DIVISION ALGEBRAICA COCIENTES NOTABLES · 2020. 12. 21. · Divisibilidad Algebraica Se dice que una expresión algebraica es divisible entre otra, cuando al dividirlas, el residuo

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Equipo de Matemática 150

1. Definición:

División algebraica es la operación que a partir de dos expresiones

algebraicas llamadas dividendo ( )D X y divisor (x)d nos permite

encontrar dos expresiones algebraicas llamadas cociente ( )Q x y

residuo ( )R x tal que ( ) ( )Q( ) ( )D x d x x R x

2. Propiedades de la División Algebraica:

a) El grado del cociente es igual al grado del dividendo menos el grado del divisor.

b) El grado del dividendo es mayor o igual que el grado del divisor. c) El grado del divisor es mayor que el grado del residuo d) El grado máximo del residuo es igual al grado del divisor menos 1

3. Casos de División:

a) División de Monomios: Cuando se dividen dos monomios se sigue el siguiente procedimiento: (1) Se opera con los signos mediante la regla de los signos. (2) Se dividen los coeficientes. (3) Se dividen las partes literales empleando las propiedades de

la teoría de exponentes. Ejemplo 1

Al dividir los monomios

9 7 5

3 2 5

27

3

x y z

x y z

se obtiene:

Resolución

9 7 56 5

3 2 5

279

3

x y zx y

x y z

b) División de un polinomio entre un monomio: Para dividir un

polinomio entre un monomio se divide cada uno de los términos del monomio separadamente entre el monomio divisor y se suman cada uno de estos resultados. Ejemplo 2:

Al dividir

3 2 2 4

2 2

4 3x y x y

x y

se obtiene:

“DIVISION ALGEBRAICA – COCIENTES

NOTABLES”

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Resolución 3 2 2 4

2

2 2

4 34 3

x y x yx y

x y

c) División de Polinomios: Cuando se dividen dos polinomios se tienen los siguientes métodos: (1) Método Clásico. (2) Método de coeficientes separados. (3) Método de Horner. (4) Método de Ruffini.

Método Clásico: Para dividir dos polinomios mediante este método se deben seguir los siguientes pasos:

1) Se ordenan los polinomios en forma decreciente, en caso falte uno o más términos, estos se completan con ceros.

2) Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor obteniendo el primer término del cociente.

3) Este término se multiplica por cada uno de los términos del divisor y se pasan a restar con los correspondientes términos del dividendo.

4) Se divide el primer término del resto obtenido entre el primer término del divisor y se obtiene el segundo término del cociente.

5) Se procede como en el paso 3 y así sucesivamente hasta terminar la división.

Ejemplo 3:

Utilizando el método clásico dividir: 2

24

x21x3

7x4x6x8

Resolución Ordenando y completando tenemos:

El cociente es Q(x) = 4x2 +6x + 4 y el residuo es R(x) = 10x + 3

8x4 + 0x3 – 6x2 + 4x + 7 2x2 – 3x + 1

-8x4 + 12x3 – 4x2 4x2 +6x + 4

12x3 – 10x2 + 4x -12x3 + 18x2 – 6x

8x2 – 2x + 7 -8x2 + 12x – 4

10x + 3

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Método de Coeficientes Separados: Para dividir dos polinomios mediante este método se debe tener en cuenta lo siguiente: 1) Se trabaja solamente con los coeficientes y sus

correspondientes signos. 2) En caso faltara un término, se coloca en su lugar cero, tanto

en el dividendo como en el divisor. 3) Se proceden a dividir estos coeficientes siguiendo los pasos

del método clásico, de esta manera se obtienen los coeficientes del cociente con sus signos.

4) El grado del cociente es igual al grado del dividendo menos el grado del divisor.

5) El grado del residuo es igual al grado del divisor menos uno.

