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Teorí a Algebraica de Nú meros Revisando a los maestros
Un hermoso y atrayente libro sobre la Reina de las
Matemáticas
José Luis Camarillo Nava
Teorí a Algebraica de Nú meros
Capí túlo I
El Origen
En el problema número 8 del Libro II de la Aritmética de Diofanto de Alejandría
(325-409 D.C) se plantea: descomponer un cuadrado en dos cuadrados. Más
precisamente, dado un cuadrado ¿se pueden construir otros dos cuadrados tales que la
suma de sus áreas sea igual al área del primero? Esto es equivalente a resolver el
problema de, dado un número natural, z, encontrar números naturales x, y, tales que
Más generalmente, se puede considerar el problema de encontrar una terna de números
naturales (x, y, z) tales que
(1) x 2 + y2 = z
2
Obviamente, la motivación proviene de considerar el Teorema de Pitágoras y
determinar entonces todos los triángulos rectángulos cuyos lados tienen longitudes
enteras. Algunas soluciones de (1) son:
32+4
2= 5
2
52+12
2=13
2
Teorema de Pitágoras
Si ∆ ABC es un triángulo
rectángulo tal que a, b son las
longitudes de sus catetos y c es
la longitud de la hipotenusa,
entonces
72+24
2=25
2
Se dice que los egipcios usaban estas soluciones para construir ángulos rectos, lo cual
les servía para algunas de sus construcciones y que los antiguos babilonios (anteriores a
Pitágoras) las registraban en sus famosas tablillas cuneiformes. A continuación, se
determinarán todas las soluciones del problema (1).
Obsérvese ahora que:
(2) (x, y, z) es una terna pitagórica ⇔ (dx, dy, dz) es una terna pitagórica
En efecto, pues si , es claro que:
⇔d 2x
2+ d
2y
2= d
2z
2 ⇔(dx)
2+( dy)
2= (dz)
2
Por otro lado, se tiene que:
(3) Si (x, y, z) es una terna pitagórica y el número natural, es un divisor común
de x, y, z ⇒ (
) es una terna pitagórica:
Pues, como es un divisor común de x, y, z entonces se tiene que
con
Así, de , resulta (sustituyendo) que
⇒
⇒ d 2a
2 + d
2b
2 = d
2c
2
⇒
⇒(
)
(
)
(
)
⇒ (
) es una terna pitagórica
Definición 1:
Un elemento (x, y, z) 3 se dice que es una terna pitagórica si, y solo, si:
Así pues, según las observaciones anteriores, para determinar el conjunto de todas las
ternas pitagóricas basta entonces determinar aquellas que no tienen factores comunes, es
decir, se ha demostrado que:
Demostración: Observaciones anteriores. ♦♦♦
En virtud del Teorema 1, se tiene la siguiente definición:
Obsérvese ahora que:
(4) Si (x, y, z) es una terna pitagórica primitiva ⇒ {
En efecto, supóngase por ejemplo que . Entonces, por el
Teorema Fundamental de la Aritmética resultaría que existe un número natural
primo, p, tal que p| x y p| y de donde se sigue que p | , es decir, p| (pues
dado que (x, y, z) es una terna pitagórica) lo que implica por ser p
primo que p| z. Así, se tendría que p| x, p| y, p| z lo cual contradice el hecho de ser
por hipótesis. Por tanto, debe ser .
Análogamente, se demuestra que debe ser y .
(5) Si (x, y, z) es una terna pitagórica primitiva ⇒ es imposible que 2| x , 2| y, 2 | z
Esto se sigue inmediatamente de (4).
(6) Si (x, y, z) es una terna pitagórica primitiva ⇒ z es impar
Teorema 1
Si S es el conjunto de todas las ternas pitagóricas, entonces:
S = {(d x, d y, d z) 3 }
Definición 2:
Se dice que una terna pitagórica (x, y, z) es primitiva si, y solo, si
Si z fuese par entonces sería par, es decir, seria par (pues
lo que implicaría que
{
El caso (i) se descarta de inmediato en virtud de (5). En el caso (ii)
resultaría que x=2h+1, y=2k+1, z=2m con h, k, m y así, de se
seguiría que
(4h2+4h+1) + (4k
2+4k+1) = 4m
2,
lo cual implicaría que 4|2 lo cual no es cierto. Por tanto, z es impar.
En cuanto a las paridades de las otras variables se tiene que:
(7) Si (x, y, z) es una terna pitagórica primitiva ⇒ x e y son
Pues como , e ser x e y paridad, entonces sería par lo cual
implicaría que z es par en contradicción con (6).
Supóngase ahora que (x, y, z) es una terna pitagórica primitiva y que x es par.
Entonces, por (6) y (7) se tiene que
(8) x = 2x’, y = 2y’+1, z = 2z’+1, con x’, y’, z’
Ahora bien, de resulta que
⇒
Sustituyendo x = 2x’ en esta última ecuación, resulta que
Esta ecuación se puede escribir en la forma:
(9)
Obsérvese que, como y, z son impares entonces los factores del miembro derecho de
(9) son números enteros naturales:
es natural por ser obviamente z > y. Tomando
ahora d = m.c.d(
) se tendrá que d| z y d | y (pues z e y son,
respectivamente, la suma y la resta de
y
) lo que implica por (4) que d = 1.
Así pues, siendo d = 1, resulta por el Teorema Fundamental de la Aritmética y por (9)
que existen u, v tales que
(10) {
Por (9) y (10) resulta que x’ 2
= u2v
2 lo que obviamente implica que x’ = uv de
donde se sigue que
(11)
Al restar y sumar las ecuaciones de (10) se obtiene que:
(12) {
Observes que, como y y z son impares, entonces resulta por cualquiera de las
ecuaciones de (12) que u y v son de distinta paridad. Además, por (12), es claro que
Finalmente, como y = y, como y resulta que
de modo que u > v.
En resumen, se ha demostrado el siguiente:
Demostración:
(⇒): Esta implicación ya se demostró en las observaciones anteriores.
Teorema 2
La terna de números naturales (x, y, z) es una terna pitagórica primitiva con x par
⇔ existen u, v tales que:
{
(⇐ Siendo , y es fácil comprobar que
. Por otro lado, por (iv) es claro que x es par y por (ii) es claro que y, z
son impares (debido a (v) y (vi)). Como u, v , es claro también (en virtud de (iii),
(iv), (v) y (vi)) que x, y, z son números naturales.
Así pues, solo resta demostrar que
En efecto, de lo contrario, existiría un número primo, p, tal que
(13) p| x, p| y, p | z
De p | x resulta por (iv) que p | 2uv lo que implicaría por ser p primo que
(14) p = 2 o p | u o p | v
Si fuese p = 2, se tendría por (13) que y, z son pares lo cual no es cierto. Si p | u,
entonces como p | (por (13) y (v)), se tendría que p | v 2
lo que implicaría por
ser p primo que p | v. Pero si p | u y p | v se contradice (i). Análogamente, se demuestra
que la condición p | v lleva a la misma contradicción. En resumen, (14) es una
contradicción que proviene de suponer que
Asignando valores adecuados a u y v se puede construir una tabla de ternas pitagóricas
primitivas:
u v
2 1 4 3 5
3 2 12 5 13
4 1 8 15 17
4 3 24 7 25
5 2 20 21 29
5 4 40 9 41
6 1 12 35 37
6 5 60 11 61
7 2 28 45 53
En la última columna de esta tabla se observa que algunos de los elementos que
aparecen son números primos naturales, p, de la forma p= 4n+1, lo cuales, por figurar
en la última columna son entonces suma de dos cuadrados. Esto llevó a Pierre de
Fermat () a conjeturar el:
Teorema de los dos cuadrados: Todo número primo natural, p, de la forma p = 4n+1
es suma de dos cuadrados.
Por otro lado, la solución de la ecuación llevó a Fermat a estudiar, más
generalmente, la ecuación
, n
Fermat aseguró que si n ≥ 3 esta ecuación no tiene solución con x, y, z . Más aún,
en su ejemplar de la Aritmética de Diofanto (publicado por Bachet), Pierre escribió:
“Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratun in duos quadratoquadrtos, et
generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatum in duos ejusdem nominis
fas est dividiré: cujes rei demostrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis
exigüitas non caperet”
Los intentos de establecer tal afirmación como teorema llevaron a varios de los
mejores matemáticos de todas las épocas a desarrollar las bases de la Teoría de
Números. Destacaron los esfuerzos de Euler (n=3), Legendre, Dirichlet, Gauss(n=5) y
Gabriel Lamé (n=7). Ernets Edwart Kummer lo demuestra (como veremos más
adelante) para todos los primos regulares y para algunos irregulares.
La apasionante historia de este problema termina cuando el genial Andrew Wiles se
entera de que su colega Kenneth Ribeth demuestra la famosa Conjetura épsilon o, más
precisamente, que la Conjetura Taniyama-Shimura implicaba este Último Teorema de
Fermat
Conjetura épsilon
Conjetura Taniyama-Shimura
Toda curva elíptica sobre el cuerpo
es una forma modular.
Último Teorema de Fermat
Si n ≥ 3 la ecuación X n
+Y n
= Z n no
tiene solución en .
⇒
Luego del logro de Ribet, Andrew Wiles se dedicó a demostrar la Conjetura
Taniyama-Shimura lo cual logró con la ayuda de Richard Taylor y Nicholas Katz
usando la teoría de curvas elípticas. El caso n = 4 es un corolario al siguiente teorema en
el que se utiliza el llamado Método de descenso infinito de Fermat.
Demostración: Supóngase que existe una terna de números naturales, (x, y, z), tales
que
(15)
En tal caso, por el Principio de Buen Orden, es claro que podría escogerse (de entre
todas las supuestas ternas posibles) una con un valor minimal de z. Obsérvese que la
minimalidad de z implica que :
En efecto, pues suponiendo que entonces existiría un número
natural primo, p, tal que p | x, p | y, p| z de donde se seguiría que
(16) x = p x’, y = py’, z = pz’ con x’, y’, z’
Sustituyendo (16) en (15) resultaría
(17)
Cancelando en (17) resultaría
(18)
Por (18) resulta que p | de modo que (por ser p primo) p | z’ de donde
(19) ’ p ’’ con ’’
Sustituyendo (19) en (17) resultaría que , es decir:
(20)
Pero la ecuación (20) y el hecho de que z’’ < z (pues z’’ =
< z) contradicen
la elección de la terna. Por tanto lo cual (obviamente) implica que
de modo que por (15) se tendría que es una terna
Teorema 3
No existen números naturales x, y, z tales que:
pitagórica primitiva. Así, por el Teorema 2 se tiene que (salvo un “reordenamiento de
las variables “) existen u, v tales que:
(21)
{
Por (21. (v)) se tiene que y así, por (21. (i)) resulta (ahora de
forma obvia) que lo que implica que es una terna
pitagórica primitiva. Aplicando a esta terna el Teorema 2 se tiene que existen s, t tales que:
(22)
{
Por (21. (iv)) y (22. (iv)) resulta que
(23)
Ahora bien, por (22. (i)) se tiene que lo que implica por (23)
y por el Ejercicio 1.1 que s, t, u son cuadrados; luego existen a, b, c tales que
(24) s =
Por (22. (vi)) y (24) resulta que
(25)
Claramente c ≤ u (pues , u, c ) y también u < z ( pues ,
z, u, v ) de modo que c < z lo cual junto con (25) contradice la minimalidad de
z
Demostración: Se sigue inmediatamente del Teorema 3
Corolario 1 (Fermat)
No existen números naturales x, y, z tales que:
Biografías
Bibliografía
1.- “Números, anillos y cuerpos”, Ángel Oneto.
2.- “Teoría algebraica de números”, Pierre Samuel.
3.- “Introducción a la teoría de números”, Niven y Zuckerman.
4. - “An introdution to diophantine equations”, Tittu Andreescu y Dorin Andrica.
5.- “Resolución de ecuaciones en números enteros”, A.O. Guelfond.
6. - “Diophantus and diophantine equations”, Isabella Grigoryevna Bashmakova.
7.- “”
Ejercicios
Ejercicio 1.1:
(i) Sean a, b y supóngase que ab es el cuadrado de un número natural.
Demuestre que si entonces tanto a como b son cada uno el
cuadrado de un número natural.
(ii) Sean a, b y supóngase que ab es la n-ésima potencia de un número
natural. Demuestre que si entonces tanto a como b son
cada uno la n-ésima potencia de un número natural.
(iii) Sean a, b y supóngase que es el cuadrado de un número natural.
Demuestre que b es también el cuadrado de un número natural
Ejercicio 1.2:
Sean x, y, z . Demuestre que: ⇔ existen m, n tales que
{
Ejercicio 1.3:
Si (x, y, z) es una terna pitagórica primitiva demuestre que:
(i) 3| x o 3 | y o 3 | z
(ii) 4 | x o 4 | y o 4 | z
(iii) 5 | x o 5 | y o 5 | z
(iv) 12 | xyz
(v) 60 | xyz
Ejercicio 1.4:
Escriba la tabla de ternas pitagóricas primitivas extendida hasta u = 12.
Ejercicio1.5:
Demuestre que (6480, 4961, 8161) es una terna pitagórica y escríbala en la forma
{
Aquí d = m. c. d (x, y, z) y u, v son números naturales coprimos y de distinta paridad
con u > v.
Ejercicio 1.6: Demuestre que si los lados de un triángulo rectángulo tienen longitudes
enteras, entonces el área del mismo es múltiplo de 6.
Ejercicio 1.7: Sea y n ≥ 3, demuestre que existe una terna pitagórica que tiene
a n como uno de sus miembros.
Ejercicio 1.8: Demuestre que no existen a,b tales que tanto como
sean cuadrados.
Ejercicio 1. 9: Demuestre que no existen triángulos rectángulos cuyos lados tengan
longitudes enteras y tal que su área sea un cuadrado.
Ejercicio 1.10: Encuentre todas las soluciones naturales de la ecuación diofántica:
En caso de tener soluciones, ¿puede hacer una tabla de las mismas?
Ejercicio 1.11: Considere la ecuación
(i) Demuestre que si la terna de números naturales, (x, y, z) , es una solución y si
m. c. d (x, y, z) = 1 entonces existen u,v tales que :
{
Haga una tabla que tenga algunas de estas soluciones particulares.
(ii) Encuentre todas las soluciones de la ecuación dada.
Ejercicio 1.12: Considérese la ecuación
(i) Demuestre que si la terna de números naturales, (x, y, z) , es una solución y si
m. c. d (x, y, z) = 1 entonces existen r,s tales que :
{
n n p
O
{
n n p
(ii) Haga una tabla que tena algunas de estas soluciones particulares.
(iii) Encuentre todas las soluciones de la ecuación dada.
Ejercicio 1.13: Demuestre que las siguientes ecuaciones diofánticas no tienen
solución en :
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
Ejercicio 1.14: Se dice que un triángulo, ∆ ABC, es pitagórico si, y solo si, es
rectángulo y las longitudes de sus lados son números naturales. Demuestre que solo
existen 2 triángulos pitagóricos cuyo perímetro es numéricamente igual a su área.
Capí túlo II
Anillos de enteros algebraicos
En particular, se tiene que
Ejemplo 2.1: Los números complejos u1 = i, u2 = √
, u3 =
y u4 = √
son
enteros sobre ℤ por satisfacer, respectivamente, los polinomios
Definición 2.1:
Sea A un sub-anillo del anillo B. Se dice que un elemento , u , es entero
sobre A si, y solo , si existe un polinomio mónico f(X) tal que
f(u) = 0
Es decir, si y solo si, existen a0, a1, a2,…, an-1 A tales que
un+ an-1u
n-1+…+ a2u
2 + a1u + a0 = 0
Definición 2.2:
Sea u . Se dice que u es entero sobre ℤ si, y solo , si existe un polinomio
mónico f(X) ℤ tal que
f(u) = 0
Es decir, si y solo si, existen a0, a1, a2,…, an-1 ℤ tales que
un+ an-1u
n-1+…+ a2u
2 + a1u + a0 = 0
Demostración:
(i)⇒(ii): Por la hipótesis de (i) se tiene que existen a0, a1, a2,…, an-1 A tales que
un+ an-1u
n-1+…+ a2u
2 + a1u + a0 = 0 (1)
n
Por otro lado, se sabe que
⋃ } } (2)
Ahora, sea . Así, es claro que S A [u].
Por (1) se tiene que:
(3)
Por (2) se tiene que:
(4)
Obsérvese ahora que, multiplicando por u en (3), resulta que:
lo que obviamente implica que
(5)
Repitiendo, inductivamente, el razonamiento anterior, se demuestra que
, para todo k ⋃ } (6)
Por (2) y (6) se sigue que .
Teorema 2.1:
Sea A un sub-anillo del anillo B. Para cada u , las siguientes condiciones
son equivalentes:
(i) u es entero sobre A.
