grupos, 22

GUSTAVO

RUBIANO 212 INDICE ALFABETICO

proyeccion estereografica, 37

recubrimiento, 140regular, 154universal, 161

relacionde equivalencia, 5de orden, 6reflexiva, 5simetrica, 5transitiva, 5

representacionde grupos, 21

retraccion, 110retracto, 110retracto por deformacion, 119

sabanas, 140sılaba, 18semigrupo, 9simplemente conexo

semilocalmente, 162subcelda, 175subgrupo, 9

caracterıstico, 151commutador, 16conjugado, 13normal, 11

suspension, 42

teoremade Brower, 112de Borsuk, 111de Cantor, 7de conjugacion, 152de Seifert—Van Kampen, 127

topologıaadmisible, 64cociente, 30, 31coherente, 27compacto abierto, 63

de continuidad fuerte, 33identificacion, 31identificacion de un subconjun-

to, 35producto de Tychonoff, 61punto abierto, 61suma, 26union disyunta, 26union libre, 26

toro, 34transformaciones Deck, 168traslacion a izquierda, 53triangulacion, 177

variedad, 164vecindad elemental, 140

GUSTAVO

RUBIANO Bibliografıa

[1] Agoston, M. K., Algebraic Topology, a first course, Marcel Dekker, Inc., NewYork, NY, 1976.

[2] Allan J. Sieradski, An Introduction to Topology and Homotopy, Boston, PWS-Kent, 1992.

[3] Armstrong, M. A., Basic Topology, UTM Series, SpringerVerlag, Berlin Hei-delberg New York, 1997.

[4] Bredon, Glen E. Topology and Geometry, SpringerVerlag, New York, 1993.

[5] Brown, R. Ten topologies for X × Y , Quart. J. of Math. (Oxford Ser.)(2), 14,303–319, 1963.

[6] Burde, G., Zieschang, H., Knots, Walter de Gruyter, Berlin New York, 1985.

[7] Croom, F. H., Basic Concepts of Algebraic Topology (Undergraduate Texts inMathematics), SpringerVerlag, Berlin Heidelberg New York, 1978.

[8] Crossley, M. D., Essential Topology Series: Springer Undergraduate Mathema-tics Series, SpringerVerlag, Berlin Heidelberg New York, 2005.

Uno de los tıtulos mas recientes como texto introductorio.

[9] Christenson, C., Voxman, W. Aspects of Topology Series: Pure and appliedMathematics, M. Dehher, New York, 1977.

Un texto con material para dos semestres con una coleccion excelente de ejercicios.Se puede leer una y otra vez... Una primera parte en topologıa de conjuntos y unasegunda en topologıa algebraica con un tratamiento especial en teorıa simplicialy sistemas inversos.

[10] Dieudonne, J., A history of Algebraic and Differential Topology, 1900–1960,Birkauser, Boston Basel, 1989.

[11] Dugundji, J., Topology, Boston, Allyn and Bacon, 1966.

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GUSTAVO

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El primer libro en presentar una teorıa axiomatizada de homologıa y cohomologıa.

[13] Fox, R. H. On topologies for function spaces, Bull. American Math. Soc., 51,429–432, 1945.

[14] Fulton, William Algebraic Topology: A First Course, New York, Springer-Verlag, 1995.

[15] Gamelin, T. W., Greene, R. E., Introduction to Topology, Second edition, Do-ver Publ., Inc., Mineola, NY, 1999.

[16] Garcıa Marrero, M. Topologıa, Alhambra, Madrid, Vol. 5, 1975.

Un esfuerzo enciclopedico que consta de cinco volumenes.

[17] Greenberg, J. M., Lectures on Algebraic Topology, W. A. Benjamin, NY, 1967.

Una buena introduccion a homotopıa y homologıa, que incluye un tratamientopara los grupos de homotopıa de orden superior.

[18] Janich, K. Topology. Springer, 1984.

Este hermoso libro debe ser leıdo ya! Contents: Introduction. - Fundamental Con-cepts. - Topological Vector Spaces.- The Quotient Topology. - Completion ofMetric Spaces. - Homotopy. - The Two Countability Axioms. - CW-Complexes. -Construction of Continuous Functions on Topological Spaces. - Covering Spaces.- The Theorem of Tychonoff. - Set Theory (by T. Brecker). - References. - Tableof Symbols. -Index.

[19] Hatcher, Allen, Algebraic Topology, Cambridge University Press, New York,NY, 2001.

Por fortuna existe una version electronica de este excelente texto en:http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/AT.pdf

[20] Hilton, P. J., Wylie, S., Homology theory: An introduction to algebraic topology,Cambridge University Press, New York, NY, 1960.

[21] Hrbacek, K., Jech, T., Introduction to set theory, Monographs and Textbooksin Pure and Applied Series, Vol. 220, Marcel Dekker, New York, NY, 1999.

Este es uno de los pocos libro solidos en la moderna teorıa de conjuntos. Curio-samente su primer intento de publicacion, por parte de sus autores Checos, fuefallido.

[22] Kahn, D. W., Topology: An Introduction to the Point Set and Algebraic Areas,Dover Publ. Inc., Mineola, NY, 1995.

[23] Lefschetz, S., Topology, AMS Coll. Publ. 12, Providence, RI, 1930.

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[24] Lefschetz, S., Algebraic Topology, AMS Colloquium Publications, 27(1942),New York, NY.

[25] Lefschetz, S., The early development of algebraic topology, Bol. Soc. Bras.Matem. 1(1970), 1–48.

[26] Lima, Elon Lages, Grupo fundamental e espacos de recobrimento, IMPA, Co-leccion Proyecto Euclides, 1993.

Como dice el autor, “se trata de un libro–texto de caracter introductorio, sinpretenciones de ser una obra de referencia”.

[27] Massey, W. S., Algebraic Topology: An Introduction, Springer Verlag, NewYork, 1967.

Aunque no hace una discusion previa de topologıa ganeral, contiene un tratamientobastante completo de la clasificacion de superficies, el grupo fundamental y losespacios de recubrimiento. este libro ha sido una referencia “estandar”para elteorema de clasificacion de superficies.

[28] Maunder, C. R. F., Algebraic Topology, Dover Publ., Mineola, NY, 1996.

[29] Munkres, James R., Topology: a first course, second edition, PrenticeHall, Inc.,Englewood Cliffs, NJ, 1999.

514 M966top 21. Deberıa ser el texto guıa en muchos cursos.

[30] Munkres, James, Elements of Algebraic Topology, Addison Wesley Publ. Co.,Menlo Park, CA, 1984.

514.2 M966e Aunque no tan exitoso como el texto anterior.

[31] Rubiano O., Gustavo N. Topologıa general, Universidad Nacional de Colombia,2002.

Como material introductorio a la topologıa general es mi favorito.

[32] Spanier, E. H., Algebraic Topology, SpringerVerlag, Berlin Heidelberg NewYork, 1994.

[33] Steen, L. A., Seebach, J. A., Counterexamples in Topology, Dover Publ. Inc.,Mineola, NY, 1995.

Una referencia obligada.

[34] Vassiliev, V. A., Introduction to Topology (Student Mathematical Library, V.14), A. Sossinski (Translator), American Mathematical Society, Providence,RI, 2001.

[35] Viro, O. et al., Elementary Topology, a first course, 2005.

Puede y debe consultarse en: http://www.math.uu.se/~oleg/2topoman.pdf

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[36] Wall, C. T. C., A Geometric Introduction to Topology, Addison Wesley Publ.Co., Reading, MA, 1972.

[37] Prasolov, V. Intuitive Topology, American Mathematical Society, 1995.

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