El exponente de unnúmero dice cuántas veces semultiplica el número.

En este ejemplo: 82 = 8 × 8 = 64

En palabras: 82 se puede leer "8 a la

segunda potencia", "8 a lapotencia 2" o simplemente "8 alcuadrado"

Todo lo que necesitas saber...

Todas las "Leyes de los Exponentes" (o también "reglas de los exponentes") vienen de las siguientes ideas:

El exponente de un número dicemultiplica el número por sí mismo tantasveces.

Lo contrario de multiplicar esdividir, así que un exponente negativosignifica dividir.

Leyes de los exponentes

Ejemplo: potencias de 5

... etc...

52 1 × 5 × 5 25

51 1 × 5 5

50 1 1

5-1 1 ÷ 5 0,2

5-2 1 ÷ 5 ÷ 5 0,04

... etc...

Verás que los exponentes positivos, cero y

negativos son en realidad parte de un mismo patrón,

es decir 5 veces más grande (o pequeño) cuando el

exponente crece (o disminuye).

Así que x2x3 =

La ley que dice que xmxn = xm+n

En xmxn, ¿cuántas veces multiplicas "x"?

Respuesta:

Primero "m" veces, después otras "n" veces,

en total "m+n" veces.

Ejemplo: x2x3 = (xx) × (xxx) = xxxxx = x5

x(2+3) = x5

Multiplicación de monomios

Para multiplicar expresiones algebraicasveremos, en primer lugar, la más simple de ellas:saber, la multiplicación de monomio pormonomio. Esta se realiza multiplicando loscoeficientes numéricos y multiplicando la parteliteral, aplicando las propiedades de las potencias.Por ejemplo, multipliquemos los monomios:

axn · bxm = (a · b)xn + m

(5x2 y3 z) (2 y2 z2) = 10 x2 y5 z3

Multiplicación de monomios

(−2x3) · (−5x) · (−3x4) =

(– 4a2b) (– ab2) =

(– 5x3y) (xy2) =

5 ( – 2x2y3z) =

( – 5x2y3z) ( – 2xy) =

( – 18x3y2z5) (6wx3z2) =

+4a3b3

– 5x4y3

– 10 x2y3z

+ 10 x3y4z

– 108 wx6y2z7

– 30 x8

Multiplicación de monomios

(– x2y3)(−4y3z4) =

(+2x3) (– 5x3) =

(12x3) (4x) =

(a2b3) (3a2x) =

( – 4m2)(– 5mn2p) =

( 5a2y) (– 6x2) =

Nombre:

Grupo:

Nº de lista

Fecha:

Tema:

(abc)(cd) =

(– 15x4y3)(−16a2x3) =

(3a2b3)(−4x2y) =

(3a2bx)(7b3x5) =

Para multiplicar un monomio por un polinomio,

utilizamos la propiedad distributiva de la multiplicación

con respecto a la adición y/o sustracción, esto es:

Multiplicación de monomio por polinomios

3 (2x3 − 3 x2 + 4x − 2) =

3x2 (2x3 − 3x2 + 4x − 2) =

6x3 − 9x2 + 12x − 6

6x5 − 9x4 + 12x3 − 6x2

4ax2 (3x2 − 6x + 7= 12ax4 − 24ax3 + 28ax2

– 2x (3x3 − x2) =

2ax3 (8x2y− 3y2) =

– 6x4 + 2x3

16ax5y − 6ax3y2

(– 2x)( x2 – 4x + 3) =

3ab ( a3 – 4a2 + 6a) =

– ab( a2 – 2ab + b2) =

Nombre:

Grupo:

Nº de lista

Fecha:

Tema: 3a2x2 ( x5 – 6x3 – 8x) =

– 4m3x ( m4 – 3m2n2 + 7n4) =

ax3y ( x3 – 4x2y + 6xy2) =

– 4a4m2 ( a3 – 5a2b – 8 ab2) =

– 4x2 ( x3 – 3x2 + 5x – 6) =

– 3a2x3(x4 – 6x3 + 8x2 – 7x + 5) =

3bx3 (a4 – 6a3x – 9a2x2 – 8) =

Para multiplicar polinomios, multiplique cada

término del primer polinomio con cada término del

segundo polinomio, combine los términos semejantes y

exprese el resultado lo más simple posible.

Ejemplos:

Multiplicación de polinomios

1) (a + 3)(a +1) = a(a)+ a(1)+ 3(a)+ 3(1)= a2 + a + 3a + 3= a2 + 4a + 3

2) (x + 2)(x2 − 4x −1)= x(x2 )+ x(−4x) + x(−1) + 2(x2 ) + 2(−4x) + 2(−1)=x3 − 4x2 − x + 2x2 − 8x − 2=x3 − 2x2 − 9x − 2

Se multiplica cada monomio del primer polinomiopor todos los elementos del segundo polinomio.