Ejemplo 4: El cociente y el residuo en: 2

24

x21x3

7x4x6x8

Resolución Ordenando y completando tenemos:

El cociente es: Q(x) = 4x2 +6x + 4 y el residuo es: R(x) = 10x + 3 Método de Horner: Este método es aplicable para la división de polinomios de cualquier grado. Procedimiento:

1. Se ordenan en forma completa los polinomios dividendo y divisor, completando con cero donde falte algún término.

2. Los coeficientes del dividendo se escriben en forma horizontal con su mismo signo.

8 + 0 – 6 + 4 + 7 2 – 3 + 1

-8 + 12 – 4 4 + 6 + 4

12 – 10 + 4 -12 + 18 – 6

8 – 2 + 7

-8 + 12 - 4

10 + 3

8x2 – 2x + 7 -8x2 + 12x – 4

10x + 3

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3. Los coeficientes del divisor se escriben en forma vertical, teniendo en cuenta que el primer coeficiente con su mismo signo y luego los demás coeficientes con signo cambiado.

4. El primer término del dividendo se divide entre el primer término del divisor y se obtiene el primer término del cociente que se escribe en la parte inferior.

5. Luego se multiplica este primer término del cociente solamente por los coeficientes del divisor que se han cambiado de signo, escribiendo los resultados a partir del segundo coeficiente del dividendo en forma horizontal.

6. A continuación se reducen los coeficientes de la siguiente columna y se escribe el resultado en la parte superior para dividirlo entre el primer coeficiente del divisor y se obtiene el segundo coeficiente del cociente.

7. Se continúa con este procedimiento hasta obtener un producto escrito debajo del último término del dividendo.

8. Se separan los coeficientes del cociente, el residuo teniendo en cuenta los grados de cada uno.

Ejemplo 5: Aplicando el método de Horner, el cociente y el residuo de la división

2x3x2

7x15x3x7x62

234

es:

Resolución

Entonces: Q(x) = 3x2 – x + 3 R(x) = 4x – 1 Método de Ruffini: Este método se emplea para dividir polinomios cuando el divisor es un binomio de primer grado o transformable a primer grado.

-2 6 2 6 7 -3 15 -7

-3 -9 6 2 3 -2 -9 6

3 -1 3 4 -1

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Se presentan tres casos: CASO I: Cuando el coeficiente del primer término del divisor es igual a uno,

es decir cuando es de la forma x b

Procedimiento: 1) Se verifica si el polinomio dividendo es completo y ordenado,

si faltara uno o más términos estos se completaran con ceros. 2) Se distribuyen en forma horizontal los coeficientes del

dividendo. 3) Se iguala el divisor a cero, se despeja la variable y el valor

encontrado se coloca en la parte inferior izquierda. 4) El primer término del cociente es igual al primer término del

dividendo. 5) Luego este valor se multiplica por el valor despejado de la

variable y el resultado se coloca debajo del dividendo, se reduce y se obtiene el segundo término del cociente.

6) Se procede como en el paso 5, hasta llegar al último término del dividendo, al reducir obtenemos el resto de la división.

Ejemplo 6: Aplicando el método de Ruffini, el cociente y el residuo de la

división

4 3 22 2 6

2

x x x x

x

es: Resolución

El cociente es 3( ) 2 3 0q x x x y r

CASO II: Cuando el coeficiente del primer término del divisor es diferente de

uno, es decir cuando es de la forma ax b

Procedimiento:

1 -2 2 -1 -6 2 2 0 4 6

1 0 2 3 0

x – 2 = 0 x = 2

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1) Se transforma el divisor ,extrayendo factor común, es decir :

b(ax b) a(x )

a

2) Se divide entre b

(x )a

, como en el primer caso.

3) Los coeficientes del cociente obtenido se dividen entre el primer coeficiente del divisor.

4) El residuo obtenido no sufre alteración.

Ejemplo 7:

Aplicando el método de Ruffini, el cociente y el residuo de la división

3x2

12x9x17x16x4 234

es: Resolución

32

2x

Dividiendo entre 3

2x

4 -16 17 -9 12

3

2 6 -15 3 -9

4 -10 2 -6 3

El cociente primario es 3 24 10 2 6x x x .