(ii) A es un sub-A-módulo de B y A[u] es un A –módulo finitamente
generado que contiene a u.
(iii) Existe un sub-anillo de B, S, que contiene a u y que es un A-módulo
finitamente generado.
(iv) Existe un A-modulo finitamente generado, M, tal que
uM M y aM para todo a A , a 0
(ii)⇒(iii): Por la hipótesis de (ii), es claro que basta tomar S= .
(iii)⇒(iv): Es claro que basta tomar M = S. En efecto, pues, como es un sub-anillo de B
(por hipótesis) y, como B, se tiene que . Por otro lado, tomando un
se tiene lo siguiente: como 1 y, como a = a 1, se tiene que de modo que
} para todo , }
(iv)⇒(i): Sea β = { } un conjunto de generadores de M como -
.módulo. Como , se tiene que
(7)
Por (7) se deduce que existen elementos , con 1 , tales que
{
(8)
Por (8), resulta que:
0
0
= 0 (9)
0
Por (9) se tiene que ( ) es una solución del sistema:
0
0
= 0 (9)
0
Sea ahora [ ] = determinante de la matriz de coeficientes del sistema
(9). Recuérdese que en Álgebra Lineal se demuestra que , siendo el
polinomio característico de la matriz mencionada y, que . Por tanto, se
tiene que
(10)
Por otro lado, por la Regla de Cramer se tiene que
para todo j 3 } (11)
Por (11) se tiene (por formar los un conjunto de generadores) que } lo que
implica por (10) y por la hipótesis de (iv) que , es decir, que , lo que
demuestra que es entero sobre ♦♦♦
Demostración: Se procederá por inducción sobre m. Para m = 1, el resultado se sigue
del Teorema 2.1. Sea ahora m > 1. Considérese el A-módulo
]
Como M es un sub-anillo de B y como es entero sobre (pues por hipótesis es
entero sobre ), entonces se sigue por el Teorema 2.1 que
es un finitamente generado (11)
Por otro lado, es claro que puede suponerse como hipótesis inductiva que:
Corolario 2.2:
Sea A un sub-anillo del anillo B y sean , elementos de B
que son enteros sobre A. Entonces A[ , ] es un A-módulo
finitamente generado.
M es un finitamente generado (12)
Ahora bien, es muy fácil demostrar que (11) y (12) implican que es un
finitamente generado (Ejercicio 2.1) y así, dado que
A[ , ] = , el resultado queda demostrado. ♦♦♦
Demostración:
(i): Obviamente, pues cada elemento satisface el polinomio
. Sean ahora . Por el Corolario 2.2, se tiene que
es un finitamente generado (13)
Como se sigue por (13) y por el Teorema 2.1 que y son
enteros sobre . Es decir, se tiene que
para todo (14)
Por (14), resulta que es un sub-anillo de B.
(ii): En efecto, sea un sub-anillo de B. Por hipótesis, es un
finitamente generado. Si entonces por el Teorema 2.1 se tiene que es
entero sobre , es decir , . Por tanto, ♦♦♦
Corolario 2.3:
}
Sea A un sub-anillo del anillo B y sea el conjunto
Entonces:
(i) es un sub-anillo de B que contiene al anillo A.
(ii) sub-anillo de B que sea un A-módulo finitamente generado está
contenido en .
Demostración:
⇒ (ii):
Sea C. Se demostrará que es entero sobre A. En efecto, como C es entero
sobre B (por la hipótesis de (i)), se tiene que existen
tales que
(15)
Ahora bien, como C es entero sobre B (por hipótesis) y como A B es claro entonces
que
es entero sobre (16)
Por (16) y por el Teorema 2.1, se tiene que
n n n (17)
Por otro lado, como B es entero sobre A (por hipótesis), entonces cada es entero
sobre A lo que implica por el Corolario 2.2 que:
n n n (18)
Definición 2.3:
Sea A un sub-anillo del anillo B. El conjunto } se llama la clausura entera de A en B. En particular, se dice que:
(i) A es integralmente cerrado en B si, y solo, si .
(ii) B es entero sobre A si, y solo, si
Corolario 2.4:
(Transitividad de las extensiones enteras)
Sean A, B, C anillos tales que A B C. Las siguientes condiciones son
equivalentes:
(i) C es entero sobre B y B es entero sobre A.
(ii) C es entero sobre A.
Por (17) y (18), resulta que:
n n n (19)
Por (19) y por el Teorema 2.1 se sigue que es entero sobre A.
⇒ (i):
Esta implicación es obvia en virtud de las hipótesis. ♦♦♦
Demostración: Ejercicio ♦♦♦
Demostración:
En efecto, sea tal que y es entero sobre A. Entonces, por definición, se
tiene que existen A tales que
(20)
Por otro lado, como , se tiene (por la definición de K) que
, con , m.c.d = 1 (21)
Sustituyendo (21) en (20), se obtiene que
Corolario 2.5:
Sea B un anillo y F una familia de subanillos de B. Entonces:
(i) A , para todo A F.
(ii) , para todo A F. (iii) Si , F y ⇒
.
Teorema 2.6:
Sea A un dominio de factorización única y K su cuerpo de cocientes. Entonces,
A es integralmente cerrado en K, es decir, todo elemento u de K, que es entero sobre
A, es un elemento de A.
(22)
Multiplicando en ambos miembros de (22) por resulta:
(23)
Por (23) se tiene que
(24)
Pero, como , resulta por (24) que no tiene factores
irreducibles en A (pues de ser fuese un factor irreducible de en A, resultaría por
(24) que también es un factor primo de en A lo cual contradice el hecho de que
) lo cual implica que es una unidad en A. Luego, resulta
obviamente que
♦♦♦
Definición 2.4:
Sea A un dominio entero y K su cuerpo de cocientes. Se dice que A es
integralmente cerrado si, y sólo, si A es integralmente cerrado en su cuerpo de
cocientes.
Definición 2.5:
ℤ }
Sea L un cuerpo de números algebraicos, es decir, un subcuerpo de tal que L es
una extensión finita de . Entonces, la clausura entera de ℤ en L se llama el anillo
de enteros de L (sobre ℤ) y se simbolizará por . Por tanto:
Demostración:
⇒ :
En efecto, como B es un dominio (por hipótesis) basta demostrar que cada ,
con , es invertible en B. Como B es entero sobre A (por hipótesis), se tiene que
es entero sobre A, lo que implica por el Teorema 2.1 y por ser A un cuerpo (por
hipótesis) que A[ ] es un A-espacio vectorial de dimensión finita. Considerando el
operador lineal : A[ ] A[ ] definido por
para cada
Como B es un dominio (por hipótesis) y es inmediato demostrar que
= {0} (25)
Por (25) resulta que es inyectiva, lo que implica (por ser A[ ] de dimensión
finita sobre A ) que también es sobreyectiva. Luego, es un isomorfismo y existe
un tal que , es decir, tal que
Existe un tal que (26)
Como resulta por (26) resulta que es invertible en B.
Definición 2.6:
}
Sea A un dominio entero, K su cuerpo de cocientes y L una extensión de K.
Entonces, a la clausura entera de A en L se le llama el anillo de enteros de L sobre A
y se le simbolizará por
Teorema 2.7:
Sea B un dominio y A un subanillo de B tal que B es entero sobre A. Entonces,
A es cuerpo si, y sólo, si B es cuerpo
(⇐): Sea , con . Como B es cuerpo (por hipótesis) se tiene que existe un
elemento tal que
(27)
Se demostrará que A. En efecto, como B es entero sobre A (por hipótesis),
entonces existen elementos A tales que
(28)
Multiplicando en ambos miembros de (28) por , se obtiene:
(29)
Obsérvese ahora que por (27) se tiene que :
(30)
Sustituyendo (30) en (29), resulta que:
(31)
Por (31), es claro que A ♦♦♦
Demostración:
(i):
En efecto, por el Corolario 1.3. (i), se sabe que es un subanillo de . Así,
como es un cuerpo, resulta (obvio) que es un dominio entero.
(ii):
Para demostrar esto, sea el cuerpo de cocientes de . Tómese un .
Entonces, por la definición de , se tiene que
, con α, , β (32)
Ahora bien, como es un subanillo de y dado que es entero sobre , se
tiene por el Teorema 2.7, que
es un cuerpo (33)
Además, es claro que
(34)
Por (32), (33) y (34), resulta (como todo cuerpo es cerrado bajo su multiplicación)
que . Luego, .
Recíprocamente, sea ahora . Entonces, por definición, se tiene que
y existen elementos tales que tales que
(35)
Teorema 2.8:
Sea A un dominio, K su cuerpo de cocientes, L una extensión de K, el
anillo de enteros de L sobre A y F el cuerpo de cocientes de . Entonces:
(i) es un dominio entero.
(ii) es el cuerpo de cocientes de .
(iii) si, y sólo, si es algebraico sobre K.
Por ser el cuerpo de cocientes de , se tiene que cada es de la forma
, con (36)
Sustituyendo (36) en (35), resulta
En esta última ecuación se pueden eliminar los denominadores tal y como sigue: al
tomar , y multiplicar por en ambos miembros, si
, se
tiene que
(37)
Multiplicando esta última ecuación por , se obtiene
,
Esta ecuación demuestra que
Existe un , , tal que (38)
Por (38), resulta que . Luego, .
(iii):
En efecto, por (ii), se tiene que
⇔
♦♦♦
Demostración:
Inmediato.
♦♦♦
Demostración:
(i)
En efecto, sea la clausura algebraica de . Entonces, se sabe que
tienen, respectivamente, todas sus raíces en . Más precisamente,
existen , ,…, , , ,…, tales que
,
… ,
Esto implica obviamente que
, ,…, , , ,…, son las raíces de (38)
Como (por hipótesis), resulta por (38) que estos
elementos son enteros sobre :
, ,…, , , ,…, (39)
Corolario 2.9:
Sea L un cuerpo de números algebraicos y su anillo de enteros. Entonces:
(i) es un dominio entero.
(ii) es el cuerpo de cocientes de .
Teorema 2.10:
Sea A un dominio, K su cuerpo de cocientes y L una extensión de K. Entonces :
(i) Si son polinomios mónicos y si , entonces .
(ii) Si , entonces .
Ahora bien, los coeficientes de los polinomios y están
relacionados, respectivamente, con los y según las fórmulas de Viete:
Concretamente, escribiendo
, se tiene que
+ …+
∑ ∑
(40)
…,
Por (39), (40) y por el Corolario 1.3, resulta que
, , …, , , , , …, ,
(ii):
En efecto, sea . Entonces, se sabe que
satisface un polinomio (41)
Por otro lado, se sabe de Teoría de Cuerpos que el ideal de polinomios
anuladores, , esta generado por el polinomio :
(42)
Por (42) y (41) se tiene que
(43)
Por lo demostrado en la parte (i) anterior, resulta que
♦♦♦
Demostración:
(i) y (ii):
En efecto, dado que es integralmente cerrado (por hipótesis), se tiene que
lo que implica por el Teorema 2.10 que
p (44)
Por otro lado, haciendo y escribiendo
se tiene que
p
(45)
Por (44) y (45), es claro que vale (i) y (ii).
(iii):
Obsérvese que como satisface su polinomio característico, se tiene que
de donde se sigue que
Corolario 2.11:
Sea A un dominio integralmente cerrado, K su cuerpo de cocientes y L una
extensión finita de K, con . Sea B un subanillo de . Entonces, para
cada , se tiene que :
(i) , . (ii) , .
(iii) divide a su norma, , en el anillo .
(iv) es una unidad en ⇔ es una unidad en .
(v) Si es irreducible en ⇒ es irreducible en
de donde se sigue que
lo que implica por (45) que
(46)
lo que demuestra (iii).
(iv) :
(⇒):
Si es una unidad en entonces (por definición) existe un tal que
Tomando normas en ambos miembros, resulta
de donde resulta
Es decir,
(47)
Como se tiene por (ii) , lo que implica por
(47) que es una unidad en .
(⇐):
En efecto, por lo demostrado en (iii), se tiene que existe un λ tal que
(48)
Por otro lado, como es una unidad en (por hipótesis) se tiene que existe
un tal que
(49)
Por (48) y (49), resulta que lo que demuestra que es una unidad en
(v):
Se demostrará la implicación
Si con ⇒ es una unidad en o es una unidad en
En efecto, de resulta al tomar normas que
De donde
( ) (50)
Pero, como (por (ii)) y como es irreducible en (por
hipótesis), resulta entonces por (50) y por la noción de elemento irreducible que
es una unidad en o es una unidad en (51)
Por (51) y por lo demostrado en (iv) que
es una unidad en o es una unidad en
Lo que demuestra la implicación. ♦♦♦
Demostración:
♦♦♦
Corolario 2.12:
Sea L un cuerpo de números algebraicos con y B un subanillo
de ℤ . Entonces, para cada , se tiene que :
(i) ℤ , ℤ .
(ii) ℤ , ℤ.
(iii) divide a su norma, , en el anillo .
(iv) es una unidad en ⇔ .
(v) Si es un numero primo en ℤ ⇒ es irreducible en
Ejemplo: Sean números primos distintos, } y considérese el
número √
. Pueden determinarse las condiciones en las que es o no entero
sobre ℤ.
Demostración:
(i):
Por ser J un ideal no nulo de (por hipótesis), existe entonces un tal que
. Por otro lado, como es entero sobre (por hipótesis) entonces es entero
sobre . Sea
, con
, el polinomio minimal de sobre . Entonces, es claro que
debe ser : en efecto, como satisface su polinomio minimal sobre , se tiene
que
(52)
Si fuese entonces se tendría que
(53)
Como , se puede dividir en (53) entre para obtener
(53)
Pero (53) contradice la minimalidad de . Así pues, es y por (52)
Teorema 2.13:
Sean dominios enteros tales que y es entero sobre .
Entonces, se tiene que :
(i) Si J es un ideal no nulo de B ⇒ J ⋂ es un ideal no nulo de .
(ii) ⋂ (iii) es un cuerpo ⇔ es cuerpo.
(iv) Si Q es un ideal primo de B, entonces:
Q es un ideal maximal en B ⇔ Q ⋂ es un ideal maximal en
resulta que
(54)
Por (54) resulta que J⋂ (pues , y J es un ideal de
).
(ii):
Es claro que pues . Recíprocamente, sea .
Como entonces existe un tal que
(55)
Por otro lado, como es entero sobre , entonces (por definición) existen elementos
tales que
(56)
Multiplicando (56) por , resulta que
(57)
Pero, como según (55), resulta entonces por (57) que
Es decir,
de donde
(58)
Por (55) y (58), resulta que
lo que obviamente implica que (pues y cada ), demostrándose así
que ).
(iii):
(⇒) Como es un cuerpo (por hipótesis), se tendrá (por definición de cuerpo) que
} lo que implica, por lo demostrado en (ii), que
}
lo que implica que
}
demostrándose así que es un cuerpo.
(⇐): Recuérdese ahora que Si ( es un anillo conmutativo entonces:
es un cuerpo ⇔ los únicos ideales de son {0} y
Un ideal de es propio ⇔
Supóngase (por reducción al absurdo) que no es un cuerpo. Entonces, tendría un
ideal propio no nulo, J. En este caso, J. Pero en estas condiciones, resultaría por
lo demostrado en (i), que J es un ideal no nulo de que también es propio pues
obviamente J . Se obtendría entonces que no es un cuerpo, lo que contradice
la hipótesis.
(iv):
En efecto, sea θ: el epimorfismo canónico. Entonces, se sabe que
θ(
Ahora bien, es fácil demostrar que
θ( es entero sobre θ( (58)
En efecto, como es entero sobre por hipótesis, entonces tomando cualquier β
se tiene que existen elementos tales que
(59)
Evaluando θ en (59), resulta que
(60)
lo que demuestra (58).
Por otro lado, se tiene que
θ( es isomorfo como anillo a
(61)
Pues la aplicación restricción de θ al anillo , es decir , es
obviamente un epimorfismo de anillos tal que . Luego, por el Primer
Teorema de Isomorfismo de Anillos, se tiene que es isomorfo como anillo a
lo que demuestra (61) (por ser ).
Se tiene entonces que
es un ideal maximal de ⇔ es un cuerpo
⇔ es un cuerpo
⇔
es un cuerpo
⇔ es un ideal maximal de
♦♦♦
Demostración:
Sea un ideal primo no nulo de . Entonces, por el Teorema 2.13.(i), se tiene que
es un ideal no nulo de . Por otro lado, es fácil demostrar que como es un
ideal primo de entonces es un ideal primo de . Luego, la hipótesis del
Corolario implica que es un ideal maximal de lo que implica por el Teorema
2.13.(iv), que es un ideal maximal de ♦♦♦
Corolario 2.14:
Sean dominios enteros tales que y es entero sobre .
Entonces, se tiene que:
Si todo ideal primo no nulo de es maximal ⇒todo ideal primo no nulo de es
maximal .
Demostración:
En efecto, se demostró en el Corolario 2.3 y Teorema 2.8 que ℤ es un dominio
entero que contiene a ℤ y, por definición de ℤ , es claro que ℤ es entero sobre ℤ.
Por otro lado, se demuestra en Álgebra que todo ideal primo no nulo de ℤ es un ideal
maximal en ℤ. Luego, por el Corolario 2.14, se sigue que todo ideal primo no nulo de
ℤ es maximal ♦♦♦
Demostración:
Para cada polinomio ℤ sea el coeficiente de .
Sea el conjunto
ℤ },
donde
(
) (
) (
) (
) }
Es claro que es un conjunto finito. Para demostrar que es finito, basta entonces
demostrar que para cada existe un polinomio tal que es raíz de
. En efecto, se demostrará que
(62)
Recuérdese que si son los monomorfismos de en ,
entonces
Corolario 2.15:
Sea un cuerpo de números algebraicos con . Entonces, todo ideal
primo no nulo de ℤ es maximal.
Teorema 2.16:
Sea un cuerpo de números algebraicos con . Sean además
, …, los (exactamente) monomorfismos de cuerpos de
en . Entonces, para cada , el conjunto
ℤ }
es finito.
( )( ) (63)
Luego
∑ (64)
donde es la èsima función simétrica de la
upla ordenada , es decir,
( ) ∑
Así pues, cada èsima función simétrica tiene ( ) términos en la suma que
conforma. Luego:
( ) =
∑
∑
( )
Por tanto
( ) ( ) } (65)
Por (65), es claro que
( ) }
En consecuencia, ♦♦♦
En el caso de cuerpos de números algebraicos, se tiene el siguiente resultado:
Demostración:
En efecto, sea el conjunto
ℤ }. Es claro que es
un conjunto finito por el Teorema 2.16.
Sea ahora ; entonces
, para algún
Luego, satisface el polinomio , de modo que
Definición 2.7:
}
Sea L un cuerpo. Entonces:
(i) Para cada , se define el conjunto
y se le llama el conjunto de las raíces èsimas de la unidad en
(ii) Se define el conjunto
}
y se le llama el conjunto de las raíces èsimas de la unidad en .
Corolario 2.17:
Sea un cuerpo de números algebraicos con . Sean además
, …, los (exactamente) monomorfismos de cuerpos de
en . Entonces
(i) ℤ }
(ii) es finito.
ℤ (66)
Por otro lado, para cada se tiene que
| | | | de modo que
| | (67)
Por (66) y (67) resulta que .
Recíprocamente, sea . Entonces, es claro que
, para todo (68)
En efecto, como se tiene entonces que
ℤ y | | , para todo }
Luego, para cada se tiene que ℤ (por el Corolario 2.3) y es claro
que para todo } vale que | | | |
, es decir, que
| | , lo que demuestra (68)
Pero, como es finito, se sigue por (68) y el Principio del Palomar, que existen
tales que
y de modo que de modo que α .♦♦♦
No es cierto que para cada cuerpo de números algebraicos , , y para cada número
natural, , el conjunto definido por
}
sea finito. Sim embargo, se tiene el siguiente:
Demostración:
En efecto, como es un ℤ módulo finitamente generado (por hipótesis), se tiene
entonces que existen tales que
ℤ ℤ ℤ ℤ (69)
Sea ahora el conjunto:
{ } (70)
Se demostrará ahora que
⇒ (71)
Pues, como , resulta por (69) que existen ℤ tales que
(72)
Ahora bien, para cada se sigue por el Algoritmo de Euclides que existen ℤ
tales que
, con (73)
Sustituyendo (73) en (72) resulta que
Al “tomar clases módulo “ en esta última ecuación, resulta que
Teorema 2.18 :
}
Sea un cuerpo de números algebraicos con , un subanillo de y
el conjunto de las unidades de . Supóngase que es un ℤ módulo finitamente
generado. Entonces, para cada , se tiene que el conjunto, , definido por
es un conjunto finito.
de modo que basta tomar para tener (71)
Pero, por (71), resulta que
es finito y ) (74)
Se demostrará ahora que
Si ⇒ existe un tal que (75)
Para demostrar esto, obsérvese en primer lugar que ℤ (por la hipótesis y por
el Corolario 2.3 (ii)), lo que implica por el Corolario 2.12 (iii) que existen
tales que
(76)
Además, de resulta que existe un tal que
(77)
Por (77) y (76) resulta que
lo que demuestra que y se dividen mutuamente en lo que implica ( como se
sabe de Teoría de Anillos) que existe un tal que , demostrándose así
(75)
Finalmente, se demostrará que es finito: pues, suponiendo que no sea finito,
entonces existiría una cantidad infinita y numerable de clases distintas
,…,… tales que los son distintos entre sí y además
( ) , para cada
Pero, como es finito (por (74)), se tiene por el Principio del Palomar que
deberían existir dos representantes distintos, y tales que de
modo, que por ser y ( ) , se seguiría por (75) que
para algún lo que implicaría que lo que contradice el
hecho de que todas esas clases son distintas entre sí. Así pues, es finito. ♦♦♦
Biografías
Bibliografía
1.- “Teoria dos números algébricos”, Otto Endler.
2.- “Teoría algebraica de números”, Pierre Samuel.
3.- “Introducción a la teoría de números”, Niven y Zuckerman.
4. – “Teoría de Números”, Carlos Ivorra Castillo.
5.- “Álgebra Moderna”, Israel Herstein.
6. - “Àlgebra abstracta ”, John Fraleigh.
7.- “Algebraic number theory”, Stewart y Tall.
Ejercicios
Ejercicio 1.1:
¿Cuáles de los siguientes elementos son algebraicos sobre y cuáles son enteros sobre
ℤ?
a) √ √
b) √
c) √
d) √ √3
e)
f) √√
g) √√
h) √3 √
i) √ √ √ √
j) √
√
k)
l)
m) √
√
Ejercicio 1.2:
Sea un polinomio mónico con coeficientes en ℤ y . Demuestre que si
es entero algebraico entonces también lo es.
Ejercicio 1.3:
Sea un anillo y un subanillo de . Supóngase que es un elemento inversible de
. Demuestre que
Ejercicio 1.4:
Sea un dominio entero, su cuerpo de cocientes y una extensión finita y
separable de . Supóngase que es un subanillo de tal que y que es el
cuerpo de cocientes de . Demuestre que existe un tal que .
Ejercicio1.5:
Sea un cuerpo de números algebraicos. Demuestre que
a) Si es un ideal no nulo de ℤ , entonces existe al menos un tal que
.
b) Si es un subanillo de y es integralmente cerrado en , entonces
ℤ
c) Si , con primo, entonces ℤ es el único subanillo propio (es decirm
estrictamente contenido) y a la vez integalmente cerrado que tiene ℤ.
Ejercicio 1.6: Sea un entero algebraico, con . Demuestre que
es entero algebraico ⇔
Nota: recuérdese que es el término independiente de .
Ejercicio 1.7: Sea un cuerpo de números algebraicos con . Demuestre
que
a) Si es un elemento primo de ℤ entonces divide en ℤ a un único
número primo .
b) Si ℤ , ℤ ,con primo en ℤ, y si divide a en ℤ entonces
, con }
En particular, es asociado a ⇔
Ejercicio 1.8: Sea . Las siguientes condiciones son equivalentes:
a) Existe un tal que , es decir, es una raiz de la unidad en
b) es raíz de un polinomio mónico, ℤ , tal que todas sus raíces tienen
valor absoluto igual a .
c) es un entero algebraico tal que todos sus conjugados algebraicos sobre
tienen valor absoluto igual a 1.
Ejercicio 1. 9: Demuestre que las siguientes ecuaciones diofánticas no tienen solución
a) 3 .
b) .
c) .
Ejercicio 1.10: Demuestre que las siguientes ecuaciones diofánticas no tienen
solución
a) .
b) 3 .
c) .
Ejercicio 1.11: Sea , con un número primo. Demuestre que:
a) Si 3 ⇒ la ecuación diofántica no tiene solución
en .
b) Si ⇒ la ecuación diofántica tiene solución en
.
Ejercicio 1.12: Sea un cuerpo finito. Demuestre que todo elemento es suma
de dos cuadrados. Es decir, demuestre que la ecuación tiene solución
para todo
Ejercicio 1.13: Descomponer los siguientes polinomios en los cuerpos dados:
a) , sobre ℤ .
b) , sobre ℤ .
Ejercicio 1.14: Sea √
. Utilice la aplicación traza, , para demostrar que
√3 no pertenece a . ¿Puede hacerlo sin usar la función traza?
Ejercicio 1.15: Sea un número algebraico sobre con . Demuestre
que
a) también es algebraico sobre y .
b) √ es algebraico sobre y [√ ] .
c) Si es impar entonces es impar y .
Ejercicio 1.15: Sean enteros algebraicos tales que
y 3
Demuestre que y también son enteros algebraicos exhibiendo dos polinomios
ℤ y tales que y .
Ejercicio 1.16: Sea . Demuestre que si es algebraico sobre y ,
entonces
y también son algebraicos sobre y además todos tienen a
como grado sobre .
Ejercicio 1.17: Sea , con , .
a) Si es un número algebraico sobre , ¿son necesariamente y algebraicos
sobre ?
b) Si es un número entero algebraico sobre ℤ, ¿son necesariamente y enteros
algebraicos sobre ℤ?
Ejercicio 1.18: Sea , y supóngase que es un número algebraico sobre . Se
sabe que existe un tal que es un entero algebraico sobre ℤ. Puede entonces
definirse el número por
n n ℤ}
Demuestre que si y es entero algebraico sobre ℤ, entonces divide a
Ejercicio 1.19: Sean anillos tales que . Demuestre que si es
finitamente generado como B mòdulo y si es finitamente generado como
mòdulo, entonces es finitamente generado como mòdulo.
Capí túlo III
Cuerpos Cuadráticos
La Teoría de Números o Aritmética es una de las ramas del Álgebra. La palabra
Álgebra proviene del árabe بر ج y literalmente significa (”se pronuncia “Al-yabar) ال
“reducir”. Pero, ¿reducir qué?
Pues bien, los científicos han observado que para explicar los fenómenos que se
presentan en el mundo que nos rodea y develar sus misterios, necesitan saber resolver
ecuaciones. Pero ¿Qué es resolver una ecuación? ¿Qué es una ecuación? Es el Álgebra
la que responde esa pregunta. El lector debe recordar la antigua obra del matemático y
astrónomo árabe Abu Abdallah Muḥammad ibn Mūsā al-Jwārizmī, titulada
Hisāb al-ŷabr wa'l muqābala
La traducción al español de este título seria pues
“Libro conciso sobre la reducción por completación y balance”
Así pues, el Álgebra es la teoría de las ecuaciones. Se ha demostrado ya que
No existe un método general para resolver ecuaciones diofánticas
En este capítulo se resolverán otras ecuaciones diofánticas mediante la generalización
del método aplicado para resolver la ecuación pitagórica.
Ecuación diofántica de segundo grado en dos
variables
Se trata de encontrar todos los números naturales tales que
con ℤ.
Este problema puede reducirse al problema de encontrar todos los números naturales
tales que
(1)
con ℤ.