Se suman los monomios del mismo grado.

También podemos multiplicar polinomios de

siguiente modo:

= 4x5 − 6x4 + 8x3 − 6x3 + 9x2 − 12x= 4x5 − 6x4 + 2x3 + 9x2 − 12x

(2x2 − 3) · (2x3 − 3x2 + 4x)

(3x4 + 5x3 − 2x + 3) (2x2 − x + 3) =

= 6x6 − 3x5 + 9x4 + 10x5 − 5x4 + 15x3 − 4x3 + 2x2 − 6x + 6x2 − 3x + 9= 6x6 + 7x5 + 4x4 + 11x3 + 8x2 − 9x + 9

6x6 + 7x5 + 4x4 + 11x3 + 8x2 − 9x + 9

También podemos multiplicar polinomios de

siguiente modo:

Ejercicios

1) (x4 − 2x3 + 2x2 ) (x2 − 2x + 3) =

X4 – 2x3 + 2x2

X2 – 2x + 3 x6 – 2x5 + 2x4

– 2x5 + 4x4 – 4x3

+ 3x4 – 6x3 + 6x2

X6 – 4x5 + 9x4 – 10x3 + 6x2

2X3 + 4x2 – x + 2 3X2 – 5x

6x5 + 12x4 – 3x3 + 6x2

– 10x4 – 20x3 + 5x2 – 10x 6X5 + 2x4 – 23x3 + 11x2 – 10x

– 5X3 – 6x2 + 4x – 3 – 5x + 6

25x4 + 30x3 – 20x2 + 15x – 30x3 – 36x2 + 24x – 18

25X4 – 56x2 + 39x – 18

3) (− 5x3 − 6x2 + 4x − 3) (− 5x + 6) =

2) (2x3 + 4x2 − x + 2) (3x2 − 5x) =

1) ( y + 3)( y + 3) =

2) (z + 5)(z − 5) =

3) (m + 4) (m – 10) =

4) (x − 2)(x2 − 4x − 5)

5) (−2x + 3y)(x2 − 2xy − y2)

Ejercicios

1) y2 + 6y + 9

2) z 2 − 25

3) m2 – 6m – 40

4) x3 − 6x2 + 3x +10

5) − 2x3 + 7x2 y − 4xy2 − 3y3

Respuestas

1) ( a + 3)( a – 1) =

2) (a + 1)(a − 3) =

3) (m + 5) (m – 4) =

4) (x − 6)(x − 5)

5) (3 − x)(5 − x)

Ejercicios

6) (– a – 2) (– a – 3) =

7) (3x – 2y) (y + 2x) =

8) (– 4y + 5x) (– 3x + 2y) =

9) (5a – 7b) (a + 3b) =

10) (7x – 3) (4 + 2x) =

Nombre:

Grupo:

Nº de lista

Fecha:

Tema:

Ejercicios 1) (x2 + xy + y2 )(x – y) =

2) (a2 + b2 – 2ab)(a – b) =

3) (a2 + b2 + 2ab)(a + b) =

4) (x3 – 3x2 + 1)(x + 3) =

5) (a3 – a + a2)(a – 1) =

6) (m4 + m2n2 + n4)(m2 – n2) =

7) (x3 – 2x2 + 3x – 1)(2x + 3) =

8) (3y3 + 5 – 6y)(y2 + 2) =

9) (m3 – m2 + m – 2)(am + a) =

10) (3a2 – 5ab + 2b2)(4a – 5b) =

Nombre:

Grupo:

Nº de lista

Fecha:

Tema:

Ejemplo: x2/x2 = x2-2 = x0 =1

La ley que dice que xm/xn = xm-n

Como en el ejemplo anterior, ¿cuántas veces

multiplicas "x"? Respuesta: "m" veces, después

reduce eso "n" veces (porque estás dividiendo), en

total "m-n" veces.

Ejemplo: x4-2 = x4/x2 = (xxxx) / (xx) = xx = x2

(Recuerda que x/x = 1, así que cada vez que hay una

x "sobre la línea" y una "bajo la línea" puedes

cancelarlas.)