Dividiéndose todo el cociente primario entre 2 (pues es el primer coeficiente del divisor) se obtiene el cociente verdadero

Q(x) =

El residuo no varía, entonces el residuo es igual a 3

3xx5x22

6x2x10x4 2323

3

/

2

6

-

1

5

3

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CASO III: Cuando los exponentes de la variable del dividendo son múltiplos del exponente de la variable del divisor (Binomio que no es necesariamente un polinomio de primer grado) Este tipo de problemas se resuelven mediante un cambio de variable. Ejemplo 8:

El cociente y el residuo al dividir

8 4 2

2

3 28 5 4

3

x x x

x

es: Resolución

2 4 2 2 2

2

3( ) 28( ) 5 4

3

x x x

x

Haciendo el cambio de variable 2y x

se tiene que

4 23 28 5 4

3

y y y

y

Aplicando el método de Ruffini se tiene que:

3 0 3y y

3 0 -28 -5 4

-3 -9 27 3 6

3 -9 -1 -2 10

3 2( ) 3 9 2Q y y y y y R=10

Como 2y x se tiene que:

6 4 2( ) 3 9 2Q x x x x y R=10

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El siguiente teorema llamado teorema del residuo es de utilidad para hallar el residuo en una división, sin necesidad de efectuar la división.

Teorema del Residuo:

Si el polinomio ( )p x se divide entre un divisor de la forma ( )ax b

o transformable a esta forma entonces el residuo R es igual a

bp

a

Del teorema del residuo se tiene el siguiente procedimiento:

1. Se iguala el divisor a cero: ( ) 0ax b

2. Se despeja x:

bx

a

3. Se obtiene el residuo R evaluando el polinomio ( )p x en

bx

a

Es decir, b

R pa

Ejemplo 9

El residuo al dividir el polinomio 4 3 2( ) 5 5 4 7p x x x x x

entre 3x es:

Resolución

Se iguala 3 0x de donde se obtiene 3x , luego se tiene

que: 4 3 2( 3) ( 3) 5( 3) 5( 3) 4( 3) 7 4r p

Divisibilidad Algebraica Se dice que una expresión algebraica es divisible entre otra, cuando al dividirlas, el residuo que se obtiene es un polinomio idénticamente nulo. Propiedades:

1) x = a es una raíz del polinomio ( )p x ( ) 0p a

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2) ( )x a es un factor del polinomio ( )p x ( ) 0p a

3) Si ( )p x es divisible independientemente por x a , x b ,

x c entonces ( )p x es divisible por el producto

x a x b x c

4) Lo inverso también es cierto, o sea si un polinomio ( )p x es divisible

por el producto x a x b x c entonces ( )p x es divisible por

cada uno de los factores.

5) Si al dividir un polinomio ( )p x entre varios factores por separado

se obtiene un mismo residuo r entonces al dividir el polinomio ( )p x

entre el producto de ellos se obtiene el mismo residuo r. 6) Si al dividendo y al divisor se multiplica por una misma cantidad, el

cociente no se altera; pero el residuo queda multiplicado por la misma cantidad. Para determinar el residuo verdadero se divide el residuo obtenido entre la cantidad por la cual se multiplico el dividendo y el divisor.

7) Si al dividendo y al divisor se divide por una misma cantidad, el cociente no se altera; pero el residuo queda dividido por dicha cantidad. Para determinar el resto verdadero se multiplica el residuo obtenido por la cantidad por la cual se dividió el dividendo y el divisor.

“COCIENTES NOTABLES”

Son aquellos cocientes que se pueden obtener en forma directa sin necesidad de realizar la operación de división.

Forma general:

n nx an

x a

¥

Se analizan cuatro casos: Primer Caso:

ax

ax nn

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Por teorema del residuo:x – a = 0 x = a Reemplazando en el dividendo se tiene que R = an – an = 0 ya sea n par o impar. En consecuencia, es cociente notable para n par o impar Segundo Caso:

ax

ax nn

Por teorema del residuo: x + a = 0 x = -a Reemplazando en el dividendo se tiene que R = (-a)n + an= 0 si “n” es impar. En consecuencia, es cociente notable si “n” es impar. Tercer Caso:

ax

ax nn

Por teorema del residuo: x + a = 0 x = - a Reemplazando en el dividendo se tiene que R = (-a)n – an = 0 si “n” es par En consecuencia es cociente notable si “n” es par. Cuarto Caso:

ax

ax nn

Por teorema del residuo: x – a = 0 x = a Reemplazando en el dividendo se tiene que R = (a)n + an= 2an 0, ya sea n par o impar En consecuencia, no es cociente notable para ningún “n” , debido a que el residuo que se obtiene no es igual a cero .

Desarrollo de un Cociente Notable

Desarrollo en forma general:

ax

ax nn

= xn-1 + xn-2a + xn-3a2 + xn-4a3 +... + x2an-3 + xan-2 + an-1

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Reglas para escribir el desarrollo de cualquier cociente notable:

a. El número de términos a obtenerse es n. b. Cuando el signo en el divisor es negativo, los términos del

desarrollo del C.N. serán todos positivos. c. Cuando el signo en el divisor es positivo, los términos del

desarrollo del C.N. tendrán signos positivos los que ocupan lugar impar y llevarán signos negativos los que ocupan lugar par.

d. El primer término del cociente se obtiene dividiendo los primeros términos del dividendo y divisor; así mismo el último término del cociente se obtiene dividiendo los segundos términos del dividendo y divisor respectivamente.

e. A partir del segundo término del cociente el exponente de x comienza a disminuir de uno en uno hasta el valor cero.

f. También a partir del segundo término del cociente aparece “a” con exponente uno y en cada termino posterior su exponente aumenta de uno en uno hasta (n-1).

g. Solo cuando n es impar, las bases del termino central tendrán igual exponente.

Ejemplo 1 Escribir el desarrollo de los siguientes cocientes notables:

1.

4 43 2 2 3x a

x x a xa ax a

2.

5 54 3 2 2 3 4x a

x x a x a xa ax a

3.

5 54 3 2 2 3 4x a

x x a x a xa ax a

4.

6 65 4 3 2 2 3 4 5x a

x x a x a x a xa ax a

Fórmula del Término General: Esta fórmula nos permite calcular cualquier término del desarrollo de un cociente notable.

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Sea el cociente notable:

n nx a

x a

Fórmula: Tk = (signo) xn-k ak-1

donde: n : Número de términos

k : Lugar pedido (signo): Se escoge de acuerdo a la siguiente regla

Regla para el signo:

1. Cuando el divisor es de la forma (x-a) el signo de cualquier término es positivo.

2. Cuando el divisor es de la forma (x+a) el signo de los términos que ocupan lugar par son negativos y los que ocupan lugar impar son positivos.

Observación:

Para calcular un término cualquiera contando de derecha a izquierda, solamente basta con intercambiar las bases tanto en el numerador como en el denominador, para luego aplicar la fórmula del término general.

Ejemplo 2:

Al desarrollar del cociente notable 713

77143

ax

ax

el término T8 es:

Resolución

Primero expresamos el cociente notable en la forma:

713

1171113

ax

ax

Como el divisor es de la forma “x + a” y el T8 es un término de lugar par, entonces llevará signo negativo

T8 = - (x13)11-8 (a7)8-1 = - x39 a49

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Ejemplo 3:

Al desarrollar el cociente notable

150 100

3 2

x a

x a

el término T23 es:

Resolución

50 50

3 2

3 2

x a

x a

Como el divisor es de la forma “x + a” y el T23 es un término de lugar impar, entonces llevará signo positivo

50 23 23 1

3 2 81 44

23T x a x a

Ejemplo 4: El termino 33 contando de derecha a izquierda del desarrollo del cociente

notable

131 131x a

x a

es:

Resolución Intercambiando las bases de la siguiente manera

131 131a x

a x

luego, 131 33 33 1

33T a x

98 32

33T a x

32 98

33T x a

Numero de términos de un Cociente Notable

Establecidas las condiciones de divisibilidad el cociente qp

nm

ax

ax

será notable cuando:

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r r

p qm n

p q p q

x ax a

x a x a

donde

mpr m r

p

nqr n r

q

Es decir, los cocientes entre m

p y

n

q deben ser números

naturales e iguales, de donde se tiene que:

m n

p q = Numero de términos del cociente notable

Ejemplo 5

Si

1 100

2 4

nx a

x a

origina un cociente notable, el valor de n es

Resolución Como origina un cociente notable se tiene que:

1 100

2 4

n 49n

PROBLEMAS DE APLICACIÓN 1. El valor de “k” para que el polinomio P(x) = 6x3 – 3x2 + kx – 6 sea

divisible por 2x – 3 es:

A) -5 B) -4 C) -3 D) -2 E) -1

Resolución Se iguala a cero el divisor

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32 3 0

2x x

Para que la división sea exacta su residuo debe ser igual a cero

R = 6

3

2

3

– 3

2

2

3

+ k

2

3 – 6 = 0

27 9 36 3 6 0

8 4 2k

06k2

3

4

27

4

81

54 + 6k – 24 = 0

k = 6

30

k = -5 CLAVE A

2. Al dividir

8 4 2

2

2 3 1

2

x x x

x

el residuo que se obtiene es:

A)14 B) 15 C)16 D) 17 E)18

Resolución

Se expresa el dividendo en términos de 2x

2 4 2 2 2

2

(x ) 2(x ) 3 1

2

x

x

Igualando el divisor 2 2 0x se tiene

2 2x

Aplicando el teorema del residuo se tiene que

4 2( 2) 2( 2) 3( 2) 1 15R

CLAVE B

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3. Al dividir

4 2 2 4 2 3

4 2

(5 7 6) (5 7 9) 1

5 7 8

x x x x

x x

el residuo es:

A) 6 B) 7 C) 8 D)9 E)10

Resolución

Haciendo el cambio de variable 4 25 7z x x se tiene que

2 36 (z 9) 1

8

z

z

Igualando 8 0z se tiene que 8z , luego se tiene que 2 3( 8 6) ( 8 9) 1 6R

CLAVE A

4. Conociéndose que si se divide un polinomio ( )p x de tercer grado

separadamente entre 3 , (x 2) , (x 5)x se obtiene siempre por

residuo -6 y que si se divide dicho polinomio ( )p x entre (x+1) se

obtiene por residuo -42, el término independiente del polinomio es:

A)-100 B) -96 C) -92 D) -88 E)-84

Resolución Por la propiedad 5, se sabe que si se obtiene el mismo residuo

al dividir ( )p x separadamente entre 3 , (x 2) (x 5)x y

entonces se obtiene el mismo residuo al dividir ( )p x entre el

producto 3 (x 2)(x 5)x , es decir

( ) (x 3)(x 2)(x 5)q(x) 6 ..................(I)p x

Por ser ( )p x de tercer grado y el divisor de tercer grado, q( )x

debe ser de grado cero, es decir q( )x es una constante.

Por el teorema del residuo se tiene que:

( 1) 42R p

2 1 6 6 42

12 36

3

q

q

q

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Sustituyendo el valor de 3q en I se tiene que:

( ) (x 3)(x 2)(x 5)(3) 6p x

3( ) 3 57 96p x x x CLAVE B

5. Para que el polinomio 3 3 3 ( 9)x y z k xyz sea divisible entre

x y z , el valor de k es:

A) 4 B)5 C)6 D)7 E)8

Resolución

Aplicando el teorema del residuo 0x y z

Por identidad condicional se tiene que 3 3 30 3x y z x y z xyz

Reemplazando en el dividendo 3 3 3( ) ( 9) 3 ( 9)D x x y z k xyz xyz k xyz

Como la división es exacta se tiene que

9 3k de donde 6k CLAVE C

6. Al dividir 3xx2

pnxmxx4x823

235

se obtiene como residuo 5x2–

3x+7. El valor de m + n + p es: A) 25 B) 26 C) 27 D) 28) E) 29 Resolución Q(x) = 4x2 – 2x + 3 R(x)= (m-15)x2+ (n+6)x + (p-9)

-4 6 2 8 0 4 m n p

-1 -4 0 -12 0 2 0 6 -3 -3 0 -9

4 -2 3 m-15 n+6 p-9

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Por dato, el residuo es 5x2 – 3x + 7 de donde se tiene que R = (m-15)x2 + (n+6)x + (p-9) = 5x2 – 3x + 7 Por polinomios idénticos: m –15 = 5 n + 6 = -3 p – 9 = 7 m = 20 n = -9 p = 16

Por lo tanto: m + n + p = 20 – 9 + 16 = 27 CLAVE C

7. Al dividir un polinomio ( )p x entre ( 3)x se obtiene por residuo -

5 y un cociente cuya suma de coeficientes es igual a 3. El residuo de

dividir ( )p x entre ( 1)x es:

A)5 B) 6 C)7 D)8 E)9

Resolución Por el algoritmo de división para polinomios se tiene que

( ) ( 3)q( ) 5p x x x

Por dato del problema, la suma de coeficientes de ( )q x es igual a 3,

es decir, (1) 3q

Aplicando el teorema del residuo 1 0 1x x , luego

(1) (1 3)q(1) 5r p

4 (1) 5

4(3) 5 7

r q

r

CLAVE C

8. Sabiendo que la división

4 27 16

2

x x ax

x

es exacta, el valor de

a es:

A) 27 B) 28 C) 29 D) 30 E) 31

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Resolución Igualando el divisor a cero se tiene que

2 0 2x x

Por el teorema del residuo, 4 2( 2) 7( 2) ( 2) 16R a

Como la división es exacta, el residuo es cero, es decir 4 2( 2) 7( 2) ( 2) 16 0a

De donde se obtiene que

16 28 2 16 0a

60 2 0 30a a

CLAVE D

9. Si el termino 25T del desarrollo del cociente notable

129 86

3 2

m n

m n

x a

x a

es

270 288x a , el valor de m n es:

A) 8 B)9 C)10 D)11 E)12

Resolución

43 43

3 2

3 2

m n

m n

x a

x a

25 1

3 43 25 2 54 48

25 (x )m n m nT a x a

Según dato del problema 270 288

25T x a , luego

54 48 270 288m nx a x a

Identificando los exponentes se tiene que:

54 270 5m m y 48 288 6n n

En consecuencia, 11m n CLAVE: D

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10. En el cociente notable

160 280

4 7

x y

x y

El lugar del término que tiene por

grado absoluto 252 es: A) 31 B)32 C)33 D)34 E)35

Resolución

40 40

4 7160 280

4 7 4 7

x yx y

x y x y

Un término cualquiera del desarrollo del cociente notable está dado por

40 1

4 7k k

kT x y

160 4 7 7k k

kT x y

( ) 153 3 252kGA T k

de donde se tiene que:

33k CLAVE: C

11. Luego de simplificar

78 76 74 4 2

38 36 34 4 2

...... 1

..... 1

x x x x xM

x x x x x

se

obtiene:

A)80 1x B)

80 1x C)40 1x D)

40 1x E)78 1x

Resolución Escribiendo el numerador y el denominador como un cociente notable se tiene:

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402

2

202

2

1

1

1

1

x

xMx

x

80

40

1

1

xM

x

2

40 2 40 40

40

40 40

1 1 11

1 1

x x xM x

x x

CLAVE: C

12. Sabiendo que 231cx y es el termino central del desarrollo del cociente

notable 3 7

a bx y

x y

El valor de a b c es:

A) 766 B) 767 C) 768 D) 769 E)770

Resolución

En el cociente notable se tiene que 3 7

a bm , siendo m el

número de términos. El termino general está dado por

1

3 7m k k

kT x y

Si hay un término central entonces

1

3 7 231m k k

cx y x y

Identificando exponentes se tiene que

3( ) .............(1)

7(k 1) 231 .............(2)

m k c

CEPUNT MATEMÁTICA


Luego 34k , es decir el lugar del término central es 34, entonces

habrá:

33 33 1 67m términos

Reemplazando en 3 7

a bm se tiene que

67 2013

67 4697

aa

bb

Reemplazando en (2) se tiene que

3(67 34) 99c c

Luego

201 469 99 769a b c CLAVE: D

13. Si 143 32x a es un término del cociente notable

21 13 20m p

m p

x a

x a

El

valor de m p es:

A) 15 B) 16 C)17 D)18 E)19

Resolución

Nº de términos del CN = 21 13 20

20m p

m p

dedonde 21 13 20 13m m m

Luego

20 1

13 143 32k k

p

kT x y x y

Identificando exponentes

13(20 ) 143 9

( 1) 32 4

k k

p k p

Luego, 17m p

CLAVE: C

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DIVISION ALGEBRAICA COCIENTES NOTABLES · 2020. 12. 21. · Divisibilidad Algebraica Se dice que una expresión algebraica es divisible entre otra, cuando al dividirlas, el residuo