Esta ley también te muestra por qué x0=1

Ejercicios

– a3

– a2=

a2b5

– a b2

a3b4c

a b2

– x3y4z2

– x y z2

– x y4z2

– x y2z4

– a3m4n2

– a m4 n4

m3n4

– m4c5

– a4b2c4

– a4b4c2

b4c2

– a b2c2

– a3b4c2

b2c

=

=

=

=

=

=

=

=

=

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

División de monomios

Sólo se pueden dividir monomios con la mismaparte literal.

La división de monomios es otro monomio quetiene por coeficiente el cociente de los coeficientes ycuya parte literal se obtiene dividiendo las potenciasque tenga la misma base.

axn / bxm = (a : b)xn − m

18x6y2z5

6x3yz2=

12x3

4x=

36x3y7z4

12x2y2 =– 6x3y4z2

– 3x2y2z2 =

36x3y4z2

– 3x3y4z2=

18x6y2z5

6x3yz2=

12x3

4x=

36x3y7z4

12x2y2 = – 6x3y4z2

– 3x2y2z2 =

36x3y4z2

– 3x3y4z2=

3x2

3x3yz3

3xy5z42xy2

– 12

División de polinomios entre monomios

24x5y4 + 18x4y5 – 48x10y3

– 6x2y3=

12x3y5 + 18x5y7 – 48x12y6

3x2y2=

División de polinomios entre monomios

24x5y4 + 18x4y5 – 48x10y3

– 6x2y3=

12x3y5 + 18x5y7 – 48x12y6

3x2y2=

4xy3 + 6x3y5 – 16x10y4

– 4x3y – 3x2y2 + 8x8

Nombre:

Grupo:

Nº de lista

Fecha:

Tema:

Ejercicios

3x2y3 – 5a2x4 =

– 3x2

a2 – ab =a

3a3– 5ab2 – 6a2b3 = – 2a

x3 – 4x2 + x =x

4x8 – 10x6 – 5x4 =2x 3

3a2 – 8m2n+20mn 2 =– 2m

1 2

3

45

6

6a8b9 – 3a6b6 + a2 b3 =3a2b3

x4 – 5x3 – 10x2 + 15x =– 5x

3a3 – 6a2b + 9ab2 =3a

8m9n2 – 10m7n4 – 20m5n6 + 12m3n8 =2m2

7

8

9

10

– a + b – 8a2 + 12ab – 4b2 =

La división de polinomios, re realiza al igual que una división aritmética.

PASOS:

Se divide el primer término del polinomio divisor, entre elprimer término del polinomio dividendo.

El resultado será el primer término del polinomio cociente, ymultiplicará al polinomio divisor

Al producto de esta multiplicación se le antepone el signonegativo para invertirle los signos y se le resta al polinomiodivisor.

– a + b – 8a2 + 12ab – 4b2 =

+8a

8a2 – 8ab

Primero se divide– 8a2 = +8a

– a El resultado se escribe

8a (– a + b) = – 8a2 + 8ab se le antepone el sigo negativo

– (– 8a2 + 8ab) = 8a2 – 8ab y se reducen términos

0 – 4ab

se repite el procedimiento

– a + b – 8a2 + 12ab + 4b2 =

+8a

8a2 – 8ab

Se divide–4ab = +4b

–a El resultado se escribe

4b (– a + b) = – 4ab + 4b2

– (– 4ab + 4b2) = 4ab – 4b2

0 – 4ab + 4b2

+ 4b

4ab – 4b2

0

+2x

– 14x2 + 6x

Primero se divide14x2 = +2x7x

El resultado se escribe

2x (7x – 3) = 14x2 – 6x se le antepone el sigo negativo

– (14x2 – 6x) = – 14x2 + 6x y se reducen términos

0 + 28x

se repite el procedimiento

7x – 3 14X2 + 22x – 10

+2x + 4

– 14x2 + 6x

Primero se divide28x = +47x

El resultado se escribe

4 (7x – 3) = 28x – 12 se le antepone el sigo negativo

– (28x – 12) = – 28x + 12 y se reducen términos

0 + 28x – 10

7x – 3 14X2 + 22x – 10

– 28x + 12 0 + 2

Nombre:

Grupo:

Nº de lista

Fecha:

Tema:

Ejercicios

a + 3 a2 + 2a – 3 =

a + 1 a2 – 2a – 3 =

x + 5 X2 – 20 + x =

m – 6 m2 – 11m + 30 =

1

2

3

4

X + 5 X2 – 20 + x =

a + 2 6 + a2 + 5a

y + 2x 6X2 – xy - 2y2 =

X + 5 X2 + 15 – 8x =

5

6

7

8

2y – 3x – 15X2 – 8y2 + 22xy =

a + 3b 5a2 + 8ab – 21b2 =

9

